Eletromagnetismo

1. Introdução ao Eletromagnetismo – Tópicos de Cálculo A compreensão da teoria de eletromagnética é enormemente facilitada quando o estudante tem uma boa compreensão da análise vetorial bem como das operações como gradiente, divergente e rotacional entre outras. Por isso é imprescindível compreender bem o significado geométrico/matemático dessas operações. 1. Operador nabla; Gradiente; Divergência; Rotacional. 1.1 Operador nabla O operador ∇ é um operador vetorial diferencial, denominado nabla ou del, o qual é definido no sistema de coordenadas cartesiana como: ∂ ∂ ∂ ∇=x +y +z . (1) ∂x ∂y ∂z Este operador não tem significado físico nem geométrico. Por ser um operador, pode-se à esquerda aplica-lo a uma função à direita. Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

Exemplo: Escreva a expressão do operador diferencial f ∇ ; v⋅ ∇ e v× ∇ . 1.2 Gradiente Considere a função escalar f, contínua e com derivadas pelo menos até primeira ordem: f = f (r = f ( x, y, z) . ) (2) O gradiente da função f, grad f, é um vetor definido por: ∂f ∂f ∂f ∇f = x + y + z . (3) ∂x ∂y ∂z O grad f é um vetor que dá como resultado a máxima variação da função e a direção em que esta máxima variação ocorre. Verificação: a) Qual o significado geométrico da direção fornecida pelo gradiente? Considere o vetor posição r=xx+yy+zz. O deslocamento elementar dl = dr é dado por: Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

dl = dr = xdx+ydy+zdz. (4) Realizando o produto escalar entre Eqs. (3) e (4) resulta em: ∂f ∂f ∂f ∇f ⋅ dl = dx + dy + dz = df (5) ∂x ∂y ∂z Esse resultado nada mais é do que a diferencial df. Se f(x,y,z) = C, onde C é uma constante, o resultado obtido ao se substituir f(x,y,z) = C em (5) é df = 0. Se f(x,y,z) não é uma constante, a diferencial de f é nula (df = 0) somente se ∇f ⊥ dl. (6) Como a diferencial df ao longo da superfície equipotencial é nula (qualquer deslocamento elementar dl deve ser tangente à superfície equipotencial) concluímos através de (5) que o gradiente de uma função f(r) é perpendicular à superfície (equipotencial) f = constante. ∇ f ⊥ f( r) = C . (7) Da Eq. (5) vemos que a variação df é máxima quando o deslocamento dl for paralelo ao gradiente. Por outro lado, o gradiente é perpendicular à superfície Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

f = constante, donde podemos concluir que a direção do gradiente dá a máxima variação df da função f. ∇f // direção de df max . (8) b) E o módulo do gradiente? O que ele fornece como informação? Considere o elemento de arco em coordenadas cartesianas dl=|dl|=[dx2+dy2+dz2]1/2. (9) Dividindo membro a membro a Eq. (5) pela (9), obtém-se: ∇f ⋅ dl df = ∇f ⋅ u = . (10) | dl| dl Se dl é paralelo ao gradiente de f, logo u é um vetor unitário na direção do gradiente e o resultado ∇f ⋅ u = ∇f . Portanto, o módulo do gradiente de f dá como resultado a máxima taxa de variação da função, isto é:  df  ∇f =   (11)  dl  max Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

grad f(P2) f = C2 grad f(P1) f = C1 Assim, podemos repetir: O grad f é um vetor que dá como resultado a máxima variação da função e a direção em que esta máxima variação ocorre. Expressões do Gradiente nos Sistemas de Coordenadas: a) Cartesianas ∂f ∂f ∂f ∇f = x +y +z . (12) ∂x ∂y ∂z b)Cilíndricas ∂f ∂f ∂f ∇f = +. +z . (13) ∂ρ ρ∂α ∂z Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

c) Esféricas ∂f ∂f 1 ∂f ∇f = r + +. . (14) ∂r r∂θ rsin(θ ) ∂α 1.3 A Divergência Seja v = v(r) = vx(x,y,z)x + vy(x,y,z)y + vz(x,y,z)z uma função vetorial contínua e com derivadas contínuas pelo menos até à primeira ordem. Por definição, o escalar ∂v x ∂v y ∂v z ∇⋅v ≡ + + (15) ∂x ∂y ∂z é a divergência do vetor v (div v). Significado Físico: A divergência de um campo vetorial v(r), div v(r), dá como resultado o fluxo líquido (fluxo que sai – fluxo que entra) por unidade de volume. Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

Obs.: A divergência se aplica a um campo vetorial e dá como resultado um escalar. Ilustração Geométrica: div v(r) > 0 div v(r) = 0 div v(r) < 0 Dedução: Considere a lei de Gauss: ∫ D.ds = Q s (16) Vamos aplicá-la à superfície fechada que envolve o volume infinitesimal, com centro no ponto P, ilustrado a seguir: Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

z D = Dxox + Dyoy + Dzoz P ∆z ∆x ∆y y x A superfície que envolve o volume é o resultado da soma das superfícies laterais. Logo, ∫ D.ds = ∫ D.ds + ∫ D.ds + ∫ D.ds + ∫ D.ds + ∫ D.ds + ∫ D.ds s frente atrás esq . dir . topo base (17) Vamos considerar separadamente cada uma das integrais do lado direito de (17). Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

a) Face da Frente ∫ D.ds ≈ D.∆s frente frente = D.∆y∆zx = Dx , frente ∆y∆z (18) O valor de Dx na face frontal pode ser aproximado através da expansão de Taylor: ∆x ∂Dx Dx , frente = Dx 0 + (19) 2 ∂x onde Dx0 é o valor de Dx no ponto central P. Substituindo este resultado em (18), tem-se:  ∆x ∂Dx  ∫frente  D.ds ≈  Dx 0 + 2 ∂x   ∆y∆z (20) b) Face de Trás ∫ D.ds ≈ D.∆s atrás atrás = − D.∆y∆zx = − Dx , atrás ∆y∆z (21) O valor de Dx na face de trás, empregando a expansão de Taylor, é: Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

∆x ∂Dx Dx , atrás = Dx 0 − (22) 2 ∂x Substituindo este resultado em (21), tem-se:  ∆x ∂Dx  ∫atrás D.ds ≈ − Dx 0 −  2 ∂x   ∆y∆z (23) Somando as contribuições das duas faces (Eqs. (20) + (23)) temos: ∂Dx ∫ D.ds + ∫ D.ds ≈ frente atrás ∂x ∆x∆y∆z (24) Esta equação dá como resultado o fluxo líquido que deixa a superfície na direção x. De modo análogo, as contribuições das faces da base + topo e esq.+dir. são: ∂D y ∫ D.ds + ∫ D.ds ≈ esq. dir . ∂y ∆x∆y∆z (25) Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

∂D z ∫ D .d s + ∫ D . d s ≈ base topo ∂z ∆ x ∆ y∆ z (26) Estes três resultados somados (Eqs. (24) + (25) + (26)) permitem então avaliar o fluxo líquido que deixa a superfície fechada envolvendo o cubo, isto é: ∫ D.ds = ∫ D.ds + ∫ D.ds + ∫ D.ds + ∫ D.ds + ∫ D.ds + ∫ D.ds s frente atrás esq. dir . topo base  ∂D ∂D y ∂Dz  (27) ≈ x +  ∂x +  ∆x∆y∆z   ∂y ∂z  Dividindo ambos os lados de (27) por ∆x∆y∆z e tomando o limite de ∆v = ∆x∆y∆z 0, tem-se:Æ lim ∫ D.ds s  ∂D = x + ∂D y ∂Dz  +  = ∇⋅ D  ∂x ∆x∆y∆z  ∂y ∂z  (28) ∆x∆y∆z → 0  Este resultado é por definicão a divergência do campo vetorial D. Da lei de Gaus (Eq. (16)) , fica óbvio que ∇ ⋅ D = ρ (x, y, z) (29) Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

Expressão da Divergência de um Potencial Vetor A nos Sistemas de Coordenadas: ∂D ∂D ∂D Cartesianas(x,y,z): ∇⋅ D = + + x y z ∂x ∂y ∂z 1 ∂ ( ρDρ ) 1 ∂Dα ∂Dz Cilíndricas(ρ,α,z): ∇⋅D = + + ρ ∂ρ ρ ∂α ∂z 1 ∂(r 2 Dr ) 1 ∂( sinθDθ ) 1 ∂Dα Esféricas(r,θ,α): ∇⋅D = + + r 2 ∂r rsinθ ∂θ rsinθ ∂α 1.4 Rotacional Em coordenadas cartesianas, o produto vetorial entre o operador nabla e um campo vetorial v pode ser escrito da seguinte forma: x y z ∇ × v = ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z (30) vx vy vz ou Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

∇ × v = (∂v z ∂y − ∂v y ∂z )x + (∂v x ∂z − ∂v z ∂x )y + (∂v y ∂x − ∂v x ∂y )z (31) Significado Físico: O rotacional de um campo vetorial v(r), rot v(r), dá como resultado um vetor cujos componentes x,y e z dão a circulação desse campo vetorial por unidade de área respectivamente nos planos normais a esses componentes. Obs.: O rotacional se aplica a um campo vetorial e dá como resultado um vetor. Ilustração Geométrica: z n (rot v)n y x Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

Dedução: Considere a figura abaixo, a qual será utilizada para aplicação da lei de Ampère ao percurso diferencial fechado. z (rot H)n 4 n 3 2 1 H=H0=Hxox + Hyoy + Hz0z y x A integral de linha fechada de H.dl, Eq. (32), é conhecida como Lei de Ampère. Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

∫ H .dl = ∫ J .ds (32) É suposto que uma densidade de corrente, não especificada, produza no centro da face um campo de referência Ho. Aplicando a Eq. (32) ao percurso fechado 1 -2-3-4-1 da figura anterior, obtem-se: 2 3 4 1 ∫ H .dl = ∫ H .dl + ∫ H .dl + ∫ H .dl + ∫ H .dl 1 2 3 4 (33) A integral sobre o lado 1-2 pode ser aproximada por: 2 ∫ H .dl ≈ H 1 y,1 - 2 ∆y (34) O valor de Hy sobre este lado pode ser aproximado por: ∆x ∂H y H y,1 - 2 = H y0 + (35) 2 ∂x Substituindo a Eq. (35) em (34) tem-se: Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

 ∆x ∂H y  2 ∫ H .dl ≈  H y0 +   2 ∂x   ∆y  (36) 1 Se se considera agora o percurso 3-4, tem-se:  ∆x ∂H y  4 ∫ H .dl ≈ − H y0 −   2 ∂x  .  ∆y  (37) 3 Somando-se as contribuições dos percuros 1-2+3-4, Eqs. (36) + (37), tem-se: 2 4 ∂H y ∫ H .dl + ∫ H .dl ≈ ∂x ∆x∆y . (38) 1 3 De forma análoga, para a contribuição dos percursos 2-3+4-1, tem-se: 3 1 ∂H x ∫ H .dl + ∫ H .dl ≈ − ∂y ∆x∆y . (39) 2 4 Com estes resultados, a integral de linha fechada para o elemento de área diferencial se resume a: Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

 ∂H y ∂H x  ∫ H .dl ≈   ∂x − ∂y   ∆x∆y .   (40) O lado direito da Eq. (32) pode ser avaliado no elemento de área diferencial como: ∫ J .ds ≈ J ∆x∆y . z (41) Assim, a Eq. (32), pode ser reescrita usando (40) e (41):  ∂H y ∂H x  ∫ H .dl ≈   ∂x − ∂y  ∆x∆y ≈ J z ∆x∆y .   (42) ou ∫ H .dl ≈ ∂H y − ∂H x ≈ Jz . ∆x∆y ∂x ∂y (43) Tomando o limite de ∆x∆x tendendo a zero, obtem-se: Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

lim ∫ H .dl = ∂H y − ∂H x = Jz ∆x∆y →0 ∆x∆y ∂x ∂y (44) Se se escolhe percursos fechados orientados perpendicularmente a x e y, equações similares à Eq. (44) podem ser obtidas (veja Eqs. (45) e (46)). lim ∫ H .dl = ∂H z − ∂H y = Jx ∆y∆z →0 ∆y∆z ∂y ∂z (45) lim ∫ H .dl = ∂H x − ∂H z = Jy ∆x∆z →0 ∆x∆z ∂z ∂x (46) As Eqs. (44) a (46) mostram que os componentes da densidade de corrente podem ser obtidos tomando-se o quociente entre a integral de linha fechada do campo magnético em um percurso infinitesimal no plano perpendicular a cada um desses componentes pela área envolvida quando esta tende a zero. Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

Este resultado recebe o nome de Rotacional. De uma forma geral, o componente n do rotacional de um campo vetorial A qualquer, (rot A)n, é dada por: ( rot A) n = lim ∫ A.dl ∆sn →0 ∆sn (47) Expressão do Rotacional de um Campo Vetorial A nos Sistemas de Coordenadas: Cartesianas(x,y,z): ∇ × A =  ∂A − ∂A x +  ∂A − ∂A y +  ∂A − ∂A z      z y   x z x z  ∂y ∂z   ∂z ∂x   ∂z ∂x   1 ∂A z ∂A α   ∂A ρ ∂A z   1 ∂(ρA α ) 1 ∂A ρ  Cilíndricas(ρ,α,z):  ρ ∂α − ∂z ∇× A=  +    ∂z − ∂ρ . +    ρ ∂ρ − ρ ∂α  z        1  ∂ (sin θA α ) ∂A θ  1  1 ∂A r ∂( rA α )  1  ∂( rA θ ) ∂A r  Esféricas(r,θ,α): ∇× A =  − r +  −  +  − . rsin θ  ∂θ ∂α  r  sin θ ∂α ∂r  r  ∂r ∂θ  Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

2. Operadores e Operações de Segunda Ordem. Pode-se formar com o operador diferencial nabla, dois operadores de segunda ordem: ∇×∇ (48) e ∇⋅∇ (49) As expressões em coordenadas cartesianas são respectivamente: Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

x y z ∂ ∂ ∂  ∂2 ∂2   ∂2 ∂2   ∂2 ∂2  ∇×∇ =  ∂y∂z − ∂z∂y  + y  ∂z∂x − ∂x∂z  + z  ∂x∂y − ∂y∂x  = x      ∂x ∂y ∂z       (50) ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z e ∂2 ∂2 ∂2 ∇⋅∇ = ∇ = 2 + 2 + 2 2 (51) ∂x ∂y ∂z A operação dada em (48) não tem um nome específico, entretanto em (49) o operador é conhecido por Laplaciano. Expressão do Laplaciano nos Sistemas de Coordenadas: Cartesianas(x,y,z): ∇ = ∂ + ∂ + ∂ 2 2 2 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2 Cilíndricas(ρ,α,z): ∇2 = (ρ ) + 2 + 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂α 2 ∂z 1 ∂ 2 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 Esféricas(r,θ,α): ∇2 = (r )+ 2 (sin θ ) + 2 2 r 2 ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂α 2 Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

Sendo o operador Laplaciano é um escalar, ele pode ser aplicado a uma função escalar ou vetorial. ∇ ⋅ ∇f = ∇ 2 f (52) ∇ 2 A = ∇ 2 ( A x x + A y y + A z z) = ∇ 2 A x x + ∇ 2 A y y + ∇ 2 A z z (53) Em (52), o Laplaciano pode ser interpretado como sendo a divergência do gradiente. Em (53) esta interpretação não é válida, pois o gradiente não se aplica a uma função vetorial. Em (53), quando é o sitema de coordenadas cartesianas, as componentes do Laplaciano de uma função vetorial são os Laplacianos das componentes cartesianas. Em sistemas de coordenadas curvilíneas, em geral tem-se: ∇ 2 A = ∇ 2 ( A 1 u 1 + A 2 u 2 + A 3 u 3 ) ≠ ∇ 2 A 1u 1 + ∇ 2 A 2 u 2 + ∇ 2 A 3 u 3 (54) Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

Isto se deve ao fato de que os unitários curvilíneos são função do ponto e não podem portanto serem extraídos da operação de diferenciação. As expressões em coordenadas curvilíneas podem ser encontradas na página 17 do livro Eletromagnetismo (Annita Macedo). O operador ∇ × ∇ , dado em (48), aplicado a uma função de ponto será sempre nulo se a função for contínua e tiver contínuas as derivadas segundas mistas. Isto só não ocorre com as grandezas do eletromagnetismo [AnnitaMacedo]. A Tabela a seguir mostra outras operações possíveis com este operador. Operações com o Operador Nabla ( ∇ × ∇ )f = ∇ × ( ∇ f ) = 0 (55) (∇ × ∇) ⋅ A = 0 (56) (∇ × ∇) × A = 0 (57) ∂Ax ∂Ay ∂A ∇ (∇ ⋅ A) = ∇( ) + ∇( ) + ∇( z ) (58) ∂x ∂y ∂z Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

∇ ⋅ (∇ × A ) = 0 (59) ∇ × (∇ × A) = ∇ (∇ ⋅ A) − ∇ 2 A (60) De (55), pode-se concluir que se o campo é irrotacional, então ele pode ser escrito como sendo o gradiente de um escalar: ∇×A = 0 ⇒ A = ∇f . (61) Se além de ser irrotacional, o campo for soleinodal (div A = 0), então: ∇⋅A = 0 ⇒ ∇2f = 0 . (62) Se o gradiente de uma função for irrotacional e solenoidal, ela é dita ser harmônica. Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

3. Teoremas em Eletromagnetismo (Gauss e Stokes) O teorema da divergência ou de Gauss estabelece que a integral de volume da divergência de qualquer campo vetorial é igual à integral de superfície fechada da componente normal desse campo à superfície S. ∫∫∫ ∇ ⋅ Adv = ∫∫ A ⋅ ds (63) n s V Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

O teorema de Stokes estabelece que a integral de superfície aberta da componente normal do rotacional de qualquer campo vetorial à superfície S é igual à integral desse campo ao longo do percurso fechado que limita S. ∫∫ ∇ × A ⋅ ds = ∫ A ⋅ d l s (64) (rot H)n n s l Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

4. Função Delta de Dirac Essa função embora possa parecer um pouco estranha, ela é muito útil em eletromagnetismo. Considere a função abaixo: 0 se | x − x 0 | > 1  2m δm ( x − x 0 ) =  1 se | x − x 0 | < 1 (65)  2m onde m é um escalar positivo com dimensão m-1. A figura abaixo ilustra esta função. Considere agora uma região qualquer R sobre o eixo x. Se R conter o intervalo x-1/2m < x < x+1/2m, então a integral de δm(x-x0) sobre esta região será sempre igual a unidade. Caso contrário será nula. Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

δm(x-x0) m x0-1/2m x0 x0+1/2m x 1/m Isto é: 0 se | x − x 0 | < 1 / 2m ∉ R ∫ δm (x − x 0 )dx = 1 R  se | x − x 0 | < 1 / 2m ∈ R (66) Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

Numericamete, essa integral é a área hachurada da figura anterior, a qual tem valor unitário independente do valor de m. A função delta de Dirac pode agora ser definida como: δ( x − x 0 ) ≡ lim δ m ( x − x 0 ) (67) m→∞ Com essa definição, verifica-se que δ( x − x 0 ) = 0 se x≠x0, e 0 se x 0 ∉ R ∫ δ(x − x 0 )dx = 1 R  se x 0 ∈ R (68) Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

δ (x-x0) x0 x As propriedades desta distribuição que nos interessam são dadas a seguir: Esta distribuição é simétrica em relação a seu ponto singular e seu produto por uma função finita será sempre igual a zero, exceto para o ponto singular, o que mostra a equação. δ( x − x 0 ) = δ( x 0 − x ) (69) f ( x )δ( x − x 0 ) = f ( x 0 )δ( x − x 0 ) (70) Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

0 se x 0 ∉ R ∫ f (x)δ(x − x 0 )dx = f (x 0 ) se x 0 ∈ R R  (71) De forma sucinta, essa última equação estabelece que a integral do produto de uma função pela delta de Dirac é igual ao valor da função no ponto que anula o argumento da delta. Para duas e três dimensões, análises similares podem ser feitas. Em duas e três dimensões, a delta de Dirac é definida como: δ(r − r0 ) = δ( x − x 0 )δ( y − y 0 ) Æ em 2D (72) δ(r − r0 ) = δ( x − x 0 )δ( y − y 0 )δ(z − z 0 ) Æ em 3D (73) As propriedades da delta em 2D e 3D são similares àquelas em 1D. Finalmente, as expressões para a delta de Dirac em coordenadas cartesianas e esféricas são dadas na pág. 28 do livro Eletromagnetismo (Annita Macedo). Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

LISTA DE EXERCÍCIOS 01 DISCIPLINA: ELETROMAGNETISMO PROF. JOÃO ANTÔNIO DE VASCONCELOS 1) Usando coordenadas e componentes cartesianas, demonstre as equações A.1.56 e A.1.57 (pág. 624) do livro texto. 2) Resolva o problema 1.3.5 da página 10 do livro texto. 3) Explique em poucas palavras o significado do gradiente, da divergência e do rotacional. 4) O que é um campo solenoidal? E irrotacional? 5) Explique o teorema de Stokes e da Divergência? 6) Resolva o problema 1.5.3 da página 19 do livro texto. 7) Resolva o problema 1.5.6 da página 19 do livro de eletromagnetismo. . Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica – Ano 2000 © Prof. João Antônio de Vasconcelos

http://engeletrica-mef.blogspot.com	2062
http://engeletrica-mef.blogspot.com.br	568
http://www.slideshare.net	27
http://engeletrica-mef.blogspot.pt	16
http://webcache.googleusercontent.com	6
http://www.blogger.com	2
http://engeletrica-mef.blogspot.ca	2
http://translate.googleusercontent.com	1
http://www.engeletrica-mef.blogspot.com	1
http://engeletrica-mef.blogspot.com.au	1

Eletromagnetismo

by Rodolfo arend on Jul 31, 2009

Accessibility

Categories

Tags

Upload Details

Usage Rights

10 Embeds 2,686

Statistics

Eletromagnetismo — Presentation Transcript