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  • 1. Trinômio Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. Em matemática, trinómio (português europeu) ou trinômio (português brasileiro) é uma expressão algébrica de três termos.[1] É um dos dois casos particulares de polinômios que tem um nome especial, o outro é o binômio, que contém dois termos.[1][Nota 1] Por exemplo,[1] Um caso particular de trinômio é o trinômio do segundo grau, uma expressão da forma: em que a, b e c são quantidades conhecidas, e x uma variável.[2] Notas e referências Notas 1. ↑ No texto de Serrasqueiro, o monômio, expressão algébrica de apenas um termo, não é considerado como um caso de polinômio; em outros contextos, como quando se fala sobre um polinômio na variável x, costuma ser interessante considerar monômios e o zero como casos particulares de polinômios. Referências 1. ↑ a b c José Adelino Serrasqueiro, Álgebra Elementar, Livro Primeiro, Capítulo I, Noções preliminares, §2º Expressões algébricas. Reducções [wikisource] 2. ↑ José Adelino Serrasqueiro, Álgebra Elementar, Livro Terceiro, Capítulo I, Equações e problemas do segundo grau a uma incógnita, §5º Propriedades do trinomio do segundo grau, 237 [wikisource] Ver avaliações Avaliar esta página O que é isto? Credibilidade Imparcialidade Profundidade Redação
  • 2. Conheço este assunto muito profundamente (opcional) Monômio Expressão algébrica definida apenas pela multiplicação entre o coeficiente e a parte literal. Exemplos: 2x, 4ab, 10x², 20xyz, 30abc, 2z, y, b³, 100ax³ Monômios semelhantes Expressões algébricas que possuem a parte literal semelhante. Exemplos: 2x e 4x 7x² e 8x² 10ab e 3ab 2ya e 6ya 7bc e 9cb 100z e 20z Adição e subtração de monômio A adição e a subtração de monômio devem ser efetuadas quando as partes literais são semelhantes. Exemplos: 2a + 7a = 9a 5x – 2x = 3x 10ab – 9ab = ab 6y – 9y = – 3y 7bc + 3cb = 10bc ou 10cb – 12xy – 10xy = – 22xy Multiplicação entre monômios Ao multiplicar monômios em que as partes literais são semelhantes devemos seguir os seguintes passos: 1º passo: multiplicar os coeficientes 2º passo: conservar a parte literal e somar os expoentes. Exemplos: 2x * 2x = 4x² 4xy * 6xy² = 24x²y³ 10a²b * 9a²b³ = 90a4b4 5xyz * 6x²y³z = 30x³y4z² Ao multiplicar monômios com parte literal diferente devemos: 1º passo: multiplicar os coeficientes
  • 3. 2º passo: agrupá-las, se as letras forem diferentes Exemplo: 2x * 3y = 6xy 4ab * 5z = 20abz 20c * 2ab = 40abc x * 6a = 6xa Divisão entre monômios Parte literal semelhantes 1º passo: dividir os coeficientes 2º passo: conservar a parte literal e subtrair os expoentes Exemplo: 5x³ : 5x² = x 10x²y² : 2x = 5xy² 30z : 5z = 6 20b³ : 10b = 2b² Polinômios Expressão algébrica composta por dois ou mais monômios com a existência de operações entre eles. Exemplos: 2x² + 7x – 6 10x³ + x² – 9x 6x + 5 120x² – 10x + 9 14x4 + 7x³ – 20x² – 60x – 100 Por Marcos Noé Pedro Da Silva Produtos notáveis Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. Este artigo ou se(c)ção cita fontes fiáveis e independentes, mas elas não cobrem todo o texto. Por favor, melhore este artigo providenciando mais fontes fiáveis e independentes, inserindo-as em notas de rodapé ou no corpo do texto, nos locais indicados. Encontre fontes: Google — notícias, livros, acadêmico — Scirus — Bing. Veja como referenciar e citar as fontes. Esta página precisa ser reciclada de acordo com o livro de estilo (desde Março de 2008). Sinta-se livre para editá-la para que esta possa atingir um nível de qualidade superior.
  • 4. No cálculo algébrico, algumas expressões representadas por produtos de expressões algébricas, aparecem com muita frequência. Pela importância que representam no cálculo algébrico, essas expressões são denominadas Produtos Notáveis[1] Índice [esconder] 1 Quadrado da soma de dois termos 2 Quadrado da diferença de dois termos 3 Produto da soma pela diferença de dois termos 4 Cubo da diferença de dois termos 5 Cubo da soma de dois termos 6 Quadrado da soma de três termos 7 Produto de Stevin (produto de 2 binômios com um termo comum) 8 Produto de Warring 9 Notas e referências 10 Ver também 11 Referências 12 Ligações externas [editar]Quadrado da soma de dois termos Regra básica: Quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo.[2] • Exemplos: 1. 2.
  • 5. [editar]Quadrado da diferença de dois termos A expressão diferença do quadrado da soma apenas pelo sinal da segunda parcela: Regra básica: Quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro vezes o segundo , mais o quadrado do segundo • Exemplos: 1. 2. [editar]Produto da soma pela diferença de dois termos Regra básica: Quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo • Exemplos: 1. 2. [editar]Cubo da diferença de dois termos Regra básica: É o cubo do 1° termo, menos 3 vezes o produto do quadrado do 1° termo pelo segundo, mais 3 vezes o produto do 1° termo pelo quadrado do 2° termo, menos o cubo do 2° termo. • Exemplos: 1.
  • 6. 2. 3. [editar]Cubo da soma de dois termos Decomposição volumétrica do binômio ao cubo O cubo da soma de dois termos se diferencia do cubo da diferença apenas pelos sinais Regra básica: É o cubo do 1° termo, mais 3 vezes o produto do quadrado do 1°termo pelo segundo, mais 3 vezes o produto do 1° termo pelo quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo. • Exemplos: 1. 2. [editar]Quadrado da soma de três termos • Exemplos: 1.
  • 7. 2. 3. : [editar]Produto de Stevin (produto de 2 binômios com um termo comum) Considerando o produto notável • temos: Exemplos: 1. 2. 3. [editar]Produto de Warring Considerando • temos: Exemplo: • Considerando • Exemplo • Notas e referências temos:
  • 8. 1. ↑ R. Brault Mathématiques 3ième Hachette éducation (2008) ISBN 978-2-01-125539-6 2. ↑ Elementos de Euclides, Livro II, Proposição 4 [editar]Ver também O wikilivro Matemática elementar tem uma página sobre Exercícios envolvendo produtos notáveis Referências [editar]Ligações externas Número irracional Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. Este artigo ou secção contém uma lista de fontes ou uma única fonte no fim do texto, mas esta(s) não são citadas no corpo do artigo, o que compromete a confiabilidade das informações. (desde junho de 2009) Por favor, melhore este artigo introduzindo notas de rodapé citando as fontes, inserindoas no corpo do texto quando necessário.
  • 9. Conjuntos de números Naturais Inteiros Racionais Reais Imaginários Complexos Números hiper-reais Números hipercomplexos Quaterniões Octoniões Sedeniões Complexos hiperbólicos Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões Tessarines Diagrama de alguns subconjuntos de números reais. Número irracional é um número real que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros, ou seja, são números reais mas não racionais. O conjunto dos números irracionais é representado pelo símbolo . Índice [esconder] 1 História 2 Classificação dos irracionais 3 Prova de que a raiz quadrada de dois é irracional 4 Se N é um número natural, então a raiz quadrada de N é irracional ou inteira 5 Ver também
  • 10. 6 Referências [editar]História Os primeiros indícios relacionados ao conceito de número irracional remontam ao conceito de incomensurabilidade. Dois segmentos sãocomensuráveis se existe uma unidade comum na qual podem ser medidos de forma exata. Por exemplo, um segmento de medida e outro de medida podem ser expressos por múltiplos inteiros de um segmento de medida , ou seja, e . A primeira descoberta de um número irracional é geralmente atribuída a Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras. Ele teria produzido uma demonstração (provavelmente geométrica) de que a raiz de 2 (ou talvez que o número de ouro) é irracional. No entanto, Pitágoras considerava que a raiz de 2 "maculava" a perfeição dos números, e portanto não poderia existir. Mas ele não conseguiu refutar os argumentos de Hipaso com a lógica, e a lenda diz que Pitágoras condenou seu seguidor ao afogamento. A partir daí os números irracionais entraram na obscuridade, e foi só com Eudoxo de Cnido que eles voltaram a ser estudados pelos gregos. O décimo livro da série Os elementos de Euclides é dedicado à classificação de números irracionais. Foi só em 1872 que o matemático alemão Dedekind (de 1831 a 1916) fez entrar na Aritmética, em termos rigorosos, os números irracionais que a geometria sugerira havia mais de vinte séculos. [editar]Classificação dos irracionais Existem dois tipos de números irracionais: • Números reais algébricos irracionais: são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Todo número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, divisões e raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número algébrico, por exemplo . A recíproca não é verdadeira: existem números algébricos que não podem ser expressos através de radicais, conforme o teorema de Abel-Ruffini. • Números reais transcendentes: não são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Várias constantes matemáticas são transcendentes, como pi ( ) e o número de Euler ( ). Pode-se dizer que
  • 11. existem mais números transcendentes do que números algébricos (a comparação entre conjuntos infinitos pode ser feita na teoria dos conjuntos). A definição mais genérica de números algébricos e transcendentes é feita usando-se números complexos. [editar]Prova de que a raiz quadrada de dois é irracional Ver artigo principal: Raiz quadrada de dois A prova é feita por redução ao absurdo. Suponha-se que é racional. Então pode-se colocá-lo na forma p / q, onde mdc(p,q) = 1, da seguinte forma: . Elevando ambos os membros ao quadrado, tem-se ( p / q )2 = 2. Então, p2 = 2q2. Como p2 é par, então p também é par (pois o quadrado de um número ímpar é ímpar: (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1). Logo pode-se chamar p = 2k. Substituindo na última igualdade, fica-se com: ( 2k )² = 2q². Ou seja, 4k² = 2q² e então em 2k² = q², mostrando que q também é um par. Mas isso é absurdo, pois, por hipótese, mdc(p,q)=1. Conclui-se que irracional. Ok. é [editar]Se N é um número natural, então a raiz quadrada de N é irracional ou inteira É claro que alguns números naturais tais como 1, 4 e 9, os chamados quadrados perfeitos, admitem raiz quadrada natural, a saber 1, 2 e 3. Podese mostrar que este é o sempre caso quando a raiz quadrada é racional. Ou seja se então . A prova segue da seguinte forma: Suponha que racional admita raiz quadrada com p e q inteiros e q não nulo. Sem perda de generalidade, pode-se supor que p e q são primos entre si. Então tem-se Como ambas as frações da expressão são irredutíveis, tem-se e . E o resultado segue. [editar]Ver também .
  • 12. • Número computável • Cortes de Dedekind • Prova da irracionalidade de π • Número transcendente • Radiciação • Raiz quadrada de dois • Raiz quadrada de três [editar]Referências • Boyer, Carl B. (1996), História da Matemática, 2ª edição, p. 50 e 51, Editora Edgar Blücher. ISBN ISBN 85-212-0023-4 • Ávila, Geraldo (1994), Cálculo I: Funções de uma variável, 6ª edição, p. 24 a 26, Livros Técnicos e Científicos Editora. ISBN ISBN 85-216-09698 Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema: Livros e manuais no Wikilivros • Portal da matemática Ver avaliações Avaliar esta página Número racional Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. Esta página ou secção não cita nenhuma fonte ou referência, o que compromete sua credibilidade (desde junho de 2009). Por favor, melhore este artigo providenciando fontes fiáveis e independentes, inserindoas no corpo do texto por meio de notas de rodapé. Encontre fontes: Google — notícias, livros, acadêmico — Scirus — Bing. Veja como referenciar e citar as fontes.
  • 13. Conjuntos de números Número racional é todo o número que pode ser representado por uma razão (ou fração) entre dois números inteiros. Naturais Inteiros Racionais Reais Imaginários Complexos Números hiper-reais Números hipercomplexos Quaterniões Octoniões Sedeniões Complexos hiperbólicos Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões Tessarines O conjunto dos números racionais (representado por ) é definido por: Em outras palavras, o conjunto dos números racionais é formado por todos os quocientes de números inteiros a e b, em que b é não nulo. O uso da letra "Q" é derivado da palavra inglesa quotient, cujo significado é quociente, já que a forma de escrever um número racional é o quociente de dois números inteiros. São exemplos de números racionais: Diagrama de alguns subconjuntos de números reais.
  • 14. Os números racionais opõem-se aos números irracionais ( ). Para representar o conjunto dos racionais não negativos podemos usar e para representar o conjunto dos números racionais não positivos podemos utilizar O número zero também faz parte do conjunto dos racionais. É comum usar um asterisco ao lado do símbolo que representa um determinado conjunto para indicar que se retirou o zero do mesmo, como em (números racionais não nulos), (racionais negativos). [carece de fontes] (racionais positivos) e Há quatro formas de se apresentarem os números racionais: Frações (próprias ou impróprias), números mistos (que é uma variação das frações impróprias), números decimais de escrita finita e, por fim, as dízimas, que são números decimais em cuja escrita aparecem períodos numéricos infinitos. Eis alguns exemplos: • Fração: • Numeral misto: 5 • Números decimais de escrita finita: 8,35; • Dízimas periódicas: 8,(23); 1,23(5); 7,23(965); Nesta notação os números entre parênteses repetem-se ao infinito. EQUAÇÃO DO 1º GRAU As equações do primeiro grau são aquelas que podem ser representadas sob a forma ax+b=0,em que a e b são constantes reais, com a diferente de 0, e x é a variável. A resolução desse tipo de equação é fundamentada nas propriedades da igualdade descritas a seguir. Adicionando um mesmo número a ambos os membros de uma equação, ou subtraindo um mesmo número de ambos os membros, a igualdade se mantém. Dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma equação por um mesmo número não-nulo, a igualdade se mantém. Exemplo:
  • 15. Vejamos alguns exemplos: Seja a equação: Seja a equação: Seja a equação: Membros de uma equação Numa equação a expressão situada à esquerda da igualdade é chamada de1º membro da equação, e a expressão situada à direita da igualdade, de 2º membro da equação. Exemplo: - 3x + 12 = 2x - 9 1º membro 2º membro Cada uma das parcelas que compõem um membro de uma equação é chamada termo da equação. 4x – 9 = 1 – 2x
  • 16. termos Variável (ou incógnita) de uma equação: Os elementos desconhecidos de uma equação são chamados de variáveis ou incógnitas. Exemplos: A equação x + 5 = 18 tem uma incógnita: x A equação x – 3 = y + 2 tem duas incógnitas: x e y A equação a² – 3b + c = 0 tem três incógnitas: a, b e c Cada um dos valores que, colocados no lugar da incógnita, transformam a equação em uma sentença verdadeira é chamado de raiz da equação. Para verificarmos se um dado número é ou não raiz de uma equação, basta substituirmos a incógnita por esse número e observarmos se a sentença obtida é ou não verdadeira. 1º exemplo: verificar se três é raiz de 5x – 3 = 2x + 6 2º exemplo: verificar se -2 é raiz de x² – 3x = x – 6 O princípio aditivo e o princípio multiplicativo servem para facilitar o entendimento da solução de uma equação, mas para resolvê-la existe um método simples e prático que é o seguinte: Resolver a equação 5x – 8 = 12 + x Colocamos no primeiro membro os termos que apresentam variável, e no segundo membro os termos que não apresentam variável. Os termos que mudam de membro tem os sinais trocados.
  • 17. 5x – 8 = 12 + x 5x – x = 12 + 8 Calculamos a somas algebricas de cada termo. 4.x = 20 Quando se passa de um membro para o outro usa-se a operação inversa, ou seja, o que está multiplicando passa dividindo e o que está dividindo passa multiplicando. O que está adicinando passa subtraindo e o que está subtraindo passa adicionando. O número 4 no primeiro membro está multiplicando o x então ele passará dividindo no segundo membro. Exercícios resolvidos: 1) Resolver a equação: 2( x + 5 ) - 3( 5 – x ) = 5 Nesse tipo de equação, devemos inicialmente, retirar os parênteses, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação e a regra de eliminação de parênteses. 2. Resolver a equação: Para eliminar os denominadores multiplicamos todos os termos da equação pelo m.m.c. dos denominadores
  • 18. 3) Resolução da equação: Nessa equação, inicialmente reduzimos todas as frações ao mesmo denominador, e a seguir cancelamos esses denominadores m.m.c ( 3, 2, 6 ) = 6 3, 2, 6 2 3, 1, 3 3 1, 1, 1 2 . 3 = 6 4) Resolver a equação: m.m.c ( 2, 3, 4 ) = 12 Efetuando as multiplicações: Multiplicando os dois membros da equação pelo m.m.c dos denominadores, que é 12, vem:
  • 19. Resolvendo a mesma equação pelo método da eliminação dos denominadores: 5) Resolver a equação: 6) Resolver a equação:
  • 20. m.m.c ( 2, 3, 4, 5, 7 ) = 420 7) Quando o número x na equação ( k – 3 ).x + ( 2k – 5 ).4 + 4k = 0 vale 3, qual será o valor de K? ( k – 3 ).3 + ( 2k – 5 ).4 + 4k = 0 3k – 9 + 8k – 20 + 4k = 0 3k + 8k + 4k = 9 + 20 15k = 29 8) De o conjunto solução das equações literais do primeiro grau ( em R ) a) ax + bx + c = 2a + 2b + c ax + bx = 2a + 2b + c – c
  • 21. x( a + b ) = 2a + 2b se a ≠ -b e b ≠ -a b) ( a + x )² = ( a + 3 + x )( a – 2 + x ) a² + 2ax + x² = a² – 2a + ax + 3a – 6 + 3x + ax – 2x + x² 2ax + x² – ax – 3x – ax + 2x – x² = - a² + a² – 2a + 3a – 6 x(2a – a – 3 – a + 2) = a – 6 x(-1) = a – 6 Equação sem solução Às vezes, uma equação não tem solução para um certo universo de números. Nesse caso, dizemos que ela é impossível ou que a solução évazia. Exemplo: resolver a equação. Não existe nenhum número que multiplicado por 0 que resulte em 2. Equação com infinitas soluções
  • 22. Há casos em que todos os números do universo considerado são raízes da equação. Dizemos que ela tem infinitas soluções. Exemplo: resolver a equação Como qualquer número multiplicado por zero é igual a zero, a equação tem infinitas soluções. Inequação do 1º grau Inequações do 1º grau são aquelas que podem ser representadas sob a forma ax + b > 0 ( ou com as representações ≥ , < , ≤ , ou ≠) em que a e b são constantes reais, com a ≠ 0, e x é variável. A resolução desse tipo de inequação é fundamentada nas propriedades das desigualdades descritas a seguir: 1) Adicionando um mesmo número a ambos os membros de uma inequação, ou subtraindo um mesmo número de ambos os membros, a desigualdade se mantém. 2) Dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma inequação por um mesmo número positivo, a desigualdade se mantém. 3) Dividindo ou multiplicando por um mesmo número negativo ambos os membros de uma inequação do tipo > , ≥ , < ou ≤ , a desigualdade inverte o sentido. É fácil perceber que a resolução de uma inequação do 1º grau baseia-se nos mesmos princípios da resolução de uma equação do 1º grau atentando-se ao item 3) acima que diferencia. Uma inequação do 1º grau é resolvida da mesma forma que se resolve uma equação do 1º grau, só que quando o x é negativo no final da resolução multiplica-se ambos os membros da inequação por (-1) e aí o sentido se inverte, se é > fica <, se é < fica >, se é ≤ fica ≥ e se é ≥ fica ≤. Considerando como universo o conjunto dos números naturais, determine o conjunto solução da inequação: 5x – 8 < 3x + 12 5x – 3x < 12 + 8 2x < 20
  • 23. x < 20/2 x < 10 Assim o conjunto solução da inequação é: S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Se, o universo do exercício anterior fosse o conjunto dos números reais, qual seria o conjunto solução da inequação? Resolução: Não é possível explicitar, um a um, todos os números reais menores que 10. Por isso, representa-se o conjunto solução S simplesmente por S = {x/x є R/ x < 10} Determine o maior número inteiro t que satisfaz a desigualdade: O maior número inteiro que satisfaz essa desigualdade é o -1 Considerando o universo dos números inteiros, determine o conjunto solução das inequações: a) 9x – 5(3 – 2x) > 7x + 9
  • 24. 9x – 15 + 10x > 7x + 9 19x – 7x > 9 + 15 12x > 24 X > 24/12 X>2 S = {3, 4, 5, 6, ...} b) 4y – 5 < 2(y + 3) + 5y 4y – 5 < 2y + 6 + 5y 4y – 5 < 7y + 6 4y – 7y < 6 + 5 -3y < 11 3y > -11 Y > -11/3 Y > -3,666… S = {-3,-2,-1,0, 1, 2, 3…} c) 6t – (5t + 8) ≤ 1 – 2(5 – t) 6t – 5t – 8 ≤ 1 – 10 + 2t 6t – 5t – 2t ≤ 1 – 10 + 8 -t ≤ -1 t ≥1 S = {1, 2, 3, 4, 5, …} Resolver as inequações no universo R:
  • 25. S = {x є R/ x ≤ -40/3}
  • 26. O menor número inteiro que satisfaz a inequação a)-3 c)-1 b)-2 e)1 d)0 Alternativa correta b(-2) Resolver no universo R as inequações: a) -3(2x – 5) > 1 – 6x -6x + 30 > 1 – 6x -6x + 6x > 1 – 30 0x > -29
  • 27. S = R (qualquer número multiplicado por zero é igual a zero e zero é maior que -29) b) -3(2x – 5) < 1 – 6x -6x + 15 < 1 – 6x -6x + 6x < 1 – 15 0x < -14 S = Ø (qualquer número multiplicado por zero é igual a zero e zero é maior que -14) Resolver a inequação: Resolver a inequação:
  • 28. Resolver o sistema: 4x – 3 < 2x + 5 X + 2 > 2x – 6 Resolve-se cada sentença isoladamente 4x – 3 < 2x + 5 x + 2 > 2x – 6 4x – 2x < 5 + 3 x – 2x > -6 - 2 2x < 8 x < 8/2 -x > -8 x<8 x<4 A intersecção desses conjuntos é a solução do sistema Gráfico
  • 29. S = { x/x < 4} Inequação-produto do 1º grau Dadas as funções f(x) e g(x), chamamos de inequação-produto toda inequação que pode assumir uma das seguintes formas: f(x).g(x) > 0 f(x).g(x) ≥ 0 f(x).g(x) < 0 f(x).g(x) ≤ 0 Oservação: a forma da inequação pode ser estendida para mais de duas funções. Exemplos: (x – 1)(2x – 3)(x + 1) < 0 (x – 2)(-2x + 1)(4 – x) ≤ 0 Para resolver inequações-produto, primeiro estudamos o sinal de cada função que compõe o produto e, então, determinamos o sinal do produto. Acompanhe o procedimento nos exercícios resolvidos. Resolva em R a inequação (x – 1)(2x – 3) ≥ 0 Solução: f(x) = x - 1 e g(x) = 2x – 3 f(x) = 0 → x – 1 = 0 → x = 1 ( zero da função) como a = 1 > 0, vem : g(x) = 0 → 2x – 3 = 0 → 2x = 3 → x = 3/2 Como a = 2 > 0, vem:
  • 30. Quadro-produto Logo: S = {x є R/ x ≤ 1 ou x ≥ 3/2} Resolva em R a inequação (x – 2)(-2x – 4)(x – 4) ≤ 0 Solução: f(x) = x – 2, g(x) = -2x – 4 e h(x) = x – 4 f(x) = 0 → x – 2 = 0 → x = 2 (zero da função) Como a = 1 > 0, vem: g(x) = 0 → -2x – 4 = 0 →2x = -4→ x = -2(zero da função) Como a = -2 < 0, vem: h(x) = 0 → x – 4 = 0 →x = 4(zero da função) Como a = 1 > 0, vem:
  • 31. Quadro-produto S = {x є R/-2 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 4} Solução: Para que f seja real devemos ter: (1 – x)(2x – 8) ≥ 0 1 – x = 0→x = 1 Como a = -1 < 0, temos: 2x – 8 = 0 → 2x = 8 → 2x = 8 → x = 8/2 = 4 Como a = 2 > 0, temos:
  • 32. Quadro-produto: Logo,D(f) = { x є R/ 1 ≤ x ≤ 4} Resolva as inequações em R: a)(x – 1)(2x + 1) > 0 x–1=0→x=1 Como a = 1 > 0, temos: 2x + 1 = 0 → 2x = -1 → x = -1/2 Como a = 2 > 0, temos: Logo:
  • 33. S = {x є R/ x < -1/2 ou x > 1} EXPRESSÕES NUMÉRICAS EQUAÇÃO DO 1° GRAU PRODUTOS NOTÁVEIS EQUAÇÃO DO 2° GRAU LOGARITMOS PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA TRIÂNGULO RETÂNGULO NÚMEROS COMPLEXOS FUNÇÃO DO 2° GRAU quimsigaud.blog.uol.com.br INEQUAÇÃO DO 1° GRAU EXPRESSÕES NUMÉRICAS PRODUTOS NOTÁVEIS EQUAÇÃO DO 2° GRAU LOGARITMOS
  • 34. PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA TRIÂNGULO RETÂNGULO NÚMEROS COMPLEXOS FUNÇÃO DO 2º GRAU Home Este site está com cara nova por favor entre agora nowww.xmatematica.com.br E-MAIL joaquimsigaud@uol.com.br Função do 2º grau A função f:R→R dada por f(x) = ax² + bx + c , com a,b e c reais e a ≠ 0, denomina-se função do 2º grau ou função quadrática. Exemplos: f(x) = x² - 4x – 3 ( a = 1, b = -4, c = -3) f(x) = x² - 9 ( a = 1, b = 0, c = -9) f(x) = 4x² + 2x – 3 ( a = 4, b = 2, c = -3) f(x) = 6x² ( a = 6, b = 0, c = 0) f(x) = -2x² + 5x + 1 ( a = -2 , b = 5 , c = 1) f(x) = -4x² + 2x ( a = -4 , b = 2 , c = 0) 1) Dada a função f(x) = x² - 5x + 6, calcule: a)f(1) = 1² - 5.1 + 6 = 1 – 5 + 6 = 2 b)f(-1) = (-1)² - 5.(-1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12 c)f(2) = 2² - 5.2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0 e)f(0) = 0² - 5.0 + 6 = 6
  • 35. f)f(3) = 3² -5.3 + 6 = 9 – 15 + 6 = 0 2) Dada a função f(x) = 4x² - 1, calcule: a)f(2) = 4.2² - 1 = 16 – 1 = 15 b)f(-1) = 4.(-1)² - 1 = 4 – 1 = 3 3) Dada a função f(x) = x² - 4x – 5, determine os valores de x para que se tenha: a)f(x) = 7 x² - 4x – 5 = 7 x² - 4x – 5 – 7 = 0 x² - 4x – 12 = 0 4) Dada a função f(x) = 2x² - 3x + 1, calcule: a)f(-x) = ? f(-x) = 2.(-x)² -3.(-x) + 1 = 2x² + 3x + 1 b)f(x + 1) = ? f(x + 1) = 2.(x + 1)² - 3.(x + 1) + 1 =2.(x² + 2x + 1) – 3x – 3 + 1 = 2x² + x c) a, para que f(a – 1) = 0 0 = 2.(a – 1)² - 3.(a – 1) + 1
  • 36. 0 = 2.(a² - 2a + 1) – 3a + 3 + 1 0 = 2a² -4a + 2 -3a +3 + 1 2a² - 7a + 6 = 0 5) Dada as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x² - 1 determine os valores reais de x para que se tenha g(f(x)) = 0 g(2x + 1) = (2x + 1)² - 1 = 4x² + 4x + 1 – 1 = 4x² + 4x 4x² + 4x = 0 x² + x = 0 x(x + 1) = 0 x=0 ou x+1=0 x = -1 6) Seja f(X) = ax² + bx + c . Sabendo que f(1) = 4, f(2) = 0 e f(3) = -2, calcule o produto a.b.c f(1) = 4 a.1² + b.1 + c = 4 a+b+c=4 f(2) = 0 a.2² + b.2 + c = 0 4a + 2b + c = 0 f(3) = -2 3².a + 3b + c = -2 9a + 3b + c = -2
  • 37. a+b+c=4 4a + 2b + c = 0 9a + 3b + c = -2 -4a – 4b – 4c = -16 4a + 2b + c = 0 -2b -3c = -16 a+b+c=4 9a + 3b + c = -2 -9a -9b – 9c = -36 -6b – 8c = -38 6b + 9c = 48 c = 10 -2b – 30 = -16 -2b = 30 – 16 -2b = 14 b = 14/-2 = -7 a – 7 + 10 = 4 a+3=4 a=4–3 a=1 a.b.c = 1. -7.10 = -70 Construir o gráfico da função y = x² - 2x – 3 x y = x² - 2x – 3 (x,y) -2 y = (-2)² - 2.(-2) – 3 = 5 (-2,5) -1 y = (-1)² - 2.(-1) – 3 = 0 (-1,0) 0 y = 0² - 2.0 – 3 = -3 (0,-3) 1 y = 1² - 2.1 – 3 = -4 (1,-4) 2 y = 2² - 2.2 – 3 = -3 (2,-3)
  • 38. 3 y = 3² - 2.3 – 3 = 0 (3,0) 4 y = 4² - 2.4 – 3 =5 (4,5) Gráfico Construir o gráfico da função y = 2x² x y = 2x² (x,y) -2 y = 2.(-2)² = 8 (-2,8) -1 y = 2.(-1)² = 2 (-1,2) 0 y = 2.0² = 0 (0,0) 1 y = 2.1² = 2 (1,2) 2 y = 2.2² = 8 (2,8) Gráfico
  • 39. Construir o gráfico da função y = -x² + 2x + 3 x y = -x² + 2x + 3 (x,y) -2 y = -(-2)² + 2.(-2) + 3 = -5 (-2,-5) -1 y = -(-1)² + 2.(-1) + 3 = 0 (-1,0) 0 y = -(0)² + 2.(0) + 3 = 3 (0,3) 1 y = -(1)² + 2.(1) + 3 = 4 (1,4) 2 y = -(2)² + 2.(2) + 3 = 3 (2,3) 3 y = -(3)² + 2.(3) + 3 =0 (3,0) 4 y = -(4)² + 2.4 + 3 = -5 (4,-5) Gráfico
  • 40. Construir o gráfico da função y = -x² + 2x – 4 x y = -x² +2x – 4 (x,y) -1 y = -(-1)² + 2.(-1) – 4 = -7 (-1,-7) 0 y = - (o)² + 2.0 – 4 = -4 (0,-4) 1 y = -(1)² + 2.1 – 4 = -3 (1,-3) 2 y = -(2)² + 2.2 – 4 = -4 (2,-4) 3 y = - (3)² + 2.3 – 4 = -7 (3,-7) Gráfico
  • 41. O gráfico de uma função do 2º grau ou quadrática é uma curva aberta chamada parábola. Nos exemplos dados podemos observar que: No 1º exemplo dado, f(x) = x² - 2x – 3,temos a = 1 > 0 No 2º exemplo dado, f(x) = 2x², temos a = 2 > 0 Em ambos, a parábola tem a concavidade voltada para cima. No 3º exemplo dado, f(x) = -x² + 2x + 3, temos a = -1 < 0 No 4º exemplo dado, f(x) = -x² +2x – 4, temos a = -1 < 0 Em ambos, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. Se a > 0, a concavidade é voltada para cima
  • 42. Se a < 0, a concavidade é voltada para baixo Zeros de uma função quadrática Os zeros ou raízes de uma função f(x) são os valores do domínio para os quais f(x) = 0. Assim, os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax² + bx + c são as raízes da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0. Por exemplo, para determinar as raízes da função f(x) = x² -7x + 6, fazemos: f(x) = 0 → x² - 7x + 6 = 0 equação do 2º grau Então os números 1 e 6 são os zeros da função f(x) = x² - 7x + 6. Você notou que, para determinar as raízes ou zeros da função quadrática tivemos que resolver uma equação do 2º grau. Vale a pena relembrar algo a respeito das raízes dessa equação. (vá no meu site de equação do 2º grau que é oquimsigaud.tripod.com/equacaodo2grau) Para determinar os zeros ou raízes de uma função f(x) = ax² +bx + c, temos que analisar a equação ax² + bx + c = 0. Se Δ > 0, a função possui dois zeros reais distintos. Se Δ = 0, a função possui um zero real duplo.
  • 43. Se Δ < 0, a função não possui zeros reais. Interpretação geométrica das raízes Os zeros ou raízes de uma função são os valores de x tais que f(x) = 0. No plano cartesiano, são os pontos do gráfico da função que possuem ordenada nula. Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do 2º grau são as abscissas dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x. 1) Determinar os zeros da função f(x) = x² - 2x – 3. Devemos resolver a equação do 2º grau x² - 2x – 3 = 0. Δ = (-2)² - 4.1.(-3) = 16 > 0 ( a função possui dois zeros reais diferentes) Como a função possui dois zeros reais diferentes, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos: (-1,0) e (3,0). Esboço do gráfico:
  • 44. 1) Determinar os zeros da função f(x) = -x² + 2x - 1. f(x) = o → -x² +2x – 1 = 0 Δ = 2² - 4.(-1).(-1) = 4 – 4 = 0 ( a função possui um zero real duplo) Como a função possui um zero real duplo, a parábola intercepta o eixo x em um único ponto: (1,0) Gráfico 1) Interpretar geometricamente os zeros da função f(x)= x² - 2x + 4 f(x) = 0→ x² - 2x + 4 = 0 Δ = -12 < 0→ a função não possui zeros reais Como a função não possui zeros reais, a parábola não corta o eixo x. Gráfico
  • 45. Vértice da parábola Ponto onde a parábola corta o eixo y: x = 0 Construa o gráfico da função y = x² - 4x + 3 a = 1 > 0 → concavidade voltada para cima zeros da função x² - 4x + 3 = 0 Δ = (-4)² - 4.1.3 = 16 – 12 = 4 Ponto onde a parábola corta o eixo y: x = 0, então
  • 46. vem: y = x² - 4x + 3 y = 0² -4.0 + 3 = 3 P(0,3) vértice da parábola Gráfico Esboçar o gráfico da função quadrática f(x) = x² - 3x + 2. x² - 3x + 2 = 0 a=1 b = -3 c=2 Δ = (-3)² - 4.1.2 = 9 – 8 = 1
  • 47. Ponto onde a parábola corta o eixo y: x = 0 y = 0² - 3.0 + 2 = 2 P(0,2) Gráfico Encontre a condição para o parâmetro m, de modo que cada uma das seguintes funções seja quadrática: a) y = (m – 1)x² - 6x + 3 m–1≠o m≠1 b) y = (4m – 16)x² + 2x – 1 4m – 16 ≠ 0 4m ≠ 16
  • 48. m ≠ 16/4 = 4 Determine o valor de a e b na função quadrática y = x² - ax + b, sendo suas raízes iguais a 1 e 2. 0 = 1² - a.1 + b 0=1–a+b 0 = 2² - a.2 + b 0 = 4 -2a + b 0 = -3 + a a=3 0=1–3+b b–2=0 b=2 Determine o valor de p e q na função quadrática y = px² + qx + 12, sendo suas raízes iguais a -4 e 3. 0 = p.(-4)² + q.(-4) + 12 0 = 16p – 4q + 12 0 = p.3² + q.3 + 12 0= 9p + 3q + 12 0 = 48p – 12q + 36 0 =36p + 12q + 48 0 = 84p + 84 84p = -84 P = -84/84 = -1 0 = -9 +3q +12 0 = 3q + 3 3q = -3 q = -3/3 = -1 Encontre as coordenadas do vértice para cada função
  • 49. quadrática: a) y = x² - 4x + 3 Δ = (-4)² - 4.1.3 = 16 – 12 = 4 b) y = -x² - 10x + 11 Δ = (-10)² - 4.(-1).11 = 100 + 44 = 144 EXPRESSÕES NUMÉRICAS PRODUTOS NOTÁVEIS EQUAÇÃO DO 1° GRAU INEQUAÇÃO DO 1° GRAU EQUAÇÃO DO 2° GRAU LOGARITMOS PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA TRIÂNGULO RETÂNGULO NÚMEROS COMPLEXOS FUNÇÃO DO 2º GRAU Equação do 2º grau Toda equação da forma ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais com a ≠ 0, é chamada de equação do 2° grau. Quando b = 0 ou c = 0, tem-se uma equação do 2° grau incompleta. A resolução de equações incompletas do 2° grau: Equações do tipo ax² + bx = 0 1) Resolver em R a equação x² - 4x = 0 Colocando o fator x em evidência, obtemos:
  • 50. x(x – 4) = 0 Quando o produto de dois números reais é igual à zero, então pelo menos um dos fatores é igual a zero. Portanto: x = 0 ou x–4=0 x=4 Logo as raízes são 0 e 4. Verificação: Para x = 0, temos: 0² - 4.0 = 0 – 0 = 0 (V) Para x = 4, temos: 4² - 4.4 = 16 – 16 = 0 (V) Portanto a solução está correta. 2) Resolver em R a equação: (2x + 5)² + 3x = 25 4x² + 20x + 25 +3x = 25 4x² + 23x = 0 x(4x + 23) = 0 x=0 ou 4x + 23 = 0 4x = -23 x = -23/4 3) Resolver em R a equação: 4/2x – 3x = 2 + 2/x, sendo x ≠ 0 Multiplicando os dois membros da equação por 2x, para eliminar os denominadores vem:
  • 51. A partir do enunciado o número zero foi excluído da solução dessa equação (x ≠ 0), então: x = -2/3 é solução única. 4) Resolver em R a equação:
  • 52. Equações do tipo ax² + c = 0 5) Resolver em R a equação 2x² - 18 = 0 Adicionamos 18 aos dois membros da equação: 2x² - 18 + 18 = 0 + 18 2x² = 18 Dividimos os dois membros da equação por 2 Então +3 e -3 são as raízes da equação. 6) Resolver em R a equação: 2x² + 4 = 0 Equações do tipo ax² = 0 A equação do tipo ax² = 0 admite uma única solução: x = 0 7) Resolver em R a equação 2x² = 0 Exercícios: Resolva as equações em R:
  • 53. A resolução de equações completas do 2º grau Equações do tipo: ax² + bx + c = 0 Qualquer equação do 2º grau pode ser resolvida através da fórmula de Bháskara ,
  • 54. o método usado anteriormente serve para facilitar a resolução de equações incompletas em b e em c, principalmente as incompletas em b que são muito mais fáceis de serem resolvidas daquela forma, pois o uso da fórmula de Bháskara naquele caso tornaria a solução mais complicada. Demonstração da fórmula de Bháskara: Dada a equação ax² + bx + c = 0 , multiplique os dois membros da equação por 4a: (4a )(ax² + bx + c ) = (4a ) . 0 4a²x² + 4abx + 4ac = 0 4a²x² + 4abx = -4ac Adicione b² aos dois membros da equação: 4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b² Observe que o primeiro membro dessa igualdade é um trinômio quadrado perfeito igual a (2ax + b)² (2ax + b )² = b² - 4ac Extraia a raiz quadrada dos dois membros da igualdade: Resolver em R a equação 2x² - 10x + 12 = 0 : Temos a = 2 , b = -10 e c = 12, então:
  • 55. Relações entre os coeficientes e as raízes Relação de soma Sendo x1 e x2 as raízes da equação do 2º grau, desejamos obter a relação de soma em função dos coeficientes (a , b , c) Relação de produto: Fatoração do trinômio do 2º grau Sendo r1 e r2 as raízes do trinômio do segundo grau ax² +bx + c , temos que: ax² + bx + c = a(x-r1)(x-r2) Fatorar o trinômio do 2º grau 5x² - 3x – 2
  • 56. Inicialmente determinamos as raízes do trinômio. As raízes são os números que atribuídos a variável x anulam o trinômio, isto é, 5x² - 3x – 2 = 0 Resolver em R a equação:
  • 57. Obtenha as equações do 2º grau conhecendo as raízes: a) 2 e 3 (x – 2)(x – 3) = x² - 3x – 2x + 6 = x² - 5x + 6 x² - 5x + 6 = 0 b)-1 e -2 (x + 1)(x + 2) = x² + 2x + x + 2 = x² + 3x + 2 x² + 3x + 2 = 0
  • 58. Resolver em R a equação: Condição de existência: x ≠ 0 O mmc dentre os denominadores 3² , 3x² e 3²x é o produto de todos os seus fatores, sendo que dentre fatores repetidos é escolhido o de maior expoente,isto é: mmc( 3²,3x²,3²x) = 3²x² = 9x² Multiplicando ambos os membros da equação por esse mmc,temos:
  • 59. Resolver em R a equação: Para o calculo do mmc dentre os denominadores, fatoramos cada um deles, obtendo: 2, 2²(x – 1) e (x + 1)(x – 1). O mmc é o produto de todos os fatores desses polinômios, sendo que dentre fatores repetidos é escolhido o de maior expoente, isto é: mmc[2, 2²(x – 1), (x + 1)(x – 1)] = 2²(x + 1)(x – 1)
  • 60. Exercícios resolvidos: Resolva em R as equações:
  • 61. A área de um retângulo é igual a 440 m². Sabendo que a medida da base e a da altura desse retângulo são números pares e consecutivos, determine seus valores. A = x(x + 2) 440 = x² + 2x x² + 2x – 440 = 0 Resolva em R as seguintes equações:
  • 62. EXPRESSÕES NUMÉRICAS EQUAÇÃO DO 1° GRAU
  • 63. INEQUAÇÃO DO 1° GRAU PRODUTOS NOTÁVEIS LOGARITMOS PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA TRIÂNGULO RETÂNGULO NÚMEROS COMPLEXOS FUNÇÃO DO 2° GRAU quimsigaud.blog.uol.com.br Expressões numéricas Uma expressão numérica é uma seqüência de números associados por operações. Essas operações devem ser efetuadas respeitando-se a seguinte ordem: 1) Potenciações e radiciações, se houver. 2) Multiplicações e divisões, se houver. 3) Adições e subtrações Exemplo: Em expressões numéricas com sinais de associação ( parênteses, colchetes e chaves) efetuam-se, primeiro as operações dentro dos parênteses, depois as que estão dentro dos colchetes e, por último, as interiores as chaves, respeitando-se ainda, a prioridade das operações. Exemplo: 36 + 2.{25 + [ 18 – (5 – 2).3]} = = 36 + 2.{ 25 + [18 – 3.3]} = = 36 + 2.{25 + [18 – 9]} = = 36 + 2.{25 + 9} = = 36 +2.34 = = 36 + 68 = 104 Outro exemplo:
  • 64. [(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5 = = [(25 – 6.4).3 + 6² : 3] : 5 = =[(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5 = = [1.3 + 12] : 5 = = [3 + 12 ] : 5 = = 15 : 5 = 3 Efetue: 11 + 32 + 4.9 – 15 : 3 = 11 + 32 + 36 – 5 = 74 109 – 15.4 + 26 : 13 = 109 – 60 + 2 = 51 10 + 3502 : 17 – 100 : 25 = 10 + 206 – 4 = 212 25 + 25 : 25 – 25.1 = 25 + 1 – 25 = 1 (7.6 – 32 : 2) : 13 = (42 – 16 ) :13 = 26 : 13 = 2
  • 65. Calcule o valor numérico das expressões:
  • 66. (0,5)² : 5 – 2.(0,3.1,2 - 0,72 : 2,4) = 0,25 : 5 – 2. (0,36 – 0,3) = 0,05 – 2.(0,06) = 0,05 – 0,12 = - 0,07
  • 67. (- 3,5 + 2.1,45) – ( -1,2 : 5 – 3,5) = (-3,5 + 2,9 ) – (-0,24 – 3,5) = -0,6 – (-3,74) = -0,6 + 3,74 = 3,14
  • 68. Considere a expressão Efetuando as operações indicadas e simplificando, temos: a) 9/10 d) 15/9 b) 7/3 e) 1 c) 19/10 Solução:
  • 69. Alternativa correta: (b) Simplifique: EQUAÇÃO DO 1° GRAU INEQUAÇÃO DO 1° GRAU PRODUTOS NOTÁVEIS EQUAÇÃO DO 2° GRAU LOGARITMOS PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA TRIÂNGULO RETÂNGULO NÚMEROS COMPLEXOS FUNÇÃO DO 2° GRAU quimsigaud.blog.uol.com.br Produtos notáveis Quadrado da soma de dois termos O quadrado da soma de dois termos a e b é indicado por ( a + b )² Para calculá-lo, basta multiplicar a + b por a + b: ( a + b )² = ( a + b ) ( a + b ) ( a + b )² = a.a + a.b + b.a + b.b ( a + b )² = a² + a.b + b.a + b² Como a.b = b.a vem que
  • 70. ( a + b )² = a² quadrado do 1º termo + 2ab + duas vezes o produto dos termos b² quadrado do 2º termo O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. Exemplos: ( x + 3 )² = x² + 2.x.3 + 3² = x² + 6x + 9 ( 2x + 1)² = (2x)² + 2.2x.1 + 1² = 4x² + 4x + 1 (5x + 3y)² = (5x)² + 2.5x.3y + (3y)² = 25x² + 30xy + 9y² Calcule: c) (x + 1)² + (x + 2)² - (2x + 1)² = [x² + 2x + 1] + [x² + 4x + 4] – [4x² + 4x + 1] = = x² + 2x +1 + x² + 4x + 4 – 4x² - 4x – 1 = = -2x² + 2x + 4 e) (x + 1).(x + 2) – 2.(x + 2)² + (x + 2).(x + 3) = = x² + 2x + x + 2 – 2[x² + 4x + 4] + x² + 3x + 2x + 6 = = x² + 2x + x + 2 – 2x² - 8x – 8 + x² + 3x + 2x + 6 = 0 Quadrado da diferença de dois termos O quadrado da diferença entre dois termos a e b é indicado por (a – b)² Para calculá-lo basta multiplicar a – b por a – b: (a – b)² = (a – b)(a – b) (a – b)² = a² - ab – ba + b² (a – b)² = a² - 2ab + b² O quadrado da diferença entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. Exemplos:
  • 71. (x – 3)² = x² - 2.x.3 + 3² = x² - 6x + 9 (2x – 1)² = (2x)² - 2.2x.1 + 1² = 4x² - 4x + 1 (5x – 3y)² = (5x)² - 2.5x.3y + (3y)² = 25x² - 30xy + 9y² Calcule: a) (2x – 1)² - (x – 2)² + 3.(1 – x²) = [4x² - 4x + 1] – [x² - 4x + 4] + 3 – 3x² = = 4x² - 4x + 1 – x² + 4x – 4 + 3 – 3x² = 0 b) (a + b)² - (a – b)² = a² + 2ab + b² - [a² - 2ab + b²] = a² + 2ab + b² - a² + 2ab – b² = 4ab Calcular (103)². (103)² = (100 + 3)² = 100² + 2.100.3 + 3² = 10000 + 600 + 9 = 10609 Produto da soma pela diferença de dois termos (a + b).(a – b) = a.a + a.(-b) + b.a + b.(-b) = a² - ab + ba – b² = a² - b² (a + b)(a – b) = a² - b² O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo termo. Exemplos: (x + 2)(x – 2) = x² - 2² = x² - 4 (2a + 4)(2a – 4) = (2a)² - 4² = 4a² - 16 Calcular o produto 53.47. 53.47 = (50 + 3)(50 – 3) = 50² - 3² = 2500 – 9 = 2491 Desenvolver e reduzir: x = (5a – 2)² + (5a + 2)² - (5a + 2)(5a – 2) x = [25a² - 20a + 4] + [25a² + 20a + 4] – [25a² - 4 ] = 25a² + 12 A expressão (a + b)(a – b)(a² + b²) é igual a : O polinômio (x + 5)(x – 5)(x² - 25) é idêntico a :
  • 72. Simplificando-se a expressão Cubo da soma de dois termos (a + b)³ = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b) = = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Exemplos: a) (x + 1)³ = x³ + 3.x².1 + 3.x.1² + 1³ = x³ + 3x² + 3x + 1 b) (3a + 2)³ = (3a)³ + 3. (3a)².2 + 3. 3a.2² + 2³ =
  • 73. = 27a³ + 3.9a².2 + 3.3a.4 + 8 = 27a³ + 54a² + 36a + 8 Cubo da diferença de dois termos (a – b)³ = (a – b)(a – b)² = (a – b)(a² - 2ab + b²) = = a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ (a – b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ Exemplos: a) (x – 1)³ = x³ - 3.x².1 + 3.x.1² - 1³ = x³ - 3x² + 3x – 1 b) (x – 2y)³ = x³ - 3.x².2y + 3.x.(2y)² -(2y)³ = x³ - 6x²y + 12xy² - 8y³ Exercícios resolvidos: c) Qual o valor da expressão
  • 74. Determine o valor das expressões: Observando a figura abaixo, notamos que a área de um dos quadrados é x² e a área de um dos retângulos é 6x. Nessas condições responda: a) Qual é a área do retângulo 1? b) Qual é a área do quadrado 2? c) Qual é a área total da figura? Solução:
  • 75. a) b) c) A1 = 6.x = 6x A2 = 6.6 = 36 At = (6+x)² = 36 + 12x + x² Dada a proporção abaixo, determine o valor da incógnita x. Qual é o polinômio P que devemos adicionar a (x – 2)³ para obter ( x + 3 )³ ? P + (x – 2)³ = (x + 3)³ P = (x + 3)³ - (x – 2)³ (x + 3)³ = x³ + 3x².3 + 3x.3² + 3³ = x³ + 9x² + 27x + 27 (x – 2)³ = x³ - 3x².2 + 3x.2² - 2³ = x³ - 6x² + 12x – 8 x³ + 9x² + 27x + 27 – (x³ - 6x² + 12x -8) = = x³ + 9x² + 27x + 27 – x³ + 6x² - 12x +8 = 15x² + 15x + 35
  • 76. Dois números, x e y, são tais que x = 2a + 2 e y = 2a. Sabendo que x² - y² = 20, determine o valor de a e o valor do quociente x : y. x² - y² = 20 (2a + 2)²- (2a)² = 20 4a² + 8a + 4 – 4a² = 20 8a = 20 – 4 8a = 16 a = 16/8 = 2 x = 2.2 + 2 x=4+2=6 y = 2.2 = 4 x : y = 6/4 = 3/2 Sabe-se que x² + y² = 25 e que xy = 12. Nessas condições, qual é o valor da expressão (x + y)² ? (x + y)² = x² + 2xy + y² = x² + y² + 2xy = 25 + 2.12 = 25 + 24 = 49 Dada a expressão (x² + 2y)², adicione a ela o polinômio x4 – y² - 3x²y. Qual é o polinômio que você vai obter? Calcular o valor numérico das seguintes expressões 1) 7a²b + 4ab² + 3a³ + (2ab – b).b² = para a =3 e b =2 =7.3².2 + 4.3.2² + 3.3³ + (2.3.2 – 2).2² = =126 + 48 + 81 + 40 = 295 EXPRESSÕES NUMÉRICAS EQUAÇÃO DO 1° GRAU INEQUAÇÃO DO 1° GRAU EQUAÇÃO DO 2° GRAU LOGARITMOS PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
  • 77. TRIÂNGULO RETÂNGULO NÚMEROS COMPLEXOS FUNÇÃO DO 2° GRAU quimsigaud.blog.uol.com.br EXPRESSÕES NUMÉRICAS Home Clique Banner.Com Patrocinamos seu Site e Pagamos de R$0,15 à R$0,50 por clique Este site está com cara nova por favor entre agora nowww.xmatematica.com.br E-MAIL joaquimsigaud@uol.com.br Expressões numéricas Uma expressão numérica é uma seqüência de números associados por operações. Essas operações devem ser efetuadas respeitando-se a seguinte ordem: 1) Potenciações e radiciações, se houver. 2) Multiplicações e divisões, se houver. 3) Adições e subtrações Exemplo: Em expressões numéricas com sinais de associação ( parênteses, colchetes e chaves) efetuam-se, primeiro as operações dentro dos parênteses, depois as que estão dentro dos colchetes e, por último, as interiores as chaves, respeitando-se ainda, a prioridade das operações. Exemplo: 36 + 2.{25 + [ 18 – (5 – 2).3]} = = 36 + 2.{ 25 + [18 – 3.3]} = = 36 + 2.{25 + [18 – 9]} =
  • 78. = 36 + 2.{25 + 9} = = 36 +2.34 = = 36 + 68 = 104 Outro exemplo: [(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5 = = [(25 – 6.4).3 + 6² : 3] : 5 = =[(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5 = = [1.3 + 12] : 5 = = [3 + 12 ] : 5 = = 15 : 5 = 3 Efetue: 11 + 32 + 4.9 – 15 : 3 = 11 + 32 + 36 – 5 = 74 109 – 15.4 + 26 : 13 = 109 – 60 + 2 = 51 10 + 3502 : 17 – 100 : 25 = 10 + 206 – 4 = 212 25 + 25 : 25 – 25.1 = 25 + 1 – 25 = 1 (7.6 – 32 : 2) : 13 = (42 – 16 ) :13 = 26 : 13 = 2
  • 79. Calcule o valor numérico das expressões:
  • 80. (0,5)² : 5 – 2.(0,3.1,2 - 0,72 : 2,4) = 0,25 : 5 – 2. (0,36 – 0,3) = 0,05 – 2.(0,06) = 0,05 – 0,12 = - 0,07
  • 81. (- 3,5 + 2.1,45) – ( -1,2 : 5 – 3,5) = (-3,5 + 2,9 ) – (-0,24 – 3,5) = -0,6 – (-3,74) = -0,6 + 3,74 = 3,14
  • 82. Considere a expressão Efetuando as operações indicadas e simplificando, temos: a) 9/10 d) 15/9
  • 83. b) 7/3 e) 1 c) 19/10 Solução: Alternativa correta: (b) Simplifique: EQUAÇÃO DO 1° GRAU INEQUAÇÃO DO 1° GRAU PRODUTOS NOTÁVEIS EQUAÇÃO DO 2° GRAU LOGARITMOS PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA TRIÂNGULO RETÂNGULO
  • 84. NÚMEROS COMPLEXOS FUNÇÃO DO 2° GRAU quimsigaud.blog.uol.com.br Busca na web Aonde.com - outros serviços:Aondebr.com e Sitetracer.com Produtos notáveis Quadrado da soma de dois termos O quadrado da soma de dois termos a e b é indicado por ( a + b )² Para calculá-lo, basta multiplicar a + b por a + b: ( a + b )² = ( a + b ) ( a + b ) ( a + b )² = a.a + a.b + b.a + b.b ( a + b )² = a² + a.b + b.a + b² Como a.b = b.a vem que ( a + b )² = a² quadrado do 1º termo + 2ab + duas vezes o produto dos termos b² quadrado do 2º termo O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. Exemplos: ( x + 3 )² = x² + 2.x.3 + 3² = x² + 6x + 9 ( 2x + 1)² = (2x)² + 2.2x.1 + 1² = 4x² + 4x + 1 (5x + 3y)² = (5x)² + 2.5x.3y + (3y)² = 25x² + 30xy + 9y² Calcule:
  • 85. c) (x + 1)² + (x + 2)² - (2x + 1)² = [x² + 2x + 1] + [x² + 4x + 4] – [4x² + 4x + 1] = = x² + 2x +1 + x² + 4x + 4 – 4x² - 4x – 1 = = -2x² + 2x + 4 e) (x + 1).(x + 2) – 2.(x + 2)² + (x + 2).(x + 3) = = x² + 2x + x + 2 – 2[x² + 4x + 4] + x² + 3x + 2x + 6 = = x² + 2x + x + 2 – 2x² - 8x – 8 + x² + 3x + 2x + 6 = 0 Quadrado da diferença de dois termos O quadrado da diferença entre dois termos a e b é indicado por (a – b)² Para calculá-lo basta multiplicar a – b por a – b: (a – b)² = (a – b)(a – b) (a – b)² = a² - ab – ba + b² (a – b)² = a² - 2ab + b² O quadrado da diferença entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. Exemplos: (x – 3)² = x² - 2.x.3 + 3² = x² - 6x + 9 (2x – 1)² = (2x)² - 2.2x.1 + 1² = 4x² - 4x + 1 (5x – 3y)² = (5x)² - 2.5x.3y + (3y)² = 25x² - 30xy + 9y² Calcule: a) (2x – 1)² - (x – 2)² + 3.(1 – x²) = [4x² - 4x + 1] – [x² - 4x + 4] + 3 – 3x² = = 4x² - 4x + 1 – x² + 4x – 4 + 3 – 3x² = 0 b) (a + b)² - (a – b)² = a² + 2ab + b² - [a² - 2ab + b²] = a² + 2ab + b² - a² + 2ab – b² = 4ab Calcular (103)². (103)² = (100 + 3)² = 100² + 2.100.3 + 3² = 10000 + 600 + 9 = 10609 Produto da soma pela diferença de dois termos (a + b).(a – b) = a.a + a.(-b) + b.a + b.(-b) = a² - ab + ba – b² = a² - b² (a + b)(a – b) = a² - b² O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo termo. Exemplos:
  • 86. (x + 2)(x – 2) = x² - 2² = x² - 4 (2a + 4)(2a – 4) = (2a)² - 4² = 4a² - 16 Calcular o produto 53.47. 53.47 = (50 + 3)(50 – 3) = 50² - 3² = 2500 – 9 = 2491 Desenvolver e reduzir: x = (5a – 2)² + (5a + 2)² - (5a + 2)(5a – 2) x = [25a² - 20a + 4] + [25a² + 20a + 4] – [25a² - 4 ] = 25a² + 12 A expressão (a + b)(a – b)(a² + b²) é igual a : O polinômio (x + 5)(x – 5)(x² - 25) é idêntico a : Simplificando-se a expressão
  • 87. Cubo da soma de dois termos (a + b)³ = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b) = = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Exemplos: a) (x + 1)³ = x³ + 3.x².1 + 3.x.1² + 1³ = x³ + 3x² + 3x + 1 b) (3a + 2)³ = (3a)³ + 3. (3a)².2 + 3. 3a.2² + 2³ = = 27a³ + 3.9a².2 + 3.3a.4 + 8 = 27a³ + 54a² + 36a + 8 Cubo da diferença de dois termos (a – b)³ = (a – b)(a – b)² = (a – b)(a² - 2ab + b²) = = a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ (a – b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ Exemplos: a) (x – 1)³ = x³ - 3.x².1 + 3.x.1² - 1³ = x³ - 3x² + 3x – 1
  • 88. b) (x – 2y)³ = x³ - 3.x².2y + 3.x.(2y)² -(2y)³ = x³ - 6x²y + 12xy² - 8y³ Exercícios resolvidos: c) Qual o valor da expressão Determine o valor das expressões:
  • 89. Observando a figura abaixo, notamos que a área de um dos quadrados é x² e a área de um dos retângulos é 6x. Nessas condições responda: a) Qual é a área do retângulo 1? b) Qual é a área do quadrado 2? c) Qual é a área total da figura? Solução: a) b) c) A1 = 6.x = 6x A2 = 6.6 = 36 At = (6+x)² = 36 + 12x + x² Dada a proporção abaixo, determine o valor da incógnita x.
  • 90. Qual é o polinômio P que devemos adicionar a (x – 2)³ para obter ( x + 3 )³ ? P + (x – 2)³ = (x + 3)³ P = (x + 3)³ - (x – 2)³ (x + 3)³ = x³ + 3x².3 + 3x.3² + 3³ = x³ + 9x² + 27x + 27 (x – 2)³ = x³ - 3x².2 + 3x.2² - 2³ = x³ - 6x² + 12x – 8 x³ + 9x² + 27x + 27 – (x³ - 6x² + 12x -8) = = x³ + 9x² + 27x + 27 – x³ + 6x² - 12x +8 = 15x² + 15x + 35 Dois números, x e y, são tais que x = 2a + 2 e y = 2a. Sabendo que x² - y² = 20, determine o valor de a e o valor do quociente x : y. x² - y² = 20 (2a + 2)²- (2a)² = 20 4a² + 8a + 4 – 4a² = 20 8a = 20 – 4 8a = 16 a = 16/8 = 2 x = 2.2 + 2 x=4+2=6 y = 2.2 = 4 x : y = 6/4 = 3/2 Sabe-se que x² + y² = 25 e que xy = 12. Nessas condições, qual é o valor da expressão (x + y)² ? (x + y)² = x² + 2xy + y²
  • 91. = x² + y² + 2xy = 25 + 2.12 = 25 + 24 = 49 Dada a expressão (x² + 2y)², adicione a ela o polinômio x4 – y² - 3x²y. Qual é o polinômio que você vai obter? Calcular o valor numérico das seguintes expressões 1) 7a²b + 4ab² + 3a³ + (2ab – b).b² = para a =3 e b =2 =7.3².2 + 4.3.2² + 3.3³ + (2.3.2 – 2).2² = =126 + 48 + 81 + 40 = 295 EXPRESSÕES NUMÉRICAS EQUAÇÃO DO 1° GRAU INEQUAÇÃO DO 1° GRAU EQUAÇÃO DO 2° GRAU LOGARITMOS PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA TRIÂNGULO RETÂNGULO NÚMEROS COMPLEXOS FUNÇÃO DO 2° GRAU quimsigaud.blog.uol.com.br LOGARITMOS LOGARITMOS Este site está com cara nova por favor entre agora no: www.xmatematica.com.br
  • 92. E-MAIL joaquimsigaud@uol.com.br Logaritmos Definição: sejam dados dois números reais positivos a e b, com b ≠ 1; chamamos de logaritmos de a na base b, e indicamos logba, ao expoente c ao qual devemos elevar a base b para encontrarmos o número a: logba = c →bc = a para 0 < b ≠ 1 e a > 0 b →é a base c → é o logaritmo a →é o logaritmando ( aquele de quem se calcula o logaritmo ) 1) Calcular log264. portanto log264 = 6 2) Calcular log813 3) Calcular log81/2
  • 93. 5) Calcular log7 7 log7 7 = x 7x = 7 ⇒ 7x = 71 ⇒ x = 1 6) Calcular log8 1 log8 1 = x 8 x = 1 ⇒ 8x = 8 0 ⇒ x = 0 8) Calcular log0,2 125
  • 94. 9) Calcular a base b, sabendo que logb 49 = 2 pela definição 0 < b ≠ 1, portanto b = -7 não serve. b=7 10) Determinar os valores de x para que exista log 5 (2x + 3). Para que exista um logaritmo, o logaritmando deve ser positivo a>0 2x + 3 > 0 2x > -3 x > - 3/2 11) Determinar os valores de x para os quais exista log 3x0 < b ≠ 1. 7 8 pela definição 0 < 3x – 7 ≠ 1 7 < 3x ≠ 8 7/3 < x ≠ 8/3 12) Determinar os valores de x para os quais exista log 2x2 5 ( x – 5x +4) x2 – 5x +4 > 0 e 0 < 2x - 5 ≠ 1
  • 95. x2 – 5x +4 > 0 raízes da função f(x) = x2 – 5x +4 x < 1 ou x > 4 2x – 5 ≠ 1 0 < 2x – 5 ≠ 1 2x ≠ 6 2x – 5 > 0 x ≠ 6/2 2x > 5 x≠3 X > 5/2 X>4 Conseqüências da definição: Supondo que 0 < b ≠ 1, a > 0, a1 > 0 e a2 > 0 e α ∈ IR, podemos tirar as seguintes conseqüências da definição de logaritmo: 1) logb 1 = 0
  • 96. 2) logb b = 1 3) a1 = a2 ⇒ logb a1 = logb a2 4) blog ba = a 5) logb bα = α Facilitando cálculos trabalhosos: Seja a seguinte expresso numérica: Através do uso de logaritmo o calculo dessa expressão torna-se muito menos trabalhoso; levando-se em conta que antigamente não existia a calculadora para efetuar esse tipo de calculo, só as tábuas de logaritmos. Algumas calculadoras eletrônicas apresentam a tecla LOG que calcula logaritmos decimais, isto é, logaritmos na base 10. Para calcularmos o logaritmo decimal de um numero positivo, devemos proceder da seguinte forma: - Digita-se o número positivo do qual se quer obter o logaritmo. - Em seguida aperta-se a tecla LOG, obtendo-se no visor o logaritmo decimal do número digitado. Por exemplo, digitando-se o número 1,4 e apertando-se a tecla LOG, aparecera no visor o número 0,14612 ( considerando-se 5 casas decimais ), chamado logaritmo decimal do número 1,4. Isso significa que 100,14612, ou seja, escrevemos o número 1,4 como uma potência de base 10. Generalizando temos log a = x ⇒10x = a Calculando a expressão numérica acima: Substituindo os valores temos
  • 97. Escrevendo os números como potências de base 10, ocorre o seguinte: - Multiplicações transformam-se em adições - Divisões transformam-se em subtrações - Potenciações transformam-se em multiplicações - Radiciações transformam-se em divisões Propriedades: Supondo que 0 < b ≠ 1, a > 0, a1 > 0, a2 > 0, ...., an > 0 e α ∈ IR 1) logb(a1 x a2 x ...x an) = logba1 + logba2 + ... + logban
  • 98. 2) logb (a1/ a2) = logba1 – logba2 3) logbaα = α logba com α ≠ 0 Exercícios: 1) Sabendo-se que log2 = 0,3010 e log3 = 0,4771, calcular log6 ? 2) Sabendo-se que log2 = 0,3010 calcular log5. 3) Sabendo-se que log2 = 0,3010, calcular log 100 2. 4) Sabendo-se que log2 = 0,3010 e log3 = 0,4771, calcular log108. 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1 2²x3³ 5) Resolver a equação: log2 (x + 1) + log2 (x + 4) = 2 x+1>0ex+4>0
  • 99. log2 (x + 1)(x + 4) = 2 (x +1)(x + 4) = 2² (x + 1)(x + 4) = 4 x² + 4x + x + 4 = 4 x² + 5x + 4 = 4 x² + 5x = 4 – 4 x² + 5x = 0 x(x + 5) = 0 x = 0 ou x + 5 = 0 x+5=0 x=-5 Substituindo nas inequações conseqüentes da definição: x+1>0 e x+4>0 0+1>0 0+4>0 1 > 0 (V) 4 > 0 (V) -5 + 1 > 0 -4 > 0 (F) A solução que satisfaz a equação é S = { 0 } 6) Considere a tabela dos logaritmos a seguir: n 2 3 5 7 10 log n 0,301 0,477 0,699 0,845 1,000 Com o auxílio dessa tabela, podemos calcular o logaritmo de 0,015. Seu valor é : a) 1585 c) -1,824 b) 0,111 d) -2,056 e) -3,08
  • 100. Usando os valores da tabela, temos: 0,477 + 0,699 – 3 x 1 = 1,176 – 3 = - 1,824 alternativa c 7) A solução da equação log (5x + 1) - log (3x - 2) = 2 é: 5x + 1 > 0 5x > -1 x > -1/5 3x – 2 > 0 3x > 2 x > 2/3 5x + 1 > 0 5. 0,6813 + 1 > 0 4,4065 > 0 satisfaz a desigualdade 3x – 2 > 0 3. 0,6813 – 2 > 0 2,0439 – 2 > 0 0,0439 > 0 satisfaz a desigualdade, então x = 201/295 é raiz da equação. x > 2/3 2/3 = 0,666... 8) Resolver a equação log11 (2x - 3) = log115 2x – 3 > 0
  • 101. 2x – 3 = 5 2x = 5 + 3 2x = 8 x = 8/2 = 4 2x4–3>0 8–3>0 5 > 0 ; logo a raiz 4 satisfaz a condição de existência e, em conseqüência, vai para o conjunto-solução da equação dada, e portanto, temos que: S = {4} Mudança de base Supondo que 0 < b ≠ 1, 0 < c ≠ 1 e a > 0, temos que: Exercícios: 1) Sabendo que log 2 = 0, 3010 e log 3 = 0,4771, calcular log23. 2) Sabendo que log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcular log3 2. Ilustração Condições de existência Nos exemplos abaixo você poderá entender melhor as condições de existência dos logaritmos. A base b de um logaritmo não pode ser negativa, não pode ser igual a zero nem igual a um. Exemplos:
  • 102. O logaritmando a não pode ser negativo e nem igual a zero. Exemplos: Conseqüências da definição EXPRESSÕES NUMÉRICAS EQUAÇÃO DO 1º GRAU INEQUAÇÃO DO 1° GRAU PRODUTOS NOTÁVEIS EQUAÇÃO DO 2° GRAU PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA TRIÂNGULO RETÂNGULO
  • 103. NÚMEROS COMPLEXOS FUNÇÃO DO 2º GRAU quimsigaud.blog.uol.com.br Progressão aritmética Chamamos de progressão aritmética, ou simplesmente de PA, a toda seqüência em que cada número, somado a um número fixo, resulta no próximo número da seqüência. O número fixo é chamado de razão da progressão e os números da seqüência são chamados de termos da progressão. Observe os exemplos: 50, 60, 70, 80 é uma PA de 4 termos, com razão 10. 3, 5, 7, 9, 11, 13 é uma PA de 6 termos, com razão 2. -8, -5, -2, 1, 4 é uma PA de 5 termos, com razão 3. 156, 152, 148 é uma PA de 3 termos, com razão -4. 100, 80, 60, 40 é uma PA de 4 termos, com razão -20. 6, 6, 6, 6,..... é uma PA de infinitos termos, com razão 0. Numa PA de 7 termos, o primeiro deles é 6, o segundo é 10. Escreva todos os termos dessa PA. 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30 Numa PA de 5 termos, o último deles é 201 e o penúltimo é 187. Escreva todos os termos dessa PA. 145, 159, 173, 187, 201 Numa PA de 8 termos, o 3º termo é 26 e a razão é -3. Escreva todos os termos dessa PA. 32, 29, 26, 23, 20, 17, 14, 11 Numa PA, o 1º termo é 45 e o 2º termo é 80. Qual a razão dessa PA. Numa PA, o 5º termo é -7 e o 6º termo é 15. Qual a razão dessa PA. Símbolos usados nas progressões Em qualquer seqüência, costumamos indicar o primeiro termo por a1, o segundo termo por a2, o terceiro termo por a3, e assim por diante. Generalizando, o termo da seqüência que está na posição n é indicado por an. Veja alguns exemplos Na PA 2, 12, 22, 32 temos: a1 = 2, a2 = 12, a3 = 22 e a4 = 32 Quando escrevemos que, numa seqüência, tem-se a5 = 7, por exemplo, observe que o índice 5 indica a posição que o termo ocupa na seqüência. No caso, trata-se do 5º termo da seqüência. Já o símbolo a5 indica o valor do termo que está na 5º posição. No caso o valor do quinto termo é 7. A razão de uma PA é indicada por r, pois ela representa a diferença entre qualquer termo da PA e o termo anterior.
  • 104. Observe os exemplos: Na PA 1856, 1863, 1870, 1877, 1884 a razão é r = 7, pois: a2 – a1 = 1863 - 1856 = 7 a3 – a2 = 1870 – 1863 = 7 a4 – a3 = 1877 – 1870 = 7 a5 – a4 = 1884 – 1877 = 7 Na PA 20, 15, 10, 5 a razão é r = -5, pois: a2 – a1 = 15 – 20 = -5 a3 – a2 = 10 – 15 = -5 a4 – a3 = 5 – 10 = -5 Classificação das progressões aritméticas Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja positiva. Exemplo: (7, 11, 15, 19,...) é uma PA crescente. Note que sua razão é positiva, r = 4 Uma PA é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja negativa. Exemplo: (50, 40, 30, 20,...) é uma PA decrescente. Note que sua razão é negativa, r = -10 Uma PA é constante quando todos os seus termos são iguais. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que sua razão seja igual a zero. Exemplo: Determine x para que a seqüência (3+ x, 5x, 2x + 11) seja PA. 5x – ( 3 + x ) = 2x + 11 – 5x 5x – 3 – x = 2x +11 – 5x 5x – x – 2x + 5x = 11 + 3 7x = 14 x = 14/7 = 2 Fórmula do termo geral da PA an = a1 + (n – 1).r Determinar o 61º termo da PA (9, 13, 17, 21,...) r=4 a1 = 9 n = 61 a61 = ? a61 = 9 + (61 – 1).4 a61 = 9 + 60.4 = 9 + 240 = 249
  • 105. Determinar a razão da PA (a1, a2, a3,...) em que a1 = 2 e a8 = 3 an = a1 + ( n – 1 ).r a8 = a1 + (8 – 1 ).r a8 = a1 + 7r 3 = 2 + 7r 7r = 3 – 2 7r = 1 r = 1/7 Determinar o número de termos da PA (4,7,10,...,136) a1 = 4 an = 136 r=7–4=3 an = a1 + (n – 1).r 136 = 4 + (n – 1).3 136 = 4 + 3n – 3 3n = 136 – 4 + 3 3n = 135 n = 135/3 = 45 termos Determinar a razão da PA tal que: a1 + a4 = 12 e a3 + a5 = 18 a4 = a1 + (4 – 1).r a4 = a1 + 3r a3 = a1 + (3 – 1).r a3 = a1 + 2r a5 = a1 + 4r a1 + a1 + 3r = 12 a1 + 2r + a1 + 4r = 18 2a1 + 3r = 12 2a1 + 6r = 18 3r = 6 r = 6/3 = 2 Interpolar (inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem . Interpolar (ou inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem, significa determinar a PA de primeiro termo igual a 1 e último termo igual a 25. (1,_,_,_,_,_,25) a7 = a1 + 6r 25 = 1 + 6r 6r = 24 r = 24/6 r=4 (1, 5, 9, 13, 17, 21, 25) Representação genérica de uma PA PA de três termos: (x, x + r, x + 2r) ou
  • 106. (x – r, x , x + r), em que a razão é r PA de quatro termos: (x, x + r, x + 2r, x + 3r) ou (x – 3r, x – r, x + r, x + 3r), em que a razão é 2r Cálculo da soma dos n primeiros termos de uma PA Em uma pequena escola do principado de Braunschweig, Alemanha, em 1785, o professor Buttner propôs a seus alunos que somassem os números naturais de 1 a 100. Apenas três minutos depois, um gurizote de oito anos de idade aproximou-se da mesa do senhor Buttner e, mostrando-lhe sua prancheta, proclamou: “ taí “. O professor, assombrado, constatou que o resultado estava correto. Aquele gurizote viria a ser um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Karl Friedrich Gauss (1777-1855). O cálculo efetuado por ele foi simples e elegante: o menino percebeu que a soma do primeiro número, 1, com o último, 100, é igual a 101; a soma do segundo número, 2 , com o penúltimo, 99 , é igual a 101; também a soma do terceiro número, 3 , com o antepenúltimo, 98 , é igual a 101; e assim por diante, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos. 1 2 3 4..................................97 98 99 100 4 + 97 = 101 3 + 98 = 101 2 + 99 = 101 1 + 100 = 101 Como são possíveis cinqüenta somas iguais a 101, Gauss concluiu que: 1 + 2 + 3 + 4 + .......................... + 97 + 98 + 99 + 100 = 50.101 = 5050 Esse raciocínio pode ser estendido para o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética qualquer: Calcular a soma dos trinta primeiros termos da PA (4, 9, 14, 19,...). a30 = a1 + (30 – 1).r a30 = a1 + 29r a30 = 4 + 29.5 = 149 Calcular a soma dos n primeiros termos da PA (2, 10, 18, 26,...). an = 2 + (n – 1).8 an = 2 + 8n – 8
  • 107. an = 8n – 6 Determine a soma dos termos da PA (6, 10, 14,..., 134). Calcule a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 100 e 300. Múltiplos de 7 (0, 7, 14, 21, 28,...). O primeiro múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 105. O último múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 294. 294 = 105 + (n – 1).7 294 = 105 + 7n – 7 7n = 294 – 105 + 7 7n = 196 n = 196/7 = 28 Progressão geométrica Denominamos de progressão geométrica, ou simplesmente PG, a toda seqüência de
  • 108. números não nulos em que cada um deles, multiplicado por um número fixo, resulta no próximo número da seqüência. Esse número fixo é chamado de razão da progressão e os números da seqüência recebem o nome de termos da progressão. Observe estes exemplos: 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 é uma PG de 8 termos, com razão 2. 5, 15, 45,135 é uma PG de 4 termos, com razão 3. 3000, 300, 30, 3 é uma PG de 4 termos, com razão 1/10 Numa PG de 5 termos o 1º termo é 2 e o 2º termo é 12. Escreva os termos dessa PG. 2, 12, 72, 432, 2592 Numa PG de 4 termos, o último termo é 500 e o penúltimo é 100. Escreva os termos dessa PG. 4,20,100,500 Numa PG de 6 termos, o 1º termo é 3 e a razão é 10. Qual o 6º termo dessa PG. 3,30,300,3000,30000,300000 a6 = 300000 Numa PG de 5 termos, o 3º termo é -810 e a razão é -3. Escreva os termos dessa PG. -90,270,-810,2430,-7290 Numa PG, o 9º termo é 180 e o 10º termo é 30. Qual a razão dessa PG. q = 30/180 = 3/18 = 1/6 A razão é 1/6
  • 109. Fórmula do termo geral de uma progressão geométrica. Determinar o 15º termo da progressão geométrica (256, 128, 64,...). Determinar a razão da PG tal que:
  • 110. Determinar o número de termos da PG (128, 64, 32,......, 1/256). Determinar a razão da PG tal que:
  • 111. Representação genérica de uma PG: a) PG de três termos, (x, xq, xq²) em que a razão é q; (x/q, x, xq), com razão q, se q ≠ 0. b) PG de quatro termos, (x, xq, xq², xq³), com razão q; (x/q³, x/q, xq, xq³), com razão q², se q ≠ 0. Determinar a PG de três termos, sabendo que o produto desses termos é 8 e que a soma do segundo com o terceiro termo é 10. Soma dos n primeiros termos de uma PG: Sendo Sn a soma dos n primeiros termos da PG (a1,a2, a3,...an,...) de razão q, temos:
  • 112. Se q = 1, então Sn = n.a1 Calcular a soma dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12,....). Exercícios resolvidos de PA e PG Dada a PA (a + b,5a – b,...) determine seu 4º termo. r = 5a – b – (a + b) = 5a – b – a – b = 4a – 2b A cada balanço uma firma tem apresentado um aumento de 10% em seu capital. A razão de progressão formada pelos capitais nos balanços é: Solução:[ Sendo C o capital inicial, temos: C,1,1C, (1,1)²C,... Logo a razão q é dada por: q = 1,1C/C = 1,1 = 11/10 EXPRESSÕES NUMÉRICAS EQUAÇÃO DO 1° GRAU
  • 113. INEQUAÇÃO DO 1° GRAU PRODUTOS NOTÁVEIS EQUAÇÃO DO 2° GRAU LOGARITMOS TRIÂNGULO RETÂNGULO NÚMEROS COMPLEXOS FUNÇÃO DO 2° GRAU quimsigaud.blog.uol.com.br Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são: a: hipotenusa b e c: catetos h: altura relativa a hipotenusa m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. Relações métricas Para um triângulo retângulo ABC podemos estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos: - O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa. b² = a.n c² = a.m - O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a hipotenusa. b.c = a.h - O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. h² = m.n
  • 114. - O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. a² = b² + c² Essa relação é conhecida pelo nome de TEOREMA DE PITÁGORAS. Exemplo: Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n: a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10 b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8 c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6 b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4 Determine os valores literais indicados nas figuras: a) 13² = 12² + x² 169 = 144 + x² x² = 25 x=5 b) 5.12 = 13.y y = 60/13
  • 115. c)
  • 116. d) Determine a altura de um triângulo eqüilátero de lado l.
  • 117. Determine x nas figuras. a) O triângulo ABC é eqüilátero. b)
  • 118. O triângulo ABC é eqüilátero. c)
  • 119. Determine a diagonal de um quadrado de lado l. Razões trigonométricas Considere um triângulo retângulo ABC. Podemos definir:
  • 120. - Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. senÊ = e/a senÔ = o/a - Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. cosÊ = o/a cosÔ = e/a - Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. tgÊ = e/o tgÔ = o/e Observe: senÊ = cosÔ, senÔ = cosÊ e tgÊ = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90º Exemplo: senÔ = 3/5 = 0,6 cosÔ = 4/5 = 0,8 tgÔ = 3/4 = 0,75 senÊ = 4/5 = 0,8 cosÊ = 3/5 = 0,6 tgÊ = 4/3 = 1,333.... Ângulos notáveis Podemos determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos chamados de notáveis, são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições de seno, cosseno e tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos notáveis. Considere um triângulo eqüilátero de lado l. Traçando a altura AM, obtemos o triângulo retângulo AMC de ângulos agudos iguais a 30° e 60°. Aplicando as razões trigonométricas ao triângulo AMC temos:
  • 121. Para obter as razões trigonométricas do ângulo de 45°, considere um quadrado de lado l. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles. No triângulo ABD, temos:
  • 122. Observação: sen45° = cos45° Resumindo temos a tabela: Exercícios resolvidos: 1) Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que o segmento BC é igual a 10 m e cos α = 3/5
  • 123. Solução: 2) Calcule a altura de um triângulo eqüilátero que tem 10 cm de lado. Solução:
  • 124. 3) A altura de um triângulo eqüilátero mede 4 cm. Calcule: a) A medida do lado do triângulo b) A área do triângulo 4) Calcule x indicado na figura
  • 125. Solução:
  • 126. Solução: 6) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m dos solo, forma com essa parede um ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada em metros?
  • 127. Solução: 7) Na figura indicada calcule AB. Solução:
  • 128. 8) Observe na figura os três quadrados identificados por 1,2 e 3. Se a área do quadrado 1 é 36cm² e a área do quadrado 2 é 100cm², qual é, em centímetros quadrados, a área do quadrado 3 ?
  • 129. A2 = A1 + A3 100 = 36 + A2 A2 = 100 – 36 = 64cm² 9)As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa e o perímetro desse triângulo. 10) Sabe-se que, em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa. Se um triângulo retângulo tem catetos medindo 5cm e 2cm, calcule a representação decimal da medida da mediana relativa a hipotenusa nesse triângulo.
  • 130. 11) Um quadrado e um triângulo eqüilátero têm o mesmo perímetro. Sendo h a medida da altura do triângulo e d a medida da diagonal do quadrado. Determine o valor da razão h/d.
  • 131. EXPRESSÕES NUMÉRICAS EQUAÇÃO DO 1° GRAU INEQUAÇÃO DO 1° GRAU PRODUTOS NOTÁVEIS EQUAÇÃO DO 2° GRAU LOGARITMOS PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA NÚMEROS COMPLEXOS
  • 132. FUNÇÃO DO 2º GRAU quimsigaud.blog.uol.com.br Aulas particulares de matemática entrar em contato pelo e-mail quimsigaud@uol.com.br Professor: Joaquim Julio Marcondes Sigaud NÚMEROS COMPLEXOS NÚMEROS COMPLEXOS Este site está com cara nova por favor entre agora nowww.xmatematica.com.br O que existe além dos números reais? Gerônimo Cardano, médico e matemático italiano, publicou em 1545, em sua obra Ars magna, a resolução de equações do tipo x³ + px + q = 0. Essa resolução, relata Cardano, foi apresentada a ele por Nicolo Tartáglia. O método proposto por Tartáglia consiste em substituir a variável x por u – v tal que o produto uv seja um terço do coeficiente de x da equação. Cardano, resolvendo equações cúbicas através desse método, deparou-se com raízes quadradas de números negativos, que até então não eram aceitas pelos matemáticos. Vamos percorrer o mesmo caminho feito por Cardano para perceber algo surpreendente. Resolvamos a seguinte equação: x³ - 6x + 4 = 0 Substituindo x por u – v de modo que o produto uv seja igual a um terço do coeficiente de x, que é -2 , obtém-se o sistema (u – v)³ - 6(u – v) + 4 = 0 uv = -2 u³ - 3u²v + 3uv² - v³ - 6u + 6v + 4 = 0 uv = -2 Fazendo uv = -2 na primeira equação e isolando v na segunda , obtém-se: u³ - v³ + 4 = 0 v = -2/u
  • 133. Chamando u³ = t temos: Nesse momento, Cardano concluiu: como não existe raiz quadrada de número negativo, temos que não existem u nem v e, conseqüentemente, não existe x, pois x = u – v. Porém, espantosamente ele verificou que o número real 2 é raiz da equação x³ - 6x + 4 = 0, pois 2³ - 6.2 + 4 = 0. Essa constatação levou Cardano a considerar a existência de novos números, como por exemplo: Nessa mesma época, outro grande matemático italiano, Rafael Bombelli ( cerca de 1526 – 1573), teve o que chamou de “idéia louca”, operando com expressões que envolviam raízes quadradas de números negativos. Bombelli admitiu, por exemplo, a identidade: Dando assim subsídios para o início da construção de um novo conjunto: o conjunto dos números complexos. Até agora, o conjunto universo utilizado na resolução de problemas e equações foi o conjunto R dos números reais. Algumas equações não tinham solução no conjunto dos reais. É o caso, por exemplo, da equação x² + 1 = 0 x² + 1 = 0 x² = -1 S={ } Agora, veja que, se tomarmos como universo um conjunto para o qual se admita a existência de raiz quadrada de -1 a equação
  • 134. passará a ter solução não-vazia. No conjunto dos números complexos,convenciona-se que: Exemplo: Vamos resolver a equação x² - 2x + 5 = 0. Conjunto dos números complexos é aquele formado pelos números que podem ser expressos na forma z = a + bi , em que: A forma z = a + bi é denominada forma algébrica de um número complexo, em que a é a parte real e b, a parte imaginária. Tomando um número complexo z = a + bi, temos: a = 0 z = a + bi b ≠ 0 (imaginário puro). Dessa maneira, todo número real pode ser expresso na forma
  • 135. a + bi com b = 0. Isso nos permite concluir que todo número real é também complexo. Exemplo: Os complexos 6i e –i são imaginários puros e os complexos 4 e 0 são reais. Exercícios: Classifique cada número complexo a seguir como imaginário puro ou real: Determine o valor de m e n para que o complexo z = (m² - 4) + (n³ - 27) i seja um imaginário puro. Resolução: z = a + bi é imaginário puro se a = 0 e b ≠ 0. Logo: m² - 4 = 0 m² = 4 m = -2 ou m = 2 n³ - 27 ≠ 0 n³ ≠ 27 n≠3 Dados os complexos a seguir, determine: a) m e n para que z = m + (2m - n + 1)i seja imaginário puro. Resolução: m=0 2m – n + 1 ≠ 0 -n ≠ -1 n≠1 b) a e b para que z = (4a – 5) + (2b + 7)i seja real. Resolução:
  • 136. 2b + 7 = 0 2b = -7 b = - 7/2 qualquer a є R c) x e y para que z = (2x + 4) – (y – 3) i seja o real z = 0. Resolução: 2x + 4 = 0 y–3=0 2x = -4 y=3 x = -4/2 = -2 Resolva as equações a seguir para U = C:
  • 137. Igualdade e operações Dados dois números complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, dizemos que eles são iguais quando a parte real de z1 for igual a de z2, o mesmo ocorrendo com as partes imaginárias: a1 + b1i = a2 + b2i ↔ a1 = a2 e b1 = b2 Exemplo: Considere os complexos z1 = (a + 1) + 3i e z2 = 4 + (2 – b) i. Teremos z1 = z2 se ocorrer: (a + 1) + 3i = 4 + (2 – b) i a+1=4 a=3 2–b=3 b = -1 Adição e subtração Faz-se a adição ou a subtração dos complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i somando ou subtraindo as partes reais, a1 e a2 e as partes imaginárias b1 e b2: (a1 + b1i) + (a2+ b2i) = (a1+ a2) + (b1+ b2) i (a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a2 ) + (b1 - b2) i
  • 138. Dados os complexos z1 = 2 – 3i e z2 = z2 = 4 + 6i, temos: a) z1 + z2 = 2 – 3i + 4 + 6i = 6 + 3i b) z1 - z2 = 2 – 3i – ( 4 + 6i ) = -2 – 9i c)z2 – z1 = 4 + 6i – ( 2 – 3i ) = 2 + 9i d)2z1= z1 + z1 = 2 – 3i + 2 – 3i = 4 – 6i e)2z2 = z2 + z2 = 4 + 6i + 4 + 6i = 8 + 12i Efetue as operações indicadas: a)(6 + 5i) + (3 – 4i) = 6 + 5i + 3 – 4i = (6 + 3) + (5 – 4)i = 9 + i b)(1 – i) – (3 – 2i) = 1 – i – 3 + 2i = (1 – 3) + (2 – 1)i = -2 + i Multiplicação Na multiplicação dos complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, procede-se como na multiplicação de dois binômios, fazendo i² = -1. Assim: z1 = a1 + b1i z2 = a2 + b2i z1 . z2 = (a1 + b1i).( a2 + b2i) z1 . z2 = a1a2 + a1b2i + a2 b1i + b1 b2i² Como i² = -1, temos: (a1 + b1i).( a2 + b2i) = (a1a2 - b1 b2) + (a1b2 + a2 b1) i Exemplos: Vamos multiplicar z1 = 3 + 2i por z2 = 3 + 4i z1 . z2 = (3 + 2i )( 3 + 4i) = 9 + 12i + 6i + 8i² = 9 + 18i + 8(-1) = 9 + 18i – 8 = 1 + 18i Se z1 = 4 e z2 = 2 - 5i, temos: z1 . z2 = 4(2 – 5i) = 8 – 20i Pode ocorrer também que o produto de dois números complexos seja um número real: z1 = 2 + i z2 = 2 – i z1 . z2 = (2 + i) (2 – i) = 4 – i² = 5 Dados z1 = 1 – 3i e z2 = 2 + i, calcule: a) z1 . z2 z1 . z2 = (1 – 3i)(2 + i) = 2 + i – 6i – 3i² = 2 – 5i + 3 = 5 – 5i b) 2z1 - 3z2 2z1 - 3z2 = 2(1 – 3i) – 3(2 + i) = 2 – 6i – 6 – 3i = - 4 – 9i
  • 139. c) z1² (1 – 3i)² = 1 – 6i + 9i² = 1 – 6i – 9 = - 8 – 6i d) z2² (2 + i)² = 4 + 4i + i² = 4 + 4i – 1 = 3 + 4i e) (z1 + z2)( z1 - z2) (1 – 3i + 2 + i)[1 – 3i – (2 + i)] = = (3 – 2i)[1 – 3i – 2 – i] = (3 – 2i)[-1 – 4i] = = -3 – 12i + 2i + 8 i² = -3 – 12i + 2i – 8 = -11 – 10i Dados os complexos z1 = a + 2i e z2 = 3 – bi, determine a e b para que 2z1- z2 seja um imaginário puro. Resolução: z1 = a + 2i z2 = 3 – bi 2z1 - z2 = 2(a + 2i) – (3 – bi) = 2a + 4i – 3 + bi = = (2a – 3) + (4 + b)i Para 2z1 - z2 seja um imaginário puro devemos impor: 2a – 3 = 0 2a = 3 a = 3/2 4+b≠0 b≠-4 Calcule o valor do número z = (5 – i)² + (5 + i)². Resolução: z = 25 – 10i + i² + 25 + 10i + i² = 25 – 10i – 1 + 25 + 10i – 1 = 48 Determine o valor real de x para que o número complexo: z = (1 – 2x) + 3i seja um número imaginário puro. Para que z seja um imaginário puro é necessário que Re(z) = 0, Pois Im(z) = 3 ≠ 0 Então: 1 – 2x = 0 -2x = -1 x = 1/2 verificando, vem: z = (1 – 2x) + 3i = (1-2.1/2) + 3i = 0 + 3i = 3i (imaginário puro) logo, x = 1/2 z = (8 – x) + (2x – 3)i seja um número imaginário puro. 8–x=0 x=8 para x = 8, temos: (2.8 – 3) = 13 ≠ 0 Logo, x = 8 Conjugado de um complexo
  • 140. Vamos obter os conjugados dos seguintes números: Divisão Dados os complexos z1 e z2 com z2 ≠ 0, podemos fazer z1 /z2 multiplicando o numerador e o denominador da fração pelo conjugado do denominador. Considere z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i. Exemplos: Vamos efetuar a divisão de z1 = 2 + 4i por z2 = 5 – i ; Utilizando o conjugado de um número z, vamos obter o seu inverso:
  • 141. Escreva os conjugados dos seguintes complexos: z = -3i + 1 conjugado: 1 + 3i Efetue as divisões:
  • 142. Simplifique a expressão: Determine o número complexo z tal que:
  • 143. (a + bi) – (a – bi) + (a + bi)(a – bi) = 8 + 4i a + bi – a + bi + a² - abi + abi – bi² = 8 + 4i 2bi + a² + b² = 8 + 4i 2b = 4 b=2 a² + b² = 8 a² + 4 = 8 a² = 4 Logo, z = 2 + 2i ou z = -2 + 2i Potências de i Estudando as potências de i Portanto, para determinar uma potência de i superior a 4, basta dividir o expoente de i por 4 e considerar apenas i elevado ao resto dessa divisão. Veja: 9:4= Quociente = 2 Resto = 1 i¹ = i 82 : 4 = Quociente = 20 Resto = 2 i² = -1 123 : 4 = Quociente = 30 Resto = 3 i³ = -i EXPRESSÕES NUMÉRICAS
  • 144. EQUAÇÃO DO 1° GRAU INEQUAÇÃO DO 1° GRAU PRODUTOS NOTÁVEIS EQUAÇÃO DO 2° GRAU LOGARITMOS PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA TRIÂNGULO RETÂNGULO FUNÇÃO DO 2º GRAU quimsigaud.blog.uol.com.br