Unidad didactica funcion cuadratica

FUNCIÓN CUADRÁTICA Son diversas las situaciones que has podido analizar, en niveles anteriores, utilizando expresiones matemáticas y más específicamente a través de la expresión que define la función lineal con la cual lograste por ejemplo calcular el costo final de un producto determinado sabiendo sus costos fijos y variables, o también transformar grados Fahrenheit en Celsius y viceversa. Pero existen otras situaciones o fenómenos que no se pueden resolver mediante funciones lineales. PorPara transformar de grados a ejemplo analizar el lanzamiento de una piedra o también si tenemosFahrenheit y viceversa una lámina de acero, ¿cómo podemos determinar los valores queutilizaste esta igualdad. debemos considerar para construir una caja que tenga la mayor C F − 32 capacidad? Incluso, conociendo las propiedades de la luz, ¿qué forma = debe tener un instrumento para aprovechar mejor la luminosidad? Para 100 180 dar respuesta a estas inquietudes debemos utilizar un nuevo tipo de función. La función cuadrática.Definición:Una función cuadrática de valores reales, f :  →  , es de la forma f ( x) = ax 2 + bx + c , dondea , b , c ∈  y a ≠ 0 . Los valores a , b , c son constantes y se llaman coeficientes numéricosde la función cuadrática.Observa que: 1. Si a = 0 , al reemplazar se obtendría f ( x= bx + c , es decir, una ecuación lineal (recuerda ) que la ecuaciones lineales las estudiaste en niveles anteriores y la forma obtenida se llama ecuación afín). 2. Se exige que a ≠ 0 . Nada se dice de b y c , excepto que sean constantes reales.Ejemplo 1. f ( x) = 2 x 2 + 3 x + 2 es una función cuadrática donde a = 2 , b = 3 , c = 2 . 2. h( x= ( x + 2 ) es una función cuadrática. En efecto, aplicando el desarrollo 2 ) del binomio, tenemos ( x + 2 ) = x 2 + 4 x + 4 , es decir, h( x) = ( x + 2 ) = x 2 + 4 x + 4 . 2 2Ejercicios 1. Dadas las siguientes ecuaciones, identifica los coeficientes numéricos de la función. 2 2 1 a. f ( x) = 6 x 2 + 2 x + 1 b. g (= ( 2 x − 1) c. h( x= x +x− 2 x) ) 3 4 2. Dados los siguientes coeficientes, determina la función cuadrática. a. a = 2 , b = 2 , c = 6 b. a = −7 , b = 5 , c = 0 c. a = 4 , b = 0 , c = 0Habilidad:Item 1: ReconocerItem 2:Representar

Esta función nos ayuda a modelar, o representar en forma general, una situación o fenómeno que senos presente. Pero antes de presentar sus aplicaciones, debemos conocer más sobre esta función.REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA. Toda función de valores reales tiene una representación gráfica. La función lineal, por ejemplo, representa gráficamente una línea recta. Así, dada una función lineal para determinar su gráfico consideramos elementos que identificamos de la propia función, por ejemplo la pendiente y la coordenada que corta al eje Y . También podemos generar una tabla de valores y obtener los valores de x y de y . Por otro lado si nos presentan el gráfico de una función lineal podemos determinar la función que lo representa.La función cuadrática, por su parte, representa gráficamente una parábola. Pero dada una funcióncuadrática, ¿cómo podemos graficarla? ¿Podemos ocupar una tabla de valores para graficarla? Y porotro lado, si nos presentan el gráfico de una parábola ¿podemos determinar la función que lo genera?Debes considerar que una recta queda definida por solo dos puntos, pero una curva no puededeterminarse por dos puntos, por lo tanto, realizar una tabla de valores para poder graficar unaparábola no es muy recomendable. Sin embargo, dada una función cuadrática y utilizando elementosque identificaremos a continuación, que se desprenden de los coeficientes de la función, podrásdeterminar su gráfico.Luego, como identificarás estos elementos, podrás, dado un gráfico, determinar la función que logenera.Debes saber que:Aunque te pueden parecer que una cadena o una cuerda colgando representan unaparábola, el gráfico que representa esta situación, se llama catenaria y la funciónque lo genera no es una función cuadrática.La demostración que la curva seguida por una cadena no es una parábola fuedemostrado por Joachim Jungius (1587-1657) y publicado póstumamente en 1669.Debes recordar que: El significado geométrico de una función es que para cada valor que toma x en el eje X o eje de las abscisas, f ( x) toma un valor en el eje Y o eje de las ordenadas. Por lo que puedes considerar f ( x ) = y . Luego el par ordenado es ( x, y ) = ( x, f ( x ) )

ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICAI. CONCAVIDADUno de los valores que nos entrega información en la función f ( x) = ax 2 + bx + c es el coeficiente a .Este valor es de gran importancia, ya que su signo nos indicará hacia dónde se abre la parábola. Elconcepto que encierra esta idea se llama concavidad. De esta manera: A. Si a es positivo ( a > 0 ) entonces la función f ( x ) = ax 2 + bx + c representa una parábola cóncava hacia arriba. Gráficamente, si a > 0 , la parábola tiene la siguiente forma: B. Si a es negativo ( a < 0 ) entonces la función f ( x ) = ax 2 + bx + c representa una parábola cóncava hacia abajo. Gráficamente, si a < 0 , la parábola tiene la siguiente forma:EjemploDada la función f ( x ) = 2 x 2 + 5 x − 3 , podemos decir lo siguiente:a = 2 , b = 5 , c = −3 y como a= 2 > 0 , entonces la parábola que representa escóncava hacia arriba.Ejercicios 1. Dadas las siguientes ecuaciones, identifica los coeficientes a , b y c e indica su concavidad. 1 2 3 x + 3 x −  − ( x 2 + 4 x − 1) 1 a. f ( x) x 2 − 4 x = b. g ( x) =x − 4 − c. h( x=  2 ) 2 2 5 5 2 d. m( x)= 4 − e. t ( x) =( x − 3) + 2 x 2 − f. s ( x= ( x − 2) 2 2 x ) 6Habilidad:Item 1: Reconocer

II. INTERSECCIÓN CON LOS EJESDebes recordar que: 1. Los puntos que se encuentran sobre el eje Y , son de la forma ( 0, y ) , es decir, la coordenada x es x = 0 . 2. Los puntos que se encuentran sobre el eje X , son de la forma ( x, 0 ) , es decir, la coordenada y es y = 0 A. Intersección de la función cuadrática con el eje Y Otro valor que nos entrega información en la función f ( x ) = ax 2 + bx + c es el coeficiente c . El valor de c corresponde a la coordenada del eje Y donde la parábola corta a este eje. En efecto, cuando x = 0 se tiene f ( 0 ) = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c = c .EjemploEn nuestro ejemplo f ( x ) = 2 x 2 + 5 x − 3 donde a = 2 , b = 5 , c = −3 , determinemos el valor dónde laparábola que representa intercepta al eje Y . Solución La parábola corta al eje Y en c = −3 , es decir el punto de intersección es ( 0, −3)Ejercicios 1. Dadas las siguientes funciones, identifica los coeficientes a , b , c y determina el valor donde la parábola intercepta al eje Y . 2 2 a. m( x) = 5 x 2 + x − 4 − b. n= x − 3x c. f (= ( 2 x − 3) 2 ( x) x) 3 2 3 2 2 1 d. g ( x)= 2 − e. p ( x) = 3 x − 1) + 2 x 2 − 4 −( f. f =  x−  2 x ( x) 7 3 4Habilidad:Item 1: Reconocer

B. Intersección de la función cuadrática con el eje X Cuando la gráfica de una función corta al eje X en uno o más puntos, estos puntos reciben el nombre de raíces reales o ceros de la función. Es decir, las raíces reales de la función cuadrática f ( x ) = ax 2 + bx + c son los valores x tal que f ( x ) = 0 . Expresado de otra forma, se deben encontrar los x que cumplan con que ax 2 + bx + c =.0 Los coeficientes a , b y c nos proporcionan la información requerida. Para ello, escribe el trinomio ax 2 + bx + c como una expresión factorizada y aplica la propiedad de los números reales que dice: Si a ⋅ b = entonces a = 0 o b = 0 0 ax 2 + bx + c =0  bx c  a  x2 + +  = 0 (Factorizando por a )  a a  bx b 2 b2 c  a  x2 + + 2 − 2 +  =0 (Sumando 0 para completar cuadrados)  a 4a 4a a   2 bx b 2  b 2 c x + + 2 − 2 + = 0 (Ya que a no puede ser 0 por definición)  a 4a  4a a 2  b  b2 c x+  = 2 − (Igualando cantidades)  2a  4a a b  b 2 − 4ac 2   x+  = (Extrayendo raíz cuadrada, se obtiene)  2a  4a 2 b b 2 − 4ac b b 2 − 4ac x+ = o x+ = − 2a 2a 2a 2aDespejando x en ambas ecuaciones y renombrando estos valores como x1 y x2 , obtenemos losvalores buscados −b + b 2 − 4ac −b − b 2 − 4ac x1 = o x2 = 2a 2aEn conclusión:En la función cuadrática f ( x ) = ax 2 + bx + c , los valores c , x1 y x2 nosindicarán dónde la parábola corta a los ejes.

Pero ¿Puede haber una parábola que no corte al eje X ? La respuesta es afirmativa, ya que la parábola no depende del eje X , sino que de los valores que vaya tomando f ( x ) , respecto de los valores de x . Si observas, los valores obtenidos en x1 y x2 se presenta la expresión b 2 − 4ac y por las propiedades de raíces cuadradas el cálculo de b 2 − 4ac nos lleva a tres situaciones: 1. Si b 2 − 4ac > 0 , entonces b 2 − 4ac tiene dos valores reales y distintos y, por lo tanto, x1 y x2 son dos raíces reales y distintas, lo que geométricamente significa que la parábola corta al eje X en las coordenadas x1 y x2 . 2. Si b 2 − 4ac = 0 , entonces b 2 − 4ac = que implica que x1 = x2 . Es decir, la función tiene 0 , lo una sola raíz, lo que geométricamente significa que la parábola corta al eje X en solo una coordenada. 3. Si b 2 − 4ac < 0 , entonces b 2 − 4ac no tiene valores reales y, por lo tanto, x1 y x2 no son raíces reales, lo que geométricamente significa que la parábola no corta al eje X .Debes saber que:b 2 − 4ac se llama discriminante y se simboliza por ∆ , es decir ∆ b 2 − 4ac =Ejemplo.En la función f ( x ) = 2 x 2 + 5 x − 3 donde a = 2 , b = 5 , c = −3 , determinemos los puntos deintersección con el eje X . Analizando el discriminante, tenemos que: ∆ b 2 − 4ac = = ( 5) − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −3) 25 + 24 49 , es decir ∆ > 0 lo que nos indica que las raíces = = 2 son reales y distintas. Calculando estos valores, tenemos: −b + b 2 − 4ac − ( 5 ) + 49 −5 + 7 2 1 = x1 = = = = 2a 4 4 4 2 −b − b 2 − 4ac − ( 5 ) − 49 −5 − 7 −12 x2 = = = = = −3 2a 4 4 4 1  Por lo tanto, la parábola generada corta al eje X en los puntos ( −3, 0 ) y  , 0  2 

Ejercicios. 1. Dadas las siguientes funciones, analiza el discriminante y determina si su gráfico, es decir, la parábola corta o no al eje X . a. f ( x) = x 2 + 4 x + 4 b. f ( x) x 2 − 2 x = c. f (= ( 2 x + 1) 2 x) 1 2 d. f ( x ) = x 2 + x + 1 ( x) e. f = x − 2x f. f ( x ) = x 2 − 6 x + 16 2 2. Dadas las siguientes funciones, determina sus raíces. 3 a. g ( x) = x 2 − 3 x + 2 b. g ( x) =x + − x +1 c. g ( x) =x 2 − 2 x − 1 − 2 2 3 2 7 9 d. g (= 3 x 2 − 48 x) e. g ( x) =x 2 + 3 x − 4 − f. g ( x) = x + x− 5 3 4 3. En las siguientes funciones, analiza su discriminante y comprueba tu conclusión calculando el valor de las raíces. a. h( x) = x 2 b. h( x) 4 x 2 + 3 = c. h( x) = x 2 + x − 5 4 2 1 d. h( x) =x 2 − 1 −5 e. h( x)= x + 3x − 1 f. h( x) =x 2 − 2 − 9 4 4. Discute las siguientes situaciones: a. Si en una función cuadrática f ( x ) = ax 2 + bx + c el discriminante es positivo y además c > 0 , ¿qué puedes decir de la concavidad de la parábola que representa? b. Si una función cuadrática f ( x ) = ax 2 + bx + c es cóncava hacia abajo, pero no intercepta al eje X , ¿qué signo tendrá siempre el coeficiente c ? 5. Determina qué valor debe tener k en la función f ( x ) = x 2 + 2 x + k para que la parábola intercepte al eje X en un solo punto. Solución: Como se pide que la parábola intercepte al eje X en un solo punto, entonces se debe tener que ∆ =0 . De la función tienes que a = 1 , b = 2 , c = k , luego ∆ = 22 − 4 ⋅1 ⋅ k = 4 − 4k , es decir 4 − 4k = lo que implica que 4 = 4k , es decir k = 1 y la 0, función es f ( x ) = x + 2 x + 1 . 2 6. Para qué valores de k , la parábola de la función f ( x ) = kx 2 + 2 x + 2 no corta al eje X 7. Qué valor debe tener k para que la función f ( x ) = x 2 − 2(k + 1) x + (2k + 1) intercepte al eje X en dos puntos.Habilidad:Item 1, y 3: Calcular y Analizar Item 2: Aplicar y Calcular Item 4 : Analizar y conjeturarItem 5, 6 y 7: Analizar, aplicar y calcular

III. EJE DE SIMETRÍALa parábola es simétrica respecto del eje Y o de un eje paralelo al eje Y . Por lo tanto existe un ejede simetría, esto significa que este eje divide a la parábola en partes iguales.Debes recordar que: x1 + x2El punto medio entre dos valores, por ejemplo x1 y x2 , se determina realizando el cálculo de . 2Por lo tanto, podemos calcular el eje de simetría de una parábola ocupando los valores determinadospor las raíces de la función. En efecto, −b + b 2 − 4ac −b − b 2 − 4ac +x1 + x2 2a 2a = −2b −b = = 2 2 4a 2aEn conclusión: −bEl eje de simetría es la recta perpendicular al eje X , x = 2aEjemploEn nuestro ejemplo, f ( x ) = 2 x 2 + 5 x − 3 donde a = 2 , b = 5 , c = −3 , determinemos el eje desimetría de la parábola. Solución La parábola que representa nuestra función, tiene como eje de simetría la recta −b −5 −5 = x = = 2a 2 ⋅ 2 4Ejercicios 1. Dadas las siguientes funciones, determina el eje de simetría de sus respectivas parábolas. a. h( x) = x 2 b. f ( x) =x 2 + 2 x − c. g ( x) = x 2 − 2 x + 1 −5 2 3 1 2 x 4 1 d. h( x) = x + x − e. f ( x) =x + 5 x − 7 − 2 f. g ( x) = + x − − 4 8 2 3 2 2. Si en la función f ( x ) = ax 2 + bx + c , se tiene que b = 0 , ¿qué puedes decir del eje de simetría? 3. Analiza los signos de a y b en la función f ( x ) = ax 2 + bx + c , y determina la posición del eje de simetría.Habilidad:Item 1 : Calcular Item 2 y 3: Analizar y conjeturar

IV. VÉRTICE DE UNA PARÁBOLAOtro elemento que podemos determinar de una función cuadrática es el vértice de la parábola querepresenta. Si observamos, el eje de simetría corta a la parábola en un único punto, que exactamente −bcorresponde al vértice de la parábola y donde su coordenada en el eje X es x = , por lo tanto 2apara determinar la ordenada del vértice, reemplazamos en f ( x ) = ax 2 + bx + c y obtenemos:  −b   −b  −b b 2 − 2b 2 2 b2 b2 b2 b2f   = a  +b +c = a⋅ 2 − +c = − +c = +c  2a   2a  2a 4a 2a 4a 2a 4a −b 2 = c+ 4aEn conclusión:El vértice que simbolizamos por V , es el punto de la parábola  −b −b 2 V  ,c +   2a 4a EjemploEn nuestro ejemplo, f ( x ) = 2 x 2 + 5 x − 3 donde a = 2 , b = 5 , c = −3 , determinemos el vértice de laparábola. Solución La parábola que representa nuestra función, tiene como vértice el punto  −5 − ( 5)  2  −b −b 2   −5 −25   −5 −24 − 25   −5 −49  V  , c += V  , −3 + = V   , −3 + = V  ,  = V ,    2a 4a   2⋅2 4⋅2   2⋅2 8   4 8   4 8   Ejercicios 1. Dadas las siguientes funciones, determina el vértice de sus respectivas parábolas. a. f ( x) = x 2 − 5 x + 6 b. g ( x) =x 2 + 2 x − c. h( x)= 3 x 2 − x + 2 1 2 3 2 d. f ( x= ) x +x+2 e. g ( x) = x 2 + 8 x + 2 −8 f. h( x) =− x − x +1 2 2 2. En las funciones cuadráticas de la forma f ( x ) = ax 2 , es decir, b = 0 y c = 0 . Determina su vértice.Habilidad:Item 1 : Calcular Item 2 y 3: Analizar, calcular y conjeturar

¿Qué has visto en esta Unidad?Has podido determinar que una función representa geométricamente una parábola, y que podemosgraficarla identificando elementos que se presentan en ella y que se deducen de los coeficientes de lafunción cuadrática a , b y c . Por otra parte, con los elementos identificados, si tienes una parábolapuedes determinar la función que la genera. Los ejemplos siguientes ilustran tus aprendizajes.Graficar una parábola dada su funciónGrafiquemos nuestro ejemplo.De nuestra función f ( x ) = 2 x 2 + 5 x − 3 identificamos: 1. Coeficientes: a = 2 , b = 5 , c = −3 2. Concavidad: Como a= 2 > 0 , entonces la parábola es cóncava hacia arriba 3. Intersección con los ejes: a. Intersección con el eje Y en el punto ( 0, −3) 1  b. Intersección con el eje X en los puntos ( −3, 0 ) y  , 0  2  −5 Eje de simetría: El eje de simetría corresponde a la recta x = 4 4. Vértice de la Parábola: El vértice corresponde al punto  −5 −49  5. V  ,   4 8 Así, el gráfico corresponde al de nuestra función, donde se encuentranidentificados nuestros elementos calculados.Dada el gráfico de una parábola determinar la funciónObtengamos la función correspondiente a la parábola presentada.De la parábola, podemos identificar que c = 6 −b 5 5Por otra parte, sabemos que / = , lo que implica −b = 2a ⋅ = 5a 2a 2 / 2es decir, b = −5aReemplazando esta igualdad en la coordenada y del vértice, obtendrás: − ( −5a ) 2 −b 2 −1 −25a 2 −1c+ = 6+ = , lo que implica = −6 4a 4a 4 4a 4Es decir:−25a −1 − 24 = . Despejando, obtenemos a = 1 4 4Así a = 1 , b = −5 y como c = 6 , la función que genera la parábola es f ( x ) = x 2 − 5 x + 6

Revisa tus aprendizajes en esta unidad. 1. Dadas las siguientes funciones, grafique la parábola correspondiente, identificando coeficientes, concavidad, intersección con los ejes, eje de simetría y vértice. 7 5 2 a. f ( x) =x 2 + 6 −3 b. g ( x) =x 2 − x+ c. h( x) = x 2 + x − − 2 2 9 1 5 1 2 d. m( x) = x + 2 x − − e. n( x) =x 2 + 4 x − 4 − f. t ( x= x + x +1 2 ) 2 3 2 2. Dadas las siguientes parábolas, determinar con los datos presentados, la función que la genera.a. b. c. 3. Determinar el valor de k en la función f ( x ) = 2 x 2 − kx − 8 de tal manera que la parábola intercepte en un punto al eje X . 4. Calcular el valor de k en la función f ( x ) = x 2 + kx + 3 para que el vértice sea el punto ( 2, −1) 5. Calcula las raíces de una función cuadrática f ( x ) = ax 2 + bx + c , donde b = 0 6. Si una función cuadrática f ( x ) = ax 2 + bx + c , la parábola es cóncava hacia arriba e intercepta al eje X en x1 y x2 y además el coeficiente c es positivo, ¿qué ocurre con los signos de las raíces de la función? ¿y si c fuese negativo?

Item Completamente Logrado Medianamente Por Lograr Logrado Logrado Item 1 Desarrolla Desarrolla Desarrolla Desarrolla tres o correctamente la correctamente el correctamente menos ejercicios totalidad de los cálculo de los más de tres, pero en forma correcta. ejercicios. elementos menos de cinco Determinando la estudiados. Sin ejercicios. gráfica de cada embargo no uno de ellos. grafica correctamente la totalidad de ellos. Item 2 Determina en Determina en Determina dos de Logra determinar forma correcta forma correcta las tres funciones una o ninguna de cada una de las cada una de las con errores en el las funciones. funciones funciones, pero proceso presentando un presenta errores algebraico de. desarrollo en el proceso algebraico claro. algebraico para obtenerlas. Item 3 y 4 Resuelve en Resuelve en Resuelve en No resuelve forma correcta forma correcta forma correcta el ninguno de los ambos ejercicios ambos ejercicios, primer ejercicio. ejercicios. No presentando pero con dificultad No aplica identifica que claridad en la en la aplicación definición de elementos ocupar aplicación de los de conceptos y vértice en la para la resolución. elementos proceso de solución del requeridos y resolución. ejercicio N°4. Lo prolijidad en el que indica un desarrollo. proceso mecánico y no analítico. Item 5 y 6 Analiza y aplica Resuelve ambos Resuelve en No resuelve en forma correcta ejercicios, pero forma correcta 1 ningún ejercicio. los conceptos entrega una de los ejercicios No presenta para poder conclusión con dificultad en capacidad de obtener un general de sus el proceso de generalizar ni de resultado general resultados resolución. No conjeturar. (Pregunta 5) y obtenidos. presenta la conjeturar conclusión (Pregunta 6). general del resultado obtenido.BIBLIOGRAFIA 1. Fundamentos de Matemática Elemental Vol. 01: Conjuntos y Funciones Gelzon Iezzi & Carlos Murakami, Tercera Edición, Atual Editora. 1977. 2. Geometría Analítica: Charles Lehmann, Noriega Editores, 1980. 3. Apuntes: La Parábola Jaime C. Bravo Febres 4. Apuntes PSU Pedro de Valdivia. 5. Curvas Maravillosas: Vicente Viana Martínez 6. www.sectormatemática.cl

Unidad didactica funcion cuadratica

by eecoronado on Mar 19, 2012

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