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teroia de grupos unidad 1 - todo referente a la teoria de grupos y las relaciones

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  • Operaciones binarias Definici´on 6 Llamaremos operaci´on binaria (interna) definida sobre un conjunto A a una funci´on definida A × A → A. A × A → A (a, b) → a ∗ b Tambi´en se pueden definir operaciones binarias llama- das externas A × B → B (a, b) → a ∗ b por ejemplo, el producto de un escalar (n´umero real) por un vector, que da como resultado otro vector. Incluso se pueden definir operaciones sobre los ele- mentos de un conjunto, dando como resultado un e- lemento de otro conjunto distinto (el producto escalar de dos vectores es un ejemplo de ello). Propiedades y elementos notables Propiedad asociativa: para cada a, b, c ∈ A se verifi- ca (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). Propiedad conmutativa: para cada a, b ∈ A se veri- fica a ∗ b = b ∗ a. Leyes de cancelaci´on: a la izquierda si a∗b = a∗c ⇒ b = c. Si tenemos una segunda operaci´on : Propiedad distributiva: para cada a, b, c ∈ A se veri- fica a (b ∗ c) = (a b) ∗ (a c). 10 Algunos elementos del conjuntos A se pueden com- portar de forma notable con respecto a la operaci´on ∗ Elemento neutro e: a∗e = e∗a = a para cada a ∈ A. Elemento absorbente z: a ∗ z = z ∗ a = z para cada a ∈ A. Elemento idempotente: a ∗ a = a. Elemento inversible: a es inversible si existe a tal que a ∗ a = a ∗ a = e. Estructuras algebraicas Cuando tenemos uno o m´as conjuntos con una o va- rias operaciones binarias, con unas determinadas pro- piedades y unos determinados elementos notables, es- tamos ante una estructura algebraica A veces, si el conjunto sobre el que act´ua una opera- ci´on es finito A = {a1, a2, . . . , an} es posible representar dicha operaci´on mediante una tabla de la forma ∗ a1 · · · aj · · · an a1 ... ... ... ai · · · · · · ai ∗ aj · · · · · · ... ... an ... Las estructuras se representan agrupando bajo un par´entesis el conjunto y las operaciones que act´uan sobre ´el, e- jemplo (A, ∗) o bien (A, ∗, ). 11
  • Morfismos Dadas dos estructuras algebraicas simila- res (con las mismas propiedades) se llamar´a homo- morfismo a una funci´on entre los conjuntos que res- peta la estructura, por ejemplo, si (A, ∗) y (B, ) son dos estructuras algebraicas un homomorfismo ser´a u- na funci´on f: A → B que verifica f(a ∗ b) = f(a) f(b) para cada par de elementos a, b ∈ A. Cuando los homomorfismos son inyectivos o sobre- yectivos reciben nombres especiales, estos son los si- guientes: Monomorfismo: si es inyectivo. Epimorfismo: si es sobreyectivo. Isomorfismo: si es biyectivo. Ejemplo: Dados conjuntos {a, b, c} y {1, 2, 3} con operaciones definidas mediante las respectivas tablas ∗ a b c a a b c b b b b c c b b 1 2 3 1 1 1 1 2 1 2 3 3 1 3 1 se observa que son isomorfas mediante la funci´on a 2 b 1 c 3 . 12 Teor´ıa de Grupos Semigrupos S = ∅ es semigrupo si est´a dotado de una operaci´on binaria ∗ (interna) que verifica la propiedad Asociativa: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c diremos que es un semigrupo conmutativo si se verifica, adem´as, la propiedad Conmutativa: a ∗ b = b ∗ a Ejemplos: Son semigrupos conmutativos: • El conjunto N provisto de la suma (N, +). • El conjunto Z provisto del producto (Z, ·). Ejemplos: • N con la operaci´on a ∗ b = ab no es un semigrupo. • Z con la operaci´on de sustraci´on tampoco es semi- grupo. Ejemplo: (P(A), ∪) y (P(A), ∩) son dos semigrupos conmutativos. Ejemplos: • Si A = ∅ y AA = {f | f : A → A}, entonces (AA, ◦) es un semigrupo no conmutativo. • (Mn, ·) es un semigrupo no conmutativo. Prof. Francisco Rodr´ıguez 1
  • Subsemigrupos Dado un semigrupo (S, ∗) y un subconjunto A ⊆ S diremos que es un subsemigrupo si res- tringiendo la operaci´on ∗ a los elementos de A se sigue teniendo una estructura de semi- grupo, es decir (A, ∗) es tambi´en semigrupo. Es evidente que la ´unica condici´on para que A sea subsemigrupo de S es que la restricci´on de ∗A sea una operaci´on. Cuando un conjunto cumple esta condici´on se suele decir que A es cerrado para la operaci´on. En la figura, A no ser´ıa subsemigrupo de S. Ejemplos: • Dado el semigrupo (Z, +) El subconjunto 2Z de los enteros pares es subsemigrupo, en cambio el conjunto de los impares no lo es. • En el semigrupo (AA, ◦) el subconjunto de las fun- ciones biyectivas S(A) es un subsemigrupo. Prof. Francisco Rodr´ıguez 2 Monoides Dado un semigrupo (S, ∗) diremos que tiene elemento neutro si existe un elemento distin- guido e ∈ S que verifica e∗a = a∗e = a ∀a ∈ S. Teorema 1 En todo semigrupo, el elemento neutro, si existe, debe ser ´unico. A un semigrupo con elemento neutro se le llama monoide. Si adem´as el semigrupo es conmutativo se le llama monoide conmutati- vo. Ejercicio: Determina cu´ales de los ejemplos de se- migrupos ya vistos son tambi´en monoides. Ejemplos: • La estructura (N, +) es monoide, en cambio (Z+, +) no lo es, puesto que 0 /∈ Z+. • Las matrices reales Mn×m forman un monoide con- mutativo con la operaci´on + de matrices. Si conside- ramos las matrices cuadradas con el producto (Mn×n, ·) tenemos un monoide no conmutativo. Prof. Francisco Rodr´ıguez 3
  • Submonoides Dado un monoide (S, ∗), un subconjunto A ⊆ S es submonoide, si adem´as de ser subse- migrupo, contiene al elemento neutro. Por tanto, seg´un vimos anteriormente se verifica Teorema 2 Sea (S, ∗) un monoide y A ⊆ S. Las condiciones necesarias y suficientes para que el subconjunto A sea submonoide son: 1) Que sea cerrado para la operaci´on, es de- cir: a, b ∈ A ⇒ a ∗ b ∈ A. 2) e ∈ A. Ejemplo: Llamaremos nZ al conjunto de los pro- ductos de un entero n por todos los elementos de Z. Si n > 1 obtenemos que (nZ, +) son submonoides de (Z, +), en cambio (nZ, ·) son subsemigrupos (y no submonoides) de (Z, ·) (que s´ı es monoide). Prof. Francisco Rodr´ıguez 4 El Semigrupo Libre de las cadenas Llamaremos alfabeto a un conjunto Σ al que se le exige que ning´un elemento pueda ser formado por yuxtaposici´on de elementos del propio Σ. A los elementos de Σ se les llama tambi´en cadenas de longitud 1. Yuxtaponiendo dos elementos de Σ se obtie- ne un nuevo elemento de un conjunto de ca- denas de longitud 2. Este proceso se puede extender recursivamente para formar cade- nas de longitud n. Si denominamos Σ1 = Σ, entonces Σn = {xy | x ∈ Σ, y ∈ Σn−1} n > 1 El conjunto de todas las cadenas –de longi- tud mayor o igual que 1– se representa por Σ+ = ∞ n=1 Σn. Prof. Francisco Rodr´ıguez 6
  • Consideramos de forma axiom´atica la exis- tencia de una cadena ε que no pertenece a ning´un Σn y que llamaremos cadena de lon- gitud 0, o bien, cadena nula. Esta cadena tiene la propiedad de dejar invariante a cual- quier cadana por yuxtaposici´on, es decir xε = εx = x ∀x ∈ Σn Por ´ultimo, llamaremos Σ∗ al conjunto for- mado por las cadenas de cualquier longitud, incluida la cadena nula. Σ∗ = Σ+ ∪ {ε} Este conjunto, dotado con la operaci´on bina- ria de yuxtaponer dos cadenas, tambi´en lla- mada concatenaci´on, verifica la propiedad asociativa, y adem´as tiene elemento neutro ε. Se le conoce con el nombre de Semigrupo libre de las cadenas (aunque en realidad sea un monoide) y juega un importante papel en la teor´ıa de lenguajes formales. Prof. Francisco Rodr´ıguez 7 Grupos Llamaremos grupo a un conjunto G con un operaci´on interna ∗ que verifica las siguientes propiedades: • Asociativa: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) para cada a, b, c ∈ G. • Existe un elemento neutro e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a para cada a ∈ G. • Existencia de inversos: para cada a ∈ G, existe un elemento a ∈ G tal que a ∗ a = a ∗ a = e. Si adem´as cumple la propiedad conmutativa: a ∗ b = b ∗ a, entonces diremos que el grupo es conmutativo, pero se emplea con mayor frecuencia el t´ermino de grupo abeliano en honor del matem´atico noruego Niels Henrik Abel (1802-1829). Prof. Francisco Rodr´ıguez 8
  • Ejemplo: El monoide (N, +) no es un grupo, puesto que ning´un elemento, exepto el elemento neutro 0, tiene inverso. Ahora bien, los conjuntos Z, Q, R y C son todos grupos abelianos con la operaci´on suma tambi´en llamados grupos abelianos aditivos. Ejemplo: Ninguno de los conjuntos num´ericos del ejemplo anterior son grupos con la operaci´on producto ¿porqu´e?, si bien los conjuntos Q∗, R∗ y C∗ son grupos abelianos multiplicativos. Ejemplo: Dado un conjunto A el conjunto S(A) formado por todas las aplicaciones biyectivas A → A, junto con la operaci´on composici´on de funciones ◦ forman un grupo. Como todo grupo es un monoide, el elemento neutro debe ser ´unico, y adem´as se cumple: Teorema 5 Si (G, ∗) es un grupo entonces cada elemento a ∈ G tiene un ´unico inverso. Teorema 6 Sea (G, ∗) un grupo y sean a, b, c ∈ G, entonces: 1) a ∗ b = a ∗ c ⇒ b = c 2) b ∗ a = c ∗ a ⇒ b = c Prof. Francisco Rodr´ıguez 9 Teorema 7 Sea (G, ∗) un grupo, y sean a, b ∈ G. Entonces, 1) e = e 2) (a ) = a 3) (a ∗ b) = b ∗ a 4) La ecuaciones a ∗ x = b y x ∗ a = b tienen soluci´on ´unica en G Hasta ahora hemos usado el s´ımbolo ∗ pa- ra representar la operaci´on de un grupo, pe- ro ´esto no es lo habitual. Generalmente la notaci´on aditiva emplea el s´ımbolo + y se suele emplear cuando nos referimos a grupos abelianos; la notaci´on multiplicativa emplea el s´ımbolo · (o ning´un s´ımbolo) y se emplea cuando nos referimos a cualquier grupo ge- n´erico. Prof. Francisco Rodr´ıguez 10
  • Notaci´on aditiva • El elemento neutro se representa por 0 • El elemento inverso a lo representamos −a (opuesto). • La expresi´on a + (−b) se puede indicar de la forma a − b • Si n ∈ Z+ definimos na = n veces a + a + · · · + a • Se generaliza el pun- to anterior a todo Z definiendo 0a = 0 y si n ∈ Z+ (−n)a = −(na) = n(−a). • Se prueba que para cualesquiera n, m ∈ Z y cualquier a ∈ G se cumple (m + n)a = ma + na (m − n)a = ma − na (mn)a = m(na) Notaci´on multiplicativa • El elemento neutro se representa por e. • El elemento inverso a lo representamos a−1. • A veces ab−1 lo repre- sentamos a b = a/b. • Si n ∈ Z+ definimos an = n veces a · a · · · · · a • Se generaliza el punto anterior a todo Z defi- niendo a0 = e y si n ∈ Z+, a−n = (an)−1 = (a−1) n . • Se prueba que para cualesquiera n, m ∈ Z y cualquier a ∈ G se cumple am+n = aman am−n = am · a−n amn = (am)n Prof. Francisco Rodr´ıguez 11 El grupo aditivo de los enteros modulares Hemos definido el conjunto Zn mediante una relaci´on de equivalencia en Z que llam´abamos de congruencia m´odulo n a ≡ b (mod n) ⇐⇒ b − a es m´ultiplo entero de n obteni´endose el conjunto de los enteros modulares Zn = {[0], [1], . . . , [n − 1]} Podemos dotar a ´este conjunto Zn de una operaci´on suma definida [a] + [b] = [a + b] Teorema 8 La operaci´on suma en Zn est´a bien defi- nida, es decir es independiente de los representantes de clase elegidos. Ejercicio: comprueba que (Zn, +) tiene estructura de grupo. Ejemplo: Las tablas de Z2 y Z5 son las siguientes + [0] [1] [0] [0] [1] [1] [1] [0] + [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [1] [1] [2] [3] [4] [0] [2] [2] [3] [4] [0] [1] [3] [3] [4] [0] [1] [2] [4] [4] [0] [1] [2] [3] Ejercicio: Si definimos el producto [a] · [b] = [ab], ¿Es (Zn, ·) un grupo? ¿Y si quitamos [0], es (Z∗ n, ·) grupo? Escribe las tablas para Z∗ 4 y Z∗ 5 y analiza las diferencias. En adelante, [x] en Zn lo representaremos por x. Prof. Francisco Rodr´ıguez 12
  • Grupos Sim´etricos Ya hemos visto que dado A, el conjunto S(A) de las aplicaciones biyectivas es un grupo. Si A es finito entonces a las aplicaciones biyec- tivas A → A se les llaman permutaciones y al grupo de las permutaciones S(A) se le suele representar como Sn (donde n es el cardinal de A) y se le conoce como el grupo sim´etrico en n letras o n s´ımbolos. Sin ninguna p´erdida de generalidad, podemos suponer que el conjunto A = {1, 2, . . . , n}. Si σ ∈ Sn y σ(i) = si, se acostumbra a usar una notaci´on para representarla σ = 1 2 · · · n s1 s2 · · · sn Llamaremos producto de permutaciones a la composici´on como funciones, es decir στ = τ ◦ σ. Ejemplo: En el grupo sim´etrico S4 si σ = 1 2 3 4 2 4 1 3 y τ = 1 2 3 4 4 2 1 3 Prof. Francisco Rodr´ıguez 13 entonces στ = 1 2 3 4 2 4 1 3 1 2 3 4 4 2 1 3 = 1 2 3 4 2 3 4 1 Bajo esta notaci´on el elemento neutro ser´a la permutaci´on identidad e = 1 2 · · · n 1 2 · · · n . Teorema 9 El grupo Sn tiene n! elementos. Ejemplo: El grupo sim´etrico S3 tiene 3! = 6 ele- mentos que son e = 1 2 3 1 2 3 ρ1 = 1 2 3 2 3 1 ρ2 = 1 2 3 3 1 2 µ1 = 1 2 3 1 3 2 µ2 = 1 2 3 3 2 1 µ3 = 1 2 3 2 1 3 donde e act´ua como elemento neutro y la tabla para este grupo queda de la forma: e ρ1 ρ2 µ1 µ2 µ3 e e ρ1 ρ2 µ1 µ2 µ3 ρ1 ρ1 ρ2 e µ2 µ3 µ1 ρ2 ρ2 e ρ1 µ3 µ1 µ2 µ1 µ1 µ3 µ2 e ρ2 ρ1 µ2 µ2 µ1 µ3 ρ1 e ρ2 µ3 µ3 µ2 µ1 ρ2 ρ1 e Prof. Francisco Rodr´ıguez 14
  • Subgrupos Diremos que un subconjunto H de un grupo G es subgrupo si es grupo con la restricci´on de la operaci´on de G en H. En lo que sigue usaremos notaci´on multipli- cativa. Por tanto, que H es subgrupo si verifica: 1) Que sea cerrado para la operaci´on, es de- cir: a, b ∈ H ⇒ ab ∈ H. 2) e ∈ H. 3) Para cada a ∈ H, se tiene que a−1 ∈ H.∗ Ejemplo: Dado cualquier grupo G, los sub- conjuntos {e} y el propio G son subgrupos de G, reciben el nombre de subgrupos trivia- les. Los subgrupos que no son triviales se denominan subgrupos propios. ∗Obs´ervese que las propiedades 1) y 3) implican la propiedad 2). Prof. Francisco Rodr´ıguez 15 Teorema 10 (de caracterizaci´on) Dado un grupo G, una condici´on necesaria y suficiente para que un subconjunto H ⊆ G, H = ∅ sea subgrupo es ∀a, b ∈ H ⇒ ab−1 ∈ H Ejemplo: Los subgrupos del grupo (Z, +) son los subconjuntos de la forma nZ = {nx | x ∈ Z} siendo n ∈ N. Si H ⊆ G es subgrupo lo representaremos como H ≤ G. En el caso de se un subconjunto finito este teorema se simplifica del siguiente modo: Teorema 11 Si H = ∅ es un subconjuto fi- nito de un grupo G, entonces H es subgrupo si y solo si es cerrado para la operaci´on del grupo. Si un subgrupo H es finito llamaremos orden del subgrupo al n´umero de elementos que posee. Prof. Francisco Rodr´ıguez 16
  • Morfismos de grupos Diremos que una funci´on f : G → G es un homomorfismo de grupos si f(ab) = f(a)f(b) ∀a, b ∈ G se mantiene la terminolog´ıa de monomorfis- mo, epimorfismo e isomorfismo. Teorema 14 Si f : G → G es un homomor- fismo de grupos, entonces se verifica: 1) si e y e son los elementos neutros de G y G respectivamente, entonces f(e) = e 2) para cada a ∈ G se cumple f(a−1) = (f(a))−1 3) para cada entero n y cada a ∈ G se cumple f(an) = (f(a))n. Prof. Francisco Rodr´ıguez 19 Producto directo de grupos Representaremos el producto cartesiano de un n´umero finito de conjuntos de la siguiente forma A1 × A2 × · · · × An = n i=1 Ai Teorema 18 Sean G1, G2, . . . , Gn grupos, si definimos sobre X = n i=1 Gi la operaci´on bi- naria (a1, . . . , an)(b1, . . . , bn) = (a1b1, . . . , anbn) dotamos a X de estructura de grupo, cono- cido como producto directo externo de los grupos G1, G2, . . . , Gn. Ejemplo: Dado el subgrupo H = {e, ρ1, ρ2} de S3, se puede construir el grupo Z2 × H de orden 6. Construir su tabla de operaci´on. Ejemplos: • El subgrupo Z2 × Z2 no es isomorfo a Z4. Es un conocido grupo abeliano, no c´ıclico, llamado 4-grupo de Klein. • En cambio el grupo Z2 × Z3 es isomorfo a Z6. • Tambi´en (Zn, +) es un grupo para cada n ∈ Z+. Prof. Francisco Rodr´ıguez 22
  • Anillos y Cuerpos Anillos Sea un conjunto R con dos operaciones internas que llamaremos suma (+) y producto (·). Diremos que (R, +, ·) es un anillo si verifica: • (R, +) es un grupo abeliano. • (R, ·) es un semigrupo. • Para cualesquiera a, b, c ∈ R se cumplen: a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc Cuando (R, ·) es un monoide se dice que R es un anillo unitario o anillo con unidad que representare- mos por 1 (elemento nuetro del producto). Cuando (R, ·) es un semigrupo conmutativo, se di- ce que R es anillo conmutativo. Prof. Francisco Rodr´ıguez 1 Ejemplos: Los conjuntos num´ericos con las operaciones habituales (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·) y (C, +, ·) son ani- llos conmutativos unitarios. (N, +, ·) no es un anillo por no ser (N, +) un grupo. Ejemplos: Para cada entero positivo n, el conjunto de en- teros modulares Zn junto con la suma y el producto es anillo (conmutativo y unitario). Teorema 1 Si R es un anillo, con elemento neu- tro aditivo 0, entonces para cualesquiera elementos a, b ∈ R se tiene: 1) 0a = a0 = 0 2) a(−b) = (−a)b = −(ab) 3) (−a)(−b) = ab Muchas de las propiedades de los anillos son reformulaciones de las propiedades correspondientes a los grupos, por ejem- plo • Si m, n ∈ Z, a ∈ R ma + na = (m + n)a m(na) = (mn)a • Si m, n ∈ N, a ∈ R aman = am+n (am)n = amn Al ser una estructura m´as rica que la de grupo, se tienen expresiones completamente nuevas basadas en la propiedad distributiva Prof. Francisco Rodr´ıguez 2
  • Teorema 2 Para cualquier entero n, dados a, b en un anillo R, se verifican las siguientes propiedades: 1) n(ab) = (na)b = a(nb) 2) la f´ormula binomial (tambi´en conocida como bi- nomio de Newton) (a + b)n = n i=0 n i aibn−i Subanillos S es un subanillo de R si es anillo con las operera- ciones definidas en R, es decir: Dados x, y ∈ S ⇒ x − y ∈ S y xy ∈ S Ejemplo: enteros gaussianos Z(i) = {a + ib | a, b ∈ Z} es un subanillo de C. La intersecci´on de subanillos de un anillo R sigue siendo su- banillo, por tanto dado un subconjunto A de un anillo tiene per- fecto sentido definir A como el menor subanillo que contiene al conjunto A, es decir la intersecci´on de todos los subanillos que contiene a A. Prof. Francisco Rodr´ıguez 3 Morfismos de anillos Dada f: R → R entre dos anillos (R, +, ·) y (R , ⊕, ), diremos que es un homomorfismo de anillos si f(a + b) = f(a) ⊕ f(b) f(a · b) = f(a) f(b) Teorema 3 Si f es morfismo de anillos se tiene: 1) f(0) = f(0 ) 2) f(na) = nf(a), n ∈ Z. Teorema 4 Sea f: R → R un homomorfismo de anillos. Entonces se verifica: 1) Si A es subanillo de R, entonces f(A) es suba- nillo de R . 2) Si B es subanillo de R , entonces f−1(B) es su- banillo de R. 3) Si R es unitario y f(1) = 0, entonces f(1) es un elemento neutro para el producto en el anillo f(R). Prof. Francisco Rodr´ıguez 4
  • Dominios de Integridad Definici´on 1 Si a y b son elementos distintos de ce- ro de un anillo R tal que ab = 0, entonces se dice que a y b son divisores de cero. Ejemplos: • Los elementos [2] y [3] de Z6 son dos divisores de cero. • Los divisores de cero de un anillo Zn son aquellas clases cuyos elementos no son primos relativos con n. Teorema 5 Sea R es un anillo. Entonces es v´alida la ley de cancelaci´on del producto si y solo si no tiene divisores de cero. Llamaremos Dominio de Integridad a un anillo con- mutativo unitario que no contiene divisores de cero. Ejemplos: • Los anillos num´ericos Z, Q, R y C son dominios de integri- dad. • Los anillos Mn de matrices cuadradas de orden n no son dominios de integridad. Prof. Francisco Rodr´ıguez 5 Cuerpos Llamaremos cuerpo a un anillo conmutativo unitario K donde cada elemento distinto de cero es inversi- ble, es decir: si a ∈ K, a = 0, existe a−1 tal que a·a−1 = a−1·a = 1. En otras palabras, un cuerpo es un anillo conmutativo con divisi´on. Ejemplos: • Z no es un cuerpo, puesto que los ´unicos elementos inver- sibles son 1 y −1. En cambio s´ı son cuerpos los restantes conjuntos num´ericos Q, R y C. • Los enteros gaussianos Z(i) no forman un cuerpo (¿por- qu´e?) aunque s´ı es un dominio de integridad. El cuerpo m´as parecido a Z(i) es el subcuerpo de los n´umeros complejos Q(i) definido de manera obvia como los elementos de la for- ma a + bi siendo a y b racionales. Teorema 6 Todo cuerpo es un dominio de integri- dad. Prof. Francisco Rodr´ıguez 6
  • El inverso de este teorema no es cierto, en general, tenemos dominios de integridad que no son cuer- pos y Z es un ejemplo de ello. En cambio si es cierto en el caso finito. Teorema 7 Todo dominio de integridad finito es un cuerpo. Este teorema nos identificar los cuerpos finitos Corolario 8 Si p es un entero positivo primo, Zp es un cuerpo. Se puede probar (aunque no lo haremos) que todo cuerpo finito contiene un subcuerpo que es isomor- fo a un cierto Zp, es m´as, se prueba tambi´en que todos los cuerpos infinitos contiene un subcuerpo isomorfo a Q. Prof. Francisco Rodr´ıguez 7