Espacios vectoriales
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Espacios vectoriales

on

  • 8,165 views

 

Statistics

Views

Total Views
8,165
Views on SlideShare
7,820
Embed Views
345

Actions

Likes
1
Downloads
236
Comments
1

7 Embeds 345

https://jujo00obo2o234ungd3t8qjfcjrs3o6k-a-sites-opensocial.googleusercontent.com 207
http://jujo00obo2o234ungd3t8qjfcjrs3o6k-a-sites-opensocial.googleusercontent.com 111
http://prueba1matematica4.blogspot.com 10
http://www.scoop.it 10
http://cursomatematica4.blogspot.com 3
http://www.cursoprueba1matematica4.blogspot.com 2
http://www.prueba1matematica4.blogspot.com 2
More...

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Espacios vectoriales Espacios vectoriales Presentation Transcript

  • ESPACIOS VECTORIALES UCA. Sección Departamental de Matemáticas. Algeciras.
  • Espacio Vectorial Sea E un conjunto no vacío, cuyos elementos denotaremos por x , y , z …. ; y que llamaremos vectores, y K un cuerpo conmutativo ( K , +, × ) , cuyos elementos representaremos por α , λ , β ...; y que llamaremos escalares. Como normalmente K = ℝ o K = ℂ , usaremos como notación para las operaciones + y × , llamando además 0 al neutro de + , y 1 al neutro de × .
  • Espacio Vectorial Definimos en E dos leyes de composición: ( E , ⊕ ) interna, que llamamos suma de vectores, y ( E , , K ) externa de K sobre E , que llamamos producto de un vector por un escalar Se dice que E es un espacio vectorial sobre K si se cumplen: 1. ( E , ⊕ ) es un grupo abeliano ( ) 2. ∀x, y ∈ E y ∀λ ∈ ℝ se tiene λ x ⊕ y = λ x ⊕ λ y 3. ∀x ∈ E y ∀λ,α ∈ ℝ se tiene ( λ + α ) x = λ x ⊕ λ x ( 4. ∀x ∈ E y ∀λ,α ∈ ℝ se tiene λ α x = ( λ ×α ) x) 5. ∃1∈ℝ ∀x ∈ E se tiene 1 x = x
  • Cuando no haya opción a confundirse podemos utilizar “+” para ambas sumas, y “.” para ambos productos. Y anotaremos: ( E , + ) interna, que llamamos suma de vectores, y ( E , ⋅, K ) externa de K sobre E , que llamamos producto de un vector por un escalar 1. ( E , + ) es un grupo abeliano ( ) 2. ∀x, y ∈ E y ∀λ ∈ ℝ se tiene λ ⋅ x + y = λ ⋅ x + λ ⋅ y 3. ∀x ∈ E y ∀λ,α ∈ ℝ se tiene ( λ + α ) ⋅ x = λ ⋅ x + λ ⋅ x ( ) 4. ∀x ∈ E y ∀λ,α ∈ ℝ se tiene λ ⋅ α ⋅ x = ( λ ⋅α ) ⋅ x 5. ∃1∈ℝ ∀x ∈ E se tiene 1⋅ x = x
  • Ejemplos de Espacios Vectoriales • ℝ es espacio vectorial sobre ( ℝ, +, ⋅) con las n operaciones: n * Suma de vectores en ℝ ( x1 x2 ⋅ ⋅ xn) +( y y2 ⋅ ⋅ yn) =( x +y x2 +y2 ⋅ ⋅ xn +yn) 1 1 1 * Producto por un escalar α⋅( x1 x2 ⋅ ⋅ xn ) =(α⋅ x1 α⋅ x2 ⋅ ⋅ α⋅ xn )
  • Ejemplos de Espacios Vectoriales • ℂ es espacio vectorial sobre ( ℝ, +, ⋅) y sobre n ( ℂ, +, ⋅) con las operaciones: n * Suma de vectores en ℂ ( x1 x2 ⋅ ⋅ xn) +( y y2 ⋅ ⋅ yn) =( x +y x2 +y2 ⋅ ⋅ xn +yn) 1 1 1 * Producto por un escalar α⋅( x1 x2 ⋅ ⋅ xn ) =(α⋅ x1 α⋅ x2 ⋅ ⋅ α⋅ xn )
  • Ejemplos de Espacios Vectoriales M m×n el conjunto de las matrices definidas en un cuerpo K conmutativo, es un espacio vectorial sobre K , con las operaciones: * Suma de matrices A + B = ( aij ) + ( bij ) = ( aij + bij ) * Producto por un escalar λ ⋅ A = λ ⋅ ( aij ) = ( λ ⋅ aij )
  • Ejemplos de Espacios Vectoriales E=P(x) , polinomios con coeficientes pertenecientes a un cuerpo conmutativo K. Es un espacio vectorial sobre K con las operaciones: * Suma de polinomios p(x)+q(x)=(a0+a1x+...+anxn)+(b0+b1x+...+bmxm)= =(a0+b0)+(a1+b1)x+...+(an+bn)xn+...+bmxm (m≥n ) * Producto por un escalar αp(x) = α(a0+a1x+...+anxn )= α a0+ α a1x+...+ α anxn
  • • R2 con las operaciones • Suma x = ( x1, x2 ) , y = ( y1, y2 ) ∈ ℝ2 x + y = ( x1, x2 ) + ( y1, y2 ) = ( x1 + y1, x2 + y2 ) • Producto por un escalar: α x = α ( x1, x2 ) = (α x1,0) No es un espacio vectorial sobre (R,+,.), ya que aunque se cumplen las cuatro primeras condiciones, como puede comprobarse fácilmente, no se cumple la quinta: 1 x = 1( x1, x2 ) = ( x1,0) ≠ ( x1, x2 )
  • Propiedades deducidas de la definición 1 . ∀ x ∈ E s e v e rific a 0 ⋅ x = 0 2 . ∀ λ ∈ K s e v e rific a λ ⋅ 0 = 0 3. λ ⋅ x = 0 ⇔ λ = 0 ó x = 0 4. ∀ λ ∈ K y ∀ x ∈ E s e v e rific a (− λ )⋅ x ( ) ( = λ ⋅ −x = − λ ⋅x ) 5. ∀ λ ≠ 0 si λ ⋅ x = λ ⋅ y ⇒ x = y ∀x ≠ 0 si λ ⋅ x = α ⋅ x ⇒ λ = α
  • Subespacios vectoriales Sea (E,+,.K) un espacio vectorial. Se dice que un subconjunto L de E es un subespacio vectorial o variedad lineal de E si tiene a su vez estructura de espacio vectorial sobre K con las mismas operaciones definidas en E. En todo espacio vectorial E existen dos subespacios llamados impropios, son: L=E y L= 0 {}
  • Teorema de caracterización de subespacios vectoriales Las condiciones necesaria y suficiente para que un subconjunto, no vacío, L de un espacio vectorial E sea un subespacio vectorial, son: 1. ∀ x, y ∈ L se verifica x + y ∈ L 2. ∀ x ∈ L ∀λ ∈ K se verifica λ ⋅ x ∈ L
  • Ejemplos de Subespacios Vectoriales 1)Los conjuntos TS, TI de las matrices triangulares superiores e inferiores de orden n son subespacios vectoriales de Mn. 2) El conjunto de los polinomios de grado menor o igual que 2, P2(x), es un subespacio vectorial del espacio vectorial de los polinomios finitos P(x) . 3) El conjunto de los pares ordenados de números reales con la segunda coordenada igual a 1: {(x,1)/ x∈R} no es un subespacio vectorial de R2 ; ya que ni la suma ni el producto por un escalar dan, en general, un vector con la segunda coordenada igual a 1 .
  • Operaciones con subespacios • Dados dos subespacios L1, L2 de E definimos la suma de ambos como el conjunto formado por todos los vectores que se obtienen sumando uno cualquiera de L1 con uno cualquiera de L2, es decir: { L1 + L2 = x ∈ E x = x1 + x2 con x1 ∈ L1 , x2 ∈ L2 } • Dados dos subespacios L1, L2 de E definimos la intersección de ambos como el conjunto formado por todos los vectores que pertenecen a los dos. { L1 ∩ L2 = x ∈ E x ∈ L1 y x ∈ L2 }
  • Propiedad L1+L2 y L1 ∩L2 son subespacios vectoriales de E Observaciones L1 ∪ L2 no es subespacio vectorial L1+L2 es el subespacio vectorial más pequeño que contiene a L1 ∪ L2
  • Subespacios suplementarios • Dos subespacios L1, L2 decimos que son suplementarios cuando cualquier vector x ∈ E se puede descomponer de forma única como suma de un vector de L1 más otro de L2: i i ∃ x1 ∈ L1 y ∃ x2 ∈ L2 ∀ x ∈ E x = x1 + x2 • Proposición 1. L1, L2 son dos subespacios suplementarios {} si y sólo si L1 +L2 = E y L1 ∩ L2 = 0
  • Proyecciones de un vector sobre un subespacio paralelamente a otro suplementario • Sean L1, L2 dos subespacios suplementarios de E Sea un vector cualquiera x ∈ E , entonces x = x1 + x2 con x1 ∈ L1 , x2 ∈ L2 Al vector x1 se le llama proyección de x sobre L1 paralelamente a L2.
  • Dependencia e independencia lineal { Sea H = u 1, u 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅u n } un conjunto finito de vectores de E Se dice que un vector x ∈ E es combinación lineal de los vectores anteriores o que depende linealmente de ellos si n ∃xi ∈ ℝ x = ∑ xi u i i =1
  • Dependencia e independencia lineal { } Se dice que los vectores H = u 1, u 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅u n son linealmente independientes o forman un sistema libre si la igualdad n 0 = ∑ xi u i ⇒ xi = 0 ∀i i =1 En caso contrario se dice que son linealmente dependientes o que forman un sistema ligado de vectores.
  • Propiedades de la dependencia lineal 1)En ningún sistema libre figura el vector cero, es decir, que si en un sistema de vectores figura el vector cero entre ellos, entonces el sistema es ligado. 2)Cualquier vector, considerado aisladamente, es linealmente independiente o constituye un sistema libre siempre que sea distinto de cero. 3)La condición necesaria y suficiente para que un conjunto de vectores sea linealmente dependiente es que al menos uno de ellos se pueda expresar como combinación lineal de los demás. 4)Dos vectores iguales constituyen siempre un sistema ligado. 5)Cualquier conjunto de vectores que contenga a un sistema ligado es ligado. 6)Cualquier subconjunto de un sistema libre es un sistema libre.
  • Sistema generador de un espacio vectorial { } un conjunto finito de vectores de E. Sean H = u i Se dice que H es un sistema generador de E si, ∀x ∈ E n ∃xi ∈ ℝ x = ∑ xi u i i =1
  • Base de un espacio vectorial { } Sea B = u i un conjunto finito de vectores de E. Se dice que B es una base de E si cumple: 1. B es un sistema libre 2. B es un sistema generador de E
  • { } Si B = u i es una base de E, ∀x ∈ E se tiene: n x = ∑ xi u i i =1 A las xi ∈ ℝ se le llaman coordenadas de x respecto de la base B A las xi ui ∈ E se le llaman componentes de x respecto de la base B
  • La expresión de x ∈ E respecto de la base B = u i { } n x = ∑ xi u i i =1 La podemos escribir matricialmente, por:  x1     x2  ( x = u1 u2 ⋅ ⋅ un )   ⋅    ⋅    xn  
  • Proposición 2 Las coordenadas de un vector respecto de una base { } B = u i son únicas. Demostración: Supongamos dos coordenadas distintas ( xi ) y (x ) * i n n Tenemos que: x = ∑i =1 xi u i y x = ∑ i =1 x i* u i u i ⇒ ∑ ( xi − x ) u i = 0 ⇒ n n n Luego: ∑x u =∑x i =1 i i i =1 * i i =1 * i x − x = 0 ∀i ⇒ xi = x ∀i i * i * i {} Ya que los ui son linealmente independientes.
  • Teorema de la base Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de vectores. Definición Se llama dimensión de un espacio vectorial al número de vectores que tiene una base y se denota por: dim E Base canónica B = e i { } ( Donde: e i = 0 0 ⋅ ⋅ 1 co lum n a i ⋅ 0 )
  • CAMBIO de BASE Consideremos dos base de un espacio vectorial E B = ui { } B* = vi { } Conocemos las coordenadas de un vector x ∈ E respecto de la base B, sean ( xi )  x1     x2  x = (u 1 u 2 ⋅ ⋅ u n )   ⋅    ⋅    xn  
  • CAMBIO de BASE Y queremos calcular las coordenadas de x ∈ E respecto de la base B*, sean ( xi* )  x 1*   *   x2  x = (v 1 v 2 ⋅ ⋅ v n )   ⋅    ⋅   *  xn   Los vectores u i { } son combinación lineal de {v } i
  • CAMBIO de BASE  u 1 = a1 1 v 1 + a 2 1 v 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a n 1 v n   u 2 = a1 2 v 1 + a 2 2 v 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a n 2 v n   ............................................... u = a v + a v + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a v  n 1n 1 2n 2 n2 n Expresado matricialmente  a11 a12 ⋅ ⋅ a1 n     a 21 a 22 ⋅ ⋅ a2 n  (u 1 u2 ⋅ ⋅ ) ( u n = v1 v2 ⋅ ⋅ vn )  ⋅  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  a an 2 ⋅ ⋅  a nn   n1
  • CAMBIO de BASE A la matriz:  a11 a12 ⋅ ⋅ a1 n     a 21 a 22 ⋅ ⋅ a2 n  P= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅     ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  a an 2 ⋅ ⋅  a nn   n1 Se le llama matriz de paso de B a B* Conocida la matriz P podemos calcular las coordenadas ( xi* )
  • CAMBIO de BASE En efecto:  x1   x 1*     *   x2   x2  (u 1 u 2 ⋅ ⋅ u n )  ⋅   =  (v 1 v 2 ⋅ ⋅ v n )   ⋅    ⋅   ⋅   x   *   n   xn  De donde:  x1   x 1*     *   x2   x2  (v 1 v 2 ⋅ ⋅ v n ) P   ⋅  =  (v 1 v 2 ⋅ ⋅ v n )   ⋅    ⋅   ⋅    xn   *    xn 
  • CAMBIO de BASE Luego:  x1   x 1*     *   x 2   x 2  P  ⋅  =  ⋅       ⋅   ⋅   x   x *   n   n   x 1*   a11 a12 ⋅ ⋅ a1n   x1   *      x2   a 21 a 22 ⋅ ⋅ a2n   x2   ⋅  =  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  ⋅        ⋅   ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  ⋅   *  a an2 ⋅ ⋅  a nn    xn   xn   n1