Perímetros y áreas de los polígonos regulares e irregulares

1. POLÍGONOS
Un polígono es una figura plana cerrada delimitada por segmentos. A estos segmentos se les llama lados.
La palabra polígono está formada por dos voces de origen griego: “polys”: muchos y“gonía”:
ángulos; por lo tanto, es una figura con varios ángulos.
También se define como una poligonal cerrada.
El polígono más pequeño es el triángulo, que tiene tres lados y tres ángulos.
El polígono es la frontera que separa al plano en dos regiones: una que está dentro, llamada
región interior del polígono y una exterior, llamada región exterior del polígono. El plano es la
unión de estos tres subconjuntos.
Un polígono está formado por elementos
básicos. Éstos son:
1. vértice
2. lado
3. ángulo interior
4. ángulo exterior
5. diagonal
1. Vértice: es el punto de intersección de dos segmentos contiguos. Se designan con una letra mayúscula A, B, C, D...
2. Lados: es cada uno de los segmentos de recta que forman el polígono. Se designa con dos letras mayúsculas ubicadas en sus extremos,
o con una letra minúscula en correspondencia con el vértice opuesto: AB = d, BC = e , CD = a, DE = b, EA = c
3. Ángulo interior: es el ángulo formado por dos lados del polígono. El ángulo interior se designa con una letra griega o con las tres letras
mayúsculas de los vértices que correspondan.
4. Angulo exterior: es el ángulo formado por un lado y la prolongación de otro contiguo hacia la región exterior. Generalmente se designa
con la letra griega del ángulo interior adyacente acompañada de un subíndice

2. 5. Diagonal: es el trazo que une dos vértices no consecutivos del polígono. Se designa con las dos letras mayúsculas correspondientes a
los vértices que se unen, o por una letra d con subíndice: AC =d 1, AD = d2.
Apotema de un polígono regular
La apotema de un polígono regular es el segmento perpendicular a un lado desde el centro del polígono. Es básica para conocer el área
del polígono ya que es la altura de cada uno de los triángulos formados por cada dos radios y el lado.
ELEMENTOS SECUNDARIOS DE UN POLÍGONO
En todo polígono (el triángulo es un polígono) podemos obtener elementos secundarios como:

Bisectrices, se denomina bisectriz al rayo que dimidia al ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales.

Simetrales, la simetral es una recta perpendicular que dimidia a un trazo.

Alturas, una altura, cuyo símbolo es h, es el trazo perpendicular que une un lado del triángulo con el vértice opuesto.

Transversales, la transversal es el segmento que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Medianas, son los segmentos que unen los puntos medios del triángulo.
Ver Polígono inscrito y circunscrito.
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3. PERÍMETROS Y ÁREAS DE LOS POLÍGONOS
Nombre
Triángulo
Dibujo
Perímetro
P = Suma de los
lados
P=b+c+d
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
Área
p = semiperímero
P=4·a
A = a2
P = 2(b + a)
A=b·a
P=4·a
P = 2(b + c)
Trapecio
P=B+c+b+d
Trapezoide
P=a+b+c+d
A=b·a
Polígono
regular
A = Suma de las áreas de
los dos triángulos

4. Circunferencia y círculo
Dibujar una circunferencia o un círculo es fácil:
Dibuja una curva que esté a la distancia "radio"
de un punto central.
Y entonces:
Todos los puntos están
a la misma distancia del centro.
La circunferencia es el borde y el círculo es el interior.
Además, un círculo es una
figura plana(bidimensional).
Definición
En realidad la definición de circunferencia es "el conjunto de todos los puntos de un plano que están a una
distancia fija de un centro".
Radio y diámetro
El radio es la distancia del centro al borde.
El diámetro empieza en un punto de la circunferencia, pasa por el centro y termina
en el otro lado.
Así que el diámetro es el doble del radio:
Diámetro = 2 × Radio
Longitud de la circunferencia
La circunferencia es la distancia alrededor del borde del círculo.
Mide exactamente Pi (el símbolo es π) por el diámetro, o sea:
Circunferencia =
π × Diámetro
Y estas fórmulas también:
π × Radio
Circunferencia/Diámetro = π
Circunferencia = 2 ×

5. Área del círculo
El área del círculo es
π por el cuadrado del radio, se escribe así:
A=
π × r2
O, en términos del diámetro:
A = (π/4) × D2
Es fácil acordarse si piensas en el área del cuadrado en el que
cabe el círculo.
Nombres
Los círculos son objetos conocidos desde hace miles de años así que hay muchos nombres especiales.
Nadie quiere decir "la línea que empieza en un punto de la circunferencia, pasa por el centro y termina en el
otro lado" cuando vale con decir "diámetro".
Aquí tienes los nombres especiales más comunes:
Líneas
Una línea que va de un punto de la circunferencia a otro se
llama cuerda.
Si la línea pasa por el centro se llama diámetro.
Si una línea "sólo toca" la circunferencia al pasar se
llamatangente.
Y una parte de una circunferencia se llama arco.

6. Trozos
Hay dos tipos importantes de "trozos" de un círculo
Un trozo "de pizza" se llama sector.
Y un trozo marcado por una cuerda se llama segmento.
Sectores comunes
El cuadrante y el semicírculo son dos tipos especiales de sectores:
Un cuarto de círculo se llama cuadrante.
Medio círculo se llama semicírculo.
Dentro y fuera
Un círculo tiene interior y exterior (¡está claro!). Pero también hay "sobre",
porque podrías estar exactamente sobre el círculo.
Ejemplo: "A" está fuera del círculo, "B" está dentro del círculo y "C" está sobre
el círculo.

7. Área de polígonos regulares e irregulares
Escrito por Diego el Jueves 27 de enero del 2011
Calcular el área de un polígono regular es una tarea bastante sencilla porque hay una fórmula que sirve
para todos los polígonos regulares.
Encontrar el área de un polígono irregular es como jugar un juego en el que tienes que construir una forma
con un montón de formas más pequeñas, hay que crear formas estándar y sumar las áreas de las formas para
encontrar el área del polígono irregular. Sin embargo, ser capaz de hacer esto es más útil que saber cómo
jugar a un juego. Peritos, agricultores y jardineros deben ser capaces de encontrar el área de piezas de forma
irregular para trabajar con la tierra adecuadamente.
Área de un polígono REGULAR
Observa en la figura como se divide el hexágono regular en
seis triángulos congruentes (misma forma y tamaño). Por lo
tanto, el área del hexágono es igual a seis veces el área de cada
triángulo.
Decimos: Área del hexágono = 6 x área del triángulo.
Ahora bien:
 La base de cada triángulo es un lado del hexágono.
 La altura de cada triángulo es la apotema del hexágono.
Por lo tanto:
Área del triángulo = base x altura / 2 = lado x apotema / 2 y el
área del hexágono = 6 x lado x apotema / 2
¡Pero 6 x lado es el perímetro del hexágono! Por lo tanto:
Área del hexágono = perímetro x apotema / 2
Esta formula es valida para todos los polígonos regulares:
Área del polígono = perímetro x apotema / 2
El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto del perímetro por la apotema.

8. Área de un polígono IRREGULAR
El área de un polígono irregular se puede hallar descomponiendo el polígono en otras figuras: triángulos,
rectángulos, trapecios, etc.
Observa la figura. Se calcula el área de un polígono como suma de 3 triángulos y un trapecio:
 del triángulo ABE = 6 cm x 3 cm / 2 = 9 cm2
 del triángulo EDM = 2 cm x 3 cm / 2 = 3 cm2
 del trapecio MDCN = 3 cm + 2 cm / 2 x 3 cm = 7,5 cm2
 del triángulo NCB = 1 cm x 2 cm / 2 = 1 cm2
Área del polígono = 9 + 3 + 7,5 + 1 = 20,5 cm2