Gauss jordan

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Gauss jordan

  1. 1. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Matrices: Gauss-Jordan Esta presentación, contiene el apoyo teórico básico sobre el método de Gauss-Jordan para resolución de sistemas de ecuaciones. El objetivo es, que al final de tema puedas aplicar este método para resolver cualquier sistema de ecuaciones
  2. 2. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Matrices: Gauss-Jordan El primer paso para resolver un sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss-Jordan es escribir la matriz aumentada del sistema. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 4 6 18 4 5 6 24 3 2 4 x x x x x x x x x          Matriz aumentada del sistema 2 4 6 | 18 4 5 6 | 24 3 1 2 | 4          Sistema de ecuaciones a resolver La matriz aumentada se obtiene con los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes de cada ecuación. El sistema debe estar ordenado respecto a las incógnitas
  3. 3. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Matrices: Gauss-Jordan Los siguientes pasos consistirán en aplicar las transformaciones básicas de matrices. El propósito es obtener una matriz identidad en el lado izquierdo de la matriz aumentada.  Multiplicar o dividir un renglón por un escalar diferente a cero.  Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.  Intercambiar dos renglones. Transformaciones Básicas
  4. 4. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Matrices: Gauss-Jordan Las transformaciones básicas tienen una notación estándar que nos permite identificarlas dentro del proceso de eliminación Gaussiana. RicRi “Reemplazar el i-ésimo renglón por ese mismo renglón multiplicado por el escalar c”. RjRj+cRi “Reemplazar el j-ésimo renglón por la suma del renglón j más el renglón i multiplicado por el escalar c”. Ri Rj “Intercambiar los renglones i y j”.
  5. 5. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Matrices: Gauss-Jordan Las transformaciones deberán aplicarse de manera tal que, no se nos olvide, obtengamos una matriz identidad de lado izquierdo de la matriz adjunta 1 Dividir el primer renglón para hacer el coeficiente de x1 igual a 1 2 4 6 | 18 4 5 6 | 24 3 1 2 | 4          1 2 3 | 9 4 5 6 | 24 3 1 2 | 4          1 1 1 2 R R Al renglón 1 lo dividimos entre 2
  6. 6. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Matrices: Gauss-Jordan 2 Eliminar los términos de x1 de los demás renglones, es decir, hacer los coeficientes iguales a 0 multiplicando el primer renglón por los números adecuados y sumándolo al segundo y tercer renglón. 1 2 3 | 9 0 3 6 | 12 0 5 11 | 23             2 2 1 3 3 1 4 3 R R R R R R     1 2 3 | 9 4 5 6 | 24 3 1 2 | 4          Al renglón 3 le restamos 3 veces el renglón 1 Al renglón 2 le restamos 4 veces el renglón 1
  7. 7. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Matrices: Gauss-Jordan 3 Dividimos el segundo renglón para hacer el coeficiente de x2 igual a 1. Al renglón 2 lo dividimos entre -3 1 2 3 | 9 0 1 2 | 4 0 5 11 | 23            2 2 1 3 R R  1 2 3 | 9 0 3 6 | 12 0 5 11 | 23            
  8. 8. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Matrices: Gauss-Jordan 4 Hacemos cero los coeficientes de x2 en los renglones 1 y 3. Al renglón 3 le sumamos 5 veces el renglón 2 Al renglón 1 le restamos 2 veces el renglón 2 1 0 1 | 1 0 1 2 | 4 0 0 1 | 3           1 1 22R R R  3 3 25R R R  1 2 3 | 9 0 1 2 | 4 0 5 11 | 23           
  9. 9. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Matrices: Gauss-Jordan 5 Dividimos el tercer renglón para hacer el coeficiente de x3 igual a 1. Al renglón 3 lo dividimos entre -1 1 0 1 | 1 0 1 2 | 4 0 0 1 | 3          3 3R R  1 0 1 | 1 0 1 2 | 4 0 0 1 | 3          
  10. 10. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Matrices: Gauss-Jordan 1 0 0 | 4 0 1 0 | 2 0 0 1 | 3         6 Hacemos cero los coeficientes de x3 en los renglones 1 y 2. Al renglón 2 le restamos 2 veces el renglón 3 Al renglón 1 le sumamos el renglón 3 2 2 32R R R  1 0 1 | 1 0 1 2 | 4 0 0 1 | 3          1 1 3R R R 
  11. 11. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Matrices: Gauss-Jordan Observemos la última matriz que hemos obtenido Matriz identidad Valores independientes Una vez que obtenemos la matriz identidad del lado derecho de la matriz adjunta, podemos dar por concluido el método de Gauss-Jordan para resolver el sistema de ecuaciones 1 0 0 | 4 0 1 0 | 2 0 0 1 | 3        
  12. 12. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Matrices: Gauss-Jordan ¿Cuál es la solución al sistema de ecuaciones planteado? 1 0 0 | 4 0 1 0 | 2 0 0 1 | 3         X1 X2 X3 Ecuación 1 Ecuación 2 Ecuación 3 C 1 2 3 4 2 3 x x x     Reconstruimos el sistema de ecuaciones a partir de la matriz Solución al sistema de ecuaciones

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