Bab 4 limit & turunan fungsi
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Bab 4 limit & turunan fungsi

on

  • 27,378 views

 

Statistics

Views

Total Views
27,378
Views on SlideShare
25,957
Embed Views
1,421

Actions

Likes
8
Downloads
924
Comments
2

9 Embeds 1,421

http://tksi000.blogspot.com 1399
http://tksi000.blogspot.tw 10
http://tksi000.blogspot.de 3
https://twitter.com 3
http://feeds.feedburner.com 2
http://tksi000.blogspot.in 1
http://www.edmodo.com 1
http://tksi000.blogspot.kr 1
http://tksi000.blogspot.no 1
More...

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Bab 4 limit & turunan fungsi Bab 4 limit & turunan fungsi Presentation Transcript

  • BAB 4LIMIT DAN TURUNANFUNGSIPenerbit Erlangga
  • KOMPETENSIDASAR Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya.
  • A. LIMIT FUNGSI 1. Pendekatan Limit Jika x adalah variabel pada himpunan bilangan asli { x x < 4} maka kita daapt dengan mudah menyebut anggota terbesar himpunan tersebut, yaitu 3. Jika x adalah variabel bilangan real, maka akan sulit bagi kita untuk menentukan dan memastikan bilangan real sebelum bilangan 4, bisa saja bilangan tersebut adalah 3,9999 atau 3,99999 dan seterusnya. Untuk itu, kita dapat menyebutkannya dalam bentuk fungsi limit.Kunjungilah situs http://www.mathnstuff.com/math/spoken/here/2class/420/limit.htm#thelimit. Berbagai limit beserta grafiknya pada situsini dapat membantu untuk lebih memahami konsep limit.
  • 2. Pengertian Limit Fungsi Perhatikan fungsi f(x) = 2x + 1, dengan x elemen R. Kita akan menentukan f(x) dengan x bergerak mendekati 3. Hasilnya dapat dilihat pada tabel di bawah ini: x .... 2,98 2,99 3 3,01 3,02 .... f(x) = 2x +1 .... 6,96 6,98 ... 7,02 7,04 .... untuk x mendekati 3 dari arah kanan dan arah kiri, ternyata nilai f(x) semakin mendekati 7. Dalam kondisi limit, ditulis sebagai berikut: Limit kanan = Limit kiri = =
  • Secara formal, limit didefinisikan sebagai: , jika untuk sembarang bilangan kecil ε, terdapat bilangan positif β sedemikian sehingga untuk yang memenuhi berlaku .Kunjungilah situs http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/limcondirectory/LimitConstant.html. Banyak soal-soaltentang limit menuju suatu konstanta yang tersedia di situs ini. Tidak hanya itu, kamu juga dapat mengklik solusi dari soal-soal yang ada.
  • 3. Limit Fungsi Aljabar Limit fungsi berbentuk Jika variabel x mendekati c dengan c elemen R, maka cara penyelesaiannya: a. Langsung disubstitusikan, asalkan hasilnya bukan bilangan tak tentu. b. Jika telah disubstitusikan menghasilkan bilangan tak tentu, maka langkah selanjutnya adalah difaktorkan, disederhanakan kemudian disubstitusikan
  • CONTOH1. Hitunglah: a. b. Jawab: a. b.
  • 2. Hitunglah: Jawab:
  • Limit fungsi berbentukUntuk menyelesaikan limit fungsi aljabar yang variabelnyamendekati , maka caranya adalah pembilang danpenyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi.
  • Untuk , nilai limit dapat ditentukan dengan cara:a. Jika pangkat tertinggi f(x) = pangkat tertinggi g(x), makab. Jika pangkat tertinggi f(x) > pangkat tertinggi g(x), makac. Jika pangkat tertinggi f(x) < pangkat tertinggi g(x), makad. Untuk berbentuk , kalikan f(x)-g(x) dengan sekawannya, yaitu f(x) + g(x)
  • CONTOHHitunglah:a.b.
  • Jawab:a. Pembilang dan penyebut dibagi xb.
  • 4. Teorema Limit 4.1. Teorema Limit Utama Andaikan n adalah bilangan bulat positif, k suatu konstanta, serta f dan g adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c, maka: T-1 T-2 T-3 T-4
  • T-5 T-6 T-7 , dengan T-8 T-9dengan , jika n genap, atau jikan ganjil.
  • CONTOHHitunglah nilai limit di bawah ini:a.b.c.
  • Jawab:a.b.c.
  • Teorema Limit tak Hingga Andaikan n adalah bilangan positif, k adalah suatu konstanta, dan f serta g adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c, maka: 1 2 3 4 5Kunjungilah situs http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/grenx/grenx.html#fehler. Klik “What is a fault? A tale that makes yousmile”. Lihat apa yang salah dari proses pelimitan itu dan jangan sampai kamu menjawab soal serupa dengan jawaban seperti itu.
  • 6789 dengan , jika n genap, atau jika n ganjil.1011
  • 5. Limit Fungsi Trigonometri Jika Variabelnya Mendekati Sudut Tertentu  Jika variabelnya mendekati sudut tertentu misalkan x →  cara penyelesaiannya langsung disubstitusikan Apabila hasilnya bilangan tak tentu, maka harus disederhanakan, difaktorkan, kemudian disubstitusikan. Jika Variabelnya Mendekati Nol  Jika variabel mendekati nol, misalkan x → 0, limit fungsi trigonometri diubah ke dalam bentuk umum sebagai berikut. 1. 3. 2. 4.
  • Beberapa identitas fungsi trigonometri yang mendukungpenyelesaian soal-soal limit adalah:1.2.3.4.
  • CONTOHHitunglah:a.b.Jawab:a.b.
  • B. TURUNAN FUNGSI1. Pengertian Turunan Fungsi Jika suatu fungsi dinyatakan dengan y=f(x), maka laju perubahan nilai fungsi dinyatakan dengan: Laju perubahan nilai fungsi ini disebut fungsi turunan yang dilambangkan f’(x) (dibaca f aksen x). Jadi,
  • Untuk a < x < b memiliki nilai maka dikatakan bahwa fungsif(x) mempunyai turunan dalam interval a < x < b.Proses mencari f’(x) dari f(x) disebut penurunan ataupendiferensialan.Notasi lain untuk turunan fungsi adalah y’, , .
  • CONTOH Carilah turunan fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) = 2x + 3 pada x = 5.Jawab: f(x) = 2x + 3 f(5) = 2(5) + 3 = 13 f(5+h) = 2 (5 + h) + 3 = 10 + 2h +3 f’ (x) = f’ (5) =
  • 2. Rumus Turunan Fungsi Turunan Fungsi Aljabar Turunan Fungsi Khusus    
  • Aturan RantaiJika f(x) = [u(x)]n dengan u(x) adalah fungsi dari x yangmempunyai turunan u’(x) dan n adalah bilangan real, maka:
  • CONTOHCarilah turunan dari:a.b.Jawaba. Misalkan u(x) = x3 + 4, sehingga u’(x) = 3x2 , diperoleh:b.
  • 3. Turunan Hasil Operasi Fungsi   
  • CONTOHTentukan turunan dari:Jawab:Misalkan:Maka,
  • 4. Turunan Fungsi Trigonometri   
  • CONTOHSelesaikan turunan dari fungsi trigonometri berikut ini:a. y = x2 sin xb. y = sin 5x + cos 6x – sin 3xJawab:a. Misalkan u = x2 → u’ = 2x v = sin x → v’ = cos x maka, y’ = u’v + uv’ = (2x)(sin x) + (x2)(cos x) = 2x sin x + x2 cos xb. y = sin 5x + cos 6x ― sin 3x y’ = (5) cos 5x + (6)(-sin 6x) ― (3)(cos 3x) y’ = 5 cos 5x ― 6 sin 6x ― 3 cos 3x
  • C. TAFSIRAN GEOMETRI DARI TURUNAN1. Gradien Garis Singgung <insert gambar 4.2, hal 158> Apakah arti turunan f’(x) secara geometris? Perhatikan grafik y = f(x). Titik P(x,f(x)) dan Q(x+h, f(x+h)) yang terletak di grafik y = f(x) membentuk gradien tali busur PQ yang dinyatakan sebagai:
  • Jika h mendekati nol maka titik Q mendekati titik P sehinggatali busur PQ menjadi gradien garis singgung di titik (x, f(x))pada titik y = f(x). Dengan demikian gradien garis singgungdi titik P adalah sebagai berikut:Dengan kata lain, gradien garis singgung di titik (x,y) padagrafik y = f(x) dapat dinotasikan sebagai m, yaitu:
  • 2. Persamaan Garis Singgung Jika titik P(x1,y1) terletak pada kurva y = f(x), maka persamaan garis singgung kurva yang melalui titik tersebut adalah: dimana m adalah gradien (kemiringan) garis, dengan m = f’(x) = y’. Jika terdapat dua potong garis yang mempunyai gradien masing-masing m1 dan m2 maka kedua garis akan: 1. saling sejajar, jika m1 = m2 2. saling tegak lurus, jika m1 . m2 = -1
  • 3. Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Nilai Stasioner Fungsi Naik dan Fungsi Turun <insert gambar 4.3 di hal 161> Terlihat bahwa parabola f(x) turun dari arah kiri hingga x = a dan naik mulai dari x = a ke arah kanan, sehingga dapat dikatakan bahwa:  f(x) adalah fungsi naik untuk x > a  f(x) adalah fungsi turun untuk x < a Pada x = a, grafik fungsi tidak naik dan tidak turun, maka dikatakan titik (a, f(a)) adalah titik stasioner dan f(a) adalah nilai stasioner.
  • Pengertian fungsi naik dan fungsi turun dapat didefinisikan sebagai berikut:1. Fungsi f(x) dikatakan fungsi naik dalam interval I, jika tiap bilangan x1 dan x2 dalam I dan x1 < x2 maka berlaku hubungan f(x1) < f(x2).2. Fungsi f(x) dikatakan fungsi turun dalam interval I, jika tiap bilangan x1 dan x2 dalam I dan x1 > x2 maka berlaku hubungan f(x1) > f(x2).
  • <insert gambar 4.4, 4.5 di hal 162> Tanda-tanda +,―, dan nol pada gambar di atas menunjukkan tanda nilai-nilai dari turunannya atau gradiennya.
  • Untuk menentukan interval dimana fungsi f(x) naik atauturun dan stasioner, dapat dilakukan atas dasar nilai f’(x)yaitu: Jika f’(x) > 0 maka f(x) fungsi naik. Jika f’(x) < 0 maka f(x) fungsi turun. Jika f’(x) = 0 maka f(x) stasioner.
  • 4. Nilai Stasioner 3 jenis nilai stasioner: 1. Nilai balik maksimum, jika f’(x) berubah tanda dari positif menjadi negatif melalui nol. 2. Nilai balik minimum, jika f’(x) berubah tanda dari negatif menjadi positif melalui nol. 3. Nilai belok horizontal, jika f’(x) tidak mengalami perubahan tanda. Notes: Nilai stasioner juga disebut nilai ekstrem fungsi.
  • Cara lain untuk menentukan jenis-jenis nilai ekstrim suatufungsi f(x), yaitu dengan cara mengamati turunan keduafungsi tersebut pada titik-titik stasionernya, disebut sebagaiUji Turunan Kedua. Jika f’’(a) > 0 maka f(a) adalah nilai balik minimum fungsi f. Jika f”(a) < 0 maka f(a) adalah nilai balik maksimum fungsi f. Jika f”(a) = 0 maka nilai stasioner f(a) belum dapat ditetapkan.
  • D. PENERAPAN TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) Contoh: 1. Suatu benda bergerak menempuh jarak s meter dalam waktu t detik dengan persamaan s = t3 – 3t2 + 3t +5. Hitunglah: a. kecepatan benda tersebut setelah 3 menit, b. percepatan benda setelah 2 menit, c. waktu (t) yang diperlukan agar kecepatannya nol.Kunjungilah situs http://tutorial.math.lamar.edu/classes/calcl/derivativeinterp.aspx. Pelajari contoh soal tentang volume air dalam tangkiyang menggunakan konsep turunan yang ada di situs tersebut..
  • Jawab:s = t3 – 3t2 + 3t + 5Kecepatan (v) = = 3t2 - 6t + 3Percepatan (a) = = = 6t – 6a. pada t = 3 → v = 3(3)2 – 6(3) + 3 = 12 m/detikb. pada t = 2 → a = 6(2) – 6 = 6 m/detik2c. =0→ 3t2 – 6t + 3 = 0 (3t – 3) (t – 1) = 0 t1= 1 atau t2 = 1 Jadi, t1 = t2 = 1 detik kecepatan benda tersebut sama dengan nol.