APLICACIÓN DE DERIVADAS
DERIVADAS POR DEFINICIÓN
ALGEBRA DE DERIVADAS
ELABORADO POR:
ESTUDIANTES GRADO 11-A 2009
INTITUTO ...
APLICACIÓN DE DERIVADAS Y ALGEBRA DE
DERIVADAS
I. Solucionar los siguientes problemas de aplicación de derivadas,
realizan...
 halla dos números positivos tales que su producto sea 54 y su suma
sea mínima
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 Halla dos números positivos tales que su producto sea 900 y su suma
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 La suma de tres números positivos es 30. El primero mas el doble
del segundo, mas el triplo del tercero suman 60. ¿Cuále...
 Construye una caja de base cuadrada y sin tapa cuya área sea
2
100 cm ¿Qué dimensiones debe tener para que su volumen se...
 Se quiere fabricar un recipiente de forma cilíndrica con base
circular y de volumen igual a 2
32cm ¿Qué dimensiones debe...
 Con una hoja cuadrada de 9cm de lado se desea hacer una caja abierta
del mayor volumen posible, recortando un cuadrado e...
 Halla dos números cuya suma sea 60 de forma que el producto de uno de
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AplicacióN De Derivadas Por Definicion

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  1. 1. APLICACIÓN DE DERIVADAS DERIVADAS POR DEFINICIÓN ALGEBRA DE DERIVADAS ELABORADO POR: ESTUDIANTES GRADO 11-A 2009 INTITUTO TECNICO INDUSTRIAL SAN JUAN BOSCO CONTRATACION-SANTANDER 12 DE Noviembre de 2009 ONCE “A”
  2. 2. APLICACIÓN DE DERIVADAS Y ALGEBRA DE DERIVADAS I. Solucionar los siguientes problemas de aplicación de derivadas, realizando la derivada de la función principal de las dos formas (por definición y utilizando algebra de derivadas).  Halla los números positivos cuyo producto sea 100 y su suma sea mínima. 100.  baarea minimo ba b100 100. ba b10 b a 100  b a 100  b b p  100 10a b bb bp   )1(100.0 1 100 2    b bp 10;10Rta  ba 2 100 b
  3. 3.  halla dos números positivos tales que su producto sea 54 y su suma sea mínima b a ba imoba ba 54 54. min 54.     1 54 1 )1(54.0 54 2 2        b bp b b bp b b p 348.7 348.7 54 348,7 54 54 2      a a b b b 348.7;348.7Rta  ba  Halla dos números tales que su diferencia sea 30 y su producto sea minino. ba ba imoba ba     30 30 min. 30. 15 30 230 230 30 ).30( 2       b b b b bbp bbp bbp 15 15Rta 15 ))15(30(     b a a a
  4. 4.  Halla dos números positivos tales que su producto sea 900 y su suma sea mínima b a ba imaba ba 900 900. min 900.     1 900 1 )1(900.0 900 2 2        b bp b b bp b b p 30 30 900 900 900 2     a a b b 30;30Rta  ba  La suma del numero y el quíntuplo de otro debe ser 70 ¿Qué numero debe ser para que su producto sea mínimo? 2 570 5702 7052 min. y x yx yx imoyx      yyp yyp yyp y y p y y p 535 25,235 ).5,235( . 2 5 2 70 ). 2 570 ( 2             Rta= 𝒙 = 𝟏𝟕, 𝟓; 𝒚 = 𝟕 5,17 2 )7(570 7 5 35 535       X X y y y
  5. 5.  La suma de tres números positivos es 30. El primero mas el doble del segundo, mas el triplo del tercero suman 60. ¿Cuáles ser los números para que su producto sea máximo? cb cb cb cb cbcb cba imocba ca cba 230 302 30602 60230 6032)30( 30 min.. 60)(2 30          32 2 230 ))(230( ))(230(max 0 3030 30230 aap aaap aaaimo ac ca ca cca        10 10 10 Rta 10 ))10(230( 10 660 2         c b a b b a aaap  Se debe construir una canal horizontal con una lámina de 8cm de ancho, doblando verticalmente hacia arriba partes iguales en ambos costados ¿Cuántos centímetros debe doblarse la lámina para obtener una canal de capacidad máxima? yx yxa yxa 28 82 .      2 4 8 48 048 48)( 2.8 ).28 2        y y y y yaP yya yya 4 )2(28 28    x x yx Rta= debe doblarse 2 cm en cada lado para que la canal tenga capacidad máxima:
  6. 6.  Construye una caja de base cuadrada y sin tapa cuya área sea 2 100 cm ¿Qué dimensiones debe tener para que su volumen sea máximo?         32 2 2 2 2 2 440100 ).440100( .4210210 .)210( . 210 100)2( .. yyyv yyyv yyyv yyv yxv yx xy yxxvol         3 20 3 5 210 3 5 )12(2 )100)(12(4(-80)(-80)- cuadraticalasolucionase 1008012 1280100)( 2 2 2              x x y y yyp yyvP Rta= las dimensiones que la caja debe tener para que su volumen sea máximo son: base 3 20 x ; altura 3 5 y
  7. 7.  Se quiere fabricar un recipiente de forma cilíndrica con base circular y de volumen igual a 2 32cm ¿Qué dimensiones debe tener para que el material utilizado sea mínimo? r r ro aP r r a r r r a rr r a .2 )1.64().( )( . 64 . . .64 ..2. . 32 2 2 2 2 22 2                    2 2 2 . 32 h 32.. .).2.( r hrvol rrharea       167704381.2 )167704381.2( 32 167704281.2 18591636.103 2 64 .64 .2 64 0.2 64 23 2 2         h h r r rr r r r r      Rta: las dimensiones para que el material usado sea mínimo son: r167704281.2 ; y 167704381.2h
  8. 8.  Con una hoja cuadrada de 9cm de lado se desea hacer una caja abierta del mayor volumen posible, recortando un cuadrado en cada uno de sus cuatro vértices. Halla las Dimensiones de los cuadrados.              v xx xx xxxx xxvol      3 22 2 22 32x-81x .436x-81 .184x18x-81 .924929 )29).(29( 9185565.0 08196 09681 9681)( 2 2 2     x x xvP Rta= las dimensiones de los cuadrados es de 9185565.0 cm
  9. 9.  Halla dos números cuya suma sea 60 de forma que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo.       432 22 2 22 222 1203600 .1203600 6023600 max.y-60 y-60x 60yx)2 max.x.x.y)1 yyy yyy yy y imoyx            30 3060 30 360 47200 36047200 043607200 43607200 2 3 23 32 32         x X y y yy yyy yyy yyyyP 𝑅𝑡𝑎 = 𝑥 = 30; 𝑦 = 30  ¿Qué numero positivo sumado a su inverso da lugar a la suma mínima? 2 1.1 1 mínimo 2 1 x x   2 2 1 1 0 1 1 x x   1 12   x x Rta= el numero positivo que sumado a su inversa da lugar a la suma mínima es 1  Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal, sin tapa, que tenga una capacidad de 3 1dm encuentra las dimensiones que debe tener este recipiente para que la cantidad de material utilizado sea mínimo.
  10. 10.         r r ap r r r aP r r a r r r a rr r a .2 2000 .2 1.2000.0 . 2000 . . .2000 ..2. . 1000 2 2 2 2 2 2 22 2                          2 2 2 . 1000 1000.. ..2. r h hrvol rrharea         h h r r r rr r r r         82784063.6 82784063.6 1000 82784063.6 3098.3183 2 2000 .2000.2 2000 0.2 2000 2 3 3 2 2     Rta= las dimensiones que debe tener el cilindro son 82784063.6r y h82784063.6
  11. 11. DERIVADAS POR DEFINICION. 1) x x  100              2 100 100 0 . 100100100 0 100100 0 100 lim lim lim x xf xhxh h h xf h xhx hxx h xf h xhx h xf x xf                            1 0 0 0 lim lim lim           xf h h h xf h xhx h xf h xhx h xf xxf   xf 2 100 x  +1 ___________________________________________________________
  12. 12. 2) 2 30 bbfx                      230 0 3023030 0 3023030 0 3030 lim lim lim 222 22 22 h hbh h xf h bbhbhhbb h xf h bbhbhbhb h xf h bbhbhb xf              bbxf 230  __________________________________________________________
  13. 13. 3)   2 4 xxxf                    xxf h h xf h h xf h xxhxh h xf h xxhxhx h xf 24 h-2x-4h 0 h-2xh-4h 0 42x-4h4x 0 44 0 lim lim lim lim 2 222 22            ________________________________________________________________
  14. 14. 4)   32 1025 xxxxf                            2 22 32322322 32322322 3232 32025 33x10h-20x-25h 0 102533102010x-25h25x 0 1025332x10-25h25x 0 102510hx25 0 lim lim lim lim xxxf h hxh h xf h xxxhxhhxxhxh h xf h xxxhxhhxxhxh h xf h xxxhxhx h xf              __________________________________________________________
  15. 15. 5)   432 1203600 yyyxf                                32 32 322322 422333222 4324223 34322322 432 422334322322 432432 4360y-7200y 4360y-7200y 0 644120360360y-3600h7200yh 0 6441203603603600h7200yh 0 12036064 4120360360120360072003600y 0 1203600 644331202y3600 0 1203600120hy3600 0 lim lim lim lim lim lim yxf y h xf h hhyyhyhyh h xf h hhyyhhyhyhhy h xf h yyyhhyyh hyyhyhhyyhyh h xf h yyy hhyyhhyyhyhhyyhyh h xf h yyyhyhy h xf                     

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