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Apostila completa de_lógica_-_204_páginas
 

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    Apostila completa de_lógica_-_204_páginas Apostila completa de_lógica_-_204_páginas Document Transcript

    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org1LógicaExistem muitas definições para a palavra “lógica”, porém no caso do nosso estudo não érelevante um aprofundamento nesse ponto, é suficiente apenas discutir alguns pontos devista sobre o assunto. Alguns autores definem lógica como sendo a “Ciência das leis dopensamento”, e neste caso existem divergências com essa definição, pois o pensamento ématéria estudada na Psicologia, que é uma ciência distinta da lógica (ciência). SegundoIrving Copi, uma definição mais adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio”, poisa sua idéia está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto que depende daestrutura dos argumentos envolvidos nele. Assim concluímos que a lógica estuda as formasou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades dasrelações formais entre as proposições. Veremos nas próximas linhas a definição do quevenha a ser uma proposição, bem como o seu cálculo proposicional antes de chegarmos aonosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos deproposições denominadas premissas ou conclusões.1 - DEFINIÇÃO:1.1 - Proposição:Chamaremos de proposição ou sentença, a todo conjunto de palavras ou símbolos queexprimem um pensamento de sentido completo. Sendo assim, vejamos os exemplos.1) Exemplo:a) O Professor Joselias é bonito.b) O Brasil é um País da América do Sul.c) A Receita Federal pertence ao Poder Judiciário.Evidente que você já percebeu que as proposições devem assumir os valores falsos ouverdadeiros, pois elas expressam a descrição de uma realidade, e também observamos queuma proposição representa uma informação enunciada por uma oração, portanto pode serexpressa por distintas orações, tais como: “Pedro é maior que Carlos”, ou podemosexpressar também por “Carlos é menor que Pedro”.Observe ainda que as proposições receberão os valores lógicos como sendo verdadeiro(V)ou falso(F).2) Exemplo:Se a proposição p = “O Brasil é um País da América do Sul” é verdadeira entãorepresentaremos o valor lógico da proposição p por VAL(p) = V.Se a proposição p = “O Brasil é um País da América do Sul” é falsa então representaremoso valor lógico da proposição p por VAL(p) = F.Sendo assim a frase “Bom dia!” não é uma proposição, pois não admite o atributoverdadeiro ou falso.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org2Portanto não serão proposições as seguintes expressões:Exclamações: “Que belo dia!”, “Boa sorte!”.Interrogações: “Joselias é um bom professor?”, “Que horas são?”, “ O jogo terminouempatado?”.Imperativos: “Faça seu trabalho corretamente.”, “ Estude e limpe o quarto.”.Paradoxos: “Esta proposição é falsa”.Em resumo, teremos dois princípios no caso das proposições:1 – Princípio da não-contradição:Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.2 – Princípio do Terceiro Excluído:Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F),não podendo ter outro valor.Logo, voltando ao exemplo anterior temos:a) “O Professor Joselias é bonito” é uma proposição verdadeira.b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira.c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário”, é uma proposição falsa.As proposições serão representadas por letras do alfabeto: a, b, c, . . . , p, q, . . .As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas, através deoperadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas(ou compostas).Os conectivos serão representados da seguinte forma:¬ corresponde a “não”∧ corresponde a “e” (conjunção)∨ corresponde a “ou” (disjunção)→ corresponde a “então” (condicional)↔ corresponde a “se e somente se” (bi-condicional)Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir uma outra correspondente coma sua negação; e com duas ou mais, podemos formar:• Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b)Exemplo:3) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que:a ∧ b = “Chove e faz frio”• Disjunções: a ∨ b (lê-se: a ou b, ou também ou a ou b)Exemplo:4) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que:a ∨ b = “Chove ou faz frio”• Condicionais: a → b (lê-se: Se a então b)
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org3Exemplo:5) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que:a → b = “Se chove então faz frio”• Bi-condicionais: a ↔ b (lê-se: a se e somente se b)Exemplo:6) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que:a ↔ b = “Chove se e somente se faz frio”Exemplo:7) Seja a sentença: “Se Cacilda é estudiosa então ela passará no concurso”Sejam as proposições:p = “Cacilda é estudiosa”q = “Ela passará no concurso”Então poderemos representar a sentença da seguinte forma:Se p então q ( ou p → q ).1.2 - TABELA VERDADERepresentaremos então o valor lógico de cada molécula com seu respectivo conectivoatravés da tabela verdade.a. Valor verdade de ¬PP ¬PV FF VA negação da proposição P é a proposição ¬P, de maneira que se P é verdade então ¬P éfalso, e vice-versa.b. Valor verdade de P∧QP Q P∧QV V VV F FF V FF F FO valor verdade da molécula P∧Q é tal que VAL (P∧Q) é verdade se e somente se VAL (P)e VAL (Q) são verdades.c. Valor verdade de P∨QP Q P∨Q
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org4V V VV F VF V VF F FO valor verdade da molécula P∨Q é tal que VAL(P∨Q) é falso se e somente se VAL(P) eVAL (Q) são falsos.d. Valor verdade de P → QP Q P → QV V VV F FF V VF F VO valor verdade da molécula P → Q é tal que VAL(P → Q) = F se e somente se VAL(P) =V e VAL (Q) = Fe. Valor verdade de P ↔ QO valor verdade da molécula P ↔ Q é tal que VAL( P↔Q ) = V se e somente se VAL (P) eVAL (Q) tem os mesmos valores verdade.Então, para α e β sendo moléculas, teremos a tabela verdade completa da seguinteforma:Exemplo:8) Sejam as proposições p e q, tal que:p = ”Está calor”q = ”Está chovendo”P Q P ↔ QV V VV F FF V FF F Vα β ¬α α ∧ β α ∨ β α → β α ↔ βV V F V V V VV F F F V F FF V V F V V FF F V F F V V
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org5Descrever as seguintes proposições abaixo:a) ¬pb) p ∨ qc) p ∧ qd) p → qe) p ↔ qSolução:a) ¬p = “Não está calor”b) p ∨ q = “Está calor ou está chovendo”c) p ∧ q = “Está calor e está chovendo”d) p → q = “Se está calor, então está chovendo”e) p ↔ q = “Está calor se e somente se está chovendo”9) Seja p = “Joselias é magro” e q = “ Joselias é bonito”. Represente cada uma dasseguintes afirmações em função de p e q:a) “Joselias é magro ou bonito”b) “Joselias é magro e bonito”c) “Se Joselias é magro, então é bonito”d) “Joselias não é magro, nem bonito”Solução:a) “Joselias é magro ou bonito” = p ∨ qb) “Joselias é magro e bonito” = p ∧ qc) “Se Joselias é magro, então é bonito” = p → qd) “ Joselias não é magro, nem bonito” = ¬p ∧ ¬q10) Se p é uma proposição verdadeira, então:a) (p → q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q.b) (p ∧ q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q.c) (p ↔ q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q.d) (p ∨ q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q.e) (¬p) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q.Soluçãoa) A opção é incorreta, pois se q é uma proposição falsa e p verdadeira teremos aproposição (p → q) falsa.b) A opção é incorreta, pois se q é uma proposição falsa teremos a proposição (p ∧ q) falsa.c) A opção é incorreta, pois se q é uma proposição falsa e p verdadeira teremos aproposição (p ↔ q) falsa.d) A opção é correta, pois se p é uma proposição verdadeira teremos a proposição (p∨q)sempre verdadeira.e) A Opção é incorreta, pois se p é uma proposição verdadeira teremos a proposição (¬p)sempre falsa.Opção correta: D.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org611) Se (p → q) é uma proposição verdadeira então podemos afirmar que:a) p é uma proposição verdadeira.b) q é uma proposição verdadeira.c) Se p é uma proposição falsa, então q é uma proposição verdadeira.d) se q é uma proposição verdadeira então p é uma proposição verdadeira.e) se q é uma proposição falsa então p é uma proposição falsa.Soluçãoa) A opção é incorreta, pois se p e q são proposições falsas teremos a proposição (p → q)verdadeira.b) A opção é incorreta, pois se p e q são proposições falsas teremos a proposição (p → q)verdadeira.c) A opção é incorreta, pois se p e q são proposições falsas teremos a proposição (p → q)verdadeira.d) A opção é incorreta, pois podemos ter a proposição q verdadeira e a proposição p falsa.e) A opção é correta, pois se q é uma proposição falsa teremos a proposição pnecessariamente falsa.Opção correta: E.12) Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixoSoluçãoDesenvolvendo a tabela verdade teremos:p q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ qV V F F V VV F F V V FF V V F V FF F V V F F13) Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixop q ¬p ¬q p → q q → p p ↔ qV V VV F F FF V FF F Vp q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ qV V FV F VF V V FF F V
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org7SoluçãoDesenvolvendo a tabela verdade teremos:p q ¬p ¬q p → q q → p p ↔ qV V F F V V VV F F V F V FF V V F V F FF F V V V V V14) Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixop q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ q ¬p ∧ ¬q ¬p ∨ ¬qV V F V V FV F FF V V V FF F V V VSoluçãoDesenvolvendo a tabela verdade teremos:p q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ q ¬p ∧ ¬q ¬p ∨ ¬qV V F F V V F FV F F V V F F VF V V F V F F VF F V V F F V V15) Determinar o valor verdade da proposição (P ∧ Q) →R, sabendo-se que VAL (P) =V, VAL (Q) = V e VAL (R) = F.SoluçãoP Q R p ∧ q (P ∧ Q) →RV V V V VV V F V FV F V F VF V V F VV F F F VF V F F VF F V F VF F F F VLogo o VAL(P ∧ Q) →R) = F
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org81.3 - Exercícios PropostosTexto para os itens de 01 a 05. (CESPE)Considere as sentenças abaixo.I Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.II Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.III Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.IV Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, entãofumar deve ser proibido.V Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve serproibido; conseqüentemente, muitos europeus fumam.Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto,julgue os itens seguintes.1) A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬ T).2) A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∧ (¬ R).3) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.4) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬ T)) → P.5) A sentença V pode ser corretamente representada por T→((¬ R) ∧ (¬ P)).Texto para os itens de 06 a 10. (CESPE)Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬ , ∧ ,∨ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e,ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume umúnico valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nuncaambos.Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.6) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) ∨ (¬ Q)também é verdadeira.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org97) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:(I) O BB foi criado em 1980.(II) Faça seu trabalho corretamente.(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.8) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬ T)é falsa.9) A proposição simbólica ( )P Q R∧ ∨ possui, no máximo, 4 avaliações V.10) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição(P ∧ R) → (¬ Q) é verdadeira.11) Determine o valor verdade da sentença[A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)].Sabendo-se que: VAL (A) = V, VAL (B) = F e VAL (C) = VResposta: {[ A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)]} = FObs.:Doravante nos exercícios usaremos a notação VAL(X) para representar o valor verdade de X.12) Determinar o valor da sentença A → [(¬ B ↔C) ∧ (C ∨ D)], sabendo-se que:VAL (A) = V, VAL (B) = F, VAL (C) = F e VAL (D) = VResposta: VAL {A → [(¬ B ↔ C) ∧ (C ∨ D)]} = FTAUTOLOGIASão moléculas que possuem o seu valor verdade sempre verdadeiro independentemente dosvalores lógicos das proposições (átomos) que as compõem. Para verificar se umaproposição é uma tautologia basta fazer a tabela verdade da proposição. Se todos os valoresda proposição forem verdadeiros teremos uma tautologia.Exemplo:16) Assinale quais das proposições abaixo são tautologias.a) (p ∨ ¬p)b) (p → p)c) ¬(¬p) ↔ pSoluçãoa) (p ∨ ¬p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira. Veja a tabela verdade:p ¬p p ∨ ¬pV F VF V V
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org10b) (p → p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira. Veja a tabela verdade:p p → pV VF Vc) ¬(¬p) ↔ p é uma tautologia, pois é sempre verdadeira. Veja a tabela verdade:p (¬p) ¬(¬p) ¬(¬p) ↔ pV F V VF V F VCONTRADIÇÕESSão moléculas que são sempre falsas, independentemente do valor lógico das proposições(átomos) as compõem. Para verificar se uma proposição é uma contradição basta fazer atabela verdade da proposição. Se todos os valores da proposição forem falsos teremos umacontradição.Exemplo:17) Assinale quais das proposições abaixo são contradições.a) (p ∧ ¬p) b) (p ↔ ¬p)Soluçãoa) (p ∧ ¬p) é uma contradição, pois é sempre falsa. Veja a tabela verdade:p ¬p p ∧ ¬pV F FF V Fb) (p ↔ ¬p) é uma contradição, pois é sempre falsa. Veja a tabela verdade:p ¬p p ↔ ¬pV F FF V FCONTINGÊNCIASão moléculas em que os valores lógicos dependem dos valores das proposições (átomos).Para verificar se uma proposição é uma contingência basta fazer a tabela verdade daproposição. Se os valores da proposição forem alguns verdadeiros e outros falsos teremosuma contingência.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org11Exemplo:18) Assinale quais das proposições abaixo são contingências.a) ¬p ∨ ¬q b) ¬p ∨ qSoluçãoa) ¬p ∨¬q é uma contingência, pois pode ser falsa ou verdadeira. Veja a tabelaverdade:b) ¬p∨q é uma contingência, pois pode ser falsa ou verdadeira. Veja a tabela verdade:EQUIVALÊNCIA LÓGICADuas moléculas são equivalentes se elas possuem as mesmas tabelas verdade. Para verificarse duas proposições são equivalentes basta calcular a tabela verdade de cada uma, se astabelas forem iguais elas são equivalentes.Exemplo:19) Assinale se as proposições abaixo são equivalentes.a) ¬(p∧q) é equivalente a (¬p∨ ¬q)b) ¬(p∨q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q)c) (p→q) é equivalente a (¬p∨q)d) (p→q) é equivalente a (¬q → ¬p)Soluçãoa) ¬(p∧q) é equivalente a (¬p∨ ¬q). Veja que as tabelas-verdade são iguais.p q ¬p ¬q ¬p ∨ ¬qV V F F FV F F V VF V V F VF F V V Vp q ¬p ¬p ∨ qV V F VV F F FF V V VF F V Vp q (p∧q) ¬(p∧q) ¬p ¬q (¬p∨ ¬q)V V V F F F FV F F V F V VF V F V V F VF F F V V V V
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org12b) ¬(p∨q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q). Veja que as tabelas-verdade são iguais.c) (p→q) é equivalente a (¬p∨q). Veja que as tabelas-verdade são iguais.d) (p→q) é equivalente a (¬q → ¬p). Veja que as tabelas-verdade são iguais.p q (p→q) ¬q ¬p (¬q → ¬p)V V V F F VV F F V F FF V V F V VF F V V V VObservações:Sobre o emprego dos parênteses é importante convencionar que o ¬ afeta aproposição mais próxima à sua direita. Deste modo a proposição (¬p ∨ q) é uma disjunção,pois o não(¬) só afeta a proposição p. Por outro lado ¬(p ∨ q) é uma negação pois onão(¬) só afeta a proposição (p ∨ q). Vale a pena ressaltar que os conectivos ∨, ∧ e o ∨têm prioridade sobre o → e o ↔.É conveniente que o aluno tenha conhecimento de algumas equivalênciasimportantes. Abaixo fornecemos uma tabela de equivalências:EQUIVALÊNCIAS IMPORTANTES:a) (p∨q) é equivalente a (q∨p)b) (p∧q) é equivalente a (q∧p)c) (p ↔ q) é equivalente a (q ↔ p)d) (p→q) é equivalente a (¬p∨q)e) (p→q) é equivalente a (¬q → ¬p)p q (p∨q) ¬(p∨q) ¬p ¬q (¬p ∧ ¬q)V V V F F F FV F V F F V FF V V F V F FF F F V V V Vp q (p→q) ¬p (¬p∨q)V V V F VV F F F FF V V V VF F V V V
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org13f) ¬(p∧q) é equivalente a (¬p∨ ¬q)g) ¬(p∨q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q)h) ¬(¬p) é equivalente a pi) ¬ (¬(¬p)) é equivalente a (¬p)j) ¬ (p→q) é equivalente a (p ∧ ¬q)l) ¬ (p ↔ q) é equivalente a (p ↔ ¬q)Sabemos que duas proposições são equivalentes se e somente se elas possuem amesma tabela verdade. Sendo assim se relacionarmos duas proposições equivalentesatravés do conectivo ↔(bi-condicional) teremos uma tautologia. Abaixo fornecemos umatabela das principais tautologias para os concursos públicos:TAUTOLOGIAS IMPORTANTES:a) (p ∨ ¬p)b) (p → p)c) (p ↔ p)c) ¬(¬p) ↔ pd) (p→q) ↔ (¬p∨q)e) (p→q) ↔ (¬q → ¬p) (Contra-positiva)f) ¬(p∧q) ↔ (¬p∨ ¬q) (Morgan)g) ¬(p∨q) ↔ (¬p ∧ ¬q) (Morgan)h) ¬(¬p) ↔ pi) ¬ (p→q) ↔ (p ∧ ¬q)j) ¬ (p ↔ q) ↔ (p ↔ ¬q)Exercícios Propostos13) Assinale quais das sentenças abaixo são proposições:a) O Professor Joselias é bonito.b) O Brasil é um País da América do Sul.c) A Receita Federal pertence ao Poder Judiciário.d) Que belo dia!e) Boa sorte!f) Joselias é um bom professor?g) Que horas são?h) O jogo terminou empatado?i) Faça seu trabalho corretamente.j) Estude e limpe o quarto.l) Esta frase é falsa
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org14m) 2 + 3 > 5n) x + y > 5o) A terra é um planeta.p) x é um planeta.14) (FGV) A proposição ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) representa um:a. Contradiçãob. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.A15) (FGV) A proposição ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) representa um:a. Contradiçãob. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.A16) A proposição (¬p ∨ q) ↔ (p → q) representa um:a. Contradiçãob. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.A17) A proposição (p → q) ↔ (¬q → ¬p) representa um:a. Contradiçãob. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.A18) A proposição (p ∨ ¬p) representa um:a. Contradiçãob. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.A19) A proposição (p ∧ ¬p) representa um:a. Contradição
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org15b. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.A20) A proposição ¬ (¬p) ↔ p representa um:a. Contradiçãob. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.A21) A proposição ¬ (¬ (¬p)) ↔ ¬p representa um:a. Contradiçãob. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.A22) (FGV) – Quando se afirma que P → Q (P implica Q) então:a. Q é condição suficiente para P.b. P é condição necessária para Q.c. Q não é condição necessária para Pd. P é condição suficiente para Q.e. P não é condição suficiente nem necessária para Q.23) Uma sentença lógica equivalente a “Se Pedro é economista, então Luisa ésolteira.” é:a) Pedro é economista ou Luisa é solteira.b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira.c) Se Luisa é solteira, Pedro é economista.d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira.e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista.24) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamenteequivalente a dizer que:a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheirod) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.e) André não é artista e Bernardo é engenheiro
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org1625) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico,o mesmo que dizer que:a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulistab) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiroc) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulistad) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulistae) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista26) A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é:a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuvab) não está chovendo e eu levo o guarda-chuvac) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuvad) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuvae) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva27) (FCC-ICMS-SP)Se p e q são proposições, então a proposição éequivalente a28) (FCC-ICMS-SP)Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente aé29) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a (~p∧~q) éa) ~(p ∨ q)b) (~p ∧ q)c) (p ∨ q)d) (p ∧ ~q)e) (~p ∨ q)IMPLICAÇÕES
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org17(p → q)Condições necessárias e suficientes:Na proposição condicional (p → q) denotamos a proposição p como antecedente ea proposição q como conseqüente . A proposição antecedente p é chamada de condiçãosuficiente para a proposição conseqüente q, e a proposição conseqüente q é chamada decondição necessária para p.Exemplo:19) Sejam as proposições:p = “ Joselias é carioca”.q = “Joselias é brasileiro”.Temos que a proposição p → q representa a seguinte sentença: “Se Joselias é cariocaentão Joselias é brasileiro”.Podemos dizer que a sentença “Joselias é carioca” é condição suficiente para asentença “Joselias é brasileiro”. Por outro lado a sentença “Joselias é brasileiro” écondição necessária para a sentença “Joselias é carioca”.A proposição (p → q) é lida de várias maneira distintas, como segue:a) Se p, então q.b) Se p, q.c) q, se pd) p implica q.e) p acarreta q.f) p é suficiente para q.g) q é necessário para p.h) p somente se q.i) p apenas se q.Exemplo:20) A proposição “Se ele me ama, então casa comigo” pode ser enunciada também dasseguintes maneiras:a) “Se ele me ama, então casa comigo”.b) “Se ele me ama, casa comigo”.c) “Ele casa comigo, se ele me ama”.d) “Ele me ama implica em casa comigo”.e) “Ele me ama carreta casa comigo”.f) “Ele me amar é suficiente para casar comigo”.g) “ Casar comigo é necessário para me amar”.h) “Ele me ama somente se casa comigo”.i) “Ele me ama apenas se casa comigo”.Recíproca contrária e contra-positiva:Se p e q são proposições então:
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org18a) Chamamos de recíproca de (p → q) a proposição (q → p).b) Chamamos de contrária de (p → q) a proposição (¬p → ¬q).c) Chamamos de contra-positiva de (p → q) a proposição (¬q → ¬p).Exemplo:21) Considere a sentença condicional “Se Joselias é carioca então Joselias ébrasileiro”. Temos então:a) A recíproca é “Se Joselias é brasileiro então Joselias é carioca”.b) A contrária é “Se Joselias não é carioca então Joselias não é brasileiro”.c) A contra-positiva é “Se Joselias não é brasileiro então Joselias não é carioca”.Equivalência de (p → q):Entre as equivalências da proposição (p → q) destacamos algumas das maisfreqüentes:a) (p → q) é equivalente a (¬p ∨ q).Isto quer dizer que “(Se p então q) é equivalente a (não p ou q)”. Podemos entãoafirmar que a sentença “Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Ele não meama ou casa comigo”.b) (p → q) é equivalente a (¬q → ¬p) (contra-positiva)Isto quer dizer que “(Se p, então q) é equivalente a (Se não q, então não p)”.Podemos então afirmar que a sentença “Se ele me ama, então casa comigo” é equivalentea “Se ele não casa comigo, então ele não me ama”.c) ¬ (p → q) é equivalente a (p ∧ ¬q)Isto quer dizer que a negação de (Se p, então q) é equivalente a (p e não q).Podemos então afirmar que a negação da sentença “Se ele me ama, então casa comigo” éequivalente a “Ele me ama e não casa comigo”BI-CONDICIONAL(IMPLICAÇÃO DUPLA)(p ↔ q)Na proposição bicondicional (p ↔ q) denotamos a proposição p como antecedente e aproposição q como conseqüente . A proposição antecedente p é chamada de condiçãonecessária e suficiente para a proposição conseqüente q, e a proposição conseqüente q échamada de condição necessária e suficiente para p.Exemplo:22) Sejam as proposições:p = “ Joselias é carioca”.q = “Joselias é brasileiro”.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org19Temos que a proposição (p ↔ q) representa a seguinte sentença: “Joselias é carioca se esomente se Joselias é brasileiro”.Podemos dizer que a sentença “Joselias é carioca” é condição necessária esuficiente para a sentença “Joselias é brasileiro”. Por outro lado a sentença “Joselias ébrasileiro” é condição necessária e suficiente para a sentença “Joselias é carioca”.A proposição (p ↔ q) é lida de várias maneira distintas, como segue:a) p se e somente se q.b) p se e só se q.c) p é condição necessária e suficiente para qe p é equivalente a qExemplo:23) A proposição “Se ele me ama se e somente se casa comigo” pode ser enunciadatambém das seguintes maneiras:a) “Se ele me ama se e somente se casa comigo”.b) “Se ele me ama se e só se casa comigo”.c) “Ele me ama é condição necessária e suficiente para ele casa comigo”.d) “Ele me ama é equivalente a ele casa comigo”.Equivalência de (p ↔ q):Entre as equivalências da proposição (p ↔ q) destacamos algumas das maisfreqüentes:a) (p ↔ q) é equivalente a (p → q) ∧(q → p).Isto quer dizer que “(p se e somente se q ) é equivalente a (Se p então q) e (Se qentão p)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casacomigo” é equivalente a “Se ele me ama então casa comigo, e se ele casa comigo entãoele me ama”.b) (p ↔ q) é equivalente a (¬q ↔ ¬p) (contra-positiva)Isto quer dizer que “(p se somente se q) é equivalente a (não q se e somente senão p)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casacomigo” é equivalente a “Ele não casa comigo se e somente se ele não me ama”.c) (p ↔ q) é equivalente a (q ↔ p) (recíproca)Isto quer dizer que “(p se somente se q) é equivalente a (q se somente se p)”.Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casa comigo” éequivalente a “Ele casa comigo se e somente se ele me ama”.d) (p ↔ q) é equivalente a (¬p ↔ ¬q) (contrária)Isto quer dizer que (p se somente se q) é equivalente a (não p se e somente se nãoq)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casa comigo” éequivalente a “Ele não me ama se e somente se ele não casa comigo”
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org20d) ¬ (p ↔ q) é equivalente a (p ↔¬q)Isto quer dizer que a negação de (p se e somente se q) é equivalente a (p sesomente se não q) Podemos então afirmar que a negação da sentença “Se ele me ama se esomente se casa comigo” é equivalente a “Ele me ama se somente se não casa comigo”.OU EXCLUSIVOp∨ q(ou p ou q mas não ambos)A proposição p∨ q representará a disjunção exclusiva(ou exclusivo), e significaou p ou q mas não ambos. A tabela verdade desta proposição composta será F quandoambos p e que forem verdadeiros ou ambos falsos, caso contrário será verdadeira. Assimteremos a seguinte tabela verdade:p q p∨ qV V FV F VF V VF F FExemplo:24) Sejam as proposições:p = “Eu trabalho”q = “Eu estudo”A proposição p∨ q significa “Ou eu trabalho ou estudo, mas não ambos”.Equivalência de p∨ q:Entre as equivalências da proposição p∨ q destacamos algumas das maisfreqüentes:a) p ∨ q é equivalente a (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q).Isto quer dizer que (p ou q, mas não ambos) é equivalente a (p e não q) ou (não pe q)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama ou casa comigo, mas nãoambos” é equivalente a “Ele me ama e não casa comigo, ou ele não me ama e casacomigo”.b) ¬(p ↔ q) é equivalente a p ∨ q.Isto quer dizer que a negação de (p se e somente se q) é equivalente a (p ou q,mas não ambos). Podemos então afirmar que a negação da sentença “Ele me ama se e
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org21somente se casa comigo” é equivalente a “Ele me ama ou casa comigo, mas nãoambos”.NEGAÇÃO(¬, ~)A proposição ¬p representa a negação da proposição p. Se a proposição p éverdadeira então a proposição ¬p é falsa. Se a proposição p é falsa então a proposição¬p é verdadeira. Sendo assim a negação da sentença p= “Eu estudo” é ¬p = “Eu nãoestudo”.Conforme as equivalências podemos negar as proposições compostas conforme oquadro abaixo:PROPOSIÇÃO NEGAÇÃOp ¬p(¬p) p(p ∨ q) (¬p ∧ ¬q)(p ∧ q) (¬p ∨ ¬q)( p→ q) ( p ∧ ¬q )(p ↔ q) (p ↔ ¬q)(p ↔ q) p ∨ q.Exemplos:25) Conforme o quadro acima podemos negar as sentenças da seguinte forma:a) A negação da sentença “ Eu trabalho” é “Eu não trabalho”b) A negação da sentença “ Eu trabalho ou estudo” é “Eu não trabalho e não estudo”c) A negação da sentença “ Eu trabalho e estudo” é “Eu não trabalho ou não estudo”.d) A negação da sentença “ Se eu trabalho então estudo” é “Eu trabalho e nãoestudo”.e) A negação da sentença “ Eu trabalho se e somente se estudo” é “Eu trabalho sesomente se não estudo”.f) A negação da sentença “ Eu trabalho se e somente se estudo” é “Ou trabalho ouestudo, mas não ambos”.26) (CESGRANRIO)Uma proposição logicamente equivalente a “Se eu me chamoAndré, então eu passo no vestibular.” é:(A) Se eu não me chamo André, então eu não passo no vestibular.(B) Se eu passo no vestibular, então me chamo André.(C) Se eu não passo no vestibular, então me chamo André..(D) Se eu não passo no vestibular, então não me chamo André.(E) Eu passo no vestibular e não me chamo André.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org22SoluçãoSejam as proposições:p = “Eu me chamo André”.q = “Eu passo no vestibular”.Sendo assim a sentença:“Se eu me chamo André, então eu passo no vestibular.”( p → q)é equivalente a(¬q → ¬p)(Se eu não passo no vestibular, então não me chamo André).Resposta: D27) (CESGRANRIO) A negação de “se hoje chove então fico em casa” é:(A) hoje não chove e fico em casa..(B) hoje chove e não fico em casa.(C) hoje chove ou não fico em casa.(D) hoje não chove ou fico em casa.(E) se hoje chove então não fico em casa.SoluçãoSejam as proposições:p = “Hoje chove”.q = “Fico em casa”.Sendo assim a negação da sentença sentença:¬ (Se hoje chove então fico em casa)¬ ( p → q)é equivalente a( p ∧ ¬q )(Hoje chove e não fico em casa)Resposta: B28) (CESGRANRIO) Considere as fórmulas:I - (p ∧ q) → pII - (p ∨ q) → pIII - (p ∧ q) → (p ∨ q)É(São) tautologia(s) a(s) fórmula(s):(A) I, somente.(B) II, somente.(C) III, somente.(D) I e III, somente.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org23(E) I, II e III.SoluçãoConsidere a tabela verdade abaixo:p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → p (p ∨ q) → p (p ∧ q) → (p ∨ q)V V V V V V VV F F V V V VF V F V V F VF F F F V V VObserve que somente I e III são tautologias.Resposta: DExercícios Propostos30) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a (~p ∨ ~q) éa) ~(p ∨ q)b) ~ (p ∧ q)c) (p ∨ q)d) (p ∧ ~q)e) (~p ∨ q)31) Assinale qual das alternativas abaixo representa uma contradição.a) (p ∨ q) → (p ∧ q)b) (p ∨ q) → qc) (~p ∨ p) → (~p ∧ p)d) p→ (p ∧ q)e) p→ (p ∨ q)32)Assinale qual das alternativas abaixo representa uma tautologia.a) (~p ∨ p) → qb) (p ∨ q) → (p ∧ q)c) (p ∨ q) → qd) p→ (p ∧ q)e) p→ (p ∨ q)33) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.p q ?V V FV F FF V VF F F
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org24A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação éa) (p ∧ q)b) (~p ∧ ~q)c) (p ∧ ~q)d) (~p ∧ q)e) (p → q)34) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.p q ?V V FV F FF V FF F VA proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação éa) (p ∧ q)b) (~p ∧ ~q)c) (p ∧ ~q)d) (~p ∧ q)e) (p → q)35) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Suatabela-verdade ép q r sV V V FV V F VV F V VF V V FV F F FF V F FF F V FF F F FUsando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentençasequivalentes a s. Uma dessas sentenças éa. [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)]b. [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)]c. [p∧ q ∧ (~r)] ∨ [p ∧ (~q) ∧ r]d. [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r]e. ~ [p ∧ q ∧ r]36) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org25p q ?V V VV F VF V VF F FA proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação éa) (p ∨ q)b) (~p ∧ ~q)c) (p ∧ ~q)d) (~p ∧ q)e) (p → q)37) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Suatabela-verdade ép q r sV V V VV V F VV F V FF V V FV F F VF V F VF F V VF F F VUsando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentençasequivalentes a s. Uma dessas sentenças éa. [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)]b. [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)]c. [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r]d. [p ∨ q ∨ r]e. ~ [p ∧ q ∧ r]38) Considere as afirmações abaixo.I – Se p e q são proposições então ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ é uma tautologia.II - Se p e q são proposições então ( ) )p q q→ ∨ ∼ é uma tautologia.III – Se p e q são proposições então a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ .É verdade o que se afirma APENAS ema. I.b. II e IIIc. I e III.d. I e II.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org26e. I, II e III.39) Considere as afirmações abaixo.I – Se p e q são proposições então a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ .II - Se p e q são proposições então a contrária de ( )p q→ é ( )p q→∼ ∼ .III – Se p e q são proposições então a contra-positiva de ( )p q→ é ( )q p→∼ ∼ .É verdade o que se afirma APENAS ema. I.b. II e IIIc. I e III.d. I e II.e. I, II e III.40) A proposição ( ) [( ) ( )]p q p q p q↔ ↔ ∧ ∨ ∧∼ ∼ ∼ representaum:(A) Contradição(B) Contingência(C) Tautologia(D) Dilema(E) Inconsistência41) A proposição ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ representa um:(A) Contradição(B) Contingência(C) Tautologia(D) Dilema(E) Inconsistência42) Considere a seguinte declaração:Ou o presidente não sabia, ou houve desacato a autoridade, mas não ambos.Assinale a alternativa que apresenta a negação formal desta declaração.a. Para que tenha havido desacato a autoridade é necessário e suficiente que o presidentesabia.b. Ou o presidente sabia, ou não houve desacato a autoridade, mas não ambos.c. Para que não tenha havido desacato a autoridade é necessário e suficiente que opresidente sabia.d. Se não houve desacato a autoridade então o presidente sabia.e. Se o presidente sabia então houve desacato a autoridade.43) A proposição ( ) [( ) ]p q p r q→ ↔ ∧ → representa um:(A) Contradição
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org27(B) Contingência(C) Tautologia(D) Dilema(E) Inconsistência44) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos osaldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente paraque a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinteproposição:(A) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.(B) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.(C) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.(D) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.(E) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.45) A proposição ( )p p p→ ↔∼ representa um:(A) Contradição(B) Contingência(C) Tautologia(D) Dilema(E) Inconsistência46) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está emParis” é logicamente equivalente à afirmação:(A) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’.(B) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’.(C) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’.(D) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’.(E) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’.Sentenças Abertas e Sentenças GeraisConforme vimos nas páginas anteriores, as proposições são declarações que podemreceber o atributo verdadeiro ou falso. Sendo assim as sentenças abaixo são proposições:a) Joselias é um professor.b) 2 é um número natural.c) 4 + 6 > 10Podemos pensar nas seguintes sentenças abertas, que não podem receber o atributoverdadeiro ou falso:1) X é um professor.2) n é um número natural.3) x + y >10
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org28Concluímos que se atribuirmos um valor para as variáveis X, n, x e y, nas sentençasabertas acima, poderíamos ter, por exemplo, as proposições dos casos anteriores a, b e crespectivamente. Existe outra maneira de transformarmos as sentenças abertas emproposições, que consiste no uso do quantificador universal e do quantificador existencial.Quantificador universal:∀ - Significa “Para todo ...”, “Qualquer que seja ...”.Quantificador Existencial:∃ - Significa “Existe ...”, “Há um ...”.Utilizando-se os quantificadores podemos transformar as sentenças abertas emproposições falsas ou verdadeira, por exemplo:a) A sentença “ n∃ ∈ , n é um número natural” é uma proposição verdadeira.b) A sentença “( )( )( )10x y x y∀ ∈ ∀ ∈ + > ” é uma proposição falsa.As proposições que iniciam com os quantificadores são chamadas de sentenças gerais.As negações das sentenças gerais podem ser feitas da seguinte maneira:Sejam Px, Qx, Rx,... sentenças abertas de variável x.Então temos:( )( )x Px¬ ∀ é equivalente a ( )( )x Px∃ ¬( )( )x Px¬ ∃ é equivalente a ( )( )x Px∀ ¬( )( )x Px Qx¬ ∀ → é equivalente a ( )( )x Px Qx∃ ∧ ¬( )( )x Px Qx¬ ∀ ∨ é equivalente a ( )( )x Px Qx∃ ¬ ∧ ¬( )( )x Px Qx¬ ∀ ∧ é equivalente a ( )( )x Px Qx∃ ¬ ∨ ¬Número de linha da tabela verdadeÈ comum questões de concursos perguntarem sobre o número de linhas da tabelaverdade. No momento vamos apenas deixar algumas fórmulas, que serão demonstradas nocapítulo de análise combinatória:O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta de nproposições simples é 2n.Aproveitamos também para esclarecer que o número de proposições nãoequivalentes a uma proposição composta de n proposições simples é22n.Exemplos:29) (ICMS_SP_VUNESP)Considere as seguintes frases:I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org29II.5x y+é um número inteiro.III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.É verdade que APENAS(A)) I e II são sentenças abertas.(B) I e III são sentenças abertas.(C) II e III são sentenças abertas.(D) I é uma sentença aberta.(E) II é uma sentença aberta.SoluçãoI é uma sentença aberta definida no conjunto de jogadores do mundo.II é uma sentença aberta, pois pode apresentar várias soluções inteiras ou não.Logo apenas I e II são sentenças abertas e III é uma proposição.Opção correta A30) Escreva as sentenças a seguir na linguagem usual:a) ( )( )( )2x y x y∀ ∈ ∃ ∈ + <b) ( )( )( )2 20x y x y∀ ∈ ∀ ∈ + ≥Soluçãoa) Para todo número x pertencente ao conjunto do números reais existe um número ytambém pertencente ao conjunto dos reais tal que x + y <2.b) Para qualquer números x e y pertencentes ao conjunto dos números reais temos que2 20x y+ ≥ .31) (CESGRANRIO) Sendo A e B conjuntos, considere a afirmação:“para todo x∈ A, existe y ∈B tal que x<y”.Negar tal afirmação equivale a afirmar que:(A) para todo x∈A, existe y∈B tal que x > y.(B) para todo x∈A, existe y∈B tal que x≥ y.(C) existe x∈A tal que, para todo y∈B, x > y.(D) existe x∈A tal que, para todo y ∈B, x ≥ y.(E) existem x∈A e y∈B tais que x≥ y.Solução( )para todo x A, existe y B tal que x<y¬ ∈ ∈( )( x A)( y B)(x<y)¬ ∀ ∈ ∃ ∈( x A)( ( y B)(x<y))∃ ∈ ¬ ∃ ∈( x A)(( y B) (x<y))∃ ∈ ∀ ∈ ¬( x A)(( y B)(x y))∃ ∈ ∀ ∈ ≥
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org30“existe x∈A tal que, para todo y ∈B, x ≥ y”Opção correta: DExercícios Propostos47) Sendo " "x∈ a proposição “x é um número real” e " "x∈ a proposição “x éum número natural”, podemos afirmar que a negação da sentença “ todos os númerosreais são naturais” e:a) ( )( )x x x∀ ∉ → ∉b) ( )( )x x x∀ ∈ ∨ ∉c) ( )( )x x x∃ ∈ ∧ ∈d) ( )( )x x x∃ ∈ ∧ ∉e) ( )( )x x x∃ ∉ ∧ ∉48)Podemos afirmar que o número de linhas da tabela-verdade para proposiçõescompostas de três átomos é:a) 3b) 4c) 6d) 8e) 949) Podemos afirmar que o número de linhas da tabela-verdade para proposiçõescompostas de n átomos é:a) 2b) 2nc) 2nd) 3ne) 3n50) A negação da proposição ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∀ ∀ + < → ≥ ∨ < é:a) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∀ + ≥ → < ∨ ≥b) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < → < ∧ ≥c) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < ∧ < ∧ ≥d) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∀ ∃ + ≥ → ≥ ∧ ≥e) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + ≥ ∧ < ∨ ≥51) Assinale a opção correta:a) Uma condição necessária para que um número seja maior do que 2 é que ele sejapositivo.b) Uma condição suficiente para que um número seja maior do que 2 é que ele sejapositivo.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org31c) Uma condição necessária e suficiente para que um número seja maior do que 2 é que eleseja positivo.d) Toda condição suficiente para que um número seja positivo é também suficiente paraque seja maior que 2.e) Nenhuma das opções anteriores.52) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposiçõesnão equivalentes de um átomo é:a) 3b) 4c) 6d) 8e) 953) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposiçõesnão equivalentes de dois átomos é:a) 4b)8c) 9d) 16e) 2054) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposiçõesnão equivalentes de três átomos é:a) 16b) 32c) 64d) 128e) 25655) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposiçõesnão equivalentes de n átomos é:a) nb) 2nc) 2nd) 22ne) 22 n56) Sabe-se que se 4>x então 2=y . Podemos daí concluir que:a) Se 4<x então 2≠y .b) Se 4≤x então 2≠y .c) Se 2=y então 4>x .
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org32d) Se 2≠y então 4≤x .e) Se 2≠y então 4<x .57) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Suatabela-verdade ép q r sV V V VV V F VV F V VF V V VV F F VF V F VF F V VF F F FUsando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentençasequivalentes a s. Uma dessas sentenças éa) [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)]b) [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)]c) [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r]d) [p ∨ q ∨ r]e) ~ [p ∧ q ∧ r]58) A negação da proposição " 3 2"x y≠ ∧ < é:a) " 3 2"x y= ∧ ≥b) " 3 2"x y= ∧ >c) " 3 2"x y= ∨ ≥d) " 2 3"x y≠ ∧ <e) " 3 2"x y≠ ∨ <59) Duas grandezas x e y são tais que “se x = 3 então y = 7”. Pode-se concluir que:a) se 3x ≠ então 7y ≠b) se 7y = então 3x =c) se 7y ≠ então 3x ≠d) se 7y > então 3x =e) 3x ≠ ou 7y ≠60) (CESGRANRIO) Considere verdadeira a proposição: “Marcela joga vôlei ouRodrigo joga basquete”. Para que essa proposição passe a ser falsa:(A) é suficiente que Marcela deixe de jogar vôlei.(B) é suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete.(C) é necessário que Marcela passe a jogar basquete.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org33(D) é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete.(E) é necessário que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar vôlei.61) (CESGRANRIO) A negação de “João sempre vai de carro para o trabalho” é:(A) “João sempre vai a pé para o trabalho”.(B) “João nunca vai de carro para o trabalho”.(C) “João, às vezes, não vai de carro para o trabalho”.(D) “João, às vezes, vai a pé para o trabalho”.(E) “João nunca vai a pé para o trabalho”.62) (CESGRANRIO) A negação de “não sabe matemática ou sabe português” é:(A) não sabe matemática e sabe português.(B) não sabe matemática e não sabe português.(C) sabe matemática ou sabe português.(D) sabe matemática e não sabe português.(E) sabe matemática ou não sabe português.A expressão ( )( )( )( , )x y P x y∃ ∀ é uma fórmula sintaticamente correta da lógica depredicados clássica. Diz-se que uma tal fórmula é semanticamente válida quando assuas variáveis x e y e o predicado P têm alguma interpretação que os verifique.Quanto a esse assunto, julgue o item subseqüente.63) ( CESPE) Se x e y assumem valores no conjunto dos números inteiros e opredicado P(x, y) é interpretado como x < y, então a fórmula é semanticamente válida.ARGUMENTOSArgumento é um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal quealgumas delas acarretam ou tem como conseqüência outra proposição. Isto é, o conjunto deproposições p1, p2, p3, . . . , pn que tem como conseqüência outra proposição q.Chamaremos as proposições p1, p2, p3, . . . , pn de premissas do argumento, e a proposiçãoq de conclusão do argumento.Podemos representar por:p1p2p3...pn∴qExemplos:32) Se eu passar no concurso, então irei trabalhar.Passei no concurso
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org34∴ Irei Trabalhar33) Se ele me ama então casa comigo.Ele me ama∴ Ele casa comigo34) Todos os brasileiros são humanos.Todos os paulistas são brasileiros.∴Todos os paulistas são humanos35) Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho.Se o Palmeiras não ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho .∴Todos os jogadores receberão o bichoNOTAÇÃO: No caso geral representaremos os argumentos escrevendo as premissas eseparando por uma barra horizontal seguida da conclusão com três pontos antes.Veja exemplo extraído do Irving M. Copi.Premissa: Todos os sais de sódio são substâncias solúveis em água.Todos os sabões são sais de sódioConclusão: ∴Todos os sabões são substâncias solúveis em água.VALIDADE DE UM ARGUMENTOConforme citamos anteriormente uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de umargumento diremos que ele é válido ou não válido.A validade é uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura)lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. Sendoassim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos:a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira.Exemplo:36)Todos os apartamentos são pequenos. ( V )Todos os apartamentos são residências. ( V )∴ Algumas residências são pequenas. ( V )b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira.Exemplo:37)
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org35Todos os peixes têm asas. ( F )Todos os pássaros são peixes. ( F )∴ Todos os pássaros têm asas. ( V )c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa.Exemplo:38)Todos os peixes têm asas. ( F )Todos os cães são peixes. ( F )∴ Todos os cães têm asas. ( F )Todos os argumentos acima são válidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras então asconclusões também as seriam.Podemos dizer que um argumento é válido se quando todas as suas premissas sãoverdadeiras acarreta que sua conclusão também é verdadeira. Portanto um argumento seránão válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusãofalsa.Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados.Exemplo:39)Todas as mulheres são bonitas.Todas as princesas são mulheres.∴ Todas as princesas são bonitas.Observe que não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto paraconcluir que o argumento acima é válido. Vamos substituir mulheres, bonitas e princesaspor A, B e C respectivamente e teremos:Todos os A são B.Todos os C são A.∴ Todos os C são B.Logo o que é importante é a forma do argumento e não o conhecimento de A, B e C, istoé, este argumento é válido para quaisquer A, B e C e portanto a validade é conseqüênciada forma do argumento. O atributo Validade aplica-se apenas aos argumentos dedutivos.ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOSOs argumentos são divididos em dois grupos:• dedutivos• indutivosO argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva daveracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão écompletamente derivada das premissas.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org36Exemplo:40)Todo ser humano têm mãe.Todos os homens são humanos.∴Todos os homens têm mãe.O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo pararatificar as conclusões.Exemplo:41)O Flamengo é um bom time de futebol.O Palmeiras é um bom time de futebol.O Vasco é um bom time de futebol.O Cruzeiro é um bom time de futebol.∴Todos os times brasileiros de futebol são bons.Portanto nos argumentos indutivos a conclusão possui informações que ultrapassam asfornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentosválidos ou não válidos para argumentos indutivos.ARGUMENTOS DEDUTIVOS VÁLIDOSVimos então que a noção de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aosargumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento enão dos respectivos valores verdades das premissas. Vimos também que não podemos terum argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. A seguirexemplificaremos alguns argumentos dedutivos válidos importantes.AFIRMAÇÃO DO ANTECEDENTEO primeiro argumento dedutivo válido que discutiremos chama-se “afirmação doantecedente” , (também conhecido como modus ponens).Então vejamos:Exemplo:42)Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço.José foi reprovado no concurso.∴ José será demitido do serviço.Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma:Se p, então q.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org37p.∴ q.oup q→p∴ qNEGAÇÃO DO CONSEQUENTEOutro argumento dedutivo válido é a “negação do conseqüente” (também conhecido comomodus tollens).Obs.: Vimos nas páginas anteriores que ( )p q→ é equivalente a ( )q p¬ → ¬ . Estaequivalência é chamada de contra-positiva.Exemplo:43)“Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Se ele não casa comigo, entãoele não me ama”.Então vejamos o exemplo do modus tollens.Exemplo:44)• Se aumentamos os meios de pagamentos, então haverá inflação.• Não há inflação∴Não aumentamos os meios de pagamentos.Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:Se p, então q.Não q.∴ Não p.oup q→q¬∴ p¬
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org38Existe também um tipo de argumento válido conhecido pelo nome de dilema. Geralmenteeste argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativasindesejáveis.Exemplo:45)João se inscreveu no concurso de MS, porém não gostaria de sair de São Paulo, e seuscolegas de trabalho estão torcendo por ele.Eis o dilema de João:• Ou João passa ou não passa no concurso.– Se João passar no concurso vai ter que ir embora de São Paulo.– Se João não passar no concurso ficará com vergonha diante dos colegas de trabalho.∴Ou joão vai embora de São Paulo ou João ficará com vergonha dos Colegas detrabalho.Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:p ou q.Se p então r.Se q então s.∴ r ou soup q∨p r→q s→∴ r s∨ARGUMENTOS DEDUTIVOS NÃO VÁLIDOSOs argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissasde qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. Assim podemos ter, porexemplo, argumentos não-válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém aspremissas não sustentam a conclusão.Exemplo:46)Todos os mamíferos são mortais. ( V )Todos os gatos são mortais. ( V )∴Todos os gatos são mamíferos. ( V )Este argumento tem a forma:Todos os A são B
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org39Todos os C são B∴Todos os C são APodemos facilmente mostrar que este argumento é não-válido, pois as premissas nãosustentam a conclusão, e veremos então que podemos ter as premissas verdadeiras e aconclusão falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamífero, B por mortais e C porcobra.Todos os mamíferos são mortais. ( V )Todos os as cobras são mortais. ( V )∴ Todas as cobras são mamiferas. ( F )FALÁCIA DA AFIRMAÇÃO DO CONSEQUENTECom as premissas verdadeiras e a conclusão falsa nunca teremos um argumento válido,então este argumento é não-válido, chamaremos os argumentos não-válidos de falácias. Aseguir examinaremos algumas falácias conhecidas que ocorrem com muita freqüência. Oprimeiro caso de argumento dedutivo não-válido que veremos é o que chamamos de“falácia da afirmação do conseqüente”.Exemplo:47)Se ele me ama então ele casa comigo.Ele casa comigo.∴Ele me ama.Podemos escrever este argumento como:Se p, então q.q.∴ p.oup q→q∴ pEste argumento é uma falácia, podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.FALÁCIA DA NEGAÇÃO DO ANTECEDENTEOutra falácia que ocorre com freqüência é a conhecida por “falácia da negação doantecedente”.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org40Exemplo:48)Se João parar de fumar ele engordará.João não parou de fumar.∴João não engordará.Observe que temos a forma:Se p, então q.Não p.∴ Não q.oup q→p¬∴ q¬Este argumento é uma falácia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusãofalsa.PROPOSIÇÕES UNIVERSAIS E PARTICULARESAs proposições serão classificadas em:• universais• particularesAs proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se a totalidade doconjunto.Exemplo:49) “Todos os homens são mentirosos” é universal e simbolizamos por “todo S é P”.Nesta definição incluímos o caso em que o sujeito é unitário.Exemplo:50)“O cão é mamífero”.As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma partedo conjunto.Exemplo:51) “Alguns homens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”.PROPOSIÇÕES AFIRMATIVAS E NEGATIVASAs proposições também se classificam em:• afirmativas
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org41• negativasNo caso de negativa podemos ter:1. “Nenhum homem é mentiroso” é universal negativa e simbolizamos por “nenhum Sé P”.2. “Alguns homens não são mentirosos” é particular negativa e simbolizamos por“algum S não é P”.No caso de afirmativa consideramos o item anterior. Chamaremos então de proposiçãocategórica na forma típica as proposições dos tipos: “Todo S é P”, “algum S é P”, “algumS não é P” e “nenhum S é P”.Então teremos a tabela:SILOGISMO CATEGÓRICO DE FORMA TÍPICAChamaremos de silogismo categórico de forma típica (ou silogismo) ao argumentoformado por duas premissas e uma conclusão, de modo que todas as premissas envolvidassão categóricas de forma típica ( A, E, I, O ).Teremos também três termos:• Termo menor – sujeito da conclusão.• Termo maior – predicado da conclusão.• Termo médio – é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não aparece naconclusão.Chamaremos de premissa maior a que contém o termo maior, e premissa menor a quecontém o termo menor.Exemplo:52)Todas as mulheres são bonitas.Todas as princesas são mulheres.∴ Todas as princesas são bonitas.Termo menor: as princesasTermo maior: bonitasTermo médio: mulheresPremissa menor: todas as princesas são mulheres.Premissa maior: todas as mulheres são bonitas.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org42ALGUMAS REGRAS PARA A VALIDADE DE UM SILOGISMO:1. Todo silogismo deve conter somente três termos;2. O termo médio deve ser universal pelo menos uma vez;3. O termo médio não pode constar na conclusão;4. Nenhum silogismo categórico de forma típica que tenha duas premissas negativas éválido.5. De duas premissas particulares não poderá haver conclusão;6. Se há uma premissa particular, a conclusão será particular;7. Se há uma premissa particular negativa a conclusão será particular negativa.DIAGRAMA DE EULERPara analisar os argumentos, poderemos usar o diagrama de Euler.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org43Exemplo:53) Diga se o argumento abaixo é válido ou não válido:Todos os A são BTodos os C são A∴Todos os C são BSoluçãoSe as duas premissas são verdadeiras teremos:Vemos que se as premissas forem verdadeira a conclusão será necessariamente verdadeira.Portanto o argumento é válido.Exemplo:54) Diga se o argumento abaixo é válido ou não válido:Todo A é BTodo C é B∴Todo C é ASoluçãoObserve que podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Logo o argumentonão é válido.Exemplo:55) Diga se o argumento abaixo é válido ou não válido:Algum A é BTodo B é C∴Algum A é CSolução
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org44Vemos que se as premissas forem verdadeira a conclusão será necessariamente verdadeira.Portanto o argumento é válido.Exemplo:55) (FGV) – Considere as seguintes proposições:I. “O ministro está numa enrascada: se correr, o bicho pega; se ficar, o bicho come”.II. “Ser ou não ser, eis a questão”.III. “ O Tejo é mais belo que o rio que corre pela minha aldeia; mas o Tejo não é maisbelo que o rio que corre pela minha aldeia”.É correto então afirmar-se que:a)Em I está presente uma tautologia.b)Em II está presente uma contradição.c)Em III está presente um dilema.d) I e II são contradições.e) Nenhuma da opções anterioresSoluçãoObserve que:I - “O ministro está numa enrascada: se correr, o bicho pega; se ficar, o bicho come” é umdilema.II - “Ser ou não ser, eis a questão” é uma tautologia.III - “ O Tejo é mais belo que o rio que corre pela minha aldeia; mas o Tejo não é mais beloque o rio que corre pela minha aldeia” é uma contradição.Resposta: EExemplo:56) Sejam as declarações:Se o governo é bom então não há desemprego.Se não há desemprego então não há inflação.Ora, se há inflação podemos concluir que:a. A inflação não afeta o desemprego.b. Pode haver inflação independente do governo.c. O governo é bom e há desemprego.d. O governo é bom e não há desemprego.e. O governo não é bom e há desemprego.SoluçãoSuponhamos que todas as premissas são verdadeiras. Então temos:
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org45O governo é bom não há desemprego (V)Não há desemprego não há inflação (V)Há inflação (V)→→Como a terceira premissa é verdadeira temos:FVO governo é bom não há desemprego (V)Não há desemprego não há inflação (V)Há inflação (V)→→Temos que a segunda premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não há inflação) é falso,sendo assim temos que o antecedente(Não há desemprego) tem que ser falso. Logo temos:FFVO governo é bom não há desemprego (V)Não há desemprego não há inflação (V)Há inflação (V)→→Conseqüentemente obtemos:FFFVO governo é bom não há desemprego (V)Não há desemprego não há inflação (V)Há inflação (V)→→Temos que a primeira premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não há desemprego) éfalso, sendo assim temos que o antecedente(O governo é bom) tem que ser falso. Logotemos:F FFFVO governo é bom não há desemprego (V)Não há desemprego não há inflação (V)Há inflação (V)→→Como o argumento é válido, as conclusões são as proposições verdadeiras:Há inflação.(V)Há desemprego.(V)O governo não é bom.(V)Resposta: E
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org46Exemplo:57) Sejam as declarações:Se ele me ama então ele casa comigo.Se ele casa comigo então não vou trabalhar.Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que:a. Ele é pobre mas me ama.b. Ele é rico mas é pão duro.c. Ele não me ama e eu gosto de trabalhar.d. Ele não casa comigo e não vou trabalhar.e. Ele não me ama e não casa comigo.SoluçãoSuponhamos que todas as premissas são verdadeiras. Então temos:Ele me ama ele casa comigo (V)Ele casa comigo não vou trabalhar (V)Vou trabalhar (V)→→Como a terceira premissa é verdadeira temos:FVEle me ama ele casa comigo (V)Ele casa comigo não vou trabalhar (V)Vou trabalhar (V)→→Temos que a segunda premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não vou trabalhar) é falso,sendo assim temos que o antecedente(Ele casa comigo) tem que ser falso. Logo temos:FFVEle me ama ele casa comigo (V)Ele casa comigo não vou trabalhar (V)Vou trabalhar (V)→→Conseqüentemente obtemos:FFFVEle me ama Ele casa comigo (V)Ele casa comigo não vou trabalhar (V)Vou trabalhar (V)→→Temos que a primeira premissa é verdadeira e o seu conseqüente(Ele casa comigo) é falso,sendo assim temos que o antecedente(Ele me ama) tem que ser falso. Logo temos:
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org47F FFFVEle me ama Ele casa comigo (V)Ele casa comigo não vou trabalhar (V)Vou trabalhar (V)→→Podemos então encontrar as proposições verdadeiras do argumento válido, que serãoas conclusões:Vou trabalhar.(V)Ele não casa comigo.(V)Ele não me ama.(V)Resposta: EExemplo:58) (ESAF) – Das premissas:A: “Nenhum herói é covarde”.B: “Alguns soldados são covardes”.Pode-se corretamente concluir que:a)Alguns heróis são soldadosb)Alguns soldados não são heróisc)Nenhum herói é soldadod)Alguns soldados são heróise)Nenhum soldado é heróiSoluçãoVamos representar o conjunto de heróis, covardes e soldados pelas letras H, C e Srespectivamente. Temos então o seguinte diagrama:Observamos então que sempre teremos alguns soldados que não serão heróis.Vale a pena ressaltar que quando temos, em um silogismo, exatamente uma proposiçãoparticular a conclusão será particular.Resposta: BExemplo:59) (FGV) – Analise o seguinte argumento:Todas as proteínas são compostos orgânicos; em conseqüência, todas as enzimas sãoproteínas, uma vez que todas as enzimas são compostos orgânicos.a) O argumento é válido, uma vez que suas premissas são verdadeiras, bem como suaconclusão.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org48b) argumento é válido apesar de conter uma premissa falsa.c) Mesmo sem saber se as premissas são verdadeiras ou falsas, podemos garantir que oargumento não é válido.d) NDA.SoluçãoTemos o seguinte argumento:Todas as proteínas são compostos orgânicosTodas as enzimas são compostos orgânicosTodas as enzimas são proteínas∴Representado proteínas, compostos orgânicos e enzimas por A, B e C respectivamentetemos:A BC BC ATodas as proteínas são compostos orgânicosTodas as enzimas são compostos orgânicosTodas as enzimas são as proteínas∴O nosso argumento tem a seguinte estrutura não válida.:Todo A é BTodo C é B∴Todo C é AResposta: CExemplo:60) (ESAF)Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se nãoestou furioso, não bebo. Logo,a) não durmo, estou furioso e não bebob) durmo, estou furioso e não beboc) não durmo, estou furioso e bebod) durmo, não estou furioso e não beboe) não durmo, não estou furioso e beboSoluçãoTemos o seguinte argumento:
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org49Se não durmo, beboSe estou furioso, durmoSe durmo, não estou furiosoSe não estou furioso, não bebo.Podemos escreve as premissas do argumento da seguinte maneira:Não durmo beboEstou furioso durmoDurmo não estou furiosoNão estou furioso não bebo.→→→→Vamos supor que todas as premissas são verdadeiras:Não durmo bebo (V)Estou furioso durmo (V)Durmo não estou furioso (V)Não estou furioso não bebo (V)→→→→Observamos que todas as premissas são proposições compostas condicionais e nesse casonão temos inicialmente informações sobre as proposições simples. Quando ocorrer essasituação devemos supor (“chutar”) um valor verdade para uma das proposições simplescontida nas premissas. Se o nosso “chute” estiver correto encontraremos a resposta, mas seo chute estiver errado encontraremos um absurdo e nesse caso trocamos o chute eencontramos a resposta correta.Vamos supor então que a proposição “Não durmo” é verdadeira(chute). Teremosentão a seguinte situação nas premissas:VFFNão durmo bebo (V)Estou furioso durmo (V)Durmo não estou furioso (V)Não estou furioso não bebo (V)→→→→Analisando a tabela verdade na primeira e segunda premissa temos:VVF FFNão durmo bebo (V)Estou furioso durmo (V)Durmo não estou furioso (V)Não estou furioso não bebo (V)→→→→
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org50Na quarta premissa temos que a proposição “Não bebo” é falsa.VVF FFFNão durmo bebo (V)Estou furioso durmo (V)Durmo não estou furioso (V)Não estou furioso não bebo (V)→→→→Assim na quarta premissa a proposição “Não estou furioso” tem que ser falsa.VVF FFF FNão durmo bebo (V)Estou furioso durmo (V)Durmo não estou furioso (V)Não estou furioso não bebo (V)→→→→Encontramos um absurdo na segunda premissa e na quarta premissa, pois nãopodemos ter simultaneamente as proposições “Estou furioso” falsa e a proposição“Não estou furioso” falsa.Portanto o nosso chute inicial estava errado. Vamos trocar o chute pois sabemos agora quea proposição “Não durmo” é falsa.FVVNão durmo bebo (V)Estou furioso durmo (V)Durmo não estou furioso (V)Não estou furioso não bebo (V)→→→→Como todas as premissas são verdadeiras, pela tabela verdade, temos:FVV VVNão durmo bebo (V)Estou furioso durmo (V)Durmo não estou furioso (V)Não estou furioso não bebo (V)→→→→Pela quarta premissa temos que a proposição “não bebo” tem que ser verdadeira, logo:
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org51FFF VV VV VNão durmo bebo (V)Estou furioso durmo (V)Durmo não estou furioso (V)Não estou furioso não bebo (V)→→→→Podemos deduzir as conclusões através das proposições verdadeiras:Durmo. Não bebo. Não estou furioso.Resposta: DExercícios PropostosTexto para os itens de 64 a 67. (TRT - CESPE):Considere que as letras P, Q, R e S representam proposições e que os símbolos ¬, ∧ e∨ são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e ourespectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor(valor verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes.64) ¬ P ∨ Q é verdadeira.65) ¬ [(¬ P ∨ Q) ∨ (¬ R ∨ S)] é verdadeira.66) [P ∧ (Q ∨ S) ] ∧ (¬ [(R ∧ Q) ∨ (P ∧ S)] ) é verdadeira.67) (P ∨ (¬ S)) ∧ (Q ∨ (¬ R)) é verdadeira.ARGUMENTO PREMISSAS CONCLUSÃOI p q⇒ , p qII p q⇒ , q∼ p∼III p q∨ , p∼ qIV p q⇒ , r s⇒ , p r∨ q s∨68) Considerando os argumento acima podemos dizer que(A) Todos são não válidos.(B) Apenas um é válido.(C) Apenas dois são válidos.(D) Apenas três são válidos.(E) Todos são válidos.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org5269) (TRT-FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos.Admitindo-se verdadeira a frase “Todos os corruptos são desonestos”, é corretoconcluir que(A) quem não é corrupto é honesto.(B) existem corruptos honestos.(C) alguns honestos podem ser corruptos.(D) existem mais corruptos do que desonestos.(E)) existem desonestos que são corruptos.70) Todo matemático é estudioso. Existem músicos que são estudiosos. Pedro ématemático e Ivo é estudioso. Pode-se concluir que(A) Pedro é estudioso e Ivo é matemático.(B) Pedro é estudioso e Ivo é músico.(C) Pedro é também músico e Ivo é matemático.(D) Pedro é estudioso e Ivo pode não ser matemático nem músico.(E) Pedro é também músico e Ivo pode não ser matemático nem músico.71) Em uma cidade, é verdade que "algum físico é esportista" e que "nenhumaposentado é esportista". Portanto, nessa cidade,(A) nenhum aposentado é físico.(B) nenhum físico é aposentado.(C) algum aposentado não é físico.(D) algum físico é aposentado.(E) algum físico não é aposentado.72) Todas as irmãs de Angélica são loiras. Sendo assim, pode-se concluir que(A) Angélica é loira.(B) Angélica não é loira.(C) Se Ana é loira, então ela é irmã de Angélica.(D) Se Beatriz não é irmã de Angélica, então Beatriz não é loira.(E) Se Cida não é loira, então ela não é irmã de Angélica.(CESPE) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F),mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmentesimbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A → B, lida, entreoutras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando Aé V e B é F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ¬A, lidacomo “não A”, é uma proposição que tem valoração V quando A é F, e tem valoraçãoF quando A é V. A expressão da forma A∧ B, lida como “A e B”, é uma proposiçãoque tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F.Uma expressão da forma A∨ B, lida como “A ou B”, é uma proposição que tem
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org53valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos, é V. Com base nessasdefinições, julgue os itens que se seguem.73) Uma expressão da forma ¬(A∧ ¬B) é uma proposição que tem exatamente asmesmas valorações V ou F da proposição A→B.74) Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e“Mara não acertou na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizandoadequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição “Ela não ficourica” é também verdadeira.75) A proposição simbolizada por (A→B) → (B→A) possui uma única valoração F.76) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” sejaverdadeira. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” éverdadeira.(CESPE) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada comoverdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. As proposições sãousualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, porexemplo, P, Q, R etc. Se a conexão de duas proposições é feita pelapreposição “e”, simbolizada usualmente por ∧ , então obtém-se a formaP Q∧ , lida como “P e Q” e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrário,é F. Se a conexão for feita pela preposição “ou”, simbolizada usualmente por∨ , então obtém-se a forma P Q∨ , lida como “P ou Q” e avaliada como F se Pe Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição ésimbolizada por ¬P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V.Um argumento é uma seqüência de proposições P1, P2, ..., Pn,chamadas premissas, e uma proposição Q, chamada conclusão. Umargumento é válido, se Q é V sempre que P1, P2, ..., Pn forem V, casocontrário, não é argumento válido.A partir desses conceitos, julgue o próximo item.77) Considere as seguintes proposições:P: “Mara trabalha” e Q: “Mara ganha dinheiro”Nessa situação, é válido o argumento em que as premissas são “Mara não trabalha ouMara ganha dinheiro” e “Mara não trabalha”, e a conclusão é “Mara não ganhadinheiro”.78) Todos os macerontes são torminodoros. Alguns macerontes são momorrengos.Logo
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org54(A) todos os momorrengos são torminodoros.(B) alguns torminodoros são momorrengos.(C) todos os torminodoros são macerontes.(D) alguns momorrengos são pássaros.(E) todos os momorrengos são macerontes.79) (CESPE) Abaixo, uma tabela com esquemas de estruturas lógicas para quatrotipos diferentes de deduções e uma tabela verdade. As letras P e Q representamsentenças. Os símbolos ¬, → e ∨ são conectivos lógicos usuais de negação, implicaçãoe disjunção, respectivamente.Considerando as informações acima e o cálculo proposicional, assinale a alternativacorreta.a) Se um delegado é um profissional do direito, então ele não desconhece leis. Delegadosdesconhecem leis. Portanto, delegados não são profissionais do direito. Esta é uma deduçãodo tipo III.b) Uma pessoa ou pode ser culpada ou inocente de uma acusação. Esta pessoa é culpada.Portanto, ela não é inocente. Essa é uma dedução do tipo I.c) Um supervisor ou sempre mente ou sempre fala a verdade, em relação a um determinadoacontecimento. Se ele não fala a verdade então ele mente. Está é uma dedução do tipo IV.d) As tabelas verdade das proposições P∨Q e P→Q são iguais.*e) Da forma de dedução do tipo II, tem-se que a conclusão será verdadeira se ambas aspremissas forem verdadeiras.80) (FCC) Um argumento é composto pelas seguintes premissas:_ Se as metas de inflação não são reais, então a crise econômica não demorará a sersuperada._ Se as metas de inflação são reais, então os superávits primários não serãofantasiosos._ Os superávits serão fantasiosos.Para que o argumento seja válido, a conclusão deve ser:(A) A crise econômica não demorará a ser superada.(B) As metas de inflação são irreais ou os superávits são fantasiosos.(C) As metas de inflação são irreais e os superávits são fantasiosos.(D) Os superávits econômicos serão fantasiosos.(E) As metas de inflação não são irreais e a crise econômica não demorará a ser superada.81) (ESAF) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio éjusto, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ouHomero é honesto. Logo,
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org55a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo.e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.82) (ESAF) Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive colheu evidênciasque o convenceram da verdade das seguintes afirmações:1) Se Homero é culpado, então João é culpado.2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados.3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente.4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que:a) Homero, João e Adolfo são inocentes.b) Homero, João e Adolfo são culpados.c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes.d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado.e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente.83) Se “Alguns professores são matemáticos” e “Todos os Matemáticos são pessoasalegres”, então necessariamente,a) Toda pessoa alegre é matemático.b) Todo matemático é professor.c) Algum professor é uma pessoa alegre.d) Nenhuma pessoa alegre é professor.e) Nenhum professor não é alegre.84) Para que a proposição “todos os homens são bons cozinheiros” seja falsa, énecessário que:a) todas as mulheres sejam cozinheiras.b) algumas mulheres sejam boas cozinheiras.c) Nenhum homem seja bom cozinheiro.d) Todos os homens sejam maus cozinheiros.e) Pelo menos um homem seja mau cozinheiro.85) Para que a afirmativa “Todo matemático é louco” seja falsa, basta que:a) todo matemático seja louco.b) todo louco seja matemático.c) Algum louco não seja matemático.d) Algum matemático seja louco.e) Algum matemático não seja louco.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org5686) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C.Segue-se, portanto, necessariamente quea) todo C é Bb) todo C é Ac) algum A é Cd) nada que não seja C é Ae) algum A não é CAnálise CombinatóriaPROBLEMA DA CONTAGEMExemplosOs candidatos a um concurso podem inscrever-se em 4 áreas (Auditoria, Julgamento,Aduana e Administração) e em 8 regiões para cada área. Quantas opções são oferecidaspara os candidatos?As chapas dos automóveis são constituídas por três letras e quatro algarismos. Quantoscarros podem ser licenciados?Os exemplos acima mostram que para se obter o número de possibilidades poderíamoscomeçar descrevendo todos e contando, porém, este processo seria trabalhoso. Daí surge aanálise combinatória, que permite criar regras para agrupamentos de objetos facilitandoassim a contagem.PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEMEste princípio é conhecido como princípio da multiplicação e tem o seguinte enunciado:Sejam dois acontecimentos A e B. Se A pode ocorrer de m maneiras distintas e,para cada uma das m maneiras distintas, outro acontecimento B pode ocorrer de nmaneiras distintas, então o número de possibilidades de ocorrer A seguido daocorrência de B é m x n.Exemplos:1. O candidato a um concurso tem 8 regiões possíveis e 4 áreas possíveis parconcorrer. De quantos modos ele pode fazer a inscrição?SoluçãoTemos neste caso dois acontecimentosA - Escolher a região (8 possibilidades)B - Escolher a área (4 possibilidades)Logo pelo princípio da multiplicação existem 8 x 4 = 32 modos de fazer a inscrição
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org572. Uma moça possui 10 blusas, 8 saias e 4 sapatos. De quantos modos ela pode sevestir?SoluçãoEvidentemente que o princípio da multiplicação não está limitado apenas a 2acontecimentos, portanto neste caso vamos estender a 3 acontecimentos.Acontecimentos:A - Escolher a blusa (10 possibilidades)B - Escolher a saia (8 possibilidades)C - Escolher o sapato (4 possibilidades)Pelo princípio da multiplicação temos 10 x 8 x 4 = 320 modos de se vestir.3. Quantos números de 3 algarismos podem ser formados no sistema decimal?SoluçãoObserve que temos três posições para preencherPosição A - 9 possibilidades (algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)Posição B - 10 possibilidades (algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)Posição C - 10 possibilidades (algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)Pelo princípio da multiplicação temos: 9 x 10 x 10 = 900 números.4. Quantos números pares de três algarismos podem ser formados com os algarismos1, 3, 5, 6, 8, 9 ?SoluçãoSeja o esquema:Observamos que os números têm que ser pares, isto dificulta a contagem, daí precisamosprimeiramente satisfazer a restrição de os números serem pares.Regra: “Se existe uma restrição causando dificuldade então devemos satisfazê-la emprimeiro lugar” Sendo assim, temos:Posição C - 2 possibilidades (algarismos 6, 8)Posição A - 6 possibilidades (algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9)Posição B - 6 possibilidades (algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9)Pelo princípio da multiplicação temos 2 x 6 x 6 = 72 números.5. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com osalgarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9.SoluçãoSeja o esquema:
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org58Na posição A: 6 possibilidadesNa posição B, após ter preenchido a posição A: 5 possibilidadesNa posição C, após ter preenchido as posições A e B: 4 possibilidadesLogo, pelo princípio da multiplicação temos: 6 x 5 x 4 = 120 números.6. Quantos números pares de três algarismos distintos podem ser formados com osalgarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9SoluçãoPrimeiramente vamos satisfazer a condição do número ser parLogo, na posição C, temos 2 possibilidades.Agora, vamos para a posição A, após ter preenchido a posição C.Agora, vamos para a posição B, após ter preenchido as posições C e ALogo pelo princípio da multiplicação temos 5 x 4 x 2 = 40 números7. Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B e 4 outras linhas ligando acidade B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. Quantaslinhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem de ida e volta, sem usar duasvezes a mesma linha?SoluçãoIda de A para B - 3 possibilidadesIda de B para C - 4 possibilidadesVolta de C para B - 3 possibilidades (porque?)Volta de B para A - 2 possibilidades (porque?)Pelo princípio da multiplicação temos 3 x 4 x 3 x 2 = 72 linhas de ônibus
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org598. Se um quarto tem 5 portas, o número de maneiras de se entrar nele e sair por umaporta diferente é:a. 5b. 10c. 15d. 20e. 30SoluçãoNúmero de maneiras de entrar - 5Número de maneiras de sair por uma porta diferente da que entrou - 4Pelo princípio da multiplicação temos 5 x 4 = 20 númerosResposta D9. Um “bit” é um dos algarismos 0 ou 1. O número de seqüências de 10 “bits”é:a. inferior a 100b. 100c. um número entre 100 e 500d. um número entre 500 e 1000e. um número superior a 1000SoluçãoConsidere o esquema:Resposta E10. Quantos divisores tem o número 72?SoluçãoDecompondo o número 72 obtemos 72 = 23. 32, observe que os divisores de 72 são daforma 2x. 3yonde x∈ {0, 1, 2, 3} e y∈ {0, 1, 2}. Portanto para achar o número de divisoresde 72 basta calcular o número possível de formar os pares (x, y) tal que x∈{0, 1, 2, 3} ey∈ {0, 1, 2}, sendo assim temos:Número de maneiras de escolher o x: 4 possibilidadesNúmero de maneiras de escolher o y: 3 possibilidadespelo princípio da multiplicação temos 4 x 3 = 12 divisores.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org6011. 5 rapazes e 5 moças devem posar para fotografia, ocupando os 5 degraus de umaescada, de modo que em cada degrau fique um casal. De quantas maneiras diferentespodemos dispor esse grupo?a. 70.400b. 128.000c. 460.800d. 332.000e. 625SoluçãoVamos preencher os degraus consecutivamenteLogo, pelo princípio da multiplicação temos:(5x5x2) x (4x4x2) x (3x3x2) x (2x2x2) x (1x1x2) = 460.800 maneiras.OUTRA SOLUÇÃOOutra resolução poderia ser feita supondo que (M1, M2, M3, M4, M5, R1, R2, R3, R4, R5) sãoas moças e os rapazes. Vamos escolher os lugares para colocar essas 10 pessoas. Comosomos cavalheiros vamos colocar primeiro as moças.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org61Pelo princípio da multiplicação temos:10 x 8 x 6 x 4 x 2 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 460.800 maneirasResposta C12. Seja um barco com 8 lugares, numerados conforme o diagrama abaixo. Há 8remadores possíveis para guarnecê-lo, com as seguintes restrições: os remadores A e Bsó podem ocupar as posições ímpares e o remador C posição par. Os remadores D, E,F, G e H podem ocupar quaisquer posições. Quantas configurações podem ser obtidascom o barco totalmente guarnecido?SoluçãoVamos satisfazer às restrições conforme a ordemResposta: 5760 configurações.13. Quantos números de quatro algarismos existem, tendo pelo menos dois algarismosiguais?SoluçãoSão números da forma:1135, 4779, 3336, ... 9999
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org62Vamos calcular a diferença entre a quantidade de números de quatro algarismos e aquantidade de números de quatro algarismos diferentes.Quantidade de números de quatro algarismos:Possibilidades: 9 x10 x10 x10 = 9000Quantidade de números de quatro algarismos diferentes:Possibilidades: 9 x9 x8 x7 = 4.536Logo temos: 9.000 - 4536 = 4.464 números.14. Cada linha telefônica é formada por sete algarismos divididos em dois grupos: umformado pelos primeiros três algarismos, que distingue os centros telefônicos, e ooutro, com quatro algarismos, que distingue as linhas de um mesmo centro. Suponhaque só os algarismos de cada grupo são todos distintos. Quantas linhas telefônicascomeçando com o algarismo 2, poderiam ser lançadas?SoluçãoFATORIALSeja n um número natural maior que 1.Chamamos de n fatorial e denotamos por n! a:Exemplos15. Calcule:a. 3! = 3 x 2 x 1 = 6b. 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24c. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 24
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org63d. n! = n (n-1)!16. Simplificar:6!5!Solução6! 6 5!65! 5!×= =17. Simplificar:9!8!Solução9! 9 8!98! 8!×= =18. Simplificar:10!7!Solução10! 10 9 8 7!10 9 8 7207! 7!× × ×= = × × =19. Simplificar:8! 9!7!+Solução8! 9! 8 7! 9 8 7! 8 7! 72 7! 80 7!807! 7! 7! 7!+ × + × × × + × ×= = = =20. Simplificar:!( 1)!nn −Solução! ( 1)!( 1)! ( 1)!n n nnn n× −= =− −21. Simplificar:!( 2)!nn −Solução
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org64! ( 1) ( 2)!( 1)( 2)! ( 2)!n n n nn nn n× − × −= = × −− −22. Calcule n sabendo que:!12( 2)!nn=−Solução!12( 2)!nn=−( 1) ( 2)!12( 2)!n n nn× − × −=−( 1) 12n n× − =212 0n n− − =3(não serve)4noun= −⎧⎪⎨⎪ =⎩Resposta: n = 4.ARRANJOS SIMPLESSeja A um conjunto com n elementos e p um número natural, com p≤n. Chamamos umarranjo simples p a p, dos n elementos de A, a cada subconjunto ordenado de p elementosde A. Como o subconjunto é ordenado temos que são distintos quanto a ordem. Entãochamaremos de pnA ao número de arranjo de n objetos, p a p.Daí teríamosA fórmula ( 1)( 2)...( 1)pnA n n n n p= − − − + também pode ser escrita como!( )!pnnAn p=−.Exemplos:23. Calcule:a) 24Ab) 35Ac) 47A
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org65a) 26ASoluçãoa) 24 4 3 12A = × =b) 35 5 4 3 60A = × × =c) 47 7 6 5 4 840A = × × × =d) 26 6 5 30A = × =24. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismossignificativos?SoluçãoEntendemos como algarismos significativos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)Então teríamos:Para a primeira posição - 9 possibilidadesPara a segunda posição, após preencher a primeira - 8 possibilidadesPara a terceira posição, após preencher a primeira e a segunda posições – 7 possibilidades.Daí pelo princípio da multiplicação39 9 8 7 504A = × × =25. Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar?SoluçãoOs algarismos que podemos utilizar são (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)Para a primeira posição - 9 possibilidades (não pode ter o zero)Para a segunda posição, após ter preenchido a primeira posição - 9 possibilidadesLogo pelo princípio da multiplicação temos 399 9 9 8 7 4536A× = × × × = .26. Seis pessoas querem se sentar em um ônibus com 20 lugares desocupados. Dequantas maneiras elas poderão se acomodar?Solução1ª pessoa - 20 modos2ª pessoa - 19 modos3ª pessoa - 18 modos4ª pessoa - 17 modos
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org665ª pessoa - 16 modos6ª pessoa - 15 modosLogo 620 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15 = 27.907.200A = .PERMUTAÇÃO SIMPLESChamamos de permutações simples de n objetos distintos a qualquer arranjo desses nelementos tomados em qualquer ordem. Assim, teremos o número de permutação de nobjetos distintos, que denotamos por Pn a:Logo( 1)( 2)( 3)....1!nnP n n n nP n= − − −=27. Quantos anagramas possui a palavra FISCAL?SoluçãoP6 = 6x5x4x3x2x1 = 6! = 720 anagramas.28. De quantos modos 4 pessoas podem se sentar em 4 cadeiras em fila?SoluçãoP4 = 4x3x2x1 = 4! = 2429. Calcular quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com osalgarismos 2, 3, 4, 5, 6.SoluçãoP5= 5! = 120
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org6730.Calcular a soma de todos os números de 5 algarismos distintos formados com osalgarismos 2, 3, 4, 5, 6.SoluçãoO número de parcelas é P5 = 5! = 120Observe que em qualquer coluna, cada algarismo aparece tantas vezes quantas forem aspermutações dos quatro algarismos restantes, isto é, P4=4!=24 vezes Deste modo teremosque a soma total dos algarismos em cada coluna éLogo teremos: 2 x 24 + 3 x 24 + 4 x 24 + 5 x 24 + 6 x 24 = 480PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org6831. Quantos anagramas possui a palavra RECEITA?Solução1,2,1,1,1,177! 504025201!2!1!1!1!1! 2P = = = anagramas32. Quantas anagramas possui a palavra ARARA?Solução3,255! 120103!2! 12P = = = anagramas33. Quantos anagramas possui a palavra PANACA, que começam por consoante?SoluçãoEscolha da consoante para a primeira posição: 3 maneirasEscolha das cinco posições restantes pelas cinco letras restantes após ter preenchido aprimeira posição:3,1,155! 5 4 3 23 3 3 3 20 603!1!1! 3 2 1 1 1P× × ×× = × = × = × =× × × ×anagramas.PERMUTAÇÕES CIRCULARES
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org6934. ExemploDe quantos modos 3 crianças podem brincar de roda?SoluçãoSuponhamos que temos 3 crianças A, B, C. Então, poderíamos visualizar as seguintes rodasObservamos que as rodas (I, II e III) são idênticas, basta olhar os sentidos, e ainda temosque as rodas (IV, V e VI) também são idênticas. Portanto, teríamos apenas duas rodas.Logo, as crianças só podem brincar de roda de duas maneiras distintas.Outra maneira de raciocínio: poderíamos fixar uma das três crianças e permutar as duasrestantes, logo, teríamos 2! = 2 maneirasCÁLCULO DO NÚMERO DE PERMUTAÇÕES CIRCULARESSeja (PC)n, o número de permutações circulares, então fixamos um dos n objetos epermutamos os (n-1) objetos restantes, logo( ) ( 1)!nPC n= −35. ExemploDe quantos modos cinco pessoas podem brincar de roda?Solução(PC)5 = 4! = 24 modos
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org7036. ExemploQuantos colares podem ser feitos com seis contas diferentes?Os mais inocentes, poderiam pensar em 5! = 120, mas pela natureza do colar o númerocorreto seria5! 120602 2= = , pois cada permutação pode ser rebatida conforme a figuraacima.COMBINAÇÕES SIMPLESSeja um conjunto A, com n elementos distintos. Chamamos de combinação simples dos nelementos, tomados k a k, a qualquer subconjunto de k elementos do conjunto A.Indicamos o número de combinações dos n elementos tomados k a k por:!!( )!knnCk n k=−ou!!( )!n nk k n k⎛ ⎞=⎜ ⎟−⎝ ⎠37. ExemploCalcule:a) 25Cb) 37Cc) 58Cd) 23CSoluçãoa) 255! 5! 5 4 3! 5 4102!(5 2)! 2!3! 2!3! 2!C× × ×= = = = =−b) 377! 7! 7 6 5 4! 7 6 57 5 353!(7 3)! 3!4! 3!4! 3!C× × × × ×= = = = = × =−c) 588! 8! 8 7 6 5! 8 7 68 7 565!(8 5)! 5!3! 5!3! 3!C× × × × ×= = = = = × =−d)( )233! 3! 3 2! 332! 3 2 ! 2!1! 2!1! 1!C×= = = = =−38. Exemplo
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org71Com cinco alunos, quantas comissões de três alunos podemos formar?Solução355! 5! 5 4 3! 5 4103!(5 3)! 3!2! 3!2! 2!C× × ×= = = = =−Resposta: 10 comissões.39. ExemploDe quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos?Soluçãoa) 266! 6! 6 5 4! 6 5152!(6 2)! 2!4! 2!4! 2!C× × ×= = = = =−Resposta: 15 modos.40. Exemplo(F.G.V.) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoaspodem ser formadas contendo 2 diretores e 3 gerentes?Solução3 diretoresEmpresa5 gerentes⎧⎨⎩2 diretoresComissões3 gerentes⎧⎨⎩Pelo Princípio Fundamental da Contagem temos:2 33 5 3 10 30C C× = × = comissões.Resposta: 30 comissões.41. ExemploQuantas saladas de frutas diferentes, podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutasdistintas?Solução588! 8! 8 7 6 5! 8 7 68 7 565!(8 5)! 5!3! 5!3! 3!C× × × × ×= = = = = × =−Resposta: 56 saladas.42. ExemploQuantas diagonais possui o pentágono regular?Solução
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org72Observe que para fazer uma diagonal, preciso unir doisvértices; como possuo 5 vértices teremos 25C modos de unirdois vértices, isto é, 10 modos. Por outro lado, quandounimos AB, BC, CD, DE e EA, estamos contando os lados dopentágono, logo, o número de diagonais é 10 – 5 = 5diagonais.EQUAÇÕES LINEARESSeja 1 2 3 ... kx x x x n+ + + + = onde *n∈ . Chamaremos de solução inteira daequação acima a k-upla de inteiros 1 2 3( , , ,... )kα α α α tal que 1 2 3 ... k nα α α α+ + + + =43. ExemploSeja x1 + x2 + x3 = 7 então temos que (1, 2, 4), (3, 1, 3), (4, 0, 3) etc são soluções inteiras.Sendo assim, se todas as coordenadas são positivas (ex: (1, 2, 4), (3, 1, 3), (40, 3)) dizemosque são inteiras positivas.Se as coordenadas são maiores ou iguais a zero (ex: (4, 0, 3), (1, 0, 6), (2, 0, 5)) dizemosque são inteiras não negativas.44. ExemplosQuantas soluções inteiras positivas possui a equação x1 + x2 + x3 = 10 ?SoluçãoUsaremos o artifício de escrever dez vezes o algarismo um como abaixo:1 1 1 1 1 1 1 1 1 1Observe que entre os algarismos existem 9 espaços que podem ser separados por barrasverticais para representar soluções inteiras, por exemplo:1 1 1 1 1 1 1 1 1 1representa a solução (2, 3, 5)1 1 1 1 1 1 1 1 1 1representa a solução (3, 3, 4)
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org73Portanto, o número de soluções inteiras é o número de se escolher duas posições dos noveespaços para se colocar as duas barras, isto é,299! 9! 9 8 7!362!(9 2)! 2!7! 2!7!C× ×= = = =−Logo temos 36 soluções inteiras positivas.Podemos raciocinar do mesmo modo, e concluir que x1 + x2 + x3 + .... + xk = n possui11knC −− soluções inteiras positivas.45. ExemploQuantas soluções inteiras positivas possui a equação x1 + x2 + x3 = 8 ?Solução277! 7! 7 6 5!212!(7 2)! 2!5! 2!5!C× ×= = = =−46. ExemploQuantas soluções inteiras não negativas possui a equação x1 + x2 + x3 = 10 ?SoluçãoTemos agora que, por exemplo (2, 0, 8), (4, 6, 0), (0, 1, 9), (3, 7, 0) são solução inteirasnão negativas.Observe que se somamos um a todas as soluções inteiras não negativas, teremos porexemplo:(2, 0, 8) ⇔ (3, 1, 9)(4, 6, 0) ⇔ (5, 7, 1)(0, 1, 9) ⇔ (1, 2, 10)(3, 7, 0) ⇔ (4, 8, 1)Logo, concluímos que para cada solução inteira não negativa da solução x1 + x2 + x3 = 10,corresponde uma solução inteira positiva da equação z1 + z2 + z3 = 13 e vice-versa, que é212C . Logo, existem 212 66C = soluções inteiras não negativas de x1 + x2 + x3 = 10. Podemosraciocinar do mesmo modo e concluir que x1 + x2 + x3 + .... xk = n, possui 11kn kC −+ − soluçõesinteiras não negativas.47. ExemploQuantas soluções inteiras não negativas possui a equação x1 + x2 + x3 = 8 ?SoluçãoObservamos que n = 8 e k = 3
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org74Logo, o número de soluções inteiras não negativas é 3 1 28 3 1 10 45C C−+ − = = soluções.Conclusão1 2 3 kx + x + x + .... x = n (n N*)∈Número de soluções inteiras positivas: 11knC −−Número de soluções inteiras não negativas: 11kn kC −+ −48. ExemploDe quantos modos podemos comprar 5 refrigerantes em um bar que possui 4 tiposdiferentes?SoluçãoSejax1 o número de refrigerantes do tipo Ax2 o número de refrigerantes do tipo Bx3 o número de refrigerantes do tipo Cx4 o número de refrigerantes do tipo DObserve que x1 + x2 + x3 + x4 = 5 e que 1 0x ≥ , 2 0x ≥ , 3 0x ≥ e 4 0x ≥ , logo, comoqueremos o número de soluções inteiras não negativas de x1 + x2 + x3 + x4 = 5 temos:4 1 35 4 1 8 56C C−+ − = = modos.TRIÂNGULO DE PASCALÉ o triângulo escrito com combinações da seguinte forma:00C0 11 1C C0 1 22 2 2C C C0 1 2 33 3 3 3C C C C0 1 2 3 44 4 4 4 4C C C C C. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .0 1 2 3 4n n n n nC C C C C nnC
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org75Observe que o triângulo de Pascal é11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .• A soma de dois elementos consecutivos, na mesma linha dá o elemento na mesma colunae linha abaixo.1 11k k kn n nC C C+ +++ =49. Ex.:a. 1 2 23 3 4 (3 3 6)C C C+ = + =b. 2 3 33 3 4 (3 1 4)C C C+ = + =• A soma de todos elementos da mesma linha é igual a 2n, onde n é o número da linha.0 1 2 3... 2n nn n n n nC C C C C+ + + + + =50. Ex.:a. 0 1 2 3 33 3 3 3 1 3 3 1 8 2C C C C+ + + = + + + = =b. 0 1 2 3 4 44 4 4 4 4 1 4 6 4 1 16 2C C C C C+ + + + = + + + + = =Exemplos:51. (G.V.) Uma sala tem 10 portas. Calcular o número de maneiras diferentes que essasala pode ser aberta?SoluçãoDas dez portas posso escolher 1 para abrir: 110C maneirasDas dez portas posso escolher 2 para abrir: 210C maneirasDas dez portas posso escolher 3 para abrir: 310C maneiras
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org76Das dez portas posso escolher 10 para abrir: 1010C maneiraslogo, teremos:1 2 3 1010 10 10 10...C C C C S+ + + + =Mas, do exemplo anterior, sabemos que0 1 2 3 10 1010 10 10 10 10... 2C C C C C+ + + + + = temos0 1010 2C S+ =10 101 2 2 1 1024 1S S S+ = ⇒ = − ∴ = −S = 1023 maneiras52. (MACK) De um grupo de 5 pessoas de quantas maneiras distintas posso convidaruma ou mais para jantar?SoluçãoDas 5 pessoas escolho 1: 15CDas 5 pessoas escolho 2: 25CDas 5 pessoas escolho 3: 35CDas 5 pessoas escolho 4: 45CDas 5 pessoas escolho 5: 55CLogo, queremos1 2 3 4 55 5 5 5 5C C C C C S+ + + + =Sabemos que:0 1 2 3 4 5 25 5 5 5 5 5 2C C C C C C+ + + + + =0 55 21 3232 1C SSS= =+ == −S = 31 maneiras53. (GV) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoaspoderão ser formadas, contendo, no mínimo, um diretor?SoluçãoComissões com 1 diretor e 4 gerentes: 1 43 5C C× = 15Comissões com 2 diretores e 3 gerentes: 2 33 5C C× = 30Comissões com 3 diretores e 2 gerentes: 3 23 5C C× = 10logo 15 + 30 + 10 = 55 comissões
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org7754. (OSEC) Do cardápio de uma festa constavam 10 diferentes tipos de salgadinhosdos quais só 4 seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessae servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só dois tipos desalgadinhos frios e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes, teve ogarçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitandoas instruções?Solução4 quentesTipos de salgadinhos6 frios⎧⎨⎩Travessa ⇒ 2 24 6 6 15 90C C× = × =55. Calcular o valor de m de modo que: ( ) ( )1 ! 1 ! ! 576m m m− + − =⎡ ⎤⎣ ⎦Solução( ) ( )( ) [ ]( ) [ ]( )( )( )21 ! 1 ! ! 5761 ! !( 1) ! 5761 ! ! ( 1) 1 5761 ! ! 576! ! 576! 576! 576! 244m m mm m m mm m mm m mm mmmmm− + − =⎡ ⎤⎣ ⎦− + − =− + − =− ======Resposta: m = 456. Escrevendo em ordem crescente, todos os números naturais de 4 algarismosdistintos que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, qual a ordem(número da posição) do número 4523?SoluçãoVamos contar todos os números que começam por 1, 2, 3, 41, 42, 43, 451, 4521,pois são certamente menores que 4523.Começando por 1:possibilidades 1 × 5 × 4 × 3 = 60 possibilidadesComeçando por 3:
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org78possibilidades 1 × 5 × 4 × 3 = 60 possibilidadesComeçando por 41:possibilidades 1 x 1 x 4 x 3 = 12 possibilidadesComeçando por 42:possibilidades 1 x 1 x 4 x 3 = 12 possibilidadesComeçando por 451:possibilidades 1 x 1 x 1 x 3 = 3 possibilidadesComeçando por 4521:possibilidades 1 x 1 x 1 x 1 = 1 possibilidadesLogo, teremos 60 + 60 + 60 + 12 + 12 + 12 + 3 + 1 = 22057. (PUC) O número N está para o número de seus arranjos 3 a 3, como 1 está para240. Calcular o valor de N?Solução31240NNA=( )( )11 2 240NN N N=− −
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org79( ) ( )1 2 240N N− × − =17N =58. (ITA) O número de soluções inteiras não negativas da equação x + y + z + w = 5 é:Soluçãox + y + z + w = 5temos n= 5 e k= 4Logo, o número de soluções inteiras não negativas é 11kn kC −+ − , isto é 4 1 35 4 1 8 56C C−+ − = =soluções.59. (ITA) Quantos anagramas da palavra CADERNO apresentam as vogais emordem alfabética?SoluçãoSabemos que o total de permutações das letras da palavra CADERNO é P7 = 7! = 5040.Porém temos todas as ordens das vogais A, E, O nas permutações P3 = 3! = 6 (AEO, AOE,EAO, EOA, OAE, OEA)Dessas 6 permutações apenas 1 delas está em ordem alfabética. Como todas elasapresentam o mesmo número de vezes nas permutações da palavra CADERNO, vemos queo total de permutações da palavra CADERNO em que as vogais estão em ordem alfabéticaé50408406= anagramas.EXERCÍCIOS PROPOSTOS87) (MACK) Se 282n⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠então n é:a. 7b. 8c. 14d. 26e. 56Resposta: B88) (UFB) Com as letras da palavra COMPLEX, temos:I. 720 permutações podem ser feitas terminando com X.II. 240 permutações começando e terminando por vogal.III. 10.080 permutações começando por vogalMarquea. Se todas as afirmativas são verdadeirasb. Se todas as afirmativas são falsas
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org80c. Se apenas a III é verdadeirad. Se apenas a I e II são verdadeirase. Se apenas a I é verdadeiraResposta: D89) (ITA) Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 algarismosdistintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número 61.473 será:a. 76ªb. 78ªc. 80ªd. 82ªe. n.d.a.Resposta: A90) (F.C. CHAGAS) O número de anagramas da palavra BAGRE, que começam porconsoante é:a. 120b. 72c. 48d. 24e. 12Resposta: B91) (F.C.CHAGAS) A sentença210nn+⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠é verdadeira se, e somente se, n! for iguala:a. 1b. 6c. 18d. 720e. 6 ou 720Resposta: B92) (Sta. CASA) Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas de ferro entre ascidades A e B. Quantos são os diferentes percursos para fazer a viagem de ida e voltaentre A e B, utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, em qualquer ordem?a. 4! × 3!b. 2-1 × 4! × 3!c. 24d. 12e. 7Resposta: C
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org8193) (MACK) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de quatroalgarismos distintos. Dentre eles, serão divisíveis por 5:a. 20 númerosb. 30 númerosc. 60 númerosd. 120 númerose. 180 númerosResposta: C94) (MACK) Em um teste de múltipla escolha, com 5 alternativas distintas, sendouma única correta, o número de modos distintos de ordenar as alternativas demaneira que a única correta não seja nem a primeira nem a última é:a. 36b. 48c. 60d. 72e. 120Resposta: D95) (PUC) O número total de inteiros positivos que podem ser formados comalgarismos 1, 2, 3 e 4, se nenhum algarismo é repetido em nenhum inteiro, é:a. 54b. 56c. 58d. 60e. 64Resposta: E96) (PUC) O número de maneiras que um professor pode escolher um ou maisestudantes de um grupo de 6 estudantes é:a. 56b. 58c. 60d. 63e. 65Resposta: D97) (OSEC) Um estudante ganhou numa competição quatro diferentes livros dematemática, três diferentes de física e dois de Química. Querendo manter juntos oslivros de mesma disciplina, calculou que poderá enfileirá-los numa prateleira deestante, de modos diversos num total de:a. A9,3
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org82b. A9,3 × A9,3 × A9,2c. P9d. P4 × P3 × P2e. P3 × P4 x P3 × P2Resposta: E98) (FUVEST) Calcule quantos números múltiplos de três, de quatro algarismosdistintos, podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9.Resposta: 7299) (F. MED. TAUBATÉ) Simplificando-se( ) ( )( )1 ! 21 !n nn+ +−obtém-se:a. 2b.( )( )1 21n nn+ +−c. (n+1) (n+2)d. n (n+2)e. n (n+1) (n+2)Resposta: E100) (FGV) O número de combinações de 8 elementos, 3 a 3, que contém umdeterminado elemento é:a. 21b. 42c. 56d. 7e. 27Resposta: A101) (PUC) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma siglacom cinco símbolos, onde cada símbolo é a primeira letra de cada nome. O númerototal de siglas possíveis é:a. 10b. 24c. 30d. 60e. 120Resposta: C
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org83102) (FUVEST) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam eterminam por vogal é:a. 24b. 48c. 96d. 120e. 144Resposta: B103) (MACK) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagõesdistintos, sendo um deles restaurante sabendo que a locomotiva deve ir à frente e queo vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, onúmero de modos diferentes de montar a composição é:a. 120b. 320c. 500d. 600e. 720Resposta: D104) (CESGRANRIO) Considere cinco pontos, três a três não colineares. Usandoesses pontos como vértices de um triângulo, o número de todos as triângulos distintosque se podem formar é:a. 5b. 6c. 9d. 10e. 15Resposta: D105) (PUC) Uma mensagem em código deve ser feita de tal forma que, cada letra doalfabeto seja representada por uma seqüência de n elementos, onde cada elemento ézero (0) ou um (1). O menor valor de n de modo que as 26 letras do alfabeto possamser representadas é:a. 5b. 6c. 7d. 8e. 9Resposta: A
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org84106) (GV) Na figura, quantos caminhos diferentes podem ser feitos de A até B,deslocando-se uma unidade de cada vez, para cima ou para a direita?a. 126b. 858c. 326d. 954e. 386Resposta: A107) (POLI) Entendendo-se por diagonal de um poliedro todo segmento que liga doisvértices não pertencentes a uma mesma face, quantas diagonais possui um prismacujas bases são polígonos de n lados?Resposta: n (n-3)108) (IME) Considere uma turma com n alunos numerados de 1 a n. Deseja-seorganizar uma comissão de três alunos. De quantas maneiras pode ser formada essacomissão, de modo que não façam parte da mesma exatamente dois alunos designadospor números consecutivos?a. 2b. (n–2)c. 2nCd. (n–2)ne. (n–2)(n–3)Resposta: E109) (IME) Considere uma turma com n alunos numerados de 1 a n. Deseja-seorganizar uma comissão de três alunos. De quantas maneiras pode ser formada essacomissão, de modo que não façam parte da mesma dois ou três alunos designados pornúmeros consecutivos?a. (n–3)
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org85b. (n–1)(n–2)(n–3)c.(n-2)(n-3)(n-4)6d.n(n-2)(n-3)6e.n(n-3)6Resposta: C110) (PUC) N retas paralelas de um plano se interceptam com uma série de m retasparalelas desse mesmo plano. Então, o número de paralelogramos que se obtém narede assim distribuída é:a. Cm,2 : Cn,2b. Cm,2 - Cn,2c. 2Cm,2 + 2Cn,2d. Cn,2 + Cm,2e. Cn,2 . Cm,2Resposta: E111) (FATEC) Dispõem-se de 7 cores distintas para pintar um mapa das 5 regiões doBrasil. Pode-se repetir uma vez no máximo, cada uma das cores. Quantas disposiçõesdiferentes de cores pode-se obter?a. 10.920b. 1.421c. 5.040d. 3.360e. n.r.aResposta: A112) (ITA) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números naturais de quatroalgarismos distintos, contendo o algarismo “4” ou o algarismo “5” podem serformados?a. 196b. 286c. 340d. 336e. n.r.a.Resposta: D113) O número de anagramas da palavra ALAMEDA não apresentam as 4 vogaisjuntas é:a) 744
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org86b) 760c) 796d) 840e) 900Resposta: A114) (IME) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. Uma das permutações dessesalgarismos, origina o número 42351. Determine a soma dos números formados,quando os algarismos acima são permutados de todos os modos possíveis.a) 3900900b) 3900999c) 3999960d) 3999999e) 4000000Resposta: C115) (FUVEST) Considere os números obtidos do número 12345 efetuando-se todasas permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente,qual o lugar ocupado pelo número 43521?a) 70ªb) 72ªc) 80ªd) 90ªe) 96ªResposta: D116) Em um plano existem cinco retas secantes duas a duas. O número de triângulosque são determinados com os vértices nos seus pontos de intersecção é:a) 120b) 140c) 150d) 160e) 180Resposta: A117) O número de maneiras de colocarmos três anéis diferentes nos cinco dedos damão esquerda é:a) 180b) 190c) 200d) 210e) 240
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org87Resposta: D118) (Ufscar-SP) A câmara municipal de um determinado município tem exatamente20 vereadores, sendo que 12 deles apóiam o prefeito e os outros são contra. O númerode maneiras diferentes de se formar uma comissão contendo exatamente 4 vereadoressituacionistas e 3 oposicionistas é:a) 27720b) 13860c) 551d) 495e) 56119) (PUC-RJ) De um pelotão com 10 soldados, quantas equipes de 5 soldadospodem ser formadas se em cada equipe um soldado é destacado para líder?a) 1260b) 1444c) 1520d) 1840e) 1936120) (ITA-SP) Quantos números de 6 algarismos distintos podemos formar usandoos dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas o3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes?a) 144b) 180c) 240d) 288e) 360ProbabilidadeCONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE1. DEFINIÇÃO - ESPAÇO AMOSTRALO espaço amostral de um experimento é o conjunto de todos resultados possíveis desseexperimento.Seja S o espaço amostral.Então, para cada resultado possível, do experimento, corresponde um, e somente um, pontow em S. Além disso, resultados distintos correspondem a pontos distintos em S.01. ExemploExperimento 1.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org88Lançar uma moeda equilibrada e observar a face superior.Podemos garantir que só há dois resultados possíveis, cara (H) ou coroa (T). Serepresentarmos este resultado por H e T , então cada resultado possível do experimentocorresponde exatamente a um elemento do conjunto (H;T). Este conjunto de resultadosserá chamado de espaço amostral para o experimento e representaremos por S = {(H;T)}.Experimento 2.Lançar um dado honesto e observar o número da face superior.Evidentemente que o conjunto de todos os resultados possíveis neste caso é S = {1, 2, 3, 4,5, 6}.2. DEFINIÇÃO - EVENTOUm evento é um subconjunto do espaço amostral S.02. ExemploNo experimento 2. Alguns dos eventos são:A = observa-se um número ímparB = observa-se um número menor ou igual a 3Observamos que A e B são subconjuntos de S, pois A = {1, 3, 5} e B= {1, 2, 3}.Observação:S: é chamado de evento certo∅: é chamado de evento impossível3. DEFINIÇÃO - UNIÃO DE EVENTOSA união de eventos A e B em S é o conjunto de todos os pontos que pertencem a pelomenos um dos conjuntos A ou B.{ }A ou B = A B = x | x A ou x BS∪ ∈ ∈ ∈4. DEFINIÇÃO - INTERSECÇÃO DE EVENTOSA intersecção dos eventos A e B em S é o conjunto de todos os pontos que pertencem a A eB.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org89{ }A ou B = A B = x | x A e x BS∩ ∈ ∈ ∈5. DEFINIÇÃO - EVENTO EXCLUSIVO (OU DISJUNTOS)Se A B =∩ ∅ , então os eventos são mutuamente exclusivos.6. DEFINIÇÃO - EVENTO COMPLEMENTARO evento Acé o conjunto de todos os pontos que não estão em A e é denominadocomplemento de A.{ }cA = x | x AS∈ ∉7. DEFINIÇÃO - DIFERENÇA DE EVENTOSA diferença de A e B ou complemento do evento B com relação ao evento A, é o conjuntode todos os pontos em S que pertencem ao evento A mas não pertencem ao B.{ }cA - B = A B = x | x A e x BS∩ ∈ ∈ ∉Se A é um evento, no experimento 2 parece razoável definir:
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org90número de resultados favoráveis de AP(A) =número de resultados possíveisisto é:número de resultados favoráveis de AP(A) =6Esta definição é coerente quando o S é finito e estamos indiferentes diante dos resultadospossíveis.No experimento 2.( )1;6iiP S= ∀ ∈No experimento 1.( )1;2 ii wwP S= ∀ ∈Suponha que para todo evento A está associado um número real P(A) chamado deprobabilidade de A, tal que:1. P(A) ≥ 02. P(S) = 13. Se A e B são eventos aleatórios disjuntos, então, ( ( ) ( )P A B P A P B∪ = +Obs.: Os eventos são disjuntos se são mutuamente exclusivos, i.e., A B =∩ ∅A função P satisfazendo 1, 2 e 3 é chamada probabilidade.8. PROPRIEDADES DE PROBABILIDADEP1) ( ) 1 ( )cP A P A= −P2) 0 ( ) 1P A≤ ≤P3) Se A B P(A) P(B)⊂ ⇒ ≤P4) ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ ≤ +
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org91P5) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩9. PROBABILIDADE CONDICIONALa. DefiniçãoA probabilidade condicional de A dado B é representada por P(A/B) e definida por:( )( / )( )P A BP A BP B∩= para ( ) 0P B ≠Considere o diagrama de Venn:Se A e B são desenhados de modo que as áreas de A, B e A∩ B são proporcionais às suasprobabilidades, então P(A/B) é a proporção do evento B ocupada pelo evento A.Observe que:( ) ( / ) ( )P A B P A B P B∩ = ×b. TeoremaTeorema da multiplicação ou teorema da probabilidade composta.Então:1. P(A∩ B) = P(A) ×P(B / A) = P(B)×P(A / B)2. P(A1 ∩ A2 ∩ ...∩ An) = P(A1)× P(A2 / A1)P(A3 / A1 ∩ A2) × P(A4 / A1 ∩ A2 ∩ A3)... P(An / A1 ∩ A2 ∩ ...∩ A4n-1)Exemplos03. Considere o experimento:Lançamento de duas moedas idênticas e equilibradas:a. Qual a probabilidade condicional de obter duas caras dado que se obteve cara na primeiramoeda.b. Determine a probabilidade condicional de obter duas caras, dado que se obteve pelomenos uma cara.SoluçãoNeste caso, o espaço amostral consiste de quatro pontos:S={HH, HT, TH, TT} cada um com probabilidade 1/4Sejam os eventos:A = {obtenha cara na primeira moeda}
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org92B = {obtenha cara na segunda moeda}a. Queremos1( ) 4 1( / )21( )2P A BP A B AP A∩∩ = = =b. Queremos1( ) 4 1( / )33( )4P A BP A B A BP A B∩∩ ∪ = = =∪04. Suponha que a população de uma certa cidade é constituída por 40% de homens e60% de mulheres. Suponha ainda que 50% dos homens e 30% das mulherestrabalham. Determine a probabilidade de que uma pessoa selecionada que trabalheseja homem.SoluçãoSejam os eventos:H = {A pessoa selecionada é homem}M= {A pessoa selecionada é mulher}T = {A pessoa selecionada trabalha}N = {A pessoa selecionada não trabalha}daí, temos as seguintes probabilidadesP(H) = 4/10P(M) = 6/10P(T/H) = 1/2P(T/M) = 3/10Queremos:a( ) ( ) ( / )( / ) (*)( ) ( )P H T P H P T HP H TP T P T∩ ×= =Mas observe que a pessoa que trabalha é homem ou mulher, logo temos:( ) ( )T T H T M= ∩ ∪ ∩daí temos que:T H∩ e T M∩ são disjuntos, daí:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( / ) ( ) ( / )P T P T H P T M P T P H P T H P M P T M= ∩ + ∩ ⇒ = × + ×daí voltando em * temos:4 1( ) ( / ) 10 2( / )6 34 1( ) ( / ) ( ) ( / )10 2 10 10P H P T HP H TP H P T H P M P T M××= = =× + × × + ×444 100 2020218 384 20 38 3820 100 100= = = × =+
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org9305. Selecionamos, ao acaso, três cartas de um baralho, sem reposição. Qual aprobabilidade de selecionar 3 reis?SoluçãoSejam os eventos aleatórios:A1 = (selecionamos rei na primeira extração)A2 = (selecionamos rei na segunda extração)A3 = (selecionamos rei na terceira extração)Queremos 1 2 3( )P A A A∩ ∩Pelo teorema b) temos:1 2 3 1 2 3 1 24 3 2( ) ( ) ( / 1) ( / )52 51 50P A A A P A P A A P A A A∩ ∩ = × × ∩ = × ×06. Em um experimento com n lançamentos de uma moeda com probabilidade deocorrer cara igual a p e 1 - p para coroa supomos que cada lançamento não influi nosresultados dos outros lançamentos. Neste caso nosso espaço amostral é:{ } { }1 2 i i, ,..., onde x 0 ou 1 e x 0nS x x x= = =se o i-ésimo lançamento ocorreu coroa e xi = 1 se o i-ésimo lançamento ocorreu cara.Se Ai é o evento onde o i-ésimo lançamento ocorre cara, temos P ( Ai ) = p.Queremos a probabilidade de ocorrer k caras nos n lançamentos.Suponhamos (S.P.G) ocorreu k caras nos k primeiros lançamentos e n–k coroas nosrestantes. A probabilidade disto acontecer é:1 2 1 1 1 2 1 1( ... ... ) ( ) ( )... ( )... ( )... ( ) (1 )c c c c c k n kk k k k k k nP A A A A A P A P A P A P A P A p p −+ + + + +∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ = × = −Seja o evento Bk – ocorre exatamente k caras nos n lançamentos das moedas logo( ) (1 )k n kknP B p pk−⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠(porque?)10. DEFINIÇÃOSejam A1, A2, ... , An eventos aleatórios.Suponhamos que os Ai são mutuamente exclusivos e que: 1 iA SniU= =Então dizemos que Ai são mutuamente exaustivos e que os Ai formam uma partição doespaço amostral S.11. TEOREMATeorema da probabilidade total. Se a seqüência de eventos A1, A2, ..., An formar umapartição do espaço amostral S então:( )1( ( ) /ni iP B P A P B A= ∑ ×para todo evento B⊂ S tal que P (B) > 0
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org94O teorema acima é evidente pois se os Ai formam uma partição de S então:( )1ni iB U A B== ∩E como os Ai são disjuntos, logo:( )( ) ( ) ( ) ( )11 1( ) /n nni i i i ii iP B P U A B P A B P A P A B== == ∩ = ∑ ∩ = ∑Usando este teorema podemos calcular:( )( ) ( )( ) ( )1( ) //( ) /i i ii nj ijP A B P A P B AP A BP B P A P B A=∩ ×= =∑ ×Esta fórmula é conhecida como fórmula de Bayes.12. INDEPENDÊNCIA1. DefiniçãoDois eventos aleatórios A e B são estatisticamente independentes se P (A∩ B)= P(A).P(B).13. TEOREMASe A e B são dois eventos independentes em um espaço amostral S, então os pares deeventos A e BC, ACe B , ACe BCtambém são independentes.Observações:1. Se P(A) = 0 então A é independente de qualquer outro evento aleatório.2. Se P(A) = 1, então A é independente de qualquer outro evento aleatório.3. Um evento A é independente de si mesmo s.s.s. P(A) = 0 ou P(A) =14. Se A∩ B=∅ então não são independentes, a menos que P(A) ou P(B) seja 0 ou 1.EXERCÍCIOS PROPOSTOS121) (FGV) Uma comissão de três pessoas é formada escolhendo-se ao acaso entreAntônio, Benedito, César, Denise e Elisabete. Se Denise não pertence à comissão, quala probabilidade de César pertencer?a.34b.32c.24d.23e.36Resposta: A.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org95122) (FGV) Numa escola existem seis casais; entre estas 12 pessoas, duas sãoselecionadas ao acaso.a) Qual a probabilidade de selecionarmos um homem e sua esposa?b) Qual a probabilidade de selecionarmos dois homens?Resposta:1 511 22e123) (FGV) Num certo país, 10% das declarações de imposto de renda são suspeitase submetidas a uma análise detalhada; entre estas verificou-se que 20% sãofraudulentas. Entre as não suspeitas, 2% são fraudulentas.a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade dela ser suspeita efraudulenta?b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade dela ter sido suspeita?a. 1% e 52,75%b. 2% e 53,66%c. 4% e 52,63%d. 2% e 52,63%e. 5% e 25,36%Resposta: D.124) (FGV) Um fichário tem 25 fichas, etiquetadas de 11 a 35.a) Retirando-se uma ficha ao acaso, qual probabilidade é maior: de ter etiqueta porou ímpar? Por que?b) Retirando-se ao acaso duas fichas diferentes, calcule a probabilidade de que suasetiquetas tenham números consecutivos.Resposta: a. Ímpar; b. 8%.125) (FGV) A área da superfície da Terra é aproximadamente 510 milhões de km2.Um satélite artificial dirige-se aleatoriamente para a Terra. Qual a probabilidade deele cair numa cidade cuja cuperfície tem área igual a 102km2?a. 2.10-9b. 2.10-8c. 2.10-7d. 2.10-6e.2.10-5Resposta: C.126) (FGV) Um recipiente contém 4 balas de hortelã, 5 de morango e 3 de anis. Seduas balas forem sorteadas sucessivamente e sem reposição, a probabilidade de quesejam de mesmo sabor é:
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org96a.1865b.1966c.2067d.2168e.2269Resposta: B.127) a) (FGV) Uma urna contém 5 bolinhas numeradas de 1 a 5. Uma bolinha ésorteada, tem observado seu número, e é recolocada na urna. Em seguida, umasegunda bolinha é sorteada e tem observado seu número. Qual a probabilidade de quea soma dos números sorteados seja superior a 2?b) Uma urna contém n bolinhas numeradas de 1 a n. Sorteando-se duasbolinhas sucessivamente com reposição, e observando-se os números do 1º e do 2ºsorteio, quantos resultados são possíveis? Qual seria a resposta se não houvessereposição?Soluçãoa) Espaço amostral (S): S = {(1,1), (1,2), (1,3) (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), ..., (5,5)}n (S) =25Seja o evento A tal que : A = “A soma dos números sorteados é superior a 7”.A = {(3,5), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5), (5,3)}N (A) = 6Logo a probabilidade pedida é625.b) Com reposição:Pelo princípio da fundamental da contagem, temos n×n = n2resultados possíveis.Sem reposição:Pelo princípio da fundamental da contagem, temos n (n-1) resultados possíveis.Resposta: a)625; b) n2e n(n-1)128) (FUVEST) Uma pessoa dispõe de um dado honesto, que é lançadosucessivamente quatro vezes. Determine a probabilidade de que nenhum dos númerossorteados nos dois primeiros lançamentos coincida com algum dos números sorteadosnos dois últimos lançamentos.a.3365
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org97b.3166c.7235d.3572e.3369Resposta: D.129) (FGV) Em um determinado jogo, são sorteados 3 números entre os 30 que estãono volante de apostas. O apostador, que assinala 6 números no volante, ganha, setodos os 3 números sorteados estiverem entre os 6 assinalados. A probabilidade de oapostador ganhar é:a.1203b.1507c.1156d.1280e.198Resposta: A.130) (FGV) Em uma comunidade, 80% dos compradores de carros usados são bonspagadores. Sabe-se que a probabilidade de um bom pagador obter cartão de crédito éde 70%, enquanto que é de apenas 40% a probabilidade de um mau pagador obtercartão de crédito. Selecionando-se ao acaso um comprador de carro usado dessacomunidade, a probabilidade de que ele tenha cartão de crédito é de:a. 56%b. 64%c. 70%d. 32%e. 100%Resposta: B.131) (FGV) Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B são tais queP(A∪ B) = 0,8 e P(A) = 0,3. Podemos concluir que o valor de P(B) é:
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org98a. 0,5b.57c. 0.6d.715e. 0,7Resposta: B.132) (FUVEST) Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face 6saia com o dobro de freqüência da face 1, e que as outras faces saiam com afreqüência esperada em um dado não viciado. Qual a freqüência da face 1?a.13b.23c.19d.29e.112Resposta: C.133) (FUVEST) Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que nãotem algarismos adjacentes iguais?a. 59b. 9×84c. 8×94d. 85e. 95Resposta: E.134) (FGV) Um lote com 20 peças contém 2 defeituosas. Sorteando-se 3 peças desselote, sem reposição, a probabilidade de que sejam não defeituosas è:a.6895b.7095
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org99c.7295d.7495e.7695Resposta: A.135) Sejam A, B e C três eventos associados a um experimento. Exprima emanotações de conjuntos, as seguintes afirmações verbais:a) Ao menos um dos eventos ocorre.b) Exatamente um dos eventos ocorre.Resposta: a) (A∪ B∪ C); b) ( ) ( ) ( )∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩A B C A B C A B C .136) Suponha que A e B sejam eventos tais que P(A) = a, P(B) = b, e P(A∩ B) = c.Exprima cada uma das seguintes probabilidades em têrmos de x, y e z.a. ( )P A B∪ b. ( )P A B∩ c. ( )P A B∪ d. ( )P A B∩Resposta: a. 1-c; b. b-c; c. 1-a+c; d. 1-a-b+c.137) Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P(A) = P(B) = P(C) =1/4, P(A∩ B)= P(C∩ B)=0 e P (A∩ C) =1/8. Calcule a probabilidade de que pelo menos um doseventos A, B ou C ocorra.a.68b.58c.89d.59e.78Resposta: B.138) Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha queP(A) = 0,4 , enquanto ( ) 0,8P A B∪ = . Seja P(B) = p.a) Para que valor de p, A e B serão disjuntos?b) Para que valor de p, A e B serão independentes?
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org100Resposta: a. p= 0,4; b. p = 2/3.139) Uma empresa fabrica motores a jato em duas fábricas A e B. Um motor éescolhido ao acaso de um lote de produção. Nota-se que o motor apresenta defeitos. Deobservações anteriores a empresa sabe que 2% e 3% são as taxas de motoresfabricados com algum defeito em A e B, respectivamente. Sabendo-se que a fábrica Aé responsável por 40% da produção, assinale a opção que dá a probabilidade de que omotor escolhido tenha sido fabricado em A.a) 0,400b) 0,030c) 0,012d) 0,308e) 0,500Resposta: A140) Beatriz, que é muito rica, possui cinco sobrinhos: Pedro, Sérgio, Teodoro, Carlos eQuintino. Preocupada com a herança que deixará para seus familiares, Beatriz resolveusortear, entre seus cinco sobrinhos, três casas. A probabilidade de que Pedro e Sérgio,ambos, estejam entre os sorteados, ou que Teodoro e Quintino, ambos, estejam entre ossorteados é igual a:a) 0,8b) 0,375c) 0,05d) 0,6e) 0,75Resposta: D141) Uma equipe de peritos criminais precisa descobrir a posição correta de umesconderijo e para tal dispõe somente do pedaço de um bilhete rasgado.A equipe situa-se na posição desse poço que se encontra dentro de um terreno de áreacircular de raio igual a 100 passos e não possui bússola para indicar o norte. Além
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org101disso, é noite. O bilhete rasgado não deixa claro se o número de passos a ser dado é demúltiplos de três ou de oito. Entretanto, a equipe é formada por peritos que entendemde métodos de contagem e que decidem usar o princípio da inclusão-exclusão: “SendoA e B conjuntos cujo número de elementos é dado por n(A) e n(B), respectivamente,então n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B), onde n(A∪B) é o número de elementos quepertence a pelo menos um dos conjuntos A e B”. Com base nesse princípio, determineo número máximo de tentativas que a equipe terá de realizar para encontrar oesconderijo.a) 33b) 12c) 45*d) 41e) 4Resposta: DTexto para os itens de 142 a 144Crianças e adolescentes que trabalham no Brasil somam 2,9 milhões, mais do que aspopulações somadas de Rondônia, Amapá, Acre e Roraima. O Nordeste é a região queapresenta maior ocorrência do trabalho infantil. Lá, 15,9% das crianças e adolescentes com17 anos de idade trabalham. A menor taxa é no Sudeste (8,6%). Concentram-se no campo76,7% das crianças ocupadas de 5 a 9 anos de idade. Em sua maioria, não recebemremuneração (64,4%) ou estão envolvidas na produção para consumo próprio (26,9%). Opercentual de garotos trabalhando (15,6%) é quase o dobro do das meninas.Entre 2004 e 2005, cresceu 10,3% o número de menores entre 5 e 14 anos de idadeocupados, apesar da proibição legal. Na faixa até 17 anos de idade, o aumento é bemmenor: subiu de 11,8% para 12,2%, interrompendo tendência de queda desde 1992.Jornal do Senado (Edição Semanal), 18-24/6/2007, p. 11 (com adaptações).Considerando que o número de crianças e adolescentes com até 17 anos de idade quetrabalham no Brasil seja igual a 2.899.800 e que a quantidade deles por região brasileiraseja diretamente proporcional ao número de unidades federativas da respectiva região —são 27 as unidades federativas brasileiras, incluindo-se o Distrito Federal como unidadefederativa da região Centro-Oeste —, julgue os itens seguintes, tendo como referência asinformações contidas no texto acima.142) Na região Nordeste, que é formada por 9 unidades federativas, há mais de 6 milhõesde crianças e adolescentes com idade de até 17 anos.Resposta: Correto143) Na situação apresentada, escolhendo-se aleatoriamente um indivíduo entre os2.899.800 referidos, a probabilidade de ele ser da região Centro-Oeste ou da região Sudesteé superior a 0,2.Resposta: Correto
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org102144) Considere que, das crianças e adolescentes com até os 17 anos de idade que trabalham noBrasil, 20% tenham entre 5 e 9 anos de idade. Nesse caso, mais de 450.000 dessas crianças eadolescentes trabalham no campo.Resposta: Errado145) Uma bandeja de salgadinhos contém 9 bolinhas de carne, das quais 3 contêmtomates secos no recheio, e 7 bolinhas de queijo, das quais 4 contêm tomates secos norecheio. Como todas as bolinhas são de mesmo tamanho, não é possível identificar orecheio antes de abri-las. Se uma pessoa retirar, ao acaso, uma bolinha dessa bandeja, aprobabilidade de ela ter tomates secos éA)723.B)13.C)716.D)47.E)79.Opção correta: C.146) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro.Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Mariaguarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em sua pequena caixa de jóias. Uma noite,arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, umapulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata.Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Mariaretirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual aa) 1/3.b) 1/5.c) 9/20.d) 4/5.e) 3/5.Opção correta: A147) Marcelo Augusto tem cinco filhos: Primus, Secundus, Tertius, Quartus e Quintus.Ele sorteará, entre seus cinco filhos, três entradas para a peça Júlio César, de Sheakespeare.A probabilidade de que Primus e Secundus, ambos, estejam entre os sorteados, ou que
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org103Tertius e Quintus, ambos, estejam entre os sorteados, ou que sejam sorteados Secundus,Tertius e Quartus, é igual aa) 0,500.b) 0,375.c) 0,700.d) 0,072.e) 1,000.Resposta: C148) Luís é prisioneiro do temível imperador Ivan. Ivan coloca Luís à frente de três portase lhe diz: “Atrás de uma destas portas encontra-se uma barra de ouro, atrás de cada uma dasoutras, um tigre feroz. Eu sei onde cada um deles está. Podes escolher uma porta qualquer.Feita tua escolha, abrirei uma das portas, entre as que não escolheste, atrás da qual sei quese encontra um dos tigres, para que tu mesmo vejas uma das feras. Aí, se quiseres, poderásmudar a tua escolha”. Luís, então, escolhe uma porta e o imperador abre uma das portasnão-escolhidas por Luís e lhe mostra um tigre. Luís, após ver a fera, e aproveitando-se doque dissera o imperador, muda sua escolha e diz: “Temível imperador, não quero mais aporta que escolhi; quero, entre as duas portas que eu não havia escolhido, aquela que nãoabriste”. A probabilidade de que, agora, nessa nova escolha, Luís tenha escolhido a portaque conduz à barra de ouro é igual aa) 1/2.b) 1/3.c) 2/3.d) 2/5.e) 1.Resposta: C149) (Julgue certo ou errado) Considere-se que, das 82 varas do trabalho relacionadasno sítio do TRT da 9.ª Região, 20 ficam em Curitiba, 6 em Londrina e 2 em Jacarezinho.Considere-se, ainda, que, para o presente concurso, haja vagas em todas as varas, e umcandidato aprovado tenha igual chance de ser alocado em qualquer uma delas. Nessascondições, a probabilidade de um candidato aprovado no concurso ser alocado em uma dasvaras de Curitiba, ou de Londrina, ou de Jacarezinho é superior a13.Resposta: Correto.150) (Julgue certo ou errado) De 100 processos guardados em um armário, verificou-seque 10 correspondiam a processos com sentenças anuladas, 20 estavam solucionados semmérito e 30 estavam pendentes, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente.Nessa situação, a probabilidade de se retirar desse armário um processo que esteja com
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org104sentença anulada, ou que seja um processo solucionado sem mérito, ou que seja umprocesso pendente, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente, é igual a35.Resposta: Correto.151) O seguinte enunciado se refere à probabilidade de que exatamente um doseventos A ou B ocorra. Verifique que( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )P A B B A P A P B P A B⎡ ⎤∩ ∪ ∩ = + − ∩⎣ ⎦.SEQÜÊNCIASSeqüências EspeciaisDizemos que a seqüência de números reais a1, a2, a3,....., an é uma progressãoaritmética(P.A.) de ordem k se a k-ésima diferença é constante.Exemplo:1) 2, 5, 8, 11, 14, 17,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois.....3 3 3 3 3 3 ......... k = 12) 1, 4, 9, 16, 25, 36,. .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois......3, 5, 7, 9, 11, ...............2, 2, 2, 2, 2,...... k = 2Proposição:Se um seqüência é uma progressão aritmética de ordem k então o termo geral é de grauk em n.Exemplo:3) Qual o termo geral da seqüência 2, 5, 8, 11, 14, 17,...., e qual o 15ª termo?Solução2, 5, 8, 11, 14, 17,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois.....3 3 3 3 3 3 ......... k = 1Logo o termo geral é de grau 1. Isto é an = An + B (1ª grau em n).Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema:n = 1 A + B = 2 (equação 1)n = 2 2A+ B = 5 (equação 2)Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 3.Substituindo A = 3 na equação 1 temos B = -1Logo o termo geral é an = 3n -1O 15ª termos será a15 = 3x15 -1 = 45-1 = 44.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org105Exemplo:4) Qual o termo geral da seqüência 1, 4, 9, 16, 25, 36,......, e qual o 15ª termo?Solução1, 4, 9, 16, 25, 36,. .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois......3, 5, 7, 9, 11, ...............2, 2, 2, 2, 2,...... k = 2Logo o termo geral é de grau 2. Isto é an = An2+ Bn + C (2ª grau em n).Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema:n = 1 A + B + C = 1 (equação 1)n = 2 4A + 2B + C = 4 (equação 2)n = 3 9A + 3B + C = 9 (equação 3)Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos:3A + B = 3 (equação 4)8A + 2B = 8 4A + B = 4 (equação 5)Subtraindo a equação 4 da equação 5 temos:A = 1Substituindo A = 1 na equação 4 temos B = 0.Substituindo A = 1 e B = 0 na equação 1 temos C = 0.Logo o termo geral é:an = An2+ Bn + Can = 1n2+ 0n + 0an = n2O 15ª termos será a15 = 152= 225.Exemplo:5) Considere que uma mesa quadrada acomoda apenas 4 pessoas; juntando duasmesas desse mesmo tipo, acomodam-se apenas 6 pessoas; juntando-se três mesas,acomodam-se apenas 8 pessoas e, assim sucessivamente, como é mostrado nafigura abaixo:Nas mesmas condições, juntando 16 mesas, o número de pessoas que poderão seracomodadas é:a) 32b) 34c) 36
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org106d) 38e) 40Solução4, 6, 8, 10, 12, 14,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois.....2 2 2 2 2 2 ......... k = 1Logo o termo geral é de grau 1. Isto é an = An + B (1ª grau em n).Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema:n = 1 A + B = 4 (equação 1)n = 2 2A+ B = 6 (equação 2)Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 2.Substituindo A = 2 na equação 1 temos B = 2Logo o termo geral é an = 2n +2O 16ª termos será a16 = 2x16+2 = 32 +2 = 34Resposta: BExemplo:6) Mariana resolveu construir quadrados com palitos de fósforo. Para construirum quadrado 1 x 1 ela utilizou 4 palitos. Para fazer um 2 x 2 ela utilizou 12 palitos.a) Quantos palitos serão necessários para a construção de um quadrado 10x10?b) Quantos quadrados haverá nessa construção?Veja que na 1ª figura abaixo, só há um quadrado, mas na 2ª há cinco.Soluçãoa) 4, 12, 24, 40, 60, 84 .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois......8 12, 16, 20, 24, ...............4, 4, 4, 4, 4,...... k = 2Logo o termo geral é de grau 2. Isto é an = An2+ Bn + C (2ª grau em n).Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema:n = 1 A + B + C = 4 (equação 1)n = 2 4A + 2B + C = 12 (equação 2)n = 3 9A + 3B + C = 24 (equação 3)Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos:3A + B = 8 (equação 4)8A + 2B = 20 4A + B = 10 (equação 5)
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org107Subtraindo a equação 4 da equação 5 temos:A = 2Substituindo A = 2 na equação 4 temos B = 2.Substituindo A = 2 e B = 2 na equação 1 temos C = 0.Logo o termo geral é:an = An2+ Bn + Can = 2n2+ 2n + 0an = 2n2+ 2nO 10ª termos será a10 = 2x102+ 2x10 = 200 + 20 = 220b) Os quadrados formam a seqüência 1, 5, 14, 30, 55, 36, 81 ....1 5 14 30 ........1, 5, 14, 30, 55, 91 .. . é uma P.A. de 3ª ordem pois......4 9, 16, 25, 36, ...............5, 7, 9, 11, 13,............2, 2, 2, 2, 2,...... k = 3Logo o termo geral é de grau 3. Isto é an = An3+ Bn2+ Cn + D (3ª grau em n).Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema:n = 1 A + B + C +D = 1 (equação 1)n = 2 8A + 4B + 2C +D = 5 (equação 2)n = 3 27A + 9B + 3C +D= 14 (equação 3)n = 4 64A + 16B + 4C +D= 30 (equação 4)Fazendo cada equação menos a anterior temos:7A + 3B + C = 4 (equação 5)19A + 5B + C = 9 (equação 6)37A + 7B + C = 16 (equação 7)Subtraindo a equação 5 das equações 6 e 7 temos:12A + 2B = 5 (equação 8)30A + 4B = 12 (equação 9)
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org108Resolvendo o sistema em A e B temos:A = 1/3 e B = ½Substituindo A = 1/3 e B = ½ na equação 5 temos C = 1/6.Substituindo A = 1/3, B = ½ e C = 1/6 na equação 1 temos D = 0.Logo o termo geral é de grau 3. Isto é an = An3+ Bn2+ Cn + D e portanto o termogeral será:3 23 23 2 62 36nnn n nan n na= + ++ +=Logo3 2102.10 3.10 10 2000 300 10 23103856 6 6a+ + + += = = =Exemplo:7) Continuando a seqüência 47, 42, 37, 33, 29, 26, ... , temosa) 23.b) 22.c) 21.d) 24.e) 25.SoluçãoResposta: AExemplo:8) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .a) 14b) 15c) 17d) 19e) 21SoluçãoÉ a seqüência dos números primosResposta: CSeqüência de FibonacciA seqüência de números naturais 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... é chamada se seqüênciade Fibonacci. Logo cada termo é igual a soma dos dois termos anteriores, e o termogeral(an) da seqüência de Fibonacci é:
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org109nn-2 n-10 , se n = 1a = 1 , se n = 2a +a , se n = 3,4,5,6,...⎧⎪⎨⎪⎩9) Qual o próximo termo da seqüência: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .a) 15b) 17c) 21d) 22e) 25SoluçãoEsta seqüência é conhecida como seqüência de Fibonacci cada termo é a soma dos doistermos anteriores ( 8 + 13 = 21).Resposta: C10) Calcule o valor de x.y, sabendo que x e y são termos da seqüência abaixo:1, 2, 3, x, 6, 8, 9, 12, y, 24, 36, 72a) 48b) 64c) 68d) 72e) 90SoluçãoOs números são os divisores de 72. Logo x = 4 e y = 18, portanto x • y = 72Resposta: D11) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, . . .a) 12b) 13c) 14d) 15e) 16Solução2 + 2 = 44 + 1 = 55 + 2 = 77 + 1 = 88 + 2 = 1010 + 1 = 11
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org11011 + 2 = 1313 + 1 = 14Resposta: C12) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, . . .a) 29b) 30c) 32d) 34e) 36SoluçãoOs termos são os divisores positivos de 36.Resposta: E13) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 6, 12, 20, 31, 46, . . .a) 48b) 50c) 54d) 56e) 66SoluçãoVamos calcular as diferençasResposta: ESeqüência dos Números triangularesA seqüência de números naturais 1, 3, 6, 10, 15, 21,... é chamada se seqüência de númerostriangulares, e o termo geral(an) da seqüência de números triangulares é:nn(n+1)a =214) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 3, 6, 10, 15, 21, . . .a) 18b) 20c) 24d) 26e) 28Solução
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org111Temos a seqüência de números triangulares onde o sétimo serán7(7+1) 7 8 56a = 282 2 2×= = =Resposta: EEXERCÍCIOS PROPOSTOS152) (FCC) Usando palitos de fósforo inteiros é possível construir a seguinte sucessãode figuras compostas por triângulos:Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter uma figura compostade 25 triângulos, o total de palitos de fósforo que deverão ser usados éa) 45b) 49c) 51d) 57e) 61Resposta: C153) Qual o próximo termo da seqüência: 0, 6, 12, 18, 24, 30, . . .a) 33b) 34c) 35d) 36e) 39Resposta: D154) Qual o próximo termo da seqüência:1, 3, 3, 7, 5, 11, 7, 15, 9, 19, 11, 23, 13, 27, . . .a)14b)15c) 25d) 28e) 29Resposta: B155) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .a) 30b) 31c) 32
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org112d) 33e) 34Resposta: E156) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .a) 48b) 49c) 54d) 64e) 81Resposta: B157) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 2, 4, 6, 10, 16, . . .a) 22b) 23c) 24d) 25e) 26Resposta: E158) (FCC) Na figura abaixo, as letras foram dispostas em forma de umtriângulo segundo determinado critério.Considerando que as letras K, W e Y não fazem parte do alfabeto oficial, então, deacordo com o critério estabelecido, a letra que deve substituir o ponto deinterrogação éa) Pb) Qc) Rd) Se) TResposta: E159) (FCC) O triângulo abaixo é composto de letras do alfabeto dispostassegundo determinado critério.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org113Considerando que no alfabeto usado não entram as letras K, W e Y, então,segundo o critério utilizado na disposição das letras do triângulo a letra quedeverá ser colocada no lugar do ponto de interrogação éa) Cb) Ic) Od) Pe) RResposta: D160) Continuando a seqüência 4, 10, 28, 82, . . . , temosa) 236.b) 244.c) 246.d) 254.e) 256.Resposta: B161) Continuando a seqüência de letras F, N, G, M, H, ..., ... temos,respectivamente,a) O, P.b) I, O.c) E, P.d) L, I.e) D, L.Resposta: D162) Continuando a seqüência 47, 42, 37, 33, 29, 26, ... , temosa) 23.b) 22.c) 21.d) 24.e) 25.Resposta: A
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org114163) Os números no interior dos setores do círculo abaixo foram marcadossucessivamente, no sentido horário, obedecendo a uma lei de formação.Segundo essa lei, o número que deve substituir o ponto de interrogação éa) 210b) 206c) 200d) 196e) 188Resposta: A164) (FCC) No quadriculado seguinte os números foram colocados nas célulasobedecendo a um determinado padrão.Seguindo esse padrão, o número X deve ser tal quea) X > 100b) 90 < X <100c) 80 < X < 90d) 70 < X < 80e) X < 70Resposta: A165) Pedro está construindo casas de cartas. Na figura estão representadas ascartas de um, dois e três andares que ele construiu. Quantas cartas João precisarápara construir uma casa de 30 andares?Resposta: 1365
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org115166) (FCC) Considere que a seguinte seqüência de figuras foi construída segundodeterminado padrão.Mantido tal padrão, o total de pontos da figura de número 25 deverá ser igual aa) 97b) 99c) 101d) 103e) 105Resposta: C167)Resposta: 2420168) (FCC) Usando palitos de fósforo inteiros é possível construir a seguintesucessão de figuras compostas por triângulos:Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter uma figura compostade 25 triângulos, o total de palitos de fósforo que deverão ser usados éa) 45b) 49c) 51d) 57e) 61
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org116Resposta: C169) (FCC) Um programa de computador faz aparecer pontos luminosos nomonitor. Inicialmente escuro, conforme padrão pré-estabelecido. Na 1ª etapasurgem 2 pontos luminosos, na 2ª etapa surgem 4 pontos ( totalizando 6 pontos natela), na 3ª etapa surgem mais 12 pontos. Assim, a cada etapa, surge o dobro donúmero de pontos luminosos existentes na tela ao final da etapa anterior. Se essepadrão for mantido, ao final da etapa k tem-se, na tela, um número de pontosluminosos igual a :a) 4k2– 8 k + 6b) 2k2– 12 k + 12c) 2 . 3k-1d) 3 . 2k-1e) 2k+ 3 (k – 1)Resposta: C170) (FCC) Na seqüência de quadriculados abaixo, as células pretas foramcolocadas obedecendo a um determinado padrão.Mantendo esse padrão, o número de células brancas na Figura V seráa) 101b) 99c) 97d) 83e) 81Resposta: A171) (Mack) Na função f dada por(0) 14 ( ) 1( 1)4ff nf n=⎧⎪⎨ ++ =⎪⎩em que n é um número natural, f (44) vale:a)434b) 13
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org117c)454d) 12e) 15Resposta: D172) (NCE)Considere a seqüência abaixo:–– – –– – – – – –– – – – – – – – – –(1) (2) (3) (4) ..........Quantos pontos totais haverá nos triângulos formados com a soma do oitavo com onono termo da seqüência ?a) 9b) 81c) 90d) 99e) 100Resposta: B173) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 3, 6, 7, 8, 9, ....a)11b)12c)17d)18e)20Resposta: A174) Qual o próximo termo da seqüência: B, D, F, H : D, F, H, ...a) Ib) Jc) Kd) Le) MResposta: B175) Descobrir o número que falta
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org1183 ?14106975a) 1b) 2c) 6d) 9e) 18Resposta: E176) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 5, 11, 17, 23, 37, ...a) 31b) 37c) 41d) 43e) 45Resposta: D177) Considere a seguinte fórmula recursiva:f (0) = 500f (n + 1) = f (n) – 1, n ≥ 0, inteiro.Então o valor de f (500) é:a) –1b) 0c) 1d) 499e) 500Resposta: B178) Considere que os termos da sucessão (0, 1, 3, 4, 12, 13, ...) obedecem a uma leide formação. Somando o oitavo e o décimo termos dessa sucessão obtém-se umnúmero compreendido entre(A) 150 e 170(B) 130 e 150(C) 110 e 130(D) 90 e 110(E) 70 e 90Opção A.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org119179) Considere que a seqüência (C, E, G, F, H, J, I, L, N, M, O, Q, ...) foi formada apartir de certo critério. Se o alfabeto usado é o oficial, que tem 23 letras, então, deacordo com esse critério, a próxima letra dessa seqüência deve ser(A) P(B) R(C) S(D) T(E) UResp. A180) Considere que a sucessão de figuras abaixo obedece a uma lei de formação.O número de circunferências que compõem a 100afigura dessa sucessão é(A) 5 151(B) 5 050(C) 4 950(D) 3 725(E) 100Resp. B181) Segundo um determinado critério, foi construída a sucessão seguinte em quecada termo é composto de um número seguido de uma letra:A 1 – E 2 – B 3 – F 4 – C 5 – G 6 – ...Considerando que no alfabeto usado são excluídas as letras K, Y e W, então, deacordo com o critério estabelecido, a letra que deverá anteceder o número 12 é(A) J(B) L(C) M(D) N(E) OResp. ATexto para os itens de 44 a 48Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadasverdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, taiscomo: a proposição condicional, denotada por P →Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V,nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P ∨ Q, que será F somente quando P e Qforem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ∧ Q, que será Vsomente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P,
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org120que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição éum conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição.A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes.44 As tabelas de valorações das proposições P ∨ Q e Q →¬P são iguais.45 As proposições (P ∨ Q) →S e (P → S) ∨ (Q →S) possuem tabelas de valorações iguais.46 O número de tabelas de valorações distintas que podem ser obtidas para proposições comexatamente duas variáveis proposicionais é igual a 24.SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOSTexto para os itens de 01 a 05. (CESPE)Considere as sentenças abaixo.I Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.II Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.III Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.IV Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, entãofumar deve ser proibido.V Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve serproibido; conseqüentemente, muitos europeus fumam.Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto,julgue os itens seguintes.1) A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬ T).Solução(ERRADO) Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.( P ∧ T )2) A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∧ (¬ R).Solução(CERTO) Fumar não deve ser proibido E fumar faz bem à saúde( ¬ P ) ∧ ( ¬ R )3) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org121Solução(CERTO) Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.R → P4) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬ T)) → P.Solução(CERTO) ( R ∧ (¬ T ) ) → P5) A sentença V pode ser corretamente representada por T→((¬ R) ∧ (¬ P)).Solução(ERRADO) (¬ R ∧ ¬ P) → TTexto para os itens de 06 a 10. (CESPE)Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬ , ∧ ,∨ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e,ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume umúnico valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nuncaambos.Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.6) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) ∨ (¬ Q)também é verdadeira.Solução(¬ P) ∨ (¬ Q)(¬ V) ∨ (¬ V)F ∨ FFResposta: Errado.7) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:(I) O BB foi criado em 1980.(II) Faça seu trabalho corretamente.(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.Solução(I) O BB foi criado em 1980. É PROPOSIÇÃO.(II) Faça seu trabalho corretamente. NÃO É PROPOSIÇÃO.(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. É PROPOSIÇÃO.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org122Temos duas proposições.Resposta: Certo.8) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬ T)é falsa.SoluçãoR → (¬ T)F → (¬ V)F → FVResposta: Errado.9) A proposição simbólica ( )P Q R∧ ∨ possui, no máximo, 4 avaliações V.SoluçãoQueremos fazer a tabela verdade de ( )P Q R∧ ∨ . Como temos 3 proposições simplestemos 23=8 linhas na tabela verdade.Primeiro vamos fazer a tabela verdade de( )P Q∧ :P Q R ( )P Q∧V V V VV V F VV F V FF V V FV F F FF V F FF F V FF F F FAgora vamos fazer a tabela verdade de ( )P Q R∧ ∨ :P Q R ( )P Q∧ ( )P Q R∧ ∨V V V V VV V F V VV F V F VF V V F VV F F F FF V F F FF F V F VF F F F FPassou 5 avaliações verdadeiras.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org123Resposta: Errado.10) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição(P ∧ R) → (¬ Q) é verdadeira.Solução(P ∧ R) → (¬ Q)(V∧ F) → (¬ V)(V∧ F) → FF → FVResposta: Certo.11) Determine o valor verdade da sentença[A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)].Sabendo-se que: VAL (A) = V, VAL (B) = F e VAL (C) = VSolução[A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)][V ∧ (F → V)] ↔ [¬ V ∧ (F ∨ V)][V ∧ V] ↔ [F ∧ V]V ↔ FFResposta: VAL{[ A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)]} = FObs.:Doravante nos exercícios usaremos a notação VAL(X) para representar o valor verdade de X.12) Determinar o valor da sentença A → [(¬ B ↔C) ∧ (C ∨ D)], sabendo-se que:VAL (A) = V, VAL (B) = F, VAL (C) = F e VAL (D) = VSoluçãoA → [(¬ B ↔C) ∧ (C ∨ D)]V → [(¬ F ↔F) ∧ (F ∨ V)]V → [(V ↔F) ∧ (F ∨ V)]V → [F ∧ V]V → FFResposta: VAL {A → [(¬ B ↔ C) ∧ (C ∨ D)]} = F13) Assinale quais das sentenças abaixo são proposições:a) O Professor Joselias é bonito.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org124b) O Brasil é um País da América do Sul.c) A Receita Federal pertence ao Poder Judiciário.d) Que belo dia!e) Boa sorte!f) Joselias é um bom professor?g) Que horas são?h) O jogo terminou empatado?i) Faça seu trabalho corretamente.j) Estude e limpe o quarto.l) Esta proposição é falsam) 2 + 3 > 5n) x + y > 5o) A terra é um planeta.p) x é um planeta.Soluçãoa) O Professor Joselias é bonito. (É PROPOSIÇÃO)b) O Brasil é um País da América do Sul. (É PROPOSIÇÃO)c) A Receita Federal pertence ao Poder Judiciário. (É PROPOSIÇÃO)d) Que belo dia! (NÃO É PROPOSIÇÃO)e) Boa sorte! (NÃO É PROPOSIÇÃO)f) Joselias é um bom professor? (NÃO É PROPOSIÇÃO)g) Que horas são? (NÃO É PROPOSIÇÃO)h) O jogo terminou empatado? (NÃO É PROPOSIÇÃO)i) Faça seu trabalho corretamente. (NÃO É PROPOSIÇÃO)j) Estude e limpe o quarto. (NÃO É PROPOSIÇÃO)l) Esta proposição é falsa. (NÃO É PROPOSIÇÃO)m) 2 + 3 > 5. (É PROPOSIÇÃO)n) x + y > 5. (NÃO É PROPOSIÇÃO)o) A terra é um planeta. (É PROPOSIÇÃO)p) x é um planeta. (NÃO É PROPOSIÇÃO)14) (FGV) A proposição ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) representa um:a. Contradiçãob. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.ASolução¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) é a tautologia de Morgan.Resposta: C15) (FGV) A proposição ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) representa um:a. Contradição
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org125b. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.ASolução¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) é a tautologia de Morgan.Resposta: C16) A proposição (¬p ∨ q) ↔ (p → q) representa um:a. Contradiçãob. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.ASolução(¬p ∨ q) ↔ (p → q) é tautologia.Resposta: C17) A proposição (p → q) ↔ (¬q → ¬p) representa um:a. Contradiçãob. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.ASolução(p → q) ↔ (¬q → ¬p) é a tautologia chamada contra-positiva.Resposta: C18) A proposição (p ∨ ¬p) representa um:a. Contradiçãob. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.ASolução(p ∨ ¬p) é tautologia.Resposta: C19) A proposição (p ∧ ¬p) representa um:a. Contradiçãob. Contingência
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org126c. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.ASolução(p ∧ ¬p) é contradiçãoResposta: A20) A proposição ¬ (¬p) ↔ p representa um:a. Contradiçãob. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.ASolução¬ (¬p) ↔ p é tautologia.Resposta: C21) A proposição ¬ (¬ (¬p)) ↔ ¬p representa um:a. Contradiçãob. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.ASolução¬ (¬ (¬p)) ↔ ¬p é tautologia.Resposta: C22) (FGV) – Quando se afirma que P → Q (P implica Q) então:a) Q é condição suficiente para P.b) P é condição necessária para Q.c) Q não é condição necessária para Pd) P é condição suficiente para Q.e) P não é condição suficiente nem necessária para Q.SoluçãoP é condição suficiente para Q.Q é condição necessária para P.Resposta: D23) Uma sentença lógica equivalente a “Se Pedro é economista, então Luisa ésolteira.” é:a) Pedro é economista ou Luisa é solteira.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org127b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira.c) Se Luisa é solteira, Pedro é economista.d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira.e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista.Solução(Se Pedro é economista, então Luisa é solteira)( )p q→é equivalente(contra-positiva) a( )q p¬ → ¬(Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista)Resposta: E24) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamenteequivalente a dizer que:a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheirod) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.e) André não é artista e Bernardo é engenheiroSolução(André é artista ou Bernardo não é engenheiro)A expressão acima é equivalente a:(Bernardo não é engenheiro ou André é artista)( )p q¬ ∨é equivalente a( )p q→(Se Bernardo é engenheiro, então então André é artista)Resposta: D25) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico,o mesmo que dizer que:a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulistab) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiroc) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulistad) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulistae) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulistaSolução(Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista)
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org128( )p q¬ ∨é equivalente a( )p q→(Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista)Resposta: A26) A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é:a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuvab) não está chovendo e eu levo o guarda-chuvac) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuvad) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuvae) está chovendo e eu não levo o guarda-chuvaSolução(Se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva)( )p q¬ →é equivalente a( )p q∧ ¬(Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva)Resposta: E27) (FCC-ICMS-SP)Se p e q são proposições, então a proposição éequivalente aSolução( )p q¬ → é equivalente a ( )p q∧ ¬Resposta: B28) (FCC-ICMS-SP)Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente aé
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org129Solução( )p q→ é equivalente(contra-positiva) a ( )q p¬ → ¬Resposta: A29) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a (~p∧~q) éa) ~(p ∨ q) b) (~p ∧ q) c) (p ∨ q) d) (p ∧ ~q) e) (~p ∨ q)Solução¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) é a tautologia de Morgan.Resposta: A30) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a (~p ∨ ~q) éa) ~(p ∨ q)b) ~ (p ∧ q)c) (p ∨ q)d) (p ∧ ~q)e) (~p ∨ q)Solução¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨¬q) é a tautologia de Morgan.Resposta: B31) Assinale qual das alternativas abaixo representa uma contradição.a) (p ∨ q) → (p ∧ q)b) (p ∨ q) → qc) (~p ∨ p) → (~p ∧ p)d) p→ (p ∧ q)e) p→ (p ∨ q)SoluçãoObserve que:A proposição (~p ∨ p) é uma tautologia, portanto é sempre verdadeira.A proposição (~p ∧ p) é uma contradição, portanto é sempre falsa.Sendo assim a proposição (~p ∨ p) → (~p ∧ p) é sempre falsa.Resposta: C32)Assinale qual das alternativas abaixo representa uma tautologia.a) (~p ∨ p) → qb) (p ∨ q) → (p ∧ q)c) (p ∨ q) → qd) p→ (p ∧ q)e) p→ (p ∨ q)
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org130SoluçãoA condiciona é falsa apenas quando temos V→ F, e a disjunção é sempre verdadeira sepelo menos uma das proposições é verdadeira. Então a proposição p→ (p ∨ q) será sempreverdadeira , pois se p é verdade então (p ∨ q) também será.Resposta: E33) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.p q ?V V FV F FF V VF F FA proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação éa) (p ∧ q)b) (~p ∧ ~q)c) (p ∧ ~q)d) (~p ∧ q)e) (p → q)SoluçãoObserve que apenas na terceira linha da tabela observamos o valor verdade(V) na coluna ?.p q ?V V FV F FF V VF F FNessa mesma linha a proposição p é falsa( então considere ~p) e a proposição q éverdadeira(então considere q). Nesse caso temos na linha (~p ∧ q).Resposta: D34) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.p q ?V V FV F FF V FF F VA proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação éa) (p ∧ q)b) (~p ∧ ~q)c) (p ∧ ~q)d) (~p ∧ q)e) (p → q)
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org131SoluçãoObserve que apenas na quarta linha da tabela observamos o valor verdade(V) na coluna ?.p q ?V V FV F FF V FF F VNessa mesma linha a proposição p é falsa(então considere ~p) e a proposição q éfalsa(então considere ~q). Nesse caso temos na linha (~p ∧ ~q).Resposta: B35) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Suatabela-verdade ép q r sV V V FV V F VV F V VF V V FV F F FF V F FF F V FF F F FUsando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentençasequivalentes a s. Uma dessas sentenças éa) [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)]b) [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)]c) [p∧ q ∧ (~r)] ∨ [p ∧ (~q) ∧ r]d) [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r]e) ~ [p ∧ q ∧ r]SoluçãoObserve que apenas a segunda e terceira linha da tabela verdade de s são verdadeiras.p q r sV V V FV V F VV F V VF V V FV F F FF V F FF F V FF F F F
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org132Na segunda linha p é verdadeira e q é verdadeira e r é falsa, logo temos p∧ q ∧ (~r).Na terceira linha p é verdadeira e q é falsa e r é verdadeira, logo temos p ∧ (~q) ∧ r.Como s é verdadeira na segunda ou na terceira linha teremos:[p∧ q ∧ (~r)] ∨ [p ∧ (~q) ∧ r]Resposta: C36) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.p q ?V V VV F VF V VF F FA proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação éa) (p ∨ q)b) (~p ∧ ~q)c) (p ∧ ~q)d) (~p ∧ q)e) (p → q)SoluçãoObserve que apenas na quarta linha da tabela observamos o valor falso na coluna ?.p q ?V V VV F VF V VF F FNessa mesma linha a proposição p é falsa(então considere ~p) e a proposição q éfalsa(então considere ~q). Nesse caso temos na linha (~p ∧ ~q). Como o valor daproposição ? é falso temos ~ (~p ∧ ~q). Usando a equivalência de Morgan obtemos (p∨q).Resposta: A37) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Suatabela-verdade ép q r sV V V VV V F VV F V FF V V FV F F VF V F VF F V V
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org133F F F VUsando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentençasequivalentes a s. Uma dessas sentenças éa) [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)]b) [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)]c) [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r]d) [p ∨ q ∨ r]e) ~ [p ∧ q ∧ r]SoluçãoObserve que apenas a terceira e quarta linha da tabela verdade de s são falsas.p q r sV V V VV V F VV F V FF V V FV F F VF V F VF F V VF F F VNa terceira linha p é verdadeira e q é falsa e r é verdadeira, logo temos ~ (p∧ ~q ∧ r) pois atabela é falsa.Na quarta linha p é falsa e q é verdadeira e r é verdadeira, logo temos ~ (~p ∧q ∧ r) pois atabela é falsa.Como s é falsa na terceira e na quarta linha é falsa teremos:~ (p∧ ~q ∧ r) ∧ ~ (~p ∧q ∧ r) que é equivalente por Morgan a:[(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)]Resposta: A38) Considere as afirmações abaixo.I – Se p e q são proposições então ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ é uma tautologia.II - Se p e q são proposições então ( ) )p q q→ ∨ ∼ é uma tautologia.III – Se p e q são proposições então a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ .É verdade o que se afirma APENAS em(A) I.(B) II e III(C) I e III.(D) I e II.(E) I, II e III.SoluçãoVamos fazer a tabela verdade dos itens I e II:
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org134p q q∼ ( )p q↔∼ p q↔ ( )p q↔∼ ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼V V F F V F VV F V V F V VF V F V F V VF F V F V F VLogo I) ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ é tautologia.p q ( )p q→ q∼ ( ) )p q q→ ∨ ∼V V V F VV F F V VF V V F VF F V V VLogo II) ( ) )p q q→ ∨ ∼ é tautologia.Conforme vimos no material a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ .Resposta: E39) Considere as afirmações abaixo.I – Se p e q são proposições então a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ .II - Se p e q são proposições então a contrária de ( )p q→ é ( )p q→∼ ∼ .III – Se p e q são proposições então a contra-positiva de ( )p q→ é ( )q p→∼ ∼ .É verdade o que se afirma APENAS em(A) I.(B) II e III(C) I e III.(D) I e II.(E) I, II e III.SoluçãoI, II e III são corretas.Resposta: E40) A proposição ( ) [( ) ( )]p q p q p q↔ ↔ ∧ ∨ ∧∼ ∼ ∼ representa um:(A) Contradição(B) Contingência(C) Tautologia(D) Dilema(E) Inconsistência
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org135SoluçãoComo ( )p q↔∼ é equivalente a ( ) ( )p q p q∧ ∨ ∧∼ ∼ , a proposição( ) [( ) ( )]p q p q p q↔ ↔ ∧ ∨ ∧∼ ∼ ∼ é tautologia. Isto significa que anegação do “se e somente se” é o “ou exclusivo”.Resposta: C41) A proposição ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ representa um:(A) Contradição(B) Contingência(C) Tautologia(D) Dilema(E) InconsistênciaSoluçãop q p¬ q¬ p q↔ p q¬ ↔ ¬ ( ) ( )p q p q↔ ↔ ¬ ↔ ¬V V F F V V VV F F V F F VF V V F F F VF F V V V V VLogo a proposição ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ é uma tautologia.Resposta: C42) Considere a seguinte declaração:Ou o presidente não sabia, ou houve desacato a autoridade, mas não ambos.Assinale a alternativa que apresenta a negação formal desta declaração.a) Para que tenha havido desacato a autoridade é necessário e suficiente que o presidentesabia.b) Ou o presidente sabia, ou não houve desacato a autoridade, mas não ambos.c) Para que não tenha havido desacato a autoridade é necessário e suficiente que opresidente sabia.d) Se não houve desacato a autoridade então o presidente sabia.e) Se o presidente sabia então houve desacato a autoridade.Solução¬(Ou o presidente não sabia, ou houve desacato a autoridade, mas não ambos).( )p q¬ ∨é equivalente a(negação do ou exclusivo)p q↔é equivalente a (ver questão 41)
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org136p q¬ ↔ ¬(o presidente sabia se e somente se não houve desacato)Resposta: C43) A proposição ( ) [( ) ]p q p r q→ ↔ ∧ → representa um:(A) Contradição(B) Contingência(C) Tautologia(D) Dilema(E) InconsistênciaSoluçãop q r p q→ ( )p r∧ ( )p r q∧ → ( ) [( ) ]p q p r q→ ↔ ∧ →V V V V V V VV V F V F V VV F V F V F VF V V V F V VV F F F F V FF V F V F V VF F V V F V VF F F V F V VResposta: B44) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos osaldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente paraque a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinteproposição:(A) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.(B) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.(C) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.(D) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.(E) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.SoluçãoA negação de todos é existe algum( pelo menos um). Portanto a negação será Pelo menosum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.Resposta: C45) A proposição ( )p p p→ ↔∼ representa um:(A) Contradição(B) Contingência
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org137(C) Tautologia(D) Dilema(E) InconsistênciaSoluçãoVamos fazer a tabela verdade.p p∼ p p→∼ ( )p p p→ ↔∼V F V VF V F VLogo ( )p p p→ ↔∼ é uma tautologia.Resposta: C46) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está emParis” é logicamente equivalente à afirmação:(A) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’.(B) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’.(C) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’.(D) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’.(E) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’.Solução“Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris”Não é verdade que (Pedro está em Roma Paulo está em Paris)→Não é verdade que (Pedro está em Roma Paulo está em Paris)→Não é verdade que ( )p q→é equivalente aNão é verdade que ( )p q¬ ∨é equivalente aNão é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris”Resposta: D47) Sendo " "x∈ a proposição “x é um número real” e " "x∈ a proposição “x éum número natural”, podemos afirmar que a negação da sentença “ todos os númerosreais são naturais” e:a) ( )( )x x x∀ ∉ → ∉b) ( )( )x x x∀ ∈ ∨ ∉c) ( )( )x x x∃ ∈ ∧ ∈d) ( )( )x x x∃ ∈ ∧ ∉e) ( )( )x x x∃ ∉ ∧ ∉
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org138Solução( )( )x x x¬ ∀ ∈ → ∈é equivalente a( ) ( )x x x∃ ¬ ∈ → ∈( )( )x x x∃ ∈ ∧ ∉Resposta: D48)Podemos afirmar que o número de linhas da tabela-verdade para proposiçõescompostas de três átomos é:a) 3b) 4c) 6d) 8e) 9SoluçãoO número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta de n proposiçõessimples é 2n. Logo o número de linha será32 8= linhas.Resposta: D49) Podemos afirmar que o número de linhas da tabela-verdade para proposiçõescompostas de n átomos é:a) 2b) 2nc) 2nd) 3ne) 3nSoluçãoO número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta de n proposiçõessimples é 2n.Resposta: C50) A negação da proposição ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∀ ∀ + < → ≥ ∨ < é:a) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∀ + ≥ → < ∨ ≥b) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < → < ∧ ≥c) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < ∧ < ∧ ≥d) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∀ ∃ + ≥ → ≥ ∧ ≥e) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + ≥ ∧ < ∨ ≥Solução
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org139( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y¬ ∀ ∀ + < → ≥ ∨ <( ) ( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ¬ ∀ + < → ≥ ∨ <( )( ) ( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ ¬ + < → ≥ ∨ <( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < ∧ ¬ ≥ ∨ <( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < ∧ < ∧ ≥Resposta: C51) Assinale a opção correta:a) Uma condição necessária para que um número seja maior do que 2 é que ele sejapositivo.b) Uma condição suficiente para que um número seja maior do que 2 é que ele sejapositivo.c) Uma condição necessária e suficiente para que um número seja maior do que 2 é que eleseja positivo.d) Toda condição suficiente para que um número seja positivo é também suficiente paraque seja maior que 2.e) Nenhuma das opções anteriores.SoluçãoSe x é maior do que 2, então x é positivo. Logo uma condição necessária para que umnúmero seja maior do que 2 é que ele seja positivo.Resposta: A52) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposiçõesnão equivalentes de um átomo é:a) 3b) 4c) 6d) 8e) 9SoluçãoO número de proposições não equivalentes a uma proposição composta de nproposições simples é22n. Logo o número de proposições não equivalentes de um átomoé12 22 2 4= = .Resposta: B53) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposiçõesnão equivalentes de dois átomos é:a) 4
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org140b)8c) 9d) 16e) 20SoluçãoO número de proposições não equivalentes a uma proposição composta de nproposições simples é22n. Logo o número de proposições não equivalentes de doisátomo é22 42 2 16= = .Resposta: D54) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposiçõesnão equivalentes de três átomos é:a) 16b) 32c) 64d) 128e) 256SoluçãoO número de proposições não equivalentes a uma proposição composta de nproposições simples é22n. Logo o número de proposições não equivalentes de três átomoé32 82 2 256= = .Resposta: E55) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposiçõesnão equivalentes de n átomos é:a) nb) 2nc) 2nd) 22ne) 22 nSoluçãoO número de proposições não equivalentes a uma proposição composta de nproposições simples é22n.Resposta: D56) Sabe-se que se 4>x então 2=y . Podemos daí concluir que:a) Se 4<x então 2≠y .b) Se 4≤x então 2≠y .
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org141c) Se 2=y então 4>x .d) Se 2≠y então 4≤x .e) Se 2≠y então 4<x .Solução4>x então 2=y( )p q→é equivalente(contra-positiva) a( )q p¬ → ¬é equivalenteSe 2≠y então 4≤xResposta: D57) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Suatabela-verdade ép q r sV V V VV V F VV F V VF V V VV F F VF V F VF F V VF F F FUsando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentençasequivalentes a s. Uma dessas sentenças éa) [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)]b) [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)]c) [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r]d) [p ∨ q ∨ r]e) ~ [p ∧ q ∧ r]SoluçãoObserve que apenas a oitava linha da tabela verdade de s é falsa.p q r sV V V VV V F VV F V VF V V V
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org142V F F VF V F VF F V VF F F FNa oitava linha p é falsa e q é falsa e r é falsa, logo temos ~ (~p∧ ~q ∧ ~r) pois a tabela éfalsa.Temos que ~ (~p∧ ~q ∧ ~r) é equivalente por Morgan a: [p ∨ q ∨ r]Resposta: D58) A negação da proposição " 3 2"x y≠ ∧ < é:a) " 3 2"x y= ∧ ≥b) " 3 2"x y= ∧ >c) " 3 2"x y= ∨ ≥d) " 2 3"x y≠ ∧ <e) " 3 2"x y≠ ∨ <Solução( 3 2)x y¬ ≠ ∧ <é equivalente a (Morgan)( 3 2)x y= ∨ ≥Resposta: C59) Duas grandezas x e y são tais que “se x = 3 então y = 7”. Pode-se concluir que:a) se 3x ≠ então 7y ≠b) se 7y = então 3x =c) se 7y ≠ então 3x ≠d) se 7y > então 3x =e) 3x ≠ ou 7y ≠Solução(se 3x = então 7y = )( )p q→é equivalente(contra-positiva) a( )q p¬ → ¬é equivalentese 7y ≠ então 3x ≠Resposta: C60) (CESGRANRIO) Considere verdadeira a proposição: “Marcela joga vôlei ouRodrigo joga basquete”. Para que essa proposição passe a ser falsa:
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org143(A) é suficiente que Marcela deixe de jogar vôlei.(B) é suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete.(C) é necessário que Marcela passe a jogar basquete.(D) é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete.(E) é necessário que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar vôlei.SoluçãoPela relação de Morgan temos que a negação do ou transforma-se em e, coma a negaçãodas proposições. Logo é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogarbasquete.Resposta: D61) (CESGRANRIO) A negação de “João sempre vai de carro para o trabalho” é:(A) “João sempre vai a pé para o trabalho”.(B) “João nunca vai de carro para o trabalho”.(C) “João, às vezes, não vai de carro para o trabalho”.(D) “João, às vezes, vai a pé para o trabalho”.(E) “João nunca vai a pé para o trabalho”.SoluçãoA negação de “João sempre vai de carro para o trabalho” será “João, às vezes, não vaide carro para o trabalho”.Resposta: C62) (CESGRANRIO) A negação de “não sabe matemática ou sabe português” é:(A) não sabe matemática e sabe português.(B) não sabe matemática e não sabe português.(C) sabe matemática ou sabe português.(D) sabe matemática e não sabe português.(E) sabe matemática ou não sabe português.Solução(não sabe matemática ou sabe português)¬é equivalente a (Morgan)(sabe matemática e não sabe português)Resposta: DA expressão ( )( )( )( , )x y P x y∃ ∀ é uma fórmula sintaticamente correta da lógica depredicados clássica. Diz-se que uma tal fórmula é semanticamente válida quando assuas variáveis x e y e o predicado P têm alguma interpretação que os verifique.Quanto a esse assunto, julgue o item subseqüente.63) ( CESPE) Se x e y assumem valores no conjunto dos números inteiros e opredicado P(x, y) é interpretado como x < y, então a fórmula é semanticamente válida.Solução
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org144O predicado de ( )( )( )x y x y∃ ∀ < não se verifica. Portanto a fórmula não ésemanticamente válida.Resposta: Errado.Texto para os itens de 64 a 67. (TRT - CESPE):Considere que as letras P, Q, R e S representam proposições e que os símbolos ¬, ∧ e∨ são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e ourespectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor(valor verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes.64) ¬ P ∨ Q é verdadeira.Solução¬ P ∨ Q¬ V ∨ VF ∨ VVResposta: Certo.65) ¬ [(¬ P ∨ Q) ∨ (¬ R ∨ S)] é verdadeira.Solução¬ [(¬ V ∨ V) ∨ (¬ V ∨ V)]¬ [(F ∨ V) ∨ (¬ F ∨ V)]¬ [V ∨ V]¬ VFResposta: Errado.66) [P ∧ (Q ∨ S) ] ∧ (¬ [(R ∧ Q) ∨ (P ∧ S)] ) é verdadeira.Solução[P ∧ (Q ∨ S) ] ∧ (¬ [(R ∧ Q) ∨ (P ∧ S)] )[V ∧ (V ∨ V) ] ∧ (¬ [(V ∧ V) ∨ (V ∧ V)] )
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org145[V ∧ V ] ∧ (¬ [V ∨ V] )V ∧ (¬ V )V ∧ FFResposta: Errado.67) (P ∨ (¬ S)) ∧ (Q ∨ (¬ R)) é verdadeira.Solução(P ∨ (¬ S)) ∧ (Q ∨ (¬ R))(V ∨ (¬ V)) ∧ (V ∨ (¬ V))(V ∨ F) ∧ (V ∨ F)V ∧ VVResposta: Certo.ARGUMENTO PREMISSAS CONCLUSÃOI p q⇒ , p qII p q⇒ , q∼ p∼III p q∨ , p∼ qIV p q⇒ , r s⇒ , p r∨ q s∨68) Considerando os argumento acima podemos dizer que(A) Todos são não válidos.(B) Apenas um é válido.(C) Apenas dois são válidos.(C) Apenas três são válidos.(E) Todos são válidos.SoluçãoO argumento I é válido, e é conhecido como afirmação do antecedente.O argumento II é válido, e é conhecido como negação do conseqüente.O argumento III é válido, pois se as premissas são verdadeiras teremos que p é falsa e q sópoderá ser verdadeira e, portanto a conclusão é verdadeira.O argumento IV é válido, e é conhecido como dilema.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org146Resposta: E69) (TRT-FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos.Admitindo-se verdadeira a frase “Todos os corruptos são desonestos”, é corretoconcluir que(A) quem não é corrupto é honesto.(B) existem corruptos honestos.(C) alguns honestos podem ser corruptos.(D) existem mais corruptos do que desonestos.(E)) existem desonestos que são corruptos.SoluçãoSe todos os corruptos são desonestos e existem corruptos e desonestos então é evidente queexistem desonestos que são corruptos.Resposta: E70) Todo matemático é estudioso. Existem músicos que são estudiosos. Pedro ématemático e Ivo é estudioso. Pode-se concluir que(A) Pedro é estudioso e Ivo é matemático.(B) Pedro é estudioso e Ivo é músico.(C) Pedro é também músico e Ivo é matemático.(D) Pedro é estudioso e Ivo pode não ser matemático nem músico.(E) Pedro é também músico e Ivo pode não ser matemático nem músico.SoluçãoComo todo matemático é estudioso e Pedro é matemático podemos concluir que Pedro ématemático, mas como Ivo é estudioso nada podemos concluir pois poderá ser músico ounão.Resposta: D71) Em uma cidade, é verdade que "algum físico é esportista" e que "nenhumaposentado é esportista". Portanto, nessa cidade,(A) nenhum aposentado é físico.(B) nenhum físico é aposentado.(C) algum aposentado não é físico.(D) algum físico é aposentado.(E) algum físico não é aposentado.SoluçãoVamos denotar “Físico”, “Esportista” e “Aposentado” por F, E e A. Temos então:
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org147Portanto podemos concluir que algum físico não é aposentado.Resposta: E72) Todas as irmãs de Angélica são loiras. Sendo assim, pode-se concluir que(A) Angélica é loira.(B) Angélica não é loira.(C) Se Ana é loira, então ela é irmã de Angélica.(D) Se Beatriz não é irmã de Angélica, então Beatriz não é loira.(E) Se Cida não é loira, então ela não é irmã de Angélica.SoluçãoComo todas as irmãs de Angélica são loiras, temos usando a contra-positiva que se nãoé loira então não é irmã de Angélica. Logo se Cida não é loira, então ela não é irmã deAngélica.Resposta: E(CESPE) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F),mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmentesimbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A → B, lida, entreoutras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando Aé V e B é F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ¬A, lidacomo “não A”, é uma proposição que tem valoração V quando A é F, e tem valoraçãoF quando A é V. A expressão da forma A∧ B, lida como “A e B”, é uma proposiçãoque tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F.Uma expressão da forma A∨ B, lida como “A ou B”, é uma proposição que temvaloração F apenas quando A e B são F; nos demais casos, é V. Com base nessasdefinições, julgue os itens que se seguem.73) Uma expressão da forma ¬(A∧ ¬B) é uma proposição que tem exatamente asmesmas valorações V ou F da proposição A→B.SoluçãoBasta saber que ¬ (A →B) é equivalente a (A∧ ¬ B)Resposta: Correto.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org14874) Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e“Mara não acertou na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizandoadequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição “Ela não ficourica” é também verdadeira.SoluçãoTrata-se da falácia conhecida como negação do antecedente.Resposta: Errado.75) A proposição simbolizada por (A→B) → (B→A) possui uma única valoração F.SoluçãoVamos fazer a tabela verdade de (A→B) → (B→A)A B (A B) (B A) (A B) (B A)V V V V VV F F V VF V V F FF F V V VResposta: Correto.76) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” sejaverdadeira. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” éverdadeira.SoluçãoPodemos ter a proposição verdadeira de modo que:FVVS ilv ia a m a J o a q u im S ilv ia a m a T a d e u∨Resposta: Errada.(CESPE) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada comoverdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. As proposições sãousualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, porexemplo, P, Q, R etc. Se a conexão de duas proposições é feita pelapreposição “e”, simbolizada usualmente por ∧ , então obtém-se a formaP Q∧ , lida como “P e Q” e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrário,é F. Se a conexão for feita pela preposição “ou”, simbolizada usualmente por∨ , então obtém-se a forma P Q∨ , lida como “P ou Q” e avaliada como F se P
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org149e Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição ésimbolizada por ¬P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V.Um argumento é uma seqüência de proposições P1, P2, ..., Pn,chamadas premissas, e uma proposição Q, chamada conclusão. Umargumento é válido, se Q é V sempre que P1, P2, ..., Pn forem V, casocontrário, não é argumento válido.A partir desses conceitos, julgue os próximos itens.77) Considere as seguintes proposições:P: “Mara trabalha” e Q: “Mara ganha dinheiro”Nessa situação, é válido o argumento em que as premissas são “Mara não trabalha ouMara ganha dinheiro” e “Mara não trabalha”, e a conclusão é “Mara não ganhadinheiro”.SoluçãoArgumento:¬P ∨ Q (V)¬P (V)∴ ¬QSuponhamos que as premissas são verdadeiras, temos então:¬P ∨ Q (V)¬P (V)∴ ¬QTemos que a proposição ¬Q pode ser verdadeira ou falsa, portanto o argumento é NÃOVÁLIDOResposta: Errado78) Todos os macerontes são torminodoros. Alguns macerontes são momorrengos. Logo(A) todos os momorrengos são torminodoros.(B) alguns torminodoros são momorrengos.(C) todos os torminodoros são macerontes.(D) alguns momorrengos são pássaros.(E) todos os momorrengos são macerontes.SoluçãoÈ evidente que alguns torminodoros são momorrengos.Resposta: B79) (CESPE) Abaixo, uma tabela com esquemas de estruturas lógicas para quatrotipos diferentes de deduções e uma tabela verdade. As letras P e Q representamsentenças. Os símbolos ¬, → e ∨ são conectivos lógicos usuais de negação, implicaçãoe disjunção, respectivamente.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org150Considerando as informações acima e o cálculo proposicional, assinale a alternativacorreta.a) Se um delegado é um profissional do direito, então ele não desconhece leis. Delegadosdesconhecem leis. Portanto, delegados não são profissionais do direito. Esta é uma deduçãodo tipo III.b) Uma pessoa ou pode ser culpada ou inocente de uma acusação. Esta pessoa é culpada.Portanto, ela não é inocente. Essa é uma dedução do tipo I.c) Um supervisor ou sempre mente ou sempre fala a verdade, em relação a um determinadoacontecimento. Se ele não fala a verdade então ele mente. Está é uma dedução do tipo IV.d) As tabelas verdade das proposições P∨Q e P→Q são iguais.e) Da forma de dedução do tipo II, tem-se que a conclusão será verdadeira se ambas aspremissas forem verdadeiras.SoluçãoSe as premissas são verdadeiras implica que a conclusão também é verdadeira. Temos nestecaso um argumento válido.Resposta: E80) (FCC) Um argumento é composto pelas seguintes premissas:_ Se as metas de inflação não são reais, então a crise econômica não demorará a sersuperada._ Se as metas de inflação são reais, então os superávits primários não serãofantasiosos._ Os superávits serão fantasiosos.Para que o argumento seja válido, a conclusão deve ser:(A) A crise econômica não demorará a ser superada.(B) As metas de inflação são irreais ou os superávits são fantasiosos.(C) As metas de inflação são irreais e os superávits são fantasiosos.(D) Os superávits econômicos serão fantasiosos.(E) As metas de inflação não são irreais e a crise econômica não demorará a ser superada.SoluçãoVamos usar a contra positiva. Temos pela terceira premissa que os superávits serãofantasiosos. Logo pela contra positiva da segunda premissa podemos afirmar que as metasde inflação não são reais. Usando a afirmação do antecedente na primeira premissa temosque crise econômica não demorará a ser superada.Resposta: E
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org15181) (ESAF) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio éjusto, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ouHomero é honesto. Logo,a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo.e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.SoluçãoSuponhamos que todas as premissas são verdadeiras.Homero não é honesto Júlio é justo (V)Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)Beto é bondoso Júlio não é justo (V)Beto não é bondoso Homero é honesto (V)∨∨ ∨∨∨Observamos que todas as premissas são disjunções e nesse caso não temos um proposiçãocom o valor verdade definido, sendo assim vamos fazer uma hipótese sobre alguma delas.Se a hipótese for correta encontraremos a resposta final, se não for correta chegaremos aum absurdo e nesse caso trocamos a hipótese e teremos a resposta.Suponhamos que a proposição “Homero não é honesto” é verdadeira.Então pela hipótese teremos:VFHomero não é honesto Júlio é justo (V)Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)Beto é bondoso Júlio não é justo (V)Beto não é bondoso Homero é honesto∨∨ ∨∨∨F(V)Como a última premissa é verdadeira temos que a proposição “Beto não é bondoso” temque ser verdadeira. Então teremos:VF FFVHomero não é honesto Júlio é justo (V)Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)Beto é bondoso Júlio não é justo (V)Beto não é bondoso∨∨ ∨∨FHomero é honesto (V)∨Como a terceira premissa é verdadeira temos que a proposição “Júlio não é justo” tem queser verdadeira. Então teremos:
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org152V FF FFF VHomero não é honesto Júlio é justo (V)Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)Beto é bondoso Júlio não é justo (V)B∨∨ ∨∨V Feto não é bondoso Homero é honesto (V)∨Temos um absurdo na segunda premissa, pois todas as proposições são falsas e a premissa éverdadeira. Sendo assim nossa hipótese esta errada, isto é a proposição “Homero não éhonesto” deve ser falsa. Mudando a nossa hipótese inicial teremos que a proposição“Homero não é honesto” é falsa. Sendo assim vamos refazer o exercício com a novahipótese correta:FVHomero não é honesto Júlio é justo (V)Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)Beto é bondoso Júlio não é justo (V)Beto não é bondoso Homero é honesto∨∨ ∨∨∨V(V)Temos pela primeira premissa que “Júlio é justo” tem que ser verdadeira.F VV VFHomero não é honesto Júlio é justo (V)Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)Beto é bondoso Júlio não é justo (V)Beto não é bondos∨∨ ∨∨Vo Homero é honesto (V)∨Temos pela primeira premissa que “Beto é bondoso” tem que ser verdadeira.F VV VVV FHomero não é honesto Júlio é justo (V)Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)Beto é bondoso Júlio não é justo (V)B∨∨ ∨∨F Veto não é bondoso Homero é honesto (V)∨Assim teremos as seguintes conclusões: Júlio é justo. Homero é honesto. Beto ébondoso.Resposta: C
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org15382) (ESAF) Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive colheu evidênciasque o convenceram da verdade das seguintes afirmações:1) Se Homero é culpado, então João é culpado.2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados.3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente.4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que:a) Homero, João e Adolfo são inocentes.b) Homero, João e Adolfo são culpados.c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes.d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado.e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente.SoluçãoSuponhamos que todas as premissas são verdadeiras.Homero é culpado João é culpado (V)Homero é inocente (João Adolfo) são culpados (V)Adolfo é inocente João é inocente (V)Adolfo é culpado Homero é culpado (V)→→ ∨→→Observamos que todas as premissas são proposições compostas condicionais e nesse casonão temos inicialmente informações sobre as proposições simples. Quando ocorrer essasituação devemos supor (“chutar”) um valor verdade para uma das proposições simplescontida nas premissas. Se o nosso “chute” estiver correto encontraremos a resposta, mas seo chute estiver errado encontraremos um absurdo e nesse caso trocamos o chute eencontramos a resposta correta.Vamos supor então que a proposição “Homero é culpado” é verdadeira(chute).Teremos então a seguinte situação nas premissas:VHomero é culpado João é culpado (V)Homero é inocente (João Adolfo) são culpados (V)Adolfo é inocente João é inocente (V)Adolfo é culpado Homero é culpaF→→ ∨→→Vdo (V)Como a primeira premissa é verdadeira e o seu antecedente “Homero é culpado” também éverdadeira, o conseqüente “ João é culpado” tem que ser verdadeira. Teremos então
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org154V VFHomero é culpado João é culpado (V)Homero é inocente (João Adolfo) são culpados (V)Adolfo é inocente João é inocente (V)Adolfo é culpadoF→→ ∨→VHomero é culpado (V)→Como a terceira premissa é verdadeira e o seu conseqüente “João é inocente” é falso, oantecedente “ Adolfo é inocente” tem que ser falso. Teremos entãoV VF FHomero é culpado João é culpado (V)Homero é inocente (João Adolfo) são culpados (V)Adolfo é inocente João é inocenteF V→→ ∨→V V(V)Adolfo é culpado Homero é culpado (V)→Portanto as conclusões são: Homero é culpado. João é culpado.Adolfo é culpado.Resposta: B83) Se “Alguns professores são matemáticos” e “Todos os Matemáticos são pessoasalegres”, então necessariamente,a) Toda pessoa alegre é matemático.b) Todo matemático é professor.c) Algum professor é uma pessoa alegre.d) Nenhuma pessoa alegre é professor.e) Nenhum professor não é alegre.SoluçãoVamos denotar Professores, Matemáticos e Pessoas Alegres por P, M e A respectivamente.Podemos concluir que algum professor é uma pessoa alegre.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org155Resposta: C84) Para que a proposição “todos os homens são bons cozinheiros” seja falsa, énecessário que:a. todas as mulheres sejam cozinheiras.b. algumas mulheres sejam boas cozinheiras.c. Nenhum homem seja bom cozinheiro.d. Todos os homens sejam maus cozinheiros.e. Pelo menos um homem seja mau cozinheiro.SoluçãoA negação de todos pode ser Algum..., Existe um ..., Pelo menos um... etc.Sendo assim para que a afirmação “todos os homens são bons cozinheiros” seja falsa énecessário que “Pelo menos um homem seja mau cozinheiro”.Resposta: E85) Para que a afirmativa “Todo matemático é louco” seja falsa, basta que:a. todo matemático seja louco.b. todo louco seja matemático.c. Algum louco não seja matemático.d. Algum matemático seja louco.e. Algum matemático não seja louco.SoluçãoA negação de todos pode ser Algum..., Existe um ..., Pelo menos um... etc.Sendo assim para que a afirmação “Todo matemático é louco” seja falsa basta que“Algum matemático não seja louco”.Resposta: E86) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C.Segue-se, portanto, necessariamente quea. todo C é Bb. todo C é Ac. algum A é Cd. nada que não seja C é Ae. algum A não é CSoluçãoPelo diagrama temos:
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org156Podemos concluir que algum A é C.Resposta: C87) (MACK) Se 282n⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠então n é:a. 7b. 8c. 14d. 26e. 56Solução282n⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠( 1)282n n −=n (n – 1) = 56n2– n – 56 = 0Resolvendo a equação do segundo grau, temos as seguintes raízes:n’= -7 (não comvém) e n” = 8 (ok)Resposta: B88) (UFB) Com as letras da palavra COMPLEX, temos:I. 720 permutações podem ser feitas terminando com X.II. 240 permutações começando e terminando por vogal.III. 10.080 permutações começando por vogalMarquea. Se todas as afirmativas são verdadeirasb. Se todas as afirmativas são falsasc. Se apenas a III é verdadeirad. Se apenas a I e II são verdadeirase. Se apenas a I é verdadeira
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org157Solução- O número de permutações que terminam com X é:X6!16! × 1 = 720 permutações.- O número de permutações começando e terminando com vogal é:26!12 ×5! ×1 = 2 ×120 ×1 = 240 permutações.- O número de permutações começando por vogal é:26!2 ×6! = 2 ×720 = 1.440 permutações.Resposta: D89) (ITA) Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 algarismosdistintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número 61.473 será:a. 76ªb. 78ªc. 80ªd. 82ªe. n.d.aSoluçãoVamos contar a quantidade de números até chegar no número 61.473.- A quantidade de números começando com o algarismo 1 é: 4! = 24 números.- A quantidade de números começando com o algarismo 3 é: 4! = 24 números.- A quantidade de números começando com o algarismo 4 é: 4! = 24 números.- A quantidade de números começando com o algarismo 613 é: 2! = 4 números.Os próximos números serão 61.437 e 61.673.Antes do número 61.473 temos: 24 + 24 + 24 + 4 + 1 = 75 números. Logo o número 61.473é o 76º número.Resposta: A90) (F.C. CHAGAS) O número de anagramas da palavra BAGRE, que começam porconsoante é:
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org158a. 120b. 72c. 48d. 24e. 12Solução24!3 ×4! = 3 ×24 = 72 anagramas.Resposta: B91) (F.C.CHAGAS) A sentença210nn+⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠é verdadeira se, e somente se, n! for iguala:a. 1b. 6c. 18d. 720e. 6 ou 720Solução210nn+⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠2102n +⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠( 2)( 1)102n n+ +=( 2)( 1) 20n n+ + =23 18 0n n+ − =Resolvendo a equação do segundo grau, as raízes: n’ = -6 (não convém) e n” = 3 (ok)O valor de n é 3, logo n! = 3! = 6Resposta: B92) (Sta. CASA) Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas de ferro entre ascidades A e B. Quantos são os diferentes percursos para fazer a viagem de ida e voltaentre A e B, utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, em qualquer ordem?a. 4! × 3!b. 2-1 × 4! × 3!c. 24d. 12e. 7
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org159SoluçãoPodemos ir de rodovia e voltar de trem e vice versa.4 3R T×ou3 4T R×Temos 12 12 = 24 modos.Resposta: C93) (MACK) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de quatroalgarismos distintos. Dentre eles, serão divisíveis por 5:a. 20 númerosb. 30 númerosc. 60 númerosd. 120 númerose. 180 númerosSoluçãoVamos contar a quantidade de números que terminam com o algarismo 5.55×4 ×3 ×1 = 60 númerosResposta: C94) (MACK) Em um teste de múltipla escolha, com 5 alternativas distintas, sendouma única correta, o número de modos distintos de ordenar as alternativas demaneira que a única correta não seja nem a primeira nem a última é:a. 36b. 48c. 60d. 72e. 120SoluçãoNúmero de maneiras de escolher a posição da opção correta: 3 modos (a, b ou c).Número de maneiras de permutar as opções erradas: 4! = 24 modos.Pelo princípio fundamental da contagem 3 ×24 = 72 modos.Resposta: D95) (PUC) O número total de inteiros positivos que podem ser formados comalgarismos 1, 2, 3 e 4, se nenhum algarismo é repetido em nenhum inteiro, é:a. 54b. 56c. 58d. 60e. 64Solução
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org160Com um algarismo temos 4 números.Com dois algarismos temos 4x3 = 12 números.Com três algarismos temos 4x3x2 = 24 números.Com 4 algarismos temos 4x6x2x1 = 24 números.Total: 64 números com os algarismos distintos.Resposta: E96) (PUC) O número de maneiras que um professor pode escolher um ou maisestudantes de um grupo de 6 estudantes é:a. 56b. 58c. 60d. 63e. 65SoluçãoPoderá escolher 1, ou 2, ou 3, ou ....., ou 6.Logo 1 2 3 4 5 6 66 6 6 6 6 6 2 1 64 1 63modC C C C C C os+ + + + + = − = − =Resposta: D97) (OSEC) Um estudante ganhou numa competição quatro diferentes livros dematemática, três diferentes de física e dois de Química. Querendo manter juntos oslivros de mesma disciplina, calculou que poderá enfileirá-los numa prateleira deestante, de modos diversos num total de:a. A9,3b. A9,3 × A9,3 × A9,2c. P9d. P4 × P3 × P2e. P3 × P4 x P3 × P2SoluçãoO número de maneiras de um professor permutar os livros de matemática: P4.O número de maneiras de um professor permutar os livros de física: P3.O número de maneiras de um professor permutar os livros de química: P2.O número de maneiras de um professor permutar as disciplinas: P3.Pelo princípio fundamental da contagem temos: P4 × P3 × P2 × P3Resposta: E98) (FUVEST) Calcule quantos números múltiplos de três, de quatro algarismosdistintos, podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9.SoluçãoPara o número ser múltiplo de três a soma dos algarismos terá que ser múltiplo de 3.15 ≤ x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 21
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org161Soma 15 2, 3, 4, 6 24Soma 18 2, 3, 4, 9 24Soma 21 2, 4, 6, 9 24Total 72 númerosResposta: 7299) (F. MED. TAUBATÉ) Simplificando-se( ) ( )( )1 ! 21 !n nn+ +−obtém-se:a. 2b.( )( )1 21n nn+ +−c. (n+1) (n+2)d. n (n+2)e. n (n+1) (n+2)Solução( ) ( )( )1 ! 21 !n nn+ +−=( ) ( ) ( )( )1 1 ! 21 !n n n nn+ − +−= ( ) ( )1 2n n n+ +Resposta: E100) (FGV) O número de combinações de 8 elementos, 3 a 3, que contém umdeterminado elemento é:a. 21b. 42c. 56d. 7e. 27SoluçãoSe contém um determinado elemento precisamos apenas escolher dois elementos entre osoutros SETE elementos.277 6212C×= = combinações.Resposta: A101) (PUC) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma siglacom cinco símbolos, onde cada símbolo é a primeira letra de cada nome. O númerototal de siglas possíveis é:a. 10b. 24c. 30d. 60e. 120
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org162SoluçãoO número de permutações das letras A, A, R, R, E é:5! 120302!2!1! 4= = siglas.Resposta: C102) (FUVEST) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam eterminam por vogal é:a. 24b. 48c. 96d. 120e. 144SoluçãoO número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é:24!1Pelo Princípio fundamental da Contagem temos: 2 x 4! x 1 = 2 x 24 x 1 = 48 anagramas.Resposta: B103) (MACK) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagõesdistintos, sendo um deles restaurante sabendo que a locomotiva deve ir à frente e queo vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, onúmero de modos diferentes de montar a composição é:a. 120b. 320c. 500d. 600e. 720SoluçãoO número de maneiras de escolher um lugar para a locomotiva(só pode ir na frente): 1maneira.O número de maneiras de escolher um lugar para o restaurante: 5 maneiras.O número de maneiras de arrumar os outros cinco vagões: 5! = 120 maneiras.Pelo Princípios Fundamental da Contagem temos: 1 x 5 x 120 = 600 maneiras.Resposta: D104) (CESGRANRIO) Considere cinco pontos, três a três não colineares. Usandoesses pontos como vértices de um triângulo, o número de todos os triângulos distintosque se podem formar é:a. 5
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org163b. 6c. 9d. 10e. 15SoluçãoO numero de triângulos que podemos formar è 35 10C = triângulos.Resposta: D105) (PUC) Uma mensagem em código deve ser feita de tal forma que, cada letra doalfabeto seja representada por uma seqüência de n elementos, onde cada elemento ézero (0) ou um (1). O menor valor de n de modo que as 26 letras do alfabeto possamser representadas é:a. 5b. 6c. 7d. 8e. 9SoluçãoCom um elemento podemos representar 21= 2 letras.Com dois elementos podemos representar 22= 4 letras.Com três elementos podemos representar 23= 8 letras.Com quatro elementos podemos representar 24= 16 letras.Com cinco elementos podemos representar 25= 32 letras.Resposta: A106) (GV) Na figura, quantos caminhos diferentes podem ser feitos de A até B,deslocando-se uma unidade de cada vez, para cima ou para a direita?a. 126b. 858c. 326d. 954e. 386
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org164SoluçãoCada caminho terá quatro movimentos para cima (C) e cinco movimentos para a direita(D). Logo o número de caminhos será o número de permutações de nove elementos, sendo4 iguais a C e 5 iguais a D.4,599! 9 8 7 6 5! 9 8 7 61264!5! 4!5! 4!P× × × × × × ×= = = = caminhos.Resposta: A107) (POLI) Entendendo-se por diagonal de um poliedro todo segmento que liga doisvértices não pertencentes a uma mesma face, quantas diagonais possui um prismacujas bases são polígonos de n lados?SoluçãoNúmero de maneiras de escolher um vértice em uma face: n modos.Número de maneiras de escolher um outro vértice em outra face: (n – 3) modos.Pelo princípio fundamental da contagem temos: n×(n – 3).Resposta: n×(n-3)108) (IME) Considere uma turma com n alunos numerados de 1 a n. Deseja-seorganizar uma comissão de três alunos. De quantas maneiras pode ser formada essacomissão, de modo que não façam parte da mesma exatamente dois alunos designadospor números consecutivos?a. 2b. (n–2)c. 2nCd. (n–2)ne. (n–2)(n–3)SoluçãoPodemos ter:( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1,2,3 , 1,2,5 ,....., 1,2, 3 .ou 2,3,5 , 2,3,6 ,....., 2,3, 4 .ou 3,4,6 , 3,4,7 ,....., 3,4, 5 .. . . , . . . ,....., . . . . . . . . . . . .n n comissõesn n comissõesn n comissões→ −→ −→ −→( )( )2 32. . . , . . . ,....., . . . . . . . . . . . .n n⎫⎪⎪− −⎪⎬⎪⎪⎪→⎭( )3, 2, 1 comissão.n n n− − →
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org165( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ou 1,3,4 , 1,4,5 ,....., 1, 1, 3 .2,4,5 , 2,5,6 ,....., 2, 1, 4 .3,5,6 , 3,6,7 ,....., 3, 1, 5 .. . . , . . . ,....., . . . . . . . . . .n n n comissõesn n n comissõesn n n comissões− → −− → −− → −→( )( )2 32. .. . . , . . . ,....., . . . . . . . . . . . .n n⎫⎪⎪− −⎪⎬⎪⎪⎪→⎭( )3, 1, 1 comissão.n n n− − →Logo, o total é: (n-2)(n-3) comissão.Resposta: E109) (IME) Considere uma turma com n alunos numerados de 1 a n. Deseja-seorganizar uma comissão de três alunos. De quantas maneiras pode ser formada essacomissão, de modo que não façam parte da mesma dois ou três alunos designados pornúmeros consecutivos?a. (n–3)b. (n–1)(n–2)(n–3)c.(n-2)(n-3)(n-4)6d.n(n-2)(n-3)6e.n(n-3)2SoluçãoVamos subtrair do número total de comissões o número de comissões com dois e com trêsalunos designados por números consecutivos.Total de comissões sem restrição: 3nC .Total de comissões com 2 alunos consecutivos: (n-2)(n-3).Total de comissões com 3 alunos consecutivos: (n-2).( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )32 21 22 3 2 2 3 262 21 6 3 6 1 6 18 66 62 26 18 6 7 126 62 3 46nn n nC n n n n n nn nn n n n n nn nn n n nn n n− −− − − − − = − − − − − =− −− − − − = − − + − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − = − + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦− − −Resposta: C
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org166110) (PUC) N retas paralelas de um plano se interceptam com uma série de m retasparalelas desse mesmo plano. Então, o número de paralelogramos que se obtém narede assim distribuída é:a. Cm,2 : Cn,2b. Cm,2 - Cn,2c. 2Cm,2 + 2Cn,2d. Cn,2 + Cm,2e. Cn,2 . Cm,2SoluçãoO número de maneiras de escolhermos 2 retas paralelas, no conjunto das m retas paralelasé: 2mC .O número de maneiras de escolhermos 2 retas paralelas, no conjunto das n retas paralelas é:2nC .Logo: 2nC × 2mCResposta: E111) (FATEC) Dispõem-se de 7 cores distintas para pintar um mapa das 5 regiões doBrasil. Pode-se repetir uma vez no máximo, cada uma das cores. Quantas disposiçõesdiferentes de cores pode-se obter?a. 10.920b. 1.421c. 5.040d. 3.360e. n.r.aSoluçãoPrimeiramente vamos contar os casos onde todas as cores são distintas:7x6x5x4x3 = 2520 modos com as cores distintas.Agora vamos contar os caso com exatamente uma cor repetida:Primeiro vamos escolher as duas regiões que terão a mesma cor:25 10 modos.C =Vamos pintar(escolher a cor) da primeira região com a cor escolhida(que será repetida):7 modos .Vamos escolher a cor da segunda região com cor repetida: 1 modo.Vamos agora pintar as outras três regiões com cores distintas: 6x5x4 = 120 modos.Pelo princípio fundamental da contagem temos: 10x7x1x120 = 8400 modos.Portanto temos o total do cores distintas e com exatamente um cor repetida: 2520 + 8400 =10920 modos.Resposta: A
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org167112) (ITA) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números naturais de quatroalgarismos distintos, contendo o algarismo “4” ou o algarismo “5” podem serformados?a. 196b. 286c. 340d. 336e. n.r.a.SoluçãoPrimeiramente vamos calcular o total de números de quatro algarismos distintos:6x5x4x3 = 360 números.Vamos calcular a quantidade de números de quatro algarismos distintos e diferentes de “4”e de “5”: 4x3x2x1 = 24 números.Logo a quantidade de números de quatro algarismos distintos, contendo o algarismo “4” ou“5” é 360 – 24 = 336 números.Resposta: D113) O número de anagramas da palavra ALAMEDA não apresentam as 4 vogaisjuntas é:a) 744b) 760c) 796d) 840e) 900Resposta: ASoluçãoO números total de anagramas é3,1,1,1,177!8403!1!1!1!1!P = = anagramas.O número de anagramas com as vogais juntas é3,144!4! 4! 24 4 963!1!P = = × = anagramas.Logo o número de anagramas da palavra ALAMEDA não apresentam as 4 vogais juntas é840 – 96 = 744 anagramas.Resposta: A114) (IME) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. Uma das permutações dessesalgarismos, origina o número 42351. Determine a soma dos números formados,quando os algarismos acima são permutados de todos os modos possíveis.a) 3900900b) 3900999c) 3999960d) 3999999
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org168e) 4000000SoluçãoO número de parcelas é P5 = 5! = 1201 2 3 4 51 2 3 5 4... ... ... ... ... 120... ... ... ... ...5 4 3 2 1parcelas⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Observe que em qualquer coluna, cada algarismo aparece tantas vezes quantas forem aspermutações dos quatro algarismos restantes, isto é, P4 = 4! = 24 vezes Deste modo teremosque a soma total dos algarismos em cada coluna é24 24 24 241 1 ... 1 2 2 ... 2 3 3 ... 3 ..... 5 5 ... 5vezes vezes vezes vezes+ + + + + + + + + + + + + + + +Logo teremos: 1 x 24 + 2 x 24 + 3 x 24 + 4 x 24 + 5 x 24 = 360.Logo a soma total será:Soma das unidades: 360Soma das dezenas: 3600Soma das centenas: 36000Soma das unidades de milhar: 360000Soma das dezenas de milhar: 3600000Total: 3999960Resposta: C115) (FUVEST) Considere os números obtidos do número 12345 efetuando-se todasas permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente,qual o lugar ocupado pelo número 43521?a) 70ªb) 72ªc) 80ªd) 90ªe) 96ªSoluçãoVamos contar todos os números que começam por 1, 2, 3, 41, 42, 431, 432, 4351,pois são certamente menores que 43521.Começando por 1: 4! = 24 números.Começando por 2: 4! = 24 números.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org169Começando por 3: 4! = 24 números.Começando por 41: 3! = 6 números.Começando por 42: 3! = 6 números.Começando por 431: 2! = 2 números.Começando por 432: 2! = 2 números.Começando por 4351: 1! = 1 número.Total: 89 números.Temos 89 números antes do números “43521”. Logo Colocando esses números emordem crescente o lugar ocupado pelo número 43521 é o 90ª.Resposta: D116) Em um plano existem cinco retas secantes duas a duas. O número de triângulosque são determinados com os vértices nos seus pontos de intersecção é:a) 120b) 140c) 150d)160e) 180SoluçãoO número de pontos de intersecção será 25 10C = pontos. Logo o número de triângulos comvértices nesses pontos é 310 120C = .Resposta: A117) O número de maneiras de colocarmos três anéis diferentes nos cinco dedos damão esquerda é:a) 180b) 190c) 200d) 210e) 240SoluçãoSeja xi= ao número de anéis no i-ésimo dedo. i = 1, 2, 3, 4, 5Temos então 1 2 3 4 5 3x x x x x+ + + + = onde 0ix ≥O número de soluções inteiras não negativas da equação acima é 477!4!3!C = = 35.Como os três anéis são diferentes devemos permutar as suas posições, então temos 35x3! =35x6 = 210 modos.Resposta: D118) (Ufscar-SP) A câmara municipal de um determinado município tem exatamente20 vereadores, sendo que 12 deles apóiam o prefeito e os outros são contra. O número
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org170de maneiras diferentes de se formar uma comissão contendo exatamente 4 vereadoressituacionistas e 3 oposicionistas é:a) 27720b) 13860c) 551d) 495e) 56Solução12 da situação20 vereadores8 da oposição⎧⎨⎩4 312 812! 8! 12 11 10 9 8 7 611 5 9 8 7 277204!8! 3!5! 4 3 2 1 3 2C C× × × × × ×× = × = = × × × × =× × × × ×.Resposta: A119) (PUC-RJ) De um pelotão com 10 soldados, quantas equipes de 5 soldadospodem ser formadas se em cada equipe um soldado é destacado para líder?a) 1260b) 1444c) 1520d) 1840e) 1936SoluçãoO total de equipes com cinco soldados será 510C . Em cada equipe temos cinco modos deescolher um líder. Logo temos 51010! 10 9 8 7 65 5 5 10 9 2 7 12605!5! 5 4 3 2 1C× × × ×× = × = × = × × × =× × × ×.Resposta: A120) (ITA-SP) Quantos números de 6 algarismos distintos podemos formar usandoos dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas o3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes?a) 144b) 180c) 240d) 288e) 360SoluçãoQuantidade de números com os algarismos 3 e o 4 em posições adjacentes: 5!x2!.Quantidade de números com os algarismos 3 e o 4 em posições adjacentes e também comos algarismos 1 e 2 adjacentes:: 4!x2!x2!.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org171Logo a quantidade de números nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, maso 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes é 5!x2! – 4!x2!x2! = 240 – 96 = 144números.Resposta: A121) (FGV) Uma comissão de três pessoas é formada escolhendo-se ao acaso entreAntônio, Benedito, César, Denise e Elisabete. Se Denise não pertence à comissão, quala probabilidade de César pertencer?a.34b.32c.24d.23e.36SoluçãoSejam os eventos:A = “César pertence a comissão”B = “Denise não pertence a comissão”"César pertence a comissão Denise não pertence a comissão"A B∩ = ∧24( ) 1 6n A C= × =34( ) 4n B C= =23( ) 1 3n A B C∩ = × =35( ) 10n S C= =Queremos calcular ( | )P A B .3( ) 310( | )4( ) 410P A BP A BP B∩= = =Resposta: A.122) (FGV) Numa escola existem seis casais; entre estas 12 pessoas, duas sãoselecionadas ao acaso.a) Qual a probabilidade de selecionarmos um homem e sua esposa?b) Qual a probabilidade de selecionarmos dois homens?Solução
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org172a) Número de casos favoráveis: 16 1 6C × =Número de casos possíveis: 212 66C =Logo a probabilidade de selecionarmos um homem e sua esposa é6 166 11= .b) Número de casos favoráveis: 26 15C =Logo a probabilidade de selecionarmos dois homens é15 566 22= .Resposta:1 511 22e123) (FGV) Num certo país, 10% das declarações de imposto de renda são suspeitase submetidas a uma análise detalhada; entre estas verificou-se que 20% sãofraudulentas. Entre as não suspeitas, 2% são fraudulentas.a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade dela ser suspeita efraudulenta?b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade dela ter sido suspeita?a. 1% e 52,75%b. 2% e 53,66%c. 4% e 52,63%d. 2% e 52,63%e. 5% e 25,36%SoluçãoSeja os eventos:S = “A declaração é suspeita”F = “A declaração é fraudulenta”( ) 10% 0,1P S = =( | ) 20% 0,2P F S = =( | ) 2% 0,02cP F S = =( ) 90% 0,9cP S = =a) ( ) ( | ) ( ) 0,2 0,1 0,02 2%P S F P F S P S∩ = × = × = =b)( | ) ( )( | )( | ) ( ) ( | ) ( )c cP F S P SP S FP F S P S P F S P S×=× + ×(Teorema de Bayes)( | ) ( ) 0,2 0,1( | )( | ) ( ) ( | ) ( ) 0,2 0,1 0,02 0,90,02 0,02( | ) 0,5263 52,63%0,02 0,018 0,038c cP F S P SP S FP F S P S P F S P SP S F× ×= =× + × × + ×= = = =+Resposta: D.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org173124) (FGV) Um fichário tem 25 fichas, etiquetadas de 11 a 35.a) Retirando-se uma ficha ao acaso, qual probabilidade é maior: de ter etiqueta porou ímpar? Por que?b) Retirando-se ao acaso duas fichas diferentes, calcule a probabilidade de que suasetiquetas tenham números consecutivos.Soluçãoa) 35 etiquetas =1213paresímpares⎧⎨⎩Logo a probabilidade de obter uma etiqueta com número ímpar é maior.b) O número de maneiras de retirar duas etiquetas com números consecutivos é:24 maneiras{(11,12) , (12, 13), ..., (34, 35)}.Logo a probabilidade pedida é:240,08 8%300= =Resposta: a. Ímpar; b. 8%.125) (FGV) A área da superfície da Terra é aproximadamente 510 milhões de km2.Um satélite artificial dirige-se aleatoriamente para a Terra. Qual a probabilidade deele cair numa cidade cuja cuperfície tem área igual a 102km2?a. 2.10-9b. 2.10-8c. 2.10-7d. 2.10-6e.2.10-5Solução6 76 6102 0,20,2 10 2 10510 10 10− −= = × = ××Resposta: C.126) (FGV) Um recipiente contém 4 balas de hortelã, 5 de morango e 3 de anis. Seduas balas forem sorteadas sucessivamente e sem reposição, a probabilidade de quesejam de mesmo sabor é:a.1865b.1966c.2067
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org174d.2168e.2269SoluçãoO número de maneiras de selecionar duas bolas (espaço amostral) é:212 66C = maneiras.O número de maneiras de selecionar duas balas de mesmo sabor:Hortelã: 24 6C = maneirasMorango: 25 10C = maneirasAnis: 23 3C = maneirasTotal: 19 maneirasLogo a probabilidade pedida é1966.Resposta: B.127) a) (FGV) Uma urna contém 5 bolinhas numeradas de 1 a 5. Uma bolinha ésorteada, tem observado seu número, e é recolocada na urna. Em seguida, umasegunda bolinha é sorteada e tem observado seu número. Qual a probabilidade de quea soma dos números sorteados seja superior a 2?b) Uma urna contém n bolinhas numeradas de 1 a n. Sorteando-se duasbolinhas sucessivamente com reposição, e observando-se os números do 1º e do 2ºsorteio, quantos resultados são possíveis? Qual seria a resposta se não houvessereposição?Soluçãoa) Espaço amostral (S): S = {(1,1), (1,2), (1,3) (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), ..., (5,5)}n (S) =25Seja o evento A tal que : A = “A soma dos números sorteados é superior a 7”.A = {(3,5), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5), (5,3)}N (A) = 6Logo a probabilidade pedida é625.b) Com reposição:Pelo princípio da fundamental da contagem, temos n×n = n2resultados possíveis.Sem reposição:Pelo princípio da fundamental da contagem, temos n (n-1) resultados possíveis.Resposta:128) (FUVEST) Uma pessoa dispõe de um dado honesto, que é lançadosucessivamente quatro vezes. Determine a probabilidade de que nenhum dos números
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org175sorteados nos dois primeiros lançamentos coincida com algum dos números sorteadosnos dois últimos lançamentos.a.3365b.3166c.7235d.3572e.3369SoluçãoNúmero de casos possíveis: 64= 1.296.Número de casos favoráveis:1º caso – Os números dos dois dados (primeiros) são iguais: 6 1 5 5 150× × × = .2º caso – Os números dos dois dados (primeiros) são distintos: 6 5 4 4 480× × × = .Os números de casos favoráveis é: 150 + 480 = 630.Logo a probabilidade pedida é:630 351.296 72=Resposta: D.129) (FGV) Em um determinado jogo, são sorteados 3 números entre os 30 que estãono volante de apostas. O apostador, que assinala 6 números no volante, ganha, setodos os 3 números sorteados estiverem entre os 6 assinalados. A probabilidade de oapostador ganhar é:a.1203b.1507c.1156d.1280e.198SoluçãoNúmero de casos possíveis: 63030!6!24!C =
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org176Número de casos favoráveis: 3 33 2727!3!24!C C =A probabilidade será:27!6! 27! 120 13!24!30! 3! 30! 30 29 28 2036!24!×= = =× × ×Resposta: A.130) (FGV) Em uma comunidade, 80% dos compradores de carros usados são bonspagadores. Sabe-se que a probabilidade de um bom pagador obter cartão de crédito éde 70%, enquanto que é de apenas 40% a probabilidade de um mau pagador obtercartão de crédito. Selecionando-se ao acaso um comprador de carro usado dessacomunidade, a probabilidade de que ele tenha cartão de crédito é de:a. 56%b. 64%c. 70%d. 32%e. 100%SoluçãoSejam os eventos:A = “O comprador é bom pagador”B = “O comprador tem cartão de crédito”( ) 80% 0,8P A = =( ) 20% 0,2cP A = =( | ) 70% 0,7P B A = =( | ) 30% 0,3cP B A = =( | ) 40% 0,4cP B A = =( | ) 60% 0,6c cP B A = =Pelo teorema da probabilidade total temos:( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )( ) 0,7 0,8 0,4 0,2 0,56 0,08 0,64c cP B P B A P A P B A P AP B= × + ×= × + × = + =Resposta: B.131) (FGV) Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B são tais queP(A∪ B) = 0,8 e P(A) = 0,3. Podemos concluir que o valor de P(B) é:a. 0,5b.57c. 0.6
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org177d.715e. 0,7SoluçãoA e B são independentes.Logo P(A∩ B) = P(A) ×P(B) = 0,3P(B)Mas: P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩ B)0,8 = 0,3 + P(B) – 0,3P(B)0,8 – 0,3 = 0,7P(B)P(B) =57Resposta: B.132) (FUVEST) Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face 6saia com o dobro de freqüência da face 1, e que as outras faces saiam com afreqüência esperada em um dado não viciado. Qual a freqüência da face 1?a.13b.23c.19d.29e.112SoluçãoP(1) = pP(2) =16P(3) =16P(4) =16P(5) =16P(6) = 2pLogo:P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org178p +16+16+16+16+ 2p = 13p +46= 13p +23= 13p = 1-233p =13p =19Resposta: C.133) (FUVEST) Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que nãotem algarismos adjacentes iguais?a. 59b. 9×84c. 8×94d. 85e. 95SoluçãoSeja o número A B C D E. Para a posição de A podemos escolher 9 algarismos.Para a posição de B podemos escolher 9 algarismos, pois não podemos repetir o algarismode A.Para a posição de C podemos escolher 9 algarismos, pois não podemos repetir o algarismode B.Para a posição de D podemos escolher 9 algarismos, pois não podemos repetir o algarismode C.Para a posição de podemos escolher 9 algarismos, pois não podemos repetir o algarismo deD.Portanto pelo princípio fundamental da contagem temos: 9×9×9×9×9 = 95Resposta: E.134) (FGV) Um lote com 20 peças contém 2 defeituosas. Sorteando-se 3 peças desselote, sem reposição, a probabilidade de que sejam não defeituosas è:a.6895b.7095
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org179c.7295d.7495e.7695SoluçãoA probabilidade será31832018 17 16 4 17 6820 19 18 5 19 95CC× × ×= = =× × ×Resposta: A.135) Sejam A, B e C três eventos associados a um experimento. Exprima emanotações de conjuntos, as seguintes afirmações verbais:a) Ao menos um dos eventos ocorre.b) Exatamente um dos eventos ocorre.Soluçãoa) Pelo menos um significa a união de todos os eventos, logo temos (A∪ B∪ C).b) Exatamente um dos eventos ocorre significa que ocorre somente o evento A, ousomente o evento B, ou somente o evento C, logo temos( ) ( ) ( )∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩A B C A B C A B C .Resposta: a) (A∪ B∪ C); b) ( ) ( ) ( )∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩A B C A B C A B C .136) Suponha que A e B sejam eventos tais que P(A) = a, P(B) = b, e P(A∩ B) = c.Exprima cada uma das seguintes probabilidades em têrmos de x, y e z.a. ( )P A B∪ b. ( )P A B∩ c. ( )P A B∪ d. ( )P A B∩Soluçãoa) Por Morgan temos: ( ) ( )A B A B∪ = ∩ logo( ) ( ) ( )1 1P A B P A B P A B c∪ = ∩ = − ∩ = −b) ( ) ( ) ( )P A B P B P A B b c∩ = − ∩ = −c) Por Morgan temos: ( ) ( )A B A B∪ = ∩ logo( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1P A B P A B P A B P A P A B∪ = ∩ = − ∩ = − + ∩
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org180( ) 1P A B a c∪ = − +d) Por Morgan temos: ( ) ( )A B A B∩ = ∪ logo( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )P A B P A B P A B P A P B P A B∩ = ∪ = − ∪ = − − + ∩( ) 1P A B a b c∩ = − − +Resposta: a. 1-c; b. b-c; c. 1-a+c; d. 1-a-b+c.137) Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P(A) = P(B) = P(C) =1/4, P(A∩ B)= P(C∩ B)=0 e P (A∩ C) =1/8. Calcule a probabilidade de que pelo menos um doseventos A, B ou C ocorra.a.68b.58c.89d.59e.78Solução( )Pelo menos um dos eventos A, B ou C ocorra ( )P P A B C= ∪ ∪Mas( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩Como ( ) ( )A B C A B∩ ∩ ⊂ ∩ ( ) ( )0 0P A B C P A B≤ ∩ ∩ ≤ ∩ =Logo temos que ( ) 0P A B C∩ ∩ = .Voltando a fórmula temos:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩1 1 1 1 5( ) 0 0 04 4 4 8 8P A B C∪ ∪ = + + − − − + =Resposta: B.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org181138) Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha queP(A) = 0,4 , enquanto ( ) 0,8P A B∪ = . Seja P(B) = p.a) Para que valor de p, A e B serão disjuntos?b) Para que valor de p, A e B serão independentes?Soluçãoa) A e B são disjuntos. Então ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = +0,8 0,40,4pp= +=b) A e b são independentes. Então ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ×( ) 0,4P A B p∩ = ×Mas ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩0,8 0,4 0,40,8 0,4 0,60,6 0,423p pppp= + −= +==Resposta: a. p= 0,4; b. p = 2/3.139) Uma empresa fabrica motores a jato em duas fábricas A e B. Um motor éescolhido ao acaso de um lote de produção. Nota-se que o motor apresenta defeitos. Deobservações anteriores a empresa sabe que 2% e 3% são as taxas de motoresfabricados com algum defeito em A e B, respectivamente. Sabendo-se que a fábrica Aé responsável por 40% da produção, assinale a opção que dá a probabilidade de que omotor escolhido tenha sido fabricado em A.a) 0,400b) 0,030c) 0,012d) 0,308e) 0,500SoluçãoSejam os eventos:A = “o motor foi produzido pela fábrica A”B = “o motor foi produzido pela fábrica B”C = “o motor é defeituoso”O enunciado forneceu:P(A) = 40% = 0,4P(B) = 60% = 0,6P(D/A) = 2% = 0,02
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org182P(D/B) = 3% = 0,03O enunciado informa que o motor selecionado apresenta defeito. Pergunta-se:P(A/D) =?Logo P(A/D) = ( )( )( ) ( )( )DPAP.A/DPDPDAP=∩Vamos calcular o P(D):Como:D = (A ∩ D) ∪ (B ∩ D) ...... União de eventos disjuntosLogo:P(D) = P((A ∩ D) ∪ (B ∩ D))P(D) = P(A ∩ D) + (B ∩ D)P(D) = P(A/D) . P(A) + P(D/B) . P(B)Logo:P(D) = 0,02 x 0,4 + 0,03 x 0,6 = 0,008 + 0,018P(D) = 0,026Voltando a pergunta do problema:( ) ( ) ( )( )308,0134026,008,0026,04,0x02,0DPAP.A/DPD/AP =====Resp. A140) Beatriz, que é muito rica, possui cinco sobrinhos: Pedro, Sérgio, Teodoro, Carlos eQuintino. Preocupada com a herança que deixará para seus familiares, Beatriz resolveusortear, entre seus cinco sobrinhos, três casas. A probabilidade de que Pedro e Sérgio,ambos, estejam entre os sorteados, ou que Teodoro e Quintino, ambos, estejam entre ossorteados é igual a:a) 0,8b) 0,375c) 0,05d) 0,6e) 0,75SoluçãoA probabilidade de que Pedro e Sérgio sejam sorteados será:2 12 335310C xCC=A probabilidade de que Teodoro e Quintino sejam sorteados será:2 12 335310C xCC=Como os eventos são disjuntos temos : 0,3+0,3 = 0,6. Opção correta D.Observação: Esta solução está supondo que cada sobrinho sorteado recebeu deherança apenas um casa.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org183141) Uma equipe de peritos criminais precisa descobrir a posição correta de umesconderijo e para tal dispõe somente do pedaço de um bilhete rasgado.A equipe situa-se na posição desse poço que se encontra dentro de um terreno de áreacircular de raio igual a 100 passos e não possui bússola para indicar o norte. Alémdisso, é noite. O bilhete rasgado não deixa claro se o número de passos a ser dado é demúltiplos de três ou de oito. Entretanto, a equipe é formada por peritos que entendemde métodos de contagem e que decidem usar o princípio da inclusão-exclusão: “SendoA e B conjuntos cujo número de elementos é dado por n(A) e n(B), respectivamente,então n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B), onde n(A∪B) é o número de elementos quepertence a pelo menos um dos conjuntos A e B”. Com base nesse princípio, determineo número máximo de tentativas que a equipe terá de realizar para encontrar oesconderijo.a) 33b) 12c) 45*d) 41e) 4SoluçãoSeja A o conjunto dos múltiplos positivos de 3.Seja B o conjunto dos múltiplos positivos de 8.Então temos:{ }3,6,9,...99A = ( ) 33n A ={ }8,16,24,...96B = ( ) 12n B ={ }24,48,72,96A B∩ = ( ) 4n A B∩ =Temos então que:( ) ( ) ( ) ( )( ) 33 12 4 41n A B n A n B n A Bn A B∪ = + − ∩∪ = + − =Portanto a equipe deverá tentar 41círculos.Resposta: D
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org184Texto para os itens de 142 a 144Crianças e adolescentes que trabalham no Brasil somam 2,9 milhões, mais do que aspopulações somadas de Rondônia, Amapá, Acre e Roraima. O Nordeste é a região queapresenta maior ocorrência do trabalho infantil. Lá, 15,9% das crianças e adolescentes com17 anos de idade trabalham. A menor taxa é no Sudeste (8,6%). Concentram-se no campo76,7% das crianças ocupadas de 5 a 9 anos de idade. Em sua maioria, não recebemremuneração (64,4%) ou estão envolvidas na produção para consumo próprio (26,9%). Opercentual de garotos trabalhando (15,6%) é quase o dobro do das meninas.Entre 2004 e 2005, cresceu 10,3% o número de menores entre 5 e 14 anos de idadeocupados, apesar da proibição legal. Na faixa até 17 anos de idade, o aumento é bemmenor: subiu de 11,8% para 12,2%, interrompendo tendência de queda desde 1992.Jornal do Senado (Edição Semanal), 18-24/6/2007, p. 11 (com adaptações).Considerando que o número de crianças e adolescentes com até 17 anos de idade quetrabalham no Brasil seja igual a 2.899.800 e que a quantidade deles por região brasileiraseja diretamente proporcional ao número de unidades federativas da respectiva região —são 27 as unidades federativas brasileiras, incluindo-se o Distrito Federal como unidadefederativa da região Centro-Oeste —, julgue os itens seguintes, tendo como referência asinformações contidas no texto acima.142) Na região Nordeste, que é formada por 9 unidades federativas, há mais de 6 milhõesde crianças e adolescentes com idade de até 17 anos.SoluçãoSeja o número de crianças e adolescentes com até 17 anos de idade que trabalham no Brasiligual a 2.899.800.Vamos calcular o número de crianças e adolescentes com até 17 anos de idade quetrabalham na região Nordeste:92.899.800 966.60027× = crianças ou adolescentes.Logo o número de crianças e adolescentes com até 17 anos de idade na região Nordeste éaproximadamente:966600 9666006.079.245 615,9% 0,159= = > milhõesResposta: Correto143) Na situação apresentada, escolhendo-se aleatoriamente um indivíduo entre os2.899.800 referidos, a probabilidade de ele ser da região Centro-Oeste ou da região Sudesteé superior a 0,2.SoluçãoConsiderando a distribuição das unidades federativas brasileiras por região,temos:Região Norte: 6 unidadesRegião Nordeste: 9 unidades
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org185Região Sul: 3 unidadesRegião Sudeste: 4 unidadesRegião Centro-Oeste: 5 unidadesPortanto a probabilidade solicitada será:9 10,333... 0,227 3= = >Resposta: Correto144) Considere que, das crianças e adolescentes com até os 17 anos de idade que trabalham noBrasil, 20% tenham entre 5 e 9 anos de idade. Nesse caso, mais de 450.000 dessas crianças eadolescentes trabalham no campo.SoluçãoSeja o número de crianças com idades entre 5 e 9 anos, que trabalham no Brasil igual a:20% 2.899.800 579.960× = crianças.Logo o número de crianças e adolescentes nessa faixa que está no campo será aproximadamente:76,7% 579.960 444.829 450.000× = <Resposta: Errado145) Uma bandeja de salgadinhos contém 9 bolinhas de carne, das quais 3 contêmtomates secos no recheio, e 7 bolinhas de queijo, das quais 4 contêm tomates secos norecheio. Como todas as bolinhas são de mesmo tamanho, não é possível identificar orecheio antes de abri-las. Se uma pessoa retirar, ao acaso, uma bolinha dessa bandeja, aprobabilidade de ela ter tomates secos éA)723.B)13.C)716.D)47.E)79.Solução9 bolinha de carne3 com tomates secos6 sem tomates secos⎧⎨⎩7 bolinhas de queijo4 com tomates secos3 sem tomates secos⎧⎨⎩Logo a probabilidade de uma bolinha retirada ao acaso conter tomates secos é:
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org1863 4 79 7 16+=+Opção correta: C.146) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro.Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Mariaguarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em sua pequena caixa de jóias. Uma noite,arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, umapulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata.Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Mariaretirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual aa) 1/3.b) 1/5.c) 9/20.d) 4/5.e) 3/5.Solução4583prataJoãoouroprataPedroouro⎧⎨⎩⎧⎨⎩Sejam os eventos:A = “ a pulseira selecionada foi a do João”B = “ a pulseira selecionada é de prata”Temos que:4( / )98( / )119( )2011( )20ccP B AP B AP AP A====Logo pelo teorema de Bayes, temos:4 9 4.( / ) ( ) 19 20 20( / )4 9 8 11 12( / ) ( ) ( / ) ( ) 3. .9 20 11 20 20c cP B A P AP A BP B A P A P B A P A= = = =+ +Opção correta: A
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org187147) Marcelo Augusto tem cinco filhos: Primus, Secundus, Tertius, Quartus e Quintus.Ele sorteará, entre seus cinco filhos, três entradas para a peça Júlio César, de Sheakespeare.A probabilidade de que Primus e Secundus, ambos, estejam entre os sorteados, ou queTertius e Quintus, ambos, estejam entre os sorteados, ou que sejam sorteados Secundus,Tertius e Quartus, é igual aa) 0,500.b) 0,375.c) 0,700.d) 0,072.e) 1,000.SoluçãoVamos calcular a probabilidade de serem selecionados Primus e Secundus(ambos):Casos favoráveis: 2 12 3 1 3 3C xC x= =Casos possíveis: 35 10C =Logo a probabilidade de serem selecionados Primus e Secundos é 3/10 (*)Vamos calcular a probabilidade de serem selecionados Tertius e Quintus(ambos):O cálculo é análogo.Logo a probabilidade de serem selecionados Tertius e Quintus é 3/10 (**)Vamos calcular a probabilidade de serem selecionados Secundus, Tertius e Quartus:Casos favoráveis: 33 1C =Casos possíveis: 35 10C =Logo a probabilidade de serem selecionados Secundos, Tértius e Quartus é 1/10 (***)A probabilidade pedida é a soma de (*), (**) e (***) logo teremos:3/10+3/10+1/10 = 7/10 = 0,700Resposta: C148) Luís é prisioneiro do temível imperador Ivan. Ivan coloca Luís à frente de três portase lhe diz: “Atrás de uma destas portas encontra-se uma barra de ouro, atrás de cada uma dasoutras, um tigre feroz. Eu sei onde cada um deles está. Podes escolher uma porta qualquer.Feita tua escolha, abrirei uma das portas, entre as que não escolheste, atrás da qual sei quese encontra um dos tigres, para que tu mesmo vejas uma das feras. Aí, se quiseres, poderásmudar a tua escolha”. Luís, então, escolhe uma porta e o imperador abre uma das portasnão-escolhidas por Luís e lhe mostra um tigre. Luís, após ver a fera, e aproveitando-se doque dissera o imperador, muda sua escolha e diz: “Temível imperador, não quero mais aporta que escolhi; quero, entre as duas portas que eu não havia escolhido, aquela que nãoabriste”. A probabilidade de que, agora, nessa nova escolha, Luís tenha escolhido a portaque conduz à barra de ouro é igual aa) 1/2.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org188b) 1/3.c) 2/3.d) 2/5.e) 1.SoluçãoA resposta correta é 2/3, pois Luís ganhará a barra de ouro se a porta que ele escolheuanteriormente tem uma fera (e a probabilidade desta porta possuir o prêmio é 1/3). Logocomo a soma das probabilidades é igual a um a nova porta escolhida(feita a troca pedida) éo complemento, isto é 2/3.Resposta: C149) (Julgue certo ou errado) Considere-se que, das 82 varas do trabalho relacionadasno sítio do TRT da 9.ª Região, 20 ficam em Curitiba, 6 em Londrina e 2 em Jacarezinho.Considere-se, ainda, que, para o presente concurso, haja vagas em todas as varas, e umcandidato aprovado tenha igual chance de ser alocado em qualquer uma delas. Nessascondições, a probabilidade de um candidato aprovado no concurso ser alocado em uma dasvaras de Curitiba, ou de Londrina, ou de Jacarezinho é superior a13.SoluçãoO espaço amostral é equiprovável logo a probabilidade pedida é:Número de casos favoráveis 20 6 2 28 14 14 1Número de casos possíveis 82 82 41 42 3+ += = = > =Resposta: Correto.150) (Julgue certo ou errado) De 100 processos guardados em um armário, verificou-seque 10 correspondiam a processos com sentenças anuladas, 20 estavam solucionados semmérito e 30 estavam pendentes, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente.Nessa situação, a probabilidade de se retirar desse armário um processo que esteja comsentença anulada, ou que seja um processo solucionado sem mérito, ou que seja umprocesso pendente, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente, é igual a35.Solução10 20 30 60 3100 100 5+ += =Resposta: Correto.151) O seguinte enunciado se refere à probabilidade de que exatamente um doseventos A ou B ocorra. Verifique que( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )P A B B A P A P B P A B⎡ ⎤∩ ∪ ∩ = + − ∩⎣ ⎦.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org189SoluçãoOs eventos ( )A B∩ e ( )B A∩ são disjuntos.Logo( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ( )P A B B A P A B P B A P A P A B P B P A BP A B B A P A P B P A B⎡ ⎤∩ ∪ ∩ = ∩ + ∩ = − ∩ + − ∩⎣ ⎦⎡ ⎤∩ ∪ ∩ = + − ∩⎣ ⎦152) (FCC) Usando palitos de fósforo inteiros é possível construir a seguinte sucessãode figuras compostas por triângulos:Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter uma figura compostade 25 triângulos, o total de palitos de fósforo que deverão ser usados éa) 45b) 49c) 51d) 57e) 61SoluçãoCom 1 triângulo temos 3 palitos (2 x 1 + 1)Com 2 triângulo temos 5 palitos (2 x 2 + 1)Com 3 triângulo temos 7 palitos (2 x 3 +1)Com 4 triângulo temos 9 palitos (2 x 4 + 1)Logo, com 25 triângulos teremos: 2 x 25 + 1 = 50 + 1 = 51 palitosResposta: C153) Qual o próximo termo da seqüência: 0, 6, 12, 18, 24, 30, . . .a) 33b) 34c) 35d) 36e) 39SoluçãoÉ só somarmos 30 + 6 = 36.Resposta: D154) Qual o próximo termo da seqüência:1, 3, 3, 7, 5, 11, 7, 15, 9, 19, 11, 23, 13, 27, . . .a)14b)15
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org190c) 25d) 28e) 29SoluçãoBasta observar a seqüência: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15Resposta: B155) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .a) 30b) 31c) 32d) 33e) 34SoluçãoCada termo é a soma dos dois termos anteriores, logo a opção correta é 34.Resposta: E156) Qual o próximo termo da seqüência: 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .a) 48b) 49c) 54d) 64e) 81SoluçãoEvidente que a opção correta é 72= 49.Resposta: B157) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 2, 4, 6, 10, 16, . . .a) 22b) 23c) 24d) 25e) 26SoluçãoCada termo é a soma dos dois termos anteriores, logo a opção correta é 26.Resposta: E158) (FCC) Na figura abaixo, as letras foram dispostas em forma de umtriângulo segundo determinado critério.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org191Considerando que as letras K, W e Y não fazem parte do alfabeto oficial, então, deacordo com o critério estabelecido, a letra que deve substituir o ponto deinterrogação éa) Pb) Qc) Rd) Se) TSoluçãoBasta observar que cada letra ocorre 3 vezes, logo teremos:PP QP R SQ R S TQ R S T TResposta: E159) (FCC) O triângulo abaixo é composto de letras do alfabeto dispostassegundo determinado critério.Considerando que no alfabeto usado não entram as letras K, W e Y, então,segundo o critério utilizado na disposição das letras do triângulo a letra quedeverá ser colocada no lugar do ponto de interrogação éa) Cb) Ic) Od) Pe) RSolução
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org192É a ordem alfabética começando pela base do triângulo.PO NM L JI H G FE D C B AResposta: D160) Continuando a seqüência 4, 10, 28, 82, . . . , temosa) 236.b) 244.c) 246.d) 254.e) 256.SoluçãoObserve que:3 x 4 – 2 = 103 x 10 – 2 = 283 x 28 – 2 = 823 x 82 – 2 = 244Resposta: B161) Continuando a seqüência de letras F, N, G, M, H, ..., ... temos,respectivamente,a) O, P.b) I, O.c) E, P.d) L, I.e) D, L.SoluçãoÉ o alfabeto alternado em ordem crescente e decrescente: F, N, G, M, H, L, I.Resposta: D162) Continuando a seqüência 47, 42, 37, 33, 29, 26, ... , temosa) 23.b) 22.c) 21.d) 24.e) 25.Solução
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org193Resposta: A163) Os números no interior dos setores do círculo abaixo foram marcadossucessivamente, no sentido horário, obedecendo a uma lei de formação.Segundo essa lei, o número que deve substituir o ponto de interrogação éa) 210b) 206c) 200d) 196e) 188SoluçãoA seqüência é 0, 6, 24, 60, 120,...Isto é, 0x6; 4x6; 10x6; 20x6,...Observe a seqüência:Logo teremos:Logo o termo que falta é 35 x 6 = 210Resposta: A164) (FCC) No quadriculado seguinte os números foram colocados nas célulasobedecendo a um determinado padrão.Seguindo esse padrão, o número X deve ser tal que
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org194a) X > 100b) 90 < X <100c) 80 < X < 90d) 70 < X < 80e) X < 70SoluçãoBasta observar a seqüência de somas que ocorre em cada coluna, assim teremos:X = 108.Resposta: A165) Pedro está construindo casas de cartas. Na figura estão representadas ascartas de um, dois e três andares que ele construiu. Quantas cartas João precisarápara construir uma casa de 30 andares?Solução2, 7, 15, 26, 40, 57 .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois......5, 8, 11, 14, 17, ...............3, 3, 3, 3, 3,...... r = 2Logo o termo geral é de grau 2. Isto é an = An2+ Bn + C (2ª grau em n).Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema:n = 1 A + B + C = 2 (equação 1)n = 2 4A + 2B + C = 7 (equação 2)n = 3 9A + 3B + C = 15 (equação 3)Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos:3A + B = 5 (equação 4)8A + 2B = 13 (equação 5)Subtraindo duas vezes a equação 4 da equação 5 temos:
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org195A = 3/2Substituindo A =3/2 na equação 4 temos B = 1/2.Substituindo A = 3/2 e B = 1/2 na equação 1 temos C = 0.Logo o termo geral é:an = An2+ Bn + C2232 232nnn nan na= ++=2303 30 30 3 900 30 273013652 2 2x xa+ += = = =166) (FCC) Considere que a seguinte seqüência de figuras foi construída segundodeterminado padrão.Mantido tal padrão, o total de pontos da figura de número 25 deverá ser igual aa) 97b) 99c) 101d) 103e) 105Solução5, 9, 13, 17, 21, 25,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois.....4 4 4 4 4 ......... k = 1Logo o termo geral é de grau 1. Isto é an = An + B (1ª grau em n).Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema:n = 1 A + B = 5 (equação 1)n = 2 2A+ B = 9 (equação 2)Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 4.Substituindo A = 4 na equação 1 temos B = 1Logo o termo geral é an = 4n +1O 25ª termos será a25 = 4x25+1 = 100 +1 = 101.Resposta: C
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org196167)Solução2, 7, 15, 26, 40, 57 .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois......5, 8, 11, 14, 17, ...............3, 3, 3, 3, 3,...... k = 2Logo o termo geral é de grau 2. Isto é an = An2+ Bn + C (2ª grau em n).Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema:n = 1 A + B + C = 2 (equação 1)n = 2 4A + 2B + C = 7 (equação 2)n = 3 9A + 3B + C = 15 (equação 3)Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos:3A + B = 5 (equação 4)8A + 2B = 13 (equação 5)Subtraindo duas vezes a equação 4 da equação 5 temos:A = 3/2Substituindo A =3/2 na equação 4 temos B = 1/2.Substituindo A = 3/2 e B = 1/2 na equação 1 temos C = 0.Logo o termo geral é:an = An2+ Bn + C2232 232nnn nan na= ++=
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org1972403 40 40 3 1600 40 484024202 2 2x xa+ += = = =168) (FCC) Usando palitos de fósforo inteiros é possível construir a seguintesucessão de figuras compostas por triângulos:Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter uma figura compostade 25 triângulos, o total de palitos de fósforo que deverão ser usados éa) 45b) 49c) 51d) 57e) 61Solução3, 5, 7, 9, 11, 13,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois.....2 2 2 2 2 ......... k = 1Logo o termo geral é de grau 1. Isto é an = An + B (1ª grau em n).Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema:n = 1 A + B = 3 (equação 1)n = 2 2A+ B = 5 (equação 2)Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 2.Substituindo A = 2 na equação 1 temos B = 1Logo o termo geral é an = 2n +1O 25ª termos será a25 = 2x25+1 = 50 +1 = 51.Resposta: C169) (FCC) Um programa de computador faz aparecer pontos luminosos nomonitor. Inicialmente escuro, conforme padrão pré-estabelecido. Na 1ª etapasurgem 2 pontos luminosos, na 2ª etapa surgem 4 pontos ( totalizando 6 pontos natela), na 3ª etapa surgem mais 12 pontos. Assim, a cada etapa, surge o dobro donúmero de pontos luminosos existentes na tela ao final da etapa anterior. Se essepadrão for mantido, ao final da etapa k tem-se, na tela, um número de pontosluminosos igual a :a) 4k2– 8 k + 6b) 2k2– 12 k + 12c) 2 . 3k-1d) 3 . 2k-1
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org198e) 2k+ 3 (k – 1)SoluçãoTemos a seqüência 2, 4, 12, 18, 36, .... .Sendo assim os totais de pontos no fim da 1ª, 2ª, 3ª, ... etapas serão 2, 6, 18, 54, .... .Vamos obter o termo geral dessa seqüência.Seja ka o total de pontos luminosos ao final da k-ésima etapa.Temos então:1 12k k ka a a− −= +13k ka a −= , para k = 1, 2, 3, 4, .... onde 2 6a = e 1 2a = .Podemos então verificar que:2 13a a=3 23a a= 23 1 13.3. 3 .a a a= = .4 33a a= 2 34 1 13.3 . 3 .a a a= = .5 43a a= 3 45 1 13.3 . 3 .a a a= = . e assim sucessivamente...............................................13k ka a −= 2 11 13.3 . 3 .k kka a a− −= = .Portanto temos que 113 .kka a−= .Como 1 2a = temos 12.3kka −= , k = 1, 2, 3, 4, .....Resposta: C170) (FCC) Na seqüência de quadriculados abaixo, as células pretas foramcolocadas obedecendo a um determinado padrão.Mantendo esse padrão, o número de células brancas na Figura V seráa) 101b) 99c) 97d) 83e) 81SoluçãoFigura I → 32– 4 = 9 – 4 = 5 células brancasFigura II → 52– 8 = 25 – 8 = 17 células brancasFigura III → 72– 12 = 49 – 12 = 37 células brancasFigura IV → 92– 16 = 81 – 16 = 65 células brancas
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org199Figura V → 112– 20 = 121 – 20 = 101 células brancasResposta: A171) (Mack) Na função f dada por(0) 14 ( ) 1( 1)4ff nf n=⎧⎪⎨ ++ =⎪⎩em que n é um número natural, f (44) vale:a)434b) 13c)454d) 12e) 15SoluçãoTemos4 ( ) 1( 1)4f nf n++ =para n = 0, 1, 2, ....., 44.4 ( 1) 4 ( ) 14 ( 1) 4 ( ) 1f n f nf n f n+ = ++ − =Fazendo n = 0, 1, 2, 3, 4, .....,44 temos:4 (1) 4 (0) 14 (2) 4 (1) 14 (3) 4 (2) 14 (4) 4 (3) 1.............................4 (43) 4 (42) 14 (44) 4 (43) 1f ff ff ff ff ff f− =⎧⎪ − =⎪⎪ − =⎪− =⎨⎪⎪− =⎪⎪ − =⎩Somando-se as parcelas observamos que vários fatores cancelam-se e o resultado dasoma é
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org2004 (44) 4 (0) 444 (44) 4 1 444 (44) 4 444 (44) 44 44 (44) 4848(44) (44) 124f ffffff f− =− × =− == +== → =Resposta: D172) (NCE)Considere a seqüência abaixo:–– – –– – – – – –– – – – – – – – – –(1) (2) (3) (4) ..........Quantos pontos totais haverá nos triângulos formados com a soma do oitavo com onono termo da seqüência ?a) 9b) 81c) 90d) 99e) 100SoluçãoTemos a seqüência de números triangulares. Logo a8 + a9 = 92= 81Resposta: B173) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 3, 6, 7, 8, 9, ....a)11b)12c)17d)18e)20Solução2 - dois - 4 letras3 - três - 4 letras6 - seis - 4 letras7 - sete - 4 letras8 - oito - 4 letras9 - nove - 4 letras11 - onze - 4 letras
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org201Resposta: A174) Qual o próximo termo da seqüência: B, D, F, H : D, F, H, ...a) Ib) Jc) Kd) Le) MSoluçãoComparando os termos temos:de B para D, 2 letras (C, D)de D para F, 2 letras (E, F)de F para H, 2 letras (G, H)Logo H avançando 2 letras (I, J), a próxima letra que falta na segunda seqüência é JResposta: B175) Descobrir o número que falta3 ?14106975a) 1b) 2c) 6d) 9e) 18SoluçãoA resposta é 18, pois os números são o dobro de seus imediatamente opostos.Resposta: E176) Qual o próximo termo da seqüência: 2, 5, 11, 17, 23, 37, ...a) 31b) 37c) 41d) 43e) 45SoluçãoObserve a seqüência de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 37, 41, 43Resposta: D177) Considere a seguinte fórmula recursiva:
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org202f (0) = 500f (n + 1) = f (n) – 1, n ≥ 0, inteiro.Então o valor de f (500) é:a) –1b) 0c) 1d) 499e) 500Soluçãof ( 1 ) = f ( 0 + 1 ) = f ( 0 ) – 1 = 500 – 1 = 499f ( 2 ) = f ( 1 + 1 ) = f ( 1 ) – 1 = 499 – 1 = 498f ( 3 ) = f ( 2 + 1 ) = f ( 2 ) – 1 = 498 – 1 = 497..................................................................................................................................................Logo: f (500) = 0Resposta: B178) Considere que os termos da sucessão (0, 1, 3, 4, 12, 13, ...) obedecem a uma leide formação. Somando o oitavo e o décimo termos dessa sucessão obtém-se umnúmero compreendido entre(A) 150 e 170(B) 130 e 150(C) 110 e 130(D) 90 e 110(E) 70 e 90SoluçãoSome 1 ao anterior, e depois multiplique o anterior por três alternadamente.1) 0 = 02) 0+1 = 13) 1x3 = 34) 3+1 = 45) 4x3 = 126) 12+1 = 137) 13x3 = 398) 39+1 = 409) 40x3 = 12010) 120+1=121A soma do oitavo com o décimo será 40+121 = 161Opção A.
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org203179) Considere que a seqüência (C, E, G, F, H, J, I, L, N, M, O, Q, ...) foi formada apartir de certo critério. Se o alfabeto usado é o oficial, que tem 23 letras, então, deacordo com esse critério, a próxima letra dessa seqüência deve ser(A) P(B) R(C) S(D) T(E) USoluçãoObserve com facilidade a seqüência:E F GH J IL M NO Q PResp. A180) Considere que a sucessão de figuras abaixo obedece a uma lei de formação.O número de circunferências que compõem a 100afigura dessa sucessão é(A) 5 151(B) 5 050(C) 4 950(D) 3 725(E) 100SoluçãoObserve a seqüência:1, 3, 6, 10, 15, .......Temos entãoa seqüência de números triangulares:1 = 13 = 1 + 26 = 1 + 2 + 310 = 1 + 2 + 3 + 415 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5Queremos 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + ... + 100Então:100 1015.0502×=Resp. B
    • NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org204181) Segundo um determinado critério, foi construída a sucessão seguinte em quecada termo é composto de um número seguido de uma letra:A 1 – E 2 – B 3 – F 4 – C 5 – G 6 – ...Considerando que no alfabeto usado são excluídas as letras K, Y e W, então, deacordo com o critério estabelecido, a letra que deverá anteceder o número 12 é(A) J(B) L(C) M(D) N(E) OSoluçãoA1 – E2 – B3 – F4 – C5 – G6 – D7 – H8 – E9 – I10 – F11 – J12Resp. ADados do professor Joselias S. da Silva.Joselias é Bacharel em Estatística, formado pela Escola Nacional deCiências Estatísticas(ENCE). Foi Diretor de Orçamentos do TribunalRegional Federal(TRF-3ªRegião) e atualmente é professor emuniversidades paulistas e cursinhos preparatórios para concursospúblicos.Livro de sua autoria: É autor do livro Matemática ParaConcursos Públicos com Teoria e 500 Questões Resolvidas eComentadas-Editora Policon.VISITE O MEU HD-VIRTUAL:http://discovirtual.uol.com.br/disco_virtual/joselias/ApostilasA senha é joseliasJoseliasBoa Sorte!Joselias