CPE 07 - Taller

Cátedra Alfonso Reyes - CIDHEM Una invitación a la Matemática Recreativa Mat. Renato Galicia Brito (México)

Si, bueno, pero… ¿A quién se le ocurrió todo esto? Niels Abel, Evariste Galois, Carl Friedrich Gauss, Kurt Gödel, David Hilbert, Felix Klein, Andrey Kolmogorov, Sofia Kovalevskaya, Nikolai Ivanovich Lobachevsky, Benoit Mandelbrot, James Clerk Maxwell, August Möbius, John von Neumann, Emmy Noether, Giuseppe Peano, Siméon Poisson, George Polya, Srinivasa Ramanujan, Bernhard Riemann, Andrew Wiles (alphabetische Reihenfolge; who's who?)

Girolamo Cardano André WEIL (1501-1576) (1906-1998)

Kurt Gödel Georg Cantor (1906-1978) (1845-1918)

Evariste Galois (1811-1832)

Augustin Louis Cauchy 1789 - 1857 Siméon Denis Poisson 1781 - 1840

Una ecuación irreducible de grado primo es resoluble por radicales si y solo si todas sus raíces son funciones racionales de dos cualesquiera de las raíces

Srinivasa Aiyangar Ramanujan 1887 - 1920

Legislando el valor de π (la ley 246 del año de 1897)

Pi: Proyecto de ley en 1897 Indiana State Capitol En el estado de Indiana, hacia el final de la sección 2, de la iniciativa de ley No. 246, podemos leer: “La razón del diámetro a la circunferencia es de cinco cuartos a cuatro” Es decir: π ≡ 3.2

¿En verdad puede no ser aburrida la matemática?

Henry Ernest Dudeney (1857-1930)

Samuel Loyd (1841-1911)

Yakov Isidorovich Perelman (1882-1942) http://www.librosmaravillosos.com/

Júlio César de Mello Souza “Malba Tahan” (1895-1974)

Martin Gardner (n. 1914)

La diversión es uno de los campos de la matemática aplicada. William F. White

Juegos de adultos Juegos de niños

Los números se pelearon Sobre el diagrama adjunto, colocar los números del 1 al 8 de tal manera que dos números consecutivos NO sean adyacentes (i.e. que no queden unidos por una línea)

on ar le 7 pe se n) os ució er sol úm ( 1 4 3 n os L 5 6 8 2

El juego de los cuatro cuatros Aparece por vez primera a finales de 1881 en la revista londinen- se “An illusrated magazine of science, plainly worded and exactly described”. Se cuenta que este pasatiempo causó tanto furor, que debió ser prohibido en las oficinas públicas. Expresar tantos números como sea posible, utilizando sólo cuatro cuatros y cualquier símbolo matemático: •Operaciones elementales: +, −, ×, ÷ •Potencias y Raíces:^, √ •Factoriales: n!= 1·2·3··· n(n-1)(n-2) •Dobles Factoriales: 2n!!=2·4·6···(2n-2)·2n •Signos de Agrupación: ( ), { }, [ ], { }, etc. A continuación podemos intentarlo, organizados en equipos de cuatro integrantes, con los números del 1 al 20.

4= 1= 2= 3= 4 7 = 4+4− 6= 5= 8= 4 9= 11 = 10 = 12 = 15 = 13 = 16 = 4 + 4 + 4 + 4 14 = 18 = 17 = 19 = 20 =

4+4+4 4 = 4(4 − 4) + 4 44 44 1= 3= 2= + 44 4 44 (4 ⋅ 4) + 4 4+4 44 5= 6 = 4+ 7= −4 8 = 4+4+4−4 4 4 4 44 − 4 44 + 4 4 44 9 = 4+4+ 11 = 10 = 12 = 4+ 4 4 4 4 44 44 13 = +4 15 = +4 16= 4⋅ 4 + 4⋅ 4 14 = 4 + 4 + 4 + 4 4 4 4 4 17 = 4 ⋅ 4 + 18 = 4 ⋅ 4 + 4 − 4 19 = 4!−4 − 20 = 4 ⋅ 4 + 4 + 4 4 4

Enriqueciendo el juego de los cuatro cuatros Existen 64 formas de escribir 64 usando cuatro cuatros Si introducimos la notación: 0. p 4 = 0. 2 = 0.222222L 4! 4 Entonces: 113 = p + 0. 4 0.4 ( 4) = 2 5 5 4 =4 = = 32 0.4 5 Si aceptamos que: 2 4 + 0. 4 0.4 Entonces: 145 = 0.4

Una peculiaridad del número 19: 4 + 4 − 0.4 5 + 5 − 0.5 19 = 19 = 0.4 0.5 23 + 23 − 2.3 ? 19 = é u 2.3 q r o p 0.67 + 0.67 − 0.067 ¿ 19 = 0.067 1 + 1 − 0.1 19 = y así indefinidamente 0.1

153 peces Juan 21:11 “Subió Simón Pedro y trajo la red a tierra, llena de grandes peces, ciento cincuenta y tres: y siendo tantos, la red no se rompió.” DUCCIO di Buoninsegna (1308-11) Aparición en el lago Tiberias Tempera sobre madera, 36,5 x 47,5 cm Museo dell'Opera del Duomo, Siena

153 peces “Tratados sobre el Evangelio según San Juan” 10 mandamientos + 7 dones del espíritu 17 1 + 2 + 3 + L + 17 = 153 San Agustín

153 peces Sólo existen cuatro números que son iguales a la suma de los cubos de sus dígitos, y 153 es el menor de ellos: 153 = 1 + 5 + 3 = 1 + 125 + 27 3 3 3 370 = 3 + 7 + 0 = 27 + 343 + 0 3 3 3 371 = 3 + 7 + 1 = 27 + 343 + 1 3 3 3 407 = 4 + 0 + 7 = 64 + 0 + 343 3 3 3 Adicionalmente: 153 = 1!+2 !+3!+4 !+5!= 1 + 2 + 6 + 24 + 120

153 peces Phill Kohn, descubrió otra propiedad del 153: • Consideramos cualquier entero que sea múltiplo de 3. • Se suman los cubos de sus dígitos para obtener un segundo número. • Repetimos el procedimiento cuanto sea necesario. • Tras un número finito de pasos, se llega siempre al 153. Ejemplo: 1458 → 1 + 4 + 5 + 8 = 702 3 3 3 3 702 → 7 + 0 + 2 = 351 3 3 3 351 → 3 + 5 + 1 = 153 3 3 3

153 peces (sometiendo a prueba el método de Kohn) x3 x Es importante partir de un múltiplo 1 1 de 3 (sin importar su magnitud). 2 8 3 27 Recordemos que un múltiplo de 3 se caracteriza por que la suma de 4 64 sus dígitos es múltiplo de 3. 5 125 6 216 Adjuntamos una tabla de 7 343 cubos para facilitar el trabajo a quien no traiga calculadora. 8 512 9 729

666 El número de la bestia DUX CLERI LUDOVICUS Capitán de los clérigos Vicario de la corte D = 500 L = 50 U= 5 U= 5 X = 10 D = 500 O= 0 V= 5 C = 100 I= 1 L = 50 C = 100 E= 0 U= 5 R= 0 S= 0 I= 1 -------------------- -------------------- 666 666

666 El número de la bestia ROMIITH ROMITI Reino Romano Hombre Romano R = 200 resh R = 200 resh O= 6 waw (vav) O= 6 waw (vav) M = 40 mem M = 40 mem I= 10 yod I = 10 yod I= 10 yod T = 400 taw TH = 400 taw I = 10 yod 666 666

666 E L 50 E 0 El número de la bestia L 50 L 50 E L 50 N E 0 A N 0 A G 0 L 50 O 0 B U 5 A L 50 D 0 V 5 O W 10 X 10 H 0 I 1 Ellen Gould White D 500 T 0 (1827-1915) E E 0 Solía llamarse a sí misma I 1 666 La voz de Dios 666

666 El número de la bestia En el libro Tercero (9ª parte, capítulo 19) de “La Guerra y la Paz” de León Tolstoi, se cita el Apocalipsis (13:18), donde dice: “Aquí está la sabiduría. El que tenga inteligencia que cuente el nombre de la bestia porque es un nombre de hombre y su número es seiscientos sesenta y seis.” 1 2 3 4 5 a b c d e L'empereur Napoleon = 666 6 7 8 9 10 f g h i k 20 30 40 50 60 l m n o p Quarante-deux = 666 70 80 90 100 110 q r s t u 120 130 140 150 160 v w x y z

666 B 66 El número de la bestia I 73 L 76 H 107 L 76 I 108 En código ASCII G 71 T 119 A 65 L 111 T 84 E 104 E 69 R 117 S 83 a=100 b=101 666 c=102, etc. III 3 666 Hexakosioihexekontahexafobia

Raíz Cúbica “extra-fácil” Extraer la raíz cúbica de un número cualquiera es la cosa más sencilla del mundo: Basta con sumar sus dígitos. Por ejemplo: 512 = 5 + 1 + 2 = 8 e? 3 bl si o 4913 = 4 + 9 + 1 + 3 = 17 3 p rá e ¿S 5832 = 5 + 8 + 3 + 2 = 18 3 17576 = 1 + 7 + 5 + 7 + 6 = 26 3 19683 = 1 + 9 + 6 + 8 + 3 = 27 3

Los números de Dudeney Un número de Dudeney es un cubo perfecto, con la propiedad adicional de que la suma de sus dígitos da como resultado la raíz cúbica del número. En Root Extraction, Henry Dudeney, nos presenta a un profesor jubilado en el asilo de Colney Hatch, quien propone este “método general” para la extracción de la raíz cúbica. Estos números son muy escasos: 1=1x1x1;1=1 512 = 8 x 8 x 8 ; 8 = 5 + 1 + 2 4913 = 17 x 17 x 17 ; 17 = 4 + 9 + 1 + 3 5832 = 18 x 18 x 18 ; 18 = 5 + 8 + 3 + 2 17576 = 26 x 26 x 26 ; 26 = 1 + 7 + 5 + 7 + 6 19683 = 27 x 27 x 27 ; 27 = 1 + 9 + 6 + 8 + 3

3+123 3+103 1729 = 1 = 9 1 + 7 + 2 + 9 = 19 19 · 91 = 1729 Masahiko Fujiwara (n. 1943)

Tómese un número de cuatro cifras 6174 (no todas iguales). Por ejemplo, 3251. constante de Kaprekar Entonces: 1. Se reorganizan sus cifras para formar el máximo y el mínimo números posibles: 5321 y 1235. 2. Restamos ambos números: 5321 − 1235 = 4086. 3. Con el número obtenido, repetimos el proceso cuantas veces sea necesario: 8640 − 0468 = 8172 8721 − 1278 = 7443 7443 − 3447 = 3996 9963 − 3699 = 6264 6462 − 2466 = 4176 Dattathreya Ramachandra Kaprekar 7641 − 1467 = 6174 ¡Lo mismo sucede sin importar cual sea nuestra elección! 8643 − 3468 = 5175 ⇒ 7551 − 1557 = 5994 ⇒ 9954 − 4599 = 5355 ⇒ 5553 − 3555 = 1998 ⇒ 9981 − 1899 = 8082 ⇒ 8820 − 0288 = 8532 ⇒ 8532 − 2358 = 6174 ⇒ 7641 − 1467 = 6174 (máximo 7 iteraciones)

Lo Shu 洛書 2800 a.n.e. Fu Hsi Números Localización Color Elemento 1 Norte Blanco Agua 2 Suroeste Negro Tierra 3 Este Verde puro Madera 4 Sureste Verde claro Madera 5 Central Amarillo Tierra 6 Noroeste Blanco Metal 7 Oeste Rojo Metal 8 Noreste Blanco Tierra 9 Sur Morado Fuego

Sator: sembrador Arepo: nombre propio Tenet: sostener Opera: trabajo, esfuerzo Rotas: ruedas, arado “El gran sembrador sostiene en su mano todo trabajo”

Cuadrado Mágico de Alberto Durero Melencolia I, 1514 Grabado, 239 x 189 mm Kupferstichkabinett, Staatliche Kunsthalle, Karlsruhe

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 1. La suma de cada renglón, columna o diagonal es 34. 2. La suma de los elementos del cuadrado central interiores 34. 3. No sólo en el cuadrado principal, sino también en los cuatro cuadrados interiores, la suma de los elementos es 34. 4. La suma de los números en las esquinas es 34. 5. La suma de los números simétricos con respecto al centro es 17 (34÷2). 6. Los dos números del centro, en la parte inferior del cuadrado, indican la fecha de la obra de Durero: 1514.

3 2 6 1 5 9 4 8 7 Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638) 2 7 6 9 5 1 4 3 8 Ahora lo intentamos en un cuadrado de 5×5

El método de Bachet en un cuadrado de 5 × 5 casillas 5 4 10 3 9 15 3 16 9 22 15 2 8 14 20 20 8 21 14 2 1 7 13 19 25 7 25 13 1 19 6 12 18 24 24 12 5 18 6 11 17 23 11 4 17 10 23 16 22 21

Un método de construcción para cuadrados de 4n × 4n casillas 1. Colocar los números en el orden natural. Subdividir el cuadrado de 8×8 en cuatro subcuadrados de 4 ×4. 2. 3. Trazar las diagonales de cada uno de estos subcuadrados. 4. Desplazar cada número a la casilla simétrica con respecto al origen. 5. Verificar que el cuadrado obtenido tiene constante mágica 260.

Los Cuadrados Mágicos de Benjamín Franklin Franklin jugó con la construcción de cuadrados mágicos entre 1736 y 1737 mientras ejercía sus tareas políticas en Pennsylvania. Estos dos cuadrados de orden ocho se reproducen en las páginas 394 y 395 del volumen 3 de sus obras completas. Ninguno de estos cuadrados es hiper-mágico, como en el caso de Euler, pero el esquema lógico con el que fueron creados por Franklin, se revela si los coloreamos adecuadamente. La constante mágica es 260.

Ajedrez y Matemáticas La conmutación de los alfiles El problema de Guarini

Poligrafías de las piezas de ajedrez

Euler y el recorrido del caballo 18 35 64 13 60 37 22 11 63 14 17 36 21 12 59 38 16 19 34 61 40 57 10 23 33 62 15 20 9 24 39 58 50 3 32 45 56 41 26 7 31 46 49 4 25 8 55 42 Leonhard Euler (1707-1783) 48 51 2 29 44 53 6 27 1 30 47 52 5 28 43 54 Cuadrado Hipermágico (k = 260)

http://www.borderschess.org/KnightTour.htm http://www.enchantedmind.com/puzzles/knights/knight.html

Evitando tres en raya (fichas sobre el tablero de ajedrez) Dos jugadores colocan fichas por turno sobre un tablero de n×n. Pierde el que coloque por primera vez una ficha alineada con otras dos. Los participantes deberán: 1. Determinar el número máximo de movimientos. 2. Proponer una estrategia ganadora.

Evitando tres en raya ejemplo de una configuración con un número máximo de fichas sobre un tablero de 8×8

Evitando tres en raya Por definición, el juego nunca puede alcanzar los 2n+1 movimientos, así que… Existe una estrategia ganadora (para el segundo jugador): Limitar las posibilidades del contrincante, tirando de tal modo que se completen siempre dos fichas sobre un renglón, columna o diagonal cuidándose, a la vez, de no poner tres en raya.

Un p oco d e Geom etría

Este bicho se pasea por un paralelepípedo y se quiere desplazar del vértice A al vértice B 1. ¿Cómo podemos sugerirle el camino más corto? 2. ¿Podemos probar que el camino propuesto es, efectivamente, el más corto? 3. Si las medidas están dadas en centímetros, ¿qué longitud tiene este camino?

BC = 30 cm AC = 40 cm ∠BCA = 90º ⇒ AB = AC + CB 2 2 2 ⇒ AB = 40 + 30 2 2 ∴ AB = 50 cm

¿Cuánto mide el ángulo entre las dos diagonales sobre este cubo?

¿Cuánto mide el ángulo entre las dos diagonales sobre este cubo? Si completamos con el trazo adecuado… … es fácil convencerse de que mide 60 grados.

Con lo aprendido en el ejemplo anterior… ¿Cuánto mide el ∠PQR? P, Q y R son los puntos medios de las aristas indicadas. R Q P

R Q P Q R 60,0 ° 60,0 ° P

¿Ensamble imposible?

¿Ensamble imposible? (Solución)

¿Qué caja pesa más? • Ambas cajas tienen las mismas dimensiones. • El material de las esferas es homogéneo. • El diámetro de cada esfera es igual a la longitud de la arista del cubo (o sub-cubo) que la contiene.

Tapón Múltiple I

Tapón Múltiple I (Solución)

Tapón Múltiple II

Tapón Múltiple II (Solución)

Tapón Múltiple III

Tapón Múltiple III (Solución)

¿Podemos explicar la paradoja?

Hexaflexágonos Emplear una cinta larga de papel con bordes paralelos. Trazar una serie de 19 triángulos equiláteros adyacentes. Etiquetar con números y letras precisamente como se indica. Doblar Δ1 sobre Δ1, Δ2 sobre Δ2, etc. Pegar cuando coincidan las caras marcadas con . Colorear y disfrutar. 12 1 2 4 5 6 8 9 10 1 2 4 5 6 8 9 10 12 3 A B 7 A B 11 A B B 3 A B 7 A B 11 A

4-8-12 3-7-11 B A B 1-5-9 3-7-11 A 2-6-10

¡Parece Fácil! Probar mediante geometría elemental (sin trigonometría) que ∠A + ∠B = ∠C

Hacen falta trazos adicionales… ∠B = ∠D (por ser homólogos en triángulos semejantes) ∠A + ∠D = ∠C (correspondientes) ∴ ∠A + ∠B = ∠C

Las bondades didácticas del juego Según Mª Luz Callejo, los juegos de estrategia favorecen: 1. Trabajo en grupo. 2. Comunicación de ideas. 3. Capacidad de interrogarse nuevas situaciones. 4. Contraste de observaciones y conjeturas. 5. Registro del proceso de resolución por parte de los jugadores. 6. Revisión y reflexión sobre el proceso de resolución. Como metodología, propone cinco fases: 1. Orientación del trabajo. 2. Trabajo en grupo. 3. Confrontación de ideas. 4. Puesta en común . 5. Aplicación. http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/taller/taller.htm

Las bondades didácticas del juego Gómez Chacón propone esta metodología general: 1. Familiarizarse con el juego. 2. Exploración inicial: buscar varias estrategias de resolución. 3. Llevar a cabo la estrategia: selección de posiciones ganadoras, examinar la validez de nuevas conjeturas... 4. Reflexionar sobre el proceso seguido. Luis Ferrero aporta algunas sugerencias didácticas para la práctica de juegos: 1. Graduar la dificultad del juego en función de los alumnos a los que va dirigido. 2. Sobre un mismo material de juego se pueden idear juegos distintos modificando adecuadamente las normas. 3. Cuando dominen un juego hay que animarles a que lo adapten a su gusto variando alguna norma. 4. Cuando la estrategia ganadora resulte difícil, es aconsejable que ensayen casos más simples. http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/taller/taller.htm

Las bondades didácticas del juego Mª Luz Callejo resalta las siguientes capacidades en resolu- ción de problemas, que son estimuladas por los juegos: 1. Establecer analogías entre problemas. 2. Empezar por el final. 3. Resolver primero un problema más sencillo. 4. Hacer una representación gráfica. Fernando Corbalán resalta los siguientes: 1. Empezar por el final. 2. Experimentar y extraer pautas. 3. Sacar partido de la simetría. 4. Utilizar modelos adecuados de expresión (verbales, gráficos, algebraicos, numéricos). 5. Resolver problemas análogos. 6. Empezar por resolver un problema más sencillo. http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/taller/taller.htm

Algunos sitios de matemática recreativa en Internet http://www.librosmaravillosos.com/ http://descartes.cnice.mecd.es/matemagicas/index.htm http://mathworld.wolfram.com/KnightsTour.html http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/taller/taller.htm http://johnrausch.com/SlidingBlockPuzzles/

Como despedida: un pequeño juego Se oyó el chasquido de un beso, de lógica seguido por el restallar de un bofetón. Un instante después (por Edward de Bono) volvieron las luces. El oficial lucía un enorme chichón junto a un ojo. La señora mayor pensó: “¡Bien La siguiente anécdota ocurrió en la merecido lo tiene!, menos mal que ocupación de Francia por los las jóvenes de hoy saben hacerse alemanes, durante la Segunda respetar”. Guerra Mundial. La joven pensó: “¡Vaya gustos raros Cuatro personas subían en el que tienen estos alemanes!, en lugar ascensor de un hotel. Uno de los de besarme a mí ha debido besar a ocupantes era un oficial alemán, de esta señora mayor o a este joven tan uniforme; otro, un civil francés, atractivo. ¡No me lo explico!”. enrolado en la Resistencia. La El alemán pensó: “¿Pero qué ha tercera ocupante era una atractiva pasado?, ¡Yo no he hecho nada!, joven, y la cuarta, una dama de quizás el francés ha querido abusar edad. Ninguno conocía a los demás. de la joven y ésta me ha pegado por Hubo de pronto un corte de energía. error” El ascensor se detuvo, las luces se Sólo el francés conocía exactamente fueron, y todo quedó en profunda lo ocurrido. ¿Sabrías deducirlo? oscuridad.

Bibliografía de Matemáticas Recreativas Autor Año Título Editorial Ciudad 1994 De la má de multifin aprende organització ACV Barcelona Alem, Jean Pierre 1984 Juegos de ingenio y entretenimiento matemático Gedisa ed. Barcelona Alem, Jean Pierre 1984 Nuevos Juegos de ingenio y entretenimiento matemático Gedisa ed. Barcelona Alsina, A.; Fortuny, J.M. - La Matemática I el medi ambient a Catalunya Generalitat de Catalunya Barcelona Alsina, Claudi 1998 Contar bien para vivir mejor Rubes Barcelona Argüelles Rodríguez, J. A. 1994 Matemática recreativa y otros juegos de ingenio Alcal ed. Madrid Assoc. Prof. Mat. Portugal 1995 Investigaçoes Matemáticas na Sala de Aula - Lisboa Balbuena C. & de la Coba G 1991 La Matemática Recreativa vista por los alumnos Proyecto Sur Tenerife Balbuena C. & de la Coba G 2003 Geometría de los calados canarios Cajacanarias S/C Tnfe. Balbuena Castellano, Luis 1999 Naciones y banderas Proyecto Sur Granada Balbuena, Cutillas & Coba 2000 Palillos, aceitunas y refrescos matemáticos Rubes Barcelona Barnette, David 1983 Map coloring, Polyhedra and the four-color problem Math. Assoc of America USA Beeney et al 1982 Geometric images ATM UK Bell, Rooke & Wigley - Creative geometry Shell Centre UK Bell, Rooke & Wigley 1978 Journey into Maths: Teacher´s Guide 1 Thomson Londres Bell,E.Love,D.Rooke,M.Swan - Geometry Shell Centre UK Bolt, Brian 1988 Actividades matemáticas Labor Barcelona Brandreth, Gyles 1999 Juegos con números Gedisa Barcelona Bunch, Bryan H. 1997 Matemática insólita, paradojas y paralogismos Reverté México Callejo, Mª Luz 1994 Un club Matemático para la diversidad Narcea Madrid

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CPE 07 - Taller

by Ministerio de Educación de la Provincia del Chubut on Mar 24, 2009

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