Aplicaciones de la primera y segunda derivada en las graficas de funciones

Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 1
Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas
Núcleo Barinas
Asignatura Matemática I código 21214 –Primera Versión 14-06-08
Facilitador: Licdo Eliezer Montoya Sección(es) C y H
Aplicaciones de la Derivada: Representación Gráfica de Funciones)
usando el criterio de la primera y segunda derivada Representación
Gráfica de Funciones)
Para la representación gráfica de funciones utilizando la derivada se siguen los
siguientes pasos:
1) Determinar el dominio y el rango de la función
2) Calcular los puntos de corte:
a) Con el eje x (se hace y = 0)
b) Con el eje y (se hace x = 0)
3) Determinar puntos críticos (Xc ) y puntos de discontinuidad (si
existen)
Punto Crítico: Un valor c perteneciente al dominio de una función se
llama punto critico si f´(c) = 0 ó f´(c) no existe
4) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
a) Los puntos críticos y los valores donde el dominio de la función es
discontinua dividen el dominio en intervalos.
b) Se examina el signo de f´(x) en cada uno de esos intervalos , tomando
cualquier valor de x perteneciente a dicho intervalo (supongamos x=a) y
sustituyendo luego en f´(x)
c) Si f´(a) > 0 (la función crece en el intervalo.
Si f´(a) < 0 la función decrece en el intervalo

5) Hallar punto(s) máximo(s) y mínimo(s) relativo(s):
Se puede maximizar o minimizar
global y localmente una función
representativa de algún contenido
específico. Por ejemplo, en la
siguiente gráfica se representan
Máximos y Mínimos locales de la
función : donde y son
Mínimos de ; y son
Máximos de .
Según el criterio de la primera derivada:
a) Cuando la función pasa de ser creciente a ser decreciente, es decir,
cuando f´(x) > 0 pasa f´(x) < 0, entonces en el punto critico (a) se
considera que hay un máximo relativo. (esto es P(a, f´(a)) es un máximo
relativo)
b) Cuando la función pasa de ser decreciente a ser decreciente, es decir,
cuando f´(x) <0 pasa f´(x)> 0, entonces en el punto critico (b) se
considera que hay un mínimo relativo (esto es P(b, f´(b)) es un mínimo
relativo )

Según el criterio de la segunda derivada
*Se calcula )´´(xf y se halla la imagen de cada punto critico a través
de )´´(xf .
*Si 0)´´( >af entonces f(a) es un mínimo relativo
* Si 0)´´( <af entonces f(a) es un máximo relativo (suponiendo que a es
un punto critico).
6) Determinar puntos de inflexión: Son los valores de x en donde la
segunda derivada es igual a cero )0)´´(( =xf ó )´´(xf no existe y hay un
cambio en la concavidad.
7) Estudiar la concavidad de la función:
Una vez determinados los puntos de inflexión ( si los hay), se debe tener
presente que estos dividen el dominio de la función en intervalos; se
‘procede a estudiar el signo de )´´(xf en cada intervalo:
*Si 0)´´( >xf entonces f(x) es cóncava hacia arriba.
*Si 0)´´( <xf entonces f(x) es cóncava hacia abajo.
En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene
que Para estudiar el comportamiento de la curva que representa a la función
en ciertos intervalos, y en definitiva encontrar máximos y mínimos, debemos
realizar el siguiente procedimiento:
Considerando que es una Función Real y Continua:
a) Determinar
b) Hacer y obtener los valores críticos .
c) Determinar .
d) Evaluar con los valores críticos y examinar los signos
obtenidos
Si entonces existe un Punto Mínimo (Min)
Si entonces existe un Punto Máximo (Máx.)
Si entonces existe un Punto de Inflexión (Inf)
Un punto se llama de inflexión si en él, la función, cambia el
sentido de la concavidad.

e) Evaluar la función original con los valores críticos y determinar los
puntos críticos, es decir .
8) Determinar Asíntotas (si existen)
Asíntotas verticales : Dada la función f y la recta vertical x = a ;se dice que
x=a es una asíntota vertical de f sii:
±∞=+
→
)(lim xf
ax
y ±∞=−
→
)(lim xf
ax
Asíntotas horizontales: Dada la función f y la recta y = b ; se dice que y=b es
una asíntota horizontal de f sii :
bxf
x
=
+∞→
)(lim y bxf
x
=
−∞→
)(lim
Asíntotas oblicuas: Dada la función y= mx+b , se dice que y =mx+b es una
asíntota oblicua de f sii:
9) Con toda la información obtenida en los pasos anteriores, se procede a
construir la grafica
Veamos un ejemplo:
1) Graficar la función .
Solución
1)Dominio y Rango de la función:
Dom f(x) = R = ),( +∞−∞
Rgo f(x) = R = ),( +∞−∞
2) Cortes con los ejes
Corte con el eje y : se hace x =0 y se obtiene que y = 8 es decir el punto (0,8)
Corte con el eje x: se hace y =0 y se obtiene 0= x3
-6x2
+9x-8 tiene una raíz
( 349/80,0) =( 4,3625;0)
3) Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Determinamos la primera derivada de f y la igualamos a cero
[ ])()(lim xmxfb
x
−=
±∞→x
xf
m
x
)(
lim
±∞→
=

De donde obtenemos que
La función es creciente en el intervalo ( ]1,∞− U [ )+∞,3 , es decir, f´(a) > 0
donde a es un punto dentro del intervalo.
La función es decreciente en el intervalo comprendido entre [ ]3,1 , es decir,
f´(a)<0
5)Hallar punto(s) maximo(s) y mínimo(s) realtivo(s)
Ahora obtenemos la segunda Derivada y evaluamos en ella los valores críticos
Como , entonces decimos que la función tiene un mínimo en .
De la misma forma, considerando que , se dice que la función tiene un
máximo en . En definitiva, los puntos mínimos y máximo de la curva,
serían:
• que es el punto mínimo de
la función, y
• que es máximo de la
función.
6) Determinamos puntos de inflexión:
Además, si hacemos , se tiene que:
es un punto de inflexión, en consecuencia:
es el punto de inflexión.

Finalmente se tiene que:
7) Estudiamos la concavidad:
)2,(−∞ Es cóncava hacia abajo, el signo de f´´(a) >0
),2( +∞ Es cóncava hacia arriba, el signo de f´´(a) <0
La grafica de 896)( 23
−+−= xxxxf es:
Ejercicios propuestos:
(I) Graficar las siguientes curvas haciendo uso de de las derivadas:
(1,-4) es un punto máximo de f
(3,-8) es un punto mínimo de f
(2,-6) es un punto de inflexión

1) 32)( 2
−−= xxxf 8) 2
4)( xxf −=
2) xxxf 4)( 2
+−= 9)
3
)(
+
=
x
x
xf
3) 652)( 23
+−−= xxxxf 10)
5.
2
)(
−
−
=
x
x
xf
4) 44)( 23
−+−= xxxxf 11)
2.
2
)(
−
+
=
x
x
xf
5) 26)( 24
+−= xxxf 12) 2
)3(
)1(
)(
+
+
=
x
xx
xf
6) )34)(45()( 22
+−++= xxxxxf 13) x
exxf /1
.)( −=
7) 24)( 4
+−= xxxf 14) π20,2sin)( ≤≤= xxxf
Nota *Verifique dichas graficas en un software matemático, Use
modellus la aplicación de física o graphmatics u otro que este a su alcance
(II ) Calcular los puntos máximos y mínimos de las funciones siguientes
a) 2
1
4
)(
x
x
xh
+
= b)
x
x
xg
1
)(
3
−
=
c) 3/23/1
)1.()( −= xxxf d) 33)( 3
+−= xxxf en el intervalo 





−
2
3
,3
e)
1
)(
+
=
x
x
xf en el intervalo 





− 1,
2
1

Referencias bibliográficas:
:
*Stewart, J. (1999) Cálculo conceptos y contextos. Editorial Thomson.
*Purcel, E. y Varberg, D. (2001). Cálculo con Geometría Analítica. Octava
Edición. Editorial Prentice Hall Hispanoaméricana. México
*Leithold, L. (1998) El Calculo VII edición. Edit Oxford
*Munem M.A. Foulis D.J. (1984) Calculus with Analytic Geometry . II
edicion.Edit. Worth Publishers, Inc. USA.

Soluciones de los ejercicios propuestos
Graficar las funciones siguientes usando el criterio de la primera y segunda la derivada
(para la representación grafica se uso el software Graphmatics y funciones para Windows)
1) f(x) = x2
-2x-3
Nombre de la función f(x) = x2
-2x-3 Función Cuadrática:
y =x^2-2x-3
1-Dominio f(x)
Rango f(x)
Dom f(x) = R Rgo f(x) = R
2.-Corte con los ejes Corte con el eje X
(-1,0) y (3,0)
Corte con el eje Y
(0,-3)
3.-Puntos críticos donde
f´(x) =0
F´(x)=2x-2
0 = 2x-2 entonces Xc= 1
4.-Intervalos de crecimiento
y decrecimiento
* f´(a)>0 → crece ,
* f´(a)<0 →decrece
( ]1,∞− decrece
( ] [ ]1,11, −∪−∞− decrece
[ )+∞,1 crece
[ ] [ )+∞∪ ,33,1 crece
5.-Coordenadas del punto
Máximo y Mínimo
f´(xc) >0 → Mínimo
f´(xc)<0 → Máximo
Máximo : (xc, f(xc))
Max: No hay
Mínimo: ( xc , f(xc))
Min : (1,-4)
6.-Puntos de inflexión
f´´(x) = 0
f´´(x)>0 →cóncava hacia
arriba
f´´(x)<0 →cóncava hacia
abajo
f´´(x)=2 Cóncava hacia arriba pues la
segunda derivada es positiva
7.-Asintotas. No presenta asintotas
Con la información anterior se procede a graficar la función:
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6

2) f(x) = - x2
+ 4x
Nombre de la función f(x) = -x2
+4x Cuadrática:
y =-x^2+4x
1-Dominio f(x)
Rango f(x)
2.-Corte con los ejes Corte con el eje X
(0,0) y (4,0)
Corte con el eje Y
(0,0)
f´(x) =0
F´(x)=-2x+4
0 = -2x+4 entonces Xc= 2
y decrecimiento
* f´(a)>0 → crece ,
( ]0,∞− crece
( ] [ ]2,00, ∪∞− crece
[ )+∞,2 decrece
[ ] [ )+∞∪ ,44,2 decrece
Máximo y Mínimo
f´(xc) >0 → Minimo
f´(xc)<0 → Maximo
Max: (2,4)
Min : No hay
f´´(x) = 0
arriba
abajo
f´´(x)=-2 Cóncava hacia abajo pues la
segunda derivada es positiva
Con la información anterior se procede a graficar la función
x
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6

3) f(x) = x3
- 2x2
- 5x+6
- 2x2
- 5x+6 Cúbica:
y=x^3-2x^2-5x+6
1-Dominio f(x)
Rango f(x)
2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X
(-2,0) , (1,0) y (3,0)
Pto de Corte con el eje Y
(0,6)
f´(x) =0
F´(x) = 3x
2
-4x-5
0 = 3x
2
-4x-5 entonces las raices son x1c= 2,11 y x2c = -
0.78
y decrecimiento
* f´(a)>0 → crece ,
( ]78.0,−∞− crece
( ] [ ]078,11, −−∪−∞− crece
[ )+∞;11.2 crece
[ ] [ )+∞∪ ;33;11.2 crece
[ )11.2,78.0 +− decrece
[ ] [ ]11.2;11;78.0 ∪− decrece
Máximo y Mínimo
Max: (-0.78; 8.21)
Min : (2.11;-4.06)
f´´(x) = 0
f´´(x)=6x-4
0 = 6x-4 →x=2/3=0.66..
Coordenada del pto. de
inflexión
(0.6 ; 2.2 )
7.- Concavidad:
arriba
abajo
( ]3/2,∞− cóncava hacia
abajo
[ )+∞,3/2
Cóncava hacia arriba

4) f(x) = x3
- x2
+4x-4
- x2
+4x-4 Cúbica:
y=x^3-x^2+4x-4
1-Dominio f(x)
Rango f(x)
(1;0)
(0,-4)
f´(x) =0
F´(x) = 3x
2
-2x+4
0 = 3x2
-2x+4 entonces las raices son x1c= 1/3+1.1i y x2c =
1/3-1.1 (son imaginarias) No son reales
4.-Intervalos de crecimiento y
decrecimiento
* f´(a)>0 → crece ,
( )+∞∞− , crece
Máximo y Mínimo
Máx.: No posee-no existen
Min : No posee -no hay
f´´(x) = 0
f´´(x)=6x-2
0 = 6x-2 →x=1/3=0.33..
inflexión
(0.33 ; -2.77 )
7.- Concavidad:
arriba
abajo
( ]3/1,∞− cóncava hacia
abajo
[ )+∞,3/1
Cóncava hacia arriba

5).f(x) = x4
- 6x2
+ 2 (polinomio de cuarto orden)
-6 x2
+2 Bicuadratica o Polinomial:
Y = x^4-6x^2+2
1-Dominio f(x)
Rango f(x)
(-2.39;0) ; (-0.59;0) , (0.59;0)
y (2.39;0)
(0,2)
f´(x) =0
F´(x) = 4x3
-12x = 2x.(2x2
-6)
0 =4x3
-18x = 2x.(2x2
-9) entonces las raíces son x1c= 0 ;
x2c = 73.13 ±=
decrecimiento
* f´(a)>0 → crece ,
[ ]0;3− crece
[ )+∞;3 crece
( ]3,−∞− decrece
[ ]3;0 decrece
Máximo y Mínimo
Máx.: (0,2)
Min : (1.73;-7) y (-173;-7)
f´´(x) = 0
f´´(x)=12x
2
-12
0 =12x2
-12 → x= 11 ±= ..
inflexión
(+1 ; -3 ) y (-1,-3)
7.- Concavidad:
arriba
abajo
[ ]1,1− cóncava hacia abajo ( ]1,−∞− Cóncava hacia
arriba
[ )+∞,1 Cóncava hacia arriba

6) f(x)= ( x2
+ 5x + 4 )( x2
- 4x + 3 )
Nombre de la función f(x) = ( x2
+ 5x + 4) * (x2
-
4x+3) = x4
+ x3
-13x2
-x+12
Función Polinomial:
Y = (x^2+5x+4).(x^2-
4x+3).
1-Dominio f(x)
Rango f(x)
(-4;0) ; (-1;0) , (1;0) y (3;0)
(0,12)
f´(x) =0
F´(x) =( 2x+5)((x2
-4x+3) + (2x-4) ( x2
+ 5x + 4) = 4x3
+3x2
-
26x-1 =0
entonces las raíces son x1c=-0.05 ; x2c =-2.92 y x3c =
2.22
decrecimiento
* f´(a)>0 → crece ,
[ ]05.0;92.2 −− crece
[ )+∞;22.2 crece
( ]92.2,−∞− decrece
[ ]22.2;05.0− decrece
Máximo y Mínimo
Máx.: (-0.05 ;12.01)
Min : (-2.92;-48.1) y (-
2.22 ; -19.1)
f´´(x) = 0
f´´(x)=12x2
+6x-26
0 =12x2
+6x-26
0 =6x
2
+3x-13 →
x1 =1.23 y x2=1.75
inflexión
(1.23 ; -4.6 ) y (-1.75,-22)
7.- Concavidad:
arriba
abajo
[ ]23.1;75.1− cóncava hacia
abajo
( ]75.1,−∞− Cóncava hacia
arriba
[ )+∞;23.1 Cóncava hacia
arriba

Con un zoom acercando los valores en un intervalo pequeños vemos

7) f(x) = x4
- 4x +2
-4x+2 Función Polinomial:
Y = x^4-4x+2
1-Dominio f(x)
Rango f(x)
(0.51;0) ; (1.36;0)
(0,2)
f´(x) =0
F´(x) = 4x3
-4
0=4x3
-4 entonces las raíces son x1c=1
decrecimiento
* f´(a)>0 → crece ,
[ )+∞;1 crece ( ]1,∞− decrece
Máximo y Mínimo
Máx.: no existe
Min : (1;-1)
f´´(x) = 0
f´´(x)=12x2
0 =12x2
→ x = 0
inflexión
(0;2)
7.- Concavidad:
arriba
abajo
( ]0,∞− Cóncava hacia
arriba
[ )+∞;0 Cóncava hacia arriba

8) 2
4)( xxf −= =
2/12
)4( x− (semi- circunfencia)
Nombre de la función f(x) = (4-x
2
)
1/2
Función Irracional :
f:R → R Definida así:
n xPxf )()( =
si n es par, la función tiene
restricciones P(x) 0≥
si n es impar no posee
restricciones (esta definida en
todo valor de X)
1-Dominio f(x)
Rango f(x)
Dom f(x) = [ ]2;2− Rgo f(x) = [ ]2;0
(-2;0) ; (2;0)
(0,2)
f´(x) =0 F´(x) =
2
42
2
x
x
−
− =
2
4 x
x
−
−
0 = x entonces los puntos críticos son x1c=0
decrecimiento
* f´(a)>0 → crece ,
[ ]0,2− crece [ ]2,0 decrece
Máximo y Mínimo
Máx.: (0,2)
Min : No existen
f´´(x) = 0
f´´(x)=-4(4-x2
)1/2
0 = -4(4-x2
)1/2
→ x = 2±
inflexión
(0;2)
7.- Concavidad:
arriba
abajo
[ ]2,2− es cóncava hacia
abajo
En otro intervalo no esta
definida
En la grafica adjunta puedes
ver la en rojo la recta tangente
y como muestra su pendiente
cero ( la derivada en el punto
x=0)

ver la en rojo la recta
tangente y como muestra su
pendiente positiva ( la
derivada en el punto x=1)
ver la en rojo la recta
tangente y como muestra su
pendiente negativa ( la
derivada en el punto x=1)
**Recuerde la aplicación
de la recta tangente y
normal de una función en
el punto x = a

9)
3
)(
+
=
x
x
xf
Nombre de la función f(x) = x/( x+3 ) Función Racional: f:R → R
Definida así:
)(
)(
)(
xQ
xP
xf = donde
0)( ≠xQ
1-Dominio f(x)
Rango f(x)
Dom f(x) = R - { }3−
El valor que anula a x+3 es -
3 (este se excluye )
Rgo f(x) = R-{}1
f(x)= y y su inversa es f(y)=x
donde x= 3y/(y-1) el valor
que anula a y-1 es 1 (este se
excluye del rango)
(0,0)
(0,0)
f´(x) =0 F´(x) = 2
)3( +x
x
=> 0= 2
)3( +x
x
0 = x entonces los puntos críticos son x1c=0
decrecimiento
* f´(a)>0 → crece ,
( )3,−∞− crece
( )+∞− ,3 crece
No posee intervalos de
decrecimiento
Máximo y Mínimo
f´(xc) >0 → Mínimo
f´(xc)<0 → Máximo
Máx.: No tiene
Min : No existen
f´´(x) = 0 f´´(x)= 4
2
)3(
9
+
+−
x
x
0 = 4
2
)3(
9
+
+−
x
x
→ x = 39 ±=
inflexión
Para x=-3 no esta definida
7.- Concavidad:
arriba
abajo
8.-Asíntotas. Asíntota Horizontal
Y= 1 es una asíntota
horizontal ya que :
1)(lim =
+∞→
xf
x
y también
1)(lim =
−∞→
xf
x
Asíntota Vertical
X=3 es una asíntota vertical
ya que:
−∞=+
→
)(lim
3
xf
x
y
∞=+
→
)(lim
3
xf
x

En rojo podemos ver la asíntota vertical (el valor que se excluye del dominio)

10)
5.
2
)(
−
−
=
x
x
xf
Nombre de la función f(x) = (x-2) / ( x-5 ) Función Racional: f:R → R
Definida así:
)(
)(
)(
xQ
xP
xf = donde
0)( ≠xQ
1-Dominio f(x)
Rango f(x)
Dom f(x) = R - { }5
El valor que anula a x-5 es 5
(este se excluye )
Rgo f(x) = R-{}1
f(x)= y ; su inversa es f(y)=x
donde despejando
x=( 5y-2)/(y-1) el valor que
anula a y-1 es 1 (este se
excluye del rango)
(2,0)
(0,2/5) =(0;0.4)
f´(x) =0 F´(x) = 2
)5(
3
−
−
x
=> 0= 2
)5(
3
−
−
x
No posee.
decrecimiento
* f´(a)>0 → crece ,
crecimiento
( )5,∞− decrece
( )+∞,5 decrece
Máximo y Mínimo
Máx.: No tiene
Min : No existen
f´´(x) = 0 f´´(x)= 3
)5(
6
−x
0 = 3
)5(
6
−x
inflexión
No existen
7.- Concavidad:
arriba
abajo
No hay
horizontal ya que :
1)(lim =
+∞→
xf
x
y también
1)(lim =
−∞→
xf
x
Asíntota Vertical
ya que:
+∞=+
→
)(lim
5
xf
x
y
−∞=−
→
)(lim
5
xf
x

En azul la función
5.
2
)(
−
−
=
x
x
xf y en verde su derivada f´(x)= 2
)5(
3
−
−
x

11)
2.
2
)(
−
+
=
x
x
xf
Nombre de la función f(x) = (x+2) / ( x-2 ) Función Racional: f:R → R
Definida así:
)(
)(
)(
xQ
xP
xf = donde
0)( ≠xQ
1-Dominio f(x)
Rango f(x)
Dom f(x) = R - { }2
El valor que anula a x-2 es 2
(este se excluye del dominio
)
Rgo f(x) = R-{}1
f(x)= y ; su inversa es f(y)=x
donde despejando
x=( y+2)/(y-1) el valor que
anula a y-1 es 1 (este se
excluye del rango)
(-2,0)
(0,-1)
f´(x) =0 F´(x) = 2
)5(
3
−
−
x
=> 0= 2
)5(
3
−
−
x
No posee.
decrecimiento
* f´(a)>0 → crece ,
crecimiento
( )2,∞− decrece
( )+∞,2 decrece
Máximo y Mínimo
Máx.: No tiene
Min : No existen
f´´(x) = 0 f´´(x)= 3
)2(
8
−x
0 = 3
)2(
8
−x
inflexión
No existen
7.- Concavidad:
arriba
abajo
No hay
horizontal ya que :
1)(lim =
+∞→
xf
x
y también
1)(lim =
−∞→
xf
x
Asíntota Vertical
ya que:
+∞=+
→
)(lim
2
xf
x
y
−∞=−
→
)(lim
2
xf
x

Aplicaciones de la primera y segunda derivada en las graficas de funciones

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