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Banco de exercícios gerais de matematica todo em

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  • 1. Matemática Prof. Júlio 08. Dados os conjuntos A = {x ∈ N / 1 < x < 5}, B = {2, EXERCÍCIOS - 1, 6, 3} e C = {3,- 4, 6, 9} e D={ x ∈ Z / 1 < x < 4}, coloque V ou F: CONJUNTOS ( )2∉A ( )A⊄C01. Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 6}, B = {1 , -2 , -3 ( ) A∩B∩C∩D = {2, 3}, 4, 5, 6} e C = {0, - 2, 4}, calcule: ( ) {3}∈ Ba) A – B= ( )3 ∈Cb) A∪B= ( ) {9, - 4} ⊄ Cc) (A ∩ B) – C= ( )2∈C ( )7∈A02. (F.I. Anápolis-GO) – Dados os conjuntos: A = {0, 1, ( )2⊂D3, 5}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {3, 8, 9}, o conjunto M = B ( )D⊂A– (A ∪C) é: ( ) A – B = {4, 5}a) {1, 3, 5} b) {0, 8, 9} c) {7} ( )A–D=φd) {1, 5, 7} e) {7, 5, 8, 9} 09. (OSEC – SP) – Dados os conjuntos A={a; b; c},03. Sendo A = {1, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 5, 7, 8} e C = {4, B={b; c; d} e C={a, c, d; e}, o conjunto (A – C) ∪ (C –5, 6, 7, 8}, calcule o valor de: B) ∪ (A ∩ B ∩ C) é:a) (A – B) ∩ C a) {a;b;c;e} b) {a;c;e} c ) A d) {b;d;e} e) ndab) (C ∪ A) ∩ (B – A)c) [(A – B) ∩ (A ∪ C)] – (A – C) 10. Se um conjunto possui 32 subconjuntos, quantos elementos ele tem?04. Sendo A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, {1, 2}}, assinaleV ou F: 11. (FGV - SP) Seja A um conjunto com 8 elementos. O( )A∪B=A ( ) A∩B=B número total de subconjuntos de A :( ) {1} = B ( ) {1} ⊂ B a) 8 b)6 c) 256 d) 128 e) 100( ) {1, 2, 3} ⊂ B ( ) 1, 2 ∈B( )φ∈A ( ) φ⊂A 12. (CEFET – PR) – Sendo A={0;1;2;3}, B={2;3;4;5} e( ) {1,2} ⊂ A ( ) {{1, 2}} ⊂ B C={4;5;6;7}, então o conjunto (A – B) ∩ C é: a) {0;1} b) {2;3} c) {6;7} d) {4;5} e) ∅05. (ITA 2005) – Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6},T = {1, 3, 5} e U = {0, 1} e as afirmações: 13. Dados os conjuntos A = {1, 3, 4, 5, 7, 9}, B = {3, 4,I. {0} ∈ S e S ∩ U ≠ φ. 5, 6} e C = {5, 8, 9}, determine (B – A) ∩ (C – A).II. {2} ⊂ S U e S ∩ T ∩ U = {0, 1}.III. Existe uma função f : S → T injetiva. 14. Dados os conjuntos A = {- 2, 3, 4, 5}, B = {2, - 1, 6,IV. Nenhuma função g : T → S sobrejetiva. 3} e C = {3, 4, 6, 9}, coloque V ou F:Então, é(são) verdadeira(s) ( )2∈A ( )A⊄Ca) apenas I. b) apenas IV. c) apenas I e IV. d) ( ) {3}∈ B ( )3 ∈Capenas II e III. e) apenas III e IV. ( )2∉C ( )7∈A ( )C⊂A ( )A∩B=306. (FATEC – SP) Se A={2;3;5;6;7;8}, B={1;2;3;6;8} eC={1;4;6;8}, então: 15. Quantos são os subconjuntos do conjunto A = {2, 4,a) (A – B) ∩ C={2} b) (B – A) ∩ C={1} 6, 8, 10, 12, 14}?c) (A – B) ∩ C={1} d) (B – A) ∩ C={2}e) nda 16. (USS – RJ) – Se A e B são conjuntos, A ∪ B = A se e somente se:07. (ITA/2004) - Considere as seguintes afirmações sobre a) A = B b) A ⊂ B c) B ⊂ A d) A = φ e) B = φo conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} : 17. (UFPI) – Considerando os conjuntos A, B e C na figuraI. ∅∈U e n (U ) = 10 . abaixo, a região hachurada representa:II. ∅ ⊂ U e n (U ) = 10 .III. 5 ∈U e { 5 } ⊂ U .IV. { 0,1, 2,5} I { 5} = 5 .Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) a) B – (A – C)a) apenas I e III. b) apenas II e IV. b) B ∩ ( A – C)c) apenas II e III. d) apenas IV. c) B ∪ (A ∩ C)e) todas as afirmações. d) B ∩ (A ∪ C) e) B – (A ∪ C) 593
  • 2. Matemática Prof. Júlio 18. (F.M. Itajubá-MG) – Com relação a parte 23. (UEL) – Uma universidade está oferecendo três sombreada do diagrama, é correto afirmar que: cursos de extensão para a comunidade externa com a finalidade de melhorar o condicionamento físico de pessoas adultas, sendo eles: Curso A: Natação Curso B: Alongamento Curso C: Voleibol As inscrições dos cursos se deram de acordo com a) A – (B – C) a tabela seguinte: b) A – (B ∪ C) Curs Apenas Apenas Apenas A e AeC BeC A, B e C c) A – (B ∩ C) o A B C B d) A – (C – B) Aluno 9 20 10 13 8 18 3 e) Nenhuma das respostas anteriores. Analise a s afirmativas seguintes com base nos dados apresentados: 19. (PUC-RS) Com relação à parte hachurada do I – 33 pessoas se inscreveram em pelo menos diagrama, é correto afirmar que: dois cursos. II – 52 pessoas não se inscreveram no curso A. III – 48 pessoas se inscreveram no curso B. IV – O total de inscritos no curso foi de 88 pessoas. As afirmações corretas são: a) I e II b) I e III c) III e IV a) C – (A ∩ B) d) I, II e III e) II, III e IV b) (A ∩ B) – C c) A – (B ∩ C) 24. Em uma pesquisa sobre programas de TV que d) (B ∩ C) – A habitualmente assistem, as pessoas responderam e) (A ∩ B) – (B ∪ C) sobre a preferência de três programas A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: 20. Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = • 400 assistem ao programa A. • 350 assistem ao programa B. {2, 4, 5, 6}, analise os itens a seguir: (I) 3⊂A • 250 assistem ao programa C. • 20 aos três programas. (II) A ∩ B = {2, 4, 6} • 70 assistem aos programas A e B. (III) (A – B) ∪ (A ∩ B) = A • 50 assistem aos programas A e C. Pode-se afirmar que: • 60 assistem aos programas B e C. a) apenas I está correto Pergunta-se: b) apenas II está correto a) Quantas pessoas foram entrevistadas? c) apenas III está correto b) Quantas pessoas assistem somente ao d) II e III estão corretos programa B? e) I e III estão corretos c) Quantas pessoas assistem dois programas? d) Quantas pessoas não assistem ao programa 21. Dados os conjuntos A = {3, 5, 7, 9}, B = {1, 3, A? 4, 5} e C = {1, 2, 3,7}, analise os seguintes itens: 25. (GV) Em uma pesquisa de mercado foram I – (A ∪ B) ∩ C = C entrevistadas várias pessoas acerca de suas II – A tem 16 subconjuntos preferências em relação a três produtos A, B e C. III – A ∩ B = 3 Os resultados da pesquisa indicaram que: IV – A ⊂ B • 210 compram o produto A. Podemos afirmar que: • 210 compram o produto B. a) Somente I é verdadeiro • 250 compram o produto C. b) Somente II é verdadeiro • 20 compram os três produtos. c) Somente IV é verdadeiro • 60 compram os produtos A e B. d) e) I e III são verdadeiros • 70 compram os produtos A e C. e) II e III são verdadeiros • 50 compram os produtos B e C. Quantas pessoas foram entrevistadas? 22. (UFV/PASES) – A escola Cantinho Feliz possui 1200 alunos e oferece dança e futebol como 26. (GV) Em uma pesquisa de mercado foram atividades extracurriculares. Sabendo que neste entrevistadas várias pessoas acerca de suas ano há 590 alunos inscritos em dança, 570 preferências em relação a três produtos A, B e C. inscritos em futebol e 270 alunos inscritos em Os resultados da pesquisa indicaram que: ambas as atividades, o número de alunos que • 200 compram o produto A. NÃO se inscreveram em qualquer destas • 200 compram o produto B. atividades é: • 250 compram o produto C. a) 300 b) 310 c) 320 d) 330 • 10 compram os três produtos. 594
  • 3. Matemática Prof. Júlio • 50 compram os produtos A e B. • 70 compram os produtos A e C. • 30 compram os produtos B e C. Pergunta-se: a) Quantas pessoas foram entrevistadas? b) Quantas pessoas compram somente o produto A? Diarréia: 62 casos c) Quantas pessoas compram os produtos C ou Febre: 62 casos B? Dor no corpo: 72 casos d) Quantas pessoas compram os produtos A e Diarréia e febre: 14 casos B? Diarréia e dor no corpo: 8 casos Febre e dor no corpo: 20 casos 27. (UNIFAL/2006) – Em uma cidade com 40.000 Diarréia, febre e dor no corpo: x casos habitantes há três clubes recreativos: Colina, Nos dados, x corresponde ao número de pessoas Silvestre e Campestre. Feita uma pesquisa, que apresentaram, ao mesmo tempo os três foram obtidos os seguintes resultados: 20% da sintomas. Pode-se concluir que X é igual população freqüenta o Colina; 16% o Silvestre; a:__________. 14% o Campestre; 8% o Colina e o Silvestre; 5% o Colina e o Campestre; e 4% o Silvestre e o 32. (UFF) – Dentre as espécies ameaçadas de Campestre. Somente 2% freqüentam os três extinção na fauna brasileira, há algumas que clubes. O número de habitantes que não vivem somente na Mata Atlântica, outras que freqüentam nenhum destes três clubes é: vivem somente fora da Mata Atlântica e, há a) 26000 b) 30000 c) 28000 d) 32000 e) 34000 ainda, aquelas que vivem tanto na Mata Atlântica como fora dela. Em 2003, a revista Terra 28. Num universo de 800 pessoas, é sabido que 200 publicou alguns dados sobre espécies em delas gostam de samba, 300 de rock e 130 de extinção na fauna brasileira: havia 160 espécies samba e rock. Quantas não gostam nem de de aves, 16 de anfíbios, 20 de répteis e 69 de samba, nem de rock? mamíferos, todas ameaçadas de extinção. Dessas a) 430 d) 450 c)330 d)250 e) 470 espécies, 175 viviam somente na Mata Atlântica e 75 viviam somente fora da Mata Atlântica. 29. (PUC_PR) – Em uma pesquisa feita com 120 Conclui-se que, em 2003, o número de espécies empregados de uma firma, verificou-se o ameaçadas de extinção na fauna brasileira, seguinte: citadas pela revista Terra, que vivem tanto na - têm casa própria: 38 Mata Atlântica como fora dela, corresponde a: - têm curso superior: 42 a) 0 b) 5 c) 10 d) 15 e) 20 - têm plano de saúde: 70 - têm casa própria e plano de saúde: 34 33. (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as - têm casa própria e curso superior: 17 únicas matérias dadas são matemática e - têm curso superior e plano de saúde: 24 português, 240 alunos estudam matemática e - têm casa própria, plano de saúde e curso 180 alunos estudam português. O número de superior: 15 alunos que estudam matemática e português é: Qual a porcentagem dos empregados que não se a) 120 b) 60 c) 90 d) 180 e) 210 enquadram em nenhuma das situações anteriores? 34. (PUC – PR) – Em uma pesquisa com um turma a) 25% b) 30% c) 35% d) 40% e)45% de alunos, apurou-se o seguinte: 45% dos alunos são homens. Sabe-se também que 60% 30. (UFPA) – A Câmara dos Deputados reuniu-se dos alunos jogam futebol e que destes 70% são extraordinariamente para decidir sobre a instalação homens. Que percentual de alunos, que não de duas Comissões Parlamentares de Inquéritos jogam futebol, são mulheres? (CPI): a do FUTEBOL e a do CAIXA 2. Dos 320 a) 42% b) 37% c) 16% d) 45% e) 60% deputados presentes, 190 votaram a favor da instalação da CPI do FUTEBOL; 200 pela instalação 35. Após um jantar, foram servidas as sobremesas X da CPI do CAIXA 2; 90 votaram a favor da instalação e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 das duas comissões e X deputados foram contrários comeram a sobremesa X, 7 comeram a à instalação das CPIs. O número X de deputados que sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas votaram contra a instalação das CPIs é: não comeram nenhuma ? a) 160 b) 90 c) 70 d) 50 e) 20 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 31. (UERJ) – Em um posto de saúde foram 36. (UF-BH) – Um colégio ofereceu cursos de inglês e atendidas, em determinado dia, 160 pessoas com francês, devendo os alunos se matricularem em a mesma doença, apresentando, pelo menos, os pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma sintomas diarréia, febre ou dor no corpo, classe, 13 resolveram estudar tanto inglês isoladamente ou não. A partir dos dados quanto francês; em francês, matricularam-se 22 registrados nas fichas de atendimento dessas alunos. Quantos alunos se matricularam em pessoas, foi visto que: inglês? 595
  • 4. Matemática Prof. Júlio 44. Se A, B e C são conjuntos tais que: 37. (UPF/2002) – Feita uma pesquisa com 600 n[A - (B ∪ C)] = 15, estudantes sobre as universidades em que n[B - (A ∪ C)] = 20, pretendem prestar vestibular, observou-se que n[C - (A ∪ B)] = 35 e 245 pretendem prestar vestibular na n(A ∪ B ∪ C) = 120 universidade A; 270, na universidade B; 285, na então n[(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)] é igual a: universidade C; 130, nas universidades A e B; a) 14 b) 50 c) 35 d) 56 e) 26 120, nas universidades A e C; 110, nas universidades B e C; e 50, nas três universidades 45. Dado o conjunto A = {1, 4, 7, 9}, quantos são citadas (A, B e C). Com base na pesquisa, é seus subconjuntos? incorreto o que se afirma na alternativa: a) 230 estudantes pretendem prestar vestibular 46. (FCC - BA) Consultadas 500 pessoas sobre apenas em uma universidade. emissoras de TV a que habitualmente assistem, b) 110 estudantes não pretendem prestar obteve-se o resultado seguinte: 280 pessoas vestibular nas três universidades. assistem ao canal A, 250 pessoas assistem ao c) 80 estudantes pretendem prestar vestibular canal B e 70 assistem aos outros canais, distintos apenas na universidade B. de A e B. O número de pessoas que assistem a A d) 70 estudantes pretendem prestar vestibular e não assistem a B é? apenas na universidade C. e) 210 estudantes pretendem prestar vestibular 47. (PUC - PR) Em um levantamento com 100 em duas das três universidades citadas. vestibulandos da PUC, verificou-se que o número de alunos que estudou para as provas de 38. (ESPM/2004) – Uma pesquisa envolvendo 800 Matemática (M), Física (F) e Português (P) foi o habitantes de uma cidade revelou que 35% deles seguinte: M - 47, F- 32, P - 21, M e F - 7, M e P - lêem diariamente o jornal A; 60% lêem o jornal 5, F e P – 6, M, F e P - 2. Quantos, dos 100 B e que 120 entrevistados não lêem nenhum dos alunos incluídos no levantamento, não estudaram dois jornais. O número de pessoas entrevistadas nenhuma das matérias? que lêem os dois jornais é: a) 60 b) 80 c) 100 d) 120 e) 140 48. (PUC – PR) – Sejam A, B e C 3 conjuntos finitos. Sabendo-se que A ∩ B tem 20 elementos, B ∩ C 39. Um levantamento efetuado entre 600 filiados do tem 15 elementos e A ∩ B ∩ C tem 8 elementos, INPS, mostrou que muitos deles mantinham então o número de elementos de (A ∪ C) ∩ B é: convênio com 2 empresas particulares de a) 28 b) 35 c) 23 d) 27 e) 13 assistência médica, conforme o quadro: A B INPS 49. (UEL – PR) – Em um certo concurso vestibular, 430 160 60 na prova de Língua Estrangeira, o candidato pode Quantas pessoas são filiadas simultaneamente às optar por Inglês, francês ou Espanhol. Sabe-se duas empresas? que 5% do total de inscritos optaram por Espanhol e, do número restante, 20% 40. Numa sociedade existem: escolheram Francês. Se 15 200 candidatos - 35 homens; optaram por Inglês, o total de candidatos - 18 pessoas que usam óculos; inscritos nesse concurso é: - 15 mulheres que não usam óculos; a) 17 800 b) 18 000 c) 20 000 - 7 homens que usam óculos. d) 20 800 e)21 000 Qual é o número de pessoas que compõe a sociedade? 50. USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que: 41. (FGV - SP) Seja A um conjunto com 8 elementos. • choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; O número total de subconjuntos de A : • quando chove de manhã não chove à tarde; a) 8 b) 256 c) 6 d) 128 e) 100 • houve 5 tardes sem chuva; • houve 6 manhãs sem chuva. 42. O número dos conjuntos X que satisfazem {1, 2} Podemos afirmar então que n é igual a: ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4} é: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 43. (UDESC) Uma pesquisa foi realizada junto a 930 51. Escreva os intervalos abaixo na forma de pessoas a respeito da prática dos esportes conjuntos (usando os símbolos <, >, ≤ ou ≥) futebol e vôlei: foi constatado que o vôlei era a) [1, 2] b) ]-1, 3] c) ]2, 5] ∪ [6, + ∞[ praticado por 340 pessoas e que 65 praticavam d) ] - ∞, 2[ ∪ [5, 8] ambos os esportes. Foi constatado ainda que 15 pessoas não praticavam nenhum desses 52. Use os símbolos ∈ ou ∉ para relacionar as esportes. O número de pessoas que praticavam alternativas abaixo: apenas o futebol é: a) – 3 N a) 565 b) 525 c) 535 d) 510 e) 575 b) ¾ Z c) - 2 Z d) √3 Q 596
  • 5. Matemática Prof. Júlio e) 10/2 N ( ) √-25 ∈ R f) 0,333... Q g) 5,6 R 61. (CEFET) - Se A = ]7/2 , √40] ∩ [π, 16/3[, o número que pertence ao conjunto A é: 53. Coloque V ou F conforme a sentença seja a) 7/2 b) √40 c) π d) 19/4 e) 25/4 verdadeira ou falsa, respectivamente: ( ) 4 é um número natural 62. (FUVEST) Na figura estão representados ( ) –1 é um número irracional geometricamente os números reais 0, x, y e 1. ( ) √64 é um número inteiro Qual a posição do número xy: ( ) 2/7 é um número racional ( ) –0,6666... é um número irracional ( )7∈Z a) à esquerda de 0 b) entre 0 e x ( )1∈Q c) entre x e y d) entre y e 1 ( ) √3 ∈ R e) à direita de 1 ( )2∉Z ( )–1∉I 63. Observe os seguintes números. ( ) √8 ∉ N I. 2,212121... II. 3,212223... III. π / 5 ( ) 6/2 ∈ N ( ) 72 ∈ N IV. 3,1416 V. −4 ( ) 0,7777... ∈ Z Assinale a alternativa que identifica os números irracionais. 54. Dados os conjuntos: A = [- 1, 3] e B = ]2, 7], a) I e II c) I e IV e) II e III calcule A ∪ B e A ∩ B. b) II e V d) III e V 64. (UNIOESTE) Considere os conjuntos: 55. (EPCAR) Qual das proposições abaixo é falsa? A = {x ∈ R / -1 < x < 4 } e a) Todo número real é racional. B = {x ∈ R / -4 < x < 1}. É correto afirmar que: b) Todo número natural é inteiro. 01) √5 ∈ A c) Todo número irracional é real. 02) 6-2 ∈ A d) Todo número inteiro é racional. e) Todo número natural é racional. 04) 50 ∈ B 08) - 7 / 3 ∈ B 56. (UEMT) – Dados os intervalos A = (-2, 1] e B = 16) 3,2 x 10-3 ∉ B [0, 2], então A ∩ B e A ∪ B, são, 32) A ∩ B = { x ∈ R / -1 < x < 1} respectivamente; 64) A ∪ B = { x ∈ R / x < 4} a) (0, 1) e (-2, 2) b) [0, 1] e (-2, 2] c) [0, 1) e [-2, 2] d) (0, 1] e (-2, 2] e) [0, 1) e [-2, 2) 65. Do número α sabe-se que: I - é raiz da equação x4 - 5x2 + 4 = 0 57. Dados os conjuntos A = {x ∈ N / 1 < x < 5}, B = II- α ∈ (R - Z-) {1, 3, 7, 8} e C = {4, 6, 9, 10} e D={ x ∈ Z / - III - α ∉ ]-7, 3/2] ∩ [0, 5[ 1 < x < 3}, Calcule: Nessas condições, determine α. a) A – B b) (B – C) ∪ D 66. (UFSM) Dados os conjuntos c) (D ∩ A) – C A = {x ∈ N/ x é ímpar} d) (A – D) ∪ B B = {x ∈ Z/ -2 < x ≤ 9} C = {x ∈ R/ x ≥ 5}, 58. Escreva os intervalos abaixo em forma de O produto dos elementos que formam o conjunto colchetes: (A ∩ B) – C é igual a: a) {x ∈ R / x > 3} a) 1 b) 3 c) 15 d) 35 b) {x ∈ R / x < 12} c) {x ∈ R / x ≥ 5} 67. (UFC) – Sejam M e N conjuntos que possuem um d) {x ∈ R / 1 < x < - 5}. único elemento em comum. Se o número de subconjuntos de M é igual ao dobro do número de 59. Escrever os intervalos abaixo em forma de subconjuntos de N, o número de elementos do colchetes: conjunto M ∪ N é: a) {x ∈ R / x ≥ - 5} a) o triplo do número de elementos de M. b) {x ∈ R / x < - 8} b) o triplo do número de elementos de N. c) {x ∈ R / x ≤ 13} c) o quádruplo do número de elementos de M. d) {x ∈ R / - 3 < x < 0} d) o dobro do número de elementos de M. e) {x ∈ R / 2 ≤ x < 0} e) o dobro do número de elementos de N. f) {x ∈ R / 2 < x < 7 ou x > 10 e x ≠ 13} 68. Dados os intervalos A = [1, 4[, B = [3, 7] e C = 60. Analise a veracidade das proposições abaixo: ]- 3, 6[, calcule: ( ) - 3√-64 ∉ I a) (A ∪ B) ∩ C ( ) 0 / -5 ∈ (Z - N) b) C – A 597
  • 6. Matemática Prof. Júlio 69. (UFS-2004/Seriado) – Considere os conjuntos: 03. Fatore a expressão 4x3y4 + 12x2y – 20ax5y7 – A = {x ∈ R / 1 < x ≤ 3 ou 4 ≤ x ≤ 6} 16x3y2. B = { x ∈ R / 1 ≤ x < 5 e x ≠ 3} C = { x ∈ R / 2 < x ≤ 4} 04. Fatore as expressões: Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras 4x2 – 12xy + 9y2 = ou falsas. 100x2y2 – 4 = ( ) A ∩ C = ]2, 3] 25x2 + 4x2y2 = ( )C⊂B 2x – 4xy + 6x2y = ( ) B – C = {x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 2 ou 4 < x < 5} 2xa2 – 6x2a + 10x3a4 = ( ) A ∪ B = [1, 6] 3abc – 15a2b2c3 + 9ab5 = 70. Assinale a alternativa incorreta: 05. Assinale quais as expressões abaixo são trinômios a) 2 é racional e inteiro quadrados perfeitos e em seguida, fatore-os. b) –3 é inteiro e real ( ) x2 + 2xy + y2 = c) 5/2 não é irracional ( ) x2 + 4xy + 4 = d) 4,5 não é inteiro mas é racional e real ( ) 9x2 – 12xa + 4a2 = e) –7,3 é negativo e irracional. ( ) a2 – 14a + 49 = ( ) 25x2 + 30x + 9 =GABARITO 06. Sendo x - y = 40 e xy = 10 , calcule o valor de x201. a) {3} b) {-2, -3, 1, 3, 4, 5, 6} c) (1, 5, 6} + y2 .02. C 03. a) {6} b) {7. 8} c) {6}04. (F) (F) 05. B 06. B 07. C 07. Sendo x + y = 70 e xy = 500 , calcule o valor de (F) (V) 08. F,V,F,F,V,F.F.F,F,V,F,F 09. A x2 + y2. (F) (V) 10. 5 11. C 12. E 13. ∅ (F) (V) 14. (F) (V) 15. 128 08. Sendo x + y = 50 e x2 + y2 = 20 , calcule o valor (V) (V) (F) (V) 16. C 17. E 18. E de x . y. (F) (F) 19. B 20. C 21. B 2 4 (F) (F) 22. B 23. B 09. Sendo x+ = 8 , calcule o valor de x 2 + 2 .24. a) 840 b) 240 c) 140 d) 440 25. 510 x x26. a) 510 b) 90 c) 420 d) 50 27. A 28. A 10. Sendo x + y = 20 e xy = 50 , calcule o valor de29. A 30. E 31. 6 32. D 33. B 34. B 35. 1 x2 + y2.36. 36 37. D 38. B 39. 50 40) 61 41. B 42. B43. E 44. B 45. 16 46. 180 47. 16 48. D 11. Sendo xy = 40 e x2 + y2 = 10 , calcule o valor de49. C 50. C 51. a) { x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 2} (x + y)2. b) { x ∈ R / - 1 < x ≤ 3} c) { x ∈ R / 2 < x ≤ 5 ou x ≥ 6} 12. Sendo x + y = 30 e x – y = 60, calcule o valor de d) { x ∈ R / x < 2 ou 5 ≤ x ≤ 8} x2 – y352. ∉,∉,∈,∉,∈,∈,∈ 53. V,F,V,V,F,V,V,V,F,V,V,V,V,F54. A∪B=[-1,7] A∩B=]2,3]55. A 56. B 13. Sendo x + y = 130 e x – y = 20, calcule o valor57. a) {3,4} b) {0,1,2,3,7,8} c) {2} d) {1,3,4,7,8} de x2 – y258. a) ]3, ∞[ b) ] -∞, 12[ c) [5, ∞[ d) ]1,5[59. a) [-2,∞[ b) ]-∞,-8[ c) ]-∞,13] d) ]-3,0[ e) ]-2,0[ 14. Sendo x + y = 200 e x2 + y2 = 150 , calcule o f) ]2,7[ ∪ ]10, ∞[ - {13} valor de 2xy.60. V,F,F 61. D 62. B 3 963. E 64. 01,02,08,32 15. Sendo x+ = 12 , calcule o valor de x 2 + 2 .65. 2 66. B 67. E x x68. a) [1,6[ b) ]-3,1[ 69. F,V,V,V 70. E 16. Sendo x + y = 40 e x – y = 50 e xy = – 225 , calcule o valor de (x2 – y2) + (x2 + y2).FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS 17. A expressão 9x2 – 12xya + 4y2a2 é equivalente à: a) (3x – 4)2 b) (3x + 4ya)2 01. Desenvolva os seguintes produtos notáveis: c) (3x – 2ya) d) (3x2 – 4y2a2)2 e) (3x + 2y)2 2 a) (1 – x)3 = b) (1 + 3x)2 = 18. Fatore: c) (3x – 4)(3x + 4) = a) 27 – x3 = f) 1 + t3 = d) (3 + x)2 + (3 – x)2 = b) 8a3 + 125x3 = g) 1 + x3 = c) 1 – t3 = h) 27a3 + x3 = 02. Desenvolvendo a expressão: (x – 3)2 + (x + 3)2, d) 8 – x3 = i) 1 + 8t3 = obteremos o seguinte resultado: e) a3 + 64x3 = a) x2 + 12x + 18 b) x2 – 9 c) 2x2 + 18 d) x2 + 18 e) 14x + 18 19. Simplifique as frações abaixo: 598
  • 7. Matemática Prof. Júlio b) Dê sua forma mais simples. x − 9 x − 2x + 1 2 2 a) ⋅ = c) Calcule seu valor numérico para a = 20 e b = 2x − 2 2x − 6 9,12. 64 − x 2 26. Fatore as seguintes expressões algébricas: b) = 16 + 2 x a) 7a - 7b = d) a3 - a2 = b) 3x2 + 12x5 - 15x3 = e) 64 - a2 = 20. Fatore as expressões: c) 9x2 - 1 = f) m2n2 - 2mnpz a) x2 – 6xy + 9y2 = + p2z2 = b) 81x2y2 – 16 = 27. Simplifique: 21. Dois números x e y são tais que x2 + y2 = 92 e a) _x2 - x_ b) ___a + 2___ c) (x + y)2_ que x + y = 19. Então o valor de xy é: x-1 a2 + 4a + 4 x2 - y2 a) 271/2 b) 453/2 c) 269/2 d) 269/4 e) 227/2 28. (FAAP - SP) Simplificando a expressão a seguir: ______ax - ay______ , obtemos: 22. Fatore e simplifique cada expressão abaixo: x ( x - y) - y (x - y) a) a b) 1 / (x - y) c) a / (x - y) x −1 3x − 1 2−x d) a / (x + y) e) nda a) = b) = c) = 6x − 6 9x − 1 2 4 − xx 29. (UNICAMP) A expressão que segue abaixo: x2 + 4 − 2 x x2 + 4x + 4 _a2 + 2ab + b2_ ÷ _a - b_, para a ≠ ± b, é igual: d) = e) = a2 – b2 a+b x3 + 8 x2 − 4 a) 1 / (a + b)2 c) (a + b)3 / (a2 + b2) 5 x − 10 b) [(a + b) / (a – b)] e) (2a2b + 2ab2) / (a – b) 2 f) = c) d) 1 / (a – b) 25 x − 100 x + 100 2 30. (MED. SANTOS) Calculando o valor da expressão 23. Simplifique as frações abaixo: 9342872 – 9342862, obtemos: x 2 − 16 x 2 − 2 x + 1 81 − x 2 a) 1 b) 2 c) 1868573 d) 1975441 e) nda a) ⋅ = b) = 2x − 2 2x − 8 18 − 2 x 31. (UNIMEP – SP) Se m + n + p = 6 ; mnp = 2 e mn + mp + np = 11, podemos dizer que o valor x−3 2x − 3 25 x 2 − 4 2 x − 3 de _m2 + n2 + p2_, é:______. c) ⋅ 2 ⋅ ⋅ = mnp 2 x − 6 4 x − 12 x + 9 5 x + 2 25 x − 2 24. Fatore e simplifique cada expressão abaixo: 32. (FGF – SP) Simplificando-se 2x − 1 2x − 1 obtemos: a) = b) = a) 1/ (ab) 6x − 3 4 x2 − 1 b) ab c) (a +b) / (– a – b) x2 + 6x + 9 x3 − 1 c) = d) = d) – ab x2 − 9 x −1 e) nda x−4 x 2 − 25 33. Dê o valor numérico da expressão e) = f) 3 = 8 x − 32 x − 125 x2 − 4 x2 − 2 x 2x − 3 3x + 2 ⋅ para x = 12,5. g) = h) = x + 2 x2 − 4 x + 4 4 x − 12 x + 9 2 9x2 − 4 34. Simplificando a expressão 9x2 − 9 64 − x 2 x −1 i) = j) = k) = 1 1  x3 y 3 x+ y 9x − 9 16 x + 2 2x − 2  2 − 2 ⋅ 2 x  x + 2 xy + y 2 ⋅ y − x , obtém-se: 36 x 2 − 9 x2 − 9 x2 − 2x + 1  y  l) = m) ⋅ = a) xy b) 1 c) 0 d) – x e) 1/x 6x − 3 2x − 2 6x − 2 2 x − 1 12 x − 24 2− x 35. A expressão que segue n) ⋅ = o) = 6 x − 3 8x − 13 4 − 4x + x2 x −y 4 4 2x + 4 1 ⋅ ⋅ é 4 x + 4 y ( x + y )( x + 2) ( x − y ) 2 2 25. Com relação à expressão equivalente a: a −b 2 2 ab + a a − ab 2 a) 2 b) x + y c) ½ d) x – y e) 1 ⋅ 2 . : a + b a − 2ab + b 2b + 2 2 599
  • 8. Matemática Prof. JúlioGABARITO −2 2 1 2 b) E =   +1125 − 0 + 5 −   + 3 27 4 101. a) 1 – 3x + 3x2 + x3 b) 1 + 6x + 9x2 2 3 c) 9x2 – 16 03. O valor numérico da expressão d) 18 + 2x2 102. C 03. 4x2y (xy3 + 3 – 5ax3y6 – 4xy)04. a) (2x + 3y)2 05. (x) E = 4 − 5 0 + 12 ⋅ 3 −1 + 2 4 2 é: b) (10xy + 2)(10xy – 2) () a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 c) (5x + 2xy)( 5x – 2xy) (x) d) 2x(1 – 2y + 3xy) (x) 04. Calcule o valor das expressões abaixo: e) 2xa(a – 3x + 5x2a3) (x) 12 + 3 27 3 −1 + 2 −206. 1620 07. 3900 08. 1240 09. 60 a) = b) =10. 300 11. 90 12. 1800 0,2 2 + 2 − 2 16 − 4 1613. 2600 14. 39850 15. 13816. 3150 17. C 05. Dada a expressão abaixo, seu valor é:18. a) (3 – x)(9 + 3x + x2) a) – 38/5 b) (2a + 5x)(4a2 – 10ax + 25x2 −2 c) (1 - t)(1 + t + t2) b) 52/5 −1 1 1 d) (2 – x)(4 + 2x + x2) c) 26/5 E = 0,16 + 2 −   +3 e) (a + 8x)(a2 – 8xa + 64x2) d) 41/5  3 8 e) – 34/5 f) (1 + t)(1 – t + t2) g) (1 + x)(1 – x + x2) 06. Passe os número abaixo para notação científica h) (3a + x)(9a2 - 3ax + x2) a) sobre o planeta Terra: i) (1 + 2t)(1 – 2t + 4t2) - velocidade de translação: 29,79 km/s =19. a) (x+3)(x-1)/4 b) (8 – x)/2 _______________20. a) (x – 3y)2 b) (9xy + 4)(9xy – 4) 21. C - volume: 1083 000 000 km3 =22. a) 1/6 b) 1/(3x + 1) c) 1/(2 + x) _________________ d) 1/(x + 2) e) (x + 2)/(x – 2) - circunferência polar: 40 009m = f) 1/(5x – 10) _______________23. a) (x + 4)(x – 1)/4 b) (9 + x)/2 c) ½ b) 12,5 . 107 = ______________24. a) 1/3 b) 1/(2x + 1) c) (x + 3)/(x – 3) 0,00032 . 109 = _____________ d) 1/(x2 + x + 1) e) 1/8 3140,3 . 10 –7 = ____________ f) (x + 5)/(x2 + 5x + 25) g) 1/(2x – 3) 0,0035 . 10 –10 = ______________ h) 1/(3x – 2) i) x + 1 j) (8 – x)/2 k) 1/2 l) 6x + 3 07. O Número 0,000 000 0045, escrito na forma m) (x + 3)(x – 1)/4 n) 1/3 q) 1/(2 – x) científica, é:25. a) a2/2 b) 200 a) 4,5 x 10-9 b) 4,5 x 10926. a) 7(a – b) b) 3x2(1 + 4x3 – 5x) c) 4,5 x 10-8 d) 4, 5 x 10-10 e) 0,45 x 10-9 c) (3x + 1)(3x – 1) d) a2(a – 1) e) (8 + a)(8 – a) f) (mn – pz)2 08. Qual é o valor numérico da expressão:27. a) x b) 1/(a + 2) c) (x + y)/(x – y) a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 2028. C 29. B 1 −130. C 31. 7 132. B 33. 12,5 64 + 4 −   + 2 2 3 6434. A 35.C 2 09. Calcule o valor da expressão abaixo, deixando da forma mais simples possível. POTENCIAÇÃO 81 + (0,2 ) −2 01. Calcule o valor das seguintes potências: 1 (0,4)2 − (0,5)−1 a) 24 = b) 3 –2 = c) 16 = 2 4 −3  1 1 10. Qual é o valor numérico da expressão: (mostrar d) 7 2  = e)   = resolução)   5   a) 10 1 −1 b) 12  1 02. Calcule o valor das expressões: c) 13 64 + 42 −   + 3 64 + 12 − 2 3 0 d) 14  2  1125  5 e) 20  + 1 − 8 + 5 + (− 8) 2 −1 2 a) E =   2253  11. Calcule o valor da expressão abaixo, deixando da forma mais simples possível. (0,1)−2 600 (0,2)2 − (0,09)−1
  • 9. Matemática Prof. Júlio 23. (STA. CASA – SP) Para x = 0,1, o valor da expressão _x3 - 1_ é: 1 -x 12. Resolva as expressões abaixo: a) –11,11 b) –1,11 c) –0,111 d) 1,11 e) 11,1 24. (ACAFE – SC) Sendo a = 1, b = ½ e c = -2, 81 + 0,2 25 + 0,6 + 4 −1 a) = b) = calcule e valor numérico da expressão que 9 + 5−1 5,2 − 2− 2 + 5 32 segue:_c2 + b_ _ _2a – c2_ b – a2 b3 3 0,008 + 4−2 a) –25 b) –7 c) 7 d) 11 e) 25 c) − 2 + 0,3− 2 25. Se x = 10-3, então calcular a expressão abaixo em função de x. 13. Se 10m = 64, então o valor de 10m/3 é: _(0,2) . (0,001) . 10-1_ a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 10 . (0,0001) 14. (FATEC – SP) Se A = (-3)2 - 22, B = -32 + (-2)2 e 26. (OSEC – SP) Sabendo-se que a2 = 56, b3 = 57 e c4 C = (-3 – 2)2, então C + A x B é igual a: = 58 e que a e c são dois números reais de a) –150 b) –100 c) 50 d) 10 e) 0 mesmo sinal, ao escrever (a b c)9 como potência de base 5, qual o valor do expoente? 15. (CESCEM – SP) Simplificando a expressão [29 : (22 . 2)3]-3, obteremos: 27. (CESCRANRIO – RJ) O número de algrismos do a) 2-30 b) 1 c) 2-6 d) 236 e) 2 produto 517 x 49 é igual a: a) 17 b) 18 c) 26 d) 34 e) 35 16. (S.ANDRÉ – SP) Simplificando a expressão obtém-se: 28. (UNOPAR – PR) A expressão a) 2n + 1 – 1/8 b) 7/8 c) –2n + 1 é igual a: d) 1 – 2n e) 7/4 a) 1 b) 3 c) 5 d) 3√2 e) 5√2 17. Classifique como verdadeiro ou falso: GABARITO ( ) 27 . 22 = 29 ( ) 39 : 34 = 35 01. a) 16 b) 1/9 c) 4 d) 49 e) 125 ( ) 45 : 4-3 = 42 02. a) 11/5 b) 113/9 ( ) 75 – 73 = 72 03. B 04. a) 2500/29 b) 5/12 ( ) 5x – 3 = 5x : 53 05.A ( ) (73)2 = 75 06. a) 2,979x10 - 1,083x109 - 4,0009x104 ( ) (5 + 2)2 = 52 + 22 b) 1,25x108 – 3,2x105 – 3,1403x10- 4 – 3,5x10- 13 ( ) 103 / 105 = 10-2 07. A 08. A 09. -425/23 10. A 18. Sendo 23x = 27 calcule o valor de y na expressão 11. - 7500/243 y = 22x + 2-x 12. a) 1 b) 117/139 c) 189/6560 13. C 14. E 19. (UFSM – RS) Efetuando a divisão ex : ex – 2 , 15. B 16. B teremos: 17. V, V, F, F, V, F, F, V a) e2 b) e-2 c) e2x d) e2x – 2 e) nda 18. 28/3 19. A 20. E 21. B 20. (PUC – SP) (0,5)4 é igual a: 22. C 23. B a) 0,125 b) 0,625 c) 0,00625 d) nda 24. C 25. 200x 26. 66 27. B 21. (FGV – SP) A expressão (1/2)-3 + (1/2)-5 é 28. A igual a: a) (1/2)-8 b) 40 c) 1/40 d) –40 e) nda RADICIAÇÃO 22. (EFOA – MG) Qual dos números abaixo é igual a 01. Resolva as expressões abaixo: 0,000000375? a) (0,175 + 0,2) . 10-7 b) (3/8) . 10-5 c) (3 + 3/4) . 10-7 d) 375 / 10-6 a) 4 2 − 8 2 + 3 2 = 9 e) (375 . 10 ) b) 5 18 + 5 20 = c) 3 6 5 = 601 25 − 0,5 d) = 3 + 9 2
  • 10. Matemática Prof. Júlio a) 1 b) 2 c) 3 d) –1 e) –2 10. (SANTA CASA) A diferença 80,666... – 90,5 é igual a: a) 2 b) 1 c) √2 – 3 d) –2 e) -2√2 02. (Fuvest) 11. (UFMG) O valor da expressão algébrica –2 x - __1__ + x 3/2 + √ x, para x = 4 é: x–1 a) 23 / 3 b) 35 / 3 c) 3√16 + 91 / 48 d) 457 / 48 e) 467 / 48 12. (UFBA) – A expressão é igual a: (a) (b) x3 y y x (c) (d) (e) a) 3√x / y b) 6√x / y c) 6√y / x d) √ y / x e) √xy 03. Marque a alternativa INCORRETA: a) 2 < 5 < 8 13. (UFCE) Simplificando a expressão : 3√2 - 2√18 + 3√72, obteremos: b) 3 3 < 3 7 < 3 10 a) 3√2 b) 24√2 c) 15√2 d) - 15√2 c) 3 4 < 4 5 14. (UFMG) O quociente (7√3 - 5√48 + 2√192) : 3√3 é igual a: d ) 2 32 = 3 8 a) 2 b) 1 c) 3√3 d) 2√3 e) 3 3 =3 4 9 15. (UECE) – O valor da expressão 12[(√2)-2 – (√3)-2] é igual a: 2 a) 2 b) √3 c) 3 d) √2 e) 6 04. Racionalizando a fração ,encontraremos: 7− 5 16. (UI) – Simplificando a expressão obtém-se: a)√7 a) 2 + 3√5 b) 2 + √7 b) 3 + √5 c) 2√7 + 2√5 c) 3 + 2√5 9+4 5 d) √5 d) 2 + √5 e)√7 + √5 e) 2 + 2√5 05. Simplificar os radicais, fatorando-os. 17. (UFRGS) – A expressão √(3/5) + √(5/3) é igual a: a) 8/15 b) 3/5 c) 1 d) √(34/15) e) (8√15)/15 a)3 18000 d )3 1600 18. Racionalize as frações abaixo: b) 4 160 e) 4 960 2 3 2 c ) 420 f ) 1448 a) = b) = c) = 3 5 4+ 2 3 5 06. Resolvendo a expressão abaixo, obtém-se o 3 2 8 3valor: d) = e) = f) = 4+ 2 7 3+ 5 16 − 2 − 2 + 480 − 120 − 2 30 33 4 1 2 a)¾ b) 7 c) 7/4 d) 2√30 e) √30 g) = h) = i) = 3 2 2 2− 3 07. Simplifique os radicais abaixo: GABARITO a) 3600 = b) 3 648 = c) 5 3200 = 36 01. a) - √2 b) 15√2 + 10√5 c) 5 d) 1 02. 1 03. C 04. E 08. Resolva: −2 1 05. a)103 18 b) 24 10 c) 2 105 d) 23 200 e) 16 + 3 − 81 + 4 4 2 24 60 f) 2 362 09. (CESULON – PR) Qual o valor de x, se x é igual a: 3 06. C 07. a) 60 b) 63 3 c) 25 10 4096 602
  • 11. Matemática Prof. Júlio08. 10/9 09. B 10. B a) 32 b) 15√13 c) 75 d) 225√13 e) 292511. C 12. A 13. C14. B 15. A 16. D 08. A diferença entre um número e os seus 3 / 5 é17. E igual a 10. Qual é esse número?18. a) 2√15/5 b) (4√3 - √6)/14 c)2√5/15 d) (4√3 - 3 09. A soma de dois números ímpares consecutivos é√6)/14 e) 2√7/7 f) 4√15 – 12 g) 3 2 h) √2/2 244. Quais são esses números?i) 4 + 2√3 10. Em um colégio, 20% dos professores ensinam EQUAÇÃO DO 1º GRAU Matemática. Sabendo que o colégio ainda tem 24 professores que ensinam as outras matérias, 01. (FUVEST – SP) – A soma de um número com sua quantos professores há, ao todo, nesse colégio? quinta parte é 2. Qual é o número? 11. (UEL – PR) O número que satisfaz a igualdade 02. Resolva as equações abaixo: _x_ _ _5x - 7_ = _x - 4_ é: 3 2 6 a) 3 − x 2x + 5 x − 2 3x + 5 2 − x a) – 9/4 b) – 3/4 c) – 1/4 d) 25/14 e) 9/4 + = 1 b) + = 5 2 3 4 6 2x − 3 x + 3 2 12. (UNESP – SP) Duas empreiteiras farão c) − = . conjuntamente a pavimentação de uma estrada, 4 3 5 cada um trabalhando a partir de uma das 03. Resolva as equações abaixo: extremidades. Se uma delas pavimentar dois a) 3(x – 4) + 5(x + 3) = 2(3x – 5) – 6 quintos da estrada e a outra os 81 km restantes, b) (x – 4) + 5(x – 3) = 2(3x – 5) a extensão dessa estrada é de: a) 125km b) 135km c) 142km 04. Resolva as equações abaixo e responda qual a d) 145km e) 160km condição de existência dec cada uma delas. 13. (FGV – SP) A soma de três números inteiros e 4− x 2 4 2 5 a) = b) + = consecutivos é 60. Assinale a afirmação 2x + 1 3 x−2 x x 2 − 2x verdadeira: a) O quociente do maior pelo menor é 2 2−x 2 4 2 1 b) O produto dos três números é 8000 c) = d) + = c) Não existem números nessa condição x 3 x − 1 x 3x d) Falta informação para encontrar os 3 números 2−x 2 4 2 5 e) O produto dos três números é 7980 e) = f) + = x +1 3 x − 2 x 3x 14. Sejam N um número natural de dois algarismos 2 1 3 4 não-nulos e M o número obtido invertendo-se a g) + = + ordem dos algarismos de N. Sabe-se que N – M = x−2 x x x−2 45. Então, quantos são os possíveis valores de N? 05. O acionista de uma empresa vendeu, no início de a) 7 b) 4 c) 5 d) 6 e) 3 janeiro, 1/3 das ações que possuía. Np início de fevereiro, vendeu 1/3 das ações que restaram 15. (UPF/2004) – Se for adicionado um número após a venda feita em janeiro. Repetiu o mesmo inteiro b a sua quarta parte e o resultado for igual procedimento em março, abril, maio e junho, a 15, pode-se dizer que b é um número quando, após a venda, possuía 256 ações. a) múltiplo de 2 e de 3. Calcule quantas ações este acionista vendeu no b) múltiplo de 2 apenas. início de abril .05. c) múltiplo de 5 apenas. d) primo. 06. (Unicamp/2004) – Em uma empresa, 1/3 dos e) múltiplo de 3 e de 5. funcionários tem idade menor que 30 anos, 1/4 tem idade entre 30 e 40 anos e 40 funcionários 16. (UNICAMP) - Em uma sala há uma lâmpada, uma têm mais de 40 anos. televisão [TV] e um aparelho de ar condicionado a) Quantos funcionários têm a referida empresa? [AC]. O consumo da lâmpada equivale a 2/3 do b) Quantos deles têm pelo menos 30 anos? consumo da TV e o consumo do AC equivale a 10 vezes o consumo da TV. Se a lâmpada, a TV e o 07. Dois ciclistas partem simultaneamente de uma AC forem ligados simultaneamente, o consumo cidade em direção reta. Sabendo que: total de energia será de 1,05 quilowatts hora I – o primeiro parte na direção leste com [kWh]. Pergunta-se: velocidade de 15 km/h; a) Se um kWh custa R$0,40, qual será o custo II – o segundo parte na direção norte com para manter a lâmpada, a TV e o AC ligados velocidade de 22,5 km/h. por 4 horas por dia durante 30 dias? Então, duas horas após a partida, a distância, em b) Qual é o consumo, em kWh, da TV? km, que os separa é: 603
  • 12. Matemática Prof. Júlio 17. (UFPB) - Dois amigos, Paulo e Elmiro, 04. (EFOA/2005) – Em determinado concurso, os desejam, juntos, comprar um terreno. Paulo candidatos fizeram uma prova contendo 25 questões. 1 1 Pelas normas do concurso, os candidatos não poderiam tem do valor do terreno e Elmiro . Se deixar questões em branco e, na correção da prova, 5 7 seriam atribuídos (+2) a cada resposta certa e (- 1) a juntarem, ao que possuem, R$ 3.450,00, cada resposta errada. A nota da prova seria a soma dos teriam o valor exato do terreno. Quanto valores atribuídos às questões. Se um candidato obteve custa o terreno? nota 17, o número de questões que ele acertou foi: a) 13 b) 11 c) 12 d) 10 e) 14 18. (ACAFE) – Dois tonéis, A e B, contêm juntos 1400 litros de vinho. Se fossem acrescentados 250 05. (EFOA/2004) – No Parque de Diversões Dia Feliz, os litros de vinho ao reservatório A, este ficaria com ingressos custam R$ 10,00 para adultos e R$ 6,00 para a metade do vinho contido em B. A quantidade de crianças. No último domingo, com a venda de 400 vinho no reservatório B, em litros, é: ingressos, a arrecadação foi de R$ 3.000,00. A divisão a) 850 b) 1150 c) 575 d) 950 e) 1100 entre o número de adultos e crianças pagantes foi: a) 2 / 5 b) 3 / 4 c) 3 / 5 d) 2 / 3 e) 4 / 5 19. (UEA) – Ao adquirir um telefone celular, um usuário escolheu um plano pelo qual pagaria R$ 06. Resolva o sistema 68,00 mensais, com direito a utilizar 100 minutos em ligações, assumindo o compromisso de pagar  2x + y = 9  R$ 1,02 por minuto excedente. No mês passado,  x + y = 15 o usuário pagou, nesse plano, R$ 113,90. Quanto 2  2 tempo o telefone foi utilizado nesse mês? a) 1 h 52 min b) h 25 min c) 2 h 35 min d) 2 h 45 min e) 2 h 52 min 07. No terreiro de uma fazenda havia 65 animais entre galinhas e porcos. Sabendo que o total de pés eram 180,GABARITO quantos porcos e quantas galinhas havia neste terreiro?01. 5/3 2 x − y = 502. a) -21/8 b) -1/5 c) 129/10 08. Resolva o sistema 03. a) -19/2 b) ∅  x + y = 2504. a) 10/7 b) 3/2 c) 6/5 d) 5/17 e) 4/5 f) 2/13 g) 105. 288 06. a) 96 b) 64 09. (UNESP/1999) – Um clube promoveu um show de07. B 08. 25 música popular brasileira ao qual compareceram 20009. 121 e 123 10. 30 pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o valor11. D 12. B arrecadado foi R$ 1 400,00 e todas as pessoas pagaram o13. E 14. B ingresso. Sabendo que o preço do ingresso foi de R$15. A 16. a) 50,4 b) 0,09kwh 10,00 e que cada sócio pagou a metade desse valor, o17. R$ 5520,00 18. E número de sócios presentes ao show é:19. B a) 80 b) 100 c) 160 d) 140 e) 120 SISTEMAS DE EQUAÇÕES 1º GRAU 10. (UNITAU – SP) A solução do sistema de equações COM 2 INCÓGNITAS x− y =2 algébricas lineares  é dada por:01. Resolva os sistemas abaixo: 2 x + y = 1  a) x = 1 e y = 1 b) x = -1 e y = 1  x+ y =4 3 x − y = 14 c) x = y = 0 d) x = 1 e y = -1a)  b)  2 x − y = 5  x− y =4 e) x = -1 e y = -1 11. A soma de dois números é igual a 45 e a diferença entre eles é 37. Quais são estes dois números?02. Resolva os sistemas abaixo: 2 x + y = 10 x + y =1 12. (PUCCAMP – SP) – Um artesão está vendendoa) b)  pulseiras ( a x reais a unidade) e colares ( a y reais a  x− y =8 x − y = 8 unidade). Se 3 pulseiras e 2 colares custam R$ 17,50 e 2 pulseiras e 3 colares custam R$ 20,00, o preço de cada03. Resolva o sistema pulseira é:2 x + y = 11 a) R$ 3,20 d) R$ 2,50 b) R$ 3,00 e) R$ 2,00 c) RS 2,70 x + y=5 2 13. Responda: a) No sítio de Paulo há gatos e gansos. Sabendo que a soma de gatos e gansos é 16 e que a soma das patas 604
  • 13. Matemática Prof. Júliodesses animais é 42, quantos gatos e quantos gansos há a) Encontre o número de pessoas neste grupono sítio de Paulo? b) Qual o preço do prato principal?b) Se morressem 2 gatos e 2 gansos, ao somar aquantidade de patas desses animais, que número Paulo 22. (MÉD. CATANDUVA – SP) Eu tenho o dobro da idadeobteria? que você tinha quando eu tinha a idade que você tem. Quando você tiver a idade que eu tenho, a soma das14. (EFEI – MG) Dois números naturais são tais que a sua nossas idades será 72 anos. A minha idade é:soma é igual a 209 e o quociente do maior deles pela a) 24 anos b) 32 anos c) 8 anosdiferença entre eles é igual a 6. Encontre esses números. d) 40 anos e) 16 anos15. (PUC – SP) Um certo número de alunos fazia prova GABARITOem uma sala. Em um dado momento, retiraram-se dasala 15 moças, ficando o número de rapazes igual ao 01. a) {(3,1)} b) {(5, 1)}dobro do número de moças. Em seguida, retiraram-se 31 02. a) {(6,2)} b) {(9/2, -7/2)}rapazes, ficando na sala igual número de moças e 03. {(4,3)} 04. Erapazes. O total de alunos que fazia prova nessa sala era: 05. C 06. {(1,7)}a) 96 b) 98 c) 108 d) 116 e) 128 07. 25 porcos e 40 galinhas 08. {(10,15)} 09. E16. (UNI-RIO – RJ) Num concurso, a prova de Matemática 10. D 11. 41 e 4apresentava 20 questões. Para cada questão respondida 12. D 13.a) 5 gatos e 11 gansos b) 30corretamente, o candidato ganhava 3 pontos e, para cada 14. 95 e 114 15. Cquestão respondida erradamente ou não respondida, 16. A 17. Aperdia 1 ponto. Sabendo-se que para ser aprovado 18. E 19. Edeveria totalizar, nessa prova, um mínimo de 28 20. 45 21. a) 7 b) R$ 8,00 22. Bpontos, o menor número de questões respondidascorretamente para que o candidato fosse aprovado era EQUAÇÕES DO 2º GRAUde:a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 01. Dê o conjunto solução de cada uma das equações abaixo, sendo os reais o conjunto universo.17. (ESPM – SP) – José, João e Pedro foram juntos à a) x2 – 20x = 0padaria. José tomou duas médias e comeu três pães com b) x2 – 16 = 0manteiga, pagando R$ 1,74. João tomou três médias e c) 2x2 – 3x – 2 = 0comeu dois pães com manteiga, pagando R$ 1,96. Pedro d) 3x2 – 10x + 3 = 0tomou uma média e comeu dois pães com manteiga. e) x2 – 7x + 12 = 0Quanto pagou Pedro? f) x2 – 225 = 0a) R$ 1,00 b) R$ 1,04 c) R$ 1,08 g) x2 + 3x = 0d) R$ 1,12 e) R$ 1,16 h) x2 + 6x + 8 = 0 i) 2x2 – 8 = 018. (UEL – PR) Num bar paga-se R$ 5,80 por 5 pastéis e j) x2 + 8x = 03 copos de refrigerante. No mesmo local, 3 pastéis e 2 k) 2x2 – x – 1 = 0copos de refrigerante custam R$ 3,60. Nesse caso, cada l) 2x2 – 10 = 0copo de refrigerante custa: m) 3x2 – 5x + 9 = 0a) R$ 0,70 n) 3x2 + 8x = 0b) R$ 0,50 o) 2x – 4 = 20c) R$ 0,30 a menos do que o preço de cada pastel p) 5x – 8 = 32d) R$ 0,20 a mais do que o preço de cada pastel q) x2 – 10x + 21 = 0e) R$ 0,20 a menos de que o preço de cada pastel r) 4x2 – 8x = 019. (FUVEST – SP) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho 02. Calcular o discriminante de cada equação e dizertem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada quantas soluções diferentes cada equação possui.filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número a) x² + 9 x + 8 = 0de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal? b) 9 x² - 24 x + 16 = 0a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 c) x² - 2 x + 4 = 0 d) 3 x² - 15 x + 12 = 020. (UFF – RJ) Um baleiro vende n balas, por R$ 0,30 e) 10 x² + 72 x - 64 = 0cada uma, e obtém L reais. Se vender 15 balas a menos,por R$ 0,45 cada uma, obterá os mesmos L reais. 03. O produto de um número inteiro positivo pelo seuDetermine o valor de n. consecutivo é 20. Qual é o número?21. (UNICAMP – SP) Em um restaurante, todas as 04. A diferença entre o quadrado de um número e o seupessoas de um grupo pediram um mesmo prato principal triplo é igual a 4. Qual é esse número?e uma mesma sobremesa. Com o prato principal, o grupogastou R$ 56,00 e com a sobremesa, R$ 35,00; cada 05. (CESGRANRIO-RJ) - A maior raiz da equação – 2x2 +sobremesa custou R$ 3,00 a menos do que o prato 3x + 5 = 0 vale:principal. 605
  • 14. Matemática Prof. Júlioa) -1 b) 1 c) 2 d) 2,5 e) (3 + √9)/4 c) 4m d) 5m06. A equação de segundo grau 2x2 – 5x + 7 = 0: e) 6ma) Não possui solução real; 21. A diferença entre o quadrado de um número e o seub) Possui duas soluções reais iguais; quíntuplo é igual a – 4. Qual é esse número?c) Possui duas soluções reais diferentes;d) Tem o discriminante positivo. 22. Calcule dois números naturais e consecutivos tais quee) Tem uma solução igual a 2. a soma de seus quadrados seja 85.07. (PUC – SP) – Quantas raízes tem a equação 2x2 –2x 23. Resolva:+1=0? a) _x - 2_ + _x - 3_ = 1 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) nda x+1 x–1 b) 6x -2 – 17x - 1 + 12 = 008. Resolvendo a equação x2 – 8x + 12 = 0, c) (2 – x)2 = 2 – xencontraremos como solução: a) S = {2, 6} b) S = {- 2, 6} c) S = {2, - 6} 24. Sabe-se que o número 2 é raiz da equação ax2 – 6x d) S = {- 2, - 6} e) S = {1/2, 1/6} = 0. Obtenha a outra raiz.09. Resolvendo a equação , 25. Em um quadrado, o número que expressa a área éencontraremos como solução os números: igual ao número que expressa o perímetro. Sendo x, a a) 1/7 e – 2 b) 6 e 2 c) 7 e – 2 medida do lado desse quadrado, determine o valor de x. d) 1/7 e 2 e) -3 e 1/7 26. (PUC – SP) – Uma das raízes da equação 0,1 x2 –10. Resolver a equação (x – 1)2 + (x + 2)2 = 9 0,7x + 1 = 0 é: a) 0,2 b) 0,5 c) 7 d) 2 e) nda11. (UFOP) – Resolva a equação fracionária: 2x x 1 1 − + 2 + =1 27. (FUVEST – SP) – Se x . (1 – x) = 1 / 4, então x é x + 1 x −1 x −1 2 igual a:12. (UFV)- Dada a equação (m – 1) x2 + 2mx – (m+1) = a) 1 b) 1/2 c) 0 d) 1/4 e) 30, determine “m” de forma que a equação tenha uma raizreal dupla. 28. (UFSE) – A equação _x – 3_ + _1_ = - 3 em R, 2 x13. Calcule o valor de “a” de forma que a equação ax2 + é verdadeira, se x2 for igual a:(a+1)x = 0 tenha duas raízes reais iguais. a) 0 b) 1 c) 4 d) 1 ou 4 e)nda14. A diferença entre o quadrado de um número e o seu 29. Calcule os valores de m na equação x2 –mx + 9 =0nônuplo é igual a 10. Estes números podem ser: para que esta equação tenha uma raiz dupla. a) 1 e 10 b) – 2 e – 10 c) 2 e 10 d) – 1 e 10 e) 1 e – 20 30. Obtenha a soma dos itens associados a afirmações corretas:15. O quadrado de um número somado com seu 01) A equação x2 + x = 0 possui duas raízes reaisquádruplo é igual a 5. Qual é este número? distintas. 02) A equação x2 + 4 = não possui raiz real.16. Sabendo que x’ e x” são as raízes da equação do 2º 04) As raízes da equação - x2 + 25 = 0 são númerosgrau 2x2 + 10x – 8 = 0, calcule o valor de: x’. x” + 3(x’+ opostos.x”) 08) Para m = 2 a equação x2 +3x – 4m = 0 possui duas17. Resolva as equações: raízes reais distintas.a) (x – 3)2 = 5x + 9 2b) x – 6x + 9 = 0 31. (UFRGS) – Um valor de x na equação ax2 –(a2 + 3)x + 3a = 0 é:18. Sabe-se que uma equação do 2º grau, depois de a) 3a b) a/3 c) – a/3 d) 3/a e) - 3/aresolvida, resultou no seguinte conjunto-solução: S = {3,-1}. Qual foi a equação que deu origem à este conjunto- 32. (PUC – SP) – Considere o seguinte problema: “Acharsolução? um número que, somado com 1, seja igual ao seu 5 inverso”. Qual das equações representa este problema?19. Resolva: x+3= a) x2 – x + 1 = 0 b) x2 + x – 1 = 0 c) x2 – x 3− x 2 – 1 = 0 d) x + x + 2 = 0 e) nda20. Em um terreno retangular foi construída uma casaque mede 50m por 30m. Em volta desta casa foi plantada 33. Calcule a soma e o produto das raízes das equaçõesgrama ocupando uma largura de x metros, conforme a abaixo:figura. Calcule esta largura sabendo que o terreno tem a) x2 – 5x + 6 = 0área igual a 2400m2. b) x2 + 7x + 40 = 0a) 2m c) x2 – 8x + 4 = 0b) 3m d) 3x2 - 27x -3 √5 = 0 606
  • 15. Matemática Prof. Júlioe) 2x2 – x – 1 = 0 e) m = 2 e n = 3f) x2 – 2x = 0g) 4x2 – 7x + 1 = 0 47. (PUCCAMP – SP) – Se v e w são as raízes da equação x2 + ax + b = 0, onde a e b são coeficientes reais, então34. Sendo S a soma das raízes e P o produto das raízes v2 + w2 é igual a:da equação 2x2 – 10x +6 = 0, calcule o valor de S – P. a) a2 – 2b35. Sendo S a soma das raízes e P o produto das raízes b) a2 + 2bda equação 3x2 – 12x +6 = 0, calcule o valor de S – 2P. c) a2 – 2b2 d) a2 + 2b236. A soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x - e) a2 – b22 = 0 são, respectivamente:a) 10 e – 5 48. (FEI – SP) – Sendo a e b as raízes da equação 2x2 -b) 1/10 e 1/5 5x + m = 3 então, se 1/a + 1/b = 4/3, o valor de m é:c) – 1/10 e – 1/5 a) 3/4 b) – 4/3 c) 27/4 d) 0 e) ndad) 1/10 e – 1/5e) 1/5 e – 5 49. (UFPR) – Se as raízes da equação x2 + bx – 29 = 0 são inteiros, calcular b.37. (FEI)- Na equação do 2º grau 4x2 + px +1 = 0, asoma dos inversos das raízes é –5. Calcule o valor de p. 50. (ESAAP – SP) – A soma dos quadrados de dois números positivos é 27 e a soma dos inversos de seus38. (Fuvest) – Sejam x’e x”as raízes da equação 10x2 + quadrados é 3. Determine o produto dos dois números.33x – 7 = 0. O número inteiro mais próximo do número 5 a) 81 b) 27 c) 9 d) 3 e) 1. x’. x” + 2(x’+ x”) é:a) – 33 b) – 10 c)– 7 d) 10 e) 33 51. (PELOTAS – RS) – A soma de dois números consecutivos é igual ao oito quintos do primeiro mais os39. Determine mentalmente as raízes das equações: três sétimos do segundo. Os números são:a) x2 – 9x + 8 = 0 b) x2 + 7x – 8 = 0 a) 160 e 161 b) 90 e 91 c) 125 e 126c) x2 + 4x + 4 = 0 d) x2 + 9x – 10 = 0 d) 20 e 21 e) 55 e 5640. Sendo α e β as raízes da equação 7x2 – 13x + 5 = 0, 52. Calcule o valor de β, para o qual a soma doscalcule o valor de: quadrados das raízes da equação x2 + (β - 2)x + β - 3 = βa) α + β b) α . β c) α2 + β2 c) 1 / α + 1 / β 0 seja igual a 10:41. Determine a correspondente equação do 2º grau, com 53. Se a e b são raízes da equação 2x2 – 5x + 4 = 0,coeficientes inteiros e irredutíveis, a partir das raízes: então o valor de a3 + b3 é:a) raízes 2 e –3 b) raízes –4 e 4 c) raízes 0 e 1 a) 3/8 b) 5/8 c) 7/8 d) 2 e) 342. (PUC – PR) – A soma e o produto das raízes da 54. A soma dos quadrados de dois números positivos é 4equação x2 + x – 1 = 0 são respectivamente: e a soma dos inversos dos seus quadrados é 1.a) –1 e 0 b) 1 e –1 c) –1 e 1 Determine:d) –1 e –1 e) nda a) o produto dos dois números; b) a soma dos dois números.43. (CESESP) – Qual deve ser o valor de m na equação2x2 – mx – 40 = 0 para que a soma de suas raízes seja GABARITOigual a 8 ?a) 8 b) – 8 c) 16 d) – 16 e) nda 01. a) {0,20} b) {-4,4} c) {2,-1/2} d) {3,1/3} e) {3,4} f) {-5,5}44. (UFAM) – Quais os valores de b e c para que a g) {0,-3} h) {-2,-4} i) {-4,4}equação x2 + bx + c = 0 tenha como raízes 5 e –3 ? j) {0,-8} k) {1,-1/2} l) {-√5,√5}a) - 2 e – 15 b) 5 e –3 c) 15 e 3 m) ∅ n) {0,-8/3} o) {12}d) –5 e 3 e) nda p) {8} q) {3,7} r) {0,2} 02. a) 49, duas raízes distintas b) 0, duas raízes iguais45. (UFG – SP) – Para que a soma das raízes da equação c) -12, não tem raiz real d) 81, duas raízes distintas(k – 2)x2 - 3kx + 1 = 0 seja igual ao seu produto, e) 3856, duas raízes distintasdevemos ter: 03. 4 04. 4 05. D a) k = ± 1/ 3 b) k = - 1/3 c) k = 1/3 d) k = 06. A 07. A 08. A√3 e) k = √3/3 09. A 10. {-2,1} 11. 3 ± √6 12. ±√2/2 13. – 1 14. D46. (ESAL – MG) – A soma e o produto das raízes da 15. -5 e 1 16. – 19 17. a) {0,11} b) {3}equação (m – 1)x2 + 2nx + n – 8 = 0 são – 6 e – 5 18. x2 – 2x – 3 = 0 19. ± 2respectivamente. Os valores de m e n são: 20. D 21. 1 e 4 22. 6 e 7a) m = 3 e n = 2 23. a) {0,5}b) {2/3,3/4} c) {1,2}b) m = 4 e n = 1 24. 3 25. 2 26. Dc) m = 1 e n = 4 27. B 28. D 29. m = ± 6d) m = 2 e n = 1 30. V,V,V,V 31. B 32. A 607
  • 16. Matemática Prof. Júlio33. a) S = 5 e P = 6 05. (PUC – MG) – Considere as funções f(x) = 2x – 1 e b) S = -7 e P = 40 g(x) = x + m. Se f(2) + g(- 1) = 7, o valor de m é: c) S = 8 e P = 4 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 d) S = 9 e P = -√5 e) S = 1/2 e P = -1/2 06. Sendo f(x) = 3x – 1 e g(x) = 2x – 3, calcule o valor f) S = 2 e P = 0 de: g) S = 74 e P = ¼ a) f(3)34. 2 35. 0 36. C b) f(1)37. 5 38. B c) f(5)39. a) {1,8} b) {-8,1} c) {-2} d) {-10,1} d) g(6)40. a) 13/7 b) 5/7 c) 99/49 d) 13/5 e) f(- 2)41. a) x2 + x – 6 = 0 b) x2 – 16 = 0 c) x2 – x = 0 f) g(3)42. D 43. C 44. A g) f(1) – g(1)45. C 46. E 47. A h) 3f(4) – g(- 5)48. C 49. 28 50. D i) g(3) – f(- 6)51. D 52. {0,6} 53. B j) f(1/3) – g(1/2)54. a) 2 b) √6 07. (FUVEST) - Uma função f de variável real satisfaz a FUNÇÃO condição f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo-se que f(2) = 1, podemos concluir que f(5) é igual a:01. Na função f: A → B representada abaixo escrever seu a) 1/2 b) 1 c) 5/2 d) 5 e) 10domínio, sua imagem e seu contra-domínio. 08. (UDF) – Sabendo que f(x) = x/2 - 2/3, determinar o valor de f(1/2) + f(-2/3): a) -17/12 b) 0 c) -5/12 d) -1 e) nda 09. Seja f uma função de R em R tal que f(x) = 3x2 – 5, o valor de f(3) é: a) 17 b) – 17 c) 22 d) 34 e) 32 10. Seja f uma função de A em B tal que f(x) = x + 2. Se A = {-1, 2, 3, 5}, podemos concluir que o conjunto imagem desta função é:02. (UFMG) – Das figuras abaixo, a única que representa a) Im(f) = {1, 4, 5, 7}o gráfico de uma função real y = f(x), x ∈ [a, b], é: b) Im(f) = {0, 2, 5, 7} c) Im(f) = {- 1, 2, 3, 5} d) Im(f) = {2, 3, 4, 5} e) Im(f) = {1, 4, 5, 7, 8} 11. (UEL - PR) Seja a função f(x) = ax3 + b. Se f(-1) = 2 a) b) c) e f(1) = 4, então a e b valem, respectivamente: a) -1 e -3 b) -1 e 3 c) 1 e 3 d) 3 e -1 e) 3 e 1 12. (INATEL) – Seja f a função definida por f(x) = 4x2. O d) e) valor de f(x + h) – f(x) é: a) 8x + 4h2 b) 8x + h2 c) 2xh + 4h203. (UFRGN) Sejam E o conjunto formado por todas as d) 8xh + 4h2 e) NRAescolas de ensino médio de Natal e P o conjunto formadopelos números que representam a quantidade de 13. (UFV/2003) – O gráfico abaixo ilustra a evolução daprofessores de cada escola do conjunto E. Se f: E em P éa função que a cada escola de E associa seu número de temperatura T ( o C ) , em uma região, ao longo de umprofessores, então: período de 24 horas.a) f não pode ser uma função bijetora. d) fnão pode ser uma função injetorab) f é uma função sobrejetora. e) fénecessariamente uma função injetora.c) f é necessariamente uma função bijetora04. Se f(x) = 3x + 5, o valor de f(2) + f(4) é: a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30 Determine: 608
  • 17. Matemática Prof. Júlio o contas de luz entre x por cento de moradores, numaa) os horários em que a temperatura atinge 0 C. determinada cidade, seja dado pela função: f(x) =b) o intervalo de variação da temperatura ao longo das (300x) / 150 – x. Se o número de funcionários24 horas. (Dizer quais são os intervalos em que a necessários para distribuir, em um dia, as contas de luztemperatura cresce e quais são os intervalos que ela foi 75, a porcentagem de moradores que as receberam é:decresce) a) 25 b) 30 c) 40 d) 45 e) 50c) os intervalos de tempo em que a temperatura épositiva. 20. Obtenha a soma dos itens que são corretos: 01) O conjunto-imagem da função f: A → A, onde A =14. (UFJF) – O consumo de combustível de um automóvel {0, 1, -1, -2} definida por f(x) = -x2 possui apenasé medido pela quantidade de quilômetros que percorre dois elementos.gastando 1 litro do combustível (km/L). O consumo 02) Se f(x) = 1 - x2, então f(0) > f(1).depende, dentre outros fatores, da velocidade 04) Se f(x) = x, a soma f(-10) + f(10) = 4 f(-5).desenvolvida pelo automóvel. O gráfico abaixo indica o 08) Se f(x) = x + √x2, então f(-2) + f(2) = f(0).consumo, em km/L, em função da velocidade 16) f(4) = 5 quando a função f é definida por f(x) = √5 +desenvolvida por certo automóvel, em km/h, em um 2√x.determinado percurso. A análise do gráfico mostra que,para velocidades entre 40 e 100 km/h: 21. (FUVEST – SP) – A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é: a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = – 3 x e) f(x) = 1,03x 22. (UFF) - Uma função real de variável real f é tal que f(1/2) = √π e f(x+1) = x.f(x) para todo x ∈R. O valor de f(7/2) é: a) π b) 7 √π c) π/2 d) (15 √π)/8 e) (π√7)/15a) o maior consumo se dá aos 60km/h; 23. Seja a função f(x – 4) = x3 + 1, calcule o valor de f(-b) quanto maior a velocidade menor é o consumo; 3) + 4.f(5) – f(0).c) o consumo é diretamente proporcional à velocidade;d) o menor consumo se dá aos 60km/h; 24. Considere a função f, de domínio N, definida por f(1)e) o consumo é inversamente proporcional à velocidade. = 4 e f(x+1)=3f(x)-2. Calcule o valor de f(0).15. (UFLA/2006) – Seja a função 25. (UI – MG) – Observe o gráfico:  x + 1, se x ∉ Q 2 f ( x) =  x − 1, se x ∈ Q e x ≥ 1 , o valor de f(5) +  3, se x ∈ Q e x < 1 f( − 2 ) + f(- ½) é o mesmo de:a) f(11) b) f(3) c) f(-5) d) f(0)16. Sendo uma função f: R → R definida por f(x) = 2 - x,assinale a alternativa correta:a) f(-2) = 0 b) f(-1) = -3 c) f(0) = -2d) f(1) = 3 e) f(-3) = 5 Todas as afirmativas abaixo são verdadeiras, exceto: a) D = { x ∈ R / - 2 ≤ x ≤ 5}17. (UFPA) – Dada a função f: A → B onde A = {1, 2, 3} b) f(x) é crescente ∀x ∈ R/ 2 ≤ x ≤ 3e f(x) = x - 1, o conjunto-imagem de f é: c) Im = { y ∈ R / - 1 ≤ x ≤ 2}a) {1, 2, 3} b) {0, 1, 2} c) {0, 1} d) f(x) é decrescente ∀x ∈ R/ -1 ≤ x ≤ 2d) {0} e) nda e) Para 3 ≤ x ≤ 5, y ≥ 0.18. (UFPE) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {1, 26. Seja a função f(x + 2) = x3 + 3f(x) e f(1) = 3, calcule2, 3, 4, 5}, assinale a alternativa que define uma função o valor de f(5).de A em B:a) {(a, 1), (b, 3), (c, 2)} 27. Coloque (S) se a função for sobrejetora, (I) se forb) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)} injetora, (B) se for bijetora e (N) se for nem sobrejetora,c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} nem injetora:d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)} ( ) f: R em R tal que f(x) = 2x + 5e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a)} ( ) f: R em R tal que f(x) = x2 – 3x + 4 ( ) f: {1, 2, 3} em {2, 6}, tal que f(1) = 2, f(3) = 6,19. (PUC - MG) Suponha-se que o número F(x) de f(2) = 6funcionários necessários para distribuir, em um dia, ( ) 609
  • 18. Matemática Prof. Júlio 14. A 15. A 16. E 17. B 18. C 19. B 20. 02 e 04 21. B 22. D 23. 2857( ) f: [a, b] em [c, d], tal que: 24. 2 25. D 26. 57 27. B,N,S,I,I 28. a) 11 b) – 4 c) -52 29. E 30. D FUNÇÃO DO 1º GRAU 01. Seja f uma função do primeiro grau tal que f(2) = 7 e f(5) = 13, calcule o valor de f(-1). 02. Se f(x) = 3x + 2, qual o valor de x para que f(x) = 5?28. Dadas as funções f(x) = 3x + 5; g(x) = x2 - 2 e h(x) 03. Calcule a(s) raiz(es) das funções abaixo:= 3x, calcule: b) f(x) = 3x + 4 a) f(2) b) g(5) - h(3) c) 2.f(0) - g(8) c) f(x) = 3x + 6 d) f(x) = - 2x +829. (UFF-RJ) – O gráfico da função f está representado e) f(x) = - x - 48na figura abaixo. Sobre a função f é falso afirmar que: f) f(x) = x + 43 g) f(x) = 5x – 40 h) f(x) = - 3x + 20 i) f(x) = - 6x + 44 04. Para cada função do 1º grau abaixo, diga quem é o coeficiente angular e o coeficiente linear. a) f(x) = 3x – 6 b) f(x) = - x + 3a) f(1) = f(2) = f(3) 05. A função f: R → R definida por y = f(x) = ax + b temb) f(2) = f(7) o gráfico esboçado abaixo. O coeficiente linear e a raiz dac) f(3) = 3f(1) função são, respectivamente:d) f(4) – f(3) = f(1)e) f(2) + f(3) = f(5)30. (Cefet-RJ) – Uma função f(x), de domínio |R, estárepresentada no plano XOY, como mostra a figura. Então: a) 3e3 b) 5e3 c) 3e5 d) 5e5 e) 5/3 e 3/5a) f(–3) = f(2)b) f(x) = x, para x < –3 06. O gráfico da função y = 5x + m – 1 corta o eixo y noc) a função é inversível ponto de ordenada 3. Determine o valor de m.d) f(x) = x + 6, para x < – 4e) f(0) = 3 07. (UNAMA) – O ATAQUE DOS ALIENS “Caramujos africanos, medindo 12 centímetros deGABARITO comprimento e pesando 200 gramas na fase adulta, trazidos para substituir o caro e requintado escargot,01. D=A, CD=B e Im={3,4,-7,9,-1} viraram praga em 23 Estados do Brasil. Donos de uma02. B 03. B capacidade reprodutiva impressionante, pois são04. C 05. A hermafroditas e botam 2 400 ovos por ano cada um. Em06. a)8 b)2 c)14 d)9 e)-7 f)3 g)3 h)46 i)22 j)2 Casimiro de Abreu, no estado do Rio, onde também se07. C 08. A tentou criar o caramujo para fins alimentícios, a prefeitura09. C 10. A chegou a oferecer 1 real para cada quilo de molusco11. E 12. D recolhido. O alienígena da vez é o caramujo africano.”13. a)2h,8h e 24h b) T cresce: 4<t<12 e T decresce: Veja, São Paulo: Abril, 22 set. 2004. Adaptação. 0<t<4 ou 12<t<24 c) 0<t<2 ou 8<t<24 610
  • 19. Matemática Prof. JúlioSe dois moradores de Casimiro de Abreu ganharam juntosR$ 90,00 num dia, recolhendo caramujos africanosadultos e a razão entre o número de caramujos recolhidospor esses dois moradores é de 5 para 4, então o moradorque mais recolheu conseguiu:a) 35 b) 45 c) 50 d) 60 e) 6508. (FATEC – SP) – Uma pessoa, pesando atualmente70kg, deseja voltar ao peso normal de 56kg. Suponhaque uma dieta alimentar resulte em um emagrecimento a) N = 100 – 700 C d) N = 94 + 0,03 Cde exatamente 200g por semana. Fazendo essa dieta, a b) N = 97 + 0,03 C e) N = 115 – 94 Cpessoa alcançará seu objetivo ao fim de quantas c) N = 97 + 600 Csemanas?a) 67 b) 68 c) 69 d) 70 e) 71 12. (UFMG/2008) – Uma concessionária de energia elétrica de certo estado brasileiro possui dois planos de09. (PUC-PR) – Sejam as funções reais definidas por f(x) cobrança para consumo residencial:= x-1, g(x) = ax + b e f(g(x)) = -2x, o gráfico de g(x) é: • o Plano I consiste em uma taxa mensal fixa de R$a) b) 24,00, que permite o consumo de até 60 kWh, e, a partir desse valor, cada kWh extra consumido custa R$ 0,90; • o Plano II consiste em uma taxa mensal fixa de R$ 40,00, que permite o consumo de até 80 kWh, e, a partir desse valor, cada kWh extra consumido custa R$ 1,10.c) d) a) ESBOCE, no sistema de coordenadas abaixo, os gráficos das funções que representam o custo para o consumidor, em função do consumo de energia elétrica, no Plano I e no Plano II.10. (CEFET-PR) – Newton quer imprimir folhetos com apropaganda de sua empresa. Na gráfica A, o custo para amontagem deste folheto é de R$ 120,00 e o valor daimpressão por unidade é R$ 0,20. A gráfica B cobra R$80,00 para a montagem e R$ 0,25 para impressão decada unidade. Após análise cuidadosa, Newton concluiuque:a) é vantagem fazer a encomenda na gráfica B paraqualquer quantidade de folhetos.b) a gráfica A oferece um custo menor que a B para umnúmero de folhetos menor que 800.c) se encomendar 1.000 folhetos da gráfica B, irá gastarR$ 320,00. b) Determine a faixa de consumo em que o Plano II éd) se desejar 1.000 folhetos gastará menos se mais vantajoso para o consumidor.encomendar da empresa A.e) para a quantidade de 800 folhetos, o custo de 13. (UNICAMP – SP) – O preço a ser pago por umaqualquer das empresas é igual a R$ 290,00. corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que depende da distância11. (UFF/2004) - Um grande poluente produzido pela percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e dadaqueima de combustíveis fósseis é o SO2 (dióxido quilômetro rodado custa R$ 0,86, calcule:deenxofre). Uma pesquisa realizada na Noruega e a) o preço de uma corrida de 11km;publicada na revista “ Science” em 1972 concluiu que o b) a distância percorrida por um passageiro que pagounúmero (N) de mortes por semana, causadas pela R$ 21,50 pela corrida.inalação de SO2 , estava relacionado com a concentraçãomédia (C), em mg/m3, do SO2 conforme o gráfico 14. (UI - MG) – O gráfico da função f(x) = ax + b) passaabaixo: os pontos (C, N) dessa relação estão sobre o pelos pontos (1, 2) e (0, -1). Pode-se afirmar que a2 . b1/3segmento de reta da figura.Com base nos dados é:apresentados, a relação entre e C (100 ≤ C ≤ 700) pode a) – 4 b) 4 c) – 9 d) 9 e) 5ser dada por: 15. (UFPE) – Sabendo que os pontos (2, - 3) e (-1, 6) pertencem ao gráfico da função f: R em R definida por f(x) = ax + b, determine o valor de b - a. 611
  • 20. Matemática Prof. Júlio16. (UEL – PR) - Se f é uma função do primeiro grau tal e) a.b<0que f(120) = 370 e f(330) = 1000, então f(250) é igual a:a) 400 b) 590 c) 760 d) 880 e) 920 GABARITO17. (FAAP – SP) – Admitindo que em uma determinada 01. 1 02. 1localidade uma empresa de táxi cobra R$ 2,00 a 03. a)-4/3 b)-2 c)4 d)-48 e)-43 f)8 g)20/3 h)22/3bandeirada e R$ 2,00 por km rodado, e outra empresa 04. a) CA=3 e CL=-6 b) CA=-1 e CL=3cobra R$ 3,00 por km rodado e não cobra bandeirada, 05. C 06. 4 07. Cdetermine o número de km rodados num táxi da empresa 08. D 09. B 10. Dque não isenta a bandeirada, sabendo-se que o preço da 11. Dcorrida apresentado foi de R$ 30,00: 12. a) b) 77<x<90a) 10km b) 18km c) 16km d) 14km e) 22km18. (FAAP)– Medições realizadas mostram que atemperatura no interior da Terra aumenta,aproximadamente, 3ºC a cada 100m de profundidade.Num certo local, a 100m de profundidade, a temperaturaé de 25ºC. Nessas condições, podemos afirmar que a 13. a)$12,9 b) 21km 14. C 15. 6temperatura a 1500m de profundidade é: 16. C 17. D 18. Ea) 7ºC b) 45ºC c) 42ºC d) 60ºC e) 67ºC 19. A 20.C 21. D 22. a)P=1,9x b) 26,9 23. E19. (FAAP – SP) – Considerando o mesmo enunciadoacima, encontrando-se uma fonte de água mineral a46ºC, a profundidade dela será igual a: FUNÇÕES DO 2º GRAUa) 700m b) 600m c) 800m d) 900m e)500m 01. Calcule as raízes das funções abaixo:20. (UEL – PR) – Se uma função f, do primeiro grau, é tal j) f(x) = x2 – 4x + 3que f(1) = 190 e f(50) = 2 052, então f(20) é igual a: k)f(x) = x2 + 6x + 5a) 901 b) 909 c) 912 d) 937 e) 981 l) f(x) = 2x2 – 6x m) f(x) = x2 – 1621. (UEA) – Ao adquirir um telefone celular, um usuário n) f(x) = x2 – 5x + 8escolheu um plano pelo qual pagaria R$ 68,00 mensais, o) f(x) = x2 – 5x + 9com direito a utilizar 100 minutos em ligações, assumindo p) f(x) = 2x2 – 7x + 3o compromisso de pagar R$ 1,02 por minuto excedente.No mês passado, o usuário pagou, nesse plano, R$ 02. A função real f, dada por f(x) = 2ax2 – 4x + 2a,113,90. Quanto tempo o telefone foi utilizado nesse mês? tem um valor máximo e admite duas raízes reaisd) 1 h 52 min d) 2 h 25 min iguais. Assim, o valor de f(- 1) é:e) 2 h 35 min e) 2 h 45 min a) 0 b) c) d) 3 e) 4f) 2 h 52 min 03. (UFMG) O trinômio y = ax2 + bx + c está22. Num posto de gasolina, a lavagem de um carro médio representado na figura. A afirmativa certa é:custa R$ 10,00 e cada litro de gasolina custa R$ 1,90.Responda:a) Qual é a equação que representa a quantia paga poruma pessoa, dona de um carro médio) em função daquantidade de gasolina que irá comprar no mencionadoposto? (Considere que será feita também a lavagem doautomóvel).b) Calcule quanto pagará a pessoa se lavar seu carro ecolocar 15 litros de gasolina no seu automóvel. a) a > 0; b > 0; c < 023. A respeita da função f(x) = ax + b representada b) a < 0; b < 0; c < 0no gráfico abaixo, assinale a alternativa correta: c) a < 0; b > 0; c < 0 d) a < 0; b > 0; c > 0 e) a < 0; b < 0; c > 0 04. (UFCE) – Considere a função f: R → R, definida por f(x) = x2 – 2x + 5. Pode-se afirmara) a>0 corretamente que:b) b<0 a) o vértice do gráfico de f é o ponto (1, 4);c) f não tem raiz b) f possui dois zeros reais e distintos;d) f possui valor mínimo c) f atinge um máximo para x = 1; d) f é tangente ao eixo das abscissas. 612
  • 21. Matemática Prof. Júlio e) O gráfico de f é uma reta. a relação entre y e x se dá através da função y = - 0,02x2 + 0,2x + 1,5, sendo y expresso em 05. Determine, em cada função do 2º grau a seguir, metros e x, em dezenas de quilos por hectare, as coordenadas dos vértices das parábolas então, os valores de p, m e n são, correspondentes: respectivamente: a) y = 2x2 – 4x + 1 a) –5 ; 5 ; 15 b) f(x) = - 2x2 + 4x b) 0 ; 10 ; 20 c) f(x) = 2x2 – 32x + 6 c) 1,5 ; 5 ; 15 d) f(x) = x2 + 10x – 40 d) 0 ; 7,5 ; 15 e) f(x) = x2 – 4x + 5 e) 1,5 ; 5 ; 20 f) f(x) = - x2 – 8x + 4 06. Seja f(x) = x2 – 4x + 5, calcule: a) f(3) b) f(6) c) f(- 4) d) f(0) e) f(√5) 07. Se a função f(x) = x2 – mx + 4n possui o vértice formado pelo ponto (2, 5), calcule os valores de 14. A respeito da função f(x) = x2 – 6x + 9, assinale m e n. V ou F: ( ) o gráfico é uma reta 08. Desenhe o gráfico das funções f(x) = 5x + 10 e ( ) o gráfico não toca no eixo y g(x) = x2 + 2x – 3 e responda num mesmo plano ( ) o gráfico toca no eixo x apenas uma vez cartesiano e responda: em quantos pontos estes ( ) tem x do vértice igual a – 3 gráficos se cruzam? ( ) não possui y do vértice ( ) o gráfico é uma parábola voltada para cima 09. (PUC – MG) – O ponto V (vértice) da função quadrática f(x) = x2 – 6x + 8 é: 15. A função f: R em R definida por f(x) = x2 + 5x + a) um máximo, sendo V = (3, - 1) 6: b) um mínimo, sendo V = (- 3, 1) a) é uma reta; c) um máximo, sendo V = (- 3, 1) b) é uma parábola de concavidade para baixo; d) um mínimo, sendo V = (3, 1) c) possui coeficiente angular igual a 5; e) um mínimo, sendo V = (3, -1) d) não possui raiz real; e) é uma parábola que intercepta o eixo x em 10. (UEL – PR) – Se x e y são as coordenadas do dois pontos. vértice da parábola y = 3x2 – 5x + 9, então x + y é igual a: 16. Obtenha os valores de x para os quais f(x) = 2x2 a) 5/6 b) 31/14 c) 83/12 – 5x + 3 se anula. d) 89/18 e) 93/12 17. Seja a função f(x) = ax + b e a função g(x) = cx2 2 11. Seja a função do segundo grau f(x) = x - 8x + + dx + t, ambas representadas abaixo: 7. Sobre f(x) coloque V se verdadeiro e F se falso: ( ) f(x) tem a parábola voltada para cima; ( ) f(x) tem ponto máximo; ( ) f(x) não possui raízes reais; ( ) f(x) corta o eixo x em dois pontos diferentes; ( ) O vértice tem abscissa igual a 4; ( ) Seu gráfico é uma reta; ( ) Seu gráfico não corta o eixo y. Analisando os gráficos é possível afirmar que: ( ) Seu gráfico corta a eixo y no ponto – 8. a) b + c < 0 b) a = b = c = d = t 12. Se f(x) = x2 – 3x e g(x) = 3x – 6 calcule o valor c) a / c > 0 de f(2) – g(5). d) a.b.c.d.t < 0 e) a, b e t são negativos 13. (UFLA 2005) – Ao adicionar certa quantidade x de fertilizante nitrogenado ao solo, plantas de uma 18. (UFMG/2001) determinada espécie reagem a esse fertilizante, a) DETERMINE o vértice da parábola de equação apresentando um desenvolvimento em altura y, conforme representado ao lado. O valor p corresponde à altura das plantas quando e os pontos onde ela intercepta os eixos nenhuma quantidade de fertilizante é adicionada, coordenados. e m é a quantidade de fertilizante com a qual as b) Num plano cartesiano, TRACE essa parábola e plantas atingem altura máxima. Acima de m, o INDIQUE todos os pontos determinados no fertilizante passa a ter ação tóxica, sendo que em subitem A. n, as plantas não chegam a crescer. Supondo que 613
  • 22. Matemática Prof. Júlio 19. (PUC – MG) – O lucro L, em reais, de uma fábrica de autopeças é dado pela função abaixo em que p é o número de peças fabricadas por dia. Então, pode-se afirmar que o lucro máximo ocorre quando p é igual a: a) 16 b) 20 c) 22 d) 32 24. (CRA) – Seja f: R em R uma função do 2º grau dada por f(x) = ax2 + bx + c, representada pelo gráfico: 20. (UFOP/2003) - Os valores de b e c para que o Pode-se afirmar que: gráfico de f (x) = x2 + 2bx + (4c – 8) seja a) a função não possui raízes. tangente ao semi-eixo positivo das abscissas e b) o discriminante da função é nulo. corte o eixo das ordenadas no ponto 8 são: c) a . c < 0 a) b = – 2 e c = 4 c) b = 2 e c = 4 d) a função possui um ponto mínimo. b) b = – 2 e c = 8 d) b = 2 e c = 8 e) A função possui duas raízes positivas. 21. (UFV) – Uma indústria pode produzir, por dia, até 20 unidades de um determinado produto. O custo C (em R$) de produção de x unidades desse produto é dado por:  5 + x (12 − x) se 0 ≤ x ≤ 10  C ( x) =  3 25. (MACK) – O ponto (k, 3k) pertence à curva dada − x + 40  2 se 10 < x ≤ 20 por f(x) = x2 – 2x + k, então k pode ser: a) –2 b) –1 c) 2 d) 3 e) 4 a) Se, em um dia, foram produzidas 9 unidades e, no dia seguinte, 15 unidades, calcule o 26. Obtenha o conjunto-imagem das seguintes custo de produção das 24 unidades. funções do 2º grau, na variável x: b) Determine a produção que corresponde a um a) y = = x2 – 4 custo máximo. b) y = f(x) = - 2x2 + x – 1 c) f(x) = x2 + 2x + 1 22. (UNRGS) - O gráfico da função f(x) = x² + px + 1 d) f(x) = - x2 + 7x – 1 intercepta o eixo das abscissas em dois pontos e) f(x) = x2 distintos, se e somente se: a) p < -2 b) p > 0 c) – 2 < p < 2 27. (ACAFE – SC) – A função f(x) = x2 – 2x + 1 tem d) p < 0 ou p > 2 e) p < - 2 ou p > 2 mínimo no ponto em que x vale: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 23. (UFOP/2006/2) – O gráfico abaixo representa 28. (UFCE) – Considere a função f: R → R, definida uma função f definida por partes. A primeira por f(x) = x2 – 2x + 5. Pode-se afirmar parte, restrita ao intervalo [-4,-2], é um corretamente que: segmento de reta, e a segunda parte, para o a) o vértice do gráfico de f é o ponto (1, 4); intervalo [2,+ ∞[ é um arco de parábola de eixo b) f possui dois zeros reais e distintos; vertical cujo vértice é (0, 2) . c) f atinge um máximo para x = 1; d) f tangente ao eixo das abscissas. 29. (UFGO) – Se f(x) = x – 3, o conjunto de valores de x tais que f(x2) = f(x) é: a. {0; 1} d) {–1; 0} b. {1} e) {-2; 3} c. {3; 4} 30. (UEM – PR) – A trajetória de um corpo obliquamente, desprezados os efeitos do ar, é uma parábola. O corpo é lançado a partir do solo (figura) descreve uma parábola de equação y = 120x – 4x2, x e y em metros. O alcance e a altura máximos atingidos pelo corpo são: Escreva, na notação abaixo, as equações das partes que definem esta função. a) alcance 10m e altura 30m; 614
  • 23. Matemática Prof. Júlio b) alcance 30m e altura 10m; c) alcance 15m e altura 900m; d) alcance 30m e altura 900m. 31. (UFV – Modificado) – Seja a função real f definida por : 19. A 20. A 21. a)49,5 b)41  4 − x 2 , se x ≤ 1 22. D 23. 3x/2 + 6 e x2/4 + 2 f ( x) =  24. C 25. E 2 ( x + 1) , se x > 1 26. a) Im={y∈R/y≥-4} b) Im={y∈R/y≤7/8} c) Im={y∈R/y≥-1} d) Im={y∈R/y≤-43/4} e) Im={y∈R/y≥0} a) Esboce o gráfico de f. 27. B 28. A 29. A f ( 3 ) − f (1) 30. D 31.a)grafico b) 52 b) Determine . 32. a)A=(-3,9) e B=(2,4) b) demonstracao c)-4,0,1,3 2 32. (UNIFAL/2006) – Na figura abaixo, a reta INEQUAÇÕES E CÁLCULO DO intercepta a parábola y = x 2 nos DOMÍNIO pontos A e B. 01. Resolva as inequações abaixo apresentado o conjunto-solução: a) x2 – 3x + 2 < 0 b) – 3x2 – 6x < 0 c) x2 – 5x – 50 ≥ 0 d) 2x – 4 > 0 02. Resolvendo a inequação x2 – 5x + 4 > 0, obtemos o seguinte conjunto solução: a) S = {x ∈ R / x < 1 ou x > 4} b) S = {x ∈ R / x < - 1 ou x > 4} c) S = {x ∈ R / 1 < x < 4} d) S = {x ∈ R / x ≤ 1 ou x ≥ 4} e) S = {x ∈ R / x < 2 ou x > 3} a) Determine as coordenadas dos pontos A e B. b) Seja C = (a, b) um ponto da parábola distinto 03. A solução do sistema de inequações 3 – 2x ≤ 3x – de A e B. Calcule a área do triângulo ABC, 1 ≤ 5 é: comprovando que seu valor é a) {x ∈ R / x ≤ 1 ou x ≥ 2} b) {x ∈ R / 4/5 ≤ x ≤ 2} c) {x ∈ R / x ≤ 2} unidades de área. d) {x ∈ R / x ≤ 1} c) Calcule os valores de a para os quais a área e) {x ∈ R / x ≥ 1} do triângulo ABC seja igual a 15 unidades de 04. Calcule α para que a função f(x) = 2x2 - αx + 1 ar seja positiva para todo x ∈ R. 05. (CESGRANRIO) – O conjunto-solução da inequação x2 – 3x – 10 < 0 é: a) ( - ∞; - 2)GABARITO b) ( - ∞,; -2) ∪ (5, ∞) c) (- 2; 5)01. a){1,3} b){-1,-5} c) {0,3} d){-4,4} e)∅ f)∅ d) (0; 3) g){3,1/2} e) (3; 10)02. A 03. B 04. A05. a)(1,-1) b)(1,2) c) (8,-122) d)(-5,-65) e)(2,1) f)9- 06. (UEL – PR) – O conjunto dos valores reais de x, 4,20) que tornam verdadeira a sentença 2x2 – x < 1 é:06. a)2 b)17 c)37 d)5 e)10-4√5 a) {x ∈ R / - 1/2 < x < 1}07. m=4 e n=9/4 b) {x ∈ R / x > 1 ou x < - 1/2}08. Se cruzam em dois pontos c) {x ∈ R / x < 1}09. E 10. E 11. V,F,F,V,V,F,F,F d) {x ∈ R / 1/2 < x < 1}12. -11 13. C 14. F,F,V,F,F,V e) {x ∈ R / x < - ½}15. E 16. {3/2,1} 17. D18. a) V=(1/2,25/4} e as raízes são 3 e -2 07. (CESCEM) – A solução do sistema de inequações b) é: 615
  • 24. Matemática Prof. Júlio e) 2 a) 0 < x < 5 b) – 5 < x ≤ - 4 15. (UFJF/2006) – Os valores de x que satisfazem à c) - 4 ≤ x ≤ - 2 d) x ≤ - 2 e) x < - 5 inequação pertencem a: 08. (UNESP) – Os valores de x ∈ R que satisfazem o sistema: são tais que: a) 1 < x < 3 b) – 3 < x < - 2 c) 0 < x <2 d) 5 < x < 7 e) - 2 < x < 0 09. (CESCEM – SP) A solução do sistema de inequações é: 16. (UFMG) – O número real x satisfaz Assinale a alternativa em que estão incluídas todas as possibilidades para x.. a) – 1 < x < 5/2 b) x < - 1 ou x > 5/2 a) 0 < x < 2 c) x > 5/2 d) x < -1 b) –1 < x ≤ 0 ou 2 ≤ x < 3 c) x < - 1 ou x > 3 17. Encontrar os valores de x que satisfazem a d) nenhum x inequação (2x – 4) ( x2 – 5x + 6) < 0 e) qualquer x 18. (PUC – PR) – A solução da inequação (x – 2) (- x2 10. (UFV – MG) A solução do sistema de + 3x + 10) > 0 é: desigualdade: a) x < - 2 ou 2 < x < 5 b) – 2 < x < 2 ou x > 5 c) – 2 < x < 2 d) x > 2 e) x < 5 a) 2 < x < 6 b) 0 < x < 5 c) 1 < x < 5 d) 5 < x < 7 19. (PUC – BA) – O conjunto-solução da inequação e) 2 < x < 5 (x + 1)(x − 2)(x + 2) > 0 é 11. Quais são os valores de p de modo que a equação x2 − 4 2x2 – px + 8 = 0 tenha raízes reais e distintas? a) {x ∈ R / x > - 1} 2 b) {x ∈ R / x > 2} 12. (PUC – MG) – A solução da inequação x ≤ x é o c) {x ∈ R / x > -1 e x ≠ 2} intervalo real: d) {x ∈ R / - 1 < x < 2} a) (- ∞, - 1) e) {x ∈ R / x < - 2 ou x > 2} b) [- 1, ∞) c) [- 1, 0] d) [- 1, 1] 20. Resolva as seguintes inequações do tipo produto: e) [0, 1] a) (2x – 4) (- x + 5) ≥ 0 b) (- x2 + 4) (x2 – 16) < 0 13. (UEL – PR) – Considere o seguinte problema: “ c) (x2 – 2x + 1) ( -x2 + 4x – 4) ≥ 0 Em um cofre, existem apenas moedas de 50 d) (x2 – x + 9) (- x2 + 4x) ≤ 0 centavos e de 10 centavos, num total de 60 e) (x2 – 6x + 9) ( - 2x + 6) ≥ 0 unidades. Se a quantia T (em reais) existente no cofre é tal que R$ 24,00 < T < R$ 26,00, quantas 21. Determine o conjunto-solução de cada inequação são as moedas de 50 centavos?”. a seguir na variável x: O número de soluções que esse sistema admite a) x – 1 ≤ 0 é: -2x + 6 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 b) - x2 + 4x – 3 > 0 x–2 14. O conjunto solução da desigualdade abaixo é S = c) - x2+ 2x + 15 < 0 {x ∈ R / x < a}. O valor de a é: x2 – 6x + 5 a) – 2 b) – 1 (3x − 6)(2 − x) d) 2–x ≤0 c) 0 >0 x2 – 6x + 9 ( x − 1) d) 1 616
  • 25. Matemática Prof. Júlio 22. (MACK – SP) – O conjunto-solução da inequação (x2 + 1) ( - x2 + 7x – 15) < 0 e: 30. (UNICAMP) – A solução da inequação (x2 – 4) ( a) φ b) [3, 5] c) R d) [- 1, 1] e) R+ 5x2 + x + 4) ≥ 0 é: a) x ≥ 0 23. (FGV – SP) – A inequação x(x + 2) > 0 tem b) qualquer número real como solução: x2 + 1 c) – 2 ≤ x ≤ 2 a) x < -2 ou x > 1 ou –1 < x < 0 d) x ≤ - 2 ou x ≥ 2 b) x < - 2 ou x ≥ 1 e) 1 ≤ x ≤ 2 c) x ≤ - 2 ou x > 1 d) x ≤ - 2 ou x ≥ 1 31. Sendo A e B os conjuntos-soluções das inequações (I) e (II), onde 24. (PUC – SP) – Os valores de x que verificam a x 2 − 5x + 6 inequação <0 são expressos por : x−2 a) x < 3; b) 2 <x<3 c) x < 2 ou x > 3 d) x ≠2 Determine A ∩ B. e) x <3ex≠2 32. (ACAFE – SC) – Os valores de x para os quais a 25. (CESGRANRIO) – Resolvendo a inequação (4x2 + 3x 8 − 4 x 1) x3 (5 – 3x) > 0, obtemos: desigualdade 3− > é satisfeita são: a) 0 < x < 4 2 4 b) 5/3 < x < 4 a) x > 2 b) x < 2 c) x < 5/13 c) 0 < x < 5/3 d) x > 5/13 e) x > 13/3 d) x < 0 ou x > 5/3 e) x = 0 ou x > 5/3 26. (CESGRANRIO) – O conjunto de todos os 33. (CEFET – PR) O domínio da função y = 1 / √(x2 + números reais x que satisfazem a inequação 2 / x + 1) é: (x – 1) < 1, no universo R é: a) φ b) R* c) R*+ d) R+ e) R a) {0} b) – 1 < x < 1 c) x < 1 ou 3 < x < 2 34. (OSEC – SP) – O domínio de definição da função d) x < 0 e) nda f ( x) = − x 2 + 2 x + 3 , com valores reais é um dos conjuntos abaixo. Assinale-o: 1 27. (UFMG) – A solução da inequação x+ ≤ 2 é: a) {x ∈ R / - 1 ≤ x ≤ 3} x b) {x ∈ R / - 1 < x < 3} a) x ≤ - 1 ou x = 1 c) {x ∈ R / x ≤ - 1 ou x ≥ 3} b) x < 0 ou x = 1 d) {x ∈ R / - 3 ≤ x ≤ 1} c) x =1 e) {x ∈ R / x ≤ - 3 ou x ≥ 1} d) x ≤1 e) x <0 35. (CEFET – PR) – O domínio da função real de variável real f(x) = (x2 + 2x – 15) – 1 / 2 é dado 28. (UNIFOR – CE) – A solução da inequação pelo conjunto: Q + 1 > 0 é: a) {x ∈ R / x < - 5 ou x > 3} Q - 1 b) {x ∈ R / x ≤ - 5 ou x ≥ 3} a) Q < - 2 ou Q > 0 c) {x ∈ R / - 5 < x < 3} b) Q > - 1 ou Q < -2 d) {x ∈ R / x ≤ - 3 ou x ≥ 5} c) Q > 1 ou Q < - 1 e) {x ∈ R / x < - 3 ou x > 5} d) Q < - 2 ou Q > 1 e) Q < 0 ou Q > 1 36. (PUC – MG) – O valor de y na função 29. (FGV – SP) – O conjunto-solução da inequação y = 2 − x −8 3 2 é real se: x−x 2 a) x ≤ 4 b) x < 4 c) 0 ≤ x ≤ 5 ≥0 é: d) – 5 ≤ x ≤ 3 e) – 4 ≤ x ≤ 4 x + 2x − 3 2 37. (CEFET – PR) – A função f(x) = ax2 + 5x – 10 a) x < - 3 ou x ≥ 0 e x > 1 possui concavidade voltada para cima. O valor de b) x < - 3 ou x > 1 f(1), sabendo que “a” é um número inteiro c) – 3<x<1 pertencente ao domínio da função d) e) – – 3<x≤0 3 < x ≤ 0 ou x ≥ 1 g ( x) = 1 / (− x 2 − 2x + 8 ) é: 617
  • 26. Matemática Prof. Júlio a) 10 b) – 10 c) 4 d) –6 e) – 4 FUNÇÃO COMPOSTA 38. (UFOR – MG) – O domínio da função real definida 02. Sendo f(x) = 3x e g(x) = 2x – 6. obtenha: por f ( x) = 2 x + 4 + x é: a) fog(x) = b) gof(x) = a) [-2, ∞) b) (- 2, ∞) c) (0, ∞) d) [0, ∞) c) g(f(g(x))) = 39. O Domínio da função abaixo é: a) x > 5 e x ≠ 11 03. Sendo f(x) = 3x + 2 e g(x) = x – 1, obtenha as b) x > 5 e x ≠ 1/3 3x + 1 seguintes funções compostas: c) x < 11 fx) = a) gof(x) = d) fog(x) = g) gog(x) = d) x > 1/3 e x ≠ 11 11 − x b) fof(x) = e) g(f(2)) = h) f(g(1)) = e) x ≥ - 1/3 e x ≠ 11 c) f(f(2)) = f) g(f(3)) = 04. Sendo f(x) = 2x – 4 e g(x) = 3x + 1, obtenha as 40. (UEMG) – O domínio da função é seguintes funções compostas: o intervalo real: a) gof(x) = b) fog(x) = c) gog(x) =] d) fof(x) = e) g(f(0)) = f) f(g(- 4)) = g) f(f(5)) = h) g(f(2)) = 05. Sendo f(x) = x2 + 3 e g(x) = 5x – 1, obtenha: a) gof(x) = c) g - 1(x) = b) f(g(2)) = d) g(f(-3)) = 06. Se f(x) = 4x – 1 e g(x) = 2x, qual o valor numérico da expressão f - 1(3) + g(f(2). 41. (INATEL) – Sabendo-se que o domínio da função 07. (UERGS) – Sejam f e g funções definidas por f(x) = f(x) representada abaixo é o conjunto D = {x ∈ R 2x + 1 e g(x) = 2x+1. O valor de g[f(1)] + f[g(0)] é: / x ≠ 1}, o valor de a é: 4x − 1 a) 0 b) 2 c) 1 f ( x) = a) 17 b) 19 c) 21 d) 23 e) 25 d) –1 e) –2 2x + a 08. Dadas as funções f(x) = 2x + 4 e g(x) = x – 1, a lei de formação da função fog(x) e gof(x) sãoGABARITO respectivamente: a)fog(x) = 2x – 3 e gof(x) = 5x01. a){x∈R/1<x<2} b) {x∈R/x<-2 ou x>0} b) fog(x) = 2x + 2 e gof(x) = 2x + 3 c){x∈R/-5≤x≤10} d){x∈R/x>2} c)fog(x) = 2x – 3 e gof(x) = 2x02. A 03. B d) fog(x) = 2x + 4 e gof(x) = 3x + 304. α<-2√2 ou α>2√2 05. C e)fog(x) = 3x + 3 e gof(x) = 2x + 306. A 07. E08. C 09.B 09. (EFOA 2005) – Considere as funções f : IR em IR e10. E 11. p<-8 ou p>8 g : IR em IR, definidas por f(x) = x2 + a e g(x) = f12. E 13. E (2x + 1), onde a é um número real. Encontre os14. D 15. A valores de a , tais que ( f o g)(2) = −13.16. B 17. {x∈R/x>3}18. A 19. A 10. Dada a função f(x) = 4x – 1 e g(x + 5) = x2 – 8,20. a){x∈R/2≤x≤5} b){x∈R/x<-4 ou -2<≤x<≤2 ou x>4} calcule:c){1,2} d){x∈R/x≤0 ou x≥4} e){x∈R/x≤3} a) f(2) – 3f(1).21. a){x∈R/x≤1 ou x>3} b){x∈R/x<1 ou 2<x<3} b) g(3)c){x∈R/x<-3 ou x>5} d){x∈R/2≤x≤3} c) f(f(2))22. C 23. A d) a domínio do número 7, na função f(x).24. C 25. D26. E 27. C 11. Dadas as funções f(x) = 6x – a e g(x) = 2x e28. C 29. D sabendo que g(f(2)) = 8, o valor de a é:30. D 31. [2,4] a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) – 2032. B 33. E34. B 35. A 12. (UNIFAL/2006) – Sejam36. E 37. E38. E 39. C40. D 41. E onde a e b são números reais. a) Determine fog(x). b) Calcule os valores de a e b para os quais os números 0 e 1 sejam raízes da equação fog(x) = 0 618
  • 27. Matemática Prof. Júlio c) Esboce o gráfico da função fog para os valores não-nulos de a e b encontrados no item anterior. 13. (UFU/Julho2007) – Sejam f: [0, 6] em R a função quadrática definida por f(x) = x2 – 6x + 5 e g: [- 22. (UECE) – Sejam f e g funções de R em R tais que 5, 5] em R a função cujo gráfico está esboçado f(x) = 3x – 2 e g(x) = - 2x + 1. Se f(g(m – 1)) – 1 abaixo. = 3m – g(f(m + 1)), então f(m) + g(m) é igual a: a) – 2/3 b) – 1/3 c) 1/3 d) 2/3 e) - 4/5 23. (UFSC) – Dadas as funções f ( x) = 5 − x e g(x) 2 = x – 1, o valor de (gof)(4) é: 24. (UFMG) – Sejam A = {0, 1, 2, 3, 4} e f: A → A uma função dada por f(x) = x + 1 se x ≠ 4 e f(4) = 1. O número x ∈ A tal que (f o f o f o f)(x) = 2 é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 25. (CESGRANRIO) – Sejam A = {1, 2, 3} e f: A → A Sabendo-se que gof denota a composição da definida por f(1) = 3, f(2) = 1 e f(3) = 2. O função g com f, resolva a equação (gof)(x) = 0, conjunto-solução da f(f(x)) = 3 é: na variável x. a) {1} b) {2} c) {3} d) {1, 2, 3} e) φ 14. Sendo f(x) = 4x e g(x) = 3x2, obtenha: a) (fog)(x) 26. Sendo f(x) = 3x + 5 e g(x) = 2x2, calcule: b) (gof)(x) a) f(2). c) (fof)(x) b) g(f(2)) d) (gog)(x) c) A função composta f(fx)). d) f(g(f(1))). 15. (UFMS) – Dada a função f(x) = x2 -3, determine f(f(3)). 27. (UFU – MG) – Sejam as funções fog(x) = x2 + 2 e f(x) = 2x + 4. Qual o valor de g(2)? 16. (INATEL) – Sendo f(x) = x2 + 2x e g(x) = 3x + 4, a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a função fog é: a) 9x2 + 20x + 24 28. Dadas as funções reais f(x) = 2x + 3 e g(x) = ax + b) x2 + 30x + 24 b, se f[g(x)] = 8x + 7, o valor de a + b é: c) 9x2 + 30x + 24 a) 13 b) 12 c) 15 d) 6 e) 5 d) x2 + 20x + 24 e) x2 + 10x 29. Seja a função f(x) = 3x + 5 e g(x) = 2x – 4. O valor de g(f(2)) – f(g(3)) é: 17. Considere as funções f, g: R → R tais que g(x) = a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 2x + 1 e g(f(x))= 2x2 + 2x + 1. Calcule f(7). 30. (FAVIC) – Sendo f(x) = x4 e g(x) = x - 1, a função 18. (UFPR) – Para cada valor real de x, sejam f(x) = composta (fog)(x) é definida por: x2 e g(x) = f(f(x)). Calcule o valor de a) x4 + x – 1 [f(g(3))]/g(3). b) x5 - x4 c) x4 – 1 19. Sendo f(x) = 5x2 e g(x) = 5 – x, obtenha: d) x4 + 4x³ - 6x2 + 4x – 1 a) (fof)(2) c) (gof)(3) e) x4 - 4x³ + 6x² - 4x + 1 b) (fog)(-1) d) (gog)(1) 31. Sejam f e g funções definidas em R por f(x) = 2x + 20. (ESAL – MG) – Se f(x) = x2 + 1 então f(f(x)) é 1 e g(x) = x - 3. O valor de g[f(3)] é: igual a: a) -1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 a) x4 + 2x2 + 2 b) x4 + 2 GABARITO c) x4 + 1 d) x + 1 01. a)fog(x)=6x-18 b)gof(x)=6x-6 c)g(f(g(x)))=12x-42 e) 1 02. a)gof(x)=3x+1 b)fof(x)=9x+8 c)f(f(2))=26 d) d)fog(x)=3x-1 e)g(f(2))=7 f)g(f(3))=10 21. (PUC – PR) – Sejam f: R → R e g: R → R duas g)gog(x)=x-2 h)f(g(1))=2 funções dadas por f(x) = x2 – 1 e g(x) = x – 1. A 03. a)gof(x)=6x-11 b)fog(x)=6x-2 diferença entre as funções compostas (gof)(3) – c)gog(x)=9x+4 d)fof(x)=4x-12 e)g(f(0))=-11 (fog)(3) é igual a: f)f(g(-4))=-26 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 04. a)gof(x)=5x2+14 b)f(g(2))=84 619
  • 28. Matemática Prof. Júlio c)g- 1(x)=(x-1)/5 d)g(f(-3))=59 a) {x ∈ R / x ≠ 2}.05. 15 06. C b) {x ∈ R / x > 2}.07. B 08.-29 ou -22 c) {x ∈ R / x < 2}.09. a)-2 b)-4 c) 27 d)2 10. D d) {x ∈ R / x ≤ 2}.11. a)fog(x)=(ax+b)2 -2(ax+b) b)b={0,2} e a={0,2,-2} e) {x ∈ R / x ≥ 2}. c)Parábola para cima passando o eixo x no pontos 0 e 1. 11. Dada a função f(x) = (3x – 2)/3, encontre f-1(x) e em12. S={0,2,4,6} seguida calcule o valor de f(3) – f-1(4).13. a)12x2 b)48x2 c)16x d)27x414. 33 15.C 12. (ESPM) – Sendo f(x) = 2x -1, f: R em R, então calcule16. 56 17. 81 f -1 (x).18. a)2000 b)180 c)-40 d)1 19. A20. D 21. E 13. (FESO – RJ) – Se f -1 é a função inversa de f e f(x) =22. 0 23. x=2 2x + 3, o valor de f -1(2) é de:24. A 25. a)11 b)242 c)9x+20 d)389 a) 1/2 b) 1/7 c) 0 d) – 1/7 e) -1/226. A 27. D28. D 29. E 14. (UNIFOR – CE) – Calcule a função inversa da função30. E bijetiva definida por f(x) = 2x/3–1. 15. (AMAN – RJ) Dê a função inversa da função y = 5x + FUNÇÃO INVERSA 3. –101. Se f(x) = 2x + 3, calcule o valor de f (7). 16. (ACAFE – SC) – Sendo f(x) = 2x + 1 e g(x) - x2 – x, o valor de f(g(-1)) – f -1(-5) é:02. Se f(x) = 4x – 1 e g(x) = 2x, qual o valor numérico a) – 3 b) – 2 c) 2 d) 8 e) 4da expressão f - 1(3) + g(f(2)).03. Obtenha a função inversa das seguintes funções: 17. (PUCCAMP- SP) – Seja f a função R em R, dada peloa) f(x) = 3x – 2 gráfico a seguir:b) f(x) = x – 7c) f(x) =3x – 6d) f(x) = 2x – 1e) f(x) =5x + 3 –104. Se f(x) = 3x + 6, calcule o valor de f (3). –105. Se f(x) = 5x – 2, calcule o valor de f (8).06. Seja f(x) = x3 e g(x) = 2x. Calcule o valor de f –1 (27)+ g – 1 (10)07. (UFRRJ) – Seja f: R em R uma função definida porf(x) = ax + b. Se o gráfico da função f passa pelos pontos É correto afirmar que:A(1, 2) e B(2, 3), a função f -1 é: a)f é sobrejetora e não injetoraa) f -1 (x) = x + 1 b) f é bijetorab) f -1 (x) = - x + 1 c) f(x) = f( -x) para todo x realc) f -1 (x) = x – 1 d) f(x) > 0 para todo x reald) f -1 (x) =x + 2 e)o conjunto-imagem de f é ]- ∞; 2].e) f -1 (x) = - x + 2 18. (UFSC) – Dada a função f: R → R+, definida por f(x) =08. Seja f –1 (x) a função inversa de f(x) = 2x – 3. O valor x2 + 1, determine a soma dos números associados àsde x para que seja verdadeira a igualdade 2f –1(x) + f(- 2) afirmações verdadeiras:= 0, é: 01) a função é sobrejetora a) 4 b) c) 0 d) –2 e) –4 02) a imagem da função é R+ 04) a função é bijetora09. (UFV) – Seja f a função real tal que f(2x – 9) = x para 08) para x = √5, temos f(x) = 6todo x real. A igualdade f(c) = f-1(c) se verifica para c 16) o gráfico da função é uma retaigual a: 32) a função é par. a) 5 b) 7 c) 3 d) 9 e) 1 19. (MACKENZIE) - Dada a função f:R em R, bijetora10. (UERGS) – Seja a função definida abaixo, o domínio definida por f(x) = x3 + 1, sua inversa f-1: R em R éda função inversa de f(x) é: definida por: −1 a) f ( x) = 3 x 3 + 1 620
  • 29. Matemática Prof. Júlio 1 a) 3x − 3 = 6 b) f −1 ( x ) = 3 x3 +1 b) 5 x − 1 = x + 2 1 c) f −1 ( x ) = 3 10. A solução da equação abaixo está no intervalo: x +1 −1 2x − 7 = 4x − 5 d) f ( x) = x − 1 3 a) [-2, 0 ] e) nda b) [0, 5] c) [3, 10]GABARITO d) [-5, -2] e) [6, 13]01. 2 02. 1503. a)(x+2)/3 b)x+7 c)(x+6)/3 d)(x+1)/2 e)(x-3)/5 11. Resolva as seguintes equações modulares:04. -1 05. 2 06. 8 a) x2 – 4x – 1 = 4 d) 4x - 3 = 3x – 407. C 08. A 09. D b) x2 - 2 x - 8 = 0 e) x - 3 = 010. A 11. 7 12. (x+1)/2 c) x - 1 = 213. E 14. (3x+3)/2 15. (x-3)/516. B 17. A 18. F,F,V,F,V19. D 12. (ACAFE – SC) – Se a - b = 6 e a + b = 2, o valor de a4 – 2a2b2 + b4 é: a) 8 b) 12 c) 24 d) 64 e) 144 MÓDULO 13. Resolva as inequações modulares01. Dê o valor numérico dos seguintes módulos: a) 2x - 4 < 6 a) 2 b) - 4 c) 2 - √5 d)3 - √5  e) - 3  b) x - 1 > 2 c) 2x + 5 > 102. Dê o valor numérico dos seguintes módulos:a) - 2 = 14. (UPF – RS) – A soma das raízes da equação 2x + 5b) 2 - √3 = = 6 é:c) - 13  = a) –5 b) 9 c) 4,5 d) 6 e) 0,5d) 6 - √2 =e)  74 = 15. (UEL – PR) O conjunto solução da inequação x < 3,f) 3 - √3 = tendo como universo o conjunto dos números inteiros, é:g) 13 + √5 = a) {-3, 3} b) {-1, 0, 1}03. Qual é o valor da soma das raízes da equação. c) {-2, -1, 0; 1, 2} 3x − 5 = 4 d) {-3, -2, -1, -, 1, 2, 3} e) {0, 1, 2, 3}04. Se f(x) = 2x – 4 –2 x+3, calcule o valor de f(5) –f(–3). 16. (ACAFE – SC) A equação modular abaixo admite, como solução, somente:05. Resolva as seguintes equações modulares:a) - 3x – 5 = 7b) 2x - 1 = 2c) 2x - 3 = x – 506. Resolva as seguintes equações modulares: a) uma raiz positiva e uma negativa;a) - 4x – 5 = 17 b) duas raízes negativas;b) 2x - 2 = 10 c) duas raízes positivas;c) x - 4 =  x + 5  d) uma raiz positiva; e) uma raiz negativa.07. Seja a função f(x) = 3x – 5, calcule o valor de f(0) –f(4) + f(1). 17. (UEPG – PR) – No conjunto R, a desigualdade x - 5 <7 é verdadeira para:08. (UNIPA) – Seja a função definida no intervalo ]-1, 1[ a) {x ∈ R / x < 12} 1 b) { x ∈ R / x > - 12}por f ( x) = então f(-1/2) é: c) {x ∈ R / - 2 < x < 12} 1− x d) {x ∈ R / -2 ≤ x ≤ 12} e) nda.a) ½ b) ¼ c) – ½ d) – 1 e) 2 18. (PUC – MG) – O par ordenado (5/2, b) pertence ao09. Resolva as equações abaixo: gráfico de f(x) = x – 1 – x . O valor de b é: a) – 4 b) – 1 c) 1 d) 4 e) 6 621
  • 30. Matemática Prof. Júlio19. (UFGO) – Os zeros da função 2x −1 EXPONENCIAL f ( x) = − 3 são: 5 01. Resolva as seguintes equações exponenciais:a) – 7 e – 8 b) 7 e – 8 c) 7 e 8 2 1d) – 7 e 8 e) – 7 e 11 a) 2 x = 8 b) 2 x = 4 c) 5x −3 = d) 4 = 4 2x x−4 5 02. (CESGRANRIO – RJ) Se 8x = 32, então x é igual a:20. (ULBRA) – A função representada no gráfico abaixo a) 5/2 b) 5/3 c) 3/5 d) 2/5 e) 4é: 03. Marque com D as funções que têm gráfico crescente e com C as funções que têm gráfico decrescente: ( ) f(x) = 3X ( ) f(x) = (1/3)X ( ) f(x) = (4/3)X ( ) f(x) = 0,3X ( ) f(x) = πXa) f(x) = x–4 ( ) f(x) = (2/7)Xb) f(x) = x - 4 ( ) f(x) = 0,999Xc) f(x) = x2 – 4 ( ) f(x) = (0,999...)Xd) f(x) = x2 - 4e) f(x) = 1/x 2− x x−4 1 27 x 04. Resolva a equação 3 ⋅  = .  81  921. (PUC – BA) a figura abaixo pode representar o k 2kgráfico da função f: R em R, definida por: 2 3 3 05. (PUC) – Sendo   ⋅  = , qual o valor de 3 2 2 −k 1   ? 3 06. (ESPM) – Uma empresa de publicidade estima que o número N de visitantes diários a uma exposição varia coma) f(x) = x + 2 o número x de dias em que sua propaganda é veiculadab) f(x) = x - 2 pela TV segundo a equação N = k.20,4x, na qual k é umac) f(x) = x + 2 constante. Os organizadores verificaram que,s emd) f(x) = x - 2 nenhuma propaganda de TV, cerca de 200 pessoase) f(x) = x + 2 visitam diariamente essa exposição. Se a agência de publicidade estiver correta na sua estimativa, com 5 dias22. Seja a função f: R em R representada abaixo, calcule de propaganda o número de visitantes diários será de:f(3) – f(-2). a) 600 b) 800 c) 1000 d) 1200 e) 1600 f ( x) = 4 x − x − 1 07. Resolver: a) 5(3x – 1 ) > 1GABARITO b) (1/5) 2x – 3 ≤ 1/5 2 08. (PUC – SP) Se 3x – 3x = 1 / 9, então os valores de x01. a)2 b)4 c)-2+√5 e)3 são:02. a)2 b)2-√3 c)13 d)6-√2 e)74 f)3-√3 g)13+√5 a) 1 e 3 b) 2 e 3 c) 1 e 2 d) 1 e 4 e) 2 e 403. 10/3 04. 005. a){-4,2/3} b){3/2,-1/2} c){-2,8/3} 09. (PUC – MG) O valor de x que satisfaz a equação 33x – 106. a){-11/2,3} b){-4,6} c){-1/2} . 92x + 3 = 273 – x é:07. -10 08. E a) 1 b) 3 c) 5/2 d) 1/3 e) 2/509. a){-1,3} b){3/4} 10. B11. a){-1,1,3,5} b){-2,2} c){-3,3} d)∅ e){-3,3} 10. (PUC – RS) – Se 3 x - 3 2 – x = 2 3, então 15 – x 2 vale:12. E a) 16 b) 15 c) 14 d) 11 e) 613. a){x∈R/-1<x<5} b){x∈R/x<-1 ou x>3} c){x∈R/x<- 3 ou x>-2} 11. (UFRN) – Se 2 x = 2048, então, x vale:14. A 15. C a) 7 b) 11 c) 13 d) 17 e) 1916. D 17. C18. C 19. D 12. (UEPG – PR) – Se 8 x – 9 = 16 x / 2, então 3√x é igual a:20. B 21. D a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) nda22. -1 622
  • 31. Matemática Prof. Júlio13. (UEPG – PR) – A soma das raízes da equação 32x – 22. (FUVEST) – Seja f(x) = 22x+1. Se a e b são tais que12.3x + 27 = 0 pertence ao intervalo: f(a) = 4f(b), pode-se afirmar que:a) [10,12] a) a + b = 2 b) a + b = 1 c) a – b = 3b) [0,3] d) a + b = 3 e) a – b = 1c) [1,2]d) (10,12] 23. (PUC-RJ/2004) - Uma das soluções da equaçãoe) (1,3)14. Resolva as seguintes equações exponenciais: é:a) 2 x = 256 a) x = 1 b) x = 0 c) 2 + 3 x −1b) 2x =8 d) x = -2 e) x = 3 1 24. (UFJF 2005) – As raízes da equação 2x + 1/2x = 17/4c) 5x−2 = são: 25 a) iguais em módulo.d) 9 = 27 x − 4 2x b) ambas negativas. 3 c) ambas positivas. 3x− d) quaisquer números reais.15. Resolvendo a equação 3 4 = 3 , encontraremos 4 e) nulas.um certo valor para x. Calcule o valor de  3x -6 . 25. (UFOP/2005) – A curva c, a seguir, é gráfico da 2− x 1 8x função f (x) = 2x . A equação da reta r que passa pelos16. Resolva a equação 2x−2 ⋅   = . pontos P e Q é:  16  4 3x−2 x +117. (UFJF/2006) – Dada a equação 2 ⋅8 = 4 x −1 ,podemos afirmar que sua solução é um número:a) natural. d) maior que 1.b) de módulo maior do que 1. e) par.c) de módulo menor do que 1. 8 x −8 x+6 1 118. Resolver a inequação   ≤  .  3 919. Resolva a equação e a inequação propostas abaixo:a) b) 25 x −1 2 2 x −1 4 2 x −3 53x−2 =   >  125 x + 2 3 920. Num laboratório é realizada uma experiência com ummaterial volátil, cuja velocidade de volatilização é medidapela sua massa, em gramas, que decresce em função dotempo t, em horas, de acordo com a fórmula abaixo.Assim sendo, o tempo máximo de que os cientistasdispõem para utilizar este material antes que ele sevolatilize totalmente é:a)inferior a 15 minutosb) superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos 26. (UFOP/2005) – Com relação à equação exponencial:c) superior a 30 minutos e inferior a 60 minutosd) superior a 60 minutos e inferior a 90 minutose)superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos pode-se afirmar que ela admite: a) duas raízes inteiras e positivas. m = −3 2 t − 3 t +1 + 108 b) duas raízes irracionais e positivas.21. (UFPB) – Em uma comunidade de bactérias, há c) duas raízes racionais e duas irracionais.inicialmente 106 indivíduos. Sabe-se que após t horas (ou d) duas raízes inteiras e positivas e duas raízes irracionaisfração de hora) haverá Q(t)= 106 x 32t indivíduos. Neste e negativas.caso, para que a população seja o triplo da inicial, otempo, em minutos, será: 27. (UCSal) - Se 12n+1 = 3n+1 . 8 , então log2 n é igual a:a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 a) -2 b) -1 c) 1/2 d) 1 e) 2 623
  • 32. Matemática Prof. Júlio28. Dar o domínio da função real definida por: 38. (Cefet-PR) – O produto das raízes da equação 32x + 1 – 10.3x + 3 = 0 é: a) 2 b) 2 c) 1 d) –1 e) 0 GABARITO29. (FUVEST – SP) – S endo x = (22) 3 , y = 2 23 e z = 01. a)3 b)-√2 ou √2 c)2 d)-4 223 , calcule x . y . z: 02. Ba) 221 b) 210 c) 223 d) 24 e) 220 03. D, C, D, C, D, C, C, * 04. 5 05. 3 06. B30. (FCC) – A solução da equação 0,5 2x = 0,251 – x é um 07. a){x∈R/x>1/3} b) {x∈R/x ≥ 3/2}número tal que: 08. C 09. E 10. Da) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2 11. B 12. E 13. Bc) 2 < x < 3 d) x > 3 14. a)7 b)-4 ou 1 c)0 d)-12e) x < 0 15. 3 16. 4 17. C 18. 3 19. a)-3/2 b) {x∈R/x>5/2}31. (FIC/FACEM) – A produção de uma indústria vem 20. D 21. C 22. Ediminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil 23. A 24. A 25. Aunidades de seu principal produto. A partir daí, a 26. C 27. C 28. {x∈R/x<-2 ou x>2}produção anual passou a seguir a lei y = 1000 . (0,9) x. 29. E 30. A 31. DO número de unidades produzidas no segundo ano desse 32. x=-1 e y=1 33. Aperíodo recessivo foi de: 34. E 35. D 36. C a) 900 b) 1000 c) 180 d) 810 e) 90 37. D 38. D32. (MAUÁ) Resolver o sistema: MATRIZES INTRODUÇÃO – SOMA E INGUALDADE DE MATRIZES  2 1 2 3  01. Se A=  e B=  , calcule:33. Se 0,5x 2 – 4x > 0,5 x, então seu conjunto verdade, 5 3 4 − 1em R, é: a) A+B=a)V = { x ∈ R / 0 < x < 5} b) A.B=b) V = { x ∈ R / x < -1 ou x < 5} c) 2A – B =c) V = { x ∈ R / x > -1 e x > 5}d) V = { x ∈ R / x > 5} 02. Dadas as matrizese)V = φ 3 5  − 1 2   1 − 2 A= , B =  5 − 7, C = 10 4 34. (UFPA) – A raiz da equação (7 x - 2√10) . (7 x + 2√10) 0 − 3    = 9 é um número: obtenha:a)irracional negativo a) A + B – 2Cb) irracional positivo b) A +2Bt +I2c) par c) Encontre X tal que 2X – A – B = Cd) inteiro negativoe)inteiro positivo 03. Dadas as matrizes x –x35. (UFBA) O conjunto solução da equação 2 - 2 = 5(1- 2 – x ) é: 1 2  − 1 2  5 − 2  a) {1, 4} b) {1, 2} c) {0, 1} d) {0, 2} e) φ A=  , B =  5 − 2  , C = 0 4  4 0     36. (UFCE) a soma das raízes da equação x f (x) = 1, onde obtenha:x > 0 e f(x) = x 2 – 7x + 12, é igual a: a) A + B – 2C a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 b) A . Bt – I2 c) Encontre X tal que X – A + B = Ct37. (PUCCAMP) Considere a sentença a 2x + 3 > a 8, naqual x é uma variável real e a é uma constante real 04. Dada a igualdade abaixo, calcule x + y + z + t.positiva. Essa sentença é verdadeira se, por exemplo,  x + 1 2 y − 4 2 4a)x = 3 e a = 1  z + 2 3t − 1  = 8 1 b) x = -3 e a > 1    c) x = 3 e a < 1d) x = -2 e a < 1 05. Dadas as matrizes 1 5 − 3 2  2 − 2e)x = 2 e a > 1 obtenha: A =  , B =  , C = 0 4  a) 4A + B – 2C 4 3  5 −1   624
  • 33. Matemática Prof. Júlio d) A – Bt +I2 e) Encontre X tal que 2X – A + B = Ct 06. Seja A = (aij)2 x 2 uma matriz quadrada tal que aij Determine X e Y em cada sistema: = i2 + j2. A soma de todos os elementos da matriz A é igual a: X + Y = A a) a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 X − Y = B 07. Sendo A uma matriz de ordem 3x3, cujos X + Y = 5 ⋅ A − 4 ⋅ B elementos são dados pe função b)   i − j , se i = j 2 ⋅ X − Y = A + B aij =  , a soma dos elementos 2i + j , se i ≠ j 15. (PUC) Se da diagonal principal é: a) 5 b) 6 c) – 6 d) 4 e) 0 2 1  − 1 2 4 − 1 2 1 5 4 3 1  A=  , B =  1 0 , C =  2 1  3 − 1 A =  , B =  08. Dadas as Matrizes 4 − 1 6 2 7 − 2      0 5 2 então a matriz X, de ordem 2, tal que C =  4 3 1  X −A B+ X Calcule: = +C a) A + B – C 2 3 b) A + 2 . B – 3 . C é igual a: c) (A + B)t  28 1   28 1   28 1  a )  24 b) c)  3   23 3   25 3  09. O elemento a23 da matriz A, tal que 3A +  1 − 1 3  − 2 0 1          =    , é:   28 1   28 1   0 2 1  − 1 2 − 2  d )  30 e)  a) 3 b)2 c) 0 d) -1 e) –3  3   22 3     10. Dada a matriz A = (aij)3x4 tal que aij = i – 2j se i = j e aij = 3i + j se i ≠j, calcule e valor de a14 + a22 16. Dada a equação matricial abaixo, encontre x, y, – a34. z e t:  x 1   2 y   3 2 1 2 + 0 − 1 =  z t  11. Dadas as Matrizes . 2 1 5 4 3 1        A=  , B = 2 7 − 2 4 − 1 6   17. 20.Calcule os números a, b, x e y que tornam verdadeira a igualdade 0 5 2  C=  4 3 1  1 x  − 1 y   0 1 a⋅   + b⋅     − x 1  =  − 1 2  Calcule:  y 0     a) A + B – C b) A + 2 . B – 3 . C c) A + B 18. (FGV) – A organização econômica Merco é d) (A + B)t formada pelos países 1, 2 e 3. O volume anual de e) At + Bt negócios realizados entre os três parceiros é representado em uma matriz A, com 3 linhas e 3 12. Dadas as matrizes A = (aij)2x2 tal que aij = i + j e colunas, na qual o elemento da linha i e coluna j B = (bij)2x2 tal que bij = i – j, calcule o valor de a21 informa quanto o país i exportou para o país j, + b21 – a22 – b22 em bilhões de dólares. 13. Determine X na equação 2 . A – 5 . X = Bt sabendo-se que 1 1   7 − 3 1 9 , B =  2 3  A=    então o país que mais exportou e o que mais     importou no Merco foram, respectivamente: 14. Dadas as matrizes a) 1 e 2 c) 2 e 2 b) 3 e 2 d) 3 e 1 1 0 −1 2  c) 2 e 3  3 1 , B =  5 − 1 A=    625    
  • 34. Matemática Prof. Júlio 25. Dadas as matrizes 19. Sejam as matrizes  2 1 9  1  A= , B = 13 log2 16 0,777...  812 − 1 3  A= 3  eB= 0.222...  Obtenha a matriz X tal que A.X = B.  216 mmc(8,12) mdc(12,18) log1000   onde mmc(a,b) indica a mínimo múltiplo comum  A = (aij ) 4 x 3 , aij = i j 26. Sejam as matrizes  Se C B = (bij ) 3 x 4 , bij = j entre a e b e mdc(a,b) indica o máximo divisor i comum entre a e b. Se C = A + B, podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz C é = AB, então c22 vale: igual a: a) 3 b) 14 c) 39 d) 84 e) 258 a) 52 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56 27. Dada a matriz A, calcule A2: 20. Determine o elemento c22 da matriz C = A . B 2 1 sendo A = (aij)2x2 tal que aij = 2i e B = (bij)2x3 tal A=  que bij = j.  3 4 a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 28. Dadas as matrizes A e B abaixo e seja C = A x B, 21. Sejam as matrizes A e B representadas abaixo. então pode-se afirmar que o elemento c23 é igual Sendo A = B, qual o valor da expressão E = 2x – a: 3y + z? a) 30 1 2  a) 12 b) 40 5 4  b) 14 A =  2 y − 5 3 1 z − 2 c) 50 A=  e B = 4 3 4 1 c) 16  x − 3 4, B = 5 4  d) 55 1 − 1 1 2 5 0      e) 60   d) 18   e) 20 3 2 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 29. O elemento b21 da matriz B = A2 sendo 1 1 22. é: A= 2 1 a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 1   30. Determine a matriz X dadas as matrizes 2 1 A= 3 1  5 2 B= 6 2  sabendo que A . X + B = 0 31. Dada a matriz A, calcule A2: 2 1 A=   3 4 23. Considere as matrizes A, B e C abaixo com x, y e z reais. Se A . B = C, calcule a soma dos 1 2  2  x elementos da matriz A. 32. Se  A= , B =   e X =   ,  1  y determine 1 x 1 2 4 5 0 1     A= , B = 1 1, C = 36 45 X, tal que AX = B. y z      A = (aij ) 4 x 3 , aij = i j 24. Uma matriz quadrada A é denominada matriz 33. Sejam as matrizes  Se C B = (bij ) 3 x 4 , bij = j i ortogonal se A A = AtA = I t onde A t denota a = AB, então c22 vale: transposta da matriz A e I é a matriz identidade a) 3 b) 14 c) 39 d) 84 e) 258  2 5 de ordem n. Verifique se  1 3 B=  é 34. Determine o elemento c22 da matriz C = A . B   sendo A = (aij)2x2 tal que aij = 2i e B = (bij)2x3 tal ortogonal. que bij = j. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 626
  • 35. Matemática Prof. Júlio 07. Dadas as matrizes 35. O elemento c32 da matriz C = A . B sabendo-se  6 5 que A = (aij)3x3 tal que aij = i + j e B = (bij)3x2 tal  1 − 2 3   que bij = 1 – i, é:  0 1 0 e B =  3 0 , A  o determinante a) – 10 b) 2 c) 15 d) – 17 e) 9   1 0   DETERMINANTES da matriz produto A . B é: a) 5 01. Calcule os seguintes determinantes: b) -5 c) 15 5 2 a b d) -15 a) b) e) 10 −1 3 b a 08. (UNICENTRO) – Sendo A e B duas matriz 2x2 3 1 1 1 1 1 dadas abaixo, pode-se afirmar que o maior valor c) 2 3 1d ) 1 b 1 do determinante matriz AB é igual a: a) 2 −1 2 1 c 1 c b) 1 c) 1/2 1 1 2 1  02. Resolva as seguintes equações: d) 1/8 A=  e B = 1 x  x 5 e) 0  x 1   a) =1 1 3 09. (UNIFEI – 2003) – O determinante abaixo é múltiplo de: x 3 a) 9 b) =1 b) 7 x −1 x c) 5 d) 3 03. Calcule o valor real de x em: e) 2 x 1 1 10. Seja A uma matriz de ordem 3x3 tal que aij = i – j. Calcule o determinante da matriz A. 2 1 3 =0 11. (UFOP 2005/2) –A matriz A, , dada a seguir, é 6 2 x igual à oposta da sua transposta, ou seja, A = - 04. Simplifique: At . x 1 1 1 x 0 0 1 1 x −1 Seu determinante vale: a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) – 1 x 1 12. (UNESP) Considere as matrizes reais 05. (PUC) A matriz A = (aij) é quadrada de ordem 2 com:  x2 0  4 z  A= 2 , B =       aij = 2i − j ⇔ i = j  y + z  y − x  a ij = 3i − 2 j ⇔ i ≠ j Se A = Bt (transposta de B), o determinante da matriz: O determinante de A é igual a:  x y − 1 a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 9   z 1 1  06. Resolver em R, a equação: 4 5 2    x x2 0 2x −2 É igual a: =1 2 3 a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 −3 x 2 3 5 x 1 0 0 x 0 13. Calcule x na equação é: 2 −1 2 + 2 4 −1 = 0 4 0 0 −1 0 −1 627
  • 36. Matemática Prof. Júlio 14. (FEI) - O valor de x que satisfaz a equação x 1 0 0 x 1 0 0 0 0 0 1 2 −1 3 + − 2 2 1 = 0 é: 1 0 0 0 0 4 0 2 − 3 0 −1 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 a) -4/7 b) -2 c) 4/7 d) 5 e) 2 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0+ 15. Obtenha o co-fator do elemento a12 da matriz 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 2 3 1  0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 5 A = 1 3 2    6 0 0 0 0 0 4 1 1    Obtém-se: 16. Obtenha o co-fator do menor elemento da a) 840 b) – 840 c) 600 d) - 600 e) 0 matriz:  1 3 4 23. Resolva o determinante A =  − 1 2 0   1 0 0 0  − 3 2 4   1 2 1 2 17. Calcule os determinantes: 3 0 0 2 1 1 1 1 2 0 2 3 a) 2 1 1 1 ,b) 1 2 3 4 0 0 0 2 3 1 1 1 3 1 0 2 3 2 1 0 2 0 0 1 24. Calcule o determinante 18. Calcule o valor do determinante: 1 0 1 0 3 2 1 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 1 2 0 0 0 1 1 3 2 1 1 4 3 2 1 4 0 0 0 0 1 1 3 1 19. Dada a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = i2 + j2: a) Calcule o valor do co-fator do elemento a31 1 3 3 2 25. (MACK) – O valor de é: da matriz A. 2 5 3 3 b) Calcule o co-fator do elemento a11 da matriz A. 1 1 1 1 20. Dada a matriz x y z 26. Calcule o determinante da matriz abaixo: A= 1 a b 2 1 5 0 1 1 1 2 1 Sabe-se que os co-fatores de x, y e a são  4 0  respectivamente iguais a 3, 5 e –8, então podemos afirmar que a soma a + b é: 1 4 1 1   a) 10 b) 12 c) 15 d) 3 e) – 3 2 − 1 0 0 21. Resolva a soma abaixo: 27. Calcular o valor do determinante abaixo: 1234 5 6 2 3 −1 5 0 0 0 2 0 124 5 −8 9 x 0 0 0 6 1 4 2 31− − 0 0 2 5 4 6 1 1 1 x 1 2 2 0 2 3 + = = 16 10 2 3 0 0 0− 2 3 1 2 0 x 3 1 8 −4 2 12 0 4 0 0 0 0 1 9 0 0 0 2 28. Se a é a raiz da equação, então o valor de a2 é: a) 16 b) 4 c) 0 d) 1 e) 64 0 0 0 0 0 −2 x 0 0 0 22. Somando-se 1 x 1 2 = 16 2 0 x 3 628 0 0 0 2
  • 37. Matemática Prof. Júlio a b c a) x y z = 29. Sabendo-se que f(x) é igual a d e f x 0 0 0 0 2x 2y 2z b ) 3d 3e 3f = 0 x 0 0 0 a b c 0 1 x 1 1 x a − d 0 2 1 4 2 c) y b −e = 0 0 0 0 1 z c − f Podemos afirmar que f(-2) é: a) – 8 b) - 16 c) 16 d) 8 e) 4 38. Sejam duas matrizes quadradas A e B de ordem 2. Sendo 3.det(A) = 15 e que det(At) + det(2A) 30. Sendo A uma matriz de ordem 3x3 e det(A) = 2, = 4.det(B), podemos afirmar que o det(B) é igual calcule o valor da expressão det(A) + det(3A) – a: det(At). a) 25/4 d) 25/2 b) 13/4 e) 15/4 31. (ITA) – Sendo A uma matriz real quadrada de c) 15/2 ordem 3, cujo determinante é igual a 4, qual o valor de x na equação det(2A . At) = 4x. 39. Dada a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = 2i - j: a) Calcule o valor do co-fator do elemento a22 da 32. Sendo X e Y duas matrizes de ordem 2 e detX = matriz A. 3, calcule detY sendo det(X.Xt) = det(2Y) b) Calcule o co-fator do maior elemento da matriz A. 33. (UNIFAL/2006) – Sejam X e Y matrizes de ordem c) Calcule o determinante da matriz. 2 que satisfazem a equação X3Y = 2X , sendo X3 = X.X.X . Se o determinante de X é igual a 3, é 40. (UNIFAL/2006) – Seja definida por CORRETO afirmar que o determinante da matriz Y é igual a: a) 4/9 b) 2/9 c) 1/9 d) 1/3 e) 5/9 34. (UEL) Seja o determinante , então o maior valor de f é: a b D= a) – 11 b) – 10 c) – 13 d) – 12 e) – 15 c d 41. (UFOP/2005) – Considere a matriz A = [aij ]2x2 É verdade que: a 1 c d a) = D − 1 Q b) =D com c 1 a b a) Calcule det A . b a d c c) = DQ d) =D d c b a b) Calcule AB , sendo 2 2 a b 42. Calcule o determinante abaixo: e) = D2 c2 d 2 1 1 1  6 12  log 7 log 70 log 700 35. (UEL) – Se A é a matriz  − 3 − 6 o     (log 7) 2 (log 70) 2 (log 700) 2 determinante da matriz A2 é igual a: a) 0 b) 1 c) 4 d)9 e) 25 36. Se a é uma matriz 3x3 de determinante 5, então GEOMETRIA PLANA calcule o valor do det (A + A). Ângulos e Triângulos x y z 37. 38. Sendo , calcule: 01. Em cada figura, calcule o valor de x, y e dos a b c =3 demais ângulos. d e f 629
  • 38. Matemática Prof. Júlio b) r//s c) a r 30 x 50 a+x s 02. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos colaterais internos representados por 6x e 3x. Calcule x. 09. Considere as retas r, s, t e u todas num mesmo plano, r//u. O valor em graus de x é: 03. Dois ângulos colaterais internos  e Ê são tais que  = 3x + 70º e Ê = 2x + 35º. Calculando os valores de  e Ê, concluímos que  – Ê é: r x 120° a) 40º b) 50º c) 60º d) 70º e) 80º 20° u 04. Dois ângulo alternos internos são dados por 4x – 70º e 2x + 50º. Calcule x e o valor dos dois x ângulos. 10. A razão entre dois ângulos suplementares é igual a 2/7. Determine o complemento do menor 05. Duas retas paralelas cortadas por uma ângulo. transversal formam ângulo alternos externos dados por 4x – 70 e – 5x + 280º. Calcule x. 11. Qual é o ângulo que somado ao triplo do seu complemento dá 210º. 06. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos colaterais internos 12. Determine o valor de x, sendo r//s iguais a 3x + 70º e 2x + 30º. Calcule o valor de 5x. t r 07. Analise as afirmações abaixo: x I - a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. s II - ângulos colaterais têm a mesma medida. 60 III – ângulos alternos têm a mesma medida. 13. ° Determine o valor de α IV – a soma dos ângulos externos de um triângulo é igual a 360º. t r//s Sendo V as afirmativas verdadeiras e F as alternativas falsas, a seqüência correta é: 2α r a) I – V, II – V, III – V, IV – V. b) I – V, II – V, III – F, IV – V. s c) I – V, II – F, III – V, IV – F. d) I – V, II – V, III – F, IV – F. 3α e) I – V, II – F, III – V, IV – V. 08. Calcule x e a em cada caso: α 150° a) 14. Se então β + α 160° vale: β a) 30º b) 50º c) 150º d) 80º e) nda 15. (PUC) – Se r//s, então α vale: a) 90º b) 100º r 10° c) 110º d) 120º α e) nda s 630
  • 39. Matemática Prof. Júlio 16. Na figura abaixo, tem-se r//s e t//u. Calcule o valor de a. 24. Calcule o ângulo  indicado na figura, sabendo que as bissetrizes internas dos ângulos de vértice B e C formam um ângulo de 110º.  110° θ α B θ α C 17. Calcule o suplemento de (90º- x). 25. ABC é um triângulo eqüilátero de lado 18 cm e C é ponto médio do segmento BD. Sejam E um 18. O dobro da medida do complemento de um ponto sobre o lado AC e F ponto médio de AB, de ângulo aumentado de 40º é igual à medida de tal forma que F, E e D estejam alinhados. seu suplemento. Qual a medida do ângulo? Determine a medida do segmento CE. A 19. Da medida de um ângulo tira-se sua terça parte e depois a metade da medida do suplemento do F que restou e obtém-se 60º. Qual a medida do E ângulo? B D 20. (STA CASA) – Os triângulos ABC e DEC são C congruentes. Os lados do último medem 5cm, 4cm e 3cm, respectivamente. O perímetro da figura ABDECA mede: 26. Num triângulo ABC, onde AC = 10 e AB = 12, tomou-se os pontos D e E sobre os lados AB e AC, respectivamente, de tal forma que DE//BC. Seja O o incentro do triângulo ABC, de tal forma que O, D e E estejam alinhados. Calcule o perímetro do triângulo ADE. 27. (UEL – PR) Na figura abaixo, as retas r e s são a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24 paralelas: 21. Na figura AB ≡ AC,  = 80º. Calcular o ângulo BÊC. A D E 30° 30° B C 22. Na figura AB = AC, O é o ponto de encontro das bissetrizes do triângulo ABC e o ângulo BÔC é o triplo do ângulo A, então a medida de  é: B A medida de y é igual a: O a) 70º b) 80º c) 90º d) 100º e) 110º A C 28. (VUNESP) – Os ângulos internos de um triângulo a) 18º b) 12º c) 24º d) 36º e) 15º estão em progressão aritmética e o menor deles 23. Na figura seguinte, o triângulo MNP é equilátero e é a metade do maior. O maior ângulo do BM = BN. Calcule as medidas dos ângulos do triângulo mede: triângulo ABC. a) 60º b) 75º c) 80º d) 90º e) 120º 29. (FUVEST/98) – As retas t e s são paralelas. A B medida do ângulo x, em graus, é: a) 30º b) 40º M N c) 50º d) 60º 72° 631 A C P
  • 40. Matemática Prof. Júlio d) 70º 35. Na planta de um loteamento, está faltando a medida do lado dos fundos do lote B, conforme a figura: 30. Na figura, os pontos A e B estão no mesmo plano que contém as retas paralelas r e s. Assinale o valor de α . a) 30º 30º b) 50º r Calcule sua medida, em metros. c) 40º 40 B a) 12 b) 13 c) 14 d) 16 e) 15 d) 70º A 36. Nas figuras abaixo, calcule o valor de x (as retas e) 60º α a, b e c são paralelas). 60 s 31. Num retângulo, uma diagonal forma com um dos lados um ângulo de 17º. Calcular a medida do ângulo obtuso formados pelas diagonais. 32. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e ABM é 37. Encontre x e y na figura: um triângulo equilátero. Então quanto mede o ângulo CMD? 38. A planta abaixo mostra as medidas de dois terrenos. Calcule as medidas de suas frentes, sabendo que as laterais são paralelas e que a medida de AB é 90 metros.Semelhança de Triângulos 33. Calcule x e y nas figuras abaixo: 39. Observe o desenho abaixo e descubra qual deve ser o comprimento da ponte. 34. Calcule x e y nas figuras abaixo: 632
  • 41. Matemática Prof. Júlio 40. Na figura, a medida do ângulo B é igual à medida do ângulo D, BC = 10 m e DE = 5 m, calcular valor de x. 46. (UNOPAR) – Um homem caminha em direção a um prédio vertical de 18m de altura, que projeta uma sombra de 12m. Quando o homem se encontra a 10,8m do prédio, verifica que nesse 41. (UFJF/MG) Seja o triângulo de base igual a 10 m momento se encontra totalmente dentro da e altura igual a 5 m com um quadrado inscrito, sombra do prédio. Então, a altura do homem é tendo um lado contido na base do triângulo. O igual a: lado do quadrado é, em metros, igual a: a) 1,80m b) 1,75m c) 1,70m d) 1,65m e) 1,60m a) 10/3 b) 5/2 c) 20/7 d) 15/4 e) 15/2 47. (UFSM – RS) - Na figura, a reta r é paralela ao 42. (PUC-MG 2005) – Uma lâmpada colocada da no lado AB do triângulo retângulo ABC. O alto de um poste, de altura AB = 5m, projeta no comprimento do lado AB, em centímetros é: solo a sombra de um homem. Esse homem está a) √5/5 b) √5 c) 3√5 d) √55 e) 4√5 de pé a uma distância AD = 2,56m do poste e sua sombra projetada é DC = 1,44m. Então, pode-se afirmar que a altura DE desse homem, em metros, é igual a: a) 1,80 b) 1,82 c) 1,84 d) 1,85 43. (PUC-MG) - Na figura, as medidas de comprimento são indicadas em metros e os 48. Nas figuras abaixo, determine os valores de x e triângulos são retângulos. Então, o comprimento y: do segmento DE, em metros, é: a) 2,10 b) 2,25 c) 2,50 d) 2,65 44. (VUNESP) – Na figura, a medida do ângulo ABC é 49. (FURG – RS) – O valor do segmento AD na figura igual à medida do ângulo ADE. Calcule o valor de abaixo é: (mostrar resolução) y, em metros. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 50. (Unicamp/2004) – Um homem, de 1,80m de altura, sobe uma ladeira com inclinação de 30º, 45. (UNEB) – Na figura abaixo AB = 8, MN = 2 e MC conforme mostra a figura. No ponto A está um = 3. Se MN é paralelo a AB, calcule a medida real poste vertical de 5 metros de altura, com uma do segmento BM. lâmpada no ponto B. Pede-se para: a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima. 633
  • 42. Matemática Prof. Júlio b) Calcular a área do triângulo ABC. Triângulo Retângulo 54. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 51. (UFV/PASES) – Para se deslocar para o trabalho, 10cm e um dos catetos é duas unidades maior uma pessoa que reside em uma cidade, cuja que o outro. O perímetro do triângulo é: disposição das ruas está representada na figura a) 22cm b) 24cm c) 26cm d) 28cm e) 30cm abaixo, percorre o menor trajeto de A até E , passando por D. 55. Determine o valor de x na figura: 56. (PUC – BA) – Na situação abaixo deseja-se Sabendo que construir uma estrada que ligue a cidade A à estrada BC, com o menor comprimento possível. é CORRETO afirmar que a distância percorrida, Essa estrada medirá, em quilômetros: em metros, foi de: a) 24 b) 28 c) 30 d) 32 e) 40 a) 120 b) 125 c) 130 d) 135 140 52. (UFMG/2003) - Nesta figura, o quadrado ABCD está inscrito no triângulo AMN, cujos lados AM e AN medem, respectivamente, m e n. 57. (Unesp-SP) – A área de um triângulo retângulo é de 12 dm2 . Se um dos catetos é 2/3 do outro, a medida da hipotenusa desse triângulo é: Então o lado do quadrado mede: a) 2√ 3 b) 3√5 c) 4√6 d) 2√13 e) √15 mn 58. (UFMA) – Num triângulo retÂngulo, as projeções a) m+n dos catetos sobre a hipotenusa medem 4cm e 1cm respectivamente. A área desse triângulo m2 + n2 mede: b) 8 a) 2cm2 b) 5√2cm2 c) 4cm2- d) 5cm2 e) 10cm2 m+n c) 59. (UEPG) – Num triângulo retângulo com um 4 ângulo agudo igual a 45º e a hipotenusa igual a mn 6√2 cm tem como área, em cm2, um valor igual d) 2 a: a) 12 b) 15 c) 18 d) 20 e) 24 53. (Unifei/2003) No retângulo ABCD da figura ao 60. Encontre o valor de x nas figuras a seguir: lado os lados medem AB = 12 cm e AD = 16 cm . Toma-se um ponto P sobre o lado AD , de modo que AP = x cm . Por esse ponto P traça-se o segmento PQ , paralelo à diagonal AC . Calcule a medida de PQ em função de x. 634
  • 43. Matemática Prof. Júlio 61. Quanto mede a diagonal de um quadrado se um de seus lados mede √2 m? 62. Calcule o valor de x na figura: 68. Uma árvore foi partida pelo vento conforme mostra a figura abaixo. Sabendo que a distância 63. (ENERJ) – Entre duas torres de 13m e 37m de da base da árvore até o topo é de 24m e que a altura existe na base uma distância de 70m. Qual parte quebrada mede 26m, qual era o tamanho a distância entre os extremos sabendo-se que o total, em m, da árvore antes de ser partida pelo terreno é plano? vento? 64. O triângulo representado abaixo tem medidas dadas em centímetros. Ache as medidas dos lados deste triângulo. 69. Calcule x na figura abaixo e o valor de ângulo a na figura abaixo: 65. Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa mede 12 (h=10) e o menor dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa, 4 (n = 4). Calcule o menor cateto deste triângulo. (Ver figura) 70. (UFMG/2006) – Esta figura representa o quadrilátero ABCD: 66. Dada a figura: Sabe-se que AB = 1cm e AD = 2cm ; o ângulo ABC mede 120º ; e o segmento CD é perpendicular aos segmentos D e BC. Calcule: Então, é CORRETO afirmar que o comprimento do segmento BD é a) √3 cm b) √5/2 cm c) √6/2 cm d) √2 cm 71. (UFJF) – Considere o quadrado ABCD de lado √2 cm , na figura abaixo. Determine a área do triângulo ABP, sabendo-se que a medida do 67. Calcule o valor de x e de y na figura, no tamanho segmento CP é √2 cm. do desenho, dando a resposta na formas mais simplificada possível. 635
  • 44. Matemática Prof. Júlio demais ângulos internos medem 128º cada um. O número de lados do polígono é: a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e)17 82. (ITA) – A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 2 160º. O número de diagonais desse polígono que não passa pelo seu centro é: a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80 83. O número de diagonais de um polígono que 72. (F.I. Vitória-ES) – Num retângulo cuja medida da possui a soma dos ângulos internos igual a 3240º base é o dobro da medida da altura, foram é: diminuídos 5 cm da altura e 10 cm de base, a) 140 b) 150 c) 160 d) 170 e) 180 obtendo-se assim uma redução de 350 cm2 na sua área inicial. A área do retângulo original era: 84. A soma dos ângulos internos de um polígono a) 800 cm2 d) 750 cm2 convexo de n lados é 720, então calcule o valor b) 700 cm2 e) 650 cm2 de n. 2 c) 400 cm 85. Calcule a soma dos ângulo assinalados na figura: Polígonos 73. Calcule o número de diagonais dos polígonos abaixo: a) Pentágono b) Heptágono b) Dodecágono c) Hexágono 74. (ACAFE) – Diagonal de um polígono é o segmento Área de Polígonos de reta que une dois vértices não consecutivos do polígono. Se um convexo tem 9 lados, qual o 86. A área, em cm2, de um triângulo equilátero de número total de diagonais? lado 10cm é: a) 18 b) 20 c) 24 d) 27 e) 36 a) 25√3 b) 25 c) 100√3 d) 20√3 e) 10 75. (PUC – SP) – Qual é o polígono em que o número 87. Calcule a área do desenho e a real das seguintes de diagonais é o dobro do número de lados? figuras: (Escala: 1:3) a) Dodecágono d) pentágono b) Octógono e) heptágono c) hexágono. 76. (PUC – SP) – Cada ângulo interno de um decágono regular mede: a) 36º b) 60º c) 72º d) 120º e) 144º 88. Calcule a área de um triângulo eqüilátero que 77. (PUC – PR) – A soma dos ângulos internos de um hexágono regular é: tem altura h = 2 3 cm . a) 1080º b) 540º c) 360º d) 180º e) 720º 89. Calcule a área de um triângulo eqüilátero que 78. O número de diagonais e a soma dos ângulos tem altura h = 8 3 cm . internos de um decágono convexo valem, respectivamente: a) 35 e 1440º d) 70 e 1440º 90. Se um retângulo possui os lados representados b) 40 e 1260º e) 45 e 1860º por x + 4 e x – 6 e tem área igual a 56, calcule o c) 35 e 1480º valor de x. 79. O polígono convexo cuja a soma dos ângulos 91. Um triângulo ABC tem lados AB = 10 cm, AC = internos mede 1440º tem, esatamente: 8 cm e BC = 7 cm. Determine a sua área e a a) 15 diagonais d) 20 diagonais medida da altura relativa ao maior lado. b) 25 diagonais e) 30 diagonais c) 35 diagonais 92. (UFRGN) - Um terreno de 72m2 de área é formado por 8 quadrados congruentes (veja 80. (MACK - SP) – Os ângulos externos de um figura abaixo). polígono regular medem 20º. Então, o número de diagonais desse polígono é: a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152 81. (FUVEST – SP) – Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130º cada um e os 636
  • 45. Matemática Prof. Júlio A cerca que delimita o terreno (em negrito na figura) mede: a) 51m b) 36m c) 48m d) 27m e) 62m a) 30 b) 50 c) 60 d) 80 e) 120 93. (VUNESP – SP) – O menor país do mundo em 102. (FUVEST ) – Dos irmãos herdaram um terreno extensão é o Estado do Vaticano, com uma área com a seguinte forma e as seguintes de 0,4km2. Se o território do Vaticano tivesse a dimensões: forma de um quadrado, então a medida dos seus AD = 20 m lados estaria entre: AB = 60 m a) 200m e 201m d) 220m e 221m BC = 16 m b) 401m e 402m e) 632m e 633m c) 802m e 803m 94. (UFCE) – Quantos azulejos quadrados, medindo 15cm de lado, são necessários para revestir uma área retangular que mede 90cm de comprimento e 120cm de largura? 95. Um triângulo ABC tem lados AB = 13 cm, AC = 12 cm e BC = 15 cm. Determine a sua área e a Para dividir o terreno em duas partes de mesma medida da altura relativa ao maior lado. área, eles usaram uma reta perpendicular a AB. Para que a divisão seja feita corretamente, a 96. (FUVEST) – Aumentando-se os lados a e b de um distância dessa reta ao ponto A, em metro, quadrado de 15% e 20% respectivamente, a área deverá ser: do quadrado é aumentada em: a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35 a) 35% b) 30% c) 3,5% d) 3,8% e) 38% 103. Calcule a área de um hexágono regular que 97. (FUVEST) Aumentamos a altura de um triângulo possui o lado igual a 2 m. em 10% e diminuímos a sua base em 10%. Então a área do triângulo 104. Calcule a área da região hachurada na figura: a) aumenta 1% d) aumenta 0,5% b) decresce 0,5% e) decresce 1% c) não se altera 98. (UFSC) – A base de um triângulo mede 132 m e sua altura, em metros, é h. Se a base for aumentada em 22 m e a altura, em 55m, obtém- se um novo triângulo cuja área á o dobro da área do primeiro. Calcule o valor de h. 99. (UNICAMP – SP) – Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1 : 50, as dimensões de uma sala retangular são 10 cm e 8cm. Calcule em m2 a área real da sala projetada. 105. (INATEL – MG) – A figura abaixo é a planta de um salão na escala 1 : 20. A área deste salão é: 100. (FUVEST – SP) – Os lados de um retângulo de área 12 m2 estão na razão 1 : 3. Qual o perímetro do retângulo? a) 8m b) 12m c) 16m d) 20m e) 24m 101. (UEL) – Dois quadrados, com os lados respectivamente, paralelos, interceptam-se como mostra a figura a seguir. Se AM = MD, HM = ME e as áreas desses quadrados são 100 m2 e 144 a) 5 600 cm2 b) 56 m2 c) 72 m2 m2, a área do quadrilátero MDNE, em centímetros d) 36 m2 e) 24 m2 quadrados, é igual a: 106. (UFJF 2005) – Considere um outdoor de uma propaganda publicitária, construído em formato retangular, com área de 104 m² e com um dos lados 5m maior do que o outro. Sobre a medida x do maior dos lados deste outdoor, pode-se afirmar: a) 9 ≤ x ≤ 11. b) 6 ≤ x ≤ 8. c) 12 ≤ x ≤ 14. c) x ≥ 26. 637
  • 46. Matemática Prof. Júlio e) x ≤ 6. 107. Calcule a área da figura abaixo, sendo as medidas dadas em cm. Se X e Y são quadrados de 81m2 e 144m2, 108. (PUC – PR) A área do retângulo DEFB é: respectivamente, e Z é um triângulo com 102m2 de área, então a área da região W é: a) 327m2 d) 319m2 b) 309m2 e) 282m2 2 c) 331m 112. (Fatec-SP) – Comprei um terreno de forma retangular que tem 15 m de frente por 40 m de profundidade. Nesse terreno, construí uma casa que tem a forma de um losango, com diagonais medindo respectivamente 12 m e 24 m, uma piscina de forma circular com 4 m de raio e um vestiário, com a forma de um quadrado, com 3,5 m de lado. Todo o restante do terreno será a) 120 b) 20 c) 180 d) 24 e) 160 gramado. Se o metro quadrado da grama custa 109. Determine a área do trapézio retângulo abaixo: R$ 2,40, a quantia gasta para comprar a grama será, aproximadamente: a) R$ 645,10 b) R$ 1005,50 c) R$ 795,60 d) R$ 1376,20 e) R$ 944,40 113. Num retângulo, cuja área é 65 m2, a base é 3 metros menor que o dobro da sua altura. A sua base mede: a) 5 b) 10 c) 15 d) 8 e) 4 114. (UNIFAL/2006) – Na geometria plana, quando a) 696 b) 576 c) 466 d) 786 e) 236 são conhecidos os lados a , b e c de um triângulo qualquer, é possível calcular a área S , sem 110. (UFPE) Na ilustração a seguir, temos um necessidade da determinação de qualquer ângulo, retângulo ABCD, com medidas AB = 12 e BC = 5, através da fórmula , e duas faixas retangulares EFGH e IJKL, com EF e onde 2p = a + b + c. Considere um terreno JK de mesma medida. Se a área da região triangular de lados 2x – 1, x + 1, x , conforme a sombreada e a da região do retângulo ABCD figura abaixo, cuja área e perímetro são iguais exterior à área sombreada são iguais, qual a em valor numérico. medida de EF? a) 1,8 b) 1,9 c) 2,0 d) 2,1 e) 2,2 É correto afirmar que a área do terreno é igual a: a) 30 b) 32 c) 34 d) 38 e) 36 111. (UECE) – Na figura o retângulo ABCD foi divido em quatro regiões X, Y, Z e W 115. (USF) – Um terreno na forma abaixo foi deixando como herança para duas pessoas. 638
  • 47. Matemática Prof. Júlio 125. Num círculo de raio 4cm inscreve-se um quadrado e circunscreve-se um triângulo equilátero. Calcule a razão entre a diagonal do quadrado e o lado co triângulo. 126. (UEL 2004) – Dois círculos concêntricos têm raios 3 e 5 centímetros. Desenha-se um segmento de reta, com maior comprimento possível, inteiramente contido na região interna ao círculo maior e externa ao círculo menor. Deverá, portanto, ser dividido em duas partes de Qual o comprimento desse segmento? áreas iguais por uma reta EF, paralela ao lado AB. Sendo AD = 60m, BC = 100m e CD = 50m, DE 127. O comprimento da linha do equador da Terra medirá, em metros tem aproximadamente 40.000 km. Qual é o a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 raio da Terra? Qual é o diâmetro da Terra? Uma pessoa que anda na linha do equador 116. (UFMG) – Um mapa está desenhado em uma percorrendo 10 km por dia, quantos séculos escala em que 2 cm correspondem a 5 km. Uma demoraria para dar uma volta completa no região assinalada nesse mapa tem a forma de um planeta Terra? quadrado de 3 cm de lado. A área real dessa região é de: 128. Na figura abaixo tem-se um quadrado de lado a) 37,50 km2 b) 56,25 km2 4m e uma parte de um círculo nele inscrito. c) 67,50 km2 d) 22,50 km2 Determinar a área da superfície pintada. (Considere π = 3,1). 117. (UFMG) – O comprimento de uma mesa retangular é o dobro de sua largura. Se a mesa tivesse 45cm a menos de comprimento e 45 cm a mais de largura, seria quadrada. Assim sendo, a área da mesa é de: a) 1,62m2 b) 1,45m2 c) 1,58m2 2 2 b) 1,82m e) 1,94m 129. a) Calcule a área de um triângulo eqüilátero 118. (UFJF/2006) – Seja o triângulo de base igual a que tem altura h = 6 3 cm . 10 m e altura igual a 5 m com um quadrado b) Se o triângulo do item a) for inscrito em um inscrito, tendo um lado contido na base do círculo, qual será o diâmetro desse círculo? triângulo. O lado do quadrado é, em metros, igual c) Se o círculo do item b) inscrito num a: quadrado qual será a medida da diagonal a) 10/3 b) 5/2 c) 20/7 d) 15/4 e) 15/2 desse quadrado? 119. (UFJF/2006) – Uma empresa trabalha com placas de publicidade retangulares, de lados 130. Se a roda juntamente com o pneu de uma iguais a x + 3 e 2x – 4 metros. motocicleta tem um diâmetro de 50cm, calcule a) Determine os valores de x, para que a área da quantas voltas completas ela dará se esta placa varie de 12 m2 a 28 m2. motocicleta percorrer 150km. b) Determine as medidas dos lados da placa de 28 m2. 131. Determine a área hachurada em função de r.Círculo e Circunferência 120. Dada uma circunferência de raio igual a 3cm, Calcule o seu comprimento. (Usar π = 3,14). r r 121. Um círculo de diâmetro igual a 16cm, Calcule a sua área. (Usar π = 3,14). 132. Uma pista de ciclismo tem formato circular de 122. Calcule o raio do círculo inscrito num triângulo raio 25m. Numa determinada competição Paulo equilátero de lado 3cm. dará 40 voltas completas nesta pista. Sabendo que sua bicicleta tem pneus circulares iguais de 123. Uma praça circular tem 200 m de raio. Quantos raio 40cm, quantas voltas completas terá dado metros de grade serão necessários para cercá- o pneu da bicicleta de Paulo quando ele la? terminar a prova? (Use π = 3). 124. Calcule a área e o comprimento de uma 133. Considerando um triângulo eqüilátero de lado circunferência que tem um diâmetro igual a igual a 8cm. Calcule: 10cm. (Considere π = 3,1) a) sua área; b) sua altura; 639
  • 48. Matemática Prof. Júlio c) o raio da circunferência inscrita no triângulo. 134. Joaquim comprou um terreno que tem a forma de um círculo de diâmetro igual a 120m. Joaquim deseja plantar gramas em seu terreno e, fazendo um pesquisa de preço constatou que gastará R$ 10,50 por m2 de grama. Qual a 141. (Unifor-CE) – Na figura abaixo têm-se dois quantia total, em reais, que Joaquim gastará círculos concêntricos, de raios iguais a 4 cm e 8 para gramar seu terreno? cm, e a medida de um ângulo central, em radianos, igual a π/10. A área da superfície 135. (UEL-PR) - Calcular o perímetro, em sombreada, em centímetros quadrados, é igual centímetros, de um hexágono regular, sabendo a: que nele está inscrito um círculo de 5cm de raio. 136. João comprou um terreno que tem a forma de um círculo de diâmetro igual a 20m. Para cercar seu terreno, João precisava comprar arames afim de montar a cerca. Na loja, cada metro do arame custa R$ 2,00. Sabendo que João deverá dar duas voltas completas de arame no seu terreno, quanto gastará na loja? 137. Calcule a área do círculo nas figuras abaixo. 142. (UNICAMP 2005/2ªFase) – Sejam A, B, C e D os vértices de um quadrado cujos lados medem 10cm cada. Suponha que a circunferência C passe pelos pontos C e D, que formam o lado CD do quadrado, e que seja tangente, no ponto M, ao lado oposto AB. a) Calcule a área do triângulo cujos vértices são C, D e M. b) Calcule o raio da circunferência C. 143. (UNESP) A figura representa um canteiro de forma circular com 5 metros de raio. O canteiro tem uma região retangular que se destina à plantação de flores e uma outra região, 138. Calcule a área da região indicada, sendo as sombreada na figura, na qual se plantará medidas dadas em cm: grama. Na figura, O é o centro do círculo, OB é o raio, o retângulo está inscrito no círculo e CD mede 8 metros. a) Determine a medida do lado BD e a área da região retangular destinada à plantação de flores. b) Sabendo-se que o metro quadrado de grama custa R$ 3,00, determine quantos reais serão gastos em grama (para facilitar os cálculos, use a aproximação π = 3,2). 139. Calcule o valor da área pintada nas figuras abaixo: 144. Na figura a seguir, tem-se 3 círculos concêntricos em O. Sabendo-se que o diâmetro do círculo maior é o triplo do diâmetro do círculo menor, que o diâmetro do círculo do meio vale 6m e que soma desses diâmetros é 18m, calcular a área da região hachurada, em cm2. 140. Calcule o valor da área pintada nas figuras abaixo: 640
  • 49. Matemática Prof. Júlio A área da região hachurada, em cm2 é: a) 4π b) 6π c) 2π d) 5π e) 3π 145. (UFLA 2005/2ª Fase) – Uma das faces de uma medalha circular tem o desenho ao lado. A 150. (UNIFAL/2006) – Na figura abaixo, as três região hachurada é de ouro e a não-hachurada circunferências têm 1 cm de raio e são é de prata. Sabendo que os contornos das tangentes entre si e aos lados do triângulo áreas hachuradas são semicírculos, as áreas ABC. das superfícies de ouro e de prata são, respectivamente, em cm2:_________ e __________ a) O triângulo ABC é eqüilátero? Justifique sua resposta. b) Determine as medidas do lado e da altura do triângulo ABC. c) Girando o triângulo ABC de um ângulo de ° 146. Um retângulo de 28cm de perímetro está 180 em torno da altura relativa ao lado BC , inscrito em uma circunferência de 10πcm de obtém-se um cone. Calcule o volume desse perímetro. A área do retângulo, em cm2, mede: cone. a) 48 b) 96 c) 100 d) 171 147. Calcule a área, em cm2, de um hexágono 151. (EFOA/2004) – Suponha que uma mancha de regular circunscrito numa circunferência de óleo sobre a superfície da água tenha a forma área igual a 8π cm2. de um disco de raio r (em cm). Se o raio cresce em função do tempo t(em min), obedecendo à relação r(t) = 15t + 0,5, a área ocupada pela 148. (UFJF/2006) – Testes efetuados em um pneu mancha, depois de 2 minutos, em cm2, será: de corrida constataram que, a partir de a) 940,25π d) 420,25π 185.600 voltas, ele passa a se deteriorar, b) 450,25π e) 930,25π podendo causar riscos à segurança do piloto. c) 910,25π Sabendo que o diâmetro do pneu é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem riscos para o piloto, 152. (FMTM/2003) - Um círculo tem seu centro em aproximadamente: um vértice de um triânguloeqüilátero de lado 2 a) 93 km. b) 196 km. de tal maneira que metade da área do triângulo A B está no interior do círculo. A área desse círculo vale: Dados: ATriângulo Equilátero = L2√3/4 L – lado do triângulo O a) 3√3 b) 2π c) 6√3 d) 4π e) 9√3 C D 153. (UFMG 2005) – Observe esta figura: c) 366 km. d) 592 km. e) 291 km. 149. (UNIFAL/2006) – Na figura abaixo, tem-se um círculo de 3 cm de raio e quatro triângulos equiláteros com vértices no centro desse círculo. Nessa figura, o quadrilátero ABCD tem como vértices os pontos médios dos lados do retângulo EFGH, que, por sua vez, está inscrito em uma 641
  • 50. Matemática Prof. Júlio circunferência. O segmento AC e o raio dessa de pessoas presentes a esse comício é de, circunferência medem, respectivamente, 12 cm e aproximadamente: 7 cm . Assim sendo, é CORRETO afirmar que a a) 78 500 d) 100 000 área do quadrilátero ABCD, em cm2 , é b) 127 000 e) 10 000 a) 6√13 b)8 √13 c)12√13 d)4√13 c) 157 000 154. (UNESP/2005) - Em um jogo eletrônico, o 159. (PUC-PR) Um setor circular com arco de 36º e “monstro” tem a forma de um setor circular de raio igual a 1m tem como área: raio 1 cm, como mostra a figura. A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o a) π/2 m2 b) πm2 c) π/10m2 ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do “monstro”, em cm, é: d) 2πm2 e) π/5m2 a) π - 1 b) π + 1 c) 2π - 1 d) 2π e) 2π + 1 160. (CEFET-PR) Se um setor circular tem raio α e área S, o ângulo do setor vale: a) 2S b) S_ c) πa2 155. (Fuvest-SP/2000) - Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de a2 a2 suas diagonais e uma semicircunferência de raio 2. Então, a área da região hachurada é: d) 2πa2 e) 2πSa2 a) π + 2 2 b) π + 2 S c) π + 3 d) π + 4 161. (UFV – MG) Aumentando-se 1 m no raio r de e) 2π + 1 uma circunferência o comprimento e a área, respectivamente, aumentam: a) 2π m e 2 (r + 1)π m2 d) 2π m e (2r + 1)π m2 b) 2π2 m e (2r + 1)π m2 e) 2π m e (2r2 + 1)π m2 156. (FUVEST) Na figura abaixo, ABC é um triângulo c) 2π m2 e (r2 + 1)π m2 eqüilátero de lado igual a 2. MN, NP e PM são arcos de circunferência com centro nos vértices A, B e C, respectivamente e, de raios todos iguais a 1. A área da região sombreada é: 162. (FEI – SP) Três circunferências de raio r estão dispostas no interior de outra circunferência de raio R, conforme a figura a seguir. Qual o valor da razão K = R/r? a) 2√3 b) 1 + 2√3 c) 2 + 2√3 3 3 3 d) 3 + 2√3 e) 1 + 3√3 3 3 157. (UFMG/2003) - Nesta figura, o triângulo equilátero ABC está inscrito numa circunferência de raio 2: Então, a área da região hachurada é: 4π − 3 3 2π − 3 3 a) b) 3 3 3π − 4 3 3π − 2 3 c) d) 163. (UNIJUÍ – SP) O comprimento da circunferência 3 3 representada na figura é: a) 49π unidades de comprimento; b) 2π√3 unidades de comprimento; 158. (FAAP – SP) – Na campanha eleitoral para as c) 14π unidades de comprimento; recentes eleições realizadas no país, o d) 7π√3 unidades de comprimento; candidato de um determinado partido realizou e) 14π√3 unidades de comprimento. um comício que lotou uma praça circular com 10 metros de raio. Supondo que, em média, havia 5 pessoas/m2, uma estimativa do número 642
  • 51. Matemática Prof. Júlio 167. (PUC-PR) – Sendo O o centro da circunferência de raio unitário, a área do triângulo retângulo ABC que tem o cateto AC no diâmetro, vale: 164. (UFPE) Num círculo, inscreve-se um quadrado de lado 7 cm. Sobre cada lado do quadrado, considera-se a semicircunferência exterior ao quadrado com centro no ponto médio do lado e raio 3,5 cm, como na figura a seguir. Calcule a área da região hachurada: 168. Calcular o comprimento, em cm, de um arco de 36º e de raio igual a 40cm Ângulos na Circunferência 169. Calcule o valor de x na figura a seguir: 165. (UFMA) O comprimento da curva representada pela figura é: a) 53π b) 60π c) 120π d) 43π e) 96π 170. Calcule x na figura abaixo: 166. (UFMT) – A etiqueta do CD mostrado na figura a) 110º b) 65º c) 70º d) 50º e ) 55º tem a forma de uma coroa circular cujo 171. Complete os valores indicados em cada figura diâmetro da circunferência externa mede 11,8 abaixo: cm e da circunferência interna 3,6 cm. Considerando π = 3,14, determine o número inteiro mais próximo da medida (em cm2) da área da etiqueta. 643
  • 52. Matemática Prof. Júlio 172. (CESGRANRIO – RJ) Um quadrilátero convexo 178. Dê a medida, em graus, dos ângulo x e y está inscrito em um círculo. A soma, em assinalados na figura, sendo AB o diâmetro da radianos, dos ângulos a e b mostrados na circunferência. figura é: a) π/4 b) π/2 x= c) π d) 3π/2 e) 2π y= 173. Calcule o valor de x na figura abaixo: 179. Dê a medida, em graus, dos ângulo x e y assinalados na figura, sendo AB o diâmetro da circunferência. x= a) 70º b) 35º c) 50º d) 55º e) 65º y= 174. (CESGRANRIO – RJ) – Em um círculo está inscrito um quadrilátero ABCD. Sobre a soma cos ângulos opostos BAD e BCD, podemos afirmar que vale: a) 5x180º b) 3x180º c) 2x180º Potência de Pontos na Circunferência d) 180º e) 90º 180. Calcule x: 175. (UFG – GO) – Se a corda AB da figura é um lado de um triângulo equilátero inscrito na circunferência de centro C, a medida do ângulo a, em radianos, é: a) 2π/3 b) 3π/2 c) 3π/4 d) π/3 e) π/6 181. Na figura abaixo, temos os segmentos PA e PB ambos tangentes à circunferência. Pode-se dizer que o valor de x é: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 13 176. Na figura abaixo, a valor de x, em graus, é: 182. Determine o valor de x na figura: a) 150 b) 30 c) 120 d) 130 e) 160 177. Calcule o valor de x na figura a seguir: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 644
  • 53. Matemática Prof. Júlio a) π b) 2π c) 3π d) 4π e) 5π 183. Determine x nos casos a seguir, onde os segmentos são tangentes às circunferências: 189. Calcule x na figura a seguir: 190. (UDESC – SC) Duas cordas AB e CD, de uma circunferência, se interceptam num ponto P sendo 184. Na figura abaixo, AT é tangente ã PB o dobro de AP, CP igual a AB e DP = 4cm. A circunferência de raio r. Sabendo-se que AT medida de CD, em cm, é: = 2r, então o valor de AC é: a) 12 b) 24 c) 18 d) 6 e) 22 a) (√5 + 1) r b) 1 + 2r GABARITO c) r2 d) √5r 1) a) x = 36º e y = 108º b) x = 10º e y = 35º e) (√5 – 1) r c) x = 30º e y = 20º d) x = 10º e y = 5º e) x = 50º e y = 150º f) x = 18º e y = 27º 185. Na figura abaixo, são dadas AE/EC = 1/3, BE = 2) 20º 3) B 4) x = 60º e cada ângulo é 170º 8 cm e ED = 6 cm. O comprimento de AC, em 5) 38,88...º 6) 80º 7) C 8) a) 140º b) 39,5º c) 80º cm, é: 9) 100º 10) 50º 11) 30º 12) 120º 13) 36º 14) B 15) B 16) 130º 17) 90+x 18) 40º 19) 150º 20) C 21) 100º 22) D 23) A=C= 48º e B=84º 24) 40º 25) 6cm 26) 22cm 27) C 28) A 29) E 30) D 31) 146º 32) 150º 33) a) x = 4/7 b) x = 1/2 e y = 90 34) y = 6 e x = 8/3 b) x = 5/2 e y = 13 35) D 36) a) 2,8 b) 16/5 37) x = 2/3 e y = 16 a) 10 b) 12 c) 16 d) 18 e) 20 38) x = 36 e y = 54 39) 20m 40) 6m 41) A 42) B 43) B 44) 3m 45) 45 46) A 47) C 186. (UFG – GO) – Uma corda AB de um círculo 48) x = 2 e y = 8 49) C 50) a) 2,25m b) 13,8 m2 mede 6 cm e a distância desse coda ao centro 51) C 52) A 53) 5(16 – x)/3 54) B 55) 4 56) A do círculo é de 3 cm. O raio do círculo, em cm, 57) D 58) D 59) C 60) a) 5 b) 5√5 c) 4√11 d) √105 é: 61) 2m 62) 2√15 63) 74m 64) 6, 8 e 10 a) 5√3 b) 3√2 c) 8 d) 3√5 e)6 65) 4√10 66) a) 3√34/34 b) 5√34/34 67) 20√2 68) 36m 69) x = 1 e α = 30º 187. (UDESC – SC) Duas cordas AB e CD, de uma 70) A 71) 2 - √2 72) A 73) a) 5 b) 54 c) 14 d) 9 circunferência, se interceptam num ponto P 74) D 75) E 76) E 77) E 78) A 79) C sendo PB o dobro de AP, CP igual a AB e DP = 80) D 81) B 82) D 83) D 84) 6 85) 360º 86) A 4cm. A medida de CD, em cm, é: 87) a) 10cm2 e 90 cm2- b) 14 cm2 e 126 cm2 c) 6 cm2 e 54 cm2 a) 12 b) 24 c) 18 d) 6 e) 22 88) 4√3cm2 89) 64√3cm2 90) 10 91) A = 15√55/4 e h = 3√55/4 92) C 93) E 94) 48 95) A = 20√14 e h 188. (MACK – SP) – A área do trapézio da figura é = 8√14/3 96) E 97) E 98) 77m 99) 20m2 12√2. A área da parte sombreada é: 100) C 101) A 102) D 103) 6√3cm2 104) 56u.a. 105) C 106) C 107) 16 108) A 109) A 110) C 111) E 112) E 113) B 114) E 115) C 116) B 117) A 118) A 119) a) 3 ≤ x ≤4 b) 4 e 7 120. 12,84 121. 200,96 122. √3/2 123. 400m 124. A=77,5cm; C=31cm 125. √3/3 126. 8 127. R=20.000/ π; D = 40.000/ π; 0,109 século 128.16-4π 129. a) 62√3;b)8√3; c)8√6 130) 300.000/π 131. r2(2- π/2) 132. 62,5 133. a)16√3 b)4√3 c) R=(4√3)/3 134. 37.800π 135. 20√3 136. 80 π 137. a) 2 π; b) 25 π/4 138. 42 - 4 π 139. a)2 π; b) 50π;c) 2π-1 645
  • 54. Matemática Prof. Júlio140. a) 64(4-π); b) 50 π;c)128 π 141. C 06. Um foguete é lançado sob um ângulo constante142. a)50;b)25/3 143. a) BD=3;A=24; b) 168 de 30º. Quantos metros terá percorrido, em linha144. 81 π/2 145. 1,47;294 146. A 147. 32√3 reta, quando atingir a altura de 3km?148. A 149. E150. a)demonstração; h=r(3+√3). l= 2(1+√3) c) v= 07. Um pessoa de 1,50m de altura, situada a 100m (18+10√3) πR/3 de uma torre, avista seu topo sob um ângulo de151. E 152. A 153. C 154. C 155. B 60º com a horizontal. Então a altura da torre é156. √3-π/2 157. A 158. C 159. C 160. A igual a: (Dados: sen 60º = 0,86, cos 60º = 0,50161. D 162. D 163. C 164. A=39 165. A e tg 60º = 1,73)166. 99 167. E 168. 8π 169. 75° 170. C a) 174,5 b) 173,2 c) 86,6 d) 50,0 e) 17,45171. a) 75/;b)60;c)24e48;d)66;f)90;g)30 172. C173. B 174. D 175. E 176. A 177. 75 08. Na figura abaixo calcule a medida do lado AB,178. x=55°;y=35° 179. x=140°;y=20° 180. 15/4 sabendo que AC = 6cm e o ângulo B = 15º.181. C 182. E 183. a)15;b)2 184. E 185. c (sen15º = 0,26; cos 15º = 0,96; tg 15º = 0,27).186. B 187. E 188. D 189. 10/3 190. E TRIGONOMETRIA Trigonometria no Triângulo Retângulo 01. (UFPR) Considerando o triângulo retângulo a seguir, pode-se afirmar que sen β vale: (mostrar resolução) 09. (EFOA 2005/2) – Uma maneira rudimentar e a) 0,4 b) 0,5 c) 0,8 d) 0,7 e) 0,6 eficiente para se medir o ângulo de inclinação de uma rua R, em relação à horizontal H , é construir um triângulo retângulo, como mostra a figura abaixo, onde e o segmento OA é perpendicular ao segmento AB . 02. Considerando o triângulo retângulo abaixo, calcule senx, cosx e tgx. A tangente do ângulo α vale: (mostrar resolução) a) 0,95 b) 0,85 c) 0,75 d) 0,65 e) 0,55 10. (UFMG/2001) - No triângulo ABC, o ângulo ABC é 3 reto, BC = 5√6 e cos ( BÂC ) = . 15 03. Uma escada deverá ser apoiada no topo de um Considerando esses dados, CALCULE o prédio de 60 m de altura formando com o solo comprimento do cateto AB. um ângulo de 60º. Determine quantos metros de comprimento precisa ter a escada. 11. (CESGRANRIO) – Na figura acima está representado o retângulo ABCD. Sobre o lado DC 04. (UFSC) – Uma escada de 8 m de comprimento foi marcado o ponto P, de modo que a medida de forma um ângulo de 30º com um muro vertical DP corresponde ao triplo do lado AD, enquanto a em que se apoia (no topo). Sendo o solo plano, medida de CP vale o dobro de BC. O ângulo APB então a altura do muro em que a escada está mede, em radianos: apoiada vale: a) π/2 (Dado: sen 30º = 1/2, cos 30º = √3/2, tg 30º = b) 2π/3 √3/3) c) 3π/4 a) 2√3m b) 3√2m c) 4√3m d) 5m e) nda d) 5π/6 e) 8π/9 05. Num triângulo ABC, retângulo em a, a hipotenusa mede 4 e o ângulo C vale 30º. Calcule a medida 12. Determinar, na figura, a medida do segmento dos catetos deste triângulo. BD: 646
  • 55. Matemática Prof. Júlio qual era aproximadamente a altura original da árvore? Arcos e Ângulos 18. (USP) Convertendo-se 30º15’ para radianos, (π = 3,14) obtém-se: a) 0,53 b) 30,15 c) 1,10 d) 3,015 e) 0,26 19. (ITA) Transformar 12º em radianos. 13. Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 5m do solo, forma com essa parede um 20. (FUVEST) Quantos graus mede, ângulo de 30º. Qual é o comprimento da escada, aproximadamente, um arco de 0,105 rad. em metros? 21. (PUC) Dar o ângulo formado pelos ponteiros de 14. Na figura abaixo, calcule x em função de R e α um relógio às 12h e 15 min. 22. Obter o ângulo formado pelos de um relógio às 8h e 20min 23. (MAUÁ) Quantos radianos percorre o ponteiro das horas de um relógio de um relógio de 1h e 5min até 2h e 45min. 24. (OSEC) Dar o menor ângulo formado pelos 15. (UNIFAL/2006) – Um passageiro em um avião ponteiros de um relógio às duas horas e 15 min. avista duas cidades A e B sob ângulos de 15º e 30º, respectivamente, conforme a figura abaixo. 25. (FUVEST) O ângulo formado pelos ponteiros de um relógio à 1h e 12 min é: a) 27º b) 30º c) 36º d) 42º e) 72º 26. Quais são os arcos positivos menores que 1500º, côngruos (mesma extremidade) de – 60º. 27. Determinar o comprimento do arco AB, tomando na circunferência de centro O. (adotar π = 3,14) Se o avião está a uma altitude de 3 km, a distância entre as cidades A e B é: a) 7 km b) 5,5 km c) 5 km d) 6,5 km e) 6 km 16. (UNESP) - Três cidades, A, B e C, são interligadas por estradas, conforme mostra a figura. 28. Qual é o raio da circunferência, sabendo que o comprimento do arco AB indicado é igual a 12cm? As estradas AC e AB são asfaltadas. A estrada CB Lei do Senos e Lei dos Cossenos é de terra e será asfaltada. Sabendo-se que AC tem 30 km, que o ângulo entre AC e AB é de 30º, 29. Na figura abaixo, calcule o valor de BC sabendo e que o triângulo ABC é retângulo em C, a que O ângulo A = 45º o ângulo B = 30º e AC = quantidade de quilômetros da estrada que será 10cm. asfaltada é: a) 30√3 b) (10√3)/3 c) 10√3 d) 8√3 e) (3√3)/2 17. Uma árvore partida pelo vento, mantém seu tronco perpendicular ao solo formando com ele um triângulo retângulo. Se a parte quebrada faz um ângulo de 60º com o solo e se o topo da árvore está agora distanciado 10 m de sua base, 647
  • 56. Matemática Prof. Júlio 30. Na figura abaixo, calcule o valor do lado AB b) √2 / 2 sabendo que AB = 8, BC = 7 e o ângulo B = 60º. c) 2√3 / 9 d) √6 / 3 e) √3 / 3 40. Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. Quando o navio está em A, o comandante observa o farol em L, e calcula o ângulo LAC = 30º. Após navegar 4 milhas até B, verifica-se o ângulo LBC 31. (UNICAMP – SP) A água utilizada na casa de um = 75º. Quantas milhas separa o farol do ponto B? sítio é captada e bombeada do rio pra uma caixa- d’água a 50m de distância. A casa está a 80m de 41. (UFPR) De um triângulo, dá-se um lado de distância da caixa-d’água e o ângulo formado comprimento igual a 2 e os ângulos adjacentes a pelas direções caixa d’água-bomba e caixa- esse lado que valem 30º e 135º. Os d’água-casa é de 60º. Se a idéia é bombear água comprimentos dos outros dois são: do mesmo ponto de captação até a casa, quantos (sen 135º = sen 45º) metros de encanamento são necessários? a) 2(√3 + 1) e √3 + 1 a) 80m b) 70m c) 50m d) 90m e) 60m b) √2 (√3 – 1) e 2 (√3 + 1) c) √2 (√3 + 1) e 2 (√3 + 1) 32. Num triângulo ABC, o ângulo BCA mede 60º e o d) √ (√3 – 1) e 2 (√3 – 1) lado AC mede 12cm. Calcule a altura referente e) nda ao lado BC. [Obs.: sen 15º = √2(√3 – 1) / 4] 33. (FEI – SP) No triângulo da figura seguinte, a = 4, 42. (UNIRIO) – Deseja-se medir a distância entre b = 3√2 e C = 45º. Então a medida c vale: duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. a) 10 b) 2√10 c) √10 d) 2√5 e) nda Sabe-se que AB=80km e AC=120km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura 34. (FGV – SP) No triângulo da figura abaixo, a acima. Logo, à distância entre B e C, em km, é: medida de x é igual a: a) menor que 90 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 b) maior que 90 e menor que 100 c) maior que 100 e menor que 110 d) maior que 110 e menor que 120 e) maior que 120 35. (CESCEA – SP) Num triângulo ABC onde AB = 43. (UFJF 2005) – Dois lados de um triângulo medem 2cm, AC = 3cm e o ângulo A é 60º, o quadrado 8 m e 10 m, e formam um ângulo de 60°. O do lado BC, em cm2, vale: terceiro lado desse triângulo mede: a) 7 b) √7 c) 7√7 d) 72 e) 0,7 a) 2 √21 m. b) 2 √31 m. c) 2 √41 m. d) 2 √51 m. 36. (UEPG – PR) Na figura abaixo o valor de b é: e) 2 √61 m. a) 1/2 b) 2 44. (UFV/PASES) – Em um triângulo isósceles c) 1 obtusângulo, o lado oposto ao ângulo de 120º d) 4 mede 6 cm. A área desse triângulo, em cm2 e) 1/4 mede: a) 2√3 b) 6√3 c) 4√3 d) 3√3 e) 5√3 Relações Trigonométricas Principais e Secundárias 37. O raio da circunferência que contém três pontos – Funções Trigonométricas A, B e C, sabendo que BC = 15 m e BÂC = 150º, vale: (sen 150º = sen 30º) a) 25 b) 15 c) 30 d) 45 e) 35 45. (UFGO) Simplificando a expressão tg a + tg b_; obtém-se: cotga + cotgb 38. (UFSC) Num triângulo ABC, o ângulo A mede 85º a) tg a . tg b e a medida do ângulo B é 2 / 5 da medida do b) b) cotg a . cotg b ângulo A. A medida do ângulo C é igual a: c) c) tg (a + b) a) 34º b) 61º c) 119º d) 13º e)59º d) b) cotg (a + a) e) e) tga . cotg b 39. (PUC – SP) A diagonal de um paralelogramo divide um dos ângulos internos em dois outros, 46. (MACK-Modificado) O valor da expressão: M = um de 60º e outro de 45º. A razão entre os lados _cos 45º_ + _cos 45º_ . _sen 0º_ é: menor e maior do paralelogramo é: sen 45º sen 60º cos 15º a) √3 / 6 a) par 648
  • 57. Matemática Prof. Júlio b) divisível de 2 54. (UNESP) Se x e y são dois arcos complementares, c) divisor de 3 então podemos afirmar que d) primo A = (cosx - cosy)2 + (senx + seny)2 é igual a: e) negativo a) 0 b) ½ c) 3/2 d) 1 e) 2 47. Calcule o valor numérico da expressão abaixo: 55. Sendo cos = 1 / 3, calcular y=cossecx – sec x_ sen 90º − cos 270º +5 sen 180º cotg x – 1 sen 30º − cos 180º 56. Os quadrantes que se encontram os ângulos 2040º, 2170º e – 2920º são respectivamente: 48. (FATEC – SP) – Sejam x, y ∈ R. encontre o valor _____, ____ e ____. de y sabendo que: a) sec2x 57. Coloque V para verdadeiro e F para falso: b) tgx 1 ( ) sen 315º = 1/2 c) 0 y=2+ − sec 2 x. ( ) cos 120º = - 1/2 d) 1 cos x. cos sec 2 x 2 ( ) tg 210º = -√3/3 e) cossec2x ( ) tg 45º + tg 135º = 0 ( ) sem 120º > cos 120º 49. (UFLA/2003) – O valor da expressão 2 58. Coloque V se verdadeiro ou F se falso justificando  1  1 sua resposta.  tg ( x )  -   +1 é de ( ) sen 55º > sen 45º   1 - cos 2 ( x ) ( ) cos 135º > 0 ( ) cos 1400º < 0 a) sen2(x) b) cos2(x) c) 0 d) 1 e) sec(x) ( ) sen 2π + cos 2π = 4π ( ) (sen 20º).(cos200º) < 0 50. (FAENQUIL – SP) – Simplificando a expressão ( ) Se cos x = 0, então x = 0º ou x = 180º, abaixo, obtém-se: considerando uma volta no ciclo trigonométrico. a) tga 1 ( ) cos 1 = cos 1º b) cotga  sen a ⋅ tga ⋅ cos sec a  2 c) seca  cos a ⋅ cot ga ⋅ sec a    59. Calcule o valor numérico da expressão E = sen d) cosseca   90º - cos 120º + tg225º e) sena 60. Qual o valor numérico da expressão 51. (UFSJ 2005) – π senπ − cos π + 3 cos 2 Se em que a, 3π b e q são as respectivas medidas dos ângulos 4 sen − 8 cos 2π internos de um triângulo retângulo, então E2 é 2 igual a: a) 1/4 61. Se sen x = 1/4 e x é do 2º quadrante, qual o valor de cos x? b) c) 1 62. Sendo cosx = 1/3 e x é um arco do 4º quadrante, calcule o valor de secx – 4cossecx. d) 63. Se senx = 3/7 e x é um arco do 1º quadrante, ache o cosx. 52. A expressão abaixo, é igual a: a) 1 64. Considerando que a tgx = 1/3 e que x é um arco b) 2 tgx ⋅ 4 cot gx ⋅ cos sec 2 x ⋅ sen 2 x do 1º quadrante, ache o valor da sec x – 3.cosx. c) 3 = d) 4 2 cos 2 x ⋅ (sen 2 x + cos 2 x).2 sec 2 x 65. Se sen x = ½ e x é do 2º quadrante, ache o valor e) 5 da expressão cos2x . tgx. 53. (VUNESP) Se x, y são números tais que: 66. Calcule o valor numérico da expressão cos 1920 º + sen330 º −tg 0º . − sen1650 º a) y = sec2x b) y = tg2 x c) y = cos2 x 67. (FUVEST) – A soma das raízes da equação sen2x d) y = cossec2 x e) y = sen2 x – 2 cos4x = 0, que estão no intervalo [0, 2π ], é: a) 2π b) 3π c) 4π* d) 6π e) 7π 649
  • 58. Matemática Prof. Júlio 68. (UFSJ 2005) - No intervalo [0, 2π], a soma de todos os valores de x, tais que sen 2x = cos x, é 83. (FUVEST) Quais as raízes da equação do 2º grau igual: x2sen α - 2x cos α - sen α = 0 , onde 0 < α < π/2. a) 2π b) π c) 3π d) 4π π π 84. (FEI) Calcular sen (7π/2) . cos (31π) 69. (UFJF/2006) – Dois ângulos distintos, menores que 360º, têm, para seno, o mesmo valor 85. (MACK) O menor valor positivo de x, para o qual positivo. A soma desses ângulos é igual a: 9-cos x = 1 / 3, é: a) 45º b) 90º c) 180º d) 270º e) 360º a) π / 6 b) π / 4 c) π / 3 d) π / 2 e) 2π / 3 70. (UFJF/2006) – Um ângulo do segundo quadrante 86. Simplificar a expressão: tem seno igual a 12/13. O cosseno desse ângulo _3 sen 0º + 5 cos 180º - 7 sen 270º_ é igual a: sen2 90º + cos2 180º a) 5/13 b) 1/13 c) – 5/13 d) – 1/13 e) – 12/13 87. Obter o valor da expressão: _sen 3x + cos 5x_ 71. Resolver a equação 2cosx – 3secx = 5, para 0º < sen 4x x < 360º para x = 30º. 72. (CRA) – Resolva a equação tg x = -1 sendo 0 < 88. Calcular o valor de y = _sen 155º - sen 205º_ x < π. cos 65º a) π/3 b) 3π/2 c) 3π/4 d) π/4 e)5π/4 89. (MACK) O menor valor positivo de x, para o qual 73. Esboçar o gráfico da função y = sen x, dar seu 9- cosx = 1 / 3 é: domínio, imagem e período. a) π/6 b) π/4 c) π/3 d) π/2 e) 2π/3 74. (UNIMEP) Os valores de x que satisfazem a 90. Calcular o valor de cos 2850º equação sen(3x – 30º) = 1 são: a) 90º + n . 120º, n ∈ Z 91. Sabendo que cos x = - 1 / 3 e π < x < 3π/2, b) 40º + n . 180º, n ∈ Z determinar sen x. c) 40º + n . 120º, n ∈ Z d) 120º + n . 360º, n ∈ Z 92. Resolver a equação 2 cos x = 1, com: e) 40º + n . 90º, n ∈ Z √3 75. Resolver as equações abaixo, no intervalo 0º ≤ x a) 0 ≤ x ≤ 180º; ≤ 360º: b) x ∈ R. a) 2 sen x = 1 b) 2 sen x = -1 93. Esboçar o gráfico da função y = tg x, dar seu c) 2 sen x = √ 2 domínio, imagem e período. 76. (USP) Calcular sen 1920º. 94. Sendo 0º < x < 90º, determinar um dos valores de x para o qual a função y = tg (2x – 30) não é 77. (F. CARLOS CHAGAS) O menor valor que assume definida. a expressão (6 – sen x); para “x” variando de 0º a 360º é: 95. Resolver as equações, em R. a) 7 b) 6 c) 5 d) 1 e) –1 a) sen x = 1 / 2 b) cos x = - √3 / 2 78. Se x = π / 3, então achar o valor da expressão: c) sen x . cos x = 0 E = sen2x – sen x + 3 sen 3x – sem3x d) cos2x = 1 / 2 e) tg x = √ 3 96. (PUC) Determinar m para que π / 3 seja raiz da equação tg2x – m . cos2x + sen2x = 0. 79. Esboçar o gráfico da função y = cos x, dar seu domínio, imagem e período. 97. (F.CARLOS CHAGAS) Os quadrantes onde estão 80. Para que valores de m é possível a igualdade: os ângulos α, β e γ tais que: cos x = 1 – 3m. sen α < 0 e cos α < 0 cos β < 0 e tg β < 0 81. Considere a equação 2 . sen2x = 3 . cos x. sen γ > 0 e cotg γ > 0 são respectivamente: Pode-se afirmar que a soma de suas soluções que a) 3º, 2º, 1º b) 2º, 1º, 3º c) 3º, 1º, 2º pertencem ao intervalo [0, 4π] é: d) 1º, 2º, 3º e) 3º, 2º, 2º a) 10π b) 8π c) 6π d) 4π e) 2π 98. (FATEC) A expressão 82. (FAAP) Resolver, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, a equação 1 – sen x + cos2x = 0. 650
  • 59. Matemática Prof. Júlio d) 2π e [- 3, 3] tem valor igual a: e) 2π2 e [- 3, 3] a) – 5√2 / 3 b) - 5 / 6 c) – 1 / 3 d) 1 / 2 e)1 Soma de Arcos e Inequações 99. Sendo sem x + cos x = a, obter o valor de: _sec x + cossec x_ 110. Calcule o valor de: tg x + cot x a) sen 75º b) cotg 150º 100. Determinar o valor de tg (-A), sabendo que tg 111. Sendo sec x = 3 e 0 < x < 90º, calcule o valor A = t. numérico da expressão sen (x + 180º) + cos (x – 90º). 101. Se tg x + cotg x = 3 então sen x . cos x, vale: a) 1 b) 1 / 2 c) – 1 d) 1 / 3 e) – 1 / 2 112. Se cosx = - 1/9 e 450º < x < 540º, calcule o valor numérico da expressão sen(π + x) – cos(3π/2 –x). 102. (CRA) – Considere f: R em R uma função dada por f(x) = 2.sen x – 3. Qual é o maior valor que 113. Sendo cosx = 1/3, calcule o valor de cos(x + esta função pode assumir? 30º). a) –1 b) –2 c) 1 d) – 4 e) – 5 114. Sendo tga = 2 e tgb = 3, calcule a tg(a + b) e a tg(a – b).Variações de Período e Imagem das FunçõesTrigonométricas 115. O valor de sen 55º cos 35º + sen 35º cos55º é: 103. Esboçar o gráfico da função y = 2 . sen (x / a) –1 b) – 0,5 c) 0 d) 0,5 e) 1 2). 116. Resolva a equação trigonométrica 104. Esboçar, em um período, o gráfico da função y = sen (x - π / 4).  π  π 2 sen  x +  + sen x −  = 105. Estudar a variação da função f, tal que f(x) =  4  4 2 3 sen (x / 2). 117. (VUNESP) Para todo x ∈ R, a expressão cos 106. Esboçar, de 0 a 2π, o gráfico da função y = π π (π/2 + x) – sen (π - x) é equivalente a: sen 2x.  a) cos x b) 0 c)- sen x – cos x d) 2 sen x e) – 2 sen x 107. Esboçar, de - 2π a 2π, o gráfico da função y = sen x.  118. Simplificar a expressão: sen π/2 + sen (π - x) π π . cos (π/2 + x). 108. (F. CARLOS CHAGAS) A função que melhor se adapta ao gráfico abaixo é: 119. (POLI) Calcular y = sen 105º - cos 75º. a) y = sen (x / 2) b) y = cos (x / 2) 120. Se tg (x + y) = 33 e tg x = 3, então tg de y é c) y = sen (2x) igual a: d) y = cos (2x) a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5 e) 0,6 e) y = sen x 121. Resolver as inequações com 0 < x < 2π a) sen x ≥ 1 / 2 b) sem x ≤ √ 2 / 2 c) cos x < √ 3 / 3 d) tg x < 1 122. Resolver (sen x + cos x)2 < 1, para 0 < x < 2π. 123. Dar a expressão (em 0 ≤ x ≤ 2π) que contém as respostas abaixo: 109. (UFES/2004) – O período e a imagem da função abaixo, com x ∈ R, são, respectivamente, a) 2π e [- 1, 1] b) 2π e 2, 8] c) 2π2 e [2, 8] 651
  • 60. Matemática Prof. Júlioa) GABARITO 01. E 02. sen x = 5/13 cos x = 12/13 tg x = 5/12 03. 40√3m 04. C 05. 2√3 e 2 06. 6km 07. A 08. 200/9 09. C 10. 15 11. C 12. 20(3 - √3)/3 13. 10√3/3 14. R(1-senα)/senα 15. Eb) 16. C 17. 37m2 18. A 19. π/15 20. 6,02º 21. 82,5º 22. 130º 23. 5π/18 24. 22,5º 25. C 26. 300º, 660º, 1020º, 1380º 27. 1,57m 28. 10cm 29. 10√2 30. √57 31. B 32. 6√3 33. C 34. B 35. B 36. C 37. B 38. B Arco Duplo 39. D 40. 2√2milhas 41. B 42. C 43. A 44. D 124. Sabendo que cos x = 3/5, calcule o valor de 45. A 46. C 47. 2/3 sen(2x). 48. D 49. C 50. A 51. A 52. A 53. A 125. Sabendo que senx = -4/7 e x é do quarto 54. E 55. 3 56. 3°, 1° e 4° quadrante, calcule sen(2x) e cos(2x). 57. F, V, F, V, V 58. V, F, F, F, V, F, F 59. 5/2 60. -1/12 61. -√15/4 126. Determinar o período da função y = sen x . 62. 3 + 3√2 63. 2√10/7 64. -17√10/30 cos x. 65.-√3/4 66. -2 67. C 68. C 69. C 70. C 127. A expressão y = sen a . cos3a + sen3a . cos 71. {120°, 240°} 72. C a, para todo a real é igual a: 73. feito em aula 74. C a) sen 3a b) cos 3a c) sem(2a)/2 75. a) {30°, 150°} b) {210°, 330°} c) {45°, 135°} d) 1 e) cos 2a 76. √3/2 77. C 78. (6 - 7√3)8 79. feito em aula 80. 0 ≤ m ≤ 2/3 128. Provar que: 81. B 82. π/2 83. S =  cos α + 1 , cos α − 1 4 . sen a . sen (a + π/3) . sen (a + 2π/3) = π    senα senα  sen 3a 84. 1 85. C 86. 1 87. (2√3 – 3)/3 88. 2 89. C 129. (FATEC) Se cos x = 3 / 4, calcular cos (4x) 90. √3/2 91. -2√2/3 92. a) 30° b) ±30º + n360°, n ∈ Z 130. Determinar o conjunto solução, com 0 < x < 93. feito em aula 94. 60º 360º da equação cos 2x + 4 cos x + 3 = 0. 95. a) {x ∈ R/ x = π/6 + n2π ou x = 5π/6 + n2π, n ∈ Z} b) {x ∈ R/ x = 5π/6 + n2π ou x = 7π/6 + n2π, n ∈ Z} c) 131. (PUC) Calcular: {x ∈ R/ x = π/2, n ∈ Z} d) {x ∈ R/ x = ± π/4 + nπ, n ∈ E = sen (-x) + sen (π + x) – sen (π/2 – x) + cos x Z} e) {x ∈ R/ x = π/3 + nπ, n ∈ Z} 96. 15 97. A 98. D 132. (MACK) A expressão y = sen(123º + a) – sen 99. a 100. – t 101. D (57º - a). 102.B 103. gráfico 104. gráfico 105. gráfico 106. gráfico 107. gráfico 133. (F. CARLOS CHAGAS) Calcular: 108. A 109. C 110. a) (√2+√6)/4 b)-√ 3 E = sen (150º + a) + sen (150º - a) 111. 2√2/3 112. 8√5/9 113. (√3 - 2√2)/6 114. tg(a+b) = -1 e tg(a – b) = -3/7 134. (POLI) Calcular y = sen 105º - cos 75º 115. E 116. {x ∈ R/ x = π/6 + n2π ou x = 5π/6 + n2π, n ∈ Z} 117. E 118. 1 + sen2x 135. (FUVEST) Calcular o valor de y = ( sen 119. √6/2 120. B 121. a) {x ∈ R/ π/6 ≤ x ≤ 22º30’+ cos 22º30’)2. 5π/6} b) {x ∈ R/ 3π/4 ≤ x ≤ 2π ou 0 ≤ x ≤ π/4} c) {x ∈ R/ π/6 < x < 11π/6} d) {x ∈ R/ 0 ≤ x < π/4 ou π/2 < x < 136. Calcular cos (1920º + 3690º). 5π/4 ou 3π/2 < x ≤ 2π} 122. {x ∈ R/ π/2 < x < π} 123. a) x = 30° ou 210° ≤ x < 270° 137. (MACK) Se tg x = m e tg 2x = 3m (m > 0), b) x ≠ 90° e x ≠ 270° 124. 24/25 determinar o ãngulo x. 125. sen(2x) = -8√33/49 e cos(2x) = 17/49 126. π 127. C 128. demonstração 138. (FUVEST) O valor aproximado da tangente do ângulo de 22º30’ é: 129. -37/32 130. 180° 131. - 2senx a) 0,22 b) 0,41 c) 0,50 d) 0,72 e) 1,00 132. 0 133. cosa 134. (√2-√6)/2 135. (2+√2)2 136. - √3/2 137. 30° + n360°, n ∈ Z 138. B 652