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Gauss jordan

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Gauss jordan Gauss jordan Presentation Transcript

  • Esta presentación, contiene el apoyo teórico básico sobre el método de Gauss-Jordan para resolución de sistemas de ecuaciones.
    El objetivo es, que al final de tema puedas aplicar este método para resolver cualquier sistema de ecuaciones
  • El primer paso para resolver un sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss-Jordan es escribir la matriz aumentada del sistema.
    Sistema de ecuaciones a resolver
    Matriz aumentada del sistema
    La matriz aumentada se obtiene con los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes de cada ecuación.
    El sistema debe estar ordenado respecto a las incógnitas
  • Los siguientes pasos consistirán en aplicar las transformaciones básicas de matrices. El propósito es obtener una matriz identidad en el lado izquierdo de la matriz aumentada.
    • Multiplicar o dividir un renglón por un escalar diferente a cero.
    • Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
    • Intercambiar dos renglones.
    Transformaciones Básicas
  • Ri Rj
    Las transformaciones básicas tienen una notación estándar que nos permite identificarlas dentro del proceso de eliminación Gaussiana.
    RicRi
    “Reemplazar el i-ésimo renglón por ese mismo renglón multiplicado por el escalar c”.
    RjRj+cRi
    “Reemplazar el j-ésimo renglón por la suma del renglón j más el renglón i multiplicado por el escalar c”.
    “Intercambiar los renglones i y j”.
  • Las transformaciones deberán aplicarse de manera tal que, no se nos olvide, obtengamos una matriz identidad de lado izquierdo de la matriz adjunta
    Dividir el primer renglón para hacer el coeficiente de x1 igual a 1
    1
    Al renglón 1 lo dividimos entre 2
  • Eliminar los términos de x1 de los demás renglones, es decir,
    hacer los coeficientes iguales a 0 multiplicando el primer renglón
    por los números adecuados y sumándolo al segundo y tercer renglón.
    2
    Al renglón 2 le restamos 4 veces el renglón 1
    Al renglón 3 le restamos 3 veces el renglón 1
  • Dividimos el segundo renglón para hacer el coeficiente de x2 igual a 1.
    3
    Al renglón 2 lo dividimos entre -3
  • Hacemos cero los coeficientes de x2 en los renglones 1 y 3.
    4
    Al renglón 1 le restamos 2 veces el renglón 2
    Al renglón 3 le sumamos 5 veces el renglón 2
  • Dividimos el tercer renglón para hacer el coeficiente de x3 igual a 1.
    5
    Al renglón 3 lo dividimos entre -1
  • Hacemos cero los coeficientes de x3 en los renglones 1 y 2.
    6
    Al renglón 1 le sumamos el renglón 3
    Al renglón 2 le restamos 2 veces el renglón 3
  • Observemos la última matriz que hemos obtenido
    Valores independientes
    Una vez que obtenemos la matriz identidad del lado derecho de la matriz adjunta, podemos dar por concluido el método de Gauss-Jordan para resolver el sistema de ecuaciones
    Matriz identidad
  • ¿Cuál es la solución al sistema de ecuaciones planteado?
    X1
    X2
    X3
    C
    Ecuación 1
    Reconstruimos el sistema de ecuaciones a partir de la matriz
    Ecuación 2
    Ecuación 3
    Solución al sistema de ecuaciones