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    Superficies Superficies Presentation Transcript

    • DefiniciónUna superficie en paramétricas en el espacio es unafunción vectorial de la forma: r (u, v ) = x (u, v ) i + y (u, v ) j + z (u, v ) kDonde x , y , z son funciones continuas de u , v 2en un dominio D ⊂ ℝ .
    • Ejemplo: Un cilindro, dado por la función: r (u, v ) = 2 cos u i + 2 sin u j + v k { }En el dominio: D = (u, v ) ∈ ℝ 2 0 ≤ u ≤ 2π 0 ≤ v ≤ 2
    • Si en una superficie en paramétricas, eliminamos losparámetros, obtenemos una expresión del tipo:x = x (u, v)y = y u, v ⇒ z = f x, y ( ) ( ) o F (x, y, z ) = 0z = z (u, v) ( )La expresión z = f x, y da la superficie de formaexplícita. ( )La expresión F x, y, z = 0 da la superficie de formaimplícita.
    • EjemploEn la superficier (u, v ) = sin u cos v i + sin u sin v j + cos u k 2 2x + y + z = (sin u cos v ) + (sin u sin v ) + cos2 u = 2 2 2 sin2 u cos2 v + sin2 u sin2 v + cos2 u = ( ) sin2 u cos2 v + s in2 v + cos2 u = 1Obtenemos la esfera: x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0
    • Vector tangente a una superficie r (u, v ) = x (u, v ) i + y (u, v ) j + z (u, v ) k (Para un par u0 , v0 ) ( ) obtenemos un punto r u0 , v0 dela superficie.Si mantenemos constante v = v0 la expresión r u, v0 ( )define una curva en la superficie. El vector tangentea dicha curva en el punto r (u0 , v0 ) viene dado por la∂r∂u (u0 , v0 ) Vector que también es tangente a la superficie.De forma análoga:
    • Si mantenemos constante u = u0 la expresión r u0 , v ( )define una curva en la superficie. El vector tangentea dicha curva en el punto r (u0 , v0 ) viene dado por la∂r∂v (u0, v0 ) Vector que también es tangente a la superficie.Vector normal a la superficieUn vector perpendicular a la superficie vendrá dado por ∂r ∂r N (u0 , v0 ) = (u0, v0 ) × ∂v (u0 , v0 ) ∂u ( )Si dicho vector no es nulo, para ningún u, v , se diceque la superficie es suave.
    • Plano tangente a una superficieDada la superficie r (u, v ) = x (u, v ) i + y (u, v ) j + z (u, v ) k (Para un par u0 , v0 ) ( ) obtenemos un punto r u0 , v0 dela superficie.La ecuación del plano tangente en dicho punto, vienedado por:(OP − r (u , v )) i N (u , v ) = 0 0 0 0 0 P (x,y, z ) ∈ plano
    • Si la superficie viene dada en forma explícita z = f (x, y )Tenemos: r (x, y ) = xi + y j + f (x, y ) k Luego:∂r ∂f ∂r ∂f∂x (x, y ) = i + 0 j + ∂x (x, y ) k ∂y (x, y ) = 0i + j + ∂y (x, y ) k ∂f ∂f N (x, y ) = − (x, y ) i − (x, y ) j + k ∂x ∂y ( )El plano tangente en un punto r x 0, y0 viene dado por:(OP − r (x , y )) i N (x , y ) = 0 0 0 0 0 P (x,y, z ) ∈ plano