1. Centro de Enseñanza Técnica Industrial
Organismo Público Descentralizado Federal
RESUMEN
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Anaya Romero Eric S.
Reg. 10310017
B212
Ecuaciones Diferenciales
Cesar Octavio Martínez Padilla
Ingeniería Mecatrónica
Centro de Enseñanza Técnica Industrial
Colomos
Turno vespertino
04 de marzo del 2011

2. Resumen
Ecuaciones Diferenciales Exactas
Antes que nada definimos en este tema el término nuevo que
utilizaremos, la derivada parcial (∂) que es la derivada de la variable a
la que pertenece.
La forma ordinaria de una ecuación diferencial exacta es la siguiente:
M (x,y)dx + N (x,y)dy = 0
Para verificar si es exacta utilizamos la derivada parcial de M y de N:
∂M/∂y=∂N/∂x
Al ser iguales las dos derivadas parciales significa que son exactas por
lo que procedemos a ciertos procesos algebraicos para resolver la
ecuación, los cuales se resumen mediante la expresión matemática:
F(x,y)= ∫ M(x,y)dx + ∫ [N(x,y) - ∂/∂y ∫ M(x,y)dx] dy
Otra manera de resolverlo sería la siguiente:
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3. Resumen
Una última manera de resolverlas más fácilmente es sí en la ecuación,
después de verificar que es exacta, podemos identificar diferenciales y
la podemos escribir completamente en función de ellos, recordando que
la integración es la función inversa de la diferenciación, integrando los
diferenciales hallamos la solución. Veamos un ejemplo que ilustra esto:
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4. Resumen
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS POR FACTOR INTEGRANTE
La forma ordinaria de una ecuación diferencial exacta es la siguiente:
M (x,y)dx + N (x,y)dy = 0
Cuando:
∂ M / ∂ y ≠ ∂ N / ∂ x (no son exactas)
Utilizamos u(x,y) sea el factor que le permita a la expresión ser exacta:
∫p(x)dx ∫p(y)dy
u=e ó u=e
Forma o método solución:
p(x)= (My – Nx) / N ó p(y)= (Ny – Mx) / M
(el resultado debe quedar respecto a una sola variable)
Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial 1 - xy + x(y - x)y´ = 0.
P = 1 – xy
Q = x(y - x), y se tiene que Py = -x ¹ Qx = y - 2x
Por lo que la EDO no es exacta. Por lo tanto buscaremos un factor
integrante. Probemos en primer lugar con uno que dependa solamente
de x. Aplicando la fórmula obtenemos:
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5. Resumen
Como el factor quedó expresado solamente en x, multiplicamos por este
factor integrante la ecuación queda:
1/x - y + (y - x)y´ = 0
Esta ecuación ya es exacta y aplicando el procedimiento para las
mismas tenemos que:
Bibliografías:
• Apuntes en clase
• http://www.utim.edu.mx/~navarrof/Docencia/MatematicasIV/UT4/ed
o_exactas.htm
• Calculo diferencial e integral, Lurcell Varberg Rigdon, Pearson.
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