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Grafoscuestionario

  1. 1. Ingeniería en Tecnologías de la Información y comunicación. Árboles y Grafos III UNIDAD Erick Leonardo Ruiz Sànchez Grupo TI71M 5 de Diciembre del 2013
  2. 2. Cuestionario de Grafos: 1.- Defina el concepto de grafo: Conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de pares de vértices, llamados aristas que pueden ser orientados o no. Típicamente, un grafo se representa mediante una serie de puntos (los vértices) conectados por líneas (las aristas). Es una pareja de conjuntos G = (V,A), donde V es el conjunto de vértices, y A es el conjunto de aristas, este último es un conjunto de pares de la forma (u,v) tal que , tal que . Para simplificar, notaremos la arista (a,b) como ab. En teoría de grafos, sólo queda lo esencial del dibujo: la forma de las aristas no son relevantes, sólo importa a qué vértices están unidas. La posición de los vértices tampoco importa, y se puede variar para obtener un dibujo más claro. 2.- Investigue y defina al menos 5 tipos de grafos: Grafo simple:Si a lo sumo sólo 1 arista une dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Un grafo que no es simple se denomina Multigráfica o Gráfo múltiple. Grafos conexos: Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible dese a hacia b. Un grafo es fuertemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos; es decir; es conexo y no existe un vértice tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo. Grafo no dirigido Está formado por un conjunto de vértices y aristas donde éstas últimas no tienen dirección. e = (v,w) o (w,v) Grafo dirigido u Orientado
  3. 3. En algunos casos es necesario asignar un sentido a las aristas, por ejemplo, si se quiere representar la red de las calles de una ciudad con sus direcciones únicas. El conjunto de aristas será ahora un subconjunto de todos los posibles pares ordenados de vértices, con (a, b) ≠ (b, a). Formado por un conjunto de vértices y aristas donde las últimas tienen dirección. e = (v,w) ≠ (w,v) Grafo completo. Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles de vértices. Es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener una arista e que los une. El conjunto de los grafos completos es denominado usualmente el grafo completo de n vértices. , siendo 3.- ¿Qué es un sub grafo? Un subgrafo de un grafo G es un grafo cuyos conjuntos de vértices y aristas son subconjuntos de los de G. Se dice que un grafo Gcontiene a otro grafo H si algún subgrafo de G es H o es isomorfo a H (dependiendo de las necesidades de la situación). 4.- ¿Cuáles son los grafos de un solo vértice? Son los que se considera la característica de "grado" (positivo o negativo) de un vértice v y como la cantidad de aristas que llegan o salen de él; para el caso de grafos no orientados, el grado de un vértice es simplemente la cantidad de aristas incidentes a este vértice. 5.- ¿Qué es un vértice en un grafo? Es la unidad fundamental de la que están formados los grafos. Un grafo no dirigido está formado por un conjunto de vértices y un conjunto
  4. 4. de aristas (pares no ordenados de vértices), mientras que un grafo dirigido está compuesto por un conjunto de vértices y un conjunto de arcos (pares ordenados de vértices). 6.- ¿Qué es una arista en un grafo? En teoría de grafos, dos vértices de un grafo. una arista corresponde a una relación entre Para caracterizar un grafo G son suficientes únicamente el conjunto de todas sus aristas, comúnmente denotado con la letra E (del término en inglés edge), junto con el conjunto de sus vértices, denotado por V. Así, dicho grafo se puede representar como G(V,E), o bien G = (V,E). Un vértice es incidente a una arista si pertenece a ésta, o en otras palabras, si está conectado a otro vértice (o a él mismo) a través de ella. 7.- ¿Cómo se determina el grado de un grafo? El grado de un vértice en un grafo es el número de aristas incidentes a él. Un vértice aislado es un vértice con grado cero; esto es, un vértice que no es punto final de ninguna arista. Un vértice hoja es un vértice con grado uno. En un grafo dirigido, se puede distinguir entre grado de salida ("outdegree", número de aristas que salen del vértice) y grado de entrada ("indegree", número de aristas que llegan al vértice); un vértice fuente es un vértice con grado de entrada cero, mientras que un vértice hundido es un vértice con grado de salida cero. + B 8.- ¿Cuándo se considera un grado (+) en un grafo? Cuando Sale. C D A (-) E F
  5. 5. 9.- ¿Cuándo se considera un grado (-) en un grafo? C (+) D A (-) E F Tarea # 2: Complete el cuadro con la información solicitada. Tipo de Grafo Grafo Simple Definición Grafo simple. o simplemente graf o es aquel que acepta una sola una arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Es la definición estándar de un grafo. Imagen
  6. 6. Grafos Conexos En teoría de grafos, un grafo se dice conexo si, para cualquier par de vértices a y b en G, existe al menos una trayectoria (una sucesión de vértices adyacentes que no repita vértices) de a ab. Grafo no dirigido Está formado por un conjunto de vértices y aristas donde éstas últimas no tienen dirección. e = (v,w) o (w,v) Grafo En algunos casos es Dirigido u necesario asignar un Orientado sentido a las aristas, por ejemplo, si se quiere representar la red de las calles de una ciudad con sus direcciones únicas. El conjunto de aristas será ahora un subconjunto de todos los posibles pares ordenados de vértices, con (a, b) ≠ (b, a). Formado por un conjunto de vértices y aristas donde las últimas tienen
  7. 7. dirección. e = (v,w) ≠ (w,v). Grafo no simple Es un grafo no dirigido que tiene lazos y lados paralelos. Se denomina lazo a aquella arista que converge en el mismo vértice Aristas paralelas son aquellas aristas que convergen en el mismo par de vértices Grafo Ponderad o Se presentan los pesos de cada arista y se puede determinar la longitud de una ruta, que es la suma de todos los pesos de las aristas. Grafo Completo Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles de vértices. Es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener una arista e que los une. El conjunto de los grafos completos es denominado
  8. 8. usualmente siendo completo vértices. Grafo de Similitud , el grafo de n Son aquellos grafos de los que se puede derivar subgrafos Tarea # 3: De los sig. Grafos determinar grado + y grado – - 0 0 + 0 + 0 + 0 0 Tarea #4: De los sig. Grafos determinar El camino o trayectoria 0
  9. 9. 1 1 2 3 4 2 3 4 5 6 7 5 1,2,3,4,5,6,7 1,3,4,5,6,7 1,2,3,4,5 1,3,2,4,5,6,7 1,3,2,1,4,5 1,3,5,7 1,4,5 1,3,4,7 1,2,5,7 1,2,4,6,7 1,2,3,5,7 1,2,5,6,7 1,2,5 Tarea # 5: En los siguientes grafos determine los vértices y trace un circuito de Euler. a)
  10. 10. a b a,b,c,e,b,d,c,a c d e b) Un cartero tiene que repartir sus cartas en la red de calles representada por el grafo de la figura 5.20. Para realizar el reparto, el cartero debe empezar y terminar en la estafeta de correos que se encuentra en el vértice i. Teniendo en cuenta que todos los vértices tienen grado par, el cartero sabe que puede efectuar el reparto sin recorrer dos veces la misma calle, construyendo para ello un ciclo de Euler.. I, j, m, n, a, b, c, d, e, f, g, h, a, m, l, k, j, h,i
  11. 11. Tarea # 6: Encuentre el ciclo de Hamilton en los siguientes grafos B A A C B G A D D C H F E F E I H G A,B,C,D,H,L,KG,F,J,I,E,A No tiene solución Tarea # 7: Encuentre la Matriz de Adyacencia del siguiente grafo. J K B D A C C Tarea # 8: De la siguiente Matriz Adyacente encontrar el grafo correspondiente B D A C L
  12. 12. Tarea # 9: Encuentre la Matriz de Incidencia del siguiente grafo A e1 B e2 e11 e3 e5 G e9 e10 e4 D F e7 e8 E C e6
  13. 13. ÁRBOLES TAREA # 1. CUESTIONARIO 1.- ¿Qué es un árbol? Un árbol es un grafo simple en el cual existe un único camino entre cada par de vértice. 2.- ¿Para qué se usan en computación los árboles? La computación hace uso de los árboles ampliamente Son útiles para organizar y relacionar datos en una base de datos y otras aplicaciones, así mismo en la estructura jerárquica de las carpetas. 3.- ¿Qué es un árbol libre? Es un grafo no dirigido acíclico conexo, aquel donde no se especifica un vértice raíz. 4.- Dibuja un árbol libre de 10 nodos
  14. 14. 5.- ¿Qué es un árbol de raíz? Un árbol con raíz, es un árbol que tiene un vértice particular designado como raíz. 6.- Dibujar un árbol de raíz que tenga 4 niveles y donde se especifiquen los siguientes conceptos: a) Hijo de un nodo del 2 nivel=h b) Padre de un nodo del 4 nivel=h c) Mencione los ancestros de un nodo del 4 nivel=h,d,b,a d) Mencione todos los descendientes de un nodo del 3 nivel=h,j,k e) Mencione los vértices terminales (VT)=j,k,e,i,g f) Mencione los vértices interiores (VI)=h,d,b,c,f 2 1
  15. 15. 3 Un árbol de expansión es un árbol compuesto por todos los vértices y algunas (posiblemente todas) de las aristas de G. Al ser creado un árbol no existirán ciclos, además debe existir una ruta entre cada par de vértices. 7.- Defina que es un árbol de expansión mínimo. Dado un grafo conexo, no dirigido y con pesos en las aristas, un árbol de expansión mínima es un árbol compuesto por todos los vértices y cuya suma de sus aristas es la de menor peso. 8.- ¿Cuál es el uso que se les da a los árboles binarios? En tablas de enrutamiento para los Routers (encuentran la ruta más corta para la transmisión de datos), en simulaciones en 3D, formatos para compresión de archivos (jpg, pdf, tiff, etc). Para ordenar los elementos de un arreglo en sentido ascendente, se debe construir un árbol similar al árbol binario de búsqueda, pero sin omitir las coincidencias. 9.- ¿Qué es realizar un recorrido en un árbol?
  16. 16. Visitar de manera sistemática, solo una vez cada nodo. 10.- Mencione las formas de hacer un recorrido por un árbol y una pequeña descripción. RECORRIDO POSTORDEN: Donde el nodo dado se procesa después de haber procesado recursivamente a sus hijos. RECORRIDO POR NIVELES: Este recorrido procesa los nodos comenzando en la raíz y avanzando de forma descendente y de izquierda a derecha. RECORRIDO PREORDEN: En el que se procesa el nodo y después se procesan recursivamente sus hijos. RECORRIDO ENTREORDEN: En este se procesa recursivamente el hijo izquierdo, luego se procesa el nodo actual y finalmente se procesa recursivamente el hijo derecho. TAREA # 2: Sigua las indicaciones según se pida: 2.1.- (a) Convertir el árbol libre a árbol de raíz cuando f sea la raíz. f l n h k e m a b c d g
  17. 17. (b) Determinar el nivel y la altura del árbol. Altura 4 (c) Encontrar el subárbol a partir del vértice e. e b d c a g 2.2.- (a) convierte el árbol libre a árbol de raíz cuando g sea la raíz. (b)Determinar el nivel y la altura del árbol. Altura 4 (c) Encontrar el subárbol a partir del vértice h.
  18. 18. (d) Encontrar los vértices terminales y los vértices interiores Terminales (l,f),(i,f),(k,f) y (h,f) Vertices interiores (i,m),(h,e),(e,a)(e,b),(a,g)(b,c) m i d g l a k b n aa g f h e c 2.2.- (a) convierte el árbol libre a árbol de raíz cuando g sea la raíz. (b)Determinar el nivel y a altura del árbol. (c) Encontrar el subárbol a partir del vértice h. (d) Encontrar los vértices terminales y los vértices interiores
  19. 19. 2.3.- (a) Convertir el árbol libre a árbol de raíz cuando h sea la raíz. (b)Determinar el nivel y a altura del árbol. Altura de 3 (c) Encontrar el subárbol a partir del vértice e. e c a b d f m
  20. 20. (d) Encontrar los vértices terminales y los vértices interiores. Terminales (e,h),(g,h), (k,h). Interiores (a,c),(b,c),(c,e)(d,e),(m,f),(f,e),(i,g) l a d g i c h e b f k m TAREA # 3:Resuelva según se indique. 3.1.- De los grafos propuestos obtener el árbol de expansión mínimo a 4 b 1 W (G) =31 c
  21. 21. 7 6 12 d 11 13 8 g 14 e 5 f 3 2 h 2 10 a 4 e d 2 h W (G) =7 1 3 3 4 3 2 1 1 3 4 3 2 1 4 2 3 1 5 5 TAREA # 4: Realizar los recorridos de los siguientes arboles según se indica (a)Recorrido de preorden:A,B,H,I,K,L,M,J,C,D,E,G,F (b)Recorrido de entreorden:L,K,M,I,H,J,B,A,F,E,G,D,C (c)Recorrido de postorden:L,M,K,I,J,H,B,F,G,E,D,C,A A C B H I D E J K F G 5 f 3 g 1 c 6 j 8 2 1 b 2 I

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