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CáLculo NuméRico I
 

CáLculo NuméRico I

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    CáLculo NuméRico I CáLculo NuméRico I Document Transcript

    • UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Campus Toledo Disciplina: Cálculo 1 Turma: P13 Professora Aracéli Ciotti de Marins CÁLCULO 1 Toledo, 1/2010
    • Capítulo 1 – Conjuntos Numéricos e Funções 1. Sistematização dos Conjuntos Numéricos 1.1. Números Naturais () Este conjunto é de grande importância pelo seu uso na contagem. Sua notação é: N = 0, 1, 2, 3, .... Quando não se utiliza o número 0 (zero), a notação utilizada é: N* = N – 0 = 1, 2, .... 1.2. Números Inteiros () O conjunto dos números inteiros é formado pelos elementos do conjunto dos naturais acrescidos de seus simétricos. Notação: Z = ..., -2, -1, 0, 1, 2, .... Quando o elemento zero não pertence ao conjunto, a notação se torna: Z* = Z – 0. 1.3. Números Inteiros () Quando se considera o conjunto dos números positivos, acrescidos do zero, a notação é: Z+ = N. Quando o elemento zero não pertence ao conjunto, a notação torna-se: (inteiros positivos). Analogamente, o conjunto dos inteiros não-positivos é: Z - = ..., -2, -1, 0 e este conjunto sem o zero é o conjunto dos negativos: 1.4. Números Racionais ou Fracionários (Q) São todos os números que podem ser escritos sob a forma de fração entre dois números inteiros. Tem representação decimal finita ou dízima periódica. A notação deste conjunto é: p  Q   / p Z  q Z* q  Exemplos: 2; -4; 0,5; 1,37; 1,5999...; 0,212121..., etc. 1.5. Números Irracionais São os números cuja representação decimal não é exata nem periódica, conseqüentemente não podem ser escritos como uma fração entre dois inteiros. Exemplos:  = 3,14159265..., e = 2,718281828..., 2  1,4142135624... , etc. 1.6. Números Reais (R) Representam a união entre os números Racionais e Irracionais: R = Q  I. 2
    • Exercícios 1. Determine se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações, justificando sua resposta: ( )–7N ( ) 2 Q ( )5Z ( ) -8  Q ( ) 3  R ( )-I ( )–7Z ( ) 3  Q 2. Faça um esquema que represente a sistematização do conjunto dos números Reais, decompostos em outros conjuntos. 3
    • 2. Par Ordenado e Sistema Cartesiano Par Ordenado Par é todo conjunto formado por dois elementos {a, b}, não importando a ordem que a e b aparecem no conjunto, assim, são iguais os conjuntos: {a, b} = {b, a}. Porém, quando a ordem dos elementos importa, o par passa a ser chamado de par ordenado. Exemplo: Seja o par {x, y} a solução do sistema: 2 x  3 y  4   x  3 y  7 Verifica-se que x = -1 e y = 2 é solução, ao passo que x = 2 e y = -1 não é. Assim, com notação de conjuntos, temos que: {-1, 2} = {2, -1}, o que não deve ocorre neste casso, então, utilizamos a notação (-1, 2) para representar o par ordenado (x,y). Logo (-1,2)(2,-1). Propriedade: Se (a, b) = (c, d) então a = c e b = d. Exemplo: Determine a e b se: (a + 2, 18) = (0, 3b). Sistema Cartesiano Ortogonal: É um sistema formado por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si: O eixo x é denominado eixo das abscissas e o eixo y é denominado eixo das ordenadas. Estes eixos dividem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes. Este sistema é utilizado para localizar pontos, com abscissas e ordenadas conhecidas. Exemplo: Faça um sistema cartesiano ortogonal, e nele localize os pontos: A(3,0), B(0,-2), C(2,2), D(-2,-3), E(1,-4), F(-3,4). Exercícios 1. Determine a e b: a) (a, b) = (1, 3) b) (2a – 2, b + 3) = (3a + 5, 2b – 7) c) (2a, a – 8) = (1 – 3b, b) 2. Determine se as sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (F): a) ( ) (-5, 4)  3 quadrante; b) ( ) os pontos de abscissas negativas e ordenadas positivas pertencem ao 1º quadrante; c) ( ) um ponto no 4º quadrante tem abscissa positiva e ordenada negativa. 4
    • 3. Funções Uma função pode ser definida como uma correspondência de um conjunto A de números Reais x a um conjunto B de números Reais y, em que o número y é único para um valor específico x. Formalmente, defini-se uma função como um conjunto de pares ordenados de números (x, y), sendo que dados dois pares ordenados distintos, nenhum deles terá o mesmo primeiro número. Definição: Uma função f é uma lei a qual para cada elemento x de um conjunto A faz corresponder exatamente um elemento chamado f(x), em um conjunto B. O conjunto de todos os valores admissíveis de x será chamado de domínio da função e o conjunto de todos os valores resultantes de y é chamado a imagem da função. O símbolo que representa um número arbitrário no domínio de f é chamado variável independente, e o que representa um número qualquer na imagem de f é chamado variável dependente. Existem quatro maneiras de representar uma função: a) verbalmente: descrevendo-a por palavras; b) numericamente: por meio de tabelas de valores; c) visualmente: através de gráficos; d) algebricamente: utilizando-se uma forma escrita. x2 Exemplo: Seja a função f definida pela regra: f  x   . Observa-se que os x  8 pares ordenados (1, 3), (-1, -1), (2, 2),  6,  pertencem à função f, já os pares ordenados  6 (1, 2), (5, 3), (5, 9), dentre outros, não pertencem à f. O domínio da função f é composta por todos os valores possíveis de serem substituídos no lugar de x, e verificamos que isto é possível para todos os números reais, exceto para o número zero, que quando substituído em x, na função, resultaria em 2 dividido por zero, o que sabemos ser uma divisão impossível de ser resolvida. Então, formalmente, o domínio de f, denotado por Dom[f] é igual a x   / x  0 que lê-se x pertencente aos Reais, tal que x é diferente de zero. Observa-se também que, todos os reais fazem parte da imagem de f, pois seja qual for o valor de y escolhido, há um valor de x correspondente. Então a imagem de f, denotada por Im[f] é igual ao conjunto de todos os reais. 5
    • O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, y) em R2 para os quais (x, y) é um par ordenado de f. A raiz de uma função f é o número x para o qual f(x) = 0. Graficamente, a raiz é o local em que o gráfico intercepta o eixo x. O intercepto y de uma função f é o valor em que o gráfico “corta” o eixo y e corresponde ao valor de f(0). a. Tipos de Funções a) Funções Polinomiais: São funções em que a regra é descrita por um polinômio. Exemplos: f  x   x 5  6 x 4  3 x 2  x  4 , g  x   x  4 , h x   6  x  2 x 2  x 10 . As funções polinomiais subdividem-se em: a. Função Constante: É toda função em que y não sofre variação quando x varia, ou seja, o valor de y continua constante para todos os valores de x. É escrita como f(x) = c. Seu gráfico é uma reta paralela ao eixo x, que intercepta o eixo y em c. b. Função Afim: É também conhecida como função do 1º grau. É toda função do tipo: f(x) = ax + b, com a  0. O gráfico de uma função afim é sempre uma reta, em que a é chamado coeficiente angular ou inclinação da reta e é o valor que representa a taxa de variação de y com respeito a x. b é conhecido como coeficiente linear da reta e o número no qual a reta intercepta o eixo y. b A raiz da função afim é: x  . a c. Função Linear: São funções afim com b = 0, ou seja: f(x) = ax. Seu gráfico sempre passa pela origem. d. Função Quadrática: É uma função polinomial de grau 2; É escrita como f x   ax 2  bx  c , com a  0. O gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola. O intercepto y é o valor de c. As raízes são obtidas pela fórmula: 6
    • b    b  b 2  4ac x1, 2  , sendo   b 2  4ac , assim: x1, 2  . Há três 2a 2a possibilidades para : i.  = 0 e a função terá duas raízes reais e iguais. ii.  > 0 e a função terá duas raízes reais e distintas. iii.  < 0 e a função não terá raízes. O gráfico ficará todo acima ou todo abaixo do eixo x, conforme valor de a. A concavidade da parábola é verificada da seguinte forma: i. Se a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto mínimo V; ii. Se a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto máximo V. b  As coordenadas do vértice V da parábola são: xV  e yV  2a 4a Para construir a parábola seguem-se os passos: iii. Verificar a concavidade utilizando a; iv. Verificar o local em que a parábola intercepta o eixo x utilizando os zeros; v. Calcular as coordenadas do vértice; vi. Traçar a reta que passa por V e é paralela ao eixo y, que é o eixo de simetria da parábola; vii. c é o local em que a parábola intercepta o eixo y. b) Funções Racionais: São funções que podem ser escritas como a divisão entre duas x 2  3x  1 3x  4 funções polinomiais. Exemplos: f  x   , g x   . x5 x 1 c) Funções Algébricas: São funções cujas regras envolvem somas, divisões, 3x  4 radiciações com funções racionais. Exemplos: f x   , 5 1  g x   6 x  4 x 2   2 . 7
    • d) Funções Transcendentes: São as funções logarítmicas, as exponenciais, as trigonométricas, em geral, as que não são escritas pelo uso de polinômios. a. Funções Exponenciais: Uma função é chamada de função exponencial, se for definida por: f (x) = ax em que a é uma constante positiva diferente de 1. a é chamada base do exponencial. Exemplos: f (x) = 2x; f (x) = (½) x. O gráfico de uma função exponencial f(x) = ax é crescente, ou decrescente em todo o domínio, conforme o caso: i. Se a > 1, a função é crescente; ii. Se 0 < a < 1, a função é decrescente. Leis dos Expoentes: Se a e b forem números positivos e x e y números reais quaisquer, então: i. ax+y=axay; ii. (ax)y=axy; iii. (ab)x=axbx; x iv. a x  y  a ay Dentre todas as bases possíveis para a função exponencial, há uma mais utilizada no cálculo, é a base e. Assim, com a base e: f(x) = ex e esta última função é chamada exponencial natural. Aplicações: A função exponencial ocorre freqüentemente em modelos matemáticos da natureza e da sociedade, tais como crescimento populacional, decaimento radioativo, dentre outras. b. Função Logarítmica: é a função inversa da função exponencial. Definição: Seja a  R, tal que a > 0 e a  1. Chamamos função logarítmica de base a a função f, tal que para todo x  R: f  x   log a x Observações: i. log a  y  a y  x ; x x ii. log a  x ; a x iii. a log a  x ; iv. a raiz é sempre no número 1, pois f  x   log a  f 1  log 1  0 x a 8
    • Leis dos Logaritmos: Se x e y forem números positivos, então: xy x y i. log a  log a  log a x y x y ii. log  log a  log a a r x x iii. log a  r log a (em que r é um número real) Logaritmos Naturais: Quando a base do logaritmo for o número natural e, o logaritmo é x chamado de logaritmo natural, e escrito como: log e  ln x e) Funções Trigonométricas A Função Seno é uma função tal que para todo x f  x   senx . No ciclo trigonométrico, o valor de sen x representa a ordenada y, que varia entre -1 e 1: Consideremos a função f(x)=sen x. O gráfico dessa função é o seguinte O domínio da função seno é R e a imagem é o intervalo [-1,1]. Trata-se de uma função limitada e periódica de período P=2π . Para a função do tipo f(x) = sen (x + k), onde k é uma constante, existe uma translação horizontal no gráfico da função f(x)= sen x, por exemplo: 9
    • Para a função do tipo f(x) = sen x + k, onde k é uma constante, existe uma translação vertical no gráfico da função f(x)= sen x, por exemplo: Para a função do tipo f(x) = k.sen x, onde k é uma constante, existe uma mudança de inclinação no gráfico da função f(x)= sen x., Por exemplo: A função Cosseno é uma função tal que para todo x f  x   cos x . No ciclo trigonométrico, o valor de cos x representa a abscissa x, que varia entre -1 e 1: O gráfico dessa função é o seguinte: O domínio da função cosseno é R e a imagem é o intervalo [-1,1]. Trata-se de uma função limitada e periódica de período P=2π . As translações e mudanças de inclinação sofridas pelo gráfico da função cosseno, quando da existência de uma constante k, são semelhantes às ocorridas com a função seno. 10
    • A função Tangente senx É uma função tal que para todo x f  x   tgx  . No ciclo trigonométrico tem-se: cos x O gráfico dessa função é o seguinte:    O domínio da função tangente é  x  R : x   k , k  Z  e a imagem é o conjunto R.  2  Trata-se de uma função periódica de período p = . 1 cos x A função Cotangente é uma função tal que para todo x f  x   cot gx   . O ciclo tgx senx trigonométrico e o gráfico são dados a seguir: 1 A função Secante é uma função tal que para todo x f  x   sec x  . O ciclo cos x trigonométrico e o gráfico são dados a seguir: 11
    • 1 A função Cossecante é uma função tal que para todo x f  x   cos cx  . O ciclo senx trigonométrico e o gráfico são dados a seguir: f) Funções definidas por partes São funções que não são definidas por apenas uma sentença, assim, para encontrar o valor da função em um determinado número, é necessário verificar à qual das sentenças ou regras ele deve ser aplicado. 2 x, se x  2  Exemplo: f  x   5, se x  2  x  4, se x  2  Um dos principais exemplos de funções definidas por partes são as funções modulares, também conhecida como função valor absoluto, é dada por: x se x  0 f x   x    x se x  0 b. Simetria de funções a) Uma função é dita par quando f(-x) = f(x) b) Uma função é dita ímpar quando f(-x) = - f(x) Obs.: Quando uma função não é par nem ímpar é chamada assimétrica c. Funções Crescentes e Decrescentes a) Uma função f é chamada crescente em um intervalo I se: f(x1) < f(x2) sempre que x1 < x2 em I b) Uma função f é chamada decrescente em um intervalo I se: f(x1) > f(x2) sempre que x1 < x2 em I 12
    • d. Composição de funções: Dadas duas funções f e g a função composta, denotada por f o g, é definida por:  fog x   f g x  x 1 Exemplo: Dadas as funções f  x   x  3 e g  x   , temos que: 3   fog x   f g x   g x   3   x  1  3  x  1 9  x  8 ;    3  3 3 f x   1 x  3  1 x  2  gof x   g  f x     3 3 3 e. Inversão de funções: Dada uma função f a inversa de f é a função denotada por f -1   tal que f f 1  x   x . Exemplo: Determine a inversa de f  x   2 x  3 . Resolução:  x   x f f 1 2 f  x   3  x 1 2f 1 x   x  3 f 1 x   x  3 2 13
    • Exercícios 1. Os registros de temperatura T (em ºF) foram tomados de duas em duas horas a partir da meia noite até as 14 horas, em Dallas, em 2 de junho de 2001. O tempo foi medido em horas após a meia noite: t 0 2 4 6 8 10 12 14 T 73 73 70 69 72 81 88 91 Use os registros para esboçar um gráfico de T como uma função de t, e use o gráfico para estimar a temperatura as 11 horas da manhã. 2. Se f(x) = 3x3 – x + 2, encontre f(2), f(-2), f(a), f(-a), f(a + 1), 2f(a), f(2a), f(a2), [f(a)]2 e f(a + h). 3. Encontre o domínio das funções: a. f  x   x  3 ; 2 c. f x   . b. f(t) = t2 – 6t x4 4. Uma caixa aberta em cima, tem um volume de 10 m3. O comprimento da base é o dobro da largura. O material da base custa R$ 10,00 por metro quadrado, ao passo que o material das laterais custa R$ 6,00 por metro quadrado. Expresse o custo total do material em função da largura da base. 5. Faça o gráfico das funções abaixo: a. f  x   x b. f x   x  1 d. f x   x  1 c. f x   x  1 e. f x   x  1 2 x  1 se x  2 x  4 se x  6  g. f x    f. f  x   5 se x  2 5  x se x  6 x  2 se x  2   x se x  -1 4  x se x  1 4 se x  -1  6 se x  1     h. g  x    x  1 se - 1  x  2 i. g x    x  1 se - 1  x  3  2 se x  2 3 se x  2   3 x  se x  2 x  se x  2 14
    • f x    x 2  2 x  8 6. Faça o gráfico de cada uma das funções: f  x   x 2  6 x  9 f x   x 2  x  6 7. A parábola f(x) = x2 - 4x + 3 e a reta f(x) = ax + b cruzam os eixos cartesianos nos mesmos pontos. Qual é a equação da reta? 8. Curva de aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que constataram a relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída por este indivíduo. Um exemplo de curva de aprendizagem é dado pela expressão: Q x   700  400e 0 ,5 x . Nesta expressão, Q é quantidade de peças produzidas por um funcionário, x é o tempo de experiência e e = 2,7183. a. Quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência deverá produzir mensalmente? b. E um funcionário sem experiência? c. Compare os cálculos, e verifique se há coerência. 9. Encontre f + g, f – g, fg e f/g, e estabeleça os domínios: a. f  x   x 3  2x 2 , g  x   3 x 2  1 b. f x   1 x , g x   1 x 10. Encontre as funções f o g, g o f, f o f, e g o g; e seus domínios: a. f  x   2 x 2  x , g  x   3 x  2 1 b. f  x   1 x , g  x   x 11. Faça um esboço do gráfico de f  x   cos x   2 e determine o domínio e a imagem. 12. Determine a imagem e o domínio das funções: a. f(x) = sec x b. f(x) = tg x c. f(x) = cotg x d. f(x) = sec x 13. Classifique as informações como V (verdadeiras) ou F(falsas): a. ( ) –1  D (sec x) b. ( ) 3  Im (sec (x + 3)) c. ( ) –4  Im ((senx) + 3) d. ( ) 90°  D(tg x) 15
    • 14. Quais os deslocamentos que ocorrem no gráfico de f(x) = cos x se: a. f (x) = (cos x) + k b. f (x) = cos (x + k) c. f (x) = k cos x 15. Considere f  x   x 2  2 x  1 e g x   2 x  3 . a. Determine g  x  1 b. Determine gof c. Classifique f quanto à simetria d. f é crescente, decrescente ou assimétrica? g   x    e. Determine  f  f x  h   f x  f. Calcule h 16. Dada a função g  x   5 x  6 , determine: a. g 0 3 b. g    5  c. g  x  7  d. O ponto (x, 0) e. O ponto (1,x) 17. Determine as raízes e os interceptos y, das funções abaixo, caso existam: a. f  x   log 3 x b. f x   x 2  2 x  3 18. O número y de alunos reprovados em CDI I está baseado na quantidade x de pessoas que costumam conversar nas aulas, sendo que y será dado pela função y = f(x): 1,4 x  5, se 0  x  10 f x    47, se x  10 a. Faça um gráfico de reprovados versus o número de conversadores; b. Estime a quantidade de reprovados, baseado no número de conversadores. 16
    • 19. Sejam f  x   x 2  2 x  3 e g  x   x  8 . Determine: a. Dom f  b. fog ; c. gof ; 1 d. g ; e. diga se as funções encontradas nos itens (b) e (c) são pares, ímpares ou assimétricas; f. Esboce o gráfico de gog . 20. Determine a equação da reta abaixo: 21. Determine as raízes das funções abaixo, e onde o gráfico intercepta o eixo y: a. f x   x 2  5x  6 a. f x  x 2  x  6 b. f(x) = 3x c. f x   x 2  3x  2 d. f x  2 x  5 e. f(x) = 4 22. Suponha que você recebeu uma oferta para trabalhar por apenas um mês. Qual das seguintes formas de pagamento você prefere? I – Um milhão de dólares no fim do mês. II – Um centavo de dólar no primeiro dia do mês, dois centavos no segundo dia, quatro no terceiro dia e em geral, 2n – 1 centavos de dólar no n-ésimo dia. 23. Se a população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas, então t o número de bactérias após t horas é n  f t   100  2 3, quando a população atingirá 50000 bactérias? 17
    • 24. Qual a inversa de cada função dadas pelas regras abaixo? a. f  x   2 x  3 x5 b. f x  3 25. Calcule o valor da função f nos números indicados: a. f x   6 x  3 no número -1 b. f  z   z 3  4 z 2  z  12 no número -2 w4 c. f w  no número -4 w 4 26. Classifique as funções abaixo quanto a simetria: a. f  x   x b. f x   3x  5 c. f x   x 3  2 x 27. Sabendo que f é uma função afim, que f 2   1 e f  1  3 , determine f. 28. Mostre se as funções dadas pelas regras abaixo são crescentes ou decrescentes: a) f  x   2 x  4 b) f  x    x  2