UNIDAD 4. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
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UNIDAD 4. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Presentation Transcript

  • 1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES EDGAR NOGUERA
  • 2. UNIDAD 4. ECUACIONES LINEALES
    • La forma general de la ecuación lineal de orden n  es :
    • Veamos el caso n = 1 es decir
    • Solucionar (13) nos obliga a utilizar un factor integrante que seria     . Multiplicando (13) por el factor integrante nos queda   
    • El término de la izquierda es la derivada del producto del factor integrante por la variable dependiente por tanto (3) nos queda
  • 3.
    • Ejemplo 6.1     Resolver   
    • Solución:          el factor integrante es      
    • Por consiguiente   Aplicando las condiciones iníciales y (1) = 0       Luego      
    • Ejemplo 6.2 Hallar una solución continua que satisfaga
    • Y condición inicial y(0) = 0
    • Solución:   Resolvemos el problema en dos partes Para . El factor integrante es
    • luego,  Utilizando las condiciones iníciales tenemos.
  • 4.
    • Para        
    • Por consiguiente         
    • Como es continua, por lo visto en el calculo diferencial
    • Luego           
    • Es continua pero no diferenciable en x = 1
      •  
    • Problemas de crecimiento y  decrecimiento
    • Son innumerables las aplicaciones que involucran el crecimiento o decrecimiento de una variable física, económica o de cualquier otra índole. Si x(t) es una variable cualquiera, la tasa de variación de dicha variable con respecto al tiempo, viene dada por:
    • . Cualquiera que sea la situación o problema, nos debemos preguntar: De qué depende la tasa de variación de la variable? Se han desarrollado algunos modelos simples para problemas tales como: crecimiento de una población, crecimiento de dinero en el tiempo, desintegración de materiales radioactivos , etcétera. Ilustraremos algunos de dichos modelos.
  • 5.
    • Problema resuelto 5 Una población tiene, en un instante determinado, una cantidad inicial de habitantes: Xi. Se desea determinar la cantidad de habitantes en cualquier instante suponiendo que la tasa de variación es directamente proporcional al número de habitantes en todo instante. Solución:
    • Sea x(f) la población en el instante: t > 0. La tasa de variación de la oblación, según el modelo, es: .
    • Siendo k una constante de proporcionalidad. En consecuencia, se debe resolver el problema de valor inicial: . La ecuación diferencial es de variables separables y su solución general viene dada por: x(t) = Cek'. Aplicando la condición inicial, se tiene: . El valor de la constante se determina a partir de una condición del problema. Por ejemplo, si la población se incrementa un 50% en un período de tiempo, se tiene: x(l)=1.5Xi  y por tanto: k = ln(1.5). En consecuencia, la población en todo instante viene dada por: 
    •   El modelo usado no es bueno ya que implicaría que la población crecería indefinidamente, es decir, no daría cuenta de las limitaciones propias de la población, tales como espacio y alimentos.
  • 6.
    • Problema resuelto 6. En un instante determinado se tiene una muestra de radio: Xi. Determina la cantidad de sustancia en todo instante sabiendo que el tiempo de vida media del elemento es 1700 años. Solución: El tiempo de vida media es el que se requiere para que una sustancia se desintegre en un 50%. Si x(t) es la cantidad de sustancia remanente en el instante: t, se tiene:
    • La solución del problema de valor inicial dado es:                                                            Ahora, puesto que: x(l700) = 0.5Xi , se tiene que la constante k viene dada por;
    • En consecuencia, la cantidad remanente en el instante: t viene dada por: Al cabo de 10 años, la cantidad remanente será aproximadamente: Es decir, se ha desintegrado el 0.4% de la muestra.
    • Problema resuelto 7. En el crecimiento de una población surgen circunstancias que impiden que su número exceda de cierto máximo: M.
    • En consecuencia, la tasa de variación de la población es directamente proporcional al número de habitantes en todo instante y a la diferencia entre el máximo y la población instantánea. Determine la población en todo instante sabiendo que inicialmente tenía N habitantes
  • 7.
    • Solución:     El modelo sugerido para la tasa de variación de la población nos conduce a la ecuación diferencial:   
    • La ecuación diferencial recibe el nombre de ecuación logística y es la más usada para estimativos de crecimiento de poblaciones. Con base en lo estudiado previamente, la ecuación diferencial es de variables separables, pero también es una ecuación de Bernoulli. Escribimos convenientemente la ecuación, así:
    • Descomponiendo en fracciones parciales, resulta: . Integrando, resulta: ln(x) - ln(M - x) = kt + C
    • La expresión anterior se puede escribir en la forma: .La constante A se
    • determine con la condición inicial, así: A = . 
    • Finalmente, la población en todo instante viene dada por:  .  
    • La constante k se determina a partir de un dato del problema, por ejemplo, sí la población se duplica al cabo de diez años, la constante k viene dada por:
  • 8.
    • Figura 12
    • Problema resuelto 8.               
    • Un país tiene en circulación papel moneda por valor de mil millones de pesos. Los saldos en los bancos suman cinco millones diarios. El gobierno decide introducir una nueva moneda cambiando todos los billetes antiguos que lleguen a los bancos por otros nuevos. Determine el tiempo aproximados para que el papel moneda circulante sea dinero nuevo en un 90%. Solución:    Sea x(f) la cantidad de dinero nuevo en un instante t cualquiera y  y(t) = 1000 - x(t) la cantidad remanente de dinero viejo. La tasa de variación de dinero nuevo, es decir, la velocidad con que se incrementa el dinero nuevo debe ser proporcional a la cantidad de dinero viejo presente en todo instante. Matemáticamente, se tiene que resolver el problema de valor inicial:    
  • 9.
    • La ecuación diferencial es de variables separables y también es lineal. Resolviendo como lineal, se tiene:  .  El factor integrante es:  y por tanto,
    • la solución general es: Aplicando la condición inicial resulta que la cantidad de dinero nuevo en todo instante viene  dada por; Para calcular k partimos del hecho de que el primer día se introducen cinco millones de moneda nueva, con lo que resulta:  
    • Así las cosas, la cantidad de dinero nuevo en todo instante es : . Por tanto, el tiempo en días para que el
    • dinero se renueve en un 90% se calcula de la siguiente manera:
    •  
    • EJERCICIOS
    • Resolver