Apresentação sobre homomorfismo de grupos - Aplicações - Cubo de Rubik
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Apresentação sobre homomorfismo de grupos - Aplicações - Cubo de Rubik

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Apresentação sobre homomorfismo de grupos - Aplicações - Cubo de Rubik Presentation Transcript

  • 1. Aplicações do Homomorfismocubo de rubik
    Professor Edinei Reis
  • 2. Problema – Resolver o Cubo de Rubik ou Cubo Mágico
    Podemos utilizar a teoria dos grupos para resolver o Cubo de Rubik.

  • 3. Notação de Singmaster
    • A cada face é atribuída uma letra que a identifica.
    • 4. U – Up
    • 5. F - Front
    • 6. R - Right
    • 7. D - Down
    • 8. B - Back
    • 9. L - Left
  • Movimentos do Cubo
    K representa a rotação de 90º da face K no sentido dos ponteiros do relógio.
    K-1 a rotação da face K de 90º no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio
    Rotação R
  • 10. Rotações do Cubo
    São permutações do conjunto dos “cubinhos”.
    Executar rotações sucessivamente corresponde a compor essas permutações.
    RU-1 e U-1R não correspondem ao mesmo rearranjo do cubo, já que a composição de funções não é, em geral, comutativa.
  • 11. Rotações do Cubo
    RU-1:
    R =>
    U-1 =>
    U-1R:
    U-1=>
    R =>
    Permutação é uma bijeção, de um conjunto finito nele mesmo.
  • 12. Permutações
    O conjunto de todas as permutações das facetas do Cubo de Rubik é um grupo, bem grande e complexo (mas não é infinito).
    O conjunto de todas as permutações das facetas do Cubo de Rubik forma um grupo R chamado Grupo de Rubik.
  • 13. Permutações – Ciclos
    Um ciclo pode ser pensado como uma série de transições de estado que acaba por retornar ao estado inicial.
    S1 -> S2 -> ... -> Sn -> S1
    Aplicação de ciclos no cubo
    Macro S = L2F2 => Software Rubik
  • 14. Curiosidade
    O tamanho deste grupo R é de 4 x 1019 elementos. E existe uma afirmação interessante antes de ser conhecido este número:
    “A Companhia de Brinquedos Ideal afirmava na caixa do Cubo Mágico original que ele poderia atingir mais de três bilhões de possíveis configurações. Isto é o mesmo que o McDonald’s orgulhosamente anunciar que eles já venderam mais de 120 hamburgers”.
    J. A. Paulos, Innumeracy
  • 15. O grupo Zn
    • O conjunto Zn = {0, 1, ... , n-1} forma um grupo comutativo se definirmos a operação +, ou seja, a + b.
    • 16. Zn é um grupo cíclico. Temos, por exemplo, Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, que é um grupo cíclico finito.
  • O grupo Z6
    No grupo Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} vale a seguinte propriedade:
  • 17. Homomorfismo de Grupos
    Uma função y: G  H é um homomorfismo de grupos se y(1) = 1 e para todo g, h  G, y(g  h) = y(g)  y(h).
    Vimos também que se y é bijetora (isto é injetora e sobrejetora), dizemos que y é uma isomorfismo () de grupos.
  • 18. Homomorfismo no Cubo de Rubik
    Seja a função y: Z6 R definida por y(k) = (FFLL)k é um homomorfismo injetor de grupos.
    Sua imagem é o subgrupo H = F2L2. Portanto HZ6.
  • 19. Homomorfismo no Cubo de Rubik
    Ao aplicarmos a macro y(k) = (FFLL)k, observamos que o Grupo de Rubik com k = 6 é homomorfo a Z6.
    Ou seja, se executarmos a macro FFLL ou F2L2 seis vezes, o cubo volta ao seu estado original.
    As macros F2U2, D2R2, L2B2 são similares à função y(k) = (FFLL)k, também com k = 6.
  • 20. Homomorfismo no cubo de Rubik
    As macros L2R2B2L2D2R2 e
    R-1UR-1BRU-1R-1LU-1L-1UB-1RR também com k = 6, volta o cubo ao seu estado original.
    Podemos utilizar o software RUBIK para fazer as iterações e descobrir a ordem de uma macro.
  • 21. Homomorfismo no cubo de Rubik
    Por exemplo, a macro F tem ordem 4 e, a macro B2F2R2 também tem ordem 4, ou seja, o grupo de Rubik com a função y(k) = (F) ou g(k) = (B2F2R2) com k = 4 é homomorfo a Z4.
  • 22. Outra aplicação dos homomorfismos de grupos no cubo de Rubik
    Grupo das Fatias F:
  • 23. Grupo das Fatias F:
    O grupo das fatias F é o subgrupo de R gerado pelos movimentos F*, D* e R*, ou seja:
    F = F*; D*; R*
  • 24. Possíveis Generalizações
    • Podem considerar-se os outros sólidos platônicos (sólidos convexos cujas faces planares são polígonos regulares com o mesmo número de arestas e tais que cada vértice é vértice do mesmo número de faces).
    • 25. Os movimentos acima considerados para resolver o cubo, quase não precisam de mudanças para resolver problemas análogos com os sólidos platônicos [Turner, E. e Gold, K., Rubik's groups Am. Math. (1985)]
  • 26.
  • 27.
  • 28. Referências
    SCHÜTZER, Waldeck. Aprendendo Álgebra com o Cubo Mágico. Uberlândia, 2005. V Semana de Matemática da UFU. Disponível em <http://www.dm.ufscar.br/˜waldeck>. Acesso em 05 nov. 2008.
    DELGADO, Manuel. Seminário sobre o cubo de Rubik. Portugal. Disponível em <http://www.fc.up.pt/cmup/mdelgado/cubo/seminario>. Acesso em 05 nov. 2008.
    Imagens
    http://www.cuboloco.com
    Aplicações do Homomorfismo - Cubo de Rubik by Edinei Reis is licensed under a Creative Commons Atribuição-Uso Não-Comercial-Compartilhamento pela mesma Licença 2.5 Brasil License. Based on a work at www.edineireis.com.