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    Ecopob5 Ecopob5 Presentation Transcript

    • Poblaciones birth-flow y birth-pulsereproductivas en la Proporción de .75 población hembras .50 .25 J F M A M J J A S O N D población birth-flow
    • Cómo calculamos las fecundidades de las poblaciones birth-flow?De acuerdo con Caswell (2001): donde Fj es la fecundidad de los individuos en la categoría j al tiempo t y pj es la tasa de sobrevivencia de los individuos en la categoría j del tiempo t al tiempo t+1
    • Utilizando en ejemplo anterior: 0.2 0.3 0.2 1. Age1 ed 1 2. Ed 2 Age2 3. Ed 3 Age3 4. Ed 4 Age4 5 10Tiempo t + 1 (i = renglones) Tiempo t (j = columnas) Ed 1 Ed 2 Ed 3 Ed 4 0 0 5 2.1 10 3 Ed 1 a11 a12 Ed 2 a21 0.2 a22 0 a23 0 a0 24 Ed 3 0 a31 0.3 a32 0 a33 a0 34 Ed 4 a41 0 a42 0 a43 0.2 a0 44
    • Población Birth-pulse 1.0reproductivas en la Proporción de .75 población hembras .50 .25 J F M A M J J A S O N D Censo pre-reproductivo censo post- reproductivo
    • ¿Cómo calculamos las fecundidades de las poblaciones birth-pulse?Pre-reproductivo:Post-reproductivo:
    • Usando el mismo ejemplo: 0.2 0.3 0.2 Pre-reproductivo: 1. Age 1 2. Age 2 3. Age 3 4. Age 4 5 10Tiempo t + 1 (i = renglones) Tiempo t (j = columnas) ed 1 ed 2 ed 3 ed 4 0 0 5 10 ed 1 a11 a12 a14 ed 2 a21 0.2 a22 0 a23 0 a0 24 ed 3 0 a31 0.3 a32 0 a33 a0 34 ed 4 a41 0 a42 0 a43 0.2 a0 44
    • 0.2 0.3 0.2 Post- 1. Age 1 2. Age 2 3. Age 3 4. Age 4 reproductivo: 5 10Tiempo t + 1 (i = renglones) Tiempo t (j = columnas ) ed 1 ed 2 ed 3 ed 4 ed 1 0 a11 a0 5 1 10 0.001 12 ed 2 a21 0.2 a0 22 a23 0 a0 24 ed 3 0 a31 0.3 a32 0 a33 a0 34 ed 4 a41 0 a0 42 a43 0.2 a0 44
    • Veamos ahora algo de notación: vector matriz 3 7 6 2n= 2 A= 3 2 1 4 0 1 2 vector transpuesto matriz transpuesta 7 3 0nT = 3 2 4 A = T 6 2 1 2 1 2
    • Proyección del tamaño poblacional utilizando matrices de transición Eigenvalores y eigenvectoresUn vector x es un eigenvector derecho de unamatriz A si: Ax = λx
    • Ax = λx 3 -6 0.5 0.5 = -3 2 -5 0.5 0.5Los eigenvectores de una matriz son vectores cuyamultiplicación por la matriz es equivalente a lamultiplicación por un factor escalar (eigenvalor). 3 -6 0.5 -1.5 = 2 -5 0.5 -1.5 0.5 -1.5 -3 = 0.5 -1.5
    • Ax = λx0.5 = eigenvector derecho (x)0.5-3 = eigenvalor asociado (λ)
    • Un vector y es un eigenvector izquierdo de una matriz A si: yTA = λyT-0.5 1.5 3 -6 = -3 -0.5 1.5 2 -5-0.5 1.5 3 -6 = 1.5 -4.5 2 -5 -3 -0.5 1.5 = 1.5 -4.5
    • yTA = λyT-0.5 1.5 = eigenvector izquierdo (y) -3 = el mismo eigenvalor asociado (λ)!
    • yTA = λyTNota: podemostambién calcular eleigenvector ATy = λyizquierdotransponiendo lamatrizdonde y es un eigenvector izquierdo de A, y λ es su eigenvalor asociado
    • Algunas propiedades interesantes de loseigenvalores y eigenvectores:• Una matriz cuadrada de dimensión m tiene m eigenvalores.• Algunos de ellos pueden ser números complejos (imaginarios).• El eigenvalor dominante es aquel con el mayor valor absoluto.• Cada eigenvalor tiene sus eigenvectores derecho e izquierdo asociados.• Cualquier multiplo escalar distinto de cero de un eigenvector es también un eigenvector.
    • Proyección del tamaño poblacional utilizando matrices de transiciónProyectando el tamaño y estructura de lapoblación de un tiempo (t) al siguiente (t+1): n(t+1) = A × n(t) 0 2 3 100 130 0.5 0 0 × 50 = 50 0 0.5 0.1 10 26 A × n(t) n(t+1)
    • Ahora, proyectemos el tamaño poblacional más de unaunidad de tiempo: n(t+2) = A × n(t+1) 0 2 3 130 178 0.5 0 0 × 50 = 65 0 0.5 0.1 26 27.6 A × n(t+1) n(t+2) años (unidades de tiempo) A n(t) 1 2 3 10 15 20 24 0 2 3 100 130 178 213 1226 4199 14376 38482 0.5 0 0 50 50 65 89 480 1641 5619.7 15043 0 0.5 0.1 10 26 27.6 35.3 203 696 2383 6378.9
    • Ahora, calculemos la proporción de cambio de cada categoría en el tiempo (Nt+1 / Nt) Estructura de la población a través del tiempo (años) n(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 130 178 213 284 357 457.79 587.11 748 959.5228 1226.046 50 50 65 89 106 142 178.44 228.89 294 374.2349 479.7614 10 26 27.6 35.3 48 58 76.745 96.894 124 159.1921 203.0367Nt+1 / Nt 1.30 1.37 1.20 1.33 1.26 1.28 1.28 1.27 1.28 1.28 1.28Nt+1 / Nt 1.00 1.30 1.37 1.20 1.33 1.26 1.28 1.28 1.27 1.28 1.28Nt+1 / Nt 2.60 1.06 1.28 1.36 1.21 1.32 1.26 1.28 1.28 1.28 1.28 Nt+1 / Nt = λ tasa multiplicativa por unidad de tiempo λ = 1.28
    • Por medio de este procedimiento iterativo (llamado“power method”) podemos estimar el eigenvalordominante de la matriz.El eigenvalor dominante de la matriz es un estimado dela tasa finita de crecimiento poblacional (λ). 350 300 Number of individuals 250 Eventualmente, 200 Cat. 1 las tres 150 Cat. 2 Cat. 3 categorías 100 crecen a la 50 misma tasa constante. Esta 0 1 4 7 10 13 16 19 22 tasa constante Time steps (years) es λ.
    • ¿Y qué hay acerca de sus eigenvectores derecho e izquierdo asociados? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 130 178 213 284 357 457.79 587.11 748 959.5228 1226.046 50 50 65 89 106 142 178.44 228.89 294 374.2349 479.7614 10 26 27.6 35.3 48 58 76.745 96.894 124 159.1921 203.0367Nt+1 / Nt 1.30 1.37 1.20 1.33 1.26 1.28 1.28 1.27 1.28 1.28 1.28Nt+1 / Nt 1.00 1.30 1.37 1.20 1.33 1.26 1.28 1.28 1.27 1.28 1.28Nt+1 / Nt 2.60 1.06 1.28 1.36 1.21 1.32 1.26 1.28 1.28 1.28 1.28 eigenvector derecho expresado como 0.64 Estructura 0.25 = w estable por proporciones = 0.11 estadios
    • Una población con tasas vitales constantes y donde el crecimiento es ilimitado eventualmente alcanzará una ESTRUCTURA ESTABLE POR ESTADIOS (w) eincrementará sus números a un VALOR CONSTANTE DE λ, independientemente de las condiciones iniciales. 350 λ = 1.28 300Number of individuals 250 200 Cat. 1 Cat. 2 150 Cat. 3 100 0.64 50 w = 0.25 0 0.11 1 4 7 10 13 16 19 22 Time steps (years)
    • ¿Y qué hay acerca de su eigenvector izquierdo asociado? yTA = λyT ATy = λy Matriztranspuesta Número de iteraciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120 0.5 0 100 25 103 100 129 180 211.91 284.65 357 458.1125 588.0488 749.1082 960.73272 0 0.5 50 205 201 258 360 424 569.3 714.43 916 1176.098 1498.216 1921.465 2454.8263 0 0.1 10 301 105 318 333 420 581.22 693.86 923 1163.983 1490.736 1913.22 2438.646 0.25 4.10 0.98 1.28 1.40 1.18 1.34 1.25 1.28 1.28 1.27 1.28 1.28 4.10 0.98 1.28 1.40 1.18 1.34 1.25 1.28 1.28 1.27 1.28 1.28 1.28 30.10 0.35 3.03 1.05 1.26 1.39 1.19 1.33 1.26 1.28 1.28 1.27 1.28 eigenvector izquierdo
    • 960.7327eigenvector 2454.826 2438.646izquierdo =eigenvector 1 Valorizquierdo 2.558188 = v reproductivo 2.544323estandarizado = por categoría El valor reproductivo (v) puede ser definido como el número de crías que un organismo promedio en una categoría particular se espera que produzca durante el resto de su vida.
    • Hasta ahora, hemos obtenido: 0 2 3 0.5 0 0 λ = 1.28 0 0.5 0.1 Estructura 0.64w estable por = 0.25 estadios 0.11 Valor 1v reproductivo = 2.558188 por categoría 2.544323
    • Supuestos de este modelo demográfico:• Crecimiento poblacional exponencial (ilimitado).• Las tasas de sobrevivencia, fecundidad y crecimiento son constantes a través del tiempo.• Poblaciones cerradas (sin migración).• Apareamiento aleatorio.• Poblaciones sin estructura genética (i.e., todos los genotipos dentro de una población tienen iguales tasas vitales).