10. Rotações do Cubo São permutações do conjunto dos “cubinhos”. Executar rotações sucessivamente corresponde a compor essas permutações. RU-1 e U-1R não correspondem ao mesmo rearranjo do cubo, já que a composição de funções não é, em geral, comutativa.
11. Rotações do Cubo RU-1: R => U-1 => U-1R: U-1=> R => Permutação é uma bijeção, de um conjunto finito nele mesmo.
12. Permutações O conjunto de todas as permutações das facetas do Cubo de Rubik é um grupo, bem grande e complexo (mas não é infinito). O conjunto de todas as permutações das facetas do Cubo de Rubik forma um grupo R chamado Grupo de Rubik.
13. Permutações – Ciclos Um ciclo pode ser pensado como uma série de transições de estado que acaba por retornar ao estado inicial. S1 -> S2 -> ... -> Sn -> S1 Aplicação de ciclos no cubo Macro S = L2F2 => Software Rubik
14. Curiosidade O tamanho deste grupo R é de 4 x 1019 elementos. E existe uma afirmação interessante antes de ser conhecido este número: “A Companhia de Brinquedos Ideal afirmava na caixa do Cubo Mágico original que ele poderia atingir mais de três bilhões de possíveis configurações. Isto é o mesmo que o McDonald’s orgulhosamente anunciar que eles já venderam mais de 120 hamburgers”. J. A. Paulos, Innumeracy
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17. Homomorfismo de Grupos Uma função y: G H é um homomorfismo de grupos se y(1) = 1 e para todo g, h G, y(g h) = y(g) y(h). Vimos também que se y é bijetora (isto é injetora e sobrejetora), dizemos que y é uma isomorfismo () de grupos.
18. Homomorfismo no Cubo de Rubik Seja a função y: Z6 R definida por y(k) = (FFLL)k é um homomorfismo injetor de grupos. Sua imagem é o subgrupo H = F2L2. Portanto HZ6.
19. Homomorfismo no Cubo de Rubik Ao aplicarmos a macro y(k) = (FFLL)k, observamos que o Grupo de Rubik com k = 6 é homomorfo a Z6. Ou seja, se executarmos a macro FFLL ou F2L2 seis vezes, o cubo volta ao seu estado original. As macros F2U2, D2R2, L2B2 são similares à função y(k) = (FFLL)k, também com k = 6.
20. Homomorfismo no cubo de Rubik As macros L2R2B2L2D2R2 e R-1UR-1BRU-1R-1LU-1L-1UB-1RR também com k = 6, volta o cubo ao seu estado original. Podemos utilizar o software RUBIK para fazer as iterações e descobrir a ordem de uma macro.
21. Homomorfismo no cubo de Rubik Por exemplo, a macro F tem ordem 4 e, a macro B2F2R2 também tem ordem 4, ou seja, o grupo de Rubik com a função y(k) = (F) ou g(k) = (B2F2R2) com k = 4 é homomorfo a Z4.
22. Outra aplicação dos homomorfismos de grupos no cubo de Rubik Grupo das Fatias F:
23. Grupo das Fatias F: O grupo das fatias F é o subgrupo de R gerado pelos movimentos F*, D* e R*, ou seja: F = F*; D*; R*
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28. Referências SCHÜTZER, Waldeck. Aprendendo Álgebra com o Cubo Mágico. Uberlândia, 2005. V Semana de Matemática da UFU. Disponível em <http://www.dm.ufscar.br/˜waldeck>. Acesso em 05 nov. 2008. DELGADO, Manuel. Seminário sobre o cubo de Rubik. Portugal. Disponível em <http://www.fc.up.pt/cmup/mdelgado/cubo/seminario>. Acesso em 05 nov. 2008. Imagens http://www.cuboloco.com Aplicações do Homomorfismo - Cubo de Rubik by Edinei Reis is licensed under a Creative Commons Atribuição-Uso Não-Comercial-Compartilhamento pela mesma Licença 2.5 Brasil License. Based on a work at www.edineireis.com.
