Calcolo della frazione generatrice di un numero periodico

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Queste slide mostrano come si calcola la frazione generatrice di un numero periodico nei diversi casi, motivando l'algoritmo usato

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Calcolo della frazione generatrice di un numero periodico

  1. 1. Calcolo della frazione generatricedi un numero periodico
  2. 2. Numeri e periodicità (1)• Si usa dire che "un numero x è periodico", ma è inesatto: la periodicità non è una proprietà inerente al numero in sé, ma soltanto alla sua rappresentazione in una data base.• Lunica cosa che si può dire è se la rappre- sentazione di un numero x∈R in una certa ∈ base è o non è periodica, ma non altro – i numeri irrazionali, ovvamente, sono un caso a sé• Di conseguenza, cambiando di base le cose possono cambiare.
  3. 3. Numeri e periodicità (2)• Perché la periodicità dipende dalla base?• Perché ogni numero razionale x∈Q può esse- ∈ re scritto in forma di frazione, e la periodicità o meno della forma decimale dipende da come è fatta la forma fratta.• In particolare, la rappresentazione non sarà mai periodica se si assume come base il denominatore della frazione: 1/310 = 0,33333…10 ma 1/33 = 3–1 = 0,13
  4. 4. Numeri e periodicità (3)• In pratica, quindi, cosè che determina se la rappresentazione di un numero in una data base è periodica o meno ?• È linsieme dei fattori primi che costituisco- no la base: sono quelli, infatti, i "mattoni ele- mentari" con cui si esprime il valore. Se bastano per esprimere il denominatore della frazione, la rappresentazione sarà finita; se non bastano, sarà periodica. 1/210 = 0,510 perché la base 10 contiene il 2 (e 5) 1/310 = 0,333..10 perché la base 10 non contiene 3
  5. 5. Numeri periodici e Frazioni• Ma come si calcola la frazione corri- spondente a un dato numero periodico? Ad esempio, come si calcola la frazione corrispon- dente a: 0,33333… 0,166666… 0,13333… 0,214444…• Per dedurre un algoritmo occorre partire dal significato stesso di "notazione posizionale".
  6. 6. Definizioni• Dato un qualunque x∈Q, si può porre x = a+b con a∈N, b∈R, b<1 ∈ ∈ Il problema si riduce quindi al calcolo di b• Per calcolare la parte decimale b, è utile scriverla come sequenza di cifre: b è rappresentata da "0. b1 b2 b3 …" e guardare innanzitutto da che punto sia periodica, osservando se ci sia o meno una parte iniziale che non si ripete (antiperiodo)
  7. 7. Impostazione analitica (1)• Come primo caso, supponiamo che non ci sia alcun antiperiodo e che la parte che si ripete sia una singola cifra: b è rappresentato da "0.dddddd…"• Il valore di tale sequenza si esprime come b = d * 10-1 + d * 10-2 + d * 10-3 + … dove d è una cifra fra 0 e 9 inclusi (in realtà il 9 come vedremo sarà escluso)
  8. 8. Impostazione analitica (2)• Sviluppando il calcolo: b = Σ d * 10-k con k ≥ 1 ovvero b = (d/10)*Σ 10-k con k ≥ 0• Poiché la sommatoria è una serie geome- trica con ragione z<1, la sua somma è nota e vale 1/(1-z), ovvero qui 1/(1-1/10) = 10/9• Pertanto, b = (d/10)*(10/9) = d/9
  9. 9. Impostazione analitica (3)• Dunque, mettendo tutto insieme, il numero razionale b<1, rappresentato dalla sequen- za di cifre "0.dddddd…", è espresso in modo esatto dalla frazione "d/9". Esempi: 0,33333… 3 / 9 = 1/3 0,77777… 7 / 9 = 7/9 0,99999… 9 / 9 = 1 !!! assurdo Questultimo caso viene escluso per evitare che l 1 abbia una doppia rappresentazione.
  10. 10. Impostazione analitica (4)• E se la parte periodica non è costituita da una singola cifra? Esempio: 0,212121… ???• Si ripete analogo ragionamento, ma con: b = Σ d1 d2 …dh * 10-hk con k ≥ 1 da cui: b = (d1 d2 …dh/10h)*(10h/99…9) = d/9..999 con tanti 9 quante erano le cifre del periodo. Esempio: 0,212121… 21/99 = 7/33
  11. 11. Oltre il caso base: parte intera• Se x ha anche una parte intera non nulla, x = a+b con a∈N, b∈R, b<1 ∈ ∈ il problema cambia di poco: una volta determinata la frazione corrispondente a b, basta addizionare a. Esempi: 1,33333… 1 + 3 / 9 = 1 + 1/3 = 4/3 2,77777… 2 + 7 / 9 = 25/9 1,212121.. 1 + 7 /33 = 40/33
  12. 12. Caso con antiperiodo (1)• Se b presenta un parte che non si ripete (antiperiodo), si può assimilare tale sezio- ne a una parte intera, spostando la virgola e dividendo poi per opportuna potenza di 10.• Partendo dal caso base, se b è rappresentato da "0.c1c2…cnddd…" si può scriverlo come "c1c2…cn . ddd…" / 10n
  13. 13. Caso con antiperiodo (2)• Ergo, poiché la parte periodica è espressa dalla frazione "d/9", b si esprime come: "c1c2…cn . ddd…" / 10n ovvero ("c1c2…cn " + d/9)/ 10n ovvero ancora come: (9 * "c1c2…cn " + d)/(9* 10n )• Questa formula è usabile, ma è scomoda.
  14. 14. Caso con antiperiodo (3)• Infatti, usare direttamente la formula: (9 * "c1c2…cn " + d)/(9 * 10n ) significa che la frazione cercata deve: – avere come denominatore un 9 seguito da tanti 0 quante sono le cifre dellantiperiodo; – avere come numeratore il prodotto 9 * antiperiodo + d ma questa operazione è scomoda da fare velocemente. Esempi: 0,166666… (9*1+6) / 90 = 15/90 = 1/6 0,214444… (9*21 + 4) / 900 = 193/900
  15. 15. Caso con antiperiodo (4)• La formula può essere migliorata osservan- do che, in generale, 9 x = 10 x –x. Ergo, (9 * "c1c2…cn" + d)/(9 * 10n ) può essere riscritta come:(10 * "c1c2…cn" + d - "c1c2…cn")/(9 * 10n ) ovvero, per il significato stesso di notazio- ne posizionale: ("c1c2…cd" - "c1c2…cn")/(9 * 10n )
  16. 16. Caso con antiperiodo (5)• Questa formula è molto più semplice: ("c1c2…cd" - "c1c2…cn")/(9 * 10n ) in quanto afferma che la frazione cercata: – ha come denominatore un 9 seguito da tanti 0 quante sono le cifre dellantiperiodo (come nel caso precedente); – ha come numeratore la differenza fra tutte le cifre(*) e le sole cifre dellantiperiodo (semplice da fare velocemente). Esempi: 0,166666… (16-1) / 90 = 15/90 = 1/6 0,214444… (214 - 21) / 900 = 193/900 (*) Le cifre periodiche sono prese una volta sola.
  17. 17. Caso con antiperiodo (6)• Riassumendo, e generalizzando al caso con parte periodica anche di più cifre, si può dire che la frazione cercata deve avere: – come denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti 0 quante le cifre dellantiperiodo; – come numeratore la differenza fra tutte le cifre(*) e le sole cifre dellantiperiodo Esempi: 0,166666… (16-1) / 90 = 15/90 = 1/6 0,2212121… (221 - 2) / 990 = 219/990 (*) Le cifre periodiche sono prese una volta sola.

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