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La Geometría del Universo Exposición en el 1er Aquelarre Matemático
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La Geometría del Universo Exposición en el 1er Aquelarre Matemático

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En ésta plática se describen de manera intuitiva algunas ideas geométricas usadas en física (relatividad general) para describir el comportamiento del universo. …

En ésta plática se describen de manera intuitiva algunas ideas geométricas usadas en física (relatividad general) para describir el comportamiento del universo.
La plática está basada en el artículo de artículo de R. Penrose La Geometria del Universo.

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  • 1. Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM. La Geometría del Universo Efraín Vega Landa 2010-10-21 R. Penrose.
  • 2. La Geometría del Universo 21. Vista Panorámica.2. Geometrías no euclidianas.3. Geometrías Irregulares.4. Vectores y Tensores.5. Curvatura R (X; Y ) Z = rX rY Z rY rX Z r[X;Y ]Z .6. Espacio-Tiempo.7. Ecuaciones de Einstein.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 3. La Geometría del Universo 31 Vista Panorámica.Una de las más fructíferas fuentes de intuición matemática es el espacio físico.No solo nos proporciona los conceptos básicos de la geometría euclidiana, tambienbrinda un marco para visualizar espacios más generales que ocurren continuamenteen matemáticas.Fue la imagen del espacio físico que condujo a ideas claves de análisis como la con-tinuidad y la suavidad.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 4. La Geometría del Universo 4Incluso la noción básica de número real se origina a partir de la medida de la sepa-ración espacial y de intervalos de tiempo.Albert Einstein nos enseñó que estos últimos eran cantidades geométricas también,cuya medida está esencialmente ligada a la medida del espacio.Nos vino una crisis cuando aprendimos de la relatividad que nuestra querida geometríaeuclidiana, después de todo, no describe al espacio físico de la manera más precisa.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 5. La Geometría del Universo 5Sin embargo, a partir de los principios euclidianos, una geométria más profunda y exible, conocida como geometría diferencial fue creciendo hasta la madurez.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 6. La Geometría del Universo 6Es en términos de esta geometría que la teoría de Einstein encuentra su expresión.Dicha teoría está en un excelente acuerdo con la observación.Así que si queremos entender cuál es la forma del mundo, debemos entender estateoría.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 7. La Geometría del Universo 7Introduciremos los modelos más simples de geométria no euclideana y entonces indi-caremos como la maquinaria de la geometría diferencial puede ser construida (Algu-nas de las ideas más modernas no estuvieron al alcance de Einstein).Delinearemos nociones físicas básicas de relatividad especial y general.Describiremos el contenido geométrico de las ecuaciones de Einstein y discutiremosalgo de hoyos negros y cosmologia.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 8. La Geometría del Universo 8La teoría de la relatividad general no hubiera podido desarrollarse sin el trabajo demuchas generaciones de matemáticos (en particular Carl Friederich Gauss y BernhardRiemann) quienes liberaron a la geometría de la prisión de la rigidez de la geometríaeuclidiana.Esta deuda de la relatividad a la geometría fue pagada ampliamente ya que muchas delas ideas modernas de la geometría diferencial tuvieron su impulso inicial en conceptosque surgieron en la teoría de la relatividad general.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 9. La Geometría del Universo 9Este es un ejemplo supremo que ilustra como la física y las matemáticas puedenenriquecerse mutuamente.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 10. La Geometría del Universo 102 Geometrías no euclidianasEmpezaremos con el que fue, históricamente, el primer ejemplo de geometría noeuclidiana: la geometría de Lobachevsky o geometria hiperbólica.En ella uno de los postulados de Euclides es abandonado, a saber el quinto:Si una linea recta corta a otras dos haciendo los ángulos interiores en el mismo la-do menor que dos ángulos rectos, entonces si extendemos las dos lineas rectas in-de nidamente, se cortarán en lado en el cual los ángulos son menores que dos ángu-los rectos.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 11. La Geometría del Universo 112.1 Modelo en dos dimensionesModelemos el plano de Lobachevsky L2 en términos de conceptos Euclidianos ordi-narios, pero donde las nociones básicas de “distancia” y “recto” serán interpretadas enuna nueva forma.Hay dos representaciones standard de L2 en el plano:El modelo proyectivoEl modelo conformeEn ambos L2 es representado por el interior de S 1.En el proyectivo una “línea recta” será representada a través una cuerda, es decir unsegmento de linea recta dibujado dentro del disco que es recto también respecto a lageometria euclidiana de E 2.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 12. La Geometría del Universo 12En el conforme una “línea recta” será representada a través de un arco dibujado dentrodel disco que serácircular respecto a la geometría de E 2 y que interseca a S 1 en ángulos rectos.La “distancia” Lobachevskiana entre los puntos A y B del disco está dada por la fór-mula IAJB d (A; B) = " ln IBJA 1donde " = 2 para el modelo proyectivo y " = 1 para el modelo conforme.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 13. La Geometría del Universo 132.2 Ventajas de cada modelo.En el modelo proyectivo la “rectitud” lobachevskiana coincide con la euclidiana.En el modelo conforme la medida de “ángulos” lobachevskianos coincide con su me-dida euclidiana.Esto tiene el efecto de que formas pequeñas son representadas sin distorsión.La diferencia entre el tamaño que un ser 2D euclidiano ve y el tamaño que ve un ser2D lobachevskiano es tan solo de una expansión.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 14. La Geometría del Universo 14“Círculos” lobachevskianos son siempre correctamente representados por círculos euclid-ianos.Las guras se vuelven muy pequeñas (para un ser euclidiano) y apretadas hacia laorilla , sin embargo ellas guardan aproximadamente la misma forma. La aproximaciónserá mayor mientras más pequeña sea la gura examinada.Eso es lo que signi ca conforme: Figuras arbitrariamente pequeñas son exactamenterepresentadas salvo un cambio en la escala.El mundo de Lobachevsky es in nito.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 15. La Geometría del Universo 15Hay una relación entre el modelo conforme y proyectivo del plano hiperbólico L2:El punto Pp del modelo proyectivo se obtiene del correspondiente punto Pc en el mod-elo conforme por medio de una proyección radial del círculo (“recta” en el modeloconforme) a la cuerda (“recta” en el modelo proyectivo).Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 16. La Geometría del Universo 16El hecho de tener dos distintas maneras de representar el plano de Lobachevsky L2 enel plano euclidiano ilustra un punto importante: es la geometría interna (o intrínseca)lo que realmente nos interesa.Muchas maneras distintas de representar la misma geometría son posibles, pero lasdiferencias tienen que ver con la representación solamente.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 17. La Geometría del Universo 172.3 Geometría EsféricaOtro tipo de geometría bidimensional distinta de E 2 o L2 es la de la esfera S 2.Las líneas rectas respecto de la geometría intrínseca serán ahora círculos máximos.La “distancia” en S 2 será la longitud de arco a lo largo del círculo.La geometría en S 2 di ere de la geometría euclidiana de una manera más seria re-specto de la diferencia con la geometría de L2.Las “línea rectas” en S 2 son curvas cerradas (tienen la misma topología que un círculo)y se intersecan entre sí en parejas de puntos.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 18. La Geometría del Universo 18La última diferencia puede ser eliminada si nosotros pasamos al espacio elíptico P 2(Plano Proyectivo) que resulta de indenti car puntos antípodas en la esfera.Cada punto de P 2 es un par de puntos de S 2.Tales representaciones abstractas de espacios, donde un punto en un espacio puedetener una estructura más elaborada en otro, son comunes en matemáticas.Si tratamos de representar los puntos de S 2 o de P 2 globalmente en el plano EuclidianoE 2, tendremos una di cultad.Esto es porque la topología de S 2 y P 2 es diferente a la de E 2.La topología de P 2 puede ser descrita como una “esfera con una tapa cruzada”Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 19. La Geometría del Universo 19Una representación conforme standard de S 2 en E 2 está dada por la proyección es-tereográ caConsideramos E 2 como el plano ecuatorial de S 2, N el polo norte. Un punto X en laesfera es proyectado desde N al punto Z en E 2:Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 20. La Geometría del Universo 20Notamos que si X se acerca al polo norte N , la línea que une X con N se haceparalela E 2 y el punto Z se va al in nito.Así hemos realizado la esfera S 2 como E 2 junto con un punto extra unido en el in nitoque representa a N .Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 21. La Geometría del Universo 21La proyección estereográ ca es conforme.El ángulo entre curvas en S 2 se proyecta en un ángulo igual entre las correpondientescurvas proyectadas.Una pequeña gura en S 2 se proyecta en otra semejante en E 2.Circulos en S 2 va a círculos en E 2 (pueden ser de radio in nito, es decir, rectas).Un círculo máximo en S 2 se proyecta en un círculo en E 2 cuyas intersecciones con elecuador son diametralmente opuestas.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 22. La Geometría del Universo 222.3.1 Representación de P 2 en E 2. Imaginemos que N y E 2 se quedan jos y movemos S 2 hasta que su centro coincida con N . Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 23. La Geometría del Universo 23La proyección sera de nuevo desde N y ahora lleva un par de puntos antipodales X yX 0 de S 2 a un punto Z de E 2.Excepto para los puntos ecuatoriales a los cuales les corresponden puntos in nita-mente lejanos.Círculos máximos se proyectan en rectas en E 2.Este modelo es proyectivo en lugar de conforme y ahora E 2 tiene toda una línea depuntos adicionales unidos en el in nito (representan el ecuador de S 2).Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 24. La Geometría del Universo 242.3.2 Relación entre los modelos de S 2 y P 2 La representación de S 2 y P 2 pueden ser relacionadas por geometría simple. Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 25. La Geometría del Universo 25Hemos estado considerando formas particulares de representar las geometrías L2; S 2y P 2 en términos de una descripción euclidiana.Pero cada una de estas geometrías pueden ser desarrolladas a su manera de unaforma completamente sintética como una alternativa a la geometría de Euclides.Cada una tiene su propio cuerpo de teoremas, a veces coinciden con los Euclidianos,a veces mas complidados, a veces más simples.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 26. La Geometría del Universo 26Un ejemplo sorprendente (descubierto por Johann Heinrich Lambert 1728-1777)Si ; y son los ángulos de triángulos cuyos lados son “rectos” en la geometríarespectiva, entonces el área del triángulo esta dada por que tanto la suma de estosángulos di eren de . ( + + ) para L2: A= ( + + ) para S 2 o P 2:No existe una fórmula así de simple en el caso euclidiano ya que siempre + + = .Además debemos tener la longitud de un lado para poder determinar el área.En L2; S 2 y P 2 no existe la propiedad euclidiana de semejanza.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 27. La Geometría del Universo 27Estas geometrías son de especial interés no solo porque representan las desviacionesmás simples del caso Euclidiano, sino tambien porque describen los mejores candita-dos para la estructura espacial a gran escala del universo actual.Pero el espacio físico es tridimensional, así que debemos considerar las extensionesa tres dimensiones de los modelos introducidos.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 28. La Geometría del Universo 28Podemos modelar el espacio tridimensional de Lobachevsky L3 de nuevo a través de:un modelo proyectivoAquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 29. La Geometría del Universo 29o conforme,ambos como el interior de la esfera S 2 en el tres-espacio Euclidiano ordinario E 3.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 30. La Geometría del Universo 30De hecho es la geometría de Lobachevsky L3 la más favorecida por las observaciones.¿ Por qué no somos directamente conscientes de que la geometría de nuestro mun-do espacial está más de acuerdo con la geometría de Lobachevsky que con la deEuclides?La razón es que la magnitud del radio de curvatura del universo espacial es aproxi-madamente del orden de 10; 000; 000; 000 años luz ;y comparada con ella, la medida de cualquier distancia terrestre debe ser consideradaesencialmente in nitesimal.Y la geometría in nitesimal de L3 es euclidiana.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 31. La Geometría del Universo 31Los modelos tridimensionales, S 3 y P 3, análogos a S 2 y P 2, tambien deben ser con-siderados seriamente como modelos de la geometría espacial.Esto porque las observaciones no tienen aún un buen grado de abilidad y la opiniónpodría cambiar de la preferencia actual, a saber L3, a S 3 o P 3.Mencionamos que podemos obtener un modelo (a través de la proyección estereográ- ca) conforme de S 3 al considerar a E 3 junto con un punto extra, unido en el in nito,que representa a N 2 S 3 E 4.Y un modelo proyectivo de P 3 al considerar a E 3 junto con un conjunto de puntos alin nito (P 2, que representan el ecuador de S 3 E 4 identi cado por puntos antípodas,es decir, un punto por cada dirección en E 3).Sin embargo la visualización es más di cil ya que requerimos de 4 dimensiones.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 32. La Geometría del Universo 32Dos nuevas características dignas de notar.La orientabilidadLa pregunta es si un sentido consistente de lateralidad local puede ser de nido sobretodo el espacio.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 33. La Geometría del Universo 33Consideremos la esfera S 2.En cada punto nosotros podemos de nir lateralidad en términos de un sentido derotación en la super cie alrededor de dicho punto.Sin embargo la correspondencia antípodal es incompatible con la preservación de estesentido de orientación.Así P 2 es una super cie no orientable.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 34. La Geometría del Universo 34Un poco en contra de la intuición, P 3 sí es orientable.Es decir, la correspondencia antipodal en S 3 sí es compatible con la orientación.Un habitante de este mundo podría viajar en él y nalmente regresar y no encontraráque su sentido de lateralidad invertido.En general, la identi cación de puntos antípodas en S n, dara un espacio P n orientablesi n es impar y no orientable si n es par.Sin embargo, hay otros espacios 3-dimensionales (no homogeneos) no orientables.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 35. La Geometría del Universo 353 Geometrías Irregulares.Hasta ahora hemos estado ocupados solamente con las geometrías no euclidianasmás simples y simétricas posibles (espacios homogeneos o geometrías de Klein).Sin embargo de acuerdo a la teoría de Einstein estos modelos pueden, a lo más, rep-resentar solo un promedio a escala muy grande de la geometría espacial del universo.Irregularidades locales en la estructura geométrica (“curvatura” local) surgirán en unaescala mucho menor y corresponderán a la presencia de campos gravitacionales lo-cales.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 36. La Geometría del Universo 36En una vecindad inmediata de la super cie de la tierra esta curvatura local tiene unradio de curvatura del orden de la distancia entre la tierra y el sol, 108 millas.Comparando dicho radio de curvatura con el valor aproximado del radio del universo1022 millas, vemos que la curvatura local en nuestra vecindad domina, localmente porun factor de 1014.Sin embargo estas curvaturas son aún muy pequeñas desde el punto de vista de lageometría terrestre y no perturban el empleo preciso de la geometría de Euclides.Incluso en la más extrema situación, en la super cie de una estrella de neutrones, elradio de curvatura es de 100 millas.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 37. La Geometría del Universo 37Estas pequeñas desviaciones de la geometría euclidiana son, de acuerdo a la per-spectiva de Einstein, totalmente responsables de los efectos de la gravedad.Por lo que debemos llegar a entenderlas en algún detalle, si queremos entender cómoactúa la gravedad.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 38. La Geometría del Universo 38¿Cómo daremos una descripción matemática precisa a tales geometrías irregulares,donde las nociones de simetría y congruencia, tan básicas en los argumentos euclid-eanos, están ahora totalmente ausentes?En la solución a este problema se encuentra la esencia de la gemetría diferencial.Una forma que podríamos concebir para proceder sería imaginar el espacio curvo quedeseamos describir encajado como algún tipo de super cie en un espacio euclidianode mayor dimensión.Este procedimiento representa un enfoque más viejo de la geometría diferencial.Pero si, como es el caso con la teoría de la relatividad, estamos interesados con laspropiedades intrínsecas solamente, entonces este procedimiento es más bien indirectoy menos satisfactorio que otros enfoques.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 39. La Geometría del Universo 39Cualquier encaje particular es algo extraño a la geometría en estudio.Ya hemos visto algo así al examinar a L2, S 2 y P 2.Es a menudo difícil para la gente comprender, al principio, que tal espacio de encajees en realidad no necesario.Para hacernos una imagen de un universo curvo uno puede sentir una necesidad deque esté ubicado dentro de algún tipo de fondo plano.¡Así de arraigados están los conceptos euclidianos en nuestras mentes!Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 40. La Geometría del Universo 40Para proceder con un enfoque intrínseco de a la geometría diferencial necesitamos elconcepto matemático de variedad.Este generaliza el concepto de curva o super cie y consiste de un conjunto de “puntos”junto con alguna “estructura local”Los puntos en una variedad son usualmente entidades sin de nir.No hay requerimiento euclidiano de que sean objetos de tamaño in nitesimal, carentesde extensión física.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 41. La Geometría del Universo 41Hay variedades donde los puntos representan objetos nitos con extensión física.Por ejemplo cada punto de la variedad puede representar una locación de un cuerporígido en el espacio euclidiano ordianario E 3.La variedad es llamada el espacio de con guración del cuerpo.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 42. La Geometría del Universo 42Seis parámetros (tres para la posición de su centro de masa y tres para su orientaciónen el espacio) son necesarios para describir la locación del cuerpo.De modo que la variedad que obtenemos es de dimensión 6 (R3 SO3 = R3 P 3).Es no euclideana y está estrechamente relacionada con P 3.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 43. La Geometría del Universo 43El ejemplo anterior es difícil de visualizar ya que es 6-dimensional.Esto no afecta la utilidad del concepto de espacio de con guración.De hecho pueden ser considerados espacios de con guración de dimensiones muchomayores. Una “cajita” diminuta puede contener unas 1018 moléculas de gas. Si lasconsideramos como puntos tendríamos un espacio de con guración de dimensión 3; 000; 000; 000; 000; 000; 000:Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 44. La Geometría del Universo 44Pero podemos dar un ejemplo más simple para jar ideas.El péndulo simple, obligado a moverse en un plano y que gira en torno a un punto, porlo que tiene solo un grado de libertad.El espacio de con guración es de una dimensión y es un círculo S 1.Incluso en este simple caso también es no euclidiano ya que la recta, espacio euclidi-ano de dimensión 1, tiene una topología distinta a la del círculo.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 45. La Geometría del Universo 45Los espacios de con guración no son los únicos que surgen de manera natural enmécanica.Por ejemplo, se pueden incorporar las variables de velocidad o momento a las de laposición.En el caso del péndulo, su momento angular (alrededor del pivote) proporcionaría unanueva variable y el espacio resultante (llamado espacio fase) sería dos dimensional ytendría la topología de un cilindroAquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 46. La Geometría del Universo 463.1 Estructura Topológica de una variedadLa topología de un espacio proporciona una manera de decir que puntos están muycerca uno del otro y cuales no.Cuales suceciones de puntos aproximan a otros inde nidamente.Nos proporciona una manera de decir si una curva dibujada en el espacio es continuaPero no proporciona una distinción entre una curva suave o una que tenga picos.Tampoco nos provee de un concepto de longitud a lo largo de una curva.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 47. La Geometría del Universo 47La Topología nos dice como es la estructura de continuidad del espacio, pero no comoes la de la suavidad o la de los tamaños.Así la super cie de un cubo y la de S 2 tienen la misma topología.Pero no así un toro y S 2 o P 2 o S 3.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 48. La Geometría del Universo 48Un espacio topológico es una variedad topológica n dimensional si la topología en unavecindad de cada punto es la misma que en el espacio euclidiano n-dimensional E n:L2; S 2; P 2 son variedades de dimensión dos, S 1 y S 3 son variedades de dimensión unoy tres.Así, podemos imaginar que pegamos juntos un numero de pedazos de E n para formaruna variedad M .Las reglas del pegado pueden ser dadas de manera intrínseca, sin hacer referencia alespacio ambiente.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 49. La Geometría del Universo 49Debemos tener pegado al pegar, para que el espacio resultante no tenga hojas oramas y así obtengamos lo que se llama una variedad de Hausdorff.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 50. La Geometría del Universo 50Aunque no deseamos la estructura de la distancia euclidiana de cada pedacito deE n, la estructura topológica es, por sí misma, muy debil para soportar la geometríadiferencial.Lo que necesitamos es una estructura diferenciable para la variedad M .Tal estructura diferencial puede pensarse como una manera de especi car si una unafunción (real valuada) en M puede ser considerada como “suave” o no.Así el punto clave de asignar una estructura diferenciable a una variedad M is queesto permite aplicar las ideas del cálculo a M . Para ello un cierto tipo de álgebra, elálgebra tensorial debe ser desarrollada.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 51. La Geometría del Universo 514 Vectores y Tensores.Una manera de proceder es introduciendo coordenadas en la variedad.Esto implica etiquetar de una manera suave, los puntos de una n-variedad M , a travésde n-adas de números x1; x2; :::; xn reales (los superíndices no son potencias de x;solo distinguen una coordenada de otra).Es posible que no podamos etiquetar a todos los puntos de M a la vez.Por ejemplo, puede surgir algún punto problemático al cuál no le podemos asignar unaetiqueta de manera bonita.En los casos de S 2; P 2; S 3; P 3 (y en general), es la topología quien evita este sistemade coordenadas globalAquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 52. La Geometría del Universo 52El procedimeitno en tales casos es cubrir la variedad con parches de sistemas coor-denados que se solapan, de tal manera que cada punto permanece en algún parche.Los puntos que se encuentran en más de un parche tienen asignadas varias etiquetas(conjunto de coordenadas o n-adas de números), de modo que debemos tener undiccionario para traducir las etiquetas de un parche en las del otro.Es decir debemos tener transformaciones entre los conjuntos de coordenadasDe esta manera podemos proporcionar un etiquetado a todos los puntos del la var-iedad.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 53. La Geometría del Universo 53Esta introducción de un sistema coordenado no precisa las cosas de nitivamente co-mo uno podría pensar.Ya que el sistema de coordenadas es arbitrario en la mayoria de los casos.Algunas veces (como en el caso de las coordenadas cartesianas en el espacio euclid-iano) algunos tipos particulares de coordenadas parecen ser más “naturales”.Pero en general, cuando M esta curvada en una manera arbitraria, tiende a ser in-coveniente tratar de destacar sistemas de coordenadas “naturales”.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 54. La Geometría del Universo 54En lugar de eso, uno pregunta por propiedades de la variedad M que pueden serdeterminadas igual de bien en cualquier sistema de coordenadas seleccionado.Puede ser sorprendente al principio que dichas propiedades independientes de lascoordenadas existan de manera absoluta.Pero esto es así y todo el enfoque clásico a la geometía diferencial descansa en esto:Las coordenadas son introducidas en el formalismo solo para ser eliminadas de nuevo,como irrelevantes, de aquellas cantidades con las cuales uno esta nalmente intere-sado.Es mucho lo que es ingenioso o poderoso en este enfoque, pero es a menudo compli-cado.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 55. La Geometría del Universo 55Más recientemente, debido en gran parte a Elie Cartan (1869-1951), un enfoque librede coordenadas más económico ha evolucionado, y conduce directamente al requeri-do cálculo de “propiedades independientes de las coordenadas”.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 56. La Geometría del Universo 56La idea es introducir una jerarquía objetos y operaciones que forman un tipo de álgebrao cálculo, a veces llamado el cálculo diferencial absoluto.Los objetos más primitivos son las funciones suaves o campos escalares.Una función es considerada suave si cuando es expresada en términos de coorde-nadas es diferenciable (en el sentido del cálculo ordinario) como función de estascoordenadas.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 57. La Geometría del Universo 57A continuación introducimos objetos llamados campos vectoriales, covectoriales, ten-soriales y conexiones.En el enfoque clásico los sistemas de coordenadas son llamados una y otra vez parade nir cada nueva clase de objetos en términos de propiedades de transformacionesde sus descripciones explícitas cuando los sistemas de coordenadas son cambiados.La economía del enfoque libre de coordenadas es que no necesita mencionar más alos sistemas de coordenadas una vez que se ha introducido el concepto de funciónsuave.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 58. La Geometría del Universo 584.1 Campos VectorialesPara imaginar un campo vectorial V (o campo vectorial contravariante en la termi-nología vieja) como un campo de echas en M .Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 59. La Geometría del Universo 59En el punto de vista moderno, V es interpretado como un operador diferencial, que esuna función que actúa en un campo escalar para producir un nuevo campo escalarV ( ).El valor V ( ) en el punto p es la razón de incremento de en p en la dirección indicadapor la echa en p:El conjunto de todos los posibles vectores (o echas) en el mismo punto p de Mconstituyen el llamado espacio tangente TP a M en p.Aunque la variedad M se “curve”, el espacio tangente TP es plano, es decir, es unespacio vectorial de dimensión n.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 60. La Geometría del Universo 60En términos de un sistema coordenado para M , el vector V , en p, puede ser especi- cado en términos de n números reales V 1; :::; V n: @ @ @ V =V1 + ::: + V n n = V i i x1 x x @ @ @ V ( )=V1 + ::: + V n n = V i i ; x1 x xllamados sus componentes en p. @ @En otras palabras V 1; :::; V n, son las coordenadas de V respecto a la base x 1 ; :::; xnde TP .Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 61. La Geometría del Universo 61Sin embargo TP no debe ser considerado (al menos en los casos más generales) comoun espacio euclidiano E n.La razón para esto es que el concepto de distancia euclidiana entre puntos de TP , esdecir, la distancia OV que, por el teorema de pitágoras (en n dimensiones), debe estardada por 2 OV 2 = V 1 + ::: + (V n)2 ;no es invariante bajo cambios de coordenadas en M .A pesar de lo anterior, es posible imponer estructura adicional en M que suministre talconcepto invariante de distancia euclidiana en cada TP . Para ello necesitamos mirarun poco más lejos en el cálculo diferencial absolutoAquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 62. La Geometría del Universo 624.2 Campos Covectoriales (1-Formas Diferenciales)Un campo covectorial (o campo vectorial covariante en la vieja terminología) puede serpensado, de acuerdo al enfoque libre de coordenadas, como una cierto tipo de función(llamada una función lineal) que toma un campo vectorial V en un campo escalarA (V ).Una imagen aproximada de un campo covectorial es un campo de elementos planos(hiperplanos (n 1)-dimensionales en Tp) en M . El elemento plano es el conjunto devectores V en Tp para los cuales A (V ) = 0.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 63. La Geometría del Universo 634.3 Campos TensorialesAhora procedemos al concepto general de campo tensorial en M (del cual son casosparticulares los campos vectoriales y covectoriales ya mencionados), el cual puede servisto como un tipo similar de mapeo (llamado multilineal) de colecciones de vectoresy covectores a escalares (o tambien a vectores, covectores, o otros tensores, si sedesea).Quizas el tipo más importante de campo tensorial es el que de ne la estructura deuna variedad riemanniana (nombrada después de que el gran matemático alemanBernhard Riemann (1826-1866), quien, siguiendo el importante trabajo de Gauss enel caso de dos dimensiones, virtualmente inició el tema de la geometría diferencial)Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 64. La Geometría del Universo 64Este tensor es llamado el tensor métrico g y puede ser visto como un mapeo bilinealque toma parejas de campos vectoriales U; V en campos escalares g (U; V ). y quesatisface además dos condiciones adicionales: g es un tensor simétrico, g (U; V ) = g (V; U ) g es de nido positivo, g (V; V ) > 0, a menos de que V = 0.En términos de un sistema coordenado g es representado por un arreglo cuadrado g11U 1V 1 +:::+ g1nU 1V n g (U; V ) = . . . . . . = gij U iV j gn1U nV 1 +:::+ gnnU nV nde n n componentes @ @ gij = g ; i xj : xAquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 65. La Geometría del Universo 65El signi cado geométrico de g es que realmente da una estructura métrica euclidianaa cada espacio tangente TP .Recordamos que la expresión 2 OV 2 = V 1 + ::: + (V n)2no daba una estructura métrica a TP ya que depende de las coordenadas elegidas.Sin embargo la expresión g (V; V ) puede ser usada en su lugar: OV 2 = g (V; V ) = gij V iV jSu valor es independiente del sistema de coordenadas porque la cantidad g (U; V ) (enel enfoque libre de coordenadas) no hace referencia a las coordenadas.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 66. La Geometría del Universo 66Se puede mostrar que esta nueva de nición de la distancia de OV satisface todaslas propiedades que una “distancia a partir del origen” euclidiana ordinaria tiene quesatisfacer en un espacio vectorial.Esto se sigue de un teorema clásico que establece que un sistema coordenado puedeser siempre escogido de tal manera que en un punto p particular, las componentes gijson cero para i 6= j y la unidad para i = j .La expresión gij V iV j es entonces igual a la suma de cuadrados pitagórica y laspropiedades requeridas son satisfechas.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 67. La Geometría del Universo 67En términos geométricos, la asignación de tal estructura riemanniana signi ca la asignaciónde un concepto particular de distancia entrecualquier par de puntos p y p0 in nitesimal-mente separados.Por lo tanto, encadenando tales parejas de puntos conjuntamente en una curva suave(en el límite) obtenemos un concepto de distancia medida a lo largo de la curva.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 68. La Geometría del Universo 68La idea anterior es equivalente a Z bp g (V; V )dt adonde V es el vector velocidad de una parametrización de la curva.También el concepto de euclidiano de ángulo es recuperado a partir de la métrica: g (U; V ) cos = p : g (U; U ) g (V; V )Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 69. La Geometría del Universo 69El concepto de longitud de la curva en M de ne completamente la estructura rieman-niana en M : ambas son equivalentes.Por otro lado el concepto de ángulo no de ne enteramente la estructura riemanniana(ya que g 0 = kg arroja el mismo valor del ángulo), sin embargo de ne algo más debilque se llama estructura conforme.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 70. La Geometría del Universo 70Recordemos las representaciones conformes de L2 y de S 2 en E 2.Estos son ejemplos en los cuales un espacio riemanniano (L2 o S 2) es mapeado enotro (E 2) con diferente estructura riemanniana (así las distancias no son elmenterepresentadas) pero donde la estructura conforme es preservada en cada caso (asílos ángulos sí son elmente representadas).Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 71. La Geometría del Universo 715 CurvaturaUna variedad riemanniana es algo que localmente se parece a un espacio euclidianoen el sentido de que en cada espacio tangente está dada una estructura euclidiana.El espacio euclidiando E n es un ejemplo particular de una variedad riemanniana.Tambien lo son los espacios no euclidianos Ln; S n; P n; así como los más generalesespacios irregulares en los que estamos interesados ahora.Las desviaciones de la geometría euclidiana pueden ser descritas, en una escala local,en términos de un cierto campo tensorial R conocido como el tensor de curvatura (deRiemann-Christoffel).Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 72. La Geometría del Universo 72El signi cado geométrico del tensor R es mejor entendido en términos de cierta op-eración llamada derivada covariante, denotada por r.Una noción introducida primero por Elwin Christoffel (1829-1900) y estudiada comouna operación por Tullio Levi-Civita (1873-1841).La operación r lleva un campo tensorial en otro ligeramente más complicado deno-tado por r , que mide la razón en la cual está cambiando. (campos escalares,vectoriales y covectoriales son casos particulares de tensores, así que r también seaplica en ellos).Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 73. La Geometría del Universo 73La operación r, como fue introducida inicialmente por Christoffel, es algo que surgede manera única y notable una vez que una estructura riemanniana ha sido asignadaa la variedad M .Pero Levi-Civita mostró como r podía ser de nida e interpretada (aunque no de man-era única) aún sin una estructura métrica en M .Tal asignación de una derivada covariante r en M convierte a M en una variedad conuna conexión.Pero no toda variedad con una conexión es riemanniana. Este es solo un caso espe-cial, aunque importante.Otro caso especial importante es el pseudo-riemanniano, que necesita la relatividad.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 74. La Geometría del Universo 745.1 Transporte paraleloPara entender el signi cado geométrico de la derivada covariante r (o de la conexión)y de la curvatura, nosotros podemos pensar en términos de un cocepto esencialmenteequivalente: el transporte paralelo.Supongamos que es una curva suave en M , y sea el vector U tangencial a a lolargo de ella.Una operación rU esta de nida por la conexión y es llamada la derivada covariantecon respecto al vector U que mide la razón de cambio de cualquier campo tensoriala lo largo de la curva .En especial si es un campo escalar , este es el vector U , es decir, rU = U ( ).Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 75. La Geometría del Universo 75Ahra de nimos transporte paralelo de a lo largo a través de la condición rU = 0,que signi ca que el “ritmo de cambio” del tensor a lo largo de la curva es cero.Ahora supongamos que el es un vector tangente V a lo largo de .El transporte paralelo de V de ne un sistema de “direcciones paralelas”, una en cadaespacio tangente a M a lo largo de .Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 76. La Geometría del Universo 76La gran diferencia en el transporte paralelo de vectores respecto al caso euclideo.Si es una curva cerrada, el vector que resulta de transportar paralelamente a U a lolargo de toda la curva, ahora puede ser distinto del inicial. El vector queda rotado (enuna conexión riemanniana arbitraria) respecto del inicial.Si hacemos eso con cada vector encontramos que hay una misma rotación entre losvectores iniciales y nales.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 77. La Geometría del Universo 775.2 Ejemplo en la esfera.Tomemos un triángulo con lados “rectos” en S 2.Ahora el transporte paralelo de V a lo largo de la curva no corresponde con eltransporte paralelo usual en E 3 ya que V debe permanecer siempre tangente a S 2.¡Al volver al punto inicial el vector transportado paralelamente está girado respecto delinicial un ángulo que coincide con el área del triángulo!Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 78. La Geometría del Universo 78El hecho de que el transporte paralelo dependa de la trayectoria es una manifestaciónde que hay curvatura.La curvatura es descrita cuantitativamente a través del tensor de curvatura R.Podemos considerar al tensor R como un mapeo que toma tres vectores X; Y y V enun cuarto vector en TP : W = R (X; Y ; V )Donde W (adecuadamente escalada) representa la diferencia entre el estado inicial y nal del vector transportado a lo largo de un pequeño paralelogramo cuyos lados songenerados por X y Y .Así R mide una discrepancia in nitesimal que resulta de transportar paralelamente alo largo de paralelogramos in nitesimales.La de nición analítica del tensor de curvatura: R (X; Y ; V ) = rX rY V rY rX V r[X;Y ]VAquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 79. La Geometría del Universo 795.3 GeodésicasDe nimos ahora las geodésicas que el ánalogo natural a las rectas euclidianas en unavariedad M con una conexión r.Una geodésica es una curva en M cuyos vectores tangentes U , en puntos diferentesde la curva, están relacionados uno con el otro a través del transporte paralelo.Es decir si transportamos paralelamente el vector tangente de un punto de la curva aotro, en el camino, dicho transporte coincide con los vectores velocidad de la curvaPara cada vector U en Tp hay una única geodésica por p con vector velocidad U .Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 80. La Geometría del Universo 80Hemos discutido curvatura y geodésicas a partir de la conexión r:El concepto de geodésica también puede surgir dirctamente de la métrica g .Podemos de nir una geodésica que conecta dos puntos p y q (cercanos) como la curvaque va de p a q de longitud riemanniana mínima.Esta de nición concuerda con la dada a partir de una conexión, cuando esta última esescogida correctamente, es decir, cuando es la conexión que surge de la métrica.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 81. La Geometría del Universo 81Es un hecho notable de la geometría riemanniana que la conexión r que surge de lamétrica se determina de manera única si se piden dos requisitos:1) Que la longitud de un vector transportado paralelamente permanesca constante(rg = 0).2) Que la conexión sea libre de torsión.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 82. La Geometría del Universo 82En términos geométricos la condición de que r no tenga torsión signi ca lo siguiente:Para un observador que viaje a lo largo de una geodésica en un marco de referenciaparalelo, las geodésicas vecinas “paralelas” podrán conservar su dirección o no.En el primer caso no hay torsiónEn el segundo si lo hay.La torsión juega un papel importante en la teoría de Einstein-Cartan, que es una for-mulación alternativa de la teoría de la relatividad general.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 83. La Geometría del Universo 836 Espacio-Tiempo.La geometría riemanniana es una parte importante de la geometría diferencial, peroes solo una parte.Hay otros tipos de estructuras locales que pueden ser de nidos y que dan lugar ageometrías alternativas ricas e interesantes.Una alternativa (aunque di ere poco del caso riemanniano) es la geometría pseudo-riemanniana de la teoría de la relatividad e Einstein.Para apreciar la naturaleza de dicha geometría recordemos algunos principios básicosde relatividad especialAquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 84. La Geometría del Universo 84Espacio y tiempo son combinados juntos para formar una imagen 4-dimensional delmundo, el espacio tiempo de Minkowski M 4.Hermann-Minkowski(1864-1909), profesor de Einstein, fue quien presentó la inter-pretación geométrica del espacio-tiempo de la relatividad especial de Einstein.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 85. La Geometría del Universo 85Este espacio puede ser descrito en términos de 4 coordenadas t; x; y; z , donde t esuna coordenada de tiempo y x; y; z son coordenadas cartesianas espaciales.Escogeremos las unidades de modo que la velocidad de la luz sea c = 1Las unidades de tiempo y espacio son intercambiables 1 segundo = 299; 792; 458 metros 1 año = 1 año luzAquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 86. La Geometría del Universo 86El cono (¡3-dimensional! contenido en M 4) de luz del origen es el lugar geométrico depuntos que satisfacen la igualdad t2 = x2 + y 2 + z 2Cono de luz futuro (dado cuando t > 0) representa la historia de un pulso de luzesférico viajando hacía afuera desde un destello inicial en el centro en t = 0.Cono de luz pasado (t < 0) que es la historia de un pulso de luz esférico que convergehacia el centro en t = 0.Podemos pensar que la luz se propaga como partículas, llamadas fotones; entonceslos generadores del cono de luz (líneas rectas sobre el cono) representan las historiasAquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 87. La Geometría del Universo 87(o líneas de universo) de fotones individuales del destello de luz.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 88. La Geometría del Universo 88Una partícula con masa, sin embargo, debe viajar siempre con una velocidad menorque la velocidad de la luz.La líneas de universo de una partícula masiva libre emitida en el mismo evento explo-sivo que produce los fotones será una línea recta desde el origen O contenida en elinterior del cono de luz futuroSu inclinación sera menor a 45 respecto al eje del tiempo (para una partícula sin masaserá de 45 ).Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 89. La Geometría del Universo 89Una partícula masiva en un movimiento que no sea libre tendrá una línea de universocuyos vectores tangentes estarán, en cualquier punto, inclinados menos de 45 respec-to al eje del tiempo.Es decir, en cualquier punto estan contenidos dentro del cono local de luz.Tal línea de universo es llamada de tipo temporal.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 90. La Geometría del Universo 90El espacio de Minkowski M 4 tiene una geometría natural que es pseudo-euclidiana enlugar de euclidiana.La distancia minkowskiana OQ desde un punto Q, con coordenadas t; x; y; z , al origenestá dada por OQ2 = t2 x2 y2 z 2;que di ere de la expresión euclidiana para el espacio euclidiano E 4.Notamos que OQ2 = 0 si Q está contenido en el cono de luz.OQ2 > 0 si Q está dentro del cono de luz.OQ2 < 0 si Q está en el exterior del cono de luz.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 91. La Geometría del Universo 91El signi cado de esta “distancia” OQ es que (para Q en el cono o dentro de él) mideel intervalo de tiempo experimentado entre dos eventos O y Q, por un reloj cuya líneade universo es la línea recta OQ.Hay un resultado correspondiente para líneas de tiempo que no pasen por O. Si elpunto R 2 M 4 tiene coordenadas t0; x0; y 0; z 0, entonces la distancia de Minkowski RQesta dada por 2 2 2 RQ2 = (t t0)2 (x x0) + (y y 0) + (z z 0) :Tenemos que RQ2 > 0 si Q está dentro del cono de luz de R y RQ mide el intervalode tiempo experimentado por un reloj en movimiento libre de R a Q.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 92. La Geometría del Universo 92El hecho de que la medida de tiempo concuerde con tal expresión en lugar de ladiferencia de tiempo newtoniana absoluta t t0es clave para la relatividad especial.Tiempo es lo que mide la “distancia” de la geometría de Minkowski.Asi como la distancia ordinaria euclidiana depende de la curva que une un par depuntos, la medida del tiempo a lo largo de una curva de tipo temporal (que une un parde puntos en M 4) depende de la trayectoria.Si R y Q son dos puntos del espacio tiempo conectados por barias curvas de tipotemporal, entonces el intervalo de tiempo entre R y Q diferirá, en general, a lo largo dediferentes curvas.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 93. La Geometría del Universo 93Aunque esto parece extraño al principio, hay que notar que hay un abrumador soporteexperimental para el caracter no absoluto del tiempo. Por ejemplo:Medidas precisas de tiempo hechas en avionesTiempos de vida de partículas de rayos cósmicos creados en la atmosfera.Comportamiento de partículas en aceleradores de altas energías.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 94. La Geometría del Universo 94Estamos familiarizados con la el hecho de que la distancia euclidiana ordinaria es unconcepto que depende de la trayectoria.Pero nuestras intuiciones acerca del tiempo son construidas a partir de experienciasen las cuales el efecto es muy diminuto porque las velocidades ordinarias son muypequeñas comparadas con la de la luz.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 95. La Geometría del Universo 95En geometría euclidana, la trayectoria recta RQ es aquella a lo largo de la cual ladistancia es mínima.En la geometría minkowskiana , de entre todas las curvas de R a Q la línea de universorecta (no acelerada) tiene máxima longitud.Es decir el reloj de un observador que viaja a lo largo de dichas curvas marcaría másen la línea de universo recta.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 96. La Geometría del Universo 966.1 Paradoja de los gemelosEsto está relacionado con la paradoja de los gemelos de relatividad especial.Dos gemelos empiezan y terminan en los puntos R y Q del espacio tiempo. Uno deellos permanece no acelerado en su planeta hogar y el otro viaja a una velocidadcompable a la de la luz a un planeta distante S para después volver a casa. Al volver acoincidir en Q, encuentran que el viagero ha envejecido menos que el que permanecióen su hogar.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 97. La Geometría del Universo 97El tiempo del que se queda en casa es justo RQ, y deberá ser mayor que aquel medidoa lo largo de la línea de universo no recta del viajero.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 98. La Geometría del Universo 986.2 Relatividad GeneralEl espacio de Minkowski, una 4 variedad plana (sin curvatura), es ahora reemplazadopor una 4-variedad curva M .Así como una variedad riemanniana cerca de un punto se parece a un espacio euclid-iano, su espacio tangente dotado de un producto escalar simétrico y de nido positvo.La variedad M cerca de un punto se parece a un espacio de Minkowski, su espaciotangente y ahora estará dotado de un producto escalar simétrico al que no le pedire-mos que sea de nido positivo (gp (V; V ) > 0 a menos que V = 0).Este nuevo tensor g de nido sobre M no es riemanniano y pertenece a una clase másamplia la de tensores métrico pseudo-riemanianos.En el caso especial que nos ocupa el tensor métrico pseudo-riemanniano (de signatura(1,3) es del tipo de lorentziano (físico holandes Hendrik Antoon Lorentz 1853-1938).Ahora en cada punto p 2 M podemos escoger un sistema de coordenadas tal que enTP la forma en componentes de 2 2 2 2 g (V; V ) = OV 2 = V 0 V1 V2 V3Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 99. La Geometría del Universo 99se reduce a la expresión minkowskiana standard.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 100. La Geometría del Universo 100Los vectores en TP que anulan a g de nen un cono, llamado el cono nulo en p.Vectores para los cuales g (V; V ) > 0, son llamados de tipo tiempo y son los posiblesvectores tangentes para líneas de universo para partículas con masa.Vectores para los cuales g (V; V ) = 0, son llamados nulos y pueden ser tangentes alas líneas de universo de fotones.Vectores para los cuales g (V; V ) < 0, son llamados de tipo espacio y no son permitidoscomo tangentes a líneas de universo de partículas físicas.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 101. La Geometría del Universo 101Como en un espacio riemanniano, una medida de longitud está de nida, pero ahora alo largo de líneas de universo de tipo tiempo o nulas solamente.Está longitud mide el tiempo experimentado por una partícula que tiene a la curvacomo su propia línea de universo.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 102. La Geometría del Universo 102Los conos nulos en los diversos puntos del espaciotiempo M proporcionan la partemás importante de su estructura.Ellos son de nidos por la métrica g salvo un factor de proporción y constituyen laestructura conforme de M .Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 103. La Geometría del Universo 1036.3 Relaciones CausalesLa importancia principal importancia física de los conos nulos es que ellos de nen lasrelaciones causales entre los puntos del espacio tiempo.Si un punto p puede ser conectado con otro punto q por medio de una linea de universonula futura o de tipo tiempo, entonces es posible para una señal llegar de p a q . Perono de otra manera.Y es precisamente la estructura de conos de luz quien determina cuales son estascurvas.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 104. La Geometría del Universo 1046.4 Modelos con líneas de universo de tipo tiempo cerradas.En una variedad lorentziana general M , las relaciones causales pueden diferir grande-mente de la situación en el espacio de Minkowski.Incluso es posible construir modelos con líneas de universo de tipo tiempo que formencurvas cerradas en M .Pero tales modelos están normalmente excluidos del terreno de la física ya que en taluniverso sería en principio posible para un astronauta viajar (o enviar señales) en supropio pasado, lo que conduce a la posibilidad de situaciones paradójicas.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 105. La Geometría del Universo 1056.5 Un agujero negroUn ejemplo de un modelo de espacio-tiempo con propiedades causales inusuales einteresantes (aunque no paradójicas) es aquel que representa un colapso gravitacionala un agujero negro.La teoría física predice que el punto nal de la evolución de una estrella masiva (de,digamos, 20 masas solares) sería un agujero negro.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 106. La Geometría del Universo 106La característica mas notable de este modelo es la presencia de una 3-variedad delespacio-tiempo (que lo divide en dos regiones una interior y la otra exterior) cuyo nom-bre es horizonte de eventos absoluto, con la propiedad de que señales de partículasemitidas adentro no pueden escapar al mundo exterior.Señales o partículas pueden, sin embargo, pasar del exterior del horizonte al interiorAquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 107. La Geometría del Universo 107La materia colapsada para formar el agujero negro, no puede por si misma comunicarseñales hacia el exterior una vez que cae dentro del horizonte.Esta materia cae hacía la vecindad del centro, en donde encuentra una singularidaddel espacio-tiempo, donde la magnitud de la curvatura del espacio tiempo tiende ain nito!Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 108. La Geometría del Universo 108Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 109. La Geometría del Universo 1097 Ecuaciones de Einstein.g determina una conexión libre de torsión en M .Tenemos una noción de geodésicas del espacio-tiempo y de un tensor de curvaturaR.Hipótesis de la teoría que las partículas que caen libremente bajo el efecto de lagravedad tienen líneas de universo que son geodésicas del espacio-tiempo.(La base física de lo anterior es el principio de equivalencia de Einstein)Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 110. La Geometría del Universo 110Un astronauta en órbita alrededor de la tierra sigue una geodésica del espacio-tiempo.Sentimos fuerzas por el hecho de no seguir geodésicas del espacio-tiempo. El pisonos está apartando continuamente de una trayectoria geodésica.La tierra puede ser considerada como una partícula con una línea de universo que esuna geodésica del espacio tiempo alrededor del sol.¿Cómo puede ser detectada la gravedad, si sus efectos pueden ser localmente elimi-nados?La respuesta está en el fenómeno de desviación geodésica.Los cuerpos (con extensión espacial) en caida libre si pueden localmente detectar losefectos de la gravedad.Hay ligeras diferencias entre los movimientos de partículas vecinas y estos movimien-tos relativos pueden ser detectados localmente.Estos pequeños efectos pueden ser acumulados en grandes volumenes y llegar a sersustanciales.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 111. La Geometría del Universo 111Imaginemos un observador en caida libre en el campo de la tierra.En el momento inicial está rodeado de esfera de partículas en reposo respecto a él.Las partículas más cercanas a la tierra se aceleran más.Partículas a la misma distancia se acercan ligeramente al observador.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 112. La Geometría del Universo 112Así que relativo al observador hay una ligera distorción en la esfera, que empieza aacelerar de manera desigual a su alrededor.En la óptica de Newton, el volumen del elipsoide se preserva ya que no encierrafuentes de gravedad.Si hay fuentes de gravedad encerradas, entonces el volumen disminuye.Pensar en un observador en el centro de la tierra y en la esfera de partículas en lasuper cie de la tierra.El efecto en el volumen, es de hecho una forma de establecer la ley de Newton de lagravedad.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 113. La Geometría del Universo 1137.1 El paso a la relatividad. El cambio en el volumen ahora sera proporcional no solo a la masa rodeada (en el sentido masa-energía), sino tambien la suma de esta con la suma de las presiones (en tres direcciones perpendiculares). Aunque este último efecto es muy pequeño en “circunstancias normales” (puede tener efecto solo si la materia rodeada se mueve a velocidades cercanas a la de la luz). Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 114. La Geometría del Universo 114Tenemos un haz de geodésicas del espacio tiempo que empiezan paralelas una a laotra, pero donde se introducen distorciones a medida que avanzamos a lo largo de lasgeodésicas.Las geodésicas circundantes empiezan por ser equidistantes del rayo central, perodespués de poco tiempo las aceleraciones relativas entre las geodésicas empiezan amostrar sus efectos.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 115. La Geometría del Universo 115Hay una fórmula llamada la ecuacuación de Jacobi (o ecuación de desviación geo-désica) que relacion la aceleración relativa con el tensor de curvatura.Si T es el vector tangente a la geodésica y V conecta un punto en el rayo central conuno vecino, entonces la aceleración de V viene dada por (rT )2 V = R (T; V ; T ) :Cuando hay curvatura dos geodésicas que inicialmente son paralelas dejan de serloal ir avanzando.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 116. La Geometría del Universo 116La ecuación de Jacobi nos dice que la distorción de marea es una medida directa dela curvatura del espacio-tiempo.Entoces la distribución de masa-energía-presiones altera los volúmenes que a su veznos dan una medida de la curvatura del espacio-tiempo. Esa es la idea que encierranlas ecuaciones de campo de Einstein. 1 k Rij = 8 G Tij Tk gij ; 2donde Rij son las componentes del tensor de Ricci, G es la constante gravitacional yTij son las comopnentes del tensor de energía momento.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 117. La Geometría del Universo 117 FIN Gracias a todosAquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 118. La Geometría del Universo 118Radio de curvatura de una variedad con frontera M se de ne como 1 = IImax + II maxdonde IImax = sup kIIkx y II max = sup II x x2M x2@Mson los supremos de las normas (el máximo de las segundas formas evaluadas en lasesferas de los respectivos espacios tangentes) de las segundas formas fundamentalesde M y @M , respectivamente. El radio de curvatura nos dice que tanto la variedad My su frontera @M están curvadas con respecto al espacio ambiente Rd.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.
  • 119. La Geometría del Universo 1198 Nuevas Direcciones.Aquelarre Matemático, Facultad de Ciencias-Instituto de Matemáticas, UNAM.

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