GUIA DE APRENDIZAGEM 2024 9º A - História 1 BI.doc
CFD Aula 1B
1. Universidade Federal do ABC
Aula 1b
Problemas de Valores Característicos I
EN3224 Dinâmica de Fluidos
Computacional
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
2. 1.
UM CASO COM DOIS GRAUS DE
LIBERDADE
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
3. Vibração em uma estrutura de aço
y2
M2=4500 kg
k2
k2
4m
y1
M1=6000 kg
k1
k1
4m
• Desejamos estudar o efeito da vibração externa em uma armação de
aço.
• A força externa é aplicada apenas na peça 1 e vale F1 sin wt
• As peças horizontais são muito rígidas com relação às verticais, que
têm rigidez k1=k2=1330 kN/m
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
F1
4. Vibração em uma estrutura de aço
M2=4500 kg
k2
• Usaremos a notação
k2
4m
dy
y
dt
M1=6000 kg
k1
k1
d2y
y
2
dt
4m
Equações do movimento:
Para a peça superior
M 2 2 k2 ( y2 y1 )
y
Para a peça inferior
M1 1 k1 y1 k2 ( y2 y1 ) F1 sin wt
y
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
5. Vibração em uma estrutura de aço
M2=4500 kg
k2
k2
4m
M1 1 k1 y1 k2 ( y2 y1 ) 0
y
M1=6000 kg
k1
• No caso especial em que F1=0
• (será obtida a função
complementar)
k1
4m
M 2 2 k2 ( y2 y1 ) 0
y
Supondo que as duas peças horizontais estejam sincronizadas, podemos
estabelecer que
y1 a1 f (t )
e
y2 a2 f (t )
Com a1 e a2 os valores máximos das amplitudes de oscilação.
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
6. Vibração em uma estrutura de aço
• Assim, teremos
M1a1 f ' ' (t ) [k1a1 k2 (a2 a1 )] f (t ) 0
M 2 a2 f ' ' (t ) k2 (a2 a1 ) f (t ) 0
Qualquer das duas equações produz o resultado f''(t)/f(t)= constante.
Portanto faz sentido escolher a mesma constante para cada equação e
dado que estamos esperando um comportamento periódico,
decidiremos que a constante seja -w2. Assim , uma possível solução para
f(t) é:
f (t ) A sin wt B cos wt C sin(wt )
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
7. Vibração em uma estrutura de aço
Agora, escolhemos a origem dos tempos de tal forma que
=0. Como a1 e a2 são constantes multiplicativas, podemos
também decidir que C=1. Dessa forma, chegamos a
f (t ) sin wt e f ' ' (t ) w 2 sin wt
Voltando ao sistema de equações, teremos
M1a1 (w 2 sin wt ) [k1a1 k2 (a2 a1 )] sin wt 0
M 2 a2 (w 2 sin wt ) k2 (a2 a1 ) sin wt 0
Ou, simplesmente
w 2 M1a1 [k1a1 k2 (a2 a1 )] 0
w 2 M 2 a2 k2 (a2 a1 ) 0
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
8. Vibração em uma estrutura de aço
Temos duas equações e três incógnitas (w2, a1 e a2).
Podemos reduzir o número de incógnitas se nos contentarmos com a2/a1
em vez de a1 e a2. Assim, dividindo as duas equações por a1:
a2
w M 1 (k1 k2 ) k2
0
a1
2
a2
w M 2 k2
k2 0
a1
2
Podemos então obter as relações
a2 w 2 M 1 (k1 k2 )
k2
a1
k2
w 2 M 2 k2
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
9. Vibração em uma estrutura de aço
Fazendo o produto
w 2 M 1 (k1 k2 )
k2
k2
w 2 M 2 k2
Chega-se à equação característica do sistema:
w 4 M1M 2 w 2 M 2 (k1 k2 ) M1k2 k1k2 0
As raízes desta equação são as raízes características do sistema e darão
origem às frequências naturais às quais o sistema vibrará.
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10. Vibração em uma estrutura de aço
Retomando as equações originais e fatorando em termos de
a1 e a2:
(w 2 M1 k1 k2 )a1 k2 a2 )] 0
k2 a1 (w 2 M 2 k2 )a2 0
Assim, o sistema pode ser reinterpretado como
w 2 M 1 k1 k2
k2
a1
0
2
w M 2 k 2 a2
k2
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
11. Vibração em uma
estrutura de aço
w 4 M1M 2 w 2 M 2 (k1 k2 ) M1k2 k1k2 0
Fazendo as contas:
k1=k2=1330 kN/m
M1=6000 kg
M2=4500 kg
w 4 6000 4500 w 2 4500(1330 1330) 6000 1330 1330 1330 0
0,270w 4 199,5w 2 17689 0
Cujas raízes são
w12 103
w1 10,15 rad/s
2
w2 635
w2 25,2 rad/s
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12. Modos de vibração
O primeiro modo de vibração corresponde à menor frequência w1.
Como
a2
k2
a1 w 2 M 2 k 2
a2
1330 103
1,54
3
a1 103 4500 1330 10
Nesse modo, a peça superior move-se em sincronia com a peça inferior, mas
a amplitude do movimento é cerca de 1,5 maior.
O segundo modo de vibração corresponde a w2 e está associado à razão a2/a1=-0,87.
Neste modo as peças se movem em sentidos opostos, e a peça inferior tem um
movimento maior (em amplitude) que a superior.
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13. Modos de vibração
Primeiro modo
a2
1,54
a1
Segundo modo
a2
0,87
a1
a2
a1
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
14. Vibração fixada
Se agora considerarmos uma força periódica F1 sin Wt aplicada à peça
inferior, as equações que governam o movimento poderão ser
reduzidas.
Deve-se considerar a função tempo como sendo sin Wt .
Obter-se-á a parte integral particular. O que foi obtido anteriormente
foi a função complementar para a vibração livre.
As equações a serem resolvidas são:
W2 M1a1 k1a1 k2 (a2 a1 ) F1
W2 M 2 a2 k2 (a2 a1 ) 0
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15. Vibração fixada
W2 M1a1 k1a1 k2 (a2 a1 ) F1
W2 M 2 a2 k2 (a2 a1 ) 0
Isolando a1 e a2 chega-se a
F1 (W 2 M 2 k2 )
a1
2
(W 2 M 1 k1 k2 )(W 2 M 2 k2 ) k2
F1k2
a2
2
(W 2 M 1 k1 k2 )(W 2 M 2 k2 ) k2
Nota: se W=w1 ou W=w2, o denominador se anula: ressonância!
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16. Formulação matricial
Expressões originais:
M 2 2 k2 ( y2 y1 )
y
M1 1 k1 y1 k2 ( y2 y1 ) F1 sin wt
y
Em forma de matriz:
M1
y
1 (k1 k2 ) k2 y1 F1 sin Wt
M 2
y 0
y
k2
k2 2
2
Fazendo
F1 sin Wt
y
M1
1
y1
(k1 k2 ) k2
M A
y
y y F1 0
y
k2
k2
M 2
2
2
MT Ay F1
y
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17. Outra formulação matricial
Pode ser mais útil começarmos por
Fazendo
M1 M 2 M
k1 k 2 k
w 2 M1a1 k1a1 k2 (a2 a1 ) 0
w 2 M 2 a2 k2 (a2 a1 ) 0
Mw 2
teremos
k
E podemos reescrever as equações:
2a1 a2 a1
a1 a2 a2
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19. Resolvendo o sistema matricial
w 2 M 1 k1 k2
No caso de
k2
k2
Considere-se o determinante
w 2 M 2 k2
M1 M 2 M
obtém-se
k1 k 2 k
k
w M k
2
k
2
1
1
1
1
1
k
2
2
w 2 M 2k
1
As soluções podem ser obtidas resolvendo
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0
20. Valores característicos de B
Os valores para os quais as equações Ba=a têm solução não trivial
(a=0) são os valores característicos da matriz B.
Para cada valor característico existe uma solução a não nula, chamado
de vetor característico associado.
No caso em estudo, os valores característicos são obtidos resolvendo-se
2
1
1
1
(2 )(1 ) 1 0
0
As soluções são:
3 5
1
0,382
2
e
3 5
2
2,618
2
Qual delas é a solução?
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21. Obtendo as amplitudes
Como
(B I)a 0
2 1 a1 0
1 1 a 0
2
E chegamos a
(2 )a1 a2 0
a1 (1 )a2 0
a2 3 5
0,382
a1
2
Na verdade, temos apenas uma equação e não duas equações
independentes.
Se houvesse mais de uma solução, a matriz B seria um caso degenerado.
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22. 2.
UM CASO COM TRÊS GRAUS DE
LIBERDADE
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23. O rotor de motor a jato
Whitney Incorporated
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
25. Modelo
• Queremos estudar a oscilação radial ao longo do
eixo.
• A rigidez do eixo entre cada ponto notável é dada por
C (iguais para todos os grupos).
• Os momentos de inércia de cada grupo de pás são
denotados por J (iguais para todos os grupos).
• Os deslocamentos angulares de cada grupo de pás
são denotados por qi.
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qi
26. Modelo
• As equações do movimento são:
Jq C (q1 q 2 )
1
Jq2 C (q1 q 2 ) C (q 2 q 3 )
Jq C (q q )
3
2
3
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30. Vetores característicos
• Voltando ao problema original:
q1 q 2 q 1
q1 2q 2 q 3 q 2
q 2 q 3 q 3
Os valores
característicos
são 0, 1 e 3
• As equações não são linearmente independentes!
• Teremos que nos contentar em obter apenas
relações entre q1, q2 e q3.
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31. Vetores característicos
Para = 0:
q1 q 2 0
q1 2q 2 q 3 0
q 2 q3 0
Existe um número infinito de vetores.
O vetor mais simples é
θ (1,1,1)
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q1 q 2 q3
32. Vetores característicos
Para = 1:
q1 q 2 q1
q1 2q 2 q 3 q 2
q 2 q3 q3
q2 0
q1 q 2 q 3 0
q2 0
Novamente, existe um número infinito de vetores.
O vetor mais simples é
θ (1,0,1)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
q2 0
q1 q 3
33. Vetores característicos
Para = 3:
q1 q 2 3q1
q1 2q 2 q 3 3q 2
q 2 q 3 3q 3
2q1 q 2 0
q1 q 2 q 3 0
q 2 2q 3 0
q 2 2q1
q1 q 3
Novamente, existe um número infinito de vetores.
Os vetores mais simples são
ou
θ (1,2,1)
1 2 1
θ
,
,
6 6 6
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36. Vetores característicos: Interpretação
=0
=1
=3
θ (1,1,1)
θ (1,0,1)
θ (1,2,1)
ou
1 2 1
θ
,
,
6 6 6
O movimento oscilatório livre será uma combinação linear deste modos
normais:
q i Ai cos w1t Bi sin w1t
Ei cos w2t Fi sin w2t
Gi cos w3t H i sin w3t
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37. Vetores característicos: Interpretação
q i Ai cos w1t Bi sin w1t
Ei cos w2t Fi sin w2t
Gi cos w3t H i sin w3t
Lembrando que
1 0, 2 1, 3 3
w1 0, w2 C / J , w3 3C / J
Chega-se a
C
C
3C
3C
qi Ai Bi t Ei cos
t Fi sin
t Gi cos
t H i sin
t
J
J
J
J
Ai Bi Ei Fi Gi Hi dependem das posições e velocidades iniciais.
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38. Exemplo
Para a matriz
4 2 2
D1
3
1
os valores característicos são 2, 4 e 6.
1 1 5
A equação característica
2
2
4
1
3
1
1
1 5
x1
x 0
2
x3
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
deve ser resolvida para cada .
39. Comparação de sistemas
Trem Linear
Se escolhermos as coordenadas x1, x2 e x3 – os
deslocamentos das massas de suas posições de equilíbrio –
então a equação que rege o movimento pode ser escrita
Ax=x, onde =Mw2/k.
Os parâmetros do sistema são as massas as constantes
elásticas das molas.
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40. Comparação de sistemas
Rede Elétrica
Para esta rede elétrica podemos escrever AI=I,
onde d2Ii /dt2 = -w2Ii.
Os parâmetros do sistema são as indutâncias e as capacitâncias.
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