Matrices
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Matrices

on

  • 14,064 views

 

Statistics

Views

Total Views
14,064
Views on SlideShare
13,198
Embed Views
866

Actions

Likes
1
Downloads
197
Comments
0

5 Embeds 866

https://jujo00obo2o234ungd3t8qjfcjrs3o6k-a-sites-opensocial.googleusercontent.com 442
http://jujo00obo2o234ungd3t8qjfcjrs3o6k-a-sites-opensocial.googleusercontent.com 225
http://cemath.com 91
http://127.0.0.1 56
http://www.cemath.com 52

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Matrices Matrices Presentation Transcript

  • Grado de Ingeniería Civil Profesor: Eduardo Mena Caravaca
  • Definición Una matriz A de orden mxn es un conjunto de elementos pertenecientes a un cuerpo conmutativo dispuestos en m filas y n columnas. a11 a12 a13 a14 a15 A a21 a22 a23 a24 a25 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 3 5
  • Una matriz se denota con letra mayúscula A (aij ) donde i 1,2,......m j 1,2,......n El primer subíndice corresponde a la fila a la que pertenece y el segundo a la columna NOMENCLATURA Si m 1 se llama matriz fila Si n 1 se llama matriz columna Si m n se llama matriz rectangular Si m n se llama matriz cuadrada de orden n
  • NOTACIONES Al conjunto de matrices de orden mxn se denota por M m n Al conjunto de matrices de orden n se denota por M n n De esta forma anotamos B M4 3 1 0 1 2 1 0 B 5 3 7 0 1 1
  • Definiciones Matriz NULA: Aquella que verifica aij 0 i 1,2.....m j 1,2......n La denotamos por Matrices IGUALES: A (aij ) B (bij ) es A B si aij bij i, j Matriz TRASPUESTA Dada una matriz A, la traspuesta, es la matriz que resulta al cambiar las filas por las columnas y se denota por At
  • TIPOS DE MATRICES CUADRADAS TRIANGULAR SUPERIOR Si ai, j 0 i j 2 1 0 A 0 1 5 0 0 2 TRIANGULAR INFERIOR Si ai, j 0 i j 2 0 0 B 2 1 0 7 5 0
  • TIPOS DE MATRICES CUADRADAS DIAGONAL Si ai, j 0 siendo i j 2 0 0 A 0 1 0 0 0 3 ESCALAR: Es una matriz diagonal donde ai,i i 4 0 0 A 0 4 0 0 0 4
  • TIPOS DE MATRICES CUADRADAS MATRIZ UNIDAD: Es una matriz escalar donde ai,i 1 i 1 0 0 I3 0 1 0 0 0 1 SIMÉTRICA Si A At 5 1 0 A 1 4 3 0 3 0
  • TIPOS DE MATRICES CUADRADAS ANTISIMÉTRICA Si A At 0 1 0 A 1 0 2 0 2 0 PERIÓDICA Si p / Ap 1 A Si p es el menor número que cumple la igualdad , p es el periodo 0 1 A 1 0
  • TIPOS DE MATRICES CUADRADAS IDEMPOTENTE Si A2 A 0 3 A 0 1 NILPOTENTE Si p / Ap O 3 1 A 9 3
  • TIPOS DE MATRICES CUADRADAS REGULAR: Si tiene inversa 2 3 A 0 1 SINGULAR: Si no tiene inversa 3 1 A 9 3 ORTOGONAL Si A 1 At cos sin A sin cos
  • TIPOS DE MATRICES CUADRADAS INVOLUTIVA Si A2 I 1 0 A 0 1 INVERSA 1 1 1 A se dice la inversa de A si A A A A I
  • OPERACIONES CON MATRICES SUMA Am n aij Sean Cm n Am n Bm n siendo cij aij bij Bm n bij MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Am n aij Sean Bm n Am n siendo bij aij PRODUCTO DE MATRICES Am n aij n Sean Cm p Am n Bn p siendo cij aikbkj Bn p bij k 1
  • PROPIDADES DE LA TRASPOSICIÓN t t A A t t t A B A B t t A A t t t A B B A
  • PROPIDADES DE LA INVERSA 1 1 A A 1 t t 1 A A 1 1 1 A B B A
  • TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Se definen tres transformaciones elementales sobre las filas o las columnas: 1. Intercambiar la fila i por la fila j, la denotamos por : Fij 2. Multiplicar la fila i por un número k≠ 0, la denotamos por : Fi (k ) 3. Sumar a la fila i la j multiplicada por un número k : Fij (k ) Análogamente las transformaciones elementales de columnas son : C ij C i (k ) C ij (k )
  • Ejemplo 1 2 0 1 2 0 A 3 1 1 F21( 3) 0 5 1 B 1 0 2 1 0 2 NOTA Si en una matriz, se realizan transformaciones elementales tipo fila o columna, la matriz obtenida se dice que es equivalente y se denota por: A B
  • MATRIZ ELEMENTAL Es la matriz que resulta al aplicar una transformación elemental a la matriz unidad. 1 0 0 1 0 0 I 0 1 0 F1 0 1 0 0 0 1 F3 (2) 0 0 2 NOTA A la matriz resultante la designamos por Fi si es por fila y Ci si es por columna . Toda matriz elemental es regular. Y el producto de matrices regulares es otra matriz regular.
  • MATRIZ ELEMENTAL Observa Las transformaciones en I Fij , C ij y Fi (k ), C i (k ) dan la misma matriz. 1 0 0 1 0 0 I 0 1 0 F2 (3) F1 0 3 0 0 0 1 0 0 1 C 2 (3) 1 0 0 1 0 0 I 0 1 0 C1 0 3 0 0 0 1 0 0 1 F1 C1
  • Nota La matriz que se obtiene al realizar una transformación elemental en la matriz A de orden m n por filas (columnas) coincide con la matriz obtenida al multiplicar por la izquierda (derecha) la matriz A por la matriz elemental correspondiente. 3 1 0 1 F13 (3) 0 4 0 10 A 2 1 1 0 B 2 1 1 0 1 1 0 3 1 1 0 3 1 0 0 F13 (3) 1 0 3 I 0 1 0 F1 0 1 0 Vemos que B F1A 0 0 1 0 0 1
  • Recuerda Si en una matriz, se realizan transformaciones elementales tipo fila o columna, la matriz obtenida se dice que es equivalente . Definición equivalente a esta otra: Dos matrices A, B son equivalentes si se obtiene una de otra por una sucesión de transformaciones elementales . Si A, B Mm n son equivalentes, entonces se verifica: B Fr F2 F1 A C1 C 2 Cp Siendo Fi y C j las matrices elementales que representan las transformaciones aplicadas a las filas y las columnas de A
  • Por tanto como Fi y C j son matrices elementales su producto es una matriz regula r y la expresión: B Fr F2 F1 A C1 C 2 Cp La podemos escribir de esta forma : B P A Q Otra definición de matrices equivalente s: A, B Mm n son equivalentes, si y sólo sí P,Q regulares / B PAQ A las matrices P Mm m y Q Mn n se les llaman matrices de PASO
  • FORMA CANÓNICA , NORMAL o de HERMITE Dada una matriz A Mm n su matriz de HERMITE es una matriz equivalente, en la que los únicos elementos no nulos son los aii 1 Hay cuatro formas de HERMITE : Ir | O Ir Ir ; | ; ; Ir | O O | O O A r se le llama rango de la matriz A Mm Rg (A) r m El rango es el número de filas o columnas no nulas en la matriz de HERMITE
  • Ejemplo de cómo obtener la matriz de HERMITE Obtener la matriz de Hermite de : 2 4 0 6 A 5 10 0 15 1 2 0 3 2 4 0 6 2 4 0 6 2 0 0 0 C1 1 2 1 0 0 0 5 10 0 15 F21 5 2 0 0 0 0 C 21 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 3 F31 1 2 0 0 0 0 C 41 3 0 0 0 0 0 0 0 0 Rg (A) 1
  • La matriz de Hermite de una matriz A es única La matriz de Hermite es equivalente a la matriz A La matriz de Hermite tiene la misma dimensión y rango que la matriz A Teorema Dos matrices A y B son equivalentes si y solo sí tienen igual dimensión y rango. Demostración c.n AyB son equivalentes B PAQ H RAS además H H* H* TBU H* TPAQU H* VAY Si tienen la misma matriz de HERMITE tienen la misma dimensión y rango.
  • c.s. Si Ay B tienen la misma dimensión y rango, tienen la misma matriz H RAS de Hermite TBU RAS B T 1RASU 1 PAQ H TBU Por tanto AyB son equivalentes c.q.d. Propiedades 1) Toda matriz regular A M n puede obtenerse a partir de I n mediante transformaciones elementales de filas y columnas, o de filas solamente, o columnas solamente. 2) Cualquier par de matrices regulares Ay B Mn se pueden obtener una de la otra mediante operaciones elementales únicamente de filas o únicamente de columnas.
  • Aplicación : Cálculo de la matriz inversa por Gauss-Jordan Sea A Mn una matriz regular In A P regular / I n PA 1 1 1 Si I n PA I nA PAA A P con P Mn matriz de paso por filas, ya que está multiplicando a la izquierda. De igual forma se obtendría por columnas. 0 1 Ejemplo: Hallar la inversa de A 1 3 1 0 | 0 1 F12 0 1 | 1 3 F1( 1) 0 1 | 1 3 0 1 | 1 3 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 0 1 | 1 3 F12 (3) 3 1 | 1 0 1 3 1 A 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
  • DETERMINANTES Conceptos iniciales: Consideremos el conjunto 1,2, 3 una permutación es una agrupación de esos tres elementos. Por ejemplo: 321 A la agrupación 123 , le llamamos permutación base . El número de agrupaciones o permutaciones que se pueden obtener es: P3 3! 3 2 1 6 Anotaremos las permutaciones por: j En nuestro ejemplo: 1 123 2 132 3 213 4 231 5 312 6 321 Anotaremos el elemento i de la permutación j por: j (i ) 1 (2) 2 3 (1) 2 6 (3) 1
  • DETERMINANTES Conceptos iniciales: Llamamos trasposición al cambio de dos elementos de un permutación entre sí. 123 132 312 una trasposición otra trasposición Una permutación se dice PAR si el número de trasposiciones que hay que hacerle para pasarla a la permutación base es PAR. Se dice que es IMPAR si el número de trasposiciones que hay que hacerle para pasarla a la permutación base es IMPAR. 5 312 312 132 123 PAR primera trasposición segunda trasposición 2 132 132 123 IMPAR primera trasposición
  • DETERMINANTES Conceptos iniciales: Para n>1 el número de permutaciones es un número par. La mitad de ellas son PARES y la otra mitad son IMPARES. A cada permutación le asociamos un signo: + si es PAR y - si es IMPAR sg( 5 ) sg( 2 ) Dada una matriz A Mn anotaremos su determinante por A n 1 2 1 1 2 1 A 0 1 3 A 0 1 3 1 2 5 1 2 5
  • DETERMINANTES Valor de un determinante de una matriz cuadrada: a11 a12 a13 . a1n a21 a22 a23 . a 2n n A a 31 a 32 a 33 a 3n sg( j )a1 (1) a2 (2) a3 (3) an (n ) j j j j j 1 . . . . . an 1 an 2 an 3 . ann Observa: El determinante de orden n es la suma de todos los productos , afectados con signo + ó - de n elementos que se pueden formar tomando un elemento de cada fila y de cada columna, sin que haya dos elementos que pertenezcan a la misma fila o columna.
  • DETERMINANTES Definiciones: Si en un determinante de orden n suprimimos la fila i y la columna j se obtiene un determinante de orden n-1 que se llama menor complementario del elemento a y se representa por ij ij 1 2 1 0 1 1 1 A 0 1 3 13 1 2 32 0 3 1 2 5 Se denomina adjunto del elemento a ij y lo representamos por Aij a su menor complementario afectado del signo + ó - según que i+j sea par o impar. i j A ij ( 1) ij
  • PROPIEDADES de los DETERMINANTES 1) Si en un determinante todos los elemento de una línea (fila o columna) son nulos entonces A 0 En efecto, ya que en cada producto de cada uno de los sumandos hay un elemento de dicha línea. 1 2 1 A 0 0 0 1 0 5 2 0 1 0 2 1 1 0 1 2 0 5 0 2 1 0 1 2 5
  • PROPIEDADES de los DETERMINANTES 2) Si se cambian entre sí dos línea paralelas, el determinante cambia de signo. En efecto, ya que al intercambiar entre sí dos elementos de una permutación , ésta cambia de paridad y al cambiar dos línea paralelas entre sí los productos aparecen asociados ahora a la permutación resultante de intercambiar los correspondientes elementos, todos los productos cambian de signo, por lo que el determinante también lo hace. 1 2 1 1 2 5 A 1 0 3 8 B 1 0 3 8 1 2 5 1 2 1
  • PROPIEDADES de los DETERMINANTES 3) Si un determinante tiene dos línea paralelas iguales, entonces vale cero. Por la propiedad anterior, al cambiar las dos filas iguales el determinante cambia de signo, pero dicho determinante sigue siendo del mismo valor, por tanto vale cero. A A 2A 0 A 0 4) Si se multiplican todos los elementos de una línea por un número el valor del determinante queda multiplicado por ese número. Al multiplicar todos los elementos de una línea por un número, dicho número aparecerá en cada producto de todos los sumandos y por tanto podremos sacarlo factor común. 1 2 1 1 2 1 A 1 0 3 8 B 3 0 9 24 3 8 1 2 5 1 2 5
  • PROPIEDADES de los DETERMINANTES 5) Si todos los elementos de una línea se descomponen en suma de dos sumandos el determinante se puede descomponer en suma de dos determinantes. Si en todos los elementos de una línea aparece un factor de la forma (a+b) dicho factor aparecerá en cada producto de todos los sumandos y por tanto podremos aplicar la propiedad distributiva y descomponerlo en suma de dos determinantes. 1 3 2 0 1 2 1 2 1 3 0 2 1 0 3 1 0 3 1 0 3 1 2 5 1 2 5 1 2 5
  • PROPIEDADES de los DETERMINANTES 6) Si una línea es combinación lineal de otras paralelas el determinante es nulo. a12 a1n a12 . a1n a12 a12 . a1n a1n a12 . a1n a22 a 2n a22 . a2n a22 a22 . a2n a2n a22 . a 2n 0 . . . . . . . . . . . . an 2 ann an 2 . ann an 2 an 2 . ann ann an 2 . ann 7) Si a una línea le sumamos una combinación lineal de otras paralelas el determinante no varía. a11 a12 a12 . a1n a11 a12 . a1n a12 a12 . a1n a11 a12 . a1n a21 a22 a22 . a2n a21 a22 . a 2n a 22 a 22 . a 2n a 21 a 22 . a 2n . . . . . . . . . . . . . . . . an 1 an 2 an 2 . ann an 1 an 2 . ann an 2 an 2 . ann an 1 an 2 . ann
  • PROPIEDADES de los DETERMINANTES 8) Si en un determinante una línea es de ceros salvo un elemento, el valor de dicho determinante es el producto de dicho elemento por su adjunto. a11 0 . 0 a21 a22 . a 2n n n sg( j )a1 a2 a3 an a11 sg( j )a2 a3 an . . . . j 1 j (1) j (2) j (3) j (n ) j 1 j (2) j (3) j (n ) an 1 an 2 . ann n n a11 0 . 0 a22 a23 . a 2n a21 a22 . a 2n a 32 a 33 . a 3n a11 a11A11 . . . . . . . . an 1 an 2 . ann an 2 an 3 . ann n n (n 1) (n 1)
  • PROPIEDADES de los DETERMINANTES 9) El valor de un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea por sus adjuntos respectivos. Aplicamos las propiedades 5 y 8 al siguiente determinante: a11 a12 . . a1n . . . . . n A ai 1 0 .. 0 0 ai 2 .. 0 . . 0 0.. ain aij Aij j 1 . . . . . an 1 an 2 an 3 . ann
  • PROPIEDADES de los DETERMINANTES 10) La suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos de otra línea paralela a ella, es cero. a11 a12 . a1n a21 a22 . a 2n Sea el determinante : A . . . . an 1 an 2 . ann Formamos el determinante con dos filas iguales: a11 a12 . a1n a11 a12 . a1n B a11B21 a12B22 .. a1n B2n a11A21 a12A22 .. a1nA2n 0 . . . . an 1 an 2 . ann
  • PROPIEDADES de los DETERMINANTES 11) El determinante de una matriz es igual a la de su traspuesta. t A A En efecto, ya que un determinante está formado por todos los productos en los que intervienen un elemento de cada fila y de cada columna, al cambiar filas por columnas se obtendrán los mismos productos aunque la permutación base está ahora referida a las columnas y no a las filas. 1 2 1 1 1 1 A 1 0 3 8 At 2 0 2 8 1 2 5 1 3 5
  • REGLAS de CÁLCULO de DETERMINANTES Determinantes de orden 2 a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22 Determinantes de orden 3 Regla de Sarrus a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a11a22a 33 a12a 23a 31 a 21a 32a13 (a13a 22a 31 a12a 21a 33 a 23a 32a11 ) a 31 a 32 a 33
  • REGLAS de CÁLCULO de DETERMINANTES Determinantes de orden n Desarrollo de un determinante por los adjuntos de una línea. Aplicando la propiedad número nueve. a11 a12 . . a1n . . . . . n A ai 1 ai 2 . . ain aij Aij j 1 . . . . . an 1 an 2 an 3 . ann El determinante de orden n se reduce a calcular n determinantes de orden n-1.
  • REGLAS de CÁLCULO de DETERMINANTES Determinantes de orden n Regla de Chio o método pivote Consiste en fijar en una fila o una columna un elemento llamado pivote (por comodidad suele ser un elemento que vale 1) y hacer 0, utilizando las propiedades, todos los elementos de dicha fila o columna. Posteriormente se desarrolla dicho determinante por los elementos de esa fila o columna. 0 a12 . . a1n . . . . . A ai 1 ai 2 . . ain ai 1Ai 1 . . . . . 0 an 2 . . ann El determinante de orden n se reduce a calcular un determinante de orden n-1.
  • REGLAS de CÁLCULO de DETERMINANTES Determinantes de matrices triangulares de orden n El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. a11 a12 a13 a14 a22 a23 a24 0 a22 a23 a24 a 33 a 34 A a11A11 a11 0 a 33 a 34 a11a 22 a11a 22a 33a 44 0 0 a 33 a 34 0 a 44 0 0 a 44 0 0 0 a 44 El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinante A B A B
  • APLICACIONES de los DETERMINANTES Cálculo del rango de una matriz Es el orden del mayor determinante (menores) no nulo que se puede formar con filas y columnas de la matriz. Al determinante formado por las r primeras filas y las r primeras columnas se le llama menor principal de orden r. 1 2 0 1 1 2 0 1 2 1 1 2 A 2 0 3 1 0 2 0 3 0 2 0 1 0 Rg(A) 2 2 0 4 4 3 3 4 4 3 4 4 3 El menor principal de orden dos es distinto de cero y los demás menores de orden tres que podemos ampliar son nulos luego el rango es dos.
  • APLICACIONES de los DETERMINANTES Cálculo de la matriz inversa a11 a12 . . a1n Dada una matriz cuadrada . . . . . A ai 1 ai 2 . . ain . . . . . an 1 an 2 . . ann Se llama matriz ADJUNTA a la matriz formada por los adjuntos de cada elemento. A11 A12 . . A1n . . . . . Adj (A) Ai 1 Ai 2 . . Ain . . . . . An 1 An 2 . . Ann
  • APLICACIONES de los DETERMINANTES El producto de una matriz por la traspuesta de la matriz adjunta es igual al determinante de la matriz por la matriz unidad. a11 a12 . . a1n A11 A21 . . An 1 A 0 . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . ai 1 ai 2 . . ain A1i A2i . . Ani 0 0 . . 0 A In . . . . . . . . . . . . . . . an 1 an 2 . . ann A1n A2n . . Ann 0 0 . . A Por tanto : t 1 t 1 1 t A Adj(A) A In A Adj(A) In A Adj(A) A A