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    Calculo Calculo Document Transcript

    • C´lculo para la ingenier´ a ıa Salvador Vera 9 de enero de 2005
    • ii Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.
    • ´Indice general1. Conceptos b´sicos a 1 1.1. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Orden, desigualdades e intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Valor absoluto y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. El plano y el espacio cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1. Sistema rectangular de coordenadas cartesianas . . . . . . . . 15 1.2.2. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3. El c´ ırculo y la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2. Representaci´n de funciones . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 26 1.3.3. Dominio impl´ ıcito de una funci´n . . . . . . . . . . . . o . . . . 30 1.3.4. Restricciones y extensiones de funciones . . . . . . . . . . . . 32 1.3.5. Composici´n de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 32 1.3.6. Funciones inyectivas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.3.7. Funciones suprayectivas y biyectivas . . . . . . . . . . . . . . 43 1.3.8. Im´genes directa e inversa de un conjunto . . . . . . . a . . . . 43 1.3.9. Funciones pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.3.10. La funci´n valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 45 1.4. L´ ımite de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.4.1. C´lculo de l´ a ımites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.4.2. Sucesiones mon´tonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 54 1.5. L´ ımite y continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.5.1. Definici´n de l´ o ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.5.2. L´ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.5.3. Propiedades de los l´ ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.5.4. Continuidad de una funci´n en un punto . . . . . . . . o . . . . 66 1.5.5. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . 68 1.5.6. L´ımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1.5.7. L´ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.5.8. T´cnicas elementales para el c´lculo de l´ e a ımites . . . . . . . . 78 1.5.9. Infinit´simos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . 82 1.5.10. Infinit´simos m´s frecuentes en z → 0 . . . . . . . . . e a . . . . 83 1.6. Funciones hiperb´licas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 85 1.6.1. Coseno y seno hiperb´lico . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 85 1.6.2. F´rmula fundamental de la Trigonometr´ hiperb´lica o ıa o . . . . 86 1.6.3. Significado del t´rmino “hiperb´licas”. . . . . . . . . . e o . . . . 86 iii
    • iv ´ INDICE GENERAL 1.6.4. Otras razones hiperb´licas . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 87 1.6.5. F´rmulas del ´ngulo doble . . . . . . o a . . . . . . . . . . . . . . 87 1.6.6. El cuadrado del senh y del cosh . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.6.7. Gr´fica de las funciones hiperb´licas a o . . . . . . . . . . . . . . 88 1.6.8. Funciones hiperb´licas inversas . . . o . . . . . . . . . . . . . . 89 1.6.9. Identidad hiperb´lica . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 90 1.6.10. F´rmula logar´ o ıtmica de las funciones hiperb´licas o inversas . . 90 1.7. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912. Funciones de varias variables: L´ ımites 93 2.1. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.1.2. Dominio de una funci´n de varias variables . . . . . . . . o . . 97 2.1.3. Operaciones con funciones de varias variables. . . . . . . . . . 102 2.1.4. Composici´n de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . 104 2.1.5. Gr´fica de una funci´n de dos variables . . . . . . . . . . a o . . 110 2.1.6. Otras representaciones de las funciones de varias variables . . 118 2.2. L´ ımite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.2.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . 119 2.2.2. Entorno de un punto en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.2.3. L´ımite y continuidad en dos variables . . . . . . . . . . . . . 121 2.2.4. L´ımite de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . 123 2.2.5. Comprobando l´ ımites aplicando la definici´n . . . . . . . o . . 126 2.2.6. C´lculo de l´ a ımites mediante operaciones algebraicas . . . . . 130 2.2.7. Teorema del encaje y de la acotaci´n . . . . . . . . . . . . o . . 132 2.2.8. Infinit´simos equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . 133 2.2.9. Inexistencia de l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 2.2.10. L´ ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 2.3. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463. Derivada de Funciones de una variable 149 3.1. Derivada y continuidad. Tangente y normal . . . . . . . . . . . . . . 149 3.1.1. Idea intuitiva de recta tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3.1.2. Rectas tangentes no intuitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 3.1.3. La pendiente de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . 152 3.1.4. Definici´n de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 152 3.1.5. Otra forma de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 3.1.6. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 3.1.7. Derivada y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3.1.8. Significado gr´fico de la derivada: Suavidad. . . . . . . . . . a . 156 3.1.9. La ecuaci´n de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . o . 156 3.1.10. La ecuaci´n de la recta normal . . . . . . . . . . . . . . . . o . 158 3.1.11. Curvas de tangente horizontal y curvas de tangente vertical . 158 3.2. Funci´n derivada. reglas de derivaci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . o o . 159 3.2.1. Funci´n derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 159 3.2.2. Reglas de derivaci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 160 3.2.3. Derivadas de funciones con un punto aparte . . . . . . . . . . 162 3.2.4. Derivada de funciones definidas a trozos . . . . . . . . . . . . 164 3.2.5. Derivaci´n de funciones impl´ o ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . 166 3.2.6. Derivaci´n logar´ o ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
    • ´INDICE GENERAL v 3.2.7. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 3.2.8. Aproximaci´n lineal y notaci´n diferencial . . . . . . . . . . . o o 170 3.3. L´ ımite de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 3.3.1. Infinit´simos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 172 3.3.2. Infinit´simos m´s frecuentes en z → 0 . . . . . . . . . . . . . e a 172 3.3.3. Formas indeterminadas. Reglas de L’Hˆpital. . . . . . . . . . o 173 3.4. L´ ımite de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 3.5. Estudio local de funciones. Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . 183 3.5.1. Introducci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 183 3.5.2. Algunas propiedades de los polinomios . . . . . . . . . . . . . 184 3.5.3. Polinomio de Taylor de una funci´n no polin´mica . . . . . . o o 187 3.5.4. Polinomio de Taylor de las funciones elementales . . . . . . . 189 3.5.5. Resto de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 3.5.6. Aplicaciones de la f´rmula de Taylor a c´lculos aproximados . o a 193 3.5.7. Aplicaciones de la F´rmula de Taylor al c´lculo de l´ o a ımites . . 195 3.6. Extremos de funciones de una sola variable . . . . . . . . . . . . . . 196 3.6.1. M´ximos y m´ a ınimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 3.6.2. M´ximos y m´ a ınimos relativos o locales . . . . . . . . . . . . . 200 3.6.3. Determinaci´n de funciones conocidos sus puntos cr´ o ıticos . . 203 3.6.4. Problemas de aplicaci´n de m´ximos y m´ o a ınimos . . . . . . . . 204 3.7. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2084. Derivaci´n de funciones multivariables o 211 4.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 4.1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . 211 4.1.2. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . 212 4.1.3. La funci´n derivada parcial . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . 214 4.1.4. Funciones de m´s de dos variables . . . . . . . . . . a . . . . . 216 4.1.5. Raz´n de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . 218 4.1.6. Interpretaci´n geom´trica de las derivadas parciales o e . . . . . 219 4.1.7. Continuidad y derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . 220 4.2. Derivadas parciales de ´rdenes superiores . . . . . . . . . . o . . . . . 222 4.3. Derivadas direccionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 4.3.1. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 4.3.2. Derivada direccional y derivadas parciales . . . . . . . . . . . 231 4.4. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 4.4.1. Generalizaci´n del concepto de diferenciabilidad . . o . . . . . 233 4.4.2. Diferenciabilidad y derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . 237 4.4.3. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 4.4.4. Diferenciabilidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 4.4.5. Diferenciabilidad de funciones de n variables . . . . . . . . . 243 4.4.6. Condici´n suficiente para la diferenciabilidad . . . . o . . . . . 244 4.4.7. Caracterizaci´n de las funciones diferenciables . . . . o . . . . . 246 4.4.8. Diferenciabilidad y derivadas direccionales . . . . . . . . . . . 248 4.4.9. La derivada seg´n una direcci´n curva . . . . . . . . u o . . . . . 249 4.5. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 4.5.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . 249 4.5.2. Vector gradiente y derivada direccional . . . . . . . . . . . . . 251 4.5.3. Gradiente y curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
    • vi ´ INDICE GENERAL 4.6. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 4.6.1. Vectores normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 4.6.2. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 4.6.3. Recta tangente y plano normal a una curva en el espacio . . . 261 4.6.4. La diferencial como aproximaci´n del incremento . . . . . . o . 263 4.7. Funciones vectoriales y matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . 268 4.7.1. Funciones vectoriales de variable vectorial . . . . . . . . . . . 268 4.7.2. Continuidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . 269 4.7.3. Derivadas parciales de funciones vectoriales . . . . . . . . . . 271 4.7.4. Funciones vectoriales diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . 272 4.8. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 4.8.1. Funciones compuestas, inversas e impl´ ıcitas de una variable . 276 4.8.2. Composici´n de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . o . 277 4.8.3. Regla de la cadena. Perspectiva te´rica: Diferencial . . . . . o . 280 4.8.4. Regla de la cadena. Perspectiva pr´ctica: Parciales . . . . . a . 282 4.8.5. Regla de la cadena. Perspectiva general: Matriz jacobiana . . 290 4.9. Funciones impl´ ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 4.9.1. Funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 4.9.2. Funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 4.10. Extremos de las funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . 305 4.10.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 305 4.10.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 4.10.3. Estudio de la naturaleza de los puntos cr´ ıticos . . . . . . . . 307 4.10.4. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange . 315 4.10.5. M´ximos y m´ a ınimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 4.11. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3265. Integral definida. C´lculo de primitivas a 329 5.1. La estimaci´n de un area. Sumas de Riemann. . . . . . . . . o ´ . . . . 329 5.1.1. Significado geom´trico de la integral . . . . . . . . . . e . . . . 329 5.1.2. C´lculo de l´ a ımites utilizando el concepto de integral . . . . . 334 5.1.3. Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . 340 5.2. El teorema fundamental del C´lculo . . . . . . . . . . . . . . a . . . . 343 5.2.1. Regla de Barrow: La integral como una primitiva . . . . . . . 347 5.3. Integraci´n inmediata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 350 5.3.1. Propiedades de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . 350 5.3.2. Tabla de integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 5.4. Integraci´n mediante cambio de variable . . . . . . . . . . . . o . . . . 352 5.5. Integraci´n por partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 356 5.6. Integraci´n de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 359 5.6.1. Integraci´n de fracciones elementales . . . . . . . . . . o . . . . 359 5.6.2. Integraci´n mediante desarrollo en fracciones simples . o . . . . 360 5.7. Integraci´n de expresiones trigonom´tricas . . . . . . . . . . . o e . . . . 367 5.7.1. Integraci´n de potencias de funciones trigonom´tricas o e . . . . 367 5.7.2. Integraci´n de funciones racionales del sen y del cos . o . . . . 369 5.8. Integraci´n de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 371 5.8.1. Radicales semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 5.8.2. La sustituci´n trigonom´trica . . . . . . . . . . . . . . o e . . . . 372 5.9. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
    • ´INDICE GENERAL vii6. Aplicaciones de la integral. 377 6.1. C´lculo del area de una figura plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . a ´ . 377 6.2. C´lculo del volumen de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . 380 6.2.1. Volumen de un cuerpo cualquiera: M´todo de secciones . . e . 380 6.2.2. Volumen de un s´lido de revoluci´n: M´todo de discos . . . o o e . 381 6.2.3. Volumen de un s´lido de revoluci´n: M´todo de los cilindros o o e . 381 6.3. L´ ımite de sumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 6.4. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388Soluciones a los ejercicios y problemas propuestos 389Bibliograf´ ıa 393´Indice alfab´tico e 394 Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.
    • Cap´ ıtulo 1Conceptos b´sicos a1.1. La recta realSuponemos conocidos los n´meros reales, as´ como su representaci´n en la u ı orecta real. Los n´meros reales se pueden representar mediante expresiones deci- umales finitas o infinitas. Si la expresi´n decimal es finita o peri´dica infinita, o oentonces el n´mero real se puede expresar como el cociente de dos n´ meros u uenteros y se dice que el n´mero real es racional. Rec´ u ıprocamente cualquiern´mero racional (cociente de dos enteros) se puede expresar mediante una uexpresi´n decimal finita o infinita peri´dica. Cuando la expresi´n decimal o o otiene infinitas cifras que no se repiten de manera peri´dica se dice que el on´mero real es irracional. u Los n´meros reales admiten una representaci´n geom´trica en una recta. u o eEn dicha representaci´n cada n´mero real se representa por un solo punto o ude la recta y cada punto de la recta representa un solo n´mero real. En con- usecuencia, hablaremos indistintamente de n´mero o de punto. Por convenio, ulos n´meros positivos se representan a la derecha del cero y los negativos a ula izquierda. Se llama recta real a una recta en la que se han representadolos n´meros reales. u −3 −2 −1 0 1 2 3 −1 √ π 2 2 Figura 1.1: La recta real1.1.1. Orden, desigualdades e intervalosDefinici´n 1.1 (N´ meros positivos y n´ meros negativos). o u u1) Para cada n´mero real, a, est´ definida una y s´lo una de las siguientes u a orelaciones: 1
    • 2 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS a) a es mayor que cero (es positivo), a > 0; b) a es igual a cero, a = 0; c) a es menor que cero (es negativo), a < 0.2) Si a y b son n´meros positivos, entonces: u a) Su suma es positiva, a + b > 0. b) Su producto es tambi´n positivo, ab > 0. eDefinici´n 1.2 (Orden en la recta real). Dados dos n´meros reales a y o ub. Se dice que a es menor que b y se denota a < b, si b − a es positivo. a<b ⇔ b−a>0Si a es menor que b, tambi´n se dice que b es mayor que a y se escribe b > a e ımbolo a ≤ b significa que a es menor o igual que b. El s´ Si a < b, entonces a se representa en la recta a la izquierda de b.Proposici´n 1.1 (Propiedades de las desigualdades). Si a, b, c y d oson n´meros reales, se tiene: u 1. Transitiva: Si a < b y b < c, entonces a < c 2. Aditiva: Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d a+c<b+c 3. Si a < b, entonces, para cualquier n´mero real c u a−c<b−c 4. Si a < b y p > 0, entonces ap < bp 5. Si a < b y n < 0, entonces an > bnNota: En consecuencia, podemos decir que con las desigualdades se pueden realizar lasmismas transformaciones que con las igualdades, salvo que al multiplicar o dividir, ambosmiembros, por un n´ mero negativo hay que invertir el sentido de la desigualdad. As´ u ı, −2x < 6 ↔ x > −3Una desigualdad en la que aparecen una o varias variables tambi´n se llama inecuaci´n. e oDefinici´n 1.3 (Intervalos). Sean a y b dos n´meros reales tales que o ua ≤ b. Se llama intervalo abierto de extremos a y b, al conjunto de puntoscomprendidos entre a y b, excluidos dichos puntos (a, b) = {x ∈ R/ a < x < b}Se llama intervalo cerrado de extremos a y b, al conjunto de puntos com-prendidos entre a y b, incluidos dichos puntos [a, b] = {x ∈ R/ a ≤ x ≤ b}
    • 1.1. LA RECTA REAL 3Nota: Usamos par´ntesis (a, b), tanto para representar el intervalo abierto (a, b), como epara indicar el punto del plano de coordenadas (a, b). No obstante, el contexto determi-nar´ en cada caso a qu´ nos estamos refiriendo. a e Tambi´n se definen los siguientes tipos de intervalos: eIntervalos semiabiertos [a, b) = {x ∈ R/ a ≤ x < b} (a, b] = {x ∈ R/ a < x ≤ b}Intervalos infinitos (−∞, b] = {x ∈ R/ x ≤ b} (−∞, b) = {x ∈ R/ x < b} (a, +∞) = {x ∈ R/ a < x} [a, +∞) = {x ∈ R/ a ≤ x} (−∞, +∞) = REjemplo 1.1 (Resolviendo inecuaciones). Hallar el conjunto soluci´n de las osiguientes desigualdades a) 2x − 3 < 5 b) 3 − 2x < 5Soluci´n. a) Operando, como si se tratara de una ecuaci´n, resulta: o o 8 2x − 3 < 5 ⇔ 2x < 5 + 3 ⇔ x<⇔ x<2 2Por tanto, el conjunto soluci´n es el intervalo (−∞, 2). ob) En este caso operamos de la misma manera, pero al dividir por -2 inver-timos el sentido de la desigualdad. As´ı, 2 3 − 2x < 5 ⇔ −2x < 5 − 3 ⇔ x> ⇔ x > −1 −2Luego el conjunto soluci´n es el intervalo (−1, +∞). oEjemplo 1.2 (Resolviendo sistemas de inecuaciones). Hallar el conjuntosoluci´n del siguiente sistema de desigualdades o 2x + 1 ≥ −1 3x − 7 ≤ 2Soluci´n. Se trata de hallar la intersecci´n de los conjuntos soluci´n de o o ocada una de las desigualdades. Para ello, resolvemos ambas inecuacionespor separado y luego hallamos la intersecci´n o 2x + 1 ≥ −1 2x ≥ −1 − 1 2x ≥ −2 x ≥ −1 3x − 7 ≤ 2 3x ≤ 2 + 7 3x ≤ 9 x≤3Luego el intervalo soluci´n es [−1, 3] o
    • 4 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSEjemplo 1.3 (Resolviendo inecuaciones dobles). Hallar el conjunto soluci´n odel siguiente sistema de desigualdades 2 − 3x ≥ −1 2 − 3x ≤ 11Soluci´n. Podemos resolver cada inecuaci´n por separado, o bien, utilizar el o ohecho de que la expresi´n 2 − 3x aparece en ambas inecuaciones y trabajar oconjuntamente. As´ı, 2 − 3x ≥ −1 − 1 ≤ 2 − 3x ≤ 11 2 − 3x ≤ 11restando 2 en los tres miembros, resulta −3 ≤ −3x ≤ 9y dividiendo por -3 1 ≥ x ≥ −3Luego el conjunto soluci´n es el intervalo [−3, 1]. oEjemplo 1.4 (Resolviendo inecuaciones cuadr´ticas). Hallar el conjunto asoluci´n de la inecuaci´n x o o 2 < 6x − 8Soluci´n. El camino m´s f´cil para resolver estas inecuaciones es dejar sola- o a amente cero en el segundo miembro. As´ ı, x2 − 6x + 8 < 0 ıces del polinomio p(x) = x2 − 6x + 8,hallamos las ra´ √ 6 ± 36 − 32 6±2 4 x − 6x + 8 = 0 ⇔ x = 2 = = 2 2 2Teniendo en cuenta que un polinomio cambia de signo s´lo en sus ceros1 , opodemos resolver la desigualdad probando el signo del polinomio en cadauno de los intervalos x < 2, 2 < x < 4, x>4que puede hacerse eligiendo un punto cualquiera en cada uno de los intervalosy viendo el valor del polinomio en ese punto (puesto que en todo el intervaloel polinomio conserva el signo). As´ı,p(0) = +8 > 0, p(3) = 9 − 18 + 8 = −1 < 0, p(5) = 25 − 30 + 8 = +3 > 0Como la desigualdad se cumple s´lo en el intervalo central, se concluye que oel conjunto soluci´n es o 2 < x < 4 es decir, el intervalo (2, 4) 1 ver Corolario 1.3 en la p´gina 69 a
    • 1.1. LA RECTA REAL 5Ejemplo 1.5 (Resolviendo inecuaciones racionales). Hallar el conjunto solu-ci´n de la desigualdad o x−2 <2 x−4Soluci´n. Dejamos cero en el segundo miembro, y operamos o x−2 x−2 x − 2 − 2x + 8 6−x <2 ⇔ −2<0 ⇔ <0 ⇔ <0 x−4 x−4 x−4 x−4Consideramos la funci´n racional o 6−x r(x) = x−4Y teniendo en cuenta que una funci´n racional puede cambiar de signo tanto oen los ceros del numerador como en los ceros del denominador, resulta que lafunci´n puede cambiar de signo en los puntos: x = 4 y x = 6. Luego podemos oresolver la desigualdad comprobando el signo de la funci´n racional en cada ouno de los intervalos x < 4, 4 < x < 6, x>6que puede hacerse eligiendo un punto cualquiera en cada uno de los intervalosy viendo el valor de la funci´n en ese punto. As´ o ı, 6 1 −1 r(0) = < 0, r(5) = > 0, r(7) = <0 −4 1 3Como la desigualdad se cumple s´lo en los dos intervalos de los extremos, ose concluye que el conjunto soluci´n es o x < 4 ´ x > 6, es decir, la uni´n de los intervalos (−∞, 4) ∪ (6, +∞) o oEjemplo 1.6 (Resolviendo inecuaciones racionales mediante la consideraci´n osucesiva de distintos casos). Hallar el conjunto soluci´n de la desigualdad o 2x − 3 1 < (x = −3) x+3 2Soluci´n. Puesto que no sabemos de antemano si x+3 es positivo o negativo, ono podemos multiplicar, ambos miembros de la desigualdad, por x + 3, yaque no sabemos si ha de mantenerse el sentido de la desigualdad o si ha decambiarse. Para ello, consideramos sucesivamente los dos casos siguientes: a) x + 3 > 0 b) x + 3 < 0
    • 6 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSa) Consideremos el caso x + 3 > 0. Al ser x + 3 positivo podemos multiplicarambos miembros de la desigualdad por x + 3, manteniendo el sentido de lamisma. Co lo que resulta, x+3>0 x > −3 2x − 3 1 −3<x<3 < 4x − 6 < x + 3 ⇔ 3x < 9 ⇔ x < 3 x+3 2b) Consideremos ahora el caso x+3 < 0. Al ser x+3 negativo para multiplicarambos miembros de la desigualdad por x + 3, tenemos que invertir el sentidode la misma. Co lo que resulta, x+3<0 x < −3 2x − 3 1 < 4x − 6 > x + 3 ⇔ 3x > 9 ⇔ x > 3 x+3 2que no tiene soluci´n, puesto que ning´n n´mero x es, a la vez, x < −3 y o u ux > 3. En consecuencia se concluye que el conjunto soluci´n es: o −3 < x < 3, es decir, el intervalo (−3, 3).Resoluci´n de desigualdades por factorizaci´n o oLas desigualdades polin´micas y las racionales tambi´n pueden resolverse o epor factorizaci´n, como se describe en los siguientes ejemplos. oEjemplo 1.7 (Resolviendo desigualdades por factorizaci´n). Resolver o (x + 2)(x − 1)(x − 3) > 0Soluci´n. Hallamos los ceros de cada uno de los factores: o x = −2, x = 1, x=3y consideramos los intervalos determinados por dichos ceros, (−∞, −2), (−2, 1), (1, 3), (3, +∞)Como el producto (x + 2)(x − 1)(x − 3) conserva el signo dentro de cadaintervalo, se trata de estudiar el signo del mismo en cada uno de ellos. Sinembargo, en vez de elegir un n´mero en cada intervalo y ver el signo del uproducto para dicho valor, lo que hacemos es recorrer la recta de derechaa izquierda y tener en cuenta que cada factor cambia de signo al pasar porsu ra´ correspondiente. En consecuencia tenemos la siguiente relaci´n de ız osignos, − − − − − + − + + + + + −2 1 3
    • 1.1. LA RECTA REAL 7Multiplicando los signos en cada intervalo, resulta que el producto es positivopara los intervalos (−2, 1) y (3, +∞), luego el conjunto soluci´n es o (−2, 1) ∪ (3, +∞). Las desigualdades racionales se resuelven igual que las polin´micas. En oefecto, teniendo en cuenta que el signo del cociente de dos n´meros es el mis- umo que el signo de su producto, resulta que el conjunto soluci´n del cociente oP (x)/Q(x) > 0 es el mismo que el del producto P (x) · Q(x) > 0. En conse-cuencia, consideramos los ceros, tanto del numerador como del denominador,y repetimos el proceso del ejemplo anterior.1.1.2. Valor absoluto y distanciaEl valor absoluto de un n´mero real x se designa por |x| y se define del modo usiguiente: |x| = x si x > 0, |x| = −x si x < 0, |0| = 0.Ahora bien, teniendo en cuenta que para x = 0 es v´lida la igualdad |x| = x, apodemos escribir m´s brevemente a x si x ≥ 0 |x| = −x si x < 0En consecuencia, podemos dar la siguienteDefinici´n 1.4 (Valor absoluto). Se llama valor absoluto de un n´mero o u ımbolo |x|, a dicho n´mero si es positivo o cero,real x, y se denota por el s´ uy a su opuesto si es negativo. x si x ≥ 0 | x |= −x si x < 0 Es decir, |x| representa la distancia desde el origen al punto x.Ejemplo, |3| = 3, |0| = 0, | − 3| = 3.Nota: El valor absoluto de un n´ mero nunca es negativo. Puede sorprender que −x sea upositivo, sin embargo, esto no es nada sorprendente, ya que podemos pensar en −(−3) =+3 que tambi´n es positivo, a pesar del signo menos inicial, ya que los dos signos menos ese compensan. Igual ocurre con −x donde el signo menos que aparece de manera expl´ ıcitase compensa con el signo menos que x tiene impl´ıcitamente, ya que hemos supuesto, en elsegundo apartado, que x es negativo. El valor absoluto tambi´n se puede definir de la siguiente forma. e |x| = m´x{x, −x} aAl valor absoluto de un n´mero tambi´n se le llama su m´dulo. u e o
    • 8 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSEjemplo 1.8. Eliminar el valor absoluto en las siguientes expresiones: √ √ √ √ (a) |1 + 2 − 3| (b) |1 + 2 − 10|Soluci´n. Tenemos que comprobar si la expresi´n que hay dentro del valor o oabsoluto da como resultado un n´mero positivo o negativo, si es positivo la udejamos igual, y si es negativo la cambiamos de signo para convertirlo enpositivo. En consecuencia: √ √ √ √ (a) |1 + √2 − √3| = 1 + 2 − 3 √ √ √ √ (b) |1 + 2 − 10| = −(1 + 2 − 10) = −1 − 2 + 10Propiedades del valor absoluto 1. |x| ≥ 0 El valor absoluto nunca es negativo. 2. |x| = 0 ⇔ x = 0 El valor absoluto igualado a cero se puede suprimir. 3. |x|2 = |x2 | = x2 El valor absoluto elevado al cuadrado se puede suprimir. 4. |x| = | − x| Dentro del valor absoluto se puede cambiar de signo. √ 5. x2 = |x| 6. −|x| ≤ x ≤ |x| 7. |x + y| ≤ |x| + |y| 8. |xy| = |x| · |y| 9. |x| = |y| ⇔ x = ±y Si p es positivo, se tiene: |x| < p10. |x| ≤ p ⇔ −p ≤ x ≤ p −p 0 p k  Q  x≥p |x| = p E11. |x| ≥ p ⇔ o k  Q  x ≤ −p  |x| > p  Aunque formalmente no es correcto, esta propiedad puede expresarse de la forma: |x| ≥ p ⇔ −p ≥ x ≥ p Habr´ que tener en cuenta que cada desigualdad va por separado. aNota: (Aclaraciones sobre la ra´ cuadrada). Veamos algunas aclaraciones acerca de ızla ra´ cuadrada. En Matem´ticas, la ra´ cuadrada de un n´mero se define de la siguiente ız a ız uformaDefinici´n 1.5. El n´mero b se llama ra´ cuadrada del n´mero a si b2 = a. o u ız u √ b = a ⇔ b2 = a
    • 1.1. LA RECTA REAL 9 Esta definici´n significa lo siguiente: o 1. Si el n´ mero a es positivo, existen exactamente dos ra´ u ıces cuadradas de a, una positiva y la otra negativa. 2. Si a = 0, existe una sola ra´ cuadrada de a, la que es igual a cero. ız 3. Si el n´ mero a es negativo, no existe ninguna ra´ cuadrada de a. u ızEn C´lculo, esta definici´n de ra´ cuadrada, si la aceptamos tal cual, presenta varias a o ızdificultades: √ 1. La ecuaci´n y = x no representar´ una funci´n ya que, dicha relaci´n, asignar´ o ıa o o ıa dos valores a un mismo n´ mero, por ejemplo, f (4) = ±2, lo que no est´ permitido u a para las funciones como veremos en la Secci´n 1.3. √ o 2. Seg´n esta definici´n 4 no ser´ un n´mero, sino un conjunto de n´meros, ya que √ u o ıa u √ u 4 = {−2, 2}, y no tendr´ sentido hablar de la suma 3 + 4, ya que no sabr´ ıa ıamos si dicha suma es 1 o 5.Para resolver estos problemas, en C´lculo, lo que se hace es diferenciar ambas ra´ a ıces,introduciendo el concepto de ra´ aritm´tica. ız eDefinici´n 1.6 (Ra´ cuadrada aritm´tica). Se llama ra´ cuadrada aritm´tica de un o ız e ız en´mero positivo, a, a la ra´ cuadrada positiva de este n´mero. u ız u √ b = a ⇔ b2 = a y b ≥ 0 En consecuencia, la afirmaci´n de que b es la ra´ cuadrada aritm´tica de a es equi- o ız evalente a un conjunto de dos afirmaciones: b2 = a y b ≥ 0; con esto se supone que a es unn´mero positivo o cero. u En C´lculo, cuando hablamos de ra´ cuadrada nos referimos, siempre, a la ra´ cuadra- a ız ızda √aritm´tica. As´ por ejemplo, aunque 4 tenga dos ra´ cuadradas, 2 y -2, con el s´ e ı, ıces √ ımbo-lo 4 solamente nos referimos a la ra´ cuadrada positiva 4 = +2. Para indicar la ra´ ız √ ızcuadrada negativa tendremos que explicitarlo con un signo menos − 4 = −2. Es de- √ ımbolo x denota exclusivamente la ra´cir, en C´lculo, para evitar la ambivalencia, el s´ a ızno-negativa de x. Tenemos que tanto x como −x son ra´ 2 2 √ ıces cuadradas de x , ya que (+x) = x y 2 2 2(−x) = x . Sin embargo, en C´lculo, x2 no es simplemente un n´ mero cualquiera que a uelevado al cuadrado da x2 , sino que es indispensablemente un n´ mero positivo o cero. En uconsecuencia, √ x2 = |x|Lo que significa que, en general, no se va a poder compensar el cuadrado con la ra´ ızcuadrada, salvo que el radicando sea positivo. √ x2 = x Por otro lado, la soluci´n de la ecuaci´n x2 = p no se puede expresar simplemente o o √con x = p, ya que con este s´ ımbolo nos vamos a referir, exclusivamente, a una de las dosposible soluciones. En consecuencia tendremos que indicar √ x2 = p ⇒ x = ± xEjemplo 1.9 (Ecuaciones con valor absoluto). Resolver las siguientes ecua-ciones: 1. |x − 5| = 4, 2. |x − 5| = −4, 3. |x − 5| = 0, 4. |x + 1| = 3x − 9Soluci´n. o
    • 10 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS x−5=4 x=9 1. |x − 5| = 4 ⇒ o ´ x − 5 = −4 x=1 2. |x − 5| = −4 No tiene soluci´n. o 3. |x − 5| = 0 ⇒ x−5=0 ⇒ x=5 x+1≥0 x ≥ −1 x=5 x + 1 = 3x − 9 10 = 2x 4. |x + 1| = 3x − 9 ⇒ ´ o ⇒x=5 x+1≤0 x ≤ −1 No −x − 1 = 3x − 9 8 = 4x En general, el m´todo m´s directo de atacar un problema referente a e avalores absolutos requiere la consideraci´n por separado de distintos casos, ocon objeto de eliminar el valor absoluto. En particular, siempre habr´ que aconsiderar si lo que hay dentro del valor absoluto es positivo o es negativo.Esto hace que cuando aparecen varios valores absolutos, la casu´ ıstica secomplique, ya que hay que considerar, por separado, todas las posibilidades,en cuanto al signo, de las expresiones que hay dentro de cada uno de losvalores absolutos. Sin embargo, en ocasiones pueden emplearse otros m´todos m´s sencillo e aque eliminen el valor absoluto, sin tener que acudir a la casu´ ıstica de los sig-nos. Bien, acudiendo a las propiedades del valor absoluto, o bien, utilizandola representaci´n gr´fica. Por ejemplo, la ecuaci´n |x + 1| = 3x − 9 tambi´n o a o epuede resolverse gr´ficamente, estudiando los puntos de corte de las gr´ficas a ade las funciones f (x) = |x + 1| y g(x) = 3x − 9. Otra manera de abordaresta ecuaci´n es resolviendo la ecuaci´n irracional: (x + 1)2 = 3x − 9 o oNota: Al resolver una ecuaci´n con valores absolutos, cada caso supone resolver un sistema oformado por una inecuaci´n y una ecuaci´n. Evidentemente, la inecuaci´n no es necesario o o oresolverla, ya que podemos resolver la ecuaci´n y comprobar si las soluciones de la misma ocumplen o no la inecuaci´n. Si la cumplen la aceptamos como soluci´n y si no la cumplen o ola rechazamos. Puede ocurrir que una soluci´n rechazada en un caso, aparezca como soluci´n valida o oen otro de los casos. En tal caso se acepta la soluci´n (siempre est´ la posibilidad de o acomprobar las soluciones en la ecuaci´n inicial). o Cuando se trata de resolver una inecuaci´n con valores absolutos, entonces s´ que hay o ıque resolver todas las desigualdades, ya que se trata de encontrar la intersecci´n de los oconjuntos soluci´n. o Si aparecen varios valores absolutos cada sistema tendr´ varias inecuaciones que corre- ıar´ la misma suerte de lo dicho anteriormente. ıanEjemplo 1.10. Resolver la ecuaci´n |x2 − 2x − 8| = x + 2 oSoluci´n. Consideramos sucesivamente los dos casos: o a) x2 − 2x − 8 ≥ 0, b) x2 − 2x − 8 < 0.
    • 1.1. LA RECTA REAL 11a) x2 − 2x − 8 ≥ 0. En este caso resulta la ecuaci´n: x2 − 2x − 8 = x + 2. oEn consecuencia tenemos que resolver el sistema x2 − 2x − 8 ≥ 0 x2 − 3x − 10 = 0Para ello resolvemos la ecuaci´n y comprobamos las soluciones en la in- oecuaci´n. As´ o ı, √ 3 ± 9 + 40 3±7 5 x − 3x − 10 = 0 → x = 2 = = 2 2 −2de donde, x = 5 ⇒ 52 − 2 · 5 − 8 = 25 − 10 − 8 = 7 > 0, x = −2 ⇒ (−2)2 − 2 · (−2) − 8 = 4 + 4 − 8 = 0.Luego las dos soluciones son v´lidas. ab) x2 − 2x − 8 < 0. En este caso resulta la ecuaci´n: −x2 + 2x + 8 = x + 2. oEn consecuencia tenemos que resolver el sistema x2 − 2x − 8 < 0 x2 − x − 6 = 0Para ello resolvemos la ecuaci´n y comprobamos las soluciones en la in- oecuaci´n. As´ o ı, √ 1 ± 1 + 24 1±5 3 x −x−6=0 → x= 2 = = 2 2 −2de donde, x = 3 ⇒ 32 − 2 · 3 − 8 = 9 − 6 − 8 = −5 < 0, x = −2 ⇒ (−2)2 − 2 · (−2) − 8 = 4 + 4 − 8 = 0.En este caso la primera soluci´n es valida y la segunda no. No obstante, ox = −2 es valida, por el caso anterior. En consecuencia las soluciones de la ecuaci´n inicial son x = −2, x = 3 oy x = 5.Ejemplo 1.11. Resolver la ecuaci´n x2 − 4|x| − 5 = 0 oSoluci´n. En este ejemplo, para liberarnos del m´dulo podemos considerar o osucesivamente los dos casos x ≥ 0 y x < 0; o bien, teniendo en cuenta quex2 = |x|2 , transformar la ecuaci´n inicial en |x|2 −4|x|−5 = 0 que se resuelve ocon un cambio de variable, o bien, directamente: √ 4 ± 16 + 20 4±6 5⇒x=5 o −5 ´ |x| − 4|x| − 5 = 0 ⇒ |x| = 2 = = 2 2 −1 no es soluci´n oLuego la ecuaci´n inicial tiene dos soluciones x = 5 y x = −5. o
    • 12 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSEjemplo 1.12 (Desigualdades con valor absoluto). Resolver las siguientesdesigualdades: 1. |x − 1| ≤ 3, 2. |2 − 4x| ≤ 6, 3. |x| ≥ 2 4. |x − 1| ≥ 2 5. |2x − 3| ≤ −2, 6. |2x − 3| ≥ −2Soluci´n. o ä ç 1. |x − 1| ≤ 3 ⇒ −3 ≤ x − 1 ≤ 3 ⇒ −2 ≤ x ≤ 4 ⇒ x ∈ − 2, 4 2. |2 − 4x| ≤ 6 ⇒ −6 ≤ 2 − 4x ≤ 6 ⇒ −8 ≤ −4x ≤ 4 ⇒ 2 ≥ x ≥ −1 ⇒ ä ç ⇒ −1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x ∈ − 1, 2 x≥2 ç ä 3. |x| ≥ 2 ⇒ ⇒ x ∈ − ∞, −2 ∪ 2, +∞ x ≤ −2 x≥3 4. |x − 1| ≥ 2 ⇒ −2 ≥ x − 1 ≥ 2 ⇒ −1 ≥ x ≥ 3 ⇒ ⇒ x ≤ −1 ç ä ⇒ x ∈ ∞, −1 ∪ 3, +∞ 5. |2x − 3| ≤ −2 ⇒ No tiene soluci´n. o 6. |2x − 3| ≥ −2 ⇒ Se cumple siempre, luego x ∈ (−∞, +∞)Ejemplo 1.13 (Sistemas de desigualdades). Resolver el sistema de desigual-dades: |2x − 2| ≤ 4 |2x − 3| ≥ 1Soluci´n. Resolvemos cada desigualdad por separado y luego hallamos la ointersecci´n de los conjuntos soluci´n. o o|2x − 2| ≤ 4 −4 ≤ 2x − 2 ≤ 4 ⇒ −2 ≤ 2x ≤ 6 ⇒ −1 ≤ x ≤ 3 x≥2 ⇒|2x − 3| ≥ 1 −1 ≥ 2x − 3 ≥ 1 ⇒ 2 ≥ 2x ≥ 4 ⇒ 1 ≥ x ≥ 2 ⇒ x≤1 ä ç ä ç ⇒ x ∈ − 1, 1 ∪ 2, 3Expresi´n de intervalos mediante valor absoluto oCualquier intervalo se puede expresar en t´rminos de valor absoluto de la esiguiente forma: ä ç a+b b−a a, b = x ∈ R/ |x − |≤ 2 2Si m es el punto medio del intervalo [a, b], y r el radio, entonces: |x − m| ≤ r
    • 1.1. LA RECTA REAL 13Nota: Para hallar el punto medio de un intervalo basta con hallar la media aritm´tica de esus extremos. Es decir, el punto medio del intervalo (a, b) es a+b m= 2Ejemplo 1.14 (Expresi´n de intervalos mediante valor absoluto). Expresar omediante valor absoluto los siguientes intervalos: ä ç ä ç ç ä ç ä1. − 2, 2 , 2. − 1, 3 , 3. − ∞, −2 ∪ 2, +∞ , 4. − ∞, 1 ∪ 5, +∞ .Soluci´n. o ä ç 1. − 2, 2 = {x ∈ R/ |x| ≤ 2} ä ç 2. − 1, 3 = {x ∈ R/ |x − 1| ≤ 2} ç ä 3. − ∞, −2 ∪ 2, +∞) = {x ∈ R/ |x| ≥ 2} ç ä 4. − ∞, 1 ∪ 5, +∞) = {x ∈ R/ |x − 3| ≥ 2}Definici´n 1.7 (Intervalo reducido de un punto). Se llama entorno oreducido de un punto a un entorno en el que se ha suprimido el punto.Ejemplo 1.15 (Expresi´n mediante valor absoluto de un entorno reducido). oExpresar mediante valor absoluto un entorno reducido de 4 de radio 2.Soluci´n. o (2, 4) ∪ (4, 6) = {x ∈ R/ 0 < |x − 4| < 2}La manera de expresar que x = 4 es mediante la desigualdad 0 < |x − 4|Distancia entre dos puntos de la recta realDefinici´n 1.8 (Distancia entre dos puntos de la recta real). La odistancia entre dos puntos x1 y x2 de la recta real, viene definida por elvalor absoluto de su diferencia d = |x2 − x1 | = (x2 − x1 )2Nota: El orden en que se restan los puntos x1 y x2 no importa, ya que |x2 −x1 | = |x1 −x2 | A la diferencia de los n´ meros (sin el valor absoluto) se le llama distancia dirigida. uAs´ ı, a) la distancia dirigida de x1 a x2 es x2 − x1 ; y, b) la distancia dirigida de x2 a x1 es x1 − x2 . En consecuencia, la distancia dirigida es positiva cuando se mide hacia la derecha(orden creciente de los n´ meros) y negativa cuando se mide hacia la izquierda (orden udecreciente de los n´meros). uEjemplo 1.16 (Distancia en la recta). Hallar la distancia entre -2 y 5
    • 14 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSSoluci´n. a) La distancia entre -2 y 5 viene dada por: o d = |5 − (−2)| = |7| = 7 b) La distancia dirigida desde -2 a 5 es 5-(-2)=7 c) La distancia dirigida desde 5 a -2 es -2-5=-7 Distancia = 7 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 Figura 1.2: Distancia en la recta realEjercicios propuestos de la secci´n 1.1. La recta real o Soluciones en la p´gina 389 a1.1.1. Resolver las inecuaciones: a) 3x − 4 ≤ −1 b) 2 − 3x ≥ 111.1.2. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones 3x − 2 ≥ 7 4x − 1 ≥ −5 3 − 2x ≥ −1 a) b) c) 5x − 7 ≤ 3 7x − 1 ≤ 13 3 − 2x ≤ 71.1.3. Resolver las desigualdades: 2x − 3 a) x2 + 5 ≤ 6x b) <1 x−51.1.4. Resolver las desigualdades: 1 a) x < b) 3 ≤ x2 − 6x + 8 ≤ 8 x1.1.5. Resolver las ecuaciones: ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ a) |x + 1| + 2 = 2 b) |x + 1| + 2 = 1 c) |x + 1| + 2 = 31.1.6. Resolver las ecuaciones: ¬x − 2¬ ¬ a) |3x − 6| = x + 2 b) ¬x − 1¬ = 3 ¬ c) |x2 − 6x + 8| = x − 2 d) x2 + |x| − 2 = 01.1.7. Resolver las desigualdades ¬x − 2¬ ¬ a) |3x − 6| < x + 2 b) ¬x − 1¬ < 3 ¬1.1.8. Expresar mediante valor absoluto las siguientes desigualdades: x0 − δ < x < x0 + δ a) b) − ε < f (x) < + ε x = x0
    • 1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 151.2. El plano y el espacio cartesiano1.2.1. Sistema rectangular de coordenadas cartesianasa) Plano cartesiano. Un sistema de coordenadas rectangulares o carte-siano, en el plano, se construye mediante dos rectas perpendiculares, lla-madas ejes de coordenadas. La recta real horizontal se llama tradicional-mente eje x y la vertical eje y. Su punto de intersecci´n se llama origen de ocoordenadas. Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes llamadas cua-drantes. Cada punto del plano se identifica por un par ordenado (x, y) de n´meros ureales, llamados coordenadas del punto. El n´mero x se llama coordenada x uo abscisa y representa la distancia dirigida desde el eje y al punto. El n´mero uy se llama coordenada y u ordenada y representa la distancia dirigida desdeel eje x al punto. y Cuadrante II 3 Cuadrante I 2 x (x, y) y 1 y x −3 −2 −1 1 2x3 −1 −2 Origen Cuadrante III −3 Cuadrante IV Figura 1.3: El plano cartesianoNota: Usamos par´ntesis (a, b), tanto para representar el intervalo abierto (a, b), como epara indicar el punto del plano de coordenadas (a, b). No obstante, el contexto determi-nar´ en cada caso a qu´ nos estamos refiriendo. a eb) Espacio cartesiano. Un sistema de coordenadas rectangulares o carte-siano, en el espacio, se construye mediante tres rectas perpendiculares, lla-madas ejes de coordenadas. El primer eje se llama tradicionalmente eje x,el segundo eje y, y el tercero eje z. Su punto de intersecci´n se llama origen ode coordenadas. Un sistema de referencia tridimensional puede tener orientaci´n positiva ou orientaci´n negativa. Tiene orientaci´n positiva si un “tornillo” situado o oen el eje z que gire desde el eje x hacia el eje y, avanza hacia la direcci´n opositiva del eje z; y orientaci´n negativa si avanza en direcci´n contraria. o o Los ejes de coordenadas, tomados de dos en dos, determinan tres planoscoordenados, denominados por plano xy, plano xz y plano yz. Estos planos
    • 16 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS z z T T y x E E x   ©   y  ©   Orientaci´n positiva o Orientaci´n negativa o Figura 1.4: Las dos orientaciones del espacio.coordenados dividen el espacio en ocho regiones llamadas octantes. El primeroctante es aquel en que las tres coordenadas son positivas. Cada punto del espacio se identifica por una terna ordenada (x, y, z) den´meros reales, llamados coordenadas del punto. El n´mero x se llama co- u uordenada x o abscisa y representa la distancia dirigida desde el plano yx alpunto. El n´mero y se llama coordenada y u ordenada y representa la dis- utancia dirigida desde el plano xz al punto. El n´mero z se llama coordenada uz o cota y representa la distancia dirigida desde el plano xy al punto. P (x, y, z) z y x y z x Figura 1.5: El espacio cartesiano1.2.2. Distancia entre dos puntosa) En el plano. Para hallar la distancia entre dos puntos del plano (x1 , y1 )y (x2 , y2 ). Formamos con ellos un tri´ngulo rect´ngulo, con lados paralelos a aa los ejes de coordenadas, y aplicamos el teorema de Pit´goras. a y y1 (x1 , y1 ) |y2 − y1 | d y2 (x2 , y2 ) |x2 − x1 | x1 x2 x Figura 1.6: Distancia entre dos puntosEn su virtud, resulta d2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
    • 1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 17de donde, tomando la ra´ cuadrada positiva, ya que la distancia entre dos ızpuntos es un n´mero positivo, resulta u d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2Proposici´n 1.2 (Distancia entre dos puntos del plano). La distancia od entre los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) viene dada por d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2b) En el espacio. Para hallar la distancia entre dos puntos del espacio,(x1 , y1 , z1 ) y (x2 , y2 , z2 ), se aplica el teorema de Pit´goras dos veces y se aobtiene la siguiente f´rmula o d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2c) En el espacio n-dimensional. Se llama punto x de un espacio n-dimensional al conjunto ordenado (n-upla) de n´meros reales (x1 , x2 , · · · , xn ) u El n´mero xi se llama coordenada i-´sima del punto x; i = 1, 2, . . . , n. u eDefinici´n 1.9 (Distancia entre dos puntos de Rn ). La distancia oentre dos puntos x = (x1 , · · · , xn ) e y = (y1 , · · · , yn ) se define por laf´rmula o d(x, y) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 (1.1)Ejemplo 1.17 (Distancia entre dos puntos). Hallar la distancia: a) Entre los puntos (−2, 4) y (2, 1). b) Entre los puntos (2, 2, 3) y (3, 4, 5).Soluci´n. Aplicando, en cada caso, la f´rmula (1.1), resulta o o √ √ a) d = [2 − (−2)]2 + (1 − 4)2 = 16 + 9 = 25 = 5 √ √ b) d = (3 − 2)2 + (4 − 2)2 + (5 − 3)2 = 1 + 4 + 4 = 9 = 31.2.3. El c´ ırculo y la esferaa) La circunferencia en el plano. Teniendo en cuenta que la circunferen-cia de centro (x0 , y0 ) y radio r est´ formada por los puntos del plano cuya adistancia al centro (x0 , y0 ) es el radio r, resultaProposici´n 1.3 (Ecuaci´n de la circunferencia). El punto (x, y) o oest´ en la circunferencia de centro (x0 , y0 ) y radio r si y s´lo si a o (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 (1.2)
    • 18 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSDemostraci´n. En efecto, si (x, y) es un punto de la circunferencia, su dis- otancia al centro (x0 , y0 ), ser´ r, en consecuencia a (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = ry elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad se obtiene la ecuaci´n ode la circunferencia (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 Si la circunferencia tiene su centro en el origen de coordenadas (0, 0) yradio r, su ecuaci´n ser´ o a x2 + y 2 = r2 Se llama c´ ırculo o disco al interior de una circunferencia. En consecuenciaProposici´n 1.4 (Ecuaci´n de un c´ o o ırculo o disco). El punto (x, y) ırculo de centro (x0 , y0 ) y radio r si y s´lo siest´ en el c´ a o (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < r2 (1.3)Si consideramos que el c´ ırculo incluye la circunferencia, su ecuaci´n es o (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ≤ r2 y y (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) r r (x, y) (x, y) x x (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ≤ r2 Figura 1.7: Circunferencia y c´ ırculoEjemplo 1.18 (Hallando la ecuaci´n de una circunferencia). Una circunfe- orencia tiene su centro en el punto (−2, 1) y contiene al punto (1, 3) a) Halla la ecuaci´n de la circunferencia o b) Halla la ecuaci´n del c´ o ırculo delimitado por la circunferenciaSoluci´n. El radio es la distancia entre el centro (−2, 1) y el punto (1, 3). En oconsecuencia, √ √ r = [1 − (−2)]2 + (3 − 1)2 = 9 + 4 = 13Por lo tanto, se tiene: a) Ecuaci´n de la circunferencia. o √ [x − (−2)]2 + (y − 1)2 = ( 13)2
    • 1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 19de donde, (x + 2)2 + (y − 1)2 = 13b) Ecuaci´n del c´ o ırculo. (x + 2)2 + (y − 1)2 < 13 y (1, 3) (−2, 1)r x Figura 1.8: (x + 2)2 + (y − 1)2 ≤ 13Ecuaci´n general de la circunferencia. Si en la ecuaci´n can´nica de la o o ocircunferencia (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2eliminamos los par´ntesis y simplificamos, resulta una ecuaci´n del tipo e o Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0, A=0 (1.4)que es la forma general de la ecuaci´n de la circunferencia. oNota: Obs´rvese que los coeficientes de x2 y de y 2 han de ser iguales para que se trate ede una circunferencia.Ejemplo 1.19 (Completando cuadrados). Hallar el centro y el radio de lacircunferencia cuya ecuaci´n en forma general es o 4x2 + 4y 2 + 4x − 16y + 13 = 0Soluci´n. Pasamos de la forma general a la forma can´nica completando o ocuadrados. Para ello; en primer lugar, dividimos por 4 para que los coefi-cientes de x2 e y 2 sean 1. 13 4x2 + 4y 2 + 4x − 16y + 13 = 0 → x2 + y 2 + x − 4y + =0 4y, en segundo lugar, agrupamos los t´rminos semejantes. e 13 (x2 + x+ ) + (y 2 − 4y+ )=− 4Completamos los cuadrados 1 13 1 x2 + 1x + + (y 2 − 4y + 4) = − + + 4 4 4 4
    • 20 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSde donde resulta 1 2 x+ + (y − 2)2 = 1 2y por tanto, la circunferencia tiene centro en el punto ( −1 , 2) y radio 1. 2Ejemplo 1.20 (Conjunto soluci´n con un unico punto). Discutir la gr´fica o ´ ade la ecuaci´n o 3x2 + 3y 2 − 18x − 12y + 39 = 0Soluci´n. Pasamos de la forma general a la forma can´nica completando o ocuadrados. Para ello, en primer lugar dividimos por 3 para que los coefi-cientes de x2 e y 2 sean 1. 3x2 + 3y 2 − 18x − 12y + 39 = 0 → x2 + y 2 − 6x − 4y + 13 = 0en segundo lugar agrupamos los t´rminos semejantes e (x2 − 6x+ ) + (y 2 − 4y+ ) = −13completamos los cuadrados, con lo que resulta (x2 − 6x + 9) + (y 2 − 4y + 4) = −13 + 9 + 4de donde (x − 3)2 + (y − 2)2 = 0y esta ecuaci´n s´lo se cumple cuando x = 3 e y = 2. Es decir, la gr´fica de o o ala ecuaci´n se reduce al punto (3, 2) oEjemplo 1.21 (Ecuaci´n sin conjunto soluci´n). Discutir la gr´fica de la o o aecuaci´n o x2 + y 2 + 2x − 4y + 9 = 0Soluci´n. Pasamos de la forma general a la forma can´nica completando o ocuadrados. Agrupamos los t´rminos semejantes, tenemos e (x2 + 2x+ ) + (y 2 − 4y+ )+9=0completando cuadrados (x + 1)2 − 1 + (y − 2)2 − 4 + 9 = 0de donde resulta (x + 1)2 + (y − 2)2 = −4que no tiene soluci´n ya que la suma de dos cuadrados no puede dar un oresultado negativo.
    • 1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 21Nota: La ecuaci´n general Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0 no siempre representa una ocircunferencia, sino que, en algunas ocasiones se reduce a un punto, y en otras no tienesoluci´n ob) La esfera en el espacio. Teniendo en cuenta que la superficie esf´rica ede centro (x0 , y0 , z0 ) y radio r est´ formada por los puntos del espacio cuya adistancia al centro (x0 , y0 , z0 ) es el radio r, resulta la siguienteProposici´n 1.5 (Ecuaci´n de la superficie esf´rica). El punto o o e(x, y, z) est´ en la superficie esf´rica de centro (x0 , y0 , x0 ) y radio r si a ey s´lo si o (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2 (1.5)Demostraci´n. En efecto, si (x, y, z) es un punto de la superficie esf´rica, su o edistancia al centro (x0 , y0 , z0 ), ser´ r. En consecuencia a (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = ry elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad se obtiene la ecuaci´n ode la superficie esf´rica e (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2 Si la esfera tiene su centro en el origen de coordenadas (0, 0, 0) y radior, la ecuaci´n de la superficie esf´rica ser´ o e a x2 + y 2 + z 2 = r2 Se llama esfera o bola al interior de una superficie esf´rica. En conse- ecuenciaProposici´n 1.6 (Ecuaci´n de una esfera o bola). El punto (x, y, z) o oest´ en la esfera de centro (x0 , y0 , z0 ) y radio r si y s´lo si a o (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 < r2 (1.6)Si consideramos que la esfera incluye la superficie esf´rica, su ecuaci´n es e o (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 ≤ r2Ejemplo 1.22 (Hallando la ecuaci´n de una esfera). Una superficie esf´rica o etiene su centro en el punto (−2, 1, 3) y contiene al punto (1, 3, 2) a) Halla la ecuaci´n de la superficie esf´rica o e b) Halla la ecuaci´n de la esfera delimitada por la superficie esf´rica o eSoluci´n. El radio es la distancia entre el centro (−2, 1, 3) y el punto (1, 3, 2). oEn consecuencia, √ √ r = [1 − (−2)]2 + (3 − 1)2 + (2 − 3)2 = 9 + 4 + 1 = 14
    • 22 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSPor lo tanto, se tiene: a) Ecuaci´n de la superficie esf´rica. o e √ 2 [x − (−2)]2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = ( 14)de donde, (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 14b) Ecuaci´n de la esfera. o (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 ≤ 14Ejercicios propuestos de la secci´n 1.2. El plano y el espacio ocartesiano Soluciones en la p´gina 389 a1.2.1. Hallar la distancia entre las siguientes parejas de punto: a) (−1, −1) y (−2, −2) b) (2, 1, 3) y (4, 2, 1)1.2.2. Hallar x tal que la distancia del origen al punto (x, 4) sea 5.1.2.3. Hallar y de modo que la distancia de (−1, 2) a (2, y) sea 5.1.2.4. Hallar la ecuaci´n de una circunferencia: o a) Que tiene su centro en el punto (1, 1) y pasa por el origen de coordenadas. b) Que pasa por los puntos (1, 1), (3, 1) y (3, 3).1.2.5. Discutir las gr´ficas de las ecuaciones: a a) x2 + y 2 + 6x − 4y + 12 b) x2 + y 2 − 2x + 4y + 5 = 0 c) x2 + y 2 − 4x − 6y + 14 = 01.2.6. Hallar, en cada caso, el conjunto de todos los puntos que verifican la desigualdad a) x2 +y 2 −6x−4y +9 ≤ 0 b) x2 +y 2 −4x−2y +1 > 0 c) x2 +y 2 +2x−4y +6 < 01.2.7. Determinar la gr´fica de la ecuaci´n: 2(x + y) − (x + y)2 = (x − y)2 a o1.2.8. Hallar la ecuaci´n de una superficie esf´rica que tiene a los puntos (3, 2, 3) y o e (−1, −2, 1) como extremos de un di´metro. a1.3. Funciones1.3.1. DefinicionesEn la vida real nos encontramos con magnitudes que est´n relacionadas entre as´ bien, porque existe una relaci´n num´rica entre ella, de manera que el ı, o evalor de una de ellas depende del valor de la otra. Por ejemplo la distanciarecorrida por un autom´vil depende del tiempo que lleva circulando. La odemanda de un determinado producto depende de su precio; o bien, porqueexiste entre ellas una relaci´n no num´rica, de cualquier naturaleza. Por o eejemplo los ciudadanos y los pa´ ıses del mundo est´n relacionados por la anacionalidad.
    • 1.3. FUNCIONES 23 De las causas de estas relaciones se ocupan las distintas ramas del saber(F´ısica, Econom´ Derecho, etc.). En C´lculo nos ocupamos del estudio de ıa, aestas relaciones vistas en s´ mismas, desposey´ndolas del significado material ı ede las magnitudes que intervienen. Adem´s, nos limitamos, en gran medida, aa un tipo particular de relaciones denominadas funciones. Una funci´n es una correspondencia entre dos magnitudes (num´ricas o eo no num´ricas). Ahora bien, cuando nos referimos a funciones, la corres- epondencia siempre hay que entenderla en una direcci´n determinada, por oejemplo, el espacio funci´n del tiempo (el espacio ser´ la imagen y el tiem- o ıapo el origen). No obstante, hay que advertir que no se considera funci´n a ocualquier correspondencia, sino que para que una correspondencia sea fun-ci´n, la imagen de cada elemento tiene que ser unica y estar bien determi- o ´nada. Por ejemplo, la relaci´n entre los ciudadanos y los pa´ del mundo o ısesmediante la nacionalidad no es una funci´n, porque existen ciudadanos con odoble nacionalidad. Es decir, para que una correspondencia sea funci´n, los ooriginales no pueden tener m´s de una imagen, si bien, varios originales adistintos s´ que pueden tener la misma imagen. En consecuencia una corres- ıpondencia puede ser funci´n en un sentido y no serlo en el sentido contrario. oNota: Aunque el concepto de funci´n nace del estudio de la relaci´n existente entre o odos magnitudes que est´n vinculadas por una relaci´n de causalidad (causa-efecto), y se a oestablece la causa como variable independiente y el efecto como variable dependiente. Sinembargo, en Matem´ticas se pueden establecer funciones entre dos magnitudes, aunque ano exista ning´n tipo de causalidad entre ellas. Es decir, se pueden establecer relaciones ude manera artificial. La idea de ((funci´n)) que se adquiere en los primeros contactos con el oC´lculo, tanto en la Ense˜anza Secundaria como en el Bachillerato, por a nlo com´n, suele identificar el concepto de funci´n con una ((f´rmula)), por u o oejemplo f (x) = x2 − 5x + 6,y se entiende que esta f´rmula asocia a cada n´mero real x otro n´mero real o u uf (x). Basta sustituir x por un n´mero concreto y hacer las operaciones indi- ucadas, para obtener su imagen. Tambi´n se comprende que ciertas f´rmulas, e otales como √ g(x) = x − 4,no est´n definidas para todos los n´meros reales, y por tanto, que haya e un´meros reales que no tengan imagen mediante dichas funciones, de ah´ el u ıestudio de los dominios. Sin embargo, el alumno de Secundaria, e incluso elde Bachillerato, se suele resistir a comprender que haya funciones definidas((a trozos)), ((en partes)), o ((seg´n los casos)). Es decir, funciones en las que uno todos los n´meros tienen el mismo tratamiento, sino que seg´n sea el u un´mero se le aplica una f´rmula u otra para calcular su imagen. El ejemplo u o
    • 24 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSm´s caracter´ a ıstico de este tipo de funciones es la funci´n valor absoluto o h(x) = |x|que se define ((a trozos)) de la siguiente forma x si x ≥ 0 h(x) = −x si x < 0M´s incomprensible suelen se las funciones que se definen ((con un punto aaparte)) como la funci´n o sen x x si x = 0 k(x) = 1 si x = 0o las funciones definidas ((seg´n la naturaleza)) del punto, como por ejemplo u x si x ∈ Q l(x) = −x si x ∈ R − Qen donde a los n´meros racionales se les aplica una f´rmula y a los irra- u ocionales otra. Dentro de esta asociaci´n de ideas, funci´n versus f´rmula, todav´ es o o o ıamucho m´s incomprensible el hecho de que haya funciones para las que no aexista una ((f´rmula)) que las represente. o Otra asociaci´n de ideas que tambi´n suele resultar perniciosa a la ho- o era de generalizar el concepto de funci´n es el identificar la funci´n con su o o((gr´fica)). Tanto la ((f´rmula)) como la ((gr´fica)) son dos instrumentos que a o anos ayudan, enormemente, a comprender el concepto de ((funci´n)), pero no odebemos identificar los instrumentos con el concepto mismo, ni sentirnos“atrapados” por los instrumentos a la hora de generalizar los conceptos. Estas identificaciones de ideas que realizan los alumnos de Secundaria yBachillerato no nos deben de preocupar en demas´ ya que responden a las ıamismas identificaciones de ideas que han realizado los matem´ticos a lo largo ade la historia de las Matem´ticas, pero es bueno explicitarlas y ponerlas de amanifiesto con objeto de superarlas. Estas observaciones ponen de manifiesto que el requisito de que una fun-ci´n sea una f´rmula es indebidamente restrictivo, y m´s a´n, el identificar o o a ulas funciones con sus gr´ficas. Por otro lado, tambi´n resulta importante a ehacer una clara distinci´n entre la funci´n misma y los valores de la funci´n. o o oEs decir, una cosa es la funci´n f y otra el valor f (x). o Una primera aproximaci´n al concepto de funci´n podr´ ser la siguiente o o ıadefinici´n: o Una funci´n f de un conjunto A a un conjunto B (A y B no necesaria- omente distintos) es una regla de correspondencia que asigna a cada elementox de un cierto subconjunto D de A, un elemento (y s´lo uno) bien determi- onado y de B (adem´s, ni A ni B pueden ser el conjunto vac´ a ıo).
    • 1.3. FUNCIONES 25 Esto lo indicaremos de la siguiente forma, f D ⊆ A − B o bien f : D ⊆ A → B → f : x → y, o bien y = f (x) Esta definici´n admite la posibilidad de que la funci´n pueda no estar o odefinida para ciertos elementos de A, as´ como que haya elementos de B que ıno sean im´genes de elementos de A. Es decir, que tanto en A como en B apuede haber elementos no relacionados mediante la funci´n f . Y adem´s, o aadmite la consideraci´n de funciones para las cuales los conjuntos A y B no oson necesariamente de n´meros reales. Sin embargo, la definici´n presenta u oun inconveniente y es que no es totalmente clara, ya que no se define lo quedeba interpretarse por ((regla de correspondencia)). Una forma m´s precisa de definir el concepto de funci´n consiste en a oimaginarla como el conjunto formado por las parejas de elementos que est´n arelacionados entre s´ La funci´n, as´ concebida, ser´ un conjunto de pares ı. o ı ıaordenados f ⊆ A×B. Evidentemente cualquier conjunto de pares ordenadosno define una funci´n, ya que el primer elemento de las parejas no se puede orepetir dentro del conjunto. La funci´n, as´ concebida, ser´ un conjunto, y o ı ıala podemos pensar como el conjunto de puntos que integran la gr´fica de la afunci´n. La definici´n, en estos t´rminos, es la siguiente: o o eDefinici´n 1.10 (Funci´n). Sean A y B conjuntos (no vac´ y no nece- o o ıossariamente distintos). Una funci´n de A a B es un conjunto f de pares oordenados de A × B con la propiedad de que si (a, b) y (a, b ) son elementosde f , entonces b = b . f = {(a, b) ∈ A × B / (a, b) ∈ f y (a, b ) ∈ f ⇒ b = b } Resulta conveniente tener siempre presente esta doble concepci´n de las ofunciones: una est´tica, como un conjunto de pares ordenados (a, b); y otra adin´mica, como una transformaci´n del primer elemento de cada par en el a osegundo b = f (a). Si (a, b) es un elemento de una funci´n f , entonces, en vez de escribir o(a, b) ∈ f , se escribe: b = f (a) o ´ f : a→bes decir, por lo general, se hace referencia al elemento b como el valor de fen el punto a, o la imagen de a bajo f . Al exigir que la imagen ha de estar bien determinada lo que estamoshaciendo es eliminar la posibilidad de definir una funci´n mediante la que ose estableciera, por ejemplo, que la imagen de 4 ser´ 2 o −2, seg´n nos a uconvenga en cada caso.Dominio y recorrido de una funci´n o
    • 26 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSDominio. Al conjunto de todos los elementos de A que pueden aparecer como primeros miembros de elementos de f se le llama dominio de f , y se denota por Df , o simplemente D. Es decir, el dominio est´ formado a por todos los elementos de A que tienen imagen.Recorrido. Al conjunto de todos los elementos de B que puedan aparecer como segundos miembros de elementos de f se le llama rango, recor- rido, imagen o conjunto de valores de f y se denota por Rf , o simple- mente R. Es decir, el recorrido est´ formado por todos los elementos a de B que son imagen. En el caso de que Df = A, la funci´n se llama ((aplicaci´n)), y se dice que o of mapea o proyecta A en B (o que es un mapeo o proyecci´n de A en B) y ose escribe f : A → B.Nota: No obstante, hay que advertir que algunos autores exigen en la definici´n de funci´n o oque el dominio coincida con el conjunto inicial, Df = A, e identifican ((funci´n)) con o((aplicaci´n)). o Sin embargo, nosotros entendemos que no es necesario incluir dicha restricci´n en la odefinici´n de funci´n, y preferimos considerar las ((aplicaciones)) como un caso particular o ode las ((funciones)). Nosotros hablaremos indistintamente de la funci´n f : A → B con dominio D ⊆ A, y ode la aplicaci´n f : D → B, salvo que, por cualquier motivo, tengamos que diferenciarlas. oY, en general, escribiremos f : D ⊆ A → B para hacer referencia a cualquiera de las dosfunciones. En las funciones que se estudian en C´lculo los conjuntos A y B son asubconjuntos de R o de Rn , y escribiremos: f : D ⊆ R −→ R f : x −→ y o bien, y = f (x) En esta notaci´n se enfatiza el dominio D de la funci´n, sin embargo, el o orango no queda expl´ ıcito. En C´lculo nos ocupamos mucho m´s del dominio a aque del rango. Las funciones de este tipo se llaman funciones reales de unavariable real (funciones reales porque las im´genes, f (x), son n´meros reales; a ude una variable real porque x ∈ R).1.3.2. Representaci´n de funciones oExisten diversas maneras de visualizar una funci´n, las m´s usuales son o amediante las cuatro representaciones siguientes: 1. Verbal – mediante una descripci´n con palabras. o 2. Num´rica – mediante una tabla de valores. e 3. Algebraica – mediante una ecuaci´n. o 4. Visual – mediante – una gr´fica, a – un diagrama de flechas, – una m´quina. a
    • 1.3. FUNCIONES 27 Unas representaciones responden mejor a la concepci´n est´tica de la o afunci´n, como conjunto de pares ordenados; y otras a la concepci´n din´mi- o o aca, como proyecci´n o transformaci´n. o oNota: Si bien, una misma funci´n puede representarse mediante todas las maneras posi- obles, incluso, a veces, es conveniente utilizar varias representaciones de una misma funci´n opara tener un conocimiento m´s completo de la misma. Hay que tener en cuenta que aciertas funciones se describen de manera m´s natural con uno de los m´todos que con a eotro.a) Descripci´n verbal. Una funci´n puede venir definida mediante una o odescripci´n verbal. Por ejemplo, la funci´n que indica la relaci´n existente o o oentre el peso de las manzanas y el precio que hay que pagar por ellas,suponiendo que el kilo de manzanas cuesta 1.5 euros.b) Representaci´n tabular. Una manera importante de representar una ofunci´n es mediante una tabla. Es lo que hacemos, normalmente, cuando ovamos a representar gr´ficamente una funci´n: darle valores y formar una a otabla con ellos. La tabla puede construirse de manera horizontal o vertical. x y x0 y0 x x0 x1 · · · x1 y1 y y0 y 1 · · · . . . . . . Este procedimiento es especialmente util cuando se trata de representar ´funciones no num´ricas. Por ejemplo, si queremos asociar una serie de pa´ e ısescon sus capitales, podemos tener la siguiente funci´n: o Pa´ıs Capital Argentina Buenos Aires Chile Santiago Espa˜a n Madrid M´xico e M´xico e Per´u Limac) Expresi´n algebraica. En C´lculo la principal manera de representar o auna funci´n es mediante una ecuaci´n que liga a las variables (dependiente e o oindependiente). Para evaluar la funci´n se a´ la variable dependiente en la o ıslaparte izquierda de la ecuaci´n, con objeto de obtener la relaci´n funcional. o oAs´ si escribimos la ecuaci´n 3x + 2y = 1 de la forma ı, o 1 − 3x y= 2tenemos descrita y como funci´n de x y podemos denotar la relaci´n fun- o ocional mediante la expresi´n o 1 − 3x f (x) = 2
    • 28 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSLo que nos permite evaluar la funci´n f en cualquier punto de su dominio, osin m´s que sustituir x por el valor concreto. As´ a ı, 1 − 3(5) −14 f (5) = = = −7 2 2 Esta manera de expresar las funciones permite definir funciones por sec-ciones, es decir, mediante varias f´rmulas, de tal manera que seg´n los casos o use aplica una u otra.Ejemplo 1.23 (Evaluando una funci´n definida por varias f´rmulas). Dada o ola funci´n definida por o ´ x2 + 3 si x ≥ 1 f (x) = 2x + 5 si x < 1Evaluar f (0), f (1) y f (2).Soluci´n. Lo que significa la expresi´n de f (x) es que antes de decidirnos por o ola f´rmula a aplicar hay que ver de qu´ n´mero se trata. As´ para evaluar los o e u ı,n´meros mayores o iguales que 1 se aplica la expresi´n x2 + 3, y para evaluar u olos n´meros menores que 1 se aplica la expresi´n 2x + 5. En consecuencia, u o f (0) = 2 · 0 + 5 = 0 + 5 = 5 f (1) = 12 + 3 = 1 + 3 = 4 f (2) = 22 + 3 = 4 + 3 = 7d) Gr´fica. Una manera de visualizar una funci´n es por medio de una a ogr´fica. La gr´fica de una funci´n de una variable, por lo general, es una a a ocurva en el plano. Sin embargo, no toda curva del plano es la representaci´n ode una funci´n. Para que una curva represente una funci´n no puede tener o odos puntos en la misma vertical, ya que para que una correspondencia entredos magnitudes sea funci´n, la imagen tiene que ser unica. Por lo tanto, una o ´recta vertical puede cortar a la gr´fica de una funci´n a los sumo una vez a o(test de la recta vertical ). y T y T • y2 y = f (x) •y x E • y1 x x E xFigura 1.9: Gr´fica de una funci´n de una variable. La circunferencia no es la gr´fica de a o auna funci´n (test de la recta vertical). o
    • 1.3. FUNCIONES 29Nota: Aunque la gr´fica de una funci´n y la propia funci´n son dos conceptos totalmente a o odiferentes (la gr´fica no es m´s que uno de los multiples instrumentos que podemos utilizar a apara visualizar la funci´n), es usual identificar una funci´n con su gr´fica. As´ por ejem- o o a ı,plo, es costumbre referirse a la par´bola y = x2 , como si ambos conceptos fueran lo mismo. a(Nosotros, para evitar sutilezas, por lo general, diremos la par´bola de ecuaci´n y = x2 ). a o De lo dicho se desprende que existe una gran cantidad de ((curvas)) quequedan excluidas del concepto de funci´n, entre ellas, la circunferencia y la oelipse. Sin embargo, no por ello quedan excluidas de nuestro estudio. Sinoque aplicaremos las propiedades de las funciones a las correspondencias queno lo son descomponi´ndolas en funciones. Por ejemplo, la ecuaci´n de una e ocircunferencia x 2 + y 2 = 1 no representa (globalmente) una funci´n, ya que opara cada valor de una de las variables hay dos valores de la otra, con locual se viola el concepto de funci´n. En consecuencia, la descomponemos en odos funciones: una que toma el valor positivo (semicircunferencia superior),y otra el valor negativo (semicircunferencia inferior). En efecto, tenemos: √ y1 = +√1 − x2 x +y =1 ⇒ y =1−x ⇒ y =± 1−x 2 2 2 2 2 ⇒ y2 = − 1 − x2 y y √ y T x2 + y 2 = 1 T y = + 1 − x2 T Ex Ex Ex √ y = − 1 − x2Figura 1.10: La circunferencia no es una funci´n, pero podemos descomponerla en dos ofunciones.e) Diagrama de flechas. Existe otra manera de visualizar una funci´n, osobre todo a nivel te´rico, como una proyecci´n de una parte del conjunto o oA hacia una parte del conjunto B. Para visualizarla se utiliza un diagramade flechas. f ar ‚r b Df Rf A B Figura 1.11: Funci´n vista como proyecci´n o o Cuando (a, b) ∈ f , nos imaginamos que f toma el elemento a del subcon-junto Df de A y lo proyecta o mapea en el elemento b = f (a) del subconjuntoRf de B.
    • 30 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSf ) La funci´n como una m´quina. Existe otra manera de visualizar una o afunci´n, concebida como una transformaci´n, especialmente util para com- o o ´prender algunas propiedades te´ricas, y que consiste en imaginar la funci´n o ocomo una ((m´quina)) que acepta elementos de Df como materia prima pro- aduciendo elementos correspondientes de Rf como producto final. x → f → f (x) Figura 1.12: La funci´n como una m´quina de transformaci´n. o a oEsta representaci´n aclara la diferencia entre f y f (x); lo primero es la om´quina y lo segundo el producto de la m´quina al ser alimentada por x. a a1.3.3. Dominio impl´ ıcito de una funci´n oEl dominio de una funci´n puede venir expresado expl´ o ıcitamente junto conla ecuaci´n que define la funci´n (dominio expl´ o o ıcito), o bien, no se expresaporque se entiende que viene determinado impl´ ıcitamente en la ecuaci´n que odefine la funci´n (dominio impl´ o ıcito). El dominio impl´ ıcito es el conjunto detodos los n´meros para los que est´ definida la ecuaci´n que define la funci´n. u a o oPor ejemplo, la funci´n o √ f (x) = x + 3 x ∈ {1, 6, 13} ıcito solamente Df = {1, 6, 13}, y por tanto s´lo setiene como dominio expl´ odebe aplica a los n´mero indicados, mientras que la funci´n u o √ f (x) = x + 3tiene como dominio impl´ ıcito Df = {x / x ≥ −3} que son todos los n´meros upara los que tiene sentido la ecuaci´n que define la funci´n. o o En las aplicaciones pr´cticas del C´lculo, cuando se conoce el significado a ade las magnitudes que intervienen, el dominio de la funci´n, por lo general, oqueda determinado por el contexto del problema (dominio contextual).Ejemplo 1.24 (Hallando el dominio de una funci´n). Encontrar el dominio ode las funciones x √ x−2 a) f (x) = 2−1 b) g(x) = x−1 c) h(x) = √ d) k(x) = ln x x x−1Soluci´n. a) Se trata de encontrar aquellos n´meros, x, para los cuales tiene o usentido la f´rmula dada para f (x). Es decir ¿qu´ valores pueden darse a o ex, de manera que al realizar las operaciones indicadas en la expresi´n que odefine f (x) se obtenga un valor num´rico y no tropecemos con una operaci´n e oimposible?
    • 1.3. FUNCIONES 31 Es evidente que, en este caso, el dominio de la funci´n es todo el con- ojunto R excepto los n´meros 1 y -1, es decir, Df = R − {−1, 1}, pues la uexpresi´n puede ser calculada para cualquier n´mero real, excepto para esos o udos n´meros. En efecto, u 2 2 f (2) = = 22 − 1 3 0 0 f (0) = 2 = =0 0 −1 −1Sin embargo, al sustituir cualquiera de los n´meros 1 o -1 tropezamos con uuna operaci´n imposible, como es dividir por cero. o 1 1 f (1) = = −1 12 0 −1 −1 f (−1) = 2−1 = (−1) 0La determinaci´n de los n´meros 1 y -1 se realiza resolviendo la ecuaci´n o u o x2 − 1 = 0 → x2 = 1 → x = ±1T´ngase en cuenta que en una fracci´n la unica limitaci´n que existe es que e o ´ oel denominador no puede tomar el valor cero, mientras que el numeradorpuede tomar cualquier valor.b) Se trata de una ra´ cuadrada, luego el radicando no puede ser negativo. ızEn consecuencia x−1≥0 → x≥1 ⇒ Dg = [1, +∞)c) En esta caso, al estar la ra´ cuadrada en el denominador no puede tomar ızel valor cero, luego el radicando ha de ser estrictamente positivo, En conse-cuencia x − 1 > 0 → x > 1 ⇒ Dh = (1, +∞)d) El logaritmo s´lo est´ definida para los n´meros positivos. En consecuen- o a ucia Dk = (0, +∞)Nota: Al calcular el dominio de una funci´n deben tenerse en cuenta, entre otras, las osiguientes circunstancias: 1. Que no se puede dividir por cero. 2. Que las ra´ıces de ´ ındice par s´lo est´n definidas para los n´meros positivos y el o a u cero. 3. Que los logaritmos s´lo est´n definidos para los n´meros positivos. o a u
    • 32 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS1.3.4. Restricciones y extensiones de funcionesRestricci´n Si f es una funci´n con dominio Df y D1 es un subconjunto o o de Df , D1 ⊆ Df , se puede definir una nueva funci´n f1 con dominio o D1 por medio de f1 (x) = f (x) para cada x ∈ D1 . Esta funci´n se llama o restricci´n de f al conjunto D1 . Es decir, o f1 = {(a, b) ∈ f / a ∈ D1 } y se escribe f1 = f |D1 para denotar la restricci´n de la funci´n f al o o conjunto D1 .Extensi´n Si g es una funci´n con dominio Dg y D2 ⊇ Dg , entonces o o cualquier funci´n g2 con dominio D2 tal que g2 (x) = g(x) para to- o do x ∈ Dg se llama una extensi´n de g al conjunto D2 . oNota: Usualmente no nos referiremos expl´ ıcitamente a las restricciones de una funci´n, o ıcita utilizando el siguiente lenguaje: Sea f una funci´nsino que lo haremos de manera impl´ odefinida en un entorno de x0 , entonces ... o bien, sea f una funci´n definida y que cumple otal condici´n en un conjunto D1 , entonces ... u otras expresiones similares. Entendemos oque, en dichos casos, la funci´n puede tener un dominio superior, pero que el entorno o el oconjunto D1 , respectivamente, est´n contenidos en ese dominio. Sin hacer disquisiciones aexquisitas sobre si nos estamos refiriendo a la funci´n o a una restricci´n de la misma. o o1.3.5. Composici´n de funciones. oComposici´n de funciones, en general. Componer dos funciones con- osiste en aplicar la segunda funci´n al resultado de la primera. Es decir, para o((componer)) dos funciones se aplica primero f a cada x en Df y despu´s seeaplica g a f (x), siempre que sea posible (es decir, cuando f (x) pertenezca aDg ). f g x −→ y −→ z x −→f (x)−→ g f (x) Por ejemplo, si f est´ definida en todo R por f (x) = x3 y g est´ definida s´lo para a a o √x ≥ 0 por g(x) = x, entonces, la composici´n g ◦ f s´lo se puede definir para x ≥ 0, y o o √para estos n´meros reales deber´ tener el valor x3 . u a En consecuencia, para poder componer dos funciones el conjunto finalde la primera funci´n tiene que coincidir, de alguna manera, con el conjunto oinicial de la segunda. f g A −→ B −→ CDefinici´n 1.11 (Composici´n como aplicaci´n sucesiva de fun- o o ociones). Sea f una funci´n con dominio Df en A y rango Rf en B y osea g una funci´n con dominio Dg en B y rango Rg en C. La composici´n o og ◦ f (observe el orden) es la funci´n desde A a C dada por og◦f = {(a, c) ∈ A×C / existe un elemento b ∈ B tal que (a, b) ∈ f y (b, c) ∈ g}
    • 1.3. FUNCIONES 33De la propia definici´n se desprende inmediatamente que si f y g son fun- ociones, entonces la composici´n g ◦ f es una funci´n con o o Dg◦f = {x ∈ Df / f (x) ∈ Dg } Rg◦f = {g f (x) / x ∈ Dg◦f }La composici´n de funciones tambi´n se puede interpretar como una susti- o etuci´n de una funci´n en la otra. En este sentido, la composici´n tambi´n o o o ese puede definir de la siguiente formaDefinici´n 1.12 (Composici´n como sustituci´n de la variable). o o oSean f y g dos funciones cualesquiera. Se llama composici´n de f con g, y ose representa por g ◦ f , a la funci´n definida del siguiente modo: o ä ç g ◦ f (x) = g f (x)El dominio de g ◦ f es el conjunto de todas las x del dominio de f tales quef (x) est´ en el dominio de g e Dg◦f = {x ∈ Df / f (x) ∈ Dg } Obs´rvese que el orden en que se escribe la composici´n g ◦f es el inverso e oal orden en que act´an las funciones (primero f , despu´s g). u e La composici´n de funciones se puede visualizar mediante un diagrama ode m´quinas (Fig. 1.13) o un diagrama de flechas (Fig. 1.14) a ä ç x → f → f (x) → g → g f (x) Figura 1.13: La m´quina g ◦ f est´ compuesta por las dos m´quinas. a a a f g ‚ ‚ x • • ä ç • f (x) g f (x) B g◦f Figura 1.14: Composici´n de funciones o De la definici´n se deduce que la composici´n de funciones no siempre o oest´ definida, siendo necesario y suficiente para ello que el recorrido de la aprimera tenga puntos comunes con en el dominio de la segunda. Es decir, Rf ∩ Dg = ∅
    • 34 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOScon objeto de que se pueda establecer la conexi´n o x −→ f (x) −→ g f (x)para alg´n elemento x ∈ Df . uNota: No obstante, en ocasiones, y sobre todo a nivel te´rico, nos va a interesar que oel dominio de la funci´n compuesta no se reduzca a un conjunto de ((puntos aislados)), osino que se trate de un ((conjunto abierto)), con objeto de poder asegurar determinadosteoremas, por ejemplo, de derivaci´n. En el caso particular de que el recorrido de la primera ofunci´n est´ totalmente contenido en el dominio de la segunda, resultar´ que el dominio o e ade la composici´n coincidir´ con el dominio de la primera funci´n. o a o f g ‚ ‚ Df Dg B A B C g◦f   ¡ Figura 1.15: f D ⊆ D ⇔ Dg◦f = Df f g Si no se da esta situaci´n, entonces exigiremos la posibilidad de poder restringir la o   ¡ ∗funci´n f a un nuevo dominio Df , que cumpla las condiciones exigidas en el teorema o ∗ ∗correpondiente, y para el que se cumpla f Df ⊆ Dg , con objeto de que Dg◦f = Df . Ahora bien, en la pr´ctica, cuando vamos a resolver un problema de composici´n de a ofunciones, para ver si es posible la composici´n, simplemente nos fijaremos en los conjun- otos inicial y final de cada funci´n, sin hacer referencia a los dominios. En consecuencia, obastar´ observar si el conjunto final de la primera funci´n coincide (o se puede hacer coin- a ocidir, de alguna manera) con el conjunto inicial de la segunda, y posteriormente haremosreferencia al dominio de la composici´n obtenida. Es decir, para componer buscaremos la oposibilidad de la situaci´n: o f g A −→ B B −→ Cpara poder establecer: g◦f A −→ C Para representar la composici´n de funciones, algunas veces, son c´modos o olos siguientes diagramas conmutativos: f A −−→ B −− h g CDecir que el esquema es conmutativo significa que da lo mismo pasar de A aC por la derecha que por la izquierda. Lo que equivale a escribir: h = g ◦ f . Tambi´n es costumbre representar el diagrama anterior con un aspecto em´s lineal a f g A− B− C → →
    • 1.3. FUNCIONES 35 Hay que advertir que, en general, la composici´n de funciones no es oconmutativa, es decir, en la generalidad de los casos ser´ f ◦g = g◦f , incluso, apuede suceder que est´ definida la composici´n en un orden y no en el otro. e oSin embargo, s´ se cumple la propiedad asociativa f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h. ıComposici´n de funciones reales de una variable real. Componer dos ofunciones consiste en aplicar la segunda funci´n al resultado de la primera. oAhora bien, desde el punto de vista anal´ ıtico, este concepto puede teneruna segunda lectura. Anal´ ıticamente, la composici´n de funciones, tambi´n o esignifica sustituir una funci´n en la otra. Es decir, si tenemos la funci´n o oy = f (x) que establece la dependencia entre y y x, y la funci´n x = g(t), oque establece la dependencia entre x y t, podemos sustituir esta ultima en ´la primera y obtener y = f g(t) . A la funci´n as´ obtenida (que env´ t a o ı ıay) se le llama composici´n de f con g y se denota por f ◦ g. Obs´rvese que o eel orden en que se escribe la composici´n f ◦ g es el inverso al orden en que oact´an las funciones (primero g, despu´s f ). u e Conviene tener siempre presente esta doble visualizaci´n de la composi- oci´n de funciones: como aplicaci´n sucesiva de dos funciones, y como susti- o otuci´n de la variable por una funci´n de otra variable. En esquema ser´ lo o o ıasiguiente:(a) Como aplicaci´n sucesiva de funciones: o g f t• ‚ ‚ x• •y B f ◦g Figura 1.16: Composici´n de funciones o(b) Como sustituci´n de la variable: o y = f (x) y = f g(t) x = g(t) Es evidente, como ya se ha dicho, que para poder componer dos fun-ciones, en su totalidad, el rango de la primera ha de estar contenido en eldominio de la segunda g(Dg ) ⊆ Df , en caso contrario, despu´s de aplicar g eno podr´ıamos aplicar f . Sin embargo, esta restricci´n no es necesaria para opoder realizar, parcialmente, la composici´n de las funciones, s´lo que, en o oeste caso, habr´ que reducir el dominio de la composici´n a los puntos del a odominio de la primera que tienen su imagen en el dominio de la segunda. Desde el punto de vista formal la composici´n, de funciones reales de una ovariable real, puede enunciarse de la siguiente forma: Dadas las funciones
    • 36 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSg : I ⊆ R → R, f : J ⊆ R → R (tales que g(I) ⊆ J), se llama composici´n ode f con g y se denota f ◦ g : I ⊆ R → R, a la funci´n (f ◦ g)(x) = f g(x) . o g f µ g:I⊆R→R I→J − R − → (f ◦ g)(x) = f g(x) f :J ⊆R→R f ◦g :I ⊆R→REn el caso de que no se cumpla la condici´n g(I) ⊆ J, la composici´n tambi´n o o ees posible, siempre que g(I) ∩ J = ∅. En tal caso habr´ que restringir las afunciones a aquellos puntos en los que la composici´n sea posible. Es decir, oa los puntos del dominio de la primera que tienen su imagen en el dominiode la segunda.Ejemplo 1.25 (Componiendo funciones). Dada las funciones f (x) = 3x − 1 y g(x) = x2 + 2Hallar f ◦ g(x) y g ◦ f (x)Soluci´n. Tenemos que f ◦ g(x) = f g(x) , luego, bastar´ con sustituir en o af (x) el valor de x por g(x). As´ ı, f ◦ g(x) = f g(x) = 3g(x) − 1 = 3(x2 + 2) − 1 = 3x2 + 6 − 1 = 3x2 + 5Mientras que g ◦f (x) = g f (x) , luego, bastar´ con sustituir en g(x) el valor ade x por f (x). As´ ı, 2g◦f (x) = g f (x) = f (x) +2 = (3x−1)2 +2 = 9x2 −6x+1+2 = 9x2 −6x+3Nota: Como se observa en este ejemplo, en general, la composici´n de funciones no cumple ola propiedad conmutativa. Es decir, f ◦ g = g ◦ f .1.3.6. Funciones inyectivas e inversasFunci´n inyectiva. Una funci´n se dice que es inyectiva cuando elementos o odistintos tienen im´genes distintas, es decir, cuando no existen dos elementos adistintos con la misma imagen. Por tanto, f es inyectiva si y s´lo si: o f (a) = f (a ) ⇒ a = aO bien, alternativamente, f es inyectiva si y s´lo si, para a y a en Df , se otiene a = a ⇒ f (a) = f (a )Formalmente se puede establecer la siguiente definici´n: oDefinici´n 1.13 (Funci´n inyectiva). Sea f una funci´n con dominio o o oDf en A y rango Rf en B. Se dice que f es inyectiva o uno a uno si, cadavez que (a, b) y (a , b) son elementos de f , entonces a = a
    • 1.3. FUNCIONES 37 Si f es inyectiva se dice que f es una inyecci´n. oFunci´n inversa. Se llama rec´ o ıproca de una funci´n a la correspondencia oque se obtiene al intercambiar las im´genes por los correspondientes origi- anales de dicha funci´n. Evidentemente la rec´ o ıproca de una funci´n no tiene opor qu´ ser otra funci´n. En efecto, basta que dos elementos diferentes ten- e ogan la misma imagen, para que la rec´ ıproca asigne a esa imagen los dosoriginales, lo que contradice la definici´n de funci´n. Sin embargo, si la fun- o oci´n es inyectiva, entonces la rec´ o ıproca es una funci´n y, adem´s, es inyectiva. o aEs decir, si f es inyectiva desde A a B, entonces el conjunto de pares orde-nados en B × A que se obtienen al intercambiar las componentes de cadauno de los pares ordenados de f da una funci´n g que tambi´n es inyectiva. o eTeorema 1.1 (Existencia de funci´n la inversa). Una funci´n posee o ofunci´n inversa si y s´lo si es inyectiva o o Las relaciones entre una funci´n f y su inversa g son las siguientes: o f ´ Dg = Rf , Rg = Df A −−→ B −− − ←g − (a, b) ∈ f ⇔ (b, a) ∈ g o bien b = f (a) ⇔ a = g(b) o o ıproca de f y se denota por f −1 .La funci´n g se llama funci´n inversa o rec´En consecuencia: f ´ Df −1 = Rf , Rf −1 = Df A ←−− B −−→ −− f −1 (a, b) ∈ f ⇔ (b, a) ∈ f −1 o bien b = f (a) ⇔ a = f −1 (b) En consecuencia, se puede establecer la siguienteDefinici´n 1.14 (Funci´n rec´ o o ıproca o inversa). Sea f una inyecci´n ocon dominio Df en A y rango Rf en B. Si g = {(b, a) ∈ B × A / (a, b) ∈ f },entonces g es una inyecci´n con dominio Dg = Rf en B y con rango Rg = oDf en A. La funci´n g se llama funci´n inversa de f y se denota por f −1 o o Desde el punto de vista del mapeo, la funci´n inversa se puede interpretar ode la siguiente forma: Si f es inyectiva mapea elementos distintos de Df haciaelementos distintos de Rf . De tal manera que cada elemento b de Rf es laimagen bajo f de un unico elemento a de Df . La funci´n inversa f −1 mapea ´ oel elemento b hacia este elemento unico a. ´Proposici´n 1.7 (Composici´n de funciones rec´ o o ıprocas). Dos fun-ciones son rec´ıprocas si y solamente si, al componerlas se obtiene la identi-dad. Es decir, f f −1 (x) = x para todo x del dominio de f −1 y f −1 f (x) = x para todo x del dominio de f
    • 38 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS f ar rb Df Rf f −1 A B Figura 1.17: Funci´n inversa oNota: En consecuencia, para que dos funciones reales de variable real, f y g, sean inversasla una de la otra se ha de cumplir: 1. Dg = Rf , y Rg = Df . 2. Que ambas sean inyectivas: 3.   ¡   f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 y g(x1 ) = g(x2 ) ⇒ x1 = x2 Que su composici´n sea la identidad f g(x) = g f (x) = x o ¡Ejemplo 1.26 (Componiendo funciones rec´ ıprocas). Comprobar que las si-guientes funciones son rec´ ıprocas √ f (x) = x3 + 1 y g(x) = 3 x−1Soluci´n. Se tiene: oa) Los dominios y recorridos de ambas funciones coinciden con el conjuntode los n´meros reales. En consecuencia Dg = Rf , y Rg = Df ub) Ambas funciones son inyectivas. En efecto. f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x3 + 1 = x3 + 1 ⇒ x3 = x3 ⇒ x1 = x2 1 2 1 2 √ √ g(x1 ) = g(x2 ) ⇒ 3 x1 − 1 = 3 x2 − 1 ⇒ x1 − 1 = x2 − 1 ⇒ x1 = x2c) La composici´n de f con g viene dada por o √ 3 f g(x) = 3 x−1 +1=x−1+1=xy la composici´n de g con f viene dada por o Õ √ 3 x3 + 1 − 1 = x3 + 1 − 1 = 3 3 g f (x) = x3 = xLuego se tiene que f g(x) = g f (x) = x y, en consecuencia, podemosconcluir que f y g son inversas una de otra. En la Figura 1.18 aparecen las gr´fica de las funciones f y g. Como puede averse, son sim´tricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante, ey = x. Es decir, la gr´fica de f −1 es una reflexi´n de la gr´fica de f en la a o al´ ınea y = x.
    • 1.3. FUNCIONES 39 3 y=x y 2 1 f (x) = x3 + 1 0 x -1 √ g(x) = 3 x−1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 Figura 1.18:Proposici´n 1.8 (Rec´ o ıproca de la rec´ ıproca). Si g es la inversa de f ,entonces tambi´n f es la inversa de g. Es decir, la rec´ e ıproca de la rec´ ıprocaes la propia funci´n. o −1 f −1 =fNota: Hay que advertir que aunque para denotar a la funci´n inversa se utiliza el expo- onente −1, no por eso se trata de una potencia. La utilizaci´n de esta notaci´n es c´moda o o ocias, como es que la rec´ ıproca coincide con la propia funci´n f −1 ıproca de la rec´ o  porque algunas propiedades de la funci´n inversa recuerdan las propiedades de las poten- o −1 ¡ = f.Sin embargo, hay que advertir que esta notaci´n puede inducir a enga˜o, ya que, en general o n 1 f −1 (x) = f (x)C´lculo de la correspondencia rec´ a ıproca. Para calcular la rec´ ıproca deuna funci´n se pueden seguir dos procedimientos: oa) Deshaciendo operaciones. Consiste en deshacer las operaciones en elorden inverso al que est´n realizadas en la funci´n dada. Este m´todo so- a o elamente es aplicable a funciones que vienen definidas mediante ecuacionessencillas, en las que aparece una sola vez la variable independiente x. Par-tiendo de x vemos qu´ operaciones hay que realizar para construir la funci´n e of (x). La inversa se obtiene deshaciendo las operaciones en el orden inversoal que est´n realizadas en la funci´n dada. a ob) Despejando la variable independiente. Consiste en despejar la vari-able independiente, x, en la ecuaci´n y = f (x), con objeto de obtener la orec´ ıproca, x = g(y) (que puede expresarse en t´rminos de x intercambiando ex por y para obtener y = g(x)).Nota: Los pasos a seguir para calcular la funci´n inversa son: o 1. Comprobar que la funci´n es inyectiva y, en consecuencia, tiene funci´n inversa o o (Teorema 1.1 p´g. 37). a 2. Despejar x en funci´n de y: x = g(y) = f −1 (y). o 3. Intercambiar x por y, con objeto de tener la funci´n inversa en t´rminos de x: o e y = g(x) = f −1 (x).
    • 40 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS 4. Definir el dominio de f −1 como el recorrido de f .Ejemplo 1.27 (Deshaciendo operaciones). Calcular la rec´proca de las si- ıguientes funciones a) f (x) = x + 3 b) f (x) = 3x b) f (x) = 5x3 + 2Soluci´n. Las tres funciones son inyectivas y est´n definidas para todos los o an´meros reales, en consecuencia, sus correspondencias rec´ u ıprocas son fun-ciones. Para calcularlas, partimos de x y deshacemos las operaciones, en elorden inverso al que est´n dadas. As´ a ı,a) La funci´n f supone sumar 3. En consecuencia, su rec´ o ıproca consistir´ en arestar 3. f (x) = x + 3 ⇒ f −1 (x) = x − 3b) La funci´n f supone multiplicar por 3. En consecuencia, su rec´ o ıprocaconsistir´ en dividir por 3. a f (x) = 3x ⇒ f −1 (x) = x/3c)La funci´n f supone: o 1o ) Elevar al cubo 2o ) Multiplicar por 5 3o ) Sumar 2En consecuencia, su rec´ ıproca consistir´ en: a Ö 1o ) Restar 2 2o ) Dividir por 5 3o ) Extraer la ra´ c´bica. ız u x−2Luego, f −1 (x) = 3 5Ejemplo 1.28 (Hallando la funci´n rec´ o ıproca). Hallar, si existen, las fun-ciones inversas de: a) f (x) = x2 b) f (x) = x2 con Df = {x ∈ R/ x ≥ 0} c) f (x) = x2 con Df = {x ∈ R/ x ≤ 0}Soluci´n. a) La funci´n f (x) = x2 con dominio Df = R no es inyectiva y o oen consecuencia la correspondencia inversa no es una funci´n. En efecto, la ofunci´n f es la funci´n f = {(x, x2 ); x ∈ R}, y f´cilmente se ve que no es o o auno a uno. En efecto, f (2) = f (−2) = 4, y en consecuencia los dos paresordenados (2, 4) y (−2, 4) pertenecen a f . En general, se tiene x1 = x2 f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x2 = x2 ⇒ 1 2 x1 = −x2b) En este caso, al haberse restringido el dominio de la funci´n, exclusiva- omente, a los n´meros no negativos, la funci´n resulta inyectiva. En efecto, u o f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x2 = x2 ⇒ x1 = x2 1 2
    • 1.3. FUNCIONES 41En consecuencia, la funci´n tiene inversa. El procedimiento para calcular la ofunci´n inversa consiste en expresar x en funci´n de y. o o √ y = x2 ⇒ x = y y ∈ Rf = {y ∈ R; y ≥ 0} √O bien, expresado en t´rminos de x, f −1 (x) = e xc) Este caso es similar al caso anterior. La funci´n tambi´n es inyectiva y, o een consecuencia, tiene inversa. √ f −1 (x) = − xEjemplo 1.29 (Hallando la funci´n rec´ o ıproca). Hallar, si existe, la funci´n orec´ ıproca de: 3x + 5 f (x) = x−2Soluci´n. –La funci´n es inyectiva. En efecto, sea f (x1 ) = f (x2 ), ser´; o o a 3x1 + 5 3x2 + 5 = x1 − 2 x2 − 2de donde, quitando denominadores y operando, resulta (3x1 + 5)(x2 − 2) = (3x2 + 5)(x1 − 2) 3x1 x2 − 6x1 + 5x2 − 10 = 3x1 x2 − 6x2 + 5x1 − 10y simplificando, resulta x1 = x2–Despejando la variable x resulta, 3x − 5 y= ⇒ y(x − 2) = 3y + 5 ⇒ yx − 2y = 3y + 5 ⇒ x(y − 3) = 2y + 5 x−2 2y + 5 ⇒x= y−3De donde, intercambiando la variables, se tiene 2x + 5 2x + 5 y= ⇒ f −1 (x) = x−3 x−3–En lo que respecta al dominio y recorrido, se tiene: Df = Rf −1 = R − {2} Rf = Df −1 = R − {3}Nota: El proceso para obtener la ecuaci´n correspondiente a la rec´ o ıproca de una funci´n, osuele ser complicado y en muchos casos imposible. As´ ı,
    • 42 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS 1. Mediante el procedimiento de deshacer operaciones solamente es posible hallar la ecuaci´n de la rec´ o ıproca de funciones sencillas, tales que en su f´rmula s´lo aparezca o o una vez la variable x. De manera que sea posible establecer una cadena lineal que vaya desde x hasta y. Con objeto de poder invertir el proceso. 2. Mediante el despeje de la variable independiente es posible hallar la ecuaci´n corres- o pondiente a la funci´n inversa de funci´n con ecuaciones algo m´s complejas que el o o a caso anterior. Sin embargo, no siempre es posible despejar la variable independiente en una ecuaci´n. o 3. Existen muchas ecuaciones para las que no es posible encontrar la ecuaci´n que o corresponde a la funci´n inversa, a pesar de que dicha funci´n existe. Por ejemplo, o o la funci´n f (x) = ex + x es inyectiva y, en consecuencia, tiene funci´n inversa, sin o o embargo, no sabemos encontrar su ecuaci´n. oProposici´n 1.9 (Simetr´ de las correspondencias inversas). La o ıagr´fica de una correspondencia f y la de su rec´ a ıproca f −1 son sim´tricas erespecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante, y = xDemostraci´n. En efecto, por definici´n de la inversa, se tiene o o (a, b) ∈ f ⇔ (b, a) ∈ f −1 y f y=x (b, a) f −1 (a, b) x Figura 1.19: Simetr´ de las correspondencias inversas ıa Para que la correspondencia rec´ ıproca f −1 de una funci´n f sea otra ofunci´n, la funci´n f ha de ser inyectiva. Gr´ficamente puede determinarse o o asi una funci´n es inyectiva o no mediante el criterio de la recta horizontal. oUna funci´n es inyectiva si y s´lo si su gr´fica no tiene nunca dos puntos o o aen la misma horizontal. Por tanto, una funci´n f tiene funci´n inversa si y o os´lo si cada recta horizontal corta a la gr´fica de f a lo sumo una vez. o aNota: En consecuencia se tienen los dos criterios:a) Criterio de la recta vertical. Para que una curva represente una funci´n, no puede otener dos puntos en la misma vertical.b) Criterio de la recta horizontal. Para que una funci´n sea inyectiva y, en consecuen- ocia, tenga funci´n inversa, su gr´fica no puede tener dos puntos en la misma horizontal. o aProposici´n 1.10 (Las funciones estrictamente mon´tonas son in- o oyectivas). Si una funci´n f es estrictamente mon´tona en un intervalo, o oentonces es inyectiva en ese intervalo.
    • 1.3. FUNCIONES 43Demostraci´n. Una funci´n es estrictamente mon´tona en un intervalo si o o oes: o bien estrictamente creciente, en dicho intervalo; o bien estrictamentedecreciente. Por otro lado, una funci´n es inyectiva si puntos distintos tienen im´genes o adistintas. Es decir, x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 )Elijamos x1 y x2 en el intervalo dado. Si x1 = x2 ser´: o bien x1 < x2 ; o abien x1 > x2 . Y al ser f estrictamente mon´tona ser´ f (x1 ) < f (x2 ); o bien o af (x1 ) > f (x2 ). En ambos casos f (x1 ) = f (x2 ). Por tanto f es inyectiva enel intervalo. x1 < x2 f (x1 ) < f (x2 ) x1 = x2 ⇒ o ´ ⇒ o ´ ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) x1 > x2 f (x1 ) > f (x2 )Nota: El rec´ ıproco de esta proposici´n no es cierto. Es decir, una funci´n inyectiva no o otiene porqu´ ser estrictamente mon´tona. Es m´s, puede ser estrictamente creciente en un e o aintervalo y estrictamente decreciente en otro intervalo, con tal de que no haya dos puntosen la misma horizontalCorolario 1.1. Si una funci´n es estrictamente mon´tona, entonces tiene o ofunci´n inversa. oDemostraci´n. En efecto, si la funci´n es estrictamente mon´tona, entonces o o oser´ inyectiva y, en consecuencia, tendr´ inversa. a a1.3.7. Funciones suprayectivas y biyectivasDefinici´n 1.15 (Funci´n suprayectiva). Sea f una funci´n con Df ⊆ A o o oy rango Rf ⊆ B. Se dice que f es suprayectiva o sobreyectiva cuando elrango coincide con el conjunto final Rf = BDefinici´n 1.16 (Funci´n biyectiva). Sea f una funci´n con Df ⊆ A y o o orango Rf ⊆ B. Se dice que f es biyectiva si es, simult´neamente, inyectiva ay suprayectiva. Si una funci´n es biyectiva, se dice que es una biyecci´n. o o1.3.8. Im´genes directa e inversa de un conjunto a Sea f una funci´n arbitraria con dominio Df en A y rango Rf en B. Se odefine2 ,Definici´n 1.17 (Imagen directa de un conjunto). Si E es un subcon- ojunto de A, entonces la imagen directa de E bajo f es el subconjunto de Rfdado por f (E) = {f (x); x ∈ E ∩ Df } 2 Para m´s detalles sobre estos temas v´ase [3, Bartle], citado en la bibliograf´ a e ıa.
    • 44 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS Si E ∩ Df = ∅, entonces f (E) = ∅. Si E contiene un unico elemento p ´de Df , entonces el conjunto f (E) contiene un unico punto f (p) ´Definici´n 1.18 (Imagen inversa de un conjunto). Si H es un sub- oconjunto de B, entonces, la imagen inversa de H bajo f es el subconjuntode Df dado por: f −1 (H) = {x; f (x) ∈ H}1.3.9. Funciones pares e imparesDefinici´n 1.19 (Funciones pares e impares). Una funci´n y = f (x) o ose dice que es par si f (−x) = f (x)Una funci´n y = f (x) se dice que es impar si o f (−x) = −f (x)Nota: En las funciones pares al cambiar x por −x se obtiene la misma expresi´n total. oEn las funciones impares al cambiar x por −x la expresi´n total cambia de signo. oEjemplo 1.30. Determinar si las siguientes funciones son pares o impares a) f (x) = x2 − 1 b) g(x) = x3 + x c) h(x) = x2 + xSoluci´n. a) Esta funci´n es par ya que o o f (−x) = (−x)2 − 1 = x2 − 1 = f (x)b) Esta funci´n es impar ya que o g(−x) = (−x)3 + (−x) = −x3 − x = −(x3 + x) = −g(x)c) Esta funci´n no es ni par ni impar. En efecto, o = h(x) h(−x) = (−x)2 + (−x) = x2 − x = −h(x)Proposici´n 1.11 (Simetr´ de las funciones pares e impares). La o ıagr´fica de una funci´n par es sim´trica respecto del eje vertical y la gr´fica a o e ade una funci´n impar es sim´trica respecto del origen de coordenadas. o e
    • 1.3. FUNCIONES 45 y y (x, y) (−x, y) (x, y) x x (−x, −y) Funci´n par: f (−x) = f (x) o Funci´n impar: f (−x) = −f (x) o Figura 1.20: Simetr´ de las funciones pares e impares ıa d yT   d   d   d  x E Figura 1.21: Gr´fica de la funci´n valor absoluto f (x) = |x| a o1.3.10. La funci´n valor absoluto oEjemplo 1.31. Representar la funci´n f (x) = |x| oSoluci´n. Expresando la funci´n “por casos”, se tiene: o o ´ x si x ≥ 0 f (x) = −x si x < 0Luego, se trata de dos semirrectas con un origen com´ n (las bisectrices del uprimer y segundo cuadrante que confluyen en el origen de coordenadas).Ejemplo 1.32. Representar la funci´n f (x) = |x2 − 6x + 5| oSoluci´n. La gr´fica de la funci´n g(x) = x2 − 6x + 5, es una par´bola. El o a o avalor absoluto convierte la parte negativa de esa par´bola en positiva. En aconsecuencia, lo que en la par´bola est´ por debajo del eje horizontal se a arefleja por encima de dicho eje. y T 5 4 3 2 1 x E 0 1 2 3 4 5 6 Figura 1.22: Gr´fica de la funci´n f (x) = |x2 − 6x + 5| a o
    • 46 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSEjercicios propuestos de la secci´n 1.3. Funciones o Soluciones en la p´gina 389 a √1.3.1. Dada la funci´n f (x) = o x + 1, hallar a) f (−2) b) f (−1) c) f (3) d) f (x + ∆x)1.3.2. Hallar el dominio de las funciones Ô a) f (x) = x2 − 1 b) g(x) = ln(x − 3) c) h(x) = arc sen(x − 1) √1.3.3. Dadas las funciones f (x) = x y g(x) = x − 1, Hallar   ¡ a) f g(1)   ¡ b) f g(0)   c) f g(x) ¡   d) g f (1) ¡   e) g f (0) ¡   ¡ f) g f (x)1.3.4. Dadas las funciones: x−4 f (x) = g(x) = 2x + 3 x2 + 1   ¡   hallar a) g f (x) b) f g(x) ¡1.3.5. Comprobar, mediante su composici´n, que las siguientes funciones son rec´ o ıprocas: √ f (x) = 3 x + 1, g(x) = (x − 1)31.3.6. Hallar la rec´ ıproca de las funciones: 1 2x + 1 a) f (x) = b) g(x) = x x−11.3.7. Eliminar el valor absoluto de las siguientes ecuaciones, expresando las funciones “por casos”. a) f (x) = x2 − 3|x| + 2 b) g(x) = |x − 2| + |x| + 31.4. L´ ımite de sucesionesSucesi´n oUna sucesi´n es un conjunto de infinitos n´meros ordenados seg´n alg´n o u u ucriterio. Ejemplo, 1 1 1 1 1 {1, , , , , · · · , , · · · } 2 3 4 5 n 1 2 3 4 5 n { , , , , ,··· , ,···} 2 3 4 5 6 n+1 π {1, 0, −1, 0, 1, · · · , sen n , · · · } 2Las sucesiones se pueden considerar como funciones, donde el primer con-junto es el de los n´meros naturales. u 1 2 3 ··· n ··· N ↓ ↓ ↓ ··· ↓ ··· ↓ { a1 a2 a3 · · · an · · · } R
    • 1.4. L´ IMITE DE SUCESIONES 47Aunque las sucesiones son funciones, es costumbre representarlas mediantesub´ ındices en lugar de la notaci´n funcional. As´ en vez de a(n) se escribe o ı,an .Nota: El motivo de esta notaci´n es que con an queremos enfatizar, m´s que la imagen o adel n´mero n, el t´rmino que ocupa en lugar n en la sucesi´n. u e o A los n´meros que componen la sucesi´n a1 , a2 , a3 , . . . , se les llama u ot´rminos de la sucesi´n y a an se le llama “t´rmino general” o “n-simo e o et´rmino” de la sucesi´n y denotaremos la sucesi´n por {an }. e o oDefinici´n 1.20 (Sucesi´n). Una sucesi´n an es una funci´n cuyo do- o o o ominio es el conjunto de los n´meros naturales, a : N → R. A los valores de ula funci´n a1 , a2 , a3 , . . . , se les llama t´rminos de la sucesi´n y al t´rmi- o e o eno an se le llama “t´rmino general” o “n-simo t´rmino” de la sucesi´n y e e odenotaremos la sucesi´n por {an }. o La gr´fica de una sucesi´n es un conjunto de infinitos puntos separados a o(aislados) unos de otros. 1 n an an = n an an = n+1 an an = sen n π T r T T r r 2 1 r r r r n 1 r r r r r n 1 n 0 E 0 E 0 r r E 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 r -1 -1 -1 Figura 1.23:L´ ımite de una sucesi´n oCentraremos nuestra atenci´n en ver si los t´rminos de una sucesi´n se van o e oaproximando cada vez m´s a alg´n valor. A ese valor se le llama l´ a u ımite dela sucesi´n. Las sucesiones que tienen l´ o ımite se llaman convergentes. 1 1 1 1 1 {1, , , , , · · · , , · · · } → 0 2 3 4 5 n 1 2 3 4 5 n { , , , , ,··· , ,···} → 1 2 3 4 5 6 n+1 π {1, 0, −1, 0, 1, · · · , sen n , · · · } → Sin l´ ımite 2Definici´n 1.21 (L´ o ımite de una sucesi´n). Se dice que el l´ o ımite de lasucesi´n {an } es y escribimos o l´ an = ım n→∞Si para cada ε > 0 existe k > 0 tal que |an − | < ε siempre que n > k.
    • 48 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS l´ an = ım ⇔ ∀ε > 0 ∃k > 0 ∀n ∈ N n > k ⇒ |an − | < ε n→∞Las sucesiones que tienen l´ ımite finito se llaman convergentes y las dem´s adivergentes Gr´ficamente, la definici´n dice que desde un lugar en adelante (n > k), a otodos los t´rminos de la sucesi´n tienen que estar comprendidos dentro de e ola franja limitada por las rectas y = − ε e y = + ε an Para n > k los t´rminos de la sucesi´n e o est´n todos entre − ε y + ε a +ε −ε n 1 2 3 ... k Figura 1.24: l´ an = ım n→∞ ımite, , por muy estrecha que sea la franja ( − ε, + ε), siempreNota: Para que exista el l´se ha de poder encontrar un t´rmino a partir del cual todos los que le siguen est´n dentro e ade la franja.Ejemplo 1.33 (Determinando la convergencia o divergencia de una sucesi´n). oDeterminar la convergencia o divergencia de las sucesiones nπ a) an = 2 + (−1)n b) bn = sen 2Soluci´n. a) Los t´rminos de la sucesi´n an = 2 + (−1)n son o e o 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, · · ·Como la sucesi´n siempre tiene t´rminos que oscilan entre 1 y 3, resulta que o eno tiene l´ ımite y en consecuencia diverge (por oscilaci´n). o nπb)Los t´rminos de la sucesi´n bn = sen e o son 2 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, · · ·Como la sucesi´n siempre tiene t´rminos que oscilan entre -1 y 1, resulta o eque no tiene l´ ımite y en consecuencia diverge (por oscilaci´n). o
    • 1.4. L´ IMITE DE SUCESIONES 491.4.1. C´lculo de l´ a ımites de sucesionesProposici´n 1.12 (Propiedades algebraicas de los l´ o ımites de suce-siones). Si l´ an = 1 y l´ bn = 2 ım ım n→∞ n→∞entonces se cumplen las siguientes propiedades 1. l´ (an ± bn ) = ım 1 ± 2 2. l´ ran = r 1 , r ∈ R ım n→∞ n→∞ an 1 3. l´ an bn = ım 1 2 4. l´ ım = , bn = 0 y 2 =0 n→∞ n→∞ bn 2 5. l´ (an )bn = ( 1 ) 2 , si ım 1 >0 n→∞Reglas elementales para el c´lculo de l´ a ımites. Las reglas m´s fre- acuentes para eliminar la indeterminaci´n del l´ o ımite de una sucesi´n son las osiguientes: 1. Indeterminaci´n del tipo ∞ . Se suele eliminar dividiendo numerador y o ∞ denominador por un t´rmino que elimine uno de los dos infinitos (por e ejemplo, m´xima potencia de n). a 2. Cociente de dos polinomios. Es un caso particular de la anterior. Este caso se reduce al cociente de los t´rminos de mayor grado, y se simpli- e fica la n. ap np + ap−1 np−1 + · · · + a0 ap np l´ ım = l´ ım n→∞ bq nq + bq−1 nq−1 + · · · + b0 n→∞ bq nq 3. Indeterminaci´n del tipo ∞ − ∞. En el caso de que se trate de ra´ o ıces cuadradas la indeterminaci´n se suele eliminar multiplicando y divi- o diendo por el conjugado, con objeto de tener suma por diferencia, de manera que al aplicar la diferencia de cuadrados se elimine la ra´ ız cuadrada. 4. Indeterminaci´n del tipo 1∞ . Se aplica el n´mero e. o u 1 n l´ ım 1+ = e = 2,718 n→∞ n que se generaliza para los l´ ımites del tipo: 1 an l´ ım 1+ = e = 2,718 n→∞ an siempre que l´ an = +∞ ´ l´ an = −∞ ım o ım n→∞ n→∞Ejemplo 1.34. Calcular los siguientes l´mites: ı n+3 n 1. l´ ım = l´ ım =0 n→∞ n3 + 4 n→∞ n3
    • 50 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS −1 3n 2n 1 2n −1 −1 3n −2 1 2. l´ ım 1− = l´ ım 1+ =e 3 = √ 3 2 n→∞ 3n n→∞ 3n e √ 1 3. l´ ım n a = l´ a n = a0 = 1 ım n→∞ n→∞ ln n ln n 1 1 4. l´ ım = l´ ım = l´ ım = =1 n→∞ ln 5n n→∞ ln 5 + ln n n→∞ ln 5 0+1 +1 ln n 3 ä ç 3 ln(n + 3) ln n(1 + n ) ln n + ln(1 + n ) 5. l´ ım = l´ ım = l´ ım = n→∞ ln n n→∞ ln n n→∞ ln n 3 ln(1 + n ) = l´ ım 1 + =1+0=1 n→∞ ln n2 − n2 + (a + b)n + ab 6. l´ ım n− (n + a)(n + b) = l´ ım = n→∞ n→∞ n+ (n + a)(n + b) −(a + b)n − ab −(a + b) − ab = l´ ım n→∞ = l´ ım n→∞ Õ n = n+ n2 + (a + b)n + ab 1+ 1+ (a+b) + ab n n2 a+b =− 2Criterio de Stoltz.Es un criterio relacionado con las Reglas de L’Hˆpital que s´lo se puede o oaplicar a las sucesiones. Y del que, sin ´nimo de demostrar nada, podemos adar la siguiente justificaci´n: o an an+1 an an+1 an an+1 − an l´ ım = l´ ım ⇒ ≈ ⇒ ≈ n→∞ bn n→∞ bn+1 bn bn+1 bn bn+1 − bnNota: T´ngase en cuenta que si dos fracciones son equivalente, entonces, al restar los enumeradores y los denominadores, tambi´n se obtiene otra fracci´n equivalente. e o a c a c−a = ⇒ = b d b d−bEl Criterio de Stoltz se puede resumir en el siguiente esquema: an ä 0 ∞ ç an+1 − an l´ ım = o ´ = l´ ım n→∞ bn 0 ∞ n→∞ bn+1 − bnFormalmente el Criterio de Stoltz puede enunciarse de la siguiente maneraTeorema 1.2 (Criterio de Stolz). Sean {an } y {bn } dos sucesiones.
    • 1.4. L´ IMITE DE SUCESIONES 51 an+1 − an an an+1 − an Si existe l´ ım , entonces l´ ım = l´ ım n→∞ bn+1 − bn n→∞ bn n→∞ bn+1 − bnsiempre que: 1. {bn } es una sucesi´n mon´tona divergente, o bien, o o 2. an → 0, bn → 0 y bn es mon´tona. oEjemplo 1.35 (Aplicando el criterio de Stolz). Calcular los siguientes l´mites: ı 2 + 4 + · · · + 2n ä ∞ ç 1. l´ ım = = n→∞ 3 + 9 + · · · + 3n ∞ (2 + 4 + · · · + 2n + 2n+1 ) − (2 + 4 + · · · + 2n ) 2n+1 = l´ ım = l´ ım n+1 = n→∞ (3 + 9 + · · · + 3n + 3n+1 ) − (3 + 9 + · · · + 3n ) n→∞ 3 2 n+1 2 +∞ = l´ ım = =0 n→∞ 3 3 ln n ä ∞ ç ln(n + 1) − ln n n+1 2. l´ ım = = l´ ım = l´ ln ım =0 n→∞ n ∞ n→∞ n+1−n n→∞ n √ √ n l´ ln ım n n ln n l´ ım ä ∞ç 3. l´ ım n= en→∞ = en→∞n = e∞ = n→∞ ln(n + 1) − ln n n+1 l´ ım l´ ln ım =en→∞ n+1−n = en→∞ n = eln 1 = e0 = 1 ln(n2 + n) n l´ ım 4. l´ ım n2 + n = en→∞ n = n→∞ ä ç ln (n + 1)2 + n + 1 − ln(n2 + n) l´ ım = en→∞ n+1−n = n2 + 2n + 1 + n + 1 l´ ln ım = en→∞ n2 + n = eln 1 = e0 = 1Nota: Hay que advertir que el Criterio de Stoltz, en general, no se puede aplicar demanera parcial dentro de un l´ ımite. Por ejemplo, el siguiente l´ ımite existe y vale 1. n2 l´ ım =1 n→∞ n2Sin embargo, una aplicaci´n incorrecta del Criterio de Stoltz puede producir un resultado oerr´neo. As´ o ı, n2 1 n2 l´ ım 2 = l´ ım = n→∞ n n→∞ n n 1 (n + 1)2 − n2 1 n2 + 2n + 1 − n2 2n + 1 l´ ım = l´ ım = l´ ım =2 n→∞ n n+1−n n→∞ n 1 n→∞ n
    • 52 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSPor eso en el Teorema 1.2, en la p´gina 50, se exige que el l´ a ımite del cociente de lasdiferencias de los t´rminos consecutivos exista. As´ ser´ correcta la siguiente aplicaci´n e ı, ıa odel Criterio de Stoltz an an an+1 − an l´ cn ım = l´ cn l´ ım ım = l´ cn l´ ım ım = 1· 2= n→∞ bn n→∞ n→∞ bn n→∞ n→∞ bn+1 − bnAhora bien, si 1 o 2 no existen o son infinito, no est´ permitido continuar con el l´ a ımiteunificando nuevamente ambos factores.Teorema 1.3 (Criterio de la Ra´ n-sima). Sea {an } una sucesi´n es- ız otrictamente creciente tal que l´ an = +∞, entonces: ım n→∞ √ n an+1 l´ ım an = l´ ım n→∞ ann→∞Demostraci´n: En efecto, aplicando el Criterio de Stolz a la ra´ resulta: o ız √ ln an ln an+1 − ln n √ l´ ln n an ım l´ ım l´ ım n ım an = e l´ n→∞ =e n→∞ n =e n→∞ n+1−n =n→∞ an+1 l´ ln ım =e n→∞ an = l´ an+1 ım n→∞ anNota: En el criterio de la ra´ hay que hacer la misma advertencia que en el criterio de ızStotlz. No se puede hacer una aplicaci´n parcial. En este caso, o 1. La ra´ tiene que ser n-sima. ız √ an+1 ım 2n an = l´ l´ ım n→∞ n→∞ an 2. La ra´ ha de estar sola ız √ an+1 l´ bn n an = l´ bn ım ım n→∞ n→∞ anEjemplo 1.36 (Aplicando el criterio de la ra´ . Calcula los siguientes ız)l´ ımites: n 1. l´ ım (n + 1)(n + 2) · · · (n + n) = n→∞ (n + 2)(n + 3) · · · (n + n + 2) (2n + 1)(2n + 2) = l´ ım = l´ ım = +∞ n→∞ (n + 1)(n + 2) · · · (n + n) n→∞ (n + 1) 1 n 2. l´ ım (3n + 1)(3n + 2) · · · (3n + n) = n→∞ n (3n + 1)(3n + 2) · · · (3n + n) n = l´ ım = n→∞ nn (3n + 4)(3n + 5) · · · (3n + n + 4) (3n + 1) · · · (3n + n) = l´ ım : = n→∞ (n + 1)n+1 nn (3n + 4)(3n + 5) · · · (3n + n + 4)nn = l´ ım = n→∞ (3n + 1)(3n + 2) · · · (3n + n)(n + 1)n+1 (3n + n + 1)(3n + n + 2)(3n + n + 3)(3n + n + 4)nn = l´ ım = n→∞ (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)(n + 1)(n + 1)n (4n + 1)(4n + 2)(4n + 3)(4n + 4) 444 1 43 = l´ ım n = 4 = 3 n→∞ (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)(n + 1) n+1 333 e 3 e n
    • 1.4. L´ IMITE DE SUCESIONES 53Simplificaci´n de sumas. oAlgunas sumas se pueden simplificar expresando sus t´rminos de forma etelesc´pica, es decir, como la diferencia de dos t´rminos consecutivos, de o emanera que al sumar se eliminan los t´rminos intermedios. eEjemplo 1.37 (Simplificando sumas). Calcula el siguiente l´mite. ı 1 1 1 l´ ım + + ··· + = n→∞ 1·2 2·3 n(n + 1) 1 1 1 1 1 = l´ ım 1− + − + ··· + − =1 n→∞ 2 2 3 n n+1C´lculo de l´ a ımites por acotaci´n. oTeorema 1.4 (Teorema del encaje para sucesiones). Si l´ an = = l´ bn ım ım n→∞ n→∞y existe un entero k tal que an ≤ cn ≤ bn para todo n > k, entonces l´ cn = ım n→∞Esquem´ticamente podemos escribir, a ← an ≤ cn ≤ bn → ⇒ cn →Ejemplo 1.38 (Encajando sucesiones). Calcular el siguiente l´mite. ı (n − 1)! l´ ım √ √ √ n→∞ (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n)Soluci´n. Teniendo en cuenta las siguientes desigualdades, o √ √ √ (n − 1)! 1 2··· n − 10≤ √ √ √ = √ √ √ ≤ (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n) (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n) √ √ √ (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n − 1) 1 ≤ √ √ √ = √ →0 (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n) 1+ nResulta: (n − 1)! l´ ım √ √ √ =0 n→∞ (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n)
    • 54 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSLa constante de Euler.Para resolver algunos l´ ımites puede tenerse en cuenta la siguiente igualdad: 1 1 1+ + · · · + = ln n + γ + n 2 ndonde: 1. n → 0 2. γ = Constante de Euler ≈ 0 5Ejemplo 1.39 (Aplicando la constante de Euler). Calcular los siguientesl´ ımites: 1++ ··· + n 1 2 1 ln n + γ + n 1. l´ ım = l´ım =1+0+0=1 n→∞ ln n n→∞ ln n √ √ √ 1 1 e e 3 e··· n e e1 e1/2 · · · e1/n e1+ 2 +···+ n 2. l´ ım = l´ ım = l´ım = n→∞ n n→∞ n n→∞ n eln n+γ+ n n · eγ e n = l´ım = l´ ım = eγ e0 = eγ n→∞ n n→∞ n ln(1 + 1 + · · · + n ) 2 1 ln(ln n + γ + n) 3. l´ ım = l´ ım = ln(ln n) ln(ln n) ä ç n→∞ n→∞ γ+ n γ+ n ln ln n · 1 + ln n ln(ln n) + ln 1 + ln n = l´ ım = l´ ım =1 n→∞ ln(ln n) n→∞ ln(ln n)1.4.2. Sucesiones mon´tonas oDefinici´n 1.22 (Sucesi´n mon´tona). Una sucesi´n {an } se dice que o o o oes mon´tona si sus t´rminos son crecientes o e a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · ≤ an ≤ · · ·o decrecientes a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ an ≥ · · ·Ejemplo 1.40 (Determinando la monoton´ de una sucesi´n). Determinar ıa ola monoton´ de la sucesi´n ıa o 3n an = n+2Soluci´n. Determinar que una sucesi´n no es mon´tona puede hacerse, de o o ouna manera f´cil, comparando tres t´rminos de la misma. Sin embargo, de- a eterminar que es mon´tona es algo m´s complicado, ya que hay que determi- o anar que sus t´rminos crecen o decrecen siempre, para todo valor de n. Para edeterminar la monoton´ de una sucesi´n pueden seguirse varios m´todos. ıa o e
    • 1.4. L´ IMITE DE SUCESIONES 55Veamos aqu´ varios de ellos. En primer lugar hallamos an y an+1 . En este ıcaso, 3n 3(n + 1) an = an+1 = n+2 (n + 1) + 2a) Construyendo comparativamente an y an+1 . 1 1 (n + 1) + 2 > n + 2 ⇒ < ⇒ n+2 (n + 1) + 2 3n 3n 3(n + 1) ⇒ < < ⇒ an < an+1 n+2 (n + 1) + 2 (n + 1) + 2luego la sucesi´n es mon´tona (estrictamente creciente). o ob) Deshaciendo comparativamente an y an+1 . Partimos del supuesto de quean < an+1 y deshacemos las operaciones. As´ ı, 3n 3(n + 1) an = <? = an+1 n+2 (n + 1) + 2 ä ç 3n (n + 1) + 2 <? 3(n + 1)(n + 2) 3n(n + 3) <? 3(n2 + 3n + 2) 3n2 + 9n <? 3n2 + 9n + 6 0<6Como hemos llegado a una desigualdad final v´lida, podemos invertir los apasos para concluir que la desigualdad original tambi´n es v´lida, y por e atanto la sucesi´n es mon´tona. o oc) Usando derivadas. Consideramos que n es una variable continua. Es decirconsideramos la funci´n f (n) = an . O bien en t´rminos de x. o e 3x f (x) = x+2Hallamos su derivada 3(x + 2) − 3x 3x + 6 − 3x 6 f (x) = = = (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2que es positiva para todo x, luego podemos concluir que la funci´n f es ocreciente en todo R. En consecuencia la sucesi´n an es creciente. oDefinici´n 1.23 (Sucesi´n acotada). Una sucesi´n {an } se dice que es o o oacotada si existe un n´mero real positivo M tal que |an | ≤ M para todo n. u {an } acotada ⇔ ∃M ∈ R+ ∀n ∈ N |an | ≤ M
    • 56 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSTeorema 1.5 (Sucesiones mon´tonas y acotadas). Si una sucesi´n o o{an }es mon´tona y acotada, entonces es convergente. oNota: Adem´s de los m´todos aqu´ expuestos para el c´lculo de l´ a e ı a ımite de sucesionesveremos otros m´todos basados en los criterios para el c´lculo de l´ e a ımite de funciones,as´ como un caso particular para comprobar que el l´ ı ımite de una sucesi´n es cero, basado oen la convergencia de las series.Ejercicios propuestos de la secci´n 1.4. L´ o ımite de sucesiones Soluciones en la p´gina 390 a1.4.1. Escribir los cinco primeros t´rminos de las sucesiones e n(n+1) n! sen(nπ/2) a) an = (−1)n+1 n b) bn = (−1) 2 c) cn = d) dn = (n − 1)! n1.4.2. Escribir una expresi´n del t´rmino general de las sucesiones o e 1 2 3 4 1 1 2 4 8 a) 2, −4, 6, −8, 10, . . . b) , , , ,... c) , , , , ,... 2·3 3·4 4·5 5·6 2 3 9 27 811.4.3. Calcular los siguientes l´ ımites: n (n − 1)! n+2 a) l´ ım b) l´ ım n→∞ Ô (n + 1)! n→∞ Ô 2n + 3 Ô c) l´ ım n2 + 3n − n d) l´ ım 2n2 + 3 − n2 + 5 n→∞ n→∞1.4.4. Calcular los siguientes l´ ımites: n n (n2 +2) k 2n2 + 3n n 2n + 3 a) l´ ım 1+ b) l´ ım c) l´ ım n→∞ n n→∞ 2n2 + 4 n→∞ 2n + 51.4.5. Calcular los siguientes l´ ımites: 1p + 2p + · · · + np ln(1 · 2 · · · n) a) l´ ım , p ∈ N, b) l´ ım , n→∞ np+1 n→∞ n ln n 1 32 (n + 1)n ım 2 2 + c) l´ + ··· . n→∞ n 2 nn−11.4.6. Determinar si son convergentes las siguientes sucesiones y en caso afirmativo cal- cular su l´ ımite. n! a) cn = n n1.4.7. Determinar la monoton´ de las siguientes sucesiones ıa n n sen n 2 3 a) an = b) bn = b) bn = n 3 21.5. L´ ımite y continuidad de funciones1.5.1. Definici´n de l´ o ımiteNota: El concepto de l´ ımite es fundamental en el C´lculo, de manera que para poder aprofundizar en el conocimiento de la materia es impresindible, tanto el manejo pr´ctico de alas reglas para el c´lculo de l´ a ımites, como la comprensi´n te´rica del concepto de l´ o o ımite. Suponemos conocida la idea intuitiva de l´ ımite y las reglas b´sicas para el c´lculo de a al´ ımites. No obstante, profundizaremos en ambos puntos. En este curso centraremos la atenci´n en los potentes instrumentos para el c´lculo de o al´ ımites de funciones de una variable, como son
    • 1.5. L´ IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 57 1. Los infinit´simos (apartado 1.5.9, en la p´gina 82). e a 2. Las reglas de L´Hˆpital (apartado 3.3.3, en la p´gina 173). o a 3. El desarrollo de Taylor (apartado 3.5.7, en la p´gina 195). a 4. El concepto de integral (apartado 5.1.2, en la p´gina 334). aAs´ mismo estudiaremos los l´ ı ımites para funciones de varias variables en el cap´ ıtulo 2.Idea intuitiva. En el lenguaje ordinario la palabra l´ ımite tiene un car´cter aest´tico y significa t´rmino, conf´ o lindero. Sin embargo, en C´lculo, el a e ın aconcepto de l´ ımite es un concepto din´mico y tiene que ver con la idea ade acercarse los m´s posible a un punto o un valor (x → x0 ). En otras aocasiones tiene que ver con la idea de alejarse lo m´s posible del origen, o ahacer lo mas grande posible un n´mero (x → ∞). Y, en otras ocasiones, el uconcepto de l´ımite tiene que ver con traspasar una frontera, aparentementeinfranqueable, como es el caso de la suma de infinitos n´meros. Veamos la unoci´n de l´ o ımite a partir de un ejemplo. x2 − 1Ejemplo 1.41. Dada la funci´n f (x) = o ,x=1 x−1 a) Estudiar su comportamiento en los alrededores del punto x = 1 b) Esbozar su gr´fica. aSoluci´n. a) Para estudiar el comportamiento de la funci´n en los alrededores o odel punto x = 1 damos a x valores cada vez m´s pr´ximos a 1. Aproxi- a om´ndonos tanto por la izquierda como por la derecha. Los correspondientes avalores de f (x) se muestran en la siguiente tabla x se acerca a 1 por la izquierda x se acerca a 1 por la derecha x 0.5 0.75 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.25 1.5 f (x) 1.5 1.75 1.9 1.99 1.999 ? 2.001 2.01 2.1 2.25 2.5 f (x) se acerca a 2 f (x) se acerca a 2b) Al representar estos puntos, se ve que la gr´fica de f es una recta con un ahueco en el punto (1, 2) (v´ase Figura 1.25). e Aunque x no puede ser igual a 1, podemos acercarnos a 1 cuanto que-ramos y como resultado f (x) se aproxima cuanto queramos al valor 2. Poreso decimos que el l´ ımite de f (x) cuando x tiende a 1 es 2, y lo denotamoscomo x2 − 1 l´ f (x) = 2 o bien, l´ ım ım =2 x→1 x→1 x − 1 En consecuencia podemos dar la siguiente descripci´n intuitiva del con- ocepto de l´ ımite. Decimos que el l´ ımite de f (x) cuando x tiende a x0 es , si
    • 58 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS y 3 2 1 x −3 −2 −1 1 2 3 −1 −2 x2 − 1 Figura 1.25: l´ ım =2 x→1 x−1f (x) se aproxima, tanto como se quiera, a un unico n´mero ´ u cuando x seaproxima a x0 por ambos lados, y escribimos l´ f (x) = ım x→x0Nota: Al calcular el l´ımite de la funci´n f en el punto x0 , el valor de la funci´n en dicho o opunto, f (x0 ), no afecta al l´ ımite. Es m´s no importa que la funci´n no est´ definida en a o edicho punto. ımite en x0 , o bien, l´ Hablaremos indistintamente de l´ ımite cuando x tiende o se apro-xima a x0 . Para muchas funciones se puede intuir el valor del l´ ımite usando unacalculadora y evaluando los valores de la funci´n en varios puntos pr´ximos o oa x0 . o ımite con calculadora). Dada la funci´nEjemplo 1.42 (Estimaci´n del l´ o x−2 f (x) = √ , x=2 x−1−1 a) Estudiar su comportamiento en los alrededores del punto x = 2 b) Esbozar su gr´fica. aSoluci´n. a) Para estudiar el comportamiento de la funci´n en los alrededores o odel punto x = 2 damos a x valores cada vez m´s pr´ximos a 2. Aproxi- a om´ndonos tanto por la izquierda como por la derecha. Los correspondientes avalores de f (x) se muestran en la siguiente tabla x se acerca a 2 por la izquierda x se acerca a 2 por la derecha x 1.5 1.75 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.25 2.5 f (x) 1.707 1.866 1.949 1.99 1.999 ? 2.0005 2.005 2.49 2.12 2.22 f (x) se acerca a 2 f (x) se acerca a 2
    • 1.5. L´ IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 59 y 3 2 1 x −3 −2 −1 1 2 3 −1 −2 x−2 Figura 1.26: l´ √ ım =2 x→2 x−1−1b) Al representar estos puntos, se ve que la gr´fica de f es una curva con aun hueco en el punto (2, 2) (v´ase Figura 1.26 e Aunque x no puede ser igual a 2, podemos acercarnos a 2 cuanto que-ramos y como resultado f (x) se aproxima cuanto queramos al valor 2. Poreso decimos que el l´ ımite de f (x) cuando x tiende a 2 es 2, y lo denotamoscomo x−2 l´ f (x) = 2 o bien, l´ √ ım ım =2 x→2 x→2 x−1−1Inexistencia de l´ ımite. En los ejemplos anteriores cuando x se acerca ax0 , tanto por la derecha como por la izquierda, f (x) se acerca, en amboscasos, a un mismo valor , que llam´bamos l´ a ımite de la funci´n. En ocasiones oesto no ocurre y entonces decimos que la funci´n f no tiene l´ o ımite en el puntox0 . Las situaciones m´s frecuentes que conducen a la inexistencia del l´ a ımitede la funci´n f en el punto x0 son las siguientes: o 1. L´ ımites laterales diferentes. f (x) se aproxima por la derecha de x0 a un valor y por la izquierda a otro valor diferente. 2. El l´ ımite se hace infinito. f (x) crece o decrece sin tope cuando x se acerca a x0 , por la derecha o por la izquierda. 3. Inexistencia del l´mite por oscilaci´n. Las valores de f (x) oscilan, in- ı o definidamente, entre dos valores fijos cuando x se acerca a x0 .Ejemplo 1.43 (L´ ımites laterales diferentes). Probar que el siguiente l´mite ıno existe |x| l´ ım x→0 xSoluci´n. Consideremos la funci´n o o |x| f (x) = xPara comprender su significado, demos varios valores a x. As´ ı, |3| 3 0 | − 3| +3f (3) = = = 1, f (0) = = no definido, f (−3) = = = −1 3 3 0 −3 −3
    • 60 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSEn general, f (x) para valores positivos de x toma el valor 1, y para valoresnegativos de x toma el valor -1. En efecto |x| x x>0 ⇒ |x| = x ⇒ f (x) = = =1 x x |x| −x x<0 ⇒ |x| = −x ⇒ f (x) = = = −1 x xEn consecuencia, la funci´n f puede definirse por casos de la siguiente forma o |x| 1 si x > 0 f (x) = = x −1 si x < 0Y su gr´fica viene reflejada en la figura 1.27 a y 1Tb Ex E b−1 |x| Figura 1.27: f (x) = zEn consecuencia el l´ ımite no existe, ya que se tiene l´ = 1 ım = l´ = −1 ım x→0+ x→0−Ejemplo 1.44 (Comportamiento no acotado). Discutir la existencia del si-guiente l´ ımite 1 l´ ım 2 x→0 xSoluci´n. Consideremos la funci´n o o 1 f (x) = x2Demos valores a x cada vez m´s cercanos al origen a x se acerca a 0 por la izquierda x se acerca a 0 por la derecha x -0.5 -0.25 -0.1 -0.01 -0.001 0 0.001 0.01 0.1 0.25 0.5 f (x) 4 16 100 10000 1000000 ? 1000000 10000 100 16 4 f (x) crece sin tope f (x) crece sin tope
    • 1.5. L´ IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 61De la tabla se desprende que cuando x se acerca a 0, tanto por la derechacomo por la izquierda, f (x) crece sin l´ ımite. Es m´s, podemos hacer que af (x) crezca cuanto queramos sin m´s que acercarnos suficientemente al ori- agen. As´ por ejemplo, si queremos que f (x) sea mayor que 100 000 000, ı,bastar´ tomar un valor de x menor que 1/10 000. En efecto, a 1 1 0 < |x| < ⇒ f (x) = > 100 000 000 10 000 x2Como f (x) no se aproxima a ning´n n´mero real cuando x se acerca a 0, u udecimos que el l´ ımite no existe. La gr´fica de la funci´n f viene reflejada en a ola figura 1.28 y 6 4 2 x −6 −4 −2 2 4 6 1 Figura 1.28: l´ ım = No existe x→0 x2Nota: Aunque el l´ ımite no existe, como n´ mero real, la situaci´n reflejada en este ejemplo u oes lo suficientemente importante y lo suficientemente frecuente en C´lculo, como para atenerla en especial consideraci´n. As´ en las situaciones del ejemplo anterior se dice que o ı,el l´ ımite de la funci´n cuando x tiende a cero, es infinito, y se expresa o 1 l´ ım = +∞ x→0 x2No obstante hay que decir que +∞ no es ning´n n´mero real, sino que es un s´ u u ımbolo quese utiliza para reflejar el comportamiento no acotado de la funci´n. oEjemplo 1.45 (Comportamiento oscilante). Discutir la existencia del si-guiente l´ ımite 1 l´ sen ım x→0 xSoluci´n. Consideremos la funci´n o o 1 f (x) = sen xSu gr´fica viene representada en la figura 1.29. aEl l´ ımite no existe, puesto que siempre es posible coger una sucesi´n de opuntos, con l´ ımite cero; y sin embargo, la sucesi´n formada con sus im´genes o ano tiene l´ ımite. {xn } → 0 y sin embargo {f (xn )} no tiene l´ ımitecomo puede verse en la siguiente tabla
    • 62 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS y 1 x −1 1 −1 1 Figura 1.29: l´ sen ım = No existe x→0 x 2 2 2 2 2 2 x x→0 π 3π 5π 7π 9π 11π f (x) 1 -1 1 -1 1 -1 No tiene l´ ımitePara probar que el l´ ımite no existe, tambi´n podemos encontrar dos suce- esiones diferentes con l´ ımite cero tales que sus im´genes tengan l´ a ımites difer-entes. {xn } → 0 {f (xn )} → 1 mientras que {xn } → 0 {f (xn )} → 2 = 1Por ejemplo, para la sucesi´n o 1 1 1 1 {xn } = { } = { , , , · · · } → 0 se tiene nπ π 2π 3π 1 1 {f (xn )} = {f } = {sen } = {sen (nπ)} = {0, 0, 0, · · · } → 0 nπ 1/nπmientras que para la sucesi´n o 2 2 2 2 {xn } = { } = { , , , · · · } → 0 se tiene (2n − 1)π π 3π 5π 2 2 {f (xn )} = {f } = {sen }= (2n − 1)π 1/(2n − 1)π (2n − 1)π = {sen } = {1, 1, 1, · · · } → 1 = 0 2Definici´n 1.24 (La definici´n ε − δ de l´ o o ımite). Se dice que el l´ ımite dela funci´n f en el punto x0 es , y se denota por o l´ f (x) = ım x→x0si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que |f (x) − | < ε siempre que 0 < |x − x0 | < δ l´ f (x) = ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ R, 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − | < ε ım (1.7) x→x0
    • 1.5. L´ IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 63Nota: La definici´n refleja la siguiente idea: o El hecho de que f (x) est´ tan cerca de como queramos, quiere decir que para acualquier ε, todo lo peque˜o que queramos, estar´ f (x) entre − ε y + ε, es decir, n a − ε < f (x) < + εque en valor absoluto se expresa como |f (x) − | < εy esta situaci´n tiene que darse cuando x se acerca suficientemente a x0 . Este acercamiento ose mide encontrando alg´ n δ para el cual x est´ entre x0 − δ y x0 + δ, es decir, u e x0 − δ < x < x0 + δque en valor absoluto se expresa como |x − x0 | < δEl hecho de que el punto x0 no interviene en la definici´n de l´ o ımite se indica con laexpresi´n o 0 < |x − x0 | < δ A pesar de la importancia de la definici´n ε − δ, a nivel te´rico, especialmente en la o o a a ımites, la definici´n ε − δ nodemostraci´n de teoremas; a nivel pr´ctico, en el c´lculo de l´ o oes util. La definici´n ε − δ solamente nos permite comprobar si un l´ ´ o ımite dado es correctoo no, pero no nos permite calcular l´ ımites, el posible l´ ımite tendremos que intuirlo porotro m´todo. Adem´s, su aplicaci´n para comprobar l´ e a o ımites suele ser artificial y dif´ ıcil. La definici´n de l´ o ımite se refleja en el gr´fico de la figura 1.30 a y Para x entre x0 − δ y x0 + δ los valores de la funci´n f (x) est´n todos entre − ε y + ε o a y = f (x) +ε −ε x x0 − δ x0 x0 + δ Figura 1.30: l´ an = ım n→∞Ejemplo 1.46 (Hallando δ para un ε dado). Sabiendo que l´ (2x + 1) = 7 ım x→3hallar δ tal que |(2x + 1) − 7| < 0,01 siempre que 0 < |x − 3| < δ.Soluci´n. Dado ε = 0,01 queremos encontrar el δ apropiado. Para ello in- otentamos establecer una relaci´n entre los dos valores absolutos o |(2x + 1) − 7| < 0,01 y |x − 3| < ε
    • 64 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSde manera que desde el segundo se pueda llegar hasta el primero. La ma-nera de hacerlo consiste en expresar el primer valor absoluto en funci´n del osegundo. As´ ı, |(2x + 1) − 7| = |2x − 6| = 2|x − 3| < 0,01En consecuencia se tiene que 0,01 |x − 3| < = 0,005 2Por tanto, eligiendo δ = 0,005, se tiene que 0 < |x − 3| < 0,005 ⇒ |(2x + 1) − 7| = 2|x − 3| < 2(0,005) = 0,01Luego hemos encontrado un δ para el ε dado. Esto no demuestra la existenciadel l´ ımite dado. Para demostrar que el l´ ımite existe tenemos que encontrarun δ para cada ε.Ejemplo 1.47 (Usando la definici´n ε − δ). Usando la definici´n ε − δ probar o oque l´ (5x − 2) = 3 ım x→1Soluci´n. Tenemos que probar que para cada ε > 0, existe un δ > 0, que odepender´ del ε correspondiente, tal que a 0 < |x − 1| < δ ⇒ |(5x − 2) − 3| < εPara ello intentamos establecer una conexi´n entre ambos valores absolutos, oexpresando el segundo en funci´n del primero o |(5x − 2) − 3| = |5x − 5| = 5|x − 1| < εLuego, para que se cumpla la desigualdad |(5x − 2) − 3| < ε se ha de cumplirque 5|x − 1| < ε y, en consecuencia ε |x − 1| < 5 εLuego eligiendo δ = , se tiene que la desigualdad 5 ε 0 < |x − 1| < δ = 5implica que ε |(5x − 2) − 3| = |5x − 5| = 5|x − 1| < 5 =ε 5y la veracidad del l´ ımite queda probada.Proposici´n 1.13 (Unicidad del l´ o ımite). El l´ ımite de una funci´n en oun punto, si existe es unico. ´
    • 1.5. L´ IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 651.5.2. L´ ımites laterales Al calcular el l´ ımite de una funci´n f en un punto x0 , nos acercamos al opunto x0 tanto por la derecha como por la izquierda. Si limitamos nuestroestudio, exclusivamente, a los puntos que est´n a la derecha de x0 , o bien a la aizquierda, respectivamente, obtenemos lo que se llaman los l´ ımites laterales.Definici´n 1.25 (L´ o ımites laterales). Se dice que el l´ımite de la funci´n of cuando x tiende a x0 , por la derecha, es , y se denota por l´ ım f (x) = x→x0 +si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que |f (x) − | < ε siempre que 0 < x − x0 < δ ım f (x) = ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ R, 0 < x − x0 < δ ⇒ |f (x) − | < ε l´ (1.8) x→x0 + Se dice que el l´ ımite de la funci´n f cuando x tiende a x0 , por la izquierda, oes , y se denota por ım f (x) = l´ x→x0 −si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que |f (x) − | < ε siempre que 0 < x0 − x < δ ım f (x) = ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ R, 0 < x0 − x < δ ⇒ |f (x) − | < ε l´ (1.9) x→x0 −Nota: Para simplificar la escritura, en ocasiones escribiremos f (x0 +) = l´ ım f (x) f (x0 −) = l´ ım f (x) x→x0 + x→x0 −Ejemplo 1.48 (Calculando un l´ımite lateral). Hallar el l´ ımite de la funci´n o √f definida por f (x) = x en el punto x = 0Soluci´n. La funci´n solamente est´ definida a la derecha del origen, por lo o o atanto no podemos hablar de l´ımite por la izquierda, pero si de l´ ımite por laderecha. Si observamos la gr´fica se tiene a √ l´ ım x = 0 x→0+Teorema 1.6 (Unicidad de los l´ ımites laterales). El l´ ımite de la fun-ci´n f en el punto x0 existe y es igual a si y solamente si, los dos l´mites o ılaterales existen y son iguales a . l´ f (x) = ım ⇔ l´ ım f (x) = l´ ım f (x) = x→x0 x→x0 − x→x0 +
    • 66 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS y 2 1 x −3 −2 −1 0 1 2 3 √ Figura 1.31: f (x) = x1.5.3. Propiedades de los l´ ımitesProposici´n 1.14 (Propiedades algebraicas de los l´ o ımites). Son cier-tas las siguientes propiedades: ä ç ä ç 1. M´ltiplo escalar: l´ u ım r f (x) = r l´ f (x) , ım r∈R x→x0 x→x0 ä ç 2. ım f (x) ± g(x) = l´ f (x) ± l´ g(x) Suma o diferencia: l´ ım ım x→x0 x→x0 x→x0 ä ç 3. ım f (x) · g(x) = l´ f (x) · l´ g(x) Producto: l´ ım ım x→x0 x→x0 x→x0 f (x) l´ f (x) ım x→x0 4. Cociente: l´ ım = , si l´ g(x) = 0 ım x→x0 g(x) l´ g(x) ım x→x0 x→x0 å èr 5. Potencia: l´ [f (x)]r = ım l´ f (x) ım x→x0 x→x01.5.4. Continuidad de una funci´n en un punto oEn el lenguaje cotidiano la palabra continuo se utiliza para indicar que algodura sin interrupci´n, o bien que las cosas tienen uni´n entre s´ En C´lculo o o ı. ael significado es similar. Decir que una funci´n f es continua en un punto x0 osignifica que no sufre interrupci´n en x0 , que no se rompe ni tiene huecos, oque su gr´fica “atraviesa” el punto (x0 , y0 ). aDefinici´n 1.26 (Continuidad en un punto). Una funci´n f se dice o oque es continua en el punto x0 si se verifican las tres relaciones siguientes: 1. f (x0 ) est´ definido a 2. l´ f (x) existe ım 3. l´ f (x) = f (x0 ) ım x→x0 x→x0lo que se puede resumir escribiendo f es continua en x0 ⇔ l´ f (x) = f (x0 ) ım (1.10) x→x0Nota: Las situaciones por las que una funci´n no es continua en un punto son las siguien- otes: 1. La funci´n no est´ definida en el punto. o a 2. El l´ ımite de la funci´n en el punto no existe. o
    • 1.5. L´ IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 67 3. El l´ ımite de la funci´n en el punto existe pero no coincide con el valor de la funci´n o o en dicho punto.Definici´n 1.27 (Discontinuidad en un punto). Se dice que la funci´n o of es discontinua en un punto x0 si la funci´n est´ definida en un entorno o ade dicho punto (excepto quiz´s en x0 ) y no es continua en dicho punto. a Una discontinuidad se dice evitable si la funci´n puede hacerse continua oredefiniendola en dicho punto; y se llama inevitable si esto no es posible.Nota: Para hablar de discontinuidad se exige que la funci´n est´ definida en los alrededores √ o edel punto. No tiene sentido decir que f (x) = x es discontinua en x = −3, ya que en losalrededores de -3 la funci´n no est´ definida. o a Para que la discontinuidad de una funci´n f en un punto x0 sea evitable el l´ o ımite dela funci´n en dicho punto tiene que existir, con objeto de hacerla continua redefiniendo of (x0 ) con el valor del l´ ımite f (x0 ) = l´ f (x) ım x→x0Es evidente que la nueva funci´n que se obtiene con esta redefinici´n de f (x0 ), es continua o oen x0 La gr´fica de una funci´n de una variable es una curva en el plano. Esta a o y T y = f (x) x E Figura 1.32: Gr´fica de una funci´n de una variable. a ocurva puede presentar las situaciones de discontinuidad que se muestran enla figura 1.33.Definici´n 1.28 (Continuidad en un intervalo). Una funci´n f se dice o oque es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en todos los puntos delintervalo. Una funci´n es continua en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en el ointervalo abierto (a, b) y adem´s: a l´ f (x) = f (a) ım y l´ f (x) = f (b) ım x→a+ x→b−Nota: Una funci´n se dice que es continua por la derecha en x0 cuando o l´ ım f (x) = f (x0 ) x→x0 +y se dice que es continua por la izquierda cuando l´ ım f (x) = f (x0 ) x→x0 −
    • 68 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS Figura 1.33: Situaciones de discontinuidad en funciones de una variable1.5.5. Propiedades de las funciones continuasProposici´n 1.15 (Propiedades algebraicas). Si f y g son continuas oen x0 , entonces tambi´n son continuas: e 1. M´ltiplo escalar: rf u 2. Suma y diferencia: f ± g f 3. Producto: f g 4. Cociente: , si g(x0 ) = 0 gProposici´n 1.16 (Continuidad de las funciones elementales). Las osiguientes funciones son continuas en todos los puntos de su dominio 1. Polin´micas o 2. Racionales 3. Radicales 4. Trigonom´tricas e 5. ExponencialesEn general, cualquier funci´n elemental es continua en todos los puntos en olos que est´n definidas. aTeorema 1.7 (Continuidad de la funci´n compuesta). Si g es continua oen x0 y f lo es en g(x0 ), entonces la funci´n compuesta dada por f ◦ g(x) = of g(x) es continua en x0 .Nota: La importancia de este teorema la podemos ver con un simple ejemplo. Si la funci´n oy = f (x) es continua en un punto, entonces tambi´n son continuas en ese punto ef (x) ,   ¡sen f (x) , etc. e
    • 1.5. L´ IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 69Teorema 1.8 (Teorema del valor intermedio). Si f es continua en[a, b] y C es cualquier n´mero entre f (a) y f (b), entonces existe al menos uun n´mero c entre a y b tal que f (c) = C. u El teorema afirma que si x toma todos los valores entre a y b, entoncesla funci´n continua f debe tomar todos los valores entre f (a) y f (b). oCorolario 1.2 (Teorema de los ceros de Bolzano). Si f es continuaen [a, b] y Sig f (a) = Sig f (b), entonces existe al menos un n´mero c entre ua y b tal que f (c) = 0.Nota: Con Sig f (a) = Sig f (b), queremos indicar que f (a) y f (b) tienen signos distintos.Es decir; o bien, f (a) < 0 y f (b) > 0; o bien, f (a) > 0 y f (b) < 0.Corolario 1.3 (Intervalos de signo constante). Una funci´n solamente opuede cambiar de signo al pasar por por puntos en los que sea nula o puntosen los que sea discontinua ıces). Probar queEjemplo 1.49 (Probando la existencia de ra´ 1. La ecuaci´n x3 + 2x − 1 = 0 tiene, al menos, una ra´ real en el o ız intervalo (0, 1) 2. La ecuaci´n x3 − 3x + 1 = 0 tiene, al menos, una ra´ real o ızSoluci´n. a) Consideramos la funci´n f (x) = x3 +2x−1, que al ser polin´mi- o o oca es continua en todo R, y en consecuencia en [0, 1], adem´s, se tiene a f (0) = −1 < 0 y f (1) = 2 > 0luego, aplicando el Teorema 1.2 de los ceros de Bolzano, podemos concluirque existe al menos un c en (0, 1) en el cual f (c) = 0.b) Consideramos la funci´n f (x) = x3 − 3x + 1, que al ser polin´mica es o ocontinua en todo R. En esta ocasi´n no se nos da el intervalo, en consecuencia olo determinamos nosotros. Buscamos, para ello, un punto donde la funci´n osea negativa y otro donde sea positiva. As´ı, f (0) = +1 > 0 y f (−2) = −8 + 6 + 1 = −1 < 0En consecuencia la ecuaci´n tiene, al menos, una ra´ en el intervalo (−2, 0). o ız1.5.6. L´ ımites infinitosComencemos realizando nuevamente el ejemplo 1.44. All´ se dijo que el l´ ı ımiteno exist´ como n´mero real, pero que la situaci´n planteada merec´ un ıa u o ıatratamiento particular. Ve´moslo. a
    • 70 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSEjemplo 1.50 (Comportamiento no acotado). Discutir la existencia del si-guiente l´ ımite 1 l´ ım x→0 x2Soluci´n. Consideremos la funci´n o o 1 f (x) = x2Demos valores a x cada vez m´s cercanos al origen a x se acerca a 0 por la izquierda x se acerca a 0 por la derecha x -0.25 -0.1 -0.01 -0.001 0 0.001 0.01 0.1 0.25 f (x) 16 100 10000 1000000 ? 1000000 10000 100 16 f (x) crece sin tope f (x) crece sin topeDe la tabla se desprende que cuando x se acerca a 0, tanto por la derechacomo por la izquierda, f (x) crece sin l´ ımite. Es m´s, podemos hacer que af (x) crezca cuanto queramos sin m´s que acercarnos suficientemente al ori- agen. As´ por ejemplo, si queremos que f (x) sea mayor que 100 000 000, ı,bastar´ tomar un valor de x menor que 1/10 000. En efecto, a 1 1 0 < |x| < ⇒ f (x) = > 100 000 000 10 000 x2Como f (x) no se aproxima a ning´n n´mero real cuando x se acerca a u u0, decimos que el l´ ımite no existe. Ahora bien, aunque el l´ ımite no existe,como n´mero real, la situaci´n reflejada en este ejemplo es lo suficientemente u oimportante y lo suficientemente frecuente en C´lculo, como para tenerla en aespecial consideraci´n. As´ en estas situaciones, se dice que el l´ o ı, ımite de lafunci´n cuando x tiende a cero, es infinito, y se expresa o 1 l´ ım = +∞ x→0 x2No obstante hay que decir que +∞ no es ning´n n´mero real, sino el reflejo u ude una situaci´n concreta. o Ahora bien, para que quede probado que el l´ımite es infinito, no basta conprobar que la funci´n toma valores superiores a 100 000 000 en los alrededores odel origen, sino que hemos de probar que la funci´n, en los alrededores del oorigen, toma valores superiores a cualquier n´mero real M , por muy grande uque sea. En efecto. Sea M > 0 un n´mero positivo cualquiera, ser´ u a 1 1 0 < |x| < √ ⇒ f (x) = >M M x2
    • 1.5. L´ IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 71Lo que prueba que f (x) toma valores arbitrariamente grandes en los alre-dedores del origen. Es decir, para cualquier numero positivo M , se tieneque 1 f (x) > M cuando 0 < |x| < √ MLo que prueba que el l´ımite es infinito. La gr´fica de la funci´n f viene reflejada en la figura 1.34 a o y 6 4 2 x −6 −4 −2 2 4 6 1 Figura 1.34: l´ ım = +∞ x→0 x2 Veamos otra situaci´n parecida. oEjemplo 1.51 (L´ ımites + y - infinito). Estudiar el comportamiento de lasiguiente funci´n en los alrededores del punto x = 2 o 1 f (x) = x−2Soluci´n. Demos valores a x cada vez m´s cercanos a 2 o a x se acerca a 2 por la izquierda x se acerca a 2 por la derecha x 1.75 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.25 f (x) -4 -10 -100 -1000 ? 1000 100 10 4 f (x) decrece sin tope f (x) crece sin topeDe la tabla se desprende que cuando x se acerca a 2, por la derecha, f (x)crece sin l´ ımite, mientras que cuando x se acerca a 2, por la izquierda, f (x)decrece sin l´ ımite. Es m´s, podemos hacer que f (x) crezca cuanto queramos asin m´s que acercarnos suficientemente al origen, por la derecha; y que f (x) adecrezca cuanto queramos sin m´s que acercarnos suficientemente al origen, apor la izquierda. As´ por ejemplo, si queremos que f (x) sea mayor que ı,100 000 000, bastar´ tomar un valor de x > 2 y menor que 2 + 1/100 000 000. aEn efecto, 1 1 2<x<2+ ⇒ f (x) = > 100 000 000 100 000 000 x−2Por otro lado, si, por ejemplo, queremos que f (x) sea menor que -100 000 000,bastar´ tomar un valor de x < 2 mayor que 2 − 1/100 000 000. En efecto, a 1 1 2>x>2− ⇒ f (x) = > 100 000 000 100 000 000 x−2
    • 72 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSEn estas situaciones, se dice que el l´ ımite de la funci´n cuando x tiende a 2, opor la derecha, es m´s infinito, y el l´ a ımite de la funci´n cuando x tiende a o2, por la izquierda, es menos infinito, y se expresa 1 1 l´ ım = +∞ y l´ ım = −∞ x→2+ x−2 x→2− x−2No obstante, igual que en ejemplo anterior, hay que decir que +∞ y −∞ noson ning´n n´mero real, sino el reflejo de una situaci´n concreta. u u o Ahora bien, para que quede probado que el l´ ımite es m´s infinito o amenos infinito, no basta con probar que la funci´n toma valores superio- ores a 100 000 000 o menores a -100 000 000 en los alrededores de x = 2, sinoque hemos de probar que la funci´n, en los alrededores de x = 2, toma ovalores superiores a cualquier n´mero real M , por muy grande que sea, o umenores a cualquier n´mero real negativo N (por muy grande que sea, en uvalor absoluto). En efecto. Sea M > 0 un n´mero positivo cualquiera, ser´ u a 1 1 2<x<2+ ⇒ f (x) = >M M x−2Lo que prueba que f (x) toma valores arbitrariamente grandes a la derechadel 2. Es decir, para cualquier numero positivo M , se tiene que 1 f (x) > M cuando 2<x<2+ MY, por otro lado, sea N = −M < 0 un n´mero negativo cualquiera. Ser´ u a 1 1 2>x<2− ⇒ f (x) = < −M M x−2Lo que prueba que f (x) toma valores negativos (arbitrariamente grandes envalor absoluto) a la izquierda del 2. Es decir, para cualquier numero negativoN = −M , se tiene que 1 f (x) < −M cuando 2>x>2− MLo que prueba que el l´ ımite es menos infinito. La gr´fica de la funci´n f viene reflejada en la figura 1.35 a oDefinici´n 1.29 (L´ o ımites infinitos). Se dice que el l´ ımite de la funci´n of en el punto x0 es m´s infinito, y se denota a l´ f (x) = +∞ ım x→x0si para cada M > 0 existe un δ > 0 tal que f (x) > M siempre que 0 < |x − x0 | < δ.
    • 1.5. L´ IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 73 y 6 4 2 x −4 −2 2 4 6 8 −2 −4 −6 1 1 Figura 1.35: l´ ım = −∞, l´ ım = +∞ x→2− x−2 x→2+ x−2 l´ f (x) = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ R, 0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) > M ım (1.11) x→x0 Se dice que el l´ ımite de la funci´n f en el punto x0 es menos infinito, y se odenota l´ f (x) = −∞ ım x→x0si para cada N < 0 existe un δ > 0 tal que f (x) < N siempre que 0 < |x − x0 | < δ. l´ f (x) = −∞ ⇔ ∀N < 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ R, 0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) < N ım (1.12) x→x0 Las definiciones se ilustran en la Figura 1.36 Para todo x = x0 y ßÞ que est´ aqu´ e ı f (x) est´ aqu´ ı x0 x δ δ a M N f (x) est´ aqu´ a ı δ δ x x0 Þ ß y Para todo x = x0 que est´ aqu´ e ı Figura 1.36: l´ f (x) = +∞, ım l´ f (x) = −∞ ım x→x0 x→x0
    • 74 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS Para definir el l´ ımite infinito por la izquierda, basta con sustituir 0 < |x − x0 | < δ por x0 − δ < x < x0y para definir el l´ ımite infinito por la derecha, basta con sustituir 0 < |x − x0 | < δ por x0 < x < x0 + δ ımite de la funci´n f en el punto x0 es m´s o menos infinito, o bienSi el l´ o aalguno de los l´ ımites laterales es m´s o menos infinito, entonces decimos que ala funci´n f presenta en x = x0 una discontinuidad infinita o asint´tica. o oProposici´n 1.17 (Propiedades de los l´ o ımites infinitos). Si f y g sonfunciones tales que l´ f (x) = +∞ ım y l´ g(x) = ım x→x0 x→x0entonces son v´lidas las siguientes propiedades: a ä ç 1. ım f (x) ± g(x) = +∞ Suma o diferencia: l´ x→x0 ä ç 2. Producto: ım f (x)g(x) = +∞ l´ si >0 x→x0 ä ç ım f (x)g(x) = −∞ l´ si <0 x→x0 g(x) 3. l´ ım =0 x→x0 f (x)Propiedades similares son v´lidas si l´ f (x) = +∞ a ım x→x0 Las propiedades anteriores pueden recordarse de la siguiente forma: +∞ ± = +∞ −∞ ± = −∞ p (+∞) = +∞ p (−∞) = −∞ −p (+∞) = −∞ −p (−∞) = +∞ =0 =0 +∞ −∞ No est´ permitido dividir por cero. Sin embargo, Cuando el l´ a ımite deldenominador es cero, el cociente puede tener l´ımite infinito, si bien, hayque determinar el signo del denominador para poder determinar el signo delinfinito. As´ ı, p −p p = +∞ −p = −∞ =? 0+ =? 0+ 0 p 0 −p = −∞ = +∞ 0− 0−
    • 1.5. L´ IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 75Definici´n 1.30 (As´ o ıntotas verticales). Diremos que la recta x = x0es una as´ ıntota vertical de la gr´fica de la funci´n f , si el l´ a o ımite de f (x),cuando x tiende a x0 por la derecha o por la izquierda, es +∞ (o −∞).Nota: Cuando la funci´n f venga definida por un cociente o g(x) f (x) = h(x)las as´ ıntotas verticales habr´ que buscarlas en los ceros del denominador h(x) = 0. a1.5.7. L´ ımites en el infinitoCon concepto de l´ ımite de una funci´n cuando x tiende a +∞ o −∞ se opretende estudiar el comportamiento de la funci´n cuando x crece (o decrece) osin l´ ımite. Es decir, x toma valores extremadamente grandes, positivos (onegativos). El concepto es an´logo al de l´ a ımite de una sucesi´n. Ve´moslo o acon un ejemplo,Ejemplo 1.52. Estudiar el comportamiento de la funci´n o 3x f (x) = |x| + 1cuando x crece o decrece sin l´ ımite.Soluci´n. Los valores de f (x), cuando a x crece o decrece sin l´ o ımite, vienenrecogidos en la siguiente tabla. x decrece sin l´ ımite x crece sin l´ ımite x −∞ ← -1000 -100 -10 0 10 100 1000 → +∞ f (x) −3 ← -2.997 -2.97 -2.73 0 2.73 2.97 2.997 →3 f (x) se acerca a −3 f (x) se acerca a 3 De la tabla se desprende que los valores de f (x) tienden a 3 cuando x ımite y a −3 cuando x decrece sin l´crece sin l´ ımite. En consecuencia diremosque 3x 3x l´ f (x) = l´ ım ım = −3, y l´ f (x) = l´ ım ım =3 x→−∞ x→−∞ |x| + 1 x→+∞ x→+∞ |x| + 1La gr´fica de la funci´n f es una curva con dos as´ a o ıntotas horizontales: larecta x = 3, por la derecha; y la recta x = −3, por la izquierda. (v´aseeFigura 1.37). En consecuencia podemos decir que: El l´ ımite de la funci´n f , cuando x tiende a +∞ es , si f (x) est´ tan o apr´ximo a como queramos, siempre que x sea los suficientemente grande, oy se escribe: l´ f (x) = ım x→+∞
    • 76 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS y 3 2 1 x −30 −20 −10 10 20 30 −1 −2 −3 3x Figura 1.37: f (x) = |x| + 1 De manera an´loga, se dice que el l´ a ımite de la funci´n f , cuando x tiende oa −∞ es , si f (x) est´ tan pr´ximo a como queramos, siempre que x tome a ovalores negativos, suficientemente grande en valor absoluto, y se escribe: l´ f (x) = ım x→−∞ Formalmente se puede dar la siguiente definici´n: oDefinici´n 1.31 (L´ o ımites en el infinito). El l´ ımite de la funci´n f , ocuando x tiende a +∞ es , y se denota l´ f (x) = ım x→+∞si para cada ε > 0 existe un M > 0 tal que |f (x) − | < ε siempre que x>M ım f (x) = ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0 : ∀x ∈ R, x > M ⇒ |f (x) − | < ε l´ (1.13) x→+∞ ımite de la funci´n f , cuando x tiende a −∞ es , y se denotaEl l´ o l´ f (x) = ım x→−∞si para cada ε > 0 existe un N < 0 tal que |f (x) − | < ε siempre que x<N ım f (x) = ⇔ ∀ε > 0, ∃N < 0 : ∀x ∈ R, x < N ⇒ |f (x) − | < ε l´ (1.14) x→−∞ Las definiciones se ilustran en la Figura 1.38
    • 1.5. L´ IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 77 y y f f f (x) est´ a ε ε f (x) est´ a aqu´ı ε ε aqu´ı x x N M Para todo x aqu´ ı Para todo x aqu´ ı Figura 1.38: l´ f (x) = , ım l´ ım f (x) = x→−∞ x→+∞Definici´n 1.32 (As´ o ıntotas horizontales). Si l´ f (x) = ım o l´ f (x) = ım x→−∞ x→+∞entonces la recta y = se llama as´ ıntota horizontal de la gr´fica de f . aNota: La as´ ıntota por la derecha y la as´ ıntota por la izquierda pueden coincidir o no.Ahora bien, la gr´fica de una funci´n puede tener a lo sumo dos as´ a o ıntotas horizontales,una por la derecha y otra por la izquierda. Los l´ ımites en el infinito comparten muchas propiedades con los l´ ımitesde funciones en un punto x0 y con los l´ ımites de sucesiones.Proposici´n 1.18 (Propiedades algebraicas de los l´ o ımites en el in-finito). Son ciertas las siguientes propiedades: 1. Constante: l´ c = c ım x→+∞ ä ç ä ç 2. M´ltiplo escalar: l´ u ım r f (x) = r l´ f (x) , ım r∈R x→+∞ x→+∞ ä ç 3. Suma o diferencia: l´ ım f (x) ± g(x) = l´ f (x) ± l´ g(x) ım ım x→+∞ x→+∞ x→+∞ ä ç 4. Producto: l´ ım f (x) · g(x) = l´ f (x) · l´ g(x) ım ım x→+∞ x→+∞ x→+∞ f (x) l´ f (x) ım x→+∞ 5. Cociente: l´ ım = , si l´ g(x) = 0 ım x→+∞ g(x) l´ g(x) ım x→+∞ x→+∞ å èr 6. Potencia: l´ [f (x)]r = ım l´ f (x) ım x→+∞ x→+∞ n 7. Ra´ ıces: l´ ım f (x) = n l´ f (x) ım x→+∞ x→+∞Las mismas propiedades se dan cuando x → −∞
    • 78 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS1.5.8. T´cnicas elementales para el c´lculo de l´ e a ımitesTodas las funciones elementales son continuas en todos los puntos en losque est´n definidas. En consecuencia para calcular el l´ a ımite de una funci´noelemental en un punto de su dominio bastar´ con hacer la sustituci´n directa. a oEs decir l´ f (x) = f (x0 ) ım x→x0El problema est´ en calcular el l´ a ımite de una funci´n elemental en un punto oen el que no est´ definida. Es decir, en un punto tal que al hacer la susti- atuci´n directa nos encontramos con una indeterminaci´n. Habr´ que hacer o o alas operaciones necesarias para romper la indeterminaci´n. oTeorema 1.9 (Funciones que coinciden en todos sus puntos exceptoen uno). Sea x0 un n´mero real y sean f y g dos funciones que coinciden uen todos los puntos de un entorno de x0 , salvo quiz´s en x0 . Entonces, si a ımite de una de ellas en x0 , tambi´n existe el l´existe el l´ e ımite de la otra yadem´s son iguales. a f (x) = g(x) para x = x0 ⇒ l´ f (x) = l´ g(x) ım ım x→x0 x→x0Demostraci´n. Supongamos que existe el l´ o ımite de g(x) cuando x → x0 yque dicho l´ ımite es . Entonces, por definici´n, se tiene que para cada ε > 0 oexiste un δ > 0 tal que |g(x) − | < ε siempre que 0 < |x − x0 | < δAhora bien, teniendo en cuenta que f (x) = g(x) para todo x del entorno dex0 , salvo quiz´s para x0 y teniendo en cuenta que x0 no se contempla en la adefinici´n de l´ o ımite (ya que 0 < |x − x0 |), resulta que |f (x) − | < ε siempre que 0 < |x − x0 | < δ ımite de f (x) cuando x → x0 tambi´n es .luego el l´ ea) T´cnicas de cancelaci´n. Se aplica en las funciones racionales cuando e onos encontramos con una indeterminaci´n del tipo 0/0. Sea o p(x) r(x) = q(x)y supongamos que nos encontramos con la situaci´n o p(x) ä p(x0 ) 0ç l´ ım = = x→x0 q(x) q(x0 ) 0
    • 1.5. L´ IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 79Al ser p(x0 ) = 0 quiere decir que p(x) es m´ltiplo de (x − x0 ). Del mismo umodo, al ser q(x0 ) = 0 quiere decir que q(x) es m´ltiplo de (x − x0 ). En uconsecuencia, en virtud del Teorema 1.9, cancelando el factor (x − x0 ) en elnumerados y denominador podemos eliminar la indeterminaci´n y aplicar la osustituci´n directa. o p(x) ä p(x0 ) 0ç (x − x0 )p1 (x) p1 (x) p1 (x0 ) l´ ım = = = l´ ım = l´ ım = x→x0 q(x) q(x0 ) 0 x→x0 (x − x0 )q1 (x) x→x0 q1 (x) q1 (x0 )Ejemplo 1.53 (C´lculo de l´ a ımites mediante cancelaci´n de factores). Calcu- olar x2 − 5x + 6 l´ ım 2 x→2 x + 2x − 8Soluci´n. Al probar la sustituci´n directa nos encontramos con una indeter- o ominaci´n del tipo 0/0. En consecuencia factorizamos numerador y denomi- onador y cancelamos los factores comunes, con lo cual se tiene, x2 − 5x + 6 ä 0 ç (x − 2)(x − 3) x−3 2−3 −1 l´ ım 2 + 2x − 8 = = l´ ım = l´ ım = = x→2 x 0 x→2 (x − 2)(x + 4) x→2 x + 4 2+4 6b) T´cnicas de racionalizaci´n. Se aplica en las funciones irracionales e ocuando nos encontramos con indeterminaciones del tipo 0/0 o bien ∞ − ∞.En el caso de que se trate de ra´ ıces cuadradas la indeterminaci´n se suele oeliminar multiplicando y dividiendo por el conjugado, con objeto de tenersuma por diferencia, de manera que al aplicar la diferencia de cuadrados seelimine la ra´ cuadrada. ız a ımites mediante racionalizaci´n). CalcularEjemplo 1.54 (C´lculo de l´ o √ x−1 l´ ım x→1 x − 1Soluci´n. Al aplicar la sustituci´n directa nos encontramos con una indeter- o ominaci´n del tipo 0/0. En consecuencia racionalizamos el numerador, mul- otiplicando y dividiendo por el conjugado, del numerador, de manera que alaplicar la diferencia de cuadrados se elimine la ra´ cuadrada. En efecto, ız √ √ √ √ x−1 0 x−1 x+1 ( x)2 − 12 l´ ım = = l´ım √ = l´ ım √ = x→1 x − 1 0 x→1 (x − 1) x+1 x→1 (x − 1) x+1 x−1 1 1 1 = l´ ım √ = l´ √ ım =√ = x→1 (x − 1) x+1 x→1 x+1 1+1 2c) C´lculo de l´ a ımites mediante el n´ mero e. Las indeterminaciones udel tipo 1∞ se pueden resolver haciendo transformaciones para expresar ell´ ımite de cualquiera de las formas siguientes: 1 x l´ (1 + x)1/x = e ım l´ ım 1+ =e x→0 x→∞ x
    • 80 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSo bien, de manera general 1/h(x) l´ ım 1 + h(x) = e, si l´ h(x) = 0 ım x→x0 x→x0Nota: Estos l´ ımites se resuelven en la secci´n 3.3.3 (p´g. 177) mediante las reglas de o aL’Hˆpital. o 2 ım x − 3 x − 4Ejemplo 1.55. Calcular: l´ x→4Soluci´n. Si hacemos la sustituci´n directa nos encontramos con una inde- o oterminaci´n del tipo 1 o ∞ . El l´ ımite se resuelve mediante el n´mero e de la usiguiente forma 2 ¾ 1 ¿2 ım x − 3 l´ x − 4 = l´ ım 1 + (x − 4) x−4 = e2 x→4 x→4d) Teorema del encaje y de la acotaci´n. Si una funci´n est´ compren- o o adida, en los alrededores de un punto, entre dos que tienen el mismo l´ ımite,en dicho punto, entonces dicha funci´n tambi´n tiene el mismo l´ o e ımite endicho punto. µ f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) l´ f (x) = l´ g(x) ım ım ⇒ l´ h(x) = l´ f (x) = l´ g(x) ım ım ım x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 x→x0Teorema 1.10 (Teorema del encaje). Si f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todox en un entorno de x0 , excepto quiz´s en el propio x0 , y si a l´ f (x) = = l´ g(x) ım ım x→x0 x→x0entonces l´ h(x) = ım x→x0Demostraci´n. Dado ε > 0 existen δ1 y δ2 tales que o |f (x) − | < ε siempre que 0 < |x − x0 | < δ1y |g(x) − | < ε siempre que 0 < |x − x0 | < δ2Sea δ el menor de δ1 y δ2 . Entonces si 0 < |x − x0 | < δ, se siguen las dosrelaciones |f (x) − | < ε y |g(x) − | < εlo cual, expresado mediante desigualdades, significa que −ε < f (x) − < ε y − ε < g(x) − < ε
    • 1.5. L´ IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 81de donde, sumando − ε < f (x) y g(x) < + εy teniendo en cuenta que f (x) ≤ h(x) ≤ g(x), se tiene − ε < f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) < + εde donde, − ε < h(x) < + εque en valor absoluto, se expresa |h(x) − | < εlo que significa que l´ h(x) = ım x→x0 Si una funci´n tiene l´ o ımite cero, en un punto, y otra est´ acotada en alos alrededores del punto, entonces su producto tambi´n tiene l´ e ımite cero endicho punto. µ g(x) acotada l´ f (x) = 0 ım ⇒ −k ≤ g(x) ≤ k ⇒ −kf (x) ≤ f (x)g(x) ≤ kf (x) ⇒ x→x0 ä ç ä ç ım f (x)g(x) ≤ 0 ⇒ l´ 0 ≤ l´ ım f (x)g(x) = 0 ⇒ 0 · Acot = 0 x→x0 x→x0Nota: Si f (x) < 0, cambiar´ el sentido de la desigualdad, pero el resultado final ser´ el ıa ıamismo. ımite en el punto x0 . De ah´ la El teorema se cumple aunque la funci´n g(x) no tenga l´ o ıimportancia del teorema.Ejemplo 1.56 (Cero por acotado). Calcular el siguiente l´mite ı 1 ım x sen l´ x→0 xSoluci´n. Dado que la funci´n seno est´ acotada o o a 1 −1 ≤ sen ≤1 xresulta 1 ım x sen l´ = 0 · Acot = 0 x→0 x 1Nota: El resultado es correcto, a pesar de que l´ sen ım no existe. x→0 x
    • 82 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS1.5.9. Infinit´simos equivalentes eDefinici´n 1.33 (Infinit´simos). Una funci´n, f , se dice que es un in- o e ofinit´simo en un punto x0 , si su l´ e ımite en dicho punto es cero. f infinit´simo en x0 ⇔ l´ f (x) = 0 e ım x→x0Definici´n 1.34 (Infinit´simos equivalentes). Dos infinit´simos, en un o e emismo punto, se dice que son equivalentes, cuando el l´mite de su cociente ıes la unidad. f (x) ä 0 ç l´ ım = = 1 ⇔ f (x) ∼ g(x) x→x0 g(x) 0Teorema 1.11 (Sustituci´n de infinit´simos). Cuando, en un l´ o e ımite,un infinit´simo est´ multiplicando o dividiendo se le puede sustituir por otro e eequivalente. f (x)Demostraci´n. Supongamos que, en x0 , es f (x) ∼ g(x), ser´ l´ o a ım = 1. g(x) x→x0Y supongamos que nos encontramos con un l´ ımite en el que aparece f (x)multiplicando o dividiendo: f (x) l´ f (x)h(x) = l´ ım ım g(x)h(x) = l´ 1 · g(x)h(x) = l´ g(x)h(x) ım ım x→x0 x→x0 g(x) x→x0 x→x0Es decir, hemos sustituido f (x) por g(x) y el nuevo l´ ımite puede resultarm´s f´cil que el anterior. a aProposici´n 1.19. Si un infinit´simo est´ sumando o restando, en general, o e ano se le puede sustituir por otro equivalente. ım f (x) ± h(x) = l´ l´ ım g(x) ± h(x) x→x0 x→x0 Existen casos muy concretos en los que se pueden aplicar infinit´simos eal caso de sumas, como es el siguienteProposici´n 1.20. La suma de varios infinit´simos de distinto orden se o epuede reducir al de menor orden. (x2 + x3 + x6 )f (x) (x2 )f (x) l´ ım = l´ ım x→0 g(x) x→0 g(x)
    • 1.5. L´ IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 831.5.10. Infinit´simos m´s frecuentes en z → 0 e a Trigonom´tricos e sen z ∼ z arc sen z ∼ z tg z ∼ z arc tg z ∼ z z2 1 − cos z ∼ 2 Exponenciales, logar´ ıtmicos, potencias y ra´ ıces z ∼ ln(1 + z) ez − 1 ∼ z ln(1 + z) ∼ z az − 1 ∼ z · ln a (1 + z)r − 1 ∼ r z √ z n 1+z−1∼ nEjemplo 1.57. Calcular los siguientes l´mites: ı 2 sen2 x ex − 1 ln x 1. l´ ım 2. l´ ım 3. l´ ım x→0 x2 (1 + cos x) x→0 sen 2x x→1 1−x å 1 x1è √n x−1 sen2 x + x3 4. l´ x 1 − ım 5. ım √ l´ m 6. l´ ım x→∞ 5 x→1 x−1 x→0 1 − cos xSoluci´n. o 2 sen2 x ä0ç 2x2 2 2 1. l´ ım = = l´ ım 2 = l´ ım = =1 x→0 x2 (1 + cos x) 0 x→0 x (1 + cos x) x→0 1 + cos x 2 ex − 1 ä 0 ç x 1 2. l´ ım = = l´ ım = x→0 sen 2x 0 x→0 2x 2 ln x ä0ç ln(1 + x − 1) x−1 1−x 3. l´ ım = = l´ım = l´ ım = l´ − ım = −1 x→1 1 − x 0 x→1 1−x x→1 1 − x x→1 1 − x å 1 x1è ä ç å 1 1 è 4. l´ x 1 − ım = ∞ · 0 = l´ −x ım x −1 = x→∞ 5 x→∞ 5 1 1 1 = l´ −x ln ım = − ln = −(ln 1 − ln 5) = −(0 − ln 5) = ln 5 x 5 5 ä ç x→∞ √ √ √ n x−1 ä0ç ln 1 + ( n x − 1) ln n x ım √ 5. l´ m = = l´ ım ä √ ç = l´ ım √ = x→1 x−1 0 x→1 ln 1 + ( m x − 1) x→1 ln m x 1 n ln x m = l´ ım = x→1 1 ln x n m sen2 x + x3 ä 0 ç sen2 x x2 6. l´ ım = = l´ ım = l´ ım 2 = 2 x→0 1 − cos x 0 x→0 1 − cos x x→0 x /2
    • 84 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSL´ ımite de sucesiones consider´ndolas como funciones aSi unimos los puntos que representan una sucesi´n obtenemos la gr´fica de o auna funci´n. Sin embargo, podemos obtener infinitas funciones que contienen olos puntos de una misma sucesi´n. Lo normal es coger la funci´n que tiene o ola misma f´rmula que la sucesi´n, es decir considerar que la variable n es o ocontinua y no discreta. Si la funci´n que representa a la sucesi´n tiene l´ o o ımite, ese es el l´ ımite dela sucesi´n, pero si la funci´n no tiene l´ o o ımite, entonces la sucesi´n si puede otenerlo. Por tanto, se pueden aplicar los infinit´simos y las reglas de L’Hˆpital e oa las sucesiones, el l´ımite que encontremos ser´ el l´ a ımite de la sucesi´n y osi la sucesi´n considerada como funci´n no tiene l´ o o ımite entonces habr´ que aaplicar otro criterio.Ejemplo 1.58. Calcular los siguientes l´mites: ı √ Ö √ √ n−1 n− n − 1 = l´ n 1− 3 3 3 3 1. l´ ım ım = n→∞ n→∞ n Ö √ −1 √ −1 = l´ − n −1 = l´ − 3 n 3 3 ım 1+ ım =0 n→∞ n n→∞ 3n a −a a 2. l´ n 1 − ım 3 1− = l´ −n ım = n→∞ n n→∞ 3n 3 1 √ √ √ a n−1 3. l´ n ım n a− n−1 a = l´ n a ım n 1− 1 = n→∞ n→∞ an √ √ n−n+1 = l´ n n a 1 − a n−1 − n = l´ n n a 1 − a n(n−1) 1 1 ım ım = n→∞ n→∞ √ ln a = l´ n n a − ım =0 n→∞ n(n − 1) 1p + 2p + · · · + np ä ∞ ç (n + 1)p 4. l´ ım = = l´ ım = n→∞ np+1 ∞ n→∞ (n + 1)p+1 − np+1 (n + 1)p = l´ ım p+1 = n→∞ n (n + 1)p+1 1 − n+1 = l´ ım æ 1 p+1 é = n→∞ l´ ım 1 p+1 = 1 n→∞ 1 p+1 (n + 1) 1 − 1 − (n + 1) n+1 n+1
    • ´1.6. FUNCIONES HIPERBOLICAS. 85Ejercicios propuestos de la secci´n 1.5. L´ o ımite de funciones Soluciones en la p´gina 390 a1.5.1. Hallar, si existen, los siguientes l´ ımites √ x−4 x−3 1 a) l´ ım 2 b) l´ ım c) l´ (x2 + x) sen ım x→4 x − 16 x→9 x − 9 x→0 x1.5.2. Determinar los valores de a y b que hacen continua la funci´n o ´ 1 si x ≤ 1 f (x) = ax + b si 1 < x < 3 5 si x ≥ 11.5.3. Hallar, si existen, los siguientes l´ ımites x x x a) l´ım b) l´ım c) l´ ım x→2− x − 2 x→2+ x − 2 x→2 x−21.5.4. Hallar, si existen, los siguientes l´ ımites x x x2 − 4 a) l´ ım b) l´ ım c) l´ ım x→2 (x − 2)2 x→−2 (x + 2)2 x→2 (x − 2)31.6. Funciones hiperb´licas. oLas dos funciones siguientes, a primera vista, no presentan ninguna parti-cularidad, incluso pueden parecer dos funciones “ingenuas”: ex + e−x f (x) = 2 ex − e−x g(x) = 2Sin embargo, el comportamiento de estas dos funciones es bastante curiosoya que nos recuerdan las funciones circulares de la trigonometr´ por eso ıa,reciben unos nombres especiales: coseno hiperb´lico y seno hiperb´lico. o o1.6.1. Coseno y seno hiperb´lico oDefinici´n 1.35. Se llaman funciones hiperb´licas a las siguientes: o o ex + e−x cosh(x) = 2 ex − e−x senh(x) = 2Con las funciones hiperb´licas se puede construir una trigonometr´ muy o ıaparecida a la ordinaria.Una primera analog´ la podemos ver en el 0 donde toman los mismos valores ıaque el coseno y el seno de la trigonometr´ ordinaria. En efecto: ıa e0 + e−0 1+1 2 cosh(0) = = = =1 cosh 0 = 1 2 2 2 e0 − e−0 1−1 0 senh 0 = 0 senh(0) = = = =0 2 2 2
    • 86 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSSin embargo, una diferencia fundamental est´ en que estas funciones no son aperi´dicas, ni van oscilando en torno al cero. En efecto. o ex + e−x Siempre es positivo (y adem´s siempre es ≥ 1) acosh x = 2 x > 0 ⇒ senh x > 0 ex − e−x Puede ser positivo o negativosenh x = x < 0 ⇒ senh x < 0 21.6.2. F´rmula fundamental de la Trigonometr´ hiperb´lica o ıa oSi en vez de hacer la suma de los cuadrados hacemos la diferencia, tenemos: ex + e−x ex − e−x 2 2 cosh2 x − senh2 x = − = 2 2 e2x + 2ex e−x + e−2x e2x − 2ex e−x + e−2x 2+2 4 = − = = =1 4 4 4 4Que nos da la f´rmula fundamental de la trigonometr´ hiperb´lica: o ıa o cosh2 x − senh2 x = 1Que tambi´n puede expresarse de la forma: e cosh2 x = 1 + senh2 xLo que permite expresar cada una de las funciones hiperb´licas en t´rminos o ede la otra. cosh x = + 1 + senh2 x senh x = ± cosh2 x − 1Esto no quiere decir que el senh tome dos valores simult´neamente, sino que aen cada caso, habr´ que elegir como signo de la ra´ el del propio x. a ız1.6.3. Significado del t´rmino “hiperb´licas”. e oEstas funciones se llaman hiperb´licas porque la trigonometr´ que se con- o ıastruye con ellas viene definida sobre una hip´rbola, de manera an´loga a e ac´mo la trigonometr´ ordinaria se construye sobre una circunferencia. o ıaTrigonometr´ circular: ıaTrigonometr´ hiperb´lica: punto (x, y) de la circunferencia cumple: ıa o UnNota: En la trigonometr´ hiperb´lica nos limitamos a la rama derecha de ıa o x2 + y 2 = 1la hip´rbola. e x = cos t se tiene : Y llamando: y = sen t cos2 t + sen2 t = 1
    • ´1.6. FUNCIONES HIPERBOLICAS. 87 T y $ (x, y)     Ex &% Figura 1.39: x2 + y2 = 1 yT Un punto (x, y) de la hip´rbola cumple: e (x, y) • x x2 − y 2 = 1 1 E 0 x = cosh t se tiene : Y llamando: y = senh t cosh2 t − senh2 t = 1 Figura 1.40: x2 − y2 = 11.6.4. Otras razones hiperb´licas o Las dem´s razones hiperb´licas se definen igual que en la trigonometr´ a o ıacircular: senh x ex − e−x cosh x ex + e−x tgh x = = x coth x = = x cosh x e + e−x senh x e − e−x1.6.5. F´rmulas del ´ngulo doble o a 2 e2x − e−2x (ex )2 − e−x (ex − e−x )(ex + e−x ) senh 2x = = = = 2 2 2 ex − e−x ex + e−x =2 = 2 · senh x · cosh x 2 2 senh 2x = 2 senh x cosh x 2 2 e2x + e−2x (ex )2 + e−x (ex )2 + 2 + e−x −2cosh 2x = = = = 2 2 2 2 2 (ex )2 + 2ex e−x + e−x −2 ex + e−x ex + e−x 2= = −1=2 −1= 2 2 2 = 2 cosh2 x − 1 = 2 cosh2 x − (cosh2 x − senh2 x) =
    • 88 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS = 2 cosh2 x − cosh2 x + senh2 x = cosh2 x + senh2 x cosh 2x = 2 cosh2 x − 1 = cosh2 x + senh2 x1.6.6. El cuadrado del senh y del cosh Las siguientes f´rmulas se emplean en el c´lculo de integrales. o a cosh 2x + 1cosh 2x = 2 cosh2 x − 1 ⇒ 2 cosh2 x = 1 + cosh 2x ⇒ cosh2 x = 2cosh 2x = cosh2 x + senh2 x = (1 + senh2 x) + senh2 x = 1 + 2 senh2 x ⇒ cosh 2x − 1⇒ 2 senh2 x = cosh 2x − 1 ⇒ senh2 x = 21.6.7. Gr´fica de las funciones hiperb´licas a oGr´fica de la funci´n f (x) = senh x a o ex − e−x senh x = = 1/2ex − 1/2e−x 2 y T ex 1/2 senh x 1/2 e−x Ex −1/2 e−x Figura 1.41: f (x) = senh xGr´fica de la funci´n f (x) = cosh x a o ex + e−x cosh x = = 1/2ex + 1/2e−x 2Gr´fica de la funci´n f (x) = tgh x a o senh x ex − e−x tgh x = = x cosh x e + e−x
    • ´1.6. FUNCIONES HIPERBOLICAS. 89 y T x cosh 1/2 ex 1/2 e−x Ex Figura 1.42: f (x) = cosh xtgh 0 = 0 e−x ex −e−x å∞è 1− 1 − e−2x 1−0 l´ ım = = l´ ım ex = l´ ım = =1 −xx→+∞ ex + e−x ∞ x→+∞ e x→+∞ 1 + e−2x 1+0 1+ x e ex ex − e−x å∞è −x −1 e2x − 1 0−1 l´ ım = = l´ım e x = l´ım 2x = = −1x→−∞ ex + e−x ∞ x→−∞ e x→−∞ e + 1 0+1 +1 e−x y T1 tgh x Ex −1 Figura 1.43: f (x) = tgh x1.6.8. Funciones hiperb´licas inversas oPara las funciones hiperb´licas inversas en vez de la palabra arco se utiliza ola palabra argumento. y = arg cosh x ⇐⇒ x = cosh y ← Siempre positivo y = arg senh x ⇐⇒ x = senh yDado que la funci´n cosh no es inyectiva, ya que existen dos argumentos ocon el mismo coseno hiperb´lico: cosh y = cosh (−y), su correspondencia orec´ ıproca no es funci´n, ya que para cada valor de x tendr´ o ıamos dos posiblesvalores para su imagen: y y −y. Para salvar esta circunstancia elegiremossiempre el valor positivo del argumento.
    • 90 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS y T cosh x arg cosh x       Ex     Figura 1.44: f (x) = arg cosh x1.6.9. Identidad hiperb´lica o ex + e−x cosh x = 2 ex + e−x ex − e−x 2ex cosh x + senh x = + = = ex ex − e−x 2 2 2 senh x = 2 ä ç ex = cosh x + senh x ⇒ x = ln cosh x + senh x1.6.10. F´rmula logar´ o ıtmica de las funciones hiperb´licas in- o versasSea y = arg cosh x, a partir de ah´ los valores del cosh y y senh y son los ı,siguientes: a) Por la propia definici´n del arg cosh, ser´: cosh y = x. o a b) A partir de la f´rmula fundamental podemos expresar el senh en fun- o ci´n del cosh, y a partir de ah´ expresarlo en funci´n de x. o ı, o cosh2 y − senh2 y = 1 ⇒ senh2 y = cosh2 y − 1 ⇒ ⇒ senh y = + cosh2 y − 1 ⇒ senh y = x2 − 1Y sustituyendo ambas expresiones en la identidad logar´ ıtmica resulta: ä ç y = ln cosh y + senh y = ln x + x2 − 1de donde: arg cosh x = ln x + x2 − 1De la misma forma se obtiene la expresi´n para el arg senh: oSea y = arg senh x, a partir de ah´ los valores del cosh y y sen y son los ı,siguientes:
    • 1.7. PROBLEMAS PROPUESTOS DEL CAP´ ITULO 1 91 a) Por la propia definici´n del arg senh, ser´: senh y = x. o a b) A partir de la f´rmula fundamental podemos expresar el cosh en fun- o ci´n del senh, y a partir de ah´ expresarlo en funci´n de x. o ı, o cosh2 y − senh2 y = 1 ⇒ cosh2 y = senh2 y + 1 ⇒ ⇒ cosh y = + senh2 y + 1 ⇒ cosh y = x2 + 1Y sustituyendo ambas expresiones en la identidad logar´ ıtmica resulta: ä ç y = ln cosh y + senh y = ln x + x2 + 1de donde: arg senh x = ln x + x2 + 1 ey + e−yTambi´n puede hacerse despejando y en las ecuaci´n x = e o para el 2 ey − e−yarg cosh, o bien en x = para el arg senh 21.7. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 1Ejercicios propuestos del Cap´ ıtulo 1 Soluciones en la p´gina 390 a1.1. Hallar los intervalos definidos por las siguientes desigualdades: x−2 a) x2 − 2x < 3, b) < 2, c) |2x − 6| ≤ 4, d) |7 − 3x| ≥ 2, x−41.2. Dada la circunferencia de ecuaci´n x2 + y 2 + 4x − 2y + 1 = 0 o a) Hallar el centro y el radio b) Determinar si los puntos (0, 0), (−2, −1) y (−2, 1) est´n dentro, fuera o en ella. a1.3. Hallar el dominio de las siguientes funciones: 1 √ 1 √ a) f (x) = + x−1 b) f (x) = √ + x+1 x−3 3−x1.4. Hallar, si existen, los siguientes l´ ımites de sucesiones a) l´ ım 3n2 − 2n + 5 , b) l´ ım  Ô9n 2 +n+1− Ô ¡ 9n2 − 2n , n→∞ 6n2 + 5n − 1 n→∞ c) l´ ım  Ô4n 2 ¡ + n − 2n , d) l´ ım n2 + 5n + 1 n n→∞ n→∞ n2 + 2n + 51.5. Hallar, si existen, los siguientes l´ ımites de funciones √ 1 x2 − 4 x−1−1 x+1 x−2 a) l´ ım 2 , b) l´ ım , c) l´ ım x→2 x + 3x − 10 x→2 x−2 x→2 3
    • 92 CAP´ ´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSProblemas resueltos del Cap´ ıtulo 11.1 (Aplicando el criterio de Stolz). Calcular el siguiente l´ ımite: ¢ £ l´ ım n→∞ ¢ ln (n + 1)! ln (n + 1) £ nSoluci´n. Aplicando el criterio de Stolz, resulta o ¢ £ ¢ £ ln (n + 2)! − ln (n + 1)! ¢ £ (n + 2)! ln l´ ım n→∞ ¢ ln (n + 1)! n ln (n + 1) £= l´ ım ¢ n→∞ ln (n + 2)n+1 − ln (n + 1)n £ ¢ = l´ ım n→∞ £ (n + 1)! (n + 2)n+1 = ln (n + 1)n ln(n + 2) ln(n + 2) = l´ ım = l´ ım = n→∞ n+2 n n→∞ n+2 n ln (n + 2) ln(n + 2) + ln n+1 n+1 1 1 1 = l´ ım = = =1 n→∞ n+2 n 1 + 1/∞ 1+0 1 + ln / ln(n + 2) n+1Donde se ha tenido en cuenta que n+2 n 1 n å 1 n+1 è n n+1 l´ ln ım = l´ ln 1 + ım = ln l´ ım 1+ = ln e1 = 1 n→∞ n+1 n→∞ n+1 n→∞ n+1Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 1 Soluciones en la p´gina 390 a1.1. Hallar, si existen, los siguientes l´ ımites de sucesiones (n2 +3) n 3n + 2 a) l´ ım n→∞ 3n − 5
    • Cap´ ıtulo 2Funciones de varias variables:L´ ımites2.1. Funciones de varias variables2.1.1. DefinicionesFunci´n de una variable Una funci´n de una variable es una corres- o opondencia entre dos magnitudes. Por ejemplo, el espacio y el tiempo. Noobstante, hay que advertir que no se considera funci´n a cualquier corres- opondencia, sino que para que una correspondencia sea funci´n, la imagen de ocada elemento tiene que ser unica y estar bien determinada. ´ Una manera de visualizar una funci´n es por medio de una gr´fica. La o agr´fica de una funci´n de una variable, por lo general, es una curva en el a oplano. Sin embargo, no toda curva del plano es la representaci´n de una ofunci´n. Para que una curva represente una funci´n no puede tener dos o opuntos en la misma vertical (criterio de la recta vertical), ya que para queuna correspondencia entre dos magnitudes sea funci´n, la imagen tiene que oser unica. ´ y yT T • y2 y = f (x) •y • y1 x E x E x xFigura 2.1: Gr´fica de una funci´n de una variable. La circunferencia no es la gr´fica de a o auna funci´n. o Para poder aplicar las propiedades de las funciones a las correspondenciaque no lo son hay que descomponerlas en funciones. Por ejemplo, la ecuaci´n o 93
    • 94 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITESde una circunferencia x2 +y 2 = 1 no representa (globalmente) una funci´n, ya oque para cada valor de una de las variables hay dos valores de la otra, con locual se viola el concepto de funci´n. En consecuencia, la descomponemos en odos funciones: una que toma el valor positivo (semicircunferencia superior),y otra el valor negativo (semicircunferencia inferior). En efecto, tenemos: √ y1 = +√1 − x2 x +y =1 ⇒ y =1−x ⇒ y =± 1−x 2 2 2 2 2 ⇒ y2 = − 1 − x2 y y √ y T x2 + y 2 = 1 T y = + 1 − x2 T Ex Ex Ex √ y = − 1 − x2Figura 2.2: La circunferencia no es una funci´n, pero podemos descomponerla en dos ofunciones.Funci´n de varias variables. Una funci´n de varias variables es una o ocorrespondencia entre m´s de dos magnitudes. En este caso, las im´genes a atambi´n ser´n n´meros reales, pero los originales no ser´n n´meros indivi- e a u a uduales, sino parejas o ternas de n´meros reales. Es decir, para poder dar uel resultado de la funci´n necesitamos tener varios datos. En consecuencia, olos valores de la funci´n (las im´genes), que ser´n n´meros reales, dependen o a a u(son funci´n) de m´s de una variable. o aEjemplo: Si expresamos el ´rea de un tri´ngulo en funci´n de la base y de a a ola altura, tendremos una funci´n de dos variables. o ¡f ¡ f ¡h f ¡ f 1¡ f a = bh ⇒ a = f (b, h) b > 0, h>0 2 bFigura 2.3:En general, ser´: a f : D ⊆ R2 −→ R f : (x, y) −→ z z = f (x, y)Ejemplo: Si expresamos el volumen de un paralelep´ ıpedo rectangular (cajade zapatos) en funci´n de sus aristas, tendremos una funci´n de tres varia- o obles.
    • 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 95       z      y v = xyz ⇒ v = f (x, y, z), x > 0, y > 0, z > 0 x Figura 2.4:En general ser´, a f : D ⊆ R3 −→ R f : (x, y, z) −→ v v = f (x, y, z) Denotamos una funci´n de dos o m´s variables por una notaci´n similar o a oa la utilizada con las funciones de una sola variable. As´ en los ejemplos ı,anteriores, tenemos: 1 z = f (x, y) = xy y v = f (x, y, z) = xyz ßÞ 2 ßÞ 2 variables 3 variablesDefinici´n 2.1 (Funci´n de dos variables). Sea D un conjunto de pares o oordenados de n´meros reales. Si a cada par ordenado (x, y) de D le corres- uponde un n´mero real f (x, y), entonces se dice que f es funci´n de x e y. u oEl conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valoresde f (x, y) es el recorrido de f . Para la funci´n dada por z = f (x, y), a x e y se les llaman variables oindependientes, y a z variable dependiente.Nota: N´tese el doble papel que juega la letra z en la notaci´n: En funciones de dos o ovariables se le suele usar para denotar los valores de la funci´n, escribiendo z = f (x, y) o(aqu´ la z es la “funci´n”, la variable dependiente), mientras que en funciones de tres o ı, om´s variables suele aparecer denotando a una de las variables de la funci´n, por ejemplo, a oen v = f (x, y, z) (aqu´ la z es una variable independiente). ı El par ordenado (x, y) puede tener una doble interpretaci´n: por un lado, olo podemos considerar como una pareja de n´meros reales (es decir, vemos udos n´meros, dos variables); y por otro, lo podemos considerar como una uunidad, como las componentes de un vector, v = (x, y) (y, en este sentido,s´lo veremos una variable, un vector). En consecuencia las funciones de ovarias variables, tambi´n, pueden considerarse como funciones de una sola evariable vectorial. f : D ⊆ R2 −→ R f : (x, y) −→ z z = f (x, y) f : v −→ z z = f (v) con v = (x, y)
    • 96 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITESEn general, tendremos funciones del tipo: f : D ⊆ Rn −→ R f : (x1 , . . . , xn ) −→ y y = f (x1 , . . . , xn ) f : x −→ y y = f (x)que llamaremos funciones reales de n variables reales, si consideramos a lospuntos de Rn como n-adas de n´meros reales (es decir, veremos n variable), uo bien, funciones reales de variable vectorial, si consideramos a los elementosde Rn como vectores (es decir, s´lo veremos una variable: un vector). o Es decir, una funci´n f : D ⊆ Rn −→ R es una regla que asocia a cada on-ada ordenada de n´meros reales (x1 , . . . , xn ) de D, o bien, a cada vector ux de D, un n´mero real (y s´lo uno) bien determinado f (x1 , . . . , xn ). u o En consecuencia, una funci´n de varias variables est´ constituida por: o a a) Su dominio D ⊆ Rn , b) su codominio R, c) la regla, z = f (x), que asocia a cada elemento del dominio x ∈ D, su imagen z ∈ R.A la magnitud que se despeja (la imagen) se le llama variable dependientey a las otras variables independientes.A las funciones de varias variables tambi´n se les llama campos escalares. e Igual que en una variable, para que la correspondencia sea funci´n la ima- ogen tiene que ser unica. Para poder aplicar las propiedades de las funciones ´a las correspondencias que no lo son, hay que descomponerlas en funciones.Ejemplo. La ecuaci´n de la esfera x2 +y 2 +z 2 = 1 no representa (globalmente) ouna funci´n, ya que si le damos valores a dos de las variables obtenemos dos ovalores de la tercera, lo que viola el concepto de funci´n. o z T x2 + y 2 + z 2 = 1 ⇒ z 2 = 1 − x2 − y 2 ⇒     y   E ⇒ z = ± 1 − x2 − y 2 (no es funci´n) ⇒ o   ´   z1 = + 1 − x2 − y 2 (si es funci´n) ox  © ⇒ z2 = − 1 − x2 − y 2 (si es funci´n) o Figura 2.5:Funciones vectoriales. Una funci´n se dice que es vectorial cuando el oresultado no es un n´mero, sino un vector, es decir, una pareja de n´meros u uo una terna de n´meros. uEjemplo. Si las ecuaciones param´tricas de una recta son las siguientes: e x=1−t y = 2 + 3t z =1+t
    • 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 97para cada valor del par´metro tiempo, t, obtenemos las tres coordenadas del apunto de situaci´n, (x, y, z). oEn general, tendremos, f : D ⊆ R −→ R3 x = x(t) f: t −→ (x, y, z) y = y(t) z = z(t)Tambi´n se pueden definir funciones vectoriales que dependan de varias evariables. Por ejemplo: f : D ⊆ R2 −→ R3 f: (x, y) −→ (xy, x2 y, lnx)En general, podemos establecer la siguiente clasificaci´n: o n = m = 1 funci´n de una variable o n>1 funci´n de varias variables o f : D ⊆ Rn −→ Rm m=1 n cualquiera funci´n vectorial o m>1Campos vectoriales. Se llaman campos vectoriales a las funciones vecto-riales de Rn en s´ mismo. Es decir, se llama campo vectorial a las funciones ıdel tipo f : D ⊆ Rn → Rn . Una pr´ctica para visualizar los campos vec- atoriales consiste en jugar con la naturaleza “dual”de los elementos de Rn ;los elementos del dominio x ∈ D se ven como puntos y los de la imagenf (x) como vectores. El vector f (x) se representa mediante una flecha que sepuede colocar en cualquier punto del espacio, sin embargo, para tener unavisualizaci´n del campo, la flecha se colocar´ de manera que su punto inicial o asea el punto x.Ejemplo. El campo F : R2 → R2 de ecuaci´n, F(x, y) = (x, y), que asocia oal punto (x, y) ∈ R2 el vector (x, y) ∈ R2 , se llama campo radial en R2 , y sepuede representar gr´ficamente como un conjunto de flechas en direcci´n ra- a odial, cuya longitud crece al alejarnos del origen de coordenadas y disminuyeal acercarnos a ´l. e2.1.2. Dominio de una funci´n de varias variables oEl dominio de una funci´n se define como el conjunto de puntos que tienen oimagen. En la pr´ctica el dominio de una funci´n de varias variables, normal- a omente, viene determinado por el contexto del problema (por ejemplo area ´de un tri´ngulo). Por eso, para definir las funciones es usual dar simplemente ala f´rmula z = f (x), sin especificar el dominio D. oDominio impl´ ıcito en la f´rmula. Cuando no se dispone de un contexto o
    • 98 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITES y u e T ¡ ! e ¡ ‰ rr e ¡ B ¨ rdsd   ¨    ¨ x E ¨   d rr ¨¨ % ©   ‚ d j r ¡ e ¡ e ¡  … e Figura 2.6: Campo radial en R2de aplicaci´n, tambi´n es usual definir las funciones dando simplemente la o eregla z = f (x), sin especificar el dominio D. En tal caso se entiende queel dominio viene impl´ ıcito en la propia f´rmula, y queda determinado por otodos aquellos valores para los cuales tiene sentido aplicar la f´rmula que odefine la funci´n. O sea, el dominio est´ formado por todos aquellos valores o atales que al sustituirlos en la f´rmula y realizadas las operaciones indicadas ose obtiene un valor num´rico y no una operaci´n imposible. Es decir, se e oentiende que el dominio de la funci´n f es el mayor subconjunto D de Rn opara el cual la regla f (x) tiene sentido (si el dominio es m´s peque˜o hay a n 1que indicarlo). Por ejemplo, si definimos la funci´n a = 2 xy el dominio ser´ o ıacualquier pareja de n´meros reales (x,y). Ahora bien, si queremos que esa ufunci´n represente el ´rea de un tri´ngulo, los valores x e y tienen que ser o a apositivos. Por lo tanto dicha restricci´n habr´ que indicarla junto con la o af´rmula a = 1 xy x > 0, y > 0. Si no se indica ninguna restricci´n esta- o 2 omos suponiendo que el dominio es el m´ximo “permitido”por la f´rmula. El a oconocimiento del dominio nos permite saber qu´ valores pueden sustituirse een la f´rmula y cuales no. o El dominio de una funci´n de dos variables f (x, y) ser´ una regi´n del o a oplano, y el dominio de una funci´n de tres variables f (x, y, z) una regi´n del o oespacio. Y vendr´ determinado por la propia f´rmula (dominio impl´ a o ıcito), obien, por una restricci´n arbitraria que nosotros impongamos. o Se llama Rango o Recorrido de una funci´n al conjunto de elementos oque son imagen. En general, nos ocuparemos del Dominio y s´lo en casos oparticulares nos ocuparemos del Recorrido.Ejemplo 2.1 (Encontrando un dominio). Encontrar el dominio de definici´n ode funci´n o xy f (x, y) = 2 . x + y2Soluci´n. Se trata de encontrar aquellas parejas de n´meros (x, y), para o ulas cuales tiene sentido la f´rmula dada para f (x, y). Es decir, ¿qu´ valores o epueden darse a x e y, de manera que al realizar las operaciones indicadas en
    • 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 99la f´rmula se obtenga un valor num´rico y no tropecemos con una operaci´n o e oimposible? Es evidente que, en este caso, el dominio de la funci´n es todo el espacio oR 2 excepto el origen de coordenadas, es decir, D = R2 − {(0, 0)}, pues la ff´rmula puede ser calculada para cualquier pareja de n´meros reales, salvo o upara la pareja (0, 0). En efecto, 1·1 1 f (1, 1) = = 12 +1 2 2 −2 · 3 −6 f (−2, 3) = = (−2)2 + (3)2 13 0·3 0 f (0, 3) = 2 2 = =0 0 + (3) 9Sin embargo, al sustituir la pareja (x, y) por (0, 0) tropezamos con una ope-raci´n imposible, como es dividir por cero. o 0·0 0 f (0, 0) = = 02 +0 2 0Ejemplo 2.2. Encontrar el dominio de la funci´n o x+y+z f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2Soluci´n. El mismo razonamiento del ejemplo anterior nos conduce a o Df = R3 − {(0, 0, 0)}Nota: Recordemos que al calcular el dominio de una funci´n deben tenerse en cuenta, oentre otras, las siguientes circunstancias: 1. Que no se puede dividir por cero. 2. Que las ra´ıces de ´ ındice par s´lo est´n definidas para los n´meros positivos y el o a u cero. 3. Que los logaritmos s´lo est´n definidos para los n´meros positivos. o a uEjemplo 2.3 (Representando un dominio). Encontrar el dominio de defini-ci´n de las siguientes funciones, indicando su significado gr´fico. o a y x 1. f (x, y) = 2. f (x, y) = x− y2 x2 + y2 − 9 x2 + y 2 − 9 sen (yz) 3. f (x, y) = 4. f (x, y, z) = x 4 − x2 − y 2 − z 2 1 5. f (x, y) = ln xy 6. f (x, y) = xy 7. f (x, y) = arc sen(x + y)Soluci´n. o
    • 100 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITES y 1. f (x, y) = x − y2 Para que la ra´ cuadrada x − y 2 est´ definida, el radicando no puede ız e ser negativo, luego x − y 2 ≥ 0, pero, al estar en el denominador, ha de ser distinto de cero, x − y 2 = 0. En consecuencia, x − y2 ≥ 0 x − y 2 > 0 ⇒ x > y 2 ⇒ Df = {(x, y) ∈ R2 /x > y 2 } x − y2 = 0 Para representar la inecuaci´n x > y 2 representamos la ecuaci´n x = y 2 , o o y obtenemos una par´bola. En los puntos de la par´bola se tiene a a la igualdad x = y 2 . En consecuencia, a la derecha de la par´bola a ser´ x > y a 2 . Luego el dominio de la funci´n coincide con el interior de o la par´bola, excluido el contorno. a y T =y x 2 x > y2 Ex sin el contorno Figura 2.7: Dominio de la funci´n: f (x, y) = o Ô y x − y2 x 2. f (x, y) = + y2 − 9 x2 Para que la ra´ cuadrada est´ definida, el radicando no puede ser ız e negativo, luego x 2 + y 2 − 9 ≥ 0, pero al estar en el denominador, no puede ser cero, x2 + y 2 − 9 = 0. En consecuencia y T x2 + y 2 − 9 > 0 ⇒ x2 + y 2 > 9 ⇒ E x Df = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 > 9} Exterior del c´ırculo de centro el Origen y radio 3, excluido el contorno Figura 2.8: x2 + y 2 − 9 3. f (x, y) = x Igual que en el caso anterior, para que la ra´ cuadrada est´ definida, ız e el radicando no puede ser negativo, luego x2 + y 2 − 9 ≥ 0. Ahora bien,
    • 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 101 en este caso, al estar en el numerador, no se le exige que sea distinto de cero. No obstante, al estar x en el denominador, no puede ser cero, x = 0. En consecuencia y x2 + y 2 − 9 ≥ 0 ⇒ x2 + y 2 ≥ 9 T x=0 ⇒ E x Df = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≥ 9, x = 0} Exterior del c´ırculo de centro el Origen y radio 3, incluido el contorno y excluido el eje OY. Los puntos (0, 3) y (0, −3) quedan excluidos. Figura 2.9: sen (yz) 4. f (x, y, z) = 4 − x2 − y 2 − z 2 En numerador no tiene ning´n problema, est´ definidos para cualquier u a valor de x e y. Luego, z T   4 − x2 − y 2 − z 2 > 0 ⇒ x2 + y 2 + z 2 < 4 ⇒   y   E Df = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 + z 2 < 4}   x   El dominio es el interior de la esfera de centro © el Origen y radio 2, excluido el contorno. Figura 2.10: 5. f (x, y) = ln xy x>0 y>0 D = {(x, y) ∈ R2 /[x > 0, y > 0] xy > 0 ⇒ ⇒ f x<0 o ´ [x < 0, y < 0]} y<0 Es decir, el dominio est´ formado por el primer y el tercer cuadrante, a excluidos los ejes de coordenadas. 1 6. f (x, y) = xy xy = 0 ⇒ x = 0 e y = 0 ⇒ Df = {(x, y) ∈ R2 /xy = 0} El dominio comprende todo el plano menos los dos ejes de coordenadas 7. f (x, y) = arc sen (x + y) Que f (x, y) sea el arc sen de x + y, significa que x + y es el seno de un angulo. Para que x + y pueda ser el seno de un angulo ha de estar ´ ´ comprendido entre 1 y -1, −1 ≤ x + y ≤ 1. En consecuencia
    • 102 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITES x+y ≤1⇒y ≤1−x y −1 ≤ x + y ≤ 1 ⇒ d T −1 ≤ x + y ⇒ y ≥ −1 − x d y =1−x d d E x d d ⇒ Df = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ x + y ≤ 1} d y = −1 − x dd d El dominio es la franja comprendida entre las rec- d d tas y = 1 − x e y = −1 − x, incluidas ambas rectas. Figura 2.11:2.1.3. Operaciones con funciones de varias variables.Las funciones de varias variables se pueden combinar de la misma formaque las funciones de una sola variable. Por tanto se pueden sumar, restar,multiplicar, dividir, etc. f (x, y) f (x, y) ± g(x, y) , f (x, y) · g(x, y) , , ··· g(x, y)As´ las operaciones entre funciones de varias variables se definen de manera ı,an´loga a como se definen en el caso de una sola variable: a (f + g)(x, y) = f (x, y) + g(x, y) (f g)(x, y) = f (x, y)g(x, y) f f (x, y) (x, y) = g g(x, y)No obstante, hay que hacer notar que operar con funciones significa operarcon las im´genes de un mismo punto. a f (x, y) (x, y) f (x, y) + g(x, y) g(x, y)En consecuencia, para que la operaci´n con las im´genes se pueda considerar o acomo una operaci´n de funciones, las dos funciones tienen que estar definidas osobre ese mismo punto. Por tanto, para operar, todas las funciones tienenque ser del mismo n´mero de variables (aunque en la f´rmula no tienen por u oque aparecer todas).Ejemplo, se pueden sumar las funciones: f (x, y) = x 2x + y = f (x, y) + g(x, y) = (f + g)(x, y) g(x, y) = x + ySin embargo, no se puede expresar como suma de funciones la siguientesuma: f (x) = x 2x + y = f (x) + g(x, y) = (f + g)( ? ) g(x, y) = x + y
    • 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 103Considerando los dominios, se tiene, µ f : D f ⊆ Rn → R f + g : D f ∩ D g ⊆ Rn → R g : D g ⊆ Rn → R (f + g)(x) = f (x) + g(x)Es decir, el dominio de la funci´n suma es la intersecci´n de los dominios o ode las funciones sumandos. Igual ocurre con la diferencia y el producto. Sinembargo, en el cociente hay que hacer una restricci´n adicional y eliminar oaquellos puntos que anulan el denominador, ya que no est´ permitido dividir apor cero. As´ı, Df /g = Df ∩ Dg − {x ∈ Dg / g(x) = 0}Ejemplo 2.4 (Hallando el dominio de una suma de funciones). Encontrar eldominio de la funci´n: o x2 y x−1 f (x, y) = + y − x2 1 − x2 − y 2Soluci´n. Hallamos el dominio de cada uno de los sumandos, por separado. oY luego hallamos la intersecci´n de los dominios obtenidos. o y − x2 > 0 ⇒ y > x2 ⇒ D1 = {(x, y) ∈ R2 / y > x2 } 1 − x2 − y 2 > 0 ⇒ x2 + y 2 < 1 ⇒ D2 = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 < 1}La intersecci´n de estos dominios est´ constituida por los puntos interiores o aal c´ ırculo unitario x2 + y 2 = 1 (excluyendo su frontera) que est´n en el ainterior de la par´bola de ecuaci´n y = x2 (excluyendo su frontera). a o y 1 x -1 1 -1 Ôx y Ô x−1 2 Figura 2.12: Dominio de la funci´n f (x, y) = o + y − x2 1 − x2 − y 2Funciones polin´micas. oEn varias variables se suele utilizar una terminolog´ similar a la utilizada ıaen una variable. As´ una funci´n que se puede expresar como suma de ı, ofunciones de la forma c xm y n (donde c es un n´mero real y m y n son uenteros no negativos) se conoce como funci´n polin´mica de dos variables. o oPor ejemplo, son funciones polin´micas de dos variables, las siguientes: o f (x, y) = x2 + y 2 − 3xy + x + 2 y g(x, y) = 2xy 2 − y + 3
    • 104 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITESla primera de segundo grado y la segunda de tercero. Al cociente de dosfunciones polin´micas se le llama funci´n racional. o o2.1.4. Composici´n de funciones oComposici´n de funciones, en general. Componer dos funciones con- osiste en aplicar la segunda funci´n al resultado de la primera. Es decir, para o((componer)) dos funciones se aplica primero f a cada x en Df y despu´s se eaplica g a f (x), siempre que sea posible (es decir, cuando f (x) pertenezca aDg ). Hay que advertir que, en general, la composici´n de funciones no es oconmutativa, es decir, en la generalidad de los casos ser´ f ◦g = g◦f , incluso, apuede suceder que est´ definida la composici´n en un orden y no en el otro. e oSin embargo, s´ se cumple la propiedad asociativa f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h. ıComposici´n de funciones reales de una variable real. Componer dos ofunciones consiste en aplicar la segunda funci´n al resultado de la primera. oAhora bien, desde el punto de vista anal´ ıtico, este concepto puede teneruna segunda lectura. Anal´ ıticamente, la composici´n de funciones, tambi´n o esignifica sustituir una funci´n en la otra. Es decir, si tenemos la funci´n o oy = f (x) que establece la dependencia entre y y x, y la funci´n x = g(t), oque establece la dependencia entre x y t, podemos sustituir esta ultima en la ´primera y obtener y = f g(t) . A la funci´n as´ obtenida (que env´ t a y) se o ı ıale llama composici´n de f con g y se denota por f ◦g. Obs´rvese que el orden o een que se escribe la composici´n f ◦ g es el inverso al orden en que act´an o ulas funciones (primero g, despu´s f ). Conviene tener siempre presente esta edoble visualizaci´n de la composici´n de funciones: como aplicaci´n sucesiva o o ode dos funciones, y como sustituci´n de la variable por una funci´n de otra o ovariable. En esquema ser´ lo siguiente: ıa(a) Como aplicaci´n sucesiva de funciones: o g f t• ‚ ‚ x• •y B f ◦g Figura 2.13: Composici´n de funciones o (b) Como sustituci´n de la variable: o y = f (x) y = f g(t) x = g(t) Es evidente, como ya se ha dicho, que para poder componer dos fun-ciones, en su totalidad, el rango de la primera ha de estar contenido en el
    • 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 105dominio de la segunda g(Dg ) ⊆ Df , en caso contrario, despu´s de aplicar g eno podr´ıamos aplicar f . Sin embargo, esta restricci´n no es necesaria para opoder realizar, parcialmente, la composici´n de las funciones, s´lo que, en o oeste caso, habr´ que reducir el dominio de la composici´n a los puntos del a odominio de la primera que tienen su imagen en el dominio de la segunda. Desde el punto de vista formal la composici´n, de funciones reales de una ovariable real, puede enunciarse de la siguiente forma: Dadas las funcionesg : I ⊆ R → R, f : J ⊆ R → R (tales que g(I) ⊆ J), se llama composici´n ode f con g y se denota f ◦ g : I ⊆ R → R, a la funci´n (f ◦ g)(x) = f g(x) . o g f µ g:I⊆R→R I→J − R − → (f ◦ g)(x) = f g(x) f :J ⊆R→R f ◦g :I ⊆R→REn el caso de que no se cumpla la condici´n g(I) ⊆ J, la composici´n tambi´n o o ees posible, siempre que g(I) ∩ J = ∅. En tal caso habr´ que restringir las afunciones a aquellos puntos en los que la composici´n sea posible. Es decir, oa los puntos del dominio de la primera que tienen su imagen en el dominiode la segunda.Composici´n de funciones vectoriales. Para funciones de varias varia- obles la situaci´n es, en principio, algo m´s complicada. T´ngase en cuenta o a eque dos campos escalares f, g : D ⊆ R n → R no se pueden componer, puesla operaci´n de composici´n entre funciones solamente se puede realizar o ocuando el rango de una de ellas est´ contenido (o al menos tiene alguna aconexi´n) en el dominio de la otra, y los campos escalares tienen rango en oR y dominio en Rn . Por lo tanto, los campos escalares solamente se podr´nacomponer con funciones de una sola variable, por la derecha; o con funcionesvectoriales, por la izquierda. Es decir, f g f g g f Rn − R → R → − Rn − R − Rm → → Rm − Rn − R → →Pensando en la composici´n como la sustituci´n de las variables (se tratar´ o o ıade la composici´n por la izquierda), para componer la funci´n z = f (x, y) o otendremos que sustituir las dos variables x e y, respectivamente, por dosfunciones g1 y g2 que las conecten con otras variables, donde g1 y g2 puedenser funciones de una o varias variables (ambas de las mismas). As´ si con- ı,sideramos las funciones x = g1 (u, v), y = g2 (u, v)podemos sustituir en la funci´n z = f (x, y) y obtener la funci´n compuesta: o o z = f g1 (u, v), g2 (u, v)que en esquema ser´ ıa: x = g1 (u, v) z = f (x, y) z = f g1 (u, v), g2 (u, v) y = g2 (u, v)
    • 106 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITES Ahora bien, la pareja de funciones x = g1 (u, v), y = g2 (u, v) que sustitui-mos, tambi´n puede considerarse como las componentes de una sola funci´n e ovectorial g : D ⊆ R2 → R2 , de tal manera que a cada punto (u, v) ∈ Dla funci´n vectorial g le asocia el punto g(u, v) ∈ R2 , cuyas coordenadas oson (x, y) = g1 (u, v), g2 (u, v) . O sea, g(u, v) = g1 (u, v), g2 (u, v) . Y estopermite interpretar la sustituci´n de las variables como la aplicaci´n sucesiva o ode dos funciones: una vectorial y la otra real. En esquema ser´ ıa: g f R2 − R2 − R → → (u, v) → (x, y) → zde donde, f ◦ g(u, v) = f g(u, v) = f g1 (u, v), g2 (u, v)Ejemplo 2.5 (Componiendo funciones). Hallar la funci´n compuesta de la ofunci´n f (x, y) = xy o 2 + xy con las funciones x = g1 (u, v) = u + v e y = g2 (u, v) = uvSoluci´n. Si queremos interpretar la composici´n como la aplicaci´n sucesiva o o ode dos funciones, consideramos la funci´n vectorial o g(u, v) = g1 (u, v), g2 (u, v) = (u + v, uv)y, en esquema, resulta f µ g f f (x, y) = xy 2 + xy R2 − R → R2 − R2 − R → → g g(u, v) = (u + v, uv) R → 2 − R2 (u, v) → (x, y) → zde donde, la composici´n buscada, ser´: o ah(u, v) = (f ◦ g)(u, v) = f g(u, v) = f g1 (u, v), g2 (u, v) = f (u + v, uv) = = (u + v)(uv)2 + (u + v)uv = u3 v 2 + u2 v 3 + u2 v + uv 2N´tese que la funci´n resultante de la composici´n, h = f ◦ g, es una funci´n o o o odistinta de f , g, g1 y g2 , es decir, se trata de una nueva funci´n h, tal que of (x, y) = h(u, v) = f (u, v)En la pr´ctica se pueden simplificar los c´lculos, sustituyendo directamente: a af (x, y) = f (u+v, uv) = (u+v)(uv)2 +(u+v)uv = u3 v 2 +u2 v 3 +u2 v +uv 2 = h(u, v)Ejemplo 2.6. Hallar la funci´n compuesta de la funci´n o o f (x, y, z) = xy 2 z 3 − xyzcon las funciones x = g1 (t) = et , y = g2 (t) = sen t y z = g3 (t) = t2
    • 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 107Soluci´n. Consideramos la funci´n vectorial o o g(t) = g1 (t), g2 (t), g3 (t) = (et , sen t, t2 )y, en esquema, resulta f µ g f f (x, y, z) = xy 2 z 3 − xyz R3 − R → R − R3 − R → → g(t) = (et , sen t, t2 ) g R − R3 → t → (x, y, z) → wde donde, la composici´n buscada, ser´: o a h(t) = (f ◦ g)(t) = f g(t) = f g1 (t), g2 (t), g3 (t) = f (et , sen t, t2 ) = = et sen2 t (t2 )3 − et sen t t2 = t6 et sen2 t − t2 et sen tEn la pr´ctica se pueden simplificar los c´lculos, sustituyendo directamente: a af (x, y, z) = f (et , sen t, t2 ) = et sen2 t (t2 )3 −et sen t t2 = t6 et sen2 t−t2 et sen t = h(t) En este caso, tambi´n es posible la composici´n en el orden inverso. En e oefecto, tenemos f µ f g f (x, y, z) = xy 2 z 3 − xyz R3 − R → R3 − R − R3 → → g(t) = (et , sen t, t2 ) g R − R3 → (x, y, z) → t → wde donde, la composici´n buscada, ser´: o a h(x, y, z) = (g ◦ f )(x, y, z) = g f (x, y, z) = g xy 2 z 3 − xyz = 2 z 3 −xyz 2 = exy , sen (xy 2 z 3 − xyz), (xy 2 z 3 − xyz)Ejemplo 2.7. Hallar la funci´n compuesta de la funci´n f (x, y) = xy 2 − xy √ o ocon las funciones g(t) = tSoluci´n. Este caso es distinto de los dos anteriores, ya que aqu´ para poder o ı,componer, la funci´n f tiene que actuar primero, y despu´s la g. En efecto, o een esquema, resulta f µ f (x, y) √ xy 2 − xy = R2 − R → f R2 − R → R → − g g g(t) = t R→R − (x, y) → t → zde donde, la composici´n buscada, ser´: o a h(t) = (g ◦ f )(x, y) = g f (x, y) = f (x, y) = xy 2 − xyN´tese que la funci´n resultante de la composici´n solamente estar´ definida o o o apara aquellos puntos (x, y) en los cuales se cumpla que xy 2 −xy ≥ 0, es decir, Dh = {(x, y) ∈ R2 / xy 2 − xy ≥ 0}
    • 108 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITESEn la pr´ctica, tambi´n se pueden simplificar los c´lculos sustituyendo di- a e arectamente, pero en este caso, sustituimos en la funci´n g: o g(t) = g f (x, y) = f (x, y) = xy 2 − xy = h(x, y)En estos casos, la sustituci´n puede hacerse, indistintamente, “de fuera a odentro” o “de dentro a fuera”, en efecto, g(t) = g f (x, y) = g(xy 2 − xy) = xy 2 − xy = h(x, y)Ejemplo 2.8. Componer las funciones, en el orden en que pueda hacerse: √ 1. f (x, y) = 16 − 4x2 − y 2 y g(z) = z Soluci´n. o f µ f (x, y) = 16 − 4x2 − y 2 R2 −→ R f g √ g R2 −→ R −→ R g(z) = z R −→ R ä ç g f (x, y) = h(x, y) = 16 − 4x2 − y 2 2. f (x, y, z) = (2x, x+y, x+z) , g(x, y, z) = (x+y, y+z) y h(x, y) = x+y Soluci´n. o f f (x, y, z) = (2x, x + y, x + z) R3 −→ R3 f g R3 −→ R3 −→ R2 −→ R g h g(x, y, z) = (x + y, y + z) R3 −→ R2 h(x, y) = x + y h R2 −→ R ä ç ä ç h g f (x, y) = h g(2x, x+y, x+z) = h(3x+y, 2x+y+z) = 5x+2y+z La funci´n g debe interpretarse como: (1a componente +2a , 2a + 3a ) oCaso general. En general, interpretando la composici´n de funciones como osustituci´n de las variables, para componer la funci´n z = f (x1 , x2 , · · · , xn ) o otendremos que sustituir las n variables x1 , x2 , · · · , xn , respectivamente, porlas funciones g1 , g2 , · · · gn que las conecten con otras variables u1 , u2 , · · · , um ,donde g1 , g2 , · · · gn pueden ser funciones de una o varias variables (todas delas mismas). As´ si consideramos las n funciones ı, x1 = g1 (u1 , u2 , · · · , um ) x2 = g2 (u1 , u2 , · · · , um ) . . . xn = gn (u1 , u2 , · · · , um )podemos sustituirlas en la funci´n z = f (x1 , x2 , · · · , xn ) y obtener la funci´n o ocompuesta: z = f g1 (u1 , u2 , · · · , um ), g2 (u1 , u2 , · · · , um ), · · · , gn (u1 , u2 , · · · , um )
    • 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 109Ahora bien, las n funciones x1 = g1 (u1 , u2 , · · · , um ), x2 = g2 (u1 , u2 , · · · , um ), · · · , xn = gn (u1 , u2 , · · · , um )pueden considerarse como las componentes de una sola funci´n vectorial o g : D ⊆ Rm → Rn ,de tal manera que a cada punto (u1 , u2 , · · · , um ) ∈ D ⊆ Rm la funci´n g ole asocia el punto g(u1 , u2 , · · · , um ) = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn , cuyas coorde-nadas son(x1 , x2 , . . . , xn ) = g1 (u1 , u2 , · · · , um ), g2 (u1 , u2 , · · · , um ), · · · , gn (u1 , u2 , · · · , um )O sea,g(u1 , u2 , . . ., um ) = g1 (u1 , u2 , · · · , um ), g2 (u1 , u2 , · · · , um ), · · · , gn (u1 , u2 , · · · , um )que en esquema ser´ ıa: g f Rm − − − → Rn − − −→ R (u1 , u2 , · · · , um ) → (x1 , x2 , · · · , xn ) → zDe esta manera se ve el proceso de composici´n de funciones de varias varia- obles como un proceso entre dos funciones, que se puede enunciar formalmentede la siguiente forma:Definici´n 2.2 (Composici´n de funciones). Dada la funci´n f : Df ⊆ o o oRn → R definida en el conjunto Df de Rn y la funci´n g : Dg ⊆ Rm → Rn odefinida en el conjunto Dg de Rm , cuyo rango est´ contenido en Df (es adecir, g(Dg ) ⊆ Df ), entonces se puede formar la composici´n de ambas ofunciones f ◦ g : Dg ⊆ R m → R, definida como: (f ◦ g)(u) = f g(u)), u ∈ DgEsquem´ticamente ser´ a ıa. g f µ g : Dg ⊆ Rm → Rn Dg − Df − R → → (f ◦ g)(u) = f g(u) f : D f ⊆ Rn → R f ◦ g : D g ⊆ Rm → Ry mediante diagramas,O bien, teniendo en consideraci´n los dominios, o En el caso de que no se cumpla la condici´n g(I) ⊆ J, la composici´n o otambi´n es posible, siempre que g(I)∩J = ∅. En tal caso habr´ que restringir e alas funciones a aquellos puntos en los que la composici´n sea posible. Es odecir, a los puntos del dominio de la primera que tienen su imagen en eldominio de la segunda. Igual que en una variable, en general, la composici´n de funciones no ocumple la propiedad conmutativa, y s´ la asociativa. ı
    • 110 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITES g f ‚ ‚ u • • •z x B Rm Rn R f ◦g Figura 2.14: Composici´n de funciones o g f ‚ ‚ Dg Df B Rm Rn R f ◦g Figura 2.15: Composici´n de funciones o2.1.5. Gr´fica de una funci´n de dos variables a oIgual que ocurre con las funciones de una variable, el dibujo de la gr´fica ade una funci´n de dos variables puede resultar muy esclarecedor para el oconocimiento del comportamiento de la funci´n, ya que nos permite visu- oalizar, mediante im´genes gr´ficas, sus propiedades abstractas, con objeto a ade comprenderlas y recordarlas mejor.Funciones de una variable. La gr´fica de una funci´n de una variable, a opor lo general, es una curva en el plano. y T • (x, y) y = f (x) x E Figura 2.16: Gr´fica de una funci´n de una variable. a oUn punto (x, y) del plano para estar situado en la gr´fica ha de cumplir ados condiciones: en primer lugar, que su primera coordenada, x, est´ en eel dominio de la funci´n, x ∈ Df ; y en segundo lugar, que su segunda ocoordenada, y, sea la imagen, mediante la funci´n de la primera, es decir, oy = f (x). En base a esto, los puntos (x, y) de la gr´fica se pueden expresar a
    • 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 111de la forma x, f (x) . Es decir, gr´f f = { (x, y) ∈ R2 / x ∈ Df , y = f (x) } ao bien, de manera esquem´tica, a x ∈ Df (x, y) ∈ gr´f f ⇔ a ⇔ (x, y) = x, f (x) y = f (x)Funciones de dos variable. La gr´fica de una funci´n de dos variables a of (x, y) es el conjunto de puntos del espacio (x, y, z) para los cuales se tieneque z = f (x, y) y (x, y) ∈ Df . gr´f f = { (x, y, z) ∈ R3 / (x, y) ∈ Df , z = f (x, y) } aEs decir, ´ µ (x, y) ∈ Df (x, y, z) ∈ gr´f f ⇔ a ⇔ (x, y, z) = x, y, f (x, y) z = f (x, y) zT La gr´fica de una funci´n de dos variables ser´ una a o a z y y superficie en el espacio. La proyecci´n de la gr´fica o a E sobre el plano horizontal coincide con el dominio de x     la funci´n. ox  © Df Los puntos de la gr´fica se representan por a Figura 2.17: (x, y, f (x, y)) En consecuencia, a cada punto (x, y) del dominio D le corresponde ununico punto (x, y, z) en la superficie y, a la inversa, a cada punto (x, y, z) de´la superficie le corresponde un punto (x, y) del dominio.Ejemplo 2.9. Representar la funci´n: f (x, y) = 2x + y − 4 oSoluci´n. El dominio de la funci´n es todo R2 . Para representar la funci´n o o oponemos z en lugar de f (x, y), para ver si se trata de una ecuaci´n conocida, o zT con lo que tenemos: z = 2x + y − 4, de donde resulta 4 y 2x + y − z = 4 que es la ecuaci´n de un plano en o E 2   el espacio. Para tener una visualizaci´n del plano en o   el espacio representamos el tri´ngulo formado por los ax  © −4 tres puntos en los que el plano corta a los ejes de Figura 2.18: coordenadas.
    • 112 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITES Para hallar las coordenadas de un punto de un plano x y z se dan valores arbitrarios a dos de las variables y se 2 0 0 calcula el tercer valor a partir de la ecuaci´n del plano. o 0 4 0 En nuestro caso, se da el valor cero a dos de las va- 0 0 -4 riables y se calcula el valor correspondiente de la otra variable.Observaci´n. La ecuaci´n del plano se generaliza al espacio de n dimen- o osiones mediante lo que se denomina hiperplano. As´ tenemos las siguientes ı,representaciones: f (x) = ax + b Recta en el plano f (x, y) = ax + by + c Plano en el espacio f (x1 , . . . , xx ) = a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn + b Hiperplano en Rn+1Ejemplo 2.10. Representa la funci´n: f (x, y) = o 9 − x2 − y 2Soluci´n. El dominio de la funci´n viene determinado por 9 − x2 − y 2 ≥ 0 o o de donde x2 + y 2 ≤ 9 que es el c´ ırculo con centro zT el origen de coordenadas y radio 3 (incluido su con- 3 torno).     y Para representar la funci´n sustituimos f (x, y) por o   E 3 z, con lo que resulta: z = 9 − x2 − y 2 de donde  x  3   © z 2 = 9 − x2 − y 2 o bien x2 + y 2 + x2 = 9 que es la ecuaci´n de la esfera de centro el origen de coorde- o Figura 2.19: nadas y radio 3. Y al limitarnos a valores de z positi- vos, se reduce a la semiesfera superior.Ejemplo 2.11. Representa la funci´n: f (x, y) = o 16 − 4x2 − y 2Soluci´n. El dominio de la funci´n vendr´ determinado por 16−4x2 −y 2 ≥ 0 o o a de donde 4x2 + y 2 ≤ 16, o lo que es lo mismo, x2 y2 z T 4 + 16 ≤ 1 que es la elipse con centro el origen 4 de coordenadas y semiejes 2 y 4 respectivamente   (incluido su contorno).   Para representar la funci´n sustituimos f (x, y) o   y por z, con lo que resulta: z = 16 − 4x2 − y 2   E   4 de donde z 2 = 16 − 4x2 − y 2 con lo cual 2  2 2 z2 4x2 + y 2 + z 2 = 16 o bien, x + y + 16 = 1 que 4 16 x    © es la ecuaci´n del elipsoide de centro el origen o de coordenadas y semiejes 2, 4 y 4 respectiva- Figura 2.20: mente. Y al limitarnos a valores de z positivos, se reduce al semielipsoide superior.
    • 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 113 z T         Para representar le funci´n ponemos z en lugar de o   Ey   f (x, y), con lo que tenemos: z = 3 que es la ecuaci´n o  x   © del plano horizontal de altura 3.Figura 2.21: z = 3Ejemplo 2.12. Representa la funci´n: f (x, y) = 3 oSoluci´n. El dominio de la funci´n es todo R2 . o oCortes con los planos coordenados. Para ayudarnos en la representaci´n ogr´fica de las superficies, estudiaremos la curva en que la superficie corta a alos planos coordenados. z T z T       =0 x y   y   E   E       x   © x    ©   Figura 2.22: Planos coordenados x = 0 e y = 0.Ejemplo 2.13. Representa la funci´n: f (x, y) = x2 + y 2 oSoluci´n. El dominio de la funci´n es todo R2 . Para representar la funci´n o o oponemos z en lugar de f (x, y), con lo que tenemos: z = x2 + y 2 zT que, en principio, no sabemos de qu´ superficie se trata. e Veamos los cortes de dicha superficie con los planos coor- denados:   Ey   - corte con el plano x = 0 z = y 2 que es una par´bola ax © - corte con el plano y = 0 z = x2 que es otra par´bola. a Si supi´ramos los cortes que se producen en la gr´fica me- e aFigura 2.23: diante planos horizontales la tendr´ ıamos perfectamente de- terminada. Estos cortes son las curvas de nivel.Curvas de nivel. La intersecci´n del plano horizontal, de altura k, z = k ocon la superficie z = f (x, y) se llama curva de contorno de altura k. f (x, y) = z curva de contorno de altura k z=k La proyecci´n de esta curva de contorno sobre el plano horizontal de coor- odenadas OXY , se llama curva de nivel de altura k de la funci´n f . o f (x, y) = k curva de nivel k
    • 114 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITES z T curva de contorno     y   E   curva de nivel x   © Figura 2.24: Curva de contorno y curva de nivel.Las curvas de nivel son el conjunto de puntos del dominio donde la funci´n oes constante, es decir, los puntos donde la funci´n toma el mismo valor, o osea, las curvas de altura constante sobre la gr´fica de la funci´n. Las curvas a ode nivel permiten representar superficies tridimensionales mediante un mapaplano. Es importante elegir los valores de z adecuadamente para que el mapatraslade una clara visualizaci´n de la superficie. El espaciado entre las curvas ode nivel nos da una idea del crecimiento de la funci´n. As´ mucho espacio o ı,entre dos curvas de nivel significa que la superficie crece lentamente. Doscurvas de nivel muy pr´ximas significa que la superficie crece r´pidamente. o aDos curvas de nivel diferentes de un mismo campo escalar no se puedencortar, puesto que la funci´n f asocia un unico n´mero z = f (x, y) a un o ´ upunto cualquiera (x, y)Figura 2.25: La distancia entre las curvas de nivel muestra el crecimiento de la superficieEjemplo:Representar la funci´n: f (x, y) = x2 + y 2 oSoluci´n. El dominio de la funci´n es todo R2 . Para representar la funci´n o o osustituimos f (x, y) por z, con lo que tenemos: z = x2 + y 2 .Veamos los cortes de dicha superficie con los planos coordenados: - corte con el plano x = 0 z = y 2 que es una par´bola a - corte con el plano y = 0 z = x2 que es otra par´bola. aPara hallar las curvas de nivel suponemos que z es una constante con lo que
    • 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 115resulta la ecuaci´n x2 + y 2 = z, en donde, para cada valor de z tenemos una o √circunferencia de radio z. Podemos dar varios valores a z para ir viendolas curvas de contorno a distintas alturas: - nivel z =0 −→ x2 + y 2 =0 −→ se reduce al punto (0, 0) - nivel z =1 −→ x2 + y 2 =1 −→ circunferencia de radio 1 - nivel z =4 −→ x2 + y 2 =4 −→ circunferencia de radio 2 - nivel z =9 −→ x2 + y 2 =9 −→ circunferencia de radio 3 Figura 2.26: Gr´fica y curvas de nivel de la funci´n f (x, y) = x2 + y2 a oEjemplo 2.14. Representa la funci´n: f (x, y) = o x2 + y 2Soluci´n. El dominio de la funci´n es todo R2 . Para representar la funci´n o o osustituimos f (x, y) por z, con lo que tenemos: z = x 2 + y2.Veamos los cortes de dicha superficie con los planos coordenados: - corte con el plano x = 0 z = √ y 2 =| y | que es una recta quebrada - corte con el plano y = 0 z = x2 =| x | que es otra recta quebrada.Para hallar las curvas de nivel suponemos que z es una constante con lo queresulta la ecuaci´n x2 + y 2 = z 2 , en donde, para cada valor de z tenemos ouna circunferencia de radio z Damos varios valores a z para ver las curvasde contorno a distintas alturas: - nivel z =0 −→ x2 + y 2 =0 −→ se reduce al punto(0, 0) - nivel z =1 −→ x2 + y 2 =1 −→ circunferencia de radio 1 - nivel z =2 −→ x2 + y 2 =4 −→ circunferencia de radio 2 - nivel z =3 −→ x2 + y 2 =9 −→ circunferencia de radio 3Las curvas de nivel son circunferencias como en el caso anterior, pero loscortes con los planos coordenados son rectas y no par´bolas. La gr´fica a aresultante es un cono.Ejemplo 2.15. Representa la funci´n: f (x, y) = 25 − x2 − y 2 o
    • 116 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITES Ô Figura 2.27: Gr´fica y curvas de nivel de la funci´n f (x, y) = a o x2 + y 2Soluci´n. El dominio de la funci´n es todo R2 . Para representar la funci´n o o osustituimos f (x, y) por z, con lo que tenemos: z = 25 − x2 − y2.Hallamos los cortes de la superficie con los planos coordenados: - corte con el plano x = 0 z = 25 − y 2 que es una par´bola hacia abajo a - corte con el plano y = 0 z = 25 − x2 que es una par´bola hacia abajo. aPara hallar las curvas de nivel suponemos z constante, con lo que resulta laecuaci´n x2 + y 2 = 25 −√ en donde, para cada valor de z < 25 tenemos una o z,circunferencia de radio 25 − zDamos varios valores a z para ver las curvas de contorno a distintas alturas: - nivel z = 0 −→ x2 + y 2 = 25 −→ circunferencia de radio 5 - nivel z = 9 −→ x2 + y 2 = 16 −→ circunferencia de radio 4 - nivel z = 16 −→ x2 + y 2 = 9 −→ circunferencia de radio 3 - nivel z = 21 −→ x2 + y 2 = 4 −→ circunferencia de radio 2 - nivel z = 24 −→ x2 + y 2 = 4 −→ circunferencia de radio 1 - nivel z = 25 −→ x2 + y 2 = 0 −→ se reduce al punto(0, 0)La gr´fica ser´ un paraboloide invertido. a ıaEjemplo 2.16. Representa la funci´n: f (x, y) = y 2 − x2 oSoluci´n. El dominio de la funci´n es todo R2 . Para representar la funci´n o o osustituimos f (x, y) por z, con lo que tenemos: z = y 2 − x2 .Veamos los cortes de dicha superficie con los planos coordenados: - corte con el plano x = 0 z = y 2 que es una par´bola hacia arriba a - corte con el plano y = 0 z = −x2 que es una par´bola hacia abajo. aPara hallar las curvas de nivel suponemos que z es una constante con lo queresulta la ecuaci´n y 2 − x2 = z, en donde, para cada valor de z tenemos una ohip´rbola eDamos varios valores a z para ver las curvas de contorno a distintas alturas:
    • 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 117 Figura 2.28: Gr´fica y curvas de nivel de la funci´n: f (x, y) = 25 − x2 − y2 a opara valores positivos de z - nivel z = 0 −→ y 2 = x2 −→ {y = x o y = −x} dos rectas - nivel z = 1 −→ y 2 − x2 = 1 −→ hip´rbola centrada en eje OY e - nivel z = 4 −→ y 2 − x2 = 4 −→ hip´rbola centrada en eje OY epara valores negativos de z - nivel z = −1 −→ x2 − y 2 = 1 −→ hip´rbola centrada en eje OX e - nivel z = −2 −→ x2 − y 2 = 4 −→ hip´rbola centrada en eje OX e La gr´fica es la silla de montar a Figura 2.29: Gr´fica y curvas de nivel de la funci´n f (x, y) = y2 − x2 a oResumen de algunas gr´ficas a f (x, y) = k plano horizontal de altura k f (x, y) = ax + by + c plano f (x, y) = x2 + y 2 paraboloide f (x, y) = x2 + y 2 cono f (x, y) = r2 − x2 − y 2 semiesfera superior f (x, y) = r2 − ax2 − by 2 elipsoide superior f (x, y) = y 2 − x2 silla de montar.
    • 118 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITESFunciones de tres o m´s variable. La gr´fica de funciones de tres o a am´s variables se define de forma an´loga al caso de una y dos variables. As´ a a ı,en general, la gr´fica de una funci´n de n variables f : Df ⊆ Rn → R, se a odefine como el conjuntogr´f f = { (x1 , x2 , . . . , xn , y) ∈ Rn+1 / (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Df , y = f (x1 , x2 , . . . , xn ) } a Ahora bien, podemos visualizar la gr´fica de una funci´n de una y de dos a ovariables, sin embargo, para n ≥ 3 la gr´fica de la funci´n ya no puede a oser visualizada, pues se encuentra en el espacio (n + 1)-dimensional (≥ 4-dimensional)Superficies de nivel. El concepto de curva de nivel, definido para funcionesde dos variables, se puede extender a funciones de tres variables y definirlas superficies de nivel. Si f es una funci´n de tres variables y c es una oconstante, entonces a la gr´fica de la ecuaci´n f (x, y, z) = c se le llama a osuperficie de nivel de la funci´n f . En cada punto de una superficie de nivel odada, la funci´n f toma un valor constante, f (x, y, z) = c. Este concepto se opuede generalizar a cualquier dimensi´n, aunque, para n ≥ 3 no tenga un osignificado gr´fico. aEjemplo 2.17. Describir las superficies de nivel de la funci´n o f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2Soluci´n. Cada superficie de nivel satisface una ecuaci´n de la forma o o x2 + y 2 + z 2 = c.Luego las superficies de nivel son esferas de centro el origen de coordenadasy radio la ra´ cuadrada de c. Si damos varios valores a c obtendremos varias ızesferas conc´ntricas. e2.1.6. Otras representaciones de las funciones de varias va- riablesEn Matem´ticas a los conceptos te´ricos se les buscan representaciones que a onos permitan visualizar, mediante im´genes gr´ficas, sus propiedades abs- a atractas, con objeto de comprenderlas y recordarlas mejor. As´ para tener una ı,visualizaci´n gr´fica de las propiedades de las funciones, hemos imaginado o aque las funciones de una variable representan curvas en el plano y las de dosvariables superficies en el espacio. Sin embargo, este sistema no nos permitevisualizar las funciones de tres o m´s variables y tenemos que conformarnos acon imaginar una generalizaci´n de los conceptos aprehendidos en dos o tres odimensiones. En realidad una funci´n no es ni una curva ni una superficie, sino una ocorrespondencia entre magnitudes, y seg´n sea el significado f´ u ısico que ledemos a esas magnitudes (espacio, tiempo, temperatura, etc.) la funci´n o
    • 2.2. L´ IMITE Y CONTINUIDAD 119tendr´ un significado f´ a ısico u otro. Por eso, aunque la representaci´n gr´fica o ahaya pasado a formar parte integrante del contenido te´rico de las fun- ociones, no debemos olvidar que es simplemente un instrumento de ayuda,y, por lo tanto, no nos debemos sentir atrapados por ese instrumento. Paracomprender algunos conceptos, como por ejemplo las curvas de nivel, sontambi´n apropiadas otras representaciones de las funciones distintas de la erepresentaci´n gr´fica. o a As´ las funciones de dos variables se pueden interpretar como la tempe- ı,ratura en cada punto de una placa horizontal, siendo esta placa el dominio dela funci´n. Las de tres variables se pueden interpretar como la temperatura oen cada punto de una regi´n del espacio. Las curvas de nivel ser´ las curvas o ıande igual temperatura, es decir, las isotermas. En el caso de tres variables lassuperficies de nivel ser´ las superficies de igual temperatura (superficies ıanisotermas). A las funciones de varias variables tambi´n se les puede dar otras in- eterpretaciones, por ejemplo, en un mapa del tiempo las curvas de nivel deigual presi´n se llaman isobaras. En las representaciones de los campos de opotencial electrico, las curvas de nivel se llaman l´ ıneas equipotenciales.2.2. L´ ımite y continuidad2.2.1. Introducci´n oLa gr´fica de una funci´n de una variable es una curva en el plano. a o y T y = f (x) x E Figura 2.30: Gr´fica de una funci´n de una variable. a o Esta curva puede presentar las siguientes situaciones de discontinuidad. En dos variables pueden darse situaciones de discontinuidad de todo tipo.2.2.2. Entorno de un punto en el planoDe manera an´loga a como se definen los entornos en la recta real mediante aintervalos, se definen los entornos en el plano mediante discos. As´ un δ- ı,entorno alrededor de (x0 , y0 ) va a ser un disco centrado en (x0 , y0 ) con radioδ. Es decir, se define el δ-entorno alrededor de (x0 , y0 ) como el conjunto depuntos (x, y) del plano que distan de (x0 , y0 ) menos que δ. {(x, y) ∈ R2 ; (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ}
    • 120 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITES Figura 2.31: Situaciones de discontinuidad en funciones de una variableque tambi´n se puede expresar sin la ra´ cuadrada de la siguiente forma: e ız {(x, y) ∈ R2 ; (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ 2 } y δ (x0 , y0 ) x Figura 2.32: Entorno de un punto Cuando en la definici´n ponemos el signo < se dice que el disco es abierto oy cuando ponemos el signo ≤ decimos que el disco es cerrado. En el primercaso no est´ incluido el contorno y en el segundo s´ a ı.Regiones abiertas y regiones cerradas Un punto (x0 , y0 ) de una regi´n R del plano se dice que es un punto ointerior de R si existe un δ-entorno alrededor de (x0 , y0 ) que pertenecetotalmente a R. Si todos los puntos de una regi´n R son interiores entonces odecimos que R es una regi´n abierta. o Un punto (x0 , y0 ) se dice que es un punto frontera de R si cada discoabierto centrado en (x0 , y0 ) contiene puntos del interior de R y puntos delexterior de R. Por definici´n, una regi´n debe contener todos sus puntos o o
    • 2.2. L´ IMITE Y CONTINUIDAD 121interiores, pero no tiene por qu´ contener a sus puntos fronteras. Si una eregi´n contiene todos sus puntos fronteras, entonces se dice que es una regi´n o ocerrada. Una regi´n que contiene a algunos pero no a todos sus puntos ofronteras no es ni abierta ni cerrada. y Punto frontera Punto interior Frontera de R x Figura 2.33: Punto interior y punto frontera2.2.3. L´ ımite y continuidad en dos variablesAl calcular el l´ımite de una funci´n en un punto nos interesamos por los ovalores que toma la funci´n en los alrededores del punto. El l´ o ımite de lafunci´n en un punto va a ser el valor que deber´ tomar la funci´n en dicho o ıa opunto, de acuerdo con los valores que toma en los alrededores del mismo.Este valor puede coincidir o no con el valor que realmente toma la funci´noen el punto en cuesti´n. Es decir, el l´ o ımite de una funci´n en un punto P es o si los valores que toma la funci´n en los alrededores de P est´n tan cerca o ade como queramos (el valor que la funci´n tome en P no interesa a la hora ode calcular el l´ ımite) Figura 2.34: L´ ımite de una funci´n de dos variables. o Para poder hablar de l´ımite de una funci´n en un punto, la funci´n tiene o oque estar definida en los alrededores del punto. Formalmente la definici´n ode l´ ımite es la siguiente:
    • 122 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITESDefinici´n 2.3 (L´ o ımite de una funci´n en un punto). Sea f una ofunci´n de dos variables definida en un disco abierto centrado en (x0 , y0 ), oexcepto quiz´s en el punto (x0 , y0 ). Entonces, a l´ ım f (x, y) = (x,y)→(x0 ,y0 )si y s´lo si para cada ε > 0 existe un correspondiente δ > 0 tal que o |f (x, y) − | < ε, siempre que 0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δQue podemos esquematizar de la siguiente forma l´ ım f (x, y) = ⇔ (x,y)→(x0 ,y0 ) ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0) 0 < (x−x0 )2 +(y −y0 )2 < δ 2 ⇒| f (x, y)− |< Gr´ficamente, esta definici´n de l´ a o ımite significa que para un punto cual-quiera (x, y) situado en el disco de radio δ, el valor f (x, y) est´ comprendido aentre − ε y + ε. Hay que tener en cuenta que para que exista el l´ ımite todos los puntosdel entorno tiene que tener su imagen aproximadamente a la misma altura(entre − ε y + ε). Si unos puntos del entorno se aproximan a un valor yotros a otros, entonces el l´ ımite no existe. En la definici´n de l´ o ımite, el punto en cuesti´n no cuenta. Es decir, da oigual cu´l sea el valor de f (x0 , y0 ), incluso da igual que no exista dicho valor. aAl poner 0 < nos estamos ocupando de todos los puntos del δ-entorno, salvodel centro. No obstante, hay que advertir que en el c´lculo de l´ a ımites defunciones continuas dicho valor s´ que adquiere gran importancia. ıDefinici´n 2.4 (Continuidad). Una funci´n se dice que es continua en o oun punto, si el valor que toma la funci´n en el punto coincide con el l´ o ımiteen dicho punto. f (x, y) continua en (x0 , y0 ) ⇐⇒ l´ ım f (x, y) = f (x0 , y0 ) (x,y)→(x0 ,y0 )Una funci´n se dice que es continua en una regi´n R si es continua en cada o opunto de R 1 si x2 + y 2 ≤ 1Ejemplo 2.18. Dada la funci´n f (x, y) = o 0 si x2 + y 2 > 1hallar gr´ficamente: a l´ ım f (x, y) y l´ ım f (x, y) (x,y)→(0,0) (x,y)→(1,0)Soluci´n. Para hallar el l´ o ımite de la funci´n en cada uno de los puntos oespecificados, hallamos las im´genes de los puntos de un entorno de cada auno de los puntos.
    • 2.2. L´ IMITE Y CONTINUIDAD 123 En un entorno del punto (0, 0) todos los puntos tienen como imagenf (x, y) = 1, luego el l´ ımite en dicho punto tambi´n es 1. e En un entorno del punto (1, 0) una parte de los puntos tienen comoimagen f (x, y) = 1, y otra parte de los puntos tiene como imagen f (x, y) = 0,luego el l´ımite en dicho punto no existe, ya que todos los puntos del entornodeber´ orientar su imagen hacia el mismo sitio. ıan Figura 2.35: l´ ım f (x, y) = 1 y l´ ım f (x, y) no definido (x,y)→(0,0) (x,y)→(1,0)2.2.4. L´ ımite de las funciones elementalesDe forma an´loga a una variable, en varias variables se cumplen las siguientes apropiedades:Teorema 2.1 (Propiedades de las funciones continuas). Si k es unn´mero real y f y g son funciones continuas en (x0 , y0 ), entonces las fun- uciones siguientes tambi´n son continuas en (x0 , y0 ): e 1. M´ltiplo escalar: kf u 2. Suma y diferencia: f ± g 3. Producto: f g 4. Cociente: f /g, si g(x0 , y0 ) = 0 Del teorema 2.1 se desprende la continuidad de las funciones polin´micas oy racionales en cada punto de sus dominios.Teorema 2.2 (Continuidad de una funci´n compuesta). Si h es con- otinua en (x0 , y0 ) y g es continua en h(x0 , y0 ), entonces la funci´n compuesta odada por (g ◦ h)(x0 , y0 ) = g[h(x, y)] es continua en (x0 , y0 ). Es decir, l´ ım g[h(x, y)] = g[h(x0 , y0 )] (x,y)→(x0 ,y0 )Nota. Obs´rvese que, en el teorema 2.2, h es una funci´n de dos variables, e omientras que g es una funci´n de una sola variable. o De los teoremas 2.1 y 2.2 se desprende la continuidad las funciones 2 +y 2 f (x, y) = sen x2 y y g(x, y) = ex
    • 124 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITESy, en general, de todas las funciones elementales en todos los puntos en losque est´n definidas. a Es decir, todas las funciones elementales son continuas en todos los pun-tos en los que est´n definidas, luego para calcular el l´ a ımite de una funci´n oelemental en un punto (x0 , y0 ) en el que est´ definida bastar´ sustituir x e y e apor x0 e y0 , respectivamente. El problema estar´ en los puntos en los que la afunci´n no est´ definida. Por lo tanto, al calcular un l´ o e ımite lo primero queintentaremos es la sustituci´n directa, y s´lo en el caso de que nos encon- o otremos con una indeterminaci´n intentaremos romperla por alg´n m´todo. o u eEn dos variables no tienen sentido las reglas de L´HopitalEjemplo 2.19 (Calculando l´ ımites por sustituci´n directa). Calcular los si- oguientes l´ ımites: 1. l´ ım xy = 6 (x,y)→(2,3) xy −6 −6 2. l´ ım = = (x,y)→(2,−3) x2 +y 2 4+9 13 arc sen x y arc sen 0 0 3. l´ ım = = =0 (x,y)→(0,1) 1 + xy 1+0 1 π π 4. l´ ım y sen xy = 2 sen 2 = 2 sen = 2 · 1 = 2 (x,y)→(π/4,2) 4 2Ejemplo 2.20 (Hallando la discontinuidad). Hallar los puntos de discon-tinuidad de la funci´n: o xy + 1 f (x, y) = 2 x −ySoluci´n. Al tratarse de una funci´n racional ser´ continua en todos los pun- o o atos en los que est´ definida. Es decir, la continuidad coincide con el dominio ade la funci´n. En consecuencia, al ser un cociente, ser´ discontinua en aque- o allos puntos que hacen cero el denominador. x2 − y = 0 ⇒ y = x2 luego, lafunci´n es discontinua a lo largo de la par´bola y = x2 o aEjemplo 2.21. H´llense los puntos de discontinuidad de la funci´n: a o 1 f (x, y) = cos xySoluci´n. El unico problema que presenta la funci´n es en el cociente, donde o ´ oel denominador debe ser distinto de 0. Teniendo en cuenta que xy = 0 cuandox = 0 (eje OY) o cuando y = 0 (eje OX). La funci´n ser´ discontinua en los o ados ejes de coordenadas.
    • 2.2. L´ IMITE Y CONTINUIDAD 125 xy+1 Figura 2.36: f (x, y) = x2 −yEjemplo 2.22 (Extendiendo una funci´n por continuidad). Calcular el valor ode c para que la siguiente funci´n sea continua en todo el plano o 1 − x2 − 4y 2 si x2 + 4y 2 ≤ 1 f (x, y) = c si x2 + 4y 2 > 1Soluci´n. La gr´fica de la funci´n 1 − x2 − 4y 2 es una especie de semielip- o a osoide superior, con contorno sobre la elipse x2 + 4y 2 = 1. En el contornotoma el valor 0, en efecto, 1 − x2 − 4y 2 = 1 − (x2 + 4y 2 ) que vale 0 parax2 + 4y 2 = 1. Fuera del contorno ha de ser constante (= c). Luego, para quese mantenga continua sobre el contorno, fuera del contorno ha de valer cero,por lo tanto c = 0. Ô Figura 2.37: f (x, y) = 1 − x2 − 4y 2
    • 126 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITESEjemplo 2.23 (L´ ımite infinito). Calcula los siguientes l´mites: ı ä cos(x2 + y 2 ) ç 1 1. l´ ım 1− 2 + y2 = 1 − + = 1 − ∞ = −∞ (x,y)→(0,0) x 0 2. l´ ım ln(x2 + y 2 ) = ln 0+ = −∞ (x,y)→(0,0)2.2.5. Comprobando l´ ımites aplicando la definici´n o Mediante la definici´n de l´ o ımite se puede comprobar si un l´ ımite dadoes correcto o no, pero no se pueden calcular l´ımites. La comprobaci´n suele oser complicada y artificial. (Tenemos que imaginar que alguien nos va a darel valor de ε y nosotros tenemos que encontrar el correspondiente valor de δque hace que sea cierta la implicaci´n. En general, nuestro δ depender´ del o aε que nos den: δ = δ(ε)). En cada caso necesitaremos probar que, para cada ε > 0, existe un δ-entorno alrededor de (x0 , y0 ) tal que |f (x, y) − | < εsiempre que (x, y) = (x0 , y0 ) est´ en el entorno. Es decir, necesitamos probar eque cualquiera que sea ε > 0, existe, para ese ε, un δ > 0 que hace cierta laimplicaci´n: o 0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ 2 =⇒ |f (x, y) − | < εo bien, lo que es lo mismo, 0< (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ =⇒ |f (x, y) − | < ε Sin embargo, en la generalidad de los casos, no es posible la demostraci´n olineal de esta implicaci´n. Es decir, en la generalidad de los casos, no nos ova a ser posible partir directamente del primer t´rmino de la implicaci´n e opara llegar al segundo; sino que vamos a necesitar un razonamiento de “iday vuelta”. Es decir, partiremos del segundo t´rmino y desde ah´ veremos e ıqu´ valor debe tomar δ, para que del primer t´rmino de la implicaci´n se e e osiga el segundo. El valor de δ lo determinaremos expresando |f (x, y) − | enfunci´n de δ, relacion´ndolo, para ello, con (x − x0 )2 + (y − y0 )2 . Es decir, o aobtendremos |f (x, y) − | < g(δ) de manera que, para el valor de δ que seobtiene de g(δ) = ε, resulta que de 0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ 2se sigue que |f (x, y) − | < ε
    • 2.2. L´ IMITE Y CONTINUIDAD 127Nota: La dificultad para entender la comprobaci´n de la implicaci´n, o o 0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ 2 ⇒ |f (x, y) − | < εest´, como ya se ha dicho, en que, en la generalidad de los casos, no es posible la de- amostraci´n lineal de la implicaci´n. As´ como, en el hecho de que el valor de δ no est´ dado, o o ı adesde un principio, sino que lo debemos encontrar durante el proceso. En consecuencia, eltipo de razonamiento que se hace es el siguiente: Intentamos demostrar que |f (x, y)− | < ε¿bajo qu´ condiciones se cumple esto? En un momento de la demostraci´n necesitamos e outilizar que 0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ 2 . Esa necesidad es lo que hace que sea cierta laimplicaci´n. o Por otro lado, hay que decir que la unica restricci´n que tenemos que poner a δ = δ(ε) ´ opara poder concluir que |f (x, y) − | < ε es que δ sea positivo cuando ε tambi´n lo sean e(δ y ε son distancias). El hecho de tratarse de desigualdades es lo que complica la demostraci´n, aunque al omismo tiempo la enriquece.Ejemplo 2.24 (Comprobando un l´ ımite mediante la definici´n). Comprobar oaplicando la definici´n que el siguiente l´ o ımite es correcto. 1 l´ ım x2 + y 2 sen =0 (x,y)→(0,0) x2 + y2Soluci´n. Necesitamos probar que, para cada ε > 0, existe un δ-entorno oalrededor de (0, 0) tal que |f (x, y) − 0| < εsiempre que (x, y) = (0, 0) est´ en el entorno. Es decir, necesitamos encontrar eun valor de δ, tal que de 0< (x − 0)2 + (y − 0)2 < δse siga que |f (x, y) − 0| < εEs decir, tenemos que demostrar la siguiente implicaci´n. o x2 + y 2 < δ 2 =⇒ |f (x, y)| < εPara ello, tenemos que encontrar un valor positivo para δ tal que cuandox2 + y 2 < δ 2 , se tenga que |f (x, y)| < ε (el valor de δ depender´ del que atenga ε). El proceso es el siguiente: partimos de la expresi´n |f (x, y)|, la rela- ocionamos con x2 + y 2 , con objeto de expresarla en funci´n de δ y vemos ocu´nto tiene que valer δ para que esa expresi´n sea menor que ε; teniendo a oen cuenta que al estar en un entorno del origen es x2 + y 2 < δ 2 , o bien x2 + y 2 < δ
    • 128 CAP´ Para poder L´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES:concluir que IMITES |f (x,y)|<ε, ßÞ ha de ser δ=ε Ô 1 Ô Ô |f (x, y)| = | |≤| x2 + y 2 | = x2 + y 2 sen x2 + y 2 ßÞ x2 + y 2 < δ = ε Por estar (x, y) en el entorno de (0, 0) luego hemos encontrado un valor para δ, el propio ε, que es positivo cuando εtambi´n lo es, y con el que se concluye que |f (x, y)| < ε, cuando x2 + y 2 < eδ. En consecuencia el l´ımite es correcto.Nota: Para conseguir relacionar la expresi´n |f (x, y)|, con x2 + y 2 y obtener una desigual- odad del tipo |f (x, y)| ≤ g(x2 + y 2 )utilizamos las acotaciones que sean necesarias. En este ejemplo se ha utilizado el hecho deque | sen α| ≤ 1Observaci´n. La funci´n f , del ejemplo anterior, definida por o o 1 f (x, y) = x2 + y 2 sen x2 + y2es discontinua en (0, 0), ya que no est´ definida en dicho punto. Sin embar- ago, el l´ ımite es ese punto existe. En consecuencia podemos evitar la discon-tinuidad redefiniendo la funci´n f en (0, 0), de manera que su valor sea igual oa su l´ ımite en ese punto. Es decir, ´ 1 x2 + y 2 sen x2 +y2 si (x, y) = (0, 0) f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0)En consecuencia a este tipo de discontinuidades se les conoce como evitables.Ejemplo 2.25. Comprobar aplicando la definici´n que el siguiente l´ o ımitees correcto. 1 ım (x2 + y 2 ) sen l´ =0 (x,y)→(0,0) xySoluci´n. Igual que antes, tenemos que demostrar la siguiente implicaci´n. o o (x − 0)2 + (y − 0)2 < δ 2 =⇒ |f (x, y) − 0| < εEs decir, tenemos que encontrar un valor positivo para δ tal que cuandox2 + y 2 < δ 2 , se tenga que |f (x, y)| < ε. Para ello partimos de la expresi´no|f (x, y)|, la relacionamos con x 2 + y 2 , con objeto de expresarla en funci´n de oδ y vemos cuanto tiene que valer δ para que esa expresi´n sea menor que ε; oteniendo en cuenta que al estar en un entorno del origen ser´ x2 + y 2 < δ 2 , ao bien x2 + y 2 < δ 1 |f (x, y)| = |(x2 + y 2 ) sen | ≤ |x2 + y 2 | = x2 + y 2 < δ 2 = ε xy ßÞ Por estar (x, y) en el entorno de (0,0)
    • 2.2. L´ IMITE Y CONTINUIDAD 129 √luego hemos encontrado un valor para δ, δ = ε, que es positivo cuando εlos es, y con el que se concluye que |f (x, y)| < ε, cuando x2 + y 2 < δ. Enconsecuencia el l´ımite es correcto.Ejemplo 2.26. Comprobar aplicando la definici´n que el siguiente l´ o ımitees correcto. ım y = b l´ (x,y)→(a,b)Soluci´n. Necesitamos probar que, para cada ε > 0, existe un δ-entorno oalrededor de (a, b) tal que |f (x, y) − b| < εsiempre que (x, y) = (a, b) est´ en el entorno. Es decir, necesitamos encontrar eun valor de δ, tal que de 0< (x − a)2 + (y − b)2 < δse siga que |f (x, y) − b| < εPara ello partimos de la expresi´n |f (x, y) − b| y tratamos de relacionarla ocon (x − a)2 + (y − b)2 , con objeto de expresarla en funci´n de δ y vemos ocuanto tiene que valer δ para que esa expresi´n sea menor que ε o |f (x, y) − b| = |y − b| = (y − b)2 ≤ (x − a)2 + (y − b)2 < δ = εluego hemos encontrado un valor para δ, δ = ε, que hace cierta la relaci´n; oy en consecuencia el l´ ımite es correcto. (En la demostraci´n hemos tenido oen cuenta que: | y − b |= (y − b)2 ≤ (x − a)2 + (y − b)2 . Este tipo derecursos son muy usuales en las comprobaciones de l´ımites).Acotaciones usuales en el c´lculo de l´ a ımites: En el c´lculo de l´ a ımites,adem´s de las acotaciones | sen x| ≤ 1 y | cos x| ≤ 1, se utilizan las siguientes: a √ |x| x 0 ≤ |x| = x2 ≤ x2 + y 2 ⇒ ≤ 1 ⇒ −1 ≤ ≤1 x2 + y2 x2 + y2 x2 0 ≤ x2 ≤ x2 + y 2 ⇒ 0 ≤ ≤1 x2 + y 2Ejemplo 2.27. Comprobar aplicando la definici´n que el siguiente l´ o ımitees correcto. 5x2 y l´ ım =0 (x,y)→(0,0) x2 + y 2
    • 130 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITESSoluci´n. Igual que antes, tenemos que demostrar la siguiente implicaci´n. o o (x − 0)2 + (y − 0)2 < δ 2 =⇒ |f (x, y) − 0| < εEs decir, tenemos que encontrar un valor para δ tal que cuando x2 +y 2 < δ 2 ,se tenga que |f (x, y)| < ε. Para ello partimos de la expresi´n |f (x, y)|, la orelacionamos con x2 + y 2 , con objeto de expresarla en funci´n de δ y vemos ocuanto tiene que valer δ para que esa expresi´n sea menor que ε; teniendo oen cuenta que al estar en un entorno del origen ser´ x2 + y 2 < δ 2 , o bien a x 2 + y2 < δ 5x2 y x2 |f (x, y)| =| 2 |= 5|y| | 2 |≤ 5|y| ≤ 5 x2 + y 2 < 5δ = ε x + y2 x + y2luego hemos encontrado un valor para δ, δ = ε/5 2(En la demostraci´n hemos utilizado la acotaci´n | x2x 2 |≤ 1, y por otro o o +ylado hemos tenido en cuenta que: | y |= y2 ≤ x2 + y 2 ).Ejemplo 2.28. Comprobar aplicando la definici´n que el siguiente l´ o ımitees correcto. xy l´ ım =0 (x,y)→(0,0) x2 + y2Soluci´n. o xy y √|f (x, y)| =| |= |x| · | |≤ |x| = x2 ≤ x2 + y 2 < δ = ε x2 + y 2 x2 + y 2luego hemos encontrado un valor para δ, δ = εEjemplo 2.29. Comprobar aplicando la definici´n que el siguiente l´ o ımitees correcto. x4 y l´ ım 4 + y4 =0 (x,y)→(0,0) xSoluci´n. o x4 y x4 |f (x, y)| =| |= | 4 ||y| ≤ |y| ≤ y2 ≤ x2 + y 2 < δ = ε x4 + y 4 x + y4luego hemos encontrado un valor para δ, δ = ε2.2.6. C´lculo de l´ a ımites mediante operaciones algebraicasLos l´ımites de funciones de varias variables tienen las mismas propiedadesrespecto de las operaciones (suma, diferencia, producto, cociente, potencia,etc.) que las funciones de una sola variable. No obstante hay que advertirque con las funciones de varias variables no se pueden aplicar las Reglas deL´H¨pital. o
    • 2.2. L´ IMITE Y CONTINUIDAD 131Ejemplo 2.30. Calcular los siguientes l´mites: ı æ é 6x − 2y x2 − 1 y−1 1. l´ ım 2. l´ ım + 2 (x,y)→(1,3) 9x2 − y 2 (x,y)→(1,1) x−1 y −1 (x3 − 1)(y 4 − 1) x2 + y2 3. l´ ım 4. l´ ım (x,y)→(1,1) (x − 1)(y 2 − 1) (x,y)→(0,0) x2 + y 2 + 1 − 1 1 5. l´ ım 1 + x2 y x2 (x,y)→(0,3)Soluci´n. o 6x − 2y 0 2(3x − y) 1. l´ ım 2 − y2 =[ ]= l´ ım = (x,y)→(1,3) 9x 0 (x,y)→(1,3) (3x)2 − y 2 2(3x − y) 2 2 1 = l´ ım = l´ ım = = (x,y)→(1,3) (3x + y)(3x − y) (x,y)→(1,3) (3x + y) 6 3 æ é x2 − 1 y−1 0 0 2. l´ ım + 2 =[ + ]= (x,y)→(1,1) x−1 y −1 0 0 (x + 1)(x − 1) y−1 0 0 = l´ ım + =[ + ]= (x,y)→(1,1) x−1 (y + 1)(y − 1) 0 0 1 1 5 = l´ ım x+1+ =2+ = (x,y)→(1,1) y+1 2 2 (x3 − 1)(y 4 − 1) 0 3. l´ ım =[ ]= (x,y)→(1,1) (x − 1)(y 2 − 1) 0 (x − 1)(x2 + x + 1)(y 2 + 1)(y 2 − 1) = l´ ım = (x,y)→(1,1) (x − 1)(y 2 − 1) = l´ ım (x2 + x + 1)(y 2 + 1) = 3 · 2 = 6 (x,y)→(1,1) x2 + y 2 0 4. l´ ım =[ ]= (x,y)→(0,0) x2 + y 2 + 1 − 1 0 (x2 + y 2 )( x2 + y 2 + 1 + 1) = l´ ım = (x,y)→(0,0) x2 + y 2 + 1 − 1 (x2 + y 2 )( x2 + y 2 + 1 + 1) = l´ ım = (x,y)→(0,0) x2 + y 2 = l´ ım x2 + y 2 + 1 + 1 = 2 (x,y)→(0,0) 1 å 1 è x2 y x2 2 ∞ 2 5. l´ ım 1+x y x2 = [1 ] = l´ ım (1 + x y) x2 y = e3 (x,y)→(0,3) (x,y)→(0,3) Aqu´ se ha tenido en cuenta la definici´n del n´mero e, ı o u 1 l´ (1 + z) z = e ım z→0
    • 132 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITES2.2.7. Teorema del encaje y de la acotaci´n oSi una funci´n est´ comprendida, en los alrededores de un punto, entre dos o aque tienen el mismo l´ ımite, en dicho punto, entonces dicha funci´n tambi´n o etiene el mismo l´ ımite en dicho punto. µ f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) l´ f (x) = l´ g(x) ım ım =⇒ l´ h(x) = l´ f (x) = l´ g(x) ım ım ım x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 x→x0Si una funci´n tiene l´ o ımite cero, en un punto, y otra est´ acotada en los aalrededores del punto, entonces su producto tambi´n tiene l´ e ımite cero endicho punto. µ g(x)acotada l´ f (x) = 0 ım ⇒ −k ≤ g(x) ≤ k ⇒ −kf (x) ≤ f (x)g(x) ≤ kf (x) ⇒ x→x0 0 ≤ l´ f (x)g(x) ≤ 0 ⇒ l´ f (x) = 0 ⇒ 0 · Acot = 0 ım ım x→x0 x→x0Nota: Si f (x) < 0, cambiar´ el sentido de la desigualdad, pero el resultado final ser´ el ıa ıamismo.Ejemplo 2.31 (Calculando l´ ımites por acotaci´n). Calcula los siguientes ol´ ımites. 1 x3 1. ım (x2 + y 2 ) sen l´ 2. l´ ım (x,y)→(0,0) xy (x,y)→(0,0) x2 + y 2 1 1 y(x − 1)3 3. ım (x sen + y sen ) l´ 4. l´ ım (x,y)→(0,0) y x (x,y)→(1,−2) (x − 1)2 + (y + 2)2Soluci´n. o 1 1. l´ ım (x2 + y 2 ) sen = 0 · Acot = 0 (x,y)→(0,0) xy x3 x2 2. l´ ım = l´ ım x 2 = 0 · Acot = 0 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 (x,y)→(0,0) x + y 2 1 1 3. l´ ım (x sen + y sen ) = 0 · Acot + 0 · Acot = 0 (x,y)→(0,0) y x y(x − 1)3 4. l´ ım = (x,y)→(1,−2) (x − 1)2 + (y + 2)2 (x − 1)2 = l´ ım (x − 1)y = 0 · Acot = 0 (x,y)→(1,−2) (x − 1)2 + (y + 2)2 Este l´ ımite tambi´n puede hacerse mediante el cambio de variables e u = x − 1, v = y + 2 , en efecto, y(x − 1)3 (v − 2)u3 l´ ım = l´ ım = (x,y)→(1,−2) (x − 1)2 + (y + 2)2 (u,v)→(0,0) u2 + v 2 u2 = ım (v − 2)u 2 l´ = (−2) · 0 · Acot = 0 (u,v)→(0,0) u + v2
    • 2.2. L´ IMITE Y CONTINUIDAD 1332.2.8. Infinit´simos equivalentes. e Igual que en una variable, los infinit´simos se aplican en los l´ e ımites defunciones de varias variables.Definici´n 2.5 (Infinit´simo en un punto). Se llama infinit´simo en o e eun punto X0 a una funci´n cuyo l´ o ımite en dicho punto sea cero. l´ f (X) = 0 ım X→X0Definici´n 2.6 (Infinit´simos equivalentes). Dos infinit´simos en un o e emismo punto se dice que son equivalentes, cuando el l´mite de su cociente ıes 1. f (X) ä 0 ç l´ ım = = 1 =⇒ f (X) ≈ g(X) (en X = X0 ) X→X0 g(X) 0Sustituci´n de infinit´simos. Si un infinit´simo est´ multiplicando o divi- o e e adiendo se le puede sustituir por otro equivalente para simplificar los c´lculos. a f (X)Supongamos que f (X) ≈ g(X), entonces ser´ l´ a ım = 1. Y suponga- X→X0 g(X)mos que f (X) aparece multiplicando dentro de un l´ ımite. f (X) l´ f (X) · h(X) = l´ ım ım g(X)h(X) = l´ g(X) · h(X) ım X→X0 X→X0 g(X) X→X0Con lo cual hemos sustituido f (X) por g(X) y el l´ımite puede resultar m´s af´cil. aSumas de infinit´simos. Cuando un infinit´simo est´ sumando o restando, e e aen general, no se puede sustituir por otro equivalente. ä ç ä ç l´ ım f (X) + h(X) = l´ ım g(X) + h(X) X→X0 X→X0No obstante, existen casos muy concretos en los que se pueden aplicar in-finit´simos al caso de sumas. Sin embargo, hay que advertir que en varias evariables esta sustituci´n es mucho m´s restrictiva que en una variable. En o auna variable dijimos que la suma de varios infinit´simos de distinto orden ese puede reducir al de menor orden. Por ejemplo, (x2 + 3x3 − 5x4 )f (x) (x2 )f (x) l´ ım = l´ ım x→0 g(x) x→0 g(x)Sin embargo, en varias variables esto no es cierto de manera general. Enuna variable la regla se basa en el hecho de que al aplicar las reglas deL´Hˆpital el primer t´rmino que dejar´ de ser cero es el de menor grado, o e ay, en consecuencia, se puede establecer la equivalencia. Sin embargo, en dosvariables no son aplicables las reglas de L´Hˆpital. En consecuencia, resulta oque no podemos hacer el cambio (x − y 2 )f (x, y) (x)f (x, y) l´ ım = l´ ım (x,y)→(0,0) g(x, y) (x,y)→(0,0) g(x, y)
    • 134 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITESpuesto que si hacemos l´ımites direccionales a trav´s de la curva x = y 3 , el et´rmino que, en principio, es de menor grado, se transforma en un t´rmino e ede mayor grado. (x − y 2 )f (x, y) (y 3 − y 2 )f (x, y) (x)f (x, y) l´ ım = l´ ım = l´ ım(x,y)→(0,0) g(x, y) (x,y)→(0,0) g(x, y) (x,y)→(0,0) g(x, y) x=y 3En consecuencia, en varias variables la suma de infinit´simos solamente se epuede reducir al de menor grado cuando los infinit´simos sean homog´neos. e eEs decir, que contengan las mismas variables. As´ ı, (x2 + 3x3 − 5x4 )f (x) (x2 )f (x) l´ ım = l´ ım x→0 g(x) x→0 g(x)o bien, (y 2 + 3y 3 − 5y 4 )f (x, y) (y 2 )f (x, y) l´ ım = l´ ım (x,y)→(0,0) g(x, y) (x,y)→(0,0) g(x, y)e incluso, (x2 y)2 + 3(x2 y)3 − 5(x2 y)4 f (x, y) (x2 y)2 f (x, y) l´ ım = l´ ım(x,y)→(0,0) g(x, y) (x,y)→(0,0) g(x, y)Sin embargo (x2 y + x3 y 2 + x6 )f (x, y) (x2 y)f (x, y) l´ ım = l´ ım (x,y)→(0,0) g(x, y) x→0 g(x, y)Evidentemente la suma que se sustituye no puede ser una suma parcial, sinoque la suma que se sustituye ha de ser total, es decir, considerada como unaunidad, ha de estar multiplicando o dividiendo. Algunos infinit´simos en el Origen (z → 0). e Los infinit´simos m´s usuales, en el origen son: e a Trigonom´tricos: e sen z ≈ z arc sen z ≈ z tg z ≈ z arctan z ≈ z z2 1 − cos z ≈ 2 Logar´ ıtmicos: z ≈ ln(1 + z) ez − 1 ≈ z ln(1 + z) ≈ z ⇒ a z − 1 ≈ z ln a (1 + z)n ≈ 1 + nz √n 1+z ≈1+ n z
    • 2.2. L´ IMITE Y CONTINUIDAD 135 La z puede ser cualquier funci´n. Lo importante es que toda la funci´n o otienda a cero, aunque (x, y) tienda a un valor distinto de (0, 0). As´ por ı,ejemplo, si l´ ım f (x, y) = 0 ⇒ (x,y)→(x0 ,y0 ) sen f (x, y) g(x, y) f (x, y)g(x, y) ⇒ l´ ım = l´ ım (x,y)→(x0 ,y0 ) h(x, y) (x,y)→(x0 ,y0 ) h(x, y)Ejemplo 2.32 (Calculando l´ ımites mediante infinit´simos). Calcula los si- eguientes l´ ımites. sen(xy) xy 1. l´ ım = l´ ım = l´ ım y = 2 (x,y)→(0,2) x (x,y)→(0,2) x (x,y)→(0,2) 2 etg(x y) − 1 tg(x2 y) x2 y 1 2. l´ ım 2 y) = l´ ım 2y = l´ ım 2y = (x,y)→(0,0) 2 sen(x (x,y)→(0,0) 2x (x,y)→(0,0) 2x 2 1 − cos(x2 − y) (x2 − y)2 3. l´ ım √ 2 = l´ ım √ = (x,y)→(1,1) (x − y) (x,y)→(1,1) 2(x − y)2 √ √ (x2 − y)2 (x + y)2 (x + y)2 4 = l´ ım 2 − y) = l´ ım = =2 (x,y)→(1,1) 2(x (x,y)→(1,1) 2 2 exy − 1 xy 4. l´ ım = l´ ım = l´ ım 1 = 1 (x,y)→(0,0) sen x ln(1 + y) (x,y)→(0,0) xy (x,y)→(0,0) sen x sen(3y) x3y 3 5. l´ ım = l´ ım = (x,y)→(0,0) 2xy (x,y)→(0,0) 2xy 2 (y 2 + 2y − 3)(1 − cos x) (y − 1)(y + 3)x2 /2 6. l´ ım = l´ ım = (x,y)→(0,1) x2 (y − 1) (x,y)→(0,1) x2 (y − 1) y+3 4 = l´ ım = =2 (x,y)→(0,1) 2 2 4x2 9y 2 (1 − cos 2x)(cos 3y − 1) 2 (− 2 ) 7. l´ ım = l´ ım = (x,y)→(0,0) 5x2 y (x,y)→(0,0) 5x2 y −9y = l´ ım =0 (x,y)→(0,0) 5 (ex − 1)(e2y − 1) x2y 8. l´ ım = l´ ım =2 (x,y)→(0,0) xy (x,y)→(0,0) xy ln x tg(y − 1)Ejemplo 2.33. Calcular el siguiente l´mite: ı l´ ım (x,y)→(1,1) xy − x − y + 1
    • 136 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITESSoluci´n. Aplicando infinit´simos en el numerador, o e ln x = ln(1 + x − 1) ∼ x − 1 , tg(y − 1) ∼ y − 1y agrupando t´rminos en el denominador, resulta: e ln x tg(y − 1) (x − 1)(y − 1) l´ ım = l´ ım = (x,y)→(1,1) xy − x − y + 1 (x,y)→(1,1) x(y − 1) − (y − 1) (x − 1)(y − 1) = l´ ım =1 (x,y)→(1,1) (x − 1)(y − 1)2.2.9. Inexistencia de l´ ımitesCuando no sepamos calcular un l´ ımite, intentaremos demostrar que dichol´ ımite no existe. Esto lo podemos hacer por dos m´todos: e -Mediante los l´ımites direccionales. -Mediante los l´ımites reiterados.L´ımites direccionalesAunque la definici´n de l´ o ımite de funciones de dos variables va en totalparalelismo con la definici´n de l´ o ımite de funciones de una sola variable,existe una diferencia fundamental a la hora de determinar la existencia deun l´ ımite. En una variable, la existencia del l´ımite, es equivalente a la coin-cidencia de los l´ ımites laterales. Es decir, para determinar si una funci´n de ouna variable tiene l´ımite en un punto determinado, solamente necesitamoscomprobar qu´ ocurre al aproximarnos por dos direcciones –por la izquierda ey por la derecha–. Si la funci´n tiene el mismo l´ o ımite por la izquierda y por laderecha podemos concluir que el l´ ımite existe. Si embargo, en dos variablesesto no es as´ ı. −→←−    ©   r ‚ dr I•i    s d    En dos variables, en principio, no tiene sentido hablar de l´ ımites laterales¿qu´ significan derecha e izquierda en el plano?, por eso hablamos de l´ e ımitesdireccionales, ya que, en dos variables existen infinitos caminos para acer-carnos al punto, es m´s, podemos acercarnos siguiendo un camino recto o aun camino curvo. Es decir, al escribir (x, y) → (x0 , y0 )entendemos que el punto (x, y) se aproxima al punto (x0 , y0 ) en cualquierdirecci´n. Y, para que exista el l´ o ımite, los l´ ımites siguiendo todas las di-recciones o trayectorias tienen que coincidir. La exigencia de la definici´n a o
    • 2.2. L´ IMITE Y CONTINUIDAD 137todos los puntos del entorno significa todas las posibles formas de aproxi-marse. En consecuencia, para ver que una funci´n no tiene l´ o ımite en unpunto se siguen varios caminos de aproximaci´n al punto y si la funci´n o otiene un l´ ımite ((doble)) no exis- ımite distinto por cada camino, entonces el l´te. El problema ser´ determinar si existe un camino que conduce a otra aparte. En la pr´ctica los caminos que se suelen seguir son rectas y par´bo- a alas. (El camino por rectas se sigue cuando las potencias del denominador sondel mismo grado, y el camino por par´bolas cuando son de distinto grado, aintentando igualar los grados). No debe olvidarse que la recta ha de pasarpor el punto en cuesti´n, es decir su ecuaci´n ha de ser y − y0 = m(x − x0 ). o o Hay que advertir que este m´todo s´lo es refutativo, es decir, nos per- e omite negar la existencia del l´ ımite pero no afirmarla. As´ si encontramos ı,dos l´ımites direccionales diferentes, entonces podemos afirmar que el l´ ımite((doble)) no existe. Pero si todos los l´ ımites direccionales que tomamos nosdan el mismo l´ ımite, no por eso podemos afirmar la existencia del l´ ımite. Lom´s que podemos decir es que, de existir el l´ a ımite doble, su valor ser´ el de alos direccionales, pero nadie asegura que siguiendo otra direcci´n, diferente oa las tomadas hasta ese momento, obtengamos un resultado diferente. ımites direccionales). Probar que el siguienteEjemplo 2.34 (Calculando l´l´ ımite no existe. xy l´ ım 2 + y2 (x,y)→(0,0) xSoluci´n. Si nos acercamos al origen a trav´s de la recta y = x, se tiene o e xy xx x2 1 l´ ım 2 + y2 = l´ ım 2 + x2 = l´ ım 2 = (x,y)→(0,0) x (x,y)→(0,0) x x→0 2x 2 y=x x→0luego, de existir el l´ ımite, deber´ ser 1/2. Mientras que si nos acercamos al ıaorigen a trav´s de la recta y = −x, se tiene e xy x(−x) −x2 −1 l´ ım 2 + y2 = l´ ım 2 + (−x)2 = l´ ım 2 = (x,y)→(0,0) x (x,y)→(0,0) x x→0 2x 2 y=−x x→0luego, de existir el l´ımite, deber´ ser −1/2. Lo que contradice el resultado ıaanterior, y en consecuencia el l´ ımite doble no puede existir. En general, los l´ımites direccionales los haremos contemplando todas lasrectas a la vez, y no una a una, como se ha hecho aqu´ As´ si nos acercamos ı. ı,al origen a trav´s de la recta y = mx se tiene e xy xy xmx l´ ım = l´ ım = l´ ım = (x,y)→(0,0) x2 +y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y2 (x,y)→(0,0) x 2 + m2 x2 y=mx y=mx x→0 m m = l´ ım 2 = = f (m) x→0 1 + m 1 + m2
    • 138 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITESEl l´ımite no existe ya que depende del valor de m. Es decir, seg´n la recta upor la que nos aproximemos al punto tendr´ ıamos un valor del l´ ımite u otro.As´ si consideramos dos trayectorias diferentes de acercamiento, tenemos: ı,Para m = 1, nos estar´ ıamos moviendo por la recta y = x, y ser´ l = 1/2, ıamientras que para m = −1, estar´ ıamos movi´ndonos por la recta y = −x, y eser´ l = −1/2. y al haber encontrado dos caminos que conducen a l´ ıa ımitesdiferentes podemos afirmar que el l´ ımite no existe. En efecto, esto quieredecir que en cualquier disco abierto centrado en (0, 0) hay puntos (x, y) enlos cuales f toma los valores 1/2 y −1/2. Luego f no puede tener l´ ımitecuando (x, y) → (0, 0). En este ejemplo podemos visualizar lo que ocurre en el origen de una manera muygr´fica. Imaginemos una alfombra de goma, con un agujero en el centro, y la atravesamos acon dos listones, uno por debajo y el otro por encima, de manera que se crucen en elagujero (el de abajo de la alfombra pasar´ por encima del otro). El que est´ por encima ıa ade la alfombra lo fijamos al suelo y el que est´ por debajo lo levantamos hasta una altura ade un metro, sin que se rompa la alfombra. Es evidente que el agujero se estira todo elmetro. xy Figura 2.38: f (x, y) = x2 +y 2Observaci´n. Podemos observar que aunque la funci´n f , del ejemplo an- o oterior, definida por xy f (x, y) = 2 x + y2s´lo es discontinua en el punto (0, 0), sin embargo, dicha discontinuidad es oinevitable, ya que no es posible redefinir la funci´n en (0, 0), de manera que osea continua en dicho punto, puesto que el l´ ımite en (0, 0) no existe.Ejemplo 2.35. Demostrar que el siguiente l´mite no existe. ı y2 l´ ım (x,y)→(0,0) x + y 2Soluci´n. Nos acercamos al origen a trav´s de la recta y = mx. o e y2 y2 m2 x2 m2 x l´ ım = l´ ım = l´ ım = l´ ım =0 (x,y)→(0,0) x + y 2 (x,y)→(0,0) x + y 2 x→0 x + m2 x2 x→0 1 + m2 x y=mx
    • 2.2. L´ IMITE Y CONTINUIDAD 139para todo camino recto de la forma y = mx el l´ ımite vale 0, sin embargo, nopodemos afirmar que el l´ ımite valga cero, ya que en otras direcciones puedetener otro valor. En efecto, si nos acercamos al origen por el camino curvox = y 2 , resulta: y2 y2 1 l´ ım 2 = l´ ım 2 + y2 = (x,y)→(0,0) x + y (x,y)→(0,0) y 2 x=y 2 x=y 2 y→0Luego el l´ımite no existe ya que al movernos por una par´bola obtenemos adistinto valor que al movernos por una recta.Observaci´n. Cuando nos acercamos al origen a trav´s de las rectas y = o emx, estamos contemplando todas las trayectorias rectil´ ıneas menos una. Enefecto, la recta x = 0 no est´ contemplada en la ecuaci´n y = mx. En a odeterminadas ocasiones esta recta conduce a otro l´ ımite y no es necesarioacudir a otro tipo de trayectorias. As´ en el ejemplo anterior no hubiera sido ı,necesario acudir a las trayectorias parab´licas. En efecto, o y2 y2 l´ ım = l´ ım =1 (x,y)→(0,0) x + y 2 (x,y)→(0,0) 0 + y 2 x=0 x=0 y→0Ejemplo 2.36. Demostrar que el siguiente l´mite no existe. ı 2x2 y l´ ım (x,y)→(0,0) x4 + y 2Soluci´n. Nos acercamos al origen a trav´s de la recta y = mx. o e 2x2 y 2x2 y 2x2 mx 2mx l´ ım = l´ ım = l´ ım 4 = l´ ım = 0(x,y)→(0,0) x4 + y 2 (x,y)→(0,0) x4 + y 2 x→0 x + m2 x2 x→0 x2 + m2 y=mx y=mxpara todo camino recto de la forma y = mx el l´ ımite vale 0, sin embargo, nopodemos afirmar que el l´ ımite valga cero, ya que en otras direcciones puedetener otro valor. En efecto, si nos acercamos al origen por el camino curvoy = x2 , resulta: 2x2 y 2x2 x2 2 l´ ım = l´ ım = =1 (x,y)→(0,0) x4 + y 2 (x,y)→(0,0) x4 + x4 1+1 y=x2 y=x2 x→0Luego el l´ımite no existe ya que al movernos por una par´bola obtenemos adistinto valor que al movernos por una recta. Tambi´n pod´ e ıamos haber acudido directamente a las trayectorias para-b´licas sin pasar previamente por las rectil´ o ıneas. As´ ı, 2x2 y 2x2 (ax)2 2x2 a2 x2 2a2 l´ ım = l´ ım 4 = l´ ım 4 = = f (a) (x,y)→(0,0) x4+y 2 x→0 x + (ax 2 )2 x→0 x + a 2 x4 1 + a2 y=ax2luego el l´ ımite no existe, por depender de a.
    • 140 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITES 7x(x − 5)Ejemplo 2.37. Calcular el siguiente l´mite: ı l´ ım (x,y)→(5,−2) y+2Soluci´n. Nos aproximamos al punto (5, −2) mediante rectas que pasen por odicho punto y + 2 = m(x − 5), de donde, 7x(x − 5) ä 0 ç 7x(x − 5) 7x 35 l´ ım = = l´ ım = l´ ım = = f (m) (x,y)→(5,−2) y+2 0 x→5 m(x − 5) x→5 m mluego el l´ ımite dado no existe, por depender de m. xy − x − y + 1Ejemplo 2.38. Calcular, si existe, l´ ım (x,y)→(1,1) x2 + y 2 − 2x − 2y + 2Soluci´n. Agrupando t´rminos en el numerador y denominador y haciendo o e ımite resultante por rectas y − 1 = m(x − 1), resulta:el l´ xy − x − y + 1 l´ ım = (x,y)→(1,1) x2 + y 2 − 2x − 2y + 2 x(y − 1) − (y − 1) = l´ ım = (x,y)→(1,1) (x − 1)2 − 1 + (y − 1)2 − 1 + 2 (x − 1)(y − 1) (x − 1)m(x − 1) = l´ ım = l´ ım = (x,y)→(1,1) (x − 1) 2 + (y − 1)2 x→1 (x − 1)2 + m2 (x − 1)2 y−1=m(x−1) m = = f (m) 1 + m2Luego, al depender de m, el l´ ımite no existe.Determinaci´n de la trayectoria d´ o ıscola Cuando tengamos la sospecha de que un l´ ımite no existe, y sin embargo,las trayectorias habituales (rectas y par´bolas) conducen al mismo resultado, apodemos intentar buscar una trayectoria d´ ıscola por dos procedimientos: 1. Mediante la sustituci´n impl´ o ıcita 2. Mediante la aplicaci´n sucesiva de la regla de L´H¨pital o oa) Mediante la sustituci´n impl´ o ıcitaEn lugar de trayectorias del tipo y = f (x), se pueden utilizar trayectoriasdefinidas impl´ ıcitamente F (x, y) = 0. As´ en el caso de fracciones, susti- ı,tuiremos todo el numerador o el denominador por lo que nos interese paraconseguir el l´ ımite deseado, siempre que la sustituci´n que hacemos se cor- oresponda realmente con una trayectoria que pasa por el punto objeto del´ ımite. Nota. Para ver si una ecuaci´n del tipo F (x, y) = 0 se corresponde con una trayectoria ov´lida de aproximaci´n al punto en cuesti´n, hay que comprobar que se cumplen las a o ocondiciones exigidas en el teorema 4.14 de la funci´n impl´ o ıcita (p´g. 298). a Mientras el alumno no conozca dicho teorema, adem´s de comprobar que la trayectoria apasa por el punto en cuesti´n, debe que comprobar que alguna de las variables es funci´n o ode la otra en un entorno de dicho punto, para ello puede limitarse a ecuaciones en las que
    • 2.2. L´ IMITE Y CONTINUIDAD 141es posible despejar una de las inc´gnitas en funci´n de la otra y obtener una funci´n, o o o obien a ecuaciones de curvas conocidas.Ejemplo 2.39. Demostrar que el siguiente l´mite no existe ı x l´ ım (x,y)→(0,0) x2 + y 2Soluci´n. Si nos acercamos al origen a trav´s de la familia de curvas definidas o epor la ecuaci´n o x2 + y 2 = λxresulta x x 1 l´ ım = l´ ım = (x,y)→(0,0) x2 +y 2 x→0 λx λ x2 +y 2 =λx x→0luego el l´ ımite no existe, por depender de λ Nos queda comprobar que las trayectorias utilizadas son v´lidas. En aefecto, la ecuaci´n que hemos utilizado en la sustituci´n se puede expresar o ode la siguiente forma, λ λ2 λ λ2x2 − λx + y 2 = 0 → (x − )2 − + y2 = 0 → (x − )2 + y 2 = 2 4 2 4luego se trata de circunferencias con centro en el punto (λ/2, 0) y radior = λ/2 que pasan por el origen de coordenadas.Nota: Hay que hacer notar la importancia de comprobar que la trayectoria utilizada esuna trayectoria id´nea. Es decir, una trayectoria que no s´lo contenga al punto en cuesti´n, o o osino que lo atraviese. Veamos un ejemplo en el que se obtiene un resultado incorrecto porseguir una trayectoria no id´nea. oEjemplo 2.40 (Trayectorias no id´neas conducen a resultados incorrectos). oExplicar porqu´ no es posible utilizar la trayectoria x2 + y 2 = x3 para probar eque el siguiente l´mite no existe ı x3 l´ ım (x,y)→(0,0) x2 + y 2Soluci´n. Es evidente que el l´ o ımite dado existe y vale cero. En efecto, x3 x2 l´ ım = l´ ım x 2 = 0 · Acot. = 0 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 (x,y)→(0,0) x + y 2Ahora bien, si sigui´ramos la trayectoria x2 + y 2 = x3 resultar´ lo siguiente e ıa x3 x3 l´ ım = l´ ım 3 = 1 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 x→0 x
    • 142 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITESLo que contradice el resultado anterior. Este hecho se debe a que la trayectoria utilizada no es una trayectoriaid´nea. En efecto, trayectoria x2 + y 2 = x3 contiene al (0, 0) –ya que dicho opunto cumple la ecuaci´n–. Sin embargo la trayectoria no pasa por el origen. oSe trata de una curva que no pasa por el origen de coordenadas, pero quetiene un punto exterior aislado –precisamente el origen de coordenadas– yda la apariencia de pasar por ´l, cuando no es cierto. En efecto, la gr´fica e ade la curva x2 + y 2 = x3 viene representada en la Figura 2.39 y x Figura 2.39: Gr´fica de x2 + y2 = x3 a La determinaci´n del dominio de las funciones impl´ o ıcitas en la trayectorianos dice que la funci´n s´lo est´ definida para x ≥ 1 y para el (0, 0). En o o aefecto, despejando y resulta, x2 + y 2 = x3 ⇒ y 2 = x3 − x2 ⇒ y = ± x3 − x2y para que la ra´ cuadrada est´ definida, ha de ser ız e x≥1 x3 − x2 ≥ 0 ⇒ x3 ≥ x2 ⇒ x=0b) Mediante la aplicaci´n sucesiva de la regla de L´Hˆpital o oHacemos el l´ımite mediante trayectorias rectil´ ıneas (o l´ ımites reiterados) yobtenemos un valor concreto. Suponemos, entonces, que la trayectoria d´ ısco-la viene definida mediante una funci´n polin´mica y = p(x). Sustituimos en o oel l´ ımite y aplicamos sucesivamente la regla de L´Hˆpital hasta obtener oun valor distinto al obtenido anteriormente. Posteriormente calculamos elpolinomio que cumple las condiciones exigidas a p(x).Nota: La determinaci´n del polinomio p(x) que cumple las condiciones dadas, es inmedi- oata a partir del polinomio de Taylor –o de Mac Laurin– (Teorema 3.7 de la p´g 186) a p (0) 2 p (0) 3 p(x) = p(0) + p (0)x + x + x ··· 2 3! y + ex − 1Ejemplo 2.41. ¿Es cierto que l´ ım = 1 ?. Responde justi- (x,y)→(0,0) y+xficando la respuestaSoluci´n. Si nos aproximamos al punto (0, 0) mediante rectas y = mx obte- onemos que el l´ ımite, de existir, deber´ de valer 1. Pero esto no nos permite ıa
    • 2.2. L´ IMITE Y CONTINUIDAD 143afirmar que dicho l´ ımite exista. y + ex − 1 0 mx + ex − 1 0 l´ ım = [ ] = l´ım =[ ]=(x,y)→(0,0) y+x 0 x→0 mx + x 0y al ser de una variable podemos aplicar L’Hˆpital, con lo cual o m + ex m+1 = l´ ım = = 1 para m = −1 x→0 m + 1 m+1 Sin embargo, si nos aproximamos al punto (0, 0) mediante la par´bolaay = x2 − x resulta que el l´ımite, de existir, deber´ de valer 3/2, en efecto ıa y + ex − 1 x2 − x + ex − 1 x2 − x + ex − 1 0 l´ ım = l´ ım 2−x+x = l´ım 2 =[ ]=(x,y)→(0,0) y+x x→0 x x→0 x 0y al ser de una variable podemos aplicar L’Hˆpital, de donde o 2x − 1 + ex 0 2 + ex 3 = l´ ım = [ ] = l´ ım = x→0 2x 0 x→0 2 2Con lo cual podemos afirmar que el l´ ımite propuesto no existe. Hemos utilizado la par´bola y = x2 − x y no otra, por la siguiente raz´n. a oSupongamos que nos acercamos al punto (0, 0) mediante la curva y = g(x),y que aplicamos sucesivamente L’Hˆpital, y queremos que resulte o g(x) + ex − 1 0 g (x) + ex 0 g (x) + ex = l´ ım = [ ] = l´ ım = [ ] = l´ ım =1 x→0 g(x) + x 0 x→0 g (x) + 1 0 x→0 g (x)Para ello tendr´ que ser a g(0) = 0, g (0) = −1, g (0) = 0que se consigue con g (x) = 2 → g (x) = 2x − 1 → g(x) = x2 − xNota: La determinaci´n del polinomio p(x) que cumple las condiciones dadas, es inmedi- oata a partir del polinomio de Taylor en el origen (Teorema 3.6 de la p´g 185) a p (0) 2 p(x) = p(0) + p (0)x + x 2de donde, para p (0) = 2 resulta p(x) = 0 − x + x2 = x2 − xEjemplo 2.42. Calcular, si existe, el valor del siguiente l´mite: ı y + sen x l´ ım (x,y)→(0,0) y + xSoluci´n. Si nos aproximamos al punto (0, 0) mediante rectas y = mx obte- onemos que el l´ ımite, de existir, deber´ de valer 1. Pero esto no nos permite ıaafirmar que dicho l´ımite exista.
    • 144 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITES y + sen x ä 0 ç mx + sen x ä 0 ç l´ ım = = l´ ım = =(x,y)→(0,0) y + x 0 x→0 mx + x 0y al ser de una variable podemos aplicar L’Hˆpital, con lo cual o m + cos x m+1 = l´ ım = = 1 para m = −1 x→0 m + 1 m+1sin embargo, si nos aproximamos al punto (0, 0) mediante la c´bica y = x3 −x uresulta que el l´ ımite, de existir, deber´ de valer 5/6 ıa y + sen x x3 − x + sen x x3 − x + sen x ä 0 ç l´ ım = l´ım = l´ım = =(x,y)→(0,0) y + x x→0 x3 − x + x x→0 x3 0y al ser de una variable podemos aplicar L’Hˆpital, con lo cual o 3x2 − 1 + cos x ä 0 ç 6x − sen x ä 0 ç 6 − cos x 5 = l´ ım 2 = = l´ ım = = l´ ım = =1 x→0 3x 0 x→0 6x 0 x→0 6 6Con lo cual podemos afirmar que el l´ ımite propuesto no existe.Hemos utilizado la c´bica y = x3 − x y no otra funci´n, por la siguiente u oraz´n. Supongamos que nos acercamos al punto (0, 0) mediante la curva oy = p(x), y que aplicamos sucesivamente L’Hˆpital, y queremos que resulte o y + sen x p(x) + sen x ä 0 ç p (x) + cos x ä 0 ç l´ ım = l´ım = = l´ ım = =(x,y)→(0,0) y + x x→0 p(x) + x 0 x→0 p (x) + 1 0 p (x) − sen x ä 0 ç p (x) − cos x = l´ ım = = l´ ım =1 x→0 p (x) 0 x→0 p (x)Para ello tendr´ que ser a p (0) = 0, p (0) = 0, p (0) = −1, p(0) = 0que se consigue con a 2 a p (x) = a → p (x) = ax → p (x) =x − 1 → p(x) = x3 − x 2 6L´ ımites parciales iterados (o reiterados). Se pueden calcular los siguientes l´ ımites: ä ç l´ ım l´ f (x, y) ım y→y x→x0 0 x=x0 ä ç l´ ım l´ f (x, y) ım x→x0 y→y0 y=y0 Figura 2.40: L´ ımites iteradosSi estos dos l´ ımites son distintos, entonces la funci´n no tiene l´ o ımite, pero sison iguales o alguno de ellos no existe, entonces no se puede asegurar nadasobre el l´ ımite doble.
    • 2.2. L´ IMITE Y CONTINUIDAD 145Ejemplo 2.43. Demostrar que el siguiente l´mite no existe. ı x2 − y 2 l´ ım (x,y)→(0,0) x2 + y 2Soluci´n. o ä x2 − y 2 ç ä x2 − 0 ç äç l´ ım l´ ım y→y 2 + y2 = l´ ım 2+0 = l´ ım 1 = 1 x→x0 0 x x→x0 x x→x0 x=x0 ä x2 − y 2 ç ä 0 − y2 ç ä ç l´ ım l´ ım = l´ ım ım − 1 = −1 = l´ y→y0 x→x 0 x2 + y 2 y→y0 0 + y 2 x→x0 y=y0Luego el l´ ımite doble no existe.Ejemplo 2.44. Demostrar que el siguiente l´mite existe, y sin embargo no ıexisten ninguno de los iterados. 1 1 l´ ım (x sen + y sen ) (x,y)→(0,0) y xSoluci´n. El l´ o ımite doble existe. 1 1 ım (x sen + y sen ) = 0 · Ac + 0 · Ac = 0 + 0 = 0 l´(x,y)→(0,0) y xMientras que los iterados no existen, en efeco ä 1 1 ç ä ç ım y→y (x sen + y sen ) = l´ l´ l´ ım ım No definido + 0 = No definidox→x0 0 y x x→x0 ä 1 ç ä ç x=x0 1l´ ım l´ (x sen ım x→x + y sen ) = l´ ım 0 + No definido = No definidoy→y0 0 y x x→x0 y=y02.2.10. L´ ımites en el infinito Se trata de ver el comportamiento de la funci´n en el contorno de una ocircunferencia de radio infinito.Ejemplo 2.45. Calcular los siguientes l´mites. ı 1 2. x→∞ e−(x 2 +y 2 ) 1. x→∞ l´ ım l´ ım y→∞ x2 + y2 y→∞Soluci´n. o 1 1 1. l´ ım = =0 y→∞ x→∞ x2 +y 2 ∞ 1 1 1 l´ e−(x 2 +y 2 ) 2. ım = x→∞ l´ ım = ∞ = =0 y→∞ x→∞ y→∞ e(x2 +y2 ) e ∞Ejemplo 2.46. Representa la funci´n: f (x, y) = e−(x 2 +y 2 ) o
    • 146 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITESSoluci´n. El dominio de la funci´n es todo R2 . o oPara representar le funci´n sustituimos f (x, y) por z, con lo que tenemos: o z = e−(x 2 +y 2 )Veamos los cortes de dicha superficie con los planos coordenados: - corte con el plano x = 0 z = e−y 2 - corte con el plano y = 0 z = e−x 2Para hallar las curvas de nivel suponemos que z es una constante e−(x 2 +y 2 ) =z de donde − (x2 + y 2 ) = ln z ⇒ x2 + y 2 = − ln zDamos varios valores a z para ir viendo las curvas de contorno a distintasalturas:para el nivel z = 1 ⇒ x2 + y 2 = 0 ⇒ el punto (0,0)para niveles 0 < z < 1 ⇒ − ln z es positivo, luego se trata de circunferen- √cias de radio − ln zY teniendo en cuenta que el l´ ımite en el infinito es cero, resulta la siguientegr´fica: a Figura 2.41: f (x, y) = e−(x 2 +y 2 ) Las definiciones de l´ımite y continuidad pueden extenderse a funcionesde tres variables considerando puntos (x, y, z) dentro de la esfera abierta (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 < δ 2de radio δ y centro (x0 , y0 , z0 ). De la misma forma, pueden extenderse, de manera natural, a funcionesde m´s de tres variables. a2.3. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 2Ejercicios propuestos del Cap´ ıtulo 2 Soluciones en la p´gina ?? a
    • 2.3. PROBLEMAS PROPUESTOS DEL CAP´ ITULO 2 1472.1. Descr´ ıbase el dominio de los siguientes campos escalares: Ô x+y a) f (x, y) = 4 − x2 − y 2 b) f (x, y) = x−y y c) f (x, y) = arc cos d) f (x, y) = ln (4 − x2 − 4y 2 ) xy x e) f (x, y) = f) f (x, y) = ln (4 − x − y) x−y g) f (x, y) = x2 + y 2 h) f (x, y) = ex/y i) f (x, y) = ln (4 − xy)2.2. Consideremos las siguientes funciones: f (x, y, z) = x2 + y 2 − z ψ(x) = cos x g(x, y, z) = x2 − y 2 + z ϕ(x) = sen x Expresa, en la forma m´s simplificada posible: a a) (f + g)(x, y, z) b) f (ψ(x), ϕ(x), 1) c) g(f (x, y, z), g(x, y, z), 4x2 z) d) ψ(f (x, y, z)) f (x, y, z) + g(x, y, z) e) g(ψ(x), ϕ(x), 0) f) 22.3. Descr´ ıbase la gr´fica de las siguientes funciones: a a) f (x, y) = kÔ Ô b) g(x, y) = ax + by + c Ô c) h(x, y) = x2 + y 2 d) l(x, y) = r2 − x2 − y 2 e) m(x, y) = r2 − ax2 − by 2 f) n(x, y) = y 2 − x22.4. Describir las curvas f (x, y) = k o superficies de nivel f (x, y, z) = k, para los siguientes campos f y los valores de k que se indican: Ô a) f (x, y) = 25 − x2 − y 2 k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 b) f (x, y) = x2 + y 2 k = 0, 2, 4, 6, 8 c) f (x, y) = xy k = ±1, ±2, · · · , ±6 d) f (x, y) = 6 − 2x − 3y k = 0, 2, 4, 6, 8, 10 e) f (x, y, z) = 4x + y + 2z k =4 f) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 k =9 g) f (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 k =1 h) f (x, y, z) = 4x2 + 4y 2 − z 2 k =0
    • 148 CAP´ ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´ IMITES2.5. H´llense, si existen, los siguientes l´ a ımites: 1 1 1 a) l´ ım ln |1 + x2 y 2 | b) l´ ım + + (x,y)→(1,1) (x,y,z)→(1,2,6) x y z x c) l´ım √ d) l´ ım sec x tg y (x,y)→(0,4) y (x,y)→(0,π/2) x2 + y 2 xy + y − 2x − 2 e) l´ım cos f) l´ ım (x,y)→(0,0) x+y+1 (x,y)→(−2,2) x+1 x sen y cos x − 1 y−2 g) l´ ım h) l´ım (x,y)→(1,0) x2 + 1 (x,y)→(0,2) x2 y2 − 4 x3 y 3 − 1 x−y i) l´ım j) l´ım (x,y)→(1,1) xy − 1 (x,y)→(0,0) x + y k) l´ ım Ô x l) l´ım xy (x,y)→(0,0) |xy| (x,y)→(0,0) x2 + y 2 xy xy 3 m) l´ ım n) l´ım (x,y)→(0,0) x2 + y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 6 o) l´ ım Ôx3 p) l´ım Ô x2 + y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 + 1 − 1 x3 sen (y 2 − 4) exy − 1 q) l´ ım r) l´ım (x,y)→(0,0) (y + 2) sen x (x,y)→(0,0) sen x ln (1 + y) s) l´ım y sen (xy) (x,y)→(0,0) 1 − ex +y 2 2 t) l´ım (x,y)→(0,0) tg y · Ô ln (1 + yx2 ) 1 − cos (x2 + y 2 )2.6. Est´diese la continuidad de las siguientes funciones, prolong´ndolas por continui- u a dad, si es posible, a puntos que no sean de su dominio. 1 2x + y 2 x3 + ln y a) x sen b) c) x2 + y 2 x2 + y 2 (y − 1)3 + x6 1 x2 + y 2 x3 + ln (y + 1) d) sen xy e) f) x ln (1 − x2 − y 2 ) y 3 + x62.7. Estudiese la continuidad de las siguientes funciones: ´ x−y x2 + y 2 si (x, y) = (1, −3) si (x, y) = (0, 0) a) b) x+y 10 si (x, y) = (1, −3) ´x 0 si (x, y) = (0, 0) Ô x3 − 4y 3 3 si (x, y) = (0, 0) si (x, y) = (0, 0) c) x2 + y 2 d) x2 − 4y 2 28 si (x, y) = (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) xy si (x, y) = (0, 0) e) 4x2 + 5y 2 ´ 0 si (x, y) = (0, 0) x3 sen (y 2 − 4) si (x, y) = (0, −2) f) (y + 2) sen x 0 si (x, y) = (0, −2)Problemas resueltos del Cap´ ıtulo 22.1.Soluci´n. oProblemas propuestos del Cap´ ıtulo 2 Soluciones en la p´gina 390 a2.1.
    • Cap´ ıtulo 3Derivada de Funcionesde una variable3.1. Derivada y continuidad. Recta tangente y rec- ta normal3.1.1. Idea intuitiva de recta tangente.Todo el mundo tiene una idea clara de lo que es la recta tangente a unacircunferencia en uno de sus puntos, pero si tratamos de generalizar esa ideaa otras curvas nos encontramos con cuestiones que esa idea no resuelve.- ¿Puede la recta tangente cortar a la curva en m´s de un punto?. a- ¿Puede atravesar la recta tangente a la curva por el punto de tangencia?. y ¨ y y T $ ¨¨ T   T   ¨ ¨     ¨¨¨         &%     Ex   Ex   Ex     Figura 3.1: Idea intuitiva de recta tangente Una primera aproximaci´n al concepto nos permite enunciar la siguiente odefinici´n: oDefinici´n 3.1. Se llama tangente a una curva en un punto P a la recta oque pasa por P con la misma direcci´n que la curva. o Podemos insistir un poco m´s en el concepto se˜alando que la recta a ntangente es una recta que toca a la curva en un punto, pero que, adem´s, ala curva se aplana en las proximidades del punto de tangencia, tratando de 149
    • 150 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLEconfundirse, por un instante, con la propia recta. Este aplanamiento en losalrededores del punto de tangencia es lo que hace que la curva sea suave y quese aproxime a la recta tangente en los alrededores del punto de tangencia, yesto es lo que realmente caracteriza la recta tangente. y T y = f (x) Q f (x0 + h) r(h) ¨ Recta tangente a la gr´fica a ¨ ¨ ¨ de y = f (x) en x = x0 ¨¨ P ¨¨ f (x0 ) ¨¨ ¨¨ x E x0 x0 + h Figura 3.2: Recta tangente a una funci´n. o El residuo r(h) es la distancia (vertical) entre la curva y la recta tangente,y es lo que nos va a permitir determinar si una curva tiene o no recta tangenteen uno de sus puntos. En efecto, una primera observaci´n nos hace ver que oel residuo r(h) tiende a cero a medida que h tiende a cero. Sin embargo, estehecho no es importante para la existencia de la recta tangente, pues el quel´ h→0 r(h) = 0 lo unico que nos dice es que la funci´n es continua en P , ım ´ oy seguir´ siendo cero cualquiera que fuera la recta que pase por P , aunque ıano fuera la recta tangente, e incluso, aunque la funci´n no tuviera tangente. oLo importante, cuando se estudia la recta tangente, es que el residuo r(h)tiende a cero m´s r´pido de lo que lo hace h. Esto significa que: a a r(h) l´ ım =0 h→0 hGr´ficamente, este l´ a ımite viene a significar el hecho de que la curva se “em-barra” con la recta tangente en los alrededores del punto P . En otras pal-abras, la curva tiene que ser “suave”en P , para que “se pueda ver localmentecomo una recta”(su recta tangente).3.1.2. Rectas tangentes no intuitivasLa tangente a una recta es la propia recta. yT ¨ ¨¨ ¨ ¨ ¨¨ x ¨¨ E ¨ Figura 3.3: La tangente a una recta es la propia recta
    • 3.1. DERIVADA Y CONTINUIDAD. TANGENTE Y NORMAL 151 En un punto de inflexi´n la tangente atraviesa la curva. Pudi´ndose o edistinguir tres tipos de puntos de inflexi´n: de tangente vertical, de tangente ohorizontal y de tangente oblicua. y y y T T T          Ex Ex   Ex   Figura 3.4: La tangente en un punto de inflexi´n. o En un punto anguloso, de desv´ brusco o de retroceso, la curva o bien ıono tiene tangente o la tangente es vertical. La tangente no puede ser oblicua,ya que este caso la correspondencia no ser´ funci´n. ıa o y y y y T T T T d d d   d d   d d   d d  Ex Ex Ex Ex No hay tangente Tangente vertical No hay tangente No es funci´n o Figura 3.5: En los puntos de retroceso o no hay tangente o la tangente es vertical. En los puntos de discontinuidad no se define la recta tangente y y T T r  €€  €€ b  b   Ex Ex Figura 3.6: En los puntos de discontinuidad no se define la recta tangente.
    • 152 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE3.1.3. La pendiente de la recta tangente y T y = f (x) El valor aproximado de la pendiente de la recta tangente ser´ ıa: Qf (x) f (x) − f (x0 ) tan α ¨ ¨ f (x) − f (x0 ) x − x0 ¨¨ P ¨¨ α Y su valor exacto:f (x0 ) ¨¨¨ x − x0 x E f (x) − f (x0 ) tan α = l´ ım x0 x x→x0 x − x0 Figura 3.7: Pendiente de la recta tangente.3.1.4. Definici´n de derivada oDefinici´n 3.2 (Derivada en un punto). Sea x0 un punto interior de oDf . Se llama derivada de la funci´n f en el punto x0 al siguiente l´ o ımite siexiste y es finito. f (x) − f (x0 ) f (x0 ) = l´ ım x→x0 x − x0 Observaciones: Cuando dicho l´ ımite sea infinito se dice que la funci´n no es derivable, aunque o tiene derivada infinita. (gr´ficamente significa que la recta tangente en ese punto a es vertical). Para que la derivada exista el punto x0 tiene que ser un punto interior del dominio, es decir, la funci´n tiene que estar definida en un entorno del punto, con objeto de o que cuando x → 0 el valor f (x) que aparece en el numerador est´ definido. e No olvidar que la derivada es un l´ımite, aunque buscaremos reglas para calcular derivadas sin tener que hacer dicho l´ ımite. f (x) − f (x0 ) A la expresi´n o , se le llama cociente incremental y se expresa de la x − x0 forma: f y f (x) − f (x0 ) = = x x x − x0 Con lo cual la derivada no es m´s que el l´ a ımite del cociente incremental cuando el incremento de x tiende a cero. f (x0 ) f (x0 ) = l´ ım x→0 x3.1.5. Otra forma de la derivadaTenemos que: f (x) − f (x0 ) f (x0 ) = l´ ım x→x0 x − x0
    • 3.1. DERIVADA Y CONTINUIDAD. TANGENTE Y NORMAL 153Llamando h al incremento, ser´: a x − x0 = h → x = x0 + hcon lo cual resulta: f (x0 + h) − f (x0 ) f (x0 ) = l´ ım h→0 h y T f (x0 + h) f (x0 + h) − f (x0 ) ¨¨ P ¨¨ α ¨ x−x ¨¨ 0 f (x0 ) h x E x0 ←− x = x0 + h Figura 3.8: Derivada de una funci´n. oEjemplo 3.1. Calcular, aplicando la definici´n en las dos formas, la deriva- oda de la funci´n f (x) = 3x o 2 , en el punto x = 2.Soluci´n. o f (x) − f (2) 3x2 − 12 3(x2 − 4)f (2) = l´ ım = l´ ım = l´ ım = x→2 x−2 x→2 x − 2 x→2 x−2 3(x + 2)(x − 2) = l´ ım = 12 x→2 x−2 f (2 + h) − f (2) 3(2 + h)2 − 12f (2) = l´ ım = l´ım = h→0 h h→0 h 3(4 + 4h + h2 ) − 12 12 + 12h + 3h2 − 12 = l´ım = l´ım = h→0 h h→0 h = l´ (12 + 12h) = 12 + 0 = 12 ım h→03.1.6. Derivadas lateralesSi el l´ ımite que define la derivada lo tomamos solamente por la derecha opor la izquierda, obtenemos las derivadas laterales.Definici´n 3.3. Se llaman derivada por la derecha y derivada por la izquier- oda, respectivamente, a los siguientes l´mites, si existen y son finitos: ı f (x) − f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 ) f (x0 +) = l´ ım = l´ ım x→x0 + x − x0 h→0+ h
    • 154 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE f (x) − f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 ) f (x0 −) = l´ ım = l´ ım x→x0 − x − x0 h→0− h Para que se pueda definir la derivada por la derecha en el punto x0 , lafunci´n tiene que estar definida, al menos, en un intervalos del tipo [x0 , b), oy para que exista la derivada por la izquierda, la funci´n tiene que estar odefinida, al menos, en un intervalo del tipo (a, x0 ]. Para que la funci´n sea derivable las dos derivadas laterales tienen que ocoincidir.Teorema 3.1 (Coincidencia de las derivadas laterales). Una funci´n oes derivable en un punto sii las derivadas laterales coinciden en dicho punto.Ejemplo 3.2. Calcular las derivadas laterales de la funci´n valor absoluto, oen el origen de coordenadas.Soluci´n. La funci´n es f (x) = |x|. Luego resulta, o o f (x) − f (0) |x| x f (x0 +) = l´ ım = l´ ım = l´ ım =1 x→0+ x−0 x→0+ x x→0+ x f (x) − f (0) |x| −x f (x0 −) = l´ım = l´ ım = l´ ım = −1 x→0− x−0 x→0− x x→0− xLuego la funci´n no es derivable en el origen. o d yT   d   d   d  x E Figura 3.9: f (x) = |x|3.1.7. Derivada y continuidadTeorema 3.2 (Derivabilidad implica continuidad). Si una funci´n es oderivable en un punto, entonces es continua en dicho punto.Demostraci´n. En efecto, tenemos que: o f (x) − f (x0 )f es derivable en x0 ⇐⇒ ∃ l´ ım y es finito. x→x0 x − x0f es continua en x0 ⇐⇒ l´ f (x) = f (x0 ) ⇐⇒ l´ f (x) − f (x0 ) = 0 ım ım x→x0 x→x0Con lo cual, resulta:f derivable en x0 =⇒ f (x) − f (x0 ) l´ f (x) − f (x0 ) = l´ ım ım (x − x0 ) = f (x0 ) · 0 = 0 x→x0 x→x0 x − x0 =⇒ f es continua en x0
    • 3.1. DERIVADA Y CONTINUIDAD. TANGENTE Y NORMAL 155 Sin embargo, existen funciones que son continuas pero que no son deri-vables.Ejemplo 3.3. Comprobar que la funci´n f (x) = |x2 − 4| es continua en el opunto x = 2, pero no es derivable en dicho punto. Comprobar el resultadogr´ficamente. ¿En qu´ otro punto tampoco ser´ derivable?. a e aSoluci´n. o a) f es continua en x = 2 l´ f (x) = l´ |x2 − 4| = |0| = 0 = f (0) ım ım y x→2 x→2 T b) f no es derivable en x = 2 f (x) − f (2) |x2 − 4| f (2) = l´ ım = l´ ım = x→2 x−2 x→2 x − 2 Ex −2 2 |x2 − 4| (x + 2)(x − 2) l´ ım = l´ım =4 x→2+ x − 2 x→2+ x−2Figura 3.10: f (x) = |x − 4| 2 = |x2 − 4| −(x + 2)(x − 2) l´ ım = l´ ım = −4 x→2− x − 2 x→2− x−2 Luego la funci´n no es derivable en x = 2. o √Ejemplo 3.4. Comprobar que la funci´n f (x) = 3 x es continua en el opunto x = 0, pero no es derivable en ese punto. Comprueba el resultadogr´ficamente. aSoluci´n. o a) f es continua en x = 0 √ l´ f (x) = l´ 3 x = 0 = f (0) ım ım x→0 x→0 b) f no es derivable en x = 0 √ Ö f (x) − f (0) 3 x−0 3 x 3 1 f (0) = l´ ım = l´ ım = l´ ım = l´ ım = +∞ x→0 x−0 x→0 x x→0 x2 x→0 x2 Luego la funci´n no es derivable en x = 0. o y T Ex √ 3 Figura 3.11: Gr´fica de la funci´n f (x) = a o x. No es derivable en el origen
    • 156 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE3.1.8. Significado gr´fico de la derivada: Suavidad. a Una funci´n es continua en un punto , si su gr´fica atraviesa dicho punto. o a Una funci´n es derivable en un punto si su gr´fica lo atraviesa con suavi- o adad. q€ € Continuas a Una funci´n no es derivable: o En los puntos angulosos. Derivables En los puntos de tangente vertical. En los puntos de discontinuidad. Discontinuas Figura 3.12: FuncionesEjemplo 3.5. Est´diese cu´l de las tres funciones siguientes atraviesa el u aorigen con m´s suavidad. a 1 1 1 sen si x = 0 x sen si x = 0 x2 sen si x = 0f (x) = x g(x) = x h(x) = x 0 si x = 0 0 si x = 0 0 si x = 0Soluci´n. La funci´n f no es continua en 0, por lo tanto no lo atraviesa. o oLa funci´n g es continua en 0, pero no es derivable 0, luego lo atraviesa, opero sin suavidad.La funci´n h es continua y derivable en el origen, luego lo atraviesa con osuavidad. Figura 3.13: La derivabilidad de la funci´n muestra la suavidad de la curva o3.1.9. La ecuaci´n de la recta tangente oLa pendiente de la recta tangente coincide con la derivada de la funci´n, con olo cual:
    • 3.1. DERIVADA Y CONTINUIDAD. TANGENTE Y NORMAL 157y T f (x) Tenemos que: ¨ ¨¨ tan α = f (x0 ) ¨ y P ¨¨ α ¨ y − f (x0 ) = f (x0 ) ¨ x−x y − f (x0 ) x − x0 ¨¨ 0 tan α = f (x0 ) x − x0 x E de donde resulta la siguiente ecuaci´n: o x0 x y − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 )Figura 3.14: Recta tangente.Luego, la ecuaci´n de la recta tangente es: o y = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) (3.1) √Ejemplo 3.6. Hallar la ecuaci´n de la recta tangente a la curva y = o xen el punto x = 1. Comprobar el resultado gr´ficamente. aSoluci´n. o √ Tenemos que: f (x) = x ⇒ f (1) = 1, y y T ¨ ¨¨ 1 f (x) = √ ⇒ f (1) = 1 ¨¨ 2 x 2 ¨ x E¨¨ de donde, la ecuaci´n de la recta tangente es o √ 1 x+1Figura 3.15: y = x y − 1 = (x − 1) o bien, y = 2 2Ejemplo 3.7. Demostrar que la recta y = −x es tangente a la curva dadapor la ecuaci´n: o y = x3 − 6x2 + 8xHallar el punto de tangencia.Soluci´n. La pendiente de la recta tangente ha de ser y = −1. Como oy = 3x2 − 12x + 8, resulta, 3x2 − 12x + 8 = −1, de donde, 3x2 − 12x + 9 = 0,con lo que, simplificando, resulta: √ 4 ± 16 − 12 4±2 3 ⇒ y = −3 ⇒ P (3, 3)x − 4x + 3 = 0 ⇒ x = 2 = = 2 2 1 ⇒ y = 3 ⇒ Q(1, 3)Comprobamos las posibles soluciones: P (3, 3) ⇒ y + 3 = −(x − 3) ⇒ y + 3 = −x + 3 ⇒ y = −x Q(1, 3) ⇒ y − 3 = −(x − 1) ⇒ y − 3 = −x + 1 ⇒ y = −x + 4 NoLas dos soluciones de la ecuaci´n obedecen a que la curva tiene dos rectas otangentes con la misma pendiente y = −1, una en el punto P (3, 3) y otraen el punto Q(1, 3).
    • 158 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE3.1.10. La ecuaci´n de la recta normal oEjemplo 3.8. Hallar, gr´ficamente, un vector perpendicular al vector v = a(2, 3) e indicar la relaci´n que existe entre sus componentes y sus pendientes. oSoluci´n. o Tenemos que: y T 0  v v = (2, 3) Las componentes se cambian dek vp  vp = (−3, 2) orden y una de ellas de signo.    x  E y para las pendientes: m = 3/2 −1 La inversa m = Figura 3.16: m = −2/3 m cambiada de signo.Proposici´n 3.1. Dos rectas perpendiculares tienen pendientes inversas y ocambiadas de signo.Definici´n 3.4 (Recta normal). Se llama recta normal a una curva, en oun punto de la misma, a la perpendicular a la recta tangente en dicho punto. La pendiente de la recta tangente coincide con la derivada de la funci´n, oy la de la recta normal con su inversa cambiada de signo, con lo cual resultalo siguiente:y T Ecuaci´n de la recta tangente: o f (x) ¨¨ e ¨¨ y y − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 ) e ¨ P e¨¨ α ¨ ¨¨ e x − x0 Ecuaci´n de la recta normal: o f (x0 ) ee x E x0 x −1 y − f (x0 ) = (x − x0 ) f (x0 ) Figura 3.17: Recta normal.3.1.11. Curvas de tangente horizontal y curvas de tangente vertical Cuando la derivada se hace cero en un punto, entonces la tangente esuna recta horizontal y = y0 , y la recta normal es la recta vertical que pasapor el punto x = x0 . Cuando la derivada se hace infinita en un punto, entonces la tangente esla recta vertical que pasa por el punto x = x0 , y la recta normal es la rectahorizontal que pasa por el punto y = y0 .
    • ´ ´3.2. FUNCION DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. 159 √ 3Ejemplo 3.9. Hallar las rectas tangente y normal a la curva y = x en elorigen de coordenadas 1 1Soluci´n. Tenemos y = x1/3 , y su derivada y = x−2/3 = √ , de donde, o 3 3 3 x2 y T f (0) = +∞, con lo cual: Ex Ecuaci´n de la recta tangente: x = 0 o Ecuaci´n de la recta normal: y = 0 o √ 3Figura 3.18: f (x) = x.3.2. Funci´n derivada. reglas de derivaci´n. o o3.2.1. Funci´n derivada oDada una funci´n y = f (x), si hallamos su derivada en cada uno de los opuntos en los que sea derivable se obtiene una nueva funci´n llamada funci´n o oderivada de la anterior. x f (x) x f (x) x0 f (x0 ) x0 f (x0 ) x1 f (x1 ) x1 f (x1 ) . . . . . . . . . . . . y = f (x) y = f (x)Para hallar la f´rmula de la funci´n derivada basta con aplicar la definici´n o o ode derivada en un punto gen´rico: e f (x + h) − f (x) f f dy f (x) = l´ ım f (x) = l´ ım y = l´ ım = h→0 h x→0 x x→0 x dxEjemplo 3.10. Hallar, aplicando la definici´n, la derivada de la funci´n: o of (x) = x2Soluci´n. Podemos aplicar la definici´n de derivada en cualquiera de sus dos o oformas: f (x) − f (c) x2 − c2 (x + c)(x − c)f (c) = l´ ım = l´ ım = l´ ım = 2c ⇒ x→c x−c x→c x − c x→c x−c ⇒ f (c) = 2c ⇒ f (x) = 2x f (x + h) − f (x) (x + h)2 − x2f (x) = l´ ım = l´ ım = h→0 h h→0 h x2 + 2hx + h2 − x2 = l´ ım = l´ (2x + h) = 2x ım h→0 h h→0
    • 160 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLEEjemplo 3.11. Hallar, aplicando la definici´n, la derivada de la funci´n: o o √ f (x) = xSoluci´n. Podemos aplicar la definici´n de derivada en cualquiera de sus dos o oformas: √ √ √ √ √ √ f (x) − f (c) x− c ( x − c)( x + c)f (c) = l´ ım = l´ ım = l´ım √ √ = x→c x−c x→c x−c x→c (x − c)( x + c) x−c 1 1 1 = l´ ım √ √ = l´ √ ım √ = √ ⇒ f (c) = √ x→c (x − c)( x + c) x→c x + c 2 c 2 x √ √ f (x + h) − f (x) x+h− xf (x) = l´ ım = l´ ım = h→0 h h→0 h √ √ √ √ ( x + h − x)( x + h + x) x+h−x = l´ ım √ √ = l´ım √ √ = h→0 h( x + h + x) h→0 h( x + h + x) 1 1 = l´ √ ım √ = √ h→0 x+h+ x 2 x3.2.2. Reglas de derivaci´n. oDerivada y operaciones: funci´n o derivada rf rf f +g f +g f ·g f g + fg 1 −g g g2 f f g − fg g g2Derivada de la funci´n compuesta. Regla de la cadena: o ä ç ä ç h(x) = g f (x) =⇒ h (x) = g f (x) · f (x)que se puede expresar de la forma: dh dg df dz dz dy = =⇒ = dx df dx dx dy dxDerivada de la funci´n rec´ o ıproca o inversa: dx 1 1 y = f (x) =⇒ = =⇒ xy = dy dy/dx yx
    • ´ ´3.2. FUNCION DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. 161Derivada de las funciones elementales: funci´n o derivada funci´n o derivada k 0 k 0 x 1 u u xr rxr−1 ur rur−1 u √ 1 √ u x √ u √ 2 x 2 u √ 1 √ u n x √ n n u √ n n xn−1 n un−1 1 u ln x ln u x u 1 1 u u lgb x = lgb e lgb u = lg e x ln b x u ln b u u b ex ex eu e u ax ax ln a au au u ln a xx xx (ln x + 1) f fg f g g ln f + g f sen x cos x sen u u cos u cos x − sen x cos u −u sen u 1 u tg x = sec2 x tg u = u sec2 u cos2 x cos2 u 1 1 sec x = sec x tg x sec u = u sec u tg u cos x cos u 1 csc x = 1 − csc x cot x csc u = −u csc u cot u sen x sen u −1 −u cot x = − csc2 x cot u = −u csc2 u sen2 x sen2 u u 1 arc sen u √ arc sen x √ 1 − u2 1 − x2 −u −1 arc cos u √ arc cos x √ 1 − u2 1 − x2 u 1 arc tg u arc tg x 1 + u2 1 + x2 u 1 arc sec u √ arc sec x √ |u| u2 − 1 |x| x2 − 1 −u −1 arc csc u √ arc csc x √ |u| u2 − 1 |x| x2 − 1 −u −1 arc cotg u 1 + u2 arc cotg x 1 + x2 senh u u cosh u senh x cosh x cosh u u senh u cosh x senh x u 1 tgh u tgh x cosh2 u cosh2 x
    • 162 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLEEjemplo 3.12. Derivar las siguientes funciones: √ √ x(a) y = x 2 (b) y = 2 (c) y = e3x (d) y = 23x+1 (e) y = x2 3−xSoluci´n. o √ √(a) y = 2 x 2−1 √ x √(b) y = 2 ln 2 (c) y = 3e3x(d) y = 3 · 23x+1 ln 2 (e) y = 2x3−x − x2 3−x ln 3 = (2x − x2 ln 3)3−xEjemplo 3.13. Derivar las siguientes funciones: (a) y = (4x + 7x2 )10 (b) y = sen3 2x cos 3x (c) y = sen2 (x + sen x)2Soluci´n. o(a) y = 10(4x3 + 7x2 )9 (12x2 + 14x)(b) y = 3 sen2 2x · 2 cos 2x cos 3x − 3 sen3 2x sen 3x (c) y = 2 sen(x + sen x)2 cos(x + sen x)2 · 2(x + sen x)(1 + cos x) sen2 3xEjemplo 3.14. Derivar f (x) = ln x3Soluci´n. Aplicamos las propiedades de los logaritmos, antes de derivar, con olo cual, f (x) = 2 ln(sen3x) − 3 ln xde donde, 3 cos 3x 3 3 f (x) = 2 − = 6 cot 3x − sen 3x x x3.2.3. Derivadas de funciones con un punto aparteSupongamos una funci´n definida con un punto aparte o g(x) si x = a f (x) = k si x = ase nos presenta la duda de cu´l ser´ el valor de f (a), es decir, a a g (x) si x = a f (x) = ? si x = a
    • ´ ´3.2. FUNCION DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. 163Si la funci´n tiene, en la f´rmula, un punto aparte, la derivada en ese punto o ono tiene porqu´ ser cero, ya que la derivada depende de los valores que etome la funci´n en los alrededores del punto. Adem´s, a cualquier funci´n o a ole podemos separar un punto de su f´rmula, sin que por ello se haga su oderivada cero en dicho punto. Por ejemplo, x2 si x = 3 2x si x = 3 f (x) = x2 = ⇒ f (x) = 2x = 9 si x = 3 6 si x = 3o bien, x si x = 2 1 si x=2 f (x) = x = ⇒ f (x) = 1 = 2 si x = 2 1 si x=2Si la funci´n tiene un punto aparte, para derivarla, podemos seguir dos ocaminos: 1. Aplicar la definici´n de derivada. o 2. Comprobar si es continua, si no es continua no es derivable, y si es continua podemos calcular la derivada en ese punto mediante el l´ımite, en ese punto, de la derivada en los dem´s, en el cado de que exista. Si a el l´ ımite no existe habr´ que aplicar la definici´n. a o f (x) = l´ g (x) ım x→aEs decir, ´ g(x) si x = a g (x) si x = a f (x) = ⇒ f (x) = k si x = a l´ g (x) ım si x = a x→aBien entendido que si dicho l´ ımite no existe entonces hay que aplicar ladefinici´n. oEjemplo 3.15. Hallar la derivada de la funci´n: o sen x si x=0 f (x) = x 1 si x=0Soluci´n. La derivada para x = 0 no tiene ning´n problema, o u sen x x cos x − sen x g(x) = ⇒ g (x) = x x2Para hallar la derivada en el origen procedemos de la siguiente forma:(a) Estudiamos la continuidad en el origen: sen x l´ f (x) = l´ ım ım = 1 = f (0) ⇒ f es continua en x=0 x→0 x→0 x
    • 164 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE(b) Calculamos la derivada en x = 0, aplicando la definici´n: o f (x) − f (0) sen x −1 sen x − x ä 0 çf (0) = l´ ım ım x = l´ = l´ ım = = x→0 x−0 x→0 x x→0 x2 0aplicando L’Hˆpital, dos veces, resulta, o cos x − 1 ä 0 ç − sen x = l´ ım = = l´ ım =0 x→0 2x 0 x→0 2con lo cual la funci´n derivada es: o x cos x − sen x si x=0 f (x) = x2 0 si x=0 En este caso, la derivada en el punto x = 0 tambi´n se pod´ haber e ıacalculado a partir de la derivada en los puntos x = 0, en efecto, x cos x − sen x ä 0 ç cos x − x sen x − cos x ä 0 ç f (0) = l´ ım 2 = = l´ ım = = x→0 x 0 x→0 2x 0 −x sen x − sen x = l´ ım = l´ım =0 x→0 2x x→0 2 El hecho de que f (0) = 0, significa que la gr´fica tiene tangente horizon- atal en el punto x = 0, si hubi´ramos inclinado la curva habr´ e ıamos obtenidootro resultado. sen x Figura 3.19: gr´fica de f (x) = a x3.2.4. Derivada de funciones definidas a trozosPara derivar una funci´n definida a trozos o f (x) si x ≤ c h(x) = g(x) si x > c 1. Se deriva la funci´n en cada uno de los intervalos abiertos en los que o est´ definida. e 2. Se estudia la derivabilidad de la funci´n en los puntos de separaci´n y o o en los extremos de los intervalos cerrados, si los hubiera.
    • ´ ´3.2. FUNCION DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. 165Para hallar la derivabilidad en los puntos de separaci´n se estudia primero osi es continua, si no es continua no es derivable, y si es continua se calculala derivada, bien aplicando la definici´n de derivada, o lo que es m´s f´cil, o a apor sustituci´n directa por la derecha y por la izquierda (si obtenemos dos ovalores iguales, esa es la derivada, y si obtenemos valores diferentes, entoncesla funci´n no es diferenciable). o ä ç f (x) si x < c o bien x ≤ c h (x) = g (x) si x > cObservaci´n 1: Si la funci´n es derivable ponemos x ≤ c y si no es derivable o ox < c.Observaci´n 2: No debe olvidarse comprobar previamente la continuidad, oya que el hecho de que los valores laterales de la derivada sean iguales, pors´ solo, no significa que la funci´n sea derivable, sino que la funci´n entra y ı o osale con la misma pendiente en x = c, pero pudiera ser en puntos diferentes.Ejemplo 3.16. Derivar la siguiente funci´n: o 2x + 3 si x≤2 f (x) = x2 − 2x si x>2Soluci´n. Primero hallamos la derivada en los intervalos abiertos o 2 si x<2 f (x) = 2x − 2 si x>2para ver si es derivable en x = 2, estudiamos previamente la continuidad: f (2− ) = 7 no es continua ⇒ no es derivable f (2+ ) = 0Al no ser derivable en x = 2 no podemos poner x ≤ 2, sino x < 2.En este caso, el hecho de que f (2− ) = f (2+ ) no tiene ning´n valor. uEjemplo 3.17. Derivar f (x) = x|x − 2|Soluci´n. Eliminamos el valor absoluto de la f´rmula expres´ndola a trozos. o o a x2 − 2x si x≥2 f (x) = x|x − 2| = −x2 + 2x si x<2Con lo cual la funci´n derivada es: o 2x − 2 si x>2 f (x) = −2x + 2 si x<2Comprobamos la derivabilidad en el punto x = 2 f (2+ ) = 0 f (2+ ) = 2 es continua no es derivable f (2− ) = 0 f (2− ) = −2
    • 166 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLEEjemplo 3.18. Determinar los coeficientes a y b para que la funci´n o x2 + 1 si x ≥ 1 f (x) = ax + b si x < 1sea derivable en el punto x = 1. Comprobar el resultado gr´ficamente. a 2x si x ≥ 1Soluci´n. La funci´n derivada ha de ser f (x) = o o a si x < 1para lo cual ha de cumplir: f (1− ) = f (1+ ) ⇒ a + b = 2 a=2 f (1− ) = f (1+ ) ⇒ a = 2 b=0 y Luego: T r x2 + 1 si x ≥ 1 2x si x ≥ 1 ¡ f (x) = f (x) = ¡ 2x si x < 1 2 si x < 1 ¡ Ex ¡ La continuidad significa que los dos tramos de la cur- ¡ va est´n empalmados. La derivabilidad significa que el a ¡ empalme se ha hecho con suavidad, es decir, con unaFigura 3.20: f tangente com´n. u3.2.5. Derivaci´n de funciones impl´ o ıcitasUna funci´n es una relaci´n entre dos magnitudes. Cuando en la f´rmula o o oque las relaciona, una de las magnitudes viene despejada en funci´n de la ootra, entonces se dice que la funci´n viene definida de manera expl´ o ıcita y = f (x)Cuando ninguna de las dos magnitudes est´ despejada en funci´n de la otra, a osino que las magnitudes est´n relacionadas mediante una ecuaci´n, se dice a oque la funci´n est´ definida de manera impl´ o a ıcita. F (x, y) = 0Las funciones definidas de manera impl´ ıcita se pueden derivar directamente,sin necesidad de despejar una de las variables. Para ello basta con tener encuenta que la variable y es funci´n de la x y que, por tanto, cada vez que ola derivemos hay que multiplicarla por su derivada (se trata de derivar unafunci´n compuesta). o Pueden derivarse ecuaciones que no son funciones, pero que podr´ de- ıanscomponerse en varias funciones, sin necesidad de descomponerlas, la deriva-da obtenida vale para todas las funciones.
    • ´ ´3.2. FUNCION DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. 167Ejemplo 3.19. Derivar la ecuaci´n: o x2 + y 2 = 4Soluci´n. Una manera de hacerlo ser´ descomponiendola en dos funciones: o ıa √ −x −x y1 = + 4 − x2 → y1 = √ = x2 + y 2 = 4 → 4−x2 y1 √ −x −x y2 = − 4 − x2 → y = −√ = 2 4−x 2 y2Sin embargo, no es necesario despejar la funci´n, sino que podemos derivar odirectamente en la ecuaci´n, o −x x2 + y 2 = 4 → 2x + 2yy = 0 → y = yObservaci´n: Hay que evitar derivar funciones que no existen. Por ejemplo ola ecuaci´n x2 + y 2 = −2 no representa ning´n punto del plano y por tanto o uno tiene ning´n significado anal´ u ıtico. No obstante, al ser una expresi´n alge- obraica podr´ıamos aplicarle las reglas de derivaci´n y derivarla 2x + 2yy = 0, oy podr´ıamos pensar que y = −x/y, sin embargo, estas operaciones no tienenning´n sentido. uEjemplo 3.20. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunfer-encia: (x − 2)2 + (y − 2)2 = 2en los puntos en que x = 3. Comprobar el resultado gr´ficamente. aSoluci´n. Derivamos de manera impl´ o ıcita, x−2 2(x − 2) + 2(y − 2)y = 0 → y =− y−2hallamos los puntos correspondientes a x = 3 3x = 3 → 1+(y−2)2 = 2 → (y−2)2 = 1 → y−2 = ±1 → y = 2±1 = 1Con lo cual, para x = 3 tenemos dos puntos de la circunferencia P (3, 1) yQ(3, 3).Hallamos la tangente en cada uno de ellos. −1 P (3, 1) → y − 1 = (x − 3) → y − 1 = x − 3 → y = x − 2 −1 −1 Q(3, 3) → y − 3 = (x − 3) → y − 3 = −x + 3 → y = −x + 6 1
    • 168 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE y T d d $ dq d   d   &%   d q   x E     Figura 3.21: Tangentes a (x − 2)2 + (y − 2)2 = 23.2.6. Derivaci´n logar´ o ıtmicaDada una funci´n y = f (x), la derivaci´n logar´ o o ıtmica consiste en tomar lnen los dos miembros de la igualdad y derivar, despu´s de simplificar. eLa derivaci´n logar´ o ıtmica se aplica: 1. Para derivar funciones exponenciales 2. Para simplificar la derivaci´n de productos y cocientes. oObservaci´n: La derivaci´n logar´ o o ıtmica se puede aplicar incluso si la fun-ci´n toma valores negativos. oEjemplo 3.21. Derivar y = xtg xSoluci´n. Tomando ln y derivando en ambos miembros resulta: o y 1 1 ln y = ln xtg x → ln y = tg x ln x → = 2x ln x + tg x → y cos x ln x tg x ln x tg x y =y 2x + = xtg x 2x + cos x cos xObservaci´n: La derivaci´n logar´ o o ıtmica tambi´n se puede hacer aplicando ela identidad logar´ ıtmica y = eln y .As´ en el ejemplo anterior tendr´ ı, ıamos: tg x y = xtg x = eln x = etg x ln x → ln x tg x ln x tg x y = etg x ln x 2x + = xtg x 2x + cos x cos x x3 sen2 xEjemplo 3.22. Derivar y = (x + 1)(x − 2)2Soluci´n. Tomando ln en los dos miembros de la igualdad o x3 sen2 x ln y = ln (x + 1)(x − 2)2
    • ´ ´3.2. FUNCION DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. 169Aplicando las propiedades de los logaritmos resulta, ln y = 3 ln x + 2 ln(sen x) − ln(x + 1) − 2 ln(x − 2)Derivando y 3 2 cos x 1 2 = + − − y x sen x x+1 x−2de donde, despejando y resulta: x3 sen2 x 3 2 cos x 1 2 y = + − − (x + 1)(x − 2)2 x sen x x+1 x−23.2.7. Derivadas de orden superiorA la derivada de una funci´n se le llama derivada primera; a la derivada de ola derivada primera, derivada segunda; y as´ sucesivamente. ı d d dy d2 y y = (y ) = (y ) = = 2 dx dx dx dxEjemplo 3.23. Hallar la derivada tercera de la funci´n: o f (x) = x cos xSoluci´n. o f (x) = cos x − x sen x f (x) = − sen x − sen x − x cos x = −x cos x − 2 sen x f (x) = − cos x + x sen x − 2 cos x = x sen x − 3 cos xEjemplo 3.24. Hallar, por inducci´n, una f´rmula para la derivada n-sima o ode la funci´n: o f (x) = ln xSoluci´n. o 1 f (x) = = x−1 x f (x) = −x−2 f (x) = +2x−3 f iv (x) = −3 · 2x−4Luego, podemos suponer que, f (n) (x) = (−1)n−1 (n − 1)! x−nPara que quede demostrado tenemos que probar que f (n+1) (x) sigue la mis-ma regla. En efecto, f (n+1) (x) = f (n) (x) = (−1)n−1 (n − 1)!(−n)x−n−1 = (−1)n n! x−(n+1)con lo que queda demostrada la proposici´n. o
    • 170 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE3.2.8. Aproximaci´n lineal y notaci´n diferencial o oAproximaci´n lineal: Consiste en aproximar una funci´n, en los alrede- o odores de un punto, mediante la recta tangente a la funci´n en ese punto. Es odecir, para calcular los valores de la funci´n en los puntos pr´ximos a uno o oconocido, en vez de sustituir las coordenadas de dichos puntos en la f´rmula ode la funci´n las sustituimos en la ecuaci´n de la recta tangente, y tomamos o oel valor obtenido como una aproximaci´n del buscado. oEquivale a aproximar el incremento por el diferencial. f ≈ dfTeniendo en cuenta que: f (x0 ) = f (x0 + x) − f (x0 ) df tg α = f (x0 ) = → df = f (x0 ) x xResulta: f (x0 + x) ≈ f (x0 ) + f (x0 ) xO bien: f (x) ≈ f (x0 ) + f (x0 ) x y T y = f (x) Q f (x) ¨ ¨¨ f (x) − f (x0 ) P¨ α ¨¨ f (x0 ) ¨ x−x ¨¨ 0 x E x0 x Figura 3.22: f ≈ dfTeorema 3.3 (Teorema de aproximaci´n lineal). Si la funci´n es deri- o ovable en el punto x, entonces la diferencial es una buena aproximaci´n del oincremento.Es decir, la curva y la recta tangente est´n muy pegadas en los alrededores adel punto, y por lo tanto, el error en la funci´n es mucho menor que el error oen la x.
    • ´ ´3.2. FUNCION DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. 171En efecto: f − df f − f (x) x f l´ ım = l´ ım = l´ ım − f (x) = f (x) − f (x) = 0 x→0 x x→0 x x→0 x Notaci´n diferencial. Cuando hablemos del diferencial de una funci´n, o oen vez de x usaremos dx, con lo cual resulta x = dx dy ⇒ f (x) = dy = f (x) x = f (x)dx dxEjemplo 3.25. Calcular el valor aproximado de arc tg 1 1Soluci´n. Consideramos la funci´n o o 1 f (x) = arc tg x, cuya derivada es f (x) = 1 + x2Y teniendo en cuenta que: f ≈ df ⇒ f (x) − f (x0 ) ≈ f (x0 ) x ⇒ f (x) ≈ f (x0 ) + f (x0 ) xTomando x = 1 1, x0 = 1 y x = 0 1, resulta: 1 arc tg x ≈ arc tg x0 + x 1 + x2 0de donde, 1 π 1 arc tg 1 1 ≈ arc tg 1 +(0 1) = + 0 1 = 0 78 + 0 05 = 0 83 1 + 12 4 2 √Ejemplo 3.26. Dada la funci´n y = 3 x o 1. Hallar la ecuaci´n de la recta tangente en el punto x = 1 o √ 3 2. Utilizar la recta tangente para calcular el valor aproximado de 1 03Soluci´n. La ecuaci´n de la recta tangente en el punto x = 1 viene dada o opor. y − f (1) = f (1) x − 1Teniendo en cuenta que √ 3 f (1) = 1=1 √ 1 1 −2 1 f (x) = x = x 3 ⇒ f (x) = x 3 = √ 3 3 3 3 x2Resulta la ecuaci´n de la recta tangente, o 1 y = 1 + (x − 1) 3Con lo cual el valor aproximado pedido es: √ 1 0 03 1 03 ≈ 1 + (1 03 − 1) = 1 + 3 = 1 + 0 01 = 1 01 3 3
    • 172 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE3.3. L´ ımite de funciones3.3.1. Infinit´simos equivalentes eDefinici´n 3.5 (Infinit´simos). Una funci´n, f , se dice que es un infinit´simo en un o e o epunto x0 , si su l´ ımite en dicho punto es cero. f infinit´simo en x0 ⇔ l´ f (x) = 0 e ım x→x0Definici´n 3.6 (Infinit´simos equivalentes). Dos infinit´simos, en un mismo punto, o e ese dice que son equivalentes, cuando el l´ ımite de su cociente es la unidad. l´ ım f (x) = ¢ £ 0 = 1 ⇔ f (x) ∼ g(x) x→x0 g(x) 0Teorema 3.4 (Sustituci´n de infinit´simos). Cuando, en un l´ o e ımite, un infinit´simo eest´ multiplicando o dividiendo se le puede sustituir por otro equivalente. e f (x)Demostraci´n. Supongamos que, en x0 , es f (x) ∼ g(x), ser´ l´ o a ım = 1. Y supongamos g(x) x→x0que nos encontramos con un l´ ımite en el que aparece f (x) multiplicando o dividiendo: f (x) l´ f (x)h(x) = l´ ım ım g(x)h(x) = l´ 1 · g(x)h(x) = l´ g(x)h(x) ım ım x→x0 x→x0 g(x) x→x0 x→x0Es decir, hemos sustituido f (x) por g(x) y el nuevo l´ ımite puede resultar m´s f´cil que el a aanterior.Proposici´n 3.2. Si un infinit´simo est´ sumando o restando, en general, no se le puede o e asustituir por otro equivalente. l´ ım  f (x) ± h(x)¡ = l´ ım  g(x) ± h(x)¡ x→x0 x→x0 Existen casos muy concretos en los que se pueden aplicar infinit´simos al caso de esumas, como es el siguienteProposici´n 3.3. La suma de varios infinit´simos de distinto orden se puede reducir al o ede menor orden. l´ (x2 + x3 + x6 ) = l´ x2 ım ım x→0 x→03.3.2. Infinit´simos m´s frecuentes en z → 0 e aTrigonom´tricos e sen z ∼ z arc sen z ∼ z tg z ∼ z arc tg z ∼ z z2 1 − cos z ∼ 2Exponenciales, logar´ ıtmicos, potencias y ra´ ıces z ∼ ln(1 + z) ez − 1 ∼ z ln(1 + z) ∼ az − 1 ∼ z · ln a (1 + z)r − 1 ∼ r z √ z n 1+z−1∼ n
    • 3.3. L´ IMITE DE FUNCIONES 173Ejemplo 3.27. Calcular los siguientes l´ ımites: 2 sen2 x ex − 1 ln x 1. l´ ım 2. l´ ım 3. l´ ım x→0 x2 (1 + cos x) x→0 sen 2x x→1 1−x 4. l´ x 1 − ım 1 x1   ¡ 5. l´ m √ n ım √ x−1 6. l´ ım sen2 x + x3 x→∞ 5 x→1 x−1 x→0 1 − cos xSoluci´n. o 1. l´ ım 2 sen2 x = 0 ¢ £ = l´ ım 2 2x2 = l´ ım 2 2 = =1 x→0 x2 (1 + cos x) 0 x→0 x (1 + cos x) x→0 1 + cos x 2 2. l´ ım ex − 1 = ¢ £ 0 = l´ ım x = 1 x→0 sen 2x 0 x→0 2x 2 3. l´ ım ln x = 0¢ £= l´ ım ln(1 + x − 1) = l´ ım x−1 = l´ − ım 1−x = −1 x→1 1−x 0 x→1 1−x x→1 1 − x x→1 1−x 4. l´ x 1 − ım   ¡ 1 x1 ¢ = ∞ · 0 = l´ −x ım £ 1 x1 −1 =   ¡ x→∞ 5 x→∞ 5 = l´ −x ım 1 1 ln   1 ¡ = − ln = −(ln 1 − ln 5) = −(0 − ln 5) = ln 5 ¢ £ x→∞ x 5 5 √ ım √ 5. l´ m √n x−1 = 0 ¢ £ = l´ ım ln 1 + ( x − 1) n √ ¢ = l´ım √ £ ln n x √ = x→1 x−1 0 x→1 ln 1 + ( m x − 1) x→1 ln m x 1 n ln x m = l´ ım 1 = x→1 m ln x n 6. l´ ım sen2 x + x3 = 0¢ £ = l´ ım sen2 x = l´ ım 2 x2 =2 x→0 1 − cos x 0 x→0 1 − cos x x→0 x /23.3.3. Formas indeterminadas. Reglas de L’Hˆpital. oFormas indeterminadasLas reglas de L’Hˆpital pretenden resolver los siete casos de indeterminaci´n o odel l´ ımite: 0 ∞ , , 0 · ∞, 1∞ , 00 , ∞0 0 ∞ Hay que hacer notar que las Reglas de L’Hˆpital s´lo se pueden aplicar o o 0 ∞directamente a los dos casos 0 y ∞ . Para resolver los cinco casos restanteshabr´ que transformarlos en uno de los dos tipos anteriores. aNo son indeterminaciones las siguientes expresiones:
    • 174 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Ac =0 0 · Ac = 0 ∞ 1 0+∞ = 0 0−∞ = =∞ 0+∞ 2 +∞ 3 +∞ =0 =∞ 3 2 (0 d)+∞ = 0 (1 d)+∞ = ∞ 2 −∞ 3 +∞ 3 −∞ 2 +∞ = =∞ = =0 3 2 2 3 (0 d)−∞ = +∞ (1 d)−∞ = 0 3+∞ = ∞ 3−∞ = 0 10 = 1 70 = 1Los siguientes l´ ımites no est´n definidos (por oscilaci´n): a o l´ sen x ım l´ cos x ım l´ tg x ım x→+∞ x→+∞ x→+∞ 1 1 1 l´ sen ım l´ cos ım l´ tg ım x→0 + x x→0 + x x→0 + x sen x l´ ım x→+∞ 43Reglas de L’Hˆpital o Las reglas de L’Hˆpital se pueden resumir en el siguiente esquema: o f (x) ä 0 ∞ ç f (x) l´ ım = o ´ = l´ ım g(x) 0 ∞ g (x)Observaciones: 1. La Regla s´lo es aplicable mientras se mantiene la indeterminaci´n 0 , o o 0 o ∞ , por lo que antes de derivar siempre hay que comprobar. ∞ 2. Si la indeterminaci´n se mantiene indefinidamente, entonces la regla o no es aplicable. 3. En cualquier momento se pueden hacer transformaciones algebraicas o aplicar infinit´simos con objeto de simplificar las derivadas. eFormalmente una Regla de L’Hˆpital puede enunciarse de la siguiente ma- onera.Teorema 3.5 (Regla de L’Hˆpital). Si f y g son funciones continuas oen el intervalo [a, b) y derivables en el intervalo (a, b), con l´ ımite cero porla derecha del punto a, y adem´s la derivada de la funci´n g no se anula en a o
    • 3.3. L´ IMITE DE FUNCIONES 175 f (x)ning´n punto del intervalo (a, b), entonces, si existe el l´ u ım tambi´n e x→a+ g (x) f (x)existe el l´ ım y adem´s ambos coinciden a x→a+ g(x)Ejemplo 3.28. Calcula los siguientes l´mites ı ex − 1 ä 0 ç ex 1 1. l´ ım = = l´ ım = x→0 sen 2x 0 x→0 2 cos 2x 2 1 − x + ln x ä 0 ç −1 + x1 ä0ç −x + 1 2. l´ ım = = l´ ım = = l´ ım = x→1 1 + cos πx 0 x→1 −π sen πx 0 x→1 −πx sen πx ä0ç −1 −1 = = l´ ım = 2 0 x→1 −π sen πx − π 2 x cos πx π sen x ä0ç cos x 1 3. l´ ım 2 = = l´ ım = =1 x→0 x + x 0 x→0 1 + 2x 1 ex ä∞ç ex ä∞ç ex +∞ 4. l´ ım = = l´ ım = = l´ ım = = +∞ x→∞ x2+x ∞ x→∞ 2x + 1 ∞ x→∞ 2 2 x3 1 ä∞ç 1 −3 x x 2 x3 1 5. l´ ım = = l´ 3 1 = l´ ım ım 2 = l´ ım = +∞ x→∞ ln x ∞ x→∞ x x→∞ 3x 3 x→∞ 3Simplificaci´n del l´ o ımite. Siempre que sea posible, antes de abordar laRegla de L’Hˆpital, es conveniente intentar simplificar el l´ o ımite con objetode que no se complique con la derivaci´n. Para ello se sacan fuera del l´ o ımitelos factores que tengan un valor num´rico. eEjemplo 3.29. Calcular el siguiente l´mite ı (1 + cos x)(x3 − 3) sen x l´ ım x→0 (x2 − x) cos xSoluci´n. o (1 + cos x)(x3 − 3) sen x ä 0 ç (1 + cos x)(x3 − 3) sen xl´ ım = = l´ ım · l´ ım =x→0 (x2 − x) cos x 0 x→0 cos x x→0 x2 − x 2(−3) cos x 1 = l´ ım = (−6)( ) = 6 1 x→0 2x − 1 −1El primer l´ ımite lo hemos resuelto directamente por sustituci´n, y s´lo hemos o oaplicado L’Hˆpital en el segundo limite, lo que ha simplificado notablemente olos c´lculos. a
    • 176 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLEIndeterminaciones del tipo 0 · ∞Se transforman en una indeterminaci´n del tipo 0 , o ∞ , mediante opera- o 0 ∞ciones algebraicas,o bien, mediante las siguientes transformaciones f (x) g(x) f (x) · g(x) = f (x) · g(x) = 1/g(x) 1/f (x) x−1Ejemplo 3.30. Calcular: l´ x ln ım x→+∞ x+1Soluci´n. o x−1 x−1 ä ç ln x + 1 = ä0ç = l´ x ln ım = ∞ · 0 = l´ ım 1x→+∞ x+1 x→+∞ x 0 x+1x+1−x+1 2 x − 1 (x + 1)2 (x − 1)(x + 1) = l´ ım = l´ ım = x→+∞ − x2 1 x→+∞ − x2 1 −2x2 ä∞ç −4x −4 = l´ ım = = l´ ım = = −2 x→+∞ x2 − 1 ∞ x→+∞ 2x 2Indeterminaciones del tipo ∞ − ∞Se transforman en una indeterminaci´n del tipo 0 , o ∞ , mediante opera- o 0 ∞ciones algebraicas, como puede ser: buscando un com´n denominador, mul- utiplicando y dividiendo por el conjugado; o bien, mediante las siguientestransformaciones: B 1− B A−B =A 1− = 1A A A 1 1 1 − 1 A − B = AB − = B 1 A B A ABEjemplo 3.31. Calcular los siguientes l´mites: ı 1 1 1. l´ ım − 2. l´ ım x2 + 3x − x x→+0 x sen x x→+∞Soluci´n. o 1 1 ä ç sen x − x ä 0 ç 1. l´ ım − = ∞ − ∞ = l´ ım = = x→+0 x sen x x→+0 x sen x 0 sen x − x ä 0 ç cos x − 1 ä 0 ç − sen x = l´ ım = = l´ ım = = l´ım =0 x→+0 x2 0 x→+0 2x 0 x→+0 2
    • 3.3. L´ IMITE DE FUNCIONES 177 √ ä ç x2 + 3x 2. l´ ım x2 + 3x − x = ∞ − ∞ = l´ x ım −1 = x→+∞ x→+∞ x ä ç Ö ä0ç 3 1+ 3 −1 = ∞ · 0 = l´ x ım 1+ −1 = l´ ım 1 x = = x→+∞ x x→+∞ x 0 −3 x2 · 2 1 + 3 x 3x2 3 = l´ ım = l´ ım = x→+∞ − x2 1 1+ x→+∞ 2x2 3 2 x Este l´ ımite tambi´n pod´ haberse resuelto multiplicando por el con- e ıa jugado, o bien, aplicando infinit´simos. eIndeterminaciones del tipo 00 , ∞0 , 1∞ ∞Se transforman en una indeterminaci´n del tipo 0 , o o 0 ∞, tomando logaritmosneperianos.En efecto, llamando y al l´ ımite en cuesti´n: o y = l´ f (x)g(x) ımtomando ln en ambos miembros y operando, resulta, ln y = ln l´ f (x)g(x) = l´ ln f (x)g(x) = l´ g(x) ln f (x) ım ım ım ımite del tipo 0 · ∞, y una vez resuelto, resulta:Que es un l´ y = el´ g(x) ln f (x) ımEl l´ ımite tambi´n puede resolverse aplicando directamente la identidad log- ear´ ıtmica y = eln y . g(x) g(x) l´ f (x)g(x) = eln l´ f (x) ım ım = el´ ln f (x) ım = el´ g(x) ln f (x) ımEl tercer caso 1∞ admite una forma simplificada de resoluci´n que elimina el oln y puede facilitar la derivaci´n, en efecto, aplicando infinit´simos, resulta, o e l´ f (x)g(x) = el´ g(x) ln f (x) = el´ g(x) ln(1+f (x)−1) = el´ g(x)(f (x)−1) ım ım ım ımo bien, teniendo en cuenta la definici´n del n´mero e o u 1 e = l´ (1 + z) z ım z→0resulta, ä ç l´ f (x)g(x) = 1∞ = l´ ım ım(1 + f (x) − 1)g(x) = 1 g(x)[f (x)−1] ım(1 + f (x) − 1) f (x)−1 = l´ = el´ g(x)[f (x)−1] ım
    • 178 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLEEjemplo 3.32. Calcular, por los dos m´todos, el siguiente l´ e ımite: 1 l´ (cos x) x2 ım x→0Soluci´n. o 1 ä ç 1. l´ (cos x) x2 = 1∞ ım x→0 1 Llamamos y al l´ ımite: y = l´ (cos x) x2 , tomamos ln y operamos, ım x→0 con lo que resulta, 1 ln cos x ä 0 ç − sen x ln y = ln l´ (cos x) x2 = l´ ım ım = = l´ ım = x→0 x→0 x2 0 x→0 2x cos x −x −1 = l´ım = x→0 2x cos x 2 de donde, el l´ ımite pedido es: −1 1 1 y=e 2 = 1 =√ e 2 e 2. Por el otro m´todo ser´ e ıa: 1 ä ∞ ç l´ 12 (cos x − 1) l´ − sen x −1 ım ım l´ (cos x) x2 = 1 ım = ex→0 x = ex→0 2x = e 2 x→0Ejemplo 3.33. Calcular: l´ xtg x ım x→0+ ä çSoluci´n. l´ xtg x = 00 o ım x→0+ ımite: y = l´ xtg x , tomando ln y operando, resulta,Llamando y al l´ ım x→0+ ä ç ln x ä∞ç ln y = ln l´ xtg x = l´ tg x ln x = 0 · ∞ = l´ ım ım ım = = x→0+ x→0+ x→0+ cot x ∞ 1 x − sen2 x −x2 = l´ ım −1 == l´ ım = l´ ım = l´ x = 0 ım x→0+ sen2 x x→0+ x x→0+ x x→0+de donde, y = e0 = 1Ejemplo 3.34. Calcular los siguientes l´mites: ı 1 1 1 1. l´ (1 + 2x + 3x ) x ım 2. l´ (1 + 2x + 3x ) x ım 3. l´ (1 + 2x + 3x ) x ım x→0 x→+∞ x→−∞Soluci´n. o
    • 3.3. L´ IMITE DE FUNCIONES 179 1 x x 1 0 0 1 1 3 0+ = 3+∞ = +∞ 1. l´ (1 + 2 + 3 ) = (1 + 2 + 3 ) = 3 = ım x 0 0 1 1 x→0 3 0− = 3−∞ = +∞ = 0 3 luego el l´ ımite no existe. 1 ä ç 2. l´ (1 + 2x + 3x ) x = (1 + 2+∞ + 3+∞ )0 = ∞0 ım → x→+∞ 1 y = l´ (1 + 2x + 3x ) x ım x→+∞ 1 ln(1 + 2x + 3x ) ä ∞ ç ln y = l´ ln(1 + 2x + 3x ) x = l´ ım ım = = x→+∞ x→+∞ x ∞ 2x ln 2 + 3x ln 3 1 + 2x + 3x = l´ 2x ln 2 + 3x ln 3 ä ∞ ç = l´ım ım = = x→+∞ 1 x→+∞ 1 + 2x + 3x ∞ 2x 3x ln 2 + x ln 3 0 + ln 3 = l´ ım 3x 3 = l´ım = ln 3 x→+∞ 1 2 x 3 x x→+∞ 0 + 0 + 1 + + 3x 3 3 luego, ln y = ln 3 → y = 3 En este ejemplo no ha sido posible aplicar L’Hˆpital por segunda vez, o ya que con dicha regla no es posible “romper”la indeterminaci´n. o 1 3. l´ (1 + 2x + 3x ) x = (1 + 0 + 0)0 = 10 = 1 ım x→−∞Ejemplo 3.35. Calcular: πx x tg ım 2 − l´ 2a x→a aSoluci´n. o x 1− l´ ım a πx x tg ä ∞ ç x→a tg πx 1 − x 2a = 1 l´ ım x→a cot πx ım 2 − l´ =e 2a a =e 2a = x→a a −1 a l´ ım x→a π −1 2a sen2 πx 2a 2a 2 πx l´ ım sen 2a = ex→a 2 =e πa = eπEjemplo 3.36. Estudiar el dominio y continuidad de la funci´n: o 1 2 + cos x 1 si x=0 f (x) = 3 + ex 2 si x=0 3
    • 180 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLESoluci´n. o 1 1. Dominio. La funci´n est´ definida en todo R, ya que si 3 + e x = 0, o a 1 resulta e x = −3 que no es posible. 2. Continuidad. La funci´n es continua en todo R, salvo quiz´s en x = 0, o a 1 2 + cos x 2 + Ac Ac l´ f (x) = l´ ım ım = = =0 x→0+ x→0+ 3+e 1 x ∞ ∞ 1 2 + cos x 2 + Ac Sin l´ ımite l´ f (x) = l´ ım ım 1 = = = Sin l´ ımite x→0− x→0− 3 + ex 3+0 3 Luego la funci´n no es continua en x = 0. oEjemplo 3.37. Dada la funci´n: o x − sen x si x=0 x3 f (x) = 1 si x=0 6Hallar f (0) y f (0)Soluci´n. oContinuidad: La funci´n es continua en todo R, salvo quiz´s en x = 0, o a x − sen x ä 0 ç 1 − cos x ä 0 ç x2 1 l´ ım = = l´ ım = = l´ ım = x→0 x 3 0 x→0 3x2 0 x→0 2 · 3x2 6luego la funci´n es continua en todo R. oDerivada en x = 0: Aplicamos la definici´n. o x − sen x 1 f (x) − f (0) − 6 = l´ 6x − 6 sen x − x = 3 f (0) = l´ ım = l´ ım x3 ım x→0 x x→0 x x→0 6x4 ä0ç 6 − 6 cos x − 3x 2 ä0ç 6 sen x − 6x ä 0 ç = = l´ ım 3 = = l´ ım = = 0 x→0 24x 0 x→0 72x2 0 6 cos x − 6 ä 0 ç −6 sen x = l´ ım = = l´ım =0 x→0 144x 0 x→0 144Derivada segunda en x = 0: Hallamos f (x), para x = 0 (1 − cos x)x3 − (x − sen x)3x2 x − x cos x − 3x + 3 sen x f (x) = 6 = = x x4 −2x − x cos x + 3 sen x = x4Para calcular f (0), aplicamos la definici´n de derivada: o
    • 3.4. L´ IMITE DE SUCESIONES 181 −2x − x cos x + 3 sen x f (x) − f (0) −0f (0) = l´ x→0 ım = l´ x→0 ım x4 = x x −2x − x cos x + 3 sen x −2 − cos x + x sen x + 3 cos x = l´ ım 5 = l´ım = x→0 x x→0 5x4 −2 + 2 cos x + x sen x −2 sen x + sen x + x cos x = l´ ım = l´ ım = − sen x + x cos x ä 0 ç x→0 5x4 x→0 20x3 − cos x + cos x − x sen x = l´ ım 3 = = l´ ım = 20x 0 60x2 −x sen x ä 0 ç x→0 x→0 −x 2 −1 = l´ ım 2 = = l´ ım 2 = x→0 60x 0 x→0 60x 60Ejemplo 3.38. Dada la funci´n: o ´ sen x si x=0 f (x) = x 1 si x=0Hallar f (0) y f (0).Soluci´n. o sen x f (x) − f (0) x −1 sen x − x ä 0 ç f (0) = l´ ım = l´ ım = l´ ım = = x→0 x x→0 x x→0 x2 0 cos x − 1 − sen x = l´ ım = l´ ım =0 x→0 2x x→2 2luego, x cos x − sen x si x=0 f (x) = x2 0 si x=0de donde, x cos x − sen x f (x) − f (0) −0 f (0) = l´ ım = l´ ım x2 = x→0 x x→0 x x cos x − sen x ä 0 ç cos x − x sen x − cos x = l´ ım 3 = = l´ım = x→0 x 0 x→0 3x2 −x sen x −x2 −1 = l´ım 2 = l´ım 2 = x→0 3x x→0 3x 33.4. L´ ımite de sucesionesUna sucesi´n es un conjunto de infinitos n´meros ordenados seg´ n alg´n criterio. ejemplo, o u u u 1 1 1 1 1 {1, , , , , · · · , , · · · } → 0 2 3 4 5 n 1 2 3 4 5 n { , , , , ,··· , ,···} → 1 2 3 4 5 6 n+1
    • 182 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE π {1, 0, −1, 0, 1, · · · , sen n , · · · } → Sin l´ ımite 2Las sucesiones se pueden considerar como funciones, donde el primer conjunto es el de losn´meros naturales. u 1 2 3 ··· n ··· N ↓ ↓ ↓ ··· ↓ ··· ↓ { a1 a2 a3 · · · an · · · } RLa gr´fica de una sucesi´n es un conjunto de infinitos puntos separados (aislados) unos de a ootros. 1 n an an = n an an = n+1 an an = sen n π T r T T r r 2 1 r r r r n 1 r r r r r n 1 n 0 E 0 E 0 r r E 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 r -1 -1 -1 Figura 3.23:L´ ımite de sucesiones consider´ndolas como funciones aSi unimos los puntos que representan una sucesi´n obtenemos la gr´fica de o auna funci´n. Sin embargo, podemos obtener infinitas funciones que contienen olos puntos de una misma sucesi´n. Lo normal es coger la funci´n que tiene o ola misma f´rmula que la sucesi´n, es decir considerar que la variable n es o ocontinua y no discreta. Si la funci´n que representa a la sucesi´n tiene l´ o o ımite, ese es el l´ ımite dela sucesi´n, pero si la funci´n no tiene l´ o o ımite, entonces la sucesi´n si puede otenerlo. Por tanto, se pueden aplicar los infinit´simos y las reglas de L’Hˆpital e oa las sucesiones, el l´ımite que encontremos ser´ el l´ a ımite de la sucesi´n y osi la sucesi´n considerada como funci´n no tiene l´ o o ımite entonces habr´ que aaplicar otro criterio.Ejemplo 3.39. Calcular los siguientes l´mites: ı n+3 å∞è 1 1 1. l´ ım = = l´ım = =0 n→∞ n3 + 4 ∞ n→∞ 3n2 ∞ −1 3n 2n 1 2n −1 −1 3n −2 1 2. l´ ım 1− = l´ ım 1+ =e 3 = √ 3 2 n→∞ 3n n→∞ 3n e ln n ∞ å è 1/n 5n 3. l´ ım = = l´ ım = l´ ım = l´ 1 = 1 ım n→∞ ln 5n ∞ n→∞ 5/5n n→∞ 5n n→∞ ln(n + 3) ∞ å è 1/(n + 3) n 4. l´ ım = = l´ ım = l´ ım =1 n→∞ ln n ∞ n→∞ 1/n n→∞ n + 3 (ln n)2 ä ∞ ç 2 ln n · 1 n 2 ln n 5. l´ ım = = l´ ım = l´ ım =0 n→∞ n ∞ n→∞ 1 n→∞ n
    • 3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR1833.5. Estudio local de una funci´n. o Polinomio de Taylor.3.5.1. Introducci´n. oEl valor de un polinomio se puede calcular en cualquier punto, sin m´s que aoperar.Por ejemplo, si el polinomio es p(x) = 3 + 2x + x2 , podemos calcular su valoren el punto 0 1, sin m´s que realizar una serie de operaciones elementales, aen efecto: p(0 1) = 3 + 2 · 0 1 + 0 12 = 3 + 0 2 + 0 01 = 3 21Sin embargo, el valor de las funciones no polin´micas lo conocemos en unos opuntos, pero no en otros. Por ejemplo, si la funci´n es f (x) = arc tg x, osabemos sus valores en algunos puntos, pero en los dem´s necesitaremos auna calculadora. En efecto, arc tg 1 = π , pero arc tg 1 1 =? no sabemos 4cu´nto puede valer. a Esto hace que las funciones polin´micas sean m´s c´modas de manejar o a oque las dem´s funciones. aPlanteamiento del problema: Con la aproximaci´n local pretendemos ocalcular el valor aproximado de una funci´n en un punto, conocido el valor oexacto de la funci´n en un punto cercano. o y Conocemos f (x0 ) T f (x)q Queremos calcular el valor, aunque sea aproximado, f (x ) de f (x), siendo x un punto cercano a x0 . 0 q Ex x0 x Figura 3.24: La aproximaci´n mediante la recta tangente y mediante el teorema del ovalor medio, suelen ser malas aproximaciones, en cuanto nos alejamos unpoco del punto. Con el polinomio de Taylor lo que buscamos es una funci´n polin´mica o oque coincida, lo m´s posible, con la funci´n dada, al menos en los alrededores a odel punto. Buscamos una funci´n polin´mica que se acerque a la curva m´s o o aque la recta tangente.
    • 184 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLEy fp T f (x)q p va a ser un polinomio que en el punto x0 va a coincidir q p(x) con f y en los alrededor de x0 va a ser muy cercano a f (x0 ) f qp(x ) 0 x E f (x0 ) = p(x0 ) → f (x) ≈ p(x) x0 x Como valor aproximado de la funci´n en el punto x o Figura 3.25: tomaremos el valor del polinomio en dicho punto.3.5.2. Algunas propiedades de los polinomiosDesarrollo de un polinomio en potencias de (x − x0 )El polinomio p(x) = 4 − x − 2x2 + x3 se dice que est´ centrado en el origen. aEl polinomio p(x) = 2 + 3(x + 1) − 2(x + 1)2 − 4(x + 1)3 que est´ centrado aen x0 = −1El polinomio p(x) = 3 + 2(x − 2) + 4(x − 2)2 − 5(x − 2)3 que est´ centrado aen x0 = 2Para centrar un polinomio en el origen basta con desarrollar los par´ntesis y esimplificar la expresi´n. Centrar un polinomio en un punto x0 es un poco m´s o alaborioso. No obstante, toda funci´n polin´mica se puede expresar mediante o oun polinomio centrado en cualquier punto mediante la sustituci´n:o x = (x − x0 ) + x0Ejemplo 3.40. Expresar p(x) = 4 − x + 2x2 + x3 mediante un polinomiocentrado en x0 = 2Soluci´n. Hacemos el cambio x = (x − 2) + 2 y resulta: o ä ç2 ä ç3p(x) = 4 − (x − 2) − 2 + 2 (x − 2) + 2 + (x − 2) + 2 = ä ç ä ç = 4−2−(x−2)+2 (x−2)2 +4(x−2)+4 + (x−2)3 +6(x−2)2 +12(x−2)+8De donde resulta: p(x) = 18 + 19(x − 2) + 8(x − 2)2 + (x − 2)3 El desarrollo de las potencias de estos par´ntesis puede resultar muy elaborioso, de ah´ que se haya buscado otro m´todo mucho m´s simple para ı e acentrar un polinomio en cualquier punto. Este m´todo se llama desarrollo ede Taylor y se basa en el conocimiento del significado de los coeficientes delos polinomios.Relaci´n entre los coeficientes de un polinomio y los valores de sus oderivadas. F´rmula de Mac Laurin. oEjemplo 3.41. Hallar la relaci´n que existe entre los coeficientes de la ofunci´n polin´mica p(x) = 2 + 3x + 5x2 y los valores de dicha funci´n y de o o osus derivadas el el origen.
    • 3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR185Soluci´n. Teniendo en cuenta que: o p(x) = 2 + 3x + 5x2 p(0) = 2 p (x) = 3 + 10x p (0) = 3 p (x) = 10 p (0) = 10Resulta que la funci´n polin´mica se puede expresar de la siguiente forma: o o p (0) 2 p(x) = 2 + 3x + 5x2 = p(0) + p (0)x + x 2A esta expresi´n se le llama F´rmula de Taylor en el origen o f´rmula de o o oMac Laurin, y se puede generalizar para cualquier polinomio.Teorema 3.6. Toda funci´n polin´mica o o p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xnse puede expresar de la siguiente forma: p (0) 2 p(n) (0) n p(x) = p(0) + p (0)x + x + ··· + x 2! n!Demostraci´n. Teniendo en cuenta que: o p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn p(0) = a0 p (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + · · · + nan xn−1 p (0) = a1 p (x) = 2a2 + 3 · 2a3 x + · · · + n(n − 1)an xn−2 p (0) = 2a2 ··· ··· p(n) (x) = n!an p(n) (0) = n!anResulta, p (0) p (0) p(n) (0) a0 = p(0), a1 = p (0), a2 = , a3 = , an = 2 3! n!Con lo cual la funci´n polin´mica se puede expresar de la siguiente forma: o o p (0) 2 p(n) (0) np(x) = a0 +a1 x+a2 x2 +· · ·+an xn = p(0)+p (0)x+ x +· · ·+ x 2! n!Es decir, n p(k) (0) k p(x) = x k=0 k!Ejemplo 3.42. Halla un polinomio de 4o grado que cumpla: p(0) = 1, p (0) = 0, p (0) = 0, p (0) = 6, piv (0) = 48Soluci´n. Teniendo en cuenta que: o p (0) 2 p (0) 3 piv (0) 4 p(x) = p(0) + p (0)x + x + x + x 2 6 24resulta: p(x) = 1 + x3 + 2x4
    • 186 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLERelaci´n entre los coeficientes de un polinomio, centrado en el opunto x0 y los valores de sus derivadas en dicho punto.F´rmula de Taylor oEjemplo 3.43. Dado la funci´n polin´mica p(x) = 2 + 3x + 5x2 o o 1. Expresarla en potencias de x − 1. 2. Hallar la relaci´n que existe entre los nuevos coeficiente y los valores o de la funci´n y de sus derivadas en el punto x = 1. oSoluci´n. Haciendo el cambio x = (x − 1) + 1 resulta: o ä ç2p(x) = 2 + 3x + 5x2 = 2 + 3(x − 1) + 3 + 5 (x − 1) + 1 = ä ç= 2 + 3(x − 1) + 3 + 5 (x − 1)2 + 2(x − 1) + 1 = 10 + 13(x − 1) + 5(x − 1)2Y por otro lado tenemos: p(x) = 2 + 3x + 5x2 p(1) = 10 p (x) = 3 + 10x p (1) = 13 p (x) = 10 p (1) = 10De donde resulta que la funci´n polin´mica se puede expresar de la siguiente o oforma: p (1)p(x) = 2 + 3x + 5x2 = 10 + 13(x − 1) + 5(x − 1)2 = p(1) + p (1)(x − 1) + (x − 1)2 2 A esta expresi´n se le llama F´rmula de Taylor en el punto x = 1, y se o opuede generalizar para cualquier polinomio y cualquier punto.Teorema 3.7. Toda funci´n polin´mica o o p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xnse puede expresar de la siguiente forma: p (x0 ) p(n) (x0 )p(x) = p(x0 ) + p (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 2! n!Demostraci´n. Haciendo el cambio x = (x − x0 ) + x0 podemos expresar el opolinomio en potencias de x − x0 y resulta:p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn = = b0 + b1 (x − x0 ) + b2 (x − x0 )2 + · · · + bn (x − x0 )nCon lo cual, p(x) = b0 + b1 (x − x0 ) + b2 (x − x0 )2 + · · · + bn (x − x0 )n p(x0 ) = b0 p (x) = b1 + 2b2 (x − x0 ) + 3b3 (x − x0 )2 + · · · + nbn (x − x0 )n−1 p (x0 ) = b1 p (x) = 2b2 + 3 · 2b3 (x − x0 ) + · · · + n(n − 1)bn (x − x0 )n−2 p (x0 ) = 2b2 ··· ··· p(n) (x) = n!bn p(n) (x0 ) = n!bn
    • 3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR187de donde resulta, p (x0 ) p (x0 ) p(n) (x0 ) b0 = p(x0 ), b1 = p (x0 ), b2 = , b3 = , bn = 2 3! n!Con lo cual la funci´n polin´mica se puede expresar de la siguiente forma: o o p (x0 ) p(n) (x0 )p(x) = p(x0 ) + p (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 2! n!Es decir, n p(k) (x0 ) p(x) = (x − x0 )k k=0 k!Ejemplo 3.44. Utilizar la f´rmula de Taylor para expresar en potencias de ox − 2 el polinomio: p(x) = 5 − x + 2x2 − x3 + x4Soluci´n. Teniendo en cuenta que: o p(x) = 5 − x + 2x2 − x3 + x4 p(2) = 19 p (x) = −1 + 4x − 3x2 + 4x3 p (2) = 27 p (x) = 4 − 6x + 12x2 p (2) = 40 p (x) = −6 + 24x p (2) = 42 piv (x) = 24 piv (2) = 24Resulta el siguiente polinomio de Taylor, p (2) p (2) piv (2)p(x) = p(2) + p (2)(x − 2) + (x − 2)2 + (x − 2)3 + (x − 2)4 = 2 6 24 40 42 24 = 19 + 27(x − 2) + (x − 2)2 + (x − 2)3 + (x − 2)4 = 2 6 24 = 19 + 27(x − 2) + 20(x − 2) 2 + 7(x − 2)3 + (x − 2)43.5.3. Polinomio de Taylor de una funci´n no polin´mica o oDada una funci´n f se trata de encontrar un polinomio de grado n que tome oaproximadamente los mismos valores que f en los alrededores de un puntox0 . y = f (x) f (x) ≈ pn (x) x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) pn (x)Suponemos conocido el valor de la funci´n y el de sus derivadas en el punto x0 oy queremos calcular el valor aproximado de la funci´n en un punto cercano x, outilizando para ello una funci´n polin´mica de aproximaci´n. Como funci´n o o o opolin´mica de aproximaci´n, lo l´gico es buscar una funci´n polin´mica que o o o o o
    • 188 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLEpase por el punto x0 , f (x0 ) , que pase con la misma pendiente que la funci´n of , que pase con la misma concavidad, etc... Es evidente que en cuanto enm´s condiciones coincidan la funci´n f y la funci´n polin´mica pn a su paso a o o opor el punto (x0 , y0 ), en m´s se aproximar´n al alejarnos del punto. a aPor eso, la funci´n polin´mica de aproximaci´n deber´ cumplir: o o o apn (x) ≈ f (x) ⇐⇒ pn (x0 ) = f (x0 ) Las dos pasan por el punto (x0 , y0 ) pn (x0 ) = f (x0 ) Las dos pasan por (x0 , y0 ) con la misma pendiente pn (x0 ) = f (x0 ) Las dos pasan por (x0 , y0 ) con la misma concavidad ··· (n) pn (x0 ) = f (n) (x0 ) Las dos pasan por (x0 , y0 ) con otras coincidenciasUn polinomio que cumpla estas condiciones es f´cil encontrar mediante la af´rmula de Taylor, en efecto: o (n) pn (x0 ) pn (x0 )pn (x) = pn (x0 ) + pn (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 2! n!Y teniendo en cuenta los valores asignados al polinomio resulta: f (x0 ) f (n) (x0 )pn (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 2! n!Un polinomio, as´ construido, es de esperar que se aproxime suficientemente ıa la funci´n f , al menos en los alrededores del punto x0 , y tambi´n cabe o eesperar que cuanto mayor sea el grado n del polinomio mayor ser´ la aprox- aimaci´n. Por lo que podemos asegurar que: o f (x0 ) f (n) (x0 )f (x) ≈ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 2! n!Que se puede expresar de la forma: n f (k) (x0 ) f (x) ≈ pn (x) = (x − x0 )k k=0 k!y es el polinomio de Taylor para una funci´n no polin´mica. o oObservaciones: 1. El n-simo polinomio ser´ de grado ≤ n, ya que el ultimo coeficiente a ´ puede ser cero, al haberlo definido como f (n) (x0 ), y la funci´n f no es o polin´mica, por lo que su derivada puede tomar cualquier valor. o 2. El primer polinomio de Taylor siempre coincide con la recta tangente a la curva dada en el punto x0 . En efecto, y = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) es la ecuaci´n de la recta tangente. o
    • 3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR1893.5.4. Polinomio de Taylor de las funciones elementalesEjemplo 3.45. Hallar el 5o polinomio de MacLaurin de las siguientes fun-ciones y generalizarlo para el n-simo polinomio. 1. f (x) = ex 2. f (x) = sen x 3. f (x) = cos xSoluci´n. El 5o polinomio de Taylor en el origen para una funci´n f viene o odefinido por: f (0) 2 f (0) 3 f iv (0) 4 f v (0) 5 f (x) = f (0) + f (0)x + x + x + x + x 2 6 24 120Por consiguiente: 1. f (x) = ex f (x) = ex f (0) = 1 Resulta el siguiente polinomio de Taylor, f (x) = ex f (0) = 1 x2 x3 x4 x5 ex ≈ 1 + x + + + + f (x) = ex f (0) = 1 2! 3! 4! 5! f (x) = ex f (0) = 1 y de manera general n f iv (x) = ex f iv (0) = 1 xk ex ≈ f v (x) = ex f v (0) = 1 k=0 k! 2. f (x) = sen x f (x) = sen x f (0) = 0 Resulta el siguiente polinomio, f (x) = cos x f (0) = 1 x3 x5 sen x ≈ x − + f (x) = − sen x f (0) = 0 3! 5! f (x) = − cos x f (0) = −1 y de manera general n f iv (x) = sen x f iv (0) = 0 x2k+1 sen x ≈ (−1)k f v (x) = cos x f v (0) = 1 k=0 (2k + 1)! 3. f (x) = cos x f (x) = cos x f (0) = 1 Resulta el siguiente polinomio, f (x) = − sen x f (0) = 0 x2 x4 cos x ≈ 1 − + f (x) = − cos x f (0) = −1 2! 4! f (x) = sen x f (0) = 0 y de manera general n f iv (x) = cos x f iv (0) = 1 x2k cos x ≈ (−1)k f v (x) = − sen x f v (0) = 0 k=0 (2k)!Ejemplo 3.46. Hallar el 4o polinomio de MacLaurin de la funci´n: o f (x) = (1 + x)rGeneralizarlo para el n-simo polinomio, y aplicarlo para calcular: √ 2 1 √ (1 + x) , , 1 + x, (1 + x)3 1+x
    • 190 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLESoluci´n. of (x) = (1 + x)r f (0) = 1f (x) = r(1 + x)r−1 f (0) = rf (x) = r(r − 1)(1 + x)r−2 f (0) = r(r − 1)f (x) = r(r − 1)(r − 2)(1 + x)r−3 f (0) = r(r − 1)(r − 2)f iv (x) = r(r − 1)(r − 2)(r − 3)(1 + x)r−4 f iv (0) = r(r − 1)(r − 2)(r − 3)Resulta el siguiente polinomio de Taylor, r(r − 1) 2 r(r − 1)(r − 2) 3 r(r − 1)(r − 2)(r − 3) 4(1+x)r ≈ 1+r x+ x + x + x 2! 3! 4!y de manera general el n-simo polinomio ser´: a n r(r − 1)(r − 2) · · · (r − k + 1) k (1 + x)r ≈ 1 + x k=1 k!de donde resulta: √ √ √ √ √ √ √ 2 ≈ 1 + 2x + 2( 2 − 1) 2 2( 2 − 1)( 2 − 2) 3(1 + x) x + x + 2! √ √ 3! √ √ 2( 2 − 1)( 2 − 2)( 2 − 3) 4 + x 4! 1 −1(−2) 2 −1(−2)(−3) 3 −1(−2)(−3)(−4) 4 = (1+x)−1 ≈ 1+ x + x + x =1+x 2! 3! 4! = 1 − x + x2 − x3 + x4√ 1 −1 1 −1 −3 1 −1 −3 −5 1 + x = (1 + x)1/2 ≈ 1 + 2 2 x2 + 2 2 2 x3 + 2 2 2 2 x4 = 2! 3! 4! 1 1 2 1·3 3 1·3·5 4 =1+ x− x + x − x 2 2·4 2·4·6 2·4·6·8 3·2 2 3·2·1 3 3·2·1·0 4(1 + x)3 = 1 + 3x + x + x − x = 1 + 3x + 3x2 + x3 + 0 2! 3! 4! Si n es un entero y positivo el desarrollo se interrumpe, ya que siemprellegar´ un momento en que n − k + 1 = 0, precisamente para k = n + 1. Es adecir, el desarrollo de (1 + x)n s´lo llegar´ hasta el t´rmino xn , ya que los o a erestantes se anulan. Se obtiene as´ el Binomio de Newton. ı, n n k (1 + x)n = x k=0 kEl polinomio de Taylor del cociente de dos polinomiosExisten funciones para las que el polinomio de Taylor se puede obtener deuna manera artificial, sin necesidad de tener que hacer las derivadas de lafunci´n, es el caso del cociente de dos polinomios, cuyo polinomio de Taylor o
    • 3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR191se puede obtener haciendo la divisi´n de los polinomios, pero ordenados de omenor a mayor.Ejemplo 3.47. Hallar el 3o polinomio de Taylor de la funci´n: o 2x + 3 f (x) = x−1Soluci´n. Hacemos la divisi´n ordenando los polinomios de menor a mayor o ogrado. 3 + 2x −1 + x −3 + 3x −3 − 5x − 5x2 − 5x3 5x −5x + 5x2 5x2 −5x2 + 5x3 5x3 −5x3 + 5x4 5x4Con lo cual resulta el siguiente polinomio de Taylor: 2x + 3 ≈ −3 − 5x − 5x2 − 5x3 x−1Polinomio de Taylor de funciones compuestas Para calcular el polinomio de Taylor de las funciones compuestas, envez de derivar directamente dichas funciones, en la generalidad de los ca-sos, resulta mucho m´s f´cil de calcular dicho polinomio transformando el a apolinomio de Taylor de las funciones elementales que la componenEjemplo 3.48. Hallar el 4o polinomio de Taylor de la funci´n: o f (x) = e−x 2Soluci´n. En vez de derivar directamente la funci´n f (x), resulta m´s conve- o o aniente transformar el polinomio de Taylor de las funci´n y = e o x . En efecto,tenemos que, x2 ex ≈ 1 + x + + ··· 2de donde, sustituyendo x por −x2 , resulta (−x2 )2 x4 f (x) = e−x ≈ 1 + (−x2 ) + 2 + · · · 1 − x2 + + ··· 2 2
    • 192 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLEEjemplo 3.49. Hallar el 3o polinomio de Taylor de la funci´n: o f (x) = sen(sen x)Soluci´n. En vez de derivar directamente la funci´n f (x), resulta m´s con- o o aveniente transformar el polinomio de Taylor de las funci´n y = sen x. En oefecto, tenemos que, x3 sen x ≈ x − + ··· 3!de donde, sustituyendo x por el propio desarrollo de sen x, es decir, por x3x− + · · · , resulta 3! x3 x3 + · · · ]3 [x − f (x) = sen(sen x) ≈ [x − + ···] − 3! + ··· ≈ 3! 3! x3 x3 2x3 x3 ≈x− − + ··· ≈ x − + ··· = x − + ··· 3! 3! 3! 33.5.5. Resto de TaylorCon el t´rmino Resto de Taylor nos referimos al error que se comete al eaproximar una funci´n no polin´mica mediante su polinomio de Taylor. o oSi aproximamos la funci´n f mediante el n-simo polinomio de Taylor, el oerror vendr´ dado por la diferencia de los valores que toman la funci´n y el a opolinomio. y = f (x) f (x) ≈ pn (x) ⇒ |Rn (x)| = |f (x) − pn (x)| pn (x)Teorema 3.8 (Teorema del Resto). Sea f una funci´n definida en el ointervalo cerrado [a, b] tal que f (n) es continua en [a, b] y f (n+1) existe en(a, b). Sean x y x0 puntos de [a, b], siendo x = x0 . Y sea f (x0 ) f (n) (x0 )pn (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 2! n!Entonces existe un punto c entre x y x0 tal que el error que se cometeal aproximar la funci´n f mediante el n-simo polinomio de Taylor en un oentorno del punto x0 viene definido por la f´rmula: o f (n+1) (c) Rn (x) = (x − x0 )n+1 (3.2) (n + 1)! A esta expresi´n del Resto de Taylor se le llama expresi´n de Lagrange. o oExisten otras expresiones para calcular el error, sin embargo, ´sta es la m´s e af´cil de recordar puesto que se trata del t´rmino siguiente del desarrollo, a esalvo que la derivada se toma en un punto intermedio c.
    • 3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR1933.5.6. Aplicaciones de la f´rmula de Taylor a c´lculos aproxi- o a madosPara hallar el valor de una funci´n en un punto x1 se desarrolla la funci´n o oen un punto cercano x0 y se toma, como valor aproximado de la funci´n, el oque tome el polinomio. f (x1 ) f (x1 ) ≈ pn (x1 ) pn (x) en x0 cercano a x1El error cometido en la aproximaci´n, seg´n (3.2), vendr´ dado por: o u a f (n+1) (c) Rn (x1 ) = (x1 − x0 )n+1 (n + 1)!Como el punto c no est´ determinado, el error no se conoce con exactitud, apero s´ se puede conocer una acotaci´n del error teniendo en cuenta que c ı oest´ entre x0 y x1 . aEjemplo 3.50. Utilizar el 2o polinomio de Taylor para calcular aproxima-damente e0 2 . Indicar el error cometido.Soluci´n. o f (x) = ex f (0) = 1 x2 f (x) = ex f (0) = 1 ex ≈ 1 + x + 2 f (x) = ex f (0) = 1 − − −− 0 04 e0 2 ≈ 1 + 0 2 + = 1 22 f (x) = ex f (c) = ec 2Para calcular el error cometido tenemos en cuenta que: 0 < c < 0 2 → 0 < c < 1 ⇒ e0 < ec < e < 3 → ec < 3con lo cual, ec 3 · 0 008 |Rn (0 2)| = | 0 23 | < = 0 004 6 6 √Ejemplo 3.51. Aproximar 3 e con un error menor que 0 01Soluci´n. Necesitamos una funci´n para hacer su desarrollo de Taylor, y un o opunto donde hacerlo. De las distintas opciones que podemos pensar paracalcular la ra´ dada, elegimos la m´s f´cil. ız a a √ 1 3 e = e1/3 → f (x) = ex x0 = 0, x1 = 3 f (x) = ex f (0) = 1 f (x) = ex f (0) = 1 x2 xn . . ex ≈ 1 + x + + ··· + . . . . 2 n! f (n) (x) = ex f (n) (0) = 1 f (n+1) (c)xn+1 ec xn+1 Rn (x) = = − − −− (n + 1)! (n + 1)! f (n+1) (x) = ex f (n+1) (c) = ec
    • 194 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLETeniendo en cuenta que c est´ situado entre x0 y x1 , resulta, a 1 0<c< < 1 → e0 < ec < e < 3 ⇒ ec < 3 3Luego, tendr´ que ser: a ¬ 1 ¬ ¬ ec ( 1 )n+1 ¬ 3( 1 )n+1 ¬ ¬ ¬ ¬Rn ( )¬ = ¬ 3 ¬ ¬ ¬ 1 1 ¬ 3 ¬ ¬ (n + 1)! ¬ < (n3+ 1)! = 3n (n + 1)! < 0 01 = 100 ¬Es decir hay que encontrar el valor de n que cumple, 3n (n + 1)! > 100Esto se hace probando, es decir dando valores a n. n = 1 → 3 · 2 = 6 < 100 n = 2 → 32 · 3! = 9 · 6 = 54 < 100 n = 3 → 33 · 4! = 27 · 24 = 648 > 100 ⇒ n = 3Luego el polinomio de Taylor buscado es el tercero, x2 x3 ex = 1 + x + + 2! 3!Con lo cual resulta √ 1 ( 1 )2 ( 1 )3 1 1 1 3 e = e1/3 ≈ 1 ++ 3 + 3 =1+ + + = 1 39 3 2! 3! 3 18 162Ejemplo 3.52. Estimar sen 10o usando el tercer polinomio de Taylor enx0 = 0. Hallar una cota del error cometido.Soluci´n. o f (x) = sen x f (0) = 0 f (x) = cos x f (0) = 1 x3 sen x ≈ x − f (x) = − sen x f (0) = 0 6 f (x) = − cos x f (0) = −1 sen c 4 − − −− R3 (x) = x 24 f iv (x) = sen x f iv (c) = sen cAhora bien, el valor de x que aparece en las operaciones no puede venirmedido en grados, sino que, para operar, el angulo ha de expresarse en ´radianes. πTeniendo en cuenta que 10o = rad. resulta: 18 π π π3 sen 10o = sen rad. ≈ − 3 = 0 1736468 18 18 18 · 6Y el error cometido en la aproximaci´n viene acotado de la siguiente forma: o ¬ π ¬ ¬ sen c ¬ ¬ 1 ¬R3 ( )¬ = ¬ ¬ 18 ¬ ¬ 24 ¬ ¬≤ π 4 π 4 ¬ ¬ 18 ¬ 24 18 = 0 00004
    • 3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR1953.5.7. Aplicaciones de la F´rmula de Taylor al c´lculo de o a l´ ımitesConsiste en sustituir las funciones que intervienen en el l´ ımite por sus de-sarrollos de Taylor. En la pr´ctica, para simplificar los c´lculos, solamente a ase sustituyen por la parte del desarrollo de Taylor que realmente influye enel l´ ımite. El problema ser´ determinar cu´ntos t´rminos del desarrollo se a a edeben utilizar. sen x − xEjemplo 3.53. Calcular l´ ım x→0 x3Soluci´n. o x3 sen x − x ä0ç (x − 6 + ···) − x −x3 −1 l´ ım = = l´ ım = l´ ım = x→0 x3 0 x→0 x3 x→0 6x3 6 ex − e−x − 2xEjemplo 3.54. Calcular l´ ım x→0 x − sen xSoluci´n. Teniendo en cuenta los desarrollos de las funciones que intervienen: o x2 x3 x2 x3 x3ex = 1+x+ + +· · · e−x = 1−x+ − +· · · sen x = x− +· · · 2 6 2 6 6resulta, ex − e−x − 2x ä 0 çl´ ım = =x→0 x − sen x 0 x2 x3 x2 x3 1+x+ + + ··· − 1 − x + − + · · · − 2x = l´ ım 2 6 2 6 = x→0 x 3 x− x− + ··· 6 3 2x 6 = l´ ım 3 =2 x→0 x 6 1 − cos(x2 )Ejemplo 3.55. Calcular, si existe, el valor de l´ ım x→0 x · sen x + 2 · cos x − 2utilizando polinomios de Taylor.Soluci´n. Teniendo en cuenta el desarrollo en series de potencias de las ofunciones sen x y cos x, x3 x5 x2 x4 sen x = x − + − ··· cos x = 1 − + − ··· 6 120 2 24tenemos. x4 x8 cos x2 = 1 − + − ··· 2 24
    • 196 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLEde donde, sustituyendo las funciones por sus desarrollos en series, resulta: 1 − cos(x2 )l´ ım =x→0 x · sen x + 2 · cos x − 2 x4 1− 1− + ··· = l´ ım 2 = x→0 x3 x2 x4 x x− + · · · + 2(1 − + − ··· − 2 6 2 24 x4 x4 x4 = l´ ım 2 = l´ ım 2 ım 2 = −6 = l´ x→0 −x4 x4 x→0 −2x4 x4 x→0 −x4 + + 6 12 12 12 123.6. Extremos de funciones de una sola variable3.6.1. M´ximos y m´ a ınimos absolutosa) En Intervalos cerradosSupongamos que la funci´n f es continua en un intervalo cerrado [a, b], oentonces alcanza un m´ximo y un m´ a ınimo en dicho intervalo. Figura 3.26: Puntos cr´ ıticosEl m´ximo y el m´ a ınimo absoluto solamente pueden estar situados: 1. En puntos donde f (x) = 0 2. En puntos donde f (x) no est´ definida a 3. En los extremos del intervalo.Puntos cr´ ıticos de una funci´n: Se llaman puntos cr´ o ıticos de una funci´n oa los puntos en los que la derivada sea nula o no est´ definida. eC´lculo del m´ximo y del m´ a a ınimo absoluto. Para hallar el m´ximo y ael m´ ınimo absoluto de una funci´n continua en un intervalo cerrado, o 1. Se hallan los puntos cr´ ıticos,
    • 3.6. EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE 197 2. Se hallan los valores de la funci´n en los puntos cr´ o ıticos y en los ex- tremos del intervalo. El mayor valor obtenido es el m´ximo absoluto a y el menor el m´ınimo.Observaci´n: Si la funci´n no es continua el m´todo anterior no es v´lido, o o e aya que los valores de la funci´n en los puntos cr´ o ıticos no determinan nada. Figura 3.27: Funci´n no continua oEjemplo 3.56. Hallar los extremos absolutos de la funci´n: o f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 15en el intervalo [0, 3].Soluci´n. o 1. Hallamos los puntos cr´ ıticos: a) Puntos en los que la derivada no est´ definida: No existen ya que a f (x) = 6x2 − 6x − 12 est´ definida en todo R a b) Puntos en los que la derivada vale cero: 6x2 − 6x − 12 = 0 → x2 − x − 2 = 0 de donde, √ 1± 1+8 1+3 2 x= = = 2 2 −1 2. Comparamos los valores de la funci´n en los puntos cr´ o ıticos y en los extremos del intervalo: f (0) = 15 M´ximo a f (2) = 16 − 12 − 24 + 15 = −5 m´ ınimo f (3) = 54 − 27 − 36 + 15 = 6Ejemplo 3.57. Hallar los extremos absolutos de la funci´n: o f (x) = x5 − xen el intervalo [2, 4].
    • 198 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLESoluci´n. o 1. Hallamos los puntos cr´ ıticos: a) Puntos en los que la derivada no est´ definida: No existen ya que a f (x) = 5x4 − 1 est´ definida en todo R a Ö b) Puntos en los que la derivada vale cero: 5x4 − 1 = 0 → x4 = 1 → x = ± 4 1 ∈ [2, 4] 5 5 Luego no existe ning´n punto cr´ u ıtico dentro del intervalo, por tanto: 2. Comparamos los valores de la funci´n en los extremos del intervalo: o f (2) = 30 m´ ınimo f (4) = 1020 M´ximo aEjemplo 3.58. Hallar los extremos absolutos de la funci´n: o f (x) = 3 − |x − 2|en el intervalo [1, 4].Soluci´n. Para hallar la derivada de la funci´n eliminamos el valor absoluto, o o 3 − (x − 2) si x ≥ 2 5 − x si x≥2 f (x) = 3 − |x − 2| = = 3 − (−x + 2) si x < 2 1 + x si x<2Con lo cual, la funci´n derivada es: o −1 si x > 2 f (x) = 1 si x < 2 1. Hallamos los puntos cr´ ıticos: a) Puntos en los que la derivada no est´ definida: x = 2 a b) Puntos en los que la derivada vale cero: No existen. 2. Comparamos los valores de la funci´n en los puntos cr´ o ıticos y en los extremos del intervalo: f (1) = 2 f (2) = 3 M´ximo a f (4) = 1 m´ ınimo
    • 3.6. EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE 199b) M´ximos y m´ a ınimos absolutos en intervalos abiertosPara hallar el m´ximo y el m´ a ınimo de una funci´n continua en un interva- olo abierto se “cierra” el intervalo hallando los l´ ımites de la funci´n en los oextremos del mismo. x2Ejemplo 3.59. Hallar los extremos absolutos de la funci´n: f (x) = o x2 + 1en todo R.Soluci´n. Hallamos la derivada de la funci´n, o o 2x(x2 + 1) − x2 · 2x 2x3 + 2x − 2x3 2x f (x) = 2 + 1)2 = 2 + 1)2 = 2 (x (x (x + 1)2 1. Hallamos los puntos cr´ ıticos: a) Puntos en los que la derivada no est´ definida: No existen. a b) Puntos en los que la derivada vale cero: 2x = 0 → x = 0 2. Comparamos los valores de la funci´n en los puntos cr´ o ıticos y en los “extremos” del intervalo:
    • 200 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE x2 f (−∞) = l´ ım =1 x→−∞ x2 + 1 f (0) = 0 → m´ ınimo x2 f (+∞) = l´ ım 2 =1 x→+∞ x + 1 Luego la funci´n no tiene m´ximo. o a x2 Figura 3.28: y = x2 +13.6.2. M´ximos y m´ a ınimos relativos o localesCrecimiento y decrecimiento. Una funci´n es creciente all´ donde su o ıderivada es positiva y decreciente donde es negativa. ∀x ∈ (a, b) f (x) ≥ 0 ⇒ f es creciente en (a, b) ∀x ∈ (a, b) f (x) ≤ 0 ⇒ f es decreciente en (a, b)Estudios de los m´ximos y m´ a ınimos locales a partir del signo dela primera derivada.Si la funci´n es continua, los m´ximos locales se presentan donde la funci´n o a ocambia de creciente a decreciente, y los m´ ınimos locales donde cambia dedecreciente a creciente. Si la funci´n es continua, los m´ximos y m´ o a ınimosrelativos solamente se pueden presentar en los puntos cr´ ıticos. Figura 3.29: En un m´ximo la funci´n cambia de creciente a decreciente a oEjemplo 3.60. Estudiar los extremos relativos y absolutos de la funci´n o −xf (x) = en todo R 1 + x2Soluci´n. f es continua en todo R, ya que 1 + x2 no se anula nunca. oPuntos cr´ıticos: −(1 + x2 ) + x(2x) −1 − x2 + 2x2 x2 − 1 f (x) = = = (1 + x2 )2 (1 + x2 )2 (1 + x2 )2
    • 3.6. EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE 201de donde: f (x) = 0 → x2 − 1 = 0 → x = ±1a) Extremos relativos: Estudiamos el signo de la derivada. 4−1 3 f (−2) = 2 = =+ (1 + 4) 25 −1 f (0) = = −1 = − 1 4−1 3 f (2) = = =+ (1 + 4)2 25Con lo cual hay un m´ximo en x = −1 y un m´ a ınimo en x = 1b) Extremos absolutos: Hallamos los valores de la funci´n en los puntos ocr´ ıticos y en los extremos del intervalo. −x f (−∞) = l´ ım =0 x→−∞ 1 + x2 f (−1) = 1/2 ← M´ximo absoluto a f (1) = −1/2 ←m´ınimo absoluto −x f (+∞) = l´ ım =0 −x x→+∞ 1 + x2 Figura 3.30: y = 1 + x2 4Ejemplo 3.61. Encontrar los extremos relativos de la funci´n f (x) = x+ o xen RSoluci´n. La funci´n es continua en R − {0} o oPuntos cr´ ıticos. Hallamos la derivada de la funci´n: o 4 f (x) = 1 − x2 a) Puntos donde la derivada no esta definida. x = 0 b) Puntos donde la derivada vale cero: f (x) = 0 → x = ±2 Intervalos de crecimiento: f (−3) = 1 − 4/9 = + → creciente f (−1) = 1 − 4 = − → decreciente f (1) = 1 − 4 = − → decreciente 4 f (3) = 1 − 4/9 = + → creciente Figura 3.31: y = x + x
    • 202 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLEConcavidad. Puntos de inflexi´n. oUna funci´n, derivable en un intervalo, se dice que es c´ncava hacia arriba o osobre dicho intervalo si su derivada es creciente y c´ncava hacia abajo si su oderivada es decreciente.Los puntos en los que la concavidad cambia de sentido se llaman puntos deinflexi´n. o f ↑⇒ f f ↓⇒ f Criterio de la derivada segunda. Ë f =+ ⇒f ↑⇒f Ì f =− ⇒f ↓⇒f f = 0 ⇒ ¿? f (x0 ) = 0 x0 , f (x0 ) punto de inflexi´n ⇒ o o ´ f (x0 ) no definidoAplicaciones de la f´rmula de Taylor para el estudio de m´ximos o ay m´ ınimos.Desarrollemos, mediante el n-simo polinomio de Taylor, la funci´n f en el opunto x0 f (x0 ) f (n−1) (x0 ) f (n) (c)f (x) = f (x0 )+ f (x0 )(x−x0 )+ (x−x0 )2 + · · ·+ (x−x0 )n−1 + (x−x0 )n 2! (n − 1)! n!supongamos que la primera derivada de la funci´n f que no se anula en el opunto x0 es de orden n. Ser´: a f (x0 ) = 0 . f (n) (c) . . f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )n n! f (n−1) (x0 ) = 0de donde, f (n) (c) f (x) − f (x0 ) = (x − x0 )n n!Como c est´ entre x0 y x, tomando x suficientemente pr´ximo a x0 podemos a osuponer que el signo de f (n) (c) coincide con el signo de f (n) (x ), de donde: 0 n par f (n) (x0 ) = + ⇒ f (x) − f (x0 ) > 0 → m´ ınimo (x − x0 )n = + f (n) (x ) = − ⇒ f (x) − f (x ) < 0 → M´ximo 0 0 a n impar f (n) (x0 ) = + ⇒ f (x) − f (x0 ) = ± → inflexi´n o (x − x0 )n = ± f (n) (x0 ) = −
    • 3.6. EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE 203Con lo cual podemos afirmar lo siguiente: Si la primera derivada que no seanula en un punto cr´ ıtico es par, entonces hay un m´ximo si dicha derivada aes negativa y un m´ınimo si es positiva. Si la primera derivada que no seanule es de orden impar, entonces existe un punto de inflexi´n. oEjemplo 3.62. Estudiar la naturaleza del origen en las siguientes fun-ciones: (a) f (x) = x4 (b) f (x) = x3 (c) f (x) = −x4Soluci´n. o 1. f (x) = x4 f (x) = 4x3 → f (0) = 0 f (x) = 12x2 → f (0) = 0 f (x) = 24x → f (0) = 0 f (IV ) (x) = 24 → f (IV ) (0) = 24 > 0 par y positivo → m´ ınimo 2. f (x) = x3 f (x) = 3x2 → f (0) = 0 f (x) = 6x → f (0) = 0 f (x) = 6 → f (0) = 6 = 0 impar → punto de inflexi´n o 3. f (x) = −x4 f (x) = −4x3 → f (0) = 0 f (x) = −12x2 → f (0) = 0 f (x) = −24x → f (0) = 0 f (IV ) (x) = −24 → f (IV ) (0) = 24 < 0 par y negativo → M´ximo. aEjemplo 3.63. Estudiar la naturaleza de los puntos cr´ticos de la funci´n: ı o f (x) = x3 − 3x2 + 2Soluci´n. Hallamos la derivada para buscar los puntos cr´ o ıticos.f (x) = 3x2 −6x → 3x2 −6x = 0 → x2 −2x = 0 → x(x−2) = 0luego los puntos cr´ ıticos son x = 0 y x = 2.Calculamos el valor de la derivada segunda en cada uno de los puntos cr´ ıticos. ´ f (0) = −6 → f (0) m´ximo relativo a f (x) = 6x − 6 f (2) = 6 > 0 → f (2) m´ ınimo relativo3.6.3. Determinaci´n de funciones conocidos sus puntos cr´ o ıticosLa dificultad de este tipo de ejercicios est´ en saber aprovechar toda la ainformaci´n que nos da el enunciado. o
    • 204 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLEEjemplo 3.64. Hallar a, b, c y d para que la funci´n f (x) = ax3 + bx2 + ocx + d tenga un m´ınimo relativo de valor −3 en x = 0 y un m´ximo relativo ade valor 4 en x = 1.Soluci´n. o f (0) = −3 ınimo relativo de valor −3 en x = 0 → M´ f (0) = 0 f (1) = 4 M´ximo relativo de valor 4 en x = 1 → a f (1) = 0Hallando la derivada f (x) = 3ax2 + 2bx + c, y sustituyendo, resulta elsistema de ecuaciones: d = −3 d = −3 d = −3 d = −3 c=0 c=0 c=0 c=0 a+b+c+d=4 a+b=7 a+b=7 b = 21 3a + 2b + c = 0 3a + 2b = 0 a = −14 a = −14luego la funci´n buscada es: f (x) = −14x3 + 21x2 − 3. oEjemplo 3.65. Hallar a, b y c tales que la gr´fica de la funci´n f (x) = a oax3 + bx2 + cx tenga una tangente horizontal en el punto de inflexi´n (1, 1). oSoluci´n. o Pasa por el punto (1, 1) → f (1) = 1 Tangente horizontal en (1, 1) → f (1) = 0 Punto de inflexi´n en (1, 1) → f (1) = 0 oHallando la primera y segunda derivada f (x) = 3ax2 + 2bx + c, f (x) =6ax + 2b y sustituyendo, resulta el sistema de ecuaciones: a+b+c=1 c=1−a−b c=1−a−b c=3 3a + 2b + c = 0 2a + b = −1 b = −1 − 2a b = −3 6a + 2b = 0 3a + b = 0 a=1 a=1luego la funci´n buscada es: f (x) = x3 − 3x2 + 3x. o3.6.4. Problemas de aplicaci´n de m´ximos y m´ o a ınimosPara resolver problemas de m´ximos y m´ a ınimos con enunciado es conve-niente seguir los siguientes pasos: 1. Asignar letras a todas las magnitudes que intervienen e intentar rela- cionarlas entre s´ (Seg´n se asignen las letras, la resoluci´n del pro- ı. u o blema puede resultar m´s f´cil o m´s dif´ a a a ıcil. A veces conviene contar con los ´ngulos). a 2. Preguntarse ¿qu´ es lo que hay que hacer m´ximo o m´ e a ınimo?. Esa magnitud es la que hay que derivar.
    • 3.6. EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE 205 3. Encontrar una f´rmula para la magnitud que hay que derivar y expre- o sarla en funci´n de una sola variable y entonces derivar. oNaturaleza de los puntos cr´ ıticos. La naturaleza de los puntos cr´ ıticospuede determinarse por cualquiera de los siguientes criterios. 1. Por la propia naturaleza del problema. 2. Comparando el valor de la funci´n en los puntos cr´ o ıticos y en los ex- tremos del dominio. 3. Estudiando el signo de la primera derivada a ambos lados de cada punto cr´ ıtico. 4. Estudiando el signo de la segunda derivada en los puntos cr´ ıticos.Observaci´n: Si el problema pide un m´ximo y encontramos un m´ o a ınimo,el m´ximo habr´ que buscarlo en los extremos del dominio. a aEjemplo 3.66. Un granjero tiene 200 m de tela met´lica que va a utilizar apara construir tres lados de un corral rectangular; se va a usar un muro rectoque ya existe como cuarto lado del corral. ¿Qu´ dimensiones maximizar´n e ael area del corral?. ´Soluci´n. La magnitud a maximizar es el area. o ´ a=x·y x a = x(200 − 2x) = 200x − 2x2 2x + y = 200 → y = 200 − 2x y de donde, x a (x) = 200 − 4x → 200 − 4x = 0 → x = 50Comprobamos que realmente se trata de un m´ximo, a partir de la segunda aderivada: a (x) = −4 ⇒ a (50) = −4 → m´ximoaLuego la soluci´n es x = 50 e y = 100. oEjemplo 3.67. Una l´mina met´lica rectangular mide 5 m. de ancho y 8 m. a ade largo. Se van a cortar cuatro cuadrados iguales en las esquinas para doblarla pieza met´lica resultante y soldarla para formar una caja sin tapa. ¿C´mo a odebe hacerse para obtener una caja del m´ximo volumen posible? aSoluci´n. la magnitud a maximizar es el volumen. o v = x(8 − 2x)(5 − 2x) = 4x3 − 26x2 + 40x de donde
    • 206 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE v (x) = 12x2 − 52x + 40 ⇒ 12x2 − 52x + 40 = 0 → 3x2 − 13x + 10 = 0luego: √ √ 13 ± 169 − 120 13 ± 49 13 ± 7 x = 3 3 no v´lida a x= = = = 6 6 6 x=1Comprobamos que realmente se trata de un m´ximo, a partir de la segunda aderivada: v (x) = 24x − 52 ⇒ a (1) = −28 → m´ximo aEjemplo 3.68. Deseamos construir una lata cil´ndrica con 40 cm3 de ca- ıpacidad. El material del fondo y de la tapa es dos veces m´s caro que el del alateral. Hallar el radio y la altura de la lata m´s econ´mica. a oSoluci´n. La magnitud a minimizar es el coste. Suponiendo que el precio opor unidad de superficie del lateral es p el de las bases ser´ 2p, con lo que aresulta: Sb = πr2 + πr2 = 2πr2 2p coste Sb = 4πr2 p c = 4πr2 p + 2πrhp Sl = 2πrh p coste Sl = 2πrhp 40y teniendo en cuenta que v = 40 resulta πr2 h = 40 → h = de donde, πr2 40 80 c = 4πr2 p + 2πrhp = 4πr2 p + 2πr 2 p = 4πr2 p + p πr r 80luego, c (r) = 8πrp − p, con lo que resulta, r2 Ö 80 80 80 80 10 108πrp − 2 p = 0 → 8πr − 2 = 0 → 8πr = 2 → r3 = →r= 3 = r r r 8π π πComprobamos que realmente se trata de un m´ ınimo, a partir de la segundaderivada: 160 c (r) = 8π + 3 ⇒ c (r) > 0 → m´ ınimo rla altura correspondiente a este radio ser´: a Ö Ö 40 40 40 3 1000 3 10 h= Ö = = √ 3 =4 =4 = 4r 3 100 3 100π 3 100π 100π π π π2 π2Ejemplo 3.69. Hallar el punto m´s cercano y m´s alejado de la par´bola a a ay = 4 − x2 al punto (0, 1)
    • 3.6. EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE 207Soluci´n. Consideremos un punto gen´rico X(x, y) de la par´bola y = 4−x2 . o e aSu distancia al punto P (0, 1) vendr´ definida por la expresi´n: a o 4 d= (x − 0)2 + (y − 1)2 (x, y) cuyo valor ha de ser m´ximo o m´ a ınimo. Aho- 3 ra bien, para facilitar la resoluci´n del proble- o 2 ma, eliminamos la ra´ cuadrada elevando al ız 1 cuadrado. −2 −1 −1 1 2 d2 = x2 + (y − 1)2 −2 y teniendo en cuenta el valor de y = 4 − x2 resulta: Figura 3.32: y = 4 − x2d2 = x2 + (4 − x2 − 1)2 = x2 + (3 − x2 )2 = x2 + 9 − 6x2 + x4 = x4 − 5x2 + 9Y dado que, al ser d positivo, el valor m´ximo o m´ a ınimo de d se correspondecon el de d2 , podemos optimizar la expresi´n: o g(x) = d2 = x4 − 5x2 + 9Hallamos los puntos cr´ ıticos Ö 5 g (x) = 4x − 10x 3 → x(4x − 10) = 0 2 → x = 0, x = ± 2Para estudiar la naturaleza de los puntos cr´ ıticos podemos acudir al signode la segunda derivada: g (x) = 12x2 − 10 g (0) = −10 → M´ximo relativo a g (+ 5 2) = 12 5 2 − 10 = 30 − 10 = 20 → m´ ınimo relativo g (− 5 2) = 12 5 2 − 10 = 30 − 10 = 20 → m´ ınimo relativoEl m´ximo relativo no es el m´ximo absoluto, ya que la funci´n no tiene a a om´ximo absoluto por alejarse hacia el infinito. aEl m´ ınimo absoluto estar´ en uno de los dos m´ a ınimos relativos, para deter-minarlo hallamos el valor de la funci´n g en cada uno de ellos. o Ö Ö 5 25 25 25 − 50 + 36 11 5 g(+ )= − +9= = = g(− ) 2 4 2 4 4 2Luego los puntos de la par´bola y = 4 − x2 que se encuentran m´s cercano a aal punto (0, 1) son: Ö Ö 5 5 3 5 3 f (+ )=4− = → P1 (+ , ) 2 2 2 2 2
    • 208 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Ö Ö 5 5 3 5 3 f (− )=4− = → P2 (− , ) 2 2 2 2 2mientras que el punto m´s alejado no existe. a3.7. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 3Ejercicios propuestos del Cap´ ıtulo 3 Soluciones en la p´gina ?? a3.1.Problemas resueltos del Cap´ ıtulo 3 ıproca). Hallar, si existe, la funci´n rec´3.1 (Hallando la funci´n rec´ o o ıproca de: x f (x) = 1 + |x|estudiar la continuidad de ambas funciones y esbozar sus gr´ficas. aSoluci´n. –Continuidad de la funci´n f . Al no anularse el denominador para ning´ n valor o o ude x, el domino es todo R Df = RLa funci´n es continua en todo el dominio por tratarse de un cociente de funciones conti- onuas y no anularse el denominador.–La funci´n es inyectiva. En efecto, eliminando el valor absoluto y expresando la funci´n o opor casos, se tiene, x 1 si x ≥ 0 si x ≥ 0 1+x (1 + x)2 f (x) = x ⇒ f (x) = 1 si x < 0 si x < 0 1−x (1 − x)2(la funci´n es continua y derivable en x = 0). oAl ser f (x) > 0 para todo valor de x, la funci´n es estrictamente creciente en todo su odominio, y por tanto inyectiva. Al ser inyectiva tiene funci´n rec´ o ıproca.–Ecuaci´n de la rec´ o ıproca. De la ecuaci´n que define la funci´n o o x y= 1 + |x|se desprende que sig x = sig y. En consecuencia: x y Si y ≥ 0 ⇒ y = ⇒ y + yx = x ⇒ y = x − yx = x(1 − y) ⇒ x = 1+x 1−yde donde, intercambiando la variables, se tiene x x y= ⇒ f −1 (x) = para x ≥ 0 1−x 1−x x y Si y < 0 ⇒ y = ⇒ y − yx = x ⇒ y = x − yx = x(1 + y) ⇒ x = 1−x 1+yde donde, intercambiando la variables, se tiene x x y= ⇒ f −1 (x) = para x < 0 1+x 1+x
    • 3.7. PROBLEMAS PROPUESTOS DEL CAP´ ITULO 3 209Uniendo ambos resultados, resulta: x para x ≥ 0 f −1 (x) = 1−x ⇒ f −1 (x) = x x 1 − |x| para x < 0 1+x–Dominio y recorrido de la rec´ ıproca. Se tiene: Rf −1 = Df = R Df −1 = RfPara determinar Rf , tenemos en cuenta que Df = R y que f es estrictamente creciente.Y al ser, x x l´ ım =1 y l´ ım = −1 x→∞ 1 + |x| x→−∞ 1 + |x|resulta que Df −1 = Rf = (−1, 1)Es decir, se tiene: f : R → (−1, 1), f −1 : (−1, 1) → R–Continuidad de la funci´n rec´ o ıproca. Tenemos que x f −1 (x) = Df −1 = (−1, 1) 1 − |x|luego se trata del cociente de funciones continuas y no se anula el denominador –dentrodel dominio–. Luego la rec´ıproca es continua en todo su dominio.Gr´fica. a y f −1 y=x 1 f x -1 Figura 3.33: Simetr´ de las correspondencias inversas ıa3.2 (C´lculo de l´ a ımites mediante polinomios de Taylor). Utilizando el polinomiode Taylor de orden 3 centrado en el origen de la funci´n ln(1 + ln(1 + x)), y el de orden ocuatro centrado en el origen de 1 − cos(1 − cos x), calcula l´ ım x→0   ¡ 3 sen(x3 ) + 1 − cos(1 − cos x) 2 ln 1 + ln(1 + x) + e−2x − 1Soluci´n. Los desarrollos de Taylor de las funciones que intervienen en el l´ o ımite los obte-nemos a partir de los desarrollos de Taylor de las funciones elementales. En efecto,  x ¡ 3 3 x3 x9sen x ≈ x− +· · · ⇒ sen x3 ≈ x3 − +· · · = x3 − +· · · ⇒ sen x3 ≈ x3 −· · · 3! 3! 3!
    • 210 CAP´ ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE x2 x4 x2 x4 cos x ≈ 1 − + · · · ⇒ 1 − cos x ≈ − + ··· 2! 4! 2! 4!de donde, 2 4 x2 x4 x2 x4 − + ··· − + ··· 2! 4! 2! 4! x4 1 − cos(1 − cos x) ≈ − + ··· ≈ + ··· 2! 4! 8Por otro lado, x x x dt 1 x2 x3 ln(1 + x) = = dt = [1 − t + t2 − · · · ] dt = x − + − ··· 0 1+t 0 1 − (−t) 0 2 3de donde, x2 x3 x2 x3   ¡ln 1 + ln(1 + x) ≈ (x − x + 2 x3 − ···) − (x − 2 + 3 · · · )2 + (x − 2 + 3 · · · )3 ··· 2 3 2 3 2 3 2 3 3 x x x x x ≈ (x − + − ···) − ( − + ···) + ( − ···) 2 3 2 2 3 3 7x ≈ x − x2 + − ··· 6Y, finalmente, tenemos x2 x3 x2 x3 ex ≈ 1 + x + + + ··· ⇒ ex − 1 ≈ x + + + ··· 2 3! 2 3!de donde, (−2x)2 (−2x)3 8x3 e−2x − 1 ≈ −2x + + + · · · ≈ −2x + 2x2 − + ··· 2 3! 6de donde, sustituyendo, resulta: l´ ım x→0   ¡ 3 sen(x3 ) + 1 − cos(1 − cos x) 2 ln 1 + ln(1 + x) + e−2x − 1 = 4 3[x3 − · · · ] + [ x − · · · ] 8 = l´ ım = x→0 7x3 8x3 2[x − x2 +− · · · ] + [−2x + 2x2 − + ···] 6 3 3[x3 − · · · ] 3[x3 − · · · ] = l´ ım 3 3 = l´ ım =3 x→0 14x 8x x→0 6x3 [2x − 2x2 + − · · · ] + [−2x + 2x2 − + ···] 6 6 6Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 3 Soluciones en la p´gina 391 a3.1.
    • Cap´ ıtulo 4Derivaci´n de funciones de ovarias variables4.1. Derivadas parciales4.1.1. Introducci´n oFunciones de una variable. Recordemos que para una funci´n de una ovariable f : D ⊆ R → R definida en el intervalo abierto D de R, se define laderivada de f en x0 ∈ D, denotada por f (x0 ), como el valor del siguientel´ ımite, si existe y es finito. dy f (x0 + h) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) f (x0 ) = (x0 ) = l´ ım = l´ ım dx h→0 h x→x0 x − x0Si f (x0 ) existe, su valor nos da la pendiente de la recta tangente a la gr´fica ade la funci´n y = f (x) en el punto x0 , f (x0 ) . El valor de f (x0 ) tambi´n o erepresenta la raz´n de cambio instant´neo de y respecto de x. o aNota: La raz´n de definir la derivada en un punto perteneciente a un con- ojunto abierto D (dominio de la funci´n), es para poder asegurar que para oh ∈ R peque˜o, se tenga (x0 + h) ∈ D y que as´ tenga sentido la expresi´n n ı of (x0 + h) que aparece en la definici´n de derivada. o La importancia de estudiar el concepto de derivada radica en que a partirde la derivada de una funci´n en un punto se puede obtener informaci´n so- o obre el comportamiento de la propia funci´n, aunque esta informaci´n es s´lo o o olocal , es decir, a partir de f (x0 ) obtenemos informaci´n sobre el compor- otamiento de f , pero s´lo alrededor de x0 . As´ por ejemplo, el simple hecho o ı,de la existencia de f (x0 ) se˜ala un comportamiento suave de la gr´fica de n ala funci´n en los alrededores del punto x0 , f (x0 ) ; el signo de f (x0 ) se˜ala o nel crecimiento o decrecimiento de la funci´n alrededor del punto, etc. Esta oinformaci´n, aunque s´lo es local, es muy importante. No obstante, a partir o ode la funci´n derivada f (x) podemos obtener una informaci´n m´s global o o adel comportamiento de la funci´n. o 211
    • 212 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLESFunciones de dos variables. El concepto de derivada se puede generalizara funciones de dos variables z = f (x, y). La idea intuitiva responde a lasiguiente cuesti´n: ¿C´mo se va a ver afectada una funci´n de dos variables o o opor una variaci´n de una de sus variables, mientras que la otra variable opermanece fija? Podemos responder a esta cuesti´n considerando cada vez os´lo una de las variables. Esto es, hacemos la derivada de la funci´n cada vez o ocon respecto a una variable, manteniendo constante la otra. Este proceso seconoce como derivaci´n parcial, y su resultado se llama derivada parcial de la ofunci´n respecto a la variable independiente elegida. Para ello partimos de la oidea del concepto de derivada de funciones de una variable “el l´ımite, cuandoel incremento de la variable tiende a cero, del cociente del incremento de lafunci´n dividido entre el incremento de la variable”. Suponemos que una de olas variables es constante e incrementamos s´lo la otra, es decir, hacemos ola derivada suponiendo que la funci´n depende s´lo de una de las variables. o oCon ello se reduce la discusi´n al caso uni-dimensional considerando una ofunci´n de varias variables como una funci´n de una sola variable (cada o ovariable separadamente), manteniendo fijas las dem´s. a4.1.2. Definici´n oSupongamos que en cierto entorno del punto (x0 , y0 ) est´ dada la funci´n a oz = f (x, y). Si fijamos la variable y: y = y0 , obtenemos una funci´n de una osola variable x: z = f (x, y0 ). La derivada “habitual”de esta funci´n en el opunto x = x0 se llama derivada parcial de la funci´n f en el punto (x0 , y0 ), orespecto de x, y se denota por ∂f (x0 , y0 ) ∂f , o bien (x0 , y0 ) ∂x ∂xDe esta forma, ∂f (x0 , y0 ) def df (x, y0 ) = ∂x dx x=x0Nota: Se˜alemos que la designaci´n de la derivada parcial de la funci´n n o o ∂f (x0 , y0 )f , respecto de la variable x, por es tradicional. Aunque es m´s a ∂x ∂f ∂fcorrecto escribir (x0 , y0 ), ya que la expresi´n o es un s´ ımbolo unico, ´ ∂x ∂xque designa la nueva funci´n, cuyo valor se analiza en el punto (x0 , y0 ). o Teniendo en cuenta la definici´n de derivada de una funci´n de una sola o ovariable, resulta la siguiente definici´n de derivada parcial para funciones de odos variable.Definici´n 4.1. Dada una funci´n de dos variables f : D ⊆ R2 → R o odefinida en el abierto D de R2 , se define la derivada parcial de f con respecto
    • 4.1. DERIVADAS PARCIALES 213a x en el punto p = (x0 , y0 ) de D como el valor del siguiente l´mite, si existe ıy es finito. ∂f f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = l´ ım ∂x h→0 hDel mismo modo, se define la derivada parcial de f con respecto a y en p,como el siguiente l´ ımite, si existe y es finito. ∂f f (x0 , y0 + k) − f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = l´ ım ∂y k→0 k N´tese que en cada caso aplicamos la definici´n de derivada incremen- o otando solamente una de las variables, mientras que la otra permanece fija.M´s expl´ a ıcitamente podemos escribir: ∂f f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = l´ ım ∂x ∆x→0 ∆x ∂f f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = l´ ım ∂y ∆y→0 ∆yC´lculo de derivadas parciales aplicando la definici´n. a oEjemplo 4.1. Calcular, aplicando la definici´n, las dos derivadas parciales ode la funci´n f (x, y) = xy + x − y, en el punto p(0, 0). oSoluci´n. o∂f f (0 + h, 0) − f (0, 0) f (h, 0) − f (0, 0) (0, 0) = l´ ım = l´ ım =∂x h→0 h h→0 h h·0+h−0−0 h = l´ ım = l´ım = l´ 1 = 1 ım h→0 h h→0 h h→0∂f f (0, 0 + k) − f (0, 0) f (0, k) − f (0, 0) (0, 0) = l´ ım = l´ ım =∂y k→0 k k→0 k 0·k+0−k−0 −k = l´ ım = l´ım = l´ −1 = −1 ım k→0 k k→0 k k→0Ejemplo 4.2. Calcular las dos derivadas parciales en el punto p(0, 0) de lafunci´n: o xy 2 si (x, y) = (0, 0) f (x, y) = x2 + y 2 0 si (x, y) = (0, 0)Soluci´n. o∂f f (0 + h, 0) − f (0, 0) f (h, 0) − f (0, 0) (0, 0) = l´ ım = l´ ım =∂x h→0 h h→0 h h · 02 2 2 −0 0 = l´ h + 0 ım = l´ım = l´ 0 = 0 ım h→0 h h→0 h h→0
    • 214 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES∂f f (0, 0 + k) − f (0, 0) f (0, k) − f (0, 0) (0, 0) = l´ ım = l´ ım =∂y k→0 k k→0 k 0 · k2 2 2 −0 0 = l´ 0 + k ım = l´ım = l´ 0 = 0 ım k→0 k k→0 k k→0Ejemplo 4.3. Calcular, aplicando la definici´n, las dos derivadas parciales ode la funci´n f (x, y) = 2x o 2 − xy + y 2 , en el punto p(1, 0).Soluci´n. o ∂f f (1 + h, 0) − f (0, 0) (1, 0) = l´ h→0 ım = ∂x h 2(1 + h)2 − (1 + h) · 0 + 02 − (2 − 0 + 0) = l´ ım = h→0 h 2(1 + 2h + h 2) − 2 2 + 4h + 2h 2−2 = l´ ım = l´ım = h→0 h h→0 h 4h + 2h2 = l´ ım = l´ (4 + 2h) = 4 ım h→0 h h→0 ∂f f (1, 0 + k) − f (1, 0) f (1, k) − f (1, 0) (1, 0) = l´ k→0 ım = l´ k→0 ım = ∂y k k 2 · 12 − 1 · k + k 2 − (2) 2 − k + k2 − 2 = l´ ım = l´ ım = k→0 k 0→0 k −k + k 2 = l´ ım = l´ (−1 + k) = −1 ım k→0 k k→04.1.3. La funci´n derivada parcial oSi hallamos las derivadas parciales de una funci´n de dos variables z = of (x, y) en un punto gen´rico (x, y) de su dominio, obtenemos, a su vez, efunciones de dos variables, llamadas funciones derivadas parciales. As´ ı:∂f f (x + h, y) − f (x, y) ∂f f (x, y + k) − f (x, y) (x, y) = l´ ım , (x, y) = l´ ım∂x h→0 h ∂y k→0 kEjemplo 4.4. Hallar, aplicando la definici´n, las derivadas parciales de la ofunci´n: o f (x, y) = x2 y 3 + 5Soluci´n. o∂f f (x + h, y) − f (x, y) (x + h)2 y 3 + 5 − (x2 y 3 + 5) (x, y) = l´ ım = l´ ım =∂x h→0 h h→0 h x2 y 3 + 2hxy 3 + h2 y 3 + 5 − x2 y 3 − 5 2hxy 3 + h2 y 3 = l´ ım = l´ ım = h→0 h h→0 h = 2x y 3
    • 4.1. DERIVADAS PARCIALES 215 ∂f f (x, y + k) − f (x, y) x2 (y + k)3 + 5 − (x2 y 3 + 5) (x, y) = l´ ım = l´ım = ∂y k→0 k k→0 k x2 y 3 + 3x2 y 2 k + 3x2 yk 2 + x2 k 3 + 5 − x2 y 3 − 5 = l´ ım = k→0 k 3x2 y 2 k + 3x2 yk 2 + x2 k 3 = l´ ım = l´ 3x2 y 2 + 3x2 yk + x2 k 2 = ım k→0 k k→0 = 3x2 y 2C´lculo de derivadas parciales mediante las reglas de derivaci´n. a oSi observamos los resultados del ejemplo anterior, podemos concluir que noes necesario aplicar la definici´n para calcular las derivadas parciales, sino oque se pueden calcular aplicando las reglas ordinarias de derivaci´n. Esto ose deduce de la propia definici´n, ya que de la definici´n de las derivadas o oparciales, como derivadas ordinarias con la condici´n de que se han fijado otodas las variables excepto una, respecto de la cual se toma la derivada, sededuce que al calcular las derivadas parciales se pueden utilizar las reglasdel c´lculo de las derivadas ordinarias. Es decir, a ∂f (x, y) Se puede calcular mediante las reglas de derivaci´n, es decir, como o ∂x una derivada ordinaria, de la funci´n f respecto de la variable x, o suponiendo y constante (es decir, como si la funci´n f dependiera o s´lo de x, porque y es un n´mero). En consecuencia, consideramos o u que y es constante y derivamos con respecto a x. ∂f (x, y) Se puede calcular mediante las reglas de derivaci´n, es decir, como o ∂y una derivada ordinaria, de la funci´n f respecto de la variable y, o suponiendo x constante (es decir, como si la funci´n f dependiera o s´lo de y, porque x es un n´mero). En consecuencia, consideramos o u que x es constante y derivamos con respecto a y.Ejemplo 4.5. Calcular las dos derivadas parciales de las siguientes fun-ciones: 1. f (x, y) = x2 + 2xy 2 − y 3 a) Fijemos en la f´rmula la variable y, es decir, supongamos que y o es un n´mero, con lo cual obtenemos una funci´n de una sola u o variable x; y calculando su derivada tendremos: ∂f = 2x + 2y 2 ∂x b) De la misma forma, fijemos ahora la variable x es decir, supon- gamos que x es un n´mero, con lo cual obtenemos una funci´n u o de una sola variable y; y calculando su derivada tendremos: ∂f = 4xy − 3y 2 ∂y
    • 216 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 2. z = (x2 + y 2 )e−xy ∂z = 2xe−xy + (x2 + y 2 )(−ye−xy ) = (2x − x2 y − y 3 )e−xy ∂x ∂z = 2ye−xy + (x2 + y 2 )(−xe−xy ) = (2y − x3 − xy 2 )e−xy ∂y 3. z = xyex/y ∂z 1 = yex/y + xy( ex/y ) = (y + x)ex/y ∂x y ∂z −x x2 x(y − x)ex/y = xex/y + xy( 2 ex/y ) = (x − )ex/y = ∂y y y yEjemplo 4.6. Dada la funci´n: f (x, y) = 4x3 y 2 − 4x2 + y 6 + 1. Hallar las odos derivadas parciales en el punto (1, 1)Soluci´n. Calculamos las derivadas parciales mediante las reglas de deriva- oci´n y luego sustituimos las coordenadas del punto. o ∂f ∂f (x, y) = 12x2 y 2 − 8x → (1, 1) = 12 − 8 = 4 ∂x ∂x ∂f ∂f (x, y) = 8x3 y + 6y 5 → (1, 1) = 8 + 6 = 14 ∂y ∂yNotaci´n: Se utilizan las siguientes notaciones: o ∂z ∂f ∂f zx = = = (x, y) = fx = fx = fx (x, y) = Dx f (x, y) = D1 f (x, y) ∂x ∂x ∂x ∂z ∂f ∂f zy = = = (x, y) = fy = fy = fy (x, y) = Dy f (x, y) = D2 f (x, y) ∂y ∂y ∂yCuando se trate de un punto gen´rico (x, y), normalmente no indicaremos las ecoordenadas, simplemente pondremos fx . Sin embargo, cuando se trate de unpunto concreto (x0 , y0 ), siempre las indicaremos, para saber de qu´ punto se etrata. En este caso, en algunas ocasiones utilizaremos la siguiente notaci´n: o ∂f ∂f (x0 , y0 ) = ∂x ∂x (x0 ,y0 )4.1.4. Funciones de m´s de dos variables aEl concepto de derivada parcial se puede generalizar a funciones de cualquiern´mero de variables. Bastar´ con derivar la funci´n suponiendo que depende, u a oen cada caso, de una sola variable, con las dem´s fijas. As´ si w = f (x, y, z), a ı,entonces hay tres derivadas parciales, las cuales se obtienen considerandocada vez dos de las variables constantes y derivando respecto de la otra. Es
    • 4.1. DERIVADAS PARCIALES 217decir, para definir la derivada parcial de w con respecto a x, consideramosque y y z son constantes y escribimos ∂w f (x + ∆x, y, z) − f (x, y, z) = l´ ım ∂x ∆x→0 ∆xPara definir la derivada parcial w con respecto a y, consideramos que x y zson constante y escribimos ∂w f (x, y + ∆y, z) − f (x, y, z) = l´ ım ∂y ∆y→0 ∆yPara definir la derivada parcial w con respecto a z, consideramos que x y yson constante y escribimos ∂w f (x, y, z + ∆z) − f (x, y, z) = l´ ım ∂z ∆z→0 ∆zEjemplo 4.7. Hallar las derivadas parciales de la funci´n: o f (x, y, z) = e−5z cos πx sen 4ySoluci´n. En cada caso, suponemos constante dos de las variables, con lo cual ose obtiene una funci´n de una sola variable, respecto de la cual se deriva. o ∂f = −πe−5z sen πx sen 4y ∂x ∂f = 4e−5z cos πx cos 4y ∂y ∂f = −5e−5z cos πx sen 4y ∂zNotaci´n vectorial para definir las derivadas parciales. Como acabamos de ver, oel concepto de derivada parcial se extiende a funciones de tres variables f (x, y, z) de lasiguiente forma: ∂f f (x, y + ∆y, z) − f (x, y, z) f (x, y + t, z) − f (x, y, z) = l´ ım = l´ ım ∂y ∆y→0 ∆y t→0 t An´logamente se calculan las dem´s derivadas parciales. a a Para los incremento, ∆x, ∆y, etc., en vez de usar las letras h, k, etc., se pueden usarh1 , h2 , etc., o bien, podemos usar siempre la letra t. Del mismo modo se extiende a funciones de cuatro variables f (x, y, z, u) ∂f f (x, y + t, z, u) − f (x, y, z, u) = l´ ım ∂y t→0 t Desde el punto de vista te´rico, para definir las derivadas parciales en el caso general ode funciones de n variables f : D ⊆ Rn → R, conviene usar notaci´n vectorial. Para oello consideramos los vectores e1 , e2 , · · · , en ∈ Rn de la base can´nica de Rn , cuyas ocomponentes son: e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, · · · , 0), · · · , en = (0, 0, · · · , 1)
    • 218 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLEScon lo cual, para cualquier n´mero t ∈ R, resulta: u te1 = (t, 0, · · · , 0), te2 = (0, t, · · · , 0), · · · , ten = (0, 0, · · · , t)de donde, para cualquier punto p ∈ Rn , de coordenadas p = (x1 , x2 , · · · , xn ), se tiene: p + tei = (x1 , x2 , · · · , xn ) + (0, · · · , t, · · · , 0) = (x1 , x2 , · · · , xi + t, · · · , xn )Es decir, p + tei tiene las mismas coordenadas que p, salvo la i-´sima coordenada que se eha incrementado en t. En consecuencia, podemos enunciar la siguiente definici´n: oDefinici´n 4.2 (Derivadas parciales). Sea f : D ⊆ Rn → R una funci´n definida en o oel conjunto abierto1 D de Rn , y sea p ∈ D. Se define la derivada parcial de f con respectoa su i-´sima variable en el punto p, como el siguiente l´ e ımite, si existe y es finito: ∂f f (p + tei ) − f (p) (p) = l´ ım ∂xi t→0 t Del mismo modo puede definirse la derivada parcial en un punto gen´rico x ∈ D, ecomo ∂f f (x + tei ) − f (x) (x) = l´ ım ∂xi t→0 t4.1.5. Raz´n de cambio oLas derivadas parciales tambi´n pueden interpretarse como la raz´n de cam- e obio instant´neo de la funci´n respecto de una variable, mientras la otra a opermanece fija. As´ı,∂f (x0 , y0 ) Se puede interpretar como la raz´n de cambio instant´neo de la o a∂x funci´n f cuando se conserva o fija la variable y y var´ la x. ıa∂f (x0 , y0 ) Se puede interpretar como la raz´n de cambio instant´neo de la o a∂y funci´n f cuando se conserva o fija la variable x y var´ la y. ıaEs decir, las derivadas parciales miden la velocidad de variaci´n parcial de ola funci´n con respecto a cada variable, cuando las dem´s se mantienen fijas. o aEjemplo 4.8. Un cilindro recto tiene 4 cm. de radio y 20 cm. de altura. Ha-llar la raz´n de cambio del volumen del cilindro respecto del radio y respecto ode la altura.Soluci´n. Tenemos que V = πr2 h, luego: oPara hallar la raz´n de cambio del volumen respecto del radio, r, fijamos o 1 La raz´n de definir las derivadas parciales en un punto perteneciente a un conjunto oabierto D (dominio de la funci´n), es para poder asegurar que para t ∈ R peque˜o, se tenga o np + tei ∈ D y que as´ tenga sentido la expresi´n f (p + tei ) que aparece en la definici´n de ı o oderivada parcial. No obstante, este requisito puede reemplazarse por la exigencia de quep sea un punto interior del dominio. Es decir, para poder hablar de la derivada de unafunci´n en un punto, la funci´n tiene que estar definida en cierto entorno del punto. o o
    • 4.1. DERIVADAS PARCIALES 219la altura, h, y derivamos con respecto a r. A continuaci´n evaluamos la oderivada parcial para r = 4 y h = 20. ∂V ∂V = 2πrh → (r = 4, h = 20) = 2π · 4 · 20 = 160π cm3 /cm de r ∂r ∂rPara hallar la raz´n de cambio del volumen respecto de la altura, h, fijamos el oradio, r, y derivamos con respecto a h. A continuaci´n evaluamos la derivada oparcial para r = 4 y h = 20. ∂V ∂V = πr2 → (r = 4, h = 20) = 16π cm3 /cm de h ∂h ∂hEn el primer caso, si mantenemos fija la altura e incrementamos el radio, seproduce un incremento del volumen de 160π cm3 /cm de r. Mientras queen el segundo caso, si mantenemos fijo el radio e incrementamos la altura,se produce un incremento del volumen de 16π cm3 /cm de h4.1.6. Interpretaci´n geom´trica de las derivadas parciales o e Recta tangente Recta d © = f (x, y0 ) ‚ d z z = f (x, y) tangente z   z © T   P• T •   z = f (x, y) P k     z = f (x0 , y)    y0 y E y0 y E       x0  • p(x0 , y0 )   x0   •x    x  p(x0 , y0 )©    ©   Figura 4.1: Curvas z = f (x, y0 ) y z = f (x0 , y).Si en la ecuaci´n z = f (x, y) fijamos la variable y, y = y0 , resulta una ofunci´n de una sola variable, z = f (x, y0 ) = g(x). Desde el punto de vista ogeom´trico, la funci´n g(x) = f (x, y0 ) representa la curva que se obtiene de e ola intersecci´n de la superficie z = f (x, y) con el plano y = y0 o z = f (x, y) z = f (x, y0 ) = g(x) y = y0En consecuencia, la derivada parcial de la funci´n f , respecto de la variable ox, en el punto p representa la pendiente de la tangente a la curva g(x) =f (x, y0 ) en el punto P correspondiente de la gr´fica, es decir, la inclinaci´n a ode la superficie en la direcci´n del eje x. o
    • 220 CAP´ ´ ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES An´logamente, la funci´n g(y) = f (x0 , y) representa la curva que se a oobtiene de la intersecci´n de la superficie z = f (x, y) con el plano x = x0 o z = f (x, y) z = f (x0 , y) = g(y) x = x0La derivada parcial de la funci´n f , respecto de la variable y, en el punto p orepresenta la pendiente de la tangente a la curva g(y) = f (x0 , y) en el puntoP correspondiente de la gr´fica, es decir, la inclinaci´n de la superficie en la a odirecci´n del eje y. o En un lenguaje m´s informal, diremos que los valores de ∂f /∂x y ∂f /∂y aen el punto (x0 , y0 ) representan la pendiente de la superficie en el punto(x0 , y0 , z0 ) en las direcciones de los ejes x e y, respectivamente.Ejemplo 4.9. Hallar la pendiente a la superficie f (x, y) = 16 − x2 − 4y 2 enel punto P (3, −1, 3), en las direcciones de los ejes x e y.Soluci´n. En la direcci´n del eje Ox, la pendiente viene dada por o o ∂f ∂f = −2x → (3, −1) = −6 → tan α = −6 ∂x ∂xEn la direcci´n del eje Oy, la pendiente viene dada por o ∂f ∂f = −8y → (3, −1) = 8 → tan β = 8 ∂y ∂y El que la derivada parcial en una direcci´n sea positiva y en otra negativa osignifica que, desde el punto p, en la direcci´n del eje Ox la funci´n decrece, o omientras que en la direcci´n del eje Oy crece. o4.1.7. Continuidad y derivadas parcialesRecordemos que para n = 1, es decir, para las funciones de una variable, dela existencia de la derivada en un punto se deriva tambi´n que la funci´n e oes continua en ese punto. Sin embargo, para funciones de varias variables,la existencia de las derivadas parciales no garantiza la continuidad de unafunci´n. o En efecto, la existencia de fx depende del comportamiento de la funci´n os´lo en la direcci´n del eje x, y la existencia de fy del comportamiento de la o ofunci´n s´lo en la direcci´n del eje y, mientras que la continuidad depende del o o ocomportamiento de la funci´n en todos los puntos del entorno. Esto significa oque una funci´n puede tener derivadas parciales en un punto aunque no sea ocontinua en dicho punto. Tenemos pues, que cuando n ≥ 2, incluso de la existencia de todas lasderivadas parciales en cierto punto, no se deduce la continuidad en ese punto.
    • 4.1. DERIVADAS PARCIALES 221 Por otro lado, igual que ocurre para funciones de una variable, resultaevidente que de la continuidad de las funciones de n variables en un puntodado, no se deriva la existencia de sus derivadas parciales en ese punto. En consecuencia, para funciones de n variables, n ≥ 2, ni de la conti-nuidad de esa funci´n en un punto se deduce la existencia de las derivadas oparciales, ni de la existencia de las derivadas parciales se deduce la conti-nuidad en el punto.Ejemplo 4.10. Estudiar la continuidad y calcular las dos derivadas par-ciales en el punto p(0, 0) de la funci´n f : R2 → R definida por: o xy si (x, y) = (0, 0) f (x, y) = x2 + y2 0 si (x, y) = (0, 0)Soluci´n. o 1. Continuidad: La funci´n no es continua en el punto p(0, 0), ya que no o existe el l´ ımite en dicho punto. En efecto, si nos acercamos al punto mediante las rectas y = mx resulta: xy xy xmx l´ ım = l´ ım = l´ ım = (x,y)→(0,0) x2 +y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y2 (x,y)→(0,0) x 2 + m2 x2 y=mx y=mx x→0 m m