11 logica

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Apostila de logica

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11 logica

  1. 1. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS PÚBLICOS – LÓGICA PARA CONCURSOS - LÓGICA – RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO –LÓGICA MATEMÁTICA – LÓGICA COMENTADA – RACIOCÍNIO LÓGICO COMENTADO – PROVAS DE LÓGICA – PROVAS DERACIOCÍNIO LÓGICO – PROPOSIÇÕES LÓGICAS – ARGUMENTOS LÓGICOSMATEMÁTICA E LÓGICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS É AQUI CURSOS DE MATEMÁTICA E LÓGICA ONLINE Excelente didática para garantir sua aprovação. Acesse www.professorfabiano.com Lógica – Questões ComentadasTipo de questões: Raciocínio e interpretação.(CESPE) No livro Alice no País dos Enigmas, o professor de matemática e lógica Raymond Smullyan apresentavários desafios ao raciocínio lógico que têm como objetivo distinguir-se entre verdadeiro e falso. Considere oseguinte desafio inspirado nos enigmas de Smullyan.Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, elafala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando asegunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, falasomente verdades.Com base no texto acima, julgue o item a seguir.Se a primeira pessoa diz “Nossas fichas não são da mesma cor” e a segunda pessoa diz “Nossas fichas são damesma cor”, então, pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade.Possibilidades para portar fichas brancas (B) ou pretas (P)1ª pessoa 2ª pessoaB(V) B( F )B(V) P(V)P(F) B(F)P(F) P( V )Tem que achar qual dessas possibilidades que “casam” com as frases.1ª Opção: Ambos com fichas da mesma cor e ambos falando a verdade. Não condiz com a expressão daprimeira pessoa:2ª opção: Fichas de cores diferentes, com o segundo dizendo a verdade. Não condiz com a expressão dosegundo.3ª opção: Fichas de cores diferentes, ambos mentindo. Não condiz com a expressão do primeiro4ª opção: Condiz com expressões.Conclusão: Tanto o primeiro quanto o segundo portam fichas pretas. O segundo fala a verdade.R: Certo(FGV) Os habitantes de certo país podem ser classificados em políticos e não-políticos.Todos os políticos sempre mentem e todos os não-políticos sempre falam a verdade. Umestrangeiro, em visita ao referido país, encontra-se com 3 nativos, I, II e III. Perguntando aonativo I se ele é político, o estrangeiro recebe uma resposta que não consegue ouvir direito.
  2. 2. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS PÚBLICOS – LÓGICA PARA CONCURSOS - LÓGICA – RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO –LÓGICA MATEMÁTICA – LÓGICA COMENTADA – RACIOCÍNIO LÓGICO COMENTADO – PROVAS DE LÓGICA – PROVAS DERACIOCÍNIO LÓGICO – PROPOSIÇÕES LÓGICAS – ARGUMENTOS LÓGICOSO nativo II informa, então, que I negou ser um político. Mas o nativo III afirma que I érealmente um político. Quantos dos 3 nativos são políticos?a. zero b. um c. dois d. NDAO que o nativo1 poderia ter dito?Se ele for um político, só poderia ter dito que não é um político ou que é um não político.Se ele for um não político, poderia dizer também que não é um político ou que é um não políticoSe o nativo II fala a verdade, pois exprime uma resposta possível para o nativo I, então este não épolítico.Agora analisaremos o nativo IIISe o nativo I for um político.O nativo III tem que ser um não político, pois tem que falar a verdade sobre a expressão de I.Se o nativo I for um não político.O nativo III tem que ser um político, pois tem que negar a condição do nativo I.Ou seja, A condição do nativo I é contrária a do nativo III, enquanto que o nativo II não é político,pois fala a verdade.Então temos 1 político e 2 não-políticosResposta: Letra B(FGV) Alguém afirmou certa feita que Toda pessoa que diz que não bebe não está sendohonesta. Pode-se concluir dessa premissa que:a. Uma pessoa que diz que bebe está sendo honesta.b. Uma pessoa está sendo honesta se diz que bebe.
  3. 3. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS PÚBLICOS – LÓGICA PARA CONCURSOS - LÓGICA – RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO –LÓGICA MATEMÁTICA – LÓGICA COMENTADA – RACIOCÍNIO LÓGICO COMENTADO – PROVAS DE LÓGICA – PROVAS DERACIOCÍNIO LÓGICO – PROPOSIÇÕES LÓGICAS – ARGUMENTOS LÓGICOSc. Não existem pessoas honestas que dizem que não bebem.d. NDAColocando em diagramas, teremos que ~H H Diz ~BAlternativa a. Se uma pessoa diz que bebe, pode estar ou não estar sendo honesta.Alternativa b. Mesmo caso da anteriorAlternativa c. Dizer que não existem pessoas honestas que dizem que não bebem, ou seja, não hápessoa que seja honesta e que diga que não bebe ao mesmo tempo. Opção correta, pois o conjunto dosque não bebem não chega aos honestos(FGV) O argumento que se segue foi extraído do livro “As aventuras de Huckleberry Finn”, deMark Twain. Nele, o personagem Huck Finn afirma:- Jim disse que as abelhas não picariam idiotas; mas eu não acreditei nisso, porque eumesmo já tentei muitas vezes e elas não me picaram.Analisando o argumento, podemos dizer que: a. Uma premissa implícita é que Huck Finn é idiota. b. Uma premissa implícita é que Huck Finn não é idiota. c. A conclusão do argumento é que Jim é idiota. d. A conclusão do argumento é que Huck Finn é inteligente.O personagem está negando a afirmação: as abelhas não picariam idiotas.Quando se nega uma negação, tem-se uma afirmação, pois uma negação elimina a outra. Ou seja,para o personagem: As abelhas picariam idiotas.Como ele disse que elas não o picaram, então é sinal que ele está afirmando que não é idiota.<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> Proposições Lógicas e Conectivos (Breve teoria)Valorações de proposições: V ou F
  4. 4. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS PÚBLICOS – LÓGICA PARA CONCURSOS - LÓGICA – RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO –LÓGICA MATEMÁTICA – LÓGICA COMENTADA – RACIOCÍNIO LÓGICO COMENTADO – PROVAS DE LÓGICA – PROVAS DERACIOCÍNIO LÓGICO – PROPOSIÇÕES LÓGICAS – ARGUMENTOS LÓGICOSLembre que toda proposição deve ser uma afirmação. A lógica tradicional não trabalha com proposições interrogativas.Tabela Verdade: Como a valoração sempre será V ou F. Para saber o número de linhas da tabelaverdade, usa-se a fórmula 2 n , onde n é o número de proposições. Exemplo: se tivermos A e B, n=2, atabela terá 4 linhas. Se tivermos A,B,C e D, n=4, então a tabela terá 16 linhas.Conectivos:Negação ( ¬ ) Para negar uma proposição, se ela for V vira F; se F vira V. Verifica-se a negação quando aparece elemento negativo: não, é falso que... Exemplo: Dada a proposição A, então sua negação(contradição) será ¬ A A ¬AA B ~A ~BV V F FV F F VF V V FF F V VConjunção ( ∧ ) Só será verdadeira, se ambas forem verdadeiras. Está relacionada com aintersecção de conjuntos. Verifica-se a conjunção quando aparece elemento aditivo: e, mas, contudo... Exemplo: Dadas as proposições A e B, então a conjunção será A ∧ B A B Observe que : A∧B A ∧ B= B ∧ A (São equivalentes)A B A∧BV V VV F FF V FF F FDisjunção Inclusiva ( ∨ ) Será verdadeira se uma ou outra proposição for verdadeira; ou seja, sóserá falsa se ambas forem falsas. Está relacionada com a união de conjuntos. Verifica-se a conjunção quando aparece elemento alternativo: .... ou .... Exemplo: Dadas as proposições A e B, então a disjunção será A ∨ B A B Observe que : A ∨ B= B ∨ A (São equivalentes)
  5. 5. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS PÚBLICOS – LÓGICA PARA CONCURSOS - LÓGICA – RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO –LÓGICA MATEMÁTICA – LÓGICA COMENTADA – RACIOCÍNIO LÓGICO COMENTADO – PROVAS DE LÓGICA – PROVAS DERACIOCÍNIO LÓGICO – PROPOSIÇÕES LÓGICAS – ARGUMENTOS LÓGICOS A∨ BA B A∨BV V VV F VF V VF F FDisjunção Exclusiva ( ∨ ) Será falsa quando ambos falsos e também quando ambos verdadeiros.Pois não há intersecção entre os conjuntos. Verifica-se a conjunção quando aparece elemento alternativo: ou.... ou .... É excludente, ou acontece uma coisa A ou outra B. Se A acontece, B não acontece e vice-versa. Não pode ambos acontecerem ou ambos não acontecerem. A BA B A∨BV V FV F VF V VF F FImplicação ( → ) Só será falsa se uma proposição verdadeira implicar uma falsa. Disso conclui-seque sempre que a primeira proposição for falsa, a implicação será verdadeira. Em conjuntos, aprimeira proposição está contida na segunda, ou seja, a segunda contém a primeira. Verifica-se a implicação quando aparecem: se... então; Se A,B; A implica B; A é suficiente paraB; B é necessária para A... (sempre que pudermos substituir o conectivo da frase por se...então) A primeira proposição é condição suficiente, a segunda é condição necessária Exemplo: Dadas as proposições A e B, então a implicação será A → B Observe que : A → B é diferente de B → A B AA B A→B
  6. 6. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS PÚBLICOS – LÓGICA PARA CONCURSOS - LÓGICA – RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO –LÓGICA MATEMÁTICA – LÓGICA COMENTADA – RACIOCÍNIO LÓGICO COMENTADO – PROVAS DE LÓGICA – PROVAS DERACIOCÍNIO LÓGICO – PROPOSIÇÕES LÓGICAS – ARGUMENTOS LÓGICOSV V VV F FF V VF F VSe a condição suficiente é Falsa, a implicação é verdadeiraSe a condição necessária é Verdadeira, a implicação é verdadeira.Vale salientar para um detalhe importante na implicação.Se afirmamos a condição suficiente, afirmamos a necessária.Se negamos a necessária, negamos a suficiente.As outras possibilidades acarretam argumentos inválidos, pois nada podemos afirmarSe negamos condição suficiente, nada podemos afirmar sobre a necessáriaSe afirmamos condição necessária, nada podemos afirmar sobre a suficiente.Dupla implicação ( ↔ )Será verdadeira sempre que ambas proposições forem idênticas. Por isso também é chamada deidentidade. Falso com Falso = Verdadeiro ; verdadeiro com verdadeiro = verdadeiro; falso nos outroscasos. Em diagrama de conjuntos é representado como dois conjuntos idênticos.Verifica-se a identidade quando aparecem: A se e somente se B; A é idêntico a B... A e B são condições necessária e suficiente. Exemplo: Dadas as proposições A e B, então a identidade será A ↔ B A ↔B Observe que : A ↔ B= B ↔ A (São equivalentes)A B A ↔BV V VV F FF V FF F V<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>(FGV) Considere o seguinte argumento:“ Se a companhia K. Bide for capaz de comprar matéria-prima a um preço favorável, u se asvendas aumentarem, então a K. Bide não sofrerá perdas. Se houver falta de material, a K.
  7. 7. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS PÚBLICOS – LÓGICA PARA CONCURSOS - LÓGICA – RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO –LÓGICA MATEMÁTICA – LÓGICA COMENTADA – RACIOCÍNIO LÓGICO COMENTADO – PROVAS DE LÓGICA – PROVAS DERACIOCÍNIO LÓGICO – PROPOSIÇÕES LÓGICAS – ARGUMENTOS LÓGICOSBide não será capaz de comprar matéria-prima a um preço favorável. No momento, não háfalta de materiais. Logo, a K.Bide não sofrerá perdas”. a. Trata-se de um argumento válido, apesar da existência de uma premissa discutível. b. Trata-se de um argumento válido, com todas as premissas verdadeiras. c. Trata-se de um argumento não válido d. NDAA: A companhia K. Bide é capaz de comprar matéria-prima a um preço favorávelB: As vendas aumentamC: A companhia sofrerá perdas.D: Haverá falta de material( A ∨ B ) →~ C ; D →~ A; ~ D f ~ CNa última premissa negou-se a condição suficiente, ou seja, ~D... sabe-se que Se D, então ~A , mas como senega a condição suficiente, nada se pode afirmar sobre a negação ou não da necessária. Argumento inválido. (FGV) Considere o seguinte argumento:“Se os métodos de trabalho forem anti-econômicos, então eles não serão socialmente desejáveis. Se osmétodos forem enfadonhos, então serão prejudiciais à iniciativa. Se forem prejudiciais à iniciativa, então serãoanti-econômicos. Se os métodos de trabalho forem meramente mecânicos, então serão enfadonhos. Portanto,se os métodos de trabalho forem meramente mecânicos, então não serão socialmente desejáveis.” a. Trata-se de um argumento válido. b. Trata-se de um argumento não-válido, em razão da existência de premissas falsas. c. Trata-se de um argumento não-válido, em razão da falsidade da conclusão. d. NDAA: Métodos de trabalho anti-econômicosB: Métodos de trabalho socialmente desejáveisC: Métodos de trabalho enfadonhosD: Métodos de trabalho prejudiciais à iniciativaE: Métodos de trabalho meramente mecânicosA →~ B; C → D; D → A; E → C f E →~ BAnalisando por diagramas que é o método mais rápidoOrdenando as premissas em uma ordem melhorSe E, então CSe C, então DSe D, então ASe A, então ~BOra, é E, logo é ~BA conclusão deriva das premissas, é argumento válido. Afirmou-se a condição suficiente, afirma-se tudo. E C D A ~B
  8. 8. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS PÚBLICOS – LÓGICA PARA CONCURSOS - LÓGICA – RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO –LÓGICA MATEMÁTICA – LÓGICA COMENTADA – RACIOCÍNIO LÓGICO COMENTADO – PROVAS DE LÓGICA – PROVAS DERACIOCÍNIO LÓGICO – PROPOSIÇÕES LÓGICAS – ARGUMENTOS LÓGICOS(CESPE)Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) oufalsa (F), mas não, como ambas. Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não sãoproposições porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As proposições sãorepresentadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto — A, B, C etc. Uma proposição da forma “A ouB” é F se A e B forem F, caso contrário é V; e uma proposição da forma “Se A então B” é F se A for V e B for F,caso contrário é V. Um raciocínio lógico considerado correto é formado por uma seqüênciade proposições tais que a última proposição é verdadeira sempre que as proposições anteriores na seqüênciaforem verdadeiras.Considerando as informações contidas no texto acima, julgue os itens subseqüentes.É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes:Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso.Maria é alta.Portanto José será aprovado no concurso.O diagrama que expressa esta situação é o seguinte. Certo, pois o argumento é válido. Como Maria é alta, então pode-se concluir que José foi aprovado no concurso, pois se Antônio é uma coisa ou outra acontecesse, ele seria bonito Maria é aprovado. Alta R: Certo José será aprovado(CESPE) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes:Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego.Ela conseguiu um emprego.Portanto, Célia tem um bom currículo.A apresentação em diagrama de conjuntos deste problema é a seguinte Célia tem um bom currículo Ela conseguirá um empregoExiste a possibilidade de Célia conseguir um emprego sem possuir um bom currículo, então aconclusão não é válida. R: Errado(CESPE) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.“A frase dentro destas aspas é uma mentira.”A expressão X + Y é positiva.O valor de 4 + 3 = 7 .Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.O que é isto?
  9. 9. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS PÚBLICOS – LÓGICA PARA CONCURSOS - LÓGICA – RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO –LÓGICA MATEMÁTICA – LÓGICA COMENTADA – RACIOCÍNIO LÓGICO COMENTADO – PROVAS DE LÓGICA – PROVAS DERACIOCÍNIO LÓGICO – PROPOSIÇÕES LÓGICAS – ARGUMENTOS LÓGICOSPara ser uma proposição, deve ser passível de ser julgada como verdadeira ou falsa.A suposta proposição “a frase dentro destas aspas é uma mentira” não possibilita tal julgamento,conforme explicitado no texto.A segunda que diz a expressão X + Y é positiva é uma sentença aberta e para ser passível dejulgamento deve determinar os intervalos de X e Y que são variáveis. Como não determina, nãopossibilita o julgamento.A terceira e quarta frases possibilitam julgamentos, então são proposições.A última é uma frase interrogativa e, conforme também ao texto, verifica-se que não possibilita ojulgamento de verdadeira ou falsa.Há somente duas proposiçõesR: Errado(CESPE) Na lógica de primeira ordem, uma proposição é funcional quando é expressa por um predicado quecontém um número finito de variáveis e é interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são atribuídosvalores às variáveis e um significado ao predicado. Por exemplo, a proposição “Para qualquer x, tem-se que x -2 > 0” possui interpretação V quando x é um número real maior do que 2 e possui interpretação F quando xpertence, por exemplo, ao conjunto {-4, -3, -2, -1, 0}.Com base nessas informações, julgue os próximos itens. 2A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que x > x” é verdadeira para todos os valores de x que estão  5 3 1no conjunto 5, ,3, ,2,  .  2 2 2 2 1 1 1 1É válida para quase todos os valores, com exceção de , pois   = que é menor que 2 2 4 2R: Errado(CESPE) A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é verdadeira paraelementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.Ser divisíveis por 2 e 3, os números devem ser divisíveis pelos dois números ao mesmo tempo, o quenão ocorre com nenhum elemento do conjunto.R: Errado(CESPE) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas nãocomo ambas. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, porexemplo, P, Q, R etc. Se a conexão de duas proposições é feita pela preposição “e”, simbolizada usualmentepor v, então obtém-se a forma PvQ, lida como “P e Q” e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrário, é F.Se a conexão for feita pela preposição “ou”, simbolizada usualmente por ∨ , então obtém-se a forma P ∨ Q, lidacomo “P ou Q” e avaliada como F se P e Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição ésimbolizada por ¬P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V. Um argumento é uma seqüência deproposições P1, P2, ..., Pn, chamadas premissas, e uma proposição Q, chamada conclusão. Um argumento éválido, se Q é V sempre que P1, P2, ..., Pn forem V, caso contrário, não é argumento válido. A partir dessesconceitos, julgue os próximos itens.Considere as seguintes proposições:P: “Mara trabalha” e Q: “Mara ganha dinheiro”
  10. 10. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS PÚBLICOS – LÓGICA PARA CONCURSOS - LÓGICA – RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO –LÓGICA MATEMÁTICA – LÓGICA COMENTADA – RACIOCÍNIO LÓGICO COMENTADO – PROVAS DE LÓGICA – PROVAS DERACIOCÍNIO LÓGICO – PROPOSIÇÕES LÓGICAS – ARGUMENTOS LÓGICOSNessa situação, é válido o argumento em que as premissas são “Mara não trabalha ou Mara ganha dinheiro” e“Mara não trabalha”, e a conclusão é “Mara não ganha dinheiro”.A primeira avaliação que se faz quando se trata de “ou” é se vem a ser inclusivo ou exclusivo. Quando forexclusivo, uma opção exclui a outro e quando é inclusivo, é porque é possível uma condição existir ao mesmotempo da outra. No caso acima, é possível que Mara ganhe dinheiro mesmo sem trabalhar, por exemplo, se foraposentada, p. ex. Então não posso afirmar que Mara não ganha dinheiro se não trabalha, pois é possívelganhar dinheiro sem estar trabalhando. Resp: E(CESPE) A proposição simbólica (P ∧ Q) ∨ R possui, no máximo, 4 avaliações V.Fazendo a tabela verdade para três proposições, teremos um número de linhas de 2 3 = 8linhas P Q R (P ∧ Q) (PvQ) ∨ R V V V V V V V F V V V F V F V V F F F F F V V F V F V F F F F F V F V F F F F FTeremos 5 avaliações verdade, Resp: E(CESPE) O quadro abaixo pode ser completamente preenchido com algarismos de 1 a 6, de modo que cadalinha e cada coluna tenham sempre algarismos diferentes.1 3 2 5 6 1 1 6 55 4 2 3 2 44 2 3Primeiro passo é avaliar em cada quadrícula com numeração se não há números repetidos na respectiva linhaou coluna. Depois disso é dar prosseguimento ao preenchimento do painel a partir de quadrados vazios ondeexistem a maior quantidade de números diferentes na linha e coluna do mesmo. Segue preenchimento.1 6 4 5 3 23 2 5 6 4 12 1 6 3 5 45 4 3 1 2 66 3 2 4 1 54 5 1 2 6 3Como há a possibilidade do preenchimento.... Resp: C
  11. 11. RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS PÚBLICOS – LÓGICA PARA CONCURSOS - LÓGICA – RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO –LÓGICA MATEMÁTICA – LÓGICA COMENTADA – RACIOCÍNIO LÓGICO COMENTADO – PROVAS DE LÓGICA – PROVAS DERACIOCÍNIO LÓGICO – PROPOSIÇÕES LÓGICAS – ARGUMENTOS LÓGICOS(CESPE) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:(I) O BB foi criado em 1980.(II) Faça seu trabalho corretamente.(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.As proposições lógicas são passíveis de julgamento, ou seja, de que digamos verdadeiro ou falso a elas.A única que não é possível é a número II. Resp: C

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