Sistemas de ecuaciones lineales

SISTEMAS DE
ECUACIONES
LINEALES

UCA. Sección Departamental de
Matemáticas. Algeciras.

Introducción y notaciones

Estudio de un sistema de ecuaciones lineales

Resolución de un sistema de ecuaciones lineales

 a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
 a x + a x + ... + a x = b
Expresión  21 1

22 2 2n n 2

 ..............
Analítica  ...............

a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + amn xn = bm


aij , coeficientes del sistema
xi , incógnitas o variables
bi , términos independientes
Sección Departamental de Matemáticas. Algeciras. EPSA.

 a11 a12 ... a1n   x1   b 1 
    
 a21 a22 ... a2 n   x2   b2 
 ........   ..  =  ..  Expresión
    
 ........   ..   ..  Matricial
a am 2 ... amn   xn   b m 
 m1    

Abreviadamente: A·X = B
A = Matriz de los coeficientes
(A|B) = Matriz ampliada


Expresión en función de las
columnas de A:
 a 11   a 12   a 1n   b1 
       
 a 21   a 22   a 2n   b2 
 .. · x +  .. · x + ... +  .. · x =  .. 
  1   2   n  
 ..   ..   ..   .. 
       
 a m1   a m2   a mn   bm 
n

o equivalentemente, ∑ xi ·C i = B
i =1


Diremos que la matriz columna o el
vector columna S es una solución del
sistema si se verifica que :

A·S = B

Tipos de sistemas
1. Sistema Incompatible
2. Sistema Compatible Determinado
3. Sistema Compatible Indeterminado


Sistemas Homogéneos
Diremos que un sistema de ecuaciones
lineales es homogéneo si todos los
términos independientes son nulos :
A·X = O

∆ = {Soluciones del S.E.L.}
∆h = {Soluciones del S.E.L.H.}

Sistemas Equivalentes
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes
si cualquier solución de uno, lo es también del otro.

Transformaciones Elementales
Intercambiar dos ecuaciones.
Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.
Sumar a una ecuación otra multiplicada por un escalar


Introducción y notaciones
Estudio de un s.e.l.

Resolución de un s.e.l.

Proposición 1
Toda transformación elemental sobre un sistema de
ecuaciones lineales genera otro sistema equivalente.

Proposición 2
Si en un sistema de ecuaciones lineales se eliminan
las ecuaciones que son combinación lineal de otras
ecuaciones, se obtiene un sistema equivalente.


Proposición 3
(1) Para todo sistema homogéneo se tiene que O∈ ∆h .
(2) Si s1 , s2∈∆h , entonces α·s1+β·s2 ∈ ∆h, ∀α,β∈IR.

Proposición 4
Si s0 es una solución de un sistema de ecuaciones
lineales y sh es solución del sistema homogéneo
asociado, entonces s 0 + sh es solución del sistema.


Teorema de
Rouché-Fröbenius
La condición necesaria y suficiente para que un sistema
de ecuaciones lineales sea compatible es que el rango de
la matriz de los coeficientes coincida con el de la matriz
ampliada.

• Si rg(A) ≠ rg(A|B) ⇒ S. INCOMPATIBLE

Corolario • Si rg(A) = rg(A|B) = n ⇒ S.C. DETERMINADO

• Si rg(A) = rg(A|B) < n ⇒ S.C. INDETERMINADO

Metodología

Eliminar ecuaciones redundantes.

Parametrizar el sistema.

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1 p x p + a1 p+1 x p+1 + ... + a1n x n = b1

a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 p x p + a2 p +1 x p +1 + ... + a 2 n x n = b2

 ...........

a p 1 x1 + a p 2 x 2 + ... + a p p x p + a p p+1 x p+1 + ... + a p n x n = b p

a p+1 1 x1 + a p+1 2 x 2 + ... + a p+1 p x p + a p+1 p+1 x p+1 + ... + a p+1 n xn = b p+1
 ............

a m 1 x1 + a m 2 x 2 + ... + am p x p + a m p+1 x p+1 + ... + am n x n = bm


Métodos Directos

Método matricial.

Método de Crámer.

Método Gauss (variante Gauss-Jordan)


Método Matricial o de la
matriz inversa

A⋅X = B
−1
X = A ⋅B


Método de Crámer
 x1   A11 A21 ... An1   b1 
    
 x2  1  A12 A22 ... An2   b2 
 .  =
  A  .
 . ... .  . 
 
x  A A2n ... Ann   bn 
 n  1n  

b1 a12 ... a1n
A11b1 + A21b2 + ... + An1bn 1 b2 a22 ... a2n
x1 = =
A A . . ... .
bn an2 ... ann

........................................................................
a11 a12 ... b1
A b + A2nb2 + ... + Annbn 1 a21 a22 ... b2
xn = 1n 1 =
A A . . ... .
an1 an2 ... bn


Método de Gauss
a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1

a21x1 + a22 x 2 + ... + a2n x n = b2

.........................
a x + a x + ... + a x = b
 n1 1 n2 2 nn n n

a21 a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
< E2 − E1 > 
a11  a'22 x2 + ... + a'2n xn = b2

...  ................................
a 
< En − n1 E1 >  a'n2 x2 + ... + a'nn xn = bn
a11

........................................................................
u11 x1 + u12 x 2 + ... + u1nxn = c1

 u22 x 2 + ... + u2nxn = c2

 .......... .......... ..
 unn xn = cn



Método de Gauss-Jordan
u11 x1 + u12 x 2 + ... + u1nxn = c1

 u22 x 2 + ... + u2nxn = c2

 .......... .......... ..
 unn xn = cn


v 11 x 1 + v 12 x 2 + ... + v 1n − 1 x n − 1 = e1
 v 22 x 2 + ... + v 2n − 1 x n − 1 =
 e2

 .......... .......... ..

 v nn x n = en

........................................................................
 d 11 x1 = d 1
 d x =d
 22 2 2

 .......... .......... ..
 d nn x n = d n



Escalonamiento de un S.E.L
Mediante este proceso podemos, a la vez, estudiar el
carácter y resolver un sistema de m ecuaciones con n
incógnitas.
* * * * ..... * *


 
* 

 * * * ..... * *

 

0
 0 * * ..... * *


0 

 0 0 * ..... * *

(A | B ) ≈ 

⋮



 ⋮ ⋮ ⋮ ..... ⋮ ⋮


 
0
 0 0 0 ..... * *



0 

 0 0 0 ..... 0 0



0 


 0 0 0 ..... 0 0



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