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Problemas resueltos fluidos
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Problemas resueltos fluidos

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  • 1. 236 Jorge Mendoza Dueñas Ciencia y Tecnología barcos agua Los barcos flotan en el agua Un barco antes de conseguir su estado de equilibrio (flotamiento) se hunde parcialmente en el agua; de hecho el barco tiene peso, si éste fuese la única fuerza externa, el barco se hundiría, por consiguiente existe una fuerza contraria al peso que lo anula; ésta es el em- puje que el agua ejerce sobre el barco; dicha fuerza no solo depende de la densidad del agua, también del volumen del barco que se sumerge al agua (volumen de agua que desa- loja). Si en la posición que se muestra, se in- trodujera más peso al barco, éste se hundiría más, desalojando así mayor cantidad de agua y por ende aumentando el empuje hasta anu- lar el nuevo peso; esto se puede seguir realizando hasta que el barco se hunda según el “límite” establecido. Vasos comunicantes comunicantes El tanque de agua que abastece la ciudad, se en- cuentra a una altura superior a dicho poblado, en este caso no hay necesidad de una bomba elevadora de agua a excepción de la que se utiliza para succionar el líquido elemento del subsuelo. (aplicación del principio de los vasos comunicantes). El submarino Todo submarino posee en su inte- Para descender: el tanque Para ascender: el tanque rior un enorme tanque donde puede se llena de agua se llena de aire. almacenar agua o aire.
  • 2. Estática de los Fluidos 237 RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOS A problemas de aplicación 1.- El área de contacto entre el blo- Donde: que de 150 N de peso y el plano horizontal es 3 m2; calcular la γ = peso específico del agua presión que ejerce dicho peso ρ = densidad del agua sobre la superficie. g = aceleración de la gravedad h = profundidad Solución: P = presión hidráulica P= F Peso = b 100 000 = 1200 × 10 h g ⇒ h = 8 , 33 m A Area NOTA 150 N No olvidar de homogenizar el sistema de unidades antes P= ⇒ P = 50 Pascal 3 m2 de reemplazar los datos en la fórmula. 2.- Una gata hidráulica tiene dos pistones de diámetro 1 y 5 cm ¿Cuál es la fuerza necesaria en el pistón peque- 4.- Los recipientes que se muestran en el esquema con- ño para que el grande levante un objeto de 10 N? tienen agua hasta el mismo nivel y tienen igual área en la base. Se pide: Solución: A) ¿En cual de los casos el agua pesa más? t En una prensa B) ¿En cual de los casos la presión en el fondo es hidraúlica: mayor? F2 = F1 FA I 2 GH A JK 1 D2 5 t Dado: = D1 1 (2) (1) (3) F πD 2 I G 10 = F G 4 2 JJ ⇒ 10 = F1 FD I2 2 Solución: 1 GG πD 2 JJ GH D JK 1 A) Caso general para determinar el peso de un 1 H 4 K cuerpo. 2 F 5I 10 = F G J ⇒ F1 = 0 , 4 N 1 H 1K e jb Wlíquido = γ líquido volumen g γ liquido 3.- Calcular la profundidad a la que debe sumergirse un Como quiera que el líquido es el mismo en todos submarino para soportar una presión hidráulica igual los recipientes (agua): γ1 = γ2 = γ3 = γagua a la presión atmosférica. Densidad del agua de mar = 1 200 kg/m3 Luego se tendrá: W1 = γ agua V1b g Presión atmosférica = 100 000 N/m2 ; g = 10 m/s2 W2 = γ agua bV g 2 Solución: W3 = γ agua bV g 3 P=γ h Como se verá, el peso sera mayor donde el volu- men de agua también lo sea; de los gráficos se tiene: V1 > V3 > V2 b g P = ρg h Por lo tanto: W1 > W3 >W2
  • 3. 238 Jorge Mendoza Dueñas B) Caso general: t Equilibrio vertical: Etotal = peso γ HgVsumergido = γ acero Vtotal e jb g PA = γ líquido h dρ giV Hg = bρ sumergido gg V acero total PA : presión hidrostatica en “A” b13 600gAx = b7 800gAb0,10g En nuestro caso las profundidades de los recipien- Siendo: A = Area de la sección tes son iguales, luego: x = 0 , 057 4 m ⇒ x = 5, 74 cm P1 = P2 = P3 B problemas complementarios5.- Calcular el peso específico de la esfera, sabiendo que flota entre dos líquidos no miscibles; el volumen su- mergido en agua es el 60% de su volumen total. 1.- Los émbolos A, B y C tienen un área de 5 cm2, 60 cm2 γ = 8 000 N/m3 ; γ = 10 000 N/m3 y 70 cm2 respectivamente; si F = 50 N, determine el aceite agua valor total de (R + Q). Solución: D.C.L. (esfera) Analizando volúmenes Solución: F R Q t PA = PB = PC ⇒ = = AA AB AC 50 N R t = ⇒ R = 600 N 5 cm2 60 cm2 50 N Q t = ⇒ Q = 700 N t Equilibrio vertical: Etotal = peso 5 cm2 70 cm2 Eaceite + Eagua = peso t Finalmente: R + Q = 1 300 N γ aceite V1 + γ aguaV2 = γ esferaV 2.- Sobre la palanca AB como se muestra en la figura, el γ aceite 0 , 4 V + γ agua 0 , 6 V = γ esferaV c h c h extremo “B” es conectado a un pistón que se mueve 8 000b0 , 4 Vg + 10 000b0 , 6 Vg = γ en el interior de un cilindro de 5 cm de diámetro. Qué esferaV fuerza “P” debe ejercerse sobre el pistón de mayor diá- γ esfera = 9 200 N / m3 metro para prevenir el movimiento en el interior del cilindro de 25 cm de diámetro.6.- Un cubo de acero de 10 cm de arista, flota en mercu- rio; calcular la altura de la arista del cubo que se su- merge (ρHg = 13 600 kg/m3, ρacero = 7 800 kg/m3). Solución: Solución: t Fuerza en el pistón chico (F): ΣMo = 0 b500 Ngb15 cmg = Fb10 cmg ⇒ F = 750 N
  • 4. Estática de los Fluidos 239 t Por principio de Pascal: F = P b g b g PB = Patm + 500 g 0 , 06 + 300 g 0 ,10 + 200 g 0 ,12 b g A1 A2 PB = Patm + 84 g ............. (2) πD12 πD22 Donde: A1 = ; A2 = t (2) − (1): 4 4 t Finalmente se tiene que: PB − PA = 64 g = 64 10 b g 2 PB − PA = 640 N / m2 ⇒ PB − PA = 640 Pa P = 750 FG 25 IJ ⇒ P = 18 750 N H 5K 3.- Los líquidos están en equilibrio dentro del tubo en U. 5.- La presión en el interior de un neumático es 168 000 Pa. Hallar: ρ1/ρ2. Hallar el desnivel del mercurio cuando se conecta a este neumático un manómetro de tubo abierto en forma de U (ver figura), (Patmosférica = 100 000 Pa, g = 10 m/s2, ρHg = 136 000 N/m3). Solución: Solución: t PA = PB t PA = PB b g Patm + γ 2 0 , 01 = Patm + γ 1 0 , 02 b g bg Pgas = γ Hg x + Patm γ1 1 ρ1 g 1 bg 168 000 = 136 000 x + 100 000 ⇒ x = 0, 50 m = ⇒ = γ2 2 ρ2 g 2 ρ1 1 6.- Un bloque de madera flota en el agua con las dos ter- = ceras partes de su volumen sumergido. En aceite flota ρ2 2 sumergido los 0,9 de su volumen. Encontrar la densi- dad de la madera y el aceite. 4.- Hallar la diferencia de presión entre los puntos B y A de la figura mostrada: Solución: 1er Caso: 2do Caso: ρ1 = 200 kg/m3 ρ2 = 300 kg/m3 ρ3 = 500 kg/m3 g = 10 m/s2 t 1er Caso: Madera sumergida en agua Solución: Eagua = P t Calculando la presión en A: γ agua FG 2 VIJ = P ⇒ 10 000 FG 2 VIJ = P ..... (1) H3 K H3 K b g PA = Patm + γ 1 0 ,10 t 2do Caso: Madera sumergida en aceite PA = Patm + ρ gb0 ,10g = P 1 b g atm + 200g 0 , 10 Eaceite = P PA = Patm + 20g ............. (1) b g γ aceite 0 , 9 V = P ..... (2) t Calculando la presión en B: t (1) = (2) b g b g b g PB = Patm + γ 3 0 , 06 + γ 2 0 ,10 + γ 1 0 ,12 FG 2 VIJ = γ PB = Patm + ρ gb0 , 06g + ρ gb0 , 10g + ρ gb0 ,12g 10 000 H3 K aceite b0 , 9 Vg 3 2 1
  • 5. 240 Jorge Mendoza Dueñas γ aceite = 7 407 , 4 N / m3 ⇒ ρaceite = 740 , 7 kg / m3 t Equilibrio: ΣFv = 0 T T t En (1) tenemos: E=P+ + 2 2 10 000 FG 2 VIJ = γ madera V γ aguaV = mg + T H3 K γ madera = 6 666,6 N/m3 b g b gb g 10 000 0 ,1 = 60 10 + T T = 400 N ρmadera = 666 , 6 kg/m37.- Un bloque de 10 cm3, se suelta desde la parte supe- 9.- Un pedazo de metal pesa 1 800 N en el aire y 1 400 N rior de un recipiente que contiene un líquido cuyo cuando se le sumerge en el agua. ¿Cuál es la densidad peso específico es de 10 000 N/m3. Calcular la acelera- del metal? dar su respuesta en (kg/m3) g = 10 m/s2. ción del bloque de 5 N de peso (g = 10 m/s2). Solución: Solución: t Calculando la pérdida de peso (empuje) t Calculando γcuerpo: Wverdadero = 1 800 N ................... (1) 3 Vcuerpo = 10 cm ×3 b g (1 m 3 1 m) Waparente en agua = 1 400 N ........ (2) 3 (100 cm 3 b100 cm) g (1) − (2) = Pérdida aparente de peso = 400 N Vcuerpo = 10 −5 m3 Pcuerpo 5N NOTA γ cuerpo = = Vcuerpo 10 −5 m3 La pérdida aparente de peso es igual al empuje ejercido por el líquido. γ cuerpo = 5 × 105 N / m3 Luego: E = 400 N t Aplicando la 2da ley de Newton: W t Calculando el volumen del metal: P−E= a g ρagua = 1 000 kg / m3 ; g = 10 m / s2 ; E = 400 N FG E IJ g ⇒ a = FG1− γ V IJ g a = 1− L γ agua Vmetal = 400 H WK H γ VK cuerpo ρagua gVmetal = 400 F 10 000 V I10 ⇒ a = 9, 8 m / s a = G 1− 2 H 5 × 10 V JK 5 b1 000gb10g V metal = 4008.- La esfera mostrada de 60 kg y 0,1 m3 está en reposo. Vmetal = 0 , 04 m3 Hallar las tensiones en las cuerdas (γagua = 10 000 N/m3, g = 10 m/s2). t Nos piden la densidad del metal: Wmetal = 1 800 N ; g = 10 m / s2 Vmetal = 0 , 04 m3 ; ρmetal = ? (kg / m3 ) W γ metal = V Solución: D.C.L. W ρmetal g = V W 1 800 ρmetal = = b gb g gV 10 0 , 04 ρmetal = 4 500 kg / m3
  • 6. Estática de los Fluidos 241 PROBLEMAS PROPUESTOS A problemas de aplicación 1.- Calcular la fuerza que ejerce el agua sobre una loseta 7.- Un recipiente en forma de cubo de 2 m de arista está de 10 cm de lado colocada en el fondo de una piscina lleno de un líquido. El peso del recipiente lleno es de cuyo nivel de agua es de 2,8 m. 40 000 N y el peso del recipiente vacío es de 30 000 N. Hallar la densidad del líquido. Rpta. 280 N Rpta. ρL = 125 kg/m3 2.- ¿Cuánto aumenta la presión en el fondo del recipien- te al colocar el pistón de masa m = 100 kg. Si el agua 8.- Un cuerpo pesa en el aire 2 N mientras que cuando se ya estaba en el recipiente? A = 2 m2. introduce en el agua pesa aparentemente 0,8 N. De- terminar su densidad. (ρaire = 1,29 kg/m3). Rpta. 1 668 kg/m3 Rpta. 500 Pa 9.- Dentro del agua, a 1 metro de profundidad, se coloca un cubo de 1 m de arista. Calcular la diferencia de las fuerzas hidrostáticas que actúan en la cara superior e inferior (g = 10 m/s2). 3.- Un bloque de corcho reposa con la tercera parte de su volumen sumergido en un líquido cuya densi- Rpta. 10 000 N dad es 1 200 kg/m3, hallar la densidad del corcho 2 (g = 10 m/s ). 10.- El tubo de vidrio mos- trado está cerrado en Rpta. ρcorcho = 400 kg/m3 su extremo superior. ¿Qué presión existe 4.- En un tubo en U, se tiene tres líquidos no miscibles, en este extremo? Calcular “h” . DA = 3 000 kg/m3, DB = 2 000 kg/m3, DC = 4 000 kg/m3 Rpta. 32 000 Pa Rpta. h = 1,5 m B problemas complementarios 5.- El recipiente muestra un líquido de densidad igual a 1.- La relación de áreas del émbolo menor respecto al 800 kg/m3. Calcular la diferencia de presión entre los mayor es como b/a. Determinar cuál debe ser la fuer- puntos “A” y “B” . za que se debe aplicar sobre el émbolo menor para mantener en equilibrio a la prensa hidráulica (despre- ciar el peso de émbolos, poleas y barra). No hay roza- Rpta. 23,52 kPascal miento y el líquido es agua D = 1 000 kg/m3. 6.- El cuerpo mostrado de 0,2 m3 descansa sobre el fon- do de un recipiente con aceite, calcular la fuerza nor- mal sobre el cuerpo γaceite = 800 N/m3 m = 250 kg g = 10 m/s2 Rpta. 900 N Rpta. W
  • 7. 242 Jorge Mendoza Dueñas2.- Para el sistema mostrado se tienen las siguientes den- 6.- Calcular la aceleración con que un submarino de sidades: 100 m3 y 80 toneladas de peso emerge a la superfi- ρb = 13 600 kg/m3 cie al expulsar toda el agua que lleva en sus tan- ρc = 600 kg/m3 ques de inmersión. ρd = 1 000 kg/m3 ρe = 1 300 kg/m3 Rpta. 2,5 m/s2 Determinar la presión hidrostática en “M” y la presión 7.- Calcular la distancia que separa los puntos A y B sa- total en “N” . biendo que un bloque de 50 kg de masa y 500 kg/m3 de densidad demora 5 s en ir de “A” hasta “B” Partien- . do del reposo. Rpta. PM = 1 300 Pa PN = 102 920 Pa Rpta. 125 m 8.- Dos cilindros idénticos de 18 N de peso y 300 mm de3.- Hallar el peso específico del líquido 3 en la figura: radio cada uno, son colocados en un canal rectangu- ρ1 = 800 kg/m3 ; ρ2 = 1 000 kg/m3 ; g = 10 m/s2 lar liso de 900 mm de ancho, de tal forma que uno de los cilindros queda 50% sumergido. Calcular el valor de la fuerza que ejerce el cilindro inferior sobre la pa- red lateral del canal. Rpta. γ3 = 3 000 N/m3 Rpta. 18 2 − 3 N d i4.- Calcular a partir de la figura el desnivel “h” que existirá al colocar un bloque de 800 N de peso sobre el émbolo de 0,3 m2 de superficie, y al jalar simultáneamente ha- 2 9.- Un tubo en “U” de sección transversal constante, que cia arriba el émbolo de 1,5 m con un fuerza de 400 N. El líquido es agua. (Despreciar el peso de los émbolos). contiene un líquido, es acelerado hacia la derecha con una aceleración cons- tante “a” como indica , la figura. ¿Cuál es la diferencia de alturas Rpta. 29,33 cm “h” entre las columnas de líquidos de las ra- mas verticales?. a Rpta. h=L g5.- Calcular la fuerza horizontal que ejerce el agua sobre una 10.- Determinar a que altura máxima llegará la esfera al plancha de acero que se encuentra a una profundidad salir respecto a la superficie libre del líquido. de 20 m (dimensiones de la plancha: 10 cm×10 cm). ρ = 300 kg/m3 ; ρ = 1 200 kg/m3 cuerpo agua Rpta. 3 005 N Rpta. 30,72 m

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