Aula de distribuição de probabilidade[1]
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Aula de distribuição de probabilidade[1] Presentation Transcript

  • 1. Faremos a combinação dos P(x)métodos da estatística 0.50 Números de dias com chuvadescritiva apresentada nas 0.45primeiras aulas com os métodos 0.40de probabilidade. Através de 0.35uma distribuição de 0.30 Probabilidadeprobabilidades será possível 0.25prever qual é a probabilidade de 0.20obter um dado evento após um 0.15particular número de 0.10ocorrências. Exemplo: 0.05Determinar a probabilidade de 0.00 x 0 1 2 3 4 5que não haja chuva ou chova Dias de chuvaem um, dois ou nos três dias.
  • 2.  O resultado do lançamento de uma moeda pode ser utilizado para tomar decisões, por exemplo:  O árbitro de uma partida de futebol sorteia quem inicia o primeiro tempo do jogo e ainda o ganhador do sorteio escolhe a metade do campo onde sua equipe iniciará o jogo.  Outras vezes, o resultado da moeda é para realizar uma tarefa agradável ou não etc. Embora o resultado do sorteio possa ser utilizado com diferentes finalidades, o experimento aleatório lançamento de uma moeda permanece o mesmo, mantendo os mesmos resultados.
  • 3.  Cada vez que o experimento for repetido, seu resultado pertencerá a esse espaço amostral, sendo cada resultado denominando ponto amostral Em vez de operar com o espaço amostral, agora utilizaremos um conceito mais amplo denominado variável aleatória, que adota valores de acordo com os resultados de um experimento aleatório. Um experimento é aleatório se não for possível antecipar seu resultado, apesar de conhecer todos os resultados possíveis que definem o espaço amostral do experimento.
  • 4. Variáveis aleatóriasUma variável aleatória, x, é o resultadonumérico de um experimento probabilístico.x = o número de pessoas num carro.x = quantos metros cúbicos de gás são comprados numa semana.x = o tempo que leva para ir de carro de casa até a escola.x = o número de vezes que você vai à escola por semana.
  • 5. Tipos de variáveis aleatóriasUma variável aleatória é discreta se o número deresultados possíveis é finito ou pode ser contado.Variáveis aleatórias discretas são determinadas por umacontagem. Por exemplo, o número de peças rejeitadas porlote numa linha de produção é uma VA discreta. -2 -1 0 1 2Uma variável aleatória é contínua se pode assumirqualquer valor dentro de determinado intervalo. O númerode resultados possíveis não pode ser listado. Variáveisaleatórias contínuas são determinadas por uma medição.Por exemplo, o lucro líquido mensal de uma empresa é umaVA contínua. Número de resultados infinitos
  • 6. Tipos de variável aleatóriaIdentifique cada variável aleatória como discreta ou contínua.x = o número de pessoas em um carro. Discreta – você conta o número de pessoas: 0, 1, 2, 3… Os valores possíveis podem ser enumerados.x = quantos metros cúbicos de gás são comprados numa semana. Contínua – você mede os metros cúbicos de gás. Você não pode enumerar todos os valores possíveis.x = o tempo que leva para ir de carro de casa até a escola. Contínua – você mede a quantidade de tempo. Os valores possíveis não podem ser enumerados.x = o número de vezes que você vai à escola por semana. Discreta – você conta o número de vezes que vai. Os valores possíveis podem ser enumerados.
  • 7. Distribuições discretas de probabilidade Uma distribuição discreta de probabilidade enumera cada valor possível da variável aleatória, bem como sua probabilidade. x P (x ) Em um levantamento, perguntou-se a uma número de 0 0,004 veículos 1 0,435 amostra de famílias quantos veículos elas 2 0,355 possuíam. 3 0,206Propriedades de uma distribuição de probabilidade• Cada probabilidade precisa estar entre 0 e 1, inclusive.• A soma de todas as probabilidades é 1.
  • 8. Histograma de probabilidade (similar ao histrograma de frequência relativa) Número de veículos 0,435 0,40 0,355 0,30 P(x) 0,206 0,20 0,10 0,004 0 00 11 22 3 3 x• A altura de cada barra corresponde à probabilidade de x.• Se a largura da barra é 1, sua área corresponde àprobabilidade de que o valor de x ocorra.
  • 9. Valor esperado pela distribuição de probabilidade – similaraos determinados pelas tabelas de frequênciasA média de uma distribuição discreta de probabilidade é: A variância de uma distribuição discreta de probabilidade é: O desvio padrão de uma distribuição discreta de probabilidade é:
  • 10. Média (valor esperado)Procedimento para o cálculo da média:Multiplique cada valor por sua probabilidade. Someos produtos. x P (x ) xP (x ) 0 0,004 0 1 0,435 0,435 2 0,355 0,71 3 0,206 0,618 Soma dos Produtos = 1,763O valor esperado (a média) é de 1,763 veículo.
  • 11. Cálculo da variância e o desvio padrãoA média é de 1,763 veículo. Tabela de Determinação da Variância x P (x ) x- μ (x - μ ) P(x)(xP(x) - ) 0 0,004 -1,763 3,108 0,012 1 0,435 -0,763 0,582 0,253 2 0,355 0,237 0,056 0,020 3 0,206 1,237 1,530 0,315 0,601 = 0,661 0,775 variância O desvio padrão é de 0,775 veículo.
  • 12. Construindo uma distribuição de probabilidadesDa tabela abaixo, construir uma distribuição de probabilidade e, a partirdesta, determinar a média, variância e desvio padrão. Número de computadores por família em uma pequena cidade Computadores 0 1 2 3 Famílias 300 280 95 20 Gerando a distribuição de probabilidades N. Computadores = x Fi P 0 300 300/695 = 0.43165 1 280 280/695 = 0.40288 2 95 95/695 = 0.13670 3 20 20/695 = 0.02878 Total 695 1
  • 13. Cálculo da variância e o desvio padrão Tabela de Determinação da Variância x P(x) x . P(x) x-μ (x- μ)2 P(x) 0 0.43165 0 -0.76262 0.251043 1 0.40288 0.40288 0.23738 0.022702 2 0.13670 0.27340 1.23738 0.209303 3 0.02878 0.08634 1.23738 0.044065 Total 1 0.76262 ----- 0.527113 Média VariânciaDesvio Padrão σ = σ 2 = 0.527113 = 0.7260
  • 14. Distribuições Binomiaisn = número de vezes que uma tentativa é repetida.p = prob. de sucesso de uma única tentativa.q = prob. de fracasso de uma única tentativa.x = contagem do número de sucessos em n tentativas.
  • 15. Experimentos binomiaisCaracterísticas de um experimento binomial• O número de tentativas é fixo (n).• As n tentativas são independentes e repetidas em condições idênticas.• Para cada tentativa há dois resultados possíveis, S = sucesso ou F = fracasso.• A probabilidade de sucesso numa tentativa única é p. P(S) = p A probabilidade de fracasso é q. P(F) =q, onde p + q = 1• O problema central está em determinar a probabilidade de x sucessos em n tentativas, sendo x = 0 ou 1 ou 2 … n.A variável aleatória x é uma CONTAGEM (ñ probabilidade) do número de sucessos em n tentativas.
  • 16. Tente adivinhar as respostas1. Qual é o 11o dígito depois do ponto decimal de um número irracional e?(a) 2 (b) 7 (c) 4 (d) 5 e = 2.7182818284590452. Qual foi o Índice Dow Jones em 27 de fevereiro de 1993?(a) 3.265 (b) 3.174 (c) 3.285 (d) 3.3273. Quantos jovens do Sri Lanka estudaram em universidades norte-americanas entre 1990 e 1991?(a) 2.320 (b) 2.350 (c) 2.360 (d) 2.2404. Quantos transplantes de rins foram feitos em 1991?(a) 2.946 (b) 8.972 (c) 9.943 (d) 7.3415. Quantos verbetes há no dicionário Aurélio?(a) 60.000 (b) 80.000 (c) 75.000 (d) 83.000
  • 17. Resultados do teste As respostas corretas são: 1. d 2. a 3. b 4. c 5. bConte o número de questões a que vocêrespondeu corretamente. Chamemos esse númerode x. Por que esse foi um experimento binomial? Quais são os valores de n, p e q? Quais são os valores possíveis de x?
  • 18. Experimentos binomiais Um teste de múltipla escolha tem oito questões, cada qual com três alternativas, uma delas correta. Você quer saber qual a probabilidade de ‘chutar’ certo em exatamente cinco questões. Determine n, p, q e x. n=8 p = 1/3 q = 2/3 x=5 Prob. de acerto Prob. de errarUm médico lhe diz que certa cirurgia é bem-sucedida em 80% dasvezes. Se a cirurgia for realizada sete vezes, determine aprobabilidade de ser bem-sucedida em exatamente seis.Determine n, p, q e x. n=7 p = 0,80 q = 0,20 x=6 Prob. de ser Prob. de ser bem-sucedida mal-sucedida
  • 19. Probabilidades binomiais Determine a probabilidade de acertar exatamente 3 questões num teste de 5 questões de múltipla escolha, sendo cada questão composta de 4 alternativas Escreva as primeiras três corretas e as últimas duas erradas como AAAEE Como são eventos independentes temos a prob. de um possível resultado: P(A ∩ A ∩ A ∩ E ∩E) = P(A).P(A).P(A).P(E).P(E) P(A ∩ A ∩ A ∩ E ∩ E) =(0,25)(0,25)(0,25)(0,75)(0,75) = (0,25)3(0,75)2 = 0,00879Uma vez que a ordem não importa, qualquer combinação de trêsquestões corretas entre cinco servirá. Enumere essas combinações. AAAEE AAEAE AAEEA AEEAA AEAEA EEAAA EAEAA EAAEA AEAAE EEAAE
  • 20. AAAEE AAEAE AAEEA AEEAA AEAEAEEAAA EAEAA EAAEA AEAAE EEAAE Cada uma dessas dez maneiras tem uma probabilidade de 0,00879. num. De questões certas num. De questões erradas P(x = 3) = 10 (0,25)3(0,75)2 = 10(0,00879) = 0,0879 Prob. de errar uma questão n. de combinações Prob. de acertar uma questão
  • 21. Combinação de n valores, escolhendo-se x Há maneiras.Determine a probabilidade de alguém acertar exatamente trêsquestões naquele teste.Cada uma dessas dez maneiras tem uma probabilidade de 0,00879.P(x = 3) = 10(0,25)3(0,75)2= 10(0,00879)= 0,0879
  • 22. Probabilidades binomiaisEm um experimento binomial, a probabilidade de ocorreremexatamente x sucessos em n tentativas é de Use a fórmula para calcular a probabilidade de alguém não acertar nenhuma questão, exatamente uma, duas, três, quatro ou todas as cinco questões do teste. (0,25)0 (0,75)5 = 0,237 (0,25)1 (0,75)4 = 0,396 (0,25)2 (0,75)3 = 0,264 P(3) = 0,088 P(4) = 0,015 P(5) = 0,001
  • 23. Distribuição binomial x P(x) 0 0,237 1 0,396 2 0,264 Histograma binomial 3 0,0880,40 0,396 4 0,015 5 0,0010,30 0,294 0,2370,200,10 0,088 0,015 0,001 0 0 1 2 3 4 5 x
  • 24. Probabilidades binomiais x P(x) 0 0,237 1 0,396 2 0,2641. Qual é a probabilidade de se responder 3 0,088 a duas ou quatro questões corretamente? 4 0,015 P(x = 2 ou x = 4) = 0,264 + 0,015 = 0,279 5 0,0012. Qual é a probabilidade de se responder corretamente a pelo menos três questões? P(x ≥ 3) = P(x = 3 ou x = 4 ou x = 5) = 0,088 + 0,015 + 0,001 = 0,1043. Qual é a probabilidade de se responder corretamente a pelo menos uma questão? P(x ≥ 1) = 1 – P(x = 0) = 1 – 0,237 = 0,763
  • 25. Parâmetros para um experimento binomial Média: Variância: Desvio padrão:Use as fórmulas binomiais para determinar a média, a variância eo desvio padrão da distribuição de respostas corretas no teste. 5(0,25) 1,25 5(0,25)(0,75) 0,9375 0,9375 0,968
  • 26. A distribuição geométricaSegundo uma pesquisa de mercado, a probabilidade de que cadapessoa que entra em determinada loja faça uma compra é de 0,30.• A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela primeirapessoa que entrar na loja é de 0,30. Ou seja: P(1) = 0,30.• A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela segundapessoa que entrar na loja é de (0,70) (0,30).Logo, P(2) = (0,70) (0,30) = 0,21.• A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela terceirapessoa que entrar na loja é de (0,70)(0,70)(0,30).Logo, P(3) = (0,70) (0,70) (0,30) = 0,147.A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela pessoanúmero x é deP(x) = (0,70)x – 1(0,30)
  • 27. A distribuição geométrica Uma distribuição geométrica é uma distribuição discreta de probabilidade da variável aleatória x que satisfaz as seguintes condições. 1. A tentativa é repetida até que o sucesso ocorra. 2. As sucessivas tentativas são independentes entre si. 3. A probabilidade de sucesso, p, é a mesma a cada tentativa.A probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra natentativa número x é: P(x) = (q)x – 1p , onde q = 1 – p.
  • 28. Aplicação da distribuição GeométricaUm fabricante de cereais colocou uma peça premiada nasembalagens de seu produto. A probabilidade de ganhar umprêmio é de um para quatro. Determine a probabilidade de quevocê:a) ganhe seu primeiro prêmio na quarta compra; P(4) = (0,75)3 . (0,25) = 0,1055b) ganhe seu primeiro prêmio na segunda ou terceira compra; P(2) = (0,75)1(0,25) = 0,1875 e P(3) = (0,75)2(0,25) = 0,1406 Logo, P(2 ou 3) = 0,1875 + 0,1406 = 0,3281c) não ganhe nenhum prêmio nas quatro primeiras compras. 1 – (P(1) + P(2) + P(3) + P(4)) 1 – ( 0,25 + 0,1875 + 0,1406 + 0,1055) = 1 – 0,6836 = 0,3164
  • 29. A distribuição de Poisson A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade de uma variável aleatória x que satisfaz as seguintes condições:1. O experimento consiste em contar o número de vezes, x, que um evento ocorre num intervalo de tempo, área ou espaço.2. A probabilidade de que o evento ocorra é a mesma em cada intervalo.3. O número de ocorrências em um intervalo independe do número de ocorrências em outro.A probabilidade de exatamente x ocorrências em um intervalo é e é um número irracional aproximadamente igual a 2,71828. µ é o número médio de ocorrências por intervalo.
  • 30. AplicaçãoEstima-se que, em todo o mundo, os tubarões matemdez pessoas por ano. Determine a probabilidade:a) de que três pessoas sejam mortas por tubarões este ano (2,71828)–10 0,0076b) de que duas ou três pessoas sejam mortas por tubarões este ano (2,71828)–10 0,0023 P(3) = 0,0076 P(2 ou 3) = 0,0023 + 0,0076 = 0,0099
  • 31. AplicaçãoO número médio de acidentes mensais em umdeterminado cruzamento é três. Qual é a probabilidadede que em um determinado mês ocorram quatroacidentes no cruzamento: X=4 e µ=3 4 −3 3 (2,71828) P ( 4) = ≈ 0,168 4!Qual é a probabilidade de que ocorram mais do que quatroacidentes em um determinado mês no cruzamento? a. Use a distribuição de Poisson para obter P(0), P(1), P(2), P(3) e P(4). b. Obtenha a soma de P(0), P(1), P(2), P(3) e P(4). c. Subtraia a soma de 1 d. Interprete os resultados
  • 32. 0.25(2,71828) −3 ≈ 0.05 0.20 Probabilidade 30 0.05 0.15P (0) = ≈ 0,05 0! 0.10 31 0.05P (1) = ≈ 0,15 1! 0.05 32 0.05P ( 2) = ≈ 0,112 2! 0.00 0 1 2 3 4 33 0.05 Número de AcidentesP (3) = ≈ 0,225 3! P (+4) = 1 − (0,05 + 0,15 + 0,112 + 0,225 + 0,169) 34 0.05 P (+4) = 0,294P ( 4) = ≈ 0,169 4!