Calcolo manuale della   radice quadrata
Definizioni (1/2)• Sia q∈R il numero reale di cui si vuole  calcolare la radice quadrata.• Sia inoltre a∈N il valore inter...
Definizioni (2/2)• Detto r = √q ∈R, si può porre        r = a+b con a∈N, b∈R, b<1  Il problema si riduce quindi al calcolo...
Impostazione analitica (1/2)• Come prima approssimazione, ci poniamo  lobiettivo di calcolare      √q ≈ r1 rappresentato d...
Impostazione analitica (2/2)• Sviluppando il calcolo:        q – a2 ≥ (b1 / 10) (2a + b1 / 10)  ovvero    100 (q – a2) ≥ b...
Algoritmo per il calcolo di b1• Dal numero iniziale q si sottrae a2, si aggiungono  due 0 a destra e si sposta la virgola ...
Esempio: √ 10                (1/3)q = 10  a = 3  a2 = 910,00   3,… -9       Si sottrae da q=10 il valore  1       a2 = 9...
Esempio: √ 10                 (2/3)q = 10  a = 3  a2 = 910,00   3,… -9  100         Ora si "abbassano i due zeri" e si  ...
Esempio: √ 10             (3/3)q = 10  a = 3  c = 2a = 610,00   3,b1           Si costruisce il numero costitui-        ...
Proseguire lalgoritmoCome calcolare le cifre successive?Facile: si considerano come nuovi valori:• q = 100 ( 100 – 61) = 3...
√ 10: seguito10,0000    3,1b2 -9        621 ×   1 = 621  100      622 ×   2 = 1224   -61     …    3900   625 ×   5 = 3125 ...
E per proseguire ancora…Volete ulteriori cifre?Nuovi valori per la prosecuzione del calcolo:• q = 100 ( 3900 – 3756)= 100 ...
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Calcolo manuale della radice quadrata

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Queste slide mostrano come si calcola la radice quadrata di un numero intero passo passo, motivando l'algoritmo usato

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Calcolo manuale della radice quadrata

  1. 1. Calcolo manuale della radice quadrata
  2. 2. Definizioni (1/2)• Sia q∈R il numero reale di cui si vuole calcolare la radice quadrata.• Sia inoltre a∈N il valore intero che approssima per difetto √q In formule: a∈N : a2 ≤ q Esempi: q=10  a=3 q=17  a=4
  3. 3. Definizioni (2/2)• Detto r = √q ∈R, si può porre r = a+b con a∈N, b∈R, b<1 Il problema si riduce quindi al calcolo di b• Per calcolare b, conviene scriverlo come sequenza di cifre: b è rappresentato da "0. b1 b2 b3 …" e ragionare iterativamente, iniziando dal calcolo della prima cifra decimale b1
  4. 4. Impostazione analitica (1/2)• Come prima approssimazione, ci poniamo lobiettivo di calcolare √q ≈ r1 rappresentato da "a.b1" il cui valore si esprime come r1 = a + b1 / 10 dove b1 è una cifra fra 0 e 9 inclusi.• Ne segue che q ≥ (a + b1 / 10)2
  5. 5. Impostazione analitica (2/2)• Sviluppando il calcolo: q – a2 ≥ (b1 / 10) (2a + b1 / 10) ovvero 100 (q – a2) ≥ b1 (10c + b1), con c=2a• Tale formula diventa un algoritmo osservando che:  (q – a2) rappresenta la differenza fra il numero dato e il quadrato della sua attuale radice (approssimata)  (10c + b1) è il valore della sequenza di cifre "cb1"
  6. 6. Algoritmo per il calcolo di b1• Dal numero iniziale q si sottrae a2, si aggiungono due 0 a destra e si sposta la virgola di due posti• Si raddoppia il valore a calcolando c=2a, poi: – ponendo come 1° tentativo b1 = 1, si calcola il valore di c1 × 1 e si confronta con 100(q – a2): se è maggiore ci si ferma, altrimenti si prosegue; – si pone come 2° tentativo b1 = 2 e si calcola il valore di c2 × 2, ripetendo quindi il confronto Si assume come valido il massimo valore di b1 per il quale cb1 × b1 non supera il valore 100(q – a2)
  7. 7. Esempio: √ 10 (1/3)q = 10  a = 3  a2 = 910,00 3,… -9 Si sottrae da q=10 il valore 1 a2 = 9 ottenendo 1
  8. 8. Esempio: √ 10 (2/3)q = 10  a = 3  a2 = 910,00 3,… -9 100 Ora si "abbassano i due zeri" e si sposta la virgola di due posti: è il valore 100(q – a2) che qui vale 100
  9. 9. Esempio: √ 10 (3/3)q = 10  a = 3  c = 2a = 610,00 3,b1 Si costruisce il numero costitui- to dalle due cifre "cb1", inizian- -9 61 × 1 = 61 do con b1=1, e lo si moltiplica 100 per b1 stessa. È minore di 100, si prosegue. Si riprova con b1=2, ma ciò che 62 × 2 = si ottiene è maggiore di 100: lo si scarta e ci si ferma. 124 r1 = 3.1
  10. 10. Proseguire lalgoritmoCome calcolare le cifre successive?Facile: si considerano come nuovi valori:• q = 100 ( 100 – 61) = 3900• a = 31  c = 62e si ripete il procedimento, calcolando così b2
  11. 11. √ 10: seguito10,0000 3,1b2 -9 621 × 1 = 621 100 622 × 2 = 1224 -61 … 3900 625 × 5 = 3125 626 × 6 = 3756  b2 = 6 627 × 7 = 4389 r2 = 3.16
  12. 12. E per proseguire ancora…Volete ulteriori cifre?Nuovi valori per la prosecuzione del calcolo:• q = 100 ( 3900 – 3756)= 100 × 144 = 14400• a = 316  c = 632e si va avanti… Buon divertimento!

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