Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Presenta la introducción, objetivos, y explica conceptos como sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, sistemas homogéneos y no homogéneos, autovalores, y soluciones de ecuaciones diferenciales. El documento provee una guía general sobre ecuaciones diferenciales para ayudar a estudiantes a comprender mejor estos temas.

1. ECUACIONES DIFERENCIALES
LILIANA ARENAS
EDGAR NOGUERA
ING. JOSE VILLAZON
DOCENTE
UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA
CICLO DE FACULTAD
SANTA MARTA
2009-06-03

2. INTRODUCCION
El presente trabajo trata de mostrar de manera más general todos los temas
expuestos en la clase de ecuaciones diferenciales, con el fin de que quede un
documento para ayudar a resolver incógnitas que hayan quedado acerca de
estos temas.
Dado a que todas las exposiciones fueron de muy buen nivel donde se escogió
el mejor material de estas, para tener una muy buena documentación, todo
esto para poder facilitar a nuestros compañeros un material de apoyo para
generaciones futuras.

3. OBJETIVOS
Mostrar algunos tipos no comunes de ecuaciones que existen y sus respectivos
métodos de solución.
Aplicar el Teorema de Existencia y Unicidad en ecuaciones diferenciales
para determinar condiciones suficientes que aseguren la existencia de una
solución que tenga ciertas propiedades.
Conocer las ecuaciones de Clairaut y Lagrange y su forma de desarrollo
frente a estas ecuaciones no lineales.
Conocer la aproximación que puede existir entre ecuaciones
diferenciales lineales a no lineales.
Demostrar que las series de potencias son herramientas fundamentales
en el estudio de las funciones analíticas.

4. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Este tema está dedicado a la discusión de sistemas de ecuaciones
diferenciales ordinarias simultáneas. Dichos sistemas aparecen en problemas
que tienen relación con varias variables dependientes que son función de la
misma variable independiente. Por ejemplo, las leyes de Newton.
Donde m es la masa de la partícula, (x1, x2, x3) son sus coordenadas
espaciales y F1, F2, F3 las componentes de la fuerza actuante sobre la partícula
en dicha posición, que pueden ser función de la posición, de la velocidad y del
tiempo.
Hay una importante conexión entre los sistemas de ecuaciones y las
(1)
Ecuaciones de orden arbitrario. De hecho una ecuación de orden n puede ser
reducida a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden con una
forma bastante particular. Para verlo se va a efectuar los siguientes cambios de
variables, llamando
...
Entonces se puede reescribir (1) como

5. ...
Que es un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden.
En el caso más general un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer
orden tiene la forma:
...
Antes de proseguir será necesario establecer en qué caso hay solución del
sistema y si ésta es única. Para ello, se enuncia el siguiente teorema:
Teorema
Sean continuas en una región R del espacio (n+1) dimensional las
funciones
Y tal que dicha región contiene el punto . Entonces existe un
intervalo en el que hay solución única de la forma:
...
Del sistema de ecuaciones diferenciales que satisface la condición

6. ...
Los sistemas se clasifican como las ecuaciones ordinarias. Pueden ser lineales
y no lineales. Si las funciones tienen la forma
El sistema se dice lineal. Si no, es no lineal. Si es cero en todas y cada
una de las ecuaciones, el sistema se dice homogéneo; en caso contrario, no
homogéneo.
Para los sistemas lineales el teorema de existencia y unicidad de solución es
más simple y con una conclusión más amplia. Es un teorema de existencia de
solución global, como en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
Si las funciones y son continuas en el intervalo abierto
a<t<b
Que contiene al punto , entonces existe una única solución al sistema de la
forma:
...
Que satisface las condiciones de valor inicial
...
Obsérvese que la existencia y unicidad de la solución del sistema está
asegurada en todo el intervalo en que las funciones pij(t) y qi(t) son continuas a
diferencia de los sistemas no-lineales en los que la existencia y unicidad
quedaba consignada en un subintervalo incluido en el de continuidad de las
funciones.

7. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER
ORDEN.
Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de 1er orden
...
Utilizando notación matricial el sistema se puede escribir
Donde
Y su derivada
Y
Esta notación, además de simplificar la escritura, enfatiza el
paralelismo entre los sistemas y las ecuaciones diferenciales lineales de primer
orden.
Se dice que un vector x = {f (t)} es solución del sistema si sus componentes
satisfacen todas las ecuaciones del sistema.
Supóngase que P y q son continuos en un intervalo a < t < b . En primer lugar,
se estudia la ecuación homogénea

8. Una vez que esta ecuación esté resuelta se resolverá la no-homogénea.
Sean
Soluciones específicas de la ecuación homogénea.
Teorema 1
Si y son soluciones del sistema (1), entonces
Es solución también, donde y son constantes arbitrarias.
Este es el principio de superposición y se comprueba sin más que diferenciar la
solución propuesta y sustituirla en (1)
Aparentemente se pueden encontrar infinitas soluciones, por ello se debe
cuestionar acerca del número mínimo de soluciones independientes que
generan todas y cada una de las soluciones del sistema.
Por similitud a los temas previos se puede afirmar que habrá n. Sean , ,....,
. Considérese la matriz formada por estos vectores columna -cada columna
es uno de estos vectores-
Estas soluciones serán linealmente independientes en cada punto t del
intervalo a < t < b si y sólo si el determinante es distinto de cero en ese punto.
Al determinante de X se le llama wronskiano de las n soluciones.
Teorema 2
Si las funciones vectoriales , ,......, son soluciones linealmente
independientes del sistema (1) en cada punto de a < t < b entonces la solución
del sistema {f (t)} puede ser expresada como una combinación lineal de ,
,......, .

9. Para demostrarlo véase que con sólo elegir adecuadamente los valores de las
constantes se puede obtener la solución {f (t)} que cumpla unas determinadas
condiciones de contorno en un punto del intervalo
a<t<b
Sean estas condiciones
Siendo
Si
Sustituyendo el valor se obtienen n ecuaciones algebraicas de la forma:
Este sistema tiene solución para las incógnitas , , ........, si el
determinante de los coeficientes es distinto de cero. Como el wronskiano es
distinto de cero -las funciones son independientes- en el intervalo a < t < b , el
determinante es distinto de cero. Por consiguiente hay una única solución del
sistema y
Llamando W(t) al wronskiano. Dicha función verifica la ecuación diferencial.
Que se conoce con el nombre de fórmula de Abel.
Como

10. Derivando
Pero:
O empleando el convenio de Einstein de suma en índices repetidos:
Por tanto:

11. Por consiguiente se llega a que
Integrando se obtiene que: , Siendo K una constante de
integración.
Una vez realizada este cálculo se puede estudiar otro teorema.
Teorema 3
Si , , ...., son soluciones de en el intervalo a < t < b entonces
en este intervalo el wronskiano o es cero o nunca es cero.
La demostración surge como una consecuencia de la fórmula de Abel. Si las
funciones son continuas en (a ,b ) la traza de la matriz P(t) es una función
continua y por consiguiente la función exponencial no se anula para valores de
x pertenecientes al intervalo (a ,b ). El único valor que puede ser cero es la
constante K. Si lo es, el wronskiano es cero para cualquier valor de x; en caso
contrario, nunca se anula.
Teorema 4
Si se llama
, , ... ,
Y las soluciones , , ......, son tales que , donde t es cualquier
punto en a < t < b , entonces , , ......, son conocidas como soluciones
fundamentales y cualquier solución del sistema se puede expresar como una
combinación lineal de estas soluciones fundamentales.
La demostración es una consecuencia de lo visto en teoremas anteriores.
Estas soluciones fundamentales son linealmente independientes, ya que en un
punto del intervalo su wronskiano es distinto de cero; en concreto, vale uno. Al
ser un conjunto de n soluciones linealmente independientes constituye un
conjunto generador de soluciones.

12. SISTEMA LINEAL HOMOGÉNEO CON COEFICIENTES CONSTANTES
En este apartado se construye la solución general de un sistema de ecuaciones
lineales homogéneas con coeficientes constantes.
Sea el sistema x' = A·x, donde A es una matriz n x n. Por analogía a las
ecuaciones lineales de primer orden con coeficientes constantes, se busca una
solución de la forma donde el vector a y el escalar r son constantes a
determinar. Sustituyendo en la ecuación diferencial se llega a:
Como no es cero, se obtiene que o (A-r·I)·a = 0, donde I es la
matriz identidad. Por tanto para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales
se ha de obtener la solución de un sistema algebraico. Precisamente éste es el
problema de determinación de vectores y valores propios de la matriz A. Por
tanto el vector . solución del sistema viene definido por los valores r
que son los autovalores de A y los vectores a son sus autovectores asociados.
Ejemplo
Suponiendo
Se llega a qué:
Luego:
Son soluciones: y y los autovectores asociados son:
Por tanto las soluciones son
Y

13. El wronskiano es:
que no es cero, por tanto, la solución general es:
puesto de otra forma:
Para visualizar estos resultados se pueden representar en el plano las
soluciones para distintos valores de y .
Volviendo al sistema original, los autovalores (puede haber raíces
múltiples) son las raíces de:
det (A - r·I) = 0
A) Sistema Hermítico:
La situación más simple se da cuando A es una matriz hermítica (una matriz
que es igual a su transpuesta conjugada; en el caso de ser de elementos
reales, una matriz hermítica es sinónima de simétrica). Como se sabe las
raíces son todas reales. Aunque haya alguna repetida hay siempre un conjunto

14. de n autovectores linealmente independientes, que además se
pueden elegir de modo que sean ortogonales.
Por tanto las soluciones del sistema son:
...
Estas soluciones son linealmente independientes ya que su wronskiano es:
cada una de las columnas son los vectores propios, que son independientes
entre sí. Por consiguiente su determinante es distinto de cero y como también
lo es el factor exponencial que aparece en la fórmula anterior, entonces W ¹ 0.
Las soluciones son linealmente independientes, y la solución general es:
B) Sistema no hermítico
Sea la matriz A de valores reales. Pueden presentarse varios casos:
1) n valores propios reales y distintos. Habrá n vectores propios linealmente
independientes. La solución adopta la forma del caso hermítico.
2) valores propios complejos
3) valores propios repetidos, tanto reales como complejos. Como no todos los
valores propios múltiples tienen tantos vectores asociados como el orden de su
multiplicidad, necesitan una consideración especial.
Ejemplo del caso hermítico
El polinomio característico de la matriz A es:

15. y sus raíces son
Con :
Luego:
Con l = -4
Solución general:
Puesto de otro modo
Es interesante estudiar el comportamiento de estas funciones en el plano de
fases, es decir en el plano cartesiano .
AUTOVALORES COMPLEJOS

16. Sea la matriz real A -no hermética- x' = A· x y entre los valores propios de A
hay alguno complejo. Si A es real y es complejo Se puede
observar que, calculando la conjugada se obtiene ya que A e I son
matrices reales. Esto significa que, siendo un valor propio complejo, su
complejo conjugado también es valor propio. Lógicamente los vectores
propios asociados serán complejos y entre sí complejos conjugados.
Sea un valor propio complejo y su vector asociado, obviamente los valores
conjugados y definen también una solución. Así,
Si ,
entonces:
Y también será solución:
Por tanto -como se buscan soluciones reales-, son soluciones la parte real e
imaginaria de las antes vistas:
Ejemplo:
Los valores propios son: , Los vectores propios serán:
Es decir: y
Solución:
La representación en el plano de fases es:

17. AUTOVALORES REPETIDOS
Si el polinomio característico de A no tiene n raíces distintas, entonces A puede
no tener n autovectores linealmente independientes. Por ejemplo, la matriz
tiene solo dos autovalores distintos =1 y =2 y dos autovectores
linealmente independientes, por ejemplo:
y consecuentemente, la ecuación diferencial tiene solo dos
soluciones independientes de la forma
y
El problema, en este caso, es encontrar una tercera solución linealmente
independiente. Supóngase, en un caso general, que la matriz A nxn tiene solo
k soluciones linealmente independientes de la forma . Se trata de
encontrar n-k soluciones adicionales linealmente independientes.

18. Teniendo en cuenta que la solución de la ecuación diferencial escalar x' = a·x
es x(t) = eat·c, para cualquier constante c, análogamente, gustaría comprobar
que x(t) = eAt·v es solución de la ecuación diferencial vectorial x´ = A·x, para
cualquier vector constante v. Hay una vía natural de definir e At si A es una
matriz nxn.
Se puede demostrar que esta serie infinita converge para todo t, y que se
puede diferenciar término a término. En particular
Esto implica que es solución para cualquier vector constante v, ya que
La función matricial, y la función escalar satisfacen muchas propiedades
similares. Por ejemplo
y
sin embargo
Hay clases de matrices para las cuales la serie infinita antes definida, se puede
sumar exactamente. En general, sin embargo, no parece posible expresar
de una forma compacta. Aunque, lo más remarcable es que siempre se pueden
encontrar n vectores v linealmente independientes para los cuales la serie
infinita se puede sumar exactamente. Además, una vez que se conocen n
vectores linealmente independientes solución del sistema, se puede calcular
exactamente.
Ahora se demuestra cómo se pueden calcular n vectores v linealmente
independientes, para los cuales la serie infinita se puede sumar
exactamente. Teniendo en cuenta que
para cualquier constante l , ya que , tenemos que
.
Por lo tanto, .

19. Además, si , para algún m entero, entonces, la serie infinita
, se trunca en m términos ya que si , entonces
Consecuentemente,
Y
Esto sugiere el siguiente algoritmo para encontrar n soluciones linealmente
independientes de (1).
a.- Encontrar todos los autovalores y autovectores de A. Si A tiene
exactamente n autovectores independientes, entonces la ecuación diferencial
x' = A·x tiene n soluciones linealmente independientes de la forma (En
este caso la serie infinita se trunca en un término).
b.- Si A tiene solo k < n autovectores linealmente independientes, entonces
hay sólo k soluciones linealmente independientes de la forma .Para
obtener soluciones adicionales, para cada autovalor l de A, se obtendrán todo
los vectores v tales que pero . Para cada vector v
se tendrá que
Es una solución adicional de x' =
A·x.
c.- Si no se tienen suficientes soluciones, se calcularán todos los vectores tales
qué , pero que . Para cada vector v se tendrá que
Es una solución
adicional de x' = A·x.
d.- Se procederá como en los apartados anteriores hasta obtener n soluciones
linealmente independientes.

20. Nota: El siguiente lema del álgebra lineal, que se acepta sin demostración,
garantiza el buen funcionamiento del algoritmo. Es más, establece un límite
superior de pasos que se efectuarán en el algoritmo.
Lema:
Sea el polinomio característico de A con k raíces distintas de
multiplicidades respectivamente. (Eso significa que p(l ) se puede factor
izar como ... .)
Si A tiene solo autovectores linealmente independientes asociados al
autovalor , entonces la ecuación tiene por lo menos
soluciones independientes. En general, si la ecuación tiene
solo soluciones independientes, entonces la ecuación
tiene por lo menos soluciones independientes.
Este lema implica que existe un entero tal que la ecuación
tiene por lo menos soluciones linealmente independientes x'
= A·x. Para cada una de ellas se tendrá que
es una solución de x' = A·x. En suma, se puede demostrar que el conjunto de
soluciones que se obtengan serán linealmente
independientes.

21. MATRIZ FUNDAMENTAL DE UN SISTEMA
Supóngase el sistema homogéneo x' = P(t)·x y sean un conjunto
linealmente independiente de soluciones. Este conjunto genera ¾ mediante
una apropiada combinación lineal¾ todas y cada una de las soluciones del
sistema. Se llama matriz fundamental de las soluciones de un sistema a la
matriz cuyas columnas son los vectores soluciones. Repárese que, como son
soluciones linealmente independientes, el determinante de dicha matriz (que es
el wronskiano) es distinto de cero.
Supóngase ahora que se busca la solución que verifica Entonces
Para obtener basta con darse
cuenta que
C es el vector columna de los { }. Como , entonces se puede
determinar el vector C mediante la matriz inversa de la Y ( ), es decir:
Luego la solución particular buscada es:
A veces es conveniente hacer uso de las soluciones, que se han llamado
anteriormente con el nombre de fundamentales
Este conjunto especial de soluciones fundamentales van a definir una matriz
que se le va a llamar f (t)
Obviamente:
A continuación se demostrará que puede computarse directamente a partir
de cualquier matriz fundamental del sistema Es decir para el caso
particular en que P(t)=A matriz de coeficientes constantes. Para ello, es preciso
demostrar algunos resultados previos.
Teorema
Una matriz Y (t) es una matriz fundamental del sistema: si y sólo si
. Además si es matriz fundamental, entonces .
Al ser Y (t) una matriz fundamental, sus columnas verifican el
sistema: , pero entonces:

22. y como Y (t) es una matriz
fundamental, entonces es regular y en particular para t=0.
La función matricial es una matriz fundamental solución
del sistema
Se ha visto antes que . Por lo tanto es solución del sistema
y es matriz fundamental. Además y .
Sean y dos matrices fundamentales solución del sistema .
Entonces existe una matriz constante C tal que
Por definición las columnas de y las columnas de
son conjuntos de soluciones linealmente independientes del sistema. En
particular cada columna de se puede expresar como combinación lineal
de las n columnas de ; esto es, existirán constantes tal que la
columna j-ésima de será
Sea C la matriz constante que tiene por columnas estos vectores constantes
:o
Las ecuaciones anteriores son equivalentes a la ecuación matricial
. Teniendo en cuenta estos tres lemas podemos ya enunciar el
resultado siguiente:
Sea Y (t) cualquier matriz fundamental solución del sistema .
Entonces , es decir el producto de cualquier matriz
fundamental por su inversa evaluada en t = 0 conduce a .
Teniendo en cuenta lo anterior, existirá una matriz constante C tal que:
Pero evaluando esta expresión en t=0, como:
Þ Þ

23. SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS
Sea el sistema Supóngase resuelto el sistema homogéneo
y llámese Y (t) a la matriz fundamental de las soluciones. Se van a
distinguir distintos casos:
A) Si P(t) = A, matriz constante diagonalizable. Llamando T a la matriz de los
vectores propios de A y haciendo el cambio de variable x = T·y resulta:
Como T es no singular , pero (matriz
diagonal de los valores propios)
Por consiguiente: en componentes (no hay
suma en índices repetidos)
Luego: , Deshaciendo el cambio de variable
x = T·y
B) Variación de los parámetros
Conocida Y (t), matriz fundamental de la ecuación homogénea se busca una
solución de la forma . u debe ser determinado de modo que el vector
x sea solución del sistema. x' = P(t)·x + Q(t)
Sustituyendo: , pero ya
que las columnas de j son solución de la homogénea. Luego
Luego la solución general será:

24. ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES
Para poder hablar de ecuaciones diferenciales no lineales, debemos recordar
algunos conceptos básicos, esto con el fin, de poder entender mucho mejor
nuestro tema a exponer, como son el caso de; no linealidad, los sistemas no
lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la
suma de los comportamientos de sus descriptores. Más formalmente, un
sistema físico, matemático o de otro tipo es no lineal cuando las ecuaciones de
movimiento, evolución o comportamiento que regulan su comportamiento son
no lineales. En particular, el comportamiento de sistemas no lineales no está
sujeto al principio de superposición, como lo es un sistema lineal. Por otra parte
la linealidad de un sistema permite a los investigadores hacer ciertas
suposiciones matemáticas y aproximaciones, permitiendo un cálculo más
sencillo de los resultados. Ya que los sistemas no lineales no son iguales a la
suma de sus partes, usualmente son difíciles (o imposibles) de modelar, y sus
comportamientos con respecto a una variable dada (por ejemplo, el tiempo) es
extremadamente difícil de predecir.
Otros conceptos a tener cuenta son:
Sistemas lineales: una función lineal es aquella que satisface las siguientes
propiedades.
1. Aditividad:
2. Homogeneidad:
Estas dos reglas tomadas en conjunto se conocen como Principio de
Superposición.
Sistemas no lineales
Las ecuaciones no lineales son de interés en física y matemáticas debido a que
la mayoría de los problemas físicos son implícitamente no lineales en su
naturaleza. Ejemplos físicos de sistemas lineales son relativamente raros. Las
ecuaciones no lineales son difíciles de resolver y dan origen a interesantes
fenómenos como la teoría del caos. Una ecuación lineal puede ser descrita
usando un operador lineal, L. Una ecuación lineal en algún valor desconocido
de u tiene la forma
Una ecuación no lineal es una ecuación de la forma: , Para algún valor
desconocido de u.
Para poder resolver cualquier ecuación se necesita decidir en qué espacio
matemático se encuentra la solución u. Podría ser que u es un número real, un
vector o, tal vez, una función con algunas propiedades.
Las soluciones de ecuaciones lineales pueden ser generalmente descritas
como una superposición de otras soluciones de la misma ecuación. Esto hace
que las ecuaciones lineales sean fáciles de resolver.
Las ecuaciones no lineales son mucho más complejas, y mucho más difíciles
de entender por la falta de soluciones simples superpuestas. Para las
ecuaciones no lineales las soluciones generalmente no forman un espacio
vectorial y, en general, no pueden ser superpuestas para producir nuevas
soluciones. Esto hace el resolver las ecuaciones mucho más difícil que en
sistemas lineales.

25. Luego de mencionados los conceptos básicos podemos ahora si hablar de la
ED no lineales:
Ecuaciones Diferenciales No Lineales
De las ED no lineales de primer orden, las podemos convertir a lineales con
métodos vistos anteriormente en clases como son el caso de: La Ecuación de
Bernoulli, Ecuación de Riccati, Fracciones parciales, entre otros métodos que
ya hemos de conocer.
Entre las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales hay varias diferencias
importantes. Ya es conocido que las ecuaciones lineales no homogéneas de
orden dos o superior tienen la propiedad de que una combinación lineal de
soluciones también es una solución. Las ecuaciones no lineales no poseen
esta propiedad de superposición.
Las ecuaciones diferenciales no lineales de orden superior desafían
virtualmente la solución mediante métodos analíticos. Aunque esto sería
desalentador, aun no hay cosas que se pueda hacer. Siempre es posible
analizar de modo cualitativo o numérico una ED no lineal.
Es claro que la ED no lineales de orden superior son importantes, ¿quizá más
que las lineales? Porque a medida que se ajusta a un modelo matemático, por
ejemplo, un sistema físico, se incrementa por igual la probabilidad de que este
modelo de mayor definición sea no lineal.
Hay grandes clases de ecuaciones diferenciales y sistemas que tienen solución
en algún intervalo. Sin embargo si una ecuación es no lineal, entonces
generalmente no hay manera de hallar su solución. Por esta razón es
necesario buscar métodos para describir la naturaleza de una solución sin
resolver la ecuación explícitamente.
Considere las siguientes ecuaciones lineales.
Todas las soluciones de:
a. Se aproximan a o cuando t tiende a ∞
b. se aproximan a ∞ cuando t tiende a ∞
c. se mantienen acotadas pero no se acercan a ninguna constante cuanto t
tiende a ∞, además sus soluciones son periódicas de periodo 2π.
Las ecuaciones diferenciales no lineales también pueden tender a cero, crecer
sin cota, o permanecer acotadas cuando t crece. Además pueden speriódicas.

26. Solución De Ecuaciones Diferenciales No Lineales
Un método para solucionar una ecuación diferencial no lineal es considerarla
como una perturbación de alguna ecuación lineal, o sea, tratar de aproximarla
por medio de una ecuación lineal “relacionada”.
Como ejemplo la ecuación del péndulo.
Ejemplo 1.
Considere un péndulo de oscilación libre (sin fricción) de longitud L.
Donde . Sin embargo, como:
Podemos aproximar la ecuación del péndulo para valores pequeños de por la
ecuación lineal
Y la solución general para esta es periódica:
Ejemplo 2.
Considere la ecuación escalar no lineal de primer orden
Esta ecuación tiene dos soluciones constantes y que pueden
verificarse sustituyendo el la ecuación inicia. Para cerca de cero el término
no lineal es relativamente pequeño comparado con el término lineal – ya
que:
Por lo tanto queremos comparar las soluciones de la ec.(1) con aquellas de la
ecuación lineal.
Cuya solución general es:

27. La ecuación no lineal (1) puede resolverse por separación de variables
Usando fracciones parciales tenemos:
Lo cual implica que:
Para una nueva constante C.
Podemos suponer que , porque si , ya tenemos la solución
única . Entonces, para , la ecuación (3) da:
Así
Despejando
Esta función está definida mientras el denominador no sea cero; es decir,
mientras:
Observe que para valores pequeños de t, esta cerca de cero, así que la
solución de , dada por la ecuación, (4) está cerca de , que es la
solución de la ecuación lineal .
Ahora suponga que . Entonces, por la ecuación (3), .
Luego para todo , y la solución de la ecuación (1) [dada por la
ecuación (4)] se aproxima a cero cuando t tiende a . Por tanto, para
la ecuación (2) es una buena aproximación de de la ecuación (1)

28. en el sentido de que ambas ecuaciones exhibe el mismo comportamiento
asintótico. Cuando , ya no estamos cerca de la solución cero, y la
ecuación (2) no es una buena aproximación. Si , obtenemos la solución
constante . Si , entonces y , así que la
solución (3) se aproxima a infinito cuando t tiende a – . Esto se ilustra en la
siguiente figura.
El Efecto Mariposa
Las que hoy son conocidas como ecuaciones de Lorenz, son el parteaguas de
esta llamada revolución, esta investigación está en su escrito quot;Deterministic
Nonperiodic Flowquot;. Lorenz derivó este sistema tridimensional de ecuaciones
diferenciales no-lineales, sistema que es un modelo matemático simplificado de
la recirculación por convección que aparece en la atmósfera. Lorenz descubrió
que este simple modelo puede desarrollar una dinámica errática extrema: sobre
un amplio rango de parámetros, las soluciones oscilan irregularmente, nunca
repitiéndose exactamente, pero siempre permaneciendo entre los límites de
una región del espacio de fase. Cuando Lorenz graficó las trayectorias en el
espacio tridimensional, el descubrió que se situaba en un complicado arreglo,
hoy conocido como atractor extraño. El atractor extraño, no es un punto o una
curva o una superficie, es un fractal con una dimensión entre 2 y 3.
Las ecuaciones de Lorenz son:
donde sigma, r, b>0, son parámetros. sigma es el llamado número de Prandtl,
r es el número de Rayleigh, y b es la relación de aspecto de los “rollos” o
recirculaciones por convección. Las variables x, y, z, son la razón de rotación,
el gradiente de temperatura y la desviación de la temperatura respecto al valor
de equilibrio, respectivamente. Es un sistema no-lineal por las dos no-
linealidades, los términos xy y xz.
Soluciones numéricas del sistema son mostradas a continuación, como
ejemplo usando sigma=10, b=8/3, r=28. Una maravillosa estructura emerge si
la solución es visualizada como una trayectoria en el espacio (x(t), y(t), z(t)).
Aquí se muestra el patrón tipo mariposa.

29. Modelos demográficos Si P(t) es el tamaño de una población en el momento
t, el modelo del crecimiento exponencial comienza suponiendo que
Para cierta k > 0
En este modelo, la tasa específica o relativa de crecimiento, definida por
Se supone constante, igual a k. Es difícil encontrar casos reales de un
crecimiento exponencial durante largos periodos, porque en cierto momento los
recursos limitados del ambiente ejercerán restricciones sobre el crecimiento
demográfico. Así, cabe esperar que la razón disminuya a medida que P
aumenta de tamaño.
La hipótesis que la tasa con que crece o decrece una población sólo depende
del número presente y no de mecanismos dependientes del tiempo, como los
fenómenos estacionales, se puede enunciar como sigue:
Esta ecuación diferencial, que se adopta en muchos modelos demográficos
animales, se llama hipótesis de dependencia de densidad.
Ecuación logística
Supóngase que un medio es capaz de sostener, como máximo, una cantidad K
determinada de individuos en una población. Dicha cantidad se llama
capacidad de sustento, o de sustentación, del ambiente. Entonces
para la función f en la ecuación anterior y se escribe también . En la
figura vemos tres funciones que satisfacen estas dos condiciones.

30. La hipótesis más sencilla es que es lineal; esto es, que .
Si aplicamos las condiciones , tenemos que
respectivamente, y f adopta la forma Entonces la
ecuación se transforma en
Si redefinimos las constantes tenemos
Alrededor de 1840, P. F. Verhufst, matemático y biólogo belga, investigó
modelos matemáticos para predecir la población humana en varios países. Una
de las ecuaciones que estudió fue la anterior, con a > 0 y b > 0. Esa ecuación
se llamó ecuación logística y su solución se denomina función logística. La
gráfica de una función logística es la curva logística.
La ecuación diferencial no es un modelo muy fiel de la población
cuando ésta es muy grande. Cuando las condiciones son de sobrepoblación,
se presentan efectos negativos sobre el ambiente (como contaminación y
exceso de demanda de alimentos y combustible). Esto puede tener un efecto
inhibidor en el crecimiento demográfico. Según veremos a continuación, la
solución de de la ecuación
Está acotada cuando Si se rearregla esa ecuación en la forma
, el término no lineal , se puede interpretar como un término de
“inhibición” o “competencia.” Asimismo, en la mayor parte de las aplicaciones la
constante positiva a es mucho mayor que b.
Se ha comprobado que las curvas logísticas predicen con bastante exactitud
las pautas de crecimiento de ciertos tipos de bacterias, protozoarios, pulgas de
agua (Daphnia) y moscas de la fruta (Drosophila) en un espacio limitado.
Solución de la ecuación logística
Uno de los métodos para resolver la ecuación logística es por separación de
variables. Al descomponer el lado izquierdo de en fracciones
parciales e integrar, se obtiene

31. Como consecuencia de la última ecuación,
Si , , llegamos a y así, sustituyendo y
simplificando, la solución es
Gráficas de P(t)
La forma básica de la gráfica de la función logística P(f) se puede conocer sin
mucha dificultad. Aunque la variable t suele representar al tiempo -y casi no
nos ocupamos de aplicaciones en que t < 0, tiene cierto interés incluir ese
intervalo al presentar las diversas gráficas. Tenemos que
y
La línea de puntos P = a/2b de la figura anterior corresponde a la ordenada de
un punto de inflexión de la curva logística. Para caracterizarlo diferenciamos la
ecuación logística aplicando la regla del producto

32. Recuérdese, del cálculo diferencial, que los puntos en donde son
posibles puntos de inflexión, pero se pueden excluir P = 0 y P = ; de aquí
que P = sea el único valor posible para la ordenada a la cual puede
cambiar la concavidad de la gráfica. Entonces, P” = 0 cuando 0 < P < ,y
<P< significa que P’’ < 0; por consiguiente, al avanzar de izquierda
a derecha la gráfica cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, en
el punto que corresponde a P = a/2b. Cuando el valor inicial satisface a 0 <Po
< a/2b, la gráfica de P(f) toma la forma de una S. Cuando , la
gráfica sigue teniendo la forma de S, pero el punto de inflexión está en un valor
negativo de t
Ejemplo de Crecimiento logístico
Suponga que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa a su
escuela, donde hay 1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se
propaga el virus es proporcional no sólo a la cantidad x de alumnos infectados,
sino también a la cantidad de alumnos no infectados, determine la cantidad de
alumnos infectados seis días después, si se observa que a los cuatro días x(4)
= 50.
SOLUCIÓN
Suponiendo que nadie sale del campus durante la epidemia, debemos resolver
el problema de valor inicial
Sustituimos a = 1OOOk y b = k en la ecuación
Y vemos de inmediato que:
Usamos la condición x(4) = 50 y calculamos k con
Esto da como resultado -1OOOk = = -0.9906. Entonces

33. La respuesta es
Curvas de Gompertz:
Otra ecuación que tiene la forma de la ecuación
Es una modificación de la ecuación logística
En donde a y b son constantes. Por separación de variables se comprueba con
facilidad que una solución de la ecuación .
Es:
En donde c es una constante arbitraria. Cuando b > 0, cuando ,
mientras que cuando b<0 y c>0 , cuando . La gráfica de la función
se llama curva de Gompertz y se parece mucho a la
gráfica de la función logística.

34. Las funciones como la ecuación surgen, por ejemplo, al
describir el aumento o la disminución de ciertas poblaciones, en el crecimiento
de tumores, en predicciones actuariales y en el incremento de las utilidades por
la venta de un producto comercial.
Reacciones químicas
Supongamos que se combinan a gramos de la sustancia A con b gramos de
la sustancia B. si, para formar gramos de la sustancia C se necesitan M
partes de A y N partes de B, los gramos de las sustancias A y B que quedan en
cualquier momento son respectivamente,
Según la ley de acción de masas, la rapidez de reacción se apega a
Sacamos a como factor común del primer factor, a del segundo e
introducimos un constante de proporcionalidad, k > 0, con lo cual nuestra
ecuación adquiere la forma
En la que y . de acuerdo a la ecuación una reacción
química que responde a la ecuación diferencia no lineal anterior se llama
reacción de segundo orden.
Reacción Química de Segundo Orden
Ejemplo
Cuando se combinan dos sustancias, A y B, se forma un compuesto C. la
reacción entre ambas es tal que, por cada gramo de A se usan 4 gramos de B.
Se observa que a los 10 minutos se han formado 30 gramos del producto C.
Calcula la cantidad de C en función del tiempo si la velocidad de la reacción es
proporcional a las cantidades de A y B que quedan y al principio hay 50 gramos
de A y 32 gramos de B. ¿Qué cantidad de compuesto C hay a los 15 minutos?
Interprete la solución cuando .
Solución
Sean los gramos del compuesto C presentes cuando el tiempo es t. Está
claro que =0 y .
Si, por ejemplo, hay dos gramos del producto C, hemos debido usar, digamos,
a gramos de A y b gramos de B, de tal modo que a+b=2 y b=4a; por
consiguiente, debemos emplear gr de la sustancia A y gr de la
sustancia B. En general, para obtener gramos de C debemos emplear
Entonces, las cantidades de A y B que quedan en cualquier momento son

35. Respectivamente.
Sabemos que la rapidez de formación del compuesto C está definida por
Para simplificar las operaciones algebraicas, sacaremos a como factor común
del primer término, del segundo e introducimos la constante de
proporcionalidad:
Separamos variables y por fracciones parciales llegamos a
Al intégrala obtenemos
O sea
Cuando t=0, X=0, y en consecuencia Cuando X=30gr cuando t=10,
vemos que Con estos datos despejamos X de la
última de las ecuaciones
En la figura de a continuación se muestra el comportamiento de X en función
del tiempo. Según la tabla de la figura y la ecuación obtenida anteriormente,
esta claro que cuando . Esto quiere decir que se forman 40
gramos de la sustancia C y que quedan
Comportamiento de X en razón de t

36. Ecuación De Clairaut
La ecuación de Clairaut, llamada así por su inventor, el físico francés Alexis-
Claude Clairaut, es una ecuación diferencial de la forma:
Donde f(x) es una función continuamente diferenciable.
El interés que presenta este tipo de ecuación se debe al hecho de que tiene
como solución a una familia de rectas. Además, la envolvente, es decir, la
curva cuyas tangentes están dadas por la familia, también es solución, en este
caso una solución singular, de la ecuación de Clairaut. Ésta fue una de las
primeras ocasiones en la historia en que este tipo de solución (la solución
singular) se puso de relieve.
Recordemos que la ecuación de Clairaut es de la forma
El método de resolución es hacer y derivar respecto a , teniendo en
cuenta que . Nos queda entonces
(1)
Si entonces y por tanto teniendo en cuenta (1) se obtiene que
(2)
La familia (2) es un haz de rectas, todas ellas solución de (1).
Si , usando (1) se obtiene la solución singular en forma
paramétricas:
En general no es obligatorio eliminar p para obtener una ecuación de la forma
Ecuación De Lagrange
Son de la forma y = x f(y') + g(y') donde f(y') no puede ser igual y'. Se
resuelven derivando y llamando y' = p con lo que obtenemos p = f(p) + [x f'(p) +
g'(p)]p' esta ecuación es lineal y se integra tomando x como función de
p.

37. Ecuaciones de Navier-Stokes
Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier
y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas
parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas
ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo
alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en todo
tipo de fluidos.
Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la
mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la
llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación
diferencial se manipulan aplicando diferentes teoremas matemáticos, llegando
así a la llamada formulación diferencial, que generalmente es más útil para la
resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos.
Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de
ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución
general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y
situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo
que en muchas ocasiones hemos de recurrir al análisis numérico para
determinar una solución. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de
la obtención de estas soluciones mediante el ordenador se la denomina
mecánica de fluidos computacional (CFD, de su acrónimo anglosajón
Computational Fluid Dynamics).
Las ecuaciones de Navier-Stokes
.
Esta expresión representa el principio de conservación del momento lineal
aplicada a un fluido general. La ley de conservación de la masa se escribe:
En estas ecuaciones ρ representa la densidad, ui (i = 1,2,3) las componentes
cartesianas de la velocidad, Fi las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo, como la
gravedad, P la presión del fluido, y μ la viscosidad dinámica.
donde Δ = eii es la divergencia del fluido y δij la delta de Kronecker. D / Dt es la
derivada total o derivada material temporal siguiendo el fluido:
La no-linealidad de las ecuaciones se debe precisamente al término
relacionado con la derivada total. Cuando μ es uniforme sobre todo el fluido las
ecuaciones de fluido se simplifican de la manera siguiente:

38. Fluidos no viscosos
Para fluidos de viscosidad nula, es decir cuando μ = 0, las ecuaciones
resultantes se denominan ecuaciones de Euler que se utilizan en el estudio de
fluidos compresibles y en ondas de choque. Si además ρ puede ser
considerada constante (como en un líquido):
y la ecuación de continuidad adquiere la forma siguiente:
Sistemas De Ecuaciones No Lineales
La diferencia entre los sistemas lineales y no lineales se ven a continuación.
Los sistemas lineales están dados de esta forma:
Cuando g1 y g2 son lineales en las variables (t,x,y) esto es :
Donde los coeficientes podrían depender de t. entonces se dice que el
sistema es un sistema lineal, en caso contrario si no dependiera de t
entonces se dice que no es lineal.
El siguiente sistema no lineal se conoce como depredador-presa se desea
conocer el sistema no lineal que puede presentar en los ecosistemas cuando
se tiene a 2 poblaciones muy presentes en ella como lo son los zorros
(depredadores) y los conejos (presa).
Las condiciones iníciales empleadas fueron
Se observa que el modelo parece predecir que ambas poblaciones
son periódicas. Esto tiene sentido ya que al disminuir la cantidad

39. de presas la de depredadores terminara reduciéndose por el poco suministro
alimenticio; pero a causa de su decremento en la cantidad de depredadores,
aumenta la cantidad de presas, esto a su vez, origina mayor numero de
depredadores, que mas adelante originan otra disminución entre las presas y
así sucesivamente.
El siguiente es un modelo de competencia, pero en este caso no como
depredador y presa sino como 2 competidores del un mismo recurso, que se
encuentran en un mismo ecosistema. Se desea conocer la rapidez de
crecimiento demográfico de cada especie:
Como se sabe que las 2 especies se encuentran compitiendo, otra hipótesis
seria que una población puede llegar a sentirse menguada por la otras
población. Asi, un modelo de las 2 poblaciones es el sistema lineal:
En donde a, b, c, d son constantes positivas. Debido a la interacción entre las 2
especies el sistema quedaría así:
Llegando finalmente al sistema no lineal:
Este es un claro ejemplo donde podemos llegar a ver sistemas lineales que
pueden conducir a sistema no lineales y viceversa.
Soluciones De Sistemas No Lineales De Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias
Las ecuaciones diferenciales no lineales no se pueden resolver exactamente
en general, y que cuando se pueden generalmente se requieren técnicas
especiales. En vista de esto no es una sorpresa que los sistemas no lineales de
ecuaciones diferenciales también requieran técnicas especiales si una solución
exacta es posible. Hay varios métodos de ataque que se pueden emplear, tales
como los siguientes.

40. A) Método de eliminación
Elimine todas excepto una de las variables dependientes del sistema, como en
el caso de sistemas lineales. Esto conduce a una ecuación no lineal individual
con una variable dependiente y una variable independiente. Eventualmente,
podemos resolver esta ecuación y así llegar a la solución del sistema. Una
dificultad de este procedimiento es que, a diferencia de los sistemas lineales, la
eliminación no siempre es posible aún cuando existe una solución exacta.
B) Transformación de variables
Si el método de eliminación falla, puede ser posible transformar variables para
producir un sistema más simple. Los tipos de transformaciones que se pueden
ensayar frecuentemente son sugeridos por la forma particular del sistema, pero
el ingenio también juega un papel importante en hacer una buena selección.
Un ejemplo de solución de sistemas no lineales por este método es la
aplicación astronómica que veremos a continuación
De acuerdo a la famosa ley universal de gravitación de Newton. Cualesquiera
dos objetos separados por una distancia r y con masas M1 y M2
respectivamente, se atraen uno a otro con una fuerza teniendo una magnitud
dada por
Donde G es una constante de gravitación universal. Es interesante hacer uso
de esta ley para describir el movimiento de planetas en nuestro sistema solar.
Consideraremos, en particular, el movimiento de la Tierra alrededor del Sol. Al
discutir este problema, simplificamos nuestra tarea tremendamente al
despreciar los efectos de los otros planetas. Consecuentemente, los resultados
son aproximados pero, sin embargo, sí representan en un alto grado de
precisión, el verdadero estado de cosas como se evidencia por observaciones
experimentales.
Formulación matemática
Asumimos al Sol fijo en el origen de un sistema de coordenadas x y y que la
Tierra está en el punto (x, y) en el tiempo t de su movimiento Tomamos como
direcciones positivas de las cantidades vectoriales las direcciones + x y + y. De
la figura, la fuerza F actuando sobre la Tierra se ve que tiene componentes x y
y de magnitudes F cos Ф y F sen Ф, respectivamente. Tomando a ms y me,
como las masas respectivas del Sol y de la Tierra, tenemos, haciendo uso de ()

41. Puesto que y las ecuaciones anteriores llegan a ser
Donde k = G m, puesto que las ecuaciones se pueden escribir
Como condiciones iníciales asumimos que en t = 0, la Tierra está localizada en
el eje X, a una distancia a del Sol, y prosigue en la dirección positiva y con
velocidad vo
Así
Si podemos resolver simultáneamente las ecuaciones sujetas a condiciones,
tendremos la solución a nuestro problema.
Solución
El sistema de ecuaciones diferenciales es un sistema no lineal y un poco de
experimentación con ellas pronto revela que es difícil si no imposible eliminar x
o y. Sin embargo, al notar la presencia de x2 +y2, podemos ser llevados a
considerar un cambio de variables a coordenadas polares.
Esto se evidencia más al ver que la posición de la Tierra con respecto al Sol se
describe tal vez mejor con coordenadas polares (r, Ф) que con (x, y).
Transformemos por tanto las ecuaciones a coordenadas polares.
Puesto que las ecuaciones que permiten la transformación de coordenadas
rectangulares (x, y) a coordenadas polares (r, Ф) están dadas por
C) Método de linearización
Si el sistema no lineal no se puede resolver exactamente, puede ser posible
remplazarlo por un sistema lineal que pueda servir como una razonable
aproximación. Si el sistema surge de una formulación matemática de un
problema en ciencia o ingeniería, esto generalmente involucra el

42. establecimiento de supuestos acerca del modelo matemático, el cual puede
servir como una primera aproximación a la situación real. Así, por ejemplo, si
un proyectil se lanza desde la superficie de la Tierra, podemos como una
primera aproximación suponer que la Tierra es plana. Sin embargo, esto será
una razonable buena aproximación si el proyectil no viaja demasiado lejos. En
otro caso, puede que tengamos que considerar el hecho de que la Tierra es
esférica en forma (o más exactamente es un esferoide ovalado, esto es,
ligeramente achatada en los polos), y que la aceleración gravitacional no es
constante. Para mayor precisión podemos considerar el movimiento de la
Tierra y aún los efectos del Sol, la Luna, y otros planetas.
Existencia Y Unicidad
Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación
física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con
seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe
suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos
el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados,
siempre y cuando el modelo sea deterministico. Por lo tanto, al considerar un
problema de valor inicial es natural preguntarse por:
1. Existencia: ¿Existirá una solución al problema?
2. Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única?
3. Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la
determinamos?
El teorema de existencia y unicidad nos da una condición suficiente. Por lo
tanto el hecho de que no se cumplan las hipótesis no nos permite concluir
nada. Por otro lado, aunque el teorema nos asegure la existencia no nos
garantiza que exista un método para llegar a ella, quizás, lo mejor que
podamos hacer sea aproximarla.
Existencia Y Unicidad De Soluciones
Para una gran clase de problemas de valor inicial, la existencia y unicidad de
una solución puede ser demostrado.
El teorema de Picard-Lindelöf garantiza una solución única en el intervalo que
t 0,
contiene algunos si ƒ y sus derivadas parciales ∂ƒ/∂y son continuas en una
t y
región que contiene 0 , e 0 , . La prueba de este teorema es un producto por
reformular el problema como un equivalente de la ecuación integral.
La integral puede ser considerado un operador de una función que asigna a

43. otro, de modo que la solución es un punto fijo del operador. Se invoca para
demostrar que existe un único punto fijo, que es la solución del problema de
valor inicial.
Una prueba de la edad Picard-Lindelöf teorema construye una secuencia de
funciones que convergen a la solución integral de la ecuación, y por lo tanto, la
solución del problema de valor inicial. Dicha construcción a veces se
denomina quot;el método de Picardquot; o quot;el método de aproximaciones sucesivasquot;.
Esta versión es esencialmente un caso especial del teorema de punto fijo de
Banach.
Teorema De Existencia Y Unicidad
Suponga que f es una función de dos variables, continua en algún rectángulo
R [ a , b ] [ c , d ] (abierto) y que la derivada parcial también es continua en R.
( x 0, y 0 ) x0 h, x0 h
sea en el rectángulo R. Entonces, en algún intervalo
contenido en [ a , b ] existe una solución única y g ( x ) del problema de valores
iníciales:
y´ f ( x, y ) y ( x0 ) y0
El procedimiento que ella sigue consiste en la construcción de una sucesión
de funciones que converge a una función límite que satisface el problema de
valores iníciales dados. Esto podría considerarse como un método practico,
pero por lo general resulta imposible calcular más allá de unos cuantos
términos de la sucesión, de modo que la función límite rara vez se puede
encontrar explícitamente mediante el procedimiento que establece la
demostración del teorema.
Teorema De Unicidad
Supongamos que se cumplen las condiciones del teorema de existencia.
Entonces:
Es la única solución continua en
Demostración
Supongamos que x(t) y y(t) son dos soluciones continuas
y distintas del P.V.I. (1) en y supongamos que para
todos

44. Sea y por tanto y continua.
Como f(t,x) es continua de Lipschitz en x sobre D, entonces
Teorema Local De Existencia Y Unicidad, Caso Unidimensional
A continuación analizaremos las condiciones para la existencia y unicidad del
P.V.I. con la E.D. de primer orden:
Teorema 1
Sea f (t, x) continua para todos los valores de t y x donde la función está
definida. Entonces el P.V.I. (1) es equivalente a la ecuación integral:
(Es decir, x(t) es solución de (1) y x(t) es solución de (2))
Demostración
Si x (t) satisface (1) entonces:
Si x (t) satisface (2) entonces derivando (2):
Y

45. Teorema De Picard
Si son continuas en D. Entonces existe una constante
tal que las funciones de Picard convergen a una solución
única y continua en
Demostración
Es consecuencia directa de los teoremas de existencia y unicidad.
Lipschitz Continuidad
Funciones continua que no son (a nivel mundial) Lipschitz continua
La función f (x) = x 2, con dominio de todos los números reales no es
Lipschitz continua. Esta función se convierte en arbitraria empinada
como x se aproxima al infinito. Sin embargo, es localmente Lipschitz
continua.
La función f (x) = x 2 definida en [-3, 7] es Lipschitz continua con
constante Lipschitz K = 14.
La función f (x) = √ x ² + 5 definida para todos los números reales es
Lipschitz continua con constante Lipschitz K = 1.
La función f (x) = | x | se define sobre las reales es Lipschitz continua
con constante Lipschitz igual a 1. Este es un ejemplo de una función
Lipschitz continua que no es diferenciable.
Más en general, una norma en un espacio vectorial es Lipschitz continua con
respecto a las métricas asociadas, con la Lipschitz constante igual a 1.
x 0,
Esta función se convierte en infinitamente empinada como enfoques
desde sus derivados se convierte en infinito
Sin embargo, es titular continua de clase C 0, α, para α ≤ 1 / 2.
Diferenciable funciones que no son (a nivel mundial) Lipschitz continua
La función f (x) = x 3 / 2 sen (1 / x) (x ≠ 0) y f (0) = 0, restringido en [0, 1],
da un ejemplo de una función que es diferenciable en un compacto
conjunto mientras no Lipschitz localmente, ya que su función no es
derivado delimitadas.

46. Ejercicios Resueltos
Estudiar los dominios de existencia y unicidad de soluciones de la ecuación
diferencial
SOLUCIÓN
El campo de existencia de
Es siendo, además, continua en todos los puntos del mismo.
Por otra parte , es:
Y se trata de una función continua Se obtiene, en
consecuencia, que cualquier problema de Cauchy:
Posee una única solución a condición que . Así pues se
puede hablar de existencia y unicidad de soluciones en cada uno de los
siguientes dominios (abiertos y conexos) del plano:

47. EJERCICIO 2
La solución de:
Puede concluirse que
Es más,
EJERCICIO 3
Considere el problema con valores iniciales
2 1/ 2
x x 4y
y'
2 , y (2) 1
1 2
y2 x
1. Pruebe que las dos funciones y y1 1 x
son soluciones 4
de dicho problema, ¿en qué intervalo es válida cada una?
2. ¿por qué la existencia de dos soluciones para este problema no
contradice el teorema de existencia y unicidad?
2
y cx c
3. Demuestre que , donde C es una constante arbitraria,
satisface la ecuación diferencial dada.
4. Observe que si C 1, en la función del punto anterior, se obtiene la
solución y1 , pruebe que, sin embargo, no existe ningún valor de C que
produzca la solución y 2 , es decir y 2 es una solución singular de la
ecuación.
Solución
1. Tenemos y1 1 x entonces y' 1 . Por otra parte.

48. 2 1/2 2 1/ 2 2 1/ 2
x x 4 y1 x x 4 4x x x 2 x x 2
y'
2 2 2 2
Si x 2 , la última expresión se convierte en
x x 2 x x 2
1
2 2
De modo que, y 2 1 x es solución de la ecuación diferencial para x 2
también vemos que satisface la condición inicial.
1 2
y2 x
Tomemos ahora 4 , se tiene que y 2 ( 2 ) 1 , es decir, satisface la
condición inicial.
1
y '2 x
Por otra parte, 2 , además:
2 1/ 2 2 2 1/ 2 1/ 2
x x 4 y2 x x x x a x
2 2 2 2
Lo anterior es válido para todo x IR
Así, y 2 también es una solución del problema de valores iniciales dado.
2. Aquí tenemos
2 1/ 2
x x 4 y2
f ( x, y )
2 ,
Por lo tanto
f 2 1/ 2 1
x 4 y2 1/ 2
2
y x 4 y2
f
2
x 4y y
Pero esta expresión no tiene sentido cuando , es decir no es
1 2
( x, x )
continua en ningún punto de la forma 4 . Dado que la condición inicial
es y 2 ( 2 ) 1
y que el punto (2,-1) es la forma antes dicha, concluimos que el
teorema no garantiza unicidad en este punto . Por esto , no se contradice el
teorema.
2
y cx c
3. Si , entonces, y ' C . Por otro parte:

49. 1/ 2
2 2 2 1/ 2
x x 4 y2 x x 4C X 4C
2 = 2
2 1/2
x x 2C
= 2
2
x x 2C
C
= 2
Si x 2C .
2
y cx c
Por lo tanto es solución de la ecuación diferencial sobre el intervalo
2cx x
1 2
y2 x
4. Si existiera un valor de C que produjera la solución 4 ,
tendríamos que
1 2
x 2
4 cx c
=
Pero esto no es posible, dado que la izquierda tenemos un polinomio de grado
dos y a la derecha un polinomio de grado uno y para ninguna constante C se
tendría esa igualdad.
(x , y )
Un punto singular de la ecuación diferencial y ' f ( x , y ) es un punto 0 0 en
el que no se satisface las condiciones iniciales dadas por el teorema de
existencia y unicidad, tal teorema establece la existencia y unicidad de la
y(x ) y (x , y )
solución con condición inicial 0 0
siempre que el punto 0 0 no sea
singular. Por el contrario, si el punto es singular. No se puede hacer ninguna
afirmación de antemano acerca del comportamiento de las soluciones en tal
punto.

50. SERIES DE POTENCIAS
Según se verá más adelante, una propiedad fundamental de las funciones
analíticas es que pueden representarse por medio de series de potencias.
Y recíprocamente, salvo excepciones triviales, toda serie de potencias
convergente define una función analítica.
Por ello las series de potencias son herramienta fundamental en el estudio de
las funciones analíticas.
Definición
“Una serie de potencias en torno al punto z0, es una serie funcional de la
forma:
n n
an (z z0 ) a0 a1 ( z z0 ) ... an (z z0 ) ...
ai
n 0 C ”
Se trata de discutir su convergencia y estudiar propiedades de la suma como
función de z.
n n
a n (z z0 ) anz
Como de n 0 se pasa a la n 0 por un simple cambio de origen,
se estudiará exclusivamente esa segunda serie.
n!
n
n 1 n 1
Definición: Llamamos serie de potencias a toda expresión del tipo
anxn
o , en donde a n R
Es decir
a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ....+ a n x n + ...
0
Por ejemplo
x n = 1 + x + x 2 + x 3 + ...+ x n + .. .
0

51. en donde todos los a n valen 1, o
1 x2 x3 1
xn = 1+ x + + + ...+ x n + ...
n! 2! 3! n!
0
1
an =
Y todos sus n! .
Es interesante saber cuáles son los valores de x R para los que las
respectivas series funcionales se convierten en series numéricas convergentes.
xn
Por ejemplo si en la primera de las dos series anteriores hacemos x=0, 0 es
1 + 0 + 0 +....+ 0 +... y esta serie es obviamente convergente. En cambio si x =
1, se convierte en 1 + 1 +... +... que es divergente.
Pero para x = 1/2 es
1 1 1 1
1+ + + + ...+ + ...
2 4 8 2n
1 1
q= <1 S = = 2
Que es una serie geométrica de razón 2 y su suma 1-q con lo
xn
que la serie es convergente. Más aún, 0 es una serie geométrica de
razón x y será convergente si | x |< 1 , es decir si x I,
Siendo I = x R / -1 < x < 1 .
Si se cumple esta condición:
1
1 + x + x 2 + x 3 + ...+ x n + ...=
1-x
Entonces bajo ciertas condiciones, una serie de potencias describe
1
f(x) =
exactamente a una función. En este caso a 1-x, pero solo en el intervalo (-
1;1).

52. Gráficamente
1
f(x) =
1 - x Sólo definida en la parte marcada gruesa por la serie
Si en el segundo ejemplo tomamos x =1, se convierte en
1 1 1
1+ 1+ + + ...+ + ...= e
2! 3! n!
n
n x n
x , , nx
Ejemplos: n 0 n 0 n! n 0
Para estudiar la convergencia puntual, fijaremos la x y la trataremos como una
serie normal. Al no tratarse de una serie de términos positivos, utilizaremos la
convergencia absoluta
Ejemplos:
n
n
x x
bn , bn
1) n 0 n! n 0 n!
n 1
x
bn 1 (n 1)! x
lim lim n
lim 0
n bn n
x n n 1
n! Luego bn es convergente x R
Por tanto la serie original es absolutamente convergente.
n n
nx bn , bn nx
2) n 0 n 0

53. n 1 abs . conv x 1
bn 1
(n 1) x (n 1) x (n 1)
lim lim n
lim lim x x no abs . conv x 1
n bn n
nx n n n n
?? x 1
El caso general de una serie de potencias se expresa:
n
an (x a) , ar R
n 0 . A los términos an se les llama coeficientes de la serie.
Si hacemos t=x-a la reducimos al tipo anterior.
TEOREMA
n
an x
1) Si n 0 converge puntualmente en x1 0 entonces es
absolutamente convergente si |x|<| x1|
n
an x
2) Si n 0 diverge en x1 0 entonces es divergente si |x|>| x1|
Demostración:
n
a n x1 lim a n x 1
n
0 n0 N / n n0 a n x1
n
1
1) n 0 convergente n
n n
n
n x n x n x n
an x an n
x 1
an x 1
n n o a n x1 1
x 1
x1 x1
n
x n
an x
x1
Por tanto n 0
es una mayorante a partir de n0 de n 0
x
Conv . 1
x1
x x
r Diver . 1
x1 x1
n
x x
?? 1
n 0 x1 x1
es una serie geométrica de razón
n
x n
an x
x x1 x1
Luego si entonces n n es una mayorante convergente de n n ,
0 0
luego la original es convergente a partir de n 0 y por tanto a partir de n=0.
n
an x
x x1
Debido a ello n 0 es absolutamente convergente si

54. 2) Reducción al absurdo:
n
an x2
x2 / x2 x1
Supongamos que existe y n 0 absolutamente convergente. Por
x x2
1) la serie seria convergente si , luego sería convergente en x 1 , lo que
es contradictorio.
n
an x
r R (r 0)
De lo anterior se deduce que existe tal que n 0 es
x R/x r x r x r
absolutamente convergente , y divergente si . Si
puede ocurrir cualquier cosa. A r le llamaremos radio de convergencia de la
serie de potencias.
n
r sup s R / an x conv . si x s
n 0
Calculo del radio de convergencia.
Gráficamente, la convergencia de una serie de potencias se resume en el
dibujo siguiente:
Figura 2.1: Intervalo de convergencia de , para
Las series de potencias y tienen el mismo radio de
convergencia, r =1, pero un comportamiento distinto en el extremo
Las animaciones siguientes muestran gráficamente el comportamiento local de
ambas series en las proximidades del punto.

55. Animación 2.2: La serie en . Animación 2.3: La
serie en .
El radio de convergencia de la serie obtenida al derivar o integrar una serie de
potencias es el mismo que el de la serie de potencias original.
El intervalo de convergencia, por lo contrario, puede diferir al comportamiento
en sus puntos terminales.
EJEMPLOS
n
an x
Sea n 0 una serie de potencias con radio de convergencia r:
an 1
l lim R 1
n an r
1) Si entonces l , es decir:
1 an
r lim
an 1
n an 1
lim
n an
l lim n an R r 1
2) Si n
entonces l , es decir:
1
r
lim n an
n
Demostración:
n n
an x bn an x b n ??
n 0 n 0
Aplicando el criterio de la raíz:
n n
lim bn lim n an x lim x n a n x lim n an xl
n n n n
n 1
xl 1 bn conv . an x abs . conv . x
Si n 0 n 0 si l
n 1
xl 1 b n div . an x no abs . conv . x
Si n 0 n 0 si l

56. No solo no es absolutamente convergente, sino que es divergente: si
n
xl 1 lim n an x 0
n , luego la serie es divergente.
EJEMPLOS
n
an x
Si n 0 tiene radio de convergencia r, llamamos intervalo de convergencia al
intervalo (-r,r), y campo de convergencia al mayor intervalo en el que converge
la serie. Por tanto el campo de convergencia será (-r,r), (-r,r], [-r,r) y [-r,r].
Ejemplos:
n
x
n 0
an
an 1 n N r lim 1
n an 1
Intervalo de convergencia (-1,1)
x 1 Serie divergente Campo de convergencia (-1,1)
n
n x
( 1)
n 0 n
n
n
( 1)
( 1) an n
an r lim lim n 1
1
n n an 1
n ( 1)
n 1 Intervalo de convergencia (-1,1)
x 1 Serie armónica Divergente
x 1 Serie armónica alternada Convergente
Campo de convergencia (-1,1]
n
x
n 0 n r=1 Intervalo de convergencia (-1,1)
x 1 Serie armónica alternada Convergente
x 1 Serie armónica Divergente
Campo de convergencia [-1,1)
n
x
2
n 0 n r=1 Intervalo de convergencia (-1,1)
x 1 Convergente

57. x 1 Divergente
Campo de convergencia [-1,1]
EJEMPLOS
n
an x
Si n 0 tiene radio de convergencia r>0 entonces converge uniformemente
en cualquier intervalo a , b r, r .
Demostración:
h max a , b h r
Sea
n n n n
x a, b x h an x an h
Si
n n
an h an x
n 0 es una mayorante de n 0
n n
an h an x
Como h r , n 0 es convergente, y por el criterio de Weiertrasss n 0
es absolutamente convergente x a, b
Corolarios
n n
an x S ( x) an x
1) Si n 0 tiene radio de convergencia r y n 0 entonces S ( x ) es
continua en (-r, r)
fn
2) (para integrales) Si n 0 converge uniformemente, entonces
x
x
fn a
fn
a
n 0 n 0
n
an x
Si n 0 tiene radio de convergencia r entonces:
n 1
x
n
x
n
x
n x
ant dt a n t dt a n t dt an x a, b r, r
0 0 0 n 1
la integral tiene radio de convergencia al menos r
fn
3) (para derivadas) Si n 0 converge uniformemente, entonces
x
x
fn a
fn
a
n 0 n 0

58. Demostración:
x ( r, r)
1) Veamos que S ( x ) es continua en 0 .
a, b / x0 a, b ( r, r)
Existe . S ( x ) es continua en a , b por ser suma de
x0
funciones continuas, luego es continua en .
Solución Mediante Series De Potencias En El Entorno De Un Punto
Ordinario
Se va a considerar el caso de la ecuación diferencial lineal homogénea de 2º
orden :
P( x ) y Q( x ) y R( x ) y 0
1
ó en forma canónica :
y p( x ) y q( x ) y 0
1´
Definiciones.
Un punto x0 se llama punto ordinario de 1 o 1´ si las funciones
Q( x) R( x)
p( x ) q( x )
P( x )
y P ( x ) son analíticas en x (es decir, si p(x) y q(x) tienen
0
desarrollos en serie de Taylor en torno a x0 con radios respectivos de
convergencia R1 y R2 no nulos)
Si P(x), Q(x), R(x) son polinomios, entonces x0 es punto ordinario de 1 si y
sólo si P(x0) 0 ( siendo 1 no simplificable ).
Si x0 no es punto ordinario, se llama punto singular de la ecuación 1 ó
1´

59. Según el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, la
simple continuidad de p(x) y q(x) en un entorno I de un x0, es suficiente para
garantizar la existencia de dos soluciones linealmente independientes de la
ecuación 1´ en dicho entorno, así como para garantizar la existencia y
unicidad de solución del problema de valor inicial definido por 1´ y las
condiciones: y(x0) = y0 , y´(x0) = b0 con x0 I
Pero si además es x0 un punto ordinario de 1 ó 1´ , las p(x) y q(x) no sólo
son continuas en I , sino analíticas. Y cabe preguntarse entonces si las
soluciones de tal ecuación heredarán dicha propiedad. Por tanto, si x0 es un
punto ordinario de 1 , surgen las preguntas siguientes:
¿Existen soluciones analíticas de 1 en un entorno de x0 , es decir,
soluciones de la forma :
2 n
y a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) ... an ( x x0 ) ...
2
En caso afirmativo :
¿Cómo se obtienen los coeficientes an?
¿Dónde converge la serie 2 ?
Es importante poder responder a estas preguntas, pues sería absurdo intentar
buscar soluciones de la forma 2 , si no existen. Si existen en I, pueden
además derivarse término a término en I.
Las respuestas a estas preguntas las da el siguiente teorema, que será
enunciado, pero no demostrado.
Teorema
Si x0 es un punto ordinario de 1 ( ó 1’ ) entonces la solución general de 1
en un cierto entorno de x0 puede escribirse en la forma 2 y a su vez
n
y an ( x x0 ) a0 y1 ( x ) a1 y2 ( x )
n 0
Siendo a0 , a1 ctes arbitrarias e y1(x), y2(x) analíticas en un entorno I de x0,
y linealmente independientes en I.

60. El radio de convergencia de las series y1(x) e y2(x) es al menos tan grande
como el mínimo de los radios de convergencia de los desarrollos en serie de
p(x) y q(x) en torno a x0 (es decir, al menos igual a la distancia de x0 al punto
singular más próximo de la ecuación 1 , sea dicho punto real o complejo)
Los coeficientes an de la serie 2 se obtienen en términos de a0 y a1 ,
n
y an ( x x0 )
sustituyendo la serie genérica n 0 en 1 , (así como los
desarrollos de p(x) y q(x) si P(x), Q(x), R(x) no son polinomios) y procediendo
por coeficientes indeterminados.
Observaciones
a) La serie solución puede converger con radio mayor que el indicado en el
teorema.
b) Si el punto ordinario es x0 0, pueden simplificarse las notaciones
trasladando x0 al origen, mediante el cambio x - x0 = t.
c) Según el teorema de existencia y unicidad, cada solución está determinada
de manera única por los valores y(x0) e y’(x0), es decir por a0 y a1 . Por eso,
todos los coeficientes se obtienen en términos de a0 y a1.
d) El método para resolver una ecuación completa : y p( x ) y q( x ) y h( x ) ,
siendo x0 punto ordinario y h(x) analítica en x0, es análogo. En este caso,
también hay que desarrollar h(x) en serie de potencias en torno a x0 , antes de
proceder por coeficientes indeterminados. También podría resolverse en primer
lugar la ecuación homogénea y actuar luego por variación de constantes, o por
reducción de orden.
e) Es claro que podría usarse un método semejante para ecuaciones
diferenciales lineales, de primer orden.
Ejemplo 1
y xy y 0
Hallar la solución general de la ecuación diferencial ,
determinando dos soluciones linealmente independientes en serie de potencias
de x. Campo de validez de las mismas. En particular obtener la solución tal que
y(0) = 1 y´(0) = 0.
p( x ) x
q( x ) 1
Es . Ambas analíticas en x0 = 0, con radios de convergencia de
R1
R2
sus respectivos desarrollos , es decir x0 = 0 es punto ordinario..