13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

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13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

  1. 1. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Enrique Zuazua enrique.zuazua@uam.es Contents 1 Introducci´n y motivaci´n o o 3 2 ¿Qu´ es una ecuaci´n en derivadas parciales? e o 5 3 El m´todo de Cauchy en EDO e 7 4 Funciones anal´ ıticas reales en varias variables 9 5 El m´todo e de Cauchy y las superficies no-caracter´ ısticas* 11 6 El Teorema de Cauchy-Kovalevskaya* 11 7 Caracterizaci´n de superficies no-caracter´ o ısticas 11 8 ¿Soluciones locales o globales? 17 9 Unicidad de soluciones 20 9.1 El Teorema de Holmgren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 9.2 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 9.3 La soluci´n de Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 27 10 La transformada de Fourier 29 10.1 Definici´n y propiedades fundamentales o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 10.2 Aplicaci´n a la ecuaci´n de Laplace . . o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 10.3 Aplicaci´n a la ecuaci´n de transporte o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 10.4 Soluciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 11 La f´rmula de variaci´n de las constantes. Ecuaciones no homog´neas o o e 38 1
  2. 2. 12 La ecuaci´n de transporte lineal o 42 13 La ecuaci´n del calor o 44 13.1 El problema de valores iniciales en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 13.2 Propiedades elementales de la convoluci´n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 n 13.3 El problema de valores iniciales en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 13.4 El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 14 La ecuaci´n de Burgers o 60 15 La ecuaci´n de Burgers viscosa o 65 16 Ecuaciones de convecci´n difusi´n: difusi´n evanescente o o o 66 17 La ecuaci´n de ondas o 70 17.1 La f´rmula de d’Alembert . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 17.2 El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 17.3 Dimensi´n n = 3. El m´todo o e de las medias esf´ricas . . . e . . . . . . . . . . . 74 17.4 Dimensi´n n = 2. El m´todo o e del descenso de Hadamard . . . . . . . . . . . . 78 18 Comparaci´n de la ecuaci´n de ondas y del calor o o 78 19 Resoluci´n de sistemas lineales mediante el M´todo Directo del C´lculo o e a de Variaciones (MDCV) 80 20 Espacios de Hilbert 82 21 Introducci´n a los espacios de Sobolev o 87 22 El problema de Dirichlet en un dominio acotado 89 22.1 Principio del m´ximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 89 22.2 El lema de Lax-Milgram y sus variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 23 Ejercicios 94 23.1 Problemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 23.2 Problema de Cauchy y teorema de Cauchy-Kovalevskaya . . . . . . . . . . . 96 23.3 La ecuaci´n del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 105 23.4 La ecuaci´n de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 113 23.5 La ecuaci´n de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 115 23.6 Soluciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 23.7 Simetr´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıas . . . . . . . . . . . 118 2
  3. 3. 23.8 Distribuciones y espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 23.9 Ejercicios diversos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 1 Introducci´n y motivaci´n o o Estas notas constituyen una breve introducci´n a la teor´ de las Ecuaciones en Derivadas o ıa Parciales (EDP). La forma en la que las EDP se presentan habitualmente en la modelizaci´n de fen´menos o o de la Ciencia y Tecnolog´ es la de modelos de evoluci´n en los que se describe la din´mica a ıa o a lo largo del tiempo de determinada cantidad o variable (tambi´n a veces denominada estado) e que puede representar objetos y fen´menos de lo m´s diversos que van desde la posici´n de o a o un sat´lite en el espacio hasta la din´mica de un ´tomo, pasando por los ´ e a a ındices burs´tiles a o el grado en que una enfermedad afecta a la poblaci´n. En otras palabras, los modelos o din´micos o de evoluci´n son los m´s naturales en la medida que reproducen nuestra propia a o a concepci´n del mundo: un espacio tri-dimensional que evoluciona y cambia en el tiempo. o Cuando el estado o variable de un modelo o sistema de evoluci´n es finito-dimensional, o el modelo m´s natural es un sistema de EDO, cuya dimensi´n coincide precisamente con el a o del n´mero de par´metros necesarios para describir dicho estado. As´ por ejemplo, para u a ı, posicionar una part´ ıcula en el espacio necesitamos de tres variables dependientes del tiempo y para describir su din´mica un sistema de tres ecuaciones diferenciales en la que la variable a independediente es el tiempo. Pero en muchas ocasiones, como es el caso sistem´ticamente en a el contexto de la Mec´nica de Medios Continuos, la variable de estado es infinito-dimensional. a Esto ocurre por ejemplo cuando se pretende describir la deformaci´n de cuerpos el´sticos o o a la temperatura de un cuerpo s´lido en los que la deformaci´n o temperatura de cada uno o o de los puntos de ese medio continuo constituye una variable o inc´gnita del sistema. Los o modelos matem´ticos naturales en este caso son las EDP. a En la teor´ cl´sica de EDP ´stas se clasifican en tres grandes grupos: el´ ıa a e ıpticas, parab´licas o e hiperb´licas. o El modelo el´ ıptico por excelencia involucra el operador de Laplace N (1.1) ∆= ∂ 2 /∂x2 . i i=1 La variable tiempo est´ ausente en este modelo. Es por eso que s´lo permite describir estados a o estacionarios o de equilibrio. Las ecuaciones parab´licas y las hiperb´licas, representadas respectivamente por la ecuaci´n o o o del calor y la de ondas, son los modelos m´s cl´sicos y representativos en el contexto de a a las EDP de evoluci´n. Sus caracter´ o ısticas matem´ticas son bien distintas. Mientras que la a 3
  4. 4. ecuaci´n del calor permite describir fen´menos altamente irreversibles en tiempo en los que o o la informaci´n se propaga a velocidad infinita, la ecuaci´n de ondas es el prototipo de modelo o o de propagaci´n a velocidad finita y completamente reversible en tiempo. o El operador del calor es (1.2) ∂t − ∆, de modo que al actuar sobre una funci´n u = u(x, t) que depende de la variable espacio- o N tiempo (x, t) ∈ R × (0, ∞) tiene como resultado N ∂u ∂2u (1.3) [∂t − ∆] u = − . ∂t i=1 ∂x2 i Sin embargo, el operador de ondas o de D’Alembert es de la forma 2 (1.4) = ∂t − ∆ y da lugar a 2 ∂2u (1.5) u = ∂t − ∆ u = − ∆u. ∂t2 La irreversibilidad temporal de (1.3) es evidente. Si hacemos el cambio de variable t → t = −t, el operador (1.3) cambia y da lugar al operador del calor retr´grado ∂e + ∆ o t mientras que el operador de ondas permanece invariante. El operador del calor y de ondas se distinguen tambi´n por sus ´mbitos de aplicaci´n. e a o Mientras que el primero es habitual en la din´mica de fluidos (a trav´s de una versi´n a e o m´s sofisticada, el operador de Stokes) o en fen´menos de difusi´n (del calor, de contami- a o o nantes,. . . ), el operador de ondas y sus variantes intervienen de forma sistem´tica en elasti- a cidad (frecuentemente a trav´s de sistemas m´s sofisticados, como el de Lam´, por ejemplo) e a e o en la propagaci´n de ondas ac´sticas o electromagn´ticas (ecuaciones de Maxwell). o u e La Mec´nica de Medios Continuos est´ repleta tambi´n de otras ecuaciones, operadores a a e y modelos, pero en todos ellos, de una u otra manera, encontraremos siempre el operador del calor, de ondas o una variante muy pr´xima de los mismos. o Frecuentemente los modelos m´s realistas son m´s sofisticados que una “simple” ecuaci´n a a o aislada. Se trata a menudo de sistemas acoplados de EDP en los que es habitual encontrar tanto componentes parab´licas como hiperb´licas. Es el caso por ejemplo de las ecuaciones o o de la termoelasticidad. En estos casos, si bien un buen conocimiento de los aspectos m´s a relevantes de la ecuaci´n del calor y de ondas aisladamente puede no ser suficiente a causa o de las interacciones de los diferentes componentes, s´ que resulta indispensable para entender ı el comportamiento global del sistema. Por todo ello es natural e importante entender todos los aspectos matem´ticos funda- a mentales de estas dos piezas clave: la ecuaci´n del calor y la de ondas. Evidentemente esto o es tambi´n cierto desde el punto de vista del An´lisis y del C´lculo Num´rico. e a a e 4
  5. 5. Hasta ahora nos hemos referido s´lo a las ecuaciones del calor y de ondas en su expresi´n o o m´s sencilla: con coeficientes constantes. Estas ecuaciones, cuando modelizan fen´menos en a o medios heterog´neos (compuestos por materiales de diversa naturaleza) adoptan formas m´s e a complejas y se presentan con coeficientes variables, dependientes de la variable espacial x, de la variable temporal t o de ambas. En esta introducci´n no hemos mencionado para nada otras palabras clave en la mode- o lizaci´n de fen´menos complejos como son los t´rminos “no-lineal” y “no-determinista” que o o e quedan fuera de los objetivos de este curso pero, nuevamente, se puede asegurar que los elementos que aqu´ expondremos ser´n sin duda de gran utilidad, si no indispensables, a la ı a hora de adentrarse en otros modelos m´s complejos que involucren t´rminos no-lineales y a e estoc´sticos. a En estas notas desarrollaremos parte de lo que es una teor´ general y cl´sica de EDP ıa a que involucra el teorema de Cauchy-Kovalevskaya, la tranformada de Fourier, los espacios de Sobolev, y muchos otros conceptos y t´cnicas importantes del An´lisis Matem´tico. Pero e a a el curso tambi´n estar´ dedicado a estudiar con cierto detalle los modelos m´s importantes e a a como son la ecuaci´n de Laplace, del calor y de ondas. Si bien la mayor parte del curso o estar´ dedicada a problemas lineales, analizaremos tambi´n la ecuaci´n de Burgers y su a e o aproximaci´n viscosa, como ejemplos m´s simples y significativos de modelos no-lineales en o a los que las soluciones desarrollan singularidades en tiempo finito. La teor´ de EDP es evidentemente una generalizaci´n y extensi´n de la teor´ de EDO. ıa o o ıa A lo largo de las notas intentaremos establecer paralelismos entre una y otra. Pero la teor´ ıa que desarrollaremos es mucho m´s sofisticada que la cl´sica de EDO. En la teor´ de EDP a a ıa necesitamos desarrollar conceptos como el de superficie caracter´ ıstica, distinguir las clases de soluciones, analizar cuidadosamente la dependencia (regularidad) de las soluciones con respecto a la variable espacial, necesidades que no se presentan en el marco de la teor´ de ıa EDO. 2 ¿Qu´ es una ecuaci´n en derivadas parciales? e o Una Ecuaci´n en Derivadas Parciales (EDP) es una relaci´n de la forma o o (2.1) F (x, t, u, ∂x1 u, . . . ∂xn u, ∂t u, . . . , Dα u) = 0. En ella u = u(x, t), una funci´n de la variable espacial x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn y de la o variable temporal t, es la inc´gnita. o La inc´gnita u representa una cantidad f´ o ısica, como por ejemplo, temperatura, concen- traci´n de un contaminante, intensidad de una se˜al ac´stica, deformaci´n de una estructura, o n u o etc. 5
  6. 6. La ley (2.1), normalmente derivada en el ´mbito de la Mec´nica, establece una relaci´n a a o entre la inc´gnita u, sus derivadas parciales hasta un cierto orden y el punto (x, t) espacio- o 1 temporal. En (2.1) utilizamos la notaci´n habitual para las derivadas parciales de modo que ∂xj u o denota la derivada parcial de u con respecto a la variable espacial xj , ∂u/∂xj , mientras que ∂t u lo es respecto a la variable temporal. A veces, cuando no haya riesgo de confusi´n, o utilizaremos tambi´n la notaci´n ∂j u. e o En (2.1) hemos utilizado tambi´n la notaci´n de Schwartz seg´n la cual α = (α0 , α1 , . . . , αn ) e o u n+1 α es un multi´ ındice perteneciente a R de modo que D u denota una derivada parcial iterada de u de orden | α |= α0 +α1 +. . . +αn en la que derivamos α0 veces con respecto a la variable t y αj veces en cada una de las variables xj . De este modo, el orden de la EDP (2.1) es el de la derivada de mayor orden involucrada, i.e. el m´ximo de los m´dulos | α | de los ´ a o ındices α que intervienen en (2.1). Cuando la inc´gnita u de (2.1) no es una funci´n escalar sino un o o vector   u1  .  u= .  . uN (2.1) puede tambi´n representar un sistema de ecuaciones. En ese caso F es tambi´n una e e funci´n vectorial. Si F tiene M componentes (2.1) es pues un sistema de M ecuaciones con o N inc´gnitas. o La ecuaci´n (2.1) puede ser lineal o no-lineal dependiendo de que F lo sea o no en o relaci´n a la inc´gnita u y sus derivadas α u. En el marco de las ecuaciones no-lineales o o se distingue tambi´n a veces entre las ecuaciones semilineales, cuasilineales y fuertemente e no lineales, dependiendo de si la no-linealidad de la funci´n F afecta a la inc´gnita u, a o o algunas de sus derivadas, o a las derivadas de mayor orden que intervienen en (2.1). En este curso no entraremos en un an´lisis exhaustivo de las ecuaciones no-lineales. Si que a conviene sin embargo subrayar que las EDP no-lineales, lejos de ser problemas puramente acad´micos, intervienen de manera decisiva en muchos e importantes ´mbitos de las Ciencias e a y la Tecnolog´ Tal y como mencion´bamos anteriormente, en estas notas analizaremos la ıa. a ecuaci´n de Burgers, como ejemplo paradigm´tico de ecuaci´n no-lineal sencilla pero a la o a o vez importante en el que se observan con facilidad la formaci´n de singularidades y choques, o 1 Desde un punto de vista estrictamente matem´tico no hay ninguna raz´n para distinguir la variable a o temporal t de las n variables espaciales x1 , ..., xn . Si fuese s´ ımplemente una variable m´s, indistinguible a de las otras, podr´ ıamos simplemente denotarla como x0 o xn+1 y considerar u como una funci´n de n + 1 o variables x1 , ..., xn , xn+1 . Sin embargo, de acuerdo a nuestra concepci´n del universo, conviene normalmente o distinguir la variable temporal de las dem´s. De hecho, frecuentemente, consideraremos a la funci´n u(x, t), a o como una funci´n del tiempo t a valores en un espacio de funciones u(·, t) que, en el trancurso del mismo, o va tomando diferentes valores siendo cada uno de ellos una funci´n de la variable espacial x. o 6
  7. 7. que es uno de los fen´menos que mejor distinguen a las ecuaciones no-lineales de las lineales. o 3 El m´todo de Cauchy en EDO e En esta secci´n introducimos el m´todo de Cauchy para la resoluci´n de Ecuaciones Dife- o e o renciales Ordinarias (EDO) para despu´s abordar el caso de la EDP, lo cual nos conducir´ e a al Teorema de Cauchy-Kovalevskaya. Cauchy fue uno de los primeros en abandonar, al menos parcialmente, la idea de resolver las EDO expl´ ıcitamente y en proporcionar un m´todo sistem´tico para resolver “todas” las e a EDO. Como veremos, el m´todo de Cauchy permite en efecto probar que una EDO con e coeficientes an´liticos y datos iniciales admite una unica soluci´n anal´ a ´ o ıtica local en tiempo. La idea de Cauchy es sumamente natural y a la vez eficaz. Para ilustrarla consideramos el caso sencillo de la EDO: · x(t) + a(t)x(t) = b(t), t > 0 (3.1) x(0) = x0 . Por supuesto, la soluci´n de (3.1) puede calcularse de manera expl´ o ıcita. En el caso homog´neo e en que b ≡ 0 tenemos t (3.2) x(t) = x0 e−A(t) , A(t) = a(s)ds. 0 Cuando b ≡ 0 la soluci´n puede calcularse f´cilmente mediante el m´todo de variaci´n o a e o 2 de las constantes. Obtenemos as´ı t t Rt −A(t) −A(t) −A(t) (3.3) x(t) = x0 e +e A(s) e b(s)ds = x0 e + e− s a(σ)dσ b(s)ds. 0 0 A pesar de que la soluci´n (3.3) de (3.1) sea expl´ o ıcita es interesante analizar (3.1) con el m´todo de Cauchy para ilustrar con claridad la idea fundamental del mismo. e Cauchy busc´ soluciones x(t) anal´ o ıticas reales, i.e. que admitiesen un desarrollo en serie de potencias convergente en un entorno de t = 0: ∞ (3.4) x(t) = xk tk , k=0 lo cual equivale a buscar los coeficientes {xk }k 0 de su desarrollo en serie de potencias. Cauchy observ´ que estos coeficientes {xk }k 0 pueden determinarse de manera unica a o ´ partir de los coeficientes y segundo miembro de la ecuaci´n. Supongamos por tanto que o 2 En este caso basta con observar que y(t) = eA(t) x(t) es soluci´n de y (t) = eA(t) b(t) con dato inicial o t A(s) t A(s) y(0) = x0 , i. e. y(t) = y0 + 0 e b(s)ds = x0 + 0 e b(s)ds. 7
  8. 8. a = a(t) y b = b(t) son funciones anal´ ıticas reales que admiten el desarrollo en serie de potencias: ∞ (3.5) a(t) = ak tk k=0 ∞ (3.6) b(t) = bk tk . k=0 Insertando la expresi´n (3.4) del desarrollo en serie de potencias de la inc´gnita x y o o usando los desarrollos de los datos (3.5) y (3.6) obtenemos la identidad: ∞ ∞ ∞ ∞ (3.7) kxk tk−1 + ak tk xk tk = bk tk . k=1 k=0 k=0 k=0 Para obtener (3.7) hemos utilizado el hecho conocido de que x (t) admite tambi´n un desa- e 3 rrollo en serie de potencias de la forma ∞ (3.8) x (t) = kxk tk−1 . k=1 El siguiente paso consiste en desarrollar el producto de las dos series de potencias en (3.7): ∞ ∞ ∞ k (3.9) ak tk xk tk = aj xk−j tk . k=0 k=0 k=0 j=0 Como el producto de funciones anal´ ıticas es tambi´n anal´ e ıtico vemos que la serie producto es tambi´n convergente por lo que lo hecho hasta ahora es plenamente riguroso. e En virtud de (3.7) y (3.9), y utilizando el hecho de que para que dos series de potencias coincidan han de hacerlo uno a uno todos sus coeficientes, obtenemos que: k (3.10) (k + 1)xk+1 + aj xk−j = bk , k 0. j=0 La identidad (3.10) proporciona una f´rmula de recurrencia que permite calcular el (k + 1)- o ´simo coeficiente del desarrollo de x a partir de los k primeros y de los coeficientes de a e y b. Sin embargo, para poder identificar plenamente la inc´gnita x precisamos su primer o coeficiente x0 . Este viene determinado por el dato inicial x0 de la EDO (3.1). 3 Es una hecho bien conocido que una serie de potencias es de clase C ∞ en el interior de su intervalo de convergencia y que la derivada de la serie coincide con la serie de las derivadas. 8
  9. 9. Calculando unos pocos t´rminos obtenemos e x 1 = b 0 − a0 x 0 1 x2 = [b1 − a0 x1 − a1 x0 ] 2 1 x3 = [b2 − a0 x2 − a1 x1 − a2 x0 ] 3 .... La argumentaci´n anterior permite ver que el m´todo de Cauchy proporciona todos los o e coeficientes del desarrollo en serie de potencias de la inc´gnita soluci´n x que queda perfec- o o tamente identificada. Pero Cauchy lleg´ m´s lejos y prob´ que el desarrollo en serie de potencias as´ obtenido o a o ı converge. De esta manera demostr´ que la soluci´n del problema de valores iniciales para o o una EDO con coeficientes anal´ticos existe, es anal´ ı ıtica y es unica. ´ Conviene resaltar que el m´todo de Cauchy es constructivo de modo que puede f´cilmente e a implementarse en el ordenador para obtener aproximaciones num´ricas. Adem´s, tal y como e a veremos en la secci´n dedicada al Teorema de Cauchy-Kovalevskaya, se pueden obtener o estimaciones muy expl´ ıcitas sobre el radio de convergencia de la soluci´n. o Aqu´ hemos presentado el m´todo de Cauchy en un caso muy sencillo (3.1) que puede ı e tambi´n extenderse a sistemas de EDO no-lineales. La extensi´n a las EDP necesit´ de e o o la contribuci´n fundamental de Sonia Kovalevskaya que introdujo el concepto de superficie o caracter´ıstica y que describiremos en las secciones 5 y ??. 4 Funciones anal´ ıticas reales en varias variables En esta secci´n recordamos muy brevemente las propiedades m´s importantes de las fun- o a ciones anal´ ıticas reales. Para ello seguiremos el contenido de la secci´n 4.6.2 del libro de o Evans [3]. El libro de John [5] desarrolla este material con algo m´s de detalle. a Esencialmente, las funciones anal´ ıticas reales en varias variables son aqu´llas que, lo e mismo que en una sola variable, admiten un desarrollo en series de potencias. Estas funciones se identifican a trav´s de sus coeficientes, lo cual es sumamente util a la hora de aplicar e ´ el m´todo de Cauchy descrito en la secci´n anterior. Las funciones en cuesti´n son, por e o o supuesto, infinitamente derivables (i.e. son de clase C ∞ ) y admiten una relaci´n de orden o o de comparaci´n que ser´ sumamente util a la hora de probar la convergencia de las series o a ´ obtenidas al aplicar el m´todo de Cauchy en el contexto de las EDP. e Una funci´n f : Rn → R se dice anal´ o ıtica real en un entorno de x0 ∈ Rn si existe r > 0 tal que (4.1) f (x) = fα (x − x0 )α , | x − x0 |≤ r. α 9
  10. 10. ındices α ∈ Nn . La suma en (4.1) se toma a lo largo de todos los multi-´ Se puede comprobar que toda funci´n anal´ o ıtica real es de clase C ∞ . Adem´s las constantes a fα del desarrollo de serie de potencias (4.1) pueden calcularse expl´ ıcitamente evaluando las sucesivas derivadas de f en x = x0 , i.e. (4.2) fα = Dα f (x0 ) α!. Por tanto, las funciones anal´ ıticas reales coinciden con su desarrollo de Taylor: 1 α (4.3) f (x) = D f (x0 )(x − x0 )α , | x − x0 |< r. α α! Sin p´rdida de generalidad y con el objeto de simplificar la notaci´n en lo sucesivo e o suponemos que x0 = 0. El siguiente ejemplo de funci´n anal´ o ıtica juega un papel muy importante en la prueba del Teorema de Cauchy-Kovalevskaya: r (4.4) f (x) = . r − (x1 + · · · + xn ) √ o ıtica en la esfera | x |< r Se trata efectivamente de una funci´n anal´ n. Su desarrollo en serie de potencias es f´cil de calcular a trav´s de lo que ya conocemos a e de la teor´ de funciones de una sola variable: ıa ∞ k 1 x1 + · · · + xn (4.5) f (x) = x1 +···+xn = 1− r k=0 r ∞ 1 |α| α | α |! α = x = x . k=0 rk α α r|α| α! |α|=k Es f´cil comprobar que esta serie de potencias es absolutamente convergente para | x |< a √ r n. En efecto, ∞ k | α |! | x1 | + · · · + | xn | | x |α = <∞ α r|α| α! k=0 r puesto que √ | x1 | + · · · + | xn | n|x| < 1, r r √ para todo x tal que |x| < r/ n. Establezcamos ahora una relaci´n de orden en la clase de funciones anal´ o ıticas que jugar´ a un papel muy importante en la demostraci´n del Teorema de Cauchy-Kovalevskaya. o 10
  11. 11. Dadas dos funciones anal´ ıticas f y g representadas en series de potencias en la forma (4.6) f (x) = fα xα , g(x) = gα xα , α α diremos que g mayora a f y lo representaremos escribiendo (4.7) g f, si (4.8) gα | fα |, ∀α ∈ Nn . La relaci´n de mayoraci´n establece una cierta jerarqu´ en la clase de funciones anal´ o o ıa ıticas. As´ por ejemplo, si g ı, f y g converge para | x |< r, por el criterio M de la mayorante de Weirstrass, tambi´n el desarrollo de Taylor de f converge. Dicho en otras palabras, las e funciones mayoradas por una funci´n g dada heredan de esta ultima la esfera donde el desar- o ´ rollo en serie de potencias converge. Esta propiedad es sumamente util a la hora de probar ´ la convergencia de series de potencias por comparaci´n.o Verifiquemos que lo que acabamos de decir es cierto. Como g f tenemos que fα | x |α gα | x |α . α α Ahora bien, como la segunda serie converge, la primera lo hace tambi´n y por tanto la e serie fα xα α converge absolutamente en la bola | x |< r. Se puede tambi´n probar la propiedad rec´ e ıproca en el sentido que si f = α fα xα con- verge en | x |< r entonces admite una mayorante expl´ ıcita en cada subesfera | x |< r < r. 5 El m´todo e de Cauchy y las superficies no-caracter´ ısticas* 6 El Teorema de Cauchy-Kovalevskaya* 7 Caracterizaci´n de superficies no-caracter´ o ısticas Tal y como hemos visto en las secciones anteriores, el Teorema de Cauchy-Kovalevskaya asegura que el cl´sico Teorema de Cauchy de la teor´ de EDO (que garantiza que toda a ıa EDO con coeficientes anal´ ıticos tiene una unica soluci´n local anal´ ´ o ıtica) es cierto tambi´n e 11
  12. 12. en el marco de las EDP cuasilineales4 bajo la condici´n adicional de que la superficie sobre o la que se dan los datos de Cauchy sea anal´ıtica y no caracter´ ıstica. Conviene pues tener una caracterizaci´n sencilla que permita verificar cu´ndo una hiper- o a superficie es caracter´ ıstica o no. Esto es particularmente f´cil de hacer en el marco de las a EDP lineales con coeficientes constantes. Consideremos pues operadores diferenciales de la forma (7.1) P (D) = aα D α |α| k donde aα ∈ R, para cada | α | k. Se trata en efecto de un operador diferencial lineal de orden k con coeficientes constantes. La parte principal de este operador viene dada por los t´rminos de orden superior, k en e este caso: (7.2) Pp (D) = aα D α , |α|=k al que podemos asociar su polinomio caracter´ ıstico (7.3) Pp (ξ) = aα ξ α . |α|=k Dado un hiperplano H de dimensi´n n − 1 en el espacio eucl´ o ıdeo Rn ´ste es caracter´ e ıstico si y s´lo si su vector normal ν = (ν1 , · · · , νn ) es un cero de este polinomio, es decir, si o α (7.4) Pp (ν) = aα ν α = α aα ν1 1 · · · νn n = 0. |α|=k |α|=k De esta caracterizaci´n se deduce f´cilmente que el hecho que un hiperplano sea caracter´ o a ıstico n es algo muy excepcional, dado que el conjunto de ceros de un polinomio en R es un conjunto muy peque˜o (de medida nula, en particular). n Por otra parte, de la construcci´n desarrollada en el Teorema de Cauchy-Kovalevskaya o (C-K) es f´cil convencerse de que s´lo la parte principal del operador puede afectar a la a o condici´n de que el hiperplano sea caracter´ o ıstico. En efecto, tal y como ve´ıamos, la unica ´ dificultad que surge en la identificaci´n de todos los coeficientes del desarrollo en serie de o potencias de la soluci´n ocurre a la hora de calcular los coeficientes correspondientes a la o derivada normal (en la direcci´n normal a la superficie donde se dan los datos de Cauchy) o de orden mayor o igual al orden del operador involucrado en la EDP. 4 Las ecuaciones cuasilineales son una clase particular de las ecuaciones no-lineales en las que la no- linealidad s´lo afecta a las derivadas de ordena, lo sumo, k − 1 de la inc´gnita, siendo k el orden de la o o ecuaci´n. o 12
  13. 13. Por ultimo, no es dif´ comprobar a trav´s de la definici´n de derivada direccional que ´ ıcil e o el caso patol´gico en que la identificaci´n no puede realizarse, es decir, en que el hiperplano o o es caracter´ ıstico, es cuando el vector normal ν es un cero del polinomio Pp (·). Veamos ahora c´mo se puede usar esta caracterizaci´n en los ejemplos m´s cl´sicos de la o o a a ecuaci´n de Laplace, del calor y de ondas. o • La ecuaci´n de Laplace o El operador de Laplace viene dado por n ∂2· (7.5) ∆= . i=1 ∂x2 i Se trata pues de un operador de orden 2 puro en el que su parte principal es el propio operador ∆. El polinomio caracter´ ıstico del operador de Laplace es por tanto: (7.6) P∆ (ξ) = ξ1 + · · · + ξn =| ξ |2 2 2 y por consiguiente P∆ no admite ning´n cero no trivial. Esto significa que ning´n vector u u puede ser normal a un hiperplano caracter´ ıstico y en definitiva que ninguna hipersuperficie es caracter´ıstica. Por lo tanto, sea cual sea la hipersuperficie anal´ ıtica considerada, el problema de Cauchy est´ bien puesto localmente en el marco de las soluciones anal´ a ıticas, en el sentido del Teorema de Cauchy-Kovalevskaya. En particular, se deduce el siguiente resultado: Sea S una hipersuperficie anal´tica de Rn de dimensi´n n−1. Sea f una funci´n anal´tica ı o o ı definida en un entorno de S. Sean ϕ0 y ϕ1 funciones anal´ ıticas definidas sobre la superficie S. Entonces, para todo x0 ∈ S, existe un entorno Nx0 de x0 en Rn en el que el problema de Cauchy admite una unica soluci´n anal´ ´ o ıtica:   ∆u = f  en Nx0  u = ϕ0 en S ∩ Nx0  (7.7)  ∂u  = ϕ1 en S ∩ Nx0 .   ∂ν Conviene subrayar que la unica diferencia de este enunciado con el que es v´lido gracias al ´ a Teorema de Cauchy-Kovalevskaya es que, en este caso, no hace falta que impongamos a S la hip´tesis de ser no caracter´ o ıstico. • La ecuaci´n del calor: o 13
  14. 14. Consideramos ahora el operador del calor: (7.8) ∂t − ∆x . Trat´ndose de un operador de orden dos su parte principal es −∆x y el s´ a ımbolo correspon- 2 diente Pp (ξ, τ ) = − | ξ | . Conviene observar que, en este caso, Pp es un polinomio en las variables (ξ, τ ) ∈ Rn × R puesto que consideramos un operador diferencial en las variables (x, t) ∈ Rn × R. Los vectores normales a los hiperplanos caracter´ ısticos son por tanto de la forma ν = (0, τ ). Es decir se trata de vectores perpendiculares al eje temporal. Los hiperplanos carac- ter´ ısticos son entonces de la forma: (7.9) {t = cte.} . Es por ´sto que el problema de valores iniciales para la ecuaci´n del calor e o   ut − ∆x u = 0,  x ∈ Rn , t ∈ R (7.10) u(x, 0) = ϕ0 (x), x ∈ Rn  ut (x, 0) = ϕ1 (x), x ∈ Rn  es un problema caracter´ıstico al que no se puede aplicar el Teorema de C-K. De hecho est´ claro que en este problema los datos de Cauchy est´n sobredeterminados a a puesto que, si (7.11) u(x, 0) = ϕ0 (x), tambi´n se cumple necesariamente que e (7.12) ∆x u(x, 0) = ∆x ϕ0 (x). De la ecuaci´n del calor se deduce entonces que o (7.13) ut (x, 0) = ∆x ϕ0 (x), lo cual muestra que, para que pueda existir una soluci´n del problema de Cauchy, es necesario o que se cumpla la condici´n de compatibilidad o (7.14) ϕ1 (x) = ∆x ϕ0 (x). Vemos pues que el problema de Cauchy no siempre tiene soluci´n.o Conviene sin embargo observar que, si bien la ecuaci´n del calor es de orden dos, es o s´lo de primer orden en la variable temporal. Por tanto, (7.10) cabe tambi´n interpretarse o e como una ecuaci´n de evoluci´n de orden uno. Si as´ fuese, ser´ razonable considerar el o o ı ıa 14
  15. 15. problema de valores iniciales en el que s´lo se impone el valor de la soluci´n en la superficie o o caracter´ ıstica t = 0 pero no el de la derivada temporal: ut − ∆x u = 0, x ∈ RN , t ∈ R (7.15) u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ RN . Este problema de valores iniciales si que est´ bien puesto pero s´lo en el sentido positivo a o del tiempo, i.e. para t > 0. La soluci´n de (7.15) viene dada a trav´s de la convoluci´n con o e o la soluci´n fundamental Gaussiana: o (7.16) G(x, t) = (4πt)−N/2 exp(− | x |2 /4t). En efecto la soluci´n de (7.15) es o (7.17) u(x, t) = [G(x, t) ∗ ϕ](x), donde ∗ denota la convoluci´n en la variable espacial exclusivamente, es decir, o | x − y |2 (7.18) u(x, t) = (4πt)−N/2 exp − ϕ(y)dy. Rn 4t Este problema ser´ desarrollada con m´s detalle en la secci´n 13. a a o 15
  16. 16. • La ecuaci´n de ondas o Consideramos ahora el operador de ondas o de d’Alembert 2 (7.19) = ∂t − ∆x . Se trata de un operador de orden dos donde la parte principal es, como en la ecuaci´n de o Laplace, el propio operador. En este caso el polinomio caracter´ ıstico es de la forma (7.20) P (ξ, τ ) = τ 2 − | ξ |2 . ısticos son de la forma (ξ, ± | ξ |) Por tanto los vectores normales a los hiperplanos caracter´ y los hiperplanos caracter´ ısticos son planos inclinados de pendiente unidad. Se trata pues de planos tangentes al cono de luz (7.21) | x |= t o a sus traslaciones (7.22) | x − x0 |= t − t0 . En el caso de una sola variable espacial la ecuaci´n de ondas se reduce a o (7.23) utt − uxx = 0, y el problema de valores iniciales correspondiente es por tanto   utt − uxx = 0,  x ∈ R, t ∈ R (7.24) u(x, 0) = f (x), x ∈ R  ut (x, 0) = g(x), x ∈ R.  Se trata obviamente de un problema no caracter´ ıstico en el que los datos de Cauchy est´n a dados sobre la recta no caracter´ ıstica t = 0. La f´rmula de d’Alembert proporciona en este caso la expresi´n expl´ o o ıcita de la soluci´n: o x+t 1 1 (7.25) u(x, t) = [f (x + t) + f (x − t)] + g(s)ds. 2 2 x−t De esta expresi´n se deduce que la soluci´n est´ globalmente definida. Cuando los datos f o o a y g son funciones anal´ıticas, la soluci´n tambi´n lo es. Pero la f´rmula (7.25) tiene tambi´n o e o e la virtud de proporcionar una expresi´n de la soluci´n para datos iniciales f y g mucho o o menos regulares. Por ejemplo, cuando f es continua y g es integrable, (7.25) representa una funci´n continua. Pero la f´rmula (7.25) tiene incluso sentido para funciones f y g o o localmente integrables (en el sentido de Lebesgue) y por tanto permite tambi´n representar e las soluciones d´biles de la ecuaci´n. e o 16
  17. 17. Esta f´rmula permite tambi´n observar la velocidad finita de propagaci´n en el proceso o e o descrito por la ecuaci´n de ondas (= 1 en este caso). En particular, el valor de la soluci´n u o o en el punto (x, t) depende del de los datos iniciales en el intervalo [x − t, x + t] denominado dominio de dependencia, mientras que el valor de los datos iniciales en el punto x0 s´lo afecta o al valor de la soluci´n en el interior del cono |x − x0 | ≤ t, tambi´n conocido como regi´n de o e o influencia. En el caso de varias variables espaciales se pueden tambi´n obtener f´rmulas de repre- e o sentaci´n expl´ o ıcita de las soluciones aunque en estos casos son algo m´s complejas. Conviene a se˜alar que: n • En tres dimensiones espaciales, el m´todo de las medias esf´ricas permite reducir el e e c´lculo de la soluci´n general al caso particular de las soluciones radiales para las que a o u = u(r, t), con r = |x|. En este caso la ecuaci´n de ondas se escribe o 2 utt − urr − ur = 0. r El cambio de variables v = ru reduce ´sta a la ecuaci´n de ondas pura en una dimensi´n: e o o vtt − vrr = 0. Esto permite obtener una expresi´n expl´ o ıcita de la soluci´n radial de la o que despu´s se obtiene la soluci´n general. e o • Una vez de haber obtenido la soluci´n de la ecuaci´n de ondas en tres dimensiones, la o o soluci´n en dos dimensiones se puede obtener por el m´todo del descenso. Basta para o e ello considerar la soluci´n u = u(x, y, t) como una soluci´n de la ecuaci´n de ondas en o o o tres dimensiones independiente de la variable z. 8 ¿Soluciones locales o globales? Tal y como hemos subrayado en secciones anteriores, el Teorema de C-K proporciona solu- ciones locales, definidas en torno a la superficie donde se dan los datos de Cauchy. Sin embargo, en algunos casos, como por ejemplo en el problema de valores iniciales para la ecuaci´n de ondas 1 − d, la soluci´n est´ globalmente definida. o o a El objeto de esta secci´n es enfatizar que, en general, no puede garantizarse que la soluci´n o o sea global. Ya en el marco de la teor´ de EDO encontramos ejemplos que ilustran claramente este ıa hecho. Consideramos por ejemplo la ecuaci´n diferencial lineal: o x = x, t∈R (8.1) x(0) = x0 . 17
  18. 18. En este caso la soluci´n es global y viene dada por la expresi´n o o (8.2) x(t) = x0 et . Resulta pues evidente que se trata de una funci´n anal´ o ıtica globalmente definida. Consideremos ahora la ecuaci´n no lineal: o x = x3 , t∈R (8.3) x(0) = x0 . La soluci´n tambi´n puede obtenerse de forma expl´ o e ıcita en este caso. En efecto, la ecuaci´n o puede reescribirse como x /x3 = 1. Integrando en la variable temporal obtenemos t −1 = t. 2x2 (t) 0 Es decir −1/2 x0 (8.4) x(t) = x−2 − 2t 0 =√ . 1 − 2tx0 La soluci´n obtenida es anal´ o ıtica pero tiene car´cter local puesto que x(t) a ∞ cuando t t∗ , el tiempo m´ximo de existencia de la soluci´n que viene dada por: a o 1 (8.5) t∗ = . 2x20 Se trata de un fen´meno de explosi´n en tiempo finito. o o En realidad, salvo la soluci´n trivial x ≡ 0 que corresponde al dato inicial x0 = 0, todas o las soluciones explotan en tiempo finito t∗ . De la expresi´n expl´ o ıcita de t∗ se observa tambi´n e que, a medida que el m´dulo | x0 | del dato inicial aumenta el tiempo de existencia de la o soluci´n disminuye. Por el contrario, a medida que | x0 | tiende a cero el tiempo de existencia o aumenta y tiende a infinito. Este ejemplo muestra con claridad que la restricci´n que el enunciado del Teorema de o C-K impone a las soluciones de ser locales no es meramente t´cnica sino que obedece a que, e en algunas ocasiones, las soluciones no est´n globalmente definidas. a De este ejemplo se podr´ sin embargo pensar que el unico obst´culo para que las solu- ıa ´ a ciones est´n globalmente definidas es que la ecuaci´n en cuesti´n sea no-lineal. Esto es as´ e o o ı en el marco de las EDO pero no en el de las EDP donde tambi´n pueden aparecer otro tipo e de restricciones, de car´cter m´s geom´trico. a a e Para convencernos de eso consideremos la ecuaci´n de Laplace en dos dimensiones espa- o ciales (8.6) ∆u = uxx + yyy = 0 18
  19. 19. con datos de Cauchy sobre la circunferencia unidad (8.7) Γ = x2 + y 2 = 1 . En este caso el problema de Cauchy puede escribirse del siguiente modo   uxx + uyy = 0  en R2  (8.8) u =f  Γ   xu + yu = g. x y Γ Conviene se˜alar que, en cada punto de Γ, el vector (x, y) apunta en la direcci´n normal. n o Por tanto el valor de u y de xux + yuy sobre Γ proporcionan datos de Cauchy completos. Teniendo en cuenta que, tal y como vimos en la secci´n anterior, el operador de Laplace o no posee ninguna curva caracter´ ıstica, se deduce que el Teorema de C-K es aplicable en este caso. Obtenemos as´ una soluci´n anal´ ı o ıtica unica local en un entorno de la curva Γ para ´ cada par de datos iniciales anal´ıticos f y g. Cabe ahora preguntarse cu´ndo esta soluci´n est´ globalmente definida en el interior de a o a la esfera |x| ≤ 1. Para que esto ocurra es imprescindible que los datos de Cauchy f y g est´n e correlados. En otras palabras, para cada dato f s´lo existe un dato g para el que la soluci´n o o est´ globalmente definida en la bola {|x| ≤ 1}. a Para comprobar este hecho basta observar que la soluci´n del problema o uxx + uyy = 0 en |x| ≤ 1 (8.9) u = f, Γ es unica. Este hecho puede probarse tanto por el principio del m´ximo como por el m´todo ´ a e de la energ´ Hagamos la verificaci´n por este ultimo m´todo. Si el problema posee dos ıa. o ´ e soluciones distintas su diferencia v satisface vxx + vyy = 0 en |x| ≤ 1 (8.10) v = 0. Γ Multiplicando en la ecuaci´n por v, e integrando por partes mediante la f´rmula de Green o o obtenemos que | v|2 dx = 0. |x|≤1 Esto implica que v ha de ser constante. Como se anula en el borde de la bola, ha de ser necesariamente nula, lo cual garantiza la unicidad.5 5 Otra prueba alternativa est´ basada en el principio del m´ximo. En efecto, si ∆v ≥ 0, su valor m´ximo a a a se alcanza en el borde de modo que v ≤ 0. Como ∆v = 0, aplicando el mismo argumento a −v se deducir´ ıa que v ≤ 0. De este modo se concluir´ que v ≡ 0. ıa 19
  20. 20. El ejemplo que acabamos de desarrollar demuestra que, lejos de tratarse de un hecho raro, la ausencia de soluciones globales para el problema de Cauchy ocurre en el ejemplo m´s importante en la teor´ de EDP: la ecuaci´n de Laplace. a ıa o 9 Unicidad de soluciones En las secciones anteriores hemos construido soluciones para diversas ecuaciones. El Teorema de C-K garantiza que estas son unicas en el marco de problemas de Cauchy con datos y ´ coeficientes anal´ıticos y siempre que la superficie donde se dan los datos sea anal´ıtica y no caracter´ ıstica. Sin embargo, tal y como hemos tenido oportunidad de comprobar, el resultado de unicidad que el Teorema de C-K proporciona no siempre es de aplicaci´n por, al menos, dos razones: o • Hay problemas importantes, como por ejemplo el problema de valores iniciales para la ecuaci´n del calor, que no es un problema de Cauchy y adem´s los datos est´n dados o a a sobre una hipersuperficie (t = 0 en este caso) caracter´ ıstica. • Frecuentemente los datos del problema no son anal´ ıticos. Este era el caso por ejemplo en la ecuaci´n del calor donde se observaba que para un o dato inicial en L (R ) se obten´ una soluci´n en la clase BC ([0, ∞); L1 (Rn )). 1 n ıa o Conviene pues desarrollar herramientas adicionales que permitan abordar el problema de la unicidad de manera m´s sistem´tica. Aqu´ analizaremos dos de ellas: a a ı • El Teorema de Holmgren. • El m´todo de dualidad. e 9.1 El Teorema de Holmgren El Teorema de Holmgren es v´lido en el contexto del Teorema de C-K siendo un corolario a de este ultimo. Su enunciado es el siguiente6 : ´ Teorema de Holmgren En el marco del Teorema de C-K, es decir, para ecuaciones con coeficientes y datos anal´ ıticos sobre una superficie anal´tica y no caracter´ ı ıstica la soluci´n proporcionada por el o Teorema de C-K es la unica no s´lo en la clase de funciones anal´ ´ o ıticas sino que es unica en ´ toda la clase de funciones localmente integrables. 6 El Teorema de Holmgren es m´s general pues garantiza la unicidad de las soluciones generalizadas en el a sentido de las caracter´ ısticas 20
  21. 21. La importancia del Teorema de Holmgren radica en que, para problemas de Cauchy en los que el Teorema de C-K es aplicable, no puede existir otra soluci´n que no sea la funci´n o o anal´ıtica que C-K proporciona. Teorema de C-K puede tambi´n aplicarse incluso cuando los datos del problema no son e anal´ıticos. Consideremos por ejemplo el problema de Cauchy para la ecuaci´n de Laplace. o   ∆u = 0 en Rn   u=f en Γ  (9.1)  ∂u  = g en Γ   ∂ν donde Γ es una hipersuperficie anal´ ıtica de Rn de dimensi´n n − 1. o Como el operador de Laplace no posee hipersuperficies caracter´ ısticas, el problema (9.1) entra en el marco del Teorema de C-K. Supongamos ahora que, por ejemplo, f y g son funciones continuas. En estas condiciones el Teorema de C-K no se aplica puesto que, para hacerlo, se necesitan datos anal´ ıticos. Ahora bien, a pesar de ello, el Teorema de Holmgren garantiza la unicidad de la soluci´n de (9.1). o En efecto, suponiendo que (9.1) posee dos soluciones u1 y u2 introducimos v = u1 − u2 . Entonces v es soluci´n de o ∆v = 0 en Rn (9.2) v = ∂v/∂ν = 0 en Γ. Los datos en el sistema (9.2) son anal´ıticos. El Teorema de C-K se aplica y deducimos que (9.2) posee una unica soluci´n que no puede ser otra que v ≡ 0. Por tanto u1 ≡ u2 . ´ o Vemos pues que el Teorema de Holmgren garantiza la unicidad de las soluciones de (9.1). Conviene sin embargo observar que el problema de la existencia persiste pues, si bien cuando f y g son anal´ ıticas el Teorema de C-K se aplica, esto no ocurre cuando f y g son, por ejemplo, meramente continuas. En el caso de operadores lineales con coeficientes constantes (9.3) P(D)u = aα D α u |α| k la aplicaci´n del Teorema de Holmgren proporciona el siguiente resultado. o Corolario. Sea u = u(x) una soluci´n de o (9.4) P(D)u = 0 en Rn y supongamos que u se anula en un abierto no vac´ ω de Rn . ıo Entonces, u tambi´n se anula en un conjunto m´s grande ω, la envolvente caracter´stica e a ı n de ω, que se define del modo siguiente: ω es el abierto de R con la propiedad de que todo hiperplano caracter´stico que interseque ω tambi´n ha de intersecar a ω. ı e 21
  22. 22. Veamos los resultados que arroja la aplicaci´n de este Corolario en los tres modelos m´s o a importantes. • La ecuaci´n de Laplace o Supongamos que u = u(x) es una soluci´n de o (9.5) ∆u = 0 en Rn . Supongamos adem´s que u = 0 en ω, un abierto no vac´ de Rn . a ıo En este caso se deduce inmediatamente que u ≡ 0. Esto es as´ puesto que, de acuerdo a ı la definici´n de envolvente de ω dada en el enunciado del Teorema, ω = Rn , lo cual ocurre o porque ∆ no tiene hiperplanos caracter´ ısticos. Conviene tambi´n se˜alar que el Teorema de Holmgren es de aplicaci´n local de modo e n o que si la ecuaci´n ∆u = 0 se verifica en un abierto Ω de Rn y u = 0 en un subconjunto o abierto no vac´ ω de Ω, entonces u ≡ 0 en todo Ω. ıo • La ecuaci´n del calor o Supongamos ahora que u = u(x, t) es soluci´n de la ecuaci´n del calor o o (9.6) ut − ∆u = 0 en Rn , 0 < t < T y que (9.7) u = 0 en ω = Θ × (0, T ) donde Θ es un abierto no vac´ de Rn . ıo Entonces, como consecuencia del Teorema de Holmgren tenemos que (9.8) u = 0 en ω = Rn × (0, T ). Al cilindro ω = Rn × (0, T ) se le denomina la componente horizontal de ω = θ × (0, T ). Esto es as´ pues todos los hiperplanos caracter´ ı ısticos de la ecuaci´n del calor son de la o n forma t = cte. Es pues evidente que R ×(0, T ) es el conjunto m´s grande con la propiedad de a que todo hiperplano caracter´ıstico que lo corta, interseque tambi´n al subconjunto Θ×(0, T ). e Vemos por lo tanto que, tanto en la ecuaci´n de Laplace como del calor el conjunto de o ceros de la soluci´n se propaga a velocidad infinita en la variable espacial. o • La ecuaci´n de ondas o Supongamos ahora que (9.9) utt − ∆u = 0 en Rn × Rt x y que (9.10) u = 0 en ω = Θ × (−T, T ). 22
  23. 23. En este caso, como consecuencia del Teorema de Holmgren tenemos que (9.11) u = 0 en ω ˜ donde (9.12) ω= ˜ ΘR × (−T + R, T − R) 0 R T donde ΘR es un entorno en Rn xde radio R de Θ. En el caso de una variable espacial el resultado es particularmente sencillo pues garantiza que si u = 0 en (a, b) × (−T, T ) entonces u = 0 en [(a − R, b + R) × (−T + R, T − R)] . 0 R T An´logamente, a u = 0 en [(a + σ, b − σ) × {T + σ}] 0 σ (b−a)/2 y u = 0 en [(a + σ, b − σ) × {−T − σ}] . 0 σ (b−a)/2 En esta construcci´n se observa que el conjunto de ceros se propaga con velocidad uno, de o acuerdo con las propiedades b´sicas de la ecuaci´n de ondas considerada. a o El resultado obtenido es ´ptimo tal y como se confirma al estudiar el cono de influencia o y las regiones de dependencia en la ecuaci´n de ondas. o 9.2 Dualidad A pesar de la versatilidad del Teorema de Holmgren, hay una situaci´n en la que su aplicaci´n o o es imposible. Se trata del caso en que el problema considerado es caracter´ıstico. Esta es precisamente la situaci´n en uno de los problemas m´s relevantes: El problema o a de valores iniciales para la ecuaci´n del calor: o ut − ∆u = 0 en Rn × (0, ∞) (9.13) u(x, 0) = f (x) en Rn . En la secci´n 7 hemos visto que el problema admite una soluci´n de la forma o o (9.14) u(t) = G(t) ∗ f, siendo G el n´cleo de Gauss. Gracias a las propiedades elementales de la operaci´n de u o 2 n convoluci´n es f´cil comprobar que, si f ∈ L (R ) esta soluci´n pertenece a la clase u ∈ o a o 2 n BC ([0, ∞); L (R )). 23
  24. 24. Hab´ ıamos asimismo comprobado (esto puede hacerse aplicando la desigualdad de Young para la convoluci´n o el m´todo de la energ´ que o e ıa) (9.15) u(t) L2 (Rn ) f L2 (Rn ) , ∀t > 0. Se nos plantea pues el problema de la unicidad. Como el hiperplano {t = 0} en el que el dato inicial est´ dado es caracter´ a ıstico para la ecuaci´n del calor, el Teorema de Holmgren o no se puede aplicar. En este caso el m´todo de dualidad proporciona la soluci´n de manera sencilla. e o Supongamos que (9.13) admite dos soluciones u1 y u2 en la clase BC ([0, ∞); L2 (Rn )). Entonces v = u1 − u2 ∈ BC ([0, ∞); L2 (Rn )) es soluci´n de o vt − ∆v = 0 en Rn × (0, ∞) (9.16) v(0) = 0 en Rn . El problema se reduce a comprobar que v ≡ 0. En otras palabras, dado T > 0 arbitrario se trata de ver que v(T ) ≡ 0. Consideramos ahora el problema adjunto7 −ϕt − ∆ϕ = v en Rn × (0, T ) (9.17) ϕ(T ) = 0 en Rn . A pesar de que hemos cambiado el signo de la derivada temporal de la ecuaci´n del calor que o interviene en (9.17), en la medida en que los datos se dan en el instante final T , la soluci´n o ϕ puede ser construida como para el problema de valores iniciales en la cl´sica ecuaci´n del a o calor. En efecto, si hacemos el cambio de variables (9.18) ψ(x, t) = ϕ(x, T − t), observamos que ϕ es soluci´n de (9.17) si y s´lo si ψ es soluci´n de o o o ψt − ∆ψ = v(T − t) en Rn × (0, T ) (9.19) ψ(0) = 0 en Rn . 7 En el contexto de los operadores en derivadas parciales el operador adjunto se define siguiendo las ideas del Algebra Lineal, pero, en el esp´ıritu de la teor´ de distribuciones, adoptando el producto escalar de L2 . ıa Recordemos que en el marco de la teor´ de matrices, si A es una matriz N × N , su adjunta A∗ est´ definida ıa a por la propiedad < Ax, y >=< x, A∗ y >, donde < ·, · > denota el producto escalar euclideo. En el marco de los operadores diferenciales se procede de modo an´logo. Si P (D) es un operador diferencial lineal de a coeficientes constantes o variables, su adjunto P ∗ (D) se define por la f´rmula < P (D)u, v >=< u, P ∗ (D)v >, o para todo par de funciones test u y v, siendo en esta ocasi´n < ·, · > el producto escalar en L2 . As´ en o ı, particular, el adjunto del operador del calor ∂t − ∆ es el operador −∂t − ∆. 24
  25. 25. Sabemos que (9.19) admite una soluci´n de la forma o t (9.20) ψ(t) = G(t − s) ∗ v(T − s)ds. 0 Deshaciendo el cambio obtenemos que T −t T (9.21) ϕ(t) = ψ(T − t) = G(T − t − s) ∗ v(T − s)ds = G(σ − t) ∗ v(σ)dσ. 0 t Tenemos adem´s la estimaci´n a o (9.22) ϕ(t) L2 (Rn ) v L1 (0,T ; L2 (Rn )) , 0 t T. Multiplicando en (9.17) por v e integrando por partes obtenemos que (9.23) v 2 dxdt = (−ϕt − ∆ϕ)v dxdt Rn ×(0,T ) Rn ×(0,T ) T = − ϕvdx + ϕ(vt − ∆v)dxdt. Rn 0 Rn Es f´cil ver que todos y cada uno de los t´rminos a la derecha de la identidad (9.13) se a e anulan. En efecto, ϕ(0)v(0)dx = 0 puesto que el dato inicial de v se anula. El hecho de Rn que el valor de ϕ en t = T se anula implica que ϕ(T )v(T )dx = 0. Por ultimo, como v ´ Rn satisface la ecuaci´n del calor vemos que o ϕ(vt − ∆v)dxdt = 0. Rn ×(0,T ) Concluimos por tanto que (9.24) v 2 dxdt = 0, Rn ×(0,T ) lo cual garantiza que v ≡ 0 y da el resultado de unicidad buscado. Vemos pues que el m´todo de dualidad funciona proporcionando la unicidad de la soluci´n e o en problemas caracter´ ısticos. Esencialmente, el m´todo de dualidad funciona cada vez que e disponemos de un m´todo que permite construir soluciones con estimaciones adecuadas. e Conviene sin embargo ser cautos en el empleo de este m´todo en el caso en que el problema e considerado es no-lineal. Para comprobarlo, consideramos el caso m´s sencillo de la EDO: a x (t) = f (x(t)), t > 0 (9.25) x(0) = x0 . Supongamos que (9.25) admite dos soluciones x e y y definamos z = x − y. Entonces, z satisface z = f (x) − f (y) = a(t)z, t > 0 (9.26) z(0) = 0, 25
  26. 26. donde f (x) − f (y) (9.27) a(t) = . x−y Es ahora muy f´cil aplicar el m´todo de la dualidad para deducir que, cuando f es Lipschitz, a e la soluci´n es unica. En efecto, si f es Lipschitz con constante de Lipschitz L > 0, tenemos o ´ f (x(t)) − f (y(t)) (9.28) | a(t) |= L. x(t) − y(t) Por tanto, el potencial a = a(t) en (9.26) est´ acotado. a Consideramos ahora el problema adjunto −ϕ = a(t)ϕ + z, 0 < t < T (9.29) ϕ(T ) = 0. La soluci´n ϕ de (9.29) existe y se puede construir por el m´todo de la variaci´n de las o e o constantes. Multiplicando en (9.29) por z e integrando por partes en el intervalo 0 < t < T deducimos que z ≡ 0. Es decir, se obtiene la unicidad en (9.25). ¿Por qu´ el m´todo no se aplica cuando f deja de ser Lipschitz? e e En efecto, cuando f deja de ser Lipschitz hay ejemplos claros de no unicidad. El m´s a sencillo es el caso en que f (x) = | x |. Obviamente f no es Lipschitz en x = 0 y el problema de valores iniciales   x = |x| (9.30)  x(0) = 0 admite al menos dos soluciones: (9.31) x≡0 y (9.32) y = t2 /4. El m´todo de dualidad no puede entonces aplicarse pues el potencial a = a(t) correspondiente e es singular |x|− |y | |y| √ 2 (9.33) a(t) = = = ( y)−1 = (t/2)−1 = . x−y y t La ecuaci´n adjunta es entonces o  −ϕ = 2ϕ + z, 0 < t < T  (9.34) t ϕ(T ) = 0.  Se puede incluso comprobar que (9.34) admite una unica soluci´n que se puede escribir de ´ o manera expl´ ıcita por el m´todo de la variaci´n de las constantes. Pero la soluci´n ϕ obtenida e o o es singular en t = 0, de modo que el m´todo de dualidad que precisa de la integraci´n por e o partes en el intervalo (0, T ) no se puede aplicar en este caso. 26
  27. 27. 9.3 La soluci´n de Tychonoff o Acabamos de probar mediante el m´todo de dualidad que el problema de valores iniciales e para la ecuaci´n del calor tiene una soluci´n unica. Sin embargo Tychonoff contruy´ una o o ´ o soluci´n de la ecuaci´n del calor que parece contradecir este hecho. o o En efecto, Tychonoff construy´ una funci´n u = u(x, t) de clase C ∞ para x ∈ R y t > 0 o o tal que (9.35) ut − uxx = 0, x ∈ R, t > 0 y de modo que (9.36) u(x, t) → 0, t → 0+ , ∀x ∈ R. Este hecho entra en aparente contradicci´n con el resultado de unicidad probado mediante o el m´todo de dualidad que garantiza que si el dato inicial es nulo, la unica soluci´n del e ´ o problema de valores iniciales es la nula. Un an´lisis un poco m´s cuidadoso de la soluci´n de Tychonoff y del resultado de unicidad a a o probado permite deshacer esta aparente paradoja. La soluci´n de Tychonoff se construye de la siguiente manera (v´ase el cap´ o e ıtulo 7 del libro de F. John [5] para m´s detalles). a Consideramos la ecuaci´n del calor unidimensional o (9.37) ut − uxx = 0, x ∈ R, t > 0 con datos de Cauchy en el eje temporal: (9.38) u(0, t) = g(t), ux (0, t) = 0, t > 0. Buscamos una soluci´n de (9.37)-(9.38) desarrollada en serie de potencias de la forma o ∞ (9.39) u= gj (t)xj . j=0 Introduciendo la expresi´n (9.39) en la ecuaci´n del calor, igualando los coeficientes de las o o diferentes potencias de x y usando los datos de Cauchy (9.38) obtenemos que (9.40) g0 = g, g1 = 0, gj = (j + 2)(j + 1)gj+2 . Obtenemos por tanto la soluci´n formal o ∞ g (k) (t) 2k (9.41) u(x, t) = x . k=0 (2k)! 27
  28. 28. Elegimos ahora el dato de Cauchy exp(−t−α ), t > 0 (9.42) g(t) = 0, t 0 con α > 1. Se trata de una funci´n C ∞ pero no es anal´ o ıtica. Adem´s se puede comprobar a que k! 1 (9.43) g (k) (t) k exp − t−α , (θt) 2 para un cierto θ = θ(α) > 0. Esta propiedad basta para garantizar la convergencia de la serie de potencias (9.41). En efecto, ∞ ∞ g (k) (t) 2k | x |2k 1 (9.44) x exp − t−α = k=0 (2k)! k=0 k!(θt)k 2 1 | x |2 1 1−α = exp − t = U (x, t). t θ 2 De la estimaci´n (9.44) deducimos que, para t > 0, u << U , en la relaci´n de orden de las o o funciones anal´ıticas. De este modo vemos que para todo t > 0, (9.41) define una funci´n anal´ o ıtica en x. Es ∞ tambi´n f´cil comprobar por argumentos semejantes que es de clase C en t > 0. e a Por construcci´n, se trata de una soluci´n de la ecuaci´n del calor (9.37). Por otra parte, o o o de la cota (9.44) deducimos con facilidad que (9.45) u(x, t) → 0 cuando t → 0+ . Cabe entonces preguntarse el modo en que la existencia de la soluci´n de Tychonoff es o compatible con el resultado de unicidad probado mediante el m´todo de dualidad. e Un an´lisis cuidadoso del desarrollo realizado mediante aqu´l m´todo muestra que el a e e resultado de unicidad que aqu´l arroja es en la clase de soluciones BC ([0, ∀a

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