Séries e Seqüências

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Séries e Seqüências

  1. 1. hppt://emersonmatematica.blogspot.com Blog Prof. Emerson 1 hppt://emersonmatematica.blogspot.com Séries e Seqüências SEQÜÊNCIAS Definição: Uma seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos. O contradomínio de uma seqüência será considerado o conjunto dos números reais. A cada número inteiro positivo "n" corresponde um número real f(n). a1 = f(1) ; a2 = f(2) ; a3 = f(3) ; ... ; an = f(n) Notações: {an} = {a1, a2, a3, ..., an, ...} an é o termo genérico da seqüência. Exemplos: 1) 2) Se, quando n cresce, an se torna cada vez mais próximo de um número real L, diz-se que a seqüência {an} tem limite L (ou converge para L) e se escreve: Uma seqüência que não é convergente, é chamada de divergente.
  2. 2. hppt://emersonmatematica.blogspot.com Blog Prof. Emerson 2 hppt://emersonmatematica.blogspot.com TEOREMA DO SANDUÍCHE Se {an}, {bn}, {cn} são seqüências tais que an bn cn para todo e se então SÉRIES Definição: Se {an} é uma seqüência, então: A soma infinita a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = é chamada série. Cada número ai é um termo da série; an é o termo genérico de ordem n. Para definir a SOMA de infinitas parcelas, consideram-se as SOMAS PARCIAIS. S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 ------------------------ Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an E a SEQÜÊNCIA DAS SOMAS PARCIAIS S1, S2, S3, ..., Sn, ... Se essa seqüência tem limite S, então a série CONVERGE e sua soma é S. Ou seja: Se , então a série converge e sua soma é a1+a2+a3+...+an... = S Se a seqüência {Sn} não tem limite, então a série DIVERGE.
  3. 3. hppt://emersonmatematica.blogspot.com Blog Prof. Emerson 3 hppt://emersonmatematica.blogspot.com TEOREMA Se a série converge, então OBS: * A recíproca desse teorema é falsa, isto é, existem séries cujo termo genérico tende a zero e que não são convergentes. * Vale a contrapositiva: "se o limite não é zero, então a série não converge", que constitui o: TESTE DA DIVERGÊNCIA Dada a série , diverge. SÉRIE GEOMÉTRICA TIPO: com a 0 r é a razão. Ex: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... a = 1 r = SOMA DE UMA SÉRIE GEOMÉTRICA A série geométrica Converge e tem soma se | r | < 1. Diverge se | r | 1. TESTE DA COMPARAÇÃO Sejam e duas séries de termos positivos. Então:
  4. 4. hppt://emersonmatematica.blogspot.com Blog Prof. Emerson 4 hppt://emersonmatematica.blogspot.com * Se , sendo "c" um número real, então as séries são ambas convergentes ou ambas divergentes. * Se e se converge, então também converge. * Se e se diverge, então também diverge. OBS: Se an é expressa por uma fração, devemos considerar tanto no numerador, quanto no denominador de bn somente os termos de maior importância. Ex: Verifique se a série dada converge ou diverge: é uma série geométrica de razão 1/3, logo ela é convergente. Aplicando o teste da comparação, temos: Logo, conclui-se que a série CONVERGE. SÉRIE-P CONVERGE se p > 1 DIVERGE se p 1 Se p = 1, a série
  5. 5. hppt://emersonmatematica.blogspot.com Blog Prof. Emerson 5 hppt://emersonmatematica.blogspot.com é chamada SÉRIE HARMÔNICA e, de acordo com o teorema, é divergente. SÉRIE ALTERNADA É da forma: SÉRIES DE POTÊNCIA Séries de potências de x: ou Séries de potência de (x-c): Por conveniência, vamos admitir que , mesmo quando x = 0. Ao substituir x por um número real, obtém-se uma série de termos constantes que pode convergir ou divergir. Em qualquer série de potências de x, a série converge sempre para x=0, pois se substituirmos x por 0 a série se reduz a a0. Na série de potências de (x-c), a série converge para x = c. Para determinar os outros valores de x para os quais a série converge, utiliza-se o teste da razão. TESTE DE LEIBINZ Uma série alternada CONVERGE se: * Seu termo genérico, em módulo, tende a zero.
  6. 6. hppt://emersonmatematica.blogspot.com Blog Prof. Emerson 6 hppt://emersonmatematica.blogspot.com * A série dos módulos é decrescente. Há três maneiras diferentes de verificar se a série dos módulos é decrescente. a) verificar se, para todo "k" inteiro positivo, . b) verificar se, para todo "k" inteiro positivo, . c) considerar a função f(x) = f(n) e verificar o sinal de sua derivada. Se f'(x)<0, então f é decrescente. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA Definição: Uma série é absolutamente convergente se a série dos módulos é convergente. Ex: A série alternada é absolutamente convergente, pois a série dos módulos é uma série-p, com p=2 > 1 e, portanto, convergente. TEOREMA Se uma série infinita é absolutamente convergente, então a série é convergente. TESTE DE D'ALEMBERT Seja uma série de termos não nulos e seja . Então: * Se L < 1, a série é ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE. * Se L > 1, (incluindo L = ), a série é DIVERGENTE.
  7. 7. hppt://emersonmatematica.blogspot.com Blog Prof. Emerson 7 hppt://emersonmatematica.blogspot.com * Se L = 1, o teste falha (nada se pode afirmar). RESUMO TESTE SÉRIE CONVERGÊNCIA ou DIVERGÊNCIA COMENTÁRIOS da DIVERGÊNCIA ou do N-ÉSIMO TERMO DIVERGE se Nada se pode afirmar se SÉRIE GEOMÉTRICA * CONVERGE e tem soma se | r | < 1. * DIVERGE se | r | 1 Útil para testes de comparação SÉRIE-P * CONVERGE se p > 1 * DIVERGE se p 1 Útil para testes de comparação da COMPARAÇÃO no limite e an > 0, bn > 0 * Se , , então ambas as séries CONVERGEM ou ambas DIVERGEM. * Se e CONVERGE, então CONVERGE. * Se e DIVERGE, então DIVERGE. A série de comparação , é, em geral, uma série geométrica ou uma série-p. Para achar bn, consideram-se apenas os termos de an que têm maior efeito. de LEIBNIZ ALTERNADA an > 0 CONVERGE se: * * A série dos módulos é decrescente. Aplicável somente a séries alternadas. Se o primeiro item é falso, aplica-se o TESTE DA DIVERGÊNCIA.

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