Métodos numéricos aplicados a la mecánica

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
APLICACIÓN DE MÉTODOS
NUMÉRICOS A LA MECÁNICA
GENERAL
Curso : Métodos Numéricos.
Profesor : Néstor Castillo B.
Alumnos : Ramos Oquelis Jazmín.
Galán More Juan.
Seminario Beltrán Edwin.
Seminario Beltrán Edwin.
Seminario Beltrán Edwin.
-2014-

2. DEDICATORIA
A Dios nuestro Señor por regalarnos la dicha de vivir y la fuerza para enfrentar
diversos problemas de la vida.
A nuestros padres quienes a lo largo de toda nuestras vidas nos han apoyado y
motivado en nuestra formación académica, creyeron en nosotros en todo momento y
no dudaron de nuestras habilidades.
A nuestros profesores a quienes les debemos gran parte de nuestros conocimientos,
gracias a su paciencia y enseñanza, finalmente un eterno agradecimiento.
A esta prestigiosa universidad la cual abre sus puertas a jóvenes como nosotros,
preparándonos para un futuro competitivo y formándonos como profesionales con
sentido de seriedad, responsabilidad y rigor académico.

3. AGRADECIMIENTO
Agradecemos en este trabajo principalmente a Dios, por iluminarnos y estar a nuestro
lado en todo momento.
A nuestros padres, amigos incondicionales por la ayuda desinteresada brindada en
cada obstáculo que en nuestra vida se presenta, gracias a sus ejemplos hoy hemos
llegado a cumplir una de nuestras metas.
A nuestros hermanos, que con sus consejos nos han sabido orientar por el sendero de
la superación.
A nuestros amigos de aula, por su apoyo en todo momento.
Y a todas las personas que de una u otra manera siempre nos han apoyado.

4. ÍNDICE

5. INTRODUCCIÓN
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular
problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones
aritméticas.
El objetivo principal del método numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a
problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se
requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la
aproximación al problema matemático.
El trabajo consiste en presentar los principios generales sobre los que se apoyan los
modelos mecánicos que interpretan muchas de las situaciones experimentales en
mecánica. Mediante una visión del material propio de la mecánica se obtiene
posteriormente un modelo matemático que en general consiste de un conjunto de
ecuaciones a derivadas parciales con o sin restricciones y con sus respectivos valores
de contorno completan su definición.
Dada la complejidad matemática de estos modelos, salvo en situaciones muy
particulares en las cuales se pueden obtener soluciones analíticas, requieren de su
resolución numérica con lo cual se hace necesario presentar las diferentes técnicas de
aproximación habitualmente empleadas en problemas de aritmética.
Este trabajo finaliza con una serie de aplicaciones de los conceptos adquiridos en el
curso que hemos llevado con el nombre de “Mecánica General” pero desarrollándolos
con métodos numéricos y así dar a conocer que no es necesario utilizar métodos
propios del curso sino también valiéndonos de la aproximación.
También desarrollaremos algunos ejercicios propios de la mecánica mediante el
programa MATLAB y así dar a conocer las funciones propias de dicho programa para
aplicar herramientas y dar solución a un determinado ejercicio.

6. APLICACIONES
1. Las deformaciones unitarias sobre la superficie de un dispositivo experimental
de aluminio puro y probado en una nave espacial se midieron por medio de
extensómetro. Estos se orientan como se indica en la figura y las
deformaciones unitaria medidas fueron
6
1100 10a x 
  6
1496 10b x 
  6
39,44 10c x 
  
Comprobar el resultado utilizando el programa MATLAB y halla el error relativo
porcentual.
Calcular: , ,x y z  
B C
A
40 40
SOLUCIÓN
Extrayendo los ángulos de la figura: 0 40 140a b c    o o o
Siendo la fórmula:
2 2
2 2
2 2
a x a y a xy a a
b x b y b xy b b
c x c y c xy c c
Cos Sen Sen Cos
Cos Sen Sen Cos
Cos Sen Sen Cos
    
    
    
   
   
   
Reemplazando los datos en la fórmula:
6 2 2
6 2 2
6 2 2
1100 10 0 0 0 0
1496 10 40 40 40 40
39,44 10 140 140 140 140
x y xy
x y xy
x y xy
x Cos Sen Sen Cos
x Cos Sen Sen Cos
x Cos Sen Sen Cos






  
  
   
Reduciendo el sistema de ecuaciones:
     
     
     
6
6
6
1100 10 1 0 0
1496 10 0.5868 0.4132 0.4924
39,44 10 0.5868 0.4132 0.4924
x y xy
x y xy
x y xy
x
x
x






    
    
     
Aplicando eliminación gaussiana:

7. 6
1
6
2
6
3
1100 101 0 0
0.5868 0.4132 0.4924 1496 10
0.5868 0.4132 0.4924 39.44 10
xf
f x
f x



 
 
 
   
6
6
2 3
6
1100 101 0 0
0 0 0.9848 1535.44 10
0.5868 0.4132 0.4924 39.44 10
x
f f x
x



 
 
  
   
Cambiando fila 2 a fila 3
 
6
6
6
1100 101 0 0
0.5868 0.4132 0.4924 39.44 10
1 3/ 0.9848 0 0 1 1559.14 10
x
x
f x



 
 
 
    
 
6
6
1 2
6
1100 101 0 0
0.5868 0 0.4132 0.4924 684.92 10
0 0 1 1559.14 10
x
f f x
x



 
 
   
   
 
6
6
2 3
6
1100 101 0 0
0.4924 0 0.4132 0 82.8 10
0 0 1 1559.14 10
x
f f x
x



 
 
   
   
   
6
6
2
6
1100 101 0 0
1 / 0.4132 0 1 0 200.39 10
0 0 1 1559.14 10
x
f x
x



 
 
  
   
Por lo tanto:
6
6
6
1100 10
200.39 10
1559.14 10
x
y
z
x
x
x



 
 
  

8. Ahora en MATLAB:
Hallando el error relativo porcentual de:
0.0011 0.001100000000000
100 0%
0.001100000000000
x x

  
>> format long
>> a=[(cos(0))^2 (sin(0))^2 sin(0)*cos(0) ;(cos(40*pi/180))^2 (sin(40*pi/180))^2 -
sin(40*pi/180)*cos(40*pi/180); (cos(140*pi/180))^2 (sin(140*pi/180))^2 -
sin(140*pi/180)*cos(140*pi/180)]
a =
1.000000000000000 0 0
0.586824088833465 0.413175911166535 -0.492403876506104
0.586824088833465 0.413175911166535 0.492403876506104
>> b=[1100*10^(-6); 1496*10^(-6);-39.44*10^(-6)]
b =
0.001100000000000
0.001496000000000
-0.000039440000000
>> c=inv(a)
c =
1.000000000000000 0 0
-1.420276625461206 1.210138312730603 1.210138312730603
0.000000000000001 -1.015426611885745 1.015426611885745
>> x=c*b
x =
0.001100000000000
0.000200334772784
-0.001559126636954

9. 0.00020039 0.000200334772784
100 0.028%
0.000200334772784
y x

  
 0.00155914 0.001559126636954
100 0.00086%
0.001559126636954
z x
  
  


10. CONCLUSIÓN
En conclusión, como podemos ver, los métodos numéricos pueden aplicarse a la
mecánica, para encontrar resultados aproximados a sistemas complejos utilizando
sólo las operaciones matemáticas más simples.
Cada método que se presento en este trabajo como ejercicios resuelto que fueron
puestos en este trabajo, fue colocado con el único objetivo de que fuera más fácil su
compresión de cada método que fue investigado en este trabajo, también podemos
decir que estos métodos para poder resolver un problema es necesario tener una
calculadora programable por la razón de que si hace sin una de ellas resulta
demasiado largo la resolución de cada problema.
Tener en cuenta que para resolver cada problema de los métodos numéricos es
necesario tener orden porque la cantidad de datos son demasiados, también se
necesita tener los programas para resolver cada método.

11. RECOMENDACIONES
El alumno debería tener una buena formación en álgebra lineal y matemáticas. Como
se mencionó en el punto anterior, pretende ser un apoyo a aquellas asignaturas que
introduzcan modelos de tiempo continuo en sus programas Por otra parte, sería
deseable que el alumno tuviese una formación mínima en el uso de computación para
ingenieros.

12. BIBLIOGRAFÍA
Aprenda MATLAB 5.3 Como si estuviera en primero Javier García de Jalón. Escuela
Técnica Superior de Ingenieros Industriales. Universidad Politécnica de Madrid. 2001.
Introducción a MATLAB Segunda Edición, Kermit Sigmon, Departamento de
Matemáticas. Universidad de Florida.
Métodos Numéricos Aplicados en Ingeniería. J.M. Ledanois, A. López de Ramos, J. A.
Pimentel, F. F. Pironti. Editorial, Mc Graw-Hill, 2000.
Métodos Numéricos para ingenieros, McGraw-Hill. Chapra S. y Canale R.