MÉTODOS DE INTEGRACIÓNIntegración de Funciones Racionales                        ELABORADO Y DISEÑADO POR: LICDA. EMMAYENDIS
FUNCIONES RACIONALES IMPROPIASSon aquellas que pueden escribirse como una suma de una         1. Se realiza la división de...
Entonces,                                                       (Nota Importante: Cuando se aplica el método de Ruffini,  ...
Ejemplo 3. Halle                                                               Se factoriza:                      por méto...
Se comienzan los despejes y nos queda:                          Cuando X=2, en ambos lados de la ecuación:                ...
Al obtener los valores de las constantes A y B, podemosresolver la integral.Cada integral se resuelve por método de sustit...
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Integración de Funciones Racionales

  1. 1. MÉTODOS DE INTEGRACIÓNIntegración de Funciones Racionales ELABORADO Y DISEÑADO POR: LICDA. EMMAYENDIS
  2. 2. FUNCIONES RACIONALES IMPROPIASSon aquellas que pueden escribirse como una suma de una 1. Se realiza la división de polinomios:función polinomial y una función propia, mediante la P(x) Q(x)siguiente ecuación:Donde: C(x) R(x) 2. Se reescribe la función:(NOTA IMPORTANTE: Repase división de Polinomios) 3. Calcular la integralAl momento de integrar funciones racionales y se observeque el grado del polinomio P(x) es mayor o igual al gradodel polinomio Q(x) se está en presencia de una función A Bracional impropia. ASe integra de manera directa¿Cómo integrar una función de este tipo?Primero intente con método de sustitución, si esto no BSe integra por método de sustitución.funciona, realice la división de polinomios y reescriba lafunción como en (1)Ejemplo 1. Halle ELABORADO Y DISEÑADO POR: LICDA. EMMAYENDIS
  3. 3. Entonces, (Nota Importante: Cuando se aplica el método de Ruffini, siempre que no sea posible reducir completamente los coeficientes, estos coeficientes se convierten en otro polinomio, como el caso anterior.)FUNCIONES RACIONALES PROPIAS El próximo paso, es hallar los valores de las constantes A y B. Para ello realizamos la suma de fracciones primeramenteCaso 1.Cuando se factoriza el polinomio Q(x) y se obtiene, comoresultado de la factorización, factores lineales y ninguno deestos factores lineales se repite. Se comienzan los despejes y nos queda: Se aplica propiedad distributiva:Ejemplo 2. Halle Se agrupan términos semejantes:Se factoriza: por método Ruffini: X=-1 3 1 -2 -3 2 Igualamos los polinomios, entonces: 3 -2 0 (Se forma un Sistema de Ecuaciones)Cómo no se puede seguir reduciendo, con los coeficientesque quedaron (3 y -2), se forma una un binomio, es decir:3x-2 (y no se cambian sus signos) (-1) (Se multiplica por -1 y se simplifica B)Entonces, ELABORADO Y DISEÑADO POR: LICDA. EMMAYENDIS
  4. 4. Ejemplo 3. Halle Se factoriza: por método Ruffini:Sustituyendo A en una de las ecuaciones originales, hallamos X=2 1 4 -3 -18el valor de B. (en este caso, sustituimos en la primera 2 12 18ecuación) X=-3 1 6 9 0 -3 -9 X=-3 1 3 0 -3 1 0Al obtener los valores de las constantes A y B, podemosresolver la integral. Entonces,Ambas integrales se resuelven por método de sustitución. El próximo paso, es hallar los valores de las constantes A, B y C. Para ello realizamos la suma de fraccionesCaso 2. (Nota Importante: como en este caso tenemos 3 fraccionesCuando se factoriza el polinomio Q(x) y se obtiene, como hallamos el máximo común divisor –M.C.D. – para poderresultado de la factorización, factores lineales y alguno de realizar la suma). Repase M.C.D.estos factores lineales se repite. El M.C.D. en este caso es ELABORADO Y DISEÑADO POR: LICDA. EMMAYENDIS
  5. 5. Se comienzan los despejes y nos queda: Cuando X=2, en ambos lados de la ecuación: (*) (*)A partir de (*) existen dos formas de existen dos formashallar las incógnitas A, B y C en este caso: Se realizan las operaciones en ambos lados de la ecuación y nos queda: 1. Se desarrollan los factores cuadráticos presentes: Cuando X=-3, en ambos lados de la ecuación:Se aplica propiedad distributiva: Se realizan las operaciones en ambos lados de la ecuación y nos queda:Se agrupan términos semejantes: Cuando X=0, en ambos lados de la ecuación:Igualamos los polinomios, entonces: Se realizan las operaciones en ambos lados de la ecuación y (Se forma un Sistema de Ecuaciones) nos queda: Pero sabemos que , y los sustituimos en laSe resuelve el Sistema de Ecuaciones usando el Álgebralineal (Método de Gauss) –Nota: si el número de ecuaciones ecuación para despeja B.e incógnitas se hace muy grande se utiliza un softwarematemático: Maple, MatLab, Derive… entre otros) – 2. Se toman los valores de las raíces halladas por Ruffini Se despeja B. (X=2 y X=3) y en X=0, y sustituyen en (*) como sigue a continuación: ELABORADO Y DISEÑADO POR: LICDA. EMMAYENDIS
  6. 6. Al obtener los valores de las constantes A y B, podemosresolver la integral.Cada integral se resuelve por método de sustitución:Ejercicios Propuestos.a.b.c.d.Los Ejercicios Propuestos fueron tomados del conjunto deproblemas de la sección 8.5 del libro: Cálculo. Purcell yOtros, 8va. Edición. Pág 397 ELABORADO Y DISEÑADO POR: LICDA. EMMAYENDIS

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