Funciones en varias variables, una introduccion

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Funciones en varias variables, una introduccion

  1. 1. ´ FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES, UNA INTRODUCCION ERWIN E. CORONADO C. 1
  2. 2. A mi amada esposa Carolina y a mis hijos Camila, Valentina, Aylinne y Emilio 2
  3. 3. INTRODUCCION El texto se estructura de tal manera que los conceptos entregados sean producto de una construcci´n. Incluso, en algunas ocasiones, la conclusi´n de una serie de o o deducciones es un teorema. Para realizar esto en el primer cap´ ıtulo se hace una in- troducci´n a Rn como Espacio Vectorial, donde se identifica el Producto Interno, en o particular el Producto Interno can´nico, para as´ presentar el concepto de distancia o ı y ortogonalidad en Rn . Se realizan presentaciones gr´ficas en R3 para tener una a mejor internalizaci´n de los conceptos antes mencionados. Con estos conceptos, se o entregan a continuaci´n una serie de definiciones como recta, hiperplano y defini- o ciones topol´gicas como vecindades, esferas, conjuntos convexos, abiertos y cerrados. o Se presenta tambi´n el concepto de l´ e ımite de una funci´n f : D ⊆ Rn → R, as´ como o ı el de funci´n continua. Este ultimo concepto, es el concepto fundamental para nue- o ´ stro segundo cap´ ıtulo, pues mediante un recuerdo para funciones f : D ⊆ R → R definimos el concepto de funci´n diferenciable para un conjunto D ⊆ R abierto y o presentamos la pregunta que ser´ el trabajo de este cap´ a ıtulo, ¿Bajo qu´ condici´n o e o condiciones se puede determinar la continuidad de una funci´n f : D ⊆ Rn → R?. o Para contestar esta pregunta, se definen los conceptos de derivada parcial y direc- cional y mediante ejemplos y representaciones gr´ficas en R3 se muestra que una a funci´n continua se determina bajo el concepto de funci´n diferenciable, presentan- o o do a continuaci´n teoremas importantes como el Teorema del Valor Medio1. Luego o se entregan definiciones de diferencial y gradiente de una funci´n concluyendo con o este ultimo concepto un an´lisis importante para una funci´n f : D ⊆ Rn → R. ´ a o Esto es que una funci´n f , no s´lo es creciente en la direcci´n del gradiente, sino o o o que, adem´s, es donde crece m´s r´pidamente. a a a El Tercer Cap´ ıtulo trata de Derivadas de Orden Superior y se definen conceptos como funciones de clase C k y se presenta el Teorema de Schwarz2 y el Teorema de Taylor, adem´s de la definici´n de una forma cuadr´tica con la que se introduce el a o a concepto de Hessiano de una funci´n. Tambi´n se define el concepto de punto cr´ o e ıtico de una funci´n, realizando por ultimo la relaci´n entre el punto cr´ o ´ o ıtico y la forma Hessiana para as´ concluir en el Cuarto Cap´ ı ıtulo con ejercicios resueltos que tratan de los temas presentados. 1Teorema 2.83 p´gina 45 a 2Teorema 3.111 p´gina 58 a 3
  4. 4. Agradecimientos Sea cual sea un trabajo, el llevarlo a cabo conlleva la colaboraci´n, a veces impl´ o ıcita- mente, de una serie de personas. Es por esto, que es necesario dar un espacio para agradecer el apoyo en la realizaci´n de este texto. o De esta manera, agradezco a mi esposa, y a mis hijos por su tiempo cedido, a mis padres y hermano por su apoyo incondicional, tambi´n cabe dar las gracias al e Profesor Mg. Sr. M´ximo Gonz´lez S. por el tiempo cedido, al Profesor Dr. Rafael a a Labarca B., por sus consejos y preocupaci´n, al Profesor Dr. Sergio Plaza S. por o facilitarme el material que me ayud´ a profundizar los conocimientos en el software o L TEX y muy en particular, agradezco a mis profesores correctores Dra. Ver´nica A o Poblete O. y Dr. Humberto Prado C. por sus consejos y a mi profesor tutor Dr. Carlos Lizama Y. por todo el apoyo brindado, tanto personal, como acad´mico. e 4
  5. 5. ´ Indice 1. El espacio vectorial Rn 6 2. Diferenciaci´n o 29 3. Derivadas de Orden Superior 56 4. Ejercicios Resueltos 65 Referencias 83 5
  6. 6. Cap´ ıtulo I 1. El espacio vectorial Rn Sea n ∈ N, el espacio Rn es el conjunto cuyos elementos son todos los n-tuplos ordenados x = (x1 , ..., xn ) donde xi ∈ R, i = 1...n. Los elementos x ∈ Rn ser´n llamados puntos o vectores dependiendo del contexto y a xi ∈ R ser´n las coordenadas o componentes de x. a Tambi´n dados x, y ∈ Rn y σ ∈ R, se definen e i : La suma de x = (x1 , ..., xn ) e y = (y1 , ..., yn ) como: x+y = (x1 + y1 , ..., xn + yn ) ii : El producto escalar, como: σx = (σx1 , ..., σxn ) iii : El vector cero de Rn , como 0 = (0, ..., 0) Observaci´n 1.1. Tomando σ = −1 obtenemos el sim´trico de x = (x1 , x2 , ..., xn ), o e esto es: -x = (−x1 , −x2 , ..., −xn ) Observaci´n 1.2. Seg´n estas definiciones, tanto la suma de vectores, como el o u producto vectorial son operaciones cerradas en Rn . Observaci´n 1.3. El producto escalar σx, con x ∈ Rn y σ ∈ R implica un cambio o de posici´n en la misma direcci´n de x. As´ dado σx = y, entonces diremos que y o o ı, es un m´ltiplo escalar de x o m´s generalmente, diremos que y es paralelo al vector u a x. 6
  7. 7. Observaci´n 1.4. Rn provisto de las operaciones i y ii hacen de Rn un Espacio o 3 Vectorial de dimensi´n n sobre R. De esta manera dados x = (x1 , x2 , ..., xn ) e o y = (y1 , y2, ..., yn ) en Rn se tiene que x=y ⇔ x1 = y1 , x2 = y2 , ..., xn = yn Al considerar x ∈ Rn , geom´tricamente se puede interpretar como el trazo que parte e en el punto 0 ∈ Rn y tiene como extremidad el punto x. Por ejemplo el vector P = (x, y, z) en R3 lo identificamos como Z z (x,y,z ) x y X Y 3Un espacio Vectorial V , es un espacio no vac´ en el que se definen dos operaciones entre sus ıo elementos, estas son: i : La funci´n suma, que se define como + : V × V → V , donde para dos vectores v1 , v2 ∈ V o se le asocia un nuevo vector (v1 + v2 ) ∈ V . Esta funci´n hace de V un grupo abeliano. o ii: La funci´n producto de un vector por un escalar, definida como · : K × V → V , donde o para un vector v1 ∈ V y un escalar σ ∈ K se le asocia un nuevo vector σv1 ∈ V . Esta funci´n cumple con las siguientes propiedades o 1. σ(v1 + v2 ) = σv1 + σv2 , ∀σ ∈ K, ∀v1 , v2 ∈ V 2. (σ + δ)v1 = σv1 + δv1 , ∀σ, δ ∈ K, ∀v1 ∈ V 3. (σδ)v1 = σ(δv1 ), ∀σ, δ ∈ K, ∀v1 ∈ V 4. 1v1 = v1 , ∀v1 ∈ V 7
  8. 8. De esta interpretaci´n geom´trica, podemos preguntarnos ¿Cu´l es la distancia desde o e a el origen 0 ∈ R al punto x ∈ R ? y, m´s a´ n, si tenemos dos vectores en Rn , ¿C´mo n n a u o determinamos el ´ngulo formado por ellos? a Por ejemplo, en R3 se tiene Z Z (x, y, z) distancia (x, y, z) θ (x1 , y1 , z1 ) X Y X Y Distancia desde el origen ´ Angulo θ formado por los vectores al vector (x, y, z) (x, y, z) y (x1 , y1 , z1 ) La respuesta a estas preguntas se contestan con la introducci´n del concepto pro- o ducto interno. Para introducir este concepto, consideremos primero lo siguiente: Dado x ∈ Rn , tenemos x = (x1 , x2 , ..., xn ) = (x1 , 0, ..., 0) + (0, x2 , 0, ..., 0) + ... + (0, 0, ..., xn ) = x1 (1, 0, ..., 0) + x2 (0, 1, 0, ..., 0) + ... + xn (0, 0, ..., 1) = x1 e 1 + x2 e 2 + ... + xn e n n = xi e i i=1 donde c(n) := {e 1 , e 2 , ..., e n } se identifica como la base can´nica de Rn . De esta o manera, podemos establecer una relaci´n entre el espacio vectorial Rn y el conjunto o MR (n × 1) que consiste de todas las matrices con coeficientes reales de n filas y una columna, que podemos definir por [ ]α : Rn → MR (n × 1) 8
  9. 9. donde α = {α1 , α2 , ..., αn } es una base para Rn . As´ tenemos que ı,   a1 .   [x ]α =  .    ⇐⇒ x = a1 α1 + a2 α2 + ... + an αn . an considerando entonces c(n), tenemos   x1 .   [x ]c(n) =  .    ⇐⇒ x = x1 e 1 + x2 e 2 + ... + xn e n . xn Definamos ahora la transformaci´n lineal T : Rn → R, conocida como funci´n lineal, o o del siguiente modo: Tomemos la base can´nica de Rn y hagamos o i : Para e 1 T (e 1 ) = a11 esto implica [T (e 1 )]c(n) = a11 ii : Para e 2 T (e 2 ) = a12 esto implica [T (e 2 )]c(n) = a12 iii : Para e 3 T (e 3 ) = a13 esto implica [T (e 3 )]c(n) = a13 En general, tendremos para e j T (e j ) = a1j lo que implica [T (e j )]c(n) = a1j Podemos formar as´ AT , definida por ı AT = a11 a12 . . . a1n llamada la matriz asociada a la base can´nica de T y podemos decir que AT es o definida por la igualdad [T (e j )]c(n) = AT e j . 9
  10. 10. En general, para todo x ∈ Rn , tenemos que   x1 .   x = x1 e 1 + x2 e 2 + ... + xn e n ⇐⇒ [x ]c(n) =  . .   . xn Entonces, aplicando T , obtenemos T (x ) = x1 T (e 1 ) + x2 T (e 2 ) + ... + xn T (e n ) As´ ı [T (x )]c(n) = x1 [T (e 1 )]c(n) + x2 [T (e 2 )]c(n) + ... + xn [T (e n )]c(n) lo que implica x1    x2  .   [T (x )]c(n) = [T (e 1 )]c(n) [T (e 2 )]c(n) · · · [T (e n )]c(n) .   . xn = [T (e1 )]c(n) [T (e2 )]c(n) · · · [T (en )]c(n) [x]c(n) = AT e 1 AT e 2 · · · AT e n [x ]c(n) = x1 AT e 1 + x2 AT e 2 + ... + xn AT e n = x · AT obtenemos, por lo tanto [T (e 1 )]c(n) [T (e 2 )]c(n) · · · [T (e n )]c(n) ∈ MR (1 × n). De esta manera, concluimos que la base can´nica del espacio euclideano establece o un isomorfismo definido por L(Rn , R) → MR (1 × n) T → AT n donde L(R , R) es el conjunto de las transformaciones lineales y MR (1 × n) el con- junto de matrices de una l´ ınea y n columnas. En particular, dado i ∈ [1, n], i ∈ N, definamos la funci´n πi : Rn → R como o 10
  11. 11.   1 si i = j πi (e j ) = 0 si i = j.  Entonces, tenemos para todo x ∈ Rn , πi (x ) = xi πi (e i ) = xi Luego, dada una funci´n lineal f : Rn → R, tal que f (e 1 ) = a1 , f (e 2 ) = a2 , ..., f (e n ) = o an ; y considerando que todo x ∈ Rn se expresa como n x= xi e i i=1 al aplicar f , obtenemos n f (x ) = f xi e i i=1 n = xi f e i i=1 n = πi (x )ai i=1 = (a1 π1 + a2 π2 + ... + an πn )(x ) Por lo tanto, f = a1 π1 + a2 π2 + ... + an πn luego {π1 , π2 , ..., πn } es una base de L(Rn , R). Se conoce como la base dual de la base can´nica de Rn y el espacio L(Rn , R) se escribe usualmente como (Rn )∗ o Presentado este concepto, podemos decir que una funci´n f es n − lineal, cuando o dados V1 , V2 , ...Vn , K espacios vectoriales, siendo K cuerpo, con f : V1 ×V2 ×...×Vn → K, se tiene que f es lineal separadamente en cada una de sus n variables. Esto significa que para todo i ∈ N, i = 1, 2, ..., n, se tiene f (x1 , x2 , ..., xi + yi , ..., xn ) = f (x1 , x2 , ..., xi , ..., xn ) + f (x1 , x2 , ..., yi, ..., xn ) y dado α ∈ K, se tiene f (x1 , x2 , ..., αxi , ..., xn ) = αf (x1 , x2 , ..., xi , ..., xn ). Observaci´n 1.5. Es inmediato que si xi = 0, para alg´n i, tenemos o u f (x1 , x2 , ..., 0, ..., xn ) = 0. 11
  12. 12. De esta manera, podemos indicar que un producto interno, en un espacio vectorial V , es una aplicaci´n bilineal, que hace corresponder a cada par de vectores x, y ∈ V o un n´ mero real, que representaremos por x, y . Adem´s para x, x′ , y ∈ V y α ∈ R, u a se debe tener i : x, y = y, x ii : x + x′ , y = x, y + x′ , y iii : αx, y = α x, y = x, αy iv : x = 0 ⇒ x, x > 0. El ejemplo m´s importante de producto interno, y que, salvo una menci´n expl´ a o ıcita, ser´ el producto interno que ocuparemos en el presente trabajo, es el el producto a interno can´nico del espacio euclideano Rn , el cual dados x, y ∈ Rn , identificamos o como x , y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn n = xi yi i=1 Un concepto importante relacionado con el producto interno es el de ortogonalidad, concepto que se utiliza para indicar la perpendicularidad entre dos vectores. Definici´n 1.6. Dos vectores x,y ∈ Rn son ortogonales si o x, y = 0. Observaci´n 1.7. El vector 0 es ortogonal a cualquier vector. En efecto, o x, 0 = 0, x = 0. Ahora, por una simple extensi´n del Teorema de Pit´goras, podemos definir la dis- o a tancia de un vector x ∈ Rn al origen, la que identificaremos con el concepto de norma euclideana, como sigue Definici´n 1.8. La distancia de un vector al origen se define como o x = x2 + x2 + ... + x2 . 1 2 n Con lo anterior podemos hacer la siguiente observaci´n o Observaci´n 1.9. De la definici´n de distancia obtenemos o o x = x2 + x2 + ... + x2 1 2 n = x, x 12
  13. 13. luego 2 x = x, x l2 Y l1 Z P0 P0 = (x0 , y0, z0 ) 90◦ y0 z0 X r x0 X Y De estos dos conceptos presentados resulta el siguiente teorema: Teorema 1.10. Para cada x, y ∈ Rn , valen las siguientes desigualdades: i : Desigualdad de Cauchy-Schwarz: (1.1) | x, y | ≤ x y ii : Desigualdad Triangular: (1.2) x+y ≤ x + y Demostraci´n. (1.1) o Si y = 0 no hay nada que demostrar. Supongamos que y = 0, y sea t ∈ R. Como , es bilineal, tenemos que: (1.3) x + ty , x + ty = x , x + 2t x , y + t2 y , y . Luego: 2 2 x + ty = x + 2t x , y + t2 y 2 . Considerando una funci´n f definida como: o f (t) = t2 y 2 + 2t x , y + x 2 , obtenemos que: f ′ (t) = 2 y 2t + 2 x , y . Entonces como y = 0, y como f ′′ (t) = 2 y 2 > 0 esta funci´n tiene un m´ o ınimo en 13
  14. 14. x, y t0 = − . y 2 Substituyendo t0 en (1.3), encontramos que: 2 2 x, y 2 x, y 2 y 2 2 x, y 2 0 ≤ x + t0 y = x −2 + = x − y 2 y 4 y 2 lo que implica: | x , y |2 ≤ x 2 y 2 que es equivalente a (1.1) Probaremos ahora (1.2) Tenemos que: 2 x +y = x + y, x + y 2 2 = x + 2 x, y + x Por (1.1), obtenemos 2 2 2 x +y ≤ x +2 x y + y = ( x + y )2 que es equivalente a (1.2). Cabe se˜ alar que, de manera general, se define una norma como una funci´n n o :E→R que cumple i: x + y ≤ x + y ii : α · x = |α| x iii : x = 0 ⇒ x > 0 Con los conceptos de ortogonalidad y norma, podemos tambi´n entregar las sigu- e ientes definiciones. 14
  15. 15. Definici´n 1.11. Diremos que un vector es unitario si se tiene o x =1 Definici´n 1.12. Un conjunto de vectores {v1 , v2 , . . . , vn }, tal que o vi , vj = ϕij donde   0 si i=j ϕij = 1 si i=j  es llamado una base ortonormal. Se deduce del concepto de norma una noci´n de distancia. Considerando nuestra o norma euclideana, definimos a continuaci´n la distancia euclideana. o Definici´n 1.13. Dados x, y ∈ Rn , definimos la distancia euclideana entre x, y, o como n 1 2 2 x−y = (xi − yi ) i=1 De la definici´n de distancia, dados x , y ∈ Rn , se tiene que o 2 2 2 (1.4) x −y = x − 2 x, y + y , y generalizando a Rn el teorema del coseno para un tri´ngulo cualquiera, podemos a escribir x −y x θ y 2 2 2 (1.5) x −y = x − 2 cos(θ) x y + y 15
  16. 16. restando miembro a miembro (1.4) y (1.5), obtenemos x, y cos(θ) = . x y obtiendo de esta manera el ´ngulo entre dos vectores x , y ∈ Rn , con lo que hemos a contestado nuestras preguntas 4. Observaci´n 1.14. Del concepto de distancia euclideana, podemos deducir que da- o dos x, y ∈ Rn , valen las siguientes desigualdades i: | x − y | ≤ x − y 2 x+y − x−y 2 ii : x, y = . 4 Para continuar con nuestro estudio, podemos indicar que a partir de los conceptos indicados m´s arriba, podemos determinar nociones geom´tricas en Rn . a e En efecto, si consideramos dos vectores x , y ∈ Rn con y = 0 y un escalar σ ∈ R, entonces definimos la recta en Rn como sigue: Definici´n 1.15. Una recta en Rn es el conjunto de la forma o {z : z = x + σy, σ ∈ R} diremos entonces que, los vectores z determinan una recta que pasa por el vector x y que tiene direcci´n y. o x − 2y y x x + 2y 0 4Recuerde que las preguntas est´n referidas a la distancia de un vector y al ´ngulo formado por a a dos vectores en Rn . Ver p´gina 8 a 16
  17. 17. Observaci´n 1.16. Si dos puntos x1 , x2 pertenecen a la recta determinada por o x + σy, entonces {z : z = x + σx, σ ∈ R} es equivalente al conjunto {z : z = x1 (1 − s) + sx2 , s ∈ R}. Observaci´n 1.17. El conjunto definido por o [x, y] = {z : z = x + σy; 0 ≤ σ ≤ 1} determina el segmento de recta entre los puntos x e y. De nuestro concepto de producto interno, podemos dar la siguiente definici´n o Definici´n 1.18. Un hiperplano es el conjunto determinado de la forma o {x : x, n = α} donde n = 0 y α una constante. Observaci´n 1.19. En R2 , un hiperplano es una recta y en R3 es un plano ordi- o nario. Ejemplo En R4 , el conjunto formado por todos los vectores (x1 , x2 , x3 , 0) es un hiperplano. En efecto, tomando n = (0, 0, 0, 1) y considerando la constante α = 0, obtenemos que todos los vectores de la forma (x1 , x2 , x3 , 0) ∈ R4 cumplen con que x , n = 0. Del concepto de norma y de distancia, presentamos los siguientes resultados. Definici´n 1.20. Una vecindad abierta con centro en un punto x0 ∈ Rn y radio o r > 0 es el conjunto definido por V (x0 ; r) = {x ∈ Rn : x − x0 < r}. De igual forma damos la siguiente definici´n o Definici´n 1.21. Una vecindad cerrada con centro en un punto x0 ∈ Rn y radio o r > 0 es el conjunto definido como V [x0 ; r] = {x ∈ Rn : x − x0 ≤ r}. Definici´n 1.22. Una esfera con centro en un punto x0 ∈ Rn y radio r > 0 es el o conjunto definido de la siguiente manera S[x0 ; r] = {x ∈ Rn ; x − x0 = r}. 17
  18. 18. Observaci´n 1.23. Cuando n = 1, la vecindad V (x0 ; r) corresponde al intervalo o abierto (x0 − r, x0 + r); V [x0 ; r] es el intervalo cerrado [x0 − r, x0 + r] y S[x0 ; r] corresponde al conjunto formado por los puntos x0 − r y x0 + r. Una propiedad que cumplen dos puntos x , y ∈ V [x 0 ; r] es la siguiente: considerando σ ∈ [0, 1], el segmento de recta [x , y ], est´ totalmente contenido en V [x 0 ; r]. a Introduciremos ahora, un nuevo concepto que identificar´ a cualquier conjunto que a posea esta propiedad. Definici´n 1.24. Sea D ⊆ Rn . Entonces D es un conjunto convexo si el segmento o de recta que une a dos puntos cualquiera x, y ∈ D est´ contenido en D. a Por otra parte, cuando se tiene z ∈ R+ y un conjunto D ⊆ Rn , tal que para todo x ∈ D, se tiene x ≤ z el conjunto D se dir´ que es un conjunto limitado o acotado. a Observaci´n 1.25. Si D ⊆ V [x0 ; r], para alguna vecindad cerrada de centro cualquiera, o entonces D es un conjunto limitado. En efecto, dado x ∈ D, se tiene x − x0 ≤ r. Luego, haciendo z = r + x0 , podemos escribir x = x − x0 + x0 ≤ x − x0 + x0 ≤ r + x0 = z. Otro concepto importante es el que a continuaci´n definimos: o Definici´n 1.26. Diremos que un punto x0 ∈ D ⊆ Rn es un punto interior de D, o cuando es centro de alguna vecindad abierta contenida en D, esto es, si x ∈ V (x0 ; r) entonces x ∈ D. El interior de D es el conjunto int(D). Diremos que Definici´n 1.27. Un conjunto D ⊆ Rn se llama abierto cuando, todos sus puntos o son interiores. Podemos indicar dos resultados importantes que se desprenden de lo anterior Teorema 1.28. Toda vecindad abierta D ⊆ Rn es un conjunto abierto. Demostraci´n. Dado cualquier x ∈ V (x 0 ; r), consideremos la vecindad V (x ; δ), o donde δ = r − x − x 0 . De esta manera si y ∈ V (x ; δ), entonces y − x 0 ≤ y − x + x − x 0 ≤ δ + x − x 0 = r, luego y ∈ V (x 0 ; r), 18
  19. 19. por lo tanto, V (x ; δ) ⊆ V (x 0 ; r) δ x r x0 Teorema 1.29. Si D ⊆ Rn , entonces int(D) es un conjunto abierto. Demostraci´n. Dado x 0 ∈ int(D), entonces V (x 0 ; r) ⊆ D, para alg´ n r. Luego si o u x ∈ V (x 0 ; r), entonces, poniendo δ = r − x − x 0 , obtenemos que V (x ; δ) ⊆ V (x 0 ; r), luego V (x ; δ) ⊆ D, y as´ ı, x ∈ int(D) Luego, todo punto x 0 ∈ int(D), es centro de una vecindad abierta contenida en int(D). Dado un conjunto D ⊆ Rn y un punto x 0 ∈ Rn , se pueden distinguir las siguientes situaciones excluyentes unas de otras: Observaci´n 1.30. o i : x0 ∈ int(D) ii : x0 ∈ int(Rn − D) iii : Toda vecindad V (x0 ; r) contiene puntos, tanto de D, como de Rn − D Definici´n 1.31. Sea D ⊂ Rn , no necesariamente abierto. Un punto x0 ∈ Rn se o llama punto de acumulaci´n del conjunto D, cuando para toda vecindad abierta de o centro x0 contiene alg´n punto de D diferente de x0 . Dicho de otra forma, x0 es u un punto de acumulaci´n de D cuando para ε > 0 encontramos un x ∈ D tal que o 0 < x − x0 < ε. Observaci´n 1.32. El conjunto de los puntos de acumulaci´n de D se representa o o por la notaci´n D ′ y se le denomina el derivado de D. o A continuaci´n se presentar´n los conceptos de l´ o a ımite y de funci´n continua para o continuar con nuestro estudio. 19
  20. 20. Definici´n 1.33. Diremos que el l´ o ımite L de una funci´n f : D ⊆ Rn → R en el o ′ punto x0 ∈ D (es decir x0 es punto de acumulaci´n de D), cuando para cualquier o ε > 0 dado, se puede obtener un δ > 0, tal que dado cualquier x ∈ D, se cumple que Para todo ε > 0 existe δ > 0; 0 < x − x0 < δ ⇒ |f (x) − L| < ε . En t´rminos de vecindades significa que si para una funci´n f : D ⊆ Rn → R, L es e o ımite de la funci´n entonces que x ∈ V (x0 , δ) implica que f (x) ∈ V (L, ε) el l´ o Observaci´n 1.34. Cuando este l´ o ımite existe escribiremos l´ f (x) = L ım x→x0 para indicar que L es el l´ ımite de f en el punto x0 . Observaci´n 1.35. Que x0 sea punto de acumulaci´n de D implica que no nece- o o sariamente x0 debe pertenecer a D. Incluso la funci´n f puede no estar defenida en o x0 . Observaci´n 1.36. Recordemos que para una funci´n f : D ⊆ R → R que o o l´ f (x) = L significa que cuando x se aproxima a x0 , f (x) se aproxima a L. ım x→x0 Pero que x se aproxime a x0 implica solo dos direcciones, por la derecha o por la ımites laterales y se tiene que l´ f (x) = L si y s´lo si izquierda y cabe hablar de l´ ım o x→x0 l´ + f (x) = L = l´ − f (x). Mientras que para una funci´n f : D ⊆ Rn → R la ım ım o x→x0 x→x0 aproximaci´n de x a x0 tiene infinitas direcciones. o Observaci´n 1.37. Cuando x tienda a x0 y los valores de f (x) no tiendan a un o n´mero L unico diremos que l´ f (x) no existe. u ´ ım x→x0 o a ımite para una funci´n f : R2 → R es La representaci´n gr´fica del concepto de l´ o como sigue: Z L+ε ⌢ L ⌣ L−ε a y x b X x0 Y 20
  21. 21. Del concepto de l´ ımite se desprenden teoremas que ser´n enunciados formalmente. a Teorema 1.38. Si para una funci´n f : D ⊆ Rn → R, el l´ o ımite l´ f (x) existe ım x→x0 entonces es unico. ´ Teorema 1.39. Sean f : D ⊆ Rn → R, g : D ⊆ Rn → R, x0 ∈ D ′ y L, α ∈ R; entonces i : Si l´ f (x) = L, entonces l´ αf (x) = αL, siendo αf : D → R definida ım ım x→x0 x→x0 por x → α(f (x)) ii : Si l´ f (x) = L1 y l´ g(x) = L2 entonces l´ (f + g)(x) = L1 + L2 , ım ım ım x→x0 x→x0 x→x0 siendo (f + g) : D → R definida por x → f (x) + g(x) iii : Si l´ f (x) = L1 y l´ g(x) = L2 entonces l´ (f ·g)(x) = L1 ·L2 , siendo ım ım ım x→x0 x→x0 x→x0 (f · g) : D → R definida por x → f (x) · g(x) 1 iv : Si l´ f (x) = L, L = 0 y f (x) = 0 para todo x ∈ D entonces l´ ım ım = x→x0 x→x0 f (x) 1 1 1 , siendo : D → R definida por x → L f f (x) El rec´ ıprocos de ii no siempre se cumple. Consideremos el siguiente ejemplo que muestra esta observaci´n. o 1 Ejemplo 1.40. Sea f, g : R − {0} → R definidas como f (x) = 1 + sen x 1 y g(x) = −sen entonces se tiene que l´ f (x) y l´ g(x) no existen, pero ım ım x x→0 x→0 f (x) + g(x) = 1 para todo x ∈ R − {0}, luego l´ (f + g)(x) = 1 ım x→0 Observaci´n 1.41. Sea (x0 , y0) ∈ R2 , supongamos que f es una funci´n defini- o o da en una vecindad centrada en (x0 , y0 ), entonces, si existe l´ f (x, y), es una ım x→x0 funci´n de y, digamos ψ(y) y si adem´s existe l´ ψ(y), digamos β, escribimos o a ım y→y0 ımite iterado de f cuando x → x0 e l´ l´ f (x, y) = β y decimos que β es el l´ ım ım y→y0 x→x0 y → y0 . De modo an´logo definimos el l´ a ımite iterado l´ l´ f (x, y) = α, cuando ım ım x→x0 y→y0 existe l´ f (x, y) = φ(x) y existe l´ φ(x) = α ım ım y→y0 x→x0 Observaci´n 1.42. De modo natural los l´ o ımites iterados se pueden extender a fun- ciones definidas para n > 2 Observaci´n 1.43. Si se tiene f : R2 → R, la existencia de o l´ ım f (x, y) no (x,y)→(x0 ,y0 ) implica la existencia de los l´ ımites iterados l´ l´ f (x, y) y l´ l´ f (x, y). M´s ım ım ım ım a y→y0 x→x0 x→x0 y→y0 a´n, la existencia de los l´ u ımites iterados, aun siendo iguales, no implica la existencia 21
  22. 22. del l´ımite de una funci´n. Mientras que si los l´ o ımites iterados existen y son distintos, entonces no existe el l´ımite de una funci´n. Esto ultimo se utiliza para probar que o ´ el l´ ımite de una funci´n no existe. o xy Ejemplo 1.44. Sea f : R2 − {(0, 0)} → R definida por f (x, y) = 2 . Tenemos x + y2 que l´ l´ f (x, y) = l´ 0 = 0 y l´ l´ f (x, y) = l´ 0 = 0, pero ım ım ım ım ım ım l´ ım f (x, y), y→0 x→0 y→0 x→0 y→0 x→0 (x,y)→(0,0) no existe como puede ser verificado usando caminos del tipo y = mx. Ejemplo 1.45. Sea f : R2 → R,definida por   x sen 1 + y sen  1 si xy = 0 y x  f (x, y) =   0 si xy = 0  Tenemos que l´ f (x, y) y l´ f (x, y) no existen, como es f´cil de ver, por lo tan- ım ım a y→0 x→0 to l´ l´ f (x, y) y l´ l´ f (x, y) no existen. Por otra parte, afirmamos que ım ım ım ım y→y0 x→x0 x→x0 y→y0 l´ ım f (x, y) = 0 (x,y)→(0,0) En efecto, tenemos que 1 1 x sen + y sen ≤ |x| + |y| ≤ 2 x2 + y 2 < ε y x 2 2 cuando x2 < ε4 e y 2 < ε4 , o de otra forma, |x| < 2 y |y| < 2 . Luego para ε > 0 ε ε ε 1 1 dado, existe δ = 2 , de modo que tenemos x sen + y sen < ε cuando y x |x| < δ y |y| < δ, lo que prueba que l´ ım f (x, y) = 0 (x,y)→(0,0) Teorema 1.46. Sean f, g : D ⊆ Rn → R y x0 ∈ D ′ . Si l´ f (x) = L1 , l´ g(x) = ım ım x→x0 x→x0 L2 y f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ D − {x0 }, entonces L1 ≤ L2 x2 Ejemplo 1.47. Sea una funci´n f definida como f (x, y) = o . Mostremos x2 + y 2 que l´ ım f (x, y) = 0 (x,y)→(0,0) En efecto, en primer lugar considerando que (x, y) − (0, 0) = (x, y) = x2 + y 2 x2 + y 2 x2 = ≥ ≥0 x2 + y 2 x2 + y 2 22
  23. 23. De esta manera, para cualquier ε > 0, escogemos δ = ε y de esta manera (x, y) − (0, 0) < δ implica que x2 x2 −0 = ≤ x2 + y 2 < δ = ε x2 + y 2 x2 + y 2 Luego l´ ım f (x, y) = 0 (x,y)→(0,0) x2 Ejemplo 1.48. Determinemos si existe el l´ ımite de la funci´n f (x, y) = o , x2 + y 2 cuando (x, y) se acerque a (0, 0). Observemos que si (x, y) tiende al origen a lo largo de cualquier trayectoria, entonces x2 si existe l´ ımite de f , significa que 2 debe tender a un valor l´ ımite unico, por ´ x + y2 ejemplo L. Ahora, si hacemos tender (x, y) al punto (0, 0) a trav´s de la recta y = 0, e entonces x2 x2 l´ ım f (x, y) = l´ ım = l´ ım =1 (x,y)→(0,0) (x,0)→(0,0) x2 + y 2 (x,0)→(0,0) x2 Mientras que si (x, y) tiende al punto (0, 0) a trav´s de la recta x = 0, entonces se e tendr´ a x2 0 l´ ım f (x, y) = l´ ım = l´ ım =0 (x,y)→(0,0) (0,y)→(0,0) x2 + y 2 (x,0)→(0,0) 0 + y 2 Por lo tanto, no existe l´ ım f (x, y) (x,y)→(0,0) x2 − y 2 Ejemplo 1.49. Muestremos que l´ ım xy =0 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 x2 − y 2 En efecto, notemos que f (x, y) = xy no est´ definida para (0, 0), pero s´ (0, 0) a ı x2 + y 2 es un punto de acumulaci´n de R2 − {(0, 0)}. o 23
  24. 24. Utilizando coordenadas polares en R2 − {(0, 0)} tenemos que x = rcos(ω) e y = rsen(ω), luego x2 − y 2 xy 2 = |rsen(ω) cos(ω) cos(2ω)| x + y2 r2 = sen(4ω) 4 r2 x2 + y 2 ≤ = <ε 4 4 x2 ε y2 ε √ √ si < e < , o lo que es lo mismo, si |x| < 2ε = δ y |y| < 2ε = δ. 4 2 4 2 Luego para ε > 0 cualquiera, existe δ > 0 tal que cuando |x| < δ y |y| < δ entonces x2 − y 2 xy 2 − 0 < ε como se quer´ probar. ıa x + y2 A continuaci´n se pasar´ a enunciar el concepto de continuidad. o a Definici´n 1.50. Diremos que una funci´n f : D ⊆ Rn → R es continua en un o o punto x0 ∈ D, cuando para cualquier ε > 0 dado, se puede obtener un δ > 0, tal que para todo punto x ∈ D cuya distancia al punto x0 sea menor que δ implique que la distancia de f (x) a f (x0 ) sea menor que ε. En lenguaje simb´lico se tiene que: o Para todo ε > 0 existe δ > 0; 0 < x − x0 < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε . Observaci´n 1.51. Diremos que una funci´n f : D ⊆ Rn → R es continua, cuando o o sea continua para cada x0 ∈ D. Observaci´n 1.52. Si para una funci´n f : D ⊆ Rn → R no se cumple el re- o o querimiento de la definici´n de continuidad para un punto x0 ∈ D, diremos que la o funci´n es discontinua en x0 ∈ D. o Apoyados en los teoremas de l´ ımites, a continuaci´n formalizamos el siguiente teo- o rema. Teorema 1.53. Sean f : D ⊆ Rn → R, g : D ⊆ Rn → R funciones continuas en 1 x0 ∈ D y α ∈ R; entonces αf , f + g, f · g, son continuas en x0 ∈ D f Ejemplo 1.54. Al analizar la continuidad en el origen de f : R2 → R definida por  3  x + y3   2 si (x, y) = (0, 0) f (x, y) = x + y2    0 si (x, y) = (0, 0) 24
  25. 25. se obtiene que dado ε > 0 cualquiera, tenemos que |x| ≤ (x, y) = x2 + y 2 y de igual manera |y| ≤ (x, y) = x2 + y 2 , luego 2 (x, y) 3 |f (x, y)| ≤ = 2 (x, y) (x, y) 2 ε de esta forma, basta tomar δ = y entonces (x, y) − 0 = (x, y) < δ implica 2 |f (x, y)| < ε, es decir l´ ım f (x, y) = f (0, 0) = 0 (x,y)→(0,0) lo que indica que f es continua en el origen. Ejemplo 1.55. Al estudiar la continuidad de f : R2 → R definida por  2 2  x −y  x+y si x > −y f (x, y) = e −1   2x si x ≤ −y en y = −x se debe analizar qu´ sucede con f en los puntos de la forma (a, −a) cuando (x, y) → e (a, −a) con a ∈ R. Para el c´lculo de a l´ ım f (x, y) tenemos que distinguir lo (x,y)→(a,−a) siguiente: i.- Si x > −y, entonces x2 − y 2 x+y l´ ım f (x, y) = l´ ım = ım (x − y) x+y l´ = 2a (x,y)→(a,−a) (x,y)→(a,−a) ex+y − 1 (x,y)→(a,−a) e −1 ii.- Si x < −y, entonces l´ ım f (x, y) = l´ ım 2x = 2a (x,y)→(a,−a) (x,y)→(a,−a) luego l´ ım f (x, y) = f (a, −a), es decir, f es continua en el punto (a, −a). (x,y)→(a,−a) 25
  26. 26. Ejemplo 1.56. Si f : R2 → R est´ definida por a   sen(x) sen(y)  si xy = 0 exy − 1        sen(x)   si x = 0, y = 0    f (x, y) = x  sen(y)   si x = 0, y = 0        y     1 si x = y = 0 El estudiar la continuidad de f en R2 nos lleva en primer lugar a indicar que f es continua en R2 − {(x, y) ∈ R2 : xy = 0} por ser composici´n y producto de fun- o ciones elementales y no anularse el denominador. Luego, falta examinar qu´ ocurre e en puntos de las rectas x = 0; y = 0, es decir, (a, 0); a = 0 y x = 0; y = 0, es decir, (0, b); b = 0 y en el punto (0, 0). i.- En las proximidades de los puntos de la forma (a, 0), a = 0 sen(x) sen(y) sen(x) sen(y) xy sen(a) l´ ım = l´ ım · = = f (a, 0) (x,y)→(a,0) ex y − 1 (x,y)→(a,0) x y ex y − 1 a y tambi´n e sen(x) sen(a) l´ ım = (x,y)→(a,0) x a Por tanto, la funci´n es continua en los puntos de la forma (a, 0); a = 0. o ii.- En las proximidades de los puntos de la forma (0, b); b = 0. sen(x) sen(y) sen(x) sen(y) xy sen(b) l´ ım xy − 1 = l´ ım · xy − 1 = = f (0, b) (x,y)→(0,b) e (x,y)→(0,b) x y e b y tambi´n e sen(y) sen(b) l´ ım = (x,y)→(0,b) y b Por tanto, la funci´n es continua en los puntos de la forma (0, b); b = 0. o iii.- En las proximidades de los puntos de la forma (0, 0). sen(x) sen(y) sen(x) sen(y) xy l´ ım xy − 1 = l´ ım · = 1 = f (0, 0) (x,y)→(0,0) e (x,y)→(0,0) x y ex y − 1 26
  27. 27. y tambi´n e sen(x) sen(y) l´ ım = 1 = l´ ım (x,y)→(0,0) x (x,y)→(0,0) y Por tanto, la funci´n es continua en los puntos de la forma (0, 0). o Ejemplo 1.57. Estudiemos la continuidad de la funci´n definida por o  y2 si (x, y) = (0, 0)    2 f (x, y) = x + y2    0 si (x, y) = (0, 0) Dada la funci´n, cabe analizar si es continua en el origen. Para ello, realizando un o cambio a coordenadas polares,   x = r cos(ω) y = rsen(ω)  obtenemos r 2 sen2 (ω) l´ ım f (x, y) = l´ ım = sen2 (ω) (x,y)→(0,0) r→0 r2 Por tanto, el l´ ımite depende de ω, de donde se sigue que la funci´n dada no es con- o tinua en el origen. Ejemplo 1.58. Dada f : R2 → R definida por  3 x−y  (y − x)(e  − 1) si x2 − y 2 = 0   x 2 − y2   f (x, y) = x2 − 1 si x2 − y 2 = 0       2 Analizemos la continuidad de f en R2 . Se puede verificar, mediante c´lculos directos que la funci´n f es continua en el a o 2 2 2 2 conjunto R − {(x, y) ∈ R : x − y = 0}. Por lo tanto, debemos estudiar s´lo la o continuidad en los puntos de las rectas x − y = 0 y x + y = 0, ya que entorno a estos puntos la funci´n cambia de definici´n. De esta manera, se tiene o o 27
  28. 28. i.- En las proximidades de x − y = 0, es decir en los puntos de la forma (a, a); a ∈ R. (y 3 − x) x−y y 3 − x ex−y − 1 l´ ım (e − 1) = l´ ım · (x,y)→(a,a) x2 − y 2 (x,y)→(a,a) x + y x−y  3 2  (a − a) = (a − 1) = f (a, a)  si a = 0 2a 2   =     indeterminado si a = 0 Para el caso de la indeterminaci´n calculando el l´ o ımite mediante rectas de la forma y = mx, obtenemos m3 x3 − x m3 x2 − 1 −1 l´ ım = l´ ım = (x,mx)→(0,0) x + mx (x,mx)→(0,0) 1 + m 1+m Como este ultimo l´ ´ ımite depende de m, la funci´n no es continua en el punto (0, 0), o cuando a = 0 pero s´ lo es en los puntos de la forma (a, a); a = 0. ı ii.- En las proximidades de x + y = 0, es decir en los puntos de la forma (a, −a); a ∈ R. Como ya vimos del caso anterior, que la funci´n f no es continua cuando a = 0 o entonces analizamos s´lo el caso en que a = 0 o (y 3 − x) x−y y 3 − x ex−y − 1 l´ ım (e − 1) = l´ ım · =∞ (x,y)→(a,a) x2 − y 2 (x,y)→(a,a) x + y x−y con lo que concluimos que f no es continua en los puntos de la forma (a, −a). 28
  29. 29. Cap´ ıtulo II 2. ´ Diferenciacion Para una funci´n f : D ⊆ R → R definida sobre un intervalo D abierto, la derivada o de f en un punto x0 ∈ D que se denota por f ′ (x0 ) se define como f (x0 + h) − f (x0 ) f ′ (x0 ) = l´ ım h→0 h cuando este l´ ımite existe. Gr´ficamente tenemos a f (x) Y f (x0 + h) y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 ) f (x0 ) X x0 x0 + h Podemos indicar que la derivada f ′ (x0 ) nos da el valor de la pendiente de la recta tangente a la gr´fica de la funci´n f en el punto (x0 , f (x0 )). Cuando la derivada a o f ′ (x0 ) existe, su comportamiento en un segmento de recta, nos proporciona infor- maci´n respecto del crecimiento de la funci´n f a lo largo de este segmento. o o Igualmente, para funciones f : D ⊆ Rn → R con D ⊆ Rn abierto, el concepto de derivada trata del an´lisis de la funci´n f , respecto de su crecimiento, en un punto a o x0 ∈ D . En el cap´ ıtulo anterior hicimos un recuerdo del concepto de l´ ımite cuando n = 1 en n funciones f : D ⊆ R → R, y vimos que x solo se aproxima a x0 por la izquierda o por la derecha y haciendo h = x − x0 obtenemos que cuando x → x0 entonces h → 0, pero para n > 1 y con f : D ⊆ Rn → R, ¿C´mo identificamos la variaci´n o o de x ?. 29
  30. 30. Aclaremos esta pregunta, considerando una funci´n f : D ⊆ R2 → R, entonces, o gr´ficamente a Z X x0 Y Podemos deducir que, para f : D ⊆ Rn → R, h ser´ un vector. Luego haciendo ıa h = x − x 0 , obtendremos que cuando x → x 0 no importando su trayectoria, en- tonces h → 0 de esta manera podemos extender el concepto de derivada para funciones f : D ⊆ R → R, a funciones f : D ⊆ Rn → R. Para buscar una definici´n adecuada, primero consideremos lo siguiente: o Una direcci´n en Rn es un vector unitario u 5. As´ para cada i ∈ N, e i ∈ Rn es la o ı, direcci´n de Rn en cada i-´simo eje. o e En R3 , tenemos Z e3 = (0, 0, 1) e2 = (0, 1, 0) Y e1 = (1, 0, 0) X 5Recordemos que un vector es unitario si u = 1. Ver p´gina 15 a 30
  31. 31. Entonces, notemos que si D ⊆ Rn es abierto y para cada x 0 ∈ D, definimos ϕ : R → Rn , de modo que: (2.6) ϕ(t) = x 0 + tei , obtenemos una recta que pasa por x 0 y es paralela al eje ei . Como D es abierto, existe ε > 0, tal que si t ∈ (−ε, ε), entonces de (2.6) ϕ(t) = x 0 + tei ∈ D. Gr´ficamente, para f : D ⊆ R2 → R con x0 = (a, b) tenemos la siguiente situaci´n: a o Z ⌢ε −t a b ⌣−ε X ϕ D x0 Y ϕ(t) De esta manera hemos obtenido una curva plana, por medio de la restricci´n de fo al segmento de recta, que pasa por x0 , y es paralelo al eje de las abscisas y dejando a y = b constante. Esta idea nos permite analizar para funciones f : D ⊆ Rn → R en un punto x 0 , cuando t → 0, el concepto de derivada parcial que pasamos a definir formalmente como sigue: Definici´n 2.59. Sea f : D ⊆ Rn → R una funci´n, definida en un subconjunto o o abierto D ⊆ Rn . Dado el punto x0 ∈ D la i-´sima derivada parcial de f en x0 , e (1 ≤ i ≤ n) es ∂f f (x0 + tei ) − f (x0 ) (x0 ) = l´ ım ∂xi t→0 t cuando este l´ ımite existe. 31
  32. 32. La interpretaci´n geom´trica para f : R2 → R, viene dada por la siguiente figura: o e Z Z f (x, b) f (a, y) b X Y a Y x0 X x0 ∂f ∂f Recta f (x, b) con pendiente ∂x (x 0 ) Recta f (a, y) con pendiente ∂y (x 0 ) Observaci´n 2.60. Notemos que la i-´sima derivada parcial de f en el punto x0 , o e es la derivada en el punto t = 0, de la funci´n f ◦ ϕ : (ε, ε) → R. o ϕ f R Rn R f ◦ϕ Observaci´n 2.61. El c´lculo pr´ctico de la i-´sima derivada parcial de una funci´n o a a e o f (x0 ) = f (x1 , x2 , ..., xn ) se realiza considerando todas las variables como si fuesen constantes, excepto la i-´sima variable y aplicando las reglas usuales de derivaci´n e o relativas a esa variable. ∂f Observaci´n 2.62. El comportamiento de la i-´sima derivada parcial ∂xi (x0 ) a lo o e largo de un segmento de recta contenido en el dominio de f da informaci´n sobre el o crecimiento de f a lo largo del segmento. Por ejemplo, sea f : D ⊆ R2 → R, consideremos el segmento de recta J = {(a, t) : 0 ≤ t ≤ 1} paralelo al eje de las ordenadas. Si est´ contenido en D y a ∂f adem´s se tiene que ∂y (z) > 0, para todo z ∈ J, entonces f es creciente sobre J, a esto es 0 ≤ s < t ≤ 1 implica f (a, s) < f (a, t). 32
  33. 33. Ejemplo 2.63. Dada f : R2 → R, definida por  xy   2 si (x, y) = (0, 0) x + y2 f (x, y) =  0 si (x, y) = (0, 0)  Calcularemos sus derivadas parciales en (0, 0). Tenemos que: ∂f f (t, 0) − f (0, 0) (0, 0) = l´ ım =0 ∂x t→0 t y ∂f f (0, t) − f (0, 0) (0, 0) = l´ ım = 0. ∂y t→0 t As´ f posee derivadas parciales en (0, 0). Sin embargo, notemos lo siguiente: ı Si (x, y) = (0, 0), entonces xy x y f (x, y) = = · = cos(θ) · sen(θ) x2 + y2 x2 + y2 x2 + y2 donde θ es el ´ngulo formado por el semieje positivo de las abcisas y la semirrecta a que pasa por el origen y que contiene al punto (x, y). (x, y) θ Luego, por cada una de esas semi rectas f (x, y) tiene un valor constante, por lo tanto, no existe el l´ ımite de f (x, y) en el origen, o sea, f es discontinua, a pesar de existir sus derivadas parciales en (0, 0). Lo anterior indica que la existencia de todas las derivadas parciales en un punto, no implica la continuidad de f en ese punto, por lo tanto, las derivadas parciales no permiten conclusiones sobre el comportamiento n-dimensional de f en el sentido de continuidad. 33
  34. 34. Supongamos ahora que queremos extender este concepto de derivada parcial a otras direcciones, o sea a vectores unitarios u ∈ Rn , cualquiera sea su direcci´n. Para o D ⊆ Rn , D abierto, y para cada x 0 ∈ D, definamos φ : R → Rn , tal que: φ(t) = x 0 + tu Obtenemos as´ una recta que pasa por x 0 y tiene direcci´n u. Aqu´ tambi´n podemos ı o ı e observar que como D es abierto, existe ε > 0, de modo que, si t ∈ (−ε, ε) implica que φ(t) ∈ D. Gr´ficamente para f : R2 → R, tenemos la siguiente figura: a Z f (x0 ) ⌢ε f (x) −t ⌣−ε X x0 φ u Y φ(t) x Realizando una extensi´n de esta idea a D ⊆ Rn podemos analizar para funciones o f : D ⊆ Rn → R en un punto x 0 ∈ D, cuando t → 0 ( o lo que es lo mismo, cuando x → x 0 en cualquier direcci´n) , el concepto de derivada direccional que pasamos a o definir a continuaci´n. o Definici´n 2.64. Sea f : D ⊆ Rn → R una funci´n real, definida en un subconjunto o o abierto D. Dado un punto x0 ∈ D, la derivada direccional de f en el punto x0 es el l´ ımite ∂f f (x0 + tu) − f (x0 ) (x0 ) = l´ ım ∂u t→0 t cuando este l´ ımite existe. 34
  35. 35. Ejemplo 2.65. Determinemos la derivada direccional de f (x, y) = x2 + 3xy 2 en el punto (1,2), en la direcci´n que apunta hacia el origen. o √ Tenemos que x0 = (1, 2), entonces x0 = (−1, −2) = 5, de donde se ob- −1 −2 tiene que u = √5 , √5 es un vector unitario que apunta hacia el origen. Luego −1 −2 x0 + tu = (1, 2) + t √ , √ =: x, de lo anterior se obtiene que: 5 5 f (x0 ) = 13 y 38t 37t2 12t3 f (x0 + tu) = 13 − √ 5 + 5 − √ 5 5 usando los c´lculos anteriores, obtenemos: a 2 3 ∂f 13 − 38t + 37t − 12t5 − 13 √ 5 5 5 √ −38 (1, 2) = l´ ım = √ . ∂u t→0 t 5 Ejemplo 2.66. Determinar la derivada direccional de f (x, y, z) = xyz en el punto (1,0,-1), seg´n la direcci´n del vector v = (1, 1, 1) u o √ 1 1 1 Tenemos que como v = (1, 1, 1) se tiene v = 3 y luego u = √ , √ , √ es 3 3 3 un vector unitario. Luego, 1 1 1 x0 + tu = (1, 0, −1) + t √ , √ , √ 3 3 3 t t 1 x0 + tu = 1 + √ , √ , √ − 1 3 3 3 y f (x0 ) = 0 y t t 1 t3 t f (x) = f (x0 + tu) = 1+ √ √ √ −1 = √ −√ 3 3 3 3 3 3 Usando los c´lculos anteriores, se tiene: a ∂f t3 t −1 ım √ − √ (1, 1, 1) = l´ =√ . ∂u t→0 3 3 3 3 35
  36. 36. Ejemplo 2.67. Si g : R2 → R, definida como:   x2 y   2 si (x, y) = (0, 0) g(x, y) = x + y2    0 si (x, y) = (0, 0) Determinemos la derivada direccional en el origen. Sea u = (α, β) ∈ R2 un vector unitario, entonces su derivada direccional viene dada por ∂g g((x, y) + t(α, β)) − g(x, y) (x, y) = l´ ım . ∂u t→0 t Observe que, en particular ∂g g(αt, βt) α2 β (0, 0) = l´ ım = 2 . ∂u t→0 t α + β2 Luego existen todas las derivadas direccionales en todos los puntos de R2 . Adem´s observemos que: a Si (x, y) = (0, 0), se tiene a2 b l´ ım g(x, y) = = g(a, b), (x,y)→(a,b) a2 + b2 y si (a, b) = (0, 0) l´ ım g(x, y) = x · cos(θ) · sen(θ) = 0. (x,y)→(0,0) Por lo tanto, g es continua en todos los puntos de R2 . Ejemplo 2.68. Sea h : R2 → R, definida como:  x3 y si (x, y) = (0, 0)   x6 + y 2  h(x, y) =    0 si (x, y) = (0, 0). Para determinar la derivada direccional en el punto (0,0), consideremos u = (α, β) ∈ R2 vector unitario, entonces en (x, y) = (0, 0), la derivada direccional viene dada por: 36
  37. 37. ∂h h(tα, tβ) (0, 0) = l´ ım , ∂u t→0 t ∂h t4 α3 β (0, 0) = l´ 7 6 ım , ∂u t→0 t α + t3 β 2 ∂h tα3 β (0, 0) = l´ 4 6 ım = 0, ∂u t→0 t α + β 2 Un c´lculo directo muestra que existen tambi´n todas las derivadas direccionales en a e 2 todos los puntos de R −{0}. Luego existen todas las derivadas direccionales en todos los puntos de R2 . Pero observemos que: i.- si (a, b) = (0, 0), entonces a3 b l´ ım h(x, y) = = h(a, b). (x,y)→(a,b) a6 + b2 Pero, ii.- si (a, b) = (0, 0), y nos acercamos por los puntos de la forma (x, x3 ), obtenemos: x6 1 l´ım h(x, x3 ) = = = h(0, 0) 3 (x,x )→(0,0) 2x6 2 Luego h no es continua en el punto (0,0). Podemos deducir entonces, que la existencia de las derivadas direccionales no im- plica, en general, la continuidad de una funci´n. Surge, por lo tanto, la siguiente o pregunta: ¿Bajo qu´ condici´n o condiciones podremos determinar la continuidad e o de una funci´n f : Rn → R? El concepto de diferenciabilidad contesta esta pregunta. o Recordemos que para n = 1, una funci´n f : D ⊆ R → R que posee derivada en el o punto x0 ∈ D, la recta tangente al gr´fico de la funci´n f en el punto (x0 , f (x0 )), a o viene dada por: y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 ) as´ ı y = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ). Podemos preguntarnos, entonces, c´mo y se aproxima a f (x), cuando x → x0 . Esto o es, preguntarnos por f (x) − y. 37
  38. 38. Y f (x0 + h) r(h) f ′ (x0 )h f (x0 ) X x0 x0 + h Haciendo h = x − x0 , podemos escribir f (x0 + h) − f (x0 ) f (x0 + h) − y = h − f ′ (x0 )h h De esta manera, podemos escribir: f (x0 + h) − f (x0 ) f (x0 + h) − y = − f ′ (x0 ) h. h Considerando la variaci´n de h, podemos hacer o r(h) (2.7) f (x0 + h) − (f (x0 ) + f ′ (x0 )h) = r(h), donde l´ ım =0 h→0 h M´s a´ n, podemos definir una funci´n T : R → R, como a u o T (h) = f ′ (x0 )h. De esta manera hemos obtenido una funci´n lineal que representa, para cada x0 , o ′ una recta con pendiente f (x0 ), paralela a la recta tengente a la gr´fica de la funci´n a o f en el punto (x0 , f (x0 )). 38
  39. 39. f (x0 ) T (h) X x0 Por lo tanto, hemos encontrado una buena aproximaci´n de f cerca de x0 a trav´s o e de T (h) + f (x0 ). De esta manera, podemos definir el concepto de f unci´n dif erenciable como sigue: o Definici´n 2.69. Una funci´n f : D ⊆ R → R, con D abierto, es diferenciable o o o derivable en el punto x0 ∈ D, si y s´lo si, existe una funci´n lineal T : R → R, de o o modo que: f (x0 + h) − f (x0 ) − T (h) l´ ım = 0. h→0 h Extender el concepto de diferenciabilidad para funciones f : D ⊆ Rn → R, significa encontrar una buena aproximaci´n lineal a f , a trav´s de una funci´n T : Rn → R, o e o tal que: f (x 0 + h ) − (f (x 0 ) + T (h)) = r(h). Esto implica que T (h) deber´ ser un hiperplano. a Entonces, si T (h) = M, h es un hiperplano donde M = (m1 , m2 , ..., mn ), y se tiene que: r(h) l´ım =0 h→0 h podemos dar la siguiente definici´n: o Definici´n 2.70. Sea f funci´n, tal que, f : D ⊆ Rn → R, con D abierto, y sea o o x0 ∈ D. Diremos que la funci´n f es diferenciable en el punto x0 , si existe una o funci´n lineal T : Rn → R (que depende de x0 ), tal que: o f (x0 + h) − f (x0 ) − T (h) l´ ım = 0. h→0 h De la definici´n anterior, si tenemos que una funci´n f es diferenciable en el punto o o x 0 , entonces podemos hacer h = te i , y as´ T (h) = M, h = M, te i . De esta ı manera tendremos: f (x 0 + te i ) − (f (x 0 ) + T (te i )) = r(te i ) Lo que implica f (x 0 + tei ) − f (x 0 ) = M, te i + r(te i ). As´ ı 39
  40. 40. f (x 0 + tei ) − f (x 0 ) r(te i ) r(te i ) = mi + = mi + . t t te i Aplicando l´ ımites, obtenemos: f (x 0 + te i ) − f (x 0 ) l´ ım = mi . t→0 t Luego ∂f (x 0 ) = mi . ∂xi Podemos entonces dar las siguientes observaciones: Observaci´n 2.71. Si una funci´n f es diferenciable, entonces existen sus derivadas o o ∂f ∂f ∂f parciales, adem´s M = a ∂x1 (x0 ), ∂x2 (x0 ), ..., ∂xn (x0 ) es el unico vector tal que: ´ n ∂f T (h) = M, h = (x0 ) · hi i=1 ∂xi Observaci´n 2.72. El ′′ resto′′ r(h) queda definido como o n ∂f r(h) = f (x0 + h) − f (x0 ) − (x0 ) · hi i=1 ∂xi r(h) e indica que la esencia de la diferenciabilidad es que verificando que l´ ım = 0, h→0 h podremos probar si una funci´n f es o no diferenciable. o r(h) Observaci´n 2.73. Si tenemos l´ o ım = 0, entonces l´ r(h) = 0. En efecto ım h→0 h h→0 r(h) l´ r(h) = l´ ım ım · h = 0. h→0 h→0 h Observaci´n 2.74. Si f es diferenciable para cada x ∈ D, diremos que f es difer- o enciable en D. De las observaciones anteriores hemos podido contestar nuestra pregunta inicial con respecto a determinar la continuidad de una funci´n f : Rn → R. Respuesta que o fijamos en el siguiente teorema: Teorema 2.75. Si una funci´n f : Rn → R, con D abierto, es diferenciable en un o punto x0 ∈ D, entonces f es continua en ese punto. 40
  41. 41. r(h) Demostraci´n. Como l´ o ım =0 implica l´ r(h) = 0, entonces ım h→0 h h→0 n ∂f l´ f (x 0 + h ) − f (x 0 ) = l´ ım ım (x 0 ) · hi + r(h) = 0 h→0 h→0 i=1 ∂xi Luego l´ f (x 0 + h) = f (x 0 ), ım h→0 con lo que hemos demostrado el teorema. Ahora, consideremos lo siguiente: Sea h = tu , donde u es un vector unitario. Si f : Rn → R es una funci´n diferen- o ciable en x 0 ∈ D, entonces tendremos que: n ∂f f (x 0 + tu ) − f (x 0 ) = (x 0 ) · tui + r(tu) i=1 ∂xi Es decir n n f (x 0 + tu) − f (x 0 ) ∂f r(tu) ∂f r(tu) = (x 0 ) · ui + = (x 0 ) · ui + . t i=1 ∂xi t i=1 ∂xi tu Aplicando l´ ımites, tenemos que: n f (x 0 + tu) − f (x 0 ) ∂f l´ ım = (x 0 ) · ui . t→0 t i=1 ∂xi M´s a´ n, si t ∈ R es suficientemente peque˜ o, entonces x 0 + th ∈ D y siendo f a u n diferenciable, tendremos: n ∂f r(th) f (x 0 + th) − f (x 0 ) = (x 0 ) · thi + · th . i=1 ∂xi th De esta manera n f (x 0 + th ) − f (x 0 ) ∂f r(th) = (x 0 ) · hi + · h . t i=1 ∂xi th Aplicando l´ ımites, tenemos n f (x 0 + th ) − f (x 0 ) ∂f l´ ım = (x 0 ) · hi . t→0 t i=1 ∂xi De esta manera, podemos indicar las siguientes observaciones: 41
  42. 42. Observaci´n 2.76. Si f es diferenciable en el punto x0 , entonces admite la derivada o direccional seg´n cualquier vector h = (h1 , h2 , ..., hn ), y vale la f´rmula u o n ∂f ∂f (x0 ) = (x0 ) · hi . ∂h i=1 ∂xi Observaci´n 2.77. Si f es diferenciable, entonces el plano tangente a su gr´fico en o a ∂f el punto (x0 , f (x0 )) tiene pendiente T (h), siendo T (h) = M, h = ∂h (x0 ) un plano paralelo al plano tangente en el punto (x0 , f (x0 )). Ejemplo 2.78. Sea f : Rn → R una funci´n constante, f (x) = c, para todo x ∈ Rn , o entonces f es diferenciable y T (h) = 0 para todo x ∈ Rn . Ejemplo 2.79. La funci´n f : R2 → R, definida por o  xy  si (x, y) = (0, 0) x2 + y 2  f (x, y) =   0 si (x, y) = (0, 0). es continua y posee derivadas parciales, pero no es diferenciable en el origen. En efecto, es f´cil ver que f es continua en todo su dominio y un c´lculo directo a a aplicando la definici´n de derivada parcial, muestra que ∂x (0, 0) = ∂f (0, 0) = 0. o ∂f ∂y Ahora, si f fuese diferenciable en (0, 0) se deber´ tener que en (0, 0), ıa ∂f ∂f T (p, q) = (0, 0) · p + (0, 0) · q + p · δ(p, q) + q · µ(p, q), ∂x ∂y donde l´ ım δ(p, q) = l´ ım µ(p, q) = 0, (p,q)→(0,0) (p,q)→(0,0) en este caso , desarrollando lo anterior obtenemos que √ pq = p·δ(p, q)+q·µ(p, q), 2 p +q 2 y usando coordenadas polares p = r cos(θ) y q = rsen(θ), obtenemos cos(θ)sen(θ) = δ cos(θ) + µsen(θ). Para θ arbitario, se tiene que r → 0 implica que (p, q) → (0, 0). Luego, haciendo r → 0, nos queda cos(θ)sen(θ) = 0, lo cual es imposible para θ arbitrario. Por lo tanto, f no es diferenciable en el origen. 42

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