Modelagem matemática no ensino de física, recursos didático pedagógicos (2015 03-28 13_13_45 utc)

VII E P A E M
Encontro Paraense de Educação Matemática
Cultura e Educação Matemática na Amazônia
ISSN 2178 - 3632
08 a 10 de setembro de 2010
Belém – Pará – Brasil
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MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO DE FÍSICA
RECURSOS DIDÁTICO-PEDAGÓGICOS
Ednilson Sergio Ramalho de Souza
Universidade Federal do Oeste do Pará - UFOPA
ednilson.souza@yahoo.com.br
Adilson Oliveira do Espírito Santo
Universidade Federal do Pará - UFPA
adilson@ufpa.br
RESUMO
Nosso objetivo é pontuar alguns recursos didático-pedagógicos comumente utilizados na
modelagem matemática no contexto do ensino de Física. Para isso, fizemos pesquisa bibliográfica
em sites de revistas eletrônicas e em anais de congressos sobre o tema. O resultado mostrou que
o processo de modelagem matemática aplicado ao ensino de Física vem sendo realizado
predominantemente fazendo uso de três recursos didático-pedagógicos: por meio de problemas
contextualizados, por meio de simulação computacional e por meio de experimentação.
Palavras-chave: Modelagem Matemática. Ensino de Física. Recursos didático-
pedagógicos.
INTRODUÇÃO
O processo de modelagem matemática gera um ambiente que pode
favorecer o aprendizado não apenas de Matemática, mas de outras disciplinas
como a Física, a Química e até mesmo a Biologia. Nesse sentido é que
concebemos a modelagem matemática como geradora de ambiente de ensino e
aprendizagem de ciências. Essa dimensão da modelagem já foi sinalizada por
Barbosa (2009) o qual discutiu o papel que os modelos matemáticos podem
desempenhar na educação científica.
Assim, nossa atenção estará voltada ao uso da modelagem no
contexto do ensino de Física. Veremos que se têm usado, predominantemente,
três recursos didático-pedagógicos para esse fim: problemas contextualizados,
simulações computacionais e atividades experimentais.

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Começaremos fazendo algumas considerações de ordem
epistemológica sobre os termos representação matemática e modelo matemático.
Tais considerações são importantes para compreender a natureza do processo de
modelagem no ensino de Física. Continuaremos mostrando o resultado de uma
pesquisa bibliográfica onde apresentaremos 20 trabalhos científicos sobre o tema.
Finalizaremos com considerações gerais sobre os resultados da pesquisa.
REPRESENTAÇÕES E REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA
Numa visão cognitiva, pode-se entender que “uma representação é
uma notação ou signo ou conjunto de símbolos que ‘re-presenta’ algo para nós,
ou seja, ela representa alguma coisa na ausência dessa coisa (EYSENCK e
KEANE apud FERNADES, 2000, p. 10)1
. Segundo Raymond Duval (2009, p. 30),
Piaget recorre à noção de representação como “evocação dos objetos
ausentes” (grifos do autor). Ainda segundo Duval (ibidem), as representações
podem ser classificadas de acordo com as oposições interna/externa e
consciente/não-consciente (Quadro 1).
Quadro 1. Tipos e funções das representações (Fonte: Duval, 2009, p. 43).
Interna Externa
Consciente Mental
 Função de
objetivação
Semiótica
 Função de
objetivação
 Função de
expressão
 Função de
tratamento
intencional
Não-consciente Computacional
 Função de
tratamento
automático ou
quase instantâneo.
1
EYSENK, M. E; KEANE, M. T. Cognitive pisichology: a student’s hadbook. Hove: Lawrence
Erlbaum, 1990.

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Percebemos que este autor classifica as representações em três
grandes tipos: mental, semiótica e computacional. As representações mentais são
internas e conscientes, não necessitam de um significante para representar o
objeto. As representações semióticas também são conscientes, mas externas;
necessitam de um significante (símbolo, reta, sons...) para representar o objeto.
As representações computacionais são internas e não conscientes, podem ser
algoritmizáveis sem a necessidade de significante, os modelos mentais2
de
Johnson-Laird são exemplos desse tipo de representação.
Assim, podemos dizer que uma representação matemática é uma
representação semiótica (externa) que representa um objeto matemático (número,
função, reta etc.). Os objetos matemáticos necessitam de um significante para
que possam ser “conhecidos”. A principal função de uma representação
matemática é tornar o objeto matemático acessível ao sujeito. No entanto, nem
sempre uma representação matemática é funcional para o aluno, nem sempre o
discente consegue “manipular” a representação matemática e usá-la para resolver
problemas no dia-a-dia. Nem sempre uma representação matemática é
compreendida como um modelo matemático.
MODELOS E MODELO MATEMÁTICO
Bassanezi (2004, p. 19) argumenta que ao se procurar refletir sobre
uma parte da realidade, na tentativa de explicar, de entender, ou de agir sobre
ela, o processo comum é selecionar, no sistema, argumentos ou parâmetros
considerados essenciais e formalizá-los através de um sistema artificial: o
modelo.
2
De acordo com Moreira (1996, p. 193) os modelos mentais são representações internas construídas para
compreender e agir sobre determinada situação.

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Depreende-se da citação de Rodney Bassanezi que um modelo deve
ser funcional no sentido de possibilitar interpretações (explicações e descrições).
O que pode ser corroborado por Pinheiro (2001, p. 38) “Os modelos, devido à sua
flexibilidade, podem desempenhar diversas funções, às vezes até
simultaneamente. Eles podem servir para compreender, explicar, prever, calcular,
manipular, formular”.
Entende-se, portanto, que um modelo é uma representação de alguma
coisa que deve ser funcional, isto é, deve possibilitar interpretações por meio de
analogias entre o representante e aquilo que é representado.
Por exemplo, o modelo de um motor de carro (uma planta, uma
maquete, um protótipo) deve permitir que o engenheiro o explique e o descreva
visando tomar decisões a partir da interpretação desse modelo. Para um leigo,
essa representação de motor não será um modelo, visto que não possibilitará
nenhuma explicação científica, não será funcional. Será uma representação sem
interpretação científica, apenas estará no lugar do motor na ausência deste.
Um modelo matemático é, portanto, uma representação matemática
que possui certa funcionalidade para o aprendiz, isto é, possibilita interpretação e
ação (tomada de decisão) sobre o objeto de estudo; é uma representação
matemática que deve servir para explicar ou descrever cientificamente alguma
coisa. Isso implica que a distinção entre representação matemática e modelo
matemático é interna ao sujeito, depende de seu horizonte epistêmico, ocorre em
função de seu repertório de conhecimentos. Portanto, a construção de modelos
matemáticos favorecem a compreensão de conceitos científicos.
O PROCESSO DE CONSTRUÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS NO ENSINO
Sendo um processo, a modelagem matemática no ensino pode ser
efetivada seguindo-se algumas fases, etapas ou atividades intelectuais. Uma

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delas refere-se à escolha de um tema de pesquisa, por exemplo, Poluição. Outra
fase seria uma pesquisa propedêutica sobre o tema. O objetivo dessa etapa é
promover um primeiro contato com o tema quando se trata de um assunto
totalmente novo para os estudantes. Continuando o processo, procura-se formular
questionamentos, por exemplo: que tipos de poluições existem atualmente? Outra
etapa seria a formulação ou identificação de um problema real: em quanto tempo
um motorista de ônibus pode perder totalmente sua capacidade auditiva? A
resolução do problema real, que exige pesquisa e investigação, culmina com a
elaboração de modelos matemáticos, que seria outra etapa do processo de
modelagem. Por fim, devemos fazer uma avaliação crítica do processo: limite de
validade do modelo, possibilidade de uso em outros problemas etc.
Pensamos que o fluxo do processo pode ser seguido mais ou menos
como descrevemos acima, porém, vamos ver as etapas propostas por Rodney
Bassanezi (2004) para o processo de modelagem:
1. Experimentação: O objetivo dessa fase é a obtenção de dados. O uso de
métodos e técnicas estatísticas na pesquisa experimental possibilita maior
grau de confiabilidade dos dados obtidos. No ensino de Física essa etapa é
essencial quando se trabalha com experiências de laboratório. Os alunos
são responsáveis por fazer medições de experimentos com uso de
aparelhos.
2. Abstração: Esse procedimento deve levar à formulação de modelos
matemáticos. Nessa fase procura-se estabelecer: a seleção de variáveis
cognitivas (os conceitos ou variáveis com os quais se lidam devem ser
claramente identificados e compreendidos); a problematização ou
formulação aos problemas teóricos numa linguagem própria da área em
que se está trabalhando (problematiza-se por meio de perguntas científicas
que levam à explicitação das relações existentes entre os conceitos ou
variáveis envolvidas no fenômeno); a formulação de hipóteses (que podem
ser geradas por comparação com outros estudos, dedução lógica,
experiência pessoal do modelador, observação de casos singulares da

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própria teoria, analogia de sistemas etc.); a simplificação (consiste em
restringir algumas informações observadas no fenômeno para que se
possa obter um modelo matematicamente tratável).
3. Resolução: consiste no tratamento matemático dado ao modelo, ou seja,
na resolução de equações (diferenciais, integrais, de diferenças finitas,
algébricas etc.).
4. Validação: nesta fase os modelos matemáticos serão testados para ver
em que grau eles correspondem às observações empíricas e às previsões
de novos fatos. É nessa etapa que o modelador deve ter a atitude de
converter o modelo matemático obtido em diferentes representações
matemáticas (tabelas, gráficos, equações) bem como fazer a interpretação
das várias formas de se representar um mesmo problema de Física.
5. Modificação: nenhum modelo deve ser considerado definitivo, podendo
sempre ser melhorado, desta maneira um bom modelo é aquele que
propicia a (re)formulação de novos modelos.
METODOLOGIA E RESULTADOS
A coleta de material bibliográfico foi realizada digitando-se o termo
“modelagem matemática + ensino física” no buscador Google. Detectamos que
existem muitos trabalhos disponíveis em revistas eletrônicas, sites de congressos
em Educação Matemática e sites de Universidades sobre Modelagem Matemática
de fenômenos físicos. Porém, poucos são voltados ao ensino e aprendizagem.
Para selecionar os trabalhos a serem analisados consideramos os seguintes
critérios:
 Que fossem sobre Modelagem Matemática;

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 Que fossem sobre fenômenos físicos;
 Que fossem voltados ao ensino e aprendizagem.
Não sendo nossa intenção abarcar a totalidade de pesquisas,
relacionamos no quadro 2 vinte (20) trabalhos, organizando-os segundo a
classificação: pesquisa de cunho teórico (cinco trabalhos) e pesquisa de cunho
didático-pedagógico (quinze trabalhos). Dos vinte trabalhos, dezenove (19) são
artigos e apenas um (01) corresponde a uma dissertação de mestrado.
PESQUISAS DE CUNHO TEÓRICO
Título/Autor(es)/Site
1) A modelagem matemática aplicada ao ensino de Física no ensino médio. C. O. Lozada e colaboradores
http://www.ffcl.edu.br/logos/artigos/2006b/ARTIGO1-pag2-ClaudiaLozada-logos-14-2006.pdf
2) Modelagem matemática de fenômenos físicos envolvendo grandezas proporcionais e funções do primeiro grau,
através de atividades experimentais. L. S. Campos e M. S. T de Araújo.
http://www2.rc.unesp.br/eventos/matematica/ebrapem2008/upload/269-2-A-gt9-Campos-ta.pdf
3) Modelagem no ensino/aprendizagem de física e os novos parâmetros curriculares nacionais para o ensino médio.
E. A. Veit e V. D. Teodoro. http://www.scielo.br/pdf/rbef/v24n2/a03v24n2.pdf
4) Modelagem computacional no ensino de física. E. A. Veit e I. S. Araújo.
http://www.if.ufrgs.br/cref/ntef/producao/modelagem_computacional_Maceio.pdf
5) Alternativas de modelagem matemática aplicada ao contexto do ensino de física: a relevância do trabalho
interdisciplinar entre matemática e física. C. O. Lozada.
http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/Html/comunicacaoCientifica.html
PESQUISAS DE CUNHO DIDÁTICO-PEDAGÓGICO
Título/Autor(es)/Site
1) A modelagem matemática como metodologia para o ensino-aprendizagem de Física.
E. S. R. de Souza e A. O. do Espírito Santo
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/fisica/artigos/ednilson.pdf
2) Equilíbrio no espaço: experimentação e modelagem matemática. P. A. P. Borges, N. A. Toniazzo e J. C. da Silva.
http://www.scielo.br/pdf/rbef/v31n2/10.pdf
3) Aperfeiçoamento de professores de física e matemática utilizando a modelagem matemática
M. Q. Albé e colaboradores.
http://www.liberato.com.br/upload/arquivos/0131010716044716.pdf
4) O ensino de fenômenos físicos através da modelagem matemática. L. Daroit, C. Haetinger e M. M. Dullius.
http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cd_egem/fscommand/RE/RE_35.pdf
5) Uma experiência da utilização da modelagem matemática computacional aplicada ao ensino de física
F. H. L. Vasconcelos, J. R. Santana e H. B. Neto.
http://tele.multimeios.ufc.br/~semm/conteudo/leitura/ef/artigo13.pdf
6) Modelagem matemática: uma experiência com professores. K. G. Leite.
http://need.unemat.br/3_forum/artigos/13.pdf
7) Interdisciplinaridade por meio da modelagem matemática: uma atividade envolvendo matemática e física
E. S. R. de Souza e colaboradores. http://www.somaticaeducar.com.br/arquivo/artigo/1-2009-02-28-12-40-16.pdf
8) Modelagem matemática no ensino-aprendizagem de física: tópicos de mecânica. E. S. R. de Souza
http://www.somaticaeducar.com.br/arquivo/artigo/1-2009-02-28-12-35-31.pdf
9) A importância da modelagem matemática na formação de professores de física. C. O. Lozada e N. S. Magalhães.
http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/snef/xviii/sys/resumos/T0202-2.pdf
10) A modelagem matemática através de conceitos científicos. H. R. da Costa.
Quadro 2. Trabalhos encontrados na internet sobre o tema Modelagem Matemática e
ensino de Física

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http://www.cienciasecognicao.org/pdf/v14_3/m197.pdf
11) Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem nos cursos superiores de tecnologia
E. C. Ferruzzi e colaboradores
http://ensino.univates.br/~chaet/Materiais/Modelagem_Mat_Eng.pdf
12) Um estudo de caso relacionando formação de professores, modelagem matemática e resolução de problemas de
física. C. O. Lozada e N. S. Magalhães.. http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/epef/xi/sys/resumos/T0108-2.pdf
13) Um relato de experiência sobre a prática de modelagem matemática aplicada ao ensino de física
C. O. Lozada e N. S. Magalhães. http://www.uel.br/eventos/cnmem/aceitos.htm
14) Radiação solar ultravioleta e a modelagem matemática. M. C. Stieler e V. Bisognin.
http://miltonborba.org/CD/Interdisciplinaridade/Encontro_Gaucho_Ed_Matem/cientificos/CC74.pdf
15) CTS e a modelagem matemática na formação de professore de física. P. E. da C. Moutinho.
http://www.ufpa.br/ppgecm/media/Dissertacoes_Pedro%20Estevao%20da%20Conceicao%20Moutinho.pdf
ANÁLISES INICIAIS
Observa-se que as produções envolvendo a temática modelagem
matemática e ensino de Física ainda são muito poucas em comparação a outros
tipos de estratégias de ensino de Física. Esse fato pode ter como causa o tempo
não muito longo das pesquisas envolvendo modelagem matemática no ensino,
que de acordo com Biembengut (2009), é da ordem de 30 anos. A consequência
disso é que muitos professores (de Física e de Matemática) desconhecem essa
tendência em Educação Matemática.
O quadro 2 mostra que são raros os trabalhos envolvendo modelagem
matemática e ensino de Física quando se compara aos trabalhos sobre
modelagem já publicados. Isso justifica que se realizem projetos de pesquisa
sobre o assunto. Nesse panorama, nossa pesquisa faz parte de um projeto maior
que visa doutoramento na área.
Finalmente, as atividades de modelagem matemática de fenômenos
físicos desenvolvidas nos trabalhos relacionados no quadro 2 podem ser
categorizadas levando-se em consideração três recursos didático-pedagógicos:
problemas contextualizados (11 ocorrências); simulações computacionais (3
ocorrências) e atividades experimentais (6 ocorrências).

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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nosso objetivo foi apresentar alguns recursos didático-pedagógicos
comumente usados durante o processo de modelagem matemática no ensino de
Física. Após uma breve revisão bibliográfica sobre o assunto, verificamos que são
recorrentes três recursos: o uso de problemas contextualizados, o uso de
simulações computacionais e o uso de atividades experimentais.
Esses três recursos são, na verdade, tendências de ensino de Física.
Configuram-se como recursos ao processo de modelagem na medida em que
favorecem a coleta de dados qualitativos e quantitativos necessários à elaboração
do modelo matemático. Tais recursos não são auto-exclusivos, podem coadunar-
se durante uma mesma atividade de modelagem. No entanto, pode-se enfatizar a
presença de um desses recursos durante a tessitura do modelo matemático.
REFERENCIAS
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