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Definición

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siguiente forme genero]: 
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completa y si b ó c o ambos,  s...
a) Método de la fórmula general: 
De la ecuación ax:  +bx+c =  0 se deduce que : 

—> (Fórmula de Carnot)

 

siendo: 

 
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b] bietodo de iactorisacidn: 

Consiste en iactorisar ei poiinomio de segundo grado :  ax?  + bx + c =  ii siempre y

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Discusión de las raíces de una ecuación de segundo grado

Las raíces x1 y x2 de una ecuación de segundo grado :  ax?  + bx...
Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado

Sea la ecuación de segundo grado :  ax?  + bx + c =  O,  aseo ...
Construccion de una ecuacion de segundo grado conociendo sus raíces

Conociendo las dos raices rn y in- de una ecuacidn de...
Prepiedcadee adicionales de late raíces
i La ecuacion de segundo grado:  en?  + bit + c =  ti,  based tiene raices simétricas (raices de
igual valor pero de signo...
Raíz nula

Dada la ecuación de segundo grado :  ax?  - bx - c
nula (x= O) entonces : 

O,  Y‘ aaeO , si esta presenta una ...
¿Qué significa solucionar una ecuación de segundo grado? 

Solucionar una ecuacion de segundo grado proviene de encontrar ...
Si cualquiera de esas funciones se ubica en un sistema cartesiano XY.  puede asumir tres posiciones

posibles. 
Uvm)

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Primer caso:  incompletas puras.  Corr b =  d.  Ecuaciones del tipo air!  + c =  d

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Fórmula para resolverlas: ...
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Fórmula de solución:  x =   
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Resolver mediante procedimiento de factorización. 

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Ecuaciones literales. 

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Ecuaciones irracionales de segundo grado.  Es indispensable comprobar las dos raices
que se encuentran. 

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Ecuaciones De Segundo Grado

  1. 1. {ECLMCIÜNES DE SEGUNDO GRADO CON U ¡‘A IÏCÜÜNÍÏÉL
  2. 2. Definición iisrnuciss también ecuaciones CUADRÁTiCAS son squeiiss ecuaciones que presenten is siguiente forme genero]: j ; Eesti! y HQbÉLLER donde s , b y c son iisntucios coeficientes pique pueden ser resies o contpiejos 1 Ei coeficiente “s” se iisnte coeficiente cuedrático o tie segundo grado. Ei coeficiente “b” se iisnts coeficiente lineal o rie primer grado. y Ei coeficiente “c” se iiurns término iineel.
  3. 3. Si los coeficientes a, b y c son diferentes de cero, la ecuación de segundo grado se llama completa y si b ó c o ambos, son ceros, ia ecuación de segundo grado se llama incompleta. Así dado: a , b y c se O entonces : ax? + bx + c = 0 se llama ecuación de segundo grado completa. Sib= Ü entonces: dX]+C= Ü Si ¿:0 en“ Meg l “x9 +51. = g se llaman ecuaciones de segundo grado _ _ ¡_ incompletas 535474] entonces: a‘ ‘Ü Toda ecuacion de segundo grado presenta soluciones io raices dei DDÏÍILDIÏIÍÜ], iiamernosias, x1 y x; Estas raices se pueden obtener mediante dos metodos:
  4. 4. a) Método de la fórmula general: De la ecuación ax: +bx+c = 0 se deduce que : —> (Fórmula de Carnot) siendo: Se define la cantidad subradical : b? - 4ac como el discriminante (invariante Característica) de la ecuación cuadrática y se le denota por : ”o. ”, luego:
  5. 5. b] bietodo de iactorisacidn: Consiste en iactorisar ei poiinomio de segundo grado : ax? + bx + c = ii siempre y cuando se pueda. bos pasos de estemetodo son ios siguientes: i se trasiadan todos ios terminos aun sdio miembro dejando ei otro miembro igual a cero. i de iactoriza este miembm por ei metodo dei aspa simpie. i Para obtener ias raices de ia ecuacion , se iguaia cada iactor a cero.
  6. 6. Discusión de las raíces de una ecuación de segundo grado Las raíces x1 y x2 de una ecuación de segundo grado : ax? + bx + c = 0, V aseo dependen de la discriminante A dado por (4) así: Primer caso: Si A > 0 entonces las raíces x1 y x2 son reales y desiguales. Ahora bien en este caso se presentan dos situaciones: a) si A es un cuadrado perfecto las raíces x1 y x2 son racionales. b) si A no es un cuadrado perfecto las raíces x1 y x2 son irracionales conjugadas. Segundo caso: Si A = 0 entonces las raíces x1 y x2 son reales e iguales (raíces dobles) donde: b x¡= x¿= -— 2a Tercer caso: Si A < 0 entonces las raíces x1 y x2 son complejos y conjugados.
  7. 7. Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado Sea la ecuación de segundo grado : ax? + bx + c = O, aseo y sus raíces x1 y x2 tendremos Las siguientes propiedades: a) Suma de raíces : b) Producto de raíces : c) Diferencia de raíces :
  8. 8. Construccion de una ecuacion de segundo grado conociendo sus raíces Conociendo las dos raices rn y in- de una ecuacidn de segundo grado p, esta se construye empleando ia suma y ei producto de dichas raíces. Luego la ecuacion que did origen a a) y s2 es : llamada tambien : forma canonica de ia ecuacion de segundo grado. O bien : xz-ïreiïfi siendo : S = r) +12 y i’ = al “r3
  9. 9. Prepiedcadee adicionales de late raíces
  10. 10. i La ecuacion de segundo grado: en? + bit + c = ti, based tiene raices simétricas (raices de igual valor pero de signo contrario] si y solo si : r) = -.ry de aiii ‘que: r) +rg = Ü entonces I i La ecuación de segundo grado: aa? ‘ + bx + c = ti, ‘taefi tiene raices recíprocas (una de las raices es ia inversa de ia otra] si y solo si: i . r¡= —de aiii -que: rl. r,= i entonces I ïr
  11. 11. Raíz nula Dada la ecuación de segundo grado : ax? - bx - c nula (x= O) entonces : O, Y‘ aaeO , si esta presenta una raiz c=0 Raiz Unidad Dada la ecuación de segundo grado : ax? - bx - c unidad (x= l) entonces : O, ‘V aseo , si esta presenta una raiz a+b+c=0 Teorema de las ecuaciones cuadráticas equivalentes Sean las ecuaciones euadraticas (o de segundo grado) : ax: +bx+c =0 ; Va: 0 y ¡n. r:+¡zx+p=0;7n1:0 Si estas ecuaciones tienen las mismas raices se dice que dichas ecuaciones son EQUINZXLENTES y se cumple que : ; m, n y pato Es decir que los coeficientes de cada termino semejante son proporcionales entre si.
  12. 12. ¿Qué significa solucionar una ecuación de segundo grado? Solucionar una ecuacion de segundo grado proviene de encontrar los valores de la variable independiente, usualmente r, para los que la iuncidn cuadrritica y = tir) = ar! + br + clorna el valor d. En lorrna gráfica. Una funcion cuadrática y = flidpuede tener dos formas posibles, yellas son:
  13. 13. Si cualquiera de esas funciones se ubica en un sistema cartesiano XY. puede asumir tres posiciones posibles. Uvm) v v y = f(x) y = f(x) e. ) — X2 x 0 x1 = x2 x 1 2 ) En el caso 1, debido a que la función f(x intercepta al eje X en dos puntos, hay dos soluciones diferentes x1 y x2. z<l En el caso 2, la función f(x) intercepta al eje X en solo un punto, entonces hay dos soluciones iguales x1 = X2. Y. en el caso 3. no hay soluciones en los números reales, esto es porque Ia función no se intercepta con el eje x. En este caso, debe considerarse la definición de un número imaginario puro como J-_1 = i. EI número i no pertenece al conjunto de números reales, pertenece al de los números complejos. Y. en estricto rigor. las soluciones x1 y x2 existien, pero en el conjunto de los números complejos. Esto será explicado con detención en cursos superiores.
  14. 14. Primer caso: incompletas puras. Corr b = d. Ecuaciones del tipo air! + c = d 12.- 13.- Fórmula para resolverlas: x= i _2, J a Esdecir: x, =+ —% y x, =— ——% r-axeuis yy yy 1 5x24): 5 8.- íhïíxegeg 3,-rrre+i4=o i l _ Más“) 9.-(2x—l)(x+2)—(x+4)(x—l)+5-0 5-'ll'i*5llli‘5l= Ü yr], i_L= l B. -(2x—3)(2x+3—l35=d 3x2 5x2 12 r-3rv+2rrv-2r= rv-i: e+sv H 2x—3_x-—2 xa ‘Ñ x2—5+4x2—1_14x2—1_0 14__ 3_ 3 :2 3 5 15 ’ 4x2—1 2x—3—: %;= -7
  15. 15. ghgïa-pagw-JÏW- I i 1 | | Segundo caso, incompletas binomiales Con r: = ll Son del tipo 312+ br = ll Soluciones: ao = d y s2 = —É a ¡‘ill ti‘? lt-9 3 year, e" íTi —3ir=3 ¿lx e Sxvflhyxü) 7.- (¿lir-l)(2x+3)= (3x+3)(x-l) (cil-violen i, Ltïeu ll-l ir-2
  16. 16. Eeu sesiones. completas
  17. 17. Caso particular. Con a = l. Son del tipo x2 + br + c = d - y. ) e- Formula de solucion: it = 2 . ub+ilb“——-4c “bm bla-elo Esdecirzxfa y rige 2 2 l. — rre-armo a xe—ri+e)= x+5a 2, xe'—ar—i5=o r, (x-l)2+llir+lldd=3x2—(ir—2)2 a" remar-sa o, (x—2)ir+2)—i(x—l_)=2l v, ie+3ix=2s5 a. " axe-i —2yyx+5)= rpr+3) 5.- sxnr-iy-oizie-rxyao ld- (rr-lino2)—y2r—3yir+r)—i+ir= o
  18. 18. Caso general. Son del tipo ax’ + bx + c = 0 y 2 Fórmula de solución: x = 2a . -b+«Íb'-4ac -b-Jb’-4ac Es decir: x, =e y x¡= e 2a 2a 1.- 3x2-5x+2=0 1o. - 12x-7x2-i-64=0 2.- 4x*+3x—22=o 11.- x*= —15x—56 3.- x2+11x= -24 12.- 32x’+1ex—17=o 4.- x2=16x- 63 13.- 176x= 121 + 64x’ 5.- 12x-4—9x2=0 14.- ax+s= asxe 6.- 5x’—7x—9o= o 15.- 27x2+12x-7=0 7.- 6x2 = x + 222 16.- 15x = 25x2+ 2 3.- x+ 11 =1oxe 17.- axe—2x—3=o 9.- 49x2-70x+25=0 1a. - 1o5=x+2x‘ 19.- x(x+3)=5x+3 25.- 7(x-3)-5(x2-1)= x2-5(x+2) 2o. - 3(3x- 2) = x(2x + 4x4 — x) 26.- (x — sye- (x — e)’ = (2x- aie- 118 21.- 9x+1=3( -5)-(x—3)(x+ 2) 27.- (5x—2’—(3x+1)‘—x’—6o= o 22.- (2x-3)2-(x+5)2=-23 28.- (x+4) —(x—3)*=343 23.- 25(x+2)2=(x—7)2—81 29.- (x+2)2-(x—1)’= x(3x+4)+ 8 24.- 3x(x — 2) — (x — s) = 23(x — 3) 3o. - (5x - 4)‘ — (3x + 5)(2x — 1) = 20x(x — 2) + 27
  19. 19. 32.- 33.- 34.- 35.- 36.- 37.- 38.- 39.- 40.- 41- ———= — x-2 x 2 4x2 1-3x 20x 42.- —-í= — x-1 4 3 3x-1 2x 7 4&- -———--—=0 x 2x-1 6 44_ 5x-8_7x-4 ' x-1 x+2 4&_ x+3_5x-1: 2x-1 4x+7 1 1 1 46.- —--= — 4-x 6 x+1 47_ x+4_x+2_; L ' x+5 x+3 24 5 6 5 48.- ———. -_3— xz x+1 8 4g_ x:1+x:1_2x+9 ' x+1 x-1- x+3 5o- ¿__1_= _1_
  20. 20. Resolver mediante procedimiento de factorización. 1.- x2-x-6=0 2x-5 2.- x2+ 7x= 18 14-‘ (“zlz ‘T :3 3.- 8x-65=-x’ 3 15 4.- x2=108-3x 15, L”: "* 5.- 2x2+7x-4=0 x-2 4 6.- 6x’=1o—11x 16 6 4_5 7.. 20x’-27x=1xg " ¡Tfïfi 8.- 7x=15-390 . _ a_ _ s: 9.- ao= axe+isrx 17' (L? ) “¡El 37 1o. - x(x-1)-5(x-2)=2 1a. . —-2=— 11.- (x-2)2-(2x+3)2=-80 x+1 3 6 9 4 12" 77:"? 19- Í: 2”‘ x+2 . 2X+3 6X+5 13-' —+*= - 3x+2 9x+14 x x 20.- : =5- 4 12x
  21. 21. Ecuaciones literales. —* —* —‘ —* —* —‘ (D Ï Ñ Ó) CTI «b (A) IQ —* S” P F9 N f‘ p "o "a "o 'o 2o "o "o "n W Í Í Í Í Í Í 25.- x2 + 2ax- 35a2 = 0 10x2 = = 3632- 3ax a2x2 + abx - 2b2 = 0 89bX = 42X2 + 22b2 x2 + ax = 20a2 2x2 = abx + 3a2b2 b2x2 + 2abx = 332 x2 + ax - bx = ab x2- 2ax = Gab — 3bx 3(2x2 - mx) + 4nx - 2mn = 0 x2-a2-bx-ab=0 abx2-x(b-2a)=2 x2-2ax+a2-b2=0 4x(x-b) + b2= 4m2 x2-b2+4a2-4ax=0 2 1 x+-= --+-2a x a 16.- 17.- 18.- 19.- 20.- 21.- 22 . - 23.- 24.- 26.- x2-(a+2)x= -2a x2+ 2x(4-3a)=48a x2-2x= m2+ 2m x2+ m2x(m-2) = 2m5 6x2-15ax= 2bx-5ab —+—-—=0 4 2 2a 2x-b_2bx-b2 2 3x ÏJra-Zxfil‘ a-x a+x i- a2 x-1-2(a-2) 2x—b_L_2_x b x+b—4b
  22. 22. Ecuaciones irracionales de segundo grado. Es indispensable comprobar las dos raices que se encuentran. 1 “Jmá 10 x+3+ 6 :5 2 2x- x-1=3x-7 «¡Ñ 3 wi" x+3=4 11 fi+ig 4 2Jï- x+5=1 ‘l; 5 JÑ+ x+3=3 12.- Nx: x+7+ 8 e Jxïn/ Ñ-zlïo m 7 5x-1- B-xn/ Ü 13" lxhjfiúfi 8 yfifi: 16X“ 14.- r/ tÑn/ Ñ-x/ Tho 9 2x+ 4x-3=3
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