O documento discute conceitos estatísticos como distribuição de probabilidades, distribuições discretas e contínuas. Explica que distribuições discretas envolvem variáveis aleatórias que podem ser contadas, como número de ocorrências, e fornece exemplos de formas de distribuição discreta. Também descreve características gerais de distribuições contínuas e exemplos como uniforme e normal.

1. Estatística
amintas paiva afonso

2. Distribuição de Probabilidades
A distribuição de probabilidades indica a percentagem de
vezes que, em grande quantidade de observações,
podemos esperar a ocorrência de vários resultados de uma
variável aleatória.
Em uma distribuição de probabilidades é necessário:
å P(x) = 1, onde x toma todos valores possíveis
0 £ P(x) £ 1 para todo o x.
Distribuições de
probabilidade
Distribuições
descontínuas ou
discretas
Distribuições
contínuas

3. Distribuições Descontínuas ou Discretas
Envolvem distribuições de probabilidades de variáveis aleatórias
relativas a dados que podem ser contados.
Exemplos:
 Número de ocorrências por amostras
 Número de ocorrências por unidade num intervalo de tempo
 Número de fumantes presentes em eventos esportivos
Uniforme ou Retangular
Binomial
Binomial Negativa ou de Pascal
Geométrica
Poisson
Multinomial ou Polinomial
Hipergeométrica
Formas da
distribuição
descontínua

4. Distribuições Contínuas
Quando se usa as distribuições contínuas?
 A variável aleatória discreta apresenta um grande número de resultados;
A variável aleatória em questão é contínua.
Os ponteiros de um relógio podem parar em qualquer dos infinitos
pontos do círculo
logo A probabilidade de parar em um ponto definido é zero
Nas distribuições contínuas utilizam-se a probabilidade da ocorrência
em um intervalo P(a < x < b);
Em uma distribuição contínua, a probabilidade é dada pela área
contida no intervalo considerado.

5. Distribuições Contínuas
DISTRIBUIÇÕES
CONTÍNUAS
UNIFORME OU RETANGULAR
NORMAL
BIVARIADA NORMAL
EXPONENCIAL
LOGNORMAL
WEIBULL
QUI-QUADRADO c2
t DE STUDENT
F DE SNEDECOR
GAMA
BETA
ERLANG
( formas)

6. Um pouco de história
No século XVIII, astrônomos e outros
cientistas observaram que medidas
repetidas de mensurações como a
distância à lua variavam como na figura,
quando coletadas em grande número.
Esta forma gráfica era associada aos
erros de mensuração, daí o nome de
“Distribuição normal dos erros” e depois
“Distribuição normal”
Também é conhecida por “Distribuição
Gaussiana”, em função do modelo
matemático desenvolvido por Karl F.
Gauss para este comportamento.
Distribuição Normal

7. Distribuição Normal - Exemplos
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
Peso da população adulta
n = 5000 μ = 75 kg s = 12 kg
25
40
55
70
85
100
115
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
Altura de universitários
n = 3000 μ = 152 cm s = 5 cm
133
137
141
145
149
153
157
161
165
169
0,15
0,10
0,05
0,00
Comprimento de uma régua
n = 1000 μ = 30cm s = 0,15cm
29,5
29,6
29,7
29,8
29,9
30
30,1
30,2
30,3
30,4
30,5
0,2
0,15
0,1
0,05
0
Pessoas num restaurante
μ = 250 por dia s = 20 por dia
197
215
233
251
269
287
305

8. Distribuição Normal
IMPORTÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Retrata com boa aproximação, as distribuições de freqüência de
muitos fenômenos naturais e físicos
Serve como aproximação das probabilidades binomiais (sim ou
não) quando n é grande
Representa a distribuição das médias e proporções em grandes
amostras, o que tem relevante implicação na amostragem (a mais
importante)

9. Distribuição Normal
Curva normal típica
50% 50%
¥ média ¥
Forma de uma boca de sino
Área sob a curva = 1 (0,5 + 0,5)
Média = μ
Desvio padrão = s

10. Distribuição Normal - Características
1. A curva normal tem a forma de sino
2. É simétrica em relação a média
3. Prolonga-se de -¥ a +¥ (apenas em teoria) (assintótica)
4. Fica completamente especificada por sua média e seu desvio padrão;
há uma distribuição normal para cada par (média e desvio padrão)
5. A área total sob a curva é considerada 100% ou igual a 1
6. A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma
variável normalmente distribuída tomar um valor entre esses pontos
7. A probabilidade de uma variável aleatória normalmente distribuída
tomar exatamente determinado valor (pontual) é zero (característica
da distribuição contínua)
8. A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do
número de desvios padrões entre a média e aquele ponto

11. Distribuição Normal
A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre dois
pontos quaisquer é igual à área sob a curva normal entre aqueles pontos
μ
a b
P (a < x < b) = área hachurada sob a curva

12. Distribuição Normal
1
f(x) = e
x – ponto considerado da distrib.
μ - média da distribuição
s - desvio padrão da distribuição
-1
( x - μ)2
2 s
2p s
OBSERVAÇÃO:
x - μ = distância do ponto considerado à média
x - μ
s
z =
número de desvios padrões a contar da média. Ex.: 2,5
desvios padrões
z = valor z ou score z. Pode-se obter valores negativos de z para
valores de x inferiores à média

13. Distribuição Normal
A distância entre a média e um ponto
qualquer é dado em número de desvios
padrões (z)
Normal
padronizada
Normal não
padronizada
z = x - μ
s
P P
μ x 0 z

14. Distribuição Normal
Escala efetiva X Escala padronizada
70 80 90 100 110 120 130
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
μ = 100,0
s = 10,0
escala efetiva
escala padronizada

15. Distribuição Normal
(42 – 40)/1 = 2 S = 1
37 38 39 escala efetiva 40 41 42 43
Como calcular Z ?
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
μ s x x - μ (x - μ)/ s = z
média desvio padrão valor considerado diferença diferença relativa
40 1 42 2 2
25 2 23 -2 -1
30 2,5 37,5 7,5 3
18 3 13,5 -4,5 -1,5
22 4 22 0 0

16. Distribuição Normal
Como calcular o valor efetivo
Passando do valor z para o valor efetivo
μ s z μ + z s resultado
média desvio padrão valor z cálculo valor efetivo
20 1 3 20 + 3(1) 23
50 3 -1 50 + 3(-1) 47
60 2 -2 60 + 2(-2) 56
72 5 0,3 72 + 5(0,3) 73,5

17. -3s -2s -1s 0 +1s +2s +3s
68%
95,5%
99,7%
Distribuição Normal

18. Distribuição Normal - Consultando a tabela
.. .
1,25
1,0
1,2
00 01 02 03 04 05 06 ...
1,1
.. .
0,3944 olhando
a tabela

19. Distribuição Normal - Consultando a tabela
Probabilidade de uma
variável aleatória normal
tomar um valor z entre a
média e o ponto situado a
z desvios padrões
z área entre a média e z
1,00 0,3413
1,50 0,4332
2,13 0,4834
2,77 0,4972
área tabelada = área desejada
0 z

20. Distribuição Normal - Consultando a tabela
z P(0 < x < z) P(x > z) = 0,5 – P(0 < x < z)
0 z

21. 0 z
Distribuição Normal - Tabela

22. Distribuição Normal - Cálculo da probabilidade
Exemplos
Determinando a área (probabilidade)
sob a curva entre dois pontos
entorno da média
Determinando a área entre dois
pontos quaisquer
0,1359
0,3413 0,3413
-1s 0 +1s
0 +1 +2
0,3413
0,4772

23. Distribuição Normal - Exemplos
1) Após 28 dias de curagem, o cimento de uma certa marca tem uma resistência
compressiva média de 4000psi. Suponha que a resistência tem uma distribuição normal
com desvio-padrão de 120psi. Qual a probabilidade de se comprar um pacote de
cimento com resistência compressiva de 28 dias menor que 3850psi?
N(m;s) = N(4000,120) psi X = 3850psi
z X m
P(z ≤ -1,25)
= - = 3850 - 4000 = -
1,25
Área em vermelho = z = -1,25 = 0,3944
120
s
P(Z £ -1,25) = 0,1056 =10,56%
3850 4000
-1,25
Área desejada = 0,50 – 0,3944 = 0,1056 = 10,56%

24. 2) Uma grande empresa faz uso de milhares de lâmpadas elétricas que permanecem
acessas continuamente. A vida de uma lâmpada pode ser considerada como uma
variável aleatória normal com vida média de 50 dias e desvio-padrão de 15 dias.
Se no dia 1º de agosto foram instaladas 8000 lâmpadas novas, aproximadamente
quantas deverão ser substituídas no dia 1º de setembro?
N(m,s) = N(50;15) dias X = 31 dias
z X m
= - = 31-50 = -
1,27
15
s
Consultando tabela:
20 35
P(Z £ -1,27) = 0,3980 log o 0,5000 - 0,3980 = 0,1020 =10,20%
Deverão ser substituídas um total de (0,1020x 8.000) = 816 lâmpadas
X
Z
f(x)
m = 50
0
31
-1,27
Distribuição Normal - Exemplos

25. Distribuição Normal - Exemplos
3) Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujo
comprimento pode ser considerado uma variável normalmente
distribuída com média m=10,00 metros, e desvio padrão igual a
s = 0,09 metros. Quanto refugo a indústria espera produzir se o
comprimento dos tubos de aço tiver que ser no máximo, igual a
10,20 m?
N(m,s) = N(10;0,09) metros
X = 10,20m
2,22
z X m
= - = 10,20 -10 =
0,09
s
f(x)
m = 10
10,20 X
0 2,22 Z
Consultando tabela
temos:
P(Z ³2,22) =P(Z £-2,22) =0,5-0,4868 =0,0132 =1,32%

26. Distribuição Normal - Exemplos
CASO PRÁTICO DO USO DA ESTATÍSTICA
NA QUESTÃO LOGÍSTICA DA PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS
4) O tempo médio que demora para uma viatura de uma determinada cia da PMMG
de Ipatinga atender a uma chamada de emergência é de 8 minutos com desvio-padrão
de 3 minutos. Considere o tempo médio como uma variável normalmente
distribuída para calcular a probabilidade de uma chamada esperar menos de 4
minutos.
N(m,s) = N(8;3) minutos
X < 4 minutos
z X m
= - = 4 -8 = -
s
Consultando
a tabela:
1,33
3
f(x)
8 X
-1,33 0
Z
4
P(x £ 4) = P(Z £ -1,33) = 0,5- 0,4082 = 0,0918 = 9,18%

27. Distribuição Normal - Exemplos
ESTATÍSTICA NO CONTROLE DA PRODUÇÃO INDUSTRIAL
5) Um máquina produz peças com o diâmetro médio de 2,00” e o desvio-padrão
de 0,01”. As peças que se afastam da média por mais de 0,03” são consideradas
defeituosas. Qual é a percentagem de peças defeituosa?
z X m
1 = - = - = +
3
2,03 2
0,01
1,97 2,03
z X m
= - = 1,97 - 2
= -
2 P(x > 2,03)ouP(x <1,97) = P(Z > 3) + P(Z < -3)
s
f(x)
m = 2
2 X
0 3 Z
-3
N(m,s) = N(2,00;0,01)
X1 = 2,03 e X2=1,97
3
0,01
s
Consultando
tabela: P(Z > 3) + P(Z < -3) = 0,0014 + 0,0014 = 0,28%

28. ESTATÍSTICA E A ASSISTÊNCIA TÉCNICA
6) A vida média de uma marca de televisão é de 8 anos com desvio-padrão de 1,8
anos. A campanha de lançamento diz que todos os produtos que tiverem defeito
dentro do prazo de garantia serão substituídos por novos. Se você fosse o gerente de
produção, qual seria o tempo de garantia que você especificaria para ter no máximo
5% de trocas.
- - - Zx
1,65 ( )
0,049471 0,05
1,65 ( 1,64)
0,049471 0,050503
-
= - -
-
1,6449 0,05 Z = -
z = X -m
s
-1,6449 = X -8
1,8
N(m,s) = N(8;1,8) anos
X=?
z
f ( Z
o ) -1,65 0,049471
? 0,05
-1,64 0,050503
X = 5,04anos
Distribuição Normal - Exemplos

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amintas paiva afonso