Ukuran penyebaran data

UKURAN PENYEBARAN DATA

Ukuran penyebaran data adalah
suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar nilai-nilai data berbeda
atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa besar
penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya.

1. Jangkauan ( Range )
Jangkauan adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum
yang terdapat dalam data.
Jangkauan dapat dihitung dengan rumus:

R = X maks – X min
Contoh :
Tentukan range dari data : 10,6,8,2,4
Jawab :
R = Xmaks – Xmin = 10 – 2 = 8

Hal.: 2 STATISTIK Adaptif


2. Simpangan Rata-rata

Simpangan rata-rata dari sekumpulan bilangan adalah:
nilai rata-rata hitung harga mutlak simpangan-simpangannya.

a. Data tunggal

SR =
∑ x−x
n

Contoh :
Nilai ulangan matamatika dari 6 siswa adalah :7,5,6,3,8,7.
Tentukan simpangan rata-ratanya!


Jawab:
7 + 5 + 6 + 3 +8 + 7
x =
6
= 6

7 −6 + 5 −6 + 6−6 + 3−6 + 8−6 + 7 −6
SR =
6
8
=
6
= 1,33



b. Data berbobot / data kelompok

SR =
∑x −x
f
∑ f

x = data ke-i (data berbobot )
= titik tengah kelas interval ke-i (data kelompok )
f = frekuensi



Contoh :
Tentukan simpangan rata-rata dari data berikut :

Data Frekwensi x

3–5 2 4

6–8 4 7

9 – 11 8 10

12 - 14 6 13
Jumlah 20



Jawab :
Data Frekwensi x x−x F x−x
F.x
3–5 2 4 8 5,7 11,4
6–8 4 7 28 2,7 10,8
9 – 11 8 10 80 0,3 2,4
12 - 14 6 13 78 3,3 19,8
Jumlah 20 194 44,4

∑ .x
f
x =
∑f SR = ∑f x − x
∑f
194 = 9,7 44,4
= =
20 = 2,22
20

UKURAN PENYEBARAN
3.Simpangan Baku / standar deviasi

Simpangan Baku (S) dari sekumpulan bilangan adalah akar dari
jumlah deviasi kuadrat dari bilangan-bilangan tersebut dibagi
dengan banyaknya bilangan atau akar dari rata-rata deviasi
kuadrat.

a. Data Tunggal

∑( x − x)
i
2

atau
S = n

∑x ∑ x
2
S = 2

− 
n  n 


Contoh :
Tentukan simpangan baku dari data :
2,3,5,8,7.

Jawab :
x ( x − x ) (x − x ) 2

2 -3 9
2 +3 +5 +8 +7
x= 3 -2 4
5 5 0 0
=5 8 3 9
S = ∑ ( xi − x ) 2 26 7 2 4
=
n 5 26

= 5,2



b. Data berbobot / berkelompok

∑ f ( x − x)
2
S =
atau
∑f

∑ fx  ∑ f.x 
2
2

− 
∑f  ∑f 
S =
 



Contoh:
Tentukan standar deviasi dari data berikut

Data Frekw x
3–5 2 4
6–8 4 7
9 – 11 8 10
12 - 14 6 13
Jumlah 20



Jawab :

Data Frek x x2 f.x f.x2
3–5 2 4 16 8 32
6–8 4 7 49 28 196
9 – 11 8 10 100 80 800
12 - 14 6 13 169 78 1014
Jumlah 20 194 2042

∑ fx 2 −  ∑ f.x 
2

S =  
∑f  ∑f 
2
2042 194 
= −
20  20  = 8,01
 



4.Kuartil

Kuartil adalah nilai yang membagi kelompok data atas empat bagian
yang sama setelah bilangan-bilangan itu diurutkan.
Dengan garis bilangan letak kuartil dapat ditunjukkan sebagai berikut:
Q1 Q2 Q3

Menentukan nilai Kuartil
a. Data tunggal
i (n + 1)
Letak Qi = data ke 4

dengan i = 1, 2, 3 dan n = banyaknya data



Contoh :
Hasil pendataan usia, dari 12 anak balita (dalam tahun) diketahui
sebagai berikut : 4, 3, 4, 4, 2, 1, 1, 2,1, 3, 3, 4 , tentukan :
a. Kuartil bawah (Q1)
b. Kuartil tengah (Q2)
c. Kuartil atas (Q3)

Jawab :
Data diurutkan : 1,1,1,2,2,3,3,3,4,4,4,4
1(12 + 1)
a.Letak Q1 = data ke –
4
= data ke- 3 ¼



Nilai Q1 = data ke-3 + ¼ (data ke4 – data ke3)
= 1 + ¼ (2 – 1) = 1¼

b. Letak Q2 = data ke
2(12 + 1)
4
= data ke 6½

Nilai Q2 = data ke 6 + ½ (data ke7 – data ke6)

= 3 + ½ (3 – 3) = 3



c. Letak Q3 = data ke 3(12 + 1)
4
= data ke 9 ¾

Nilai Q3 = data ke 9 + ¾ (data ke10 - data ke 9)

= 4 + ¾ (4 – 4) = 4



Jangkauan Semi Inter Kuartil /Simpangan Kuartil (Qd)
didefinisikan sebagai berikut:
Qd = ½ (Q3 – Q1)

b. Data Kelompok
i.n 
 − 
F
Nilai Qi = b + p  4 
 f 
 
dengan i = 1,2,3

b = tepi bawah kelas Qi
p = panjang kelas
F = jumlah frekuensi sebelum kelas Qi
f = frekuensi kelas Qi
n = jumlah data



Contoh :
Tentukan simpangan kuartil dari data :
Jawab :
Nilai f
Untuk menentukan Q1 kita perlu = ¼ x 40 data
45-49 3
atau 10 data, jadi Q1 terletak pada kelas interval ke 3.
50-54 6
55-59 10 Dengan b = 54,5 ; p = 5; F = 9; f = 10
60-64 12  1.40 
 4 −9 
65-69 5 Nilai Q1 = 54,5 + 5  
 10 
70-74 4  

Jumlah 40 = 54,5 + 0,5 = 55


Untuk menetukan Q3 diperlukan = ¾ x 40 data atau 30 data,
jadi Q3 terletak pada kelas interval ke-4,
dengan b = 59,5; p = 5; F = 19 ; f = 12
3.40 
 4 −19 
Nilai Q3 = 59,5 + 5  
 12 
 
= 59,5 + 5  
11
 
 
12

= 59,5 + 4,58 = 64,08
Jadi, jangkauan semi interkuartil atau simpangan kuartil dari data di
atas adalah
Qd = ½ (Q3 –Q1)
= ½ (64,08 – 55) = 4,54


5. Persentil

Persentil dari sekumpulan bilangan adalah nilai yang membagi kelompok
bilangan tersebut atas 100 bagian yang sama banyaknya setelah bilangan
bilangan tersebut diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar.

a. Data tunggal / berbobot

Letak Pi = data ke i(n + 1)
100
dengan i = 1,2,…,99
Contoh :
Diketahui data : 9,3,8,4,5,6,8,7,5,7
Tentukan P20 dan P70


Jawab :
Data diurutkan : 3 ,4, 5, 5, 6, 7, 7 ,8, 8, 9

20(10 + 1) 1
Letak P20 = data ke = data ke 2
100 5
1
Nilai P20 = data ke 2 + (data ke 3 – data ke2)
5
1
= 4 + 5 (5 – 4)
1
=4
5



Letak P70 = data ke 70(10 + 1)
100
7
= data ke 7 10
7
Nilai P70 = data ke 7 + (data ke 8 - data ke7)
10
7
= 7 + 10 ( 8 – 7 )
7
=7
10


UKURAN PENYEBARAN

b. Data kelompok
 in 
 100 − F 
Nilai Pi = b + p   , dengan i = 1,2,..,99
 f 
 

Jangkauan Persentil = P90 – P10


Contoh :
Tentukan Jangkauan persentil dari data
berikut :
Nilai F

50 - 59 7
60 - 69 10
70 - 79 15
80 - 89 12
90 - 99 6

Jumlah 50


Jawab :
10
Untuk menentukan P10 diperlukan = 100 x 50 data = 5 data,
artinya P10 terletak pada kelas interval pertama dengan
b = 49,5 ; p = 10 ; F =0 ; f = 7
10.50 
 −0 
Nilai P10 = 49,5 + 10  100 
 7 
 

= 49,5 + 7,14

= 56,64


90
Untuk menetukan P90 diperlukan = x 50 data = 45 data,
100
artinya P90 terletak pada kelas interval ke 5,
dengan b = 89,5; F = 44; f = 6.

 90.50 
 100 − 44 
Nilai P90 = 89,5 + 10  
 6 
 
= 89,5 + 1,67 = 91,17

Jangkauan Persentil = P90 – P10
= 91,17 – 56,64
= 34,53



Latihan:
1. Nilai tes matematika dari 5 orang siswa adalah sebagai berikut :
7,6,7,8,7 besarnya simpangan rata-rata dari data tesebut adalah….

Jawab :
x x −x 7+ 6+ 7+ 8+ 7
x =
5
=7
7 0
6 1
SR =
∑ x−x
7 0
8 1 n
2
7 0 =
5
Jml 2 = 0,4


2. Standar deviasi (simpangan baku) dari
data 4,6,7,6,3,4 adalah…
Jawab :

4 +6 +7 +6 +3 + 4
x (x - x ) (x- x )2
x =
6 4 -1 1
6 1 1
= 5 7 2 4
6 1 1
∑( x − x)
2
3 -2 4
S = 4 -1 1
n
12 Jml 12
=
6

= 2



3. Hasil tes penerimaan pegawai baru suatu
perusahaan tercatat sebagai berikut :

Nilai Frekuensi
Jika perusahaan akan menerima 75%
dari pendaftar yang mengikuti tes
30-39 3 tersebut, berapakah nilai minimum
40-49 8
yang dapat diterima?
50-59 10
60-69 20
70-79 18
80-89 14
90-99 7



Jawab :
Q1 75%

Untuk menentukan Q1 diperlukan ¼ x 80 data = 20 data,
artinya Q1 terletak pada kelas interval ke 3,
dengan b = 49,5; p = 10; F = 11; f = 10;

 1.80 
 − 11
Nilai Q1 = 49,5 + 10  4 
 10 
 
9
= 49,5 + 10  
 10 

= 58,5


4. Hasil ulangan program Teknologi Industri dari 50
siswa kelas III pada salah satu
SMK adalah sebagai berikut:

Nilai F

50-59 7
60-69 10
70-79 15
80-89 12
90-99 6

Tentukan nilai P40 dari data tersebut!



Jawab:
40
Untuk menentukan P40 diperlukan = 100 x 50 data atau 20 data,
artinya P40 terletak pada kelas interval ketiga,
dengan b = 69,5 ; p = 10 ; F = 17 dan f = 15.
 40.50 
− 17 
Nilai P40 = 69,5 + 10  100
 
 15 
 
3
= 69,5 + 10  15 
 

= 72,5



5. Hasil tes pelajaran Matematika 15 orang siswa adalah sebagai berikut :
30,45,50,55,50,60,60,65,85,70,75,55,60,35,30.
Jangkauan semi interkuartil (Qd) dari data di atas adalah…..
Jawab :
Data diurutkan :
30,30,35,45,50,50,55,55,60, 60,60,65,70,75,85.

Letak Q1 = data ke 1(15 + 1) = data ke-4
4
Nilai Q1 = data ke-4 = 45
3(15 + 1)
Letak Q3 = data ke = data ke-12
4
Nilai Q3 = data ke 12 = 65



Jangkauan semi interkuartil (Qd) = ½ ( Q3 – Q1 )

= ½ ( 65 – 45 )

= 10



6. Koefisien Variasi

Koefisien variasi adalah perbandingan antara simpangan
standar dengan nilai rata-rata yang dinyatakan dengan persentase.
Koefisien variasi berguna untuk melihat sebaran data dari
rata-rata hitungnya.

Besarnya Koefisien Variasi dinyatakan dengan rumus,

S
KV = x 100%
x
KV = koefisien variasi
S = simpangan standar
x = rata-rata


Contoh 1:
Nilai rata-rata matematika Kelas III Mesin1 adalah 80 dengan simpangan
standar 4,5. Jika nilai rata-rata Kelas III Mesin 2 adalah 70
dengan simpangan standar 5,2.
Hitunglah koefisien variasi masing-masing.

Jawab : S
KV III Mesin 1 = x 100%
x
4,5
= x 100% = 5,6%
80
5,2
KV III Mesin 2 = x 100% = 7,4%
70



Contoh 2 :
Standar deviasi sekelompok data adalah 1,5 sedang koefisien variasinya
adalah 12,5%. Mean kelompok data tersebut adalah….

Jawab :
S
KV = x 100%
x
1,5
12,5% = x 100%
x

150%
x = = 12
12,5%



7. Angka Baku
Angka Baku digunakan untuk mengetahui kedudukan suatu objek yang
sedang diselidiki dibandingkan terhadap nilai rata-rata kumpulan objek
tersebut.

Angka Baku (nilai standar) dapat dihitung dengan menggunakan rumus :
x−x
Z =
s
x = nilai data
x = nilai rata-rata
s = standar deviasi



Contoh 1:
Seorang siswa mendapat nilai matematika 70 dengan rata-rata 60 dan
standar deviasi12, nilai Bahasa Inggris 80 dengan rata rata 75 dan
simpangan standarnya 15,manakah kedudukan nilai yang paling baik ?

Jawab :
70 − 60
Zm = = 0,83
12
80 − 75
Zb = = 0,33
15
Jadi kedudukan nilai matematika lebih baik dari pada nilai Bahasa Inggris.



Contoh 2 :
Rata-rata dan simpangan standar upah pesuruh kantor masing-masing adalah
Rp 65.000,00 dan Rp 1.500,00. Jika Pak Darmawan salah seorang pesuruh yang
upahnya Rp 67.250,00, nilai standar upah Pak Darmawan adalah….

Jawab :
Rp 67.250,00 − Rp 65.000,00
Z=
Rp 1.500,00
= 1,5



Ukuran Keruncingan / kurtosis

Kurtosis adalah derajat kelancipan suatu distribusi jika dibandingkan dengan
Distribusi normal
Untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva (koefisien kurtosis) dapat
Digunakan rumus :

Q3 − Q1
KK =
2( P90 − P )
10


Keterangan :
Jika nilai KK > 3 kurva leptokurtis (puncaknya runcing sekali)
KK < 3 kurva platikurtis (puncaknya agak mendatar)
KK = 0 kurva mesokurtis (puncaknya tidak begitu runcing atau
distribusi normal)

Contoh :
Dari sekelompok data yang disusun dalam tabel distribusi frekuensi
diketahui nilai Q1 = 55,24 ; Q3 = 73,64 ; P10 = 44,5 ;P90 = 82,5.
Besarnya koefisien kurtosis kurva data tersebut adalah….



Jawab :
73,64 −55,24
KK =
2(82,5 −44,5)
=
18,4
2(38)
= 0,242

Karena KK < 3 maka kurva distribusi tersebut platikurtik.


Ukuran penyebaran data

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Ukuran penyebaran data

Similar to Ukuran penyebaran data (20)

More from Eko Supriyadi

More from Eko Supriyadi (20)

Ukuran penyebaran data