Probabilidad

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  • 1. EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO MUESTRAL Y SUCESOExperimento aleatorio: Es una acción o proceso que puede tenerdistintos resultados posibles, y cuyo resultado no se conoce hasta que no selleva a cabo. Ejemplos: tirar una moneda tirar un dado medir la cantidad de milímetros de lluvia caídos elegir un número al azarEspacio muestral: El conjunto de todos los posibles resultados de unexperimento aleatorio se llama espacio de la muestra del experimento. Lamuestra es el espacio denominado S. Ejemplos: Si el experimento consiste en arrojar un dado y observar el número que sale, el espacio muestral es: S = {1,2,3,4,5,6} Si el experimento consiste en tomar un libro al azar de la biblioteca y ver con qué letra empieza el título, el espacio muestral es: S = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, Ñ, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z} Si el experimento consiste en tirar una moneda y ver qué sale, el espacio muestral es: S = {cara, sello} PROBABILIDAD LIC. EMMA YENDIS
  • 2. Suceso o Evento: Es un subconjunto del espacio muestral. Ejemplos: En el experimento de arrojar un dado y ver qué sale, el espaciomuestral es: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Cualquier subconjunto de S es un suceso, porlo tanto ejemplos de sucesos de este experimento pueden ser: {1} {6} Un evento que no {3, 4} puede ocurrir se {4, 5, 6} conoce como "suceso {1, 3, 5} nulo", "suceso falso" o {2, 4, 6} "suceso imposible". Además de la notación {} se puede usar la alternativa . PROBABILIDAD LIC. EMMA YENDIS
  • 3. TEORÍA DE CONJUNTOS (Operaciones entre eventos: Unión, intersección, complemento, eventos mutuamente excluyentes, diferencia, diferencia simétrica.)1) Intersección de sucesos: Dados A y B dos sucesos, A B es el suceso queocurre cuando ocurren simultáneamente A y B. Se puede llamar "Aintersección B" o bien "A y B".S Ejemplo: Se tira un dado, y se definen los sucesos: A: que salga menos de 4 B: que salga más de 2Con lo cual queda:A = {1, 2, 3}B = {3, 4, 5, 6}A B = {3}2) Sucesos disjuntos o mutuamente excluyentes: Son los sucesos cuyaintersección es nula. Dados los sucesos A y B, son disjuntos <=> A B = .S Ejemplo: Se tira un dado, y se definen los sucesos: A: que salga 1 ó 2 B: que salga más de 4Con lo cual queda:A = {1, 2}B = {5, 6}A B=Como A y B tienen intersección nula, no pueden suceder simultáneamente. PROBABILIDAD LIC. EMMA YENDIS
  • 4. 3) Unión de sucesos: Dados A y B dos sucesos, A B es el suceso que ocurrecuando ocurre A, B, o los dos simultáneamente. Se puede llamar "A uniónB" o bien "A ó B".S Ejemplo: Se tira un dado, y se definen los sucesos: A: que salga menos de 4 B: que salga 2 ó 6Con lo cual queda:A = {1, 2, 3}B = {2, 6}A B = {1, 2, 3, 6}4) Complemento de los sucesos: Dado un suceso A, su "complemento" es elsuceso que ocurre si y sólo si NO ocurre A (y A ocurre si y sólo si no ocurre Cel complemento de A). El complemento de A se escribe A o bien A y sellama "complemento de A"S Ejemplo: Se arroja un dado, y el suceso A es que salga un 4, entonces el suceso AC es que no salga un 4 o bien que salga 1, 2, 3, 5 ó 6. Expresados como conjuntos quedan:S = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6}A = {sale 4} CA = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 5, sale 6} PROBABILIDAD LIC. EMMA YENDIS
  • 5. A AC = S, es decir, la unión de A y AC forma S. Esto es lógico: O llueve o no llueve. No hay ninguna otra posibilidad. A AC = . Un suceso y su complemento son disjuntos, porque no pueden ocurrir al mismo tiempo. No puede "llover" y "no llover" al mismo tiempo.Problema típicoSe lanza un dado y se espera obtener un 3.¿Cuál es el experimento?¿Cuál es el espacio muestral?¿Cuál es el suceso?Resolución: Lanzar el dado es el experimento El espacio muestral es S= {1,2,3,4,5,6} El suceso es que se pueda obtener un 3, es decir A={3} PROBABILIDAD LIC. EMMA YENDIS
  • 6. PROBABILIDADLIC. EMMA YENDIS
  • 7. Otro Problema ClásicoSe lanzan una moneda 3 veces y se espera que salga cara en dos de losintentos¿Cuál es el experimento?¿Cuál es el Espacio Muestral?¿Cuál es el suceso?Resolución: El experimento es lanzar la moneda 3 veces. El espacio muestral puede visualizarse mejor con un diagrama de árbol como el que sigue:S C C S C C S Es decir, S S={CCC,CCS,CSC,CSS,SCC,SCS,SSC,SSS} C C S S C S S Finalmente los sucesos (que salga 2 veces caras) son: A={ CCC,CCS,CSC,SCC} PROBABILIDAD LIC. EMMA YENDIS
  • 8. PROBABILIDADIntroducción¿Qué es la probabilidad? La probabilidad expresa el grado de certeza de que ocurrirá un determinado suceso al hacer un determinado experimento aleatorio. Cuanto más alta es la probabilidad de un suceso, mayor es el grado de certeza de que ocurrirá al hacer el experimento aleatorio. Dado un suceso A, escribimos su probabilidad como P(A).Definición axiomática de probabilidad.La definición axiomática consta de los siguientes tres axiomas:Axioma 1: P(A) 0"La probabilidad no puede ser negativa"Axioma 2: P(S) = 1"La probabilidad del espacio muestral es uno"Axioma 3: A B= <=> P(A B) = P(A) + P(B)"Dos sucesos son disjuntos si y sólo si la probabilidad de su unión esla suma de sus probabilidades". PROBABILIDAD LIC. EMMA YENDIS
  • 9. De los tres axiomas, se deducen casi inmediatamente cuatroconsecuencias:Consecuencia 1: P(A) 1"La probabilidad tampoco puede ser mayor que uno"Consecuencia 2: P(A) + P(AC) = 1"Las probabilidades de dos sucesos complementarios suman uno"Consecuencia 3: P( ) = 0"La probabilidad de un suceso imposible es cero"Consecuencia 4: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de susprobabilidades menos la probabilidad de la intersección. PROBABILIDAD LIC. EMMA YENDIS