Relaciones entre conjuntos

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Relaciones entre conjuntos

  1. 1. Instituto Universitario de Tecnología “Antonio Jose de Sucre” Extensión Barquisimeto Integrante: Robert Aguilar C.I.21725458 Algebra I
  2. 2. Relaciones entre conjuntosRelacionesUna relación en un conjunto es un subconjunto del producto cartesianoAxA.Propiedades de una relación.1) Una relación se dice reflexiva si todo elemento esta relacionado conél mismo.2) Se dice simétrica si siempre que a esté relacionado con b, b tambiénestá relacionado con a.3) Se dice anti simétrica si no puede haber dos elementos distintos deforma que el primero esté relacionado con el segundo y el segundotambién esté relacionado con el primero.4) Se dice transitiva si siempre que a este relacionado con b y b estérelacionado con c, a debe estar relacionado con c.Relaciones entre conjuntosParejas ordenadasEl orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa,por ejemplo:{3, 5} = {5, 3}Por otra parte, una pareja ordenada consiste en dos elementos, de loscuales uno designa el primer elemento, y el otro, el segundo. Tal parejaordenada se escribe (a, b), en donde a es el primer elemento y b es elsegundo. Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si ysolamente si a = c y b = d.Producto cartesiano
  3. 3. Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas lasparejas ordenadas (a, b) en donde a ∈ A y b ∈ B se llama producto oproducto cartesiano de A y B.La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente alcaso de más de dos conjuntos.Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa Ax B, al conjunto de pares ordenados (a, b), tales que el primer elementopertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundoconjunto. Es decir:A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ Bx A.Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes.EJEMPLOSi A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es:A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2),(c, 3), (c, 4)}Relación binariaLa relación binaria definida en un conjunto A es un subconjunto delproducto cartesiano A x A.EJEMPLO
  4. 4. Sea el conjunto A = {x, y, z}. El grafo de la siguiente figura representauna relación binaria definida en A, puesto que los pares (x, z), (y, x) (y,y) constituyen un subconjunto de A x A.Propiedades de una relación binariaLas principales propiedades que puede presentar una relación binaria Rdefinida en un conjunto A se indican en la siguiente tabla, junto con susrespectivas condiciones.Propiedad1. Reflexiva ∇ a ∈ A, a R a2. Anti reflexiva ∇ a ∈ A, a R a3. Simétrica ∇ a, b ∈ A, a R b ⇒ b R a4. Anti simétrica en sentido amplio ∇ a, b ∈ A, ( a R b y b R a) ⇒ a =b5. Anti simétrica en sentido estricto ∇ a, b ∈ A, a R b ⇒ b R a
  5. 5. 6. Transitiva ∇ a, b, c ∈ A, (a R b y b R c) ⇒ a R cRelación de equivalenciaUna relación binaria R es una relación de equivalencia definida en unconjunto A, si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.Así, en el plano euclídeo considerando el conjunto de todas las rectas,la relación R “ser paralela a” es una relación de equivalencia.Comprobémoslo:a) Reflexiva: a || a, puesto que cualquier recta es paralela a sí misma.b) Simétrica: si a || b, entonces b || a.c) Transitiva: si a || b y b || c, entonces a || c.Luego por cumplir las tres propiedades anteriores es una relación deequivalencia.Clases de equivalencia, conjunto cocienteDada una relación de equivalencia R definida en un conjunto A, si a ∈A se llama clase de equivalencia de a y se denota por [ a ], alsubconjunto formado por todos los elementos de A relacionados con apor la relación de equivalencia R.[a] = {x / x ∈ A y x R a}Propiedades de las clases de equivalencia
  6. 6. a) Ninguna clase equivalencia es vacía. Porque a cualquier clase [ a ]pertenece al menos el elemento a. Simbólicamente: ∇ [ a ] ⊂ A, a ∈A ⇒ a ∈ [a]b) Las clases de equivalencias son disjuntas de dos a dos. Lodemostraremos por reducción al absurdo. Supongamos dos clases nodisjuntas y diferentes [ a ] y [ b ], con lo que:x∈ [a] x R a (1) a R x (2) [ a ] ∩ [ b ] ≠ ∅ ⇒ ∃ x ∈ [ a ] ∩ [ b ] ⇒⇒ a R b ⇒ [ a ] = [ b] x ∈ [ b ] x R b xR bDonde en (1) hemos aplicado la propiedad simétrica y en (2) lapropiedad transitiva, ya que es una relación de equivalencia.Y hemos llegado a que ambas clases son iguales, en contra de lahipótesis. Luego han de ser [ a ] y [ b ] disjuntas, con [ a ] ≠ [ b ].
  7. 7. c) Todo elemento de A pertenece a alguna clase de equivalencia. Estoes porque todo elemento de x de A pertenece al menos a su propiaclase. Simbólicamente: ∇ x ∈ A ⇒ x ∈ [ a ]d) La unión de todas las clases de equivalencia en un conjunto A es elpropio conjunto A:clase1 ∪ clase2 ∪… ∪ clasen = AUna relación de equivalencia clasifica al conjunto en el que estádefinida, en clases de equivalencia.Conjunto cociente:Dada una relación de equivalencia R sobre un conjunto A, esta relacióndetermina sobre dicho conjunto una partición. Es decir, supongamosque dicha relación R determinó sobre A, las clases de equivalencia[a1], [a2], [a3],…,[an] , entonces: 1) las clases no son vacías, 2) las clasesson disjuntas dos a dos, y 3) la unión de todas las clases es el conjuntoA, o sea:1. [ai] ≠∅ , ∀ i=1; 2;…; n2. [ai] ≠ [aj
  8. 8. ], ∀ i≠j3. [a1] ∪ [a2] ∪ [a3] ∪…∪ [an]=ALlamaremos conjunto cociente y lo representaremos A/R, al conjunto detodas las clases de equivalencia determinadas por R sobre A.A/R= {[a] / a ∈ A}Relaciones de ordenUna relación binaria R es una relación de orden amplio si cumple laspropiedades reflexivas, anti simétrica en sentido amplio y transitiva.Una relación binaria R es una relación de orden estricto si cumple laspropiedades anti reflexiva, anti simétrica en sentido estricto y transitiva.Una relación binaria R es una relación de orden total si dos elementoscualesquiera están relacionados en cualquier sentido.Es decir:∇ a, b ∈ A, a R b o b R aSi una relación no es de orden total, se dice que es de orden parcial.Ejemplo1:
  9. 9. La relación R “ser menor o igual que” definida en un conjunto numéricoA, es una relación de orden amplio, y además de orden total.Si tomamos: A = {1, 3, 4, 8}La relación está formada por:R = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 8), (3, 3), (3, 4), (3, 8), (4, 4), (4, 8), (8, 8)}Relación inversa:Dados dos conjuntos A, B y una relación R ⊆ AxB; una relación entreellos se denomina relación inversa de R, y se representa por R-1, a larelación que asocia a los elementos de B con los de A, asociados através de R.R-1 = {(b, a) ∈ AxB / (b, a) ∈ R}

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