Matemáticas EOLAPAZ Colegio Ntra. Sra. de la Paz – Torrelavega (Cantabria) Eolapaz.com / Historia de España
TEMA 2. Matrices 2.1.Concepto,nomenclatura,tipos 2.2.Igualdad,operaciones,propiedades 2.3. Rango: definición y cálculo por...
2ª columna 3ª fila Concepto de matriz o tabla Definimos  matriz de orden m x n  a un conjunto cualquiera de  elementos  (g...
Algunos tipos de matrices por su forma Diagonal secundaria Diagonal principal
Algunos tipos de matrices atendiendo a los elementos
Operaciones con matrices: suma La suma de dos matrices A = (a ij ) y B = (b ij ) de la misma dimensión, es otra matriz S =...
<ul><li>Propiedades de la adición de matrices: </li></ul><ul><li>A + (B + C) = (A + B) + C  (Asociativa) </li></ul><ul><li...
Operaciones con matrices: producto de un número por una matriz El producto de un número real k por una matriz A = (a ij ) ...
<ul><li>Propiedades de la operación producto de un número por una matriz : </li></ul><ul><li>k(A + B) = kA + kB  (propieda...
11 Producto de matrices Para poder multiplicar matrices el número de columnas de la primera tiene  que coincidir con el nú...
<ul><li>Propiedades del producto de matrices: </li></ul><ul><li>A(BC) = (AB)C  (propiedad asociativa) </li></ul><ul><li>AB...
TRASPOSICIÓN Y OPERACIONES Observaciones sobre las operaciones con matrices   t t A . k A . k    t t t A . B B . A  ...
Rango de una matriz <ul><li>Una fila (columna), I, depende linealmente de sus paralelas I 1 , I 2 , ..., I n  si existen u...
● Suprimir o añadir una fila o columna dependiente de otras ● Multiplicar una fila o columna por un número distinto de cer...
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Matematicas matrices

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Concepto, tipos y operaciones con matrices. Matematicas aplicadas a las ciencias socieles y matemáticas I y II de bachillerato

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Matematicas matrices

  1. 1. Matemáticas EOLAPAZ Colegio Ntra. Sra. de la Paz – Torrelavega (Cantabria) Eolapaz.com / Historia de España
  2. 2. TEMA 2. Matrices 2.1.Concepto,nomenclatura,tipos 2.2.Igualdad,operaciones,propiedades 2.3. Rango: definición y cálculo por Gauss
  3. 3. 2ª columna 3ª fila Concepto de matriz o tabla Definimos matriz de orden m x n a un conjunto cualquiera de elementos (generalmente números) distribuidos rectangularmente en m filas y n columnas. Dimensión de la matriz
  4. 4. Algunos tipos de matrices por su forma Diagonal secundaria Diagonal principal
  5. 5. Algunos tipos de matrices atendiendo a los elementos
  6. 6. Operaciones con matrices: suma La suma de dos matrices A = (a ij ) y B = (b ij ) de la misma dimensión, es otra matriz S = (s ij ), de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij = aij + bij
  7. 7. <ul><li>Propiedades de la adición de matrices: </li></ul><ul><li>A + (B + C) = (A + B) + C (Asociativa) </li></ul><ul><li>A + B = B + A (Conmutativa) </li></ul><ul><li>A + O = A (O es la matriz nula) </li></ul><ul><li>La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A, ya que A + (– A) = O </li></ul>
  8. 8. Operaciones con matrices: producto de un número por una matriz El producto de un número real k por una matriz A = (a ij ) es otra matriz B = (b ij ) de la misma dimensión que A tal que cada elemento b ij de B se obtiene multiplicando a ij por k: bij = k . aij
  9. 9. <ul><li>Propiedades de la operación producto de un número por una matriz : </li></ul><ul><li>k(A + B) = kA + kB (propiedad distributiva 1ª) </li></ul><ul><li>(k + h)A = kA + hA (propiedad distributiva 2ª) </li></ul><ul><li>k(hA) = (kh)A (propiedad asociativa mixta) </li></ul><ul><li>1 . A = A (elemento neutro) </li></ul>
  10. 10. 11 Producto de matrices Para poder multiplicar matrices el número de columnas de la primera tiene que coincidir con el número de filas de la segunda. El producto de una matriz A = (a ij ) de dimensión m x n por la matriz B = (b ij ) de dimensión n x q, es otra matriz P = (p ij ) de dimensión m x q, tal que cada elemento p ij se obtiene multiplicando escalarmente la fila i de la primera matriz por la columna j de la segunda. = fila 2 columna 3 elemento p 23
  11. 11. <ul><li>Propiedades del producto de matrices: </li></ul><ul><li>A(BC) = (AB)C (propiedad asociativa) </li></ul><ul><li>AB  BA </li></ul><ul><li>AI n = I n A = A ( sólo para matrices cuadradas . I n = es la matriz unidad) </li></ul><ul><li>A(B + C) = AB + AC (distributiva respecto a la suma de matrices) </li></ul><ul><li>AA -1 = I n ( sólo para algunas matrices cuadradas llamadas regulares o inversibles . A -1 es la matriz inversa) </li></ul>( no es en general conmutativo )
  12. 12. TRASPOSICIÓN Y OPERACIONES Observaciones sobre las operaciones con matrices   t t A . k A . k    t t t A . B B . A    t t t B A B A      t t A A  h k 0 A con hA kA     B A 0 k con kB kA         B A B A . B A 2 2       B . A 2 B A B A 2 2 2     C B C A B A      C B C . A B . A     0 B ó 0 A 0 B . A     
  13. 13. Rango de una matriz <ul><li>Una fila (columna), I, depende linealmente de sus paralelas I 1 , I 2 , ..., I n si existen unos números reales a 1 , a 2 , ..., a n no todos nulos, tales que: </li></ul><ul><li>I = a 1 I 1 + a 2 I 2 + ...+ a n I n </li></ul><ul><li>Rango de una matriz: es el número de filas o columnas linealmente independientes que podemos encontrar entre las filas o columnas de la matriz. </li></ul><ul><li>rango (A) = rango (F 1 , F 2 , F 3 , ...) = rango (C 1 , C 2 , C 3 , ...) </li></ul>Transformaciones que no modifican el rango de una matriz ● Suprimir o añadir una fila o columna nulas . ● Suprimir o añadir una fila o columna proporcional a otra.
  14. 14. ● Suprimir o añadir una fila o columna dependiente de otras ● Multiplicar una fila o columna por un número distinto de cero ● Sumar o restar una fila o columna a otra.
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