Tesis de maestría que implementa el modelo de van Hiele y los Mapas conceptuales para la consolidación de un módulo de aprendizaje que permita la comprensión del concepto de series de términos positivos.

1. ´
MODULO DE APRENDIZAJE PARA LA COMPRENSION ´
´
DEL CONCEPTO DE SERIES DE TERMINOS POSITIVOS
SANDRA MILENA ZAPATA
EDISON SUCERQUIA V.
´
DEPARTAMENTO DE EDUCACION AVANZADA
´
FACULTAD DE EDUCACION
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
JUNIO DE 2009

2. ´
MODULO DE APRENDIZAJE PARA LA COMPRENSION ´
´
DEL CONCEPTO DE SERIES DE TERMINOS POSITIVOS
Trabajo de investigaci´n enmarcado en el proyecto “Las fases de aprendizaje de van
o
´
Hiele en la manifestaci´n del concepto de convergencia”, CODI ACTA 421 CODIGO
o
E01106.
SANDRA MILENA ZAPATA
EDISON SUCERQUIA V.
Trabajo de investigaci´n para optar al t´
o ıtulo de Magister en Educaci´n, con ´nfasis en
o e
Docencia de las Matem´ticas.
a
Asesor
Ph. D. CARLOS MARIO JARAMILLO L.
Profesor Departamento de Matem´ticas
a
´
DEPARTAMENTO DE EDUCACION AVANZADA
´
FACULTAD DE EDUCACION
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
JUNIO DE 2009

3. “Educar es despertar el esp´
ıritu de innovaci´n”
o
A nuestras familias...

4. Nota de aceptaci´n
o
Presidente del Jurado
Jurado
Jurado

5. Agradecimientos
Este trabajo de investigaci´n representa un gran logro en nuestra formaci´n profesional
o o
y acad´mica, durante todo el proceso fueron muchas las personas que nos acompa˜aron
e n
brindandonos su apoyo, asesor´ y conocimiento para el alcance de esta meta, a todos
ıa
ellos les expresamos un agradecimiento muy especial por tal hecho.
En especial, queremos manifestar mucha gratitud para nuestro asesor, maestro y
compa˜ero el doctor Carlos Mario Jaramillo L´pez, quien con su invaluable respaldo,
n o
dedicaci´n, constancia y compromiso, nos acompa˜´ y orient´ en este camino de la
o no o
investigaci´n en educaci´n matem´tica, para lograr la culminaci´n de este estudio.
o o a o
Queremos resaltar el acompa˜amiento de los maestros del grupo de investigaci´n
n o
“Educaci´n matem´tica e Historia (UdeA-EAFIT)” en especial a los Doctores Pedro
o a
P´rez Carreras y Pedro Vicente Esteban, a Ren´ Alejandro Londo˜o, Leonardo
e e n
Ceballos, Flor Mar´ Jurado, Edison Dar´ Vasco y Jhonny Villa; ya que en m´ltiples
ıa ıo u
ocaciones, estuvieron dispuestos a escucharnos, orientarnos y realizar observaciones a
nuestro trabajo.
Agradecemos a los rectores, coordinadores, docentes y estudiantes de las instituciones
educativas: Camilo Torres y Pedro Justo Berrio quienes nos permitieron el desarrollo
de este trabajo en sus espacios.
Finalmente, queremos reconocer el acompa˜amiento de nuestras familias, ya que sin su
n
apoyo y comprensi´n, no hubieramos logrado culminar esta investigaci´n.
o o

7. CONTENIDO
1. Planteamiento y justificaci´n del problema
o 1
1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 1
1.2. Antecedentes del problema de investigaci´n . . . . . . . . . . . . . . . .
o 2
1.3. El problema de investigaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 4
1.4. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5. Objetivos espec´
ıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6. La pertinencia del modelo de van Hiele en este concepto . . . . . . . . 5
1.7. Convergencia de series infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.8. Series infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.9. El concepto de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.10. La serie geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 15
1.10.1. Demostraci´n alternativa (Visual geom´trica) . . . . . . . . . .
o e 16
1.11. Nicol´s Oresme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 17
1.12. La serie arm´nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 18
1.13. Los procesos de visualizaci´n y el concepto de convergencia . . . . . . .
o 19
2. Marco Te´rico
o 25
2.1. Educaci´n matem´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o a 25
2.2. Teor´ de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıas 26
2.2.1. El conductivismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2. El cognitivismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8. ii CONTENIDO
2.2.3. El constructivismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.4. Aprendizaje significativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Teor´ que gu´ el presente trabajo de investigaci´n . . . . . . . . . .
ıas ıan o 32
2.3.1. El trabajo de Jean Piaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.2. El trabajo de Benjam´ Bloom . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ın 34
2.3.3. El trabajo de Ed Dubinsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.4. El trabajo de Tall y Vinner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.5. El trabajo de Pirie y Kieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4. El modelo educativo de van Hiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.1. Descripci´n del modelo educativo . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 44
2.4.2. Niveles de razonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.3. Descriptores de los niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.4. Caracterizaci´n de los niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 47
2.4.5. Fases de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.6. Insight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.7. Estructuras y redes de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5. Los mapas conceptuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5.1. Relaci´n entre la red de relaciones y los mapas conceptuales . .
o 56
2.5.2. M´dulos de instrucci´n (M´dulos de aprendizaje) . . . . . . . .
o o o 58
2.6. Investigaciones realizadas en el Contexto del Modelo de van Hiele . . . 59
2.6.1. Alfonso L´pez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 59
2.6.2. Flor M. Jurado H. y Ren´ Alejandro Londo˜o . . . . . . . . . .
e n 60
2.6.3. Edison Vasco y Jorge A. Bedoya . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.6.4. Maria de los A. Navarro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.7. Otras investigaciones en el marco del modelo educativo de van Hiele . . 62
2.7.1. Proyecto Chicago . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.7.2. Proyecto Oregon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.7.3. Proyecto Brooklyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.7.4. Memoria para optar al grado de doctor presentada por J. Land 64
2.7.5. Jose L. Llorens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.7.6. Pedro Campillo H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9. CONTENIDO iii
2.7.7. Carlos M. Jaramillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.7.8. Pedro V. Esteban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.7.9. Andr´s de la Torre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 67
3. Dise˜o Metodol´gico
n o 69
3.1. Dise˜o metodol´gico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n o 69
3.2. Dise˜o del m´dulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n o 70
3.3. Estructura del m´dulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 70
3.4. Caracter´
ısticas del m´dulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 72
3.4.1. Car´cter socr´tico del m´dulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a a o 72
3.4.2. El papel del lenguaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.3. Conocimientos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4.4. Aportes de informaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 75
3.4.5. Movilizaci´n del pensamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 76
3.4.6. Problematizaci´n de las ideas y paso por los tres momentos . . .
o 76
3.5. Descriptores de niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5.1. Descriptores nivel II (De an´lisis) . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 77
3.5.2. Descriptores nivel III (De clasificaci´n o relaci´n) . . . . . . . .
o o 77
3.6. Descriptores de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6.1. Fase 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6.2. Fase 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6.3. Fase 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6.4. Fase 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6.5. Fase 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.7. M´dulo de instrucci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o o 81
3.7.1. Fase 1: informaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 81
Actividad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Actividad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Actividad 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Actividad 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Actividad 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

10. iv CONTENIDO
3.7.2. Fase 2: orientaci´n dirigida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 97
Actividad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Actividad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Actividad 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Actividad 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.7.3. Fase 3: explicitaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
o
Actividad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Actividad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Actividad 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Actividad 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.7.4. Fase 4: orientaci´n libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
o
Actividad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Actividad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Actividad 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Actividad 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Actividad 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.7.5. Fase 5: integraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
o
Actividad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Actividad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Actividad 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.8. An´lisis de las preguntas del m´dulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
a o
3.9. Validaci´n del m´dulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
o o
4. An´lisis de Resultados
a 153
4.1. Poblaci´n y muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
o
4.2. Aplicaci´n del m´dulo de instrucci´n y trabajo de campo . . . . . . . . 154
o o o
4.3. Fase de informaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
o
4.4. Fase de orientaci´n dirigida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
o
4.5. Fase de explicitaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
o
4.6. Fase de orientaci´n libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
o
4.7. Fase de integraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
o

11. CONTENIDO v
4.8. Resultados de estudiantes no clasificados a nivel III . . . . . . . . . . . 165
4.9. Validaci´n del m´dulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
o o
4.10. Tratamiento estad´
ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.10.1. An´lisis de Cluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
a
Bloque 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Bloque 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Bloque 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Bloque 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Bloque 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.10.2. Descripci´n del algoritmo de las K- medias . . . . . . . . . . . . 171
o
4.10.3. Medida de la confiabilidad: Alfa Cronbach . . . . . . . . . . . . 173
4.10.4. Procedimiento de obtenci´n y codificaci´n de los datos . . . . . 174
o o
4.10.5. Clasificaci´n de acuerdo a las fases de aprendizaje . . . . . . . . 175
o
4.10.6. Masificaci´n de la prueba
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.10.7. Robustez del an´lisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
a
5. Conclusiones y recomendaciones 185
5.1. Consecuci´n de los objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
o
5.1.1. Tratamiento estad´
ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.2. Aportes a la educaci´n matem´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
o a
5.3. Investigaciones futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Bibliograf´
ıa 194
A. M´dulo de Instrucci´n: Test
o o 195
B. Mapas conceptuales de los estudiantes 217
B.1. Mapa conceptual 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
B.2. Mapa conceptual 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
B.3. Mapa conceptual 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
B.4. Mapa conceptual 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
B.5. Mapa conceptual 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

12. vi CONTENIDO
B.6. Mapa conceptual 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
B.7. Mapa conceptual 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
C. Divulgaci´n del trabajo de investigaci´n
o o 225
C.1. Art´
ıculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
C.1.1. Publicaci´n 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
o
C.1.2. Publicaci´n 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
o
C.2. Ponencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
´
D. Test: Areas de Escaleras 229

13. Cap´tulo
ı 1
Planteamiento y justificaci´n del problema
o
1.1. Introducci´n
o
E
l presente trabajo propone el dise˜o de m´dulos de instrucci´n (m´dulo de
n o o o
aprendizaje) en el marco de las fases del modelo educativo de van Hiele, los
cuales son en s´ mismos una herramienta metodol´gica, que le permitir´ a
ı o a
los estudiantes progresar en sus niveles de razonamiento. Dicho modelo fue
dise˜ado para lograr una mayor comprensi´n de los conceptos b´sicos de la geometr´
n o a ıa,
pero en la actualidad y gracias a las investigaciones que se han realizado en lo referente
a conceptos del an´lisis matem´tico, se ha comprobado que es posible extender la
a a
aplicaci´n del modelo, m´s a´n, cuando los conceptos poseen una componente visual
o a u
geom´trica (ver apartado 1.13).
e
Seg´n van Hiele (1986), el paso de un nivel de razonamiento al siguiente se produce
u
mediante la creaci´n de una nueva red de relaciones. Propiciar el progreso del
o
razonamiento matem´tico de un estudiante es funci´n de las fases de aprendizaje, en
a o
las cuales la instrucci´n juega un papel determinante, ´sta se puede dar mediante el
o e
dise˜o de actividades correspondientes a cada una de las fases, que contengan acciones
n
concretas que pongan de manifiesto la red de relaciones que el alumno posee en su
estructura mental, dado esto, se puede afirmar que el papel de la instrucci´n en las
o
fases de aprendizaje es desarrollar propuestas que motiven a un estudiante a crear y
fortalecer su red de relaciones en conceptos matem´ticos y de la geometr´ y, as´ lograr
a ıa ı
mejorar su nivel de razonamiento.
En la actualidad, existen pocos estudios enmarcados en las fases de aprendizaje del
modelo de van Hiele, cuyo fin sea el mejoramiento del nivel de razonamiento de
los estudiantes, frente a conceptos de an´lisis matem´tico. Dada esta necesidad es
a a
pertinente pensar c´mo conseguir que los estudiantes logren un nivel de razonamiento
o

14. 2 Planteamiento y justificaci´n del problema
o
avanzado, espec´ıficamente frente al concepto de convergencia de una serie infinita.
Debido a que el paso de un nivel de razonamiento al siguiente es posible mediante
las fases de aprendizaje, es necesario dise˜ar de manera cuidadosa y eficiente,
n
un m´dulo de instrucci´n (m´dulo de aprendizaje) que contenga experiencias de
o o o
aprendizaje enmarcadas en dichas fases, los cuales faciliten el progreso en los niveles de
razonamiento y ayuden a los estudiantes a construir redes de relaciones, adem´s quea
den cuenta del grado de apropiaci´n del concepto abordado y de la comprensi´n de sus
o o
propiedades.
1.2. Antecedentes del problema de investigaci´n
o
Determinar el nivel de razonamiento de los estudiantes de diferentes grados en cuanto
a conceptos matem´ticos y de geometr´ ha sido un tema importante en los estudios e
a ıa,
investigaciones realizadas en la ultima d´cada por docentes de matem´ticas. El modelo
´ e a
educativo de van Hiele describe de manera precisa y adecuada la evoluci´n en este
o
proceso, sin embargo, no abundan estudios que propongan el dise˜o de actividades para
n
el paso de un nivel de razonamiento al siguiente, y prescriban en cuanto a conceptos
del an´lisis matem´tico avanzado.
a a
El presente estudio se basa en uno de los resultados planteado por la tesis de maestr´
ıa
titulada “Dise˜o de una entrevista socr´tica para la construcci´n del concepto de suma
n a o
de una serie v´ ´reas de figuras planas” Jurado y Londo˜o (2005), dicho trabajo, en el
ıa a n
apartado de las conclusiones, menciona la dificultad que presentan los estudiantes en
el progreso del nivel de razonamiento II al III, frente al concepto de convergencia de
una serie infinita.
La mencionada tesis de maestr´ de un lado propone una entrevista de car´cter
ıa, a
socr´tico con la que se busca identificar c´mo razonan los estudiantes frente al concepto:
a o
suma de infinitos t´rminos positivos, bajo ´reas de figuras planas, y por otro lado,
e a
dise˜´ un instrumento para determinar el nivel de razonamiento de los estudiantes con
no
respecto al concepto objeto de estudio, en el marco del modelo educativo de van Hiele.
Es as´ como este estudio, entre sus resultados aborda la dificultad que presentan los
ı
estudiantes para progresar del nivel de razonamiento II al inmediatamente superior, ya
que la mayor´ de la poblaci´n intervenida fue clasificada en el nivel II. La clasificaci´n
ıa o o
de los estudiantes, de acuerdo a los resultados de la entrevista y la aplicaci´n del o
test, muestra que ellos no establecen relaciones entre conceptos de manera apropiada
y significativa y, la estructura mental que tienen construida acerca del concepto objeto
de estudio se ve limitada por el an´lisis de las propiedades caracter´
a ısticas de las figuras,
sin lograr hacer procesos de abstracci´n rigurosos y formales que les permitan hacer
o
una clasificaci´n de las mismas. En consecuencia, un porcentaje significativo de los
o
estudiantes no logran consolidar una red de relaciones que fortalezca la estructura

15. 1.2 Antecedentes del problema de investigaci´n
o 3
mental que poseen, quedando as´ clasificados en un nivel II, y poniendo de manifiesto
ı
la necesidad de crear mecanismos que les permitan enriquecer dichas estructuras y as´
ı
progresar en los niveles de razonamiento.
Dada la necesidad existente de crear mecanismo para que los estudiantes logren
progresar de un nivel II al III, el presente trabajo de investigaci´n pretende dar
o
continuidad a la tesis mencionada, la cual, adem´s de identificar niveles, busca mejorar
a
el nivel de razonamiento de los estudiantes frente al concepto: “Convergencia de
una serie infinita”. Esto ser´ posible gracias al paso por las fases, las cuales les
a
permiten a los estudiantes consolidar sus redes de relaciones, mediante una ampliaci´n
o
y fortalecimiento de sus estructuras mentales.
Entre los aspectos m´s relevantes del estudio anteriormente mencionado, se destacan
a
los procesos de razonamiento finito e infinito, el concepto de ´rea, l´
a ımite y convergencia,
entre otros. Estos aspectos se ven enmarcados en la divisi´n sucesiva e indefinida de
o
´reas de figuras planas, con la cual se manifiesta la dificultad que tienen los estudiantes
a
para aceptar procesos infinitos, cabe anotar que el concepto de infinito es com´nmente
u
abordado como “aquello que no tiene fin”, “aquello que no es finito”, y desde esta
concepci´n resulta dif´ para los estudiantes comprender que una suma infinita de
o ıcil
t´rminos positivos, bajo ciertas condiciones, puede tener resultado finito.
e
Generalmente, si se le propone a un estudiante sumar indefinidamente t´rminos e
positivos, la respuesta usual es un resultado infinito, reafirmando con esto la concepci´no
errada de que una suma indefinida de t´rminos positivos siempre da un resultado
e
infinito. El problema radica en la forma en que los estudiantes conciben el infinito, lo que
para ellos representa y lo que matem´ticamente significa, ellos no cuentan con elementos
a
para dar una explicaci´n adecuada acerca de la idea de infinitud, su concepci´n primaria
o o
de infinito difiere del concepto formal matem´tico. No es desconocido que este concepto
a
ha sido, a trav´s de los tiempos, inaccesible y parad´jico y que grandes matem´ticos
e o a
negaron su existencia por mucho tiempo, debido a las contradicciones que implicaba
su estudio y respectiva formalizaci´n matem´tica. En los procesos de razonamiento de
o a
los estudiantes, estas contradicciones siguen presentes, a´n m´s cuando se carece de
u a
proceso de ense˜anza y aprendizaje que permita desvirtuar las concepciones erroneas
n
construidas este concepto.
En este sentido, es importante entonces que las pr´cticas docentes consideren la
a
posibilidad de ampliar la concepci´n usual de infinito, pues la manera como se conciben
o
los fen´menos finitos difiere de la manera de concebir fen´menos infinitos, de ah´
o o ı
que un estudiante no logre adquirir elementos para comprender porque una suma
infinita de t´rminos positivos en algunos casos es infinita y en otros finita. El concepto
e
de convergencia de una serie infinita ha sido abordada desde diferentes t´picos, el
o
presente trabajo de investigaci´n retoma los procesos de visualizaci´n que conllevan a
o o
la deducci´n de una estructura formal del concepto, dicho concepto se ve favorecido
o

16. 4 Planteamiento y justificaci´n del problema
o
gracias a que posee una componente visual-geom´trica que fortalece la comprensi´n de
e o
dicha estructura, en tanto se generen elementos para vincular la visualizaci´n con la
o
abstracci´n requerida para su respectiva comprensi´n.
o o
1.3. El problema de investigaci´n
o
Los estudiantes de los ultimos grados de la educaci´n media y el primer a˜o de
´ o n
universidad, presentan dificultades en el paso de el nivel de razonamiento II (an´lisis)
a
al inmediatamente superior (clasificaci´n), frente al concepto del an´lisis matem´tico,
o a a
en particular “la convergencia de series infinitas”.
Con este estudio, se pretende realizar aportes significativos, en lo referente al
componente prescriptivo del modelo educativo y demostrar su fuerte incidencia en
la comprensi´n de conceptos del an´lisis matem´tico.
o a a
1.4. Objetivo general
Favorecer el progreso de los estudiantes ubicados en el nivel II de razonamiento al nivel
III, mediante la implementaci´n de un m´dulo de instrucci´n (m´dulo de aprendizaje),
o o o o
dise˜ado en el marco de las Fases de aprendizaje del modelo de van Hiele, frente al
n
concepto de convergencia de una serie infinita v´ ´reas de figuras planas.
ıa a
1.5. Objetivos espec´
ıficos
Dise˜ar un m´dulo de instrucci´n de acuerdo al gui´n entrevista establecido por
n o o o
Jurado y Londo˜o (2005), que contempla actividades para cada una de las fases
n
de aprendizaje del modelo educativo de van Hiele.
Caracterizar, mediante la aplicaci´n del m´dulo de instrucci´n, cada uno de los
o o o
descriptores de las fases, que el estudiante debe abordar para la construcci´n del
o
concepto de convergencia v´ la suma de ´reas de figuras planas.
ıa a
Construir un test basado en el m´dulo de instrucci´n, para aplicarlo a una
o o
poblaci´n amplia de estudiantes y a su vez permita la validaci´n del mismo,
o o
para confirmar que un estudiante alcanza un avanzado nivel de razonamiento.
Emplear los mapas conceptuales como herramienta metodol´gica, que evidencie
o
la red de relaciones que un estudiante posee y su progreso en su nivel de
razonamiento.

17. 1.6 La pertinencia del modelo de van Hiele en este concepto 5
1.6. La pertinencia del modelo de van Hiele en este
concepto
Seg´n los lineamientos curriculares en matem´ticas del Ministerio de Educaci´n
u a o
Nacional (MEN, 1998, p. 56), el modelo educativo de van Hiele es la propuesta que
parece describir con bastante exactitud la evoluci´n del pensamiento matem´tico desde
o a
las formas intuitivas iniciales hasta las formas deductivas finales.
El modelo educativo de van Hiele en su estructura considera una componente
descriptiva, que permite identificar las dificultades manifiestas en un proceso de
aprendizaje, en tanto que permite identificar cu´l es el nivel de razonamiento de los
a
estudiantes, y una componte prescriptiva, correspondiente a las fases de aprendizaje,
que favorecen el progreso en los niveles, permitiendo establecer enlaces y relaciones
que ayuden al estudiante avanzar de manera progresiva hacia un nivel de razonamiento
avanzado, para esta componente se sugiere la creaci´n de una serie de actividades que
o
potencialicen el establecimiento de relaciones significativas que servir´n de apoyo para
a
conseguir tal progreso.
Dado que el modelo fue dise˜ado, inicialmente, para conceptos de geometr´ la
n ıa,
visualizaci´n es fundamental, es por esto que al abordar un concepto con una fuerte
o
componente visual geom´trica, como lo es el de “convergencia de series infinitas” resulta
e
pertinente recurrir a ´l, pues las caracter´
e ısticas del concepto objeto de estudio favorecen
su implementaci´n, permitiendo abordar el concepto sin desconocer la importancia de la
o
visualizaci´n y adem´s, teniendo en cuenta una herramienta fundamental, el lenguaje,
o a
que permite a los estudiantes manifestar su grado de apropiaci´n frente a un concepto,
o
y observar mediante ´ste, cu´l es la red de relaciones que poseen y su correspondiente
e a
estructura mental.
El trabajo de investigaci´n de Jurado y Londo˜o tiene como fuente de inspiraci´n el
o n o
problema propuesto en el libro de C´lculo y Geometr´ Anal´
a ıa ıtica de Stein y Barcellos
(1996, p. 590) este problema tiene un contenido geom´trico ligado al concepto de
e
convergencia, dado esto, fue abordado para detectar los niveles de razonamiento. El
∞
n
problema menciona como Oresme, alrededor del a˜o 1360, sum´ la serie ∑ n , usando
n o
n=1 2
el aspecto geom´trico de una escalera sin fin como se muestra a continuaci´n:
e o

18. 6 Planteamiento y justificaci´n del problema
o
En esta escalera, cada escal´n mide 1 unidad de ancho y duplica la altura del escal´n
o o
inmediatamente a su derecha. Al observar la escalera desde su aspecto geom´trico se
e
pretende demostrar que:
1 1 1 1 2 3
1+ + + ... = + + +...
2 4 8 2 4 8
Es claro, que para los estudiantes no es sencillo llegar a este tipo de deducciones,
m´s a´n, cuando la dificultad para la construcci´n del concepto es evidente, pues
a u o
son dos los aspectos a considerar, por un lado su formalizaci´n conceptual y por el
o
otro su aspecto geom´trico, ambos aspectos relacionados con el infinito como proceso
e
y posible existencia del l´
ımite. La presente investigaci´n centra sus esfuerzos en el
o
aspecto geom´trico, propone experiencias de aprendizaje, espec´
e ıficamente en el contexto
geom´trico de rect´ngulos, dispuestos como una escalera infinita decreciente, los cuales
e a
le permiten a los estudiantes determinar las condiciones suficientes y necesarias para
afirmar cu´ndo una suma de infinitos t´rminos tiene un resultado finito y cu´ndo no.
a e a
Partiendo de la componente visual geom´trica elegida, el modelo de van Hiele nos
e
brinda una estructura basada en esta componente que nos permite favorecer procesos
de visualizaci´n y as´ lograr que los estudiantes construyan una definici´n cercana a la
o ı o
formal.
Dado que las fases de aprendizaje en el modelo educativo de van Hiele es un aspecto
relevante y fundamental para lograr el progreso en los niveles de razonamiento, la
labor del profesor se enmarcar´ en dise˜ar actividades que propugnen por dicho
a n
progreso. Es por esto, que el dise˜o de m´dulos de instrucci´n (m´dulos de aprendizaje)
n o o o
debe contener una serie de actividades cuidadosamente dise˜adas que exigen una
n
correspondencia directa con las fases de aprendizaje, para poder garantizar que los
estudiantes logren un avanzado nivel de razonamiento, cuando abordan conceptos claves
del an´lisis matem´tico, en el presente caso, en el concepto de convergencia.
a a
1.7. Convergencia de series infinitas
Uno de los conceptos considerados en el campo de las matem´ticas como m´s parad´jico
a a o
e inaccesible corresponde al concepto de infinito. A lo largo de la historia famosos
matem´ticos plantearon la existencia del infinito e intentaron definirlo, sin embargo,
a
dado que la aceptaci´n de este concepto generaba muchas contradicciones y en ocasiones
o
atentaba contra el rigor de la ciencia, muchos matem´ticos optaron por rechazarlo
a
otros lo evadieron. Entre las dificultades para acceder al concepto de infinito, podemos
considerar la imposibilidad de definirlo como un n´mero ordinario, ya que no se puede
u
incluir en el sistema de n´meros reales, as´ como tampoco puede preservar las reglas
u ı

19. 1.7 Convergencia de series infinitas 7
fundamentales de la aritm´tica. Otra de las dificultades que perturb´ fuertemente a los
e o
griegos radic´ en que intentaban comprenderlo, someti´ndolo a la intuici´n del sentido
o e o
com´n, que parad´jicamente estaba inspirado en un mundo finito. Sin embargo, debido
u o
a que el concepto de infinito est´ inmerso en la mayor´ de los objetos matem´ticos,
a ıa a
fue imposible evitar los procesos infinitos contenidos en algunos de ellos, que se
deb´ analizar de manera precisa y reconocer como leg´
ıan ıtimos en los razonamientos
matem´ticos correspondientes.
a
Otro de los grandes matem´ticos que rechaz´ la idea del infinito, debido a las
a o
contradicciones que generaba, fue Arist´teles, quien sin embargo, lleg´ a concebir dos
o o
tipos de infinito: el infinito potencial y el infinito actual, los cuales corresponden a las
nociones que actualmente conocemos.
Dado lo anterior, cabe anotar, que en torno al infinito se han realizado muchos trabajos
que permiten explicar algunas acepciones para el infinito potencial y el infinito actual.
Con respecto al primero, podemos considerar la sucesi´n de enteros positivos:
o
1, 2, 3, . . . , n, . . .
como uno de los ejemplos m´s importantes de un conjunto infinito, es claro que esta
a
sucesi´n no tiene fin, pues aunque n sea muy grande siempre ser´ posible encontrar un
o a
n + 1, lo anterior sugiere la idea de un proceso infinito que no es acotado, y ejemplifica
el concepto de infinito potencial que define Ortiz (1994) a continuaci´n:o
“La noci´n de infinito potencial se centra en la operaci´n reiterativa e ilimitada, es
o o
decir, en la recursividad interminable, por muy grande que sea un n´mero natural,
u
siempre podemos concebir uno mayor, y uno mayor que este y as´ sucesivamente
ı
donde esta ultima expresi´n “as´ sucesivamente” encierra la misma idea de reiteraci´n
´ o ı o
ilimitada, al infinito”.
Por otra parte el infinito actual no se considera como un proceso sino como un todo,
como una unidad, Arist´teles rechazaba el infinito actual por ser imposible de ser
o
alcanzado por la experiencia.
Uno de los conceptos que es mediado por el infinito y que es objeto de estudio del
presente trabajo de investigaci´n es el de series infinitas. El estudio de las series infinitas
o
surge durante el siglo XVIII como una de las ´reas nuevas que se derivan del c´lculo; a
a a
los precursores de esta tem´tica, les surgen inquietudes acerca de qu´ se entiende por
a e
serie infinita, c´mo se obtiene y si es posible aplicar a las sumas infinitas las reglas de
o
las sumas finitas.
A partir de los trabajos de Newton parec´ claro que era posible operar series infinitas
ıa
de la misma forma que expresiones polin´micas finitas, es as´ como para Newton “el
o ı
an´lisis mediante series infinitas ten´ la misma consistencia interna que el ´lgebra de
a ıa a
las cantidades finitas y estaba regido por las mismas leyes generales”. Newton justificaba

20. 8 Planteamiento y justificaci´n del problema
o
estos argumentos mediante sus an´lisis acerca del infinito, cuya primera publicaci´n fue
a o
en 1711, en el escrito titulado: De analysi per aequationes numero terminorum infinitas,
en el cual expresaba que:
“Todo lo que el an´lisis com´n (el ´lgebra) realiza por medio de ecuaciones
a u a
de un n´mero finito de t´rminos (siempre que se pueda hacer) ´ste (nuevo
u e e
an´lisis) puede realizar lo mismo en todos los casos, por medio de ecuaciones
a
infinitas (series), de tal forma que no he tenido ninguna duda en darle
as´ mismo el nombre de an´lisis. Porque el razonamiento en ´ste no es
ı a e
menos cierto que en el otro; ni las ecuaciones menos exactas; aunque
nosotros los mortales, cuyo poder de razonamiento est´ confinado dentro
a
de estrechos l´
ımites, no podemos expresar ni concebir todos los t´rminos de
e
esas ecuaciones como para conocer exactamente de ellas las cantidades que
deseamos”.
En la actualidad podemos apreciar que no necesariamente los razonamientos empleados
para explicar el comportamiento de lo finito se puede extender a situaciones mediadas
por el infinito, como es el caso de la convergencia de series infinitas. Una muestra de
ello es que la suma de finitos t´rminos es asociativa y conmutativa y sin embargo una
e
suma infinita no tiene porque serlo. Los errores cometidos en el tratamiento de las series
infinitas y las conclusiones incorrectas llevaron pronto a los analistas a comprender la
necesidad de clarificar el concepto de convergencia.
1.8. Series infinitas
Antes de estudiar de manera formal el concepto de serie es necesario definir una
sucesi´n, que com´nmente puede ser reconocida como una colecci´n de objetos o sucesos
o u o
ordenados de modo que se identifique en ella un primer elemento, un segundo elemento,
y as´ sucesivamente. De manera formal, una sucesi´n se define como:
ı o
Una sucesi´n {an } es una funci´n cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos.
o o
Los valores funcionales a1 , a2 , a3 . . . , an . . . se llaman t´rminos de la sucesi´n.
e o
Es posible estudiar el l´
ımite de una sucesi´n conforme n se incrementa indefinidamente
o
o tiende a infinito.
Por ejemplo, la sucesi´n cuyo n-´simo t´rmino es an = 1 ,
o e e n
1 1 1
1, , , . . . , , . . . (1)
2 3 n

21. 1.8 Series infinitas 9
tiene l´
ımite 0 conforme aumenta n, es decir:
1
−→ 0 cuando n −→ ∞ (2)
n
Tratemos de establecer exactamente lo que se quiere decir con esto: conforme nos
alejamos cada vez m´s en la sucesi´n, los t´rminos se hacen cada vez m´s peque˜os;
a o e a n
1
despu´s del cent´simo t´rmino todos los t´rminos son menor que
e e e e , despu´s del
e
100
1
mil´simo t´rmino todos los t´rminos son menores que
e e e y as´ sucesivamente.
ı
1000
Ninguno de los t´rminos es realmente igual a 0. Sin embargo, si se avanza lo
e
suficientemente lejos en la sucesi´n (1), se puede asegurar que cada uno de sus t´rminos
o e
diferir´ de cero en tan poco como se quiera.
a
El unico problema con esta explicaci´n es que no queda completamente claro: ¿Qu´
´ o e
tan lejos es “suficientemente lejos”, y qu´ tan poco es “tan poco como se quiera”? Si
e
se puede asignar significado preciso a estas frases entonces se podr´ dar un significado
a
preciso a la relaci´n de l´
o ımite (2).
Una interpretaci´n geom´trica puede contribuir a aclarar la situaci´n. Si se representan
o e o
los t´rminos de la sucesi´n (1) con los puntos correspondientes en la recta num´rica,
e o e
observamos que aqu´llos se aglomeran alrededor punto O. T´mese un intervalo I en la
e o
recta num´rica con centro el punto O y longitud total 2, de manera que el intervalo
e
se extienda una distancia a cada lado del punto O. Si se escoge ε = 10, entonces, por
1
supuesto todos los t´rminos an = de la sucesi´n estar´n dentro del intervalo I. Si se
e o a
n
1
escoge ε = , entonces los primeros t´rminos de la sucesi´n quedar´n fuera de I, pero
e o a
10
todos los t´rminos a partir de a11 :
e
1 1 1 1
, , , ,...,
11 12 13 14
1
quedar´n dentro de I. Incluso si se escoge ε =
a , s´lo los primeros mil t´rminos
o e
1000
de la sucesi´n quedar´n fuera de I, mientras que a partir del t´rmino a 1001, toda
o a e
la infinidad de t´rminos quedar´ dentro de I. Claramente, este razonamiento funciona
e a
para cualquier n´mero positivo ε: tan pronto como se escoge un n´mero positivo ε, no
u u
importa qu´ tan peque˜o sea, podemos entonces encontrar un entero N tan grande que
e n
1
<ε
N

22. 10 Planteamiento y justificaci´n del problema
o
de lo cual se sigue que los t´rminos an de una sucesi´n para los que n ≥ N quedar´n
e o a
dentro de I, y s´lo el n´mero finito de t´rminos a1 , a2 , a3 , . . . , an , an−1 pueden quedar
o u e
fuera.
Resumiendo: Sea ε cualquier n´mero positivo; entonces podemos encontrar un entero N
u
tal que todos los t´rminos an de la sucesi´n (1) para los cuales n ≥ N quedar´n dentro
e o a
del intervalo I de longitud total 2ε y con centro en el punto 0. Este es el significado
preciso de la relaci´n de l´
o ımite (2). El hecho de que una sucesi´n an tiene el l´
o ımite a se
expresa simb´licamente escribiendo:
o
l´m an = a cuando n −→ ∞
ı
O simplemente,
an −→ a cuando n −→ ∞
La definici´n de convergencia de una sucesi´n an al n´mero a puede formularse de
o o u
manera m´s concisa como sigue: La sucesi´n a1 , a2 , a3 , . . ., tiene l´
a o ımite a cuando n
tiende a infinito, si corresponde a cualquier n´mero positivo ε sin importar qu´ tan
u e
peque˜o sea, puede encontrarse un entero N (que depende de ε) tal que |a − an | < ε
n
para todo n ≥ N.
Hasta ahora, se han estudiado las sucesiones y la noci´n de convergencia para ´stas;
o e
una importante aplicaci´n de las sucesiones permite introducir la definici´n de serie
o o
como la suma de todos los t´rminos de una sucesi´n. As´ de manera general, se tiene
e o ı,
que:
∞
∑ an = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .
n=1
A la expresi´n anterior se le llama serie infinita o simplemente serie, los n´meros
o u
a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . se llaman t´rminos de la serie.
e
1.9. El concepto de convergencia
Al sumar una cantidad finita de t´rminos en una serie el resultado es una suma o un
e
n´mero finito, pero ¿qu´ sucede si se intenta sumar una cantidad infinita de t´rminos?
u e e
¿En realidad tiene sentido hablar de sumar un n´mero infinito de t´rminos? Durante
u e
mucho tiempo, los matem´ticos afirmaron que este concepto era rid´
a ıculo.

23. 1.9 El concepto de convergencia 11
Los anteriores interrogantes se remontan a la ´poca de Newton, quien reconoc´ la
e ıa
necesidad de comprobar la convergencia de una serie, ´l era consciente de la importancia
e
de esto pero no ten´ una noci´n precisa del concepto.
ıa o
Para Cauchy no era v´lido afirmar que lo que era cierto para las cantidades finitas
a
tambi´n lo era para las infinitas, en consecuencia planta la necesidad de distinguir
e
entre las series que ten´ suma y las que no, es decir, series convergentes y series
ıan
divergentes.
Es as´ como el nombre de Cauchy aparece hoy relacionado con un gran n´mero de
ı u
teoremas sobre series, debido a que, a pesar de los esfuerzos de Gauss y de Abel, la
conciencia de los matem´ticos se vio espoleada principalmente por Cauchy en lo que se
a
refiere a la necesidad de vigilar la convergencia de las series infinitas. Despu´s de definir
e
una serie convergente como la que verifica la condici´n de que, a valores crecientes de
o
n, la suma Sn de los n primeros t´rminos tiende a un l´
e ımite S, llamado suma de la serie,
Cauchy demuestra que una condici´n necesaria suficiente (e intr´
o ınseca a la serie misma)
para que una serie converja, es la de que, a cada valor de p, la diferencia entre Sn y
Sn+p p tienda hacia cero seg´n crece n indefinidamente. Esta condici´n “intr´
u o ınseca”,
en la que no aparece la posible suma la serie, se conoce con el nombre de criterio de
Cauchy. Retomamos entonces el interrogante que se ha venido abordando a lo largo
del capitulo ¿Tiene sentido hablar de la suma de una cantidad infinita de t´rminos?,
e
observemos lo que ocurre cuando intentamos calcular la suma de la serie:
1+2+3+...+n+...
Al comenzar a sumar los t´rminos, se observa que dicha suma crece tanto como n
e
aumenta, siendo imposible determinar un valor para esta suma.
Pero existen otras series para las cuales es posible encontrar el valor de la suma de sus
infinitos t´rminos, observemos el comportamiento de la siguiente serie:
e
1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + +...+ +...
2 4 8 16 32 64 n
Mediante el siguiente an´lisis se puede observar que a medida que se sumen m´s
a a
t´rminos, m´s se aproxima la suma de dichos t´rminos a 1.
e a e

24. 12 Planteamiento y justificaci´n del problema
o
N´mero de t´rminos n
u e Suma de los primeros n t´rminos
e
∞
1
∑ 2n
i=1
1 0.50000000
2 0.75000000
3 0.87500000
4 0.93750000
5 0.96875000
6 0.98437500
7 0.99218750
10 0.99902344
15 0.99996948
20 0.99999905
25 0.99999997
As´ al sumar suficientes t´rminos de la serie, se pueden aproximar las sumas parciales
ı, e
a 1 tanto como se quieran, en consecuencia ser´ razonable pensar que:
a
∞
1 1 1 1 1 1 1 1
∑ 2n = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + . . . + n + . . . = 1
n=1
La determinaci´n de la convergencia de la anterior serie se puede visualizar mediante
o
procesos de divisiones sucesivas, dado que esta serie posee una componente geom´trica
e
representada mediante ´reas de figuras planas. A continuaci´n se presenta para esta
a o
serie un mecanismo visual-geom´trico, que luego se generalizar´.
e a
Dado el siguiente rect´ngulo:
a

25. 1.9 El concepto de convergencia 13
Si sombreamos la mitad de su ´rea obtenemos que:
a
La regi´n sombreada es la mitad del ´rea del rect´ngulo original, y es tambi´n
o a a e
equivalente al ´rea total del rect´ngulo menos el ´rea sin sombrear, es decir, el ´rea
a a a a
sombreada es:
1 1
1− =
2 2
Si repetimos este proceso en la regi´n que ha quedado sin sombrear, obtenemos una
o
figura como la siguiente:
Donde la regi´n sombreada se podr´ representar:
o a
1 1 1 1 1 1
+ = 1 − o tambi´n + 2 = 1 − 2
e
2 4 4 2 2 2
Si continuamos con este proceso, una vez m´s, obtendr´
a ıamos una figura como esta:

26. 14 Planteamiento y justificaci´n del problema
o
Para la cual la regi´n sombreada se podr´ representar as´
o a ı:
1 1 1 1 1 1 1 1
+ + = 1 − o tambi´n + 2 + 3 = 1 − 3
e
2 4 8 8 2 2 2 2
Si continuamos este proceso de manera indefinida, observamos que para n particiones
la expresi´n correspondiente ser´:
o a
1 1 1 1 1
+ + +...+ n = 1− n
2 4 8 2 2
Adem´s si n, tiende a ser infinito, entonces, de acuerdo con la visualizaci´n se podr´
a o a
afirmar que la suma de las infinitas ´reas es igual al ´rea del rect´ngulo, es decir 1,
a a a
esto es:
1
l´m 1 −
ı =1
n→∞ 2n
Luego,
∞
1
∑ 2n = 1
n=1
∞
Dada una serie ∑ ai = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . ., se denotar´ mediante el s´
a ımbolo Sn
i=1
a su n-´sima suma parcial:
e
n
Sn = ∑ ai = a1 + a2 + a3 + . . . + an
i=1
Si la sucesi´n {Sn } es convergente y si existe el l´m Sn = S
o ı
n→∞
como un n´mero real, entonces la serie
u ∑ an se llama convergente y se escribe:
∞
∑ an = S
n=1
El n´mero S se denomina suma de la serie. Si fuera otro el caso, entonces la serie ser´
u ıa
divergente.

27. 1.10 La serie geom´trica
e 15
1.10. La serie geom´trica
e
Un ejemplo importante de series infinitas, es la serie geom´trica, en la que cada t´rmino
e e
se obtiene a partir del anterior multiplicando por la raz´n com´n r.
o u
∞
Definici´n: La serie dada por
o ∑ arn = a + ar + ar2 + . . . + arn + . . . , a = 0 , se llama
n=0
serie geom´trica de raz´n r.
e o
Consideremos el caso en el que r = 1.
Sn = a + ar + ar2 + . . . + arn−1
Entonces las sumas parciales Sn = a + a + a + . . . + a = na, tiende a ser infinito porque
l´m Sn no existe, luego la serie es divergente en este caso.
ı
n→∞
Si r = ±1, entonces
Sn = a + ar + ar2 + . . . + arn−1
Multiplicando por r obtenemos que:
rSn = ar + ar2 + ar3 + . . . + arn
Restando la segunda ecuaci´n de la primera obtenemos:
o
Sn − rSn = a − arn
En consecuencia, Sn (1 − r) = a(1 − rn ), por lo que la n-´sima suma parcial es:
e
a
Sn = (1 − rn )
1−r
Ahora bien, si 0 < |r| < 1, se sigue que rn −→ 0 cuando n −→ ∞, luego
a a a
l´m Sn = l´m
ı ı (1 − rn ) = l´m
ı ( l´m (1 − rn )) =
ı
n→∞ n→∞ 1 − r n→∞ 1 − r n→∞ 1−r
Lo anterior significa que la serie converge y que su suma es:
∞
a
∑ arn =
1−r
si |r| < 1
n=0

28. 16 Planteamiento y justificaci´n del problema
o
1.10.1. Demostraci´n alternativa (Visual geom´trica)
o e
Otra forma de demostrar el teorema es utilizando la siguiente figura:
´
Esta consta del cuadrado ABCD de lado a y del tri´ngulo rect´ngulo CDE cuya base
a a
tambi´n mide a (Por supuesto recto en C). La hipotenusa DE del tri´ngulo corta al
e a
lado AB del cuadrado en F de forma tal que diste ar unidades del v´rtice B y a-ar
e
unidades del v´rtice A, de acuerdo a la raz´n elegida. Es decir, si se quiere probar la
e o
1 1
convergencia para la serie de raz´n , pues se elegir´ r = y el punto de corte F estar´
o a a
2 2
a a
a unidades del v´rtice B y a unidades del v´rtice A. As´ mismo, si se quiere probar
e e ı
2 2
1 1
la convergencia para la serie de raz´n , pues se elegir´ r = y el punto de corte F
o a
3 3
a 2a
estar´ a unidades del v´rtice B y a
a e unidades del v´rtice A, y as´ sucesivamente.
e ı
3 3
Pero nuestro prop´sito es probar la convergencia de la serie geom´trica para cualquier
o e
raz´n r, tal que 0 < |r| < 1 . Luego, el segmento FB es la base del tri´ngulo FBE, el
o a
cual tiene como longitud ar.
En este nuevo tri´ngulo, trazamos el segmento GH paralelo al segmento FB de tal
a
forma que est´n a ar unidades entre s´ Se puede probar que el segmento GH tendr´
e ı. a
como medida ar 2 unidades, haciendo una semejanza entre los tri´ngulos AFD y IGF.
a
Si se construye un nuevo segmento paralelo a GH y a ar 2 unidades entre s´ vemos
ı,
que medir´ ar3 unidades. Si se hace este proceso sucesivamente, el lado EC medir´
a a

29. 1.11 Nicol´s Oresme
a 17
S = a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + . . . . Por ultimo, la semejanza entre los tri´ngulos AFD y
´ a
S a a
CDE producir´ la igualdad =
a se deduce que S = , que era lo que se quer´
ıa
a a − ar 1−r
demostrar.
En conclusi´n, la serie geom´trica:
o e
∞
∑ arn = a + ar + ar2 + . . . + arn + . . . , con a = 0
n=0
Converge si 0 < |r| < 1, y su suma es:
∞
a
∑ arn =
1−r
, s´
ı 0 < |r| < 1
n=0
Y diverge si |r| ≥ 1.
1.11. Nicol´s Oresme
a
Nicol´s de Oresme naci´ en 1325 y falleci´ en 1382. Fue un matem´tico franc´s que
a o o a e
ejerci´ como maestro en el Colegio de Navarra y fue obispo en Lisieux (nombrado
o
en 1377), dej´ una extensa obra cient´
o ıfica sobre matem´ticas y astronom´ y llev´ a
a ıa o
cabo numerosas traducciones cr´ıticas de las obras de Arist´teles. Aplic´ el c´lculo de
o o a
proporciones y la geometr´ al estudio del movimiento y, en cosmolog´ rebati´ los
ıa ıa, o
argumentos aristot´licos en contra de la posibilidad de rotaci´n de la tierra sobre su
e o
eje.
Este singular escol´stico y te´logo de la edad media fue famoso por la genialidad
a o
y la modernidad de sus gustos cient´ ıficos y culturales. Cultivador de la “geometr´ ıa
especulativa” en el Tratado de la latitud de las formas, en el algoritmo de las
proporciones, en el De difformitate quantitatum (1370) y en otros trabajos todav´ ıa
in´ditos, anticip´ muchos aspectos de la matem´tica moderna, como la representaci´n
e o a o
anal´ıtica de las variaciones intensivas mediante el m´todo de las coordenadas, el
e
tratado de los irracionales mediante potencias con exponente fraccionario y el espacio
cuatridimensional. Como f´ ısico, consider´ posible el movimiento diurno de la tierra.
o
Oresme tambi´n contribuy´ al estudio de las series, y a ´l se le debe la hermosa
e o e
demostraci´n de la divergencia de la serie arm´nica; Oresme demostr´ de manera
o o o
inteligible y sencilla a trav´s de procedimientos gr´ficos que la serie arm´nica es
e a o
divergente, “su demostraci´n es la primera de este tipo evidentemente en toda la historia
o
de la matem´tica”.
a

30. 18 Planteamiento y justificaci´n del problema
o
1.12. La serie arm´nica
o
∞
1 1 1 1 1
La serie arm´nica est´ dada por la expresi´n
o a o ∑ n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . , donde
n=1
los t´rminos de esta serie son los rec´
e ıprocos de los n´meros naturales.
u
En la siguiente tabla se analiza el comportamiento de la serie arm´nica y se puede
o
observar que a medida que se suman m´s t´rminos no es posible conjeturar un resultado
a e
para dicha suma. La serie arm´nica no s´lo diverge, sino que lo hace muy lentamente.
o o
N´mero de t´rminos n
u e Suma de los primeros n t´rminos
e
n
1
∑i
i=1
1 1,00000
2 1,50000
3 1,83333
4 2,08333
5 2,28333
6 2,45000
7 2,59286
8 2,71786
9 2,82897
10 2,92897
12 3,01988
13 3,18013
14 3,25156
15 3,31823
El incremento en el decimoquinto t´rmino es s´lo de 0.06666 y el ritmo del incremento
e o
sigue disminuyendo conforme se incrementa el n´mero de t´rminos.
u e
La demostraci´n de la divergencia de la serie arm´nica dada por Nicolas Oresme,
o o
consisti´ en agrupar t´rminos y usar desigualdades, as´
o e ı:
S1 = 1
1
S2 = 1 +
2
1 1 1 1 1 1 2
S4 = 1 + + ( + ) > 1 + + ( + ) = 1 +
2 3 4 2 4 4 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
S8 = 1 + + ( + ) + ( + + + ) > 1 + + ( + ) + ( + + + )
2 3 4 5 6 7 8 2 4 4 8 8 8 8
1 1 1 3
S8 = 1 + + + = 1 +
2 2 2 2

31. 1.13 Los procesos de visualizaci´n y el concepto de convergencia
o 19
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
S16 = 1 + + ( + ) + ( + . . . + ) + ( + . . . + ) > 1 + + ( + ) + ( + . . . + ) +
2 3 4 5 8 9 16 2 4 4 8 8
1 1
( +...+ )
16 16
1 1 1 1 4
S16 = 1 + + + + = 1 +
2 2 2 2 2
5 6 n
De igual forma, S32 > 1 + y S64 > 1 + y en general S2n > 1 + .
2 2 2
Esto demuestra que S2n −→ ∞ cuando n −→ ∞ y entonces {S2n } es divergente. Por tanto,
la serie arm´nica diverge.
o
1.13. Los procesos de visualizaci´n y el concepto de
o
convergencia
En el presente trabajo de investigaci´n, se destaca la importancia de elegir series de
o
t´rminos positivos que puedan ser representadas mediante figuras de ´reas planas, de
e a
manera particular se trabaja con rect´ngulos, dispuestos como escaleras; es importante
a
aclarar que se llamar´ escalera a la disposici´n de rect´ngulos de izquierda a derecha,
a o a
de forma tal que cada rect´ngulo tenga igual base y est´ uno contiguo al otro en forma
a e
horizontal. Si cada rect´ngulo tiene mayor altura que el inmediatamente anterior se
a
denominar´ escalera creciente, si se compone de infinitos rect´ngulos, escalera infinita
a a
creciente. Si por el contrario, cada rect´ngulo tiene menor altura que el inmediatamente
a
anterior, se denominar´ escalera decreciente, si se compone de infinitos rect´ngulos,
a a
escalera infinita decreciente. As´ mismo, se llamar´ ´rea de una escalera a la suma
ı a a
de las ´reas de los rect´ngulos que la conforman y la raz´n de una escalera ser´ el
a a o a
cociente entre las ´reas de un rect´ngulo y el inmediatamente anterior.
a a
Debido a que el presente trabajo retoma el problema de Oresme, se mostrar´ c´mo la
a o
visualizaci´n favorece la determinaci´n de las condiciones para la convergencia de una
o o
serie infinita.
Recordemos que para un rect´ngulo de ´rea 1 unidad cuadrada, dividido a la mitad
a a
de manera sucesiva, se encuentra que la suma de las infinitas areas es igual al ´rea del
´ a
∞
1
rect´ngulo inicial, esto es: ∑ n = 1, de manera particular dicho rect´ngulo tiene raz´n
a a o
n=1 2
1 1
y es posible disponerlo como una escalera infinita decreciente de raz´n , como lo
o
2 2
indica la figura:

32. 20 Planteamiento y justificaci´n del problema
o
Es claro que si ambas figuras son equivalentes entonces el ´rea de la escalera infinita
a
decreciente tambi´n ser´ igual a 1.
e a
La anterior representaci´n geom´trica es un caso especial de la serie geom´trica, donde
o e e
1 1
a = y r = , aqu´ tambi´n se puede deducir que para estos valores, la expresi´n
ı e o
2 2
a
S= = 1.
1−r
∞ ∞
1 n 1
La escalera de raz´n , ayud´ a Oresme a demostrar que ∑ n = ∑ n .
o o
2 n=1 2 n=0 2
Oresme tom´ una escalera cuyo escal´n inicial tiene como area una unidad cuadrada y
o o ´
cada escal´n tiene como base 1 y su altura duplica la altura del escal´n inmediatamente
o o
a su derecha. Como se muestra a continuaci´n:
o
1 1 1 1 1
Para esta escalera su ´rea es igual a 1 + + 2 + 3 + 4 + . . . + n + . . . = 2, utilizando
a
2 2 2 2 2
1
los resultados obtenidos al estudiar la escalera de raz´n .
o
2
La anterior escalera tambi´n puede dividirse como se indica a continuaci´n:
e o

33. 1.13 Los procesos de visualizaci´n y el concepto de convergencia
o 21
Y para este caso las sumas de sus ´reas corresponden a
a
1 1 1 1 1
+2 2 +3 3 +4 4 +...+n n
2 2 2 2 2
Dado que ambas representaciones son equivalentes se puede establecer que:
Lo cual implica tambi´n que las siguientes expresiones sean equivalentes:
e
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1+ + 2 + 3 + 4 +...+ n +... = +2 2 +3 3 +4 4 +...+n n +...
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Y esto a su vez implica que:
∞ ∞
1 n
∑ 2n = ∑ 2n .
n=0 n=1
Cabe anotar que en este mecanismo existe un concepto impl´ ıcito de gran importancia,
el de la raz´n de una serie geom´trica. As´ para una escalera que tenga raz´n menor que
o e ı o
1, no ser´ posible construir una escalera infinita creciente. “Las escaleras ejemplifican la
a
naturaleza de un proceso de razonamiento infinito con plausible resultado final finito,
en lo que al concepto de ´rea se refiere”.
a

34. 22 Planteamiento y justificaci´n del problema
o
A continuaci´n se presentar´ el an´lisis realizado por Oresme para la serie arm´nica,
o a a o
mediante la denominada escalera arm´nica, donde el ´rea de esta escalera ser´ igual a
o a a
la suma de la serie arm´nica:
o
∞
1 1 1 1 1
∑ n = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 +...
n=1
Para esta serie la escalera arm´nica es:
o
1
Haciendo el mismo tratamiento que se hizo con las escaleras de raz´n , se dividir´ la
o a
2
escalera arm´nica de una manera alternativa, como se indica a continuaci´n:
o o
Para la anterior escalera el ´rea es:
a
1 2 3 4 5
+ + + + ...
2 6 12 20 30
Obs´rvese que de esta manera el ´rea de la misma escalera resultar´ de la sumatoria:
e a ıa
∞
1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1
+ + + + ... = + + + + ... = ∑
2 6 12 20 30 2 3 4 5 6 n=1 n + 1
Es decir, suponiendo que el ´rea existe, estas dos son iguales y por transitividad se
a
obtiene que:
∞ ∞
1 1
∑n =∑
n=1 n=1 n + 1

35. 1.13 Los procesos de visualizaci´n y el concepto de convergencia
o 23
Que es lo mismo que:
∞ ∞
1 1
∑n =∑
n=1 n=2 n
Ahora, si suponemos que esta igualdad es correcta, entonces tambi´n ser´ correcta la
e ıa
∞ ∞
1 1
igualdad 1 + ∑ = ∑ , de donde se deduce que 1 = 0, lo cual es una contradicci´n. o
n=2 n n=2 n
Se puede concluir entonces, que el procedimiento visual-geom´trico que realiza Oresme
e
1
con la escalera de raz´n , no es correcto para la escalera arm´nica, pues se tendr´
o o ıa
2
que agregar como hip´tesis que la escalera a la cual se le aplica el procedimiento tiene
o
´rea.
a
1
Se puede observar que a diferencia de la escalera de raz´n , la escalera arm´nica no
o o
2
tiene raz´n y ser´ posible disponerla como una escalera infinita creciente, de manera
o a
tal que sobre el tercer rect´ngulo se coloque el cuarto, y sobre el quinto, el sexto, el
a
s´ptimo y el octavo rect´ngulo (sin superponerlos) y as´ sucesivamente, obteniendo la
e a ı
siguiente figura:
Tomemos los rect´ngulos de la escalera arm´nica, tal que la suma del tercer y cuarto
a o
rect´ngulos sobrepasa el ´rea del segundo rect´ngulo; la suma de las ´reas desde el
a a a a
quinto rect´ngulo hasta el octavo sobrepasan el ´rea de la suma de los dos anteriores y
a a
por ende la del segundo rect´ngulo; as´ mismo, la suma de las ´reas de los rect´ngulos
a ı a a
noveno a decimosexto sobrepasa el ´rea de los cuatro anteriores, y as´ sucesivamente,
a ı
esto corresponde a la visualizaci´n geom´trica de la prueba que realiz´ Oresme para
o e o
demostrar la divergencia de la serie arm´nica.
o

36. 24 Planteamiento y justificaci´n del problema
o
Cabe anotar que en este estudio, los estudiantes deber´n, a lo largo de su proceso de
a
razonamiento, determinar las condiciones para decidir cu´ndo una escalera tiene ´rea
a a
y cuando no. Es decir, deber´ afirmar sin vacilaciones que:
a
Toda escalera infinita decreciente que tenga raz´n, tiene area.
o ´
Toda escalera infinita decreciente que tenga raz´n no es posible disponerla de
o
manera creciente.
Toda escalera infinita que tenga ´rea no es posible disponerla de manera creciente.
a

37. Cap´tulo
ı 2
Marco Te´rico
o
2.1. Educaci´n matem´tica
o a
E
l campo de la educaci´n matem´tica ha inquietado profundamente tanto a
o a
expertos en el ´rea como a pedagogos, sic´logos y soci´logos; la necesidad de
a o o
lograr una mayor compresi´n en los procesos de ense˜anza y aprendizaje, as´
o n ı
como alcanzar mayor eficacia en la docencia de las matem´ticas, constituyen
a
las mayores inquietudes de los investigadores.
El campo de la investigaci´n en educaci´n matem´tica se puede clasificar en te´rica y
o o a o
pr´ctica. Las investigaciones te´ricas centran sus esfuerzos en los procesos y capaci-
a o
dades de razonamiento, estrategias de ense˜anza, niveles de comprensi´n, obst´culos
n o a
en el aprendizaje y formaci´n o modificaciones de redes conceptuales. En cuanto a las
o
investigaciones pr´cticas, Guti´rrez (1991) se˜ala: “En este tipo de trabajos se trata de
a e n
estudiar alg´n tema en particular de la ense˜anza o el aprendizaje de las matem´ticas,
u n a
analizando los procesos de aprendizaje de los estudiantes, sus dificultades y errores en
el desarrollo de un m´todo de ense˜anza, entre otros”.
e n
El presente trabajo de investigaci´n se encuentra enmarcado dentro de la Educaci´n
o o
Matem´tica, la cual puede concebirse como un sistema social heterog´neo y complejo,
a e
que incluye teor´ desarrollo y pr´ctica relativa a la ense˜anza y aprendizaje de las
ıa, a n
matem´ticas; en este sistema se distinguen dos campos:
a
i. La acci´n pr´ctica reflexiva sobre el proceso de ense˜anza y aprendizaje de las
o a n
matem´ticas. Este es el campo propio del profesor y se realiza principalmente en
a
las instituciones escolares.