Livro intr. campos tensoriais em 31 jan 2013

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  • 1. INTRODUÇÃOAOSCAMPOS TENSORIAISPARA A ENGENHARIAporElysio Roberto Figueiredo RuggeriEngenheiro Civil pela Escola de Minas de Ouro PretoFurnas Centrais Elétricas SAGoiânia (GO)2012
  • 2. II© 2012 - Elysio R. F. RuggeriProjeto gráfico e ilustrações: Elysio R. F. RuggeriEditoração eletrônica: Elysio R. F. RuggeriCapa:Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)Qualquer parte desta publicação pode ser reproduzida, desde que citada a fonte em cada página da reprodução.Contato com o autor:elysio.ruggeri@gmail.comRuggeri, Elysio Roberto Figueiredo.Introdução à Teoria do Campo /Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri. – Goiânia : Ed.do Autor, 2012.XX, 170 p.ISBN .....................................1. Análise tensorial. 2. Campo de grandezas físicas.3. Matemática aplicada. I. Título.CDU ............
  • 3. Campos Tensoriais - RuggeriIIIPREFÁCIOO tema deste livro é uma pequena parte, talvez a mais simples, da Física-Matemática. Seu propósito éservir de suporte ao ensino das disciplinas introdutórias: Mecânica de Sólidos e Mecânica de Fluidos, lecionadasnos primeiros anos dos cursos de graduação em engenharia. Ao escrevê-lo preocupamo-nos, por isso, muito maiscom a didática do que com o relevante rigorismo matemático, dispensável nesta abordagem introdutória.Livros existentes sobre o assunto tratam, ordinariamente, da teoria dos campos escalares e vetoriais,visando aplicações imediatas na Física (no Eletromagnetismo, na Mecânica Racional e na Mecânica dos Fluidos,principalmente). Procurando dar maior amplitude à teoria, mas sem nos perdermos em generalizações dequestões matemáticas, mostramos, com tratamento e linguagem muito simples (sem, evidentemente, muito rigor),que os campos escalares e vetoriais são campos de tensores. Estendemos um pouco mais os estudos abordando oscampos dos tensores cartesianos simétricos de ordem dois (ou campos de diádicos simétricos), de largaaplicação. A matéria apenas introduz o leitor na seara dos “campos”, termo esse que deve se entendido nosentido físico (e não matemático, onde campo tem outro significado).Os "Campos tensoriais" são utilizados com muito sucesso na formulação da Mecânica do Contínuo,disciplina que unifica de forma magistral o tratamento da física dos sólidos e dos fluidos (com suas propriedadesmecânicas, elétricas, magnéticas, óticas etc.). Isto justifica a necessidade do conhecimento e da divulgação dessesconceitos como um preparativo para o tratamento de assuntos mais complexos, não só dentro da Engenharia, masda Física (das baixas velocidades) que considera o espaço físico com três dimensões e onde pode ser verificada ageometria euclidiana.Goiânia, fevereiro de 2010.
  • 4. IVINTRODUÇÃOEste livro é, praticamente, um livro de matemática aplicada à Física e à Engenharia. Por isso mesmotentaremos mostrar ao candidato a engenheiro particularmente, algumas das causas da presença da Matemática esua importância em muitas questões de Engenharia.Um pouco do que será apresentado nesta Introdução é um compacto (com alguma adaptação) de textosesparsos extraídos de uma obra prima de Caraça [8]. Outro tanto provirá da nossa convivência com dezenas defenômenos para os quais só encontramos melhor entendimento pela matemática aplicada.O livro todo, entretanto, tem a intenção de convencer o leitor de dois fatos essenciais. Em primeiro lugar,que a engenharia relativa a concepção, desenvolvimento e construção de engenhos é constituída por boa parte douniverso dos fenômenos conhecidos (pelo menos os físicos, químicos e biológicos). Em segundo lugar, queconseguimos substituir cada fenômeno detectado num engenho por um conceito concebido pela nossa mentematemática, a que denominamos “campo”, para o entendimento do qual descobrimos que é possível utilizar umaúnica teoria: a “teoria do campo”. Essa concepção é magistral!Conceitos gerais.O objetivo da ciência á a construção de quadros ordenados e explicativos dos fatos reais deste mundo,qualquer que seja a natureza deles: física, social, política etc. Esses quadros são legítimos enquanto durar a suaconcordância com os resultados de observações e experimentações.Os fatos reais apresentam duas características essenciais: a) – interdependência: pois eles estãocorrelacionados uns com os outros; b) – fluência: pois eles estão em permanente evolução, transformando-se emcada instante. Então, se tudo depende de tudo em cada instante, com que cérebro - questiona Caraça ([8], 2ªParte, Capítulo I, p. 111) - vamos organizar o pretendido quadro dos fatos? Se tudo flui, como encontrar os fatos,objetos de um estudo a ser realizado?Para contornar a dificuldade da interdependência criamos o isolado: um conjunto de seres, objetos e fatosque, embora correlacionados de alguma maneira com outros conjuntos, pode ser destacado para estudo, semsofrer diretamente a influência de outros. Um isolado apresenta uma fronteira concreta (como um recipiente), ouabstrata (como uma região em um estudo meteorológico). Por exemplo: uma planta pode germinar e crescernuma pequena mata (o isolado, com uma fronteira abstrata) sem sofrer a influência de um conflito social queesteja acontecendo do outro lado do planeta. Entretanto, a determinação de um isolado, se mal conduzida,poderia levar à invalidez prematura do quadro determinado porque o bom senso do observador falhou naqueladeterminação. A mata deve realmente ser considerada no crescimento da planta porque ela certamente influi noseu desenvolvimento. Mas, e os rios que fluem à volta da mata (tendo influência no clima), terão algumainfluência sensível na germinação?Mais uma vez o bom senso do observador deverá entrar em ação no tocante à dificuldade causada pelafluência. O tempo altera tudo, não só certo isolado, mas também o que lhe é exterior. O que importa é saber,levando-se em conta o tempo, se o que foi considerado isolado numa época continua sendo um isolado noutraépoca. Por exemplo: uma pedra lançada para o alto, hoje, cai (isolado); e cairá sempre em qualquer época. Essagarantia, entretanto, não existe para o caso da planta que germina dentro de uma mata porque as condições declima (externas à mata) podem alterar-se entre épocas muito distantes.Entre os elementos de um isolado (no exemplo: planta, terreno, mata etc.) existem relações deinterdependência. Qualidade de um elemento de um isolado é o conjunto das relações desse elemento com todosos demais, num dado instante. Assim, uma solução composta por oxigênio, nitrogênio e hidrogênio dentro do seurecipiente (um isolado) é um gás (qualidade de cada uma das substâncias) dentro de certas condições detemperatura e pressão.As qualidades podem apresentar certa intensidade, embora existam qualidades cujas intensidades não sãocomparáveis (uma circunferência não é mais nem menos circular que outra; ou, um gás não é mais ou menos gásque outro etc.). Mas há outras qualidades de elementos de um isolado que variam (seja com o tempo ou outracondição qualquer, como a temperatura). Assim, um corpo em queda livre (isolado, do qual o corpo é umelemento) tem uma velocidade (qualidade) em cada ponto da queda (intensidade variável). Aparece, então, anecessidade da consideração da quantidade como um atributo da qualidade, podendo ser medida ou não; emfísica serão medidas sempre. É preciso, assim, do ponto de vista científico, empregar com precisão a noção de
  • 5. Campos Tensoriais - RuggeriVmedida, embora a quantidade de uma qualidade possa variar de uma época para outra em função do nosso graude conhecimento.Assim, além da definição correta de um isolado, de seus elementos e de suas qualidades num dadoinstante, medir intensidades é operação vital para o estabelecimento dos quadros ordenados e explicativos. O queseria necessário para medir uma quantidade e suas eventuais variações? Bem responde Caraça, na sua bela obrajá citada: que cada estado da qualidade possa ser obtido por adição, a partir de outros estados, e que essa adiçãoseja comutativa e associativa. Se adotarmos, então, convenientemente, certo estado para unidade, o resultado damedição será obtido comparando cada estado com aquele que se tomou como unidade.Finalmente, devemos considerar que uma quantidade variável de uma qualidade de um elemento de umisolado pode alterar essa qualidade do isolado. Assim, o movimento (qualidade) de uma pedra abandonada doalto da Torre de Piza (isolado) é, no princípio, uniformemente acelerado (variável), tornando-se, após um certotempo de atuação da resistência do ar, um movimento uniforme (alteração). Da mesma forma, se provocarmosum abaixamento da temperatura (qualidade) da solução gasosa (isolado) oxigênio + nitrogênio + hidrogênio, aoatingirmos a temperatura crítica de -119°C o oxigênio torna-se líquido (mudança de qualidade nesse elemento),ocorrendo o mesmo com o nitrogênio a -147°C e a -240°C com o hidrogênio1.Os fenômenos e seus domínios, em FísicaOs conceitos gerais acima definidos são aplicáveis aos mais diferentes fatos reais, como a germinação deuma semente, a geração de energia elétrica, o exercício da cidadania etc.. Em Física e em Engenharia,particularmente, as evoluções dos isolados são os "fenômenos naturais ou artificiais" dos quais poderíamoscitar dezenas ou centenas de exemplos (e até fenômenos dentro de outro fenômeno, formando cadeias defenômenos), cada um com as suas qualidades (que evoluem, variam no tempo). Acender um palito de fósforo éprovocar um fenômeno artificial, tanto quanto por um elétron em movimento num acelerador de partículas;estudar o movimento de um astro é estudar um fenômeno natural. Os elementos dos fenômenos são, em geral,corpos naturais ou artificiais (visíveis ou invisíveis), como um astro, a atmosfera de um planeta, uma montanha,uma chapa de aço, um motor de automóvel, um próton etc. As qualidades mais expressivas dos fenômenos aserem consideradas neste livro, são: 1) - a natureza física dos seus elementos (os vários estados da matéria:sólido, líquido e gasoso); 2) - as propriedades físicas desses elementos (propriedades mecânicas,termodinâmicas, eletromagnéticas, eletrônicas, químicas e biológicas); 3) - as qualidades - ditas ações exteriores(exteriores a esses elementos, mas interiores ao isolado) - sob a ação das quais se encontrem os elementos, como:temperatura, pressão, radiação, força etc.; e as ações - ditas interiores – que se manifestem espontaneamentedentro desses elementos.Por necessidades físicas, a fronteira de um fenômeno será matematicamente definida sendo, ainda,concreta ou abstrata; a região do espaço físico não exterior à fronteira será denominada: domínio do fenômeno,e poderá ser uni, bi ou tridimensional.Lei naturalImporta, pois, estudar a evolução de um fenômeno dentro do seu domínio, isto é, explicar o por quê daalteração das suas diferentes qualidades. Mas, como atingir esse por quê?A observação mostra a existência de fenômenos repetitivos que, sob as mesmas condições, apresentamcomportamento idêntico; são fenômenos regulares, podendo ser naturais ou artificiais. Fenômeno natural regularseria, por exemplo, a translação da Terra em torno do Sol e sua rotação concomitante em torno do seu eixo; umfenômeno regular artificial seria, por exemplo, a passagem de um mesmo veículo sobre a mesma ponte, com amanutenção de algumas condições. A existência e a possibilidade das regularidades nos fenômenos permitem asua repetição e previsão; e dessa repetição e previsão somos totalmente dependentes. Todas as técnicasconhecidas se baseiam nessa possibilidade, "da enxada ao ciclotrão", usando as sábias palavras de Caraça (o. c.,1 Mas essa solução gasosa sempre foi entendida como gasosa até o ano de 1863 quando Andrews mostrou a existência, para cada gás, deuma temperatura crítica, acima da qual não se podia liquefazer esse gás.
  • 6. VIp. 119). Destaca ainda Caraça, que a procura das regularidades dos fenômenos naturais é uma das maisimportantes tarefas na investigação da Natureza; e ele assim define, na sua forma mais geral:Lei natural é toda regularidade de evolução de um isolado,podendo esta ser de natureza física, social, psicológica, política, econômica etc.. Na Física, particularmente, oquadro explicativo dos fenômenos físicos naturais se resume, então, no estabelecimento das leis (físicas)naturais.As leis naturais podem ser: qualitativas, quando dizem respeito às variações das qualidades dos elementosde um isolado; quantitativas, quando dizem respeito à variação das quantidades das qualidades dos elementos. Achamada primeira lei de Kepler: os planetas (elementos do isolado chamado sistema solar) descrevem órbitaselípticas (qualidade do elemento chamado movimento) das quais o Sol ocupa um dos focos, é um exemplo de leiqualitativa. A chamada lei de queda dos corpos pesados: para todo corpo (elemento) em queda livre no vácuo(isolado), as alturas de queda (qualidades do elemento corpo pesado) são proporcionais aos quadrados dostempos de queda, é um exemplo de lei quantitativa.À medida que vamos conhecendo melhor o mundo, pela Física em particular, as leis físicas naturaisquantitativas tendem a dominar as qualitativas. Esclarecemos isso lembrando que a primeira lei de Kepler(qualitativa) é conseqüência da lei da gravitação de Newton, que é lei quantitativa. A primeira descreve umafaceta do movimento; a segunda descreve tudo (ou quase tudo, se formos levar em consideração o chamado"movimento anômalo" de Mercúrio)2. Assim, ao explicar (e não só descrever) os fenômenos, somos naturalmenteobrigados a aprofundar no estudo das variações das quantidades das qualidades postas em jogo nos fenômenos,pois as descrições simplesmente qualitativas deles podem levar-nos ao grande perigo do “deslize".Lamentavelmente, assim aconteceu com Aristóteles, não obstante a sua enorme reputação e estatura intelectual,ao escrever que "a experiência mostra que os corpos cuja força é maior seja em peso, seja em ligeireza, todas asoutras condições iguais quanto às figuras, atravessam mais depressa um espaço igual e na proporção que asgrandezas (peso ou ligeireza) têm entre si".Vem dai a necessidade da intervenção da Matemática. "Deu-se uma gestação lenta em que necessidade einstrumento inter-atuaram, ajudando-se e esclarecendo-se mutuamente" (Caraça, o. c., p. 125). Por instrumento,Caraça entende a matéria (matemática) necessária para a intervenção a ser realizada, e que completaria asnecessidades da ciência; e apresenta a seguinte situação.Suponhamos que fossemos estudar a queda dos corpos no vácuo em condições físicas adequadas (oisolado, o fenômeno). O tempo é uma de suas qualidades. Outra seria a quantidade de espaço percorrido pelocorpo. Onde está a regularidade do fenômeno, ou sua lei quantitativa? Façamos medições das alturas do corpoem relação a certa referência e do tempo correspondente a cada altura. Com esses pares de medida organizamos aTabela I que estabelece uma correspondência entre os espaços percorridos e o tempo que o corpo gasta parapercorrer esses espaços.TABELA I – Espaços percorridos e tempos gastos por um corpo em queda livre no vácuoTempos (segundos) 0 1 2 3 4 5Espaços (em metros) 0 4,9 19,6 44,1 78,4 122,5Nesta tabela temos uma amostragem da procurada regularidade do fenômeno (se existir) e dela obtemos umapista: a de que a medida do espaço é proporcional ao quadrado da medida do tempo. E a lei propriamente dita,onde está? Está na forma como essa correspondência entre espaços e tempos se realiza. Assim, para estudar leisquantitativas é necessário criar o instrumento matemático necessário que em essência está em estabelecercorrespondência entre conjuntos.2 Para não nos alongarmos muito nesta exposição deixaremos de mostrar um exemplo flagrante de como certas leis podem dar lugar aoutras leis mais gerais (as da gravitação, de Einstein) à medida que os conhecimentos avançam.
  • 7. Campos Tensoriais - RuggeriVIIO instrumento matemático: a funçãoA matemática cria o conceito de variável, dá-lhe notação conveniente, digamos t para tempos e s paraespaços, e as associa às quantidades das qualidades do fenômeno. A lei consiste na existência dacorrespondência entre s e t (correspondência essa que é unívoca no sentido t→s: a um t só corresponde um s);dizemos, dai, que s é função de t, a s damos o nome de variável dependente e a t o de variável independente.Escrevemos, convencionalmente: s=s(t). O conceito de função é, então, o instrumento próprio para o estudo dasleis. Devemos estar atentos para o tamanho da extrapolação que pretendemos realizar. A Tabela I é umaamostragem pela qual teremos a ousadia de estabelecer uma lei natural: na queda dos corpos pesados no vácuo,os espaços percorridos são proporcionais ao quadrado dos tempos gastos. Novas medições poderão dar maissuporte à afirmativa e a aplicação dessa "lei" repetidas vezes, em diferentes situações (com corpos e alturas dequeda diferentes, mas sempre no vácuo) darão credibilidade à mesma.A Tabela I está contida na expressão s=4,9 t2, que na verdade, contem muito mais informação; ela prevê,por exemplo, que para t = 5,5 segundos o espaço percorrido é de 148,225 m, e este é realmente verificadoexperimentalmente. Dizemos que s=4,9 t2é a tradução analítica ou a lei matemática do fenômeno.Adverte-nos Caraça de que não devemos confundir função com expressão analítica, especialmenteporque uma função (comprovadamente existente) pode não ter uma representação analítica. Por muitas vezesdizemos: "seja a função s=4,9 t2" em vez de: “seja a função cuja representação analítica é s=4,9 t2”. Se existeuma expressão analítica envolvendo duas letras, existe necessariamente a função; mas a existência da função nãoacarreta necessariamente a existência de uma expressão analítica que a represente.Aliás, isto pode até ser impossível. Por exemplo: experimente o leitor determinar a expressão analítica datemperatura θ num ponto de um ambiente (de um suposto isolado) em função do tempo t, efetuando umaamostragem - medições de pares: (θ, t) - de qualquer tamanho, digamos durante um mês. É evidente que a dadotempo corresponde uma e apenas uma temperatura no ponto, isto é, a temperatura no ponto é função do tempo.Depois, usando o melhor dos recursos matemáticos disponíveis, suponha ter sido encontrada uma função θ=θ(t),tal que para t igual a qualquer um dos valores da amostra, a função forneça exatamente o θ correspondente.Aparentemente θ=θ(t) poderia ser a expressão matemática de uma lei física quantitativa para aquele isolado.Entretanto, como essa função pode não conseguir prever com acerto a temperatura que ali ocorrerá no diaseguinte, ela não poderá representar a lei natural esperada porque ela não detecta integralmente a regularidadeque o fenômeno apresenta. O defeito poderá não estar na função, mas na especificação do isolado; mas isso éoutro problema.Uma teoria para o entendimento de uma classe de fenômenosOs conceitos expostos são aplicados para o entendimento de um fenômeno em particular; no caso, a queda(vertical) dos corpos. As leis do movimento retilíneo uniforme (movimento em linha reta, com velocidadeconstante) poderiam certamente ser estabelecidas de modo análogo (experimentalmente), mas pela aplicação dealgum raciocínio seria muito mais simples. O movimento retilíneo acelerado (movimento em linha reta, comaceleração constante) poderia ser criado mentalmente, suas leis poderiam ser determinadas pelo raciocínio e, emseguida, confirmadas experimentalmente. Que tal esses mesmos movimentos, agora curvilíneos? Por que nãocomeçar com o movimento circular? Se mudássemos o ângulo de lançamento de uma pedra ao espaço estaríamosfrente a outro fenômeno, cuja explicação seria mais trabalhosa que o dos anteriores. Vê-se facilmente, do pontode vista experimental, que estaríamos frente a uma tarefa penosa e, de certa forma, pouco promissora.Ao espírito mais aguçado certamente ocorreria a idéia de reduzir o entendimento desses fenômenos demesma classe a conceitos elementares, a partir dos quais se pudessem deduzir leis e propriedades, para que, aocontrário da situação anterior, as mesmas fossem verificadas experimentalmente. É este o conceito de teoriasobre alguma coisa: postular coisas evidentes, criar conceitos básicos e operá-los com a ferramenta apropriada –no caso, a matemática – estabelecendo, inclusive, o que se deva medir (em laboratório ou em campo) paraconsiderá-la satisfatória, logo aceitável. O estabelecimento da teoria explicativa de certa classe de fenômenos é
  • 8. VIIIde extremo valor prático, pois pode ser aplicada em qualquer instante para prever resultados quando da repetiçãodaqueles fenômenos, dispensando as caras, às vezes tediosas e, em geral, demoradas operações em laboratório.Com algum esforço, o leitor aceitará a concepção de Einstein de que é impossível montar uma teoria apartir da experimentação. O exemplo citado atrás, da queda dos corpos e medições de espaços e tempos, ilustroua necessidade da introdução do conceito de função. O que se fez, entretanto, não pode ser confundido com oestabelecimento de uma teoria. Uma teoria é uma exposição ampla, baseada em postulados e conceitos simples(nem sempre óbvios) a partir dos quais, por dedução lógica, se vão estabelecer previsões de comportamentos aolongo do tempo. Pode parecer estranho, mas este é o caminho mais barato, mais rápido e mais simples paraorientar todos os trabalhos dos profissionais de engenharia.Outros procedimentos matemáticosÉ precisamente neste ponto que a Matemática se entrelaça com a Física; e o casamento parece perfeito.Newton, Leibnitz, Fermat, Euler, Lagrange, os Bernoulli e poucos outros foram os agentes dessa perfeição, entre1650 e 1700, com o estabelecimento das bases do Cálculo Infinitesimal. As necessidades da Física desde entãopassaram a abrir rumos para a Matemática. Esta, além de traçar seu próprio rumo – e o faz com incrívelabundância – atende à Física em evolução com extrema generosidade, levantando, inclusive, questões ocultas nosfenômenos físicos.Neste livro o leitor encontrará alguns ensinamentos matemáticos de total utilidade em física teórica, masque não são de matemática básica (como o conceito de função atrás exposto). Para entendê-los, exigiremos que oleitor esteja familiarizado com algumas das disciplinas básicas lecionadas nos dois primeiros anos dos cursos defísica e engenharia, como: uma boa parte do Cálculo Infinitesimal, da Geometria Analítica, o Cálculo Matricial eo Cálculo Vetorial (CV) clássico. Deste último, particularmente, vamos explorar um pouco mais os seus últimoscapítulos, trabalhando mais intensamente com os chamados operadores diferenciais.Pequena digressão históricaO CV – formalmente estruturado por J. W. Gibbs3 entre os anos 1870 e 1900 aproximadamente [9] –nasceu por necessidade da Física com a finalidade de tratar as grandezas físicas denominadas vetoriais. Oaparecimento das funções vetoriais foi imediato, pois tal como com o conceito ordinário de função se podiamassociar duas grandezas escalares, percebeu-se que também seria possível associar duas grandezas vetoriais (e alei de Newton f=Ma era o exemplo mais simples). No início do século XX iniciou-se, então, a “vetorialização”da Mecânica de Newton e do Eletromagnetismo de Maxwell (com a participação especial de Heaviside).Mas a Física não tratava apenas das grandezas escalares e vetoriais. Na Mecânica (chamada Racional) deNewton, alem dos vetores força, velocidade, aceleração e poucos outros, aparecia também uma grandeza maiscomplexa: o momento de inércia. Noutras áreas da Física apareciam outras grandezas que, com o momento deinércia, constituíam uma nova classe de grandezas. Gibbs, em suas aulas na Universidade de Yale (por volta de1880), sugeriu representar essas grandezas por diádicos e mostrou como fazê-lo. Estava, com isso, ampliando oCV (e não chamou esse novo cálculo de Cálculo Diádico, CD). Mas, grandezas ainda mais complexas existiamna Física, as quais, possivelmente, poderiam ser representadas por triádicos, tetrádicos etc. desde que com essasentidades (formadas a partir do conceito de vetor) fosse estruturada uma álgebra adequada. O próprio Gibbssugeriu isso, mas parece não ter formulado um “Cálculo Poliádico” (CP) como, melhor que ninguém, poderia terfeito.Aproximadamente na mesma época (início do século XX), o brilhante matemático italiano Ricci sintetizouidéias esparsas de outros brilhantes matemáticos e físicos anteriores a ele (Riemann e Christoffel, por exemplo) ecriou o Cálculo Diferencial Absoluto, logo denominado Cálculo Tensorial (CT). Este Cálculo nascia baseado emconceitos generalíssimos e com notação própria. Nele incluía-se o CV (já em largo uso na Física), e também obem arranjado CD de Gibbs (com operações e notações adequadas e simples), embora este apresentasse feiçõesnão previstas no CT de Ricci. Principalmente depois de 1921, quando a comunidade científica aceitou3 Costuma-se creditar esse fato também a Hamilton por ter lançado as idéias básicas através da sua Teoria dos Quatérnios. Mas Gibbs,embora adotando alguma nomenclatura e operações de Hamilton, nunca aceitou os quatérnios como uma ferramenta matemáticaadequada para a Física da sua época (ver Crowe, M. J., A history of Vector Analysis, Dover, New York, 1967, capítulo V especialmente).
  • 9. Campos Tensoriais - RuggeriIXparcialmente a Teoria Geral da Relatividade gerada por Einstein em 1915, o CT adquiriu fama entre os físicos einvadiu a Física, pois nascia (imperceptivelmente) uma física moderna. Mas o CV, com a sua simplicidade,elegância e especial adequação, persistiu como uma excelente ferramenta para expressar a física clássica. Nessafísica, sobre a qual está estruturada grande parte das engenharias (como: mecânica, civil, elétrica, naval,aeronáutica, química e outras), o CP, tão simples, tão útil e tão elegante quanto o CV, foi (inadvertidamente)substituído pelo que se chama hoje Cálculo dos Tensores Cartesianos. Essa troca, de fato, não é compensatória,como se poderá notar oportunamente [13].Esta pequena digressão para justificar a introdução de algumas matemáticas para a resolução einterpretação de problemas de física e engenharia (apenas algumas matemáticas porque esse campo é muitovasto) poderia ser o ponto de partida para um livro volumoso. Com esta Introdução esperamos ter sensibilizado oleitor – um candidato ao estudo das engenharias, da física e da matemática aplicada – a encarar esses estudoscom uma boa convicção de que o problema não está na matemática, nem nas pessoas, mas nos fenômenos físicosem si.Cinco atividades frente à ciência da engenhariaTodas as matemáticas atrás referidas foram desenvolvidas para atender as necessidades da Físicabasicamente, ou seja, para o estudo (qualitativo e quantitativo) dos fenômenos físicos. Deles se valerão também aQuímica em muitas situações, por exemplo, no tocante à termodinâmica dos fenômenos químicos, no estudoquímico-físico das reações químicas etc.A Engenharia é a arte e a ciência da construção; construção de edifícios, pontes, barragens, canais, navios,aeronaves e aeroportos, mecanismos (motores, bombas, turbinas etc.) equipamentos e instalações elétricas(motores, transformadores, subestações etc.) e outros engenhos.Cinco atividades são fundamentais em engenharia, para o exercício das quais o engenheiro necessita deapresentar atitudes bem dosadas de obsessão, capacitação combinada com dom, e habilidade. São elas:1 – a concepção dos engenhos (pela imaginação, exibidas depois com “lápis e papel” na formade um “projeto de engenharia”);2 – a concretização (a construção propriamente dita) dos engenhos arquitetados;3 – a operação dos engenhos;4 – a manutenção dos engenhos em operação;5 – a auscultação constante e adequada dos engenhos, realizada mediante observaçõesdiversas; e a interpretação correta destas observações, seguida de atividades de manutenção.O elemento fundamental que se apresenta diante de todas essas atividades é o “fenômeno”. Durante aatividade “concepção” os fenômenos são detectados e as variáveis neles postas em jogo devem ter seus valoresprevistos com acerto adequado. Ao longo de todas as demais atividades, a construção é auscultada. Através deinstrumentos é possível medir pelo menos algumas das variáveis postas em jogo nos fenômenos previstos (na faseda concepção). Com as medidas feitas é possível comparar valores medidos e previstos das variáveis com afinalidade de definir-se um “desempenho físico” da construção.Deve ser observado que o desempenho da construção pode ter também, e em geral tem, significadoeconômico e social dentro de um complexo chamado “empreendimento”. Nesse caso, o desempenho físico daconstrução passa a ser apenas um item desse significado último. Mesmo por esse enfoque mais amplo oempreendimento deve ser simulado, procurando-se antever e analisar situações (econômicas, políticas e sociais)que possam influir no resultado final do mesmo.Os fenômenos aqui mencionados são, basicamente, os físicos e os químicos, mas especialmente osprimeiros. Dentre esses, nas construções chamadas civis, mecânicas, aeronáuticas, navais e outras predominamfenômenos mecânicos nos quais forças agem sobre corpos que se deformam, estejam eles fixos (como em umaponte) ou em movimento (como em uma máquina). Nas construções elétricas predominam fenômenoseletromagnéticos (muitas vezes associados com fenômenos óticos) onde, ainda, forças e corpos deformáveisestão também presentes. Nas construções hidráulicas, navais e aeronáuticas, corpos sólidos deformáveis e fluidosinteragem sujeitos à ação de forças, ampliando a natureza dos fenômenos.
  • 10. XÉ com esse enfoque que se deve preparar o aspirante a engenheiro. É preciso entender-se que nada escapaa essa forma de abordagem do “problema de engenharia” (seja ele de projeto, de construção, de operação, demanutenção ou de auscultação dos engenhos). O leitor deverá observar que, por trás de todo o discurso que tentatornar inteligível o problema da engenharia, existe uma palavra que pode sintetizar quase tudo: a simulação, quecombina muito bem com previsão de valores. Somente pela simulação é que vamos evitar surpresasdesagradáveis de natureza econômica, ou que indiquem falta de segurança à vida das pessoas envolvidas noprojeto (no presente ou no futuro).A prática da simulação requer a utilização de um modelo que esteja sacramentado pelo uso, isto é, de umateoria que tenha sido posta à prova ao longo do tempo, que tenha conseguido prever com razoável acerto, queadquiriu reputação e inspirou confiança. Neste livro o leitor encontrará as bases para o entendimento de algunsmodelos de uso corrente na prática da engenharia; e o principal conceito que dá suporte a essa base é o decampo. Como a engenharia fica reduzida praticamente à construção de algum engenho, devemos detalharsuficientemente o que se entende por construção.A construção e seu desempenho físicoUma construção é uma associação de corpos materiais (de formas, de dimensões e de materiaisdiferentes) destinada a apresentar funcionalidade, estética, sustentabilidade ambiental, segurança e economiamáxima na missão que lhe cabe desempenhar ao longo do tempo.Esse conceito é, de fato, aplicável a uma edificação comum (uma residência, um prédio industrial), a umnavio, a um avião, mas também a uma moto-bomba, ao vertedouro de uma barragem etc.A funcionalidade de uma construção diz respeito à sua utilidade: uma moto-bomba tem que bombear, umvertedouro tem que permitir ou obstruir a passagem da água de um reservatório conforme as necessidades, umacasa deve servir adequadamente uma família de certo porte com exigências prefixadas etc.A estética de uma construção está relacionada com a sua aparência, tornando-se relevante em alguns casose irrelevante em outros. Assim, uma residência não deve ter a aparência de uma igreja; mas a estética de umabomba ou de um vertedouro não é muito significativa, embora (sempre que possível) deva ser considerada. Quala importância de uma bomba de aparência mais ou menos agradável que outra?A construção deve existir de forma a não desequilibrar o meio ambiente (e sempre o fará para o ladoindesejável). Ela deve existir de forma a sustentar um ambiente sadio ao longo do tempo. Por isso, a poluiçãogerada por uma residência, ou por uma fábrica, deve ser contemplada na sua concepção e os problemascorrespondentes resolvidos. Da mesma forma devem ser previstos e sanados os impactos ambientais causadospor uma mineração, uma barragem, uma estrada etc.A segurança apresentada por uma construção está representada pelo seu desempenho físico. Assim, porexemplo: uma ponte não pode ruir, tampouco um edifício, ou uma barragem. Mesmo que uma construção nãochegue à ruína ela pode comprometer seriamente a estética, por exemplo, e até a funcionalidade. Evitar-se-iamcitações, como: “o prédio não ruiu, mas tombou em 5° com a vertical”; ou: “a turbina de uma hidrelétrica estáfuncionando, mas com o eixo muito fora da posição ideal”, pois por imperceptível que seja a olho nu essedesaprumo ou variação, pode prejudicar seriamente o rendimento desta máquina (acarretando prejuízos).A economia máxima para a concretização e o sucesso futuro da construção sempre foi, e parece quesempre será, o condicionante que mais desafia a nossa inteligência. Tudo influi no resultado final: afuncionalidade (um espaço inadequado para circulação em um supermercado), a estética (um restaurante com aaparência de um ginásio coberto), a sustentabilidade ambiental (a fábrica que expele gases no ambiente), asegurança (a ponte que balança em excesso). Cada um destes itens está associado com uma (ou mais)especialidade profissional.
  • 11. Campos Tensoriais - RuggeriXIA segurança física da construçãoVamos destacar a questão da segurança física por estar mais diretamente ligada ao tema deste livro.Apesar de ser muito difícil separar as partes mais significativas que compõem a segurança física de umaconstrução – seja por estarem estas partes unidas até certo ponto, ou por não considerar alguma outra do mesmonível de relevância – arriscamo-nos a mencionar apenas três:o projeto estrutural,a tecnologia de construção,a auscultação.Por estrutura devemos entender as partes resistentes de uma construção, podendo ser um simples pilar, ouuma grande barragem. Uma grande estrutura pode ser uma associação de pequenas outras estruturas, como umatreliça (uma estrutura) é uma associação de barras (outras estruturas) sejam elas metálicas ou de madeira. Odesempenho de cada estrutura ao longo do tempo é fator primordial da segurança física do conjunto de todas asestruturas.No projeto estrutural executa-se: 1) – o “lançamento das estruturas” componentes da construção, ou aconcepção do arranjo das estruturas; 2) – o “dimensionamento” ou a “verificação de resistência” das estruturasconsideradas, com previsão de desempenho das mesmas durante toda a sua vida útil. O lançamento ou arranjodas estruturas pode ser realizado em várias etapas, tudo dependendo da simplicidade ou da complexidade daconstrução. Em nível mais global, o arranjo poderia consistir das diversas partes principais componentes daconstrução. Por exemplo: em um aeroporto (se a sua posição já estiver parcialmente definida) as partescomponentes poderiam ser: as pistas (principais e secundárias) de pouso de aeronaves, áreas de estacionamentode aeronaves, edifícios diversos (de controle de vôo, terminal de passageiros, de cargas, hangares etc.), estradasde acesso e outras. Em segundo nível, para cada parte desse arranjo geral idealizado, novos arranjos poderão sernecessários até que se atinja um nível de detalhamento adequado. A disposição relativa das partes componentestem algum haver com a funcionalidade da construção, mas muito haver com a segurança física e conseqüenteresultado econômico. Subdividindo as partes em novas partes, chegaremos a problemas estruturais específicos(do tipo: analisar uma sapata de fundação). Para um galpão, por exemplo, serão definidos: a estrutura dacobertura, lajes, vigas e pilares necessários, fundação adequada etc.Daí em diante passa-se ao cálculo dessas estruturas. Efetua-se o dimensionamento delas dando-lhes asdimensões adequadas quando já tiverem sido prefixadas as cargas, os materiais a utilizar e suas formasgeométricas. Ou se verifica a sua resistência quando, dada a estrutura com sua geometria e o material de que éfeita, constata-se que ela conseguirá resistir aos esforços a que estará sujeita numa nova etapa de vida. Emqualquer caso deve ficar bem estabelecido o modo como essa estrutura irá se comportar durante o tempo em queela desempenhar a sua função. Uma estrutura com alta responsabilidade deverá ser auscultada sempre; é o casode uma grande barragem.No que seguirá vamos usar um vocabulário adequado que possa ser aplicado de modo geral. De umfenômeno deveremos conhecer as condições reais em que ele ocorre, os materiais envolvidos (se for o caso) etodas as variáveis nele postas em jogo, sejam estas variáveis propriedades de materiais ou não. Os fenômenosocorrerão em alguma região do espaço e esta região deve ser necessariamente bem definida (como o prisma quedefine uma viga, ou o cilindro que define um pilar de seção circular, ou uma região acima da superfície do globointeressada para efeito de meteorologia). Aos fenômenos e às regiões em que ocorrem estão associados oconceito de campo.A teoria do campoEinstein e Infeld em seu livro popular intitulado “A Evolução da Física” consomem praticamente 40% doseu conteúdo no Capítulo II, intitulado: “Campo e Relatividade”; e no final desse capítulo, escrevem: “
  • 12. XIIResumindo: um novo conceito aparece na Física, a mais importante invenção desde o tempo de Newton: o campo...”. E mais à frente: “ A Teoria da Relatividade nasce do problema do campo.”Essas palavras podem bastar para ressaltar a importância do “campo” na Física, inclusive na chamada“física fundamental” (não relativista), uma física particular, mas suficientemente geral para resolver "problemasdomésticos". Defendemos como lícita a idéia de que a “Teoria do Campo” deva ser o primeiro capítulo de um“abecedário da Física”; e sendo-o da Física, sê-lo-á da Engenharia.Os engenhos, ou obras de engenharia são concebidos com materiais e estes podem ser simples etradicionais (como a água), ou complexos (como as rochas, os solos); outros podem ser fabricados para "gozar decertas propriedades", como o velho concreto, e alguns materiais mais jovens. Com esses materiais ocorrem"fenômenos", termo esse que deve aqui ser entendido da forma bem ampla, já apresentada. No estudo daspropriedades dos materiais (naturais e artificiais) e do comportamento físico deles como participantes defenômenos, a teoria do campo pode intervir objetivamente para facilitar o entendimento, economizar raciocínio,tempo e dinheiro.A teoria do campo é fenomenológica, isto é, utilizável para explicar fenômenos independentemente daconstituição da matéria, quando existe matéria presente. Assim, essa teoria pode ser utilizada, por exemplo, noEletromagnetismo para explicar fenômenos que ocorram no vácuo (na ausência eventual de matéria). Aliada àhipótese da continuidade do espaço e da matéria, ela vai permitir explicar e prever valores em fenômenos óticos,elétricos e mecânicos que, macroscopicamente, podem ocorrer nos corpos materiais.Tentamos formular e apresentar a teoria na forma mais elementar e didática possível, mesmo que para issose devesse sacrificar algum rigor matemático, tendo sido inspirado, talvez, nas seguintes palavras de Einstein4:“Tive a sorte de encontrar livros que não se preocupam com o rigor lógico, mas que permitem a apresentaçãoclara das idéias principais ...”. Para isso, julgamos conveniente dividir esta pequena obra em três partes.Na primeira parte procuramos caracterizar os sistemas de referência; estes são utilizados não apenascomo meio de organização do trabalho, mas também por necessidade lógica da matemática empregada, darepetição dos fenômenos e de comunicação. Ainda nesta primeira parte procuramos caracterizar todas asgrandezas físicas como grandezas tensoriais (Capítulo I), cada uma com uma característica intrínseca: a sua“ordem”. Definimos o campo (Capítulo II) e procuramos visualizá-lo geometricamente representando-o porformas geométricas (Capítulo III), abordando metodicamente os campos escalares (ou tensoriais de ordem zero),os campos vetoriais (ou tensoriais de ordem um) e os campos tensoriais duplos (ou de ordem dois). Com oobjetivo de facilitar o entendimento do tensor de ordem dois, mostramos como utilizar uma nova representaçãopara os mesmos: a representação diádica, concebida há mais de um século por J. W. Gibbs (final do Capítulo I).Isso acarretará uma ligeira adaptação na linguagem, a necessidade da introdução de algumas operações úteis eelementares, e uma boa compactação nas notações.Na segunda parte estudamos as propriedades dos campos escalares, dos campos vetoriais, e definimosos operadores (clássicos) de campo: os operadores simples, isto é, o gradiente (Capítulo IV), o rotacional(Capítulo V), o divergente (Capítulo VI), e os operadores duplos, especialmente o laplaciano (Capítulo VII).Estudamos, ainda, algumas das propriedades desses operadores, dando-lhes algum "significado físico" eapresentando alguns exemplos.Na terceira parte estudamos os campos de tensores duplos simétricos (ou campos de diádicos simétricos),os tridimensionais (Capítulo VIII) e os planos (Capítulo IX), de notável uso nas Teorias da Elasticidade,Plasticidade, Mecânica de Fluidos etc., dentre outras áreas importantes do conhecimento.4 Einstein, A., “Notas Autobiográficas”, Editora Nova Fronteira, 3° Edição, Rio de Janeiro, 1982.
  • 13. Campos Tensoriais - RuggeriXIIIUma grande vantagem dessa divisão está na possibilidade de se estudarem os campos escalares e oscampos vetoriais independentemente dos campos de tensores duplos. O livro pode, pois, ser muito útil aos alunosde graduação dos cursos de: Matemática Aplicada, Física Aplicada (Eletromagnetismo, Mecânica Clássica,Mecânica dos Fluidos), Resistência dos Materiais; e, mais tarde, aos alunos que cursarem Mecânica dos Sólidos(Elasticidade, Plasticidade, Visco-elasticidade etc.) como suporte para cursos avançados de Mecânica de Solos,Mecânica de Rochas, Geofísica, Cristalografia e outras disciplinas.Recomendamos, assim, a leitura dos parágrafos e capítulos seguidos de um asterisco, em segundo estágio,para as aplicações um pouco mais avançadas da Engenharia.E. R. F. Ruggeri
  • 14. XIVCONVENÇÕESCITAÇÕESSINAL SIGNIFICADO...(7)Nota de rodapé n° 7((03),§5.3) Fórmula (03) do §5.3 do presente capítulo((02), §3.2,V) Fórmula (02) do §3.2 do Capítulo VBibl. n° 5, ou [5] Livro n° 5 da Bibliografia0.c. p. 156 Obra citada, página 156Ex. 3 Exemplo 3 do presente capítuloEx. 6, IV Exemplo 6 do Capítulo IV...(§10)... Assunto tratado no §10 do presente capítulo...( ...(§5, II)... Assunto tratado no parágrafo 5 do Capítulo II...(Figura I,3)... Terceira figura do Capítulo I...(Teor.1,§2,III)... Conforme o Teorema 1 do §2 do Capítulo III...(Propr.3,§2,I)... Conforme a propriedade 3 do §2 do Capítulo I((02)3Terceira fórmula (contadas de cima para baixo ou da esquerda para a direita) dogrupo de fórmulas (02) do presente parágrafo.((02)3, §3.2,V) Terceira fórmula do grupo (02) do §3.2 do Capítulo V- As figuras são numeradas na forma Figura VI,3 para significar: terceira figura do Capítulo VI.As fórmulas são numeradas seqüencialmente em arábico, dentro de cada sub-parágrafo de um capítulo,como: (02). A referência do tipo: ((03),§05.02,II) significa: fórmula (03), do §05.02 do Capítulo II.ABREVIATURASBibl. – BibliografiaPropr. – PropriedadeTeor. – TeoremaCorol. – CorolárioCap. - CapítuloGA – Geometria Analítica, p. 7NOTAÇÕES1 – Os escalares são representados por letras latinas em tom natural (U, V, ...). Vetores são representados porletras latinas em negrito (a, b, ...). Diádicos são representados por letras gregas em negrito (αααα, ββββ, φφφφ, ...).2 – As bases vetoriais ortonormadas são representadas por { kji ˆˆˆ } ou por { 321ˆˆˆ eee }.3 - O vetor v, de coordenadas V1, V2, V3 em relação à base { 321ˆˆˆ eee }, é representado nas diferentes formasseguintes: v=Vk kˆe ,321VVV, {v}, [ ]T321 VVV , (V1, V2, V3).4 – O módulo, ou valor absoluto, do vetor v é representado por |v|, ou por v.5 – Os deltas de Kronecker são representados pelo símbolo clássico δij e valem 1 para i=j, e 0 para i≠j fazendo-sei=1,2,3 e j=1,2,3.
  • 15. Campos Tensoriais - RuggeriXV6 – O produto escalar dos vetores u e v que formam um ângulo ϕ é representado nas formas:[ ] [ ] ===== }U{}V{}V{}U{uuuvvvvvvuuu. TT321321321321vuϕ=++==δ= cosu vvuvuvuvuvu 332211iiijji .7 – A matriz quadrada A de ordem 3, de elemento genérico aij é representada por A=[aij], ou [A].8 – A matriz unidade de qualquer ordem é representada por I, ou [I].9 – A transposta da matriz A é representada por ATe a inversa por A-1; ou por [A], [A]T, [A]-1quando necessário.10 - vu× é o produto vetorial de u por v.
  • 16. XVIBIBLIOGRAFIA[01] - ARANGOÁ, A. G. de - Elasticidade teórica y Experimental, Editorial Dossat, Madrid, 1945.[02] - BRICARD, R. - Cálculo Vetorial, Coleção Armand Colin, Ao Livro Técnico, Rio de Janeiro, 1958.[03] - BUTTY, E. - Tratado de Elasticidad Teórico-Técnica, em 3 tomos, Centro Estudiantes de Ingenieria deBuenos Aires, Buenos Aires, 1946.[04] - CALAES, A. M. - Curso de Cálculo Vetorial, 3ª edição, dois volumes, Fundação Gorceix, Ouro Preto,1979.[05] - CALAES, A. M. - Curso de Cálculo Matricial, 3ª edição, Imprensa Universitária da UFOP, Ouro Preto,1984.[06] - CALAES, A. M. - Curso de Geometria Analítica, 4ª edição, cinco volumes, Imprensa Universitária daUFOP, Ouro Preto, 1981.[07] - CARAÇA, B. de J. - Cálculo Vetorial, 2ª edição, Depositário Geral, Livraria Sá Costa, Lisboa, 1957.[08] – CARAÇA, B. de J. – Conceitos Fundamentais da Matemática, Fotogravura Nacional Ltda, Lisboa, 5ªedição, 1970. (Publicado parcialmente, em várias partes e várias edições, desde 1941).[09] - GIBBS, J. W. e WILSON, E. B. - Vector Analysis, Yale University Press, New Haven, 1901.[10] - HAGUE, B. - An Introduction to Vector Analysis, Methuen´s Monographs on Physical Subjects, London,1957.[11] - NYE, J. F. - Physical Properties of Crystals, Clarendon Press, Oxford, 1957.[12] - TIBIRIÇA Dias, A. - Curso de Cálculo Infinitesimal, 2ª edição, dois tomos, Fundação Gorceix, OuroPreto, 1962.[13] - RUGGERI, E. R. F. - Tratado de Cálculo Poliádico: Tomo I, Vol. I, ISBN 978-85-907001-0-4; Tomo I,Vol. II, ISBN 978-85-907001-1-1; Tomo II, em preparação.[14] – REY PASTOR, J., SANTALO, L. A., BALANZAT, M. – Geometria Analítica, 3ª edição, EditorialKapelusz, Buenos Aires, 1958.[15] – Chou, P. C., and Pagano, N. J. – Elasticity (Tensor, dyadic and Engineering approaches), D. VanNostrand, Toronto, 1967.
  • 17. Campos Tensoriais - RuggeriXVIISUMÁRIOPREFÁCIO....................................................................................................................................................................................................... IIIINTRODUÇÃO................................................................................................................................................................................................IVCONVENÇÕES ............................................................................................................................................................................................XIVBIBLIOGRAFIA............................................................................................................................................................................................XVI1ª Parte - Conceito e imagem dos camposCAPÍTULO IOBSERVADORES, SISTEMAS DE REFERÊNCIA E DOMÍMIOS§ 01 – OBSERVAÇÃO E OBSERVADORES...................................................................................................................................................1§ 02 – DOMÍNIOS E SISTEMAS DE REFERÊNCIA.......................................................................................................................................1§ 03 – DOMÍNIOS CHATOS DE FENÔMENOS..............................................................................................................................................2§ 03.01 – Unidimensionais................................................................................................................................................................2§ 03.02 – Bidimensionais..................................................................................................................................................................2§ 03.03 – Tridimensionais.................................................................................................................................................................2Exemplos. Uso de sistema de coordenadas retilíneas.......................................................................................................2Domínios chatos em engenharia. .....................................................................................................................................5§ 04 – DOMÍNIOS CURVOS DE FENÔMENOS .............................................................................................................................................6§ 04.01 – Unidimensionais................................................................................................................................................................6Exemplos. Uso do sistema cilíndrico de coordenadas......................................................................................................8Domínios cônicos e coordenadas cilíndricas ...................................................................................................................9Uso do sistema esférico de coordenadas ..........................................................................................................................9Outros sistemas de referência e outros domínios ...........................................................................................................12§ 04.02 – Bidimensionais................................................................................................................................................................12Exemplos. Uso dos sistemas cilíndrico e esférico..........................................................................................................13§ 04.03 – Tridimensionais...............................................................................................................................................................15§ 04.04 – Os domínios, na prática...................................................................................................................................................17§ 05 – TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS.......................................................................................................................................17§ 05.01 – Da necessidade da transformação....................................................................................................................................17§05.02 - Mudança de coordenadas de um ponto, com mudança de base ........................................................................................18§05.03 – Relações entre as coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas de um ponto ..............................................................21§06 – SISTEMA LOCAL E SISTEMA GLOBAL DE COORDENADAS.......................................................................................................22§06.01 – Domínios unidimensionais...............................................................................................................................................22Tangente, normal principal e plano osculador ...............................................................................................................23Binormal, plano normal, plano retificante. Triedro de Frenet-Serret..............................................................................24Fórmulas de Frenet.........................................................................................................................................................26§06.02 – Domínios bidimensionais.................................................................................................................................................26Superfície esférica..........................................................................................................................................................26Elipsóides.......................................................................................................................................................................28Parabolóides elíptico e hiperbólico ................................................................................................................................29§06.03 – Domínios tridimensionais ................................................................................................................................................31CAPÍTULO IIGRANDEZAS FÍSICAS.§ 01 – GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS .......................................................................................................................................33§ 02 – DEFINIÇÕES RIGOROSAS DAS GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS................................................................................34§ 02.01 – Considerações preliminares.............................................................................................................................................34§ 02.02 – Nova definição de grandeza escalar ................................................................................................................................34§ 02.03 – Definição de grandeza vetorial........................................................................................................................................35
  • 18. XVIII§ 03* – DIÁDICOS E GRANDEZAS DIÁDICAS...........................................................................................................................................36§ 03.01 – Relacionamento entre grandezas vetoriais.......................................................................................................................36§ 03.02 – Definição de diádico, algumas operações e representações.............................................................................................37Domínios homogêneos e não homogêneos.....................................................................................................................38Domínios isotrópicos e anisotrópicos ............................................................................................................................39Definição da grandeza diádica.......................................................................................................................................40§ 03.03 – Diádicos como representantes de propriedades físicas, ou de variáveis. .........................................................................41§ 04* – NOVOS DESENVOLVIMENTOS COM OS DIÁDICOS ..................................................................................................................41§ 04.01 – Diádicos simétricos e anti-simétricos..............................................................................................................................41§ 04.02 – Álgebra de diádicos e de matrizes. ..................................................................................................................................42Dupla multiplicação pontuada de diádicos ....................................................................................................................43Dupla multiplicação pontuada de matrizes ....................................................................................................................43§ 04.03 – Exercícios........................................................................................................................................................................44CAPÍTULO IIICONCEITO DE CAMPO§ 01 – DEFINIÇÃO DE CAMPO.....................................................................................................................................................................47§ 02 – CLASSIFICAÇÃO DOS CAMPOS.......................................................................................................................................................48§ 03 – EXEMPLOS DE CAMPOS...................................................................................................................................................................50Exemplo 1: um campo de distâncias ...............................................................................................................................................50Exemplo 2: o campo gravitacional terrestre ....................................................................................................................................50Exemplo 3: o campo das velocidades de um líquido em escoamento..............................................................................................50Exemplo 4 – um campo tridimensional de temperaturas.................................................................................................................51Exemplo 5 – Um campo unidimensional de temperaturas. .............................................................................................................51Exemplo 6 – O escoamento no vertedouro de uma barragem..........................................................................................................52Exemplo 7 – Campo magnético produzido por corrente elétrica.....................................................................................................52Exemplo 8*– O campo dos deslocamentos na Teoria da Elasticidade............................................................................................53Exemplo 9*– O campo do tensor das tensões. ................................................................................................................................53Campos Diádicos...........................................................................................................................................................54§04*– CAMPOS DE DIÁDICOS SIMÉTRICOS.............................................................................................................................................54§04.01 – Características geométricas. .............................................................................................................................................54§04.02 – Significado físico. ............................................................................................................................................................56§05 – CAMPOS 1D E 2D DE ESCALARES, VETORES E DIÁDICOS.........................................................................................................57§06 – OS DIÁDICOS EM DIFERENTES SISTEMAS DE REFERÊNCIA.....................................................................................................60§06.01 – Relações entre coordenadas de vetores.............................................................................................................................60§06.02 – Relações entre coordenadas de diádicos...........................................................................................................................61CAPÍTULO IVGEOMETRIA DOS CAMPOS§01 – GENERALIDADES ...............................................................................................................................................................................65§02 – SUPERFÍCIE DE NÍVEL NOS CAMPOS ESCALARES......................................................................................................................65Propriedades das superfícies e curvas de nível...............................................................................................................66§03 – LINHAS DIRETRIZES NOS CAMPOS VETORIAIS. ..........................................................................................................................66Propriedades das linhas diretrizes..................................................................................................................................66Equações das linhas diretrizes........................................................................................................................................67Tubo de campo ..............................................................................................................................................................68§04* - AS QUÁDRICAS DE CAUCHY, DE LAMÈ E A REPRESENTAÇÃO DE MOHR NO CAMPO DIÁDICO....................................68§04.01 – Campos tridimensionais...................................................................................................................................................68Representação de Mohr..................................................................................................................................................71§04.02 – Campos bidimensionais ...................................................................................................................................................75Representação de Mohr..................................................................................................................................................77§04.03 – Campos unidimensionais .................................................................................................................................................77
  • 19. Campos Tensoriais - RuggeriXIX2ª Parte - Propriedades dos campos escalares e vetoriaisCAPÍTULO VCAMPO VETORIAL OPERADO DE CAMPO ESCALARO GRADIENTE§01 – O GRADIENTE DE UM CAMPO ESCALAR.......................................................................................................................................79§02 – PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DO GRADIENTE. DERIVADA DIRECIONAL. ........................................................................80Derivada direcional........................................................................................................................................................81§03 – CARACTERÍSTICA TENSORIAL DO GRADIENTE. .........................................................................................................................82§04. – PROPRIEDADES FORMAIS DO GRADIENTE..................................................................................................................................83Propriedade fundamental: ..............................................................................................................................................83Propriedades formais .....................................................................................................................................................84§05 – POTENCIAL ESCALAR DE UM CAMPO VETORIAL.......................................................................................................................86§06 – PROPRIEDADE GEOMÉTRICA CARACTERÍSTICA DOS CAMPOS COM POTENCIAL..............................................................86CAPÍTULO VICAMPO VETORIAL OPERADO DE CAMPO VETORIALA circulação...................................................................................................................................................................87§01 – A CIRCULAÇÃO DE UM CAMPO VETORIAL..................................................................................................................................87§02 – PROPRIEDADES DA CIRCULAÇÃO..................................................................................................................................................87§03 – CIRCULAÇÃO DE CAMPO QUE DERIVA DE POTENCIAL ESCALAR .........................................................................................88§04 – CAMPOS LAMELARES OU CONSERVATIVOS ...............................................................................................................................89§05 – SIGNIFICADO FÍSICO DA CIRCULAÇÃO E DO POTENCIAL.........................................................................................................89§06 – CONDIÇÃO PARA QUE UM CAMPO VETORIAL DERIVE DE UM POTENCIAL ESCALAR. .....................................................90O rotacional ...................................................................................................................................................................92§07 – GENERALIDADES ...............................................................................................................................................................................92§08 – DEFINIÇÃO DO ROTACIONAL DE UM CAMPO VETORIAL .........................................................................................................93§09 – GENERALIZAÇÃO. FÓRMULA DE STOKES ....................................................................................................................................94§10 – EXPRESSÃO CARTESIANA DO ROTACIONAL...............................................................................................................................95§11 – SIGNIFICADO FÍSICO DO ROTACIONAL .........................................................................................................................................96§12 – PROPRIEDADES FORMAIS DO ROTACIONAL................................................................................................................................96§13 – CAMPO IRROTACIONAL....................................................................................................................................................................98§14 – CAMPO ROTACIONAL (OU TURBILHONAR)..................................................................................................................................99§15 – POTENCIAL VETOR DE UM CAMPO VETORIAL ...........................................................................................................................99§16 – CONDIÇÃO PARA QUE UM CAMPO VETORIAL DERIVE DE POTENCIAL VETOR ..................................................................99CAPÍTULO VIICAMPO ESCALAR OPERADO DE CAMPO VETORIALO fluxo.........................................................................................................................................................................103§01 – DEFINIÇÕES. ......................................................................................................................................................................................103§02 – PROPRIEDADES DO FLUXO ............................................................................................................................................................103§03 – FLUXO QUE DERIVA DE VETOR POTENCIAL .............................................................................................................................104§04 – SIGNIFICADO FÍSICO DO FLUXO....................................................................................................................................................105O divergente.................................................................................................................................................................106§05 – DEFINIÇÃO.........................................................................................................................................................................................106§06 – SIGNIFICADO FÍSICO DO DIVERGENTE........................................................................................................................................107§07 – FÓRMULA DO DIVERGENTE ..........................................................................................................................................................108
  • 20. XX§08 – CAMPO SOLENOIDAL: DEFINIÇÃO, PROPRIEDADES.................................................................................................................108§09 – O CAMPO SOLENOIDAL PLANAR. .................................................................................................................................................110§10 – O CAMPO HARMÔNICO...................................................................................................................................................................110§11 – PROPRIEDADES FORMAIS DO DIVERGENTE. .............................................................................................................................111§12 – FÓRMULAS DE GREEN. ...................................................................................................................................................................112§13 – FÓRMULAS DO GRADIENTE E ROTACIONAL. ............................................................................................................................113CAPÍTULO VIIIOPERADORES DUPLOS DE CAMPO§01 – GENERALIDADES. ............................................................................................................................................................................115§02 – O OPERADOR LAPLACIANO. ..........................................................................................................................................................115§03 – OS OPERADORES grad div E rot rot..................................................................................................................................................117§04 – OBSERVAÇÃO FINAL SOBRE OS CAMPOS HARMÔNICOS.......................................................................................................118§05 – UMA LEI DE DUALIDADE................................................................................................................................................................1183ª Parte - Propriedades dos campos de diádicos simétricosCAPÍTULO IX*ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE UM DIÁDICOAs coordenadas radiais principais................................................................................................................................121§01 – DEFINIÇÕES. EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA. PROPRIEDADES.................................................................................................121§02 – OS INVARIANTES DO DIÁDICO DO CAMPO ................................................................................................................................124§03 – COORDENADAS OCTAÉDRICAS. DIÁDICO DESVIO...................................................................................................................125As coordenadas transversais principais........................................................................................................................128§04 – DEFINIÇÕES, TEOREMAS................................................................................................................................................................128CAPÍTULO X*CAMPOS 2D DE DIÁDICOS SIMÉTRICOS§01 – A COORDENADA RADIAL E A TRANSVERSAL. ..........................................................................................................................133§02 – AS COORDENADAS RADIAIS PRINCIPAIS....................................................................................................................................134§03 – OS INVARIANTES DO DIÁDICO PLANAR. ....................................................................................................................................136§04 – COORDENADAS OCTAÉDRICAS. DIÁDICO DESVIO...................................................................................................................137§05 – AS COORDENADAS TRANSVERSAIS PRINCIPAIS. .....................................................................................................................138§06 – AS COORDENADAS REFERIDAS ÀS DIREÇÕES PRINCIPAIS....................................................................................................140§07 - REPRESENTAÇÃO DE MOHR ..........................................................................................................................................................141§07.01 - O círculo de Mohr...........................................................................................................................................................141§07.02 - Determinação gráfica das coordenadas. ..........................................................................................................................142§07.03 - As direções principais e secundárias...............................................................................................................................143§08 - OUTRAS REPRESENTAÇÕES GEOMÉTRICAS DOS CAMPOS PLANARES. ..............................................................................144§08.01 - Linhas isostáticas. ...........................................................................................................................................................146§08.02 - Linhas das direções secundárias......................................................................................................................................147§08.03 - Linhas isóclinas (ou isoclínicas). ....................................................................................................................................148§08.04 – Linhas isocromáticas......................................................................................................................................................149§08.05 - Linhas isoradiais. ............................................................................................................................................................149§08.06 - Linhas isópacas...............................................................................................................................................................150§09 - PONTOS SINGULARES E CIRCULARES..........................................................................................................................................150
  • 21. Campos Tensoriais - Ruggeri1ª Parte - Conceito e imagem dos camposCAPÍTULO IOBSERVADORES, SISTEMAS DE REFERÊNCIA E DOMÍMIOS.L´Universo é scritto in lingua matematica e i caratteri sono triangoli, cerchi e altre figure geometriche, senza iquali é impossibile ad intenderne umanamente parola”Galileo Galilei§ 01 – OBSERVAÇÃO E OBSERVADORESOs fenômenos existem independentemente de observadores, mas se não observados não podem despertarqualquer interesse. O que seria, então, uma observação?Em primeiro lugar devemos considerar que uma observação envolve uma atitude estritamente pessoal:dois observadores, em igualdade de condições físicas, podem não perceber as mesmas coisas num mesmofenômeno. Os índices de “curiosidade” e “intuição” de um observador podem ser superiores aos de outro.Quantos indivíduos não observaram o movimento dos astros? Quantos outros se dedicaram a questionar e aaventar possibilidades sobre esses movimentos?Em segundo lugar devemos considerar que os dispositivos utilizados para uma observação podem sertambém diferentes, mesmo o “olho nu” (um observador pode enxergar mais que outro). Galileo passou aenxergar um pouco mais longe que seus contemporâneos quando em 1610, apontou uma luneta para o céu5.Nessa época, presenteou ainda as ciências biológicas com a invenção do microscópio6.Atendendo a uma necessidade inerente ao ser humano, pensadores se puseram a questionar as nossasorigens, a conjeturar sobre o nosso destino e a justificar e explicar os fenômenos observados. Iniciou-se, assim, oprocesso da “construção de quadros ordenados e explicativos dos fatos reais” (ver Introdução). No século XVII,com Galileo especialmente, teve início uma nova era nas ciências físicas: a da ciência experimental. A intuiçãodos indivíduos, combinada com lógica, estabelecia leis físicas que só seriam acreditadas mediante a suaverificação experimental (veja na Introdução a seção “Lei Natural”). O empirismo dava lugar ao científico.§ 02 – DOMÍNIOS E SISTEMAS DE REFERÊNCIAA lógica e a experiência mostraram que, em geral, para a compreensão científica de um fenômeno físicoera necessário (mas não suficiente) referi-lo a algum corpo considerado suficientemente “rígido” em relação aofenômeno a estudar. O estudo (realmente científico) do movimento dos corpos – movimento esse presente empraticamente todos os fenômenos físicos – foi a origem desse processo evolutivo ao qual, século após século, sãoacrescentadas novas concepções.Alem do nome de Galileo, poucos outros nomes estão ligados a esses desenvolvimentos, ainda no séculoXVII; são: Descartes, Fermat, Newton e Leibnitz. A Descartes coube a glória da exploração do “eixo” – uma retaorientada aos pontos da qual se associam números; com isso ele desenvolveu a geometria de posição, dita, hoje,Geometria Analítica. A evolução desse conceito pode ser apreciada na bela obra de Caraça [8]. A Fermat,Newton e Leibnitz, independentemente um do outro, couberam a invenção do Cálculo Infinitesimal. Mas coube aNewton um desenvolvimento maior: a utilização do seu “Cálculo dos Fluxões” (nomenclatura já utilizada porGalileu) na teorização da sua mecânica, já há muitos anos conhecida como “Mecânica Newtoniana”.5 Bassi, Achille: Galileu Galilei, análise do homem e de sua obra no IV centenário de seu nascimento, KRITERION, Revista da Faculdadede Filosofia da Universidade Federal de Minas Gerais, vol. XVIII, p. 65-196, 1965.6 Bassi, Achille, o.c., p. 108.É precisamente recorrendo à Geometria Analítica e ao Cálculo Infinitesimal que, desde o século XVII,vêm sendo estudados os fenômenos físicos. Estes ocorrem, em geral, numa região tridimensional bemdeterminada do espaço físico, isto é, num domínio tridimensional. Em muitas situações, com algumaaproximação, essas regiões são bidimensionais e, também, unidimensionais. Em qualquer caso, essas regiões
  • 22. 2 § 03 – Domínios chatos de fenômenosI, §03.03serão ditas, doravante, o “domínio do fenômeno” e requerem uma definição precisa, feita pela GeometriaAnalítica.O estudo de um fenômeno físico é, então, sempre feito em relação a um ou mais sistemas cartesianos(rígidos) de coordenadas, fixos ou não; e em relação a um deles deve ser referido o domínio do fenômeno para asua perfeita definição. Isto significa poder-se determinar com precisão a posição de um ponto qualquer dodomínio. Como os fenômenos podem variar no tempo, admite-se que a qualquer sistema de coordenadas estejaassociado um cronômetro para a marcação do tempo. O conjunto sistema de coordenadas e cronômetro costumaser denominado um sistema de referência. Os cronômetros marcam tempos absolutos, isto é, em todos ossistemas, fixos ou não, os tempos dos observadores são numericamente idênticos. A um sistema de referênciaestão associados “observadores”, isto é, pessoas que estudam algum fenômeno fazendo medidas (de tempos,distâncias, grandezas físicas diversas) em relação a esse sistema; algumas vezes um sistema é dito: "sistema doobservador".§ 03 – DOMÍNIOS CHATOS DE FENÔMENOS§ 03.01 – UnidimensionaisO domínio de um fenômeno pode ter “natureza retilínea”, a ele estando associada uma reta; é o caso, porexemplo, do estiramento de uma barra de ferro de construção. Para esses domínios, um simples segmento de retaorientado, de comprimento conhecido, paralelo à reta associada ao fenômeno, e externo ao domínio (não ligado àbarra, no exemplo), pode ser adotado como referência para se definirem seus pontos; por isso são ditosunidimensionais.§ 03.02 – BidimensionaisA um domínio de “natureza plana” está associado um plano: é o caso do estiramento de uma chapa deaço, de espessura constante, em duas direções ortogonais, aplicando forças no “plano médio” da chapa7. Doislados quaisquer de um triângulo (qualquer) conhecido, paralelo ao plano médio da chapa (não contidofisicamente nesse plano), constituem uma referência suficiente para se expressarem as posições dos pontos doplano em que ocorre o fenômeno. Para tal, entretanto, é necessário escolher-se um critério conveniente. Esteconsiste: primeiro, em adotar-se como origem de dois eixos orientados, o vértice do triângulo relativo aos ladosescolhidos, cada eixo disposto segundo a reta suporte de um lado; segundo, comprovar-se que o ponto ficaunivocamente determinado pelas suas (duas) distâncias aos eixos quando estas são medidas nas direçõesparalelas a estes eixos. Estes sistemas são os clássicos "sistemas de coordenadas cartesianas retilíneas noplano" (na Geometria de Descartes); os domínios correspondentes são ditos bidimensionais.§ 03.03 – TridimensionaisPor indução, se um domínio é de “natureza espacial”, não precisaremos mais que três arestas quaisquerde um tetraedro (qualquer), concorrentes num mesmo vértice, para constituir um "sistema de coordenadasretilíneas no espaço". Basta tomarmos aquele vértice como origem de três eixos orientados construídos sobre asarestas do tetraedro. Nesse caso, a posição de um ponto qualquer do espaço ficará univocamente determinadapelas (três) distâncias desse ponto aos planos coordenados, medidas segundo a direção das arestas do tetraedro.Não é demais ressaltar que o domínio, em si, dito tridimensional não deve exercer qualquer influência sobre osistema de coordenadas porque este deve ser conservado "rígido" ao longo do acontecimento do fenômeno.Exemplos. Uso de sistema de coordenadas retilíneasEsses domínios são ditos chatos8 (no sentido de não apresentarem curvatura): unidimensionais,bidimensionais e tridimensionais; abreviadamente escreveremos: domínios 1D, 2D e 3D, respectivamente. Oadjetivo "chato" ou "sem curvatura", advém do fato de para se ir de um ponto a outro do domínio percorrendo7 O leitor deve assimilar intuitivamente, em consignação, a parte física do fenômeno, bem como possíveis “aproximações”, como oreferido plano médio.8 O leitor mais culto não deverá associar o conceito de curvatura aqui interessado com o conceito de "curvatura de espaço" comoapresentado na Geometria Diferencial.
  • 23. § 03.03 – TridimensionaisCampos Tensoriais - Ruggeri3a menor distância, deve-se fazê-lo percorrendo o segmento de reta (pertencente ao domínio) que une os doispontos. Nos domínios curvos isto não será possível.Em geral os eixos dos sistemas cartesianos retilíneos escolhidos sãoperpendiculares entre si (os triângulos de referência são triângulos retângulos e ostetraedros são pirâmides triretangulares com três faces ortogonais, e ficam virtualmenteespecificados); o caso tridimensional é apresentado na Figura I,1.Nos sistemas cartesianos retilíneos os pontos são definidos, então, por suascoordenadas retilíneas e estas são classicamente denotadas por x, y e z, ou X1, X2 e X3;quando o sistema é ortogonal, essas coordenadas representam as distâncias do pontoaos planos coordenados (XY, YZ e ZX). Os pontos de coordenadas X=constantepertencem todos a um plano paralelo ao plano coordenado (Y,Z); idem, mutatismutandis, para Y=constante e Z=constante.*Exemplo 1:Suponhamos que o domínio de um dado fenômeno seja a reta paralela a uma direção conhecida e quepasse pelo ponto B do espaço. Como especificar a posição do ponto corrente dessa reta?Solução:A primeira providência é escolher o sistema de referência mais conveniente para a especificação. Prática etirocínio geralmente auxiliam muito nessa escolha. A primeira opção seria, evidentemente, escolher a própria retaassociada ao fenômeno - que passa por B e é paralela à direção dada - como um dos eixos do sistema; e nessecaso bastaria esse eixo uma vez que não interessa considerar pontos não contidos nessa reta. Denotemos por X3esse eixo e escolhamos uma origem qualquer sobre ele para especificar as abscissas que definirão os pontos dareta. O ponto B tem abscissa conhecida; seja ela B3. Então, o ponto corrente da reta, de abscissa X3 será dadopor: X3=B3t, onde t é um parâmetro (variável) a cada valor do qual corresponderá um ponto sobre a reta. Parat=0, X3=0; para t=1, X3=B3 etc.. Deve ser observado que nessa equação não aparece (por desnecessário que é)nenhum representante da direção conhecida; isso já foi eliminado na escolha do eixo de referência.Se não for possível adotar a direção conhecida como um dos eixos do sistema de referência, a resoluçãodo problema fica ligeiramente mais trabalhosa. Nesse caso, escolhemos um sistema retilíneo qualquer, O-X1X2X3, determinamos as coordenadas B1, B2 e B3 de B e as coordenadas do vetor unitário de sentido arbitrário,aˆ , cuja direção, porém, coincida com a direção conhecida. Essas coordenadas, conforme sabemos, são os co-senos diretores da direção. Se medirmos os ângulos α1, α2 e α3 que o vetor unitário faz com os eixos OX1, OX2e OX3 do sistema, poremos: A1=cosα1, A2=cosα2, A3=cosα3. Então raciocinamos da seguinte maneira. Se x é ovetor posicional do ponto X da reta e b o do ponto B, então, necessariamente, o vetor BX = x-b é paralelo aovetor aˆ . Devemos escrever: x-b=λ aˆ , o parâmetro λ devendo ser ajustado (ou determinado) para o ponto Xescolhido. Se X for um ponto corrente, λ será um parâmetro variável, o que torna x-b=λ aˆ uma equação; esta é aequação vetorial paramétrica da reta associada ao fenômeno.Se denotarmos por X1, X2 e X3 as coordenadas do ponto corrente X em relação ao sistema escolhido, aequação vetorial paramétrica da reta será equivalente ao sistema+λ=+λ=+λ=.BAXBAXBAX333222111As equações desse sistema são as equações cartesianas paramétricas da reta9.Se for A1≠0, A2≠0 e A3≠0, poderemos eliminar o parâmetro entre as equações paramétricas e obter asequações da reta na forma dita "simétrica":λ=−=−=−333222111ABXABXABX.9 A notação mais comumente usada é X para X1, Y para X2, Z para X3 e análogas para os A’s e B’s.
  • 24. 4 § 03 – Domínios chatos de fenômenosI, §03.03O leitor poderá interpretar o caso em que um (ou dois) dos co-senos diretores é nulo. Qual é aconfiguração do domínio quando o parâmetro fica condicionado a variar num intervalo fechado dado?Exemplo 2:Suponhamos que o domínio de dado fenômeno seja um plano. Esse plano pode ser definido de váriasmaneiras, tudo dependendo da situação em que nos encontremos. Podemos considerar os casos mais comunsseguintes: 1) - o plano deve passar por um ponto dado, C, e ser paralelo a duas direções dadas (distintas, éevidente); 2) - o plano está definido por três pontos dados (pontos não colineares, evidentemente); 3) - o planopassa por um ponto dado e é ortogonal a uma direção dada.Solução:Para a resolução de qualquer um dos três problemas propostos devemos escolher de forma convenienteum sistema O-X1X2X3 para referência. No item 1) do problema, o ponto dado está definido pelo vetor c e temcoordenadas C1, C2 e C3. As direções dadas devem estar especificadas pelos seus co-senos diretores (tal como noexemplo 1), isto é, pelas coordenadas de dois vetores unitários: aˆ , de coordenadas A1, A2, A3 e bˆ decoordenadas B1, B2 e B3. Se esses unitários forem aplicados no ponto C, ambos estarão contidos no planodomínio do fenômeno; e por hipótese, não são paralelos. Se x é o vetor posicional do ponto X do plano, o vetorx-c, contido no plano do domínio, poderá ser decomposto segundo os unitários aˆ e bˆ (porque eles formam umabase nesse plano). Então, para X, existirão dois números, λ1 e λ2 tais que x-c=λ1 aˆ +λ2 bˆ . Se o ponto X for umponto corrente do plano, λ1 e λ2 serão valores genéricos dos parâmetros, a cada posição de X correspondendo umpar; e x-c=λ1 aˆ +λ2 bˆ se tornará uma equação: é a equação vetorial paramétrica do plano. Se X1, X2, X3 são ascoordenadas de X, a equação vetorial paramétrica será equivalente ao sistemaλ+λ=−λ+λ=−λ+λ=−.BACXBACXBACX231333221222211111As equações desse sistema são as equações cartesianas paramétricas procuradas do plano em questão; emostram que cada coordenada do ponto genérico do plano é função linear de dois parâmetros independentes.Relembrando que os vetores x-c, aˆ e bˆ são coplanares podemos, também, escrever que o produto mistodeles é igual a zero, isto é, ((x-c) aˆ bˆ )=0. Essa é a equação vetorial geral do plano. Em coordenadas cartesianasortogonais esse produto é equivalente ao determinante0BBBAAACXCXCX321321332211=−−−.Desenvolvendo esse determinante pelos elementos da primeira linha, aplicando o teorema de Laplace, edenotando por K1, K2, K3 e K os coeficientes de X1, X2, X3 e o termo independente, vê-se que o determinanteacima é equivalente a uma equação do tipoK1X1+ K2X2+ K3X3+K=0,os Ki não podendo ser simultaneamente nulos porque os unitários aˆ e bˆ não são paralelos. Esta equação édenominada "equação cartesiana geral do plano".Para a resolução do item 2) do problema vamos denotar por a, b e c os vetores posicionais (não unitários)dos pontos dados A, B e C, vetores esses co-iniciais com a origem O do sistema e não coplanares (por hipóteseos pontos não são colineares). Se x é o posicional de um ponto X, os vetores x-a, b-a e c-a (todos de origem A)estão contidos no plano do domínio do fenômeno; logo, o produto misto deles é igual a zero: ((x-a)(b-a)(c-a))=0.Se X for um ponto variável do plano, esta expressão deverá ser satisfeita para todos os pontos desse plano e serádita a equação vetorial do plano (não recebendo nome especial). Estando os vetores expressos por suascoordenadas em relação ao sistema O-X1X2X3, essa equação vetorial é equivalente ao determinante
  • 25. § 03.03 – Tridimensionais 5Campos Tensoriais - Ruggeri0ACACACABABABAXAXAX332211332211321=−−−−−−−−−.Desenvolvendo-se o determinante acima, poder-se-á obter a equação geral do plano. Aplicando propriedades dosdeterminantes pode ser demonstrado que01CCC1BBB1AAA1XXX321321321321= ,uma forma fácil de ser memorizada e de aplicação imediata para a resolução do problema.Para a resolução do item 3) do problema, sem maiores delongas, vamos considerar um ponto B, a direçãoaˆ e o ponto corrente X do plano. Como os vetores x-b e aˆ são ortogonais, a equação vetorial desse plano é (x-b). aˆ =0. Em coordenadas cartesianas teremos a equação cartesiana geral do plano:A1X1+A2X2+A3X3+D=0, com D=b. aˆ .O termo independente D é a distância da origem O ao plano do domínio.Se sobre o plano do fenômeno, no caso do item 1), tomarmos o ponto C como origem e eixos segundo osunitários aˆ e bˆ , os pontos do plano do domínio do fenômeno, para λA≤λ1≤λB e λC≤λ2≤λD, seriam não exterioresa um paralelogramo cujos lados fossem os vetores (λB-λA) aˆ e (λD-λC) bˆ .Em cada um desses problemas poderíamos esboçar a configuração do domínio se os parâmetros ficassemcondicionados a variar (continuamente) dentro de intervalos fechados dados. Poderíamos, também, ao fazer essesesboços, comparar as dificuldades com o caso em que o sistema de referencia pudesse ser estabelecido sobre oplano.*Se, finalmente, o domínio fosse 3D, ele seria todo o espaço. Havendo restrições quanto à variação dascoordenadas o domínio poderá ser um: semi-espaço quando limitado por um plano, ou por um par de planosparalelos; prisma quando limitado por dois pares de planos paralelos; paralelepípedo quando limitado por trêspares de planos paralelos.*Domínios chatos em engenharia.Em engenharia são muito comuns os domínios chatos (uni, bi e tridimensionais), em geral representandoo espaço ocupado por um corpo compacto. É o caso das chapas, vigas, pilares, lajes etc.. Para o estudo desseselementos é adotado, necessariamente, um sistema de coordenadas: um apenas, às vezes dois. No caso de doissistemas, um deles costuma ser um sistema global; o segundo, um sistema localizado em algum ponto especialque interesse destacar.Em algumas abordagens a especificação matemática do domínio é tão óbvia que o sistema de referêncianão merece destaque especial; mas em algum instante, no desenvolvimento dos estudos, esta especificaçãoaparecerá.Considere um pilar em forma de prisma reto, de seção quadrada constante de lado 2a, de eixo vertical ealtura h. Adotemos o eixo desse prisma para eixo z do sistema global, com origem O no centro do quadrado dabase do pilar e com sentido positivo ascendente. Adotemos, ainda, as paralelas aos lados do quadrado para eixosx e y, com origem O e com sentidos arbitrários, mas escolhidos de forma que o sistema O-xyz seja positivo. Ospontos do domínio serão aqueles cujas coordenadas x, y e z satisfaçam às desigualdades seguintes: -a≤x≤a, -a≤y≤a e z≤h. As fronteiras do domínio são os planos de equações: x=a, x=-a, y=a, y=-a, z=0 e z=h.Para o estudo de uma viga é comum se adotar para referência local, em uma seção da mesma, oschamados “eixos centrais principais de inércia da seção”, assunto este tratado nos cursos de “Resistência dos
  • 26. 6 § 04 – Domínios curvos de fenômenosI, § 04.01Materiais”. É preciso que o candidato a engenheiro esteja preparado para entender essa atitude porque, emrelação a esse sistema local, as fórmulas deduzidas para expressar o que interessa (tensões, deslocamentos etc.)são mais simples que em relação a outros. Assim, se a seção da viga é um retângulo, esses eixostêm origem no centro de gravidade (cg) da seção – o ponto de interseção das diagonais doretângulo – e os eixos são paralelos aos lados. Mas se a seção for um “T” a determinação do cg éum pouco mais trabalhosa, mas nada complicada. Uma seção em forma de C, ou U pode tornar aquestão ainda mais delicada. Em outras situações, como nas “Estruturas Metálicas”, as seçõesdas peças, por algum motivo relevante, devem ser “compostas”. Imagine o leitor a complicaçãodo problema da determinação dos eixos centrais principais de inércia de uma seção composta deum perfil em C com outro em L, dispostos de alguma maneira um em relação ao outro (FiguraI,2).§ 04 – DOMÍNIOS CURVOS DE FENÔMENOS§ 04.01 – UnidimensionaisO domínio de um fenômeno pode ter “natureza curvilínea” e ser 1D; é o caso, por exemplo, doestiramento de um anel fino (diâmetro muito pequeno em relação ao seu perímetro) causado por forças internasde expansão. Nesse caso, existe uma curva associada ao fenômeno; e para deslocar-se (do ponto de vista físico)de um ponto a outro do domínio (sem sair do domínio) só se pode fazê-lo segundo a curva do domínio (daí eleser considerado curvilíneo).Curva planaSe a curva associada ao fenômeno for plana, os seus pontos poderão ser definidos de algumas maneiras.Primeiro, adotando-se um sistema de coordenadas retilíneas no plano da curva. Nesse caso, conformesabemos da Geometria Analítica (abreviadamente, GA), o ponto genérico do domínio pode ser definido por suas(duas) coordenadas cartesianas expressas em função de um parâmetro λ. Esse parâmetro pode ser o comprimentodo arco de curva; nesse caso dizemos que as coordenadas estão “parametrizadas em relação ao comprimento dearco da curva”. Mas esse parâmetro pode ser também, outra variável, como o tempo.Segundo, adotando-se um sistema de “coordenadas polares” no plano da curva. Nesse caso, o pontogenérico é definido por suas coordenadas polares (ρ,θ), em que ρ é o raio vetor do ponto – distância do ponto aum ponto origem arbitrário e fixo, escolhido no plano da curva – e θ é o ângulo polar – o ângulo que o raio vetorforma com uma direção arbitrariamente escolhida e fixa no plano da curva. Tal como anteriormente, essascoordenadas devem ser funções conhecidas de um mesmo parâmetro λ. Notando-se que existem as relaçõesθρ=θρ=senycosxficam imediatamente determinadas as equações cartesianas paramétricas da curva em função do mesmoparâmetro λ. Inversamente temos, das equações anteriores:=θ+=ρxytgyx 222podendo-se, assim, determinar as equações polares paramétricas da curva.Muito embora a curva pertença a um plano, a quantidade de parâmetros que define o seu ponto genériconesse plano é que estabelece a dimensão do domínio do fenômeno; no caso, 1: o parâmetro λ. O conhecimentodo intervalo de variação do parâmetro definirá a fronteira da curva (ou do domínio do fenômeno).
  • 27. § 04.01 – Unidimensionais 7Campos Tensoriais - RuggeriEm qualquer um dos dois casos, pela eliminação do parâmetro (quando possível) entre as duas equaçõesque expressam as coordenadas (cartesianas ou polares) poderemos obter a equação cartesiana e a equação polarda curva associada ao fenômeno. Como o intervalo de variação do parâmetro define o intervalo de variação dascoordenadas do ponto, pela equação cartesiana ou pela polar estarão também definidas as fronteiras do domíniodo fenômeno.*Exemplo 3:O domínio de um fenômeno é a curva (plana) de equações paramétricasθ=θ=sen5,1ycos5,1xem que o parâmetro θ varia no intervalo (0,2π). Essa curva é uma circunferência de centro na origem do sistemade coordenadas e raio igual a 1,5 e está esboçada no plano xy da Figura I,4. Sua equação cartesiana é obtida poreliminação de θ entre as equações paramétricas: 2225,1yx =+ ; e sua equação polar é ρ=1,5.Exemplo 4:O domínio de equações paramétricasθ=θ=sen5,1ycos2x, é a elipse de equação cartesiana: 15,1y2x2222=+ ,e está esboçada no plano xy da Figura I,5. A equação polar dessa elipse não costuma ser usada com muitavantagem (exceto no estudo do movimento dos astros, em Mecânica, adotando-se como origem um dos focos).Vamos deduzi-la tendo como origem o centro da elipse. Tem-se θ+θ=+ 222222senbcosayx para a=2 eb=1,5. Lembrando que: a2+b2=c2, c/a=e é a excentricidade da elipse (no caso e=1,25), cos2θ=cos2θ-sen2θ esen2θ=(1-cos2θ)/2 resulta a equação polar: 2ρ2=a2[(2-e2)cos2θ+e2].Exemplo 5:Consideremos o domínio plano de equações paramétricas (θ=λ)θθ=θθ=sen2ycos2x, cuja equação cartesiana é 222)xyarctg2(yx =+ .A equação polar desse domínio é bastante simples: θ=ρ 2 (pois 2222)2(yx θ=+=ρ ). Este domínio é a“espiral de Arquimedes” e está esboçada no plano xy da Figura I,6.*Curva reversaSe a curva associada ao domínio em que ocorre o fenômeno for reversa, ou espacial, os seus pontos,segundo a GA, poderão ser definidos por suas 3 coordenadas cartesianas retilíneas expressas como funções dadasde um parâmetro (eventualmente, o comprimento do arco da curva medido a partir de um ponto origem arbitradosobre a curva); é o caso, por exemplo, de uma mola em forma de hélice cônica (Figura I,6). Mais uma vez podeser observado que, embora a curva seja espacial, a quantidade de parâmetros que define o seu ponto genérico (dodomínio) ainda define também a sua dimensão: 1. Entretanto, não terá sentido aqui a eliminação do parâmetroentre as três equações, apenas entre pares delas. Com cada par obter-se-á a projeção da curva sobre cada um dosplanos coordenados paralelamente à interseção dos outros dois. O conhecimento do intervalo de variação doparâmetro definirá a fronteira da curva (ou do domínio do fenômeno), muitas vezes contemplada pelas projeçõesda curva sobre os planos coordenados.Esses assuntos são tratados nos bons livros de GA, sendo desejável que o leitor tenha bom conhecimentodos mesmos porque não nos ocuparemos deles aqui em detalhes.
  • 28. 8 § 04 – Domínios curvos de fenômenosI, §04.01Em muitas situações os domínios têm “feições especiais”, tornando-se mais prático expressar ascoordenadas cartesianas retilíneas dos pontos do domínio de forma a detectar essas feições. Consideraremosapenas os domínios com feições cilíndricas, cônicas e esféricas.*Exemplos. Uso do sistema cilíndrico de coordenadasSe a mola atrás referida tivesse natureza helicoidal cilíndrica seria mais vantajosa a adoção das coordenadascilíndricas para especificar-se o ponto genérico desse domínio, porque ele tem “naturezacilíndrica". O domínio destes tipos de fenômeno apresenta uma direção preferencial: a dageratriz da superfície cilíndrica inerente. Imaginemos, então, uma reta z no espaço,paralela à direção preferencial característica da natureza (cilíndrica) do fenômeno, masnão rigidamente ligada ao fenômeno; e sobre essa reta fixemos um ponto O.Sabemos que existe uma e apenas uma superfície cilíndrica circular de eixo z quecontem dado ponto P do espaço. Conduzamos por O o plano perpendicular a z, sobre oqual vamos também fixar arbitrariamente dois eixos perpendiculares, Ox e Oy, queformem com Oz o triedro positivo O-xyz, (Figura I,3). Observemos o plano Oxy do semi-espaço para o qualaponta o eixo Oz, no sentido contrário a Oz. Se denotarmos por P a projeção ortogonal de P sobre o plano O-xy,o ângulo θ de que é necessário girar o eixo Ox, no sentido anti-horário, para que ele coincida com a direção OP éuma coordenada angular do ponto P. Se P" é a projeção ortogonal de P sobre o eixo Oz, todos os pontos dosegmento PP" estão à mesma distância z do plano xy e suas projeções sobre o plano xy definem com O, direçõesque formam o mesmo ângulo θ com Ox. Entretanto, se considerarmos a distância r de P a O como uma terceiracoordenada de P, este ficará definido nesse sistema, de modo unívoco, pelo conjunto dos três números: r, θ e z;esses números, assim determinados, são as coordenadas cilíndricas do ponto P.Porém, não se vai confundir coordenada cilíndrica de um ponto do domínio com um domínio cuja curva seja uma“curva cilíndrica”, isto é, uma curva contida numa superfície cilíndrica. Assim, o domínio poderia ser uma hélicecircular, uma curva contida numa superfície cilíndrica circular, como a da Figura I,4; ou uma hélice elíptica, eestaria contida numa superfície cilíndrica elíptica, como a da Figura I,5; ou, finalmente, qualquer outra curva. Aespecificação de r, θ e z como funções de um mesmo parâmetro λ definirá essa curva.*Exemplo 6:O domínio de equações paramétricas:cartesianas:===0,25λz1,5senλy1,5cosλx, ou polares:λ=λ=θ=25,0z5,1r,
  • 29. § 04.01 – Unidimensionais 9Campos Tensoriais - Ruggeripara 0≤λ<2kπ (k inteiro positivo ou negativo), é a hélice circular, representada na Figura I,4. Todos os pontosda hélice pertencem à superfície cilíndrica cuja diretriz é a circunferência de centro na origem e raio 1,5 (verexemplo 3) e geratrizes paralelas ao eixo Oz.Exemplo 7:O domínio de equações paramétricas cartesianas:λ=λ=λ=5,0zsen5,1ycos2x,é, também uma hélice, mas elíptica; seus pontos pertencem todos à superfície cilíndrica cuja diretriz é a elipseapresenta no exemplo 4 e diretrizes paralelas ao eixo Oz (Figura I.5).Domínios cônicos e coordenadas cilíndricasExemplo 8:Vamos considerar, por outro lado, o domínio cujas equações paramétricas sejam:as cartesianasλ=λλ=λλ=3zsen2ycos2x,com 0≤λ<2kπ (k inteiro positivo ou negativo), das quaisdeduzimos as equações em coordenadas cilíndricas:λ=λ=θλ=3z2r.Este domínio está representado na Figura I,6. Sua projeção noplano xy é a espiral de Arquimedes, já referida no exemplo 5.Observemos que z/r=3/2. Isto significa que a reta que ligaum ponto qualquer da curva domínio à origem tem umainclinação constante (de 56°18’36”) com o eixo Oz, ou seja: acurva esta “enrolada” (desenvolvida) sobre uma superfície cônica, razão pela qual ela é dita uma “hélice cônica”.Não se confunda, pois, hélice cilíndrica com coordenadas cilíndricas de uma hélice cônica.*Uso do sistema esférico de coordenadasA curva associada ao fenômeno poderia ter, ainda, natureza esférica (por estar toda contida numasuperfície esférica), caso em que o sistema de coordenadas mais adequado para aespecificação do ponto genérico do domínio seria o esférico (Figura I,7). Podemosescolher como coordenadas (aproximadamente como no sistema cilíndrico): em vez dadistância de P ao plano xy, a distância R de P a O; o ângulo θ e, em vez de z, o ângulo φque o raio vetor OP faz com a sua projeção OP’ sobre o plano xy. O ponto P está, assim,univocamente determinado. Com efeito, consideremos a semicircunferência de raio R ecentro O, traçada no plano definido por OP e pelo eixo Oz, e situada no mesmo semi-espaço em que se encontra Oz. Todos os pontos dessa circunferência têm as mesmascoordenadas R e θ. Para especificar qualquer ponto P dessa circunferência, basta que definamos, no plano dessacircunferência, o ângulo φ que OP faz com sua projeção OP’ sobre o plano xy; nesse caso P terá as coordenadas(R,θ,φ). Se fizermos θ variar de 0° a 360° e φ de 0° a 180°, os pontos P distantes R de O pertencerão a um
  • 30. 10 § 04 – Domínios curvos de fenômenosI, § 04.01hemisfério de centro O e raio R. Se, ainda, fizermos R variar de 0 a Rmax, todos os pontos (Rmax,θ,φ) serão nãoexteriores a uma esfera de centro O e raio Rmax. Por isso mesmo a distância R e os ângulos θ e φ sãodenominados as coordenadas esféricas do ponto. Os ângulos θ e φ às vezes são ditos as "distâncias angulares"do ponto: θ é a longitude e φ a latitude. O hemisfério situado no mesmo semi-espaço que Oz é denominadohemisfério norte. Poderíamos obter os mesmos resultados com relação ao hemisfério situado no semi-espaçooposto ao de Oz, ou hemisfério sul. As latitudes são ditas, também, latitudes sul e latitudes norte.O domínio de um fenômeno poderia ser uma curva pertencente a uma superfície esférica; estas são ditascurvas esféricas. Uma curva esférica poderia ser especificada pelas suas equações paramétricas: 1) - esféricas, naforma: R=constante, θ=θ(λ) e φ=φ(λ); 2) - cartesianas: x=x(λ), y=y(λ) e z=z(λ). Estamos, pois, em face de umdomínio de natureza curvilínea e unidimensional (pois o ponto genérico do domínio do fenômeno depende deapenas um parâmetro). O conhecimento do intervalo de variação do parâmetro definirá os pontos-fronteira dodomínio sobre a superfície.Notando-se que existem as relaçõesφ=θφ=θφ=RsenzsencosRycoscosRxficam imediatamente determinadas as equações cartesianas paramétricas da curva se conhecidas as coordenadasesféricas do seu ponto genérico em função do mesmo parâmetro λ. Inversamente temos, das equações anteriores:=φ=θ++=R/zsenxytgzyxR 2222podendo, assim, determinar-se as equações esféricas paramétricas da curva.*Exemplo 9:O domínio de equações paramétricas cartesianasφ=θφ=θφ=RsenzsencosRycoscosRx,com R=2 e θ+φ=Kπ rad é uma curva reversa situada sobre asuperfície esférica de raio igual a 2 (Figura I,8 para K=3).Expressando θ em função de φ tem-se, para K=3:φ−=φ−=φπφ=φ−=φπφ=+.sen2)1(zsen2)1()-sen(Kcos2y2cos)1()-cos(Kcos2x1KK2KEssa curva é fechada bastando que 0≤φ≤2π rad. Tem-se: 0≤ x ≤2 (a curva está toda contida no hemisfériocorrespondente ao eixo negativo dos x), -1≤ y ≤1 (pela segunda equação, a curva é simétrica em relação ao planozx) e -2≤ z ≤2 (pela terceira equação, a curva é simétrica em relação ao plano xy). A equação da (curva) projeçãodessa curva esférica sobre o plano xy, paralelamente a z, pode ser obtida por eliminação de φ entre as duasprimeiras equações do sistema; obtém-se, lembrando que 2cos2φ = 1+ cos2φ: [x-(-1)K]2+y2=1, equação da
  • 31. § 04.01 – Unidimensionais 11Campos Tensoriais - Ruggericircunferência de centro ((-1)K;0) e raio 1 (Figura I,9 para K=3). O ponto O’ (Figura I,8) – um crunodo (pontocom duas tangente distintas) - corresponde ao valor φ=0 e tem coordenadas (2(-1)K;0;0).A equação da (curva) projeção da curva esférica sobre o plano yz é obtida por eliminação de φ entre aprimeira equação do sistema e a terceira. Substituindo-se na primeira o valor de 2cos2φ por 1+cos2φ e, emseguida, na expressão obtida, considerando-se a terceira equação, transpondo termos e simplificando, obtém-se:])1(2x[)1(2z KK2−+−−= , ou seja, x1)2(z K2−= , com x=-x+2(-1)K.A curva projeção é, pois, uma parábola de eixo OX, vértice O, foco em O, tendo por diretriz o eixo O z sendoO ponto simétrico de O em relação a O (não mostrado na Figura I,10). O parâmetro dessa parábola é p=(-1)Kpara K=3.Figura 1.11.a10A equação da (curva) projeção da curva esférica sobre o plano yz obtém-se por eliminação de φ entre a segundaequação do sistema e a terceira. Desenvolvendo sen2φ e considerando o valor de z obtemos: y=-zcosφ. Isolandocosφ nessa equação e senφ na terceira, elevando ambos os membros ao quadrado, somando membro a membro,simplificando, agrupando, somando e subtraindo 4 e observando-se a presença de um quadrado perfeito,encontramos:10 Adaptada do site www.mat.ufpb -lenimar)y1(4)2z( 222−=− .Esta curva plana, algo parecida com uma leminiscata, está apresenta na Figura I,11 para K=3.
  • 32. 12 § 04 – Domínios curvos de fenômenosI, §04.02Exercício:Comprove que a curva esférica em questão é a interseção da superfície esférica de centro na origem O eraio igual a 2 com o cilindro circular de eixo paralelo a Oz que tem como diretriz a circunferência de equação [x-(-1)K]2+y2=1 indicada na Figura I,9 para K=3, indicada espacialmente na Figura I.11.a.*Outros sistemas de referência e outros domíniosExistem outros sistemas de referência de uso pouco comum, cada um se prestando ao estudo defenômenos que ocorram em domínios com características geométricas diferentes das que aqui apresentamos. Porexemplo: o sistema chamado tórico ou toroidal, do qual vamos nos ocupar mais à frente.§ 04.02 – BidimensionaisUm domínio (de fenômeno) pode ter natureza curvilínea e ser 2D; é o caso, por exemplo, do equilíbriode um teto em forma de superfície curva (uma cúpula, ou concha, com uma pequena espessura, que cobre umaárea relativamente grande), sujeito à ação de forças, e apoiado convenientemente sobre alguns “pontos” ou sobrealgumas “linhas”.Quando um fenômeno é de natureza curvilínea e 2D devemos entender que ele ocorre em um conjuntodenso de pontos situados de um lado e outro (em torno) de uma superfície (que no jargão da engenharia é ditauma “superfície média”), como se essa superfície tivesse certa “espessura”. Imaginemos uma superfície aberta(esférica, digamos, Figura I,12) e seja p o perímetro da poligonal ou curva (no exemplo, um arco decircunferência) que define essa abertura. A espessura do domínio (um comprimento) deve ter um valor beminferior ao do perímetro em referência (digamos, da ordem de 5%), algo parecido com a espessura da casca dalaranja (esférica) em relação ao perímetro de um círculo máximo da laranja. Nesse caso podemos adotar as(duas) "coordenadas curvilíneas intrínsecas" dessa superfície para definir pontos da mesma, tal como adotamosum “paralelo” e um “meridiano” para definir um ponto sobre a superfície da Terra (§04.01).O comportamento mecânico de um vaso cilíndrico de aço (Figura I,13), cheio com algum material (um líquido,por exemplo) é enquadrado como um fenômeno que ocorre em domínio de natureza curvilínea e 2D, caso em queo uso do sistema cilíndrico de coordenadas é mais apropriado para a representação do domínio. A coordenada r,nesse caso, é a mesma para todos os pontos (na Figura I,13 é r=1). A quantidade de coordenadas de um pontoqualquer do domínio do fenômeno é 3, mas uma delas é constante; as outras duas coordenadas estarão definidasem função de dois parâmetros variáveis (θ e z), e 2 será a dimensão do domínio. Na Figura I,13, a variável zvaria de 0 até 4 e θ, de 0 a 2π.
  • 33. § 04.02 – BidimensionaisCampos Tensoriais - Ruggeri13Observe-se que, no caso de domínio cilíndrico unidimensional – caso, por exemplo, da solicitação de umamola helicoidal cilíndrica por uma força paralela ao eixo do cilindro – o número de coordenadas também é 3,mas o número de parâmetros é 1 (§02.02).O estudo de um tanque esférico para armazenamento de gás, sujeito a uma pressão interna, pertence àcategoria dos fenômenos de natureza curvilínea e 2D em que o sistema de referência mais adequado a utilizar é oesférico. Aqui, o número de coordenadas do ponto é três e a dimensão do domínio do fenômeno é dois.Ainda nesses casos, o conhecimento dos dois intervalos de variação dos parâmetros permitirá fixar aregião - um fragmento da superfície toda - onde ocorre o fenômeno.*Um domínio bidimensional de relativa importância na prática é o domínio de revolução. Este é definidopor qualquer curva (C) – dita geratriz - que gira em torno de um eixo z – dito eixo de rotação - sem interceptaresse eixo. Às vezes a curva (C) é uma poligonal. Um ponto qualquer da geratriz descreve uma circunferência deplano ortogonal ao eixo e centro na interseção deste com o plano; estas circunferências são ditas “os paralelos dasuperfície”. Os planos que passam pelo eixo cortam a superfície segundo curvas ditas “os meridianos dasuperfície”. Na maioria dos casos práticos a curva (C) é plana e seu plano contém o eixode rotação.Seja, então, yz o plano coordenado que contem a curva (C) de equação F(y,z)=0. Se P éum ponto qualquer da geratriz, quando esta girar em torno de z indo ocupar a posição P’(Figura I,14) sua distância ao eixo ficará constante e igual 22 yxd += . Assim, aequação da superfície de revolução gerada pela curva F(y,z)=0 do plano x=0 ao girar emtorno de z é: 0)z,yx(F 22=+ , isto é, esta equação é obtida da equação de (C)substituindo-se nela y por d.Os domínios de revolução podem ser adequadamente representados em relação a um sistema cilíndrico decoordenadas de que o eixo z seja o eixo de rotação e 22yxdr +== .*Exemplo: Qual é a equação da superfície de revolução gerada pela circunferência do plano yz, de centrona origem e raio R? Por ser r2=x2+y2e r2+z2=R2, a superfície tem por equação (x2+y2)+z2-R2=0 (superfícieesférica de raio R de centro na origem).*Exemplos. Uso dos sistemas cilíndrico e esféricoExemplo 1: (superfície tórica)Consideremos a Figura I,15 onde apresentamos a circunferência (y-a)2+z2=R2– de centro A sobre o eixox, distante a=3 da origem O, e raio R=1 – que, após girar do ângulo 90-θ (em relação a Oy) em torno de Oz teráseu centro em A’. O raio AP de inclinação φ sobre o plano xy irá a A’P’ com a mesma inclinação sobre xy. Ascoordenadas de P’ serão:φ=φ+=φ)+=Rsenz)senθRcos(aycosθRcos(ax, donde rxRcosad 22=+=+= yφ ,o sistema acima constituindo, então, as equações paramétricas da superfície tórica gerada para R=constante,0≤θ<2π e -π/2≤φ≤π/2. A Figura I,16 foi desenvolvida para a=3, R=1.
  • 34. 14 § 04 – Domínios curvos de fenômenosI, §04.02Exemplo 2:Consideremos a Figura I, 17 pela qual vamos agora determinar a superfície gerada pelo perímetro dotriângulo obtusângulo ABC, obtuso em A, com lado AB paralelo a z, quando ABC gira em torno desse eixo. Paraum giro de θ=90° esse triângulo encontra-se no plano yz. Denotemos por d a distância de AB a z, zC a cota de C,zA (>zC) a cota de A e Hz e Hy as medidas das projeções do lado BC sobre os eixos z e y, respectivamente. Umponto qualquer P sobre BC divide este lado do triângulo de forma que PB/CB=λ; e para 0≤λ≤1, P descreverátodo o segmento a partir de B.Quando o plano do triângulo gira em torno de z e atinge a posição definida pelo ângulo θ que faz com oplano xz, os pontos A, B, C e P ficam representados por A’, B’, C’ e P’. O ponto P’ é, assim, o ponto corrente dasuperfície de revolução gerada pelo lado BC do triângulo; e suas coordenadas podem ser deduzidas da FiguraI,17:
  • 35. § 04.03 – TridimensionaisCampos Tensoriais - Ruggeri15λ++=θλ+=θλ+=.H)1(zzsen)Hd(ycos)Hd(xzCyy, donde 2y22)Hd(yx λ+=+ .O ponto Q’, rodado de Q, tem a mesma coordenada y qye P. Este ponto Q’ é o ponto corrente da superfície derevolução gerada pelo lado AC do triângulo; e suas coordenadas são:−λ++λ=θλ+=θλ+=).zz)(1(zzsen)Hd(ycos)Hd(xCACyyNão é difícil comprovar-se que as coordenadas do ponto corrente R da superfície (cilíndrica) gerada pela ladoAB são:+λ+λ−=θ=θ=).zH(z)1(zdsenycosdxZzAUma pequena porção dessas três superfícies é apresentada na Figura I, 18 onde se pode notar o “miolo”triangular vazio. Na Figura I,19, feita em escala diferente da anterior, apresentamos o conjunto completo das trêssuperfícies.*§ 04.03 – Tridimensionais.É fácil, agora, entender que para o estudo de um domínio de forma curva e tridimensional se devaescolher um sistema conveniente, isto é, um sistema que melhor se adapte à geometria do domínio. É o caso, porexemplo, do estudo de um tarugo cilíndrico de aço sujeito a um momento de torção (equivalente a um binário deforças) de vetor paralelo ao eixo do cilindro, para o qual o sistema de referência mais adequado é o cilíndrico.Para o estudo dos fenômenos que ocorram numa esfera maciça o sistema mais indicado é o sistema esférico.Em todos esses casos o ponto genérico do domínio será definido por três funções, todas dependentes detrês parâmetros, cada parâmetro variando dentro de intervalos bem definidos. Com isso será possível delimitar aregião do espaço (um fragmento do espaço todo) onde ocorre o fenômeno.Na Figura I,20 apresentamos as superfícies laterais cilíndricas de um anel de parede espessa para r (raio)variando de 0,6 a 1. Na Figura I,21 apresentamos um tronco cilíndrico com θ variando de 0,1π a 0,9π. Assuperfícies que fecham esse domínio tridimensional são os planos (paralelos) z=0 e z=4 e dois outros planos quecontêm o eixo z.
  • 36. 16 § 04 – Domínios curvos de fenômenosI, §04.03Na Figura I,22 apresentamos um tronco esférico definido por quatro pontos quaisquer A, B, C e D da superfíciede raio (externo) r=re=1. As retas que ligam esses pontos ao centro O interceptam a superfície interna de raior=ri=0,9 em quatro outros pontos A’, B’, C’ e D’. Fica, pois, definido o tronco pelas seguintes superfíciesfronteira: as duas porções de superfície ABCD (externa) e A’B’C’D’ (interna) e as quatro superfícies planasdefinidas pelos quadriláteros curvilíneos ABA’B’, CDC’D, ACA’C’ e CDC’D’.Na prática, em situações específicas, quando a “espessura” desses domínios é muito pequena em relação ao raiodo tubo cilíndrico, ou raio da esfera, o domínio pode ser visto com boa aproximação como se tivesse duasdimensões.
  • 37. § 05.01 – Da necessidadeCampos Tensoriais - Ruggeri17Outro tipo de domínio que apresenta muito interesse prático é o gerado por dada superfície que giracircularmente em torno de um eixo sem interceptar esse eixo: são os domínios 3D de revolução. O anel daFigura I, 20 é um caso particular: aquele em que a superfície é um retângulo, com um lado paralelo a z, que giraem torno do eixo z. Da mesma forma, na Figura I,18, se considerássemos não o perímetro do triângulo, mas todaa área do triângulo. A esfera é o corpo sólido gerado por um círculo que gire em torno de um diâmetro. Se umcírculo gira em torno de um eixo que não o intercepte, ele gera um tóro, ou um anel de seção circular.§ 04.04 – Os domínios, na práticaNa prática da engenharia lidamos com todos esses domínios, muitas vezes sem nos percebermos daabordagem geral aqui apresentada. Estudamos, assim, pilares de forma prismática sem fazer referência direta àsequações dos seus planos fronteiras, mas elas são sempre indiretamente consideradas. Outro tanto sucede noestudo das molas, de muitas peças utilizadas em mecanismos, dos tetos em forma de abóbadas (cilíndricos,esféricos, em forma de quádricas regradas) etc.Os escoamentos de fluidos têm lugar dentro de um domínio cuja fronteira é conhecida. Fronteiras são,nesses casos, tubulações, canais de seções as mais diversas (retangulares, trapezoidais, circulares oucircularmente compostos etc.).Os silos – destinados a armazenarem líquidos e materiais granulares – têm formas as mais diversas, sendogeralmente compostos de um corpo cilíndrico e um fundo cônico.Os gases são geralmente armazenados em tanques esféricos e, em algumas situações, em cilindros de eixohorizontal com tampas esféricas.§ 05 – TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS§ 05.01 – Da necessidade da transformação.Em muitas situações – em geral, visando facilidades, como temos mencionado no § 01 – é convenienteequacionar-se um fenômeno em relação a um sistema de referência específico (que pode ser cartesiano, cilíndricoou esférico). Depois, por interessar a continuação dos estudos em relação a um segundo sistema, pode tornar-senecessário expressar as equações, leis, grandezas etc. nesse segundo sistema, do mesmo tipo do primeiro ou não.Genericamente, diremos que o primeiro sistema é o antigo e que o segundo, é o novo, independentemente danatureza deles. Veremos que, em geral, as grandezas em jogo num fenômeno (propriedades de materiais ou não)variam de um ponto para outro, dentro do domínio desse fenômeno. Se adotarmos um sistema cartesiano O-X1 X2 X 3 para referir o estudo, as grandezas serão funções de X 1, X 2 e X 3; mas X 1, X 2 e X 3 poderiam ser funçõesde um, de dois ou de três parâmetros, além do tempo, como veremos oportunamente (§02,III).Expressar as variáveis do fenômeno em relação a outro (novo) sistema cartesiano de referência O-X’1X’2X’3 significa efetuar uma transformação (linear) de coordenadas, ou efetuar uma substituição (linear) devariáveis nas expressões matemáticas das grandezas, segundo algum critério, trocando as variáveis antigas pelasnovas.No presente estudo introdutório, vamos considerar apenas as transformações de coordenadas de umsistema cartesiano ortogonal genérico, o antigo: S≡Sant≡O-X1X2X3, para um novo: S’≡Snovo≡O-X’1X’2X’3, ambos
  • 38. 18 § 05 – Transformação de coordenadasI, §05.02com origem comum (Figura I,23)11, O, e vetores unitários de base (triortogonais):{ 321ˆ,ˆ,ˆ eee } e { 321ˆ,ˆ,ˆ eee ′′′ }, respectivamente. Nesse caso, essas transformações sãolineares12.*Exemplo 1:Da Figura I,23, onde representamos duas bases ortonormadas, podemosdeterminar as coordenadas dos vetores unitários da base nova (são co-senos diretores)em relação aos vetores unitários da base antiga e dispô-las conforme indicado naTabela 1. Notar que 2ˆe′ pertence ao plano xOz.Tabela 1 - Coordenadas (co-senos diretores) dos vetores da base nova em relação à base antigaVetores 1ˆe 2ˆe 3ˆe1ˆe′ cosα cosθ cosα senθ senα2ˆe′ -senφ 0 cosφ3ˆe ′ cosα cosθ senφ -(cosα cosθ cosφ + senα senφ) cosα senθ senφNota Para que os vetores sejam ortogonais entre si é necessário que tgα=cosθ tgφO leitor poderá comprovar que essas bases são ortonormadas.*§05.02 - Mudança de coordenadas de um ponto, com mudança de baseConsideremos dois ternos de números: X1, X2, X3 e X1, X2 e X3, que representem coordenadas de ummesmo ponto do espaço em relação aos sistemas cartesianos ortogonais de referência S e S, respectivamente,com origem comum13, como os do Exemplo 1. Esse ponto pode ser representado também por seu vetorposicional r, independentemente dos sistemas porque a origem é comum. Podemos esperar existir certa relaçãoentre as coordenadas da extremidade de r num sistema e noutro porque com cada terno de coordenadas devemosexpressar o módulo, a direção e o sentido do (mesmo) vetor r. Podemos escrever:332211332211 ˆXˆXˆXˆXˆXˆX eeeeeer ′′+′′+′′=++= , (01),ou, simplesmente,jjii ˆXˆX eer ′′== , (i,j=1,2,3), (02),justificando-se a escrita indexada (02) desde que adotemos a seguinte convenção para essas escritas:Convenção somatória:Toda expressão monômia literal dada, contendo índices repetidos (como ii ˆX e ), éequivalente a uma soma de monômios semelhantes que se obtêm atribuindo-se aos índicesrepetidos, no monômio dado, todos os números de um conjunto previamente definido14.11 Numa exposição mais avançada, pode comprovar-se, que as origens não precisam ser necessariamente coincidentes, nem mesmoortogonais os eixos do sistema de referencia.12 Em estudos mais avançados essas transformações são feitas de um conjunto de variáveis para um outro, completamente arbitrário nasua forma geral, através de funções que respeitam certas condições (como: continuidade delas e de suas derivadas, de apresentaremjacobiano não nulo etc.).13 Numa exposição mais rigorosa, pode comprovar-se, que as origens não precisam ser necessariamente coincidentes, nem mesmoortogonais os eixos do sistema de referencia.14 É evidente que a escolha (arbitrária) do índice não altera a somatória, o que significa poder trocar os índices i ou j em (02) por k, p ouqualquer outra letra.
  • 39. §05.02 - Mudança de coordenadas de um ponto, com mudança de baseCampos Tensoriais - Ruggeri19Assim, multiplicando escalarmente ambos os membros de (02) por kˆe (para k=1, ou 2, ou 3), obtemos:)ˆˆ(X)ˆˆ(XXˆ kjjkiikk e.ee.eer. ′′=== , (03).Se denotarmos por Mjk o co-seno do ângulo dos vetores jˆe′ e kˆe , isto é, pondo,kjjkˆˆM e.e′= , (04),a igualdade (03) pode ser escrita na forma:3k32k21k1jkjkMXMXMXMXX ′+′+′=′= , (03.a),a cada valor de k correspondendo uma igualdade. Assim,,MXMXMXXMXMXMXXMXMXMXX333232131332322212123132121111′+′+′=′+′+′=′+′+′=(03.b).Usando notação matricial15, o sistema (03.b) pode ser escrito na forma:XXXMMMMMMMMMXXX321332313322212312111321′′′=. , (03.c),o que mostra de forma trivial que a transformação (substituição) das Xi nas Xi é linear.Por outro lado, multiplicando ambos os membros de (0.2) por kˆe′ , obtemos:15 Suporemos conhecida do leitor a álgebra (elementar) das matrizes.)ˆˆ(X)ˆˆ(XXˆ kjjkiikk e.ee.eer. ′′′=′=′=′ , (05).Lembrando que ikkiˆˆˆˆ e.ee.e ′=′ , então, conforme (04), podemos escrever: kiikki Mˆˆˆˆ =′=′ e.ee.e . De (05)deduzimos, assim,k33k22k11kiik MXMXMXMXX ++==′ , (05.a).Atribuindo a k, em (05.a), os valores 1, 2 e 3, obteremos três igualdades simultâneas que podem ser escritas naforma matricial:=′′′321333231232221131211321XXXMMMMMMMMMXXX. , (05.b).
  • 40. 20 § 05 – Transformação de coordenadasI, §05.03Para simplificar, usaremos as seguintes notações:}X{XXXantigo321=, }X{XXXnovo321=′′′, eMMMMMMMMMM333231232221131211= , (05.c).Assim, se MTrepresenta a transposta de M, (03.c) e (05.b) são escritas nas formas compactas respectivas:}X{M}X{ novoTantigo .= , (06),e}X{M}X{ antigonovo .= , (07).Como, por hipótese, os sistemas de referência são dados, a matriz M e sua transposta são conhecidas.*Exercício 1:Comprovar que a matriz M para os sistemas de referência apresentados no Exemplo 1,§05.01,considerando θ = α = π/3 rad (e utilizando 5 casas decimais), é=0,416020,90138-0,240190,2773500,96077-0,866030,433010,25000M .Exercício 2:Confirme que, se em relação ao sistema S um ponto tem coordenadas (2;3;5), então, em relação aosistema S, suas coordenadas são: (6,12918;-0,53479;-0,14366). (Solução: aplique (06)).*A expressão (07) dá, então, as coordenadas de r no sistema de referência novo, Snovo, desde que sejamconhecidas as coordenadas de r no sistema antigo, Santigo, além da matriz M (ou MT); as expressões (06) e (07)são inversas uma da outra.Conforme (04), kjjkˆˆM e.e′= , os números Mjk para j=1,2,3, são as coordenadas do vetor kˆe (da base deS≡Santigo) em relação à base de S≡Snovo; ou, para k=1,2,3, as coordenadas do vetor jˆe′ da base de Snovo emrelação à base de Santigo. Assim, a j-ésima linha de M (ou a j-ésima coluna de MT) é formada com as coordenadasde jˆe′ no sistema Santigo. Ou, o que é o mesmo: a k-ésima coluna de M (ou a k-ésima linha de MT) é formada comas coordenadas do vetor de base kˆe no sistema Snovo. Logo o elemento da j-ésima linha e k-ésima coluna damatriz produto M.MTé o número kj ˆˆ e.e ′′ , isto é, δjk (um dos deltas de Kronecker, valendo +1 se j=k e 0 se j≠k).Então, M.MT=I. Com um raciocínio análogo mostraríamos que MT.M=I. Então, por ser M.MT=MT.M=I, sendo Imatriz unidade de ordem 3, resulta MT=M-1; isto é, a matriz M é uma matriz de rotação.*Exercício 3:Comprove que a matriz M do exercício 1, relativa às bases apresentadas no Exemplo 1,§05.01, é matrizde rotação. Verifique se o determinante de M é igual a +1.*A matriz M cujas colunas são formadas com as coordenadas dos vetores de base de Santigo em relação aoSnovo é denominada: matriz de mudança de Santigo para Snovo. Inversamente, a matriz MTcujas colunas sãoformadas com as coordenadas dos vetores de base do sistema Snovo em relação ao sistema Santigo é denominadamatriz de mudança de Snovo para o Santigo.
  • 41. §05.03 – Relações entre as coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas de um pontoCampos Tensoriais - Ruggeri21§05.03 – Relações entre as coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas de umpontoNo §05.02 vimos como, conhecidas as coordenadas de um ponto num dado sistema cartesiano dereferência, determinar as coordenadas desse mesmo ponto num outro sistema cartesiano também dado. Interessatambém resolver esse mesmo problema quando os sistemas de referência possam ser cilíndricos e esféricos(§04.01, I) por razões já expostas.Relembremos (§04.01,I) que no sistema cilíndrico as coordenadas do ponto genérico são: (r,θ,Z); e noesférico: (R,θ,φ). Vamos associar ao ponto genérico, em cada sistema, vetores unitários, conforme mostrado nasFiguras I,24.a, I,24.b e I,24.c, que formam as bases positivas: { kji ˆ,ˆ,ˆ }, { kr ˆ,ˆ,ˆ θθθθ } e { Rˆˆ,ˆ ,,,,θθθθφφφφ }.No sistema cartesiano (Figuras I,24.a) o vetor unitário de base, iˆ , é paralelo ao eixo x e aponta no sentidopositivo desse eixo; o mesmo para jˆ que é paralelo a y e para kˆ que é paralelo a z, sendo todos aplicados naorigem.Nos sistemas: cilíndrico e esférico, os vetores de base são, tradicionalmente, aplicados no ponto genéricodo espaço. No cilíndrico (Figuras I,24.b), o vetor rˆ é paralelo ao raio vetor cuja extremidade é a projeção doponto sobre o plano xy e aponta no sentido dos r crescentes; o unitário θθθθˆ é tangente à circunferência cujo raio éo raio vetor citado anteriormente e aponta no sentido do crescimento do ângulo θ; e kˆ é paralelo a z e ponta nosentido positivo desse eixo (este é idêntico ao do sistema cartesiano).No esférico (Figuras I,24.c), o vetor Rˆ é paralelo ao vetor posicional do ponto e aponta no sentido docrescimento da distância do ponto à origem; o vetor θθθθˆ é idêntico ao do sistema cilíndrico e φφφφˆ é tangente àcircunferência de centro na origem, raio R, contida no plano definido pelo ponto e pelo eixo z, e aponta nosentido do crescimento do ângulo φIsto posto, é fácil ver que entre os vetores dessas bases existem as seguintes relações inversas, facilmentededutíveis:=kjikrˆˆˆ.RˆˆˆCiCaθθθθ , comθθ−θθ=1000cossen0sencosRCiCa e RCiCaT= RCiCa-1, (07),a matriz RCiCa – matriz de mudança da base cilíndrica (antiga) para a cartesiana (nova) – sendo uma matriz derotação (rotação de eixo z e ângulo θ);=krR ˆˆˆ.RˆˆˆEsCi θθθθθθθθφφφφ, comφφ1φ−φ=cos0sen00sen0cosR EsCi e REsCiT= REsCi-1, (08),em que REci é a matriz de rotação (rotação de eixo θθθθˆ e ângulo φ) do sistema esférico (antigo) para o cilíndrico(novo); e, evidentemente,
  • 42. 22 §06 – Sistema local e sistema global de coordenadasI, § 06.01=kjiR ˆˆˆ.R.RˆˆˆCiCaEsCiθθθθφφφφ, comφθφθφθθ−φθφθφ=cossensencossen0cossensen-sencoscoscosR.R CiCaEsCi , (09),o produto REsCi.RCiCa – um produto de matrizes de rotação – sendo a matriz de rotação REsCa do sistema esférico(antigo) para o cartesiano (novo), isto é:CiCaEsCiEsCa RRR = , (09.a).As inversas de (07), (08) e (09) são, evidentemente:=krkjiˆˆˆ.RˆˆˆTCiCa θθθθ ,=Rkrˆˆˆ.RˆˆˆTEsCi θθθθφφφφθθθθ e=Rkjiˆˆˆ.R.RˆˆˆTEsCiTCiCa θθθθφφφφ, (10).Assim, dado um ponto por seu vetor posicional decomposto cartesianamente em relação a cada um dos sistemas,as relações entre os três tercetos de coordenadas poderão ser facilmente determinadas.§06 – SISTEMA LOCAL E SISTEMA GLOBAL DE COORDENADAS.Os sistemas de coordenadas a que temos nos referido até o momento são ditos “sistemas globais decoordenadas” para diferençá-los dos sistemas, que vamos estudar agora, localizados no ponto genérico de umdomínio, mas que não são arbitrários. Tais sistemas – ditos sistemas locais de coordenadas - têm algum havercom a natureza do domínio, sendo isto, precisamente, o que os tornam úteis.Esse importante assunto – que simplifica substancialmente a solução de muitos problemas práticos – estarelacionado com a representação vetorial de curvas e superfícies, sendo estudado com detalhes nos cursos deCálculo Vetorial. Chegaremos ao que interessa considerar por meio de um roteiro que o leitor deverá aceitar emconsignação.§06.01 – Domínios unidimensionaisComecemos pela consideração de domínios unidimensionais e tomemos como exemplo a hélice circularapresentada no exemplo 6 do §04.01 (Figura I.4). O raio vetor do ponto genérico desse domínio é o vetor que,em relação à base vetorial fixa { kji ˆ,ˆ,ˆ }, ligada ao sistema global de eixos x, y e z, tem por expressão cartesiana:kjir ˆzˆyˆx ++= , as coordenadas x, y e z sendo dadas pelo sistema de equações paramétricas:λ=λ=λ=25,0zsen5,1ycos5,1x, (01).Sinteticamente, escrevemos: r=r(λ) porque x, y e z são funções da variável λ que, por hipótese variacontinuamente dentro de um intervalo dado (aberto, fechado ou aberto de um lado só). Isto, como foi visto, fixaas fronteiras (pontos) do domínio (e várias situações podem acontecer).Vamos inicialmente “parametrizar” as equações da curva em função do comprimento de arco. Para taldevemos calcular o comprimento do arco de hélice compreendido entre dois dados valores de λ: digamos, λ1 eλ2. Tem-se, sem delongas, muito facilmente, diferenciando as equações paramétricas:)(52069,1d25,0)sen(cos1,5ddz)(dy)((dx)s 122222222 2121λ−λ≅λ+λ+λ=λ++= ∫∫λλλλ,
  • 43. §06.01 – Domínios unidimensionais 23Campos Tensoriais - Ruggerimas nem sempre o cálculo das integrais é assim tão fácil. Admitindo-se λ1=0 e λ2=λ podemos substituir nasequações paramétrica o valor de λ por s, resultando:=====s1644,0z)s6576,0(sen5,1)52069,1s(sen5,1y)s6576,0cos(5,1)52069,1scos(5,1x, (02),o que significa, agora, que r=r(s).Tangente, normal principal e plano osculadorA derivada de r em relação a s,kjir ˆdsdzˆdsdyˆdsdxdsd ++= , (03),calculada para um valor qualquer de s, digamos s=s0, é obtida derivando-se x, y e z em relação a s e depoissubstituindo-se (nas expressões obtidas) s por s0. Esse vetor é tangente à hélice no ponto s=s0 sendo, por issomesmo denominado vetor tangente; e sua direção é a direção de um dos eixos do sistema local de coordenadasque pretendemos estabelecer. O unitário desse vetor constituirá o vetor de base associado a esse eixo. Tem-se:)s6576,0(sen98639,0dsdx−= , )s6576,0cos(98639,0dsdy= , 1614,0dsdz = ,sendo estas derivadas os co-senos diretores da tangente, ou as coordenadas do unitário tˆ do vetor tangente àcurva, ou seja:dsdˆ rt = , (04).Isso pode ser comprovado numericamente, bastando elevar ao quadrado cada uma das derivadas e somar osresultados (obtendo-se o número 1).Intuitivamente percebe-se que ao dar-se um pequeno acréscimo ∆s ao valor do arco, a partir de s0, ascoordenadas do novo unitário, 2ˆt , mudam de valor, isto é, em s0+∆s temos um novo unitário tangente à curva.Em linguagem mecânica, mas não rigorosa, dizemos que o unitário tˆ (relativo a s0) e o do “ponto seguinte”(relativo a s0+∆s), 2ˆt , definem um plano nas vizinhanças de s0; este é denominado plano osculador da curva noponto. Esses dois vetores (definidores do plano osculador), cuja diferença é ttt ˆˆˆ 2 −=∆ , formam certo ângulo(medido em radianos) que depende do comprimento (medido em metros) de arco ∆s considerado; e ∆ tˆ apontasempre para o interior da curva. Como os vetores consecutivos são unitários, ∆ tˆ é, em módulo,aproximadamente igual ao ângulo (medido em radianos) de que girou a tangente a partir de s0; assim, |∆ tˆ | medeo quanto a curva se flexionou no plano osculador. Como existe continuidade na curva, existe também o vetorlimite, n, paralelo a ∆ tˆ , quociente da variação de ∆ tˆ para o comprimento do arco ∆s (que dá a “quantidade deflexão” da curva no ponto, por unidade de comprimento de arco, no plano osculador). Então:dsˆdsˆlim0sttn =∆∆=→∆; e lembrando a expressão de tˆ :dsd)dsd(dsd 2rrn == , (05).
  • 44. 24 §06 – Sistema local e sistema global de coordenadasI, §06.01Intuitivamente vemos que, quando ∆s tende para zero, o vetor ∆ tˆ tende a ser perpendicular a tˆ (o que pode sercomprovado por diferenciação da expressão 1ˆˆ =t.t ); isto significa que n é perpendicular a tˆ . Assim, o unitárionˆ aponta para o interior da curva e está contido no plano osculador; a reta suporte de nˆ é denominada a normalprincipal da curva no ponto.*Para o exemplo dado (hélice circular), temos:]ˆs)sen(0,6576ˆs)6[cos(0,65764865,0 jin +−= ,isto é, no caso da hélice circular, o vetor n do ponto genérico é sempre paralelo ao plano xy. Como, paraqualquer curva, n. tˆ =0 (n é ortogonal a tˆ ), resulta que, no caso da hélice, a normal principal (reta suporte de n)é a interseção do plano osculador do ponto com o plano paralelo a xy conduzido por esse ponto. Como atangente tˆ tem uma inclinação constante, 90°-ϕ, com as geratrizes do cilindro, tal que ϕ== sen0,1614dsdz(logoϕ≅9°17), a superfície gerada pelas tangentes sucessivas será tangente a todos os planos osculadores da hélice.Essa superfície – um cone de eixo z e geratrizes inclinadas de 90°-ϕ com z - é a envoltória dos planososculadores.*No caso geral, sendo ∆s um arco variável cujo limite é zero (um infinitésimo), é fácil entender que o ditoquociente (ângulo sobre arco) tem a dimensão do inverso de um comprimento, aproximadamente como acontececom a razão do ângulo central de uma circunferência para o arco correspondente. De fato, as normais àstangentes a uma circunferência por dois pontos consecutivos definem um ângulo central, e a razão desse ângulocentral para o arco é o inverso do raio da circunferência. É precisamente assim que se passa no ponto genérico deuma curva qualquer16. Como n e ∆ tˆ são paralelos, |n| é a expressão da curvatura de flexão da curva no ponto s0,sendo |dsd||| 22rn = ; por isso mesmo, n é dito o vetor curvatura, ou vetor normal, do ponto da curva. Oinverso de |n|, R, é, então, o raio de curvatura da curva no mesmo ponto. Para o exemplo dado, tem-se:|n|=0,64865 e R=1/|n|=1,54166.*Exercícios:1) - As equações paramétricas gerais da hélice circular são: x=rcosλ, y=rsenλ e z=kλ (onde λ é umparâmetro). Provar que o raio de curvatura (dita também, raio de curvatura de flexão) é igual a (r2+k2)/r.Confirme o valor encontrado pelo exemplo numérico.2) – A extremidade do vetor n aplicado no ponto s0 é chamada centro de curvatura da curva no ponto. Olugar geométrico dos centros de curvatura de uma curva é dito a evoluta da curva. Demonstre que a evoluta deuma hélice circular é outra hélice circular.*Binormal, plano normal, plano retificante. Triedro de Frenet-Serret.Os vetores ortogonais tˆ e nˆ do ponto s0 estão contidos no plano osculador de s0, e a normal a este planoé a direção do vetor unitário ntb ˆˆˆ ×= . O terno de vetores { bnt ˆ,ˆ,ˆ } – dito terno de Frenet-Serret do ponto -forma, pois, no ponto genérico da curva, uma base triortogonal local e poderá ser acoplado a um sistemacartesiano de coordenadas local para efeito de observações locais no domínio (unidimensional) de um fenômeno.Para passar-se desse sistema para o global bastará determinar as expressões desses vetores na base global{ kji ˆ,ˆ,ˆ }. A direção de bˆ é denominada a binormal do ponto. O plano definido pelo par ( bn ˆ,ˆ ) é denominadoplano normal à curva no ponto; o definido pelo par ( bt ˆ,ˆ ), plano retificante.16 A curvatura de uma curva circular em uma estrada é igual ao inverso do seu raio; a raios pequenos estão associadas “curvas fortes”,a grandes raios, “curvas suaves”.
  • 45. §06.01 – Domínios unidimensionais 25Campos Tensoriais - RuggeriOs unitários: tangente e normal do ponto s0+∆s definem o plano osculador “consecutivo“ ao anterior e,para o arco ∆s, o vetor bˆd - incremento da binormal - determina a variação de inclinação ocorrida com o planoosculador (entre as duas posições). Por serem: 1ˆˆˆˆˆˆ === b.bn.nt.t e 0ˆˆˆˆˆˆ === t.bb.nn.t , existem as seguintesigualdades:0ˆdˆˆdˆˆdˆ === b.bn.nt.t e 0ˆdˆˆˆdˆˆdˆdˆˆˆdˆdˆ =+=+=+ t.bt.bb.nb.nn.tn.t , (06),das quais podemos deduzir os seguintes resultados. Como tˆd é paralelo a nˆ , é também, conseqüentemente,perpendicular a bˆ , isto é, 0ˆdˆ =t.b . Então, 0ˆdˆ =b.t , isto é, o incremento de bˆ é perpendicular a tˆ e jaz noplano normal. Mas como bˆd é também perpendicular a bˆ , ele é paralelo a nˆ .Logo, o módulo do vetor ds/ˆdbT = mede o quanto a curva se “empena” ou se torce no plano normal porunidade de distância nas vizinhanças do ponto; ou seja, |T| mede a curvatura de torção da curva no ponto e T,paralelo a bˆd é, ainda, paralelo a nˆ . Tal como anteriormente, o inverso de |T|, 1/Rt, é o raio de curvatura detorção da curva no mesmo ponto.Temos, em função dos resultados já obtidos:)||1(dsddsddsddsd||1dsddsd||1dsd)dsd||1dsd(dsd)ˆˆ(dsd2233222222nrrrnrrnrrnrntT ×+×+×=×=×= .A primeira parcela é nula. Como T é paralelo a nˆ a projeção de T sobre nˆ , nT.ˆ , poderá ser positiva ounegativa. É desejável que a torção seja positiva quando nˆ tenha tendência a girar no sentido anti-horário, noplano )ˆ,ˆ( bn - dito plano tangente à curva – desde que observado do lado desse plano para o qual aponta tˆ .Assim convencionando, bˆd estará se movimentando no sentido contrário ao de nˆ quando a torção é positiva.Portanto, para a medida positiva da torção, T, devemos escrever: nT.ˆT −= . Assim, da expressão que vínhamosanalisando, deduzimos:)||1(dsddsddsdˆdsd||1dsdˆˆT 2233nrr.nrnr.n.Tn ×−×−=−= .Comodsd2rn = , a última parcela é nula. Aplicando propriedade do produto misto de vetores, concluímos:t2223322R1)dsd()dsddsddsd(T ==rrrr, ou, alternativamente,t2223322R1)dsddsd()dsddsddsd(T =×=rrrrr, (07).*Vamos calcular a curvatura de torção, T, da hélice circular do exemplo 6 do §04.01. Temos, considerandosuas equações (02), parametrizadas em relação ao comprimento de arco: x=Rcos(As), y=Rsen(As) e z=Cs, paraA=0,6576, R=1,5 e C=0,1644:kjir ˆCˆAR)cos(As)(ˆAR)sen(As)(dsd++−= ; jir ˆR)sen(As)A(ˆR)cos(As)A(dsd 2222−−= ; RA|dsd| 222=r ;jir ˆR)cos(As)A(ˆR)csen(As)A(dsd 3333−= .Logo:
  • 46. 26 §06 – Sistema local e sistema global de coordenadasI, §06.02CA0)Ascos()RA()As(sen)RA(0)As(sen)RA()Ascos()RA(C)Ascos()AR()As(sen)AR(RA1T332224=−−−−= .Para o exemplo numérico, tem-se T=0,1081.Fórmulas de FrenetAs chamadas fórmulas de Frenet são as expressões cartesianas das derivadas, em relação ao arco, dosvetores unitários do triedro de Frenet-Serret na base desses mesmos unitários. São elas:nt ˆR1dsˆd = , btn ˆR1ˆR1dsˆdt−−= e nb ˆR1dsˆdt= , (08),sendo paralelos a nˆ os vetores dsˆdt e dsˆdb . As derivadas dsˆdt e dsˆdb estão explicitas no texto; dsˆdnpode ser obtida por derivação direta (em relação ao arco) do produto btn ×=− ˆ .§06.02 – Domínios bidimensionaisExiste também em cada ponto de um domínio bidimensional um sistema local do coordenadas retilíneas,nem sempre ortogonal, que pode ser usado para referência apenas nas vizinhanças do ponto, como veremos.Superfície esféricaAntes de generalizar a idéia vamos considerar o exemplo simples da superfície esférica de centro O e raioR, dada por suas equações paramétricas (já consideradas no §04.01):φ=θφ=θφ=,RsenzsencosRycoscosRx, (01),onde -π/2≤φ≤π/2 e 0≤θ<2π se o domínio considerado for toda a superfície; se o domínio for apenas uma porçãoda superfície, os intervalos de variação de φ e/ou θ serão restritos.Quando se fixa um valor para φ, digamos φ=π/3 rad, alguns pontos da superfície ficam especificados; sãotodos aqueles de coordenadas=θ=θ=,R23zRsen21ycosR21x, (02),para θ variando no mesmo intervalo anteriormente considerado. As equações do sistema (02) constituem, pois, aprincípio, as equações paramétricas de uma curva reversa situada sobre a superfície esférica. Como z=constante,essa curva é plana, sendo fácil ver que ela é uma circunferência de raio R/2 e centro situado sobre o eixo z a umadistância 2/3R da origem (Figura I,25). Essa circunferência é um dos “paralelos” da superfície, a cada valorde φ correspondendo um paralelo. Na Figura I,26 indicamos o paralelo 0° e os demais de 9 em 9°; no topo dasuperfície encontraríamos o paralelo 90° (um ponto).
  • 47. §06.02 – Domínios bidimensionais 27Campos Tensoriais - RuggeriSe, ao contrário, tivéssemos fixado um valor para θ (em vez de φ), digamos θ=π/4 rad, teríamos obtido de (01) osistemaφ=φ=φ=,RsenzcosR22ycosR22x, (03),representativo das equações paramétricas de uma circunferência (máxima) situada sobre a superfície esférica,com centro na origem, raio igual a R, cujo plano contem o eixo z e forma o ângulo diedro de π/4 rad com o planocoordenado xz (Figura I,25). A cada valor de θ corresponderá uma circunferência dita “o meridiano de ânguloθ”. Na Figura I,26 indicamos a posição do meridiano 0° e os demais de 9 em 9°.Um meridiano qualquer intercepta certamente qualquer paralelo em dois de seus pontos diametralmenteopostos, mas para os ângulos especificados, φ=π/6 e θ=π/4, apenas uma das interseções deverá ser considerada (aoutra correspondendo a θ=π+π/4). O que importa considerar é que a dado par de valores dos parâmetroscorresponde um meridiano, um paralelo e apenas um dos pontos de interseção dos mesmos. Assim, com asorientações estabelecidas para a variação e o crescimento de cada parâmetro, é possível traçar sobre a superfícieuma rede de curvas – meridianos e paralelos, ditas as “coordenadas curvilíneas” dos pontos da superfície – cadapar de curvas estando associada com um ponto.*Um observador, situado na origem, pode falar das coordenadas cartesianas retilíneas x, y e z do pontogenérico do domínio, ou das coordenadas curvilíneas (no caso, paralelos e meridianos) do mesmo ponto. Mas umobservador localizado no ponto genérico P poderá utilizar um sistema de coordenadas retilíneas, com os vetoresde base bnt ˆeˆ,ˆ , para referir eventos apenas nas “vizinhanças” de P porque, a grandes distâncias de P, nãoexistem pontos do domínio contidos no plano tangente à superfície. Isto é precisamente o que acontece sobre asuperfície da Terra. Fazemos levantamentos topográficos ordinários de áreas relativamente pequenas (digamosdentro de um quadrado de lado até 178 km) utilizando o sistema local de referência e empregando os recursos dadisciplina chamada Topografia. Esse mesmo levantamento poderia ser feito com o uso do sistema global O-xyz,utilizando-se dos recursos da Geodésia, para obter-se levantamento praticamente idêntico. Com o aumento daárea interessada (pelo aumento do lado do quadrado, digamos), a curvatura da Terra passa a influir nas
  • 48. 28 §06 – Sistema local e sistema global de coordenadasI, §06.02coordenadas dos pontos. Ao efetuar-se a mudança das coordenadas de um ponto (localizado em um marcoinstalado no terreno) para o sistema global, coordenadas essas levantadas pela Topografia ordinária, encontram-se certos valores. Ao se efetuarem as medidas das coordenadas domesmo ponto no sistema global, utilizando-se os recursos daGeodésia, são obtidas as verdadeiras coordenadas do ponto, e estasnão serão coincidentes com as transformadas das anteriores (serãoapenas próximas, dependendo do tamanho da área considerada).*Com o que foi estabelecido no §06.01, será possível, também,determinar para cada ponto da superfície, ou para cada curva(coordenada curvilínea) do par de curvas que define o ponto, umtriedro de Frenet de vetores unitários: pppˆ,ˆ,ˆ bnt para um paralelo emmmˆ,ˆ,ˆ bnt para um meridiano. O par de tangentes define o planotangente no ponto, sendo pmˆˆ bt = e mpˆˆ bt = . O vetor normal pnˆaponta para o eixo z no plano do meridiano, e mˆn aponta para o centro da Terra; logo ( mˆn− ) é a normal exteriorà superfície.ElipsóidesÉ fácil entender agora que o elipsóide, de equações paramétricasφ=θφ=θφ=,csenzsencosbycoscosax, (04),têm também um sistema de coordenadas curvilíneas (Figura I,27); a elas cabem as mesmas nomenclaturas(paralelos e meridianos) utilizadas para as coordenadas curvilíneas dos pontos da superfície esférica. Osparalelos, um para cada valor de φ, são as elipses1)cosb(y)cosa(x2222=φ+φ, (05),centradas no eixo z e distantes c(senφ) da origem, tendo por semi-eixos acosφ e bcosφ. Os meridianos, um paracada valor de θ, são as elipses1cz)cosa(x2222=+θ, (06),centradas na origem, com semi-eixos a(cosθ) e c.As elipses: paralelo e meridiano de um ponto têm, cada uma, o seu triedro de Frenet; e cada um delespoderia ser usado para referir eventos apenas nas vizinhanças do ponto. Em muitas situações, entretanto, pode sermais prático utilizar o “sistema de Cartan” do ponto, formado pelas tangentes às coordenadas curvilíneas doponto (a tangente θθθθˆ ao paralelo e a tangente φφφφˆ ao meridiano) e a normal à superfície expressa como o produtovetorial (ou cruzado) dos dois vetores anteriores.Entretanto, deve ser observado que, em geral, os vetores unitários tangentes às coordenadas curvilíneas deum ponto, ou sejam, os vetores de base de Cartan do ponto, não são ortogonais.*
  • 49. §06.02 – Domínios bidimensionais 29Campos Tensoriais - RuggeriExercícios:Comprovar que, nos elipsóides: 1) - os unitários θθθθˆ e φφφφˆ serão ortogonais para: a) pontos tais quea/b)(tg =φ+θ ; b) – todo ponto, se a=b (elipsóide de revolução); 2) – o unitário θθθθˆ da tangente ao paralelo deum ponto de um elipsóide é vetor oposto à binormal do meridiano desse ponto.*Parabolóides elíptico e hiperbólicoOs parabolóides são as quádricas de equação22y2tx2rz += , (07),onde r e t são constantes. Para rt>0 os parabolóides são ditos elípticos e para rt<0, hiperbólicos. Na Figura I,28apresentamos um exemplo para r=2 e t=-0,4, um parabolóide hiperbólico, notando-se de imediato o seu formato“em cela”. Na Figura I,29 apresentamos um parabolóide elíptico para r=-2 e t=-0,4 notando-se seu formatoovalado.Vamos considerar, para r>0 e t>0, o parabolóide hiperbólico:22y2tx2rz −= , (08).Pondo1a1r = e2a1t = (logo, a1>0 e a2>0),podemos escrever a equação na forma de produto:)ayax)(ayax(z22121+−= , (09).Interpretando analiticamente esta equação, vemos que sobre o parabolóide hiperbólico existem os dois sistemas(I) e (II) seguintes, de geratrizes retilíneas (cada um é a interseção de planos),
  • 50. 30 §06 – Sistema local e sistema global de coordenadasI, §06.02+=α−=α211211ayax2ayaxz)I( e−=α+=α212212ayax2ayaxz)II( , (10),onde α1 e α2 são parâmetros variáveis. Essas geratrizes gozam das seguintes propriedades:1) – Em cada ponto da superfície passa uma só geratriz de cada sistema;2) – Duas geratrizes de um mesmo sistema nunca se encontram;3) – Duas geratrizes de sistemas diferentes se interceptam sempre num ponto da superfícieαα=α−α=α+α=212211212za)(ya)(x, (11),que é o próprio parabolóide hiperbólico representado parametricamente;4) – As geratrizes α1 e α2 estão todas contidas no parabolóide;5) – As geratrizes (um par) que passam por um ponto do parabolóide determinam o plano tangente nesseponto. A esse par de retas que passa pelo ponto pode associar-se um sistema local de coordenadas cartesianaspara referir eventos nas proximidades desse ponto, mas apenas nas proximidades;6) = As geratrizes de cada sistema são paralelas aos planos fixos0ayax21=− e 0ayax21=+ , (12),os quais são ditos “planos diretores” do parabolóide.Na prática da construção de edifícios esta última propriedade se torna muito útil porque as geratrizesretilíneas (de cada uma das famílias) podem ser substituídas por barras de ferro redondo (ferro comum deconstrução), ou por “réguas de madeira” de pequena largura, o conjunto imitando aproximadamente umparabolóide hiperbólico. Um desses parabolóides, assim entendido, de equaçãoxy1505z −= , com f=-5, a=10 e b=15,para 0≤x≤10 e 0≤y≤15 está apresentado na Figura I,30. Esses parabolóides podem ser associados para formar umconjunto, com alguma finalidade; um exemplo, compondo uma cobertura, está apresentado na Figura I,31.
  • 51. §06.03 – Domínios tridimensionais 31Campos Tensoriais - RuggeriOs parabolóides elípticos podem também ser utilizadoscom finalidades semelhantes. Apresentamos na Figura I,32 umexemplo daqueles para os quais r=2f/a2e t=2f/b2, com f=5, -7≤a≤7, -10≤b≤10. A medida f é a “flecha” ou distância do pontomais alto do parabolóide ao plano xy, medida ao longo do eixo z;2a e 2b são os lados do retângulo que circunscreve o losangoprojeção da superfície sobre o plano xy (as diagonais do losangose encontram na origem).Os exemplos apresentados neste parágrafo constituemdomínios bidimensionais que, na prática, terão certa “espessura”,correspondente, por exemplo, à de uma laje de cobertura, feita emconcreto. Essa superfície seria a “superfície média” da coberturaque se pretendesse construir. Eventualmente, algumascaracterísticas dessas superfícies poderão interessar nos casospráticos; a sua curvatura no ponto genérico, por exemplo. Mas desses detalhes não nos ocuparemos aqui.§06.03 – Domínios tridimensionaisO entendimento dos domínios curvos tridimensionais é feito de forma intuitiva; e podemos fazê-lo comvistas à sua utilização prática.Assim, uma esfera pode ser entendida como uma sucessão contínua de superfícies esféricas com umaespessura muito pequena (folhas ou lâminas esféricas) cujos “raios médios” cresçam gradativamente. Do pontode vista analítico as coordenadas cartesianas x, y e z de um ponto qualquer da esfera são expressas(parametricamente) em função de três parâmetros: dois correspondentes à superfície esférica e um terceirocorrespondente ao raio, como em (09).Os mesmo conceitos são aplicáveis aos “sólidos quádricos” em geral. Para os elipsóides maciços,particularmente, bastaria que se expressassem os seus (três) semi-eixos a, b e c em função de um único parâmetroλ para que as coordenadas x, y e z, do ponto genérico, como em (12), se expressassem um função dos (três)parâmetros λ, θ e φ.De um modo geral, as coordenadas do ponto genérico de um domínio tridimensional são expressas emfunção de três parâmetros λ, µ, ν, na formaυµλ=υµλ=υµλ=),,(zz),,(yy),,(xx, (01),cada parâmetro variando continuamente em intervalo bem determinado. Em geral supõe-se que as três funções x,y e z em (01) sejam contínuas em todo ponto do domínio, caso em que, a cada ponto P≡(x,y,z), corresponde umterno (λ, µ, ν). Quando se fixa um valor para qualquer dos parâmetros e se faz os outros dois variarem dentro dosrespectivos intervalos, o sistema (01) passa a representar uma superfície que contem necessariamente o ponto P.Assim, para dado terno de valores (λ, µ, ν), corresponde um terno de superfícies que têm o ponto P em comum.Essas três superfícies se interceptam duas a duas segundo três curvas reversas que poderiam ser geradas dosistema (01) fixando-se dois quaisquer dos parâmetros relativos a P. Tais curvas reversas são ditas as“coordenadas curvilíneas do ponto P, a cada uma correspondendo um triedro de Frenet.Pode ser demonstrado que os unitários das tangentes a cada coordenada curvilínea do ponto genérico P dodomínio (apenas os unitários das tangentes de cada triedro de Frenet do ponto) formam uma base local de vetoresnão coplanares que podem ser utilizados como “vetores de base” de um sistema (natural) de coordenadascartesianas retilíneas naquele ponto; e servem para referir eventos apenas nas vizinhanças desse ponto. Essa basevetorial é dita a “base natural de Cartan” do ponto P (em homenagem ao eminente geômetra francês ElieCartan).
  • 52. 32 §06 – Sistema local e sistema global de coordenadasI, §06.03Sendo necessário, pode analisar-se, conforme visto no §06.01, as curvaturas de cada coordenadacurvilínea ou, por recorrência a estudos mais aprofundados de Geometria Diferencial, analisar as curvaturas decada superfície coordenada do ponto etc.
  • 53. Campos Tensoriais - RuggeriCAPÍTULO IIGRANDEZAS FÍSICAS.§ 01 – GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAISPara entender os fenômenos associam-se grandezas físicas às suas qualidades (ver “Introdução e apresentação”),criando-se, por exemplo, coeficiente de dilatação térmica, massa específica, temperatura etc.; dizemos que estasgrandezas são postas em jogo nos fenômenos. O relacionamento qualitativo e quantitativo entre as diversasgrandezas postas em jogo num fenômeno é traduzido fielmente pela lei física que o rege17, para um mesmofenômeno podendo existir duas ou mais leis envolvendo as grandezas postas em jogo.Todas as grandezas físicas já foram tratadas (pelo menos até antes de 1850) como o que se denomina degrandezas escalares. Estas são caracterizadas: 1) – por uma unidade de medida, de mesma natureza que agrandeza considerada; 2) – por um número real, número esse que determina quantas vezes a unidade de medidaestá contida numa dada quantidade da grandeza. Falava-se, pois, em temperatura de 30ºC, massa de 100 g, massaespecífica de 1000 kg/m3, velocidade de 2 m3/s, força de 100 kgf etc.. As grandezas físicas eram definidas, assim,de um modo geral e simplesmente, mediante relações entre quantidades mensuráveis (como: comprimento, área,volume, tempo etc.).Algumas dessas grandezas físicas são “propriedades” de materiais, como a massa específica, o calorespecífico, o coeficiente de dilatação térmica e outras. Outras são apenas grandezas que aparecem nosfenômenos, não tendo haver direto com propriedades de materiais; por exemplo, a temperatura.Provavelmente entre 1850 e 1900 surgiu a necessidade de melhor caracterizar as grandezas físicas queestavam naturalmente relacionadas com uma direção, apresentando uma natureza geométrica. Assim, grandezascomo: as forças, as velocidades, as acelerações etc., que se somavam segundo uma mesma lei (a lei doparalelogramo), não se somavam, entretanto, por intermédio da álgebra ordinária. Essas grandezas, maiscomplexas que as escalares, são, ainda, definidas como as escalares, mas com a condição adicional seguinte: aespecificação do seu caráter geométrico, ou, ainda, da direção que lhes é inerente.Tais grandezas foram representadas por um ente matemático que se denominou vetor. Para atender àFísica, a Matemática desenvolveu uma álgebra especial com o vetor; esta foi denominada Álgebra Vetorial (edesenvolvida principalmente por Hamilton e Gibbs). Devemos observar, de antemão, que as operações definidasnessa álgebra, bem como suas propriedades, ou advêm de experiências em laboratório18, ou podem sercomprovadas em laboratório (caso, por exemplo, da resultante de duas forças, do momento de uma força emrelação a um ponto etc.)19. A esse respeito devemos lembrar os escritos de Bricard [3]: “ ... Um grande progressoda Física Matemática consistiu em vetorialisar certas grandezas antes consideradas como escalares.”Assim, tal como se expressavam as leis físicas com o uso da Álgebra e Análise ordinárias, tornou-seinteressante expressar as leis envolvendo vetores com uma álgebra e uma análise apropriadas. Nessa linha detrabalho apareceram os nomes de Hamilton e Grassmann por volta de 1850 (como patronos) e Gibbs e Heavisidepor volta de 1870 (como re-estruturadores). O primeiro tratado formal publicado sobre o assunto foi totalmentebaseado nas aulas de J. W. Gibbs, na Universidade de Yale, publicada por um de seus alunos, E. B. Wilson (Bibl.[09]). Nesta obra encontramos ainda a primeira pista para a generalização da idéia de vetor: a criação do conceito17 Por exemplo: "para uma dada massa gasosa, o produto da pressão pelo volume por ela ocupado é proporcional à sua temperaturaabsoluta" (lei dos gases perfeitos).18 Algumas dessas operações já eram usadas intuitivamente pelos antigos (em navegação, por exemplo), mas não existia corpo dedoutrina que as explicasse.19 Suporemos, doravante, que o leitor seja conhecedor dessa álgebra (ver bibl. [4], [5], [6],[7]).
  • 54. 34 § 02 – Definições rigorosas das grandezas escalares e vetoriaisII, § 02.02de diádico - nova entidade matemática para representar grandezas físicas já conhecidas e com as quais setrabalhava teórica e experimentalmente com muito mais dificuldade do que com as grandezas vetoriais; são asgrandezas diádicas sobre as quais discorreremos no momento oportuno.§ 02 – DEFINIÇÕES RIGOROSAS DAS GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS§ 02.01 – Considerações preliminaresComo visto, as grandezas físicas não são apenas aquelas apresentadas no §01. Existem ainda as diádicas,de natureza um pouco mais complexa que as vetoriais que pretendemos considerar neste livro e que têm algumhaver com as vetoriais. A postura científica, entretanto, exige critério preciso, e de preferência único, para oenquadramento de uma grandeza nesta ou naquela categoria. Esse critério, certamente, deve ser universal nosentido de que, duas pessoas (dois observadores), cada uma em um lugar e em qualquer tempo, possam entenderum mesmo fenômeno da mesma forma. Com o que já estudamos basicamente no §05 do Capítulo I podemos nosconsiderar preparados para o entendimento desse critério.§ 02.02 – Nova definição de grandeza escalarSeja G uma função das coordenadas X1, X2 e X3 do ponto genérico do espaço, caso em que escreveremos:G=G(X1, X2, X3), G tendo, pois, um valor em cada ponto do espaço. Se procedermos nessa função umasubstituição linear arbitrária das Xi pelas Xj (diferente da lei ((06),§05.02,I) o novo valor de G será,evidentemente, G≠G. Porém, certa grandeza física (como a temperatura), em certo fenômeno, pode variar com oponto no domínio do fenômeno, mas intuitivamente, do ponto de vista físico, pode não caber discussão quanto àinvariância quando se referir o ponto a dois (ou mais) sistemas de coordenadas (em cada sistema correspondendocerto terceto de coordenadas). Então, se a lei G=G(X1, X2, X3) expressar o valor da grandeza em relação a umsistema S, apenas por força de postulado, para atender nossa intuição, o mesmo valor de G será encontradoquando se substituírem as coordenadas X do ponto pelas coordenadas X’ do mesmo ponto, referido ao sistemaS’, e correlacionadas por ((06),§05.02,I). Assim, porDefinição:Chamaremos grandeza tensorial de ordem zero, ou, simplesmente, grandeza escalar, aqualquer função G de três variáveis X1, X2, X3 (ou X’1, X’2, X’3) , tal que mediante asubstituição linear das Xi nas Xj, pela lei ((06),§05.02,I) (ou sua inversa ((07),§05.02,I)),seu valor se mantenha invariante.Vale salientar que para que a função G (de três variáveis X) represente uma grandeza escalar é necessárioque G seja um invariante mediante uma mudança de variáveis do tipo ((06),§05.02,I), porque isso éintuitivamente necessário, não tendo nenhum sentido que fosse diferente (pela nossa intuição física). Porexemplo: faria sentido afirmar que a temperatura num ponto de um ambiente é de 20°C em relação a um sistemaS e 30°C em relação ao sistema S’? E se os referenciais estivessem em movimento relativo?20O que ocorre, na prática, é que poderemos nos defrontar com situações inversas da que acabamos deapresentar, isto é, poderemos estar frente a uma função que, sem motivo especial, represente garantidamente umagrandeza escalar. Para identificar-se a função como representante de uma grandeza escalar é preciso verificar seo “regime tensorial” correspondente é respeitado, isto é, se ao efetuar-se a mudança de variáveis ((06),§05.02,I),ou sua inversa ((07),§05.02,I), o valor da grandeza permanece o mesmo.*Exercício 4:Em relação ao sistema S, a temperatura no ponto (X1,X2,X3) do domínio de um dado fenômeno é dadapela expressão: T = 0,3X1+0,5X2+X3. Mostre, então, que em relação ao sistema S’ do Ex. 1,§05.01,I, a (mesma)temperatura será dada pela expressão: T=1,15754X’1-0,01088X’2+0,03739X’3.20 Se as velocidades relativas dos referenciais forem muito pequenas em relação à velocidade da luz poderemos afirmar que astemperaturas são iguais; e se não forem?
  • 55. § 02.03 – Definição da grandeza vetorialCampos Tensoriais - Ruggeri35Exercício 5:Sabe-se que, em relação ao sistema S do Exemplo 1,§05.01,I, a temperatura num ponto do domínio decerto fenômeno é dada por uma função linear das coordenadas do ponto. Em relação ao sistema S’ citado nomesmo Exemplo 1,§05.01,I, nos pontos de coordenadas (1;-1;2), (-1;2;0) e (0;-2;-1) as temperaturas medidas (emgrau Celsius) são 7°, 12° e -3°, respectivamente. Comprove que a lei de distribuição das temperaturas nodomínio, em relação ao sistema S, é T= 1,79889X1 -19,46500X2 -14,24620X3.*§ 02.03 – Definição de grandeza vetorialSabemos (da Análise Vetorial) que os vetores podem ser definidos tanto em termos de módulo, direção esentido no espaço, como por três funções de valor numérico21, em relação a um sistema de referência, cada umadelas sendo uma função das coordenadas do ponto. Relativamente a dois sistemas cartesianos de referência, ovalor (numérico) da função que define a grandeza escalar, como visto, é imutável (ver Exercício 4). Os valoresnuméricos daquelas três funções num ponto, as quais, pretensiosamente, definem a grandeza vetorial, sãodiferentes num e noutro sistema; mas o ente vetor, representativo da grandeza (definido por um módulo, umsentido e uma direção bem determinados), deve, intuitivamente, permanecer invariante. Assim, por exemplo:independe de qualquer sistema de referência a temperatura num ponto do espaço (como no exercício 4), ou ovetor velocidade com que um móvel passa por dado ponto e certo instante apesar de, neste último caso, seremdistintos os valores das coordenadas do vetor em relação a um e a outro sistema de referência.Consideremos dois ternos de funções que representem coordenadas de uma mesma grandeza vetorial,representada por um vetor v, em relação a dois sistemas cartesianos ortogonais de referência: o antigo,S≡Santigo≡O-X1X2X3, e o novo, S’≡Snovo≡O-X1X2X3, ambos com origem comum22, O, e vetores unitários debase: { 321 ˆ,ˆ,ˆ eee } e { 321 ˆ,ˆ,ˆ eee ′′′ }, respectivamente. Podemos fazer, com relação a v, o mesmo raciocínio já feitocom relação ao vetor posicional r dos parágrafos anteriores. Assim, denotando por V1, V 2, V 3 e V1, V2 e V 3 asfunções que definem as coordenadas de v em S e S, podemos escrever:332211332211 ˆVˆVˆVˆVˆVˆV eeeeeev ′+′+′=++= , (01),ou, simplesmente,jjii ˆVˆV eev ′== , (i,j=1,2,3), (02),justificando-se a escrita indexada (02) pela convenção somatória já estabelecida (§05.02,I). Assim, multiplicandoescalarmente ambos os membros de (02) por kˆe (para k=1, ou 2, ou 3), obtemos:21 A denominação "componente" para essas funções deve ser evitada porque "componente de um vetor" é um vetor e não um número. Seimaginarmos os vetores (livres) aplicados na origem dos sistemas de referência, o que chamamos de coordenadas são as própriascoordenadas da extremidade do vetor em relação ao referido sistema.22 Conforme já observado, pode comprovar-se, que as origens não precisam ser necessariamente coincidentes, nem mesmo ortogonais oseixos do sistema de referencia.)ˆˆ(V)ˆˆ(VVˆ kjjkiikk e.ee.eev. ′=== , (03).Considerando ((04),§05.02,I) isto é, sendo, kjjkˆˆM e.e′= , a igualdade (03) pode ser escrita na forma ((03.a)§05.02,I), onde se troque X por V, jkjk MVV = , a cada valor de k correspondendo uma igualdade. Usandonotação matricial esse sistema pode ser escrito na forma equivalente a ((06) §05.02,I), ou }.V.{]M[}V{ T=
  • 56. 36 § 03*– Diádicos e grandezas diádicasII, §03.01Por outro lado, multiplicando ambos os membros de (02) por kˆe′ , obtemos:)ˆˆ(V)ˆˆ(VVˆ kjjkiikk e.ee.eev. ′′=′==′ , (04).Relembrando que ikkiˆˆˆˆ e.ee.e ′=′ , podemos escrever, então, conforme ((04),§05.02,I): kiikki Mˆˆˆˆ =′=′ e.ee.e . De(04) deduzimos ((05.a), §05.02,I) onde se troque X por V, jkkj MVV = . Se em na expressão obtida atribuirmosa k os valores 1, 2 e 3, obteremos três igualdades simultâneas que podem ser escritas na forma matricial ((05.b),§05.02,I) onde se troque X por V. As expressões correspondentes a ((06) e (07), §05.02,I) são, então:}V{M}V{ .= , (05),e}V{M}V{ T .= , (06),Como, por hipótese, os sistemas de referência são dados, a matriz M e sua transposta são conhecidas. Aexpressão (05) dá, então, as coordenadas de v no sistema de referência novo, desde que sejam conhecidas ascoordenadas de v no sistema antigo, além da matriz M; as expressões (05) e (06) são inversas uma da outra.Vê-se, assim, que a situação é a mesma já considerada quando da caracterização das grandezas escalares.Tal como naquele caso, a situação inversa da que acabamos de apresentar pode não se verificar integralmente.Consideremos três funções variáveis: V1, V2, V3 que, sabidamente, variam com o ponto em que são avaliadas(variam com X1, X2, X3). Quer-se dizer que pela substituição linear arbitrária das Xi por novas variáveis Xi osnovos valores Vi das funções variáveis poderão não satisfazer às leis inversas (05) e (06). Se isto acontecer, asditas variáveis não poderão constituir as coordenadas de uma grandeza vetorial. Assim, porDefinição:Chamaremos grandeza tensorial de ordem um, ou, simplesmente, grandeza vetorial, aqualquer terno de funções V1, V2 e V3 de três variáveis X1, X2, X3 (ou X1, X2, X3 ), tais, quemediante a substituição linear ((06),§05.02,I)) das Xi nas Xj (ou a substituição ((07),§05.02,I) das Xi nas Xi), seus novos valores: V1, V2 e V3 (ou V1, V2 e V3), satisfaçam àsleis inversas (05) e (06).Exercício:Comprove que se (1;2;3) são, respectivamente, os valores das funções V1, V2 e V3 no ponto (X1,X2,X3),então os valores dessas funções no mesmo ponto (X’1, ...) que satisfaça ((07), §05.02,I), em que MTé a matriz doexercício 1,§03.02,I, são: (3,71411;-0,12872;-0,31451).§ 03* – DIÁDICOS E GRANDEZAS DIÁDICAS§ 03.01 – Relacionamento entre grandezas vetoriais.O outro grande passo no tratamento dos problemas de Física foi dado ao procurar-se caracterizarperfeitamente as grandezas de natureza mais complexa que as escalares e as vetoriais; estas foram denominadasgrandezas tensoriais (em geral), que chamaremos aqui grandezas poliádicas, e caracterizadas por poliádicos quesão tensores.Esses estudos conduziram à criação de ordens para os tensores ou valências para os poliádicos, a começarpela ordem ou valência zero. Percebeu-se, então, que todas as grandezas físicas são poliádicas, mas de diferentesvalências. Os poliádicos de valência zero são os escalares, os de valência um são os vetores. Os demaispoliádicos são definidos pelas expressões a que devem satisfazer as suas coordenadas quando se realiza uma
  • 57. § 03.02 – Definição de diádico, algumas operações e representaçõesCampos Tensoriais - Ruggeri37transformação ortogonal de coordenadas23, expressões das quais as inversas (05) e (06) são expressões maissimples porque elas se referem aos poliádicos de valência um. Procuraremos nos próximos parágrafoscaracterizar uma grandeza diádica, definir os diádicos e mostrar como eles podem ser representantes de tensoresde ordem dois.23 Numa exposição mais rigorosa se efetuaria uma transformação não ortogonal de coordenadas.É comum, em Física, a existência de leis fenomenológicas expressando uma relação de dependência entreduas grandezas vetoriais. Essas leis são válidas para o ponto genérico do domínio em que ocorre o fenômeno,entrando, pois, em jogo, duas grandezas representadas por vetores variáveis e uma terceira que faz a conexão. Oexemplo mais simples e mais conhecido é o da lei de Newton da Mecânica, f=Ma, f sendo a resultante das forçasque atuam sobre um corpo livre de massa M (a grandeza de conexão) e a a aceleração adquirida por esse corpo.Um segundo exemplo, muito parecido, é a lei f=qe, em que f é a força que age sobre a carga elétrica q (grandezaconstante, de conexão) abandonada num ponto qualquer de um domínio onde o vetor campo elétrico é e. Se Fi eEi são as coordenadas de f e de e em relação a certo sistema de referência, devem ser simultaneamenteverificadas as seguintes igualdades: F1=qE1, F2=qE2 e F3=qE3. Podemos, então, representar o conjunto das trêsigualdades simultâneas em forma matricial:=321321EEE.q000q000qFFF, (01).No caso geral os escalares Ei são funções de ponto (dependem do ponto do domínio), isto é, o campo elétricopode variar em intensidade e direção com o ponto considerado. Nesse caso, o mesmo acontece com os escalaresFi.Existem outras grandezas físicas vetoriais que se relacionam, num mesmo ponto do domínio do fenômenoque as põe em jogo, de uma forma morfologicamente idêntica a (01), mas com um uma matriz 3x3 de conexãonão tão simples quanto a (matriz escalar) apresentada em (01). Assim, de uma forma mais geral, escreveríamos:=321333231232221131211321EEE.KKKKKKKKKFFF, (02),ou, ainda ,mais compactamente, na forma:}E.{K}F{ = , (03),em que as matrizes têm significado evidente. Os elementos da matriz K podem ser constantes (ou funções apenasdo tempo), ou funções escalares do ponto, ou funções do ponto e do tempo. Os elementos da matriz K são ditosas "coordenadas" da grandeza física K em relação ao mesmo sistema a que se referem f e e; a matriz é dita,ainda, a representação cartesiana de K em relação à base adotada. Quando K é constante ou depende dealguma variável que não as coordenadas de f ou e, do tempo, por exemplo, a dependência entre as grandezasvetoriais f e e é dita linear; no caso contrário, essa dependência é não linear.§ 03.02 – Definição de diádico, algumas operações e representações.Usando a notação indicial, as equações (02) podem ser escritas na forma : jiji EKF = , ou, ainda, usandoos deltas de Kronecker:kjkiji EKF δ= , para i,j,k=1,2,3,
  • 58. § 03 – Diádicos e grandezas diádicasII, §03.0238devendo ser observado que no segundo membro estão estabelecidas duas somas: uma para j e outra para k.Sendo, porém, kjjk ˆˆ e.e=δ , vem:kkjiji E)ˆˆ(KF e.e= ,expressão em que o uso dos parênteses é irrelevante. A cada valor de i corresponde uma coordenada do vetor f.Assim, juntando-se a ambos os membros dessas expressões o vetor de base correspondente a cada um dos trêsvalores de i e somando membro a membro obtemos:kkjiijii E)ˆˆ(ˆKˆF e.eee = ,existindo, agora, somatórias em i, j e k. Observando-se que ii ˆFef = e kk ˆE ee = , essa expressão pode ser escrita,finalmente, na forma compacta seguinte em que aparecem os vetores f e e: eKf .= , desde que:a) - criemos a entidade matemática do tipojiij ˆˆK eeK = ,denominada diádico, definida como uma soma (em i e j) de produtos de dois vetores justapostos multiplicadospor números (ou funções de valor numérico);b) – e que definamos um produto pontuado pela direita entre essa entidade e um vetor (no caso, e)como o vetor).ˆ(ˆK. jiij eeeeKf == .Como visto, na expressão jiij ˆˆK eeK = do diádico - expressão essa denominada representação cartesianado diádico K - estão estabelecidas duas somatórias (independentes): uma em i, outra em j. A somatória em i,33j22j11j ˆKˆKˆK eee ++ , representa um vetor; e por existir um índice livre (j) nessa expressão, o vetor que elarepresenta pode ser denotado por kj, notação essa que destaca o índice livre j. Então a grandeza físicacorrespondente, K, poderia ser representada por um diádico escrito na forma jjˆekK = (para j=1,2,3), forma essaque, no jargão do Cálculo Poliádico24, denomina-se forma trinomial de representação do diádico em relação àbase { 321 ˆ,ˆ,ˆ eee }. Os vetores k1, k2 e k3 são os antecedentes da forma (ou do diádico); os vetores de base são osconseqüentes.Aparece, assim, de forma natural, uma representação para a grandeza tensorial K (no caso, grandezadiádica) na qual só aparecem vetores, facilitando, pois, o seu entendimento. Notar que as coordenadas doantecedente kj de K (na base { 321 ˆ,ˆ,ˆ eee }) formam a coluna de ordem j da matriz K.Domínios homogêneos e não homogêneosQuando os Kij, ou os vetores kj de uma representação trinomial de K, não variam com o pontoconsiderado do domínio do fenômeno em estudo, esse domínio em que estão definidos é dito "homogêneo para agrandeza K"25; em caso contrário, o domínio é dito não homogêneo para a grandeza. Matematicamente, à luz doconceito de transformação de coordenadas, diríamos:o domínio em que ocorre um fenômeno é homogêneo para certa grandeza que essefenômeno põe em jogo, quando essa grandeza é um invariante em qualquertranslação (de um sistema de coordenadas) pelo domínio.24 Ver bibl. [9] ou [13].25 Geralmente o domínio é a região ocupada por um corpo material e a grandeza representa uma propriedade desse corpo; por isso diz-se que o corpo é homogêneo para a propriedade.
  • 59. § 03.02 – Definição de diádico, algumas operações e representaçõesCampos Tensoriais - Ruggeri39Oportunamente apresentaremos alguns exemplos de fenômenos que ocorrem em domínios: homogêneospara certas grandezas e não homogêneos para outras. Releva lembrar que essas grandezas postas em jogo podemser propriedades de materiais, propriedades do espaço físico onde ocorre o fenômeno em estudo e grandezasfísicas outras (denominadas variáveis de campo, às quais nos referiremos oportunamente).Domínios isotrópicos e anisotrópicosDevemos admitir que, no domínio de um fenômeno, grandezas como K, em (03), possam variar com adireção em que são observadas (e eventualmente, medidas), seja o domínio homogêneo ou não em relação àgrandeza. É o caso, verificado experimentalmente, da condutividade elétrica de certos cristais, que liga os vetoresdensidade de corrente, j, e campo elétrico, e, no interior do cristal, na “forma diádica”:ej .ΣΣΣΣ= , (03.a),ou forma cartesianaσσσσσσσσσ=321333231232221131211321EEE.JJJ, (03.b),onde os σij – denominados condutividades elétricas – são todos constantes (no caso, não dependem do ponto,nem do tempo) e medidos em relação a um certo sistema de referência com vetores de base { 321 ˆ,ˆ,ˆ eee }. Umarepresentação trinomial de ΣΣΣΣ é idêntica à já mencionada anteriormente, sendo jjˆeσ=Σ , as coordenadas do vetorσσσσj formando a j-ésima coluna da representação cartesiana de ΣΣΣΣ. Quando, no domínio de um dado fenômeno,acontecer de a grandeza ΣΣΣΣ variar com a direção em que é medida, diremos que o domínio é anisotrópico (gr.ánisos, desigual e trópus, direção) para aquela grandeza.Quando, num domínio, a grandeza não varia com a direção em que é medida, ele é dito isotrópico paraessa grandeza (ou que existe isotropia nesse domínio para aquela grandeza)26. Matematicamente, diríamos:o domínio de um fenômeno que põe em jogo uma dada grandeza diádica é dito isotrópicoem relação a essa grandeza se ela é um invariante em qualquer rotação (de um sistema decoordenadas) pelo domínio.Para tornar mais claro o significado físico dos elementos da matriz de condutividade elétrica, ou dosvetores antecedentes σσσσj, vamos considerar a seguinte situação real (Nye,[11]). Suponhamos que o campo elétricosó tenha componente segundo o eixo Ox1, isto é, e≡(E1, 0, 0). Então será j≡(σ11E1, 0; 0). Podemos interpretarσj1E1, ou e.jσσσσ , para j=1,2,3, como a coordenada de j segundo o eixo Oxj, devida à coordenada E1 de E segundoOx1.Genericamente diríamos, para o campo e≡(E1, E2, E3), que Jj=σjiEi , ou .eej. jjj ˆJ σ== , é a coordenada dej na direção OXj que se obtém superpondo (somando) as contribuições (na direção OXj) de todas as componentesdo campo e, contribuições estas que são proporcionais às condutividades σj1, σj2 e σj3 que o cristal apresentarelativamente a cada par de direções (OXj,OX1), (OXj,OX2) e (OXj,OX3).26 São considerados isotrópicos em relação a certas grandezas: os concretos, os aços comuns de construção e alguns solos, dentre outrosmateriais.Para certos cristais, outras grandezas anisotrópicas (que variam com a direção em que são consideradas eque são representadas por uma matriz 3x3) podem, ainda, ser citadas. O fluxo de calor que atravessa a unidade de
  • 60. § 03 – Diádicos e grandezas diádicasII, §03.0240área na unidade de tempo, em três direções ortogonais é ligado ao gradiente de temperatura, mantido emdiferentes partes do cristal, por uma grandeza física diádica denominada condutividade térmica do cristal. Estagrandeza, tal como a condutividade elétrica anteriormente mencionada, é definida por um conjunto de novenúmeros (na verdade, seis, em vista da existência de certas simetrias) e estes são dispostos organizadamente emuma matriz 3x3. Outro exemplo é a suscetibilidade dielétrica (matriz 3x3), grandeza que liga o vetor polarizaçãoproduzido num dielétrico com o vetor campo elétrico que produz essa polarização.Vale observar que o conceito de anisotropia tem significado expressivo quando a grandeza consideradarepresenta uma propriedade de um material, como nos exemplos citados. É irrelevante mencionar que umavariável de campo - um tensor de tensões ou de deformações, por exemplo - é anisotrópica.Definição da grandeza diádicaAceitar, por força de postulado, a idéia de que os fenômenos e as formas de suas equações, sejaminvariantes quando observados de diferentes sistemas de referência, significa aceitar que apenas os conjuntos dosnúmeros (valores) representativos de uma grandeza mudam com o sistema de referência. Essa idéia pode não serabsurda no tocante aos fenômenos em si, mas não tem sustentação científica quanto à invariância das formas dasequações27. Foi precisamente isto que vínhamos postulando no caso dos vetores. Mas, todos esses números, emcada conjunto, representam a mesma grandeza e devem satisfazer a uma mesma equação; isto justifica a suspeitada existência de alguma relação entre eles.Para determinar essa relação, vamos considerar uma dessas grandezas que, genericamente, correlacioneduas grandezas vetoriais quaisquer na forma (03) e procurar a expressão Kij do elemento genérico Kij quandopassamos do sistema Santigo de referência ao sistema Snovo. Se M é a matriz de mudança de base nova para aantiga, e se F, K e E são as expressões de F, K e E, respectivamente na base nova, escrevemos: {F}=K.{E}(pois é invariante a forma da lei). Considerando ((07),§05.02,I) podemos, ainda, escrever: {F}=MT.{F} e{E}=MT.{E}. Então MT{F}=K.MT.{E}, ou melhor, pré-multiplicando ambos os membros por M:{F}=M.K.MT.{E}. Agora, relembrando (03) e lembrando que as grandezas são quaisquer, obtemos, finalmente:TM.K.MK = , (04).Da expressão jiij ˆˆK eeK = deduzimos: jiij ˆˆK e.K.e= . Mas podemos também escrever: rppr ˆˆK eeK = . Porsubstituição na expressão anterior, resulta sua equivalente:)ˆˆ(K)ˆˆ(ˆ)ˆˆK(ˆK jrpripjrppriij e.ee.ee.ee.e == ,donde, lembrando a definição ((04),§05.02,I):27 Em um estudo mais avançado poderia ser discutida essa questão da conservação da invariância das leis físicas numa mudança desistemas de referência.rjprpiij MKMK = , (04.a).De modo análogo comprovaríamos ser:.K.MMK T= , (05),comjrpripij MKMK = , (05.a).As expressões (04) e (05), ou suas equivalentes (04.a) e (05.a), foram obtidas impondo-se a condição deque a grandeza K fosse invariante com a mudança dos sistemas de referência. Por outro lado, se, de algumaforma, forem dadas nove funções Kij(X1, X2, X3), e se efetuarmos uma substituição linear arbitrária das Xi pornovas variáveis Xi os novos valores Kij das Kij poderão não satisfazer às igualdades inversas (04) e (05). Nesse
  • 61. § 04.01 – Diádicos simétricos e anti-simétricos.Campos Tensoriais - Ruggeri41caso as Kij não constituirão coordenadas de uma grandeza tensorial; só o constituirão para substituiçõesparticulares. Assim, porDefinição:Chamaremos grandeza tensorial de ordem dois, ou simplesmente, uma grandeza diádica,a qualquer conjunto ordenado de nove funções Kpr (p,r=1,2,3) de três variáveis X1, X2, X3,tais, que mediante a substituição linear das Xi nas Xj por ((06),§05.02,I) seus novosvalores Kij (i,j=1,2,3) satisfaçam às leis inversas (04.a) e (05.a)28.§ 03.03 – Diádicos como representantes de propriedades físicas, ou de variáveis.As coordenadas dos tensores de ordem dois (e dos tensores de um modo geral), como as dos vetores, sãocoordenadas de grandezas físicas que, conforme concebemos, conservam suas identidades (não as suascoordenadas) independentemente do sistema de referência a que estejam referidas.Sobre as grandezas físicas a que nos referimos podemos, finalmente e em resumo, distinguir o seguinte:1) – um escalar, ou tensor de ordem zero, é especificado por um único número e independe desistema de referência;2) – um vetor, ou tensor de ordem um, é especificado por 31=3 números ou coordenadas, cadanúmero estando associado com um eixo de um sistema de referência;3) – um diádico, ou tensor de ordem dois, é especificado por 32=9 números ou coordenadas,cada número estando associado com um par de eixos (distintos ou repetidos) de um sistema de referência.A nossa notação sugere essas distinções: um escalar é sempre representado literalmente sem índices; ascoordenadas de um vetor com um índice e as coordenadas de um diádico, com dois índices. Podemos assim,aceitar a idéia de que o número de índices da letra representativa do tensor é igual à sua ordem29.Apresentamos os diádicos como entidades matemáticas representantes de certas propriedades físicas demateriais (os cristais, nos exemplos citados). O conceito, entretanto, é bem mais amplo porque existem grandezasfísicas que não são propriedades de materiais, mas que podem ser representadas por diádicos. Essas grandezassão definidas dentro do domínio de um fenômeno, sendo variáveis no domínio; participam, pois, do fenômeno, etêm a mesma “estrutura matemática” que certas propriedades do material com o qual, ou no qual, ocorre ofenômeno. Assim, por exemplo, tal como as propriedades físicas denominadas condutividade térmica e asuscetibilidade dielétrica de um cristal piezelétrico podem ser representadas por diádicos, também asdeformações que nele surgem quando submetidos a “esforços exteriores” podem ser representadas por diádicos.Não se deve, pois, dispensar a diferença entre o que dois diádicos possam representar: uma propriedade física deum material, ou uma variável no domínio do fenômeno.§ 04* – NOVOS DESENVOLVIMENTOS COM OS DIÁDICOS§ 04.01 – Diádicos simétricos e anti-simétricos28 Esses tensores particulares são às vezes denominados tensores cartesianos.29 Deve ser observado que o inverso não é verdadeiro: nem toda letra indexada representa um tensor. O melhor exemplo disso é a letra Mcom dois índices para representar o elemento genérico da matriz de mudança de base.Pelos exemplos até aqui apresentados pode transparecer, por exemplo, que um tensor de ordem dois sópossa ligar dois vetores (como o tensor condutividade elétrica liga, na forma (4.3.a) o vetor campo elétrico e como vetor densidade de corrente j). Há, também, diádicos que ligam escalares com diádicos. Como exemplo, temoso caso do diádico expansão térmica de certos cristais, αααα, que liga o escalar ∆T=variação de temperatura, com odiádico de deformação, εεεε, através da lei: εεεε=∆T αααα.
  • 62. § 04* – novos desenvolvimentos com os diádicosII, § 04.0242Similarmente, existem também triádicos (tensores de ordem três) ligando vetores com diádicos, como nalei cristalográfica: p= 3D:σσσσ (ou Pi=dijkσjk, em notação indexada), onde σσσσ é o diádico das tensões, 3D o triádicomódulo piezelétrico (de valência três) e p o vetor "carga de polarização por unidade de área"30.Neste livro faremos considerações apenas aos escalares, vetores e diádicos e, para estes últimos, apenasàqueles que se apresentem nas formas particulares denominadas simétrica e anti-simétrica, que a seguirdefiniremos.30 Ver bibl. [11], Capítulo VII.Um diádico K, de coordenadas cartesianas Kij em relação a certo sistema de referencia, é dito simétrico seKij=Kji qualquer que seja o sistema; é dito anti-simétrico se Kij=-Kji. Isto significa simplesmente que a matrizassociada ao diádico simétrico (na referida base) é simétrica; logo, os tensores simétricos apresentam seiscoordenadas distintas (no máximo). A matriz associada aos diádicos anti-simétricos é uma matriz anti-simétrica.Um tensor anti-simétrico tem, pois, três coordenadas distintas não nulas (no máximo).Vimos (§03.02) que, sendo jiij ˆˆK eeK = a expressão cartesiana do diádico K em relação à base{ 321 ˆ,ˆ,ˆ eee }, então jjˆekK = (para j=1,2,3) é a sua representação trinomial em relação à mesma base, sendo33j22j11jj ˆKˆKˆK eeek ++= . Por definição, dado um diádico K escrito em forma trinomial qualquer, o seutransposto – representado por KT– é o diádico que se obtém substituindo-se ordenadamente nessa expressãocada antecedente pelo seu correspondente conseqüente. Assim, jjT ˆ keK = . Logo,jijiijij33j22j11jjT ˆˆKˆˆK)ˆKˆKˆ(Kˆ eeeeeeeeK ==++= .Se K era a matriz associada a K então, pelo resultado obtido, a matriz associada a KTdeve ser KT. Mas se K=KT,deve ser jijijiij ˆˆKˆˆK eeeeK == , isto é, Kij=Kji. Resulta, então, que as matrizes associadas a diádicos transpostossão matrizes transpostas e que se um diádico é simétrico sua matriz associada é simétrica, qualquer que seja abase adotada para representá-lo cartesianamente.Precisamente o mesmo raciocínio pode ser aplicado para o caso dos diádicos anti-simétricos e,precisamente, conclusões análogas podem ser conseguidas: as matrizes associadas a diádicos transpostos sãomatrizes transpostas e que se um diádico é anti-simétrico sua matriz associada é anti-simétrica, qualquer que sejaa base adotada para representá-lo cartesianamente.Os diádicos simétricos, especialmente, são da maior importância em Física porque a maioria dasgrandezas diádicas é representada por diádicos simétricos. Todas as grandezas diádicas já citadas sãorepresentadas por diádicos simétricos. Outros diádicos representarão “variáveis de campo”, conceito que serádefinido e discutido nos capítulos seguintes.§ 04.02 – Álgebra de diádicos e de matrizes.Dentro das modestas limitações deste livro diremos que a álgebra dos diádicos confunde-se com a álgebradas matrizes (assunto bastante conhecido). Assim, estando os diádicos representados cartesianamente por suasmatrizes em relação a um mesmo sistema de coordenadas, somam-se e subtraem-se diádicos como se somam e sesubtraem as matrizes. Existe, porém, uma operação particular entre diádicos que tem sua correspondentematricial nem sempre divulgada.
  • 63. § 04.02 – Álgebra de diádicos e de matrizes.Campos Tensoriais - Ruggeri43Dupla multiplicação pontuada de diádicosSejam dados dois diádicos αααα e ββββ por suas expressões trinomiais, ii ˆea=αααα e jjˆeb=ββββ , (com i,j=1,2,3),tendo ambas por conseqüentes os vetores de uma base vetorial { 321 ˆ,ˆ,ˆ eee }. Essas representações são semprepossíveis quaisquer que sejam esses diádicos. Chama-se duplo produto pontuado de αααα por ββββ, e representa-sepor αααα :ββββ, ao número)ˆˆ)(( jiji e.e.ba: =ββββαααα , (01),devendo observar-se que no segundo membro estão estabelecidas duas somas. Sendo o segundo fator no segundomembro o delta de Kronecker δij, tem-se, então (efetuando-se as somas indicadas):...11ii +== .ba.ba:ββββαααα , (011).Provemos que o número αααα:ββββ é, na verdade, um escalar (um tensor de ordem zero). Além das reduções trinomiaisjá feitas para os diádicos, façamos uma segunda, escrevendo ii ˆ ar=αααα e kk ˆ br=ββββ sendo independentes,evidentemente, os vetores 1ˆr , .... Calculemos com esta nova escrita o novo número αααα:ββββ. Temos: ii .ba: =ββββαααα .Ora,)ˆ(ˆˆ ijjii e.are.a == αααα e )ˆ(ˆˆ ikkii e.bre.b == ββββ .Então:jkkiijkjkiijii )ˆ)(ˆ()ˆˆ)(ˆ)(ˆ( δ== .bee.ar.r.bee.a.ba .Efetuando as somas indicadas, tem-se:)ˆ)(ˆ( jiijii .bee.a.ba = , ou melhor, jjjiijii ]ˆ)ˆ[( .ba.bee.a.ba == ,o que comprova a assertiva de que αααα :ββββ é um invariante.Dupla multiplicação pontuada de matrizesComo calcular o escalar αααα:ββββ quando os diádicos são dados em suas formas cartesianas relativas a ummesmo sistema de referência? Sejam [α] e [β] as suas matrizes associadas nesses sistemas. A i-ésima coluna de[α], como temos visto, é formada com as coordenadas de ai em relação ao mesmo sistema de coordenadas; damesma forma, a i-ésima coluna de [β] é formada com as coordenadas de bi. Então, como o produto escalar ai .bié igual ai3i3i2i2i1i1 BABABA ++ ,concluímos que para i=1,2,3, o escalar αααα:ββββ, dado por (01) pode ser calculado efetuando-se a soma de todos osprodutos dos elementos correspondentes das matrizes [α] e [β].Isto sugere a criação da operação de dupla multiplicação pontuada de duas matrizes [α] e [β] com asseguintes definições:Definição 1:Chama-se duplo produto pontuado de duas matrizes [α] e [β] de mesma ordem, e se indica por[α]:[β], ao número que se obtém efetuando-se a soma dos produtos dos elementoscorrespondentes dessas matrizes.
  • 64. § 04* – Novos desenvolvimentos com os diádicosII, §04.0344Assim, se=α333231232221131211AAAAAAAAA][ e=β333231232221131211BBBBBBBBB][ ,então...BABABABABA][:][ 2121131312121111ijij ++++==βα (i,j=1,2,3), (02),uma vez que, no segundo membro estão estabelecidas somatórias em i e em j.Definição 2:A operação de multiplicação pontuada dupla entre duas matrizes de mesma ordem é a operaçãoque tem por fim a determinação do (escalar) duplo produto pontuado dessas matrizes.As propriedades dessas operações são conseqüência imediata das operações entre vetores. Por exemplo:essa operação é distributiva em relação à adição de matrizes (e também de diádicos), isto é,[χ]:[α]+[β]:[α]=[χ])+([β]:[α] .A definição 1 aplica-se, também, para as matrizes retangulares. Particularmente, se as matrizes [ ]321 AAA e[ ]321 BBB , transpostas de matrizes colunas, estão associadas aos vetores a e b em relação à mesma basevetorial, o escalar332211321321BABABABBB:AAA++=representa, precisamente, o produto escalar dos vetores.§ 04.03 – Exercícios.1 – Um diádico qualquer ii ˆea=αααα (i=1,2,3), com conseqüentes independentes, é nulo se todos os seusantecedentes são nulos. Prove que o diádico nulo é único (este diádico é representado por ΟΟΟΟ).2 – O diádico da forma ii ˆˆ eeI = (i=1,2,3) cujos antecedentes e conseqüentes são os vetores de uma mesmabase vetorial ortonormada é dito diádico unidade (e é único). Mostre que vIvIv .. == qualquer que seja o vetorv.3 - Por definição, dado um diádico qualquer ii ˆea=αααα (i=1,2,3) com conseqüentes independentes, chama-se escalar de αααα, e se representa por ααααE, o escalar iiE ˆ .ae=αααα . Comprove, então que EααααΙΙΙΙαααα =: , em que I é odiádico unidade.4 – Por definição, dado um diádico qualquer ii ˆea=αααα (i=1,2,3) com conseqüentes independentes, chama-se vetor desse diádico αααα, e se representa por ααααV, o vetor iiV ˆea ×=αααα em que × simboliza o produto vetorial devetores. Comprove, então que a condição necessária e suficiente para que um diádico seja simétrico é que seuvetor seja nulo.
  • 65. § 04.03 – Exercícios.Campos Tensoriais - Ruggeri455 – Chama-se terceiro (ou determinante) de um diádico αααα, escrito em forma trinomial, e se indica por αααα3,o produto do produto misto dos seus antecedentes pelo produto misto dos seus conseqüentes. Prove que essenúmero é um escalar (um invariante), isto é, um tensor de ordem zero.6 - Um diádico é dito incompleto ou completo conforme o seu terceiro seja, respectivamente, nulo e nãonulo. Provar que é condição necessária e suficiente para que um diádico seja completo, que se terceiro seja nãonulo.7 – Chama-se produto cruzado do diádico qualquer ii ˆea=αααα pelo vetor v, pela direita, e se indica porv×αααα , o vetor )ˆ( ii veav ×=×αααα . Qualquer que seja αααα, v×αααα é sempre incompleto.8 – Comprove para qualquer φφφφ e quaisquer vetores a e b, que:)()( abba.ba −=×× φφφφφφφφ ;TT ])[()( φφφφφφφφ ××−=×× baba ;T.).( φφφφφφφφ ×=× baba ;).().()( φφφφφφφφφφφφ babaab +−=×× ;.aIa )()( ETV φφφφφφφφφφφφ +−−=× e VE)( φφφφφφφφ a.a =× ;9 – O duplo produto cruzado de dois diádicos: iiˆ ae=αααα e jjˆ be=ββββ (i,j=1,2,3), é definido de modoanálogo ao duplo produto pontuado, bastando trocar : por ×× . Assim: ))(ˆˆ( jiji baee ××=×× ββββαααα para i,j=1,2,3. a) -Demonstre que ββββαααα ×× é único (invariante), isto é, um tensor; b) - Se αααα está dado, determine um ββββ , tal que oduplo produto cruzado deles seja o diádico nulo, isto é, ΟΟΟΟββββαααα =×× .10 – Demonstre que ΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφ ET +−=×× , qualquer que seja φφφφ.11 – Chama-se produto pontuado dos diádicos ii ˆea=αααα e jjˆ be=ββββ com (i,j=1,2,3), nessa ordem, e seindica por αααα .ββββ o diádico jjii )ˆˆ( be.ea. =ββββαααα . Provar que esse produto é um tensor e mostrar queETTETET )().()()( ααααββββααααββββββββααααββββααααββββαααα ...: E ==== .12 – Sobre o escalar e o vetor do duplo produto cruzado dos diádicos quaisquer φφφφ e ψψψψ, mostrar queVVV)( φφφφψψψψψψψψφφφφψψψψφφφφ .. +=×× ;EEEE )()( ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ .−=××13 – Duplos produtos com mais de três diádicos: mostrar queχχχχψψψψφφφφχχχχψψψψφφφφ :: ×××× = ;36φφφφφφφφφφφφφφφφ =××: .14 – Chama-se norma de um diádico αααα, e se representa por ||αααα|| o duplo produto pontuado desse diádicopor si próprio. Então: αααααααααααα :=|||| . Provar que a norma de um diádico é um número positivo, e só será nula seesse diádico for o diádico nulo. Determine as normas dos diádicos unidade e nulo.
  • 66. § 04* – Novos desenvolvimentos com os diádicosII, §04.034615 – Chama-se módulo de um diádico não nulo αααα, e se indica por |αααα|, a raiz quadrada positiva de suanorma. Dados dois diádicos αααα e ββββ, demonstre que eles definem um ângulo cujo co-seno vale o duplo produtopontuado deles dividido pelo produto das raízes quadradas dos seus módulos, isto é,1||||1 ≤≤−ββββααααββββαααα:.16 – Estude as normas de duplos produtos de diádicos simétricos e anti-simétricos.17 – Se ei, para i=1,2,3, são três vetores não coplanares (ou independentes) quaisquer, demonstre queexiste sempre o terno ei– dito recíproco com o primeiro - , tal que ei.ej=δijsendo δij=1 para i=j e δij=0 para i≠j(isto é: δ11=δ22=δ33=1 e δ12=δ23=δ31=...=0).18 – No §04.02 (letra b) foi definido o vetor f, produto do diádico K pelo vetor e, pela direita.Consideremos uma expressão geral do mesmo tipo que a anterior,n.f ˆφφφφ=em que f é vetor, nˆ vetor unitário variável e φφφφ um diádico que não dependa nem de f nem de nˆ . Se, porém, paradados iˆn independentes, com i=1,2,3, se conhecerem os seus correspondentes fi, então infi=φφφφ , expressão emque os nisão os recíprocos dos iˆn .19 – Comprove que as derivadas dos vetores do triedro de Frenet (ver §06.01,I) podem ser escritas emfunção desses mesmos vetores na forma:−−=bntbntˆˆˆ0R10R10R10R10ˆˆˆdsdtt.20 – Seja [φφφφ] a matriz associada ao diádico φφφφ em relação a certa base vetorial e [φφφφ]~a matriz cujoselementos sejam os co-fatores dos elementos correspondentes de [φφφφ] extraídos de det[φφφφ]. A [φφφφ]~corresponde umdiádico que denotamos por φφφφ~. Demonstre que, tal como ocorre com as matrizes, a seguinte igualdade diádica ésatisfeita: φφφφ.φφφφ~=φφφφ~.φφφφ=|φφφφ| I. O diádico φφφφ~é dito o adjunto de φφφφ (devendo observar-se que o adjunto de φφφφ~não é φφφφ).21 - Ao diádico completo, φφφφ, está associada uma matriz (não degenerada) que admite inversa. A essamatriz inversa está associado um diádico que, denotado por φφφφ-1, satisfaz a seguinte igualdade: φφφφ.φφφφ-1=φφφφ-1.φφφφ=I. Osdiádicos φφφφ e φφφφ-1são ditos inversos (um é o inverso do outro).
  • 67. Campos Tensoriais - RuggeriCAPÍTULO IIICONCEITO DE CAMPO§ 01 – DEFINIÇÃO DE CAMPO.Diz-se que uma dada região do espaço (ou domínio) é campo de uma propriedade G (ou grandeza G)quando a cada ponto P dessa região e a cada instante t está associado um valor de G segundo a lei dada:t)G(P,G = , (01),suposta continua e unívoca de P e t, bem como suas derivadas até a ordem que se necessitar. Por um pequenodefeito de linguagem, às vezes se confunde a propriedade com o campo dizendo-se: seja o campo G; mas issonão trará confusão ao leitor.Quando a propriedade associada ao ponto é independente do tempo, mas não do ponto, a lei (01) que arepresenta é dita uma função de ponto e o campo é dito estacionário. No caso contrário, diz-se que a lei éfunção do ponto e do tempo e o campo é transiente ou não estacionário.A região do espaço referida na definição de campo – o campo, propriamente - é o domínio do fenômeno(§03 e 04, I) e estes devem ser dados, matematicamente definidos, sempre que possível. A propriedade G a quese refere a definição são as "qualidades" do fenômeno (ver Introdução), ou seja, grandezas físicas que nele sãopostas em jogo. É costume fazer-se referência ao campo pela propriedade, sem mencionar-se o domínio que, emgeral, já está (por evidência) estabelecido. Diz-se, por exemplo: o campo de temperaturas é T=T(x,y,x,t); ou,consideremos o campo elétrico E(P,t) etc..A função (01) também está dada, isto é, de alguma maneira já esta determinada uma das leis que rege ofenômeno em estudo. Em outras palavras, já empregando os termos de costume: pelos campos existentes numdomínio (em que existem tais campos) tem-se a intenção de compreender de uma forma mais didática e maistécnica os fenômenos que nele ocorrem.Nestas condições, o campo poderá ser: escalar, vetorial, diádico ou, genericamente, um campo poliádico.Assim, a lei (01) poderá ser uma função de valor escalar (ou um poliádico de valência zero). Poderá ser,também, uma função de valor vetor (ou poliádico de valência um), ou as três funções de valor escalar em que sedesdobra o vetor; ou uma função de valor diádico que pode desdobrar-se em três funções de valor vetor(bastando ter-se o diádico em forma trinomial), ou em nove funções de valor escalar (quando o diádico estáexpresso em forma cartesiana).No âmbito da Matemática esses conceitos tornam-se mais gerais: a propriedade associada ao ponto poderáser de qualquer natureza (geométrica, como: distância, potência, ângulo etc.) e o domínio poderá ter qualquerdimensão finita, mas a variável “tempo” não recebe destaque especial, como em Física.Nesta abordagem introdutória da Teoria dos Campos interessa-nos, particularmente o estudo dos camposdas grandezas físicas. O campo (ou o domínio) poderá ser o espaço ocupado por um corpo (uma massa material,como o corpo de um cristal), ou o espaço que envolve o corpo (como o que envolve o planeta Terra). Asgrandezas físicas poderão representar "propriedades de um material", ou ser "variáveis postas em jogo" nosfenômenos que ocorrem com esse material.O conceito de campo de uma grandeza apresenta, em Física, notável utilidade uma vez que a matéria ésuposta continua. Nesse caso é possível aceitar-se a idéia de que funções que representem grandezas (como:temperatura, pressão, massa específica, velocidade etc.) não possam estar associadas a um ponto e num instantede forma:a) – descontinua. Pois não caberia, por exemplo, afirmar que entre dois pontos muito próximos, digamos,numa massa líquida, onde as temperaturas são 20°C e 20,05°C, existe um terceiro ponto onde atemperatura é indeterminada;
  • 68. 48 § 02 – Classificação dos camposIII, §02b) – plurívoca. Pois isso permitiria afirmações do tipo: "Num certo instante, a temperatura num ponto deuma massa líquida é de 20°C e, também, de 30°C”.Alem disso, sendo contínua a função (01), o valor de G fica sempre limitado31 em todo ponto do domínio; o queé necessário fisicamente para não se permitir afirmação do tipo: "a pressão nas vizinhanças de um ponto cresceacima de qualquer limite".Importa ressaltar:1°) – que a lei (01) é unívoca no sentido P → G, mas não o é geralmente em sentido contrário.Em outras palavras, dado um ponto P do domínio, a ele está associado o valor G dado por (01); mas dado umvalor de G, não é possível, geralmente, determinar-se o ponto (único) ao qual esteja associado o valor G. Pode,com efeito, existir até uma infinidade de pontos com o mesmo valor G (como veremos no §02 do Capítulo IV);2°) – que a um mesmo ponto podem estar associadas várias grandezas (escalares, vetoriais ediádicas), desde que sejam de diferentes naturezas (massa específica, distância, pressão velocidade,condutividade elétrica etc.), pois, do contrário, o requisito da univocidade da função (01) não estaria preenchido.Finalmente, observemos que, conforme a natureza das grandezas envolvidas em determinado fenômeno,as funções (01) que definem essas grandezas devem ser de classe32 N em relação às variáveis espaciais (x, y e z)e geralmente, de classe dois em relação ao tempo. Oportunamente apelaremos para esta hipótese (final §10, porexemplo).§ 02 – CLASSIFICAÇÃO DOS CAMPOS.Relativamente ao tempo, um campo é classificado como estacionário e não estacionário (ou transiente),conforme a propriedade que o caracteriza seja independente ou dependente do tempo.A segunda característica que distingue um campo é a natureza (ou a ordem) da propriedade que ocaracteriza, podendo ser: escalar, vetorial e diádica33.Uma terceira característica de um campo é a quantidade de parâmetros de que ele depende, e que definea sua dimensionalidade. Nem sempre, porém, o número de coordenadas do ponto genérico do campo é igual àda dimensão do domínio em que ocorre o fenômeno (§ 03 e 04, I). Assim, um campo pode ser bidimensional(logo, bi-paramétrico) e seus pontos serem definidos por três coordenadas (ver exemplo 5 à frente).A rigor, recordando o que já foi mencionando (Cap. I), todos os campos ocorrem no espaço físicotridimensional e são tridimensionais (ou triparamétricos); mas em variadas situações na abordagem de problemasconcretos de física e engenharia, certas idealizações (aproximações da realidade) permitem conceber certosfenômenos realizando-se no espaço físico unidimensional (como o escoamento de um fluido por uma tubulaçãolonga de pequeno diâmetro), ou no espaço físico bidimensional, os resultados (ou previsões de eventos) advindosdessas aproximações sendo praticamente concordantes com as observações34. Outras vezes, mais raras, nummesmo fenômeno, o campo de uma grandeza pode ser bidimensional e o campo de outra, tridimensional.Supondo que o domínio de certo campo fosse unidimensional e definido por certa linha L (§04.01,I) deequações paramétricas X=X(λ), Y=Y(λ) e Z=Z(λ), qualquer propriedade associada ao ponto genérico P≡(X,Y,Z)do campo, na forma (01), dependerá, evidentemente, de um parâmetro de posição (λ, no caso) além do tempo,seja ela uma propriedade escalar, vetorial ou diádica.31 Toda função contínua num ponto é limitada nesse ponto (veja Tibiriçá, bibl. 10, p.108, §2, item 34.3).32 Diz-se que uma função é de classe N em relação a um grupo de variáveis quando ela e suas N primeiras derivadas são funçõescontínuas e unívocas dessas variáveis.33 A ordem do tensor é uma característica intrínseca da propriedade.34 As diferenças de resultados que se obtêm considerando o domínio do campo como tridimensional e com menor dimensão (uma ouduas) são, em muitas situações, praticamente insignificantes, podendo e devendo ser avaliadas experimentalmente.
  • 69. § 02 – Classificação dos campos.Campos Tensoriais - Ruggeri49Raciocínio análogo será feito para mostrar que se o domínio de um campo é bidimensional (§04.02,I) –logo, de ponto genérico definido por X=X(U,V), Y=Y(U,V) e Z=Z(U,V) - então a propriedade associadadepende de dois parâmetros (além do tempo).Podemos, assim, fazer uma classificação dos campos conforme o quadro sinóptico abaixo:métricoou tripara3Dicobiparamétrou2Dricouniparamétou1DfenômenodoDomínioDiádicaVetorialEscalarepropriedaddaNaturezaTransienteioEstacionárTempocamposdosçãoClassificaPara tornar mais prática a classificação, poder-se-ia detalhar um pouco mais a parte geométrica sempreque o domínio (o campo, enfim) tivesse uma forma conhecida, o que é o caso mais comum. Assim, um domíniounidimensional poderia ser retilíneo ou curvilíneo, e neste último caso sua curva poderia ser plana ou reversa(espacial). Nesse caso falaríamos de um campo estacionário ou transiente, escalar, vetorial ou diádico, retilíneoou com uma curva especificada (uma circunferência, uma hélice etc.). O mesmo procedimento poderia seradotado para a especificação dos campos 2D e 3D.Mais prático e útil, ainda, seria utilizar nomenclaturas de uso consagrado seja na Física ou na Engenharia(sem nunca perder de vista as nomenclaturas próprias da Matemática).Os domínios 1D em engenharia (§04.01,I) costumam ser denominados: barras (se rígidos) ou cabos (seflexíveis). As barras podem ser retilíneas ou curvilíneas (como as “molas”); os cabos em geral assumem a formade um arco de catenária e têm seção circular (como nas pontes penseis).Os domínios 2D chatos (no sentido físico), ou planos (no sentido matemático), em algumas situações, sãodenominados “placas” (como uma laje, nas estruturas de engenharia). Os domínios 2D curvos (no sentido físico),ou em forma de superfície (no sentido matemático), são “membranas” ou “cascas” na engenharia (§04.02,I).Neste último caso poderiam ter forma cônica, cilíndrica (de seção reta circular ou elíptica, como os tanques nasrefinarias) e de outras quádricas (esférica, como um reservatório de gás; elipsoidal; paraboloidal, como alguns“tetos”; hiperboloidal, como algumas “chaminés” etc.). Um tubo em forma de anel seria um toro, uma superfícieaxi-simétrica.Alguns domínios podem ser representados no sistema cilíndrico em função das coordenadas r e z apenas,e são ditos axi-simétricos.Os domínios 3D chatos são os “blocos” e assumem formas poliédricas (piramidais, prismáticas etc.). Osdomínios 3D curvos (§04.03,I)) são os corpos maciços cuja superfície exterior é curva, como o gancho ligado aocabo de um guindaste, uma turbina com seu eixo e suas pás (de uma hidrelétrica, de um navio, de um avião), ovirabrequim de um motor, algumas ferramentas, elementos diversos de um mecanismo etc..Poderíamos, então, classificar os campos de uma forma mais ampla e prática seguindo a tabelaapresentada em apêndice no final do capítulo.Faremos referência, pois, a campo escalar estacionário e unidimensional (na reta, na curva plana, ou nacurva espacial), campo vetorial não estacionário e bidimensional bi-paramétrico (num plano, ou sobre umasuperfície) etc.. Em qualquer um dos casos o ponto genérico do domínio poderá ser definido por uma, duas outrês coordenadas, estas sendo funções de tantos parâmetros quantos forem a sua dimensão. Quanto àpossibilidade da existência de campos de diádicos uni, bi ou tridimensional nada se pode dizer por enquanto; talquestão será abordada no §5.
  • 70. 50 § 03 – Exemplos de campos.III, §03§ 03 – EXEMPLOS DE CAMPOS.Alguns exemplos reais de campos ajudarão a compreender melhor e mais rapidamente os conceitos até aquiintroduzidos, talvez ainda um pouco subjetivos.Exemplo 1: um campo de distânciasImaginemos um ponto O, fixo no espaço, que tomamos para origem de um sistema triortogonal decoordenadas O-XYZ. A cada ponto P do espaço, de coordenadas (X,Y,Z), é possível associar sua distância r aoponto O, dada através da lei222 ZYXr +++= .Essa função é contínua e unívoca para qualquer terno (X,Y,Z) de números reais. Logo, o espaço que envolve oponto O (no qual se inclua o próprio ponto O) constitui um campo da propriedade: "distância ao ponto O". Talcampo é estacionário, escalar e tridimensional (r é função de três parâmetros: as próprias coordenadas do ponto).Mas a fronteira do domínio desse campo de distâncias ainda não está especificada.Se X, Y e Z forem funções de um parâmetro λ que variem entre os limites conhecidos A e B, o campodistância será estacionário, escalar e unidimensional. O domínio desse campo será, um arco de curva espacial,curva plana, eventualmente um segmento de reta, cuja fronteira estará definida pelos valores A e B. Se X, Y e Zforem funções de dois parâmetros, o campo distância será estacionário, escalar e bidimensional; e o domínio seráum fragmento de superfície, eventualmente um fragmento de plano cujas fronteiras serão definidas pelos limitesde variação dos parâmetros.Qual seria o domínio do campo (estacionário, escalar e bidimensional) de distância em que X=Rcosθcosφ,Y=Rcosθsenφ e Z=R? Fixe alguma fronteira para o mesmo. Qual seria o domínio do campo de distâncias,definido como o anterior, porém com Z≤R?Exemplo 2: o campo gravitacional terrestreEm Física, o chamado campo gravitacional terrestre é a região do espaço que envolve a Terra, a cadaponto P do qual está associada a seguinte propriedade: qualquer corpo de massa M, ali abandonado, é atraídopara o centro O da Terra com uma força que é proporcional a M e inversamente proporcional ao quadrado dadistância r que separa o ponto do centro da Terra. Em outras palavras, ao ponto em questão está associado umvetor força, f, mediante a lei:uf ˆrMk2−= , (r≠0),onde k é um escalar constante e uˆ é o vetor unitário de direção OP e sentido de O para P. Pelo exemplo 1, rdepende de três parâmetros. Como vetor unitário uˆ , variável, por ter a direção OP, pode ser expresso em funçãodas coordenadas do ponto (que definem r), resulta que esse campo de força é estacionário, vetorial etridimensional (porque o campo r assim o é, conforme exemplo 1).Exemplo 3: o campo das velocidades de um líquido em escoamentoConsideremos um reservatório cilíndrico cheio com um líquido (água, por exemplo), munido de umregistro fechado, instalado em sua parte inferior, e dentro do campo gravitacional terrestre.Em todos os pontos da massa líquida, grandezas escalares (como temperatura e pressão) e grandezasvetoriais (como a força de atração gravitacional sobre cada partícula de água, velocidades de partículas etc.)podem ser associadas a cada ponto do espaço ocupado pelo líquido (o domínio do fenômeno que nos interessa).
  • 71. § 03 – Exemplos de campos.Campos Tensoriais - Ruggeri51Assim, ficam definidos campos escalares e vetoriais suas expressões matemáticas sendo conhecidas na Mecânicados Fluidos.Se admitirmos que a temperatura seja constante em toda a massa líquida, diremos que o campo dastemperaturas é uniforme (a temperatura não varia com o ponto)35. Também é uniforme o campo das forçasgravitacionais existentes nessa região, pois diferem muito pouco as distâncias que separam cada partícula docentro da Terra, bem como as direções dessas forças (que poderiam ser consideradas praticamente paralelas).A abertura do registro fará com que cada partícula líquida, por ação da força da gravidade relativa aoponto em que ela se encontra, entre em movimento, caracterizando o escoamento do líquido (o fenômeno). Acada ponto P do espaço interior à massa líquida em movimento (do domínio do fenômeno) estarão associados,em cada instante, o vetor velocidade e a pressão que cada partícula líquida adquire ao passar por ali; o campo daspressões e o campo das velocidades serão, pois, transientes. Intuitivamente percebe-se, relativamente àsdimensões, que tais campos são tridimensionais.Se o escoamento foi realizado com nível constante (por admissão de líquido ao reservatório à mesma taxado escoamento), ocorrerá, nos primeiros instantes após a abertura do registro, um regime transiente para asvelocidades (pois estas eram nulas inicialmente); ocorrerá logo uma estabilização, ficando associado a cadaponto, a partir de então, o mesmo vetor velocidade (mas vetores diferentes para pontos diferentes). Estabelece-sedesse modo, no "espaço líquido" (no domínio), um campo estacionário de velocidades, ainda tridimensional.Por este exemplo real percebe-se com facilidade que os campos transientes alteram-se a todo instante,contrariamente aos estacionários ou permanentes que, como os próprios nomes sugerem, uma vez instalados,conservam-se no tempo.Exemplo 4 – um campo tridimensional de temperaturasImaginemos no espaço um corpo esférico, de raio R e centro O, dotado de grande quantidade de calor,mantido à temperatura constante, θ0, corpo esse que aquece o espaço (o fenômeno). O espaço que envolve essecorpo (o domínio do fenômeno, digamos uma esfera de raio A) é um campo de temperaturas. Não vamos nospreocupar com importantes considerações que poderiam ser feitas sobre o fenômeno de aquecimento do espaço(como o de o espaço ser homogêneo e isótropo, a presença de atmosfera etc.). Pretendemos, porém, determinar alei de distribuição das temperaturas no domínio supondo que a queda de temperatura da superfície do corpo (umasuperfície esférica) para o ponto genérico P do espaço distante r do centro do corpo, θ0-θ, seja proporcional àdistância PO=r-R. Deduzimos, imediatamente:Queda de temperatura=θ0-θ=K(r-R),onde K é uma constante de proporcionalidade dada em °C/m.Vê-se, assim, que se for θ0=constante, tal campo escalar (o campo θ, como se diz habitualmente) variaráapenas com r, seu domínio sendo tridimensional (porque o de r o é). Como r é independente do tempo, o campo éestacionário.Exemplo 5 – Um campo unidimensional de temperaturas.O espaço (o domínio) que envolve um fio retilíneo de pequena espessura, decomprimento "infinito" (modo matemático de expressar que o fio tem comprimento muitomaior que sua espessura), uniformemente aquecido, com alta temperatura θ0, é sede de umcampo de temperaturas. Pretendemos caracterizar esse campo supondo que a temperatura emcada ponto P do domínio dependa apenas de sua distância r ao eixo do fio.Da hipótese concluímos imediatamente que a todos os pontos de uma mesma reta sparalela ao eixo do fio esta associada a mesma temperatura (o eixo é uma direção preferencial do domínio).35 A palavra uniforme é, aqui, usada com o significado de não variável com o ponto. Não se deve confundir campo uniforme com funçãounívoca (às vezes denominada uniforme), característica de (1.1).
  • 72. 52 § 03 – Exemplos de campos.III, §03Então, aos pontos de uma mesma superfície cilíndrica de seção circular de raio r está associada a mesmatemperatura (Figura III,1).Em vista dessa simetria de distribuição de temperaturas em relação ao eixo do fio, podemos concluirserem idênticas estas mesmas distribuições sobre planos perpendiculares ao eixo e do fio; planos esses todosparalelos. Estamos, assim, em presença de um campo escalar, 1D e estacionário.Esse domínio tem natureza cilíndrica e para caracterizá-lo parametricamente é apropriada a adoção de umsistema cilíndrico de coordenadas (§04.01,I) tendo o eixo do fio como, digamos, eixo dos z, mas como visto, θnão depende de z. No plano ortogonal a z, adotando-se uma direção OX arbitrária para se medirem os ângulos θ,os pontos da superfície cilíndrica que contem P terão as coordenadas (cilíndricas) r, θ, Z, os Z sendo medidos apartir de uma origem arbitrária fixada, r sendo comum a todos os pontos. Como nesse plano genérico atemperatura nos seus vários pontos não depende de θ, mas só de r, podemos escrever: θ-θ0=Kr , comK=constante (em °C/m). Vemos, assim, pela expressão matemática da lei, que θ depende de apenas umparâmetro: r. Assim, o campo é estacionário, escalar e 1D.Exemplo 6 – O escoamento no vertedouro de uma barragem.Nas aplicações da Física à Engenharia, os campos planos (2D sem curvatura) e axiais (1D sem curvatura),escalares ou vetoriais, são muito comuns, mas surgem sempre como conseqüência de hipóteses aceitáveis, válidasde modo aproximado (aceitáveis do ponto de vista prático) e que visam simplificar o tratamento matemático decertas questões (conforme frisamos no § 02).Esse modo prático de proceder é amplamente visualizado no escoamento da água nos vertedouros debarragens, conforme ilustrado pela Figura III.2. Devemos aceitar que o escoamento seja idêntico em qualquerplano paralelo ao plano XY (qualquer fluxo na direção ortogonal ao plano XY é desprezível), o que caracteriza odomínio como 2D chato. Nesses planos, especificamente, aceitamos ainda a idéia de que à distância X>A, àmontante da barragem, o campo das velocidades das partículas seja uniforme (todos os vetores velocidade sãoiguais).Entretanto, sobre a ogiva do vertedouro (X<0), o campo das velocidades é 1D retilíneo (ai todos osvetores são também, iguais). Para 0<X<A, a influência da barragem noescoamento consiste em provocar uma pequena perturbação na distribuiçãodas velocidades (constantes) existentes para X>A, tornando esse campo, ai,não uniforme, mas ainda, 2D chato. Para X>A a lei de correspondência davelocidade com o ponto é v=constante e, no caso, iv ˆv−= , se iˆ for um vetorunitário ligado ao eixo X e de sentido contrário ao fluxo; para X<A não seconhece a lei, mas é possível fazer determinações experimentais com relativafacilidade. Na outra extremidade da ogiva do vertedouro ocorre umaperturbação no fluxo 1D retilíneo e uniforme já caracterizado, mas não odiscutiremos aqui.Exemplo 7 – Campo magnético produzido por corrente elétrica.Quando uma corrente elétrica de intensidade constante, i, percorre um fio retilíneo36, oespaço que envolve o fio passa a ser sede de um campo magnético (um campo vetorial), a cadaponto do qual podendo associar-se um vetor h (Figura III,3), denominado tradicionalmente campomagnético, cujo módulo é a intensidade do campo magnético. Esse vetor, h, é dado pela lei:rkh ×= ˆRAi2(R≠0),36 Estamos examinando uma situação particular (fio retilíneo), mas, recorrendo a outras considerações, o problema tem solução numasituação qualquer.
  • 73. § 03 – Exemplos de campos.Campos Tensoriais - Ruggeri53onde, conforme ilustrado na Figura III.3, R é a distância do ponto P ao fio, r é o vetor posição de P, kˆ é ounitário da direção definida pelo fio e A é uma constante.Tomando o eixo do fio como eixo OZ (de unitário kˆ ) de um sistema de referência, os eixos OX deunitário iˆ e OY de unitário jˆ estarão, evidentemente, num plano ortogonal a OZ conduzido por O (formando umtriedro direto); e poderemos escrever:, sucessivamente:kjir ˆZˆYˆXOP ++==− , R2=X2+Y2,e para R≠0,)ˆXˆY(YXAiZYX100ˆˆˆYXAi2222jikjih +−+=+= .Vemos, assim, que o campo h é bidimensional. Se a corrente for variável com o tempo, o campo hcontinuará sendo bidimensional, porém, não estacionário.Observação:Na definição de campo (§01) ficou bem caracterizada a necessidade da continuidade da lei (01), da qualapresentamos sete exemplos. No estudo de algum fenômeno poderão ocorrer campos com pontos, linhas esuperfícies de descontinuidade. Por exemplo: ocorre descontinuidade nos campos vetoriais seguintes: doexemplo 2, para r=0 e do exemplo 7, para R=0. Tais pontos, linhas e superfícies devem ser isolados, razão pelaqual introduzimos as restrições r≠0 no exemplo 2 e R≠0 no exemplo 7. Nesses casos esses campos devem serestudados "nas vizinhanças desses pontos" onde ocorre descontinuidade.Exemplo 8*– O campo dos deslocamentos na Teoria da Elasticidade.O sólido real - antagônico do corpo rígido da Mecânica Racional - deforma-se (constituindo umfenômeno) quando sujeito à ação de esforços. O espaço D ocupado pelo sólido antes do início das deformações(o domínio) transforma-se num domínio D depois de cessadas as deformações.Para dado sólido e para dado conjunto de esforços, será possível, assim, fazer corresponder a cada pontoP de D um vetor deslocamento, PP , que liga P ao ponto P’ de D’. Se o sólido tem estrutura contínua e odeslocamento de D para D se faz de modo contínuo, fica definido em D, pelo vetor PP , um campo dedeslocamentos.Referindo o espaço a um sistema fixo de referência O-XYZ, de vetores de base direta }ˆ,ˆ,ˆ{ kji ,escrevemos: kjir ˆZˆYˆX ++= e kjir ˆZˆYˆX ′+′+′=′ . Supostas conhecidas as "funções deslocamento" U, V e W- coordenadas do vetor deslocamento ∆∆∆∆=r-r - vem:U=X-X=U(X,Y,Z,t), V=Y-Y= V(X,Y,Z,t) W=Z-Z= W(X,Y,Z,t).O campo ∆∆∆∆ é de suma importância no estudo das deformações em Teoria da Elasticidade; é não estacionário etridimensional (podendo, em muitos casos, ser considerado plano).Exemplo 9*– O campo do tensor das tensões.Quando um sólido real está sujeito à ação de forças, os deslocamentos dos seus pontos (conforme visto noexemplo 8) são acompanhados de esforços que se desenvolvem entre partículas do próprio sólido (esforçosinternos) – como uma reação - e que tentam restabelecer a sua forma original (esse é o fenômeno).
  • 74. §04*– Campos de diádicos simétricosII, §04.0154Se em torno de um ponto P do sólido deformado (Figura II.4) se considera um fragmento de plano de áreadS cuja normal seja definida por um vetor unitário (dado) nˆ , a resultante das forças inter-partículas (do sólido)cujos suportes atravessem o elemento dS, por unidade de área, definirá o vetor tensãono ponto P, escrevendo-se:dSdnf=σσσσr.O vetor nσσσσrestá, pois, associado à direção nˆ no ponto P, e a cada nˆ corresponderáum nσσσσr. Então, nσσσσrdepende de P e de nˆ (ou seja, de 5 parâmetros). Decompondo-seo vetor nσσσσrem relação a uma base ortonormada { 321 ˆ,ˆ,ˆ eee }, escrevemos:in3n2n1nn ˆˆˆˆi321eeee σ=σ+σ+σ=σσσσr, onde )tZ,Y,X,(ii nnσ=σ são funções conhecidas.Demonstra-se na Teoria da Elasticidade que se são conhecidos três vetores tensão, digamos 1σσσσr, 2σσσσre 3σσσσr,em torno de um ponto P do sólido, cada um relativo a uma direção definida por um vetor unitário iˆn (i=1,2,3) -direções essas que podem ser consideradas ortogonais entre si, mas quaisquer - então é possível determinar, emP, o vetor tensão σσσσrrelativo a qualquer outro elemento plano de normal mˆ . Como a cada vetor iˆn correspondeum vetor iσσσσrpodemos definir com eles um diádico ii ˆnσσσσΣΣΣΣr= - denominado diádico de tensões do ponto P - jáescrito em forma trinomial (§03.02,II) porque os iˆn são não coplanares. Vê-se, assim, que o corpo em si écampo em geral estacionário e tridimensional de um diádico simétrico ΣΣΣΣ. Conforme a Teoria da Elasticidade (elembrando operação de multiplicação pontuada entre diádico e vetor): m. ˆΣΣΣΣσσσσ = . Assim, o corpo é, ainda, campodos vetores σσσσ, em geral estacionário, mas 5D porque depende das 3 coordenadas do ponto e de dois parâmetrospara caracterizar mˆ .Se decompusermos cada um dos vetores tensão (os conhecidos, σσσσk, e o desconhecido, σσσσ) em relação àbase { 321 ˆ,ˆ,ˆ eee }, isto é, se jkjk ˆeσ=σσσσr, ii ˆeσ=σσσσre se pp ˆMˆ em = , então:σσσσσσσσσ=σσσ333231232221131211323211MMM. ,expressão em que (prova-se, também, na Teoria da Elasticidade) σij=σji, isto é, a matriz 3x3 é simétrica.Demonstra-se, ainda, que numa transformação ortogonal de coordenadas, as tensões σij se transformamsegundo o "regime tensorial" ((04).a, ou (05).a,§03.02,II), o que permite caracterizá-las como as "coordenadasde um tensor simétrico de ordem dois" (§03.02,II).Campos Diádicos§04*– CAMPOS DE DIÁDICOS SIMÉTRICOS§04.01 – Características geométricas.Suponhamos que, em relação a um sistema cartesiano ortogonal fixo, direto, de origem O, eixos OXi(i=1,2,3) e vetores unitários respectivos iˆe , se possa fazer corresponder a cada ponto P do domínio de umfenômeno (como no exemplo 8), segundo uma lei qualquer dada, um diádico simétrico, S, representado por suamatriz associada=333231232221131211SSSSSSSSSS (Sij=Sji).
  • 75. §04.01 – Características geométricas.Campos Tensoriais - Ruggeri55Seja kˆn o unitário de dada direção que tem por co-senos diretores os números Nki; escrevemos:ikik ˆNˆ en = em forma vetorial e=k3k2k1kNNN}ˆ{n em forma matricial, (01),com[ ] 1NNNNNN.NNN}ˆ.{}ˆ{ 2k32k22k1k3k2k1k3k2k1kTk =++==nn , (02).Definições:1 - Denominaremos projetante do diádico S em relação à direção kˆn , o vetor ikik ˆP ep =definido pela expressão:.S}ˆ{}ˆS.{PPP}{ Tkkk3k2k1k nnp === , (03);2 – Denominaremos coordenada radial do diádico S em relação à direção kˆn , e adenotaremos por ρk, a projeção de sua projetante relativa kˆn sobre kˆn ,isto é:},ˆ{S}ˆ{ˆ 1T1111 n..nn.p ==ρ },ˆ{S}ˆ{ˆ 2T2222 n..nn.p ==ρ etc., (04);3 – Denominaremos ainda, componente transversal do diádico S em relação à direção kˆn , ea denotaremos por kττττr, o vetor que somado ao vetor ρk kˆn restitui o vetor pk,isto é:1111 ˆnp ρ−=ττττr, 2222 ˆnp ρ−=ττττretc. (05).É evidente que para qualquer k=1,2,3:2k2k2k τ+ρ=p , (06).Consideremos agora, pelo ponto P, três direções definidas pelos unitários 1ˆn , 2ˆn e 3ˆn ortogonais entresi. A componente transversal do diádico relativa a kˆn (para k=1,2,3), kττττr, por ser ortogonal a kˆn , será paralelaao plano definido por iˆn e jˆn se i≠j≠k≠i; sendo possível, então, decompor-se kττττrnas direções iˆn e jˆn . Tem-se,denotando por τki e τkj aquelas componentes:313212111 ˆˆˆ nnnp τ++ρ= ττττ , 323221122 ˆˆˆ nnnp τ+ρ+= ττττ etc. (07),sendo, evidentemente:}ˆS.{.}ˆ{.ˆ kTrkrkr nnpn ==τ , (k,r=1,2,3) (08).
  • 76. §04*– Campos de diádicos simétricos.III, §04.0256Tem-se ainda, lembrando que S=ST:rkrTkkTrkr }ˆS.{.}ˆ{}ˆS.{.}ˆ{ τ===τ nnnn , (k,r=1,2,3) (09).Definição:Denominaremos as coordenadas τki e τkj da componente transversal kττττrdo diádico S relativo àdireção kˆn de coordenadas transversais parciais de S em relação a iˆn e jˆn .Concluímos:O diádico simétrico S apresenta, no ponto genérico do seu campo, em relação a três direções ortogonaisconduzidas por esse ponto: três coordenadas radiais (uma correspondente a cada direção) e três pares distintos decoordenadas transversais parciais, cada par correspondendo-se com um par de direções ortogonais distintas.As seis expressões (04) e (08) podem ser escritas simultaneamente na forma matricial compacta:Tn ]M[.]S[.]M[]S[ = , (10),em queρτττρτττρ=332312322113121n]S[ ,=333231232221131211SSSSSSSSS.[S] e=333231232221131211NNNNNNNNN]M[ , (11).As matrizes têm significado claro: [S]n e [S] são, respectivamente, as expressões do diádico S em relação aosvetores de base (direta) nova { 1ˆn , 2ˆn , 3ˆn } e { 1ˆe , 2ˆe , 3ˆe }, a base antiga; e [M], a matriz de mudança da baseantiga para a base nova, a sua j-ésima linha sendo formada com as coordenadas do vetor de base jˆn em relação àbase antiga (§03.02,II).A expressão (10) é, então, a própria lei do "regime tensorial" segundo o qual devem se transformar ascoordenadas de S.É evidente, então, que quando os vetores 1ˆn , 2ˆn e 3ˆn forem paralelos a 1ˆe , 2ˆe e 3ˆe , respectivamente, amatriz [S]n se identifica com a [S]. Concluímos:"Os elementos da diagonal principal da matriz [S] associada ao diádico S do ponto P do campo(da grandeza S), em relação à base { 1ˆe , 2ˆe , 3ˆe }, respondem pelas coordenadas radiais de S nasdireções definidas pelos vetores de base { 1ˆe , 2ˆe , 3ˆe }; os demais elementos respondem pelascoordenadas tangenciais parciais entre as mesmas direções."§04.02 – Significado físico.A projetante de um tensor S, suas coordenadas radiais e suas coordenadas transversais parciais podem terdiferentes significados físicos conforme o significado de S num e noutro fenômeno.Em Elasticidade, S poderá representar o tensor das tensões ou o das deformações relativamente ao pontogenérico P de um corpo em estado de tensão e deformação (ver exemplo 9, §03). No caso das tensões, a
  • 77. §05 – Campos 1d e 2d de escalares, vetores e diádicosCampos Tensoriais - Ruggeri57projetante de S em relação a dada direção definida pelo unitário nˆ é o vetor tensão total sobre um elementoplano ortogonal a nˆ que contenha P; as componentes radial e transversal de S (dois vetores) em relação a nˆ sãoos vetores tensão normal e tensão tangencial sobre o elemento plano. As coordenadas da tensão tangencial emrelação a duas direções ortogonais quaisquer no elemento plano, isto é, as tensões de cisalhamento, são ascoordenadas tangenciais parciais.§05 – CAMPOS 1D E 2D DE ESCALARES, VETORES E DIÁDICOSDo ponto de vista físico, quando o domínio em que ocorre um fenômeno tem duas dimensões geométricasda mesma ordem de grandeza e uma terceira muito maior que as primeiras (caso de uma barra de ferro redondo,uma barra em cantoneira de uma treliça, uma mola cônica ou helicoidal etc.), ele é um campo unidimensional(§04.01,I) e as grandezas nele postas em jogo podem ser escalares, vetoriais e tensoriais (Cap. II). Relembremosque podem ser necessárias até 3 coordenadas para definir-se o ponto genérico do campo, essas coordenadaspodendo ser cartesianas retilíneas, ou curvilíneas (cilíndricas e esféricas); vamos usar as cartesianas X1, X2 e X3,mas poderia ser qualquer uma delas.Conforme visto (§04.01,I), um campo uniparamétrico pode ser fisicamente materializado por uma linha Lno espaço – o eixo do campo (Figura III,5.a) – de equações paramétricas:λ=λ=λ=)(XX)(XX)(XX332211, (01),o parâmetro λ variando dentro de um intervalo definido de conformidade com a geometriado domínio, isto é, intervalo que definirá as fronteiras do domínio. O domínio poderá ser,então, um fragmento (um arco) da linha L.Analogamente, um campo bidimensional é definido por uma superfície S no espaço – a superfície médiado campo – de equações paramétricas:µλ=µλ=µλ=),(XX),(XX),(XX332211, (02),em que os parâmetros λ e µ, variando dentro de intervalos definidos, definirão as fronteiras dodomínio do campo. O domínio é a área hachurada (sobre S) indicada na Figura III,5.b. Essas fronteiras (quatrocurvas reversas no máximo) poderão, assim, caracterizar o domínio como um fragmento (uma região) dasuperfície S.Ao ponto genérico, P, desses domínios estará associada a propriedade G: escalar, vetorial ou diádica,definida pela lei (01), isto é, por G=G(P,t). No domínio L tal propriedade dependerá do parâmetro λ; no domínioS, similarmente, dependerá de dois dos parâmetros λ e µ. Não cabendo perquirições sobre a propriedade G forado domínio do campo, concluímos:1°) – Em L será G=G(P,t)=G(X1,X2,X3,t), ou considerando (01): G=G(λ,t). Se fixarmos sobre L umponto A como origem de medida dos arcos s de curva L, ao qual corresponde o valor λA do parâmetro λ, ocomprimento s de um arco da curva de origem A e extremidade P será:)(d)ddX()ddX()ddX(sA232221λψ=λλ+λ+λ= ∫λλ,
  • 78. §05 – Campos 1d e 2d de escalares, vetores e diádicos.III, §0558pois,2322212322212)dddX()dddX()dddX()dX()dX()dX(ds λλ+λλ+λλ=++= .Logo:G=G”(s,t), (03).Assim, referido o domínio ao eixo curvilíneo L, cada ponto estando definido por sua abscissa curvilínea s medidasobre o eixo a partir de A, tem-se:a) – se G for grandeza escalar, a cada s sobre L estará associado um valor de G calculado por (03);b) – se G for uma propriedade vetorial, (03) assumirá a forma:bntG ˆt)(s,G"ˆt)(s,G"ˆt)(s,G" 321 ++= ,onde tˆ , nˆ e bˆ são os unitários do triedro de Frenet-Serret de L em P (§06.01,I); logo, tais vetores são funçõesde P e t. Ora,Todo vetor associado a um ponto qualquer de um domínio unidimensional é,necessariamente, tangente ao eixo do domínio.Logo, deverá ser, necessariamente, tG ˆ)t(s,G"1= .c) – se G for uma propriedade diádica, e se S é o diádico associado a P, então, como todo vetorconsiderado nesse domínio deve ser necessariamente paralelo a tˆ , a projetante de S (§04) na direção definidapelo unitário tˆ será: tSp ˆ.= . Mas como o vetor p deve também pertencer ao domínio, sendo, então, paralelo atˆ , o diádico S fica reduzido à forma monomial ttS ˆˆS= , com S=S(P,t) e )t,P(ˆˆ tt = . Assim,Todo diádico associado a um ponto qualquer de um domínio tridimensionaluniparamétrico é unilinear, sua (única) direção sendo a da tangente ao eixo dodomínio.A matriz associada ao diádico S em relação à base { tˆ } é, pois, a matriz 1x1 cujo elemento é S(P,t). Se, porém,referirmos o diádico S à base vetorial de Frenet-Serret, a matriz associada a S será=00000000t)S(P,][ tnbS , (04),valendo observar que a matriz associada a S em relação ao sistema O-X1X2X3 não apresenta nenhum elementonulo necessariamente.Em qualquer um dos três casos atrás considerados o domínio poderá, ainda, ser uma linha plana, ou umareta, casos em que o campo unidimensional é dito “de linha plana” e de “linha reta”.O diádico do ponto P do campo unidimensional de linha plana poderá ainda ser escrito na forma ttS ˆˆS= ,com S=S(P,t) e )t,P(ˆˆ tt = , mas agora tˆ é o unitário da tangente à curva (plana) do domínio. Como o unitário dabinormal é ortogonal ao plano da curva, a matriz associada ao diádico em relação ao triedro de Frenet-Serret seráainda do tipo (04).Com o mesmo raciocínio poderíamos deduzir resultados análogos para o caso de campo unidimensionalde linha reta.
  • 79. §05 – Campos 1d e 2d de escalares, vetores e diádicosCampos Tensoriais - Ruggeri592°) – Em S será G=G(P,t)=G(X1,X2,X3,t)=G(λ,µ,t). Sobre a superfície S poderemos implantar umsistema de referência do seguinte modo.Quando fixamos um valor para um dos parâmetros, digamos µ=µ0, a expressão de G torna-se uma funçãode λ (além do tempo). Então, para dado t, a cada valor de λ corresponderá um valor de G obtido sobre a curvaM0 (geralmente reversa), de equação G=G(λ,µ0,t), que pertence necessariamente à superfície S. Poderemos,assim, cotar sobre M0 os valores de λ e os valores correspondentes de G. Com um novo valor atribuído a µ,digamos µ=µ1, obteremos uma segunda curva M1 sobre S, de equação G=G(λ,µ1,t), também pertencente a S, ecotá-la de modo análogo ao adotado para a curva M0. É evidente que poderemos traçar quantas curvas nosinteressar sobre a superfície S.Quando fixamos um valor para o parâmetro λ, digamos λ=λ0, a expressão de G torna-se função de µ (e dotempo). Tal como anteriormente, para o mesmo t considerado, obteremos sobre S uma curva L0 que tambémpode ser cotada em valores de G e correspondentes µ. Imaginemos que tenhamos realizado procedimentoanálogo para µ=µ1, obtendo uma curva cotada L1 e tantas outras quantas desejarmos.Sobre S teremos traçado, desse modo, uma rede definida por duas famílias de curvas, por cada pontopassando duas e apenas duas curvas (Figura II,5.c), ditas as coordenadas curvilíneas do ponto. Um desses pontospoderá ser tomado como origem, digamos o correspondente ao par (λ0, µ0), ponto A; ao ponto genérico P de Scorresponderá o par.Adotemos a curva µ0, correspondente a λ=λ0, para origem de medida de arcos sobre a curva genérica λ.Um arco de comprimento λ terá, pois, origem na interseção da curva µ0 com a λ eextremidade na interseção da curva µ (escolhida, ≠µ0) com a λ (Figura III,5.c). Então:)f(d)X()X()X(s0232221λ=λλ∂∂+λ∂∂+λ∂∂= ∫λλλ ,as derivadas parciais sendo calculadas com o valor escolhido de µ.Analogamente, se adotarmos a curva λ0, correspondente a µ=µ0, para origem de medida de arcos sobre acurva genérica µ, um arco de comprimento µ terá origem na interseção das curvas λ0 e µ, e extremidade nainterseção das curvas λ (escolhida, ≠λ0) e µ; e teremos:)g(d)X()X()X(s0232221µ=µµ∂∂+µ∂∂+µ∂∂= ∫µµµ .Então:G=G”(sλ,sµ,t), (05).Assim, referido o domínio ao sistema de coordenadas curvilíneas cujos arcos separam o ponto genérico deS - interseção de (λ,µ) - e o ponto A de interseção de (λ0,µ0) - origem do sistema (Figura III,5.c) - tem-se:a) – Se G representar uma grandeza escalar, a cada sλ sobre L e sµ sobre M estará associado um valor deG calculado por (05);b) – Se G representar uma grandeza vetorial, (05) assumirá a formaµµλµλµλλ += eeG ˆ)t,s,s(Gˆ)t,s,s(G ,
  • 80. §06 – Os diádicos em diferentes sistemas de referência.II,§0660onde λeˆ e µeˆ são os unitários das tangentes às curvas L (ou λ) e M (ou µ), respectivamente, no ponto genéricode S, sendo estas, em geral, não ortogonais. De fato, pois não caberia a consideração de qualquer G fora dodomínio, isto é, nenhum desses vetores poderia ter componente paralela ao unitário ),(ˆ µλn normal à S no pontogenérico;c) – Se G representar uma propriedade diádica, e se S for o diádico do ponto genérico, sua projetante(§04.01) na direção do unitário genérico tˆ contido no plano tangente a S pelo ponto (não cabe consideração aunitários fora desse plano tangente), será: tSp ˆ.= . Como p e tˆ devem pertencer ao plano tangente, resulta que odiádico S é uniplanar necessariamente, seu plano sendo o plano tangente. Então S pode ser escrito na formabinomial µµλλ ˆsˆs eeS += , pois não pode existir nenhuma díade envolvendo o unitário ),(ˆ µλn ; ou, na formacartesiana λµµλµλλµµµµλλλ +++= eeeeeeeeS ˆˆSˆˆSˆˆSˆˆS , sua matriz associada (à base não ortogonal { µλ ee ˆ,ˆ })sendo, então:=µµλλµλµλSSSS][ eeS , (06).É evidente que a matriz associada a S em relação à base { nee ˆ,ˆ,ˆ µλ } é= µµλλµλµλ0000SS0SS][ neeS , (06.a).Em muitos problemas, nas aplicações, a rede de coordenadas curvilíneas sobre S é ortogonal, como osmeridianos e os paralelos sobre a superfície esférica. Nesses casos, a base { nee ˆ,ˆ,ˆ µλ } é ortonormada e aformulação e resolução dos problemas podem se tornar mais fáceis.Em outras situações pode ser compensadora a adoção de sistemas de coordenadas convenientes para aresolução dos problemas, seja pela natureza do domínio, seja por facilidade de estudos, e até para expressarresultados.§06 – OS DIÁDICOS EM DIFERENTES SISTEMAS DE REFERÊNCIA.No §02.03,II, como conseqüência da definição de grandeza vetorial, vimos como, conhecidas ascoordenadas de um vetor num dado sistema cartesiano de referência, determinar as coordenadas desse mesmovetor num outro sistema cartesiano também dado e de mesma natureza que o anterior.Vamos agora resolver problema análogo – estabelecimento de relação entre coordenadas - considerandoque um vetor possa estar referido a um sistema e a outro. Em seguida, vamos procurar determinar as expressõescorrespondentes entre as coordenadas de um diádico quando este está referido a dois sistemas distintos decoordenadas.§06.01 – Relações entre coordenadas de vetores.Um mesmo vetor v pode ser referido a todos os sistemas, em cada um tendo um terno de coordenadas.Ponhamos:[ ] [ ] [ ]=== θφθRZrZYXVVV.ˆˆˆVVV.ˆˆˆVVV.ˆˆˆ Rkrkjiv θθθθφφφφθθθθ , (01).
  • 81. §06.02 – Relações entre coordenadas de diádicos.Campos Tensoriais - Ruggeri61De (01), por consideração das relações ((07) a (10),§05.03,I), executando operações elementares, podemosdeduzir:θθ−θθ==θZYXZYXCiCaZrVVV.1000cossen0sencosVVV.RVVV, (02),φ0φ1φ−φ==θθθφZrZrEsCiR VVV.cossen00sen0cosVVV.RVVV, (03),φθφθφθθ−φ−θφθφ==θφZYXZYXCiCEsCiR VVV.cossensencossen0cossensensencoscoscosVVV.R.RVVV, (04),igualdades que expressam relações entre as coordenadas de um mesmo vetor nos diferentes sistemas decoordenadas. As inversas de (02) a (04) podem ser deduzidas sem dificuldades.§06.02 – Relações entre coordenadas de diádicos.Seja ΣΣΣΣ o diádico do ponto genérico do campo (da propriedade representada genericamente por ΣΣΣΣ); eescrevamos ΣΣΣΣ em forma trinomial (§03.02,II) em relação a cada um dos sistemas de referência. Teremos:RkrZYXˆˆˆˆˆˆˆˆˆ tRtttkttrtktjti ++=++=++= θφθ θθθθφφφφθθθθΣΣΣΣonde os vetores t’s são as “coordenadas vetoriais” do diádico nas respectivas bases. A expressão acima podeainda ser escrita em forma matricial por “multiplicação direta”[ ] [ ] [ ]=== θφθRkrZYXˆˆˆˆˆˆˆˆˆtttRtttkrtttkji θθθθφφφφθθθθΣΣΣΣ , (05),o produto das matrizes devendo ser entendido como um produto direto dos vetores. As igualdades (05)apresentam total analogia com as relativas ao vetor v (em que as matrizes linhas são compostas por números).Considerando novamente as relações ((07) a (10), §05.03,I) podemos deduzir das (01) igualdadesanálogas às (02) a (04) onde se troquem os V por t. Tem-se, de fato:θθ−θθ==θZYXZYXCiCaZr.1000cossen0sencos.Rttttttttt, (06),
  • 82. §06 – Os diádicos em diferentes sistemas de referência.III, §06.0262φ0φ1φ−φ==θθθφZrZrEsCiR.cossen00sen0cos.Rttttttttt, (07).eφθφθφθθ−φ−θφθφ==θφZYXZYXCiCaEsCiR.cossensencossen0cossensensencoscoscos.R.Rttttttttt, (08),As igualdades (06), (07) e (08) dão, pois, as relações entre as coordenadas vetoriais do diádico ΣΣΣΣ nas diferentesbases (dos diferentes sistemas).Vejamos agora como se correlacionam as coordenadas cartesianas do diádico ΣΣΣΣ em cada uma das bases.Para isso deveremos efetuar a decomposição cartesiana de cada um dos vetores t’s nas diferentes bases. Sejam:1°) - kjit ˆTˆTˆT XZXYXX ++= , kjit ˆTˆTˆT YZYYXY ++= , kjit ˆTˆTˆT ZZYZXZ ++=isto é,=kjitttˆˆˆ]T[ ijkZYX, com=ZZYZXYZYYXXZXYXijkTTTTTTTTT]T[ , (09);2°) - krt ˆTˆTˆT rkrrr ++= θ θθθθ , krt ˆTˆTˆT kr θθθθ ++= θθθθ , krt ˆTˆTˆT kkkrk ++= θθθθθdonde=θθkrtttˆˆˆ]T[ krkrθθθθ , com=θθθθθθkkkrkrrkrrkrTTTTTTTTT]T[ , (10);3°) - Rt ˆTˆTˆT Rφφθφφ ++= θθθθφφφφ , Rt ˆTˆTˆT Rθθθφθ ++= θθθθφφφφ , Rt ˆTˆTˆT RRRR ++= θφ θθθθφφφφdonde=φθθφRtttˆˆˆ]T[ RRθθθθφφφφ, com=θφθθθφφφθφφθRRRRRRTTTTTTTTT]T[ , (11).Substituamos agora em (10), digamos, a coluna do primeiro membro por sua equivalente (06) e, emseguida, na expressão obtida desse primeiro membro, a nova matriz coluna que aparece por sua equivalente (09).Substituamos também a coluna do segundo membro de (10) por sua equivalente ((07),§05.03,I). Teremos assimobtido a expressão de um mesmo vetor na base { kji ˆ,ˆ,ˆ } e poderemos igual as expressões matriciais obtidas.Lembrando que as matrizes R são de rotação, resulta dessa operação:ijkCiCaCiCakr [T]RR[T] =θ , isto é, TCiCaijkCiCakr R[T]R[T] =θ , (12).
  • 83. §06.02 – Relações entre coordenadas de diádicosCampos Tensoriais - Ruggeri63Por procedimento análogo podemos obter as seguintes expressões:krEsCiEsCiφθR [T]RR[T] θ= , isto é, TEsCikrEsCiφθR R[T]R[T] θ= , (13),eijkECECR ]T[RR]T[ =φθ , isto é, TECijkECR R]T[R]T[ =φθ , (14).As igualdades (12) a (14) expressam as relações entre as diferentes coordenadas cartesianas de um mesmodiádico nos diferentes sistemas de referência.*Exercício:Mostrar que, sendo ΣΣΣΣ um diádico simétrico:=θ+θ−=θ−θ−−+=θ−θ+θ=θ+θ=θ+θ−=θ+θ−++=θ+θ+θ=θθθZkYZXZkXYYXYXXY2Y2XXYXZrkXYYXrXYYXYXXY2Y2XrTTcosTsenTT2senT2cos)TT(21)TT(212senTcosTsenTT2senT2cosTTcosT2sen)TT(21T2senT2cos)TT(21)TT(212senTsenTcosTT=θ+θ==φ+φ−=φ−φ=φ−φ+φ=θθθθθφθθφθφkZkrRkrkrRkrrk2k2rTTcosTsenTTTT2cosT2sen)TT(21TsenTcosTT2senTsenTcosTT*
  • 84. §06 – Os diádicos em diferentes sistemas de referência.III, §06.0264Uma classificação para os camposEstacionárioTEMPOTransienteEscalarVetorialPROPRIEDADEDiádicaRetilíneoNo plano (curvas planas)1D(uni-paramétrica) CurvilíneoNo espaço (curvas reversas)No plano (placas) (com fronteiras diversas)Superfícies cônicasCircularSup. cilíndricaElípticoQuádricas (outras) Parab. hip. etc.2D(bi-paramétrico)No espaço curvo,(superfícies ditasmembranas,cascas) Sup. axi-sim. Tóros, tronco coneetc..PiramidaisPrismáticosPoliédricosOutrosCônicosCilíndricosEsféricosQuádricosParab. hip. etc.ToroidaisGEOMETRIA3D(tri-paramétrica)Maciços curvos:elementos org. demáquinas,ganchos, cunhasetc.)OutrosOutros
  • 85. Campos Tensoriais - RuggeriCAPÍTULO IVGEOMETRIA DOS CAMPOSNão se consegue alcançar o âmago de uma questãomatemática sem o apoio de uma base geométrica.Sylvester§01 – GENERALIDADESParece que os campos tornam-se mais complexos à medida que se elevam as suas dimensões e as ordensdos tensores a eles associados, o que pode ser percebido imediatamente pelos exemplos citados no §3 do Cap.III. A lei ((01),§01,III), sozinha, pode representar o campo em toda a sua plenitude, mas representa-o de formaum tanto abstrata, tal como o que se passa entre uma função e sua representação analítica. Seria preferível tentar“ver de forma concreta aquilo que julgamos abstrato”; o que é possível conseguir-se, em geral, por um processode geometrização dos campos.Por “geometrização dos campos” entenderemos, aqui, o processo de representação dos campos por formasgeométricas (pontos, linhas, superfícies) que permitam uma visão global (panorâmica) e, se possível, pictórica desuas características (valores, direções, etc.). Tais representações – que chamaremos genericamente de diagramasou gráficos – permitem resolver geometricamente problemas que, analiticamente, seriam bem mais trabalhosos;mostraremos isso oportunamente. O entendimento dos fenômenos por uma representação geométrica, ou porgráficos, pode ser mais prático, e às vezes até natural.§02 – SUPERFÍCIE DE NÍVEL NOS CAMPOS ESCALARES.Chama-se superfície de nível de um campo escalar, o lugar geométrico (lg) dos pontos do campo em quea propriedade assume um valor numérico dado. Se o campo é estacionário, a equação das superfícies de nível é:G = G(P) = constante; se o campo é transiente (§01,III), tal equação é: G = G(P,t) = constante, as superfícies denível variando de um instante para outro; contrariamente, as superfícies de nível do campo estacionário, uma vezestabelecidas, permanecem no tempo.Se o campo escalar é 3d chato (§03.03,I), os lg a ele associados são planos e retas; se de natureza esférica(§06.03,I), os lugares geométricos a ele associados serão superfícies esféricas, planos, circunferências, isto é,figuras associadas com a esfera. Se esse campo é de natureza cilíndrica as figuras associadas são superfíciescilíndricas, planos, circunferências, elipses etc. Teremos assim, superfícies esféricas de nível, cilindros de níveletc., que se modificarão a cada instante se o campo for transiente.Quando o campo escalar é bidimensional, chato (§03.02,I) ou curvo (§04.02,I), tais lgs, no plano ou nasuperfície do campo, são denominados curvas de nível.As superfícies e as curvas de nível recebem dominações particulares conforme a natureza do campo. Sãosuperfícies (ou curvas): isotérmicas, para as temperaturas; isobáricas, para as pressões; isentrópicas, para aentropia, etc. Com curvas e superfícies traçaremos os diagramas representativos dos campos.Dos exemplos citados no §03,III podemos dizer:a) - As superfícies de nível do campo de distâncias, exemplo 1, são as superfícies: r = constante = C, oumelhor, x2+ y2+ z2= C2. Tais superfícies são, pois, superfícies esféricas concêntricas na origem. A representaçãoé permanente, pois o campo o é.
  • 86. §03 – Linhas diretrizes nos campos vetoriais.IV, §0366b) - As superfícies de nível do exemplo 4 são obtidas facilmente para θ = constante. Tem-se:Cconst.Rkθθr 0==+−= ,tais superfícies sendo as superfícies esféricas concêntricas em O e de raios C (que variam com θ). Arepresentação é, também, permanente.c) - As curvas de nível no campo 1D do exemplo 5 são obtidas para θ = constante, com r = (θ0-θ)/k=C;são, pois, circunferências concêntricas no eixo do fio. No espaço, as suas superfícies de nível seriam cilindroscoaxiais com o eixo do fio. A representação é permanente.Propriedades das superfícies e curvas de nível1ª) - Por um ponto de um campo passa uma e apenas uma superfície (ou curva) de nível.Com efeito, pois se passassem duas ou mais existiriam pontos do campo aos quais estariam associadosmais de um valor numérico; o que é inadmissível.2ª) - As superfícies (ou curvas) de nível não se interceptam.Pois, se duas se interceptassem, a propriedade anterior não seria válida já que existiriam pontos do campopelos quais passariam duas (ou mais) superfícies.§03 – LINHAS DIRETRIZES NOS CAMPOS VETORIAIS.Imaginemos traçada uma curva qualquer num campo vetorial. A cada ponto dessa curva corresponde umúnico vetor do campo (§01, III). A posição de um vetor em relação à curva não apresentará particularidades deum modo geral. Pressente-se, entretanto, a possibilidade da existência de linhas nesse campo, tais, que os vetoresassociados a cada um de seus pontos lhes sejam tangentes. Para gerar uma dessas linhas poder-se-ia, porexemplo, partir de um ponto A do campo onde o vetor associado é v (Figura IV,1),determinar-se o vetor v’ relativo a um ponto A’ infinitamente próximo de A sobre osuporte v; em seguida, determinar-se o vetor v” relativo a um ponto A” infinitamentepróximo de A’ sobre o suporte de v’, e assim por diante.A envoltória das retas suportes dos vetores do campo, assim determinados, seriauma linha diretriz do campo.Quando o campo vetorial considerado é um campo de forças, suas linhasdiretrizes recebem o nome particular de linhas de força; quando o campo é develocidade, linhas de ou linhas de fluxo; quando o campo é magnético, linhas de indução magnética, etc..Propriedades das linhas diretrizesSão duas as propriedades das linhas diretrizes:1ª) - a cada ponto do campo correspondente uma e uma única linha diretriz.De fato, pois o campo é definido de maneira unívoca;2ª) duas linhas diretrizes nunca se interceptam.Pois, do contrário, não seria verdadeira a primeira propriedade (existiriam pontos aos quais se poderiamassociar dois ou mais vetores).
  • 87. §03 – Linhas diretrizes nos campos vetoriaisCampos Tensoriais - Ruggeri67Equações das linhas diretrizesAs linhas diretrizes poderão ser: curvas reversas, para os campos 1D, 2D ou 3D; e curvas planas paraos campos 1D ou 2D (chatos ou curvos). As linhas diretrizes dos campos 1D são todas paralelas à linha domíniodo campo (§04.01,I); são conhecidas a priori, podendo ser, pois, planas ou reversas. Um cabo formado por fiostodos paralelos, ou uma mola de fios paralelos fornece uma boa imagem dessas linhas diretrizes.Se kjiv ˆz)y,N(x,ˆz)y,M(x,ˆz)y,L(x, ++= é o vetor do campo relativo ao ponto z)y,(x,P ≡ , referido auma base }ˆˆˆ{ kji , v deve ser paralelo ao elemento infinitesimal de arco kji ˆdzˆdyˆdxdP ++= da linha diretriz quepassa por P; donde poder-se escrever:oPv =×d , ou em coordenadas:dzNdyMdxL== , (01).Em (01) temos, assim, as equações diferenciais das linhas diretrizes de campos 1D. Se o campo 1D estádefinido num plano, em (01) só aparece uma igualdade.Se o campo vetorial fosse transiente, as coordenadas L, M e N de v seriam funções do tempo, o que nãomudaria a forma das equações diferenciais (01). Ocorreria, apenas, que, em cada instante, o campo vetorial seriavisualizado por certo conjunto de linhas. Nessas condições é possível, inclusive, montar-se um "desenhoanimado" das linhas diretrizes do campo.Exemplo 1: o campo centralUm campo vetorial denomina-se central se as retas suportes de todos os seus vetores passamconstantemente por um ponto fixo; este é denominado o “centro” do campo.Decorre imediatamente da definição que as linhas diretrizes desse campo formam uma estrela de retas devértice no centro. Se P é um ponto do campo, distante de r do centro O, e se o vetor associado a P é v(r), então:uv ˆf(r)= ,onde uˆ é o unitário (variável) da direção definida por P-O e f(r) a intensidade de v.Um caso particular de campo central (de forças) é o campo gravitacional de qualquer massa (e, também,de qualquer carga elétrica), como o campo gravitacional terrestre, citado no exemplo 2 do Cap. III; suas linhassão linhas de forças.Exemplo 2: o campo magnético do exemplo 7 do cap. II.O campo magnético h é dado por:)yx/()ˆxˆ-y(Ai 22 ++= jih , com x2+y2≠0.Conforme (01), suas linhas de indução têm por equação diferencial:0ydyxdxou,,dyyxxdxyxy2222=++=+−.Observando que a equação é equivalente a 0)yd(x 22 =+ , resulta: 0const.yx 22 ≠=+ .As linhas de indução magnética são, pois, circunferências com centro no eixo do condutor, e situadas emplanos ortogonais a esse eixo.
  • 88. §04* - As quádricas de Cauchy, de Lamè e a representação de Mohr no campo diádico.IV, § 04.0168Tubo de campoConsideremos no domínio do campo vetorial v uma curva (C) fechada e fixa. A cada ponto de (C) e emcada instante (se o campo for transiente (§01,III)) corresponderá uma única linha diretriz (propr.1ª). Chama-setubo de campo, ou tubo diretor, a superfície delimitada pelas linhas diretrizes que, num dado instante, se apóiamnum dado contorno fechado, fixo no campo, (C).Os tubos de campo, tal como as linhas diretrizes, recebem denominações particulares, conforme anatureza do campo v, podendo ser: tubo de força, tubo de fluxo (para o campo de velocidades) etc..Essa importante concepção geométrica para os campos vetoriais apresenta notável utilidade na teoria doscampos solenoidais (§08, VII) e, particularmente, no estudo do escoamento dos fluidos, onde é denominada“veia fluida”, ou “filete fluido”.§04* - AS QUÁDRICAS DE CAUCHY, DE LAMÈ E A REPRESENTAÇÃO DEMOHR NO CAMPO DIÁDICO§04.01 – Campos tridimensionaisSe, em relação à base vetorial { kji ˆ,ˆ,ˆ }, S é a matriz 3x3 associada ao diádico S do ponto genérico O docampo (§03,II), então, na direção dada, {N}, sua projetante é o vetor Np , de coluna {PN}, dado por:}n{SS.{N}}{P jijN == (01),conforme ((03),§04.01,III); e sua coordenada radial é o escalar:jijiTN nSnS.{N}}N{ρ == (02),conforme ((04),§04.01,III).Se S admitir inversa (ou o diádico S admitir inverso, ver §04.03,II,Exercício 21), de (01) podemosescrever:TT-1TNN-1 }N{)S.(}{pe}N{}p.{S == ,donde, considerando que {N}T.{N} = 1:1}p.{S.)S.(}p{ N-1T-1TN = .Lembrando que -11TT-1S)S()S( == −virá, finalmente:1}p.{S.}{pL N-2TN =≡ , (03).De (02), similarmente, escrevemos:1S.{Y}.{Y}QNNT±=ρρ=≡ , (04),expressão em que {Y} é o vetor paralelo a {N} e cujo módulo é o inverso da raiz quadrada do módulo dacomponente radial do tensor, isto é,
  • 89. §04.01 – Campos tridimensionaisCampos Tensoriais - Ruggeri69}N.{||1}Y{ρ= , (05).Quando {N} (ou nˆ ) varia, assumindo todas as posições possíveis em torno de O, isto é, quando suaextremidade descreve a superfície esférica de centro O e raio unitário, as extremidades P e Y dos vetores OP eOY descrevem, respectivamente, as superfícies (03) e (04). Tais superfícies são quádricas centradas em O. Aprimeira, (03), representativa das variações dos módulos da projetante do tensor, é um elipsóide denominadoelipsóide de Lamè. A segunda, (04), representativa das variações da componente radial do tensor com a direçãoe denominada quádrica de Cauchy ou quádrica indicatriz, poderá ser umelipsóide ou um hiperbolóide (de uma ou duas folhas) conforme os valores dascomponentes do tensor em O; por esta razão o tensor S é chamado elíptico ouhiperbólico, correspondentemente. As interseções dessas quádricas com oplano definido pelos vetores p e nˆ estão esquematizadas na Figura IV,2.Imaginando-se traçadas as quádricas (03) e (04) relativas ao ponto O docampo, os módulos da projetante do tensor e de sua componente radial, |pn| e|ρn|, ambos relativos a dada direção {N}, poderão ser obtidos facilmente. Comefeito, para a componente radial bastará determinar o ponto Y onde a direção{N} fura a quádrica indicatriz, escrevendo-se então, a partir da expressão (05):2NOY1=ρ .Para a projetante do tensor bastará determinar sua direção já que o módulo do vetor OP é igual ao segmento OP.Essa direção é a da normal ao plano diametral da quádrica Q relativo à direção {N}. Com efeito, denotandosimbolicamente por Q(y1,y2,y3) = 0 a equação de Q e por iyQ a derivada de Q em relação a yi, a equação doplano diametral de Q relativo a {N}, de ponto corrente y1,y2,y3, será37:0)n,n,(nQ.y)n,n,(nQ.y)n,n,(nQ.y 321y3321y2321y1 321=′+′+′ ,ou melhor:0)}n(Q.{}Y{)n(Q)n(Q)n(Q.}Y{ yTyyyT321=′=′′′.Mas:S.{N}2nSnSnSnSnSnSnSnSnS2}Q{333232131323222121313212111=++++++=′ , e, de (01): }p{2}Q{ N=′ .Obtemos então, finalmente, a equação do plano: 0}p.{}Y{ NT= . A normal a este plano terá seus co-senosdiretores proporcionais aos coeficientes da equação do plano, isto é, às componentes de np ; ou melhor, np seráortogonal ao plano diametral de Q relativo à direção {N}.O sinal de ρn e o sentido de np dependerão da natureza da quádrica Q.Representando por Q+e Q-a quádrica indicatriz (04), correspondentes aos sinais (+) e (-),respectivamente, pode concluir-se que:37 Veja, por exemplo, A. M. Calaes, bibl. 06, 5° volume, p. 101 e seguintes.
  • 90. §04* - As quádricas de Cauchy, de Lamè e a representação de Mohr no campo diádicoIV, §04.01701ª) - Se Q+for uma elipsóide real, Q-não terá representação por tratar-se de um elipsóide imaginário.Nesse caso será:1NN+=ρρ,isto é, ρn > 0 independentemente da direção {N}. O ângulo θ (Figura III,2) de np com {N} será sempre agudo;2ª) - Se Q-for elipsóide real, Q+será elipsóide imaginário e será ρn < 0. O ângulo θ de np com {N} seráobtuso;3ª) - Se Q+for um hiperbolóide de uma folha (Figura IV,3.a), Q-será o hiperbolóide conjugado de Q+(Figura IV,3.b), com duas folhas. Ambos estarão separados no espaço (Figura IV,3.c) pelo cone assíntotacomum, C, de equação: 0S.{Y}.{Y}C T=≡ .O ponto Y, interseção de {N} com Q, poderá estar sobre Q+, sobre Q-, ou, mesmo, poderá não existir(quando {N} for paralelo a qualquer geratriz do cone). No primeiro caso, o ângulo θ de np com {N} será agudo;no segundo, obtuso; e no terceiro, reto, pois se, para essas direções, ρn = 0, então nn τ=p (isto é, np éortogonal a {N}). O cone assíntota estabelece, assim, a transição dos ângulos de np com {N}.A cada ponto O do campo do diádico S estão, pois, associadas duas quádricas: o elipsóide de Lamè e aquádrica de Cauchy. Tais quádricas podem ser representadas de forma mais simples – pela sua equação reduzida– se o espaço em torno de O for referido ao triedro, denominado principal, formado pelo terno de eixosortogonais coincidentes com os eixos da quádrica de Cauchy38. Nesse caso as equações (03) e (04) serão escritasnas formas respectivas:}p.{S.}p{L N-2pTNp ≡ (03.a)e01}y.{S.}Y{Q pTp =±≡ , (04.a),onde Sp, a nova matriz associada ao diádico S – denominada a principal do ponto O – tem forma diagonal:=321pS000S000SS (06).38 Esses conceitos são conhecidos do estudo das Quádricas em Geometria Analítica. Veja, por exemplo, Calaes, bibl.06, 5° volume. Na 3°Parte trataremos analítica e pormenorizadamente de tais questões.
  • 91. §04.01 – Campos tridimensionaisCampos Tensoriais - Ruggeri71Verifica-se para as coordenadas S1, S2 e S3 – denominadas coordenadas radiais principais do diádico no ponto– que, em geral (mas não necessariamente):123 SSS ≠≠ , (07).Relembrando (05) e (02) e representando genericamente por {N} o unitário de qualquer das três direçõesdos eixos, tem-se:233222211pTNnSnSnS}N.{S.}N{ ++==ρ , (08).De modo análogo, tem-se:2N2N2323222221212pT2NnSnSnS}N.{S.}N{p τ+ρ=++== , (09),onde τn é componente transversal do tensor relativa a {N}.Representação de MohrDiante do exposto verificamos existir, para todo ponto do domínio D do campo de diádicos simétricos, acorrespondência: |)|,(}N{ τρ⇒ . Com efeito, a cada {N} corresponde uma única projetante ρ do tensor S(§04.01,III), no caso, dada por (08), e esta se decompõe, de modo unívoco, nos vetores: Nρρρρr, paralelo a {N} eNττττr, normal a {N}, com 2N2N2Nττττρρρρrrr+=p (§04.01,III). A correspondência no sentido inverso, entretanto, não éunívoca.Ora, sendo ortogonais e únicos os vetores Nρρρρre Nττττr, no ponto considerado de D, pode concluir-se que noplano de coordenadas ρ×|ττττ| (onde ρ é a medida algébrica de ρρρρr) o ponto ( Nρ ,| Nττττr|) descreverá certa área quando{N} variar continuamente assumindo todas as posições possíveis em torno do ponto (pois Npré função de doisparâmetros). A determinação analítica dessa área pode ser conseguida por consideração do sistema de equações:++=τ+ρ=++=ρ=++==232322222121222T233222211T232221TnSnSnS}N.{S.}N{nSnSnS}N.{S}N{nnn1}N.{}N{, (10),linear em 232221nen,n .Lembrando (07), e supondo, ainda, ser: ,0SSS 321 ≠≠≠ a resolução do sistema (4.11) fornece:−−+−ρ−ρ=−−+−ρ−ρ=−−+−ρ−ρ=)S(S)SS()S()S(n)S(S)SS()S()S(n)S(S)SS()S()S(n231322121123221322121323221ττττττττττττ, (11).Por deverem ser positivos os números ,nen,n 232221devem ser necessariamente:
  • 92. §04* - As quádricas de Cauchy, de Lamè e a representação de Mohr no campo diádicoIV, §04.0172≥τ+−ρ−ρ≤τ+−ρ−ρ≥τ+−ρ−ρ0)S()S(0)S()S(0)S()S(221213232, (12),já que, por denominação conveniente dos eixos pode sempre admitir-se:S3 > S2 > S1, (13).A primeira das equações (12) pode ser escrita, também, evidentemente, na forma:,)2SS()2SS()S()S( 223223232−≥−+τ+−ρ−ρou melhor, após sucessivas transformações no primeiro membro da inequação:2232232)2SS()2SS(−≥+−ρ+τ (14).A inequação (14) representa, pois, no plano || τ×ρ (Figura IV,4) pontos não interiores à semi-circunferência de centro )0;2/)SS((C 3223+≡ e raio 2/)SS(R 2323 −= .Interpretação análoga, “mutatis mutandis”, pode dar-se às demais inequaçõesdo sistema (12), a segunda representando pontos não exteriores à semicircunferênciade centro C13= ((S1+S3)/2,0) e raio 2/)SS(R 1313 −= e a terceira, pontos nãointeriores à semicircunferência de centro C12= ((S2+S1)/2 ;0) e raio2/)SS(R 2121 −= .Como os pares (ρ,|τ|) devem satisfazer às inequações simultâneas (12), suasimagens no plano ρ x τ serão pontos da área hachurada representada na Figura IV,4, onde, a cada Ncorresponderá um ponto, compatível com a correspondência |)|,(}N{ τρ⇒ .A representação plana do campo diádico S no ponto O, atrás indicada, denomina-se representação deMohr; as circunferências fronteiras representadas pelas inequações (12), circunferências de Mohr; e o plano ρ xτ, plano de Mohr.Assim, se, em relação a determinado sistema global de referência, se faz associar, a dado ponto O de umdomínio definido D, um diádico S (segundo certa lei)39, os métodos vistos nos parágrafos anteriores permitemdeterminar os valores radiais e tangenciais extremos de S no ponto O40.No plano de Mohr será possível, então, traçar os três círculos quedelimitam uma área tal, que a cada direção nˆ considerada por P, corresponda umponto N dessa área (Figura IV,5) e, portanto, um par (ρ,τ).Mostraremos agora como determinar, no plano de Mohr, o ponto Ncorrespondente a dada direção {N} por O sem os cálculos de Nρ e Nτ . Para isso,refiramos o espaço em torno de O ao triedro principal desse ponto. Uma direção {N} qualquer fica definida pelosângulos φ1 e φ3 que fazem essa direção com as direções em que se verificam o menor (S1) e o maior (S3) dosvalores das coordenadas radiais de S, respectivamente (Figura IV,6), pois o terceiro ângulo (de {N} com adireção em que se desenvolve a coordenada radial principal intermediária de S), fica condicionado a obedecer àrelação:1coscoscos 322212 =φ+φ+φ (15).39 O diádico representante de certa grandeza física, como tensão, deformação, condutividade elétrica, etc.40 A questão dos valores extremados das coordenadas do diádico será estudada na 3ª parte.
  • 93. §04.01 – Campos tridimensionaisCampos Tensoriais - Ruggeri73Em vista da simetria dos valores dos módulos das projetantes de S no ponto O em relação aos planos principais –representadas geometricamente pelo elipsóide de Lamè, na forma da equação (08) – os ângulos φ poderão semedidos em qualquer sentido a partir dos eixos principais correspondentes, bastando considerar os valores nãomaiores que π/2 rad. Além disso, interessando apenas o conhecimento do módulo do valor da coordenadatangencial τ, será suficiente a consideração dos semicírculos superiores na representação de Mohr, quecorrespondem aos τ positivos.Procuremos, inicialmente, o lugar geométrico dos pontos do plano de Mohr relativos a direçõesigualmente inclinadas sobre o eixo principal de índice 3. Com outras palavras, pergunta-se: quando o ponto N(Figura IV,6) que caracteriza a direção ON, descrever o paralelo A1NA2 da superfície esférica de centro O e raiounitário, que curva descreverá o mesmo ponto N no diagrama de Mohr ? Obtém-se a equação dessa curva, commuita simplicidade, por eliminação de n1 e n2 do sistema (10), resultando:)S(S)SS(cos)2SS()2SS( 3231322122212−−φ+−=+−ρ+τ (16),que é a equação de uma circunferência de centro no ponto médio C12 do segmento S1S2 e cujo raio é a raizquadrada do segundo membro de (16).No plano de Mohr, conforme a Figura IV,7, conduzamos por (S3;0) a semi-reta r3 de inclinação φ3 em relação aoeixo Oτ, semi-reta esta que corta as circunferências (C13, R13) e (C23, R23) em A2 e A1, respectivamente.Sendo S2A1 e S1A2 perpendiculares à mesma reta r3 (por serem projetantes das extremidades dosdiâmetros das circunferências C13 e C23 sobre r3), serão paralelas entre si e paralelas à mediatriz de A1A2 que, porsua vez, contém necessariamente, C12. Tem-se, então, sucessivamente, da Figura IV,7:,cos)2SSS(cos.SCAC32221332231221212φ+−=φ= (17.a),),cos(1)2SS)(sen)2SS()2AA(3221232221221φ−−=φ= (17.b),323231212221212122112)cosS(S)SS()2SS()2AA(ACAC φ−−+−=+= , (17.c).Assim o raio da circunferência (16) é 112AC , conforme se conclui por comparação do segundo membrode (16) com (17.c).
  • 94. §06.02 – Relações entre coordenadas de diádicos 74Campos Tensoriais - RuggeriVejamos entre quais limites variará o raio 112AC :para φ3=0,3122133231212112 SC2SSS)S(S)SS()2SS(AC =+−=−−+−= ;para φ2=0,21221212112 SC2SSS2SSAC =+−=−= .Vislumbra-se, assim, a possibilidade de graduar-se a circunferência (C23, R23) em 3φ , para tornarimediata a localização (aproximada) do lugar geométrico (16).Procederemos de modo análogo com relação a inclinação 1φ de N, sobre o eixo principal 1, a qual devesatisfazer a desigualdade: 31 π/2 φ−≥φ para que (15) seja possível.O lugar dos pontos do plano de Mohr, representativo das coordenadas radiais do diádico S relativos adireções igualmente inclinadas sobre o eixo principal 1, será a circunferência:22231213122232322 BC)S(S)SS(cos)2SS()2SS( =−−φ+−=+−ρ+τ , (18).A intersecção das circunferências (16) e (18) dará, evidentemente, a imagem do ponto N da superfícieesférica de raio unitário (Figura IV,7), no plano de Mohr.Cotando-se φ1 sobre a semicircunferência (C12, R12) nos mesmos moldes da operação já estudada sobre asemicircunferência (C23, R23), será possível a localização imediata (aproximada, por se tratar de um gráfico) doponto N cujas coordenadas são a coordenada radial e a coordenada tangencial de S, relativas a N.Diádicos de revoluçãoAs coordenadas radiais principais do diádico de um ponto qualquer de um campo de diádico simétrico - todasreais conforme sabemos41 - podem diferir pelo sinal e pelo valor absoluto.Se essas coordenadas são todas de mesmo sinal, o diádico é dito elíptico, porque a quádrica indicatriz quelhe corresponde é um elipsóide e as três circunferências de Mohr que lhes correspondem estão todos de ummesmo lado do eixo Oτ (caso das Figuras IV,5 e 7) . Se uma das coordenadas tem sinal diferente do das outrasduas, o diádico é dito hiperbólico ( a quádrica indicatriz é um hiperbolóide) e duas das circunferências de Mohrcortam o eixo Oτ. No caso de diádico elíptico vê-se que, relativamente a qualquer direção considerada peloponto, a coordenada radial correspondente tem o sinal comum das coordenadas principais. No caso de diádicohiperbólico vê-se facilmente que os valores radiais podem ser positivos, negativos e nulos; estes últimoscorrespondem aos pontos do eixo Oτ compreendidos entre dois círculos de Mohr e se referem às direçõesparalelas as geratrizes do cone assíntota (§04).Quando nenhuma das coordenadas principais é nula, o diádico é completo (§04.05, Exercício 5) e duasformas particulares são interessantes na prática:1ª) - O diádico esférico, que corresponde ao caso em que todas as coordenadas principais são iguais. Oelipsóide de Lamè a ele correspondente é a superfície esférica de raio s= S1= S2= S3, cuja equação se obtém de((03.a),§04). Observando que S=s I, virá:1}I{ps1.}p{ N2TN = ou 2232221 sppp =++ .41 Demonstraremos também esta assertiva na 3ª parte.
  • 95. §04.02 – Campos bidimensionaisCampos Tensoriais - Ruggeri75A equação da quádrica indicatriz que lhe corresponde obtém-se de ((05.a), §04), resultando:,)s1(yyy 2232221 =++isto é, uma superfície esférica de centro em O e raio s/1 .A representação do campo do diádico em torno do ponto considerado, isto é, o diagrama de Mohrcorrespondente, fica reduzido a um ponto situado sobre o eixo ρ, de abscissa s = S1 = S2 = S3. Para qualquer {N},tem-se: s||NN=ρ=p e τ=0.2ª) - O diádico de revolução, que corresponde ao caso em que duas das coordenadas principais são iguais,por exemplo: S1 = S2 = s. A equação do elipsóide de Lamè42 obtém-se de ((05.a), §04):.1spspsp2323222221=++A quádrica indicatriz também é de revolução pois tem por equação:.1yssysy 2332221 ±=++Se s = S1 = S2 tem o mesmo sinal de S3, o diádico é elíptico; em casocontrário é hiperbólico. Na representação do campo do diádico no entorno doponto considerado, isto é, no diagrama de Mohr, o conjunto das trêscircunferências fica reduzido a apenas uma (pois R12 = 0 e C12≡S1≡S2), conformeilustrado na Figura IV,8. A área hachurada da Figura IV,7 (ou da Figura IV,8)fica reduzida aos pontos da circunferência de maior raio.§04.02 – Campos bidimensionaisNos pontos do domínio de definição de um campo biparamétrico (uma superfície, §05,II, no final), odiádico do campo é necessariamente uniplanar, pois é nulo o determinante de qualquer matriz associada aodiádico (qualquer que seja o sistema de referência adotado).42 É a superfície que se obtém fazendo a elipse 1S/xs/x 2323222 =+ dar um giro completo em torno de OX3.Um dos eixos de um sistema de referência a adotar no ponto genérico – digamos o de número 3 - é,naturalmente, a normal à superfície-domínio pelo ponto; os outros dois eixos estarão contidos no plano tangente.Em relação a esse sistema, a matriz associada ao diádico do ponto terá a forma0000SS0SSS 22211211= .Na representação geométrica desses campos superficiais, a quádrica de Cauchy e a de Lamè setransformam em superfícies cilíndricas cujas geratrizes são paralelas à normal à superfície. Assim, o cilindro deCauchy terá por equação:1,S.{Y}.{Y}Q T±=≡ com, ;}N.{1}Y{Nρ=
  • 96. 76 §04* - As quádricas de Cauchy, de Lamè e a representação de Mohr no campo diádicoIV, §04.03e o cilindro de Lamè:1}p.{S.}{pLN-2TN=≡ ,em ambos os casos sendo:.1}N{{N}com,nnn}N{ T321== .Referindo os cilindros acima ao triedro principal do ponto (de que um dos eixos é o eixo 3), suasequações se simplificam; e são escritas nas formas:1}Y.{S.{Y}Q pT±=≡ e 1}p.{S.}{pL N-2pTN =≡onde, agora,=0000S000SS 21p , (01).Em vista dessa característica dos diádicos, expressa por (01), alguns autores costumam dizer que, emgeral, um diádico é planar num ponto do seu domínio de definição (eventualmente triparamétrico) quando umade suas coordenadas radiais principais é nula nesse ponto.Em relação ao triedro principal do ponto do domínio superficial do campo, o cilindro Q terá por equação:,1ySyS 222211 ±=+e será elíptico (de seção elíptica) se S1 e S2 forem de mesmo sinal; será hiperbólico se S1 e S2 tiverem sinaiscontrários.Considerando ((01),§04.01) e estando S escrito na forma (01), tem-se:111 nSp = , 222 nSp = ,donde,3223222122222121senn1nnspspφ=−=+=+ ,ou melhor,1)sen(Sp)sen(Sp2322223121=φ+φ(02).Esta equação representa uma família de elipses concêntricas e coaxiais, , Figura IV,9, de parâmetro n3=senφ3,com semi-eixos iguais a:3231senSesenS φφ .Para cada valor de senφ3, isto é, para todas as direções N igualmente inclinadas sobre OX3, no ponto,corresponde uma elipse no plano 1-2, dada por (02). Aos unitários {N}, com n3 = 0 (unitários situados no plano1-2), corresponderá a “elipse limite” do feixe, a “elipse de Lamè”, de semi-eixos S1 e S2.
  • 97. §04.03 – Campos unidimensionais 77Campos Tensoriais - RuggeriRepresentação de MohrA representação de Mohr num ponto de um campo de diádico uniplanar pode ser obtida imediatamente,sem dificuldades, tal como nos casos anteriores. Ocorrerá aqui, apenas, uma pequena singularidade: uma dascoordenadas radiais principais do diádico é nula. Três casos poderão, então, acontecer. Relembrando aconvenção ((13),§04) devemos considerar:1° caso: S1<0, S2<0, S3=0; 2° caso: S1<0, S2=0, S3>0; 3° caso: S1=0, S2>0, S3>0,cujas correspondentes representações de Mohr estão indicadas nas Figuras: IV,10.a, IV,10.b e IV,10.c.O fato mais significativo a ser assinalado nesse caso de campo planar está relacionado com os diferentesvalores máximos que a coordenada transversal do diádico pode assumir, pois estes dependem dos sinais dascoordenadas radiais não nulas. Tem-se:1° caso:2|S| 1max =τ , 2° caso: |)S|(S2113max +=τ , 3° caso: 3max S21=τ .Se não forem consideradas direções com componente perpendicular ao plano do campo no ponto, ascoordenadas (ρ,τ) dos pontos da circunferência deMohr de maior diâmetro representarão todos osvalores radiais e transversais passíveis de ocorrer noponto. Assim, nesse caso (e apenas nesse caso),torna-se irrelevante a área compreendida entre astrês circunferências de Mohr (cujos pontos têmcoordenadas também passíveis de ocorrer paradireções que apresentem componentes na direçãoortogonal ao plano do campo no ponto).Relativamente à técnica do uso da representação de Mohr no caso de campos planos, alguns problemasserão estudados no §07 do Cap. IX, que aqui não cabe serem abordados por falta do suporte analítico que seráadquirido apenas no referido capítulo.§04.03 – Campos unidimensionaisUm último tipo de campo que interessa aqui abordar, por sua simplicidade e utilidade, é o campo 1D, ouuniparamétrico (§05,II), ou campo linear (não necessariamente retilíneo). Referindo esse campo, no seu pontogenérico, ao triedro de Frenet-Serret desse ponto (o triedro principal do ponto, §06.01,I), então, se S1 for acoordenada radial do diádico na direção da tangente à curva-domínio, o diádico correspondente terá matrizassociada (principal) do tipo:=00000000SS1P .Esse diádico admite, evidentemente, duas coordenadas radiais principais nulas 43.43 Pode também definir-se um campo linear como aquele que admite, em todo ponto de seu domínio, duas coordenadas radiais principaisnulas.
  • 98. 78 §04* - As quádricas de Cauchy, de Lamè e a representação de Mohr no campo diádicoIV, §04.03No ponto genérico da representação geométrica dos campos uniparamétricos a quádrica de Cauchy sofre umadupla degeneração e se transforma num par de planos paralelos, perpendiculares a curva-domínio do campo(Figura IV,11), simétricos em relação à origem, distando entre si de 1S/2 .Com efeito, tem-se:01Sy1}Y{S{Y}Q 121T==≡ mm.. , donde,|S|1y11 ±= .O elipsóide de Lamè degenera-se num par de segmentos situados sobreo eixo OX1, pois resulta da expressão geral }N{S.p = :11 Sp ±= obtida para n1=±1.Os pontos do plano de Mohr que correspondem ao campouniparamétrico são aqueles pertencentes à circunferência que passa pelaorigem, tendo diâmetro S1. Isso pode ser deduzido do sistema ((11),§04), impondo as condições n2 = n3 = 0 e S2= S3 = 0. Com efeito, de qualquer das duas últimas equações daquele sistema, deduzimos:0)S( 21 =τ+ρρ - ,ou, melhor,,)2S()2S-( 21212=ρ+τque é a equação da circunferência representada na Figura IV,13,b.
  • 99. Campos Tensoriais - Ruggeri2ª Parte - Propriedades dos campos escalares e vetoriaisCAPÍTULO VCAMPO VETORIAL OPERADO DE CAMPO ESCALARO GRADIENTE§01 – O GRADIENTE DE UM CAMPO ESCALARSeja z)y,(x,P ≡ o ponto genérico de um campo escalar U=U(x,y,z,t),pelo qual passa, no instante t, a superfície de nível U=U0 (Figura IV,1). Avariação de U nas vizinhanças do ponto P é definida pelas derivadas parciais de Uem relação a x, y, e z, calculadas em P, isto é, definida por:P)xU(∂∂, P)yU(∂∂eP)zU(∂∂Passando-se do ponto P ao ponto P’=P+dP, arbitrário, da superfície do nível U0+dU, com:ˆdzˆdyˆdxd kjiP ++= , (01),a variação de U será:dz)zU(dy)yU(dx)xU(dUPPP ∂∂+∂∂+∂∂= , (02),a menos de infinitésimos de ordem superior à primeira, que são desprezados.Designa-se por gradiente do campo escalar U, no ponto P, e representa-se por gradU, o vetor:kji ˆ)zU(ˆ)yU(ˆ)xU(gradUPPP ∂∂+∂∂+∂∂= , (03).Tal vetor é, pois, operado de U em P, razão pela qual gradU é intitulado, também, um operador de campo. Comoa cada ponto do campo escalar U fica associado o vetor gradU, dado por (03), tem-se gerado, a partir de U, ocampo vetorial gradU.Resulta, imediatamente, de (01), (02) e (03):gradU.dP=dU, (04),propriedade característica do operador gradiente, o que permite denominá-lo, também, um operador diferencial.Reciprocamente, se existe um vetor v tal, que para qualquer deslocamento infinitesimal dP do ponto P nocampo U, se tenha:dUdP =v. , (05),então, necessariamente, v=gradU.Com efeito, para o campo U já subsiste (04); e devendo prevalecer, também, (05), tem-se, então:dPdPUgrad v.. = , ou, melhor, 0dP)gradU( =− .v .
  • 100. §02 – Propriedades geométricas do gradiente. Derivada direcional.V, §0280Não sendo, necessariamente, ortogonais os vetores dP e gradU-v, resulta:0gradU =− v , donde gradU=v , (06).Exemplo 1:Calcular o gradiente do campo de distância do exemplo 1, §03,Cap. III.Solução:Tem-se: 22r)OP( =− ; donde, por diferenciação:2rdrdP)O-P(2 =. , ou melhor, drdPrO)-(P=.Lembrando (05) e (06), virá, imediatamente:rO-Prgrad = ,isto é:“o gradiente da distância de dois pontos é o unitário da direção definida pelos mesmos,apontando da origem para o ponto.”Exemplo 2:Calcular o gradiente do campo escalar U= ln(x2+y2+z2) no ponto (1;3;5).Solução:Tem-se sucessivamente:3525311x2zyx2x)xU( 222222P=++=++=∂∂356zyx2y)yU( 222P=++=∂∂e3510zyx2z)zU( 222P=++=∂∂.Logo, de (03):.)ˆ5ˆ3ˆ(352Ugrad kji ++=Nota:Fica excluído do campo o ponto (0;0;0) para o qual a função U apresenta descontinuidade. Pode,porém, calcular-se gradU nas vizinhanças de (0;0;0).§02 – PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DO GRADIENTE. DERIVADADIRECIONAL.Se passarmos do ponto P ao ponto P’’=P+dP infinitamente próximo de P (Figura IV.1), mas situado sobre U0, oumelhor, situado sobre o plano tangente a U0, em P, então, de (04,§01) – igualdade que ainda neste casoprevalece, pois dP é arbitrário - teremos:gradU.dP=0, (01),já que, para essa variação de P, U ficou constante. Logo:Propriedade 1:“O vetor gradiente é sempre ortogonal à superfície de nível no ponto onde é definido”,uma vez que gradU e dP, geralmente, são vetores não nulos, e a subsistência de (01) requer seja grad U ortogonala dP.
  • 101. §02 – Propriedades geométricas do gradiente. Derivada direcional. 81Campos Tensoriais - RuggeriDeterminaremos agora o sentido do vetor gradU. Suponhamos que quando se passa do ponto P de U0, aoponto P’=P+dP de U0+dU, o acréscimo dU do campo U seja positivo (dU>0). A igualdade ((04),§01) dá, então:gradU.dP>0, resultando que os vetores gradU e dP devem formar um ângulo agudo. Logo:Propriedade 2:“O vetor gradU aponta no sentido dos U crescentes”.Aplicação 3*:Vimos no estudo da geometria dos campos de diádicos simétricos (§3,IV), que a quádrica,Q≡YT.S.Y±1=0representa, geometricamente falando, as variações da coordenada radial do diádico S, no ponto genérico O docampo, com a direção {N}. Demonstramos, também (§4, IV), que a direção da projetante do diádico na direção{N} estaria determinada pela direção da normal à quádrica Q no ponto Y, onde {N} fura Q (Figura IV,2).Podemos agora demonstrar esta mesma propriedade recorrendo ao conceito de gradiente.Temos:Q≡yiSijyj±1, (i,j = 1,2,3),donde, aplicando a fórmula ((03),§01): αα∂∂= eyQQgrad com soma em α, para α = 1,2,3, os eα fazendo o papeldos vetores de base iˆ , jˆ e kˆ . Então:ααα ∂∂+∂∂= e)yySyySyy(Qgradjijijiji=+=+δ= αααααα ee )SyyS()δSyyS( iijjjijijijiyS2 kk αα= e .Em forma matricial assim escrevemos o resultado encontrado: gradQ=2S.{Y}.Lembrando ((06),§04,IV), vem, então:;||{N}2S.QgradNρ= e considerando ((01),§04,IV): .N ||2Qgrad Npρ=Das propriedades geométricas 1 e 2 do gradiente, concluímos que a direção de pN é a da normal àquádrica Q em Y, o que demonstra a proposição feita.Derivada direcionalVoltemos à Figura IV.1 onde consideramos dois pontos P e P do campo, infinitamente próximos, sobre assuperfícies de nível U0 e U0+dU. Denotando por eˆ o vetor unitário da direção r definida pelos pontos P e P, comsentido de P para P’, e por ds o módulo de dP, a igualdade ((04),§01) é escrita na forma:dsˆgradUdU e.=ou melhor:eˆ.UgraddsdU= , (02).Diz-se que dU/ds é a derivada direcional de U na direção r; esta se iguala à projeção de grad U nadireção de r, conforme (02).
  • 102. §03 – Característica tensorial do gradiente.V, §0382*Exemplo 3:Encontrar a derivada direcional do campo escalar 3D, U=xyz, no ponto P≡(1;-1;1) e na direção do vetorde origem P e extremidade P’≡(2;3;1)44.Solução:O módulo do vetor de origem P e extremidade P’ é 17 ; e seus co-senos diretores são:17/1 , 17/4 e 0.As derivadas de U calculadas no ponto P são: -1, 1 e –1. Logo, aplicando (02), vem:17/317/)ˆ4ˆ1).(ˆ1ˆ1ˆ-1(dU/ds =+−+= jikji .Como dU/ds>0, no ponto P os valores do campo escalar crescem na direção considerada.*De (02) vemos, ainda, que o campo U é crescente, no ponto, em todas as direções que façam com grad Uum ângulo agudo. Esse crescimento será tanto maior com a direção quanto menor for o ângulo da direção comgrad U. Logo,44 Krasnov e outros, A Análise Vetorial, MIR, 1981.Propriedade 3:“a direção do gradiente de um campo escalar num ponto é aquela segundo a qual émáxima a variação do campo (ou grandeza do campo) por unidade de distância”.§03 – CARACTERÍSTICA TENSORIAL DO GRADIENTE.Tal característica é traduzida pela independência do operador gradiente relativamente ao sistema de referencia, oque, aparentemente, é contraditório com ((03),§01). Sua propriedade característica, entretanto, permite concluiresta assertiva com muita simplicidade.Referido o campo ao sistema de base { kji ˆ,ˆ,ˆ }, é: gradU.dP=du e, onde gradU e dP são dados por ((03) e(01),§01), respectivamente. Referindo o campo U a outro sistema de base { 111ˆ,ˆ,ˆ kji }, denotemos por grad1 U ogradiente de U no ponto genérico P.Posto que o escalar dU e o vetor dP independem do sistema de referência (§3,I), pois ambos são tensores,escreveríamos, de ((04),§01):grad1U.dP=dU, donde: (grad1U–gradU).dP=0.Em vista da arbitrariedade de dP, os vetores grad1U–gradU e dP não são necessariamente ortogonais,devendo ser, portanto: grad1U=gradU, o que comprova a tese de que o vetor gradiente é um tensor poisindepende do sistema de referência.*
  • 103. §04. – Propriedades formais do gradiente. 83Campos Tensoriais - RuggeriExemplo 4:Encontrar a direção segundo a qual, no ponto P≡(1;1;1) a taxa de variação do campo U=xy+yz+zx é amaior.Solução:O domínio é 3D e o campo é triparamétrico. A direção procurada é a do gradiente no ponto P. Sendo, noponto (x;y;z), kji ˆ)yx(ˆx)z(ˆz)(ygradU +++++= , em P será )ˆˆˆ2(gradU kji ++= , vetor esse cujo módulo é4 3 e define a taxa de crescimento. O unitário é, agora, determinado com facilidade.*§04. – PROPRIEDADES FORMAIS DO GRADIENTE.Além das propriedades características e das geométricas, demonstraremos outras propriedades dogradiente, denominadas formais, a partir da seguintePropriedade fundamental:Se U1, U2, ..., Un são n campos escalares e se f(U1, U2,...,Un) é um campo escalar dependente dosprimeiros, todos definidos num mesmo domínio, tem-se, em qualquer ponto do domínio45:iin21 UgradUf)U,...,U,f(Ugrad∂∂= (soma em i) (01).Com efeito, da propriedade característica podemos escrever, par um ponto genérico P do domínio:gradf.dP=df, donde, calculando a diferencial df:.dUUfdPfgradf ii∂∂=.Reaplicando a propriedade característica para cada campo Ui, virá:P. dUgradUfdP.fgrad ii∂∂=donde,0d.)UgradUffgrad( ii=∂∂− P .Dada a arbitrariedade de dP, o vetor entre parênteses deve anular-se; donde, então, (01).Este teorema fundamental, decorrência imediata da propriedade característica, mostra claramente que ooperador gradiente goza das mesmas propriedades do operador diferencial em Análise Infinitesimal.Daí poder afirmar-se, mediante emprego de neologismo, conforme sugere Calaes46:“Gradienta-se um campo escalar tal como em Análise se diferencia uma funçãoqualquer”.45 Não é necessário frisar que as funções Ui e a função f devem ser contínuas, uniformes e admitir derivadas parciais contínuas, etc.,conforme está estabelecido no §1 do cap. III.46 Calaes, A.M., bibl. 04, pág. 325 (vol.II).
  • 104. §04. – Propriedades formais do gradiente.V, §0484Propriedades formaisPropriedade 1 – Se um campo escalar f é constante, então: grad f = 0.Pois em (01) as derivadas parciais de f são todas nulas.Propriedade 2 – Se f (U1 , U2 , …, Un ) = λ1U1 + λ2U2+ … + λnUn, λi = constate, então:grad (λ1U1+ λ2U2+ … + λnUn) = λ1gradU1+ ... + λngradUn, (02).Com efeito, pois, sendo iiUf/ λ=∂∂ , (4.1) implica (02).*Exemplo 5:Sejam, num plano, r1 e r2 as distâncias de um ponto móvel P a dois pontos fixos F1 e F2. Da propriedade 2escrevemos: grad(r1 ± r2 ) = grad r1 ± grad r2.Denotando por 1ˆu e 2ˆu os unitários das direções PF1 e PF2 (Figura V,2), podemosescrever, considerando o demonstrado no exemplo 1: 2121 ˆˆ)rgrad(r uu ±=± . Tendo 1ˆue 2ˆu o mesmo módulo, o vetor soma deles é dirigido segundo a bissetriz interior doângulo desses vetores e o vetor diferença dirigido segundo a bissetriz exterior.A bissetriz interior é, pois, ortogonal à linha de nível (§2,IV) r1 + r2 = constante,isto é, é ortogonal à elipse de focos F1 e F2. A bissetriz exterior é também ortogonal àlinha de nível r1 – r2 = constante, isto é, ortogonal a hipérbole de focos F1 e F2 . Sendo ortogonais essasbissetrizes, concluí-se também que as duas famílias de elipses e hipérboles são co-focais, as curvas de qualqueruma das famílias sendo trajetórias ortogonais das curvas da outra.Fica evidente, assim, um processo de traçado gráfico das tangentes e normais à elipse e à hipérbole.*Propriedade 3: Se f(U1, U2) = U1 U2, então:grad (U1U2 ) = U1 grad U2 + U2grad U1, (04).Essa propriedade é uma conseqüência imediata de (01), bastando observar-se que :.UUfeUUf122i=∂∂=∂∂A generalização é imediata, verificando-se:...Ugrad)...UUU(U)grad...UU(U)...UU(Ugrad 2n311n32n21 ++= , (05).Caso particular:Se U1=U2=...=Un=U, então deduzimos, de (05):gradUn.UUgrad 1-nn = , (06).*Exemplo 6:Sejam, num plano, r1 e r2 as distâncias de um ponto móvel P a dois pontos fixos F1 e F2. De (04)escrevemos:122121 gradrrgradrr)rgrad(r += .
  • 105. §04. – Propriedades formais do gradiente. 85Campos Tensoriais - RuggeriDenotando por 1ˆu e 2ˆu os unitários das direções PF1 e PF2, e mais uma vezconsiderando o exemplo 1, podemos concluir:122121 ˆrˆr)xrgrad(r uu += .Então, o vetor 1221 ˆrˆr uu + é ortogonal à linha de nível r1.r2 = constante(ovais de Cassine) e sua determinação é imediata conforme se ilustra na FiguraV,3.*Propriedade 4: Se VUf = então:2VUgradVVgradUVUgrad−= , (07).Pois, em (01), será:.VUVfeV1Uf2−=∂∂=∂∂Como caso particular, fica evidente que:,gradVV1)V1grad( 2−= (08).Propriedade 5: Se ∫φ= (U)dUf(U) , entãogradU(U)(U)dUgrad ∫ φ=φ , (09).Pois será, em (01):.(U)dU)U(dUddUdfUf∫ φ=φ==∂∂*Exemplo 7: Campo central.No exemplo 1, IV, §03, definimos o campo central de O e vimos que a todo ponto P do campo estáassociado o vetoruv ˆf(r)= (10),onde uˆ é o unitário da direção OP, com |OP|=r.Do exemplo 1 podemos, então, escrever: rgradf(r)=v , e da propriedade 5, fórmula (09), concluímos:dr..f(r)Uonde,Ugrad ∫==vSe, por exemplo, o campo v é newtoniano, isto é, se:0),rconstante,(kˆrk2≠=−= uv então: ∫ =−= )rkgrad()drrk(grad 2v .
  • 106. §06 – Propriedade geométrica característica dos campos com potencial.V, §0686§05 – POTENCIAL ESCALAR DE UM CAMPO VETORIAL.Mostramos no §1 que do campo escalar U, dado, gera-se, pelo operador gradiente, o campo vetorial grad U. Asituação inversa, entretanto, nem sempre é verdadeira, isto é, dado um campo vetorial v, nem sempre existe umcampo escalar U tal que v=gradU. O exemplo 5, entretanto, mostrou a existência de um campo vetorial particular– o campo central – para o qual existe um campo escalar dr.f(r)U ∫= tal que v = gradU.Suponhamos dado, genericamente, um campo vetorial v definido num certo domínio D. Se existir em Dum campo escalar U , tal que em todo ponto de D, seja:Ugrad=v , (01),diremos que v deriva do potencial U, ou que v tem potencial U. O campo U recebe a denominação de potencialescalar do campo v.No próximo capítulo veremos uma condição suficiente para que um campo vetorial derive de umpotencial.§06 – PROPRIEDADE GEOMÉTRICA CARACTERÍSTICA DOS CAMPOS COMPOTENCIAL.Essa importante propriedade assim se enuncia:“As linhas diretrizes (§03, IV) de um campo vetorial v, com potencial escalar U, são astrajetórias ortogonais das superfícies de nível de U”.Com efeito, devendo verificar-se (01) em todo ponto P do campo U, gradU será tangente à linha diretrizque passa por esse ponto (§3,IV), concluindo-se que tal linha será ortogonal à superfície de nível desse mesmoponto uma vez que gradU lhe é ortogonal (§02, propr. 1). As linhas diretrizes, interceptando as superfícies denível U em ângulo reto, serão, por definição, as trajetórias ortogonais de U, o que demonstra a propriedade.Uma importante conseqüência dessa propriedade pode ser obtida para os campos centrais, consideradosno exemplo 7. Qualquer que seja a lei f(r) que define o campo v, conforme (10), as superfícies de nível dopotencial escalar serão esferas centradas no “centro” do campo, pois suas linhas diretrizes (ver ex. 1,IV) formamuma estrela de retas de vértice nesse centro.
  • 107. Campos Tensoriais - RuggeriCAPITULO VICAMPO VETORIAL OPERADO DE CAMPO VETORIALA circulação§01 – A CIRCULAÇÃO DE UM CAMPO VETORIALConsideremos um campo vetorial qualquer, não estacionário eventualmente, definido num domínio D, dado pelalei (ou função vetorial) v:kjiv t)z,y,N(x,t)z,y,M(x,t)z,y,L(x, ++= (01).Seja (C) um contorno não fechado, dado em D, fixo ou não, contínuo, ligando dois pontosdados A e B do campo, imaginariamente percorrido por um ponto P num sentido pré-fixado, o da flecha f, por exemplo, conforme indicado na Figura VI,1.Num dado instante, a cada ponto de (C), corresponde um vetor v dado por (01).Chama-se circulação elementar do vetor v em P, no instante t, ao longo do elemento de arco dP e nosentido f – que denotaremos por dτ - o escalar:θ==τ cos.|d|.||dd PvP.v , (02),θ sendo o ângulo de v com dP.A soma das circulações elementares dos vetores v do campo, relativas a todos os pontos de (C), noinstante t, entre os pontos A e B – que denotaremos por τAB, denomina-se circulação do campo v ao longo de(C), escrevendo-se:∫∫ ==BA(C)AB ddτ Pv.Pv. , (03).Se o contorno é fechado, escreve-se:∫=τ(C)d. Pv , (03a).É claro que, por ser v função do tempo, τAB e τ também o serão. Se o contorno (C) for fixo, a circulaçãoτAB dependerá apenas de t; se ele for móvel, dependerá dos pontos terminais A e B e do tempo. Outras situaçõesde maior interesse serão analisadas mais a frente.§02 – PROPRIEDADES DA CIRCULAÇÃOTais propriedades são deduzidas diretamente da definição ((03),§01) e das propriedades das integraiscurvilíneas47.47 Veja Tibiriçá , bibl. n. 11, vol. I, pág. 356 e seguintes.
  • 108. §03 – Circulação de campo que deriva de potencial escalar.VI, §0388Propriedade 1A circulação conserva-se em valor absoluto, mas muda de sinal sempre que se inverte osentido de integração (o que equivale a mudar o sentido de percurso sobre o arco AB).Pois, com efeito:∫∫ −=ABBAd.d. PvPv .Propriedade 2Se A, B e são três pontos do contorno (C), tem-se:∫∫∫ +=BCCABAd.d.d. PvPvPv ,quaisquer que sejam as posições relativas dos pontos em (C).Seja, agora, (C) um contorno fechado qualquer, plano ou reverso, e Ci, para i =1,2,...,n, n curvas, também quaisquer, ligando, cada uma, dois pontos de (C), mas situadas,todas, sobre uma mesma calota de superfície, S, de duas faces, apoiada em (C) (FiguraVI,2). Esse conjunto de curvas Ci definirá, com (C), polígonos curvilíneos (quadriláteros,triângulos, etc.) – contornos fechados, portanto – ao longo dos quais, e sempre num mesmosentido, poder-se-á calcular a circulação do campo. A fixação do sentido de percurso poderáser feita, convencionando-se que se deva caminhar sobre os lados de qualquer um dospolígonos sobre uma das faces, deixando-se sempre à esquerda a área da calota delimitadapelo polígono. Tem-se, assim, sobre a calota, uma “rede orientada de polígonos”.Destaquemos qualquer um desses polígonos com todos aqueles que o cercam (Figura VI,3). Assim:Propriedade 3“A soma das circulações do campo, ao longo de todos os polígonos de uma redeorientada, definida sobre qualquer calota de superfície, apoiada sobre umcontorno fechado (C), é igual à circulação do campo ao longo de (C)”.Com efeito, para todos os polígonos da rede que não tenham lado comum com(C), a circulação do campo apresentará parcelas que diferirão apenas pelo sentido deintegração e que, portanto, pela propriedade 1, têm o mesmo valor absoluto e sinaiscontrários. Na soma geral, tais parcelas se anularão, restando apenas, aquelas relativasà circulação do campo ao longo do contorno (C).§03 – CIRCULAÇÃO DE CAMPO QUE DERIVA DE POTENCIAL ESCALARSuponhamos que o campo v derive do potencial escalar φ (§05,V). Nesse caso, a circulação do campo aolongo de um contorno (C) entre os pontos A e B é escrita na forma:∫ φ=τBAAB dgrad P. .Lembrando a propriedade característica do operador gradiente ((04),§01,V), tem-se:ABBAAB dτ φ−φ=φ= ∫ ,onde φB e φA são os valores do campo φ nos pontos B e A, respectivamente.
  • 109. §05 – Significado físico da circulação e do potencial. 89Campos Tensoriais - RuggeriAssim, sempre que um campo vetorial deriva de potencial escalar:1) - a circulação do campo ao longo de um contorno ligando dois pontos do campo independe dessecontorno48 (ou caminho), mas apenas dos pontos terminais e vale a diferença dos potenciais nesses pontos;2) - se esse caminho for uma curva fechada, a circulação do campo será sempre nula (em qualquerregião do campo), pois Aφ=φB .§04 – CAMPOS LAMELARES OU CONSERVATIVOSVimos que um campo escalar é representado geometricamente por suas superfícies de nível (§02,IV), e estasformam um conjunto de cascas ou lamelas. Esse fato sugere denominar os campos vetoriais que derivam depotencial escalar de campos lamelares ou laminares. O fato de a circulação, nesses campos, conservar um valorconstante entre dois quaisquer de seus pontos, independendo da trajetória que os ligue (§03), sugere tambémdenominá-los conservativos49.Aspectos mais significativos, entretanto, imporão, naturalmente, outra denominação que poderá seradotada (a de irrotacional), conforme veremos no §13.§05 – SIGNIFICADO FÍSICO DA CIRCULAÇÃO E DO POTENCIALQuando o campo vetorial é de natureza qualquer, a circulação carece de significado físico. Entretanto, quandoesse campo vetorial é um campo de forças, sua circulação é equivalente ao trabalho realizado pelas forças decampo ao longo do contorno. Se supusermos, ainda neste caso, que o campo de forças deriva de um potencialescalar φ, às superfícies de nível desse campo φ - denominadas superfícies equipotenciais – estariam associadosvalores de energia, pois teríamos: φ=φ==τ ddgraddd P.P.v , isto é, o trabalho realizado pelas forças decampo entre duas superfícies equipotenciais φ1 e φ2, no sentido φ1 para φ2, será a diferença φ2-φ1, qualquer queseja o caminho considerado.Se, por exemplo, o campo vetorial for o das velocidades de um fluido em escoamento, e se o contorno (C)for uma curva plana fechada encerrando uma área ∆S, a circulação por unidade de área é (Figura VI,4):48 A rigor, o domínio D deve ser simplesmente conexo, isto é, dados dois pontos quaisquer A e B de D e dois caminhos quaisquer indo deA a B , esses dois caminhos devem poder reduzir-se, um ao outro, por uma deformação contínua deles e sem sair da região.49 Essa denominação é mais comum na Mecânica Racional, e não nos parece a mais apropriada, uma vez que nos campos solenoidais(§8, VI) o fluxo através de qualquer calota de superfície apoiada num contorno fechado também se conserva, o que nos levaria, poranalogia e coerência, a denominá-los, conservativos (o que seria impróprio). Deve, pois dizer-se: conservativos para a circulação ouconservativos para o fluxo.∫=τ∆(C)d∆S1Q.v ,que pode escrever-se também na forma:∫ ++∆=τ∆(C)bnt d)(S1Q.vvv ,onde vt, vn e vb são, respectivamente, as componentes de v segundo os unitários tˆ ,nˆ e bˆ do triedro de Frenet (§06.01,I) do contorno (C) no seu ponto genérico Q. Ora, vn e vb não contribuempara a circulação de v por serem ortogonais a dQ em todo ponto do contorno; então:∫∫ ∆==C)(tC)(t |d|.||S1d∆S1∆τ QvQ.v , (01).Se ∆τ≠0, pode concluir-se que a partícula fluida em Q circula em torno de ponto P, no instante considerado, comvelocidade vt.
  • 110. §06 – Condição para que um campo vetorial derive de um potencial escalar.VI, § 0690Da Mecânica Racional sabemos que, no movimento circular, o vetor velocidade angular w liga-se ao vetorposição r e ao vetor v pela lei: rwv ×= . Em módulo escrevemos: v=wr, donde para r suficientemente pequenocírculodoáreacircunf.dalongoaovdecirculação.21πrr)v(2.21rvw 2=π== .Por analogia desse conceito clássico elementar com a expressão (01), dizemos que ∆τ é proporcional à“velocidade angular média” das partículas fluidas em torno do ponto P.Assim, se ∆τ≠0, o fluido encontra-se macroscopicamente em rotação em torno de P. Se o plano de (C)ocupar diferentes posições em torno de P, ∆τ assumirá valores diferentes.Consideremos um vetor w, com as seguintes características:1) – de direção normal ao plano de (C);2) – de sentido tal que uma pessoa com os pés em P (Figura VI,4) e com o corpo no sentido de w veja acirculação realizar-se no sentido anti-horário;3) – de módulo igual à metade do maior valor da circulação em torno de P, quando ∆S→0, isto é, talque:]Sdlimmax[21||(C)0S ∆=∫→∆Q.vw , (02),em que supõe-se, obviamente, que o limite exista e seja finito, determinado e único, independentemente da leisegundo a qual ∆S tende para zero.Tal vetor denomina-se velocidade angular do campo v em torno de P.De imediato pode concluir-se que, se o campo das velocidades derivar de um potencial, não existirájamais velocidade angular (ou rotação) em qualquer ponto, pois a circulação do campo será sempre nula (§03),qualquer que seja o contorno fechado considerado50.50 – Este é um forte motivo para denominar os campos que derivem de potencial escalar de campos irrotacionais, o que será feito no§13.§06 – CONDIÇÃO PARA QUE UM CAMPO VETORIAL DERIVE DE UMPOTENCIAL ESCALAR.No §05,V mostramos que nem sempre um campo vetorial deriva de potencial escalar; e no §03 mostramosque, quando isso acontece, a circulação do campo ao longo de qualquer contorno, entre dois pontos, só dependedesses pontos. Ora, se v, dado na forma ((01),§01), deve também ser escrito na forma de gradiente de um campoφ, então deve ser, lembrado ((03),§01,V):zN,yM,xL∂φ∂=∂φ∂=∂φ∂= (01).Mas se subsistem as relações (01), subsistirão também as seguintes:xMxyyL 2∂∂=∂∂φ∂=∂∂,xNxzzL 2∂∂=∂∂φ∂=∂∂, eyNyzzM 2∂∂=∂∂φ∂=∂∂,
  • 111. §06 – Condição para que um campo vetorial derive de um potencial escalar. 91Campos Tensoriais - Ruggeripois supõe-se φ contínua de x, y e z no domínio D; e o teorema de Young (que garante a igualdade das derivadascruzadas), permite escrever:etc.,yxxyφ 22∂∂φ∂=∂∂∂.Então, as coordenadas de v devem satisfazer as seguintes relações:0zMyN=∂∂−∂∂0xNzL=∂∂−∂∂, e 0yLxM=∂∂−∂∂, (02).Mnemonicamente podemos traduzir as relações (02) como a condição de nulidade do produto vetorial v×∇r, dovetor simbólico nabla:zˆyˆxˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇ kji pelo vetor v, produto esse que, na clássica fórmula de umpseudodeterminante, é escrito na forma:0NMLzyxˆˆˆ=∂∂∂∂∂∂kji, (03),desde que seja convencionado substituírem-se os produtos do tipo Wu∂∂ouuW∂∂por justaposições do tipouW∂∂(para W=L,M,N). Assim, (03) é uma condição suficiente para que o campo v derive de um potencialescalar φ (existe (03) porque v=gradφ). No §13 mostraremos que (03) é, também, condição necessária.Poder-se-á calcular o potencial φ pela fórmula:∫∫∫ ++=φzz00yy0xx 000t)dzz,,y,N(xt)dyz,y,,M(xt)dxz,y,L(x, (04),onde x0, y0 e z0 são as coordenadas de um ponto arbitrário do campo, fórmula essa que se obtém por integraçãodas equações (01)51.É evidente que se o campo v é superficial (dependente de dois parâmetros e de tempo) as igualdades (01)ficam reduzidas a duas, as (02) a apenas uma e a (04) tem seu segundo membro reduzido a duas parcelas.51 – Veja Tibiriçá, bibl. n. 11, vol. I, pág. 356.*Exemplo 1:Verificar que o campo kjiv ˆ2/)yx(ˆyzxˆzxy 2222++= deriva do potencial .z)/2yx( 22=φSolução:Tem-se: zxyL 2= , yzxM 2= e 2/yxN 22= . Se v deriva de φ devem verificar-se as relações (02);encontra-se, realmente:xM2xyzyL∂∂==∂∂,xNxyzL 2∂∂==∂∂,yNyxzM 2∂∂==∂∂.De (04) teremos, então, por exemplo, para x0, y0 e z0 todos nulos:zyx210dz0dyzdxxy 22z0y0x02 =++=φ ∫∫∫ .
  • 112. §07 – Generalidades (rotacional).VI, §0792A verificação é imediata. Tem-se, no ponto genérico P≡(x,y,z) do campo φ:kjikjiv ˆyx21ˆyzxˆzxyˆzˆyˆxgrad 2222++=∂φ∂+∂φ∂+∂φ∂=φ= .Exemplo 2 :Verificar que o campo magnético de intensidade H do exemplo 7, §03, III, planar e estacionário (tambémconsiderado no exemplo 2, §03, IV), deriva do potencial: .]arctg(x/y)Ai[k −π=φSolução: Tem-se:yxyAiL 22 +−= e ,yxxAiM 22 += donde:xMAi)yx(xyyL22222∂∂=+−=∂∂.Logo, para x0=0 e y0 qualquer, obtém-se:∫∫ π+−=−=+++−=yyx02x0 220kyxarctgyxarctgdyy00dxyxyAi1, com k = 0, ±1, ±2, ...Verificação:)ˆyxxˆyxyA(]ˆ)kyxarctg(yˆ)kyxarctg(xAi[grad 2222jijiH+++−=π+−∂∂+π+−∂∂=φ= .*Reproduzamos a Figura III,3 do exemplo 7, §03, III de uma forma mais significativa, como na FiguraVI,5, onde indicamos θ=arctg(x/y). Logo:,)k(Ai π+θ−=φ (05),e as superfícies de nível desse campo escalar, que se obtêm para φ = constante, são, pois, os planos de um feixeque admitem o eixo do condutor (eixo dos z) como charneira. Estamos, assim,em face de uma singularidade, pois as superfícies de nível nunca se interceptam,conforme propriedade 2, demonstrada no §02,IV. O eixo dos z é essasingularidade, e o campo φ não é definido por uma função unívoca, conformeexigimos no §01,III (pois k em (05) pode assumir infinitos valores inteiros,positivos ou negativos). Diz-se, nesse caso, que o campo magnético gerado pelacorrente elétrica que circula pelo condutor é cíclico e certas restrições devem seradotadas para contornar parte do problema gerado por essa singularidade, o queaqui não cabe abordar52.52 Mais alguma informação pode ser obtida com Hague, bibl. n. 9, e mais pormenorizadamente com GIBBS, bibl. 8, pág. 200 a 204.*O rotacional§07 – GENERALIDADESVimos, no §03, que, quando um campo vetorial deriva de um potencial escalar, a circulação do campo aolongo de qualquer contorno ligando dois pontos do campo não depende do contorno, mas apenas dos pontosterminais. Tais campos costumam ser denominados lamelares.Mostramos também (§06) que, se um campo vetorial, definido na forma ((01),§01) é lamelar, suascoordenadas satisfazem as relações ((02),§06); ou, o que é o mesmo, que o vetor definido pelopseudodeterminante ((03),§06) deve ser nulo.
  • 113. §08 – Definição do rotacional de um campo vetorial. 93Campos Tensoriais - RuggeriDeixamos claro que nem todo campo vetorial satisfaz a ((03),§06), verificando-se, geralmente, que:)tz,y,x,(wzMyNx=∂∂−∂∂, )tz,y,x,(wxNzLy=∂∂−∂∂, )tz,y,x,(wyLxMz=∂∂−∂∂, (01),ou melhor,owkjikji≠=++=∂∂∂∂∂∂ ˆwˆwˆwNMLzyxˆˆˆzyx , (02).Campos vetoriais que não satisfazem a ((03),§06) são também de grande importância na Física e a elesdedicaremos, agora, alguma atenção.§08 – DEFINIÇÃO DO ROTACIONAL DE UM CAMPO VETORIALConsideremos um campo vetorial qualquer, referido a um triedro triortogonal kjiO ˆˆˆ− , e pelo seu ponto genéricoP – onde o campo v é dado por ((01),§01), no instante t – conduzamos um plano π contendo um retânguloelementar ABCD cujo centro é P (Figura VI,6.a).Se fixarmos um sentido de percurso sobre ABCD, tal como fizemos no §02, propr. 3, a direção de π poderá serdefinida por um vetor unitário nˆ ortogonal a π que aponte no sentido de satisfazer, com o sentido da circulação,a regra do observador (definida no §05). O tubo de campo (§03,IV) relativo a esse retângulo admite, nasvizinhanças de P, geratrizes praticamente paralelas; e os vetores de campo a ele relativos diferirão apenas emmódulo e de uma quantidade infinitesimal.A circulação do campo ao longo de ABCD dependerá, evidentemente, da posição do retângulo, oumelhor, de sua normal nˆ . Com efeito, se nˆ é paralelo a v, a circulação é nula, pois v é ortogonal a todos oselementos de arco do circuito (Figura VI,6.b); girando-se ABCD de ângulo qualquer em torno de um eixoparalelo a AB, nˆ deixa de ser ortogonal a v e a circulação pode assumir um valor finito (não nulo), tudodependendo da natureza das funções L, M e N que definem o campo v em P. Mais algum giro em torno de AB ea circulação, novamente, pode anular-se.Verifica-se assim a possibilidade da existência de uma posição para o retângulo elementar ABCD, dadapor um unitário ∗nˆ , segundo o qual a circulação do campo, por unidade de área nas vizinhanças do ponto P, sejamáxima.Ao vetor, representado por rot v (ler: rotacional de v), de mesma direção e sentido que ∗nˆ e cuja projeçãonuma direção qualquer, nˆ , valha a circulação por unidade de área relativa à direção nˆ , isto é, tal que:Sdlimˆrot ABCD0∆S ∆=∫→Qv.nv. (01),denomina-se rotacional do campo v em P. É claro que, na direção ∗nˆ ,
  • 114. §09 – Generalização. Fórmula de Stokes.VI, §0994Sdlimmáxˆrot ABCD0S ∆=∫→∆∗Qv.nv. ,donde escrever-se:∗→∆ ∆=∫ nQv.v ˆ)Sdlimmáx(rot ABCD0S, (02).Segundo (02), gerar-se-á do campo vetorial v um segundo campo, também vetorial, rot v, pois a cadaponto P do campo v deverá associar-se o vetor rot v. Usaremos, por isso mesmo, em algumas oportunidades, adenominação: operador rotacional, que fica, desde já, justificada.De (02) decorre imediatamente que ooperador rotacional é independente de qualquer sistema de referência.§09 – GENERALIZAÇÃO. FÓRMULA DE STOKESConsideremos agora, ao invés de um contorno fechado, plano, retangular, interior a um campo vetorial v,(como o fizemos no §5 e no §8) um contorno fechado reverso qualquer, C, sobre o qualse apóia uma calota de superfície S, dada, de duas faces, mas arbitrária (Figura VI,2).Imaginemos retalhada a calota S por seu sistema de coordenadas curvilíneasintrínsecas, o qual define uma rede de quadriláteros curvilíneos (sobre S). Qualquerdesses quadriláteros, ABCD (Figura VI,7), que envolve o ponto genérico R do campo ésuposto percorrido no sentido anti-horário para quem o observa do semi-espaço em quese encontra a normal exterior nˆ a S.Em R, o campo v admitirá o rotacional rotvR. Fazendo o número de quadriláteros crescer indefinidamente(suas áreas tendendo para zero) escrevemos, considerando ((01),§08):∫=ABCDddSˆrot R Q.vn.v , (01).Como v, suas derivadas e rot v são, por hipótese, funções contínuas e unívocas em todos R (§01,III), as integraiscurvilíneas do segundo membro de (01) ao longo dos lados comuns a cada elemento de área vão cancelar-sequando for efetuada a somatória das circulações do campo relativas a todos os polígonos da rede sobre a calota(§02, propr. 3). As únicas contribuições para essa circulação serão obtidas dos quadriláteros que apresentaremum lado coincidente com um arco da curva (C).Assim, somando-se membro a membro as expressões (01) relativas a todos os quadriláteros, teremos:∫∫ =(C)SddSˆrot Qv.nv. , (02) 53.53 - O conceito é válido nos domínios simplesmente conexos (vide observação de rodapé do § 03) onde toda curva fechada pode, pordeformação continua, ser reduzida a um ponto, sem sair do domínio. Se o domínio é definido por pontos não exteriores a um toro, nãoexiste contorno fechado, enlaçando todo o toro pelo seu interior, sobre o qual se apóie qualquer calota cujos pontos sejam também dodomínio. Se o domínio é definido por pontos exteriores ao toro, não existe contorno fechado que enlace o toro pelo exterior, sobre o qualse apóie uma calota de superfície cujos pontos sejam também do domínio. Em qualquer um dos casos, o toro não é simplesmente conexo.Mas são simplesmente conexos: todo o E3, todo o plano, todo o interior de uma curva plana, o interior ou o exterior de uma superfícieesférica, o interior ou o exterior das faces de um cubo etc.
  • 115. §10 – Expressão cartesiana do rotacional. 95Campos Tensoriais - RuggeriA fórmula (02) generaliza, portanto, a expressão ((01),§08), pois é definida para contornos fechados quaisquer; édenominada fórmula de Stokes e a ela nos referiremos por várias vezes.§10 – EXPRESSÃO CARTESIANA DO ROTACIONALOs fenômenos físicos independem de sistemas de referência, mas são sempre estudados em relação aalgum deles, convenientemente escolhido, tornando-se importante, pois, a determinação cartesiana do rotacional,em relação ao sistema adotado.Para tal, refiramos um campo vetorial v, dado na forma ((01),§01), a um sistema cartesiano triortogonal,O-xyz, de base vetorial { kji ˆˆˆ }. O vetor rot v pode ser escrito na forma54kkv.jjv.iiv.v ˆ)ˆrot(ˆ)ˆrot(ˆ)ˆrot(rot ++= ,concluindo-se imediatamente, em vista de ((01),§08) que suas coordenadas (rotv. iˆ ,...) são as circulações de v,por unidade de área, em contornos retilíneos elementares com normais iˆ , jˆ e kˆ , nas vizinhanças do pontogenérico P do campo. A coordenada na direção kˆ , por exemplo, pode sercalculada, facilmente, por consideração da Figura VI,8 onde mostramos umcontorno fechado retangular elementar de lados dx e dy, de normal kˆ ecirculação determinada pela regra do observador.A circulação de v será a soma das circulações de suas componentes e,no caso, apenas as componentes segundo x e y contribuirão na computaçãouma vez que a componente segundo z, por ser ortogonal a ABCD, terácirculação nula. Ao longo de AB e CD, apenas a componente L de v,segundo iˆ , contribuirá para a circulação; similarmente, ao longo de BC eDA apenas a componente M de v, segundo jˆ , contribuirá para a circulação.Os valores dessas componentes ao longo dos segmentos AB, CD, BC e DA,a menos de infinitésimos de ordem superior à primeira, podem ser igualados aos valores dessas componentes nospontos médios dos segmentos e valem, respectivamente55:2dx)xM(Me2dx)xM(M,2dy)yL(L,2dy)yL(L PPPP ∂∂−∂∂+∂∂+∂∂− .Logo, a circulação de v ao longo de ABCD será (dispensando-se os parênteses das derivadas parciais):)ˆ(dyˆ)2dxxM(M)ˆdx(ˆ)2dyyLL(ˆdyˆ)2dxxMM(ˆdxˆ)2dyyLL( j.j.i.i.j.j.i.i. −∂∂−+−∂∂++∂∂++∂∂− ,ou melhor, simplificando:.dxdy)yLxM(∂∂−∂∂54 -Veja Calaes, bibl. n. 4, pág. 150 a 152.55 A componente de v no ponto médio AB, por exemplo, LAB, pode obter-se desenvolvendo a função L em série de Taylor no ponto onde vtem componentes (L,M,N) com a condição de que apenas y tenha acréscimo (negativo, no caso) e escreve-se:2dy.yLL...dxxL2!1dzzL)2dy(yLdxyLLL222AB∂∂−=+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=
  • 116. §12 – Propriedades formais do rotacionalVI, §1296Tal circulação, por unidade de área ortogonal ao eixo Oz, isto é, a componente de rotv segundo kˆ será,lembrando a terceira das relações ((01),§07):.yLxMwz∂∂−∂∂=Similarmente podemos obter as demais coordenadas, resultando para rot v a expressão cartesianaseguinte:,ˆ)yLxM(ˆ)xNzL(ˆ)zMyN(rot v kji∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂= (01),ou, relembrando ((01),§07): .ˆwˆwˆwrot v zyx kji ++= Na forma de um determinante simbólico, desenvolvidopela regra de Sarrus segundo os elementos da primeira linha, (01) pode ser assim escrita:NMLzyxˆˆˆrot∂∂∂∂∂∂=kjiv , (02).De um campo vetorial v gera-se, assim, por operações diferenciais, um novo campo vetorial: o rotv, pois, comefeito, ao mesmo ponto onde se define v associar-se-á o vetor (01) cujas coordenadas são, ainda, por hipótese,funções contínuas e unívocas do ponto e do tempo (veja §01,III, no final).§11 – SIGNIFICADO FÍSICO DO ROTACIONALConsideremos o campo das velocidades do um fluido em escoamento apresentado no §05 quandoprocurávamos um significado físico para a circulação. Lá, definimos a velocidade angular da massa fluida emtorno de P pela relação ((02).§05); então, desta relação e de ((02),§08), resulta:wv 2rot = (01),isto é,“de um campo de velocidades v, o campo w, gerado pelo operador rotacional sobre v, é o dasvelocidades angulares do campo v em cada um de seus pontos”.Se v for um campo qualquer, a propriedade acima pode generalizar-se com o seguinte enunciado:“de um campo vetorial v, o campo w, gerado pelo operador rotacional, é o da máxima circulaçãodo campo v por unidade de área nas vizinhanças de cada um de seus pontos”.§12 – PROPRIEDADES FORMAIS DO ROTACIONALPropriedade 1 – Se a é vetor constante (eventualmente variável só com o tempo): rot a = o.Pois de ((01),§08) escreveríamos:0Sdlimˆrot ABCD0∆S=∆=∫→Qa.na. ,porque, sendo fechado o contorno, 0ddABCDABCD== ∫∫ Qa.Qa. . Sendo n arbitrário, deverá ser rot a = o.
  • 117. §12 – Propriedades formais do rotacional. 97Campos Tensoriais - RuggeriPropriedade 2 – O rotacional é distributivo em relação a adição:,rot...rotrot)...rot( wvuwvu +++=+++ (01).Esta propriedade decorre, também, imediatamente da definição, pois:=∆+++=+++∫→∆ SdQ)...(limˆ)....(rot0S.wvunwvu=∆++∆+∆=∫∫∫→∆→∆→∆ SdQlim...SdQlimSdQlim0S0S0Sw.v.u.= ,ˆrot...ˆrotˆrot n.wn.vn.u +++donde, então, (01), porque nˆ é arbitrário e porque ao multiplicação escalar de vetores é distributiva em relação àadição de vetores.Propriedade 3 – Se U é campo escalar e v é o campo vetorial:UgradrotU)rot(U vvv ×+= , (02).Demonstraremos aplicando ((01), §10). Temos:zUMyUN)zMyNU(z(UM)y(UN)∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=∂∂−∂∂xUNzUL)xNzLU(x(UN)z(UL)∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=∂∂−∂∂yULxUM)yLxMU(y)UL(x(UM)∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=∂∂−∂∂Somando membro a membro as três relações, a primeira na direção iˆ , a segunda na direção jˆ , a terceira nadireção kˆ , então reconsiderando ((01),§10), aplicando propriedades do produto vetorial e a definição dooperador gradiente, encontramos facilmente (02).Propriedade 4 – Relativamente à base { kji ˆˆˆ },zˆyˆxˆrot∂∂×+∂∂×+∂∂×=vkvjviv , (03).Com efeito, tem-se:kjiv ˆxNˆxMˆxLx ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂, kjiv ˆyNˆyMˆyLy ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂, .zNzMzLzkjiv∂∂+∂∂+∂∂=∂∂Multiplicando vetorialmente as três relações acima por iˆ , jˆ e kˆ respectivamente, somando membro a membro elembrando quejikikjkjiokkjjii ˆˆˆeˆˆˆ,ˆˆˆeˆˆˆˆˆˆ =×=×=×=×=×=× ,
  • 118. §13 – Campo irrotacional.VI, §1398virá:ˆ)yLxM(ˆ)xNzL(ˆ)zMyN(zˆyˆxˆ kjivkvjvi∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=∂∂×+∂∂×+∂∂× .Agora, novamente lembrando ((01),§10), chega-se facilmente a (03).Propriedade 5 – Se o campo vetorial v deriva do potencial U (§05,V), isto é, se v = grad U, então:ov == Ugradrotrot , (04).Reciprocamente, se um campo vetorial v é tal que rot v = o então existe uma função U tal que v = grad U.Demonstremos o teorema direto. Se v deriva de potencial, é nula a circulação de v ao longo de qualquercontorno fechado no campo (§03); então, pela fórmula de Stokes ((02),§09):0dSˆrotS=∫ nv. .Sendo nula a integral acima qualquer que seja a calota de superfície S, é necessariamente:0Ugradrotrot ==v .Reciprocamente, se rotv = o, a mesma fórmula de Stokes determina que0d(C)=∫ Qv.para qualquer contorno fechado (C), interior ao campo, nas vizinhanças de um ponto genérico. Então v.dQ é umadiferencial total56, existindo, pois, uma função escalar U tal que, em todo ponto Q do contorno, se tenha:dUd =Q.v . Considerando a propriedade característica do operador gradiente, podemos escrever, para a funçãoU, em Q:Q.Q.v dUgraddUd == , donde v = grad U.56 - Veja Tibiriçá, bibl. n. 11, tomo – I , pág. 371, teor. 318.1.§13 – CAMPO IRROTACIONALDenomina-se campo irrotacional (ou conservativo para a circulação) a todo campo vetorial tal que, emqualquer um de seus pontos, o rotacional seja nulo.Da propriedade 5 do rotacional (§12), de ((02),§10) e de ((02),§07) concluímos imediatamente:Uma condição necessária e suficiente para que um campo vetorial derive de um potencial escalaré que ele seja irrotacional.Esse importante teorema faz predominar a denominação de “campo irrotacional” sobre a denominação de“campo lamelar”, ou “conservativo”, para os campos que derivam de potencial, conforme frisamos no §04.Além dos campos tratados nos exemplos 1 e 2 (§06) que, por derivarem de potencial escalar, sãoirrotacionais, assinalamos ainda o importante campo central, ao qual já nos referimos no ex. 6,§04,V.
  • 119. §16 – Condição para que um campo vetorial derive de potencial vetor. 99Campos Tensoriais - Ruggeri§14 – CAMPO ROTACIONAL (OU TURBILHONAR)O campo rotacional é o campo rot v operado de um campo vetorial v (§07 e §08). Em Mecânica dos Fluidos essecampo receberá o nome particular de turbilhonar se o campo v for o das velocidades de um fluido emescoamento.Vetor turbilhão de um ponto do campo v, é o vetor w = rot v/2 calculado nesse ponto57.Turbilhão é o fenômeno da circulação (rotação) das partículas de um fluido num plano ortogonal a retasuporte do vetor turbilhão num ponto, num dado instante.Linha de turbilhão de um campo turbilhonar é uma linha tal que, num instante dado, em cada um de seuspontos, o vetor turbilhão correspondente lhe é tangente.Outros conceitos como tubo turbilhonar, filete turbilhonar, etc. podem ser criados e interessantesresultados podem ser obtidos; o que aqui não cabe abordar58.57 - Em vista desses importantes conceitos, os campos irrotacionais são por vezes denominados campos sem turbilhão.58 - Para obter-se mais informação, consulte: Sommerfeld, A., Mechanics of Deformable Bodies, Academic Press Inc. Publishers, NewYork, 1950, cap. IV.§15 – POTENCIAL VETOR DE UM CAMPO VETORIALMostramos que, do campo vetorial v, dado, gera-se, pelo operador rotacional, o campo vetorial rot v. A situaçãoinversa, entretanto, nem sempre ocorre, isto é, dado um campo vetorial v, nem sempre existe um campo vetorialu, tal que uv rot= .Suponhamos dado um campo vetorial v qualquer, definido num domínio D. Se existir em D um campovetorial u tal que, em todo ponto de D, seja: uv rot= , diremos que v deriva do potencial u, ou que v tempotencial U. O campo u recebe a denominação de vetor potencial do campo v.Resulta imediatamente que:As linhas diretrizes de um campo vetorial v, com vetor potencial u, são coincidentes com as linhasturbilhonares de u”.§16 – CONDIÇÃO PARA QUE UM CAMPO VETORIAL DERIVE DE POTENCIALVETORSeja:kjiv ˆt)z,y,N(x,ˆt)z,y,M(x,ˆt)z,y,L(x, ++= (01),o campo vetorial dado, que, por hipótese, deriva do vetor potencial:kjiu ˆt)z,y,R(x,ˆt)z,y,Q(x,ˆt)z,y,P(x, ++= (02),isto é, tal que:uv rot= (03).Então, considerando ((02),§07), deduzimos:RQPzyxˆˆˆ∂∂∂∂∂∂=kjiv ,
  • 120. 100VII, §02e as coordenadas de v, (L,M,N), devem satisfazer simultaneamente as relações seguintes:LzQyR=∂∂−∂∂, MxRzP=∂∂−∂∂, NyPxQ=∂∂−∂∂, (04).Mas, se subsistem as relações acima, subsistirão também as seguintes:zxQyxRxL 22∂∂∂−∂∂∂=∂∂,xyRzyPyM 22∂∂∂−∂∂∂=∂∂, ,yzPxzQzN 22∂∂∂−∂∂∂=∂∂das quais deduzimos que0zNyMxL=∂∂+∂∂+∂∂(05),pois supõe-se P, Q e R contínuas de x, y e z em D e o teorema de Young permite escrever:etc.xyRyxR 22∂∂∂=∂∂∂A expressão (05) é, pois, condição suficiente para que v derive do vetor potencial u.Para se determinar u pode-se considerá-lo da forma kj ˆRˆQ + (com P=0); então, o sistema (04) assim setransforma:LzQyR=∂∂−∂∂, MxR=∂∂− , NxQ=∂∂.Integrando a segunda equação e a terceira, vem:∫ +−= )zy,(CdxMR 1 e ∫ += )zy,(CdxNQ 2 ,onde C1 e C2 são funções arbitrárias de y e z, deriváveis, podendo, mesmo, serem nulas. Arbitrando C2 =0 eescolhendo-se C1 de modo que satisfaça à primeira equação do sistema, tem-se:,LdxNzyCdxMy1=∂∂−∂∂+∂∂− ∫∫ donde ,dxNzdxMyLyC1∫ ∫∂∂+∂∂+=∂∂igualdade cujo segundo membro independe de x (porque C1 é função arbitrária de y e z). Integrando obtém-se:∫ ∫∫ ++∂∂+∂∂= )z(CL]dydxNzdxMy[C 31 .Arbitrando C3(z) = 0 e levando C1(y,z) na expressão de L, obtém-se, finalmente:kjiu ˆRˆQˆP ++= , com+∂∂+∂∂+===∫ ∫ ∫∫∫]dyLNdxzMdxy[Mdx-RNdxQ0P
  • 121. §16 – Condição para que um campo vetorial derive de potencial vetor 101Campos Tensoriais - RuggeriÉ claro que o vetor potencial u não é único uma vez que se juntarmos a u o vetor grad U (gradiente de um campoescalar arbitrário U), tem-se também:,rotUgradrotrotU)grad(rot uuuv =+=+=conforme propriedade 5 do operador rotacional (§12).Em resumo:dado kjiv ˆt)z,y,N(x,ˆt)z,y,M(x,ˆt)z,y,L(x, ++= , então, se uv rot= , tem-se:kjiu ˆRˆQˆP ++= , com+∂∂+∂∂+===∫ ∫ ∫∫∫]dyLNdxzMdxy[Mdx-RNdxQ0P
  • 122. 102VII, §02
  • 123. Campos Tensoriais - RuggeriCAPÍTULO VIICAMPO ESCALAR OPERADO DE CAMPO VETORIALO fluxo§01 – DEFINIÇÕES.Consideremos no domínio em que é dado um campo vetorial v, uma superfície S que admita duas faces59.Se a superfície for fechada, designaremos por seminormal positiva aquela definida por um vetor unitário nˆortogonal e exterior a S, num ponto genérico de S. Se a superfície for aberta,definiremos uma das faces como positiva, a outra sendo considerada,automaticamente, negativa. A seminormal positiva a S estará definida por um vetorunitário nˆ , ortogonal a S e que aponte da face negativa para a positiva.Seja P o ponto genérico de S em torno do qual consideramos um elementode área dS, de seminormal positiva nˆ (Figura VII.1); ponhamos, por definição:ns ˆdSd = . Chama-se fluxo elementar do vetor v, no instante t, através de dS, daface negativa para a face positiva, a que denotaremos por dφ, o escalar:θ===φ cosdSvdSˆdd nv.sv. , (01),θ sendo o ângulo formado por nˆ e v em P.Uma superfície aberta é sempre delimitada por um contorno fechado (C), ou seja, é uma calota desuperfície. A superfície de uma calota pode sempre ser decomposta em infinitos elementos de área a cada um dosquais correspondendo um fluxo elementar do campo. A soma dos fluxos elementares dos vetores v do camporelativos a todos os elementos dS de S, no instante t – que denotaremos por φ - denomina-se fluxo do campo vatravés de S, escrevendo-se:∫ ∫==φS SdSˆd nv.sv. , (02).Quando a superfície é fechada, escrevemos:∫∫ ==φSSdSˆd nv.s.v , (03).É claro que, por ser v função do tempo, φ também o é. Se a calota S for fixa, φ dependerá apenas de t; se ela formóvel, φ dependerá do contorno (C) e do tempo.Exercício: A fórmula ((01),§09), de Stokes, pode ser assim interpretada:a circulação do campo v ao longo de um contorno fechado sobre o qual se apóie uma calota desuperfície S é igual ao fluxo do rotacional de v através de S.§02 – PROPRIEDADES DO FLUXOAs propriedades do fluxo podem ser deduzidas de sua definição nas formas ((02) e (03),§01) e daspropriedades das integrais de superfície60.Propriedade 1 – O fluxo conserva-se em valor absoluto, mas muda de sinal sempre que se muda o sentidoda seminormal.59 Essa superfície nem sempre existe, como é o caso da superfície de Moebius que pode ser obtida de uma tira retangular de papel devértices A,B,C e D marcados no sentido anti-horário, em que se colem as bordas AB e CD, dobrando previamente a tira, de modo tal quea letra D venha a cair sobre A e C sobre B. É possível percorrer as duas faces iniciais da tira ABCD sem passar pelas bordas; dizemosque a superfície tem apenas uma face.60 Veja Tibiriçá, bibl. n. 11, vol. I, pág. 367 e seguintes.
  • 124. 104 §03 – Fluxo de vetor que deriva de vetor potencialVII, §03Pois, com efeito:∫∫∫ −−=−−==φSSSdS)ˆ()d(d nv.sv.s.v , (01).Propriedade 2 – Se S1 e S2 são duas calotas de superfície, de seminormais 1ˆn e 2ˆn respectivamente,apoiadas num mesmo contorno fechado (C), então:ddSˆdSˆdSˆ212121 SSSSS2S1 ∫∫∫∫++==+=φ sv.nv.nv.nv. , (02),onde nˆ é a seminormal genérica exterior à superfície fechada S1 + S2.Com efeito, se S1 e S2 estiverem de lados opostos em relação a (C), conformeindicado na Figura VII,2.b, (02) é conseqüência imediata das propriedades dasintegrais de superfície. Se S1 e S2 estiverem de um mesmo lado (Figura VII,2.a), seránecessário observar-se que em relação à superfície S1 + S2 a seminormal 2ˆn− lhe éexterior, e se o fluxo através de S1 for positivo, o fluxo através de S2 será negativo.Resultará, portanto:∫∫∫∫++==−−212121 SSSSS2S1 ddSˆdS)ˆ(dSˆ Sv.nv.nv.nv.Propriedade 3 – Seja, agora, S uma superfície qualquer delimitando um volume V dentro de um domínioD, onde se define um campo v; e subdividamos V numa rede de paralelepípedos curvos através de três sistemasde superfícies. Cada paralelepípedo interior a V terá todas as suas faces coincidentes com os paralelepípedoscontíguos, excetuados os paralelepípedos de V que tiverem uma face coincidente com S.A soma dos fluxos do campo, através das superfícies de todos os paralelepípedos de uma rede quedecompõe certo volume V, é igual ao fluxo do campo através da superfície fechada S que delimitaV.Com efeito, para todos os paralelepípedos da rede que não tenham face comum com S, o fluxo do campoapresenta parcelas que diferem apenas pelo sentido na seminormal exterior e que, portanto, pela propriedade 1,têm o mesmo valor absoluto e sinais contrários. Na soma geral tais parcelas se anularão, restando apenas aquelasrelativas ao fluxo do campo através de S.§03 – FLUXO DE VETOR QUE DERIVA DE VETOR POTENCIALSe o campo deriva do vetor potencial u, seu fluxo através de uma calota de superfície S, apoiada num contorno(C), pode ser escrito na forma:∫∫ ==φSSdrot Su.v.dS ,donde, lembrando a fórmula de Stokes ((02),§09,VI):d(C)∫=φ Q.u , (01),onde Q é ponto genérico de (C). Resulta, portanto, sempre que um campo vetorial derive de potencial vetor:1) - O fluxo do campo, através de qualquer calota de superfície S apoiada num contornofechado (C), não depende de S, mas apenas de (C). Com efeito, é o que mostra (01), podendo enunciar-se:
  • 125. §04 – Significado físico do fluxo.Campos Tensoriais - Ruggeri105Se um campo vetorial deriva de potencial vetor seu fluxo através de qualquer calota de superfície,apoiada num contorno (C), é igual à circulação do potencial vetor do campo ao longo de (C)”.2) – Consideremos no campo uma superfície fechada, convexa (Figura VII,2.b) ou não (FiguraVII,2.a). A propriedade 2, na forma ((02),§02), permite-nos escrever:∫∫∫ +==φ21 S2S1SdSˆdSˆdSˆ nv.nv.nv. ,isto é, em vista de v derivar do vetor potencial u,.dSˆrotdSˆrot21S2S1 ∫∫ +=φ nu.nu.Lembrando novamente da fórmula de Stokes, cada uma das parcelas do segundo membro da expressão acimapode ser expressa como a circulação de u ao longo de (C), mas num e noutro caso a circulação se realiza semsentidos opostos; donde:0dd(C)(C)=−=φ ∫∫ Qu.Qu. .Logo:Se um campo vetorial deriva de um vetor potencial, é nulo seu fluxo através de qualquersuperfície fechada.§04 – SIGNIFICADO FÍSICO DO FLUXO.Consideremos o campo das velocidades v e o das massas específicas ρ de um fluido em escoamento nãoestacionário, num domínio D. O fluxo elementar do campo v através de um elemento de área dS de uma calota desuperfície S (de dupla face), no entorno de um ponto P, onde a seminormal (exterior) énˆ (Figura VII,3), vale:dSˆdtddSˆd n.snv. ==φ , (01),s sendo o vetor deslocamento instantâneo de fluido por P. Por ser ns. ˆd a projeção de ds(que é paralelo a v) na direção de nˆ , dSˆd ns. representa o volume de um tubo (prisma)de fluido cuja base é dS e cuja altura é ns. ˆd . Como esse volume se define em relaçãoao intervalo de tempo dt, podemos concluir, relembrando (01):O fluxo elementar do campo das velocidades de um fluido em escoamento representa o volume defluido61 que, num determinado ponto e durante a unidade de tempo, atravessa a unidade de áreadisposta ortogonalmente à velocidade.O fluxo elementar dφ’ do campo ρv, similarmente, é escrito na forma:dtdmdtddSˆd =φρ=ρ=φ′ nv. , (011),e representará, portanto, no ponto, a massa de fluido que na unidade de tempo atravessa a unidade de áreadisposta perpendicularmente ao vetor velocidade. Por isso mesmo o campo ρv é denominado: densidade de fluxode massa.61 - Esse volume por ali passa com certa pressão que não interessa considerar no momento.
  • 126. §05 – Definição (divergente).VII, §05106Sendo ρ e v funções do tempo, o fluxo elementar dφ’ será evidentemente uma função (diferencial) dotempo. Num instante t, os fluxos de massa pela calota S e por uma superfície fechada qualquer serão,respectivamente:∫∫ ρρSSdSˆedSˆ nv.nv. , (02).Se os campos ρ e v forem estacionários, então o fluxo de massa pela calota será constante, isto é:constantedSˆρS=∫ nv. ,pois dm/dt=0; e, para a superfície fechada,∫ =ρS0dSˆnv. , (03),pois, do contrário, massa fluida estaria sendo criada (a partir do nada) ou destruída, o que é fisicamenteimpossível.Nos escoamentos não estacionários o segundo membro de (03) é, geralmente, diferente de zero. Se,entretanto, num escoamento estacionário, acontecer de ser não nulo o segundo membro de (03), devemosconcluir estar havendo admissão ou extração de fluido no interior de S (o que é fisicamente possível).De um modo geral, quando há admissão de fluido no interior de uma superfície fechada S, dizemos queem S existe uma fonte (ou fonte positiva), e quando há extração, dizemos que em S existe um sorvedouro (oufonte negativa). No §08 determinaremos uma condição suficiente para que não ocorram fontes num escoamentofluido.O divergente§05 – DEFINIÇÃOSeja dado um campo vetorial v = v(P,t), não estacionário, definido num certo domínio D queimaginaremos subdividido em paralelepípedos elementares por um triplo sistema de (infinitos) planosortogonais62 paralelos aos planos de um sistema triortogonal de referência, kji ˆˆˆ-O ao qual referimos D. Seja P oponto genérico de D, centro de um paralelepípedo reto infinitesimal, onde, no instante t, o vetor do campo é:kjiv ˆt)N(P,ˆt)M(P,ˆt)L(P, ++= , (01).Propomo-nos calcular o fluxo do campo v, através do paralelepípedo, no instante t. Como a multiplicaçãoescalar de vetores é operação distributiva em relação à adição de vetores, o fluxo do campo v definido por (01),através do paralelepípedo, valerá a soma dos fluxos dos seus vetores-parcela atravésdo mesmo. Mas, estando suas faces paralelas aos panos coordenados, suasseminormais exteriores serão paralelas aos unitários do sistema de referência; dondeconcluir-se que, para cada par de faces paralelas, apenas as coordenadas dos vetoresdo campo (em cada face elementar), ortogonais a essa faces, contribuirão para ofluxo63.Denotemos por dx, dy e dz as arestas do paralelepípedo, e calculemosinicialmente o fluxo do campo através das faces paralelas: ABCD (de centro R) eA’B’C’D’ (de centro R’), de normais exteriores jˆ e jˆ− , respectivamente (FiguraVII,4). Nos pontos R e R’, as coordenadas dos vetores que produzirão fluxo serão, respectivamente64:62 - Seriam superfícies se fossem adotassem coordenadas curvilíneas.63 - É claro que por ser infinitesimal o paralelepípedo, os vetores do campo, em todos os pontos da superfície do mesmo, serão paralelosa v; e seus valores absolutos, constantes em cada face, diferirão de uma para outra de uma quantidade infinitesimal.64 - A componente M de v em P, sofreu de P para R o acréscimo indicado porque x e z ficaram constantes; de P para R’ o acréscimo foinegativo. No desenvolvimento de M, em série de Taylor, no ponto P, desprezam-se as parcelas de grau superior a um.
  • 127. §06 – Significado físico do divergente.Campos Tensoriais - Ruggeri107.2dy.yMMe2dy.yMM∂∂−∂∂+Denotando por dφy o fluxo do campo através dessas faces (ortogonais ao eixo Oy), teremos, aplicando((01),§01):)ˆ)(dxdz.(ˆ.dy)yM21(Mˆ)dxdz.(ˆ)dyyM21M(d y jjjj −∂∂−+∂∂+=φ ,ou, simplificando:dxdydz..yMd y∂∂=φSimilarmente, se calculássemos os fluxos elementares pelos demais pares de faces, encontraríamos:dzdydx.xLd x∂∂=φ , e dzdydx.zNd z∂∂=φ .Somando os fluxos elementares, o fluxo total dφ valerá:,dV)zNyMxL(d∂∂+∂∂+∂∂=φ (02),onde dV = dx dy dz é o volume do paralelepípedo elementar.A variação de fluxo por unidade de volume nas vizinhanças do ponto P - denominada divergente (oudivergência) do campo v(P,t) no ponto P e no instante t - será, pois:zNyMxLdVd∂∂+∂∂+∂∂=φ;e representando-o por div v, escrevemos:,zNyMxLdVddiv∂∂+∂∂+∂∂=φ=v (03).Do campo vetorial v geramos, assim, por uma operação diferencial, o campo escalar div v representativode variação de fluxo por unidade de volume (e a cada instante) nas vizinhanças de cada ponto do campo. Comefeito, a cada ponto P estará associado o escalar div v, dado por uma soma de funções contínuas e unívocas(§01,III no final).Definido por (03), o divergente é geralmente designado por operador diferencial, tal como o gradiente eo rotacional.§06 – SIGNIFICADO FÍSICO DO DIVERGENTE.Abordemos novamente o escoamento não estacionário de um fluido, num domínio D, já considerado no§04. De ((03),§05) e ((01),§04), escrevemos:dVdtdmdVd)div( =φ′=ρv .
  • 128. §08 – Campo solenoidal: definição, propriedades.VII, §08108Assim, se div(ρv) existe não nulo num ponto de escoamento, o seu valor expressará, em cada instante, aquantidade de massa fluida que atravessa a unidade de volume em torno do ponto, por unidade de tempo. Sediv(ρv) > 0, da unidade de volume está saindo mais fluido do que chegando; e vice-versa.No entorno de um ponto P de um escoamento estacionário toda a massa fluida que entra numa superfíciefechada, por unidade de volume e por unidade de tempo, deve também sair, exceto se existirem de fontes ousumidouros (§04); donde concluir-se:no escoamento estacionário, 0)div( =ρv .§07 – FÓRMULA DO DIVERGENTEO raciocínio feito no parágrafo anterior para o cálculo do fluxo do campo v através do paralelepípedo doponto P pode ser estendido a todos os paralelepípedos interiores a uma superfície fechada S qualquer, queenvolva P, no interior de D.O valor de tal fluxo pode ser obtido por integração direta de ((03),§05), obtendo-se:∫=φVdVdiv v ,onde V é o volume delimitado por S.Pela propriedade 3 do fluxo (§2) escrevemos, também:∫=φSdSˆnv. , donde:∫∫ =SVdSˆdVdiv nv.v (01).Tal é a expressão matemática da chamada fórmula do divergente, ou de Gauss – Ostrogradsky, que assim seenuncia:Em D, o fluxo do campo v através de uma superfície fechada S é igual ao divergente de v por todoo volume encerrado por S.§08 – CAMPO SOLENOIDAL: DEFINIÇÃO, PROPRIEDADES.Um campo vetorial v é dito solenoidal se em todo ponto do mesmo é div v = 0. Essa nomenclatura é maisapropriada no Eletromagnetismo.Propriedade 1A condição necessária e suficiente para que seja nulo o fluxo de um campo vetorial através dequalquer superfície fechada imaginada no interior desse campo é que ele seja solenoidal.A condição é necessária, pois se div v = 0 a fórmula do divergente dá:0dSˆS=∫ nv. , (01),e o fluxo é nulo. Reciprocamente, se subsiste (01), deve ser:0dVdivV=∫ v , (02);e dada a arbitrariedade de V, deve ser div v = 0, ou seja, v é solenoidal.Observação:Essa propriedade sugere denominar também os campos solenoidais de campos sem fonte, mas essanomenclatura não é usual. Convém observar, entretanto, que fluxo nulo é uma condição apenas suficiente paraque não haja fontes no interior de S, isto é, não havendo fontes o fluxo é nulo. Esta condição não é necessária,obviamente, pois poderiam existir no interior de S duas fontes cujas atividades se equilibrassem; e (01)continuaria válida.
  • 129. §08 – Campo solenoidal: definição, propriedades.Campos Tensoriais - Ruggeri109Propriedade 2:A condição necessária e suficiente para que um campo derive de potencial vetor é que ele sejasolenoidal.A condição é necessária, pois se v deriva do vetor potencial u, isto é, se v = rotu, então (§15, VI) verifica-se ((05),§16,VI), isto é, div rotu = 0. A condição é suficiente, pois se divv = 0 existe um vetor u, conformedemonstrado no §16,VI, cujo rotacional é v, isto é, uv rot= .Propriedade 3A condição necessária e suficiente para que seja constante o fluxo do campo v através de qualquercalota de superfície apoiada num contorno fechado dado é que ele seja solenoidal.Com efeito, sejam S1 e S2 duas calotas de superfície apoiada num mesmo contorno fechado (C) no interiordo campo v. A superfície S1 + S265 será fechada necessariamente e escreveremos, do §02, propriedade 2:∫∫∫ +=+ 2121 S2S1SSdSˆdSˆdSˆ nv.nv.nv. , (031).Se v é solenoidal verifica-se (01); então, de (031):∫∫ −=21 S2S1 dSˆdSˆ nv.nv. , (03),onde o sinal (-) é relativo ao sentido da seminormal com relação ao fluxo; assim, o fluxo que entra por S1 é igualao que sai por S2.Reciprocamente, se subsiste (03), verifica-se também (031) e, portanto, (01). Então, a propriedade 1permite concluir que div v = 0.65 - 21 SS + é, obviamente, um modo figurado de representar a superfície definida pela união de S1 com S2.O campo solenoidal é dito, também, campo de fluxo conservativo. O campoirrotacional, por analogia, é dito, ainda, de circulação conservativa.Propriedade 4Num campo solenoidal é constante o fluxo através de qualquer seção deum tubo de campo.Com efeito, suponhamos que o tubo fosse fechado por duas calotas S1 e S2(Figura VII,5) cujas normais nos pontos correntes fossem 1ˆn e 2ˆn . Para esse tubo assim fechado, a propriedade1 dá, simbolicamente:∫∫∫∫ ++==++ 2121 SSSSSS0dSˆnv. .Como o fluxo através de S é nulo por serem nˆ e v ortogonais, resulta:∫ ∫−=1 2S S21 dSˆdSˆ nv.nv. .
  • 130. §10 – O campo harmônico.VII, §10110Se o tubo de campo for suficientemente estreito e se duas seções quaisquer S1 e S2 forem ortogonais àslinhas de campo (seção transversal), os fluxos respectivos, φ1 e φ2, valerão S1v1 e S2v2 , onde v1 e v2 são osmódulos dos vetores do campo nos centros das seções. Com efeito, como os vetores do campo numa mesmaseção são vetores paralelos à normal à seção, e de mesmo módulo podemos escrever:11S1S111 SvdSvdSˆ11=====φ∫∫ n.v .De modo análogo calculamos φ2.Se o campo for solenoidal, a propriedade 4 garante serem iguais estes dois fluxos (a menos de sinal), istoé: 2211 SvSv = ; donde concluir-se que o módulo dos vetores do campo, em S1 e em S2, variarão na razão inversada área da seção normal do tubo. Vemos, pois, que a representação geométrica de um campo solenoidal por suaslinhas de campo dá, imediatamente, a direção do vetor em cada ponto (pela tangente a linha, §03, IV), podendooferecer, também, o módulo do vetor, conforme o afastamento das linhas de campo66.§09 – O CAMPO SOLENOIDAL PLANAR.Para tal campo devemos escrever, para um ponto qualquer de seu plano (xy):.0yMxLdiv =∂∂+∂∂=vAssim, por teorema clássico do Cálculo Infinitesimal67 -Mdx+Ldy é uma diferencial total exata no domínio Donde se definem as funções unívocas e contínuas L e M. Existe, então, uma função φ = φ (x,y) , tal que:;dyydxxLdyM)dx(d∂φ∂+∂φ∂=+−=φ donde:yL∂φ∂= ,xM∂φ∂=− .A função φ - denominada função diretriz do campo - é obtida por68:∫∫ +−=φybxay)dyL(a,y)dxM(x, ,onde (a,b) são as coordenadas de um ponto arbitrário do plano.A equação diferencial das linhas de campo é, então:,xdyydxMdyLdx∂φ∂=∂φ∂== donde: φ==∂φ∂+∂φ∂d0dyydxx.Assim, a equação das linhas de campo será: constante.y)(x, =φ§10 – O CAMPO HARMÔNICO.Os campos harmônicos são os campos vetoriais simultaneamente solenoidais e irrotacionais, isto é, são oscampos v tais, que: 0div =v e 0rot =v .66 Trata-se de uma representação gráfica do campo que não interessa detalhar aqui.67 Veja Tibiriçá, bibl. n. 11, vol. I, pág. 354, item 294.1.68 Veja Tibiriçá, bibl. n. 11, vol. I, pág. 354, item 294.1.
  • 131. §11 – Propriedades formais do divergente.Campos Tensoriais - Ruggeri111De ser v irrotacional resulta v = gradU; donde, por ser v solenoidal:0Ugraddiv = (01).A dupla operação div grad sobre o campo escalar U (definido no mesmo domínio em que se define v) édenominada o laplaciano de U e indica-se por Lap U. Tem-se, pois:0ULap = , (02).Da expressão ((03),§05) do divergente e da ((03,§01,V) do gradiente, resulta:0zUyUxUULap 222222=∂∂+∂∂+∂∂= (03).Diz-se, também, que o potencial escalar U é harmônico e a (03) denomina-se equação de Laplace.Nota:Sendo div v =0, v deriva de um potencial vetor w, isto é, v=rot w. Logo, por ser este mesmocampo irrotacional: rotv = rot rotw =o. Mostraremos que, com isso, Lapw = graddiv w (§03, VIII).§11 – PROPRIEDADES FORMAIS DO DIVERGENTE.Essas propriedades formais podem ser deduzidas facilmente a partir de (5.3).Propriedade 1 – Se a é constante 0div =a .Pois as derivadas parciais em ((03),§05) são todas nulas.Propriedade 2 – Se λi são constantes,,...divdiv...)(div 22112211 +λ+λ=+λ+λ vvvv (11.1).Tem-se, denotando por w o vetor ...λλ 2211 ++ vv e por ...d,d 21 φφ os fluxos de ..., 2211 vv λλ através desuperfície elementar fechada em torno de um ponto genérico do campo:=+λ+λ=+φ+φ=+φ+φ= ...)(div)(div...dVddVddV...dddiv 22112121vvw...divdiv...dVd.dVd.22112211+λ+λ=+λ+λ= vvsvsv.Outra demonstração (utilizando o teorema do divergente):=+λ+λ=+λ+λ==∫ ∫∫∫∫ ...d.d.d....)(dVdivd.S S2211S2211VSsvsvsvvwsw∫∫∫ +λ+λ=+λ+λV2211V22V11 ...)dVdivdiv(...dVdivdVdiv vvvv ,donde, considerando o segundo e o último membros:0)dV...divdiv(divV2211 =−λ−λ−∫ vvw ,o que acarreta a tese.
  • 132. §12 – Fórmulas de Green.VII, §12112Outras propriedades:Se ρ é campo escalar e u e v campos vetoriais definidos num mesmo domínio, demonstra-se69 que:graddiv)div( .vvv ρ+ρ=ρ , (02),eu.vv.uvu rotrot)div( +−=× , (03).Se O é fixo e P é variável:30)(Pdiv =− , (04).Também:zˆyˆxˆdiv∂∂+∂∂+∂∂=v.kv.jv.iv , (05).§12 – FÓRMULAS DE GREEN.Seja v um campo irrotacional (§13,VI), cujo potencial é U. Nesse caso, a fórmula do divergente, ((01),§07), éescrita na forma:69 -Veja Calaes, bibl. n. 04, pág. 322 a 330.∫∫ =SVdUgraddVUgraddiv s. ,donde, lembrando que ULapUgraddiv = e o conceito de derivada direcional ((02),§02,IV):∫∫ =SVdSdndUdVULap , (01).A expressão (01) denomina-se: a primeira fórmula de Green.No caso em que o campo v é harmônico (ou U é harmônico) tem-se, considerado ((02),§10):0dSdndU0ULapS=⇔= ∫ .Consideremos agora, num mesmo domínio, os campos escalares U e W e o campo vetorial v, comU.gradW=v Tem-se, considerado ((02),§11):=+= UgradWgradUgraddivWdiv .v UgradWgradULapW .+ ,e, lembrado novamente ((02),§02,V):dndUWˆUgradWˆ == n.nv. .A fórmula do divergente, ((01),§07), é escrita, então, na forma:∫∫ =+SVdSdndUWdV)UgradWgradULapW( . , (02),expressão denominada: a segunda fórmula de Green.
  • 133. §13 – Fórmulas do gradiente e rotacional.Campos Tensoriais - Ruggeri113Se nesta segunda fórmula trocarmos U por W e W por U; e se, em seguida, subtrairmos membro amembro as expressões obtidas, encontraremos a terceira fórmula de Green:∫∫ −=−SV)dSdndWUdndU(WW)dVLapUULap(W , (03).§13 – FÓRMULAS: DO GRADIENTE E DO ROTACIONAL.Se na fórmula ((01),§07) do divergente o campo vetorial for do tipo v = ρ a, onde ρ = ρ (P,t), e a umvetor constante, então: aav .graddivdiv ρ+ρ= e na.v.n ρ= . Lembrando a propriedade 1 do divergente(§11), tem-se, em ((01),§07):∫∫ ρ=ρSVddVgrad sa.a. ,e por ser a vetor constante, mas qualquer:∫∫ ρ=ρSVddVgrad sa.a.ou,∫∫ ρ=ρSVddVgrad s , (01),expressão esta denominada: fórmula do gradiente.Se v é um campo vetorial qualquer, é sempre possível determinar dois vetores: u e a, sendo a campoconstante, tal que auv ×= . Tem-se, então, considerando a fórmula ((03),§11), a propriedade 1 do divergente(§11) e propriedades da multiplicação mista de vetores:ua.na.nuv.nu.aau ×=×==× erot)(div .Da fórmula do divergente virá, imediatamente, sem delongas:usa.sa.s.auuaau ×==×==× ∫∫ ddd)(dVrot.dV)div(VV.Assim, por ser a qualquer, resulta,∫∫ ×=SVddVrot usu , (02),expressão conhecida como: fórmula do rotacional.
  • 134. 114VIII,§02
  • 135. Campos Tensoriais - RuggeriCAPÍTULO VIIIOPERADORES DUPLOS DE CAMPO§01 – GENERALIDADES.Matematicamente o gradiente, o rotacional e o divergente podem ser vistos como operadores, isto é, comoentidades matemáticas de transformação. Com efeito, o gradiente gera de um campo escalar um campo vetorial;de um campo vetorial o rotacional gera outro campo vetorial; e o divergente, de um campo vetorial gera umcampo escalar.No estudo de algumas particularidades relativas a alguns campos, tivemos a necessidade de fazerconsiderações a algumas operações duplas sobre campos, conforme mostramos no §12, propriedade 5, VI e §8,propriedade 2, VII, isto é:0rotdive0Ugradrot == v ,além de,ULapUgraddiv = , (01),definido no estudo do campo vetorial harmônico (§10, VII).Além dessas três operações duplas entre os três operadores, existem ainda:rotrotedivgrad , (02),excluindo-se, evidentemente, as operações grad grad, grad rot, div div e rot div, que não tem significado70.§02 – O OPERADOR LAPLACIANO.Estudemos agora, em toda a sua plenitude, o importante operador laplaciano, que se define como o campoescalar operado do campo escalar U, pela dupla operação div grad, definida por ((01),§01).No caso particular em que Lap U=0, o campo é dito harmônico; a mesma denominação é aplicada aocampo vetorial que admitir U por potencial (§10, VII).O operador laplaciano goza das seguintes propriedades:Propriedade 1:U = constante ⇒ Lap U = 0 , (01).A demonstração é evidente. A recíproca não é verdadeira.Propriedade 2:Se U1 , U2 , ..., Un são n campos escalares, definidos num mesmo domínio D, e f uma função qualquerdesses campos, então71:kiki2Kkn21 Ugrad.UgradUUfLapUUf),...UU,f(ULap∂∂∂+∂∂= , (02).Com efeito, lembrando a definição (01) e a propriedade fundamental do gradiente (§04,V), virá:70 Não se definem aqui os conceitos de: gradiente de campo vetorial, divergente de campo escalar e nem rotacional de campo escalar.Veja-se, entretanto, a criação de conceitos mais gerais e mais abrangentes, de férteis aplicações na Física, no livro de autoria do autor,intitulado “Tratado de Cálculo Poliádico”, Tomo I, volume I, ISBN 978-85-907001-0-4, edição do autor, 2008, bibl. [13].71 Reutilizamos aqui a convenção somatória estabelecida no §05.02,I.
  • 136. §02 – O operador laplaciano.VIII, §02116).UgradUfdiv(f)(graddivfLap kk∂∂==Lembrando, agora, a propriedade ((02),§11,VII) do divergente, escrevemos:.Ugrad.UfgradULapUffLap kkkk ∂∂+∂∂=Mas, reaplicando a propriedade fundamental do gradiente, vem:,UgradUUfUfgrad iik2k ∂∂∂=∂∂donde:kiik2kkUgrad.UgradUUfULapUffLap∂∂∂+∂∂= .São úteis os seguintes casos particulares.Propriedade 3:f = U1+U2+...+Un ⇒ Lap (U1+ U2+ ...+ Un) = Lap U1 + Lap U2 +..., (04)Pois, com efeito, em (03) será:0UUfe1Ufki2k=∂∂∂=∂∂Propriedade 4constantecomUf =ρρ= ⇒ ULapU)(Lap ρ=ρ , (05).Com efeito, em (03) faremos: U1 = ρ = constante e U2 = U; virá:0fUf;UfUfU;ρfUf2221221=ρ∂∂=∂∂ρ=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂.Por ser ρ = constante, será Lap ρ = 0 e grad ρ = 0, verificando-se, logo, (05).Propriedade 5:f = UW ⇒ WgradUgrad2ULapWWLapU(U.W)Lap .++= , (06).Pois em (03) será:1WUfe0WfUfU,WfW,Uf 22222=∂∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂.
  • 137. §03 – Os operadores grad div e rot rot.Campos Tensoriais - Ruggeri117Propriedade 6,UgradUgradUfULapUff(U)Lap 22.∂∂+∂∂= (07).É evidente a demonstração.Propriedade 7Se O é origem de eixos, P ponto genérico de vetor posição r, então a função 1/r é harmônica emtodo o domínio que não contenha O.Realmente, excluindo o ponto O onde o campo 1/r apresenta descontinuidade, tem-se, conforme (07):rgradrgrad)r1(rrLap)r1(r(1/r)Lap 22.∂∂+∂∂=Mas, considerando que grad r = r/r (ex. 1.§01,V), e ((02),§11,VII):.rrr(1/r)graddivr1rdivrgraddivrLap +=== .Considerando ((04),§11,VII), ((08),§04,V) e relembrando o ex. 1, §01,V, virá:r2.r.r1r3rLap 2=−= rr.Assim,32r2r2r1)r1(Lap +−= , ou seja: 0)r1(Lap = .§03 – OS OPERADORES grad div E rot rot.Por analogia com o conceito de laplaciano de campo escalar, definiremos o laplaciano de um campovetorial v, e o denotaremos por Lap v, o campo vetorial:222222zyxLap∂∂∂+∂∂+∂∂=vvvv , (01).Tem-se:vvv Lapdivgradrotrot −= , (02).Com efeito, tem-se, para :NML kjiv ++=kjikjiv ˆ)yLxM(ˆ)xNzL(ˆ)zMyN(NMLzyxˆˆˆrot∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=∂∂∂∂∂∂= ,donde:
  • 138. §05 – Uma lei de dualidade.VIII, §05118=∂∂−∂∂∂∂−∂∂∂∂−∂∂∂∂∂∂∂∂=)yLxM()xNzL()zMyN(zyxˆˆˆrotrotkjiv+∂∂∂+∂∂−∂∂−∂∂∂+∂∂∂+∂∂−∂∂−∂∂∂= ji ˆ)yxLxMzMyzN(ˆ)xzNzLyLxyM(222222222222kˆ)zyMyNxNyxL(222222∂∂∂+∂∂−∂∂−∂∂∂.Somemos e subtraiamos dentro dos primeiros parênteses do segundo membro 22xL∂∂, dentro do segundo,22yM∂∂; e dentro do terceiro, 22zN∂∂. Observado agora que:+∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂= jiv ˆ)zyNyMxyL(ˆ)zxNyxMxL(divgrad2222222kˆ)zNyzMxzL( 2222∂∂+∂∂∂−∂∂∂,e que :...yL(ˆ)xNxMxL(Lap 22222222+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= ivpodemos comprovar imediatamente (02).§04 – OBSERVAÇÃO FINAL SOBRE OS CAMPOS HARMÔNICOSSeja v um campo vetorial harmônico (§10,VII). Por ser div v = 0, existirá um campo potencial w tal que v= rot w; e por ser v campo irrotacional será:0rotrotrot == wv .Assim, para o vetor potencial w do campo harmônico v, tem-se, conforme ((02),§03):ww divgradLap = .§05 – UMA LEI DE DUALIDADE.Durante a exposição desta 2ª parte o leitor pode, eventualmente, ter percebido a existência de certaanalogia entre os conceitos de circulação e fluxo estudados nos capítulos VI e VII. Se não, poderá comparar aspropriedades da circulação (§02,VI) com as propriedades do fluxo (§02,VII), o conceito de circulação de campoque deriva de potencial escalar (§03,VI) com o conceito de fluxo de campo que deriva de vetor potencial(§03,VII), de fórmula de Stokes ((02),§09,VI) com a fórmula de Gauss ((01),§07,VII), etc.
  • 139. 119 §05 – Uma lei de dualidadeCampos Tensoriais - RuggeriPode perceber-se a existência de “palavras correspondentes” nos dois capítulos, como: circulação e fluxo,caminhamento e atravessamento, polígono e paralelepípedo, linha e superfície, etc.. Se tais palavras foremconsideradas duais, através delas teoremas e propriedades duais podem ter enunciados de “mesma estrutura”pelo emprego de uma lei chamada lei de dualidade. Pormenores sobre o assunto poderão ser vistos em artigoespecífico do autor72.72 Ruggeri, E. R. F., “Uma dualidade na teoria do campo vetorial”, Revista Escola de Minas REM, volume XXXVII, n 2, 1984.
  • 140. 120
  • 141. Campos Tensoriais - Ruggeri3ª Parte - Propriedades dos campos de diádicos simétricosCAPÍTULO IXELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE UM DIÁDICO EM 3DAs coordenadas radiais principais§01 – DEFINIÇÕES. EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA. PROPRIEDADESDa representação de Mohr (§04,IV) dos campos diádicos pode concluir-se que existem duas direções, dadas porvetores unitários 1ˆn e 3ˆn , segundo as quais as coordenadas radiais do diádico S são extremadas. Tais direções,juntamente com 2ˆn 73, recebem o nome de direções principais do ponto P; e os planos que elas determinam,planos principais. Elas formam um triedro triortogonal, que batizamos com o nome de triedro principal doponto com o qual estabelecemos um sistema de coordenadas local. As coordenadas radiais do tensor S no pontoP (§04.01,III), correspondentes às direções principais desse mesmo ponto, denominam-se coordenadas radiaisprincipais do diádico (ou tensor) no ponto P, conforme já acentuamos (§04,IV). Procederemos, nos parágrafosseguintes, às determinações analíticas e ao estudo de algumas das propriedades desses elementos.O problema consiste em se determinarem, no ponto genérico P do campo de S (logo, com S=constante),os extremos da função:jijiT nSnS.{N}.{N}ˆ..ˆ ===ρ nSn ,cujas variáveis n1, n2, n3 - coordenadas do unitário nˆ em relação a um bem determinado, mas qualquer, sistemade referência - estão ligadas, em P, pela condição:1nn01}N.{{N}f ijjiT−δ==−≡ .Se, em P, {N} for uma direção segundo a qual ρ (a coordenada radial de S correspondente a {N}) éextremada, nesta direção será dρ = 074, isto é,0.{dN}gradˆ.dgraddnnd ii=ρ=ρ=∂ρ∂=ρ n .Como {dN} é arbitrário e ortogonal a nˆ , grad ρ é paralelo a nˆ . Mas, também: .{dN}fgrad0df == ;logo, grad ρ e grad f são perpendiculares ao plano tangente à superfície esférica 1ˆ.ˆ =nn centrada em P, sendo,pois, paralelos. Podemos, então, escrever:,constante)(fgradgrad =λλ=ρuma vez que nenhum dos vetores é nulo necessariamente. Entretanto, é:73 - À direção 2ˆn corresponde uma coordenada radial de S, intermediária entre os valores máximos S1 e S3.74 - Veja Tibiriçá, bibl. n. 11, tomo II, pág. 566, item 37.2.+δ=∂∂+∂∂=∂ρ∂=ρ ikjijkjijikijijknS()nnSnnnnS(ngrad kk ee{N}S.2nS2)SnnS()Sn kikijkjjkiji ==+=δ+ αα kkk eeee}N{2n2nffgrad kk==∂∂= kk ee .
  • 142. 122 §01 – Definições. Equação característica. Propriedades.IX, §01Então,{N}{N}.S λ= , (01),ou melhor:0{N}.I)(S =λ− , (02).Estamos, assim, em face do problema de diagonalização do diádico S, pois (01) traduz, precisamente, a condiçãode ser {N} sua direção própria75.O sistema (02) é homogêneo, tendo três equações e três incógnitas: as coordenadas n1 , n2 e n3 do vetor nˆ ;para admitir solução diferente da trivial, requer seja:,0I)(Sdet =λ−ou, ainda:0SSSSSSSSS333231232221131211=λ−λ−λ−, (03).Tal determinante, desenvolvido, é equivalente à equação do terceiro grau em λ:0JJJ 32213=−λ+λ−λ (04),onde se têm:3322111 SSSJ ++= (05),3332232233311311222112112SSSSSSSSSSSSJ ++= (06),eSSSSSSSSSJ3332312322211312113 = , (07),isto é, J1, J2 e J3 são, respectivamente, as somas de todos os menores diagonais de ordens 1, 2 e 3 do determinanteassociado à matriz do diádico S.A equação (04) é denominada: equação característica do diádico S; resolvida, fornecerá três valores paraλ - os valores próprios (ou autovalores) de S – que, levados, cada um de per si, ao sistema (02), possibilitarãodeterminar três direções: {N1}, {N2}, {N3} – as direções próprias de S – segundo as quais as coordenadas radiaisde S se extremam. As direções próprias de S são, pois, as direções principais do ponto P.Teorema 1:As coordenadas radiais principais do diádico S são os valores próprios da equação característicade S.Com efeito, se λ1 é uma raiz de (04), à qual corresponde a direção própria {N1}, tem-se, de (01):S.{N1}=λ1{N1}. Pré–multiplicando ambos os membros dessa expressão por {N1}T, considerando ((02),§04,IV) elembrando que {N1}T. {N1}=1, vem:75 Este é um problema clássico do Cálculo Matricial. Veja Calaes, bibl. [ 5], Cap. III, item 5, p. 101.
  • 143. §01 – Definições. Equação característica. Propriedades.Campos Tensoriais - Ruggeri123,}N.{}N{}{NS..}N{ 11T111T1N1λ=λ==ρ (08),o que comprova a tese, pois, analogamente, mostraríamos ser 2N2λ=ρ e .3N3λ=ρTeorema 2:As direções principais são ortogonais entre si.Com efeito, tem-se: }N{}{N.S 111 λ= , }N{}{N.S 222 λ= e }N{}{N.S 333 λ= . Transpondo a primeira epós–multiplicando ambos os seus membros por {N2}, virá:}{N.}N{}{N.S.}{N 2T112T1 λ= (09).Pré–multiplicando a segunda por {N1}T, considerando (09), virá, evidentemente:;}{N.}N{}{N.}N{ 2T112T12 λ=λ ou melhor, 0}{N.}{N)( 2T112 =λ−λ .Se λ1≠λ2, tem-se {N1}T. {N2}=0, ou seja, {N1} é ortogonal a {N2}. De modo análogo provar-se-ia ser {N1}T.{N3}=0 para λ1≠λ3 e, portanto, {N2}T. {N3}=0, o que comprova o teorema76.Teorema 3:As coordenadas transversais parciais relativas às direções principais são todas nulas.É evidente, pois, de ((08),§04,II) tem-se, para as direções N1 e N2 por exemplo, e considerando (09):0}{N.}N{}{N.S.}N{ 2T112T112 =λ==τ .Teorema 4:As coordenadas radiais principais são todas reais.76 Comprova-se em forma matricial, o que já conhecíamos (§ 4, III), apoiados na Geometria Analítica.Pelo teorema 1, as coordenadas radiais principais são os valores próprios λ1, λ2 e λ3 do diádico S; e estessão as raízes da equação característica (04). Então, um pelo menos dos λ é real; seja ele λ1. Supondo que outraraiz fosse complexa, a terceira seria sua conjugada. Levando cada um destes números complexos ao sistema (02),obteremos duas direções, cujos vetores unitários, de coordenadas complexas conjugadas, serão:]ZZZ[}{Ne]ZZ[Z}{N 321T3321T2 == .Assim, se jjj b1az −+= , então:.bbbaaaZZZZZZ}{N.}{N 2322212322213322113T2 +++++=++=Mas, pelo teorema 2, 0}{N.}{N 3T2 = , o que requer, necessariamente: a1 = a2 = a3 = b1 = b2 = b3 =0; e, nessecaso, z não seria unitário, o que é contra a hipótese. Logo λ2 e λ3 são também reais.Teorema 5:
  • 144. §02 – Os invariantes do Diádico do campo.IX, §02124As direções principais de um ponto do campo de um diádico simétrico são invariantes numamudança de referencial.A coordenada radial do diádico do ponto relativo à direção principal {N1} é um invariante numa mudançade referencial. Então podemos escrever, denotando por {N’1} o unitário da direção no novo sistema:}N{.S.}N{}{N.S.}N{ 1T11T1N1′′==ρ ,onde S é a matriz associada a S no novo sistema. Lembrando ((10),§04.01,III), virá:}N{.M.S.M.}N{}{N.S.}N{ 1TT11T1N1′′==ρ ,e, agrupando convenientemente:0})N{.M}({N.S.M).}N{}({N 1T1T1T1 =′−′− .Considerando propriedades da transposição matricial, vem:0})N{.M}({N.S.})N{.M}({N 1T1T1T1 =′−′− .Sendo S≠0, tem-se, então, necessariamente:0}N{.M}{N 1T1 =′− ,ou, considerando que a matriz de mudança de base, M, é de rotação ( )M(M -1T= , (§05.02,I):}{N.M}N{ 11 =′ ,expressão que se obtém da anterior pré–multiplicando ambos os seus membros por M. Então, }N{ 1′ e {N1} são aexpressão do mesmo vetor, o unitário de uma direção principal.Teorema 6:Os coeficientes da equação característica do tensor de um ponto genérico do campo independemdo sistema de referência.Pois sendo, pelo teorema 1, iNiλ=ρ , os λi serão invariantes, já que as coordenadas radiais o são; e comoeles são as raízes da equação característica, os coeficientes desta não podem ser variáveis.§02 – OS INVARIANTES DO DIÁDICO DO CAMPOOs invariantes em questão são os coeficientes da equação característica do diádico do campo que, pelo teorema 6do §01, independem do sistema de referência. Em relação a um sistema qualquer, podem ser calculados pelasfórmulas ((05), (06) e (07),§01); e denominam-se, respectivamente, primeiro, segundo e terceiro invariantes dodiádico.Referido o espaço em torno do ponto genérico do campo ao triedro principal desse ponto, a matrizassociada ao diádico S se resumirá numa matriz diagonal porque, pelo teorema 3, nesse sistema as coordenadastransversais são todas nulas. A matriz em referência é a denominada matriz principal do ponto (§04,IV),escrevendo-se:
  • 145. §03 – Coordenadas octaédricas. Diádico desvio.Campos Tensoriais - Ruggeri125S000S000SSS321p== .Nesse caso, escrevendo a equação característica de Sp e considerando o teorema 6, pode concluir-se que:,SSSJ 3211 ++= (01),,SSSSSSJ 3231212 ++= (02),,SSSJ 3213 = (03).O primeiro invariante de S, J1, é o traço (também denominado o escalar) de S e representa-se por trS.Entre J1 e J2 existe a seguinte relação:]tr(S))trS[(21J 222 −= , (04).Com efeito, tem-se233222211332233112211221 SSSSSSSSS)trS(21J21+++++== ,e, por ser,SSSSSSSSSJ 2233322213331121222112 −+−+−=tem-se também,)SS(S21SSSJ(trS)21 23322221122321321222++++++= a).Mas++++++++= 2322312232222212132122112SSSSSSSS(S)Tr 233222211223213212233 SSS)SSS(2S +++++= , b),donde, substituindo b) em a), encontra-se (04).§03 – COORDENADAS OCTAÉDRICAS. DIÁDICO DESVIOChamam-se direções octaédricas de um ponto do campo de um diádico S as direções igualmenteinclinadas em relação às direções principais do ponto77.Existem quatro direções octaédricas por um ponto (cada uma correspondente a um quadrante do triedrodefinido pelas direções principais). Assim, se {Noct} é uma direção octaédrica de um ponto O,]εεε[31}{N 321Toct = , (01),onde ε1, ε2 e ε3 recebem os valores +1 ou –1, a combinação dos sinais, de todos os modos possíveis, fazendo comque (01) possa representar todas as direções.77 - Recebem essa denominação porque tais direções são as das quatro pares de faces paralelas de um octaedro retangular centradonesse ponto.
  • 146. §03 – Coordenadas octaédricas. Tensor desvio.IX, §03126A coordenada radial do diádico S numa direção octaédrica {Noct} qualquer, será:[ ]εε==ρ321p321octpToctoctεεε.S.ε31}{N.S.}N{ ,ou melhor, lembrando que 1232221 =ε=ε=ε :)SSS(31321oct ++=ρ , (02),isto é: a coordenada radial octaédrica é a média das coordenadas radiais principais do diádico do ponto.Considerada ((01),§02) temos, também:1oct J31=ρ , (03).A projetante do diádico (§04.01,III) na direção octaédrica será:SSS31}{N.S332211octpεεε==octp ,donde:2oct2322212oct p)SSS(31=++=p , (04).A coordenada transversal valerá:23212322212oct2oct2oct )SSS)(91)SSS(31p ++−++=ρ−=τ ,ou melhor, após transformações elementares:232231221oct )SS()SS()S(S31−+−+−=τ , (05).A coordenada radial e a transversal do diádico S, relativas a uma direção octaédrica qualquer -denominadas coordenadas octaédricas do diádico S - são, pois, invariantes no ponto.A matriz Sp (associada ao diádico S) pode, evidentemente, ser decomposta na forma,pp SS += ∆∆∆∆ , (06),onde:S000S000Soct3oct2oct1pρ−ρ−ρ−=∆∆∆∆ , (07),e,
  • 147. §03 – Coordenadas octaédricas. Diádico desvio.Campos Tensoriais - Ruggeri127I.000000S octoctoctoctρ=ρρρ= , (08).O diádico ∆∆∆∆p cuja matriz associada em relação às direções principais é ∆P denomina-se diádico desvio deS; a mesma nomenclatura é utilizada para a matriz ∆P. As coordenadas radiais de ∆∆∆∆p são os desvios dascoordenadas radiais principais em relação à média aritmética ρoct dessas coordenadas. O diádico ∆∆∆∆ , cuja matrizassociada em relação às direções principais é ∆ , é denominado diádico esférico de S.Representando por PiJ∆o i-ésimo invariante de ∆∆∆∆P, tem-se:0J1 =∆P, (09);)ρS)(S()ρS)(S()S)(ρS(J oct3oct1oct3oct2oct2oct12 −ρ−+−ρ−+ρ−−=p∆, ou lembrando (02) e simplificando:])S(S)S(S)S[(S61J 2132322212p−+−+−−=∆∆∆∆, (10).Tem-se, ainda, lembrando (05):2oct223J Pτ−=∆∆∆∆, (11).Após algum desenvolvimento, pode-se concluir também que:])S()ρS()ρS[(31J 3oct33oct23oct13pρ−+−+−=∆∆∆∆, (12),e que])S()ρS()ρS[(21J 2oct32oct22oct12pρ−+−+−=−∆∆∆∆, (13).Assim, os invariantes do diádico desvio de um dado diádico simétrico gozam das seguintes propriedades:1) - o primeiro invariante é nulo;2) - o segundo invariante, sempre negativo, vale a metade da soma dos quadrados dos desvios dascoordenadas radiais principais em relação à sua média;3) - o terceiro invariante vale um terço da soma dos cubos dos desvios das coordenadas radiais principaisem relação à sua média.De um modo genérico, qualquer que seja o diádico S, é sempre possível escrever:SS += ∆∆∆∆onde o diádico ∆∆∆∆ (diádico desvio de S) e S (diádico esférico de S) admitem as seguintes matrizes associadas(numa base qualquer):ρ−ρ−ρ−=∆oct33323123oct22211312oct11SSSSSSSSSeI.S octρ= .O primeiro invariante do tensor desvio tem por expressão:oct3322111 3SSSJ ρ−++=∆.
  • 148. §04 – Definições, teoremas (coord. transv. principais).IX, §04128Por consideração de ((05),§01),((01),§02) e (02), concluímos:0J1 =∆.O segundo invariante de ∆, ∆2J , tem por expressão:=ρ−ρ−+ρ−ρ−+ρ−ρ−=∆oct333223oct22oct333113oct11oct222112oct112SSSSSSSSSSSSJoctoct332211223213212332233112211 3)SSS(2)SSS(SSSSSS ρ+ρ++−++−++= ,ou, operado sucessivamente, reconsiderando ((05),§01),((01),§02) e (02):=++−++−++=∆)SSS()SSS(31SSSSSSJ 22321321223322113322331122112)]SSSSSS(6)SSS(6SS)SSS[2(S613322331122112232132123322233112211 ++−+++++−= ,ou, finalmente:)]SSS(6)SS()SS()SS[(61J 2232132122113323322222112 +++−+−+−−=∆∆∆∆, (14).O terceiro invariante de ∆∆∆∆, ∆3J , é o determinante simétrico-secular:oct33323123oct22211312oct113SSSSSSSSSJρ−ρ−ρ−=∆, (15).As coordenadas transversais principais§04 – DEFINIÇÕES, TEOREMAS.O problema da determinação das coordenadas transversais principais e das direções em que elas se verificamconsiste em extremar a função τ2dada por ((06),§04,III), isto é,,p 222ρ−=τ (01),cujas variáveis li relativas a algum sistema, estão ligadas, no ponto P, pela condição:,1{L}.{L} 232221T=++= lll (02).
  • 149. §04 – Definições, teoremas.Campos Tensoriais - Ruggeri129Trata-se, pois, tal como no caso das coordenadas radiais principais, de um extremado ligado, no ponto.Segundo o método dos multiplicadores de Lagrange78, devemos extremar a função:,{L}.}L{F T2λ−τ≡ (03),onde λ é um escalar constante, como se F fosse um extremado livre. Como a ligação entre as variáveis é aconstante F=τ2-λ, obtêm-se, então, três equações:,0Fi=∂∂l(04),as quais, juntamente com (02), formam um sistema de 4 equações com 4 incógnitas (l1, l2, l3 e λ) que se resolve.Considerando (01) a (03), as equações (04) são:02p2Fii2i2ii2i=λ−∂ρ∂−∂∂=λ−∂τ∂=∂∂llllll.Adotando como referencial o triedro principal do ponto P, vem:2323222221212SSSp lll ++= , 22332222112 )SSS( lll ++=ρ , (041),donde:12112S2pll=∂∂, 22222S2pll=∂∂, 32332S2pll=∂∂,e11112S2.2..2 lllρ=∂ρ∂ρ=∂ρ∂, 2222S2.2 llρ=∂ρ∂, .S2.2 3332llρ=∂ρ∂Devemos, assim, resolver o sistema constituído por (02) e=λ−ρ−=∂∂=λ−ρ−=∂∂=λ−ρ−=∂∂02)2S(S2F02)2S(S2F02)2S(S2F333332222211111lllllllll, (05).Teorema 7:Num ponto de um campo de diádico simétrico, os co-senos diretores, li, da direção em que osvalores tangenciais são principais não podem ser simultaneamente não nulos.78 Veja Tibiriçá, bibl. n. 11, tomo 2, pág. 571, § 5, item 43.1.
  • 150. §04 – Definições, teoremas (coord. transv. principais).IX, §04130Com efeito, se os li forem todos não nulos, o sistema (05) simplifica-se, pois será possível dividir ambosos membros de cada equação do sistema pelo l (co-seno) nela figurado, resultando:)2S(S)2S(S)2S(S 332211 ρ−=ρ−=ρ− .Após transformações obtém-se:,SSSSSS2 323121 +=+=+=ρ donde: 321 SSS == ,o que não se verifica necessariamente. Logo os co-senos não podem ser simultaneamente não nulos.Corolário:Num ponto de um campo de diádico simétrico, a direção segundo a qual os valorestangenciais são principais é ortogonal a pelo menos uma das direções principais desse ponto.Teorema 8:Num ponto de um campo de diádico simétrico, as direções segundo as quais os valorestangenciais são principais são as bissetrizes dos ângulos formados por duas das direçõesprincipais desse ponto.De fato, pelo teorema anterior um pelo menos dos co-senos deve ser nulo; seja ele l3, por exemplo. Osistema (05) reduz-se, então, às duas primeiras equações, já que a terceira é uma identidade. Resulta, pois,lembrando (041):.)SS(2SS2 22221121 ll +=+=ρComo 0)(1 32221 ==+ lll , virá, sucessivamente:,)]1(SS[2SS 21221121 ll −+=+ ,)SS(2SS 212121 l−=−/4cos221 π±=±=l , e, então: ,/4cos222 π±=±=lo que comprova o teorema.Definições:As direções por um ponto de um campo de diádico simétrico, segundo as quais as coordenadastransversais desse diádico são principais, serão denominadas bissetoras (ou secundárias).As coordenadas radiais do diádico S relativas às direções bissetoras serão denominadascoordenadas radiais bissetoras (ou secundárias).Corolário:Num ponto de um campo de diádico simétrico, as direções secundárias são ortogonais entre sie pertencem a um dos planos principais desse ponto.Teorema 9:As coordenadas radiais bissetoras são iguais à semi-soma das coordenadas radiais principaisrelativas às direções principais do plano a que pertencem.
  • 151. §04 – Definições, teoremas.Campos Tensoriais - Ruggeri131Considerando as direções bissetoras do plano 1-2, por exemplo, que se definem pelas direções dos vetoresunitários:02/22/2e02/22/2±±±±(06),onde os sinais se correspondem em cada uma das matrizes, as coordenadas radiais bissetoras correspondentessão:[ ] )SS(21011.S.0112121p +=e [ ] )SS(21011.S.0112121p +=,iguais, portanto, conforme queríamos demonstrar.Denotando poriTρ o valor comum das coordenadas radiais bissetoras no plano principal ortogonal àdireção principal li, escreveremos, genericamente:kjipara,)SS(21kjTi ≠≠+=ρ , (07).Teorema 10:As coordenadas transversais principais são iguais entre si e valem o módulo da semi-diferença dascoordenadas radiais principais relativas às direções principais do plano principal que lhescorresponde.Relativamente às direções bissetoras dos eixos 1 e 2, por exemplo, a coordenada transversal τ3 é calculadapor ((09),§04.01,III) para S = Sp; e considerando os valores (06), resulta:[ ] )SS(21011.S.0112121p −=.Genericamente, e lembrando que, geralmente, de τ só interessa o módulo, vem:kjipara,|SS|21kji ≠≠−=τ , (08).
  • 152. §04 – Definições, teoremas (coord. transv. principais).IX, §04132
  • 153. Campos Tensoriais - RuggeriCAPÍTULO XCAMPOS 2D DE DIÁDICOS SIMÉTRICOS§01 – A COORDENADA RADIAL E A TRANSVERSAL.Vimos no §05,III, pela conceituação de campo superficial ou bi-paramétrico, que, quando a propriedadeassociada ao ponto genérico do domínio é diádica, a matriz que lhe é associada em relação ao sistema curvilíneolocal de coordenadas (λ,µ) assume a forma ((06),§05,III), isto é,=µµλλµλµλSSSS][ eeS .Mas em coordenadas retilíneas globais O-x’y’z’, com vetores de base { kji ˆˆˆ }, a matriz 3x3 associada ao diádico Sé “cheia”, do tipo=′′′′′′′′′′zzyyzxyxxSsim.SSSSSS , sendo detS’=0.Se o domínio é planar, então, em relação a algum sistema O-xy no plano do domínio, será:yxyxxyyyxxyxSSe0SS,SSSSS ≠≠== (01).Esse é o único caso que aqui vamos considerar.Denotando por θ o ângulo de Ox com o unitário nˆ de uma direção qualquer, no plano do domínio,medido positivamente no sentido anti-horário para quem observa o plano do semi-espaço ao qual pertence ji ˆˆ× ,tem-se:jin sencosˆ θ+θ= , com θθ=sencos{N} (02).A projetante de S na direção {N} tem por expressão:,senScosSsenScosSsencos.SSSS{N}.Syyxxyxyyxxyxθ+θθ+θ=θθ==Np (03).A coordenada radial de S pode ser obtida de (03):,2senSsenScosS{N}.S.{N} xy2y2xTN θ+θ+θ==ρ (04),e sua coordenada transversal será a projeção de Np na direção { N }, ortogonal à {N} e formando com Ox oângulo 90°+θ medido no sentido anti-horário; assim,[ ]θθ−= cossen}N{ T .
  • 154. §02 – As coordenadas radiais principais.X, §02134Tem-se, então:[ ] θθθθ−==τsencos.S.cossen{N}.S.}N{ TN ,ou melhor, após desenvolvimento e simplificações trigonométricas:θ+θ+−=τ 2cosS2sen)SS(21xyyxN , (05).Em algumas ocasiões será oportuno trabalhar com a expressão de Nρ na forma:θθ+−++=ρ 2cos2tgS)SS(21)SS(21xyyxyxN (06),a qual é deduzida facilmente de (04) por transformações trigonométricas elementares.Vimos (§02,IX) que o escalar do diádico S é um invariante do campo, no ponto, propriedade queprevalece ainda, evidentemente, para os diádicos planares. A título de exercício, mostraremos, por outrocaminho, que tal propriedade ainda é válida. Tem-se, de (06), para /2θ π+θ= (isto é, para a direção ortogonal aθ):,/2)2(cos/2)2(tgS)SS(21)SS(21ρ xyyxyxN π+θπ+θ+−++=donde:θθ+−−+= 2cos2tgS)SS(21)SS(21ρ xyyxyxN , (07).Assim, somado membro a membro (06) e (07), obtém-se:yxNN SS +=ρ+ρ (08).Ora, por serem Sx e Sy as coordenadas radiais do diádico S nas direções dos eixos do referencial a que se refere S(§04,III, no final), podemos concluir:É constante a soma das coordenadas radiais de um diádico planar S, relativamente a pares dedireções ortogonais considerados por um ponto qualquer do seu campo;ou, o que é o mesmo:Em qualquer ponto de um campo diádico planar, é invariante o escalar do diádico associado aesse ponto.§02 – AS COORDENADAS RADIAIS PRINCIPAISÉ evidente de ((05) e (06),§01) que Nρ e Nτ variam com θ, sendo possível, pois, procurar as direções (osvalores de θ) segundo as quais são extremadas as coordenadas radial e transversal do diádico – ditas direçõesprincipais – bem como os valores correspondentes dessas coordenadas, isto é, as coordenadas principais.
  • 155. §02 – As coordenadas radiais principais.Campos Tensoriais - Ruggeri135O caminho a ser seguido para esta determinação é inteiramente análogo ao seguido em todo o capítulo IX.Relativamente às coordenadas radiais, escreveremos a equação característica do diádico na forma:,0SSSSyyxxyx=λ−λ−que, desenvolvida, dá:,0JJ 212=+λ−λ (01),com,,SSJ yx1 += (02),eyyxxyx2SSSSJ = , (03).Resolvendo a equação, encontramos:,)J4JJ(212211 −±=λ (04).,)2S()SS()SSS(4)SS(J4J 2xy2yx2xyyx2yx221 +−=−−+=− (05),vendo-se, claramente, que as raízes de (01) existem sempre no campo real (tal como já fora demonstrado peloTeor. 4 do §1, IX).Como os λ são as próprias coordenadas radiais principais (Teor. 1, §1, IX), teremos, denotando-asgenericamente por ρext:2xy2yxyxext 4S)SS(21)SS(21+−±+=ρ (06),ao sinal (+) correspondendo, algebricamente, a maior coordenada e ao sinal (-), a menor.A direção principal, dada pelo ângulo θ’, poder-se-ia obter do sistema: 0{N}.)IS( =λ− , ou melhor, dosistema:=θλ−+θ=θ+θλ−0sen)(ScosS0senScos)(SyxyxyxFá-lo-emos, entretanto, por outro caminho, considerando que, se θ’ define uma direção principal, θ’ pode serobtido extremando ((06),§01), isto é, igualando a zero a derivada de Nρ em relação a θ. Tem-se:02cosS2sen)SS(21xyyx =θ+θ−− , (071),donde (por ser yx SS ≠ ),,SS2S2tgyxxy−=θ (07)79.79 - Poder-se-ia obter (06) levando (07) a ((06),§01)), considerando que 122 )2tg1(2cos −θ+=θ , o que demonstraria o teor. 1, §01, IX.
  • 156. §03 – Os invariantes do diádico planar.X, §03136É claro que se 2θ0 é o menor ângulo positivo que satisfaz a (07), então:0θ=θ′ e /20 π±θ=θ′ (08),são, ambos, soluções de (07), existindo, pois, duas direções ortogonais distintas (e não mais que duas) segundo asquais as coordenadas radiais do diádico S se extremam (resultado que já conhecíamos do teor. 2, §01, IX).Até o momento não podemos afirmar qual, dentre os valores de θ que satisfazem a (07) e dados por (08),corresponde à maior (ou à menor) coordenada radial principal. Para completar a solução do problema,denotemos ainda por θ’ um dos dois valores de θ expressos por (08), ao qual corresponde ρ’ext. De ((06),§01),considerando (07), tem-se:θ′−+−++=ρ′ 2cosSSS2)SS(21)SS(21yx2xyyxyxextou, ainda:yx2xyyxyxextSS2cosS2)SS(21)SS(21−θ′+−++=ρ′ .Mais uma vez considerando (07) e supondo Sxy≠0, obtém-se, finalmente:[ ]xy2xy2yxyxextS42sen.S4)SS()SS(21 θ′+−++=ρ′ , (09).Consideremos 0θ=θ′ em (09). Se em (07) resultar 02tg 0 >θ , então, o9020 0 <θ< ; se resultar02tg 0 <θ , então, oo180290 0 <θ< . Em qualquer situação será 02sen 0 >θ ; e sendo sempre positivo aexpressão entre colchetes em (09), vê-se que a segunda parcela do segundo membro terá sempre o mesmo sinalde Sxy. Assim, lembrando (06), se 0Sxy < a θ0 corresponde o menor dos valores extremados de ρ, quedenotaremos por ρ-; se 0Sxy > , a θ0 corresponderá o maior extremado, que denotaremos por ρ+.Levando (071) a ((05,§01) obtém-se imediatamente: 0)(N =θ′τ , o que comprova o teorema 3, §01, IX.Em resumo:para dado ponto do domínio planar do campo de um diádico simétrico, as coordenadas radiaisprincipais ocorrem segundo duas direções ortogonais, caracterizadas por serem nulas, paraambas, as coordenadas transversais correspondentes.§03 – OS INVARIANTES DO DIÁDICO PLANAR.Por um processo inteiramente análogo ao representado no §01,IX, poder-se-ia demonstrar (e não ofaremos aqui por razões óbvias) que:as direções principais {N} e { N } (ou θ’=θ0 e θ’=θ0+π/2) por um ponto de um campo diádicoplanar simétrico, são invariantes numa mudança de referencial;e conseqüentemente, que:os coeficientes da equação característica do diádico planar simétrico, num ponto genérico docampo, independem do sistema de referência,o que permite caracterizá-los como invariantes do diádico.
  • 157. §04 – Coordenadas octaédricas. Diádico desvio.Campos Tensoriais - Ruggeri137Um diádico planar tem, pois, dois invariantes: o primeiro, seu traço, dado por ((02),§02); o segundo, o seudeterminante associado, dado por ((03),§02).Se o espaço em torno do ponto considerado do campo for referido aos eixos principais desse ponto(aqueles inclinados de θ0 e θ0+π/2 em relação ao referencial global O-xy), a matriz associada ao diádico docampo, no ponto, será escrita na forma diagonal:0Sforse,00Se,0Sforse,00S xypxyp <ρρ=>ρρ=+−−+, (01).Em qualquer uma das formas, a matriz do diádico denomina-se a principal do ponto.Portanto, os invariantes serão escritos nas formas:,SSJ yx1 +− ρ+ρ=+= (02),,.SSSJ 2xyyx2 +− ρρ=−= (03).§04 – COORDENADAS OCTAÉDRICAS. DIÁDICO DESVIO.Para os campos planos, as direções octaédricas de um ponto (§03,IX) são dadas por:[ ] ,22{N} 21Tεε=onde ε1 e ε2 recebem os valores +1 ou –1. A coordenada radial octaédrica vale:,)(21{N}.S.}N{ pToct +− ρ+ρ==ρ (01),isso é, lembrando ((02),§03):1oct J21=ρ (02).Tendo-se, também:)(21ou,,22 222oct21oct +−+−ρ+ρ=ρερε= pp ,a coordenada octaédrica transversal, que representaremos por τoct, valerá:2222oct2octoct )(41)(21+−+− ρ+ρ−ρ+ρ=ρ−=τ p ,ou, simplificando:,)(21oct −+ ρ−ρ=τ (03).É possível decompor a matriz Sp na forma:SS pp +∆= ,onde:
  • 158. §05 – As coordenadas transversais principais.X, §05138,00octoctp ρ−ρρ−ρ=∆+−(04),e,I.00S octoctoctρ=ρρ= (05).O diádico planar ∆p é o diádico desvio de S.Resulta, para o diádico desvio, que:1) é nulo seu primeiro invariante;2) seu segundo invariante, ∆2J , sempre negativo, vale:,)(J 2oct2 ρ−ρ−= +∆(06).§05 – AS COORDENADAS TRANSVERSAIS PRINCIPAIS.O problema é equacionado do mesmo modo como o fizemos no §04,IX, pelo método dos multiplicadoresde Lagrange, considerando que se tenha em relação às direções principais do ponto:=θ+θρ−=τθρ+θρ=ρθρ+θρ=+−+−1sencosp)sencos(sencosp22222222222222, (01).Extrema-se }N.{{N}F T2 λ−τ= como se F fosse um extremado livre. Chega-se ao sistema seguinte,correspondente ao sistema ((05),§04,IX):=θλ−ρ−ρθρ=θλ−ρ−ρθρ++−−0sen2)2(sen20cos2)2(cos2, (02).As direções segundo as quais se extremam as coordenadas transversais do diádico num ponto do campo –denominadas direções secundárias do ponto – são obtidas por resolução do sistema (02).É evidente que em (02), θ≠0 e θ≠π/2, pois, do contrário, as direções secundárias coincidiriam sempre comas direções principais e não teríamos qualquer problema a resolver.Teorema 1:Num ponto qualquer de um campo de diádico simétrico, as coordenadas radiais do diádico,relativas às direções secundárias desse ponto, são iguais e equivalem à sua coordenada radialoctaédrica.Com efeito, quaisquer que sejam os ângulos θ que definam as direções secundárias tem-se, de (02),dividindo ambos os membros das equações por cosθ e senθ e denotando por Tρ as coordenadas radiaisprincipais:)2()2( TT ρ−ρρ=ρ−ρρ ++−− ,donde, simplificando e lembrando ((01),§04):octT )(21ρ=ρ+ρ=ρ +− .
  • 159. §05 – As coordenadas transversais principais.Campos Tensoriais - Ruggeri139Teorema 2:Num ponto qualquer de um campo de diádico simétrico as direções secundárias são as bissetrizesdas direções principais desse ponto.Pois se tem, do teorema anterior e da segunda das igualdades (01) (que se referem às direções principaisdo ponto):[ ]++−+−+− ρ+θρ−ρ=θρ+θρ=ρ=ρ+ρ 222T cos)(2)sencos(22 ;donde, simplificando: 2/2cos ±=θ . Essa equação trigonométrica apresenta duas (e apenas duas) soluções nãocoincidentes (todas as demais se superpondo a estas), ficando caracterizadas, portanto, no plano, duas direções,defasadas de π/2 rad uma da outra (isto é, perpendiculares entre si) e bissetoras dos ângulos formados pelasdireções principais.Nota:Para lembrar essa propriedade, às direções secundárias denominaremos também, eventualmente, direçõesbissetoras do ponto.Teorema 3:Num ponto qualquer de um campo de diádico simétrico, as coordenadas transversais principaissão iguais e equivalem à sua coordenada transversal octaédrica.Pois para o45=θ (ou para o135=θ ), tem-se, da primeira e da segunda das igualdades (01):)(21p 222+− ρ+ρ= ;)(41 22+− ρ+ρ=ρdonde, da terceira das mesmas igualdades:.)2()2(41p 222222 −++−+−ρ−ρ=ρρ−ρ+ρ=ρ−=τAssim, lembrando ((03),§04):,τ)(21oct=ρ−ρ=τ −+ (04).Lembrando ((06),§02) tem-se, também:,S4)SS(21)SS(21 2xy2yxyx +−−+=ρ− (05),,S4)SS(21)SS(21 2xy2yxyx +−++=ρ+ (06),donde:,S4)SS(21)(21 2xy2yx +−=ρ−ρ=τ −+ (07).
  • 160. §06 – As coordenadas referidas às direções principais.X, §06140§06 – AS COORDENADAS REFERIDAS ÀS DIREÇÕES PRINCIPAISSeja S o diádico associado ao ponto genérico do campo, referido a um par de eixos ortogonais quaisquer Ox eOy, tendo Sxy<0. Determinemos as direções principais do ponto em questão pelo ângulo θ0 que faz a direçãocorrespondente à menor coordenada radial (ρ-) com o eixo Ox (conforme resultado já estabelecido ao final do§02).Se φ- e φ+, medido positivamente no sentido anti-horário, são os ângulos de uma direção qualquer, nˆ , comas direções 1 e 2 da menor e da maior coordenada radial principal (Figura X,1) , respectivamente,, tem-se,conforme a expressão de Sp dada por ((01),§03):[ ] =φρ+φρ=φφρρφφ=ρ −+−−−−+−−−φ−sencossencos.00.sencos 2;sen)( 2−−+− φρ−ρ+ρ=ou melhor:−−+−+φ φρ−ρ−ρ+ρ=ρ −cos2)(21)(21, (01).Por (01) vê-se que, para 0=φ− é −φ ρ=ρ −, o que comprova que a direção 1 é a correspondente à menorcoordenada radial principal.Tem-se também, por definição de coordenada transversal (§04,IV):[ ] φφρρφφ−=τ+−−−φsencos.00.cossen_,donde:−−+φ φρ−ρ=τ −sen2)(21, (02).Similarmente, se o diádico S admitisse Sxy>0 e se φ+, medido no sentido trigonométrico, fosse o ângulo deuma direção qualquer com a direção de maior coordenada radial principal, ρ+, escreveríamos, relembrando((01),§03):[ ] −+−+−−++++−+++φ φρ−ρ+ρ=φρ+φρ=φφρρφφ=ρ +222 sen)(sencossencos00sencos ,ou melhor:+−+−+φ φρ−ρ+ρ+ρ=ρ +2cos)(21)(21, (03),por onde se vê que para 0=φ+ é +φ ρ=ρ+, o que comprova que a direção 1 corresponde à maior coordenadaradial principal.Também,[ ] ++−+++−++−φ φφρ+ρ−=φφρρφφ−=τ +cos.sen)(sencos.00.cossen ,ou melhor:+−+φ φρ−ρ=τ +2sen)(21.Da Figura X.1 vê-se que2π=φ−φ +− , donde: −+ φ−=φ 2cos2cos , isto é, comparado (01) com (03): +− φφ ρ=ρ .E sendo, ainda, −+ φ−=φ 2sen2sen , conclui-se, de (02) e (04): −+ φφ τ=τ .
  • 161. §07.01 - O círculo de Mohr.Campos Tensoriais - Ruggeri141O cálculo das coordenadas do diádico associado ao ponto poderá, portanto, ser feito por qualquer dasexpressões (01) ou (03) e (02) ou (04). Comprovaremos este resultado, graficamente, no próximo parágrafo.§07 - REPRESENTAÇÃO DE MOHRAo tratarmos da representação geométrica dos campos, no Cap. III, fizemos rápida menção àrepresentação de Mohr que descrevia aproximadamente o que se passava no ponto genérico de um campodiádico planar ((§07),IV). Mostramos que, naquele ponto, as variações da projetante do diádico com a direçãoem torno do ponto, ou, ainda, as variações de suas coordenadas (radial e transversal), são dadas pelascoordenadas dos pontos do círculo de equação dada por ((01),§07,IV). Nada mais se pôde concluir naquelaoportunidade pela falta do ferramental analítico necessário, recém adquirido (§01 a 06).Em vista da interessante aplicação técnica que, em determinadas situações80, a representação de Mohrapresenta, mostraremos agora como deduzir também graficamente todos os resultados já obtidos anteriormente.§07.01 - O círculo de MohrSuponhamos conhecido o diádico S num ponto P do seu campo, referido a um par de eixos Ox e Oy deunitários iˆ e jˆ respectivamente, isto é, seja dada a matriz:80 A representação de Mohr é um nomograma e como tal apresenta utilidade restrita por causa das facilidades de cálculoproporcionadas pelos computadores; mas facilita esclarecimentos, apresentando vantagens didáticas.=yyxxyxSSSSS , (01),associada ao diádico nessa base, com, digamos, Sxy<0 e Sx<Sy.Representemos, numa escala conveniente e no plano de Mohr ρxτ (FiguraX,2), os pontos: ;0)(SA x≡ , ;0)(SB y≡ , )/2;0)S((SO yx +≡ e )S;(SN xyx≡ , oque define também a direção OxON ≡ nesse plano. Tracemos em seguida o círculode raio ON que corta o eixo Oρ em dois pontos: A’, próximo de A, e B’, próximo deB.Tem-se:=+Ω+Ω=+==222222 AN)AO(ANOAONRaio2xy2yxx2xy2 S)SS(21SS)OA( ++−=+Ω−Ω= ,donde:2xy2xy S4)SS(21Raio +−= , (02).Logo:RaioOOAOA −Ω=′+Ω=′Ω ,ou seja,2xy2xyyx S4)SS(21)SS(21A +−−+=′Ω .
  • 162. §07 - Representação de Mohr.X, §07.02142Lembrando ((05),§05), conclui-se: −ρ=ΩA .Similarmente, lembrado ((06),§05), tem-se: B′Ω=ρ+ ,pois:2xy2xyyxyx S4)SS(21)SS(21Raio)SS(21BOOB +−++=++=′+Ω=′Ω .Se ),(P τρ≡ é um ponto genérico da circunferência, tem-se:2222 )2(Raio)O( −+ ρ−ρ==τ+Ω−ρ ,ou melhor,222)2()2( −+−+ ρ−ρ=τ+ρ+ρ−ρ ,equação esta idêntica a ((01),§07,IV) para S1=ρ-_ e S2=ρ+, sendo, portanto, a equação do círculo em questão,precisamente um dos círculos de Mohr do ponto.Nota.Os três círculos de Mohr referidos no §04.01,IV existem mesmo no caso dos campos planos porque taiscampos uma das componentes normais principais do ponto é sempre igual a zero. Assim, se as componentesnormais têm sinais contrários (não é o caso da Figura X.2), digamos Sx<0 e Sy>0, o valor máximo dacomponente transversal, τ, será igual ao módulo da diferença | Sy-Sx | e este valor é o diâmetro de um doscírculos. Mas | Sy-Sx | não será o máximo de τ quando as componentes normais tiverem o mesmo sinal. De fato,um dos círculos de Mohr, o de maior raio (o de diâmetro ΩB, não traçado na Figura X,2) , envolve o de raio | Sy-Sx | e a ele corresponde τmax=|Sy|>| Sy-Sx |.§07.02 - Determinação gráfica das coordenadas.Consideremos, por exemplo, o círculo de Mohr do §07.01, em que Sx<Sy e Sxy<0, com Sx>0 e Sy>0(Figura X,2). Seja ψ_ o ângulo, menor que o180 , de que se deva girar a semi-reta Oρ-, no plano de Mohr e nosentido trigonométrico, para fazê-la coincidir com a semi-reta ON, o ponto N tendo as coordenadas dadas−φρ =Sx e −φτ =Sxy.Tem-se, então, algebricamente, da Figura X,2:−−+φ ψ−ρ+ρ=+Ω=Ω=ρ −cosxRaio)(21OAOA ,onde o sinal de OA se justifica pelo fato de ter sempre sinal não coincidente com o de cosψ_. Assim,−−+−+φ ψρ−ρ−ρ+ρ=ρ −cos)(21)(21,donde concluir-se, comparando esta expressão com ((01),§06): −− ψ=φ coscos2 , isto é, a menos de um númerointeiro de circunferências: −− φ=ψ 2 .Consideremos agora o caso em que Sx<Sy e Sxy>0, com Sx>0 e Sy>0. O círculo de Mohr relativo a essediádico, no ponto considerado do domínio, seria, evidentemente, o mesmo da Figura X.2. Seja N’ o ponto(diametralmente oposto a N) de coordenadas dadas xyy SeS =τ=ρ ++ φφ . Denotando por ψ+ o ângulo, menor que
  • 163. §07.03 - As direções principais e secundárias.Campos Tensoriais - Ruggeri143o180 , de que se deva girar a semi-reta Oρ+, no plano de Mohr e no sentido trigonométrico, para fazê-la coincidircom a semi-reta ON’, tem-se:+−+−++−+φ ψρ−ρ+ρ+ρ=ψ+ρ+ρ=+Ω=Ω=ρ+cos)(21)(21cosxRaio)(21OAOA ,expressão que, comparada com ((03),§06), permite concluir que, a menos de um número inteiro decircunferências, ++ φ=ψ 2 .Resulta, assim, a seguinte regra:Graficamente, no circulo de Mohr, a coordenada radial e a transversal de um diádico que admitaSxy<0 (Sxy>0) - coordenadas essas relativas a uma direção que forma (no campo) um ângulo φ-_ (φ+),medido no sentido horário, com a direção principal de menor (maior) coordenada radial principal -são obtidas como as coordenadas das extremidades do arco de círculo de origem A’ (B’) que,descrito no sentido anti-horário, subtende um ângulo central igual a 2φ_ (2φ+).”§07.03 - As direções principais e secundárias.Seja dado o diádico S, com Sxy<0, por exemplo, relativo a um ponto qualquer do seu domínio dedefinição. Construamos o círculo de Mohr relativo a este ponto conforme exposto no §07.01, supondo, porexemplo, Sx<Sy; seja )S,(SN xyx≡ , Figura X,2.No plano de Mohr, denotemos, por 0−ψ o ângulo (menor que o180 ) de que se deva girar o eixo Oρ_ parafazê-lo coincidir com a direção ON. Com essa convenção escrevemos, algebricamente:yxxyyxxxy0SSS2)SS(21SSOAANtg−=+−==ψ− ,expressão que, comparada com ((07),§02), dá: 0021−ψ=θ .Consideremos agora o caso em que o diádico do ponto admita Sxy>0. Denotando-se por 0+ψ o ângulo (menor queo180 ) de que se deva girar o eixo Oρ+ no sentido anti-horário, para fazê-lo coincidir com a direção ON’, escreve-se, algebricamente:yxxyyxxxyxy0SS2S)SS(2/1SSOASOAANtg−=+−=Ω−Ω=′=ψ+ ,expressão que, comparada com a expressão geral ((07),§02), dá: 0021+ψ=φ .Resulta, então, a seguinte regra:Dado o diádico S de um ponto do seu domínio de definição, traça-se o círculo de Mohr que lhecorresponde, com centro );0)S(S21(O yx +≡ e raio ON (ON’) onde )S;(S)NN( xyx≡′ se Sxy<0(Sxy>0). A inclinação da direção principal do ponto, correspondente à menor (maior) coordenadaradial, é a metade do ângulo de que se deve girar o eixo dos ρ, em torno de O e no sentidotrigonométrico para fazê-lo coincidir com a direção ON (ON’).
  • 164. §08 - Outras representações geométricas dos campos planares.X, §08144Adotemos como referência as direções principais do ponto, e consideremos o caso em que Sxy<0. Como nocírculo de Mohr, o ângulo que faz a direção em que ocorre a menor coordenada radial com a direção em queocorre a menor (algebricamente) coordenada transversal, é de o90 . Conclui-se, então, que tal direção, no campo,forma um ângulo de o45 (medido no sentido anti-horário) com a direção correspondente à menor coordenadaprincipal.Fica evidenciado, também, pelo círculo de Mohr, que tais direções, no campo, são ortogonais entre si,pois o ângulo entre elas no plano de Mohr é de o180 .§08 - OUTRAS REPRESENTAÇÕES GEOMÉTRICAS DOS CAMPOS PLANARES.A pretendida visão panorâmica dos campos, com a qual já nos preocupamos em todo o Capítulo III, seráagora, no caso particular dos campos planares, enriquecida com a representação gráfica de outras de suascaracterísticas, muitas das quais de grande importância nas aplicações da Engenharia.Comecemos analisando o problema da determinação gráfica do diádico associado ao ponto genérico doseu plano de definição. Se o diádico S é dado na forma ((01),§07.01) e se xy é seu pano de definição, então:)yx,(SSe)yx,(SS),y,x(SS xyxyyyxx === .Representando-se, nesse plano, as famílias de curvas Sx=const.=C1, Sy=const.=C2 e Sxy=const.=C3, a cadaterno (C1; C2; C3) corresponderá um ponto do plano, interseção de três curvas, uma de cada família, e a esteponto corresponderá evidentemente o diádico de matriz associada:=2331CCCCS .*Exemplo 1: (Bibl. [15], problema 5.2, p.111)O tensor simétrico de um campo plano de tensões tem as seguintes coordenadas:+++−=−=+−=4x5,0y5,1yx5,1S)x2y(xySy8xy3yxS4222xy22y3xem que -1≤x≤1 e 0≤y≤5. O domínio é, pois, um retângulo de largura (ou base) 2, coincidente com o eixo dos x; ecomprimento (ou altura) 5, coincidente com o eixo dos y. A origem das coordenadas é o ponto médio da base. AsFiguras X,3 a 5 apresentam as distribuições de Sx, Sy e Sxy, respectivamente, dentro do domínio. A base e o ladoesquerdo do retângulo estão cotados em x e y.Os valores das tensões aumentam quando se caminha das áreas mais escuras em direção às mais claras. Adistribuição de Sxy é trivialmente simétrica em relação ao eixo y (pois a troca de x por –x não altera o valor deSxy). A distribuição da tensão Sy também é simétrica em relação ao eixo y devendo observar-se que para x>0 astensões assumem valores positivos e para x<0 valores negativos. Por exemplo, para x=±1 obtém-se o valormáximo para Sx, em módulo: 115 (nos cantos superiores).
  • 165. §08 - Outras representações geométricas dos campos planares.Campos Tensoriais - Ruggeri145É importante observar que, nesse campo de tensões, não existirá ponto em que as tensões radiais Sx e Sysejam máximas, ou seja, ponto em que Sxy=0. De fato, pois, para |x|≠1, deveria ser)x1(38xy 242−+−= ;o que é impossível uma vez que, sendo |x|<1, deveria seria y2<0.O resultado encontrado elimina a possibilidade da diagonalização do tensor do campo.Exemplo 2: (Bibl. [15], problema 2-8, p.50)O diádico de deformações em um domínio em forma de L (Figura X,6)tem as seguintes coordenadas:+++=ε++++=ε++++=ε10)2yx(xy46y3x3yx5yxyx22xy2244y2244xComo nas figuras anteriores, os valores das deformações aumentam quando secaminha das áreas mais escuras em direção às mais claras (Figuras X, 7 a 9).A coordenada εxy do diádico não vai anular-se nunca (seu menor valor é 10). Os maiores valores de εy ocorrem:um para x=5 e outro para y=5; dá-se o mesmo em relação a εx (mas com valores diferentes dos de εy).
  • 166. §08 - Outras representações geométricas dos campos planares.X, §08146§08.01 - Linhas isostáticas.Também denominadas linhas de direções principais, as linhas isostáticas formam um sistema ortogonalde curvas cujas tangentes, em todo ponto, são as direções principais daquele ponto. As linhas isostáticas são,assim, as trajetórias das direções principais do campo.Se y=f(x) é a equação de uma curva genérica de uma das famílias, então:0tgdxdyθ= ,onde θ0 é a inclinação de uma das direções principais do ponto com o eixo Ox. Mas, de ((07),§02), escreveremostambém:020yxxy0tg1tg2SSS2tg2θ−θ=−=θ ,donde,01dxdyxSSS)dxdy(xyyx2=−−+ ;ou melhor,
  • 167. §08.02 - Linhas das direções secundárias.Campos Tensoriais - Ruggeri147xy2xy2xyxyS2)SS(S4SSdxdy −+±−= (8.2).Tais são as equações diferenciais das famílias, a cada uma correspondendo um sinal para o radical. Adenominação apropriada das direções dependerá do sinal de Sxy, conforme mostramos ao final do §02.Exemplo:O domínio do campo do diádico simétrico de matriz22yxyxyxé a placa -5≤x≤5 e -60≤y≤60. Suaimagem geométrica pode ser apreciada pela Figura X,10 as linhas de Sx e Sy sendo retas paralelas aos eixos e asde Sxy hipérboles eqüiláteras. Tem-se:xy2)yx(xydxdy 2222+±−= ,e as duas famílias de isostáticas terão por equações diferenciais:yxdxdyexydxdy−== ,evidenciando-se a ortogonalidade delas (o produto das derivadas éigual a -1). Da primeira equação tem-se:xcyouxdxydy1== ,que representa retas passando pela origem. Da segunda temos:0dyydxx =+ , ou 0)yx(d 22=+ , donde 2222)c(yx =+ ,que representa circunferências de raio c2 centradas na origem. A ortogonalidade dessas curvas é evidente.É óbvio, então, que no ponto de coordenadas (x;c1x) o diádico do campo tem matriz representativa=2112221212)c(c1xx)c(xcx, a reta que passa pelo ponto e pela origem sendo uma de suas direções principais.§08.02 - Linhas das direções secundárias.Essas linhas constituem um sistema ortogonal de curvas cujas tangentes, em todo ponto, representam asdireções secundárias daquele ponto; isso é, elas são as trajetórias das direções secundárias.Se θ’ é o ângulo de uma dessas direções com o eixo Ox, tem-se, conforme Teorema 2 do §05:000tg21)90tg(2ou tg245θ−=+θ=θ′+θ=θ′ o .Se y=φ(x) é a equação de uma linha de um dos sistemas, tem-se: θ′= tgdxdy. Mas,xyxy02 S2SS2tg1tg1tg22tg−=θ−=θ′−θ′=θ′ ;
  • 168. §08 - Outras representações geométricas dos campos planares.X,§08.03148donde, então:01dxdySSS4)dxdy(yxxy2 =−−− . ;ou melhor:yx2yx2xyxySS)SS(S4S2dxdy−−+±= .As duas equações acima são as equações diferenciais procuradas, a cada sinal do radical correspondendo umafamília.*Exemplo:Para o diádico do exemplo do §08.01, tem-se:2222yx)yx(xy2dxdy−+±= , com |x|≠|y|.Aos sinais (+) e (-) correspondem, respectivamente, as famílias de equações diferenciaisyxyxdxdy−+= eyxyxdxdy+−−= ,sendo possível, mas bem trabalhosa a integração dessas equações.Vale observar que, quando são conhecidas as isostáticas, as direções secundárias podem ser determinadasimediatamente pela aplicação de propriedade conhecida (Teor. 8, §04,IX).*§08.03 - Linhas isóclinas (ou isoclínicas).Uma linha isóclina ou isoclínica é o lugar geométrico dos pontos do plano do diádico que admitemdireções principais paralelas. Dito de forma mais ampla, uma isóclina é o lugar dos pontos nos quais uma direçãoprincipal faz um ângulo constante com uma direção dada (logo, também a outra).Se, no ponto genérico do campo, θ é o ângulo de uma dessas direções com Ox, tem-se, para equação dolugar: θ=const.; ou melhor,y)(x,constanteSS2S2tgyxxyψ==−=θ .*Exemplo:Para o diádico do exemplo do §08.01, tem-se:k1yx2xytg2 22=−=θ , donde: Cxy = , com 2k1kC +±−= .Uma família de isóclinas é constituída por retas passando pela origem, com coeficientes angulares2k1kC ++−= ; a outra é constituída por retas ortogonais às retas da primeira família, passando pela origem.Exercício:Demonstre que no campo do diádico relativo ao exemplo do §08.01, isóclinas e isostáticas sãocoincidentes.*
  • 169. §08.05 - Linhas isoradiais.Campos Tensoriais - Ruggeri149§08.04 – Linhas isocromáticas.Uma linha isocromática, também denominada isotangencial (de larga aplicação na Fotoelasticidade), é olugar dos pontos em que a coordenada tangencial principal do diádico de cada um de seus pontos (τmax) têm omesmo valor.Suas equações são: τ= raio do círculo de Mohr = constante. Então, considerando ((02),§07.01):constanteS4)SS( 2xy2yx =+− .*Exemplo:Para o diádico do exemplo do §08.01, encontra-se:222422222you xyx4)yx( τ=+τ=+− ,que são circunferências de raios τ (valor da coordenada tangencial principal) centradas na origem.Exercício:No campo do diádico relativo ao exemplo do §08.01, determine o valor da coordenada tangencialprincipal relativa a uma circunferência isostática qualquer.*§08.05 - Linhas isoradiais.Linhas isoradiais são os lugares geométricos dos pontos do plano do diádico que apresentam o mesmovalor para a coordenada radial principal. Constituem duas redes de linhas que se obtêm de ((06),§02).Tem-se para uma das redes:const.S4)SS(21)SS(21 2xy2yxyx =+−−+ ;e para a outra:const.S4)SS(21)SS(21 2xy2yxyx =+−++ .*Exemplo:Tem-se, para o diádico do exemplo do §08.01:0kconstanteyx4)yx(21)yx(21 2222222===+−−+=ρ− ,e2222222222Ryxyx4)yx(21)yx(21=+=+−++=ρ+ ,circunferências de raio igual à distância do ponto do campo à origem, centradas na origem.*Exercício:No campo do diádico relativo ao exemplo do §08.01, determine o valor da coordenada radial principalrelativa a uma circunferência isostática qualquer.*
  • 170. §09 - Pontos singulares e circulares.150§08.06 - Linhas isópacas.Linhas isópacas são os lugares geométricos dos pontos do plano do diádico de coordenadas octaédricasiguais. A equação delas obtém-se de ((02),§04) por consideração de (02),§03):const.SSJ21yx1oct =+==ρPode, ainda, definir-se esta linha como o lugar dos pontos do plano do diádico em que o primeiroinvariante dos diádicos correspondentes tem um valor constante.Nota:Em vista de ((04) ou (07),§05), o lugar dos pontos de coordenadas transversais octaédricas iguais seconfunde com uma linha isocromática.*Exemplo:As isópacas do campo do diádico do exemplo do §08.01 são, evidentemente, a família de circunferências222Ryx =+ , centradas na origem, e que tem raio igual à distância do ponto do campo à origem; elas seconfundem com as isoradiais.*§09 - PONTOS SINGULARES E CIRCULARES.Supusemos desde o início, nas expressões ((01),§01), que fossem: yx SS ≠ e 0Sxy ≠ . Os pontos em queSx=Sy e Sxy=0 denominam-se pontos circulares; quando Sx=Sy=Sxy=0 esses pontos são ditos singulares, sendo,pois, nulo o diádico a eles associado.Nos pontos circulares, as direções principais estão indeterminadas, pois, de ((07),§02):00SS2Stg2yxxy=−=θ ,ou seja, nesses pontos qualquer direção é principal, e as coordenadas radiais principais são iguais (conforme secomprova de ((05) e (06),§05).As linhas isostáticas assumem disposições particulares nas vizinhanças desses pontos, problema que aquinão analisaremos. Nos casos práticos, em que for importante o traçado das isostáticas, será necessário um estudodetalhado da disposição das mesmas nas vizinhanças desses pontos8181 Veja E. Butty, n. 03, pág. 483.
  • 171. Campos Tensoriais - Ruggeri151ÍNDICE REMISSIVOAanisotropia ............................................................................... 40anisotrópico ............................................................................. 39antecedentes................................................................. 39, 43, 44autovalores............................................................................. 122Ccampo1D de linha plana................................................................ 581D e 2D............................................................................... 572D de diádicos simétricos................................................. 1332D de diádicos, isóclinas .................................................. 1482D de diádicos, isocromáticas .......................................... 1482D de diádicos, isópacas................................................... 1492D de diádicos, isoradiais................................................. 1492D de diádicos, isostáticas................................................ 1462D diádicos, pontos singulares ......................................... 1503D de diádico...................................................................... 77bidimensional ..................................................................... 49central ........................................................................... 67, 85circulação............................................................................ 93classificação........................................................................ 48com potencial...................................................................... 86curvas de nível.................................................................... 65das grandezas físicas........................................................... 47de circulação conservativa................................................ 109de diádicos simétricos................................... 54, 71, 121, 130de diádicos, invariantes..................................................... 124de fluxo conservativo........................................................ 109de forças.............................................................................. 89de natureza cilíndrica.......................................................... 65de tensões.......................................................................... 144de uma propriedade............................................................. 47de velocidades....................................................... 90, 96, 105definição ............................................................................. 47descontinuidade................................................................ 117diádico ................................................................................ 47diádico planar ................................................................... 134escalar............................................................. 47, 83, 92, 103escalar, gradiente ................................................................ 79escalar, potencial................................................................. 86estacionário......................................................................... 47exemplos............................................................................. 50fluxo.......................................................................... 103, 106função diretriz................................................................... 110geometria do ....................................................................... 65harmônico................................................................. 110, 115irrotacional.......................................................... 98, 111, 118irrotacional, fórmulas de Green......................................... 112lamelar ................................................................................ 98lamelar ou conservativo ...................................................... 89linha diretriz........................................................................ 66linhas de............................................................................ 110magnético ..................................................................... 67, 92nova classificação............................................................... 49operadores duplos de ........................................................ 115potencial vetor .................................................................... 99quadro sinóptico ................................................................. 49quantidade de parâmetros ................................................... 48rotacional............................................................................ 99sem fonte........................................................................... 108solenoidal.................................................................. 108, 110superfície de nível............................................................... 65superfície média.................................................................. 57transiente............................................................................. 47tubo de........................................................................ 68, 110turbilhonar .......................................................................... 99unidimensional ................................................................... 48variáveis de......................................................................... 42vetorial................................................ 47, 86, 87, 89, 96, 103vetorial com potencial......................................................... 99vetorial harmônico.................................................... 115, 118vetorial que deriva de potencial .......................................... 90vetorial, circulação.............................................................. 87vetorial, fórmula de Stockes................................................ 94vetorial, rotacional .............................................................. 93completo .................................................................................. 74componente transversal................................................ 55, 56, 71conseqüentes................................................................ 38, 44, 45coordenadascartesianas de diádico......................................................... 42cilíndricas ................................................................... 8, 9, 52curvilíneas............................................. 12, 27, 28, 31, 59, 94de diádicos, relações entre .................................................. 61de grandeza física ............................................................... 37de grandeza tensorial .......................................................... 41de tensor simétrico.............................................................. 54de uma grandeza vetorial .................................................... 36de vetor ..................................... 4, 20, 23, 38, 39, 43, 56, 106de vetor, relações entre........................................................ 60de vetor, transformação....................................................... 60de vetores de base ............................................................... 20esféricas .............................................................................. 10local .................................................................................... 23mudança de......................................................................... 18no plano de Mohr.............................................................. 141octaédricas ........................................................ 126, 137, 150radiais ............................................................. 56, 72, 77, 121radiais bissetoras............................................................... 130radiais principais............. 71, 74, 76, 121, 127, 134, 135, 138referidas às direções principais ......................................... 140relações entre ...................................................................... 21retilíneas ......................................................................... 2, 27retilíneas globais ............................................................... 133sistema cilíndrico de ............................................................. 8sistema esférico de................................................................ 9sistemas cartesianos de ......................................................... 2sistemas local e global ........................................................ 22tangenciais parciais............................................................. 56transformação ortogonal ............................................... 37, 54transversais parciais............................................................ 56transversais principais....................................... 123, 128, 138vetoriais de diádicos ........................................................... 62Dderivada direcional .......................................................... 81, 112diádicosadjunto de um ..................................................................... 46algebra dos.......................................................................... 42anti-simétricos .................................................................... 42como generalização da idéia de vetor ................................. 34como representante de grandeza física................................ 41
  • 172. 152como variáveis num domínio.............................................. 41completos e incompletos..................................................... 45conectando escalares e vetores............................................ 41de deformação..................................................................... 41de revolução........................................................................ 75de tensões............................................................................ 42definição, algumas operações ............................................. 37desvio................................................................................ 127direções próprias............................................................... 122dupla multiplicação pontuada............................................. 43equação característica............... 122, 123, 124, 125, 135, 136escalar de ............................................................................ 44forma trinomial................................................................... 38formas simétrica e anti-simétrica........................................ 42grandeza diádica ................................................................. 37inverso de um...................................................................... 46matriz associada.................................................................. 42módulo de um ..................................................................... 46norma de um....................................................................... 45nulos ................................................................................... 44produto cruzado.................................................................. 45produto pontuado................................................................ 45projetante............................................................................ 55representação cartesiana ..................................................... 38simétricos...................................................................... 41, 42terceiro de um ..................................................................... 45transpostos .......................................................................... 42unidade ............................................................................... 44uniplanar....................................................................... 60, 75valores próprios................................................................. 122vetor de ............................................................................... 44direções octaédricas....................................................... 125, 137direções principais 121, 123, 125, 130, 138, 139, 140, 144, 146,148, 150divergentedefinição ........................................................................... 106fórmula do................................................................. 112, 113fórmula do (ou de Gauss).................................................. 108propriedades formais......................................................... 111significado físico............................................................... 108domínio1D, 2D e 3D.......................................................................... 2bidimensional ..................................................................... 13chato ..................................................................................... 2cilíndrico 1D....................................................................... 13com feições cilíndricas.......................................................... 8configuração ......................................................................... 5coordenadas curvilíneas do ponto....................................... 31curva reversa do.................................................................... 7curvilíneo............................................................................ 12curvo..................................................................................... 3curvo tridimensional........................................................... 31de fenômeno.......................................................................... 2de natureza espacial.............................................................. 2de natureza plana .................................................................. 2de natureza retilínea.............................................................. 2de revolução........................................................................ 13dimensional......................................................................... 26equação polar do................................................................... 7equações paramétrica do................................................. 7, 10equações paramétricas de...................................................... 9esférico.................................................................................. 9espessura do........................................................................ 12espessura em 2D ................................................................. 31homogêneo.................................................................... 38, 51isotrópico............................................................................ 39natureza do.......................................................................... 10unidimensionais.................................................................. 22Eelipsóidede Lamè .................................... 28, 29, 69, 70, 73, 74, 75, 78equaçãocaracterística de diádico.................................... 122, 123, 124característica de diádico planar......................................... 135cartesiana geral do plano....................................................... 4da quádrica indicatriz ................................................... 69, 75das linhas de direções secundárias.................................... 147das linhas isóclinas ........................................................... 148das linhas isópacas............................................................ 150das linhas isostáticas......................................................... 146das superfícies de nível....................................................... 65de Laplace......................................................................... 111de superfície de revolução................................................... 13diferencial das linhas de campo........................................ 110diferencial das linhas de indução........................................ 67do elipsóide de Lamè .......................................................... 75dos parabolóides elípticos e hiperbólicos............................ 29reduzida de quádrica........................................................... 70vetorial do plano ................................................................... 4vetorial paramétrica .............................................................. 3estacionário........ 47, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 64, 65, 92, 106, 108Ffilete fluido .............................................................................. 68fórmulade Frenet-Serret................................................................... 26de Green............................................................................ 112de Stockes........................................................... 95, 104, 118do divergente ou de Gauss ................................ 108, 112, 113do gradiente ...................................................................... 113do rotacional ..................................................................... 113função de ponto ....................................................................... 47Ggradientede campo escalar................................................................. 79de distância......................................................................... 80de temperatura .................................................................... 40fórmula do......................................................................... 113operador.................................................................. 79, 86, 97propriedade geométrica....................................................... 80propriedades formais........................................................... 83grandezas físicas................................................................ 36, 47caracterização ..................................................................... 41como variáveis de campo.................................................... 39diádicas............................................................................... 34diversas..................................................................... 2, 33, 41escalares.............................................................................. 33poliádicas............................................................................ 36vetoriais ........................................................................ 33, 37Iincompletodiádico ................................................................................ 45invariante................................................. 34, 38, 40, 43, 45, 124de diádicos........................................................................ 124do diádico desvio.............................................................. 127do diádico planar .............................................................. 136primeiro ............................................................................ 125primeiro do diádico desvio ............................................... 127primeiro, segundo e terceiro.............................................. 124segundo do diádico desvio................................................ 128
  • 173. Campos Tensoriais - Ruggeri153terceiro do diádico desvio................................................. 128irrotacionalcampo ................................................................................. 98cond. nec. e suf. (CNS)....................................................... 98nomenclaturas............................................................. 98, 109ver campo laplaciano ........................................................ 111ver fórmulas de Green....................................................... 112isotropia................................................................................... 39Llaplacianode campo escalar....................................................... 111, 115de campo vetorial.............................................................. 117propriedades...................................................................... 115linhasde apoio de superfície ......................................................... 12de campo, afastamento...................................................... 110de corrente .......................................................................... 66de descontinuidade num campo.......................................... 53de direções secundárias..................................................... 147de fluxo............................................................................... 66de força ............................................................................... 66de forças.............................................................................. 67de indução..................................................................... 66, 67diretrizes ............................................................................. 66diretrizes, como trajetórias ortogonais ................................ 86diretrizes, equações............................................................. 67diretrizes, equações diferenciais ......................................... 67diretrizes, propriedades....................................................... 66isóclinas............................................................................ 148isocromáticas .................................................................... 149isoradial ............................................................................ 149isostáticas.......................................................................... 146Mmatricialálgebra ................................................................................ 19matrizálgebra das.......................................................................... 42anti-simétrica ...................................................................... 42associada a diádico ................................................. 42, 46, 58como representação cartesiana............................................ 37de condutividade................................................................. 39de mudança de base........................................ 20, 40, 56, 124de rotação...................................................................... 20, 62desvio................................................................................ 127diagonal ............................................................................ 124dupla multiplicação pontuada............................................. 43dupla multiplicação pontuada dupla ................................... 44inversa................................................................................. 46principal.............................................................................. 70produto de........................................................................... 61simétrica e anti-simétrica.................................................... 42transposta...................................................................... 20, 42unidade ............................................................................... 20móduloda componente radial de diádico ........................................ 68da projetante de diádico...................................................... 69de coordenadas transversais principais ............................. 131de diádico ........................................................................... 46de vetor ..................................................... 18, 23, 25, 90, 110piezoelétrico........................................................................ 42Mohrcircunferência ou círculo de.................... 72, 74, 77, 142, 143plano de .................................................................. 72, 74, 78representação de.............................................. 72, 73, 77, 141Nnívelcilindros de ......................................................................... 65curvas de............................................................................. 66linhas de.............................................................................. 84superfície de........................................................................ 65superfícies de.......................................................... 79, 86, 89superfícies esféricas de ....................................................... 65notação ................................................................................... VIIindexada.............................................................................. 42indicial.......................................................................... 37, 41matricial........................................................................ 19, 35Ppoliádico....................................................................VIII, 36, 47Tratado de.........................................................................XVIponto"seguinte"............................................................................ 23abscissa curvilínea de ......................................................... 58binormal de curva num ....................................................... 24circular.............................................................................. 150circunferência ou círculo do Mohr do............................... 142consecutivo......................................................................... 24coordenadas curvilíneas do................................................. 31coordenadas principais do diádico no............................... 121coordenadas radiais principais do diádico do ..................... 71curvatura de torção da curva no.......................................... 25da superfície esférica .......................................................... 28de apoio de superfície ......................................................... 12de campo solenoidal.......................................................... 108de descontinuidade ............................................................. 53de domínio................................................................ 8, 22, 54de eixo de rotação ............................................................... 13de superfície........................................................................ 27de superfície de revolução................................................... 14deslocamento de.................................................................. 53diádico associado ao......................................................... 141diádico do ..................................................................... 60, 61direção principal do .......................................................... 143direções bissetoras do ....................................................... 139direções octaédricas do..................................... 125, 137, 138direções principais do ............................... 121, 122, 130, 140direções secundárias do .................................................... 138divergente do campo vetorial no....................................... 107do campo de diádico planar.............................................. 136fixo...................................................................................... 67fronteira de domínio ..................................................... 10, 22funções de........................................................................... 37gradiente de campo escalar no ............................................ 79invariantes no.................................................................... 126mais alto de um parabolóide ............................................... 31matriz principal do diádico do............................ 70, 124, 137mudança de coordenadas de um ......................................... 18número de coordenadas de.................................................. 13plano normal à curva no...................................................... 24plano tangente à superfície no............................................. 28propriedade associada a ...................................................... 47raio de curvatura de torção de curva no .............................. 25relações entre coord. cart., cilíndr. e esf. no........................ 21sobre a superfície da Terra.................................................. 12triedro de Frenet-Serret do ............................................ 24, 77triedro principal do ............................................. 76, 121, 129vetor tensão no.................................................................... 54vetor turbilhão de um.......................................................... 99potência ................................................................................... 47
  • 174. 154potencial86, 88, 89, 90, 91, 92, 98, 99, 100, 101, 104, 105, 109,111, 112, 115, 118projetante......... 55, 56, 57, 58, 60, 68, 69, 71, 81, 126, 133, 141Qquádricas.................................................................................. 64de Cauchy e de Lamè.................................................... 68, 70indicatriz................................................................. 69, 74, 75parabolóides elíptico e hiperbólico ..................................... 29quantidade de parâmetros .................................................... 7, 48Rrepresentação cartesiana .............................................. 37, 38, 39rotacionalcomo operador .................................................................. 115definição ............................................................................. 93expressão cartesiana............................................................ 95fórmula do......................................................................... 113propriedades formais........................................................... 96significado físico................................................................. 96Tterceiro..................................................................................... 45de um diádico, definição..................................................... 45do diádico desvio.............................................................. 128invariante (de diádico)...................................... 124, 127, 128transientecampo ........................................................................... 47, 49campo (classificação).......................................................... 64campo (sup. de nível).......................................................... 65campo de velocidades ......................................................... 51tubode campo..................................................................... 68, 109de fluido............................................................................ 105de fluxo............................................................................... 68de força ............................................................................... 68fechado ............................................................................. 109seção do ............................................................................ 110turbilhonar .......................................................................... 99ver veia fluida ou filete fluido............................................. 68turbilhão .................................................................................. 99uniplanardiádico ................................................................................ 60Vvetorcampo elétrico............................................................... 40, 41campo elétrico..................................................................... 37de diádico ........................................................................... 44força.................................................................................... 50função de valor ................................................................... 47módulo do................................................................... 69, 110polarização.......................................................................... 40posicional............................ 3, 4, 18, 21, 35, 53, 90, 103, 117relações entre coordenadas.................................................. 60tensão.................................................................................. 54tensão total.......................................................................... 57turbilhão.............................................................................. 99unitário.... 3, 21, 26, 28, 46, 50, 52, 54, 81, 93, 121, 123, 131