Aula transformações de coordenadas

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Aula transformações de coordenadas

  1. 1. Universidade do Estado da Bahia TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS Prof. Margareth da Silva Magalhães
  2. 2. TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²1. TRANSLAÇÃO DE EIXOS
  3. 3. TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²1. TRANSLAÇÃO DE EIXOS Um ponto P do plano tem coordenadas:  x e y em relação ao sistema xOy.  x’ e y’ em relação ao sistema x’O’y‘.
  4. 4. TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²1. TRANSLAÇÃO DE EIXOS Fórmulas de Translação: x = x’ + xo. y = y’ + yo.
  5. 5. EXEMPLOConsidere a circunferência de equação x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0 emrelação ao sistema xOy. Faça uma translação de eixo tal que a novaorigem seja O’=(3,4). Obtenha a equação da circunferência emrelação ao novo sistema de coordenadas x’Oy’.
  6. 6. RESOLUÇÃO: a) Fórmulas de translação x = x’ + 3 y = y’ + 4 • Substituição x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0
  7. 7. RESOLUÇÃO: a) Fórmulas de translação x = x’ + 3 y = y’ + 4 b) Substituição x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0 x’² + y’² = 4
  8. 8. TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²1. ROTAÇÃO DE EIXOS Mantendo-se fixa a origem O, faz- se uma rotação nos eixos x e y de um mesmo ângulo, no sentido anti-horário. Obtemos assim um novo sistema x’O’y’ por uma rotação de xOy.
  9. 9. TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²1. ROTAÇÃO DE EIXOS a) Fórmulas de rotação x = x’cosθ – y’sen θ y = x’sen θ + y’cos θ
  10. 10. EXEMPLOA equação 5x² + 6xy + 5y² - 8 = 0 representa um elipse no sistemaxOy. Obter a equação da mesma elipse uma vez efetuada a rotaçãode eixos de amplitude θ = 45°.
  11. 11. RESOLUÇÃO a) Fórmulas de rotação x = x’cosθ – y’sen θ y = x’sen θ + y’cos θ θ = 45°
  12. 12. RESOLUÇÃO a) Fórmulas de rotação b) Substituição 5x² + 6xy + 5y² - 8 = 0 4x’² + y’² - 4 = 0
  13. 13. COORDENADAS POLARES NO PLANOAté agora, sempre usamos as coordenadas retangulares, onde umponto do plano é representado por um par de números reais querepresentam as distâncias entre um ponto e os eixos coordenados y P(x, y) x
  14. 14. COORDENADAS POLARES NO PLANO P(r, θ) r θ O (Polo) Eixo polar
  15. 15. COORDENADAS POLARES NO PLANO Coordenadas Retangulares ou Cartesianas
  16. 16. COORDENADAS POLARES NO PLANO Coordenadas Polares
  17. 17. COORDENADAS POLARES NO PLANO P(r, θ) r θ O Eixo polar -r P(-r, θ) = P(r, θ + π)
  18. 18. TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS CARTESIANAS - POLARESy x = r.cosθ y = r.senθ r x² + y² = r² θO x
  19. 19. Exercícios
  20. 20. Exercícios
  21. 21. ESTUDO DAS CÔNICAS
  22. 22. PARÁBOLADefiniçãoConsidere-se, em um plano α, um ponto F e uma reta d que não contém F.Denominamos parábola de foco F e diretriz d, ao lugar geométrico dospontos do plano α que eqüidistam de d e F.
  23. 23. PARÁBOLAAplicações Práticas
  24. 24. PARÁBOLAAplicações Práticas
  25. 25. PARÁBOLAAplicações Práticas Cabo principal de uma ponte pênsil (CATENÁRIA) Lançamento de um projétil.
  26. 26. PARÁBOLAElementos da Parábola F: foco; d: diretriz; V: vértice; p: parâmetro que representa a distância do foco a diretriz ( p≠ 0); Reta VF: eixo de simetria da parábola. AA’: corda focal mínima (LACUS RECTUM)
  27. 27. PARÁBOLAEquações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0) 1. O eixo de simetria coincide com o eixo x Considere uma parábola com concavidade voltada para a direita representada no sistema cartesiano xOy. A diretriz tem equação x = -p/2:
  28. 28. PARÁBOLAEquações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0) 1. O eixo de simetria coincide com o eixo x P = (x,y) F = (p/2,0) P’ = (-p/2, y)
  29. 29. PARÁBOLAEquações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0) 1. O eixo de simetria coincide com o eixo x
  30. 30. PARÁBOLAEquações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0) 1. O eixo de simetria coincide com o eixo x
  31. 31. PARÁBOLAEquações da Parábola com vértice V = (xo, yo) 1. O eixo de simetria paralelo ao eixo x y’² = 2px’ Fórmulas de Translação: x = x’ + xo. y = y’ + yo. ( y- yo )² = 2p(x - xo)
  32. 32. PARÁBOLAEquações da Parábola com vértice V = (xo, yo) 1. O eixo de simetria paralelo ao eixo x ( y- yo )² = 2p(x - xo) Desenvolvendo e isolando x:
  33. 33. PARÁBOLAEquações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0) 1. O eixo de simetria coincide com o eixo y Considere uma parábola com concavidade voltada para cima. A diretriz tem equação: y = -p/2 P = (x, y) F = (0, p/2) P’ = (x, -p/2)
  34. 34. PARÁBOLAEquações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0) 1. O eixo de simetria coincide com o eixo y
  35. 35. PARÁBOLAEquações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0) 1. O eixo de simetria coincide com o eixo y
  36. 36. PARÁBOLAEquações da Parábola com vértice V = (xo, yo) 1. O eixo de simetria paralelo ao eixo y x’² = 2py’ Fórmulas de Translação: x = x’ + xo. y = y’ + yo. ( x- xo )² = 2p(y - yo)
  37. 37. PARÁBOLAEquações da Parábola com vértice V = (xo, yo) 1. O eixo de simetria paralelo ao eixo y ( x- xo )² = 2p(y - yo) Desenvolvendo e isolando x:
  38. 38. PARÁBOLAEquações da Parábola (geral): Eixo de simetria paralelo ao eixo x: x = ay² +by + c a > 0 (p > 0) a < 0 (p < 0) p = 1/(2a) Eixo de simetria paralelo ao eixo y: a > 0 (p > 0) a < 0 (p < 0) y = ax² +bx + c
  39. 39. ELIPSEDefiniçãoÉ o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias adois pontos fixos F1 e F2 (focos) do mesmo plano, é uma constante (2ª),onde 2a > d(F1F2). d(P , F1) + d(P, F2) = 2a d(Q , F1) + d(Q, F2) = 2a
  40. 40. ELIPSEAplicações Práticasa) A trajetória dos planetas ao redor do sol não é circular e sim elíptica.a) Arcos em formas de semi-elipse são muito usados na construção depontes de concreto e de pedras (desde os antigos romanos).a) O monumento arquitetônico de Roma antiga foi o Coliseu> A plantabaixa possuía a forma elíptica, cujo eixo maior tinha 188 m e o eixo menor156 m.
  41. 41. ELIPSEElementos da Elipse F1 e F2 : focos; 2c: distância focal (distância entre os focos = d(F1F2)); O: centro da elipse; A1, A2, B1, B2 : vértices da elipse; 2a: eixo maior (distância entre os vértices = d(A1A2)); 2b: eixo menor (distância entre os vértices = d(B1B2)).
  42. 42. ELIPSEElementos da ElipseExcentricidade: a² = b² + c² 0<ε<1
  43. 43. ELIPSEEquações da Elipse de centro na origem O = (0, 0) 1. O eixo maior coincide com o eixo x Sejam: P = (x,y) um ponto qualquer da elipse. F1 = (-c,0); F2 = (c,0) Por definição: d(P , F1) + d(P, F2) = 2a
  44. 44. ELIPSEEquações da Elipse de centro na origem O = (0, 0) 1. O eixo maior coincide com o eixo x
  45. 45. ELIPSEEquações da Elipse de centro na origem O = (0, 0) 1. O eixo maior coincide com o eixo y Sejam: P = (x,y) um ponto qualquer da elipse; F1 = (0, c) e F2 = (0, -c) Por definição e de forma análoga: d(P , F1) + d(P, F2) = 2a
  46. 46. ELIPSEEquações da elipse com origem O’ = (xo, yo) e cujo eixossão paralelos aos eixos coordenados 1. O eixo maior é paralelo ao eixo x Fórmulas de Translação: x = x’ + xo. y = y’ + yo.
  47. 47. ELIPSEEquações da elipse com origem O’ = (xo, yo) e cujo eixossão paralelos aos eixos coordenados 1. O eixo maior é paralelo ao eixo y Fórmulas de Translação: x = x’ + xo. y = y’ + yo.
  48. 48. ELIPSEEquações da Elipse (reduzida): Eixo maior é paralelo ao eixo x: (x – xo)² + (y – yo)² = 1 a² b² Eixo maior é paralelo ao eixo y: (x – xo)² + (y – yo)² = 1 b² a²

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