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UNIDAD 3. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

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  • ESTA BIEN BONITO TRASFORMACIONES DE SUPERIOR A INFERIOR
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Transcript

  • 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EDGAR NOGUERA
  • 2. UNIDAD 3. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR
    • ECUACIONES HOMOGÉNEAS
    • Definición 4.1 Una función  f (x, y) se llama homogénea de grado n si
    • Ejemplo 4.1   es homogénea de grado 4, ya que
    • Ejemplo 4.2   no es homogénea, ya que
    • Una ecuación de la forma en donde M, N tienen el mismo grado de homogeneidad, puede reducirse a una ecuación de variables separables usando cualquiera de las situaciones o bien en donde u y v son nuevas variables dependientes. En particular si elegimos   entonces Por tanto en la ecuación (*) se tiene que:   
    • la homogeneidad de M y N se es posible escribir :
  • 3.
    • Ejemplo 4.3    Resolver  Solución:
    • 4.1  Forma alternativa
    • Una ecuación diferencial de primer orden y’=f(x,y) se llama homogénea si f(x,y) puede expresarse como g(y/x), donde g es una función de una variables. Una ecuación diferencial homogénea y’=g(y/x) se transforma en una ecuación de variables separables mediante el cambio de variable: v = y/x.
    • Ejemplo 4.4  Utilizando la forma alternativa en el ejemplo anterior  tenemos Solución Si dividimos el numerador y el denominador del miembro derecho de la ecuación por x2, tendremos:    
    • Si ahora hacemos el cambio de variables u = y/x tenemos:
  • 4.
            • Problema resuelto 4.        En cada punto: P(x,y) de una curva del plano, el ángulo formado por la tangente y la ordenada es bisecado por la recta que une al punto con el origen. Halle la ecuación de la curva  sabiendo que pasa por el punto: (1,2) Solución: La   figura (10) ilustra gráficamente la situación. Podemos relacionar el ángulo q  con las variables del problema así:
            • Figura 10
  • 5.
    • De las relaciones anteriores se sigue que:   Puesto que :
    • se tiene que:   
    • Puesto que: tan(a) = y/x, tenemos la ecuación diferencial del problema, así;        La ecuación diferencial hallada es homogénea y su solución general es la familia de circunferencias: x2 + y2 = Cx. En el punto (1,2), la circunferencia es:  x2 + y2 = 5x.   La figura (11)  muestra la gráfica de la función y la propiedad expresada en el enunciado del problema. El estudiante puede comprobar que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1,2) viene dada por:
  • 6.
    • EJERCICIOS  5
    • Resolver las siguientes ecuaciones exactas