Números Complexos
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Todo número complexo z pode ser escrito uma maneira única na forma
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02. Determine o valor de x para que o número complexo:
a) z  3  1  2 x i seja um número real.

b) z  8  x   2 x...
3 z  w  1  i
03. Sendo z e w números complexos, resolva o sistema 
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04. Determine o valor do núme...
a)  2
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10. Resolva em ℂ as seguintes equações:
a) x 2  6 x  10  0
b) x 2  2ix  5  0
c) 2 x 2 ...
15. (ITA) Se z  cos t  i , em que 0  t  2 , então podemos afirmar que w 

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  1. 1. Números Complexos “O Espírito Divino expressou-se sublimemente nesta maravilha da análise, neste portento do mundo das ideias, este anfíbio entre o ser e o não ser, que chamamos de raiz imaginária da unidade negativa”. Leibniz 1. Breve Histórico Os números complexos aparecem no século XVI motivados pelas resoluções de equações de terceiro e quarto graus. Em 1545, o matemático italiano Girolamo Cardano (1501 – 1576) publica seu famoso livro Ars Magna, no qual trata da resolução da equação de terceiro grau do tipo x 3  ax  b  0 . O problema: “Qual é a medida x, comum a aresta de cubo e a altura de um paralelepípedo com base 15 unidades de área, sabendo que a diferença entre seus volumes é de 4 unidades?” corresponderia a x 3  15 x  4 , e, aplicando-se uma fórmula deduzida por ele, apareceria a solução 4, obtida na expressão 3 2   121  3 2   121 ! Cardano se perguntava como um número real poderia se originar de uma expressão que continha raízes quadradas de números negativos se estas não existiam. O mais curioso é que era possível operar com esses números “esquisitos”, mesmo que não tivessem sentido, pois matematicamente os problemas davam certo. Mais tarde, um matemático Rafael Bombelli (1526 – 1572) estudou o trabalho de Cardano e verificou que realmente esses números “funcionavam”. Sua representação sofreu variações no decorrer do tempo, até que foram escritos na forma de produto por  1 , como, por exemplo,  121  11  1 . No século XVIII, Euler introduz o símbolo i para representar a raiz quadrada de  1 . Assim,  121 passa a ser expressa por 11i . Finalmente, a representação geométrica dos números complexos elaborada pelo matemático, astrônomo e filosofo alemão Gauss (1777 – 1855), no final do século XVIII, tornou-se mais significativo seu estudo e aplicabilidade. 2. O Conjunto dos Números Complexos (ℂ) O conjunto ℂ é um conjunto cujos elementos — os números complexos — devem ser tais que possam ser somados e multiplicados e nos quais seja possível a extração de raiz quadrada de um número negativo. Logicamente, os números reais precisam ser elementos desse conjunto ℂ, e as operações de adição e multiplicação feitas sobre os números reais no conjunto ℂ devem ser as mesmas já conhecidas. Existem muitas maneiras de definir o conjunto dos números complexos, mas a notação preferida para definir os seus elementos é a forma algébrica. 3. A Forma Algébrica
  2. 2. Todo número complexo z pode ser escrito uma maneira única na forma z  a  bi , onde a e b são números reais ( a é a parte real e b é a parte imaginária do número complexo z ) e i é a unidade imaginária, tal que i 2  1 . Usa-se a notação Rez   a e Im z   b . Se o número complexo z possui a unidade imaginária (ou seja, b  0 ) ele é chamado imaginário. Ademais, se b  0 temos que z é real; e se a  0 e b  0 temos que z é imaginário puro. Observe que, se a  bi  c  di , concluímos pela unicidade da forma algébrica que a  c e b  d , isto é, se dois complexos são iguais então as suas partes reais e imaginárias são iguais. Ainda usando a forma algébrica, podemos operar com complexos de maneira análoga à que operamos com reais, com cuidado de tomar i 2  1 . Por exemplo, a) 2  3i    3  4i   2  3  3  4i  1  7i b) c) 1  i   3  2i   1  3  1  2i  2  i 1  2i   2  3i   1  2  3i   2i  2  3i   2  3i  4i  6i 2  2  i  6   1  8  i 4. O Conjugado de um número complexo Dado um número complexo z  a  bi , se z  0 existe um único complexo tal que 1 z 1 1 na forma algébrica.  z  1 . Vamos determinar o complexo z z Para isto, convém definir o conjugado de um número complexo z  a  bi como o número complexo z  a  bi . Exemplos: a) z  2  3i  z  2  3i c) z  5i  z  5i b) z  3  4i  z  3  4i d) z  2  z  2 Agora, conhecido o conjugado do número complexo z  a  bi , para 1 determinamos o complexo na forma algébrica, basta multiplicar numerador e z denominador por z , que é diferente de zero, uma vez que z  0 . Assim: z a  bi a  bi a b z 1    2  2  2 i 2 2 2 2 z z  z a  bi a  bi  a  b a b a b a  b2 Logo: 1 a b z  2  2 i 2 2 2 z a b a b a  b2 Dessa maneira, dados dois números complexos z1 e z 2  z 2  0 definimos o  1 z1 z z como sendo o produto z1    , que é dado por 1 2 . z  z2 z2  z2  2 Exemplo: Sendo z1  3  2i e z 2  1  5i , teremos quociente
  3. 3. z1 3  2i 3  2i 1  5i  3  10  2i  15i 13  13i 1 1       i z 2 1  5i 1  5i 1  5i  1  25 26 2 2 Propriedades do Conjugado Sendo z  a  bi e w  c  di números complexos, temos: P1 z   z  P 2  z  z  2a P3 z  z  2bi P 4  z  z  z   P5 z  z  a 2  b 2  P6  z  w  z  w  P7  z  w  z  w 5. As Potências Naturais de i Consideremos as potências do tipo i n , onde n é natural. Vejamos alguns exemplos: i0  1 i4  i2 i2  1 i1  i i5  i 4  i  i i 2  1 i 6  i 4  i 2  1 i 3  i 2  i  i i 7  i 4  i 3  i Começamos então a perceber que, à medida que n cresce, os resultados de i n vão-se repetindo periodicamente, assumindo sempre um dos valores da sequência: 1, i ,  1 ,  i sendo, pois, de 4 unidades o período de repetição; isto nos sugere que, para calcular o valor de i n , basta elevar i ao resto da divisão euclidiana de n por 4. De fato, se dividindo n por 4 encontramos quociente q e resto, isto é, n  4q  r , com r  0, 1, 2, 3 . Então:   i n  i 4qr  i 4q  i r  i 4 q  i r  1  i r  i r q e, portanto: in  ir Atividades de Sala 01. Dados os números complexos z1  1  3i e z 2  2  i , calcule: a) z1  z 2 b) z1  z 2 c) z1 2  z 2 2 d) z1 z2
  4. 4. 02. Determine o valor de x para que o número complexo: a) z  3  1  2 x i seja um número real. b) z  8  x   2 x  3i seja um número imaginário puro. 03. Calcule o valor de: a) i 49 b) i 223457 c) 3i 15  i 16 d) 1  i  i 2  i 3    2011 e) 1  i 2 f) 1  i 25 04. Determine o número complexo z tal que 2 z 1  z  i . 05. Resolva em ℂ a equação x 2  4 x  5  0 . 06. Determine os números reais x e y para que  x  yi 1  3i   13  i . 07. Qual o valor de m para que o produto 2  mi 3  i  seja um número imaginário puro? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 08. Sendo n um número inteiro, quais os possíveis valores de i n  i  n ? Atividades Propostas 01. Dados os números complexos z1  1  2i , z 2  1  3i e z 3  2  2i , calcule: a) z1  z 2 b)  z1  z 2   z 3 c) z1  z 2  z 3 2 d) z1  z 2  z 3 2 2 e) z 2  z 3  z1 2 02. Determine o número complexo z tal que 3z  4i  z  6i 20 .
  5. 5. 3 z  w  1  i 03. Sendo z e w números complexos, resolva o sistema  . 5 z  2w  1  3i 04. Determine o valor do número real x, para que o número complexo: a) x 2  4 x  3   x  2i seja um número imaginário puro.     b) x  x 2  7 x  12 i seja um número real. 05. (FUVEST – SP) Seja o número complexo z  m  2i 2  i  , em que m   . Para um determinado valor de m , o número z pode ser um imaginário puro igual a: a)  4i b)  i c) 2i d) 3i e) 5i 06. Calculando o valor da expressão i  i 2  i 5  i 6    i 41  i 42 obtemos: i 3  i 4  i 7  i 8    i 43  i 44 a) 1 b)  1 c) i  1 d) i  1 e) 1  i 07. Simplificando 2  i 101  2  i 50  2  i 100  i  249 temos: a) 1 b) 2  i c) 2  i d) 5 e)  5 08. (UECE) Se i é a unidade imaginária, a expressão complexa 7  3i 3  5i é igual  1 i 1 i a: a) 1 6i b) 1  i c) 4  i d) 1 4i 09. (CEFET) O valor de x, para que o quociente xi seja um número real é: 1  2i
  6. 6. a)  2 1 b)  2 c) 2 1 d) 2 10. Resolva em ℂ as seguintes equações: a) x 2  6 x  10  0 b) x 2  2ix  5  0 c) 2 x 2  6 x  5  0 . 11. (ITA) O número natural n tal que 2i n  1  i 2 n  16i , em que i é a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, vale: a) n  5 b) n  3 c) n  7 d) n  4 e) não existe n nestas condições. 12. (UFC) Determine o valor do número real a de modo que a expressão 1  2i  a  i 2 seja um número real. 2  a i 13. Se x e y são números reais positivos tais que  x  3i   1  yi   6i , então x  y é igual a: a) 10 b) 12 c) 8 d) 9 e) 6 i, se x   14. Se a função f  x    em que i é a unidade imaginária, então o valor 1, se x   de  f  f i 4 p , p   é igual a: a) 0 b) – 1 c) 1 d) i e)  i
  7. 7. 15. (ITA) Se z  cos t  i , em que 0  t  2 , então podemos afirmar que w  1 z é 1 z dado por: a) i  cot g t 2 t 2 c) i  cot gt b) i  tg d) i  tgt e) n.d.a. 16. Se S100 é a soma dos cem primeiros termos da P.A. de primeiro termo  99  i e a razão 1  i , então S100 é igual a:  99  10i a) 100i b) 50 c) 1 d) 100 e) i 17. (Ufscar – SP) Sejam i a unidade imaginária e a n o n-ésimo termo de uma progressão geométrica com a1 i a) b) c) d) e)  i  i  i 9i ou  9i  9  i ou  9  i 9  i ou 9  i 8  i ou 8  i 7  i ou 7  i a2 a3 an é igual a: a 2  2  a1 . Se a1 é um número ímpar, então

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