Relaciones binarias
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Relaciones binarias Document Transcript

  • 1. Instituto Universitario de Tecnología “Antonio Jose de Sucre” Extensión Barquisimeto Integrante: Robert Aguilar C.I. 21.725.458 Algebra
  • 2. Relaciones BinariasAl trabajar con conjuntos es imprescindible poder relacionarlos teniendo encuanta la veracidad de una proposición. Estas relaciones son las queestudiaremos en este apunte.Una relación es un conjunto de parejas ordenadas. Así:R1 = (1,2),(3,5),(2,7),(9,-1)R2 = (a, 5), (a, 3), (b, 7), (d, 4), (e.6)R3 = (x, y)/x ∈ 1, 2, 3 ∧ y ∈ 2,4 ∧x<yNotación.Si R designa una relación y, lo notamos también como: xRy, y se lee “x estárelacionado con y bajo la relación R”. La negación la notamos también x y.DefiniciónRelaciones binariasGeneralmente hemos definido las correspondencias entre dos conjuntosdistintos, sin embargo, no es absolutamente necesario definirlas así.Podemos establecer una correspondencia de un conjunto en sí mismo, unacorrespondencia que asocie cada elemento de un conjunto a algún elementodel mismo conjunto. Una correspondencia de este tipo se conoce con elnombre de relación binaria. Se suele indicar con la letra R.Veamos un ejemplo:Juan tiene 10 años, Antonio 15, Javier 10, Laura 10, Luis 7, María 7 y José20 años.Agrupamos estos chicos y chicas en un conjunto:A = {Juan, Antonio, Javier, Laura, Luis, María, José} y establecemos lacorrespondencia de A en A de manera que, a cada chico o chica, lo asocias atodos aquellos que tienen su misma edad.
  • 3. Dado un conjunto A en el que definimos una relación binaria R, si unelemento a ∈ A le corresponde el elemento m ∈ A, se dice que a estárelacionado con m y se escribe a R m. En caso contrario, se dice que a noestá relacionado con m y se escribe a R m.Elementos de una relación: Dominio y Rango(Volvamos al ejemplo anterior):El conjunto A es el conjunto Inicial o conjunto de Partida. Los elementos deA que forman parte de la relación son el primer componente de las parejas;en el diagrama de flechas es el de donde parten las flechas.El conjunto B es el conjunto Final o conjunto de Llegada. Los elementos deB que forman parte de la relación son el segundo componente de lasparejas; en el diagrama de flechas es al que llegan las flechas.El Dominio es el conjunto de los primeros elementos de cada par ordenado.De cada elemento del dominio sale por lo menos una flecha. O sea que elDominio es un subconjunto del conjunto de Partida, ya que algunoselementos del conjunto inicial pueden no formar parte de la relación. La Imagen es el conjunto de los segundos elementos de cada par ordenado.En una relación, a cada elemento del conjunto Imagen llega por lo menosuna flecha. El conjunto Imagen es un subconjunto del conjunto de Llegada,ya que algunos elementos del conjunto final pueden no formar parte de larelación. Al conjunto Imagen, también se le llama Domino de Imágenes.
  • 4. Dom(R)= {a∈ A | (a, b) ∈ R para algún b∈ B} Rang(R)= {b∈ B | (a, b) ∈ Rpara algún a∈ A}En otras palabras, el dominio serán los primeros componentes de los paresordenados (a, b) que conforman R y el rango serán los segundoscomponentes.Representación gráfica de Relaciones BinariasLas relaciones pueden representarse gráficamente de diversas manerassiendo las más comunes la representación cartesiana, la matricial y lasagitaria.Mediante un gráfico cartesiano: En este caso se consideran comoabscisas las primeras componentes y como ordenadas las segundascomponentes. Mediante paralelas a los ejes trazados por los puntos dedivisión se forma una cuadrícula cuyos elementos son los vértices de unproducto cartesiano; de estos se señalan los que pertenecen a la relación R.Representación Sagitaria: En ella se utilizan diagramas de Venn pararepresentar los conjuntos departida y de llegada y se unen los paresordenados mediante flechas. Esta es empleada para conjuntos finitos. REPRESENTACION CARTESIANA Y SAGITARIA
  • 5. Representación Matricial: En ella se crea una matriz colocando loselementos del conjunto de partida cómo filas y los del conjunto de llegadacomo columnas. La matriz se llena colocando 1 en las posiciones donde loselementos se relacionan y 0 en caso contrario. REPRESENTACION MATRICIAL PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS1. Propiedad reflexiva:Una relación binaria es reflexiva cuando todo elemento está relacionadoconsigo mismo.
  • 6. Veamos el ejemplo con que empezábamos este capítulo de las relacionesbinarias:A = {Juan, Antonio, Javier, Laura, Luis, María, José}en este conjunto, definimos la relación R = «tener la misma edad»;lógicamente, cada uno de estos chicos y chicas tiene la misma edad que élmismo, lo que significa que cada elemento del conjunto está relacionadoconsigo mismo, y por tanto, la relación «tener la misma edad» esreflexiva en el conjunto A.Si representamos este hecho, de que cada elemento está relacionado con élmismo mediante un diagrama de flechas, debemos indicar que de cadaelemento sale una flecha que llega al mismo elemento:Siempre que, en un diagrama de flechas, veamos que, de cada elemento,sale una flecha que llega al mismo elemento, diremos que la relación binariaque hay definida en el conjunto es reflexiva.2. Propiedad no reflexiva:Para que una relación sea reflexiva, hemos visto que cada elemento debeestar relacionado consigo mismo. Puede ocurrir sin embargo, que dada unarelación en un conjunto, algunos elementos estén relacionados consigomismo y otros no. En este caso, se dice que la relación es no reflexiva.Veamos un ejemplo:
  • 7. En el conjunto de números, establecemos la relación siguiente: dos númerosestán relacionados si su suma es múltiplo de 3. Para que un número estérelacionado consigo mismo es necesario que la suma de ese número con élmismo sea múltiplo de 3, por ejemplo, el 6 + 6 = 12, que es múltiplo de 3;luego 6 R 6.Sin embargo, el 5 no está relacionado con el 5, pues 5 + 5 = 10, que no esmúltiplo de 3. Veamos pues, que con esta relación, algunos números estánrelacionados con ellos mismos y otros, en cambio, no. Luego esta relación esno reflexiva.3. . Propiedad Anti reflexiva:Cuando dada una relación binaria en un conjunto ningún elemento estárelacionado consigo mismo, decimos que la relación es anti reflexiva. Así, porejemplo, en el conjunto de personas establecemos la relación «tener másedad». Ninguna persona tiene más edad que ella misma, luego ningúnelemento está relacionado consigo mismo y, por tanto, la relación es antireflexiva4. Propiedad simétrica:Una relación cumple la propiedad simétrica si al estar un elementorelacionado con otro el segundo está también relacionado con el primero.Así, por ejemplo, si en el conjunto de personas damos la relación de «serigual de alto», si una persona es igual de alta que otra, la segunda estambién igual de alta que la primera.Si Juan, Pedro y Antonio son iguales de alto y María y Carlos también lo son,representamos:
  • 8. Vemos que si de un elemento sale una flecha que va a otro, del segundo saleotra flecha que va al primero.Diremos, pues, que una relación es simétrica siempre que, si a R b, entoncestambién b R a.5. Propiedad no simétrica:Cuando algún par de elementos no cumpla la relación simétrica, diremos quela relación es no simétrica.Sea, por ejemplo, el conjunto:A = {1, 2, 3, 4}En el que establecemos la relación «ser mayor que».2 es mayor que 1, luego 2 R 1, y, sin embargo, 1 no es mayor que 2, 1 2:
  • 9. 6. Propiedad Antisimétrica:Una relación tiene la propiedad antisimétrica si sólo se cumple la simétrica encaso de ser iguales los elementos.En el conjunto:A = {1, 2, 3} definimos la relación «ser menor o igual que».El 1 está relacionado con el 2, pues 1 es menor que 2: 1 R 2 y 2 no estárelacionado con 1.Si un elemento a está relacionado con otro b (a es menor o igual que b), y elsegundo elemento, b, está relacionado con a (b es menor o igual que a), esnecesario que a y b coincidan: a = b.Entonces la relación que hemos establecido es antisimétrica.Podemos decir, pues, que una relación es antisimétrica, si siempre que secumpla que a R b y b R a, entonces a = b.7. Propiedad transitiva:Una relación cumple la propiedad transitiva si siempre que un elemento estérelacionado con otro; y éste, a su vez, esté relacionado con un tercero, elprimero y el tercer elemento están también relacionados.Si a R b y b R c entonces a R c
  • 10. Por ejemplo:En el conjunto de personas, establecemos la relación de «ser hermano».Si Juan es hermano de Pedro, y Pedro es hermano de Antonio, deducimosque Juan es hermano de Antonio: luego la relación es transitiva.8. Propiedad no transitiva:Una relación es no transitiva cuando existen elementos para los que no secumple la propiedad transitiva.Por ejemplo: si consideramos la relación «ser padre»; Miguel es padre deLuis, y Luis es padre de María, pero Miguel no es padre de María, luego:Miguel R Luis y Luis R María pero Miguel María por tanto, no se cumple lapropiedad transitiva. La relación es entonces no transitiva.Relación InversaSi R es una relación de A en B, la relación inversa R-1 está definida por:R-1= {(b, a) ∈ BxA| (a, b) ∈ R}En la relación inversa se cumple que dom(R-1)= rang(R) yRang(R-1)=dom(R), es decir, se intercambian el dominio y el rango de larelación original. Por ejemplo, dada la relación R= {(1,2), (4,6), (5,7)} larelación inversa sería R-1= {(2,1), (6,4), (7,5)}.Teorema.Sea R una relación de X en Y. Entonces (R-1)-1= RComposición de RelacionesDada la relación R de A en B y la relación S de B en C, la composición de RyS es la relación:
  • 11. R ∘ S= {(a, c) ∈ AxC | ∃ b∈ B | aRb y bSc}Nótese que R ∘ S ≠ S ∘ RTeorema.Si R es una relación de X en Y, S es una relación de Y en Z y T es unarelación de Z en W, entonces:T ∘ (S o R) = (T ∘ S) ∘ RTeorema.Si R es una relación de X en Y y S en una relación de Y en Z, entonces(S ∘ R)-1= R-1∘ S-1Clases de relaciones:• Relación de equivalencia: es aquella que cumple las propiedadesreflexiva, simétrica y transitiva. Una relación de equivalencia divide al conjunto inicial en partes disjuntas quese llaman clases de equivalencia. 
  • 12. El conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia se denominaconjunto cociente. • Relación de orden: es aquella que cumple las propiedades reflexiva,antisimétrica y transitiva. • Las relaciones de orden pueden ser: Orden total: cuando todos los elementos del conjunto estánrelacionados. Orden parcial: cuando solo están relacionados algunos elementos delconjunto. • Relación de orden estricto: es aquella que cumple las propiedadesantirreflexiva, antisimétrica y transitiva.