• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Khazanah matematika 2_sma_xi_ips_rosihan_dan_indriyastuti
 

Khazanah matematika 2_sma_xi_ips_rosihan_dan_indriyastuti

on

  • 5,082 views

BSE SMA KLEAS 2 IPS

BSE SMA KLEAS 2 IPS

Statistics

Views

Total Views
5,082
Views on SlideShare
4,443
Embed Views
639

Actions

Likes
5
Downloads
578
Comments
0

4 Embeds 639

http://echo-pitulas.blogspot.com 619
http://cvrahmat.blogspot.com 15
http://echo-pitulas.blogspot.tw 3
http://echo-pitulas.blogspot.sg 2

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Khazanah matematika 2_sma_xi_ips_rosihan_dan_indriyastuti Khazanah matematika 2_sma_xi_ips_rosihan_dan_indriyastuti Document Transcript

    • PUSAT PERBUKUANDepartemen Pendidikan Nasional
    • iKhazanahMatematika 2 untuk Kelas XI SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial Rosihan Ari Y. Indriyastuti
    • ii Hak Cipta Pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang Khazanah Matematika 2 untuk Kelas XI SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial Penulis : Rosihan Ari Y. Indriyastuti Perancang kulit : Agung Wibawanto Perancang tata letak isi : Agung Wibawanto Penata letak isi : Bonawan Ilustrator : Kusdirgo Preliminary : vi Halaman isi : 244 hlm. Ukuran buku : 17,6 x 25 cm 510.07 ROS ROSIHAN Ari Y k Khazanah Matematika 2 : untuk Kelas XI SMA / MA Program Ilmu Pengertahuan Sosial / penulis, Rosihan Ari Y, Indriyastuti ; ilustrator, Kusdirgo. -- Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2009. vi, 244 hlm, : ilus. ; 25 cm Bibliografi : hlm. 237-238 Indeks ISBN 978-979-068-858-2 (No. Jil lengkap) ISBN 978-979-068-860-5 - 1. Matematika Studi dan Pengajaran I. Judul II. Indriyastuti III. Kusdirgo Hak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasional dari Penerbit Wangsa Jatra Lestari, PT Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2009 Diperbanyak oleh ....
    • iii Sambutan Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkatrahmat dan karunia-Nya, Pemerintah, dalam hal ini, DepartemenPendidikan Nasional, pada tahun 2009, telah membeli hak ciptabuku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluas-kan kepada masyarakat melalui situs internet (website) JaringanPendidikan Nasional. Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan StandarNasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku tekspelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakandalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidi-kan Nasional Nomor 81 Tahun 2008 Tanggal 11 Desember2008. Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginyakepada para penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkanhak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasionaluntuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruhIndonesia. Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanyakepada Departemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh(down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan, ataudifotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yangbersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi keten-tuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa bukuteks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa danguru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yangberada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakanini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan man-faatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwabuku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu,saran dan kritik sangat kami harapkan. Jakarta, Juni 2009 Kepala Pusat Perbukuan
    • iii Prakata Penulis mengucapkan selamat kepada kalian yang telah naikke kelas XI. Kalian masuk dalam Program Ilmu PengetahuanSosial (IPS). Tentunya hal ini menjadi kebanggaan tersendiri.Semoga kalian terpacu untuk lebih semangat lagi dalam belajar.Teruslah rajin belajar, gigih, pantang menyerah, dan jangan lupaberdoa kepada Tuhan agar cita-cita kalian tercapai. Buku Khazanah Matematika ini akan membantu kalian dalammempelajari matematika. Buku ini disusun dengan urutanpenyajian sedemikian rupa sehingga kalian akan merasa senanguntuk mendalaminya. Buku ini akan membantu kalian dalambelajar. Dalam pembelajarannya, buku ini menuntut kalian untukaktif dan bertindak sebagai subjek pembelajaran. Kalian dituntutuntuk mengobservasi, mengonstruksi, mengeksplorasi, danmenemukan sendiri konsep-konsep matematika sehingga kalianakan menjadi orang yang dapat berpikir kritis, kreatif, dan inovatif. Di kelas XI Program IPS ini, kalian akan mempelajari materi-materi berikut: Statistika Peluang Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Limit Fungsi Turunan Fungsi Penulis berharap semoga buku ini dapat membantu kaliandalam mempelajari konsep-konsep matematika. Akhirnya,semoga kalian sukses. Solo, Februari 2008 Penulis
    • v Daftar Isi Sambutan iii Prakata iv Daftar Isi vSemester 1Bab I Statistika A. Statistik dan Statistika 3 B. Membaca dan Menyajikan Data 4 C. Tabel Distribusi Frekuensi 27 D. Menggambar Histogram, Poligon Frekuensi, dan Ogif 32 E. Menentukan Nilai Statistik Data Berkelompok 34 F. Pemeriksaan Data yang Tidak Konsisten 58 Rangkuman 62 Tes Kemampuan Bab I 63iBab II Peluang A. Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kom- binasi 71 B. Peluang Suatu Kejadian dan Komple- mennya 91 C. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian 103 D. Peluang Kejadian Majemuk 104 Rangkuman 116 Tes Kemampuan Bab II 117 Latihan Ulangan Umum Semester 1 121
    • viSemester 2Bab III Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers A. Fungsi dan Sifat-Sifatnya 129 B. Operasi Aljabar pada Fungsi 135 C. Fungsi Komposisi 138 D. Fungsi Invers 147 E. Invers Fungsi Komposisi 156 Rangkuman 160 Tes Kemampuan Bab III 161Bab IV Limit Fungsi A. Definisi Limit Fungsi Aljabar 167 B. Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar 170 C. Sifat-Sifat Limit dan Penggunaannya 183 D. Limit Fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan 186 Rangkuman 190 Tes Kemampuan Bab IV 191Bab V Turunan A. Turunan dan Tinjauan Geometrinya 197 B. Turunan Fungsi Aljabar 202 C. Sifat-Sifat Turunan Suatu Fungsi 204 D. Menentukan Turunan dengan Aturan Rantai (Pengayaan) 206 E. Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Nilai Stasioner 208 F. Menggambar Grafik Fungsi 214 G. Aplikasi Turunan 216 Rangkuman 224 Tes Kemampuan Bab V 226 Latihan Ulangan Umum Semester 2 231 Daftar Pustaka 237 Glosarium 239 Indeks Subjek 242 Kunci Soal-Soal Terpilih 243
    • Statistika 1 Bab ITujuan PembelajaranSetelah mempelajari babini, diharapkan kalian dapat1. membaca data dalam bentuk diagram garis, diagram batang daun, dan diagram kotak garis;2. menyatakan data dalam bentuk diagram garis, diagram batang daun, dan diagram kotak garis;3. membaca data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram;4. menyajikan data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram;5. menafsirkan kecen- derungan data dalam Sumber: Dokumen Penerbit bentuk tabel dan dia- gram;6. menentukan ukuran pemusatan data: ra- taan, median, dan mo- Statistika dus;7. menentukan ukuran letak data: kuartil dan Motivasi desil;8. menentukan ukuran Pernahkah kalian memerhatikan salah satu kegiatan ekonomi penyebaran data: ren- di suatu pasar, swalayan, mal, atau minimarket? Seorang penjaga tang, simpangan kuartil, stan di tempat-tempat tersebut tentu akan selalu mencatat jumlah dan simpangan baku;9. memeriksa data yang barang dagangan yang terjual pada periode tertentu, misalnya tidak konsisten dalam setiap sore atau setiap hari sekali. kelompoknya;10.memberikan tafsiran Kegiatan yang dilakukan oleh penjaga stan ini dapat terhadap ukuran pe- dikatakan sebagai kegiatan pengumpulan suatu informasi. Dalam musatan, ukuran letak, dan ukuran penye- hal ini, informasi berupa angka-angka yang menyatakan jumlah baran. penjualan suatu barang. Berawal dari kegiatan seperti ini, kalian dapat mengerti apa arti statistik.
    • 2 Khaz Matematika SMA 2 IPS Peta Konsep Statistika mempelajari Pengumpulan Data Penyajian Data Pengolahan Data melalui berupa mewakili Pengambilan Ukuran DataMetode Tabel Diagram Grafik Sampel meliputi Ukuran Ukuran Ukuran Pemusatan Letak Penyebaran Kata Kunci• data • kumulatif • simpangan kuartil• datum • langkah • simpangan rata-rata• desil • mean • statistik• diagram • median • statistik deskriptif• frekuensi • modus • statistika• histogram • ogif • tabel distribusi• jangkauan • pagar • tally• kuartil • poligon • varians
    • Statistika 3 Ketika masih duduk di SMP, kalian telah diperkenalkan dengan statistika meskipun masih sangat sederhana. Kalian telah mengenal pengumpulan data, mengurutkan data tunggal, menentukan mean, median, modus, dan kuartil data tunggal, dan menyajikan data dalam bentuk berbagai diagram. Materi-materi yang telah kalian peroleh itu akan kita bahas lebih mendalam, dengan penambahan beberapa materi yang sebelumnya belum kalian peroleh di SMP, seperti kuartil, desil, diagram batang daun, diagram kotak garis, dan pemeriksaan data yang tidak konsisten. Sebelum mempelajari bab ini, coba jawablah pertanyaan- pertanyaan berikut. Prasyarat 1. Apa yang dimaksud dengan mean, median, dan modus,? Kerjakan di buku Berapakah mean, median, dan modus dari data: 3, 1, 2, 3, tugas 2, 1, 4, 5, 2, 6? 2. Apa yang dimaksud data tunggal dan data berkelompok? Berikan contohnya. 3. Apakah yang dimaksud diagram garis, diagram batang, dan diagram lingkaran? Jika pertanyaan-pertanyaan di atas telah terjawab, mudah bagi kalian untuk mempelajari materi berikut. Untuk itu, mari kita mulai materi ini.A. Statistik dan Statistika Misalkan dari 8 jenis pakaian yang dijual di swalayan, harganya masing-masing ditampilkan pada tabel berikut. Jenis Pakaian I II III IV V VI VII VIII Harga Pakaian (ribuan rupiah) 20 25 27 28 30 45 50 80 Pada tabel di atas tampak bahwa harga pakaian jenis V adalah Rp30.000,00. Dari informasi yang terdapat pada tabel tersebut, angka Rp30.000,00 dinamakan datum, sedangkan keseluruhan harga dari 8 jenis pakaian itu dinamakan data. Data dapat diperoleh dengan wawancara, kuesioner, dan observasi. Wawancara dilakukan secara langsung dengan narasumber. Kuesioner dilakukan dengan cara menyusun sejumlah pertanyaan dalam suatu daftar, kemudian disebarkan kepada orang yang hendak diambil datanya. Observasi dilakukan dengan melakukan pengamatan terhadap objek atau orang yang akan diambil
    • 4 Khaz Matematika SMA 2 IPS datanya. Setelah diperoleh data, agar lebih mudah dianalisis, data disederhanakan baik dengan penyusunan, pengelompokan, maupun pembulatan. Dari data di atas juga tampak bahwa harga pakaian termurah (terendah) adalah jenis pakaian I, yaitu Rp20.000,00 dan harga pakaian termahal (tertinggi) adalah jenis pakaian VIII, yaitu Rp80.000,00. Nilai-nilai harga termahal dan harga termurah dalam kumpulan datum di atas termasuk statistik. Selain nilai terendah dan tertinggi dari suatu data, statistik lainnya adalah rataan hitung (mean), nilai tengah (median), nilai yang sering muncul (modus), dan kuartil. Nilai-nilai ini akan kita pelajari pada subbab berikut. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa statistik adalah ukuran- ukuran yang dapat mewakili suatu kumpulan datum. Statistik dapat diperoleh dari hasil perhitungan terhadap data yang ada. Ilmu yang mempelajari tentang metode pengumpulan, perhitungan, pengolahan, cara menganalisis data, serta penarikan suatu kesimpulan dinamakan statistika.B. Membaca dan Menyajikan Data Seperti yang telah kalian ketahui bahwa data dapat diperoleh melalui wawancara, kuesioner, dan observasi. Data-data itu akan mudah dipahami atau dibaca jika disajikan dalam sajian tertentu. Penyajian data dapat berupa tabel maupun diagram. Sebelum kalian mempelajari bentuk-bentuk penyajian itu, mari terlebih dahulu kita pelajari beberapa statistik deskriptif berikut.1. Menyajikan Data Ukuran Menjadi Data Statistik Deskriptif Kalian telah mengetahui pengertian data, datum, statistik, dan statistika. Data awal yang diperoleh baik dengan wawancara, kuesioner, maupun observasi ada yang bersifat kualitatif (baik, buruk, sedang) dan ada yang bersifat kuantitatif (berupa angka- angka). Data yang bersifat kuantitatif terdiri atas data cacahan (diskret), dan data ukuran (kontinu). Misalnya, jumlah siswa kelas XI ada 120 putra dan 90 putri (data diskret), sedangkan waktu yang diperlukan untuk menempuh Kota Baru ke Kota Damai 4,5 jam (data kontinu). Sekarang mari kita mengingat kembali beberapa ukuran (statistik), di antaranya adalah mean, median, modus, dan kuartil. Di samping itu, kita juga akan mengenal statistik lima serangkai, desil, jangkauan data, dan jangkauan antarkuartil.
    • Statistika 5 a. Rataan Hitung (Mean) Untuk memahami rataan hitung, perhatikan ilustrasi berikut ini. Misalkan nilai Matematika Dina 8 dan nilai Matematika Andi 10. Nilai rata-rata mereka dapat dicari dengan cara 8 + 10 = 9. 2 Misalkan nilai Matematika Dina 8, Andi 10, dan Damar 6. Kuis Nilai rata-rata mereka dapat dicari dengan cara 8 + 10 + 6 = 8. • Kerjakan di buku tugas 3 Misalkan nilai matematika siswa pertama x1, siswa keduaNilai rata-rata ulangan kelasA adalah x A dan kelas B x2, siswa ketiga x3, ... dan siswa ke-n xn. Dapatkah kalian menen- tukan nilai rata-rata mereka? Tentu, nilai rata-rata mereka adalahadalah x B . Setelah keduakelas itu digabung, nilai x1 + x2 + x3 + ... + xn .rata-ratanya adalah x . Jika n x A : x B = 10 : 9 dan x : x B Dengan demikian, dapat dikatakan sebagai berikut.= 85 : 81, perbandinganbanyaknya siswa di kelas A Misalkan suatu data terdiri atas n datum, yaitu x1, x2, x3, ...,dan B adalah .... xn. Jika x menyatakan rataan hitung (mean) data tersebut makaa. 8 : 9 d. 3 : 5 rumusan untuk x adalahb. 4 : 5 e. 9 : 10c. 3 : 4 x 1 + x 2 + x 3 + ... + x n x= n Simbol x dibaca ”x bar.” Jika x1 + x2 + x3 + ... + xn dinyatakan dalam notasi sigma, n dapat ditulis x1 + x 2 + x 3 + ... + x n = x i . Dengan demikian, x i =1 dapat ditulis dengan n n xi 1 i =1 x= x i atau x = n i=1 n n x i dibaca ”sigma x , untuk i = 1 sampai n.” i i =1 b. Nilai Tengah (Median) Perhatikan data berikut. 4, 3, 5, 5, 6, 7, 8, 7, 9 Data tersebut jika diurutkan dari terkecil hingga terbesar, tampak sebagai berikut. 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9
    • 6 Khaz Matematika SMA 2 IPS Setelah data terurut, kita dapat menyatakan korespondensi berikut. 3 4 5 5 6 7 7 8 9 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 Dari data terurut di atas, datum yang terletak di tengah-tengah data adalah datum ke-5 atau x5 = 6. Nilai inilah yang disebut median atau nilai tengah. Secara umum, misalkan diberikan suatu data terdiri atas n datum, yaitu x1, x2, x3, ... xn, dengan x1 < x2 < x3 < … < xn. Nilai tengah (median) data tersebut dapat ditentukan dengan cara berikut. n +1 1) Jika n ganjil, median data itu adalah datum ke- , yaitu 2 median = x n + 1 2 2) Jika n genap, median data itu adalah nilai tengah antara n n datum ke- dan datum ke- + 1 , yaitu 2 2 1 median = xn + xn 2 2 2 +1 c. Nilai yang Sering Muncul (Modus) Kalian tentu masih ingat dengan modus. Di SMP kalian sudah mempelajarinya. Sekarang kalian hanya memperdalam. Sebelum mempelajarinya lebih lanjut, coba kerjakan tugas berikut. Mari Carilah data tinggi badan teman-teman sekelasmu (dalam cm). Kemudian, buatlah tabel seperti di bawah ini. Selanjutnya, Berdiskusi masukkan data yang kamu peroleh ke dalam tabel tersebut. Investigasi Tinggi Badan Jumlah Siswa 150 ... ... ... ... ... ... ... ... ... Dari data di atas, tentukan tinggi badan siswa yang mempunyai jumlah paling banyak?
    • Statistika 7 Setelah berdiskusi dengan teman-temanmu, tentu kalian dapat menentukan data manakah yang sering muncul. Agar lebih jelas lagi, coba pahami contoh kasus nilai ulangan Nina berikut. Dalam suatu semester, nilai ulangan harian Matematika yang diperoleh Nina adalah 6, 8, 8, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 8, 10, dan 10. Dari nilai ulangan harian Matematika itu, ternyata Nina mendapat nilai 6 sebanyak 3 kali; nilai 9 sebanyak 1 kali; nilai 7 sebanyak 1 kali; nilai 10 sebanyak 2 kali. nilai 8 sebanyak 5 kali; Dari nilai ulangan itu, tingkat kekerapan muncul (frekuensi) tertingginya adalah nilai 8, yaitu sebanyak 5 kali. Jadi, nilai modus data di atas adalah 8. Jadi, modus dapat diartikan sebagai nilai datum yang memiliki frekuensi tertinggi dari suatu data. Data yang memiliki dua modus disebut bimodal dan data yang memiliki lebih dari dua modus disebut multimodal. Contoh: Diketahui data pengukuran berat badan 10 siswa kelas XI IPS adalah sebagai berikut (dalam kg). 45, 50, 50, 51, 55, 48, 50, 49, 44, 55 Tentukan mean, median, dan modus dari data pengukuran berat badan tersebut. Jawab: Untuk mempermudah mencari nilai median, terlebih dahulu data tersebut diurutkan dari yang mempunyai nilai terkecil ke terbesar seperti berikut. Tantangan 44, 45, 48, 49, 50, 50, 50, 51, 55, 55 Penalaran • Kerjakan di buku tugas x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10Agus telah berulangkali Setelah data terurut, kita dapat menentukan mean, median,mengikuti ulangan. JikaAgus mendapat nilai 71 dan modus data itu dengan mudah.pada ulangan yang akan 1) meandatang, rata-rata ulangannyaadalah 83, sedangkan jika 44 + 45 + 48 + 49 + 50 + 50 + 50 + 51 + 55 + 55 x =mendapat 96, rata-ratanya 10adalah 88. Berapa kali = 49,7 kgulangan yang telah ditem-puh oleh Agus? 2) Karena n = 10 (genap), berarti mediannya merupakan Lomba Matematika rataan hitung dari datum ke-5 dan ke-6 dari data terurut, Nasional UGM 2006 yaitu x5 = 50 dan x6 = 50. x + x6 50 + 50 Jadi, median = 5 = = 50 kg. 2 2 3) Karena datum yang memiliki frekuensi tertinggi adalah 50 kg (muncul 3 kali) maka modus data itu adalah 50 kg.
    • 8 Khaz Matematika SMA 2 IPS d. Kuartil Misalkan terdapat data x1, x2, x3, ... xn, dengan x1< x2 < x3 < ... < xn. Jika kuartil pertama (kuartil bawah) Q1, kuartil kedua (kuartil tengah) Q2, dan kuartil ketiga (kuartil atas) Q3 maka letak dari Q1, Q2, dan Q3 dapat diilustrasikan pada gambar di samping. Kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak. 25% 25% 25% 25% Banyak datum dari suatu data adalah 100%. Denganx1 Q1 Q2 Q3 xn demikian, dapat dikatakan bahwa Gambar 1.1 1) banyak datum yang kurang dari atau sama dengan Q1 adalah 25%; 2) banyak datum yang kurang dari atau sama dengan Q2 adalah 50%; 3) banyak datum yang kurang dari atau sama dengan Q3 adalah 75%. Tugas: Berpikir Kritis Meskipun demikian, nilai-nilai Q1, Q2, maupun Q3 tidak • Kerjakan di buku tugas harus tepat berada pada suatu datum tertentu, tetapi boleh beradaBagaimana menentukan di antara 2 datum.kuartil bawah, tengah, dan Letak kuartil ke-i, Qi, untuk i = 1, 2, 3, dari suatu data yangatas jika suatu data terdiri jumlahnya n datum secara umum dituliskanatas tiga datum atau duadatum? Dapatkah diten-tukan? Berikan alasanmu. i(n + 1) letak Qi = datum ke- 4 Dengan memedulikan letak Qi pada rumus di atas, letak Qi tidak selalu pada posisi datum ke-i. Artinya, Qi boleh terletak pada suatu datum atau terletak di antara dua datum. Untuk itu digunakan pola pendekatan atau interpolasi. Perhatikan contoh- contoh berikut. Contoh: Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data berikut. a. 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 10 (n = 11) b. 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9 (n = 10) c. 3, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9 (n = 9) Jawab: a. 4 5 5 6 7 7 7 7 8 9 10 x1 x 2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 Q1 Q2 Q3 Perhatikan Q2 membagi data menjadi 2 bagian, sebelah kiri Q2, yaitu 4, 5, 5, 6, 7 dan sebelah kanan Q2, yaitu 7, 7, 8, 9, 10. Q1 membagi data dari sebelah kiri Q2 menjadi 2
    • Statistika 9 bagian, sebelah kiri Q1, yaitu 4, 5 dan sebelah kanan Q1, yaitu 6, 7. Q3 membagi data di sebelah kanan Q2 menjadi 2 bagian yang sama frekuensinya, sebelah kiri Q3, yaitu 7, 7 dan sebelah kanan Q3, yaitu 9, 10.b. Data sudah terurut naik (n = 10). 4 4 5 5 5 6 7 8 8 9 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 1(10 + 1) Letak Q1 = datum ke- 4 3 = datum ke-2 4 Artinya, Q1 terletak di antara datum ke-2 (x2) dan ke-3 (x3). Oleh karena itu, kita gunakan pendekatan datum interpolasi berikut. 3 Q 1 = x2 + (x3 – x2) 4 3 =4+ (5 – 4) 4 = 4,75 2(10 + 1) Letak Q2 = datum ke- 4 = datum ke-5 1 2 Artinya, Q2 terletak di antara datum ke-5 dan ke-6. Jadi, 1 Q2 = x 5 + (x6 – x5) 2 1 =5+ (6 – 5) 2 = 5,5 3(10 + 1) Letak Q3 = datum ke- 4 1 = datum ke-8 4 Artinya, Q3 terletak di antara datum ke-8 dan ke-9. Jadi, 1 Q3 = x 8 + (x9 – x8) 4 1 =8+ (8 – 8) = 8 4
    • 10 Khaz Matematika SMA 2 IPS c. Data sudah terurut naik (n = 9). Dengan cara serupa, diperoleh 3 7 7 8 8 8 8 9 9 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 1(9 + 1) Letak Q1 = datum ke- 4 1 = datum ke-2 2 Dengan demikian, Q1 terletak di antara datum kedua dan ketiga, yaitu 1 Q1 = x2 + (x3 – x2) 2 1 =7+ (7 – 7) 2 =7 2(9 + 1) Letak Q2 = datum ke- = datum ke-5 4 Jadi, Q2 = x5 = 8. 3(9 + 1) 1 Letak Q3 = datum ke- = datum ke-7 4 2 Jadi, Q 3 terletak antara datum ketujuh dan datum kedelapan, yaitu 1 Q3 = x7 + (x8 – x7) 2 1 =8+ (9 – 8) 2 1 =8 2 e. Statistik Lima Serangkai Misalkan terdapat data x1, x2, x3, ..., xn, dengan x1 < x2 < x3 < ... < xn. Nilai maksimum data tersebut adalah xn dan nilai minimumnya x1. Jika nilai maksimum dinyatakan dengan xmaks dan nilai minimum dinyatakan dengan xmin maka xn = xmaks dan x1 = xmin. Kalian juga telah mempelajari kuartil, yaitu Q1, Q2, dan Q3. Rangkaian statistik (ukuran) yang terdiri atas xmin, Q1, Q2, Q3,
    • Statistika 11 Perhatian dan xmaks dinamakan statistik lima serangkai. Kelima ukuran ini dapat digunakan untuk mengetahui kecenderungan pemusatanUntuk menentukan nilai- data. Statistik lima serangkai biasanya dinyatakan dalam bagannilai statistik lima serangkai, berikut.data harus terurut (bolehterurut naik boleh juga Q2terurut menurun). Q1 Q3 xmin xmaks Contoh: Tentukan statistik lima serangkai dari data: 1, 3, 2, 4, 2, 5, 7, 9, 8, 7, 3. Jawab: Nilai-nilai datum belum terurut naik. Oleh karena itu, kita urutkan dari terkecil terlebih dahulu, seperti berikut: 1 2 2 3 3 4 5 7 7 8 9 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 xmin Q1 Q2 Q3 xmaks Pada korespondensi di atas, diperoleh statistik berikut. 1) xmin = 1 1(11+ 1) 2) Q1 = datum ke- = datum ke-3 = x3 = 2 4 2(11 + 1) 3) Q2 = datum ke- = datum ke-6 = x6 = 4 4 3(11 + 1) 4) Q3 = datum ke- = datum ke-9 = x9 = 7 4 5) xmaks = 9 Dengan demikian, bagan statistik lima serangkai dapat dinyatakan dalam bagan berikut. Q2 = 4 Q1 = 2 Q3 = 7 xmin = 1 xmaks = 9
    • 12 Khaz Matematika SMA 2 IPS Mari Misalkan terdapat data x1, x2, ... xn. Mungkinkah data itu memiliki xmin, Q1, Q2, Q3, dan xmaks yang sama? Jika mungkin, Berdiskusi data seperti apakah itu? Berikan contohnya. Jika tidak Berpikir kritis mungkin, mengapa demikian? Berikan alasannya. f. Desil Kalian telah mempelajari bagaimana cara menentukan kuartil dari suatu data. Sekarang, kalian diperkenalkan dengan ukuran lain, yaitu desil. Sesuai dengan namanya, desil membagi suatu data menjadi sepuluh bagian yang sama. Karena desil membagi 10 bagian, maka terdapat 9 desil. Desil pertama D1, desil kedua D2, …, desil ke-9 D9. Perhatikan gambar berikut. 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% x1 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 xn Gambar 1.2 Statistik minimum dari data di atas adalah x1, dan statistik maksimumnya x n . Seperti halnya dengan kuartil, untuk menentukan desil, data harus sudah terurut naik terlebih dahulu. Letak desil ke-i dari suatu data yang terdiri atas n datum dengan i = 1, 2, 3, …., 9 dapat ditentukan dengan rumus i(n + 1) letak Di = datum ke- 10 Letak desil tidak harus tepat berada pada suatu datum, tetapi boleh berada di antara dua datum berurutan. Adapun cara menentukan nilai desil yang berada di antara dua datum dapat digunakan pendekatan atau interpolasi, seperti pada saat kalian menentukan nilai kuartil yang letaknya berada di antara dua datum. Contoh: Diketahui data : 4, 3, 7, 6, 6, 5, 4, 7, 9, 8, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 9, 7, 9, 8. Tentukan D1, D5, dan D9. Jawab: Data di atas belum terurut. Oleh karena itu, kita urutkan terlebih dahulu seperti berikut. 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9
    • Statistika 13 Setelah data terurut naik, kita dapat dengan mudah mengetahui urutan x1, x2, x3, ..., x20. 1(20 + 1) 1) letak D1 = datum ke- 10 1 = datum ke-2 10 Jadi, D1 terletak di antara datum ke-2 dan ke-3. Karena x2 = 4, dan x3 = 4, dengan interpolasi, dapat kita tentukan 1 D 1 = x2 + (x – x2) Tugas: Observasi 10 3 • Kerjakan di buku tugas 1 = 4+ (4 – 4) = 4 10Lakukan secara berkelom-pok. Carilah data dengan 5(20 + 1)salah satu cara berikut: 2) letak D5 = datum ke- 10a. wawancara;b. kuesioner; = datum ke-10 1 2c. observasi. Jadi, D5 terletak di antara datum ke-10 dan ke-11. KarenaPilihlah data yang menurutkalian menarik, misalnya x10 = 7 danhasil pertanian pada periode x11 = 7 dapat kita tentukantertentu. Dari data yangkalian peroleh, tentukan 1 D5 = x10 + (x11 – x10)mean, median, modus, kuar- 2til-kuartil, dan desil-desil-nya. Khusus untuk median, 1kuartil ke-2, dan desil ke-5, =7+ (7 – 7) 2apakah nilainya sama? =7 9(20 + 1) 3) letak D9 = datum ke- 10 9 = datum ke-18 10 Jadi, D9 terletak di antara datum ke-18 dan ke-19. Karena x18 = 9 dan x19 = 9, dengan interpolasi, dapat kita tentukan 9 D9 = x18 + (x – x18) 10 19 9 = 9+ (9 – 9) = 9 10 g. Jangkauan Data, Jangkauan Antarkuartil, Langkah, dan Pagar Pada pembahasan sebelumnya, kalian telah mempelajari mean, median, modus, kuartil, dan desil. Ukuran-ukuran itu
    • 14 Khaz Matematika SMA 2 IPS Kuis dinamakan ukuran pemusatan data. Di samping ukuran pemusatan data, juga ada ukuran penyebaran data atau ukuran • Kerjakan di buku tugas dispersi, di antaranya jangkauan data dan jangkauan antarkuartil.Simpangan kuartil dari data 1 1) Jangkauan Data5, 6, a, 3, 7, 8 adalah 1 2 . Jangkauan data atau range data merupakan selisih antaraJika median datanya 5 1 statistik maksimum dan statistik minimum. Jika jangkauan 2 data dinyatakan dengan JD, nilainya dapat ditentukan denganmaka rata-rata data tersebutadalah .... rumus 1a. 4 d. 5 2 JD = xmaks – xmin 1b. 4 e. 6 2 2) Jangkauan Antarkuartilc. 5 Seperti halnya jangkauan data, jangkauan antarkuartil SPMB 2005 merupakan selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah. Jika jangkauan antarkuartil dinotasikan dengan JK, nilainya dapat ditentukan dengan Kuis JK = Q 3 – Q 1 • Kerjakan di buku tugasDalam suatu kelas terdapat Jangkauan antarkuartil biasanya disebut juga hamparan. Di22 siswa. Nilai rata-rata samping jangkauan antarkuartil, di dalam ukuran penyebaranMatematika mereka 5 dan data juga dikenal jangkauan semiinterkuartil atau simpanganjangkauan 4. Jika seorangsiswa yang paling rendah kuartil. Simpangan ini nilainya setengah dari jangkauannilainya dan seorang siswa antarkuartil. Jika simpangan kuartil dinotasikan dengan Qd,yang paling tinggi nilainya nilainya dapat ditentukan dengan rumustidak diikutkan maka nilairata-ratanya berubah men- 1jadi 4,9. Nilai siswa yang Qd = (Q3 – Q1) 2paling rendah adalah ....a. 5 3) Langkahb. 4 Kalian telah mengenal jangkauan antarkuartil. Panjang satuc. 3d. 2 3e. 1 langkah adalah kali panjang jangkauan antarkuartil. 2 UM-UGM 2004 Misalkan langkah dinotasikan dengan L maka dalam matematika dapat dirumuskan Tugas: Penalaran 3 3 L= JK atau L = (Q3 – Q1) • Kerjakan di buku tugas 2 2Coba kalian tentukan jang- 4) Pagarkauan data, jangkauan antar- Menurut letaknya, pagar dibedakan menjadi pagar dalamkuartil, dan jangkauan semi-interkuartil (simpangan dan pagar luar.kuartil) dari contoh ketika a) Pagar dalam, yaitu suatu nilai yang letaknya satukalian menentukan desil di langkah di bawah kuartil pertama.atas (halaman 12). b) Pagar luar, yaitu suatu nilai yang letaknya satu langkah di atas kuartil ketiga.
    • Statistika 15 Misalkan pagar dalam dinotasikan dengan PD dan pagar luar PL. Kedua pagar itu dapat dirumuskan sebagai berikut. PD = Q1 – L PL = Q3 + L • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 1 1. Jelaskan definisi dari istilah-istilah berikut. a. statistik b. statistika c. datum d. data e. data kuartil f. data kuantitatif dan data kualitatif g. mean, median, modus, desil h. kuartil, kuartil atas, kuartil bawah, kuartil tengah i. jangkauan data Kuis j. simpangan kuartil • Kerjakan di buku tugas 2. Tentukan mean, median, modus, kuartil bawah, kuartilDari 64 orang siswa yang tengah, dan kuartil atas dari data-data berikut.terdiri atas 40 orang siswa a. 36, 28, 37, 35, 35, 34, 31, 39, 35, 33, 32kelas K dan 24 orang siswa b. 8, 10, 4, 6, 9, 8, 9, 10, 12, 12kelas L diketahui nilai rata-rata Matematika siswa kelas c. 2, 5, 7, 3, 4, 9, 12, 10, 11K adalah 7,2 dan nilai rata- d. 2,3; 4,3; 4,3; 2,8; 1,7; 5,1; 2,6; 3,6; 4,7rata kelas L adalah 1,5 lebih 3. Suatu data terdiri atas 20 datum mempunyai mean 6,5.tinggi dari nilai rata-rata se-luruh siswa kedua kelas ter- Jika sebuah datum diikutkan data itu, mean data menjadisebut. Nilai rata-rata mate- 6,8. Tentukan nilai datum yang ditambahkan itu.matika kelas L adalah .... 4. Suatu data terdiri atas 10 datum, yaitu x1, x2, x3, ..., x10a. 8,8b. 9,0 mempunyai mean x . Jika setiap datum ditambah 5, datac. 9,2 menjadid. 9,4 x1 + 5, x2 + 5, x3 + 5, ..., x10 + 5. Tentukan mean data yange. 9,6 baru. UMPTN 2001 5. Terdapat 3 kelompok data dengan keterangan sebagai berikut. Data pertama mempunyai mean m1 dan jumlah datum n1. Data kedua mempunyai mean m2 dan jumlah datum n2. Data ketiga mempunyai mean m3 dan jumlah datum n3. Tentukan nilai mean dari ketiga kelompok data tersebut jika digabungkan menjadi sebuah data. 6. Suatu perusahaan menerapkan sistem penggajian kepada karyawannya setiap 2 minggu sekali. Gaji karyawan perusahaan itu mempunyai mean (rataan hitung) Rp250.000,00. Gaji karyawan laki-laki mempunyai mean
    • 16 Khaz Matematika SMA 2 IPS Rp260.000,00, sedangkan mean gaji perempuan Rp210.000,00. Tentukan perbandingan jumlah karyawan pria dan wanita perusahaan itu. 7. Diketahui data 4, 4, 4, 5, 6, 8, 9, 7, 8, 5, 6, 3, 4, 8, 9. Tentukan a. statistik lima serangkai; b. desil ke-2, desil ke-6, dan desil ke-8; c. jangkauan data, jangkauan semiinterkuartil, langkah, pagar luar, dan pagar dalam. 8. Dari hasil nilai ulangan harian Akuntansi dan Bahasa Inggris, nilai seorang siswa selama satu semester tercatat dalam tabel berikut. Akuntansi 75 86 86 92 91 89 79 79 77 Bhs. Inggris 69 70 75 72 79 83 85 85 81 a. Tentukan statistik lima serangkai dari nilai ulangan kedua mata pelajaran siswa itu. b. Tentukan jangkauan data, simpangan kuartil, simpangan semiinterkuartil, pagar dalam, pagar luar, dan langkah. c. Dapatkah kalian menentukan desil-desilnya? Mengapa demikian? 9. Keluarga Pak Andi mempunyai lima anak. Anak termuda berumur x tahun dan tertua 2x tahun. Tiga anak yang lain berturut-turut berumur (x + 2) tahun, (x + 4) tahun, dan (2x – 3) tahun. Jika rata-rata hitung umur mereka adalah 16 tahun, tentukan umur anak termuda. 10. Nilai rata-rata ulangan Matematika dari 39 siswa adalah 45. Jika nilai 5 siswa lainnya digabungkan dengan kelompok tersebut, nilai rata-ratanya menjadi 40. Tentukan nilai rata-rata ulangan kelima siswa itu.2. Membaca dan Menyajikan Data dalam Bentuk Diagram Setelah kalian mempelajari penyajian data dalam bentuk statistik deskriptif, akan kita pelajari cara penyajian data dengan diagram atau grafik, di antaranya adalah diagram garis, diagram lingkaran, diagram batang, diagram batang daun, dan diagram kotak garis. a. Diagram Garis Suatu ketika Nia mengamati perkembangan nilai tukar mata uang rupiah terhadap dolar Amerika. Perkembangan itu diamati
    • Statistika 17setiap hari selama satu minggu. Perhatikan fluktuasi nilai matauang rupiah terhadap dolar Amerika dari tanggal 8–12 November.(Nilai rupiah dihitung per dolar Amerika Serikat)Tanggal 8 Nov. 9 Nov. 10 Nov. 11 Nov. 12 Nov.Kurs Jual 9.082 9.029 9.075 9.110 9.096Kurs Beli 8.992 8.939 8.985 9.020 9.006Dari pengamatan di atas, data tersebut dapat ditampilkan dalamdiagram garis berikut. Fluktuasi Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar AS Gambar 1.3 Penyajian data dalam bentuk demikian dinamakan penyajiandengan diagram garis. Jadi, diagram garis adalah cara penyajiandata statistik dengan menggunakan garis-garis lurus yangmenghubungkan komponen-komponen pengamatan (waktu danhasil pengamatan). Diagram ini biasanya digunakan untukmenggambarkan suatu kondisi yang berlangsung secara kontinu,misalnya perkembangan nilai tukar mata uang suatu negaraterhadap nilai tukar negara lain, jumlah penjualan setiap waktutertentu, dan jumlah penduduk suatu daerah setiap periodetertentu.b. Diagram Lingkaran Penyajian data dengan menggunakan diagram lingkaranmembantu kita untuk mengetahui persentase kelompok ataubagian tertentu dari suatu keseluruhan secara mudah. Hal utamayang harus diketahui dalam membuat diagram lingkaran adalahmenentukan besar sudut juring yang mewakili suatu bagian ataukelompok itu. Setelah mengetahui besar sudut tiap-tiap juring,kalian akan mudah untuk menentukan besar persentase bagianyang dimaksud. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
    • 18 Khaz Matematika SMA 2 IPS Contoh: Berikut ini adalah data penjualan 6 jenis mobil dari suatu perusahaan pada kurun waktu 2002–2007. Jenis Mobil I II III IV V VI Penjualan 18 26 15 36 50 8 Buatlah diagram lingkaran dari data di atas. Jawab: Untuk dapat menggambarkan diagram lingkaran, terlebih dahulu tentukan besar sudut masing-masing juring yang mewakili masing-masing jenis mobil. (Jumlah penjualan 18 + 26 + 15 + 36 + 50 + 8 = 153 buah). 18 Mobil jenis I : × 360 o = 42,35o 153 26 Mobil jenis II : × 360 o = 61,18o 153 15 Mobil jenis III : × 360 o = 35,29o 153 36 Mobil jenis IV : × 360 o = 84,70o 153 50 Mobil jenis V : × 360 o = 117,65o 153 8 Mobil jenis VI : × 360 o = 18,82o 153 Setelah kalian menentukan besar sudut dari masing-masing jenis mobil yang terjual, kalian dapat menggambarkannya dalam diagram lingkaran Gambar 1.4 (a). 5,23% 11,77% 32,68% 16,99% 23,53% 9,80% (a) (b) Gambar 1.4
    • Statistika 19 Kalian juga dapat menyatakan diagram lingkaran tersebut dalam bentuk persentase. Untuk menentukan persentase mobil jenis I, caranya adalah Jumlah penjualan mobil jenis I × 100%. Jumlah penjualan seluruh mobil 18 Jadi, persentase mobil jenis I adalah × 100% = 11,77%. 153 Coba kalian tunjukkan bahwa persentase penjualan masing- masing jenis mobil lainnya adalah sebagai berikut. Mobil jenis II : 16,99% Mobil jenis III : 9,80% Mobil jenis IV : 23,53% Mobil jenis V : 32,68% Mobil jenis VI : 5,23% Diagram lingkarannya seperti terlihat pada Gambar 1.4 (b). c. Diagram Batang Penyajian data juga dapat dilakukan dengan membuat diagram batang. Diagram ini disusun dalam bentuk persegi panjang yang lebarnya sama dan tingginya (panjangnya) sebanding dengan frekuensi datanya pada sumbu horizontal dan vertikal. Diagram batang dapat disajikan secara mendatar maupun tegak. Penyajian data ini memudahkan kita untuk mengetahui data yang mempunyai nilai tertinggi atau terendah. Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut.Contoh 1: Buatlah diagram batang dari contoh penjualan 6 jenis mobil pada contoh di depan. Jawab: Jenis Mobil I II III IV V VI Penjualan 18 26 15 36 50 8 Data penjualan jenis mobil di atas dapat disajikan kembali pada tabel berikut.
    • 20 Khaz Matematika SMA 2 IPS Penjualan Mobil Periode 2002-2007 Penjualan (Unit) Jenis Mobil Gambar 1.5 Dari data ini, diagram batangnya dapat ditampilkan sebagai berikut. Diagram batang di atas dinamakan diagram batang tegak atau vertikal. Jika digambarkan dengan diagram batang mendatar atau horizontal, gambarnya adalah sebagai berikut. Penjualan Mobil Periode 2002-2007 Jenis Mobil Penjualan (Unit) Gambar 1.6 Dua buah data atau lebih juga dapat ditampilkan dalam satu diagram batang. Perhatikan contoh berikut.
    • Statistika 21 Contoh 2: Buatlah suatu diagram batang yang mewakili data tentang jumlah karyawan PT Lestari dalam tahun-tahun berikut. Tugas: Investigasi Jenis Tahun • Kerjakan di buku tugas Kelamin 2002 2003 2004 2005 2006 2007Coba kalian cari data tinggidan berat badan siswa Laki-laki 72 50 60 62 78 80sekolahmu. Dari data yang Perempuan 30 40 80 85 95 98kalian peroleh, buatlaha. diagram batang untuk tinggi badan; Jawab:b. diagram batang untuk Jumlah karyawan laki-laki dan perempuan pada tahun yang berat badan;c. diagram batang tinggi sama digambarkan sebagai dua batang yang didekatkan. badan berdasarkan jenis Hasilnya tampak seperti pada gambar berikut. kelamin;d. diagram batang berat Jumlah Karyawan PT INDAH badan berdasarkan jenis kelamin. 100 95 98Dari berbagai diagram 85batang yang kamu buat, 80 80 78 80 72coba jelaskan makna dia- Jumlah Karyawan 60 62gram itu. 60 50 40 40 30 Laki-laki 20 Perempuan 0 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Tahun Gambar 1.7 Aktivitas Tujuan : Membuat diagram batang dengan soft- ware komputer, misalnya Microsoft Ex- cel. Permasalahan : Bagaimana menyajikan data dalam dia- gram batang yang lebih akurat dengan menggunakan komputer? Kegiatan : 1. Persiapkan data yang akan disajikan dalam diagram batang. Misalnya data peserta lomba lari tiap kelas dari suatu sekolah berikut.
    • 22 Khaz Matematika SMA 2 IPS 2. Blok range data dari A2 sampai B9 3. Klik Insert Chart, pilih Column, kemudian pilih bentuk Column yang sesuai pada Chart-type, misalnya Clustered Column. Klik Next, ikuti perintah selanjutnya atau klik Finish. Akan kalian peroleh diagram batang berikut. Kesimpulan : Suatu data dapat disajikan dalam diagram batang secara akurat dengan bantuan soft- ware komputer. d. Diagram Batang Daun Sebuah data dapat disajikan memakai analogi bagian-bagian tumbuhan. Pada tumbuhan, terdapat batang, ruas-ruas pada batangnya, dan daun. Pada ruas-ruas itu kadang-kadang terdapat daun, tetapi juga ada yang tidak mempunyai daun. Penyajian data seperti itu dinamakan diagram batang daun.
    • Statistika 23 batang Sekarang, perhatikan data berikut. 10 15 16 20 39 42 51 51 36 16 21 26 16 21 21 38 42 61 58 51 32 27 31 47 Jika data itu diurutkan dari terkecil ke terbesar, diperoleh susunan sebagai berikut. 10 15 16 16 16 20 21 21 21 26 27 31 32 36 38 39 42 42 47 51 51 51 58 61 daun Dari data yang sudah terurut, tampak bahwa datum terkecil 10 dan terbesarnya 61. Kita dapat membuat interval data ituGambar 1.8 dengan panjang kelas interval 10, sebagai berikut. 10–19, dengan angka puluhan 1; 20–29, dengan angka puluhan 2; 30–39, dengan angka puluhan 3; 40–49, dengan angka puluhan 4; 50–59, dengan angka puluhan 5; 60–69, dengan angka puluhan 6. Angka-angka puluhan 2, 3, 4, 5, dan 6 ditulis pada kolom batang dan satuan yang meliputi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 ditulis pada kolom daun. Di samping batang dan daun, bagian lain dari diagram batang daun adalah frekuensi dan frekuensi kumulatif (jumlah frekuensi sebelum atau sesudahnya). Jika data yang diberikan di atas disajikan dalam diagram batang daun, hasilnya tampak sebagai berikut. Batang Daun Frekuensi Frekuensi Kumulatif 1 05666 5 5 2 011167 6 11 3 12689 5 16 4 227 3 19 5 1118 4 23 6 1 1 24 Namun, untuk tujuan-tujuan tertentu, misalnya untuk me- nentukan median atau kuartil, kolom frekuensi dan frekuensi kumulatif dihilangkan, kemudian diganti dengan kolom kedalaman. Kolom ini ditentukan oleh letak nilai data itu dari statistik ekstrimnya, yaitu statistik minimum dan statistik maksimum. Untuk memahami kolom kedalaman, perhatikan ilustrasi berikut. • • • • • • • • • xmin x2 x3 .... median .... xn-2 xn-1 xn
    • 24 Khaz Matematika SMA 2 IPS xmin adalah statistik minimumnya, dengan kedalaman 1. x2 letaknya setelah statistik minimum. Jadi, x2 kedalamannya 2. Demikian seterusnya, sampai pada datum median. xn adalah statistik maksimumnya, dengan kedalaman 1. xn–1 letaknya setelah statistik maksimum. Jadi, kedalamannya 2. Demikian seterusnya sampai pada datum Batang Daun Kedalaman median. 1 05666 5 Khusus untuk kedalaman yang memuat median, 2 011167 11 diberi tanda [ ]. 3 12689 [5] Dengan demikian, diagram batang daun dari 4 227 8 data di samping adalah sebagai berikut. 5 1118 5 Perhatikan baris ketiga. Kolom kedalaman 6 1 1 ditulis [5]. Artinya, median dari data terletak pada baris ini. Karena jumlah datum dari dataBatang : puluhanDaun : satuan itu 24, mediannya adalah rata-rata dari datum ke-12 dan ke-13. 31+ 32 Jadi, median = = 31,5. 2 Dengan menggunakan kedalaman, baik dari arah statistik mini- mum maupun dari arah statistik maksimum, kita dapat menentukan median data tersebut. Jika kalian mempunyai dua data dengan batang yang sama, cukup disajikan menggunakan satu kolom batang saja. Perhatikan contoh berikut. Contoh: Nilai ulangan Matematika dan Ekonomi dari 10 siswa SMA disajikan dalam tabel berikut. Matematika Ekonomi 50 55 45 50 57 55 47 48 67 70 83 75 57 47 58 49 72 70 78 60 Buatlah diagram batang daun dari data di atas.
    • Statistika 25 Jawab: Matematika Ekonomi 45 47 47 48 50 49 57 50 57 55 58 55 67 60 72 70 78 70 83 75 Data tabel di atas belum terurut. Oleh karena itu, kita urutkan terlebih dahulu. Hasilnya tampak seperti tabel di atas. Diagram batang daun data di atas adalah sebagai berikut. Tugas: Inkuiri Matematika Ekonomi • Kerjakan di buku tugasMedian kedua data di sam- Kedalaman Daun Batang Daun Kedalamanping adalah rata-rata datumke-5 dan ke-6. Coba kalian 2 75 4 789 3tentukan median kedua data [4] 8770 5 055 [3]itu. 4 7 6 0 4 3 82 7 005 3 1 3 8 – – Batang : puluhan Daun : satuan Mari Bagaimana cara membuat diagram batang daun jika a. data terdiri atas angka-angka ratusan; Berdiskusi b. data terdiri atas angka-angka yang bernilai antara 0 dan Inovasi 1? e. Diagram Kotak Garis Perhatian Pada subbab sebelumnya, kalian telah mempelajari statistikPada garis berskala, penu- lima serangkai yang terdiri atas statistik minimum (xmin), kuartillisan nilai-nilai statistik lima bawah (Q1), median atau kuartil tengah (Q2), kuartil atas (Q3),serangkai harus sesuai. Hal dan statistik maksimum (xmaks). Nilai-nilai ini merupakan nilai-ini dimaksudkan untuk nilai yang terdapat pada diagram kotak garis, yaitu diagram yangmengetahui bentuk penye-baran data. terdiri atas kotak dan garis. Bagian kotak adalah nilai-nilai antara Q1 dan Q2, sedangkan bagian ekornya yang berbentuk garis adalah
    • 26 Khaz Matematika SMA 2 IPS nilai-nilai yang berada di antara xmin dan Q1 atau Q3 dan xmaks. Perhatikan gambar berikut. Bagian Bagian Bagian garis batang garis Garis berskala x1 Q1 Q2 Q3 xn Gambar 1.9 Dengan memahami bentuk diagram kotak garis ini, tentunya kalian dapat membuat diagramnya jika diketahui datanya. Contoh: Gambarkan diagram kotak garis dari suatu data yang diketahui xmin = 3, xmaks = 10, Q1 = 4, Q2 = 5, dan Q3 = 7. Jawab: Dengan memerhatikan nilai-nilai statistik lima serangkai yang diketahui dan meletakkannya pada garis berskala, diperoleh diagram kotak garis sebagai berikut. xmin Q1 Q2 Q3 xmaks 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Gambar 1.10 Diagram kotak garis dapat digunakan untuk menentukan apakah suatu data mempunyai distribusi yang seimbang atau tidak. Jika jarak antara Q1 dan Q2 sama dengan jarak antara Q2 dan Q3, serta jarak antara xmin dan Q1 sama dengan jarak antara Q3 dan xmaks maka data dikatakan mempunyai distribusi seimbang atau simetris. Selain itu, penyajian data dalam diagram kotak garis dapat memudahkan kita untuk mengetahui datum pencilan, yaitu datum yang berbeda dengan kelompoknya. Bagaimana cara menentukan ada tidaknya datum pencilan dari suatu data? Kita akan mempelajarinya dalam pembahasan tersendiri pada bagian akhir bab ini. Mari Carilah data tentang usia teman-teman sekelasmu. Dari data itu, tentukan statistik lima serangkainya, kemudian buatlah Berdiskusi diagram kotak garisnya. Dari diagram kotak garis yang di- Observasi peroleh, jelaskan apakah data itu mempunyai distribusi seimbang? Berikan alasan kalian. Diskusikan dengan teman- teman kalian.
    • Statistika 27 Jendela Informasi Lambert Adolphe Jacques Quetelet Informasi lebih lanjut Tahukah kamu siapakah Quetelet itu? Tokoh Statistika ini memiliki nama lengkap Lambert Adolphe Jacques Quetelet (1776-1874). Dia lahir di Belgia. Pada usia 23 tahun, ia menjadi profesor Matematika di Brussel, Althemeum. Dia menjadi direktur observatorium Kerajaan Brussel. Untuk menambah pengetahuan tentang observatorium, dia belajar ke Paris dan mendalami ilmu peluang serta aplikasinya. Dia meneliti data tentang sensus penduduk, kemudian mencatat data tersebut dan menyajikannya dalam bentuk tabel serta diagram. Dengan Sumber: www.mate-mati- penyajian ini, data dapat divisualkan dan mudah dipahami. kaku.com Quetelet Carilah informasi lebih lengkap tentang tokoh ini dan (1776–1874) sumbangsihnya di dunia matematika. Kalian dapat memanfaatkan perpustakaan atau internet. Sumber: Ensiklopedi Pengetahuan, 2007C. Tabel Distribusi Frekuensi Daftar atau tabel distribusi frekuensi berupa sebuah tabel yang mencakup suatu nilai atau interval yang dilengkapi dengan frekuensinya. Daftar ini dapat disajikan sebagai distribusi frekuensi tunggal maupun distribusi frekuensi berkelompok. Penyajian dengan cara ini memudahkan kita membaca data terutama untuk data dengan jumlah frekuensi besar.1. Tabel Distribusi Frekuensi Tunggal Tabel distribusi dapat memudahkan kita untuk mengetahui jumlah frekuensi dari nilai data. Berikut adalah data nilai ulangan 18 siswa. 30 30 50 40 70 80 80 80 60 45 60 60 80 40 50 50 50 80 Dari kumpulan nilai di atas, dapat diperoleh sebagai berikut. Nilai 30 muncul 2 kali. Nilai 60 muncul 3 kali. Nilai 40 muncul 2 kali. Nilai 70 muncul 1 kali. Nilai 45 muncul 1 kali. Nilai 80 muncul 5 kali. Nilai 50 muncul 4 kali. Dengan demikian, informasi di atas dapat disajikan dalam tabel berikut.
    • 28 Khaz Matematika SMA 2 IPS Nilai (xi) Turus Frekuensi 30 || 2 40 || 2 45 | 1 50 |||| 4 60 ||| 3 70 | 1 80 |||| 5 Jumlah 18 Tabel seperti ini dinamakan daftar/tabel distribusi frekuensi tunggal.2. Tabel Distribusi Frekuensi Berkelompok Kalian telah mempelajari cara membuat tabel distribusi tunggal. Bagaimana jika data yang diberikan mempunyai jumlah yang sangat banyak, misalnya 100, 200, atau 250? Tentu kalian akan kesulitan karena tabel yang harus dibuat sangat panjang. Untuk mengatasinya, kalian dapat menyajikannya dalam tabel distribusi frekuensi berkelompok. Tabel ini dibuat dalam interval- interval tertentu. Adapun istilah-istilah yang harus kalian pahami yang berkaitan dengan penyusunan tabel distribusi berkelompok adalah kelas, batas kelas, tepi kelas, panjang kelas, dan titik tengah (nilai tengah) kelas. Agar kalian memahami istilah-istilah tersebut, perhatikan tabel distribusi berkelompok berikut. Data tentang nilai ulangan dari 18 siswa di atas jika dikelompokkan adalah sebagai berikut. Interval Nilai Titik Tengah Frekuensi 30–38 34 2 49–47 43 3 48–56 52 4 57–65 61 3 66–74 70 1 75–83 79 5 Jumlah 18 Berdasarkan tabel di atas, ada beberapa pengertian yang perlu dipahami sebagai berikut.
    • Statistika 29a. Kelas Interval nilai 30–38, 39–47, 48–56, dan seterusnyadinamakan kelas.b. Batas Kelas Pada tabel di atas (halaman 28) terdapat dua macam bataskelas, yaitu batas kelas bawah dan batas kelas atas. Untuk kelas30–38, batas kelas bawah adalah 30 dan batas kelas atasnya 38.c. Tepi Kelas Tepi kelas juga terdapat dua macam, yaitu tepi kelas bawahdan tepi kelas atas. Adapun untuk memperolehnya digunakanaturan sebagai berikut. Tepi kelas bawah = batas kelas bawah – 0,5 Tepi kelas atas = batas kelas atas + 0,5d. Panjang Kelas Panjang kelas masing-masing kelas pada suatu tabeldistribusi frekuensi selalu sama. Panjang kelas dapat diperoleh dengan cara berikut. Panjang kelas = tepi kelas atas – tepi kelas bawahe. Titik Tengah (Nilai Tengah) Kelas Nilai ini diasumsikan sebagai nilai yang mewakili kelas yangbersangkutan. Nilainya ditentukan dengan cara berikut. 1 Titik tengah = (batas kelas bawah + batas kelas atas) 2 Pada tabel di atas (halaman 28) nilai tengah untuk kelas 30–38 1adalah (30 + 38) = 34. 2 Di samping istilah-istilah di atas, untuk menyusun tabeldistribusi frekuensi berkelompok, kalian perlu memahamirentang (jangkauan), aturan Sturgess, dan penentuan panjangkelas menurut Otman Sturgess. Rentang atau jangkauan dirumuskan dengan JD = xmaks – xmin.Hal ini telah kita pelajari sebelumnya. Adapun aturan Sturgessberkaitan dengan penentuan banyak kelas, yaitu sebagai berikut.Jika banyak kelas k dan ukuran data n, menurut aturan Sturgess k = 1 + 3,3 log n
    • 30 Khaz Matematika SMA 2 IPS Setelah nilai k diperoleh, panjang kelas dapat ditentukan dengan JD panjang kelas = k Seluruh data harus tercakup dalam tabel distribusi berkelompok yang akan dibuat. Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut. Contoh: Perhatikan kembali data nilai 18 siswa di atas. Dengan menggunakan aturan Sturgess, buatlah tabel distribusi berkelompoknya. Jawab: Dari data yang diberikan, diketahui n = 20, xmin = 30, dan xmaks = 80. Dengan demikian, diperoleh sebagai berikut. Jangkauan JD = xmaks – xmin = 80 – 30 = 50 k = 1 + 3,3 log 18 = 1 + 3,3 × 1,255 = 5,14 6 (Mengapa 5,14 tidak diarahkan ke nilai 5?) Kemudian, tentukan panjang kelasnya. J D 50 Panjang kelas = = = 8,33 9. k 6 Kelas Frekuensi 30–38 2 39–47 3 48–56 4 Tugas: Investigasi 57–65 3 • Kerjakan di buku tugas 66–74 1Carilah data berat badan 75–83 5teman-temanmu kelas XIIPS. Kemudian, buatlahtabel distribusi frekuensinya Jumlah 18dengan langkah-langkahtersebut. Dengan demikian, kita dapat membuat kelas pertama 30–38, kelas kedua 39–47, dan seterusnya. Oleh karena itu, tabel distribusi frekuensi berkelompok yang dapat dibuat menurut aturan Sturgess adalah sebagai berikut. Mari Menurut kalian, apakah aturan Sturgess selalu dapat digunakan? Jika ya, berikan alasanmu. Namun, jika tidak selalu Berdiskusi dapat digunakan, coba kalian tunjukkan satu kasus saja yang Inkuiri menunjukkan tidak berlakunya aturan Sturgess.
    • Statistika 313. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Setelah mempelajari tabel distribusi frekuensi berkelompok, kalian diajak untuk memahami distribusi frekuensi kumulatif. Tabel ini ada dua macam, yaitu a. tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari; b. tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari. Tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari merupakan tabel yang mencakup daftar jumlah frekuensi semua nilai yang kurang dari atau sama dengan nilai tepi atas pada setiap kelas. Tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari merupakan tabel yang mencakup jumlah frekuensi semua nilai yang lebih dari atau sama dengan nilai tepi bawah pada setiap kelas. Perhatikan kembali tabel distribusi frekuensi berkelompok yang telah diuraikan di depan yang ditampilkan kembali dengan penambahan beberapa kolom seperti berikut. Fekuensi Kumulatif Frekuensi Kumulatif Kelas Frekuensi Kurang dari Lebih dari 30–38 2 2 18 39–47 3 2+3=5 18 – 3 = 15 48–56 4 5+4=9 15 – 4 = 11 57–65 3 9 + 3 =12 11 – 3 = 8 66–74 1 12 + 1 = 13 8–1=7 75–83 5 13 + 5 = 18 7–5=2 Perhatikan kembali tabel di atas. Pada tabel di atas dapat diterangkan sebagai berikut. Untuk kelas 30–38, frekuensi kumulatif kurang darinya adalah 2. Artinya, terdapat 2 nilai data yang bernilai kurang dari atau sama dengan tepi atas kelas ini, yaitu 38,5. Untuk kelas 39–47, frekuensi kumulatif kurang darinya adalah 5. Artinya, terdapat 5 nilai data yang bernilai kurang dari atau sama dengan tepi atas kelas ini, yaitu 47,5. Demikian seterusnya, sedangkan frekuensi kumulatif lebih dari untuk kelas 30–38 adalah 18. Artinya, terdapat 18 nilai data yang lebih dari atau sama dengan tepi bawah kelas ini, yaitu 29,5. Untuk kelas 39–47, frekuensi kumulatif lebih darinya adalah 15. Artinya, terdapat 15 nilai data yang bernilai lebih dari atau sama dengan tepi bawah kelas ini, yaitu 38,5. Demikian seterusnya. Di samping frekuensi kumulatif seperti di atas, kadang- kadang kita perlu mendapatkan nilai frekuensi kumulatif relatif. Nilai ini dapat ditentukan sebagai berikut. frekuensi kumulatif Frekuensi kumulatif relatif = × 100% jumlah data
    • 32 Khaz Matematika SMA 2 IPS Bagaimanakah caranya menentukan nilai kuartil bawah, Mari tengah, dan atas melalui frekuensi kumulatif relatif? Berdiskusi Jelaskan. InovasiD. Menggambar Histogram, Poligon Frekuensi, dan Ogif Penyajian data dengan menggunakan histogram memudahkan kita untuk mengetahui distribusi frekuensi, pemusatan, dan penyebaran data itu. Histogram berupa susunan persegi panjang yang saling berimpit pada salah satu sisinya. Untuk data berkelompok, lebar persegi panjang merupakan panjang kelas dan tingginya adalah frekuensinya. Pada histogram, jika titik-titik tengah dari bagian sisi atas persegi panjang dihubungkan, diperoleh suatu garis (kurva) tertentu. Kurva ini dinamakan poligon frekuensi. Perhatikan gambar histogram dan poligon frekuensinya berikut. Gambar di samping menyajikan histogram data nilai Matematika dari 33 siswa dengan rincian sebagai berikut: 8 siswa mendapat nilai 6; 15 siswa mendapat nilai 7; 7 siswa mendapat nilai 8; 3 siswa mendapat nilai 9. Garis yang menghubungkan frekuensi dari nilai-nilai Matematika Gambar 1.11 itu dinamakan poligon frekuensi. Setelah kalian memahami poligon frekuensi, kalian akan diajak untuk mengenali ogif (ogive). Jika poligon frekuensi merupakan garis atau kurva, yang menghubungkan frekuensi dari setiap titik atau kelompok titik (kelas), ogif menghubungkan titik- titik dari frekuensi kumulatifnya. Jadi, ogif disebut juga poligon frekuensi kumulatif. Ogif yang mempunyai kecenderungan gradien (kemiringan) garis singgung positif disebut ogif positif, sedangkan yang mempunyai gradien garis singgung negatif disebut ogif negatif. Untuk jelasnya, perhatikan contoh berikut. Contoh: Gambarlah ogif positif Nilai Ulangan Frekuensi dan ogif negatif dari 30–40 3 data yang tersaji pada 41–51 6 tabel di samping. 52–62 8 63–73 12 74–84 10 85–95 6
    • Statistika 33Jawab:Untuk data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensiberkelompok, terlebih dahulu tentukan tepi bawah (untukmembuat ogif negatif) dan tepi atas (untuk menentukan ogifpositif). Dari data di atas, jika dijelaskan dengan tepi kelas (tepikelas atas atau bawah) adalah sebagai berikut.Ada 3 siswa yang nilainya kurang dari 40,5.Ada 9 siswa yang nilainya kurang dari 51,5.Ada 17 siswa yang nilainya kurang dari 62,5.Ada 29 siswa yang nilainya kurang dari 73,5.Ada 39 siswa yang nilainya kurang dari 84,5.Ada 45 siswa yang nilainya kurang dari 95,5.Jika dinyatakan dengan tabel, hasilnya adalah sebagai berikut. Frekuensi Kumulatif Nilai Ulangan Kurang dari 40,5 3 51,5 9 62,5 17 73,5 29 84,5 39 95,5 45Dengan cara yang sama, diperoleh sebagai berikut.Ada 45 siswa yang nilainya lebih dari 29,5.Ada 42 siswa yang nilainya lebih dari 40,5.Ada 36 siswa yang nilainya lebih dari 51,5.Ada 28 siswa yang nilainya lebih dari 62,5.Ada 16 siswa yang nilainya lebih dari 73,5.Ada 6 siswa yang nilainya lebih dari 84,5.Jika dinyatakan dalam tabel, hasilnya adalah sebagai berikut. Frekuensi Kumulatif Nilai Ulangan Lebih dari 29,5 45 40,5 42 51,5 36 62,5 28 73,5 16 84,5 6
    • 34 Khaz Matematika SMA 2 IPS Tugas: Kreativitas Tabel yang berkaitan dengan frekuensi kumulatif kurang • Kerjakan di buku tugas dari jika digambarkan dengan diagram garis, diperoleh ogif positif dan tabel yang berkaitan dengan frekuensi kumulatifDari tugas yang telah kalianlakukan (pada halaman 24), lebih dari akan diperoleh ogif negatif. Gambar kedua ogifbuatlah tabel distribusi fre- tersebut adalah sebagai berikut.kuensi kumulatif, frekuensi 50kumulatif relatif, histogram,poligon, dan ogifnya. Frekuensi Kumulatif 40 Ogif positif 30 20 10 Ogif negatif O 29,5 40,5 51,5 62,5 73,5 84,5 95,5 Nilai Ulangan Gambar 1.12 Florence Nightingale Jendela Informasi Salah satu tokoh statistika dunia adalah Florence Night- Informasi lebih lanjut ingale (1820–1910) yang lahir di Italia. Dia adalah seorang perawat yang bekerja di rumah sakit militer di Turki. Dia berusaha memperbaiki administrasi rumah sakit tersebut dengan menggunakan statistika. Dia percaya pada keunggulan statistika dan menggunakannya secara intensif untuk memecahkan masalah sosial dan kesehatan. Dia juga berusaha untuk memasukkan statistika ke dalam kurikulum di Oxford. Dia menciptakan boxcomb chart, suatu model penyajian data secara visual. Tulisannya dibahas pada Kongres Statistika Internasional di London pada tahun 1860. Enam tahun Sumber: www.mate-mati-kaku.com kemudian, ia terpilih sebagai anggota kehormatan asosiasi Florence Nightingale statistika Amerika. Karya Nighti-ngale, yaitu penyajian data (1820–1910) dalam suatu chart, masih dioptimalkan. Carilah informasi lebih lengkap tentang tokoh ini dan sumbangannya bagi dunia matematika. Kalian dapat memanfaatkan perpustakaan atau internet. Sumber: Ensiklopedi Pengetahuan, 2007E. Menentukan Nilai Statistik Data Berkelompok Di depan, kalian telah belajar menentukan nilai statistik data tunggal, seperti mean, median, modus, kuartil, dan desil. Kalian juga telah mempelajari ukuran penyebaran data, di samping ukuran pemusatannya. Sekarang kalian diajak untuk belajar memahami ukuran mean, median, dan modus suatu data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi (data berkelompok).
    • Statistika 351. Menentukan Nilai Mean Untuk menentukan nilai mean suatu data yang disajikan dalam tabel distribusi (berkelompok) dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan menentukan rata-rata data yang diwakili titik tengah kelas interval dan dengan rata-rata sementara. Perhatian a. Menentukan Nilai Mean dengan Menganggap IntervalPerhitungan statistik de-ngan menganggap nilai Kelas Diwakili Titik Tengahnyatengah x i mewakili kelas Kalian telah mempelajari nilai mean data tunggal. Jika datainterval ini mengasumsikanbahwa data terdistribusi xi mempunyai frekuensi fi, nilai meannya dapat ditentukan denganmerata dalam interval itu. n xi fi i =1 x = n fi i =1 n x i fi dibaca ”sigma xi dikalikan fi dari i = 1 sampai n”. i =1 Serupa dengan data tunggal, jika kelas interval ke-i diwakili oleh nilai tengah xi dengan frekuensinya fi, dan jumlah kelas r, nilai meannya dapat ditentukan dengan rumus r xi f i i= 1 x= r fi i =1 Contoh: Tentukan nilai mean dari data nilai ulangan dari 45 siswa berikut. Nilai Ulangan Frekuensi 30–40 3 41–51 6 52–62 8 63–73 12 74–84 10 85–95 6 Jumlah 45 Jawab: Untuk dapat menentukan nilai meannya, terlebih dahulu tentukan nilai tengah masing-masing kelasnya.
    • 36 Khaz Matematika SMA 2 IPS Nilai Ulangan Nilai Tengah (xi) Frekuensi (fi) xi fi 30–40 35 3 105 41–51 46 6 276 52–62 57 8 456 63–73 68 12 816 74–84 79 10 790 85–95 80 6 480 Jumlah 45 2.923 6 xi f i i =1 2.923 Dengan demikian, diperoleh x = 6 = = 64,96. 45 fi i= 1 b. Menentukan Nilai Mean dengan Rata-Rata Sementara Nilai mean dari suatu data dapat ditentukan melalui penjumlahan rata-rata sementara dengan rata-rata simpangan suatu data (titik tengah). Misalkan rata-rata sementara x s , rata- rata data sesungguhnya x , dan simpangannya adalah di = xi x s . Rata-rata sesungguhnya dapat ditentukan dengan x = x s + rata-rata simpangan r fi di i =1 x = xs + r fi i =1 Perhatikan kembali contoh di atas. Misalkan kita akan menentukan nilai rata-ratanya melalui rata-rata sementara x s = 68. Data di atas dapat ditampilkan dengan tabel berikut. Nilai Ulangan Titik Tengah (xi) Frekuensi (fi) Simpangan (di) fidi 30–40 35 3 –33 –99 41–51 46 6 –22 –132 52–62 57 8 –11 –88 63–73 68 = x s 12 0 0 74–84 79 10 11 110 85–95 80 6 12 72 Jumlah 45 –137
    • Statistika 37 Dengan demikian, diperoleh rata-rata x sebagai berikut. 6 fi di i=1 x = xs + 6 fi i=1 ( 137) = 68 + 45 = 68 – 3,04 = 64,96c. Menentukan Nilai Mean dengan Coding Kata coding diartikan sebagai kode atau sandi. Caramenentukan mean dengan coding tidak jauh berbeda dengan caramenentukan mean melalui rata-rata sementara. Jika kalianmenentukan mean melalui rata-rata sementara denganmenggunakan rumus r fi xi i =1 x = xs + k r fi i =1Cara menghitung mean dengan coding digunakan rumus r fi ci x = x s + k i=1 r fi i=1denganx s = rataan sementarak = panjang kelasdi = xi – x s simpangan dari rataan sementaraci = coding Pada cara coding, pada tanda kelas x s diberi nilai c0 = 0.Selanjutnya, tanda kelas yang kurang dari x s berturut-turut diberinilai c1 = –1, c2 = –2, c3 = –3, dan seterusnya, sedangkan tandakelas yang lebih dari x s berturut-turut diberi nilai c1 = 1, c2 = 2,c3 = 3, dan seterusnya. Nilai-nilai ci ditentukan dengan rumus xi xs ci = i
    • 38 Khaz Matematika SMA 2 IPS Contoh: Perhatikan tabel di bawah yang memperlihatkan daftar distribusi frekuensi nilai Matematika 100 siswa. Tentukan rataan hitungnya dengan menggunakan cara coding. Nilai f 50–52 10 53–55 34 56–58 28 59–61 20 62–64 8 Jawab: Perhitungan dengan menggunakan cara coding. Misal kita menggunakan rata-rata sementara x s = 60. Nilai Frekuensi Nilai Tengah c = xi x s fici i Ulangan (fi) (xi) i 50–52 6 51 –3 –18 Tugas: Investigasi 55–55 38 54 –2 –76 • Kerjakan di buku tugas 56–58 28 57 –1 –28 59–61 16 60 0 0Dengan menggunakan datapada contoh halaman 35, 62–64 12 63 1 12tunjukkan dengan cara Jumlah 100 –110coding bahwa rata-ratanya64,96. Uji dengan berbagaipengambilan rata-rata x s = 60sementara. 110 x = 60 + 3 = 56,7 100 Jadi, rataan hitungnya adalah 56,7.2. Menentukan Median dan Kuartil Data Berkelompok Letak dan nilai-nilai kuartil data tunggal telah dipelajari pada subbab sebelumnya. Untuk data berkelompok yang disusun dalam tabel distribusi frekuensi, kuartil dapat ditentukan dengan cara berikut. Perhatikan Gambar 1.13 (a). Gambar tersebut menunjukkan histogram dari sebuah data berkelompok dengan kelas interval k dan frekuensi masing-masing f1, f2, f3, f4, dan f5. Berdasarkan Gambar 1.13 (a), kita dapat membuat histogram frekuensi kumulatif relatif seperti tampak pada Gambar 1.13 (b).
    • Statistika 39 Kuis n • Kerjakan di buku tugas f 100% f5Data berikut adalah tinggi f4 D Cbadan sekelompok siswa. 50% F f3 Tinggi (cm) Frekuensi A B 151 – 155 5 E k f2 156 – 160 20 k k k k f1 x 161 – 165 k f1 f2 f3 f4 f5 O tb Q2 ta x 166 – 170 26 k 171 – 175 7 O xJika median data di atas (a) (b)163,5 cm maka nilai k = .... Gambar 1.13a. 40 d. 46b. 42 e. 48 Median memiliki frekuensi kumulatif relatif 50% sehinggac. 44 letak median dapat ditentukan pada grafik di atas, yaitu pada SPMB 2004 kelas ketiga. Pandanglah persegi panjang ABCD pada kelas ketiga Gambar 1.13 (b). Pada gambar tersebut tampak bahwa segitiga AEF sebangun dengan segitiga ABC. Oleh karena itu, berlaku perbandingan sebagai berikut. panjang AE panjang EF = panjang AB panjang BC x 50%n ( f1 + f2 ) = .............. (Ingat: f3 = fQ ) k f3 2 x = k 50%n ( f1 + f2 ) fQ2 Karena Q2 = tb + x maka diperoleh 50%n ( f1 + f2 ) Q2 = tb + k fQ2 Jika F2 menyatakan frekuensi kumulatif sebelum kelas Q2 maka rumus di atas dapat ditulis dengan 2n 4 F2 Q2 = tb + k fQ2 Tugas: Investigasi • Kerjakan di buku tugas Jika kalian mengerjakan tugas di atas dengan benar, tentu akan memperoleh rumus berikut.Dengan cara seperti kalianmenentukan rumus Q2, coba n 3ntentukan rumus untuk me- 4 F1 4 F3nentukan Q1 dan Q3. Q1 = tb + k dan Q3 = tb + k fQ1 fQ3
    • 40 Khaz Matematika SMA 2 IPS Secara umum, rumus untuk menentukan kuartil pertama, kedua, dan ketiga dapat kita tuliskan sebagai berikut. Keterangan: in Fi Qi = kuartil ke-i Qi = tb + k 4 i = 1, 2, 3 fQi tb = tepi bawah kelas kuartil ke-i k = panjang kelas n = ukuran data Fi = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil ke-i fQ = frekuensi kelas kuartil ke-i i in Posisi Q1 terletak pada datum ke- ; i = 1, 2, 3. 4 Contoh: Tentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data yang tersaji pada tabel berikut. Nilai Frekuensi (f) Fkumulatif 30–39 3 3 40–49 5 8 50–59 2 10 60–69 13 23 70–79 25 48 80–89 12 60 90–99 20 80 Jawab: Dari data di atas, dapat ditentukan sebagai berikut. Median senilai dengan kuartil tengah (Q2) yang terletak pada 2 kelas interval dengan frekuensi kumulatif mencapai dari 4 80, yaitu kelas 70–79. Oleh karena itu, dapat ditentukan bahwa tepi bawah tb = 70 – 0,5 = 69,5, tepi atas = ta = 79 + 0,5 = 79,5, panjang kelas k = 79,5 – 69,5 = 10, frekuensi kumulatif sebelum kelas median F2 = 23, dan frekuensi kelas median f = 25. Jadi, diperoleh nilai median sebagai berikut.
    • Statistika 41 2(80) 23 Median = Q2 = 69,5 + 10 4 25 = 69,5 + 6,8 = 76,3 Dengan cara yang sama, kalian akan dapat dengan mudah menentukan Q1 dan Q3 sebagai berikut. 1 Letak Q1 pada datum ke- × 80 = datum ke-20, yaitu kelas 4 ke-4 (kelas 60–69). tb = 59,5; k = 10; F1 = 10; fQ = 13. 1 1(80) 10 Q1 = 59,5 + 10 4 13 = 59,5 + 7,69 = 67,19 3 Untuk Q3 letaknya di datum ke- × 80 = datum ke- 60, yaitu 4 kelas keenam (kelas 80–89). tb = 79,5; k = 10; F3 = 48; fQ = 12. 3 3(80) 48 Q3 = 79,5 + 10 4 12 = 79,5 + 10 = 89,53. Menentukan Modus Data Berkelompok Misalkan suatu sekolah memiliki siswa yang rata-rata pandai. Dalam hal ini, modus dari siswa tersebut adalah pandai, meskipun ada juga yang kurang pandai. Hal ini menunjukkan bahwa pada data kualitatif, modus sering diartikan sebagai rata-rata. Pada data kuantitatif modus diartikan sebagai nilai yang sering muncul dari data itu atau nilai yang memiliki frekuensi tertinggi. Kalian telah mempelajari modus dari data tunggal. Sekarang mari kita mempelajari modus data berkelompok. Misalkan suatu data yang terdiri atas 3 kelas disajikan dalam histogram berikut.
    • 42 Khaz Matematika SMA 2 IPS Pada gambar di samping tampak bahwa ABG f k sebangun dengan CDG. Dalam hal ini, A D f2 panjang AB = d1, CD = d2, EG = x, dan GF = G d2 d1 E F k k – x. f3 Dari kesebangunan itu, berlaku perbandingan k C f1 berikut. B AB EG d1 x = = x CD GF d2 k x O tb M0 ta x d2 x = d1(k – x ) Gambar 1.14 d2 x = d1k – d1 x d1 x + d2 x = d1k (d1 + d2) x = d1k d1 x =k d1 + d 2 Dari Gambar 1.14 tampak bahwa modus adalah M0 = tb + x sehingga d1 M0 = tb + x M0 = tb + k . d1 + d 2 Jadi, modus data berkelompok dapat ditentukan dengan rumus d1 M0 = t b + k d1 + d2 Keterangan: M0 = modus tb = tepi bawah kelas modus k = panjang kelas d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya Contoh: Tentukan modus data berikut. Berat Badan (kg) Frekuensi (f) 35–40 3 41–46 5 47–52 8 53–58 2
    • Statistika 43 Jawab: Dari data di atas, tampak bahwa modus terletak pada kelas 47–52 dengan frekuensi f = 8 dan panjang kelas k = 6. Oleh karena itu, tb = 46,5, d1 = 8 – 5 = 3, dan d2 = 8 – 2 = 6. Perhatikan tabel di bawah. Berat Badan (kg) Frekuensi (f) 35–40 3 41–46 5 47–52 8 } d1 = 3 d2 = 6 { 53–58 2 kelas modus Jadi, modus data itu adalah f 8 d1 M0 = tb + k d1 + d 2 5 3 = 46,5 + 6 3 3+6 2 = 46,5 + 2 = 48,5 O 34,5 40,5 46,5 52,5 58,5 x 48,5 (modus) Gambar 1.15 Secara visual, modusnya dapat dilihat pada Gambar 1.15.4. Menentukan Desil Data Berkelompok Seperti yang telah kalian ketahui, desil merupakan nilai-nilai yang membagi data yang sudah diurutkan menjadi sepuluh bagian yang sama banyak. Karena desil mambagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak, ada sembilan nilai desil, yaitu desil pertama (D1), desil kedua (D2), desil ketiga (D3), desil keempat (D4), desil kelima (D5), desil keenam (D6), desil ketujuh (D7), desil kedelapan (D8), dan desil kesembilan (D9). Cara menentukan desil data tunggal telah kalian pelajari sebelumnya. Sekarang kita akan membahas cara menentukan desil data berkelompok. Cara menentukan desil pada data berkelompok sama (analog) seperti kalian menentukan kuartil data berkelompok. Dengan asumsi data terdistribusi merata dalam kelas-kelasnya, desil data berkelompok ditentukan dengan rumus berikut.
    • 44 Khaz Matematika SMA 2 IPS i n F Di = tb + 10 k FDi Keterangan: i = 1, 2, 3, ..., 9. n = f tp = tepi kelas Di k = panjang kelas fD = frekuensi kelas Di i F = frekuensi kumulatif sebelum kelas Di Untuk menentukan posisi desil ke-i, cari posisi datum dalam kelasnya. Caranya in Di = datum ke- ; i = 1, 2, ..., 9. 10 Contoh: Tentukan desil ke-1, ke-5, dan ke-9 dari data berikut. Nilai Frekuensi 40–44 9 45–49 9 50–54 22 55–59 30 60–64 15 65–69 8 70–74 7 Jawab: Nilai Tepi Kelas Frekuensi f Kumulatif 40–44 39,5–44,5 9 9 45–49 44,5–49,5 9 18 x10 = D1 50–54 49,5–54,5 22 40 55–59 54,5–59,5 30 70 x50 = D5 60–64 59,5–64,5 15 85 65–69 64,5–69,5 8 93 x90 = D9 70–74 69,5–74,5 7 100
    • Statistika 45a. Desil ke-1 n = f = 100; i = 1 in D1 = datum ke- 10 1 × 100 = datum ke- 10 = datum ke-10. Pada tabel di atas, tampak bahwa x10 terletak dalam kelas kedua, dengan interval 44,5–49,5. Selanjutnya, tb = 44,5; fD = 9; F = 9; k = 5. 1 i n F Jadi, Di = tb + 10 k FDi 1 ×100 9 = 44,5 + 10 ×5 9 = 44,5 + 0,555 = 45,05b. Desil ke-5 n = f = 100; i = 5 in D5 = datum ke- 10 5 × 100 = dalam ke- 10 = datum ke-50. Pada tabel di atas, tampak bahwa x50 terletak dalam kelas keempat, dengan interval 55–59. Selanjutnya, tb = 54,5; fD = 30; F = 40; k = 5. 5 5 n F Jadi, D5 = tb + 10 k f D5
    • 46 Khaz Matematika SMA 2 IPS 5 × 100 40 = 54,5 + 10 5 30 = 45,5 + 1,667 = 56,167 c. Desil ke-9 n= f = 100; i = 9 in 9 × 100 D9 = datum ke- = dalam ke- = datum ke- 10 10 90. Pada tabel, tampak bahwa x90 terletak dalam kelas keenam dengan interval 65–69. Selanjutnya, tb = 64,5; fD = 8; F = 85; k = 5. 9 9 n F Jadi, D9 = tb + 10 k FD9 9 ×100 85 = 64,5 + 10 ×5 8 = 64,5 + 3,125 = 67,6255. Menentukan Ukuran Penyebaran Data Pada pembahasan kali ini, kita hanya akan membahas ukuran penyebaran simpangan rata-rata dan varians suatu data berkelompok. Selain kedua ukuran itu, seperti yang telah kalian ketahui, ada ukuran penyebaran yang lain seperti jangkauan data, jangkauan antarkuartil, simpangan kuartil, dan ragam. Kesemuanya ini telah kalian pelajari di depan. a. Simpangan Rata-Rata Suatu ukuran yang mencerminkan penyebaran setiap nilai data terhadap nilai rata-ratanya dinamakan simpangan rata-rata. Simpangan rata-rata (SR) dapat dirumuskan dengan
    • Statistika 47 1 n SR = xi x n i =1 |xi – x | dibaca: ”harga mutlak dari xi dikurangi x bar.” Keterangan: x = rata-rata xi = datum ke-i n = ukuran data Jika data tersusun dalam distribusi frekuensi, simpangan rata- rata dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut. Misalkan terdapat data dengan x1 adalah nilai tengah kelas; ke-1 frekuensinya f1; x2 adalah nilai tengah kelas; ke-2 frekuensinya f2; M M M xr adalah nilai tengah kelas; ke-r frekuensinya fr; dan rata-rata data adalah x . Dengan demikian, simpangan rata-ratanya adalah | x1 x | + | x2 x | +...+ | xr x | SR = f1 + f2 + ... + fr r fi xi x i =1 = r fi i =1 Jadi, simpangan rata-rata data yang tersusun dalam distribusi frekuensi yang terdiri atas r kelas, dengan xi nilai tengah kelas ke-i adalah Keterangan: r fi = frekuensi kelas ke-i fi xi x SR = i =1 r x = rata-rata r = banyak kelas fi i =1 xi = nilai tengah kelas ke-iContoh: Tentukan simpangan rata-rata data berikut. a. 3, 2, 5, 4, 3, 2, 4 b. Nilai Frekuensi 30–39 3 40–49 7 50–59 6 60–69 4
    • 48 Khaz Matematika SMA 2 IPS Jawab: a. Diketahui data: 3, 2, 5, 4, 3, 2, 4. Data ini jika diurutkan dari terkecil ke terbesar, diperoleh susunan 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5. 2 +2+3+3+4+4 +5 Rata-rata x = = 3,29. 7 7 xi x = |2 – 3,29| + |2 – 3,29| + |3 – 3,29| + |3 – 3,29| i =1 + |4 – 3,29| + |4 – 3,29| + |5 – 3,29| = 1,29 + 1,29 + 0,29 + 0,29 + 0,71 + 0,71 + 1,71 = 6,29 Simpangan rata-rata 7 | xi x| SR = i =1 n 6, 29 = 7 = 0,90 b. Data di atas dapat ditampilkan lebih lengkap dalam tabel berikut. Nilai fi xi fi x i |xi – x | fi |xi – x | 30–39 3 34,5 103,5 15,5 46,5 40–49 7 44,5 311,5 5,5 38,5 50–59 6 54,5 327,0 4,5 27,0 60–69 4 64,5 258,0 14,5 58 Jumlah 20 1.000 40 170 Dari tabel di atas, diperoleh r fi xi x = i =1 r fi i =1 r fi xi i =1 = r = 50. fi i =1
    • Statistika 49 r | xi x| i =1 170 SR = r = = 8,5 20 fi i =1 Jadi, simpangan rata-rata data ini adalah 8,5.b. Varians Selain simpangan rata-rata, ukuran penyebaran yang lainadalah varians atau ragam (S2). Jika kita menjumlahkan selisihdata dengan rata-ratanya, diperoleh (xi x ) = 0. Varians 1didefinisikan sebagai nilai dari ( x i x )2 . Nilai ini tidak akan nsama dengan nol. Karl Pearson menentukan varians data tunggaldengan rumus 1 n S2 = ( xi x )2 n i =1Rumus ini juga dapat dinyatakan dalam bentuk lain. Namunsebelumnya, yang perlu kalian ketahui dalam operasi sigmaberlaku n n n1. (ai + bi ) = ai + bi i =1 i =1 i =1 n n2. kai = k ai i =1 i =1 n3. k = kn i =1(Materi notasi sigma dan operasinya lebih lanjut akan kalianpelajari di kelas XII)Sekarang perhatikan rumus varians data tunggal di atas. 1 n S2 = ( xi x )2 n i =1 1 2 = ( xi 2 xxi + x 2 ) n 1 n 2 n n = n{ xi 2 xxi + x 2} i =1 i =1 i =1
    • 50 Khaz Matematika SMA 2 IPS 1 n 2 n = { xi 2x x i + n x 2} .... ( 2 x dan x 2 konstanta) n i=1 i =1 1 n 2 1 n n 1 n = { x 2. x i x i + n( x )2 } n i= 1 i n i =1 i =1 n i=1 i 1 n .......... (karena x = xi ) n i =1 2 2 n n xi xi 1 n 2 i =1 i =1 = xi 2. + n i =1 n n 2 n xi 1 n = xi 2 i =1 n i =1 n Jadi, varians data tunggal juga dapat ditentukan dengan rumus n 2 n xi 1 2 i =1 S = 2 xi n i =1 n Bentuk di atas dapat dimodifikasi menjadi sebagai berikut. n 2 2 n n n 2 2 xi xi xi xi i =1 i =1 i =1 i =1 S2 = = n n2 n n n 2 n 2 xi xi i =1 2 Kalian tahu bahwa i=1 = x dan 2 = (x ) . n n
    • Statistika 51 Perhatian Jadi, rumus varians di atas dapat dituliskan dalam bentuk berikut.Para pakar statistik, sepertiWilks dan Fisher Irwin, me- S 2 = x 2 ( x )2nentukan varians menggu-nakan pembagi (n – 1) jika Jika data dinyatakan dalam data berkelompok yang terdirin < 100. atas r kelas, variansnya dapat ditentukan denganJadi, variansnya dihitungdengan rumus 1 r n 2 S2 = fi ( xi x )2 ( xi x) n i =1 S2 = i =1 n 1 r Sumber: Theory and Problem of Statistics, 1972 dengan xi = nilai tengah kelas dan n = fi . i =1 Mari Kalian tahu bahwa mean (rata-rata) dari data yang tersaji dalam Berdiskusi distribusi frekuensi berkelompok adalah Menumbuhkan r kreativitas xi fi i =1 x = r fi i =1 Dengan menggunakan cara-cara yang sama dengan penguraian rumus varians data tunggal, buktikan bahwa bentuk lain dari rumus varians data berkelompok adalah r 2 r xi fi 1 i =1 S2 = xi 2 fi n i =1 n Ingat, xi adalah nilai tengah kelas interval. Kalian telah mengetahui bagaimana cara menentukan varians dari suatu data, baik data tunggal maupun data berkelompok. Akar dari varians disebut standar deviasi. Dengan demikian, standar deviasi dirumuskan dengan S = S2 . 1) Untuk data tunggal, standar deviasinya adalah n n ( xi ) 2 1 S= xi 2 i =1 n i =1 n
    • 52 Khaz Matematika SMA 2 IPS 2) Untuk data dalam distribusi frekuensi, standar deviasinya adalah r r ( xi fi )2 1 S= xi 2 f i =1 n i =1 n Contoh: Tentukan varians dan standar deviasi dari data berikut. a. 4, 5, 6, 7, 8 b. Nilai Frekuensi 30–39 3 40–49 7 50–59 6 60–69 4 (Gunakan bantuan scientifics calculator untuk perhitungan- perhitungan statistik) Jawab: a. Diketahui data: 4, 5, 6, 7, 8. Cara 1: 4 +5+6+ 7+8 Dari soal diketahui n = 5 dan x = = 6. 5 (x i x )2 = (4 – 6)2 + (5 – 6)2 + (6 – 6)2 + (7 – 6)2 + (8 – 6)2 = 10 1 1 Jadi, S2 = (x i x )2 = (10) = 2. n 5 Standar deviasinya adalah S = S2 = 2 = 1,414. Cara 2: Perhatikan tabel di samping. Dari data di samping, diper- x x2 oleh 4 16 5 2 5 25 xi = 30 dan xi = 190. i =1 6 36 (Gunakan kalkulator untuk 7 49 menghitungnya) 8 64 30 190
    • Statistika 53 Dengan demikian, diperoleh 2 5 5 xi 2 1 2 i= 1 S = xi n i= 1 n 1 302 = 190 =2 5 5 2 Jadi, standar deviasinya adalah S = S = 2 = 1,414.b. Cara 1: Kalian telah dapat menentukan rata-rata data ini adalah x = 50 (lihat pembahasan simpangan rata-rata contoh b hal 48). Dengan demikian, dapat kita tampilkan tabel berikut. Dengan demikian, diperoleh Nilai fi xi (xi – x )2 fi(xi – x )2 30–39 3 34,5 240,25 720,75 40–49 7 44,5 30,25 211,75 50–59 6 54,5 20,25 121,50 60–69 4 64,5 210,25 841,00 Jumlah 20 1.895 1 4 S2 = fi ( xi x )2 n i =1 1 = (1.895) = 94,75 20 Standar deviasinya adalah S = S2 = 94, 75 = 9,73. Cara 2: Kita juga dapat menentukan varians data ini dengan menggunakan rumus r 2 r xi fi S2 = 1 xi2 fi i =1 . n i =1 n
    • 54 Khaz Matematika SMA 2 IPS Sebelumnya, untuk mempermudah perhitungan, kita gunakan tabel perhitungan berikut. Nilai fi xi xi2 xifi xi2fi 30–39 3 34,5 1.190,25 103,5 3.570,75 40–49 7 44,5 1.980,25 311,5 13.861,75 50–59 6 54,5 2.970,25 327,0 17.821,5 60–69 4 64,5 4.160,25 258,0 16.641 Jumlah 20 10.301 1.000 51.895 Dari nilai-nilai pada tabel di atas, kita dapat menentukan varians yang dimaksud, yaitu 4 2 4 xi fi 1 i =1 S2 = xi2 fi n i =1 n r 1 (1.000)2 fi = n) = 51.895 .......... (Ingat: 20 20 i =1 = 94,75 Jadi, standar deviasinya adalah S = S 2 = 94, 75 = 9,73. Tampak bahwa perhitungan standar deviasi dengan kedua rumus di atas memberikan hasil yang sama. • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 2 1. Perhatikan tabel berikut. Tabel berikut menunjukkan jumlah penjualan 4 jenis roti pada suatu toko pada periode tertentu. Periode Roti A Roti B Roti C Roti D Jumlah I 120 122 150 100 492 II 200 110 95 120 525 III 58 100 100 150 408 IV 200 120 305 195 820 V 190 195 200 210 795 Jumlah 768 647 850 775 3.040
    • Statistika 55 Tantangan Berdasarkan tabel di atas, buatlah a. diagram garis penjualan roti A dalam 5 periode; Penalaran b. diagram garis penjualan setiap roti pada periode I; • Kerjakan di buku tugas c. diagram lingkaran penjualan roti C dalam 5 periode;Tinggi badan 20 siswa diukur d. diagram batang pada penjualan setiap roti untuksebagai berikut (dalam cm). periode II;156 158 160 169 160156 160 162 164 160 e. diagram batang daun pada penjualan roti D dalam156 160 160 166 170 setiap periode;157 156 178 155 155 f. diagram kotak penjualan roti D dalam setiap periode;Buatlah tabel distribusi g. diagram kotak garis penjualan setiap roti pada periodefrekuensi tunggal data di V.atas, kemudian tentukanmean, median, dan modus- 2. Perhatikan data berat badan siswa berikut.nya. Kemudian, tentukan 68 58 58 61 54 49 56 64 79simpangan rata-rata dan 58 56 60 56 56 60 59 61 58variansnya. 57 60 62 60 49 52 54 60 56 60 58 55 48 50 51 61 48 56 68 60 49 56 48 70 63 68 62 79 58 56 56 62 62 72 71 71 81 81 86 76 72 72 72 73 71 72 76 70 70 69 68 62 72 71 Dengan aturan Sturgess, buatlah tabel distribusi frekuensi berkelompok data di atas. Kemudian, buatlah tabel frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari. 3. Perhatikan data berikut. Data di samping adalah Tahun Banyak Siswa data banyak siswa dari suatu SMA yang mene- 1999 95 ruskan ke perguruan ting- 2000 100 gi pada suatu tahun. 2001 112 Buatlah frekuensi kumu- 2002 193 latif kurang dari, frekuen- 2003 117 si kumualtif lebih dari, 2004 126 ogif positif, ogif negatif, 2005 180 dan histogramnya. Kemu- 2006 100 dian, tentukan simpangan 2007 130 rata-rata dan standar de- 2008 160 viasinya. Tentukan ketiga kuartil, desil ke-1 dan desil ke-7. 4. Berikut ini adalah data siswa kelas XI SMA Pangkalan Balai pada tahun pelajaran 2006/2007 yang ditampilkan dalam diagram batang.
    • 56 Khaz Matematika SMA 2 IPS 25 25 24 20 20 20 19 18 Jumlah siswa 16 16 16 15 15 13 13 11 Laki - laki 10 Perempuan 8 5 0 IPA 1 IPA 2 IPA 3 IPS 1 IPS 2 BHS 1 BHS 2 Kelas Gambar 1.16 a. Berapa jumlah siswa kelas XI secara keseluruhan? Tantangan b. Berapa jumlah siswa laki-laki kelas XI? c. Berapa persen siswa perempuan yang masuk Kreativitas program Bahasa dari keseluruhan siswa perempuan • Kerjakan di buku tugas yang ada?Dalam suatu perusahaan, d. Kelas manakah yang mempunyai jumlah siswarataan tinggi pegawai laki- terbanyak?laki adalah 165 cm, rataantinggi pegawai wanita 160 5. Diagram lingkaran berikut menunjukkan 126 siswa yangcm, dan rataan tinggi memiliki hobi tertentu.pegawai keseluruhan 162cm. Tentukan perbandinganbanyak pegawai laki-laki Nonton filmdan pegawai wanita dalam 77,54 operusahaan tersebut. 124,62 o Rekreasi Renang 63,69 o Komputer Gambar 1.17 a. Tentukan jumlah siswa yang menyukai masing- masing hobi. b. Tentukan persentase siswa yang menyukai masing- masing hobi. 6. Gambar berikut menyajikan poligon frekuensi jumlah permen dengan warna tertentu yang ada dalam sekaleng permen.
    • Statistika 57 6 5 4 Frekuensi 3 2 1 0 cokelat hijau oranye kuning merah putih Warna Gambar 1.18 Berdasarkan gambar di atas, tentukan a. banyaknya semua permen dalam kaleng; Tantangan b. persentase jumlah permen untuk setiap warna; Penalaran c. perbandingan banyaknya permen warna orange dan • Kerjakan di buku tugas warna cokelat.Perhatikan tabel berikut. 7. Dalam suatu kelas terdapat 21 siswa. Nilai rata-rata ujian Data Frekuensi Matematikanya adalah 6. Jika seorang siswa yang paling rendah nilainya tidak diikutsertakan maka nilai rata- 11–15 4 ratanya menjadi 6,2. Berapakah nilai ujian Matematika 16–20 15 terendah tersebut? 21–25 7 26–30 3 8. Diketahui x0 adalah nilai rata-rata dari x1, x2, x3, ..., x10. 31–35 1 Tentukan nilai rata-rata daria. Manakah pernyataan x1 + 1 x2 + 2 x3 + 3 x + 10 . berikut yang benar? , , , ..., 10 2 2 2 2 1) Median terletak pada kelas ke-3. 9. Pada ujian Matematika yang diikuti 40 siswa, rata-rata 2) Banyaknya data se- nilainya 32. Karena nilai rata-ratanya terlalu rendah maka luruhnya adalah 25. Sang guru mengambil kebijakan, yaitu mengalikan nilai 3) Jangkauannya 34. 4) Modus terletak pada setiap siswa dengan 2, kemudian dikurangi 10. Berapa kelas ke-2. nilai rata-rata sekarang? 5) Meannya 20. 10. Data penghasilan karyawan di sebuah perusahaan swastab. Tentukan median, kuartil adalah sebagai berikut. ke-2, desil ke-1, desil ke-5 Penghasilan Per Bulan (Rp) Banyak Karyawan 400.000 – 449.000 225 450.000 – 499.000 100 500.000 – 549.000 75 550.000 – 599.000 75 600.000 – 649.000 50 650.000 – 699.000 50 > 700.000 25
    • 58 Khaz Matematika SMA 2 IPS a. Buatlah histogram data di atas. Kemudian, buatlah ogif positif dan negatifnya. b. Tentukan nilai mean (dengan 3 cara), median, dan modusnya. c. Tentukan simpangan rata-rata, varians, dan standar deviasinya. d. Tentukan kuartil ke-3, desil ke-5, dan desil ke-8.F. Pemeriksaan Data yang Tidak Konsisten Tentu kalian masih ingat dengan pengertian kuartil (Q1, Q2, Q3), jangkauan antarkuartil (JK ), dan langkah (L). Di samping itu, kita juga telah belajar pagar dalam (PD) dan pagar luas (PL) yang nilainya PD = Q1 – L PL = Q3 + L 3 Ingat, besarnya satu langkah ditentukan dengan L = (Q3 – Q1). Tugas: Investigasi 2 • Kerjakan di buku tugas Ukuran-ukuran statistik ini akan kita gunakan dalam memeriksa data yang berbeda dari kelompoknya. Data yangMisalkan dalam perkam- berbeda dari kelompoknya disebut sebagai data pencilanpungan yang beternak ayam (outlier), sedangkan data yang tidak berbeda dari kelompoknyapetelur, didata jumlah telur disebut data normal. Pada pembahasan kali ini, kita hanyayang dihasilkan per hari. memfokuskan pada data pencilan atau data yang tidak konsistenDalam data tersebut, tercatatsebagai berikut. dalam kelompoknya.Data banyak telur yang diha- Data pencilan berada kurang dari 1 langkah di bawah Q1silkan per hari dalam sebuah atau lebih dari 1 langkah di atas Q3. Lebih jauh lagi, jika suatupeternakan ayam petelur data terletak 2 langkah di bawah Q1 atau 2 langkah di atas Q3250 350 205 310 450 425 maka data itu dinamakan data ekstrem. Jadi, data ekstrem pasti400 400 350 375 300 350325 305 310 250 110 255 merupakan pencilan.90 305 305 310 350 360 Misalkan diberikan suatu data x1, x2, x3, ..., xn. BerdasarkanCoba kamu selidiki, adakah keterangan di atas, untuk memeriksa apakah xi (untuk i = 1, 2, 3,data pencilannya? Jika ada, ..., n) merupakan data normal atau data pencilan, dapat digunakankira-kira (menurutmu) apapenyebabnya? ketentuan berikut. Jika PD xi PL maka xi merupakan data normal. Jika xi < PD atau xi > PL maka xi merupakan data pencilan. Permasalahannya sekarang adalah apa yang menyebabkan suatu data merupakan data pencilan? Kemungkinan- kemungkinan yang dapat mengakibatkan munculnya data pencilan adalah sebagai berikut.
    • Statistika 59 1. Kesalahan pencatatan data. 2. Kesalahan teknis pengukuran. 3. Data tersebut merupakan data yang menyimpang, seperti data diperoleh dari bibit unggul di antara bibit yang tidak unggul atau terjadinya sifat anomali pada air. Dengan menggunakan diagram kotak garis, kalian akan dapat dengan mudah menentukan apakah suatu data berbeda dari kelompoknya atau tidak. Perhatikan diagram kotak garis berikut. xmin 1L 1 L Q1 Q2 Q3 1L 1L xmaks Data Data Data Data Data ekstrem pencilan normal pencilan ekstrem Gambar 1.19 Dari gambar di atas, terlihat bahwa data pencilan memiliki jarak lebih dari 1,5 langkah dari Q1 maupun Q3. Contoh: Misalkan diberikan data: 1, 2, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 12, 24. Dari data di atas, apakah ada pencilannya? Selidiki pula adakah Tantangan data ekstrem? Eksplorasi Jawab: • Kerjakan di buku tugas Dari data di atas, diperoleh Q1 = 7, Q2 = 9 dan Q3 = 10. Dengan demikian, diperolehSebanyak 20 pohon dicatattahan hidupnya dan disaji- 3 L = (Q3 – Q1) PD = Q1 – L PL = Q3 + Lkan dalam diagram kotak 2garis berikut (dalam tahun). = 7 – 4,5 = 10 + 4,5 3 = 2,5 = 14,5 = (10 – 7)9 12 13 18 20 2 = 4,5a. Tentukan ketiga kuar- tilnya. x min PD Q2 Q3 PL x maks Q1b. Berapa persen pohon yang tahan hidup antara 12–18 tahun? 1 2 3 7 8 9 10 14 15 19 24c. Berapa persen pohon Data Data normal Data Data yang tahan hidup 9–12 pencilan pencilan ekstrem tahun? Gambar 1.20
    • 60 Khaz Matematika SMA 2 IPS Data xi merupakan pencilan jika xi < PD atau xi > PL. Karena PD = 2,5 dan PL = 14,5 maka data yang memenuhi xi < 2,5 atau xi > 14,5 adalah 1, 2, dan 24. Sekarang akan kita selidiki adakah data ekstremnya. Karena 1 langkah = 4,5 maka 2L = 9. Jadi, misal xi data ekstrem maka xi < Q1 – 2L atau xi > Q3 + 2L. Dengan demikian, data ekstrem berada pada xi < 7 – 9 = –2 atau xi > 10 + 9 = 19. Oleh karena itu, yang merupakan data ekstrem adalah 24 Mari Apakah pencilan suatu data harus dibuang agar memperoleh Berdiskusi data normal? Berikan alasanmu. Apa akibatnya jika data Mengomunikasikan pencilan dihilangkan? gagasan Jendela Informasi John Wilder Tukey Salah satu tokoh statistika yang cukup terkenal adalah Informasi lebih lanjut Tukey. Jika kamu belajar tentang Metode Statistik, kamu tentu akan sangat dekat dengan aturan-aturan (teori) Tukey. Statistika ini lebih dekat ke statistika inferensi. Nama lengkapnya adalah John Wilder Tukey (1915-2000). Dia lahir di New Bedford, Massachusetts, Amerika Serikat pada tanggal 16 Juni 1915. setelah menyelesaikan sekolah Pre- College-nya di rumah, ia mengambil S1 dan S2 dalam bidang Kimia. Setelah itu, ia mengambil program S3 dalam bidang Matematika. Sepanjang hidupnya, ia memberi kontribusi yang sangat besar untuk kepentingan umum. Ia juga seorang Tukey (1915–2000) penasihat Presiden Amerika Serikat Eissenhower, Kennedy, Sumber: www.cygo.com dan Johnson. Carilah informasi tentang Tukey dan karyanya dalam bidang statistika di perpustakaan atau internet. Sumber: www.myscienceblog.com • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 3 1. Manakah di antara data berikut yang merupakan data normal? a. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 b. 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 c. 2, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 22, 24 d. 3, 2, 8, 8, 7, 6, 5, 3, 4, 15, 25 e. 3, 7, 9, 12, 20, 15, 17, 8, 6
    • Statistika 61 Tantangan 2. Misalkan diberikan data: 5, 5, 3, 2, 1, 7, 9, 12, 15, 21, 7, 6, 8, 4. a. Adakah data pencilannya? Penalaran b. Jika ada, sebutkan data pencilan itu. • Kerjakan di buku tugas 3. Di suatu daerah pertanian jagung yang terdiri atas 10Diberikan suatu data tentang kelompok area pertanian, pada suatu musim panen,jumlah sodium yang ter-kandung dalam setiap po- hasilnya tercatat sebagai berikut (dalam kwintal).tong keju (dalam miligram) 1.100 1.200 1.210 1.100 2.110pada 8 merek keju. 3.500 2.100 1.210 2.200 1.010340 300 520 340 a. Tentukan statistik lima serangkai, kemudian320 290 260 330 gambarlah diagram kotak garisnya.a. Buatlah diagram kotak garisnya. b. Apakah data hasil pertanian di atas merupakan datab. Adakah data pencilan normal? dan data ekstremnya? c. Jika ada pencilannya, coba kalian tentukan. 4. Seorang peternak ayam petelur, dari sejumlah ayam yang dimilikinya, dalam 16 hari menghasilkan telur sebagai berikut. 300 350 354 200 360 400 170 300 250 240 450 420 380 390 110 380 Dari data telur yang dihasilkan ternak di atas, adalah data telur yang aneh? Jika ada data manakah itu? Kemungkinan apakah yang menyebabkannya sehingga data tersebut aneh? 5. Para ilmuwan lingkungan sedang meneliti kandungan racun (merkuri) salah satu spesies lumba-lumba. Berikut ini adalah data kandungan merkuri (dengan satuan mikrogram/gram) yang terkandung dalam hati 28 lumba- lumba. 1,70 183,00 221,00 286,00 1,72 168,00 406,00 315,00 8,80 218,00 252,00 241,00 5,90 180,00 329,00 397,00 101,00 264,00 316,00 209,00 85,40 481,00 445,00 314,00 118,00 485,00 278,00 318,00 a. Buatlah diagram kotak garisnya. b. Adakah data pencilan dan data ekstremnya? 6. Diberikan data berat (dalam pon) dari 27 kemasan daging sapi. 0,75 0,83 0,87 0,89 0,89 0,93 0,96 0,96 0,97 0,98 1,08 1,08 1,12 1,12 1,14 1,18 1,18 1,24 1,28 1,38 0,89 0,99 1,14 1,41 0,92 1,06 1,17
    • 62 Khaz Matematika SMA 2 IPS a. Tentukan statistik lima serangkai. b. Buatlah diagram kotak garis. c. Ada berapa jumlah data normal? d. Adakah data pencilan dan data ekstremnya? Rangkuman1. Suatu data dapat disajikan dengan garis, r lingkaran, batang, batang daun, dan f i di sebagainya. x = xs + i =1 r2. Ukuran pemusatan terdiri atas mean fi (nilai rata-rata), median, modus, kuartil, i =1 dan desil. b. Kuartil-kuartil data berkelompok3. Ukuran penyebaran terdiri atas jang- kauan, simpangan kuartil, varians, dan in Fk 4 standar deviasi. Qi = tb + k , dengan i = 1, 2, 3 fQi4. Frekuensi kumulatif merupakan frekuensi akumulasi dengan frekuensi lainnya Khusus untuk kuartil tengah atau kuartil yang berurutan, sedangkan kurvanya ke-2 disebut median. dinamakan kurva ogif. c. Modus data berkelompok5. Nilai-nilai statistik d1 a. Mean M0 = t b + k d1 + d2 1) mean data tunggal d. Simpangan rata-rata data berkelom- n xi pok x= i =1 1 r n SR = fi | xi x | n i =1 2) mean data berkelompok e. Varians r 1) Varians data tunggal f i xi n 1 x= i =1 S2 = ( xi x ) 2 r n i=1 fi 2) Varians data berkelompok i =1 r 1 Jika rata-rata hitung ditentukan S2 = f ( x x) 2 dengan menggunakan rata-rata n i =1 i i sementara xs maka rata-rata data Jika varians diakarkan, hasilnya disebut deviasi standar. berkelompok dapat ditentukan 6. Data yang berbeda dari kelompoknya dengan rumus (tidak konsisten) dinamakan pencilan, sedangkan data yang tidak berbeda dari kelompoknya (konsisten) dinamakan data normal.
    • Statistika 63 RefleksiSetelah mempelajari statistika, tentu statistika? Setujukah kalian dengankalian sudah mengetahui bagaimana cara pernyataan bahwa dalam statistika, segalamembaca data dan menyajikan data baik sesuatu yang berkaitan dengan data dapatdalam bentuk diagram maupun tabel. diramalkan karakteristik data ke depannya?Menurutmu, apakah materi ini membantu Berikan penjelasan.kalian dalam melakukan kegiatan Tes Kemampuan Bab I • Kerjakan di buku tugas A. Pilihlah jawaban yang tepat dengan memberi tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d, atau e.1. Diketahui sebuah data: 8, 7, 7, 3, 4, 4, 5, 4. Modus dari data: 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4 5, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 6, 6 adalah .... Median data tersebut adalah .... a. 4 d. 10 a. 4,5 d. 6,0 b. 4,5 e. tidak ada b. 5,0 e. 6,5 c. 8 c. 5,5 5. Dari: 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6 dapat ditentukan2. Mean ulangan Matematika dari 34 siswa median, rata-rata, jangkauan, dan adalah 49. Jika nilai ulangan Matematika modusnya berturut-turut adalah .... salah satu siswa digabungkan, mean a. 5, 5, 3, 6 d. 5, 5, 6, 3 ulangan Matematika menjadi 50. Nilai b. 5, 3, 5, 6 e. 5, 5, 5, 6 ulangan Matematika siswa itu adalah .... c. 6, 6, 3, 5 a. 50 d. 80 6. Rata-rata dari data yang disajikan dengan b. 55 e. 84 histogram di bawah ini adalah .... c. 60 (Ebtanas 1994)3. Dari 4 bilangan diketahui bilangan yang 15 15 a. 52,5 terkecil adalah 20 dan yang terbesar 48. b. 55,5 Rata-rata hitung keempat bilangan c. 55,8 tersebut tidak mungkin d. 60,3 10 10 (1) < 26 (3) > 42 10 e. 60,5 (2) < 25 (4) > 43 Frekuensi 8 Jawaban yang benar adalah .... (UMPTN 1989) 5 a. (1), (2), dan (3) 5 b. (1) dan (3) c. (1) dan (4) 2 d. (4) e. semuanya benar 42 47 52 57 62 67 Nilai
    • 64 Khaz Matematika SMA 2 IPS7. Suatu keluarga mempunyai 8 orang anak. (1) lebih besar dari jurusan bahasa Anak A berumur x + 1 tahun dan anak B (2) tepat 25% berumur 2x + 1 tahun. Enam anak yang (3) lebih dari 25% tetapi kurang dari lain berturut-turut berumur x + 2, x + 3, 50% x + 4, ..., x + 7. Apabila rata-rata umur (4) lebih dari 50% tetapi kurang dari kedelapan anak tersebut adalah 7 tahun 70% maka umur anak A adalah .... Jawaban yang tepat adalah .... (PPI 1980) a. 8 tahun d. 4 tahun a. (1), (2), dan (3) b. 6 tahun e. 3 tahun b. (1) dan (3) c. 5 tahun c. (2) dan (4)8. Jika 30 siswa kelas XI IPS-1 mempunyai d. (4) nilai rata-rata ujian Matematika 6,5; 25 e. semuanya benar siswa kelas XI IPS-2 mempunyai rata- rata 7; dan 20 siswa kelas XI IPS-3 12. Gambar berikut mempunyai rata-rata 8 maka rata-rata menggambarkan nilai Matematika seluruh siswa kelas XI pekerjaan orang IPS adalah .... tua dari 36 sis- a. 7,16 d. 7,04 wa. Banyak orang b. 7,10 e. 7,01 tua siswa yang c. 7,07 pekerjaannya sebagai wiraswasta lebih kurang ... orang.9. Desil ke-6 dari: 2,4; 2,7; 5,3; 4,8; 4,3; a. 15 3,4; 3,7; 2,5; 4,7; 4,0; 2,9; 3,5; 5,1; 5,7; 2,1 adalah .... b. 18 a. 3,44 d. 5,04 c. 20 b. 3,70 e. 5,46 d. 23 c. 4,18 e. 3010. Sebuah data yang terdiri atas n datum, 13. Diketahui data sebagai berikut: 2,0; 3,5; 5,0; 7,0; dan 7,5. Jika deviasi mempunyai nilai mean x . Jika setiap (simpangan) rata-rata nilai tersebut yang datum dari data itu ditambah dengan 5, n nilai mean data baru adalah .... | xi x| dinyatakan dengan rumus , a. x d. nx i =1 n b. x +5 e. nx + 5 1 n dengan x = xi maka deviasi rata- c. x + 5n n i =111. Diagram lingkaran rata data di atas adalah .... di samping menyata- a. 0 IPS kan perbandingan b. 1,0 banyaknya pelajar IPA Bahasa c. 1,8 yang memilih jurus- Indonesia d. 2,6 an-jurusan IPA, IPS, e. 5,0 dan Bahasa. Banyak- nya pelajar yang memilih jurusan IPA adalah
    • Statistika 6514. Suatu data mempunyai rata-rata 16 dan 18. Pada suatu ujian yang diikuti 50 siswa jangkauan 6. Jika setiap data dikalikan p, diperoleh rata-rata ujian 35, dengan kemudian dikurangi dengan q, diperoleh median 40, dan simpangan kuartil 40. data baru dengan rata-rata 20 dan Karena rata-rata terlalu rendah maka jangkauan 9. Nilai 2p + q = .... semua nilai dikalikan 2, kemudian a. 3 dikurangi 15. Akibatnya, .... (Sipenmaru b. 4 1988) c. 7 a. rata-rata nilai menjadi 65 d. 8 b. rata-rata nilai menjadi 55 e. 9 c. simpangan kuartil menjadi 2015. Tahun yang lalu, gaji per bulan dari 5 d. simpangan kuartil menjadi 5 orang karyawan (dalam ribuan rupiah) e. median menjadi 80 adalah sebagai berikut: 480, 360, 650, 19. Umur rata-rata (rata-rata hitung) dari 700, 260. Tahun ini, gaji mereka naik suatu kelompok yang terdiri atas dokter 15% bagi yang sebelumnya bergaji dan jaksa adalah 40 tahun. Jika umur kurang dari Rp500.000,00 dan 10% bagi rata-rata dokter adalah 35 tahun dan yang sebelumnya bergaji lebih dari umur rata-rata para jaksa adalah 50 tahun Rp500.000,00. Rata-rata besarnya maka perbandingan banyaknya dokter kenaikan gaji semua karyawan per bulan dan banyaknya jaksa adalah .... (UMPTN adalah .... 1989) a. Rp60.000,00 a. 3 : 2 b. Rp62.000,00 b. 3 : 1 c. Rp63.000,00 c. 2 : 3 d. Rp64.000,00 d. 2 : 1 e. Rp65.000,00 e. 1 : 216. Diketahui suatu data: x, 2, 4, 3, 2, 5, 9, 7, 20. Perhatikan tabel distribusi berikut ini. 6. Apabila jangkauan dari data tersebut Berat Badan f 8, nilai x adalah .... a. 1 saja 47–49 3 b. 2 saja 50–52 6 c. 10 saja 53–55 8 d. 1 atau 10 56–58 7 e. semua salah 59–61 617. Jika jumlah enam buah bilangan adalah 5 Jumlah 30 lebih besar dari rata-rata keenam bilangan tersebut maka jumlah keenam bilangan Pernyataan yang benar berdasarkan tersebut adalah .... tabel di atas adalah .... a. 6 a. median = 50,75 b. 8 b. modus = 55,5 c. 10 c. median = 55,75 d. 6 1 d. modus = 45,5 4 e. median = 54,75 e. 72 5
    • 66 Khaz Matematika SMA 2 IPS21. Perhatikan tabel berikut ini. 24. Histogram pada gambar berikut menun- jukkan nilai tes Matematika di suatu kelas. Nilai Ujian Frekuensi Nilai rata-ratanya adalah .... 3 3 a. 69 20 4 5 18 b. 69,5 5 12 c. 70 15 6 17 14 d. 70,5 Frekuensi 12 7 14 e. 71 8 6 10 9 3 5 4 2 Seorang siswa dinyatakan lulus ujian jika nilai ujiannya lebih tinggi dari nilai rata- 57 62 67 62 77 rata dikurangi 1. Dari data di atas, jumlah Nilai siswa yang lulus adalah .... (Sipenmaru 25. Diagram di bawah ini menyajikan data 1985) berat badan (dalam kg) dari 40 siswa. a. 52 Modusnya adalah .... (UAN 2003) b. 40 c. 38 12 d. 23 10 e. 20 Frekuensi22. Perhatikan tabel berikut. Nilai meannya 8 adalah .... 6 Nilai Frekuensi a. 6,00 4 b. 7,50 6 6 7 6 c. 7,75 2 8 8 d. 8,00 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 9 10 e. 8,55 Berat badan 10 11 a. 46,1 d. 47,523. Tinggi badan dari sekelompok siswa b. 46,5 e. 48,0 disajikan dalam tabel berikut. c. 46,9 26. Modus dari histogram berikut adalah .... Tinggi (cm) Frekuensi (UAN 2002) 140 – 144 6 14 145 – 149 6 12 12 150 – 154 10 155 – 159 6 10 Frekuensi 160 – 164 5 8 8 6 6 Nilai mean dari data di atas adalah .... 5 4 a. 141,5 d. 155,2 4 3 2 b. 151,6 e. 160,2 2 c. 154 29,5 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5 Nilai
    • Statistika 67 a. 47,5 29. Misalkan mean dari data x1, x2, x3, ..., x10 b. 46,5 adalah x . Jika data diatur dengan pola c. 46,4 1 1 1 1 d. 45,2 x1 + 2, x2 + 4, x3 + 6, ..., x10 + 20, e. 44,7 2 2 2 227. Tabel di bawah ini adalah hasil ulangan mean data baru adalah .... Matematika suatu kelas. Modusnya 1 a. x + 11 d. x + 12 adalah .... (UN 2007) 2 1 Nilai f b. x + 12 e. x + 20 2 31–36 4 37–42 6 1 c. x + 11 43–48 9 2 49–54 14 30. Perhatikan kurva frekuensi kumulatif 55–60 10 dari suatu data berikut. 61–66 5 67–72 2 f 60 a. 49,06 45 b. 50,20 30 c. 50,70 15 d. 51,33 0 x 1,5 2,02,5 4,0 e. 51,8328. Standar deviasi dari suatu data adalah Dari kurva di atas pernyataan-pernyata- nol. Dengan demikian, dapat disimpul- an berikut yang benar adalah .... kan bahwa .... a. median 2,0, simpangan kuartil 2, a. mean < median dan kuartil ketiga 2,5. b. mean < modus b. median 2,0 dan kuartil ketiga 2,5. c. mean = jangkauan data c. simpangan kuartil 2 dan mean 30 d. mean = median d. mean 30 e. median < modus e. pernyataan a sampai d benar B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan benar.1. Diberikan suatu data sebagai berikut. 2. Pada suatu ujian mata pelajaran Ekonomi, diketahui bahwa nilai rata-rata x 4 5 6 7 8 9 kelas adalah 58. Apabila nilai rata-rata f 2 3 2 5 2 3 mata pelajaran Ekonomi untuk siswa pria adalah 65, dan untuk siswa wanita adalah Dari data tersebut, tentukan 54, tentukan perbandingan jumlah siswa a. mean, median, modus; pria dan wanitanya. b. statistik lima serangkai.
    • 68 Khaz Matematika SMA 2 IPS3. Berat badan dari sejumlah siswa ditam- 5. Seorang siswa telah mengikuti tes pilkan dalam tabel berikut. sebanyak 8 kali dan memperoleh rata- rata 80. Berapakah nilai yang harus Berat Badan Frekuensi diperoleh pada tes selanjutnya supaya (kg) rata-ratanya menjadi 82? 44 – 46 5 6. Kelas A terdiri atas 45 siswa dan kelas B 47 – 49 3 terdiri atas 40 siswa. Nilai rata-rata kelas 50 – 52 6 A adalah 5 lebih tinggi dari rata-rata kelas 53 – 55 8 B. Apabila semua nilai kedua kelas 56 – 58 7 digabung maka rata-ratanya menjadi 58. 59 – 61 3 Berapakah nilai rata-rata kelas A? 7. Diagram di bawah ini menunjukkan nilai Tentukan tes matematika sekelompok mahasiswa. a. mean, median, dan modus; b. Q1, Q2, dan Q3. Tentukan nilai median + modus – rata- rata.4. 8. Dua jenis teh, yaitu teh Sukabumi dan teh Slawi dicampur. Teh Sukabumi harganya Rp960,00/kg dan teh Slawi harganya Rp1.200,00/kg. Tentukan perbandingan banyaknya masing-masing teh untuk mendapatkan teh campuran berharga Rp1.000,00/kg. Tentukan mean, median, dan modus data yang tersaji dalam histogram di atas. Kata Bijak Jangan menganggap remeh diri sendiri karena setiap orang memiliki potensi yang tak terhingga.
    • Peluang 69 Bab IITujuan PembelajaranSetelah mempelajari babini, diharapkan kalian dapat1. menggunakan aturan perkalian;2. menggunakan aturan permutasi;3. menggunakan aturan kombinasi;4. menentukan banyak kemungkinan kejadian dari berbagai situasi;5. menentukan ruang sam- pel suatu percobaan acak;6. menentukan peluang kejadian dari berbagai situasi;7. memberikan tafsiran peluang kejadian dari Sumber: Dokumen Penerbit berbagai situasi;8. menentukan peluang komplemen suatu keja- dian;9. menggunakan aturan Peluang penjumlahan dalam peluang kejadian maje- muk; Motivasi10.menggunakan aturan perkalian dalam pe- Misalnya kalian pergi ke suatu tempat dan melalui jalan raya luang kejadian majemuk. yang bercabang. Untuk mencapai tujuan, tentu kalian memilih salah satu percabangan jalan itu. Setelah berjalan beberapa kilometer, mungkin kalian akan menemukan percabangan lagi. Kalian harus memilih salah satu cabang lagi. Banyak pilihan jalan bercabang seperti ini. Untuk setiap percabangan tertentu menuju ke salah satu titik (lokasi) merupakan bagian penting dalam ilmu peluang.
    • 70 Khaz Matematika SMA 2 IPS Peta Konsep Peluang mempelajari Kaidah Hitung Pencacahan Peluang terdiri atas Aturan Kejadian Kejadian Permutasi Kombinasi Komplemen Perkalian Tunggal Majemuk Teorema membahas Binom Saling Saling Bebas Bersyarat Lepas Stokastik Permutasi Permutasi Permutasi dengan Siklis denganPembatasan Perulangan Unsur Kata Kunci• aturan perkalian • kejadian saling lepas • percobaan• binom • kemustahilan • permutasi• faktorial • kepastian • permutasi siklis• frekuensi harapan • kombinasi • populasi• kejadian • komplemen • sampel• kejadian majemuk • peluang• kejadian saling bebas • peluang kejadian bersyarat stokastik
    • Peluang 71 Di SMP kalian telah diperkenalkan dengan ruang sampel, titik sampel, populasi, peluang suatu kejadian, dan frekuensi harapan. Materi-materi ini akan kita bahas dan perluas lagi pada bab ini, dengan penambahan beberapa materi. Sebelum kalian mempelajari materi ini lebih jauh, ada baiknya kalian kerjakan soal-soal berikut. Prasyarat Kerjakan di buku 1. Apakah yang kamu ketahui tentang tugas a. ruang sampel dan titik sampel; b. peluang suatu kejadian; c. frekuensi harapan? 2. Misalnya dalam sebuah kantong plastik terdapat 4 kelereng merah, 5 kelereng putih, dan sebuah kelereng biru. Dari soal tersebut, tentukan a. ruang sampelnya; b. peluang terambil kelereng merah jika dari kantong plastik itu akan diambil sebuah kelereng saja. Jika kalian telah menjawab pertanyaan-pertanyaan di atas, mari kita lanjutkan mempelajari materi ini.A. Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi Tentu kalian pernah dihadapkan pada permasalahan yang berkaitan dengan penentuan suatu keputusan. Misalnya, bagaimana cara menentukan berapa banyak pilihan yang dapat diambil jika pilihan pertama ada 2 cara dilanjutkan dengan pilihan kedua ada 3 cara? Bagaimana pula jika pilihan pertama ada m cara dan pilihan kedua ada n cara? Untuk menentukan permasalahan-permasalahan demikian, kita dapat menggunakan 1. aturan perkalian; 2. permutasi; 3. kombinasi. Agar kalian dapat memahami ketiga cara tersebut, pelajari uraian berikut.1. Aturan Perkalian Misalnya, kalian akan membeli bolpoin atau pensil pada sebuah toko. Di toko itu, tersedia tiga warna bolpoin, yaitu merah, biru, dan hitam. Di toko itu juga tersedia tiga warna pensil, yaitu merah, biru, dan hitam.
    • 72 Khaz Matematika SMA 2 IPS Untuk menentukan pilihan, dapat digunakan diagram pohon, tabel persilangan, dan pasangan berurutan. Bagaimana cara kalian menentukan pilihan untuk membeli barang itu? Sebelum mem- pelajari aturan perkalian lebih lanjut, lakukan Aktivitas berikut. Aktivitas Tujuan : Menentukan banyaknya cara yang ber- beda dalam pemilihan. Permasalahan : Bagaimana menentukan banyaknya cara yang berbeda dalam memilih pasangan buku dan bolpoin? Kegiatan : 1. Sediakan 3 buah buku tulis yang berbeda (bisa dipinjam dari temanmu) dan 2 buah bolpoin yang berbeda pula. 2. Berilah label ketiga buku itu dengan nama yang berbeda, misalnya B1, B2, B3. 3. Beri label juga kedua bolpoin tersebut dengan nama yang berbeda pula, misalnya P1 dan P2. 4. Selanjutnya pilihlah salah satu dari 3 buah buku tersebut dan salah satu dari 2 bolpoin. Catatlah nama label dari pasangan buku dan bolpoin yang terpilih tersebut. Misalkan buku yang terpilih adalah B1 dan bolpoin yang terambil adalah P2 maka tulislah B1–P2. 5. Ulangi kegiatan 4 sampai tidak ada lagi cara yang berbeda untuk memilih pasangan buku dan bolpoin. 6. Hitunglah banyaknya cara yang ber- beda dalam memilih pasangan buku dan bolpoin dari hasil kegiatan 4 dan 5. Kesimpulan : Dari hasil yang diperoleh, apa kesim- pulanmu? Coba kaitkan hasil yang diper- oleh dengan banyaknya buku dan bolpoin yang tersedia. Apa hubungannya antara hasil yang diperoleh dengan banyaknya buku dan bolpoin? Coba simpulkan. Setelah kalian malakukan Aktivitas di atas, kalian akan mudah memahami aturan perkalian.
    • Peluang 73 a. Diagram Pohon Misalnya kalian akan membali salah satu dari bolpoin atau pensil. Masing-masing bolpoin dan pensil memiliki 3 warna, merah, biru, dan hitam. Dari contoh kasus yang kalian hadapi ini, dapat dinyatakan dalam diagram berikut. Merah ( Bolpoin, Merah) Bolpoin Biru ( Bolpoin, Biru) Hitam ( Bolpoin, Hitam) Merah ( Pensil, Merah) Pensil Biru ( Pensil, Biru) Hitam ( Pensil, Hitam) Gambar 2.1 Dari diagram pohon di atas, diperoleh 6 pasangan pilihan yang dapat kalian ambil, yaitu: (Bolpoin, Merah) (Pensil, Merah) (Bolpoin, Biru) (Pensil, Biru) (Bolpoin, Hitan) (Pensil, Hitam) Pilihan (Bolpoin, Merah) artinya kalian memilih membeli bolpoin berwarna merah. Pilihan (Bolpoin, Biru) artinya kalian memilih membeli bolpoin berwarna biru. Demikian seterusnya. b. Tabel Persilangan Dengan cara membuat daftar (tabel) persilangan, contoh kasus yang kalian hadapi di atas dapat ditampilkan sebagai berikut. Warna Barang Merah Biru HitamBolpoin (Bolpoin, Merah) (Bolpoin, Biru) (Bolpoin, Hitam) Pensil (Pensil, Merah) (Pensil, Biru) (Pensil, Hitam) Dari tabel di atas, diperoleh 6 pilihan yang dapat kalian ambil. c. Pasangan Berurutan Misalkan A himpunan pilihan barang dan B himpunan pilihan warna. Pasangan berurutan A dan B dapat dinyatakan sebagai diagram panah seperti pada Gambar 2.2. Pada diagram panah di samping dapat disusun pasangan ber-Bolpoin Merah urutan antara pilihan barang dan pilihan warna sebagai berikut. Biru (Bolpoin, Merah) (Pensil, Merah)Pensil Hitam (Bolpoin, Biru) (Pensil, Biru) (Bolpoin, Hitam) (Pensil, Hitam) Gambar 2.2 Jadi, diperoleh 6 pasang pilihan yang dapat kalian lakukan.
    • 74 Khaz Matematika SMA 2 IPS Ketiga aturan di atas pada dasarnya adalah sebagai berikut. Jika terdapat 2 pilihan, dengan pilihan pertama ada 2 cara dan pilihan kedua ada 3 cara maka banyak cara pemilihan yang mungkin adalah 2 × 3 cara. Jika aturan demikian diperluas, diperoleh sebagai berikut. Anggap pilihan pertama yang ada dianggap sebagai suatu tempat. Misalkan terdapat n tempat dengan ketentuan: 1) banyak cara untuk mengisi tempat pertama c1; 2) banyak cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama dipenuhi c2; 3) banyak cara untuk mengisi tempat ketiga setelah tempat pertama dan kedua dipenuhi c3; dan seterusnya hingga banyak cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat pertama, kedua, ketiga, ..., ke-(n –1) dipenuhi adalah cn. Banyak cara untuk mengisi n buah tempat secara kese- luruhan dapat dirumuskan dengan: c1 × c2 × c3 × ... × cn Aturan seperti inilah yang biasa disebut sebagai aturan perkalian. Aturan ini juga disebut sebagai aturan pengisian tempat yang tersedia (filling slot). Agar kalian mahir dalam menggunakan aturan ini, perhatikan contoh-contoh berikut. Contoh 1: Misalkan seseorang hendak bepergian dari Kota Jambi ke Kota Bandar Lampung melalui Kota Palembang. Banyak jalur yang dapat dilalui dari Kota Jambi ke Kota Palembang 3 cara dan banyak jalur yang dapat dilalui dari Kota Palembang ke Kota Bandar Lampung 4 cara, tentukan banyak pilihan jalur yang dapat dilalui orang itu. Jawab: Banyak jalur dari Kota Jambi ke Kota Palembang 3 cara. Banyak jalur dari Kota Palembang ke Kota Bandar Lampung 4 cara. Jadi, banyak pilihan orang itu adalah 3 × 4 cara. Contoh 2: Perhatikan jalur yang menghu- bungkan kota satu dengan kota lainnya pada jaringan jalan di sam- ping. Gambar 2.3
    • Peluang 75 Tentukan banyak cara seseorang yang hendak bepergian dari Kota A ke Kota D. Jawab: a. Perhatikan jalur A – B – D. Jalur A ke B ada 3 cara dan jalur B ke D ada 4 cara. Jadi, banyak cara menurut jalur A – B – D adalah 3 × 4 = 12 cara. b. Perhatikan jalur A – C – D. Jalur A ke C ada 2 cara dan jalur C ke D ada 3 cara. Jadi, banyak cara menurut jalur A – C – D adalah 2 × 3 = 6 cara. Jadi, banyak cara seseorang yang hendak bepergian dari kota A ke kota D adalah (12 + 6) cara = 18 cara. Problem Disediakan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Tentukan Solving a. banyak angka ratusan yang dapat dibentuk; b. banyak angka ratusan ganjil yang dapat dibentuk; c. banyak angka ratusan yang lebih besar dari 300 yang dapat dibentuk. Jawab: a. Angka ratusan terdiri dari 3 angka Ratusan Puluhan Satuan Tantangan 6 cara 6 cara 6 cara Inovatif Jadi, banyak ratusan yang dapat dibentuk adalah • Kerjakan di buku tugas 6 × 6 × 6 = 216 angka. b. Angka ratusan ganjil yang mungkin terbentuk dari angka-Misalnya disediakan 10 bi- angka itu satuannya adalah 1, 3, dan 5.langan cacah pertama. Daribilangan-bilangan itu, akan Ratusan Puluhan Satuandisusun bilangan baru yangterdiri atas bilangan ratusan. 6 cara 6 cara 3 caraBerapa banyak bilanganbaru yang mungkin disusun Jadi, banyak angka ratusan ganjil yang mungkin terbentukjika adalah 6 × 6 × 3 = 108 cara (macam).a. bilangan tiga angka itu c. Angka yang lebih besar dari 300 mempunyai angka tidak terjadi pengulang- ratusan 3, 4, 5, dan 6. an angka yang sama (misalnya: 123, 456, Ratusan Puluhan Satuan 379, dan seterusnya);b. bilangan tiga angka itu boleh terjadi pengulang- 4 cara 6 cara 6 cara an angka yang sama Jadi, banyak angka ratusan yang lebih besar dari 300 yang (misalnya: 355, 355, mungkin adalah 4 × 6 × 6 = 144 cara (macam). 411, dan seterusnya).
    • 76 Khaz Matematika SMA 2 IPS • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 1 1. Perhatikan gambar berikut. (a) (b) Gambar 2.4 a. Banyak jalur yang dapat ditempuh dari Kota A ke Kota D melalui Kota B dan C digambarkan pada Gambar 2.4 (a). Tentukan banyak jalur yang dapat ditempuh dari Kota A ke D? b. Dengan cara yang sama, berapa jalur yang dapat dtempuh pada Gambar 2.4 (b) untuk menuju kota E dari Kota A melalui Kota B, C, atau D. Tantangan 2. Diberikan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Inovasi Tentukan banyak cara menyusun bilangan puluhan jika • Kerjakan di buku tugas a. bilangan tidak boleh terdiri atas angka yang sama; b. bilangan boleh terdiri atas angka yang sama;1. Tentukan banyak cara untuk menyusun nomor c. bilangan puluhan tidak boleh terdiri atas angka yang plat kendaraan dengan sama dan harus bilangan ganjil. format AD – – – – D, 3. Tentukan banyak bilangan ribuan yang dapat dibuat dari dengan ketentuan bahwa angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 7 jika bilangan-bilangan 4 digit yang masih kosong tersebut dapat itu harus genap, nilainya lebih besar dari 3.100 dan tidak diisi angka 0–9. ada angka yang diulang.2. Suatu tim bola voli ter- 4. Suatu keluarga terdiri atas suami-istri, 2 anak laki-laki, diri atas 8 orang (ter- dan 3 anak perempuan. Tentukan banyak cara mereka masuk pemain ca- dangan), akan dipilih duduk dalam satu baris, tetapi suami-istri harus selalu seorang kapten, wakil berdekatan dan anak-anak yang berjenis kelamin sama kapten, dan pengumpan. harus berdekatan. Berapa banyak pilihan 5. Tentukan banyak cara menyusun 4 huruf abjad (A, B, C, dapat dibentuk jika ..., Z) dan diikuti 3 buah angka (0, 1, 2, ………., 9) yang a. seseorang boleh me- rangkap; berbeda. b. seseorang tidak boleh 6. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari merangkap? huruf-huruf J, E, N, D, E, L, A jika a. huruf pertama susunan adalah huruf vokal; b. huruf pertama susunan adalah huruf konsonan? 7. Sebuah restoran cepat saji menyajikan menu makanan yang berbeda sebanyak 5 macam, menu minuman sebanyak 10 macam, dan menu lauk pauk sebanyak 15 macam. Tentukan berapa macam hidangan yang berbeda dapat tersaji yang terdiri atas makanan, minuman, dan lauk pauk.
    • Peluang 77 8. Diberikan angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 untuk disusun menjadi suatu bilangan ribuan antara 1.000 sampai dengan 5.000 (1.000 dan 5.000 tidak termasuk). a. Berapa jumlah bilangan yang dapat dibentuk? b. Berapa jumlah bilangan genap yang dapat dibentuk? c. Berapa jumlah bilangan ganjil yang dapat dibentuk? d. Berapa jumlah bilangan kelipatan 5 yang dapat dibentuk?2. Permutasi Sebelum mempelajari permutasi, kita perlu memahami operasi faktorial terlebih dahulu. a. Faktorial Perhatikan perkalian bilangan berikut. 3 × 2 × 1 = 3! Tantangan 4 × 3 × 2 × 1 = 4! Kreativitas 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! • Kerjakan di buku tugas dan seterusnya. Tanda ”!” disebut notasi faktorial. 1Misalkan p = 10(9!) 2 , Dengan demikian, faktorial dapat didefinisikan sebagai berikut. 1 1q = 9(10!) 2 , dan r = (11!) 2dengan Jika n bilangan asli, maka n faktorial (ditulis n!) didefinisikann! = 1 . 2 . 3 ... (n – 1)n. denganPengurutan yang benar dari n! = n × (n – 1) × (n – 2) × (n – 3) × ... × 3 × 2 × 1ketiga bilangan ini adalah ....a. p < q < rb. q < r < p Dari definisi di atas, kita juga memperolehc. r < p < qd. q < p < r n! = n(n – 1)!e. p < r < q Nilai 1! = 1. Oleh karena itu, untuk n = 1, diperoleh Olimpiade Kabupaten, 2002 1! = 1(1 – 1)! 1 = 0! Dari kesamaan terakhir, ternyata untuk setiap kejadian, 0! = 1 selalu benar. Untuk itu, disepakati bahwa 0! = 1 Contoh 1: Hitunglah nilai-nilai operasi faktorial berikut. 4! a. 4! + 3! b. 4! × 3! c. 3! Jawab: a. 4! + 3! = (4 × 3 × 2 × 1) + (3 × 2 × 1) = 24 + 6 = 30
    • 78 Khaz Matematika SMA 2 IPS b. 4! × 3! = (4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1) = 24 × 6 = 144 4! 4 × 3 × 2 × 1 c. = =4 3! 3 × 2 ×1 Contoh 2: Nyatakan 6 × 5 dalam bentuk faktorial. Jawab: 6×5×4×3×2×1 6× 5 = 4×3×2×1 6! = 4! 6! Jadi, 6 × 5 = . 4! Problem Tentukan nilai n jika diketahui persamaan Solving 6(n 1)!(n 3)! 5! = . n!(n 4)! 24 Jawab: 6(n 1)!(n 3)! 5! = n!(n 4)! 24 6(n 1)!(n 3)(n 4)! 5! = n(n 1)!(n 4)! 4! 6(n 3) 5 × 4! = n 4! 6n 18 =5 n 6n – 18 = 5n n = 18 Mari Coba kalian selidiki. Jika m dan n bilangan asli, apakah pernyataan-pernyataan berikut berlaku? Berdiskusi a. m! + n! = (m + n)! c. m! × n! = (m × n)! Inkuiri m! m b. m! – n! = (m – n)! d. = ! n! n
    • Peluang 79 b. Permutasi dari Unsur-Unsur yang Berbeda Tantangan Perhatikan susunan angka-angka yang terdiri atas angka 4, 5, Kreativitas dan 6 berikut. • Kerjakan di buku tugas 456 465 546 564 645 654 Letak angka dalam susunan tersebut memengaruhi nilai 80! × 38!Nilai dari = .... bilangan yang terbentuk. Bilangan-bilangan 456 465. 77! × 40!a. 316 Demikian juga untuk susunan yang lain. Banyak susunan angkab. 391 ratusan yang dapat dibuat dari 3 buah angka, yaitu 4, 5, dan 6c. 412 sebanyak 6 buah. Bagaimana susunannya jika angka-angka yangd. 871 tersedia 4, 5, 6, dan 7? Susunan angka ratusan yang mungkine. 2.023 dari 4 angka, yaitu 4, 5, 6, dan 7 adalah sebagai berikut: Olimpiade Sains Provinsi, 456 465 546 564 645 654 2006 457 475 547 574 745 754 467 476 647 674 746 764 567 576 657 675 756 765 Ternyata, ada 24 cara. Susunan objek-objek yang memerhatikan urutan seperti ini dinamakan permutasi. Dari permasalahan di atas, diperoleh 1) jika angka-angka disusun terdiri atas 3 angka dari 3 angka yang tersedia, banyak susunannya 3 × 2 × 1 3! 3! 6= = = ; 1 0! (3 3)! 2) jika angka-angka disusun terdiri atas 3 angka dari 4 angka yang tersedia, banyak susunannya 4 × 3 × 2 × 1 4! 4! 24 = = = ; 1 1! (4 3)! 3) jika kalian teruskan, angka-angka disusun terdiri atas k angka dari n angka yang tersedia, banyak susunannya adalah n! . (n k )! Jadi, diperoleh kesimpulan sebagai berikut. Permutasi k unsur atau objek dari n unsur yang tersedia, dengan memerhatikan urutan susunannya dapat ditentukan dengan rumus n! Pkn = (n k )! n Dalam beberapa buku notasi Pk dituliskan sebagai nPk, nPk, atau P(n, k).
    • 80 Khaz Matematika SMA 2 IPS Contoh 1: Tentukan nilai-nilai berikut. Tantangan a. P2 5 c. 2n Pn Berpikir kritis 8 b. P8 • Kerjakan di buku tugasEmpat pasang suami-istri Jawab:membeli karcis untuk 8 5! 5 × 4 × 3!kursi sebaris pada suatu a. P25 = = = 5 × 4 = 20pertunjukan. Dua orang (5 2)! 3!akan duduk bersebelahan 8! 8! 8!hanya kalau keduanya pa- b. P88 = = = =8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1sangan suami-istri atau ber- (8 8)! 0! 1jenis kelamin sama. Berapabanyakkah cara menem- = 40.320patkan keempat pasang 2n 2 n(2 n 1)(2 n 2 ) ... (2 n ( n 1)) (2 n n )!suami-istri kedelapan kursi c. Pn =tersebut? (2 n n)! Olimpiade Provinsi, 2002 = 2n(2n – 1)(2n – 2) ... (n + 1) Contoh 2: Di dalam sebuah kelas, akan dibentuk kepengurusan yang terdiri atas ketua, sekretaris, dan bendahara kelas. Berapa banyak cara 6 calon yang akan memperebutkan ketiga posisi tersebut? Jawab: Karena posisi yang diperebutkan masing-masing berbeda, kasus ini dapat dikerjakan dengan permutasi 3 unsur dari 6 unsur yang tersedia. 6! 6 × 5 × 4 × 3! Jadi, P36 = = = 120 cara. (6 3)! 3! Problem Diketahui persamaan 3P4m = P5m 1 . Tentukan nilai m. Solving Jawab: 3P4m = P5m 1 m! ( m 1)! 3 = ( m 4)! (( m 1) 5)! m( m 1)! ( m 1)! 3 = ( m 4)( m 5)( m 6)! ( m 6)! 3m =1 ( m 4)( m 5) (m – 4)(m – 5) = 3m
    • Peluang 81 m2 – 9m + 20 = 3m m2 – 12m + 20 = 0 (m – 10)(m – 2) = 0 m – 10 = 0 atau m – 2 = 0 m = 10 atau m = 2 c. Permutasi Memuat Beberapa Unsur yang Sama Pada pembahasan sebelumya, permutasi memuat unsur yang sama. Sekarang perhatikan unsur penyusun ”APA” yaitu A, P, dan A. Huruf A pada urutan pertama dan ketiga meskipun dibalik akan mempunyai makna yang sama. Misalkan A1 dan A3 masing- masing adalah huruf A yang pertama dan ketiga. 1) Permutasi 3 unsur dari 3 unsur yang tersedia, yaitu A1, P, A3 (A1 dan A3 diandaikan berbeda) adalah 3 P3 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6. Kuis Dengan demikian, diperoleh susunan dalam 3 kelompok • Kerjakan di buku tugas berikut.Bilangan terdiri atas tiga a) A1PA3 b) A1A3P c) PA1A3angka disusun dari angka- A3PA1 A3A1P PA3A1angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9. 2) Permutasi 3 unsur dari 3 unsur yang tersedia, yaitu A1PA3Banyaknya bilangan denganangka-angka berlainan yang (A1 dan A3 diandaikan sama) susunannya adalahnilainnya lebih kecil dari APA AAP PAA400 adalah .... Jadi, hanya terdapat 3 cara. Hal ini terjadi karena pada setiapa. 20 d. 80 kelompok terdapat 2! = 2 permutasi pada penyusunan 2 huruf Ab. 35 e. 120c. 40 yang sama, yaitu A1 dan A3. UMPTN 2000 Dengan demikian, permutasi 3 unsur, dengan 2 unsur yang sama 3! 3 × 2! dari 3 unsur adalah P = = =3 2! 2! Secara umum, dapat disimpulkan sebagai berikut. Permutasi n unsur, dengan k unsur sama dari n unsur itu n! (n k) adalah P = . k! Aturan ini dapat diperluas sebagai berikut. Untuk permutasi n unsur, dengan k1 unsur sama, k2 unsur sama, …., dan kn unsur sama dari n unsur (k1 + k2 + ... + kn n), yaitu n! P= k 1! k 2! ... k n!
    • 82 Khaz Matematika SMA 2 IPS Contoh: Tentukan banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari unsur huruf-huruf pembentuk kata a. PANDA; b. PENDIDIKAN. Kuis Jawab: • Kerjakan di buku tugas a. PANDA Unsur yang tersedia, n = 5.Dalam suatu pertemuan Unsur yang sama k = 2, yaitu huruf A ada 2.terjadi 28 jabat tangan. Setiapdua orang saling berjabat 5! 5 × 4 × 3 × 2!tangan paling banyak sekali. Jadi, P = = = 5 × 4 × 3 = 60. 2! 2!Banyaknya orang yang hadirdalam pertemuan tersebut b. PENDIDIKANpaling sedikit adalah .... Unsur yang tersedia ada 10.a. 28 d. 8 Unsur yang sama adalahb. 27 e. 7 1) k1 = 2, yaitu huruf N ada 2;c. 14 2) k2 = 2, yaitu huruf D ada 2; Olimpiade Nasional, 2006 3) k3 = 2, yaitu huruf I ada 2. 10! 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 Jadi, P = = 2! 2! 2! 2 ×1× 2 ×1× 2 ×1 = 453.600 susunan. Problem Misalnya terdapat 6 bendera dengan rincian 2 bendera Solving berwarna merah, 3 bendera berwarna putih, dan 1 bendera berwarna biru. Berapa banyak susunan yang dapat dibuat untuk menyusun bendera itu secara berjajar? Jawab: Banyak susunan yang dapat dibuat adalah 6! 6 × 5 × 4 × 3! P= = = 60 susunan. 2! 3! 2! 3! d. Permutasi Siklis Perhatikan susunan titik A, B, dan C pada susunan melingkar berikut. (a) (b) (c) (d) Gambar 2.5
    • Peluang 83 Perhatikan susunan melingkar pada Gambar 2.5 (a), (b), dan (c). Susunan itu sebenarnya sama (tidak berubah). Sekarang bandingkan dengan susunan pada Gambar 2.5 (d). Jadi, banyak susunan dari 3 titik, yaitu A, B, dan C pada susunan melingkar sebenarnya hanya ada 2, yaitu susunan Gambar 2.5 (a) dan (d). Untuk menentukan bentuk susunan n objek yang disusun melingkar maka tentukan sebuah titik yang dianggap sebagai titik tetap. Kemudian, sisanya dianggap sebagai penyusunan (n – 1) unsur dari (n – 1) unsur yang berbeda. Dengan demikian, dapat dikatakan sebagai berikut. Jika terdapat 3 objek (unsur) disusun melingkar, banyak susunan yang mungkin adalah 2! = (3 – 1)!. Jika terdapat 4 unsur disusun melingkar, banyak susunan yang mungkin adalah 3! = (4 – 1)!. Demikian seterusnya. Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut. Misalkan terdapat n unsur yang berbeda disusun melingkar. Banyak susunan dapat ditentukan dengan permutasi siklis dengan aturan Psiklis = (n – 1)! Contoh: Sebanyak 6 orang mengadakan rapat. Mereka duduk menghadap sebuah meja bundar. Berapa banyak cara mereka menempati kursi yang disusun melingkar itu? Jawab: Banyak cara mereka menempari kursi adalah Psiklis = (6 – 1)! = 5! = 120 cara. • Kerjakan di buku tugasSoal Kompetensi 2 1. Tentukan nilai faktorial berikut. a. 5! c. (4!)2! 6! 6! 3! b. d. 3! 2! 4! 2. Nyatakan bentuk berikut ke dalam bentuk faktorial. a. 4 × 3 × 2 × 1 d. 42 × 32 b. 4 × 3 e. n(n – 1) (n + 1) n c. 42 × 32 × 22 × 1 f. ( n 1)
    • 84 Khaz Matematika SMA 2 IPS Tantangan 3. Hitunglah nilainya. Berpikir kritis a. 16! • Kerjakan di buku tugas 14! ×4! 47!Terdapat 12 lembar karton b.yang akan diwarnai sehing- 3! ×45!ga 3 lembar di antaranya 25! ×7!berwarna hijau, 2 berwarna c.merah, 2 kuning, dan sisa- 23!nya hijau. Berapa jumlah 4. Hitunglahcara pengecatan yang mung- a. P35 c. P48 e. P010kin dilakukan? b. P57 d. P510 f. P215 5. a. Untuk n 1, perlihatkan bahwa n! – (n – 1)! = (n – 1)! (n – 1). b. Untuk n 3, perlihatkan bahwa n! – (n – 3)! = (n – 3)!(n3 – 3n2 + 2n – 1) 6. Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan n! = 380(n–2)!. 7. Carilah nilai n pada persamaan berikut. a. P3( n 1) = P4n c. 2!P4n + 4 = 3P32 n + 4 b. Pn2 n 50 = 2 P2n d. P4n +1 = 10 P2n n!(n 2)! 8. Tunjukkan bahwa = n 2 2n . (n 3)!(n 1)! 9. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf berikut. a. M, A, K, A, N b. K, O, M, P, U, T, E, R c. M, A, T, E, M, A, T, I, K, A d. T, O, R, O, N, T, O e. A, R, I, S, T, O, T, E, L, E, S f. S, U, R, A, K, A, R, T, A Tantangan 10. Dari 7 calon pengurus koperasi, akan dipilih seorang Berpikir kritis ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Berapa banyak susunan pengurus yang mungkin dibuat? • Kerjakan di buku tugas 11. Seorang siswa diwajibkan menjawab 3 soal dari 5 soalBerapa banyak cara memba-gikan 8 buah buku berbeda yang disediakan. Tentukan banyak cara memilih soalkepada 3 orang siswa, yaitu tersebut.Budi, Candra, dan Deni 12. Tentukan banyak cara duduk melingkar dari 8 orang.dengan ketentuan Budi men-dapat 4 buku, sedangkan 13. Seorang siswa diminta mengerjakan 5 soal denganCandra dan Deni masing- ketentuan soal nomor 1 harus dikerjakan. Jika banyakmasing mendapat 2 buku? soal yang diberikan 7 soal, tentukan banyak cara siswa itu mengerjakan.
    • Peluang 85 14. Suatu pertemuan dihadiri 18 orang. Jika setiap peserta saling berjabat tangan, tentukan banyak jabat tangan yang terjadi. 15. Misalkan di luar angkasa terdapat 10 buah satelit buatan yang mengelilingi bumi dalam satu orbit yang sama berbentuk lingkaran. Jarak sebuah satelit dengan satelit lainnya adalah sama. Tentukan berapa cara 10 satelit tersebut menempati posisinya dalam orbit?3. Kombinasi Kalian tentu masih ingat dengan pengertian permutasi. Pada permutasi urutan unsur pada suatu susunan diperhatikan. Namun, Kuis pada kombinasi urutan tidak diperhatikan. Misalnya, • Kerjakan di buku tugas ABC BAC CBA CAB adalah susunan (kombinasi) yang sama.Dari 12 orang yang terdiriatas 8 pria dan 4 wanita akan Kalian telah memahami bahwa permutasi k unsur dari n unsurdibentuk kelompok kerja n! .yang beranggotakan 4 orang. yang tersedia, yaitu Pkn =Jika dalam kelompok kerja (n k )!itu paling sedikit terdapat 2 Karena banyak permutasi k unsur adalah k! dan kombinasipria maka banyak caramembentuk kelompok kerja tidak memerhatikan urutan maka setiap k! permutasi merupakanitu ada .... satu kombinasi dari k unsur. Dengan demikian, diperoleha. 442 d. 462b. 448 e. 468 Pknc. 456 Pkn = n k! C k n Ck = k! UMPTN 2001 n! = (n k )! k! Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut. Kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia dirumuskan dengan n n! Ck = (n k )! k! Notasi kombinasi ada beberapa macam, antara lain nCk, nCk, atau n C(n, k). Pada buku ini disepakati notasi yang dipakai adalah C k . Contoh 1: Tentukan nilai kombinasi-kombinasi berikut. 6 a. C2 5 b. C5 c. C n +1 n
    • 86 Khaz Matematika SMA 2 IPS Jawab: 6 6! 6! 6 × 5 × 4! 6 × 5 a. C2 = = = = = 15 (6 2)! 2! 4! 2! 4! 2! 2! 5 5! 5! 5! b. C5 = = = =1 (5 5)! 5! 0! 5! 5! (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)n! c. Cn + 1 = n = = = n +1 ((n + 1) n)! n! 1! n! n! Contoh 2: Tentukan nilai n2 – 1 jika 4!C4 = 5 P3n . n Jawab: 4!C4 = 5 P3n n n! n! 4! =5 (n 4)!4! (n 3)! n! 5n! = (n 4)! (n 3)(n 4)! 5 1 = n 3 n–3 =5 n =8 Jadi, n2 – 1 = 82 – 1 = 63. Problem Dari 10 orang yang mendaftar karyawan di suatu perusahaan, Solving hanya akan diterima 6 orang sebagai karyawan. Tentukan banyak cara untuk memilih keenam orang itu. Jawab: Pada kasus ini urutan orang yang diterima sebagai karyawan tidak diperhatikan. Jadi, kasus ini dapat diartikan sebagai kombinasi 6 unsur dari 10 unsur yang tersedia. (Mengapa demikian?) 10 10! 10! 10 × 9 × 8 × 7 × 6! C6 = = = (10 6)! 6! 4! 6! 4! 6! 10 × 9 × 8 × 7 = = 210 4 × 3 × 2 ×1 Jadi, terdapat 210 cara.
    • Peluang 874. Teorema Binomial Newton Bentuk a + b, x + y, x2 – y2, dan seterusnya dinamakan bentuk binom. Termasuk bentuk (a + b)n. Bentuk (a + b)n dapat diuraikan menjadi suku-sukunya. Proses menguraikan ini dinamakan perluasan atau ekspansi binomial atau binomial Newton. Teorema Binomial Newton (Teorema Binom) Untuk n bilangan bulat positif, berlaku ( a + b)n = C0 a n + C1n a n 1b + C2 a n 2 b 2 + ... + Cn b n n n n Dapat juga ditulis dengan notasi sigma berikut. n ( a + b)n = Ckn a n k b k k =0 1 1 Untuk n =1 ( a + b)1 koefisien C0 C1 2 2 2 Untuk n = 2 ( a + b)2 koefisien C0 C1 C2 3 3 3 3 Untuk n = 3 ( a + b)3 koefisien C0 C1 C2 C3 4 4 4 4 4 Untuk n = 4 ( a + b)4 koefisien C0 C1 C2 C3 C4 5 5 5 5 5 5 Untuk n = 5 ( a + b)5 koefisien C0 C1 C2 C3 C4 C5 Jika kalian selesaikan akan diperoleh susunan koefisien berikut. (a + b) 1 1 a+b (a + b)2 1 2 1 a2 + 2ab + b2 (a + b)3 1 3 3 1 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 4 (a + b) 1 4 6 4 1 a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 5 (a + b) 1 5 10 10 5 1 a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 Bagaimana penggunaannya? Perhatikan contoh berikut. Contoh 1: Uraikan bentuk berikut dalam suku-sukunya. a. (x + y)3 b. (x + y)4 c. (2x + y)5 d. (2x – y)6 Jawab: a. (x + y)3 = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 b. (x + y) = 1x4 + 4x3y + 6x3y2 + 4xy3 + 1y4 4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 = y4
    • 88 Khaz Matematika SMA 2 IPS Tantangan c. (2x + y)5 = 1(2x)5 + 5(2x)4(y) + 10(2x)3(y)2 + Kreativitas 10(2x)2(y)3 + 5(2x)(y)4 + 1(y)4 • Kerjakan di buku tugas = 32x5 + 80x4y + 80x3y2 + 40x2y3 + 10xy4 + y4 6Diketahui persamaan d. (2x – y) 3m = aC1m+ m bC2 m + cC3 Ditentukan terlebih dahulu koefisien binom.Untuk sebarang bilangan 6 6!bulat positif m, nilai a + b + c C0 = =1adalah (6 0)!0!a. 5 6! 6!b. 12 C16 = = =6c. 13 (6 1)!1! 5!1!d. 36 6 6! 6!e. 37 C2 = = =15 (6 2)!2! 4!2! Soal Lomba Matematika Nasional UGM 2006 6 6! 6! C3 = = = 20 (6 3)!3! 3!3! 6 6! 6! C4 = = =15 (6 4)!4! 2!4! 6 6! 6! C5 = = =6 (6 5)!5! 1!5! 6 6! 6! C6 = = =1 (6 6)!6! 0!6! Jadi, (2x – y)6 = C0 (2 x )6 ( y)0 + C16 (2 x )5 ( y)1 + 6 C2 (2 x ) 4 ( y)2 + C3 (2 x )3 ( y)3 + 6 6 C4 (2 x )2 ( y) 4 + C5 (2 x )1 ( y)5 + 6 6 C6 (2 x )0 ( y)6 6 = 1(64x6) + 6(–32x5y) + 15(16x4y2) + 20(–8x3y3) + 15(4x2y4) + 6(–2xy5) + 1(y6) = 64x6 – 192x5y + 240x4y2 – 160x3y3 + 60x2y4 – 12xy5 + y6 Contoh 2: Tentukan koefisien yang diminta pada ekspansi-ekspansi berikut. a. (3x + 2y)11; x7y4 b. (–2x + 3y); x3y8 Jawab: a. Pertanyaan ini dapat dijawab dengan menjabarkan C4 (3 x )7 (2 y) 4 . 11 11 11! 11! • C4 = = = 330 (11 4)!4! 7!4!
    • Peluang 89 11 • C4 (3x)7(2y)4 = 330(2.187x7)(16y4) = 11.547.360 x7y4 Jadi, koefisien x y pada ekspansi (3x + 2y)11 adalah 7 4 11.547.360. b. Terlebih dahulu bentuk C8 ( 2 x )3 (3 y)8 dijabarkan. 11 11 11! 11! • C8 = = =165 (11 8)!8! 3!8! 11 • C8 (–2x)3(3y)8 = 165(–8x3)(6.561 y8) = –8.660.520x3y8 • Kerjakan di buku tugasSoal Kompetensi 3 1. Tentukan nilai kombinasi berikut. 7 10 a. C5 f. C3 4 n b. C1 g. Cn 1 10 c. C2 h. Cn + 2 n 4 2n d. C4 i. Cn 6 e. C 0 2. Tunjukkan bahwa 11 11 17 17 a. C2 = C9 c. C1 = C16 15 15 10 10 b. C5 = C10 d. C0 = C10 3. Berapa banyak warna campuran yang terdiri atas 5 warna apabila 5 warna tersebut dipilih dari 8 warna? 4. Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan berikut. a. C2n = 4 n + 5 b. nPba = C b a c. Cn n = 2Cn n1 1 2 2 n+2 d. Cn = 45 e. n n 4C2 = C3 +2 n n f. C13 = C11 5. Sebanyak 12 orang yang akan mengikuti pertemuan di sebuah hotel, hanya 8 orang yang diperbolehkan untuk mengikuti pertemuan itu. Berapa banyak cara memilih kedelapan orang tersebut?
    • 90 Khaz Matematika SMA 2 IPS Tantangan 6. Dalam suatu pelatnas bulu tangkis ada 10 orang pemain putra dan 8 orang pemain putri. Berapa banyak pasangan Eksplorasi ganda yang dapat dibentuk untuk • Kerjakan di buku tugas a. ganda putra;Dari 10 orang akan dibagi b. ganda putri;menjadi 3 kelompok. Berapabanyak cara untuk me- c. ganda campuran?ngelompokkan kalau kelom- 7. Pada sebuah kotak berisi 10 kelereng putih dan 6 kelerengpok pertama terdiri atas 4 biru. Dari kotak itu diambil 5 kelereng sekaligus. Berapaorang, kelompok keduaterdiri atas 3 orang, dan banyak pilihan untuk mengambil kelereng itu jika 5kelompok ketiga terdiri atas kelereng itu terdiri atas3 orang? a. 3 kelereng putih dan 2 kelereng biru; b. 4 kelereng putih dan 1 kelereng biru; c. semuanya kelereng putih? 8. Dalam rapat anggota tahunan koperasi Jaya Utama dihadiri oleh 15 peserta. Salah satu agenda dalam rapat tersebut adalah akan dipilih 3 orang dari semua yang hadir untuk mewakili koperasi dalam suatu seminar. Berapa banyak cara pemilihan pengurus tersebut? 9. Dalam sebuah tumpukan kartu bridge terdapat 10 kartu berwarna merah dan 15 kartu berwarna hitam. Dari tumpukan tersebut diambil 5 kartu secara acak. Ada berapa cara pengambilan kartu jika maksimal kartu warna hitam yang terambil 4 buah? 10. Dengan menggunakan teorema binom, a. ekspansikan bentuk aljabar teorema binom ke dalam suku-sukunya; 1) (x + y)6 2) (x – y)6 3) (x + 3y)5 4) (x – 3y)6 5) (–4x + 2y)7 b. tentukan koefisien-koefisien suku-suku yang diminta dari ekspansi binom berikut. 1) (x + y)9; x2y7 2) (x – y)12; x3y9 3) (3x + y)8; x4y4 4) (2x – 5y)7; x5y2 1 6 3 1 3 5) (x + ) ;x ( ) 2y y 1 1 8 1 6) ( ); 2 x 2 y x 3 y5
    • Peluang 91Jendela Informasi A. N. Kolmogorov Informasi lebih lanjut Tokoh matematika yang memperkenalkan pendekatan teori peluang dengan aksioma modern adalah Andrew Nikolavich Kolmogorov (1903–1987). Dia kuliah di Moskow State University pada usia 17 tahun dan lulus pada tahun 1925. Dia adalah orang yang telah membuktikan teorema mendasar yang menjadi konsekuensi dari pendekatan aksioma tentang peluang. Salah satu pengembangan dari teori peluang yang ia sumbangkan adalah dua buah sistem persamaan diferensial parsial. Akibat dari sumbangan ini, teori peluang dapat diaplikasikan secara luas ke bidang-bidang lain, seperti kimia, Kolmogorov fisika, teknik sipil, bahkan biologi. Carilah informasi mengenai (1903–1987) tokoh ini dan perannya di dunia matematika. Sumber: www.cygo.com Sumber: Ensiklopedi Pengetahuan, 2007B. Peluang Suatu Kejadian dan Komplemennya Pada waktu kalian lulus dari SMP, mungkin kalian ingin melanjutkan ke SMA favorit. Misalkan penerimaan siswa di SMA itu dilakukan secara objektif. Dengan nilai yang kalian miliki, tentu telah terpikirkan olehmu kemungkinan diterima atau tidaknya di SMA itu. Hal-hal yang menyangkut dengan berbagai kemungkinan dari suatu kejadian akan kalian pelajari di subbab ini. Namun, sebelumnya kalian akan diperkenalkan dengan istilah-istilah yang berkorelasi dengan penentuan nilai kemungkinan suatu kejadian. Nilai kemungkinan seperti ini sering disebut peluang atau probabilitas. Istilah-istilah yang dimaksud adalah percobaan, ruang sampel, dan kejadian.1. Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian Misalkan kalian melemparkan sebuah dadu yang mempunyai 6 sisi. Setelah dilempar, sisi yang berada di atas tentu hanya satu, misalnya sisi bermata dadu 5. Jika setiap sisi (mata dadu) diberi nomor 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, kemungkinan munculnya setiap mata dadu adalah sama. Hal diasumsikan dadu adalah benda homogen. Dari kegiatan di atas, tindakan (kegiatan) melempar dadu ke atas dinamakan percobaan, himpunan sisi-sisi (mata dadu) 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 dinamakan ruang sampel, dan kejadian munculnya salah satu mata dadu pada sisi atas dinamakan kejadian.
    • 92 Khaz Matematika SMA 2 IPS Pada ruang sampel, titik (sisi) yang mungkin muncul di atas adalah 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Anggota ruang sampel dinamakan titik sampel. Kejadian yang hanya terdiri atas satu titik sampel dinamakan kejadian sederhana, sedangkan kejadian yang terdiri atas beberapa titik sampel dinamakan kejadian majemuk. Mari Dari penjelasan di atas, dapatkah kalian mendefinisikan Berdiskusi percobaan, ruang sampel, dan kejadian? Coba bandingkan Mengomunikasikan hasilnya dengan teman-teman kalian. gagasan Contoh: Pada pelemparan sebuah koin, dengan sisi-sisinya gambar (G) dan angka (A), tentukan ruang sampelnya. Kemudian, sebutkan pula ruang sampelnya jika koin yang dilemparkan 2 buah. Bagaimana pula jika koin yang dilempar 3 buah? Jawab: Untuk sebuah koin, jika ruang sampel S maka S = {A, G}. Untuk dua buah koin, ruang sampel dapat ditentukan dengan Tugas: Investigasi bantuan tabel berikut. • Kerjakan di buku tugas II Jadi, ruang sampelnya adalahKalian telah mampu bagai- A G S = {AA, AG, GA, GG}.mana cara menentukan Iruang sampel untuk sebuahkoin, dua buah koin, tiga A AA AGbuah koin. Sekarang coba G GA GGkalian tentukan ruang sam-pel pada pelemparan:a. empat buah koin; Untuk 3 buah koin, ruang sampelnya dapat ditentukan sebagaib. sebuah koin dan sebuah berikut. dadu;c. dua buah koin dan sebuah AA AG GA GG dadu. A AAA AAG AGA AGG G GAA GAG GGA GGG Jadi, ruang sampelnya adalah S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}.2. Peluang Suatu Kejadian Untuk memahami definisi peluang, kita akan menggunakan uang logam (koin) yang bersisi angka (A) dan gambar (G). Berikut ini adalah contoh percobaan pelemparan koin dengan banyak percobaan makin besar.
    • Peluang 93 Frekuensi Muncul Frekuensi RelatifBanyak Percobaan (n) Angka (A)(m) m Fr(A) = n 10 8 0,8000 100 62 0,6200 1.000 473 0,4730 5.000 2.550 0,5100 10.000 5.098 0,5098 15.000 7.619 0,5079 20.000 10.038 0,5019 Sumber: Applied Finite Mathematics, 1982 Pada tabel di atas, tampak bahwa frekuensi relatif menyatakan frekuensi muncul angka (A), yaitu m dibagi dengan banyak percobaan (n). Dari tabel tampak makin banyak percobaan yang dilakukan, frekuensi relatif makin mendekati setengah (0, 5). Peluang munculnya angka adalah limit frekuensi relatif untuk banyak percobaan n mendekati tak berhingga. Jadi, peluang munculnya angka adalah 0,5. Hal ini dapat ditulis dengan P(A) = 0,5. Paku Bagaimana jika permukaannya tidak seimbang, namun juga pines ada 2 kemungkinan muncul? Apakah peluangnya juga 0,5? TentuTegak Miring tidak. Hal ini dapat dilihat dari percobaan berikut yang (T) (M) menggunakan objek paku pines. Jika paku ini dilempar ke atas,Gambar 2.6 hanya ada 2 kemungkinan muncul, yaitu miring (M) dan tegak (T). Perhatikan hasil percobaan itu, seperti disajikan dalam tabel berikut. Banyak Frekuensi Paku Frekuensi Relatif Paku Muncul m Percobaan (n) Miring (M) (m) Miring Fr(M) = n 1.000 314 0,314 5.000 1.577 0,3154 10.000 3.157 0,3157 15.000 4.682 0,3121 20.000 6.214 0,3107 Sumber: Applied Finite Mathematics, 1982 Tampak bahwa lim Fr(M) tidak mendekati 0,5, tetapi men- n dekati 0,3. Hal ini berarti P(M) = 0,3. Secara umum, peluang dapat didefinisikan sebagai berikut.
    • 94 Khaz Matematika SMA 2 IPS Peluang suatu kejadian A dari suatu percobaan adalah nilai limit frekuensi relatif dari peristiwa itu untuk banyak percobaan (n) tak berhingga, ditulis P(A) = lim Fr(A) n Definisi di atas dinamakan definisi empiris. Selain definisi empiris, kalian akan lebih mudah memahami peluang dari definisi klasik. Seperti yang kalian ketahui di depan bahwa peluang adalah suatu kemungkinan munculnya suatu kejadian. Misalkan dalam suatu percobaan mengakibatkan munculnya n hasil yang mungkin, dengan masing-masing hasil mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul. Jika kejadian A dapat muncul sebanyak k kali, peluang kejadiannya dirumuskan dengan k P(A) = Perhatian nMateri tentang limit fungsi Pengertian di atas didasarkan pada pengertian klasik daribaru akan kalian pelajari di suatu peluang. Pengertian mengenai peluang akan sangat mudahbab berikutnya. Oleh kare- kalian pahami dengan menggunakan ruang sampel.na itu, di sini hanya ditun- Misalkan ruang sampel dari suatu percobaan adalah S.jukkan saja bahwa lim f(x) x Masing-masing anggota dari ruang sampel S mempunyaidibaca ”limit fungsi f(x) kesempatan yang sama untuk muncul. Jika A suatu kejadian,untuk x mendekati takberhingga”. dengan A S, peluangnya dapat dirumuskan n( A) P(A) = n( S ) dengan n(A) banyak anggota kejadian A dan n(S) banyak anggota ruang sampel S. Contoh: Suatu kotak berisi 3 bola putih dan sebuah bola merah. Dari dalam kotak, diambil secara acak 3 bola sekaligus. Tentukan peluang ketiga bola yang terambil terdiri atas: a. Salah satu bola berwarna merah; b. Ketiganya berwarna putih. Jawab: Cara 1: Gambar 2.7
    • Peluang 95Perhatikan ilustrasi pada Gambar 2.7. Bola putih masing-masing P1, P2, dan P3, sedangkan bola merah M. P P2 M 1 e1 P P2 P3 1 e2 S P MP3 1 e3 P2 MP3 e4 Dari proses pengambilan di atas, hasil yang mungkin(ruang sampelnya) adalah S = {e1, e2, e3, e4} n(S) = 4.a. Jika A adalah peristiwa salah satu bola yang terambil berwarna merah. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa A = {e1, e3, e4} n(A) = 3. Karena kita meyakini masing-masing titik sampel dalam ruang sampel S berpeluang sama untuk terambil maka n( A) 3 P(A) = = . n( S ) 4 Jadi, peluang salah satu bola yang terambil berwarna merah adalah 3 . 4b. Jika B adalah peristiwa ketiga bola yang terambil berwarna putih. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa B = {e2} n(B) = 1. n( B) 1 Jadi, P(B) = = . n( S ) 4Cara 2:Dengan menggunakan penalaran rinci. Dari Gambar 2.7 misalketiga bola yang terambil, kebetulan terambil P1P2M. Susunanyang terambil ini sebenarnya dapat berupa P1MP2, MP1P2,P2MP1, dan seterusnya. Karena kita tidak dapat membedakansatu sama lain, susunan P1P2M = P1MP2 = P2MP1 = MP1P2 =... dan seterusnya. Artinya, susunan bola yang terambil tidakmemerhatikan urutan, berarti merupakan kasus kombinasi.a. Peluang salah satu bola terambil merah dari 3 pengambilan P(A) = P(1M, 2P) = P(1M dari 1M dan 2P dari 3P) n (1M dari 1M dan 2 P dari 3 P) = n(3 bola dari 4 bola) 1 3 C1 × C2 1× 3 3 = = = 4 C3 4 4
    • 96 Khaz Matematika SMA 2 IPS b. P(B) = P(ketiganya putih) = P(3P, 0M) = P(3P dari 3P dan 0M dari 1M) n (3P dari 3P dan 0 M dari 1M ) = n(3 bola dari 4 bola) 3 1 C3 × C0 1× 1 1 = = = 3 C4 4 4 Problem Misalkan dua buah dadu dilempar bersama-sama ke atas Solving sebanyak satu kali. Jika A menyatakan kejadian munculnya angka 5 pada dadu pertama, B menyatakan kejadian munculnya jumlah angka dadu pertama dan kedua adalah 6, dan C menyatakan kejadian munculnya angka yang sama pada kedua dadu, tentukan a. P(A); b. P(B); c. P(C). Jawab: Untuk dapat menjawab soal di atas, kalian harus dapat menentukan ruang sampel dari suatu percobaan dengan dua buah dadu itu. Ruang sampelnya dapat dipahami melalui tabel berikut. II 1 2 3 4 5 6 I 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) Perhatikan tabel di atas. Dari tabel itu dapat dikatakan bahwa banyak anggota ruang sampel n(S) = 36, yaitu S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (2, 1), (2, 2), ..., (3, 1), (3, 2), ..., (4, 1), (4, 2), ..., (5, 1), (5, 2), ..., (6, 1), (6, 2), ..., (6, 6)}. Banyak anggota kejadian A adalah n(A) = 6, yaitu A = {(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}. Banyak anggota kejadian B adalah n(B) = 5, yaitu B = {(5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4), (1, 5)}.
    • Peluang 97 Banyak anggota kejadian C adalah n(C) = 6, yaitu C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}. Dengan demikian, kita dapat menjawab hal-hal berikut. n ( A) 6 1 a. P(A) = = = n (S ) 36 6 n (B ) 5 b. P(B) = = n (S ) 36 n (C ) 6 1 c. P(C) = = = n (S ) 36 6Jendela Informasi Sejarah Ilmu Peluang Informasi lebih lanjut Hitung peluang pada mulanya dihubungkan dengan permainan judi, khususnya dadu atau kartu. Pada suatu saat Chevalier de Mere memberi suatu pertanyaan kepada Blaise Pascal. De Mere memberikan suatu pertanyaan yang berkaitan dengan permainan dadu. Salah satunya adalah bagaimana membagi hasil taruhan permainan dadu yang harus berhenti di tengah permainan. Pascal bersama-sama dengan temannya, Pierre de Fermat, menyelesaikan pertanyaan itu. Berikut ini adalah jawaban yang dikemukakan oleh Pas- cal dan Fermat untuk menyelesaikan teka teki yang diajukan oleh de Mere. (a) Teman de Mere dapat mengatakan bahwa peluang untuk Blaise Pascal memperoleh dua lemparan yang memenangkan taruhan adalah (1623–1662) separuh peluang de Mere untuk memperoleh satu lemparan agar ia bisa menang. Jadi, ia berhak memperoleh separuh bagian de Mere, yaitu 21 1 pistole dan De Mere memperoleh 3 42 2 . Sebaliknya, De Mere mengajukan pendapat bahwa pada 3 lemparan berikutnya kalaupun ia tidak beruntung, permainan akan berakhir seri sehingga De Mere dan temannya sama-sama memperoleh 32 pistole. Kemungkinan lain, De Mere yang beruntung. Ia yang memenangkan permainan sehingga (b) memperoleh 64 pistole. Dengan demikian, sebelum dadu Pierre de Fermat dilemparkan, De Mere sudah memperoleh hak 32 pistole, (1601–1665) kemudian 16 pistole lagi atas peluang 50% kemenangan De Sumber: www.cygo.com Mere.
    • 98 Khaz Matematika SMA 2 IPS Bertolak dari inilah, ilmu hitung peluang lahir. Sekarang, ilmu ini banyak digunakan di berbagai disiplin ilmu, seperti lahirnya teori atom, mekanika kuantum, dan radioaktivitas dalam fisika. Dalam matematika sendiri, ilmu hitung peluang melahirkan statistika. Carilah informasi selengkapnya tentang Pascal dan Fermat. Cari juga karya yang lain dari kedua tokoh itu di media internet. Sumber: www.myscienceblog.com • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 4 1. Seorang peneliti ingin mengetahui tingkat kecerdasan dari seluruh kelas XI SMA Bina Bangsa. Kelas XI terdiri atas 5 kelompok, yaitu XI A, XI B, XI C, XI D, dan XI E. Setiap kelas terdiri atas 35 siswa. Peneliti itu yakin bahwa hanya dengan meneliti kelas XI C saja tingkat kecerdasan seluruh kelas XI dapat diketahui. Tentukan a. ruang sampel dan banyak anggotanya; b. jumlah sampelnya; c. nama percobaannya. 2. Sebanyak 5 orang terdiri atas 2 orang putra dan 3 orang putri akan dipilih 1 orang secara acak untuk mewakili suatu pertemuan. Tentukan peluang terpilihnya seorang putra untuk mewakili pertemuan itu. Berapa peluang terpilihnya seorang putri? Tantangan 3. Pak Candra mengambil 100 biji jagung yang baik, Penalaran kemudian memasukkannya dalam sebuah kantong plastik. • Kerjakan di buku tugas Beberapa saat kemudian, anaknya juga memasukkan 50 biji jagung yang jelek ke dalam kantong yang sama.Suatu tas koper berisi uangdilengkapi dengan kunci a. Jika Pak Candra mengambil 1 biji jagung daripengaman yang terdiri atas 4 kantong itu, berapa peluang terambil biji jagung yangdigit. Masing-masing digit baik?merupakan angka 0 sampai b. Jika 5 biji jagung yang jelek dibuang dari kantongdengan 9. Berapa peluang itu, kemudian Pak Candra mengambil sebuah bijiseseorang untuk menemukanangka-angka yang tepat jagung lagi, berapa peluang terambil biji yang baiksebagai kunci pembukanya? pada pengambilan kali ini? 4. Diberikan 7 angka, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Dari huruf- huruf tersebut akan dibentuk angka ratusan. Tentukan a. peluang angka ratusan lebih dari 500 yang terjadi; b. peluang angka ratusan ganjil yang terjadi. 5. Tiga buah koin dilempar bersama-sama. Sisi koin adalah sisi angka A dan sisi gambar G. Tentukan a. peluang muncul ketiga-tiganya gambar; b. peluang muncul 1 gambar dan 2 angka.
    • Peluang 99 6. Diketahui tumpukan satu set kartu bridge sejumlah 52 buah yang terdiri atas 13 buah kartu bergambar hati (warna merah), 13 buah kartu bergambar wajik (warna merah), 13 buah kartu bergambar sekop (warna hitam), dan 13 buah kartu bergambar cengkeh (warna hitam). Ketiga belas kartu dari masing-masing gambar terdiri atas kartu bernomor 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Jack (J), queen (Q), king (K), dan As. Selanjutnya diambil 1 buah kartu dari tumpukan. Berapa peluang kejadian yang terambil itu a. kartu As berwarna merah; b. kartu bergambar wajik; c. kartu berwarna merah; d. kartu bernomor 8; e. kartu bernomor ganjil; f. kartu bernomor berwarna hitam. 7. Soal analog nomor 7. Apabila diambil 3 buah kartu dari tumpukan, berapa peluang kejadian terambilnya a. kartu As semuanya; b. kartu hitam semuanya; c. dua buah kartu warna merah dan 1 buah warna hitam; d. dua buah kartu bernomor ganjil dan 1 buah bernomor genap; e. semua kartu bernomor genap dan hitam. 8. Andi merupakan salah satu siswa dalam suatu kelas yang terdiri atas 15 putra dan 10 putri. Pada suatu hari akan dipilih perwakilan kelas dalam lomba cerdas cermat sejumlah 4 orang yang terdiri atas 2 laki-laki dan 2 perempuan. Berapa peluang terpilihnya Andi menjadi perwakilan kelas?3. Komplemen Suatu Kejadian dan Peluangnya Misalkan A adalah kejadian munculnya angka 5 pada pelemparan sebuah dadu. Jadi, A = {5}. Kejadian munculnya angka bukan 5, yaitu Ac = {1, 2, 3, 4, 6} dinamakan komplemen dari kejadian A, ditulis Ac (dibaca A komplemen). Perhatikan diagram Venn di samping. Pada diagram di samping, A = {5} dan Ac = {1, 2, 3, 4, 6}. Karena S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, berlaku S = A Ac. Di samping itu, n(A) = 1, n(Ac) = 5, dan n(S) = 6. Ternyata, n(A) + n(Ac) = n(S) atau n(Ac) = n(S) – n(A). Gambar 2.8 Jika kedua ruasnya dibagi dengan n(S), diperoleh n( A c ) n( S ) n( A) = P(Ac) = 1 – P(A) n( S ) n( S ) n( S )
    • 100 Khaz Matematika SMA 2 IPS Jadi, jika P(Ac) peluang komplemen A dan P(A) peluang kejadian A, berlaku P(Ac) = 1 – P(A) Contoh: Pada pelemparan sebuah koin yang mempunyai sisi angka A dan sisi gambar G, tentukan peluang muncul sisi angka dan peluang muncul sisi bukan angka. Jawab: Misalkan E adalah kejadian muncul sisi angka. Pada pelemparan sebuah koin, ruang sampelnya adalah S = {A, G}. Jadi, n(S) = 2. Karena n(A) = 1 maka n( A) 1 P( E ) = = n( S ) 2 1 Jadi, peluang muncul sisi angka adalah . 2 Peluang muncul bukan sisi angka dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan 1 1 P(Ec) = 1 – P(E) = 1 – = 2 2 Problem Sebuah kotak berisi 3 kelereng merah dan 4 kelereng biru. Solving Dari dalam kotak itu diambil 2 kelereng sekaligus. Tentukan peluang terambil kelereng kedua-duanya bukan biru. Jawab: Banyak cara pengambilan 2 kelereng biru dari 4 kelereng biru yang ada adalah 4 4! C2 = = 6 cara. (4 2 )! 2! Banyak cara pengambilan 2 kelereng dari seluruh kelereng 7 7! dalam kotak (7 kelereng) adalah C 2 = = 21 cara. (7 2)! 2! Misalkan A adalah kejadian terambil kelereng kedua-duanya 6 2 biru. P(A) = = 21 7 Oleh karena itu, peluang terambil kelereng kedua-duanya bukan biru adalah 2 5 P (Ac) = 1 – P(A) = 1 = . 7 7
    • Peluang 1014. Kisaran Nilai Peluang Misalkan A adalah kejadian dalam ruang sampel S. Tentu n(A) n(S) dan n(A) 0. Hal ini dituliskan 0 n(A) n(S). Jika pada setiap ruas dibagi dengan n(S), diperoleh 0 n( A) n( S ) n( S ) n( S ) n( S ) n( A) 0 P(A) 1 ................................ (Ingat: = P(A)) n( S ) Gambar 2.9 Jadi, nilai peluang dari suatu kejadian berada pada interval tertutup [0, 1]. Untuk P(A) = 0 dinamakan kemustahilan dan untuk P(A) = 1 dinamakan kepastian. Mari Dapatkah kalian memberikan contoh peluang suatu kejadian Berdiskusi yang bernilai 0 atau 1? Berikan alasannya, mengapa kalian Observasi menyatakan demikian. • Kerjakan di buku tugasSoal Kompetensi 5 1. Pada pelemparan sebuah dadu bersisi 6 sebanyak satu kali, tentukan a. peluang kejadian muncul angka 2; b. peluang kejadian muncul angka ganjil; c. peluang kejadian muncul bukan angka 2; d. peluang kejadian muncul bukan angka prima. 2. Sebuah dadu dan sebuah koin dilempar sekaligus. Dadu mempunyai 6 sisi dan koin mempunyai sisi angka dan sisi gambar. Tentukan a. peluang kejadian muncul angka genap pada dadu dan sisi gambar pada koin; b. peluang kejadian muncul bukan angka genap pada dadu dan sisi gambar pada koin. 3. Sebuah kotak berisi 8 bola putih dan 4 bola merah. Dari kotak itu akan diambil 3 bola sekaligus secara acak.
    • 102 Khaz Matematika SMA 2 IPS Tentukan: a. peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola putih; b. peluang terambil 3 bola putih; c. peluang terambil ketiganya bukan merah. 4. Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Hitunglah nilai a. peluang muncul kedua-duanya angka genap; b. peluang muncul kedua-duanya angka yang sama; c. peluang muncul kedua-duanya bukan angka yang Tantangan sama; Penalaran d. peluang muncul jumlah angka-angka yang muncul • Kerjakan di buku tugas 13. 5. Diberikan angka-angka 3, 4, dan 5. Dari ketiga angka itu1. Tiga keping uang logam dilempar ke atas seba- akan dibentuk angka puluhan dengan angka-angkanya nyak satu kali. Hitunglah boleh berulang. Dari bilangan-bilangan yang terbentuk, peluang kejadian diambil sebuah bilangan. Tentukan a. ketiga-tiganya tidak a. peluang terambil bilangan dengan angka-angka muncul sisi angka; b. paling tidak muncul penyusunnya berbeda; 2 sisi gambar; b. peluang terambil bilangan dengan angka-angka c. paling banyak mun- penyusunnya sama; cul 2 sisi angka. c. peluang terambil bilangan yang nilainya lebih dari2. Sebuah tas berisi 20 bola 55; golf. Bola-bola itu diberi nomor 1–20. Akan diam- d. peluang terambil bilangan yang nilainya kurang dari bil secara acak dua bola 33. sekaligus. 6. Sebelas buah bola bernomor dari 1 s.d. 11 dimasukkan a. Tentukan peluang di dalam kotak dan diambil satu buah secara acak. terambil bola dengan nomor 3 dan 7. Tentukan peluang terambilnya b. Tentukan peluang a. bola bernomor genap; terambil bola dengan b. bola bernomor ganjil; nomor ganjil dan c. bola dengan nomor kurang dari 8; nomor genap. d. bola bernomor lebih atau sama dengan 8; e. bola bernomor bilangan prima; f. bola bernomor bukan bilangan prima. 7. Tiga buah dadu dilemparkan sekali sekaligus. Tentukan peluang kejadian a. munculnya mata dadu berjumlah kurang dari 16; b. munculnya mata dadu berjumlah bukan bilangan prima; c. munculnya semua mata dadu bernilai genap; d. munculnya semua mata dadu bernilai ganjil. 8. Di dalam sebuah kotak berisi 10 buah bola. Bola-bola itu diberi nomor 1, 2, 3, 4, dan 5, masing-masing ada 2 buah. Diambil 3 buah bola sekaligus. Tentukan peluang kejadian a. jumlah ketiga angka pada bola 6; b. jumlah ketiga angka pada bola tidak lebih dari 8.
    • Peluang 103C. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian Perhatikan kembali percobaan pelemparan dadu bersisi 6. 1 Peluang muncul setiap sisi adalah sama, yaitu . Jika pelemparan 6 dilakukan sebanyak 60 kali, harapan muncul suatu sisi adalah 1 dari 60 kali lemparan, yaitu 10 kali. Kemunculan 10 kali untuk 6 satu sisi inilah yang diharapkan terjadi pada pelemparan sebanyak 60 kali. Hal ini dinamakan frekuensi harapan. Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut. Frekuensi harapan F h adalah banyak kejadian yang diharapkan dapat terjadi pada suatu percobaan dan dirumuskan Fh(A) = P(A) × n dengan P(A) peluang kejadian A dan n banyak percobaan. Contoh: Peluang terjadi hujan pada bulan November adalah 0,71. Berapa kemungkinan tidak hujan pada bulan ini? Tugas: Inkuiri Jawab: Misalkan A adalah kejadian hujan pada bulan November. • Kerjakan di buku tugas Jadi, P(A) = 0,71.Kalian telah mengenal keja- Peluang tidak terjadi hujan pada bulan ini adalahdian yang mustahil terjadi P(Ac) = 1 – P(A)dan kejadian yang pasti ter-jadi, serta nilai peluangnya. = 1 – 0,71Bagaimana nilai frekuensi = 0,29harapannya? Dapatkah kalian Oleh karena itu, kemungkinan tidak terjadi hujan pada bulanmemberikan contohnya? November adalah 0,29 × 30 hari = 8,7 hari. • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 6 1. Sebuah dadu dilemparkan 20 kali. Berapa kali kemungkinan muncul angka genap? 2. Pada percobaan melempar 3 koin sebanyak 120 kali, berapakah frekuensi harapan muncul dua gambar dan 1 angka secara bersamaan pada setiap kali lemparan? 3. Sebuah koin dan sebuah dadu dilempar bersama-sama sebanyak 120 kali. Tentukan a. peluang muncul angka genap dan gambar; b. frekuensi harapan muncul angka genap dan gambar.
    • 104 Khaz Matematika SMA 2 IPS Tantangan 4. Sebuah kantong berisi 2 kelereng merah, 8 kelereng biru, dan 3 kelereng putih. Sebuah kelereng diambil dari Penalaran kantong itu. Jika frekuensi harapan terambil kelereng • Kerjakan di buku tugas merah 10 kali, tentukan banyak pengambilan yangPerusahaan asuransi mem- dilakukan.perkirakan bahwa kemung-kinan seorang tenaga kerja 5. Tiga koin dilempar bersama-sama sebanyak n kali. Jikamengalami kecelakaan da- A menyatakan kejadian muncul gambar secara bersamaan,lam satu tahun adalah 0,12. tentukanBerapakah di antara 3.000 a. n agar kejadian A muncul 2 kali;tenaga kerja yang diper-kirakan mengalami kecela- b. n agar kejadian A muncul 8 kali.kaan dalam 1 tahun? Jika 6. Dari sebuah kotak yang berisi 5 bola merah dan 5 bolabiaya perawatan akibat putih, diambil secara acak 2 bola sekaligus. Apabilakecelakaan seorang tenaga pengambilan dilakukan 10 kali berapakah frekuensikerja Rp2.750.000,00, be- harapan terambil bola yang berlainan warna?rapa rupiahkah perusahaanasuransi itu harus menyedia- 7. Dua buah dadu dilempar secara bersamaan sebanyak 200kan dana untuk 3 tahun? kali. Tentukan frekuensi harapan untuk kejadian a. munculnya mata dadu pertama adalah angka 4; b. munculnya kedua mata dadu sama; c. munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 8; d. munculnya kedua mata dadu angka genap; e. munculnya jumlah kedua mata dadu lebih dari 8; f. munculnya mata dadu pertama ganjil dan mata dadu kedua genap. 8. Perusahan real estate setiap tahun rata-rata mampu membangun bangunan sebanyk 2.500 unit, yang terdiri atas tipe A 1.000 unit dan tipe B 1.500 unit. Peluang masing-masing tipe bangunan yang dibangun terjual adalah 70% dan 85%. Berapa banyak bangunan tipe A dan tipe B yang diharapkan terjual setiap tahun?D. Peluang Kejadian Majemuk Pada pembahasan sebelumnya, kalian telah diperkenalkan dengan kejadian majemuk, yaitu kejadian yang terdiri atas beberapa titik sampel. Misalkan kejadian A dan B adalah kejadian sederhana. Jika kita gunakan operasi himpunan gabungan (union) atau irisan (interseksi), akan terbentuk suatu kejadian majemuk. Misalkan A adalah kejadian muncul angka genap dan B adalah kejadian muncul angka prima pada pelemparan sebuah dadu. Dengan menggunakan operasi gabungan, dilambangkan dan irisan , diperoleh kejadian majemuk A B dan A B. Pada pelemparan sebuah dadu itu, diperoleh ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {2, 3, 5}
    • Peluang 105 Kejadian A B, dibaca kejadian A atau B dapat ditulis A B = {2, 3, 4, 5, 6}. Hal ini berarti bahwa yang terjadi kejadian A saja, B saja, atau kedua-duanya. Kejadian A B, dibaca kejadian A dan B dapat ditulis A B= {2}. Hal ini berarti, kejadian A dan B terjadi bersama-sama. Jika digambarkan dalam diagram Venn, tampak sebagai berikut. A B A B •3 •2 •5 (a) (b) Gambar 2.10 Kuis • Kerjakan di buku tugas Kemudian, bagaimana cara menentukan peluangnya? Perhatikan gambar di atas. Jika kita perhatikan, banyak anggota A B dapatSuatu kelas terdiri atas 40 dinyatakan sebagai berikut.siswa. 25 siswa gemar Mate- n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)matika, 21 siswa gemar IPS, Karena banyak anggota ruang sampel S adalah n(S), dengandan 9 siswa gemar Matema-tika dan IPS. Peluang membagi kedua ruas dengan n(S), diperolehseorang siswa tidak gemarMatematika maupun IPS n( A B) n( A) n( B) n( A B) = +adalah .... n( S ) n( S ) n( S ) n( S ) 25 4 P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)a. d. 40 40 Jadi, diperoleh hubungan sebagai berikut. 12 3b. e. 40 40 9 Misalkan A dan B adalah kejadian-kejadian dalam ruangc. sampel S. Peluang kejadian A atau B dapat ditentukan 40 UMPTN 2000 dengan P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) Contoh 1: Sebuah dadu dilemparkan sekali ke atas. Jika A kejadian muncul angka genap dan B kejadian muncul angka prima, tentukan peluang muncul A atau B. Jawab: Ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; A = {2, 4 ,6}; B = {2, 3, 5};
    • 106 Khaz Matematika SMA 2 IPS A B = {2}. Dengan demikian, n(S) = 6, n(A) = 3, n(B) = 3, dan n(A B) = 1. Jadi, P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) 3 3 1 5 = + = 6 6 6 6 5 Jadi, peluang muncul A atau B adalah . 6 Contoh 2: Dari 100 siswa, 30 siswa menggemari sepak bola, 20 siswa menggemari tenis meja, dan 10 orang menggemari kedua cabang olahraga itu. Jika seorang siswa dipilih secara acak, tentukan peluang siswa yang terpilih itu menggemari sepak bola atau tenis meja. Jawab: S A B Perhatikan diagram Venn yang menggambarkan soal di atas. S = {siswa} n(S) = 100 20 10 10 A = {siswa penggemar sepak bola} n(A) = 30 60 B = {siswa penggemar tenis meja} n(B) = 20 A B = {siswa penggemar sepak bola dan tenis meja} Gambar 2.11 n(A B) = 10. A B = {siswa penggemar sepak bola atau tenis meja} P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) n( A) n( B) n( A B) = + n( S ) n( S ) n( S ) 30 20 10 = + 100 100 100 40 = 100 2 = 5 Jadi, peluang yang terpilih adalah siswa penggemar sepak bola 2 atau penggemar tenis meja adalah . 51. Aturan Penjumlahan dalam Peluang Kejadian Majemuk Pada kejadian majemuk, tidak semua A B mempunyai anggota. Misalkan A adalah kejadian muncul angka ganjil dan B adalah kejadian muncul angka genap pada pelemparan sebuah
    • Peluang 107 dadu. Pada kejadian itu, n(A B) = 0. Kejadian seperti ini dinamakan kejadian saling lepas (mutually exclusive). Jika digambarkan dengan diagram Venn, tampak sebagai berikut. Karena n(A B) = 0 maka P(A B) = 0. Akibatnya, P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = P(A) + P(B) Gambar 2.12 Dari uraian di atas, diperoleh kesimpulan sebagai berikut. Jika A dan B adalah kejadian-kejadian dalam ruang sampel S yang saling lepas, peluang A atau B dapat dirumuskan dengan P(A B) = P(A) + P(B) Aturan seperti ini biasanya disebut aturan penjumlahan dalam peluang kejadian majemuk. Contoh: Dalam sebuah kotak terdapat 6 kelereng merah dan 4 kelereng biru. Tentukan peluang terambil kelereng merah atau biru pada pengambilan sebuah kelereng dari kotak itu. Jawab: Misalkan M adalah kejadian terambil kelereng merah dan B adalah kejadian terambil kelereng biru. Dari soal di atas, diperoleh n(M) = 6, n(B) = 4, dan n(S) = 10. Karena kelereng yang diambil hanya 1, tidak mungkin dalam sekali pengambilan mendapatkan kelereng merah dan biru sekaligus. Artinya, P(M B) = 0. Dengan menggunakan aturan penjumlahan, diperoleh P(M B) = P(M) + P(B) 6 4 = + 10 10 10 = 10 = 1 Jadi, peluang terambil kelereng merah atau biru pada pengambilan sebuah kelereng adalah 1.2. Aturan Perkalian dalam Peluang Kejadian Majemuk Untuk memahami peluang kejadian saling bebas stokastik, lakukan Aktivitas berikut.
    • 108 Khaz Matematika SMA 2 IPS Aktivitas Tujuan : Memahami suatu kejadian yang saling bebas stokastik Permasalahan : Seperti apakah kejadian saling bebas stokastik itu? Bagaimana menentukan peluangnya? Kegiatan : Cobalah kalian lakukan kegiatan me- lempar sebuah koin dan sebuah dadu bersamaan. Misalkan A adalah kejadian muncul gambar pada koin dan B adalah kejadian muncul nomor genap pada dadu. 1. Apakah munculnya kejadian A bergantung kejadian B? 2. Bagaimanakah ruang sampelnya? 3. Apa saja elemen dari A? Berapakah peluangnya? 4. Apa saja elemen dari B? Berapakah peluangnya? 5. Apa saja elemen dari A B? Berapakah peluangnya? 6. Apakah P(A B) = P(A) × P(B)? Kesimpulan : Dari kegiatan di atas, apa yang dapat kalian simpulkan? Misalkan kalian melempar sebuah koin dan sebuah dadu. Kemunculan sisi gambar (G) pada koin jelas tidak memengaruhi munculnya angka 2 pada dadu. Kejadian seperti ini dinamakan kejadian saling bebas stokastik. Pada pelemparan koin dan dadu bersama-sama, ruang sampelnya adalah sebagai berikut. Dadu 1 2 3 4 5 6 Koin A (A, 1) (A, 2) (A, 3) (A, 4) (A, 5) (A, 6) G (G, 1) (G, 2) (G, 3) (G, 4) (G, 5) (G, 6) A : sisi angka pada koin G : sisi gambar pada koin Misalkan A adalah kejadian muncul sisi gambar pada koin dan B adalah kejadian muncul angka 2 pada dadu. Oleh karena itu, 1 1 P(A) = dan P(B) = . 2 6
    • Peluang 109 Kuis Sekarang perhatikan kejadian majemuk munculnya sisi gambar pada koin dan angka 2 pada dadu. Dari tabel di atas, tampak • Kerjakan di buku tugas bahwa A B = {(G, 2)}. Jadi, n(A B) = 1.Dalam sebuah kotak terda- Dengan demikian,pat 5 bola merah dan 10 bola n( A B)putih. Jika diambil dua bola P(A B) =secara bersamaan, peluang n( S )memperoleh dua bola ber-warna sama adalah .... 1 = 1 10 12a. d. 2 21 Ternyata, pada kejadian ini berlaku 1 11 1b. e. P(A B) = 4 21 12 2c. 1 1 21 = × = P(A) × P(B) 2 6 Olimpiade Nasional, 2006 Secara umum, dapat dikatakan sebagai berikut. Jika kejadian A dan B saling bebas stokastik, P(A) peluang terjadinya kejadian A dan P(B) peluang terjadinya kejadian B, peluang terjadinya A dan B, ditulis P(A B) adalah P(A B) = P(A) × P(B) Aturan di atas biasanya disebut aturan perkalian untuk dua kejadian saling bebas stokastik. Mari Setelah memahami uraian tentang kejadian saling bebas stokastik, dapatkah kalian menemukan 3 contoh kejadian yang Berdiskusi termasuk di dalamnya? Berikan alasan kalian, mengapa Inkuiri kejadian itu termasuk kejadian saling bebas stokastik. Contoh: Dua buah dadu ditos bersama-sama. Misalnya A menyatakan kejadian muncul mata dadu genap pada dadu I dan B kejadian Tugas: Eksplorasi muncul mata dadu ganjil pada dadu II. Tentukan peluang munculnya A dan B. • Kerjakan di buku tugas Jawab:Pahami kembali contoh ini.Coba kalian tunjukkan de- A ={2, 4,6} n( A) = 3; n( S ) = 6ngan menggunakan tabel B ={1,3,5} n( B) = 3; n( S ) = 6kemungkinan kejadian bah- n( A) 3 1 1 P( A) = = =wa P( A B) = . n( S ) 6 2 4
    • 110 Khaz Matematika SMA 2 IPS n( B) 3 1 P( B) = = = n( S ) 6 2 P( A B) = P( A) × P( B) 1 1 1 = × = 2 2 4 Problem Peluang sebuah pohon jati mampu hidup hingga 30 tahun lagi Solving 3 dari sekarang adalah . Peluang sebuah pohon randu mampu 8 2 bertahan hidup hingga 30 tahun lagi dari sekarang adalah . 7 Tentukan a. peluang dari sekarang keduanya akan hidup; b. peluang hanya pohon jati yang hidup. Jawab: P(A) = Peluang pohon jati mampu bertahan hidup hingga 3 30 tahun lagi dari sekarang = . 8 P(B) = Peluang pohon pohon randu mampu bertahan 2 hidup hingga 30 tahun lagi dari sekarang = . 7 P(Ac) = Peluang pohon jati mati 30 tahun dari sekarang 3 5 = 1 – P(A) = 1 – = . 8 8 P(Bc) = Peluang pohon randu mati 30 tahun dari sekarang 2 5 1 – P(B) = 1 – = . 7 7 a. P( A B) = P( A) × P( B) 3 2 = × 8 7 3 = 28 b. P( A Bc ) = P( A) × P( Bc ) 3 5 = × 8 7 15 = 56
    • Peluang 1113. Peluang Kejadian Bersyarat Misalkan kejadian B terjadi jika kejadian A telah diketahui atau telah terjadi, ditulis P(B|A). Untuk memahami kejadian bersyarat, lakukan Aktivitas berikut. Aktivitas Tujuan : Menentukan peluang kejadian bersyarat. Permasalahan : Bagaimana menentukan peluang suatu kejadian dengan syarat kejadian lain terjadi terlebih dahulu? Kegiatan : Sediakan 7 kelereng merah dan 3 kelereng biru, kemudian masukkan dalam 1 wadah. 1. Ambil sebuah kelereng, kemudian hitung peluang terambilnya merah. 2. Misalkan terambil merah pada pe- ngambilan pertama. a. Kembalikan kelereng yang telah kalian ambil ke dalam wadah tadi. Kemudian, ambil sebuah kelereng. Tentukan peluang terambil merah pada pengambilan yang kedua ini. b. Tanpa mengembalikan kelereng yang telah kalian ambil pada pengambilan pertama, lanjutkan pengambilan sebuah kelereng lagi. Tentukan peluang terambil merah pada pengambilan yang kedua ini. Kesimpulan : Apa yang dapat kalian simpulkan? Dari aktivitas di atas, jika kalian melakukannya dengan benar, peluang terambil kelereng merah pada pengambilan kedua bergantung pada hasil pengambilan pertama. Untuk kejadian A dan B kejadian saling bebas stokastik, kejadian A yang terjadi tidak mempengaruhi peluang kejadian B, ditulis P(B|A) = P(B). Karena P(A B) = P(A) × P(B), dengan P(B) = P(B|A), diperoleh rumus P ( A B) P(A B) = P(A) × P(B|A) atau P(B|A) = . P( A) Secara umum, dapat dikatakan sebagai berikut. Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi, dirumuskan dengan P ( A B) P(B|A) = P( A)
    • 112 Khaz Matematika SMA 2 IPS Dengan kata lain, peluang kejadian A diikuti kejadian B pada pengambilan berikutnya adalah P(A B) = P(A) × P(B|A). Contoh: Dari tugas di atas, tentukan peluang terambil kelereng berturut- turut merah, kemudian biru. Jawab: Diketahui banyak kelereng sebelum pengambilan pertama adalah 10, yaitu 7 merah dan 3 biru. Misalkan M adalah kejadian terambil merah, B kejadian terambil biru, dan B|M kejadian terambil biru setelah kejadian pertama terambil merah. Peluang terambil merah pada pengambilan pertama adalah 7 P(M) = . 10 Banyak kelereng setelah pengambilan pertama adalah 9, yaitu 3 1 6 merah dan 3 biru. Jadi, P(B|M) = = . 9 3 Dengan demikian, P(M B) = P(M) × P(B|M) 7 1 = × 10 3 7 = 30 Jadi, peluang terambil kelereng merah diikuti kelereng biru 7 berturut-turut adalah . 30 • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 7 1. Sebuah kartu remi (bridge) diambil dari 1 set lengkap (52 kartu). Tentukan peluang terambil kartu As atau kartu Tantangan bergambar. Berpikir kritis (Ingat: 1 set kartu terdiri atas 4 As, 12 gambar, dan 36 angka). • Kerjakan di buku tugas 2. Pada percobaan melempar dua buah dadu, tentukanDalam sebuah lomba balapsepeda motor, ada 8 peserta. peluang muncul angka genap pada dadu pertama danMasing-masing motor diberi angka ganjil prima pada dadu kedua.nomor punggung 1–8. Ten- 3. Suatu kelas terdiri atas 40 siswa. Dari sejumlah siswatukan peluang motor ber- tersebut, 25 siswa gemar Matematika, 21 siswa gemarnomor 3, 7, dan 1 berturut-turut keluar sebagai juara 1, Ekonomi, dan 9 siswa gemar kedua mata pelajaran2, dan 3. tersebut. Tentukan peluang siswa yang gemar Matematika atau Ekonomi.
    • Peluang 113 4. Sebuah dadu dan sebuah koin dilempar satu kali. Tentukan peluang a. muncul mata dadu ganjil dan sisi angka pada koin; b. muncul mata dadu prima ganjil dan sisi gambar pada koin; c. muncul mata dadu 5 dan sisi angka pada koin. 5. Jika A dan B adalah dua buah kejadian, dengan P(A) = 0,6 dan P(B) = 0,5, tentukan Tantangan a. P(A B); d. P(Bc); Berpikir kritis b. P(A B); e. P(Ac B); c c • Kerjakan di buku tugas c. P(A ); f. P(A Bc) 6. Dari sebuah kotak yang berisi 10 bola merah yang diberiSebuah lembaga penelitian nomor 1 s.d. 10. Selanjutnya, diambil sebuah bola secarasedang melakukan peneli-tian tentang minat masyara- acak. Berapa peluang terambilnya bola dengan nomorkat terhadap suatu produk genap atau ganjil?peralatan komputer. Berda- 7. Dua buah kotak diisi dengan bola-bola. Kotak pertamasarkan hasil survei di suatu berisi 6 bola merah bernomor 1 s.d. 6 dan kotak yangdaerah diperoleh data bahwa8% orang tidak menyukai lain berisi 5 bola hijau bernomor 1 s.d. 5. Tentukan berapaperalatan komputer merek peluang terambilnya bola merah dan hijau bernomorX, 20% orang menyukai kurang dari 4 atau kedua bola bernomor sama apabilamerek Y, dan 10% tidak dari masing-masing kotak tersebut diambil satu bolamenyukai merek X tapi me- secara bersamaan?nyukai merek Y. Berapakahpeluang seseorang menyu- 8. Sebuah kartu diambil secara acak dari 1 set kartu bridge.kai merek X tapi tidak Hitunglah peluang yang terambil itu adalahmenyukai merek Y apabila a. kartu bernomor 9 atau kartu berwarna merah;seseorang tersebut dipilih b. kartu bernomor 7 atau berwarna merah;secara acak di daerah terse-but? c. kartu bergambar hati atau king; d. kartu bernomor 8 atau bernomor 9; e. kartu bernomor ganjil atau queen (Q). 9. Dua buah dadu dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali. Hitunglah peluang kejadian munculnya mata dadu pertama kurang dari 5 atau mata dadu kedua kurang dari 4. 10. Tiga buah dadu dilempar bersama secara bersamaan sebanyak satu kali. Hitunglah peluang kejadian munculnya ketiga mata dadu berjumlah 14 atau berjumlah 16.4. Menghitung Peluang dengan Cara Lain Kalian telah mempelajari konsep permutasi dan kombinasi. Masih ingatkah kalian? Hal yang perlu kalian ingat adalah permutasi memerhatikan urutan, sedangkan kombinasi tidak memerhatikan urutan. Kita akan menggunakan kedua konsep itu untuk menghitung peluang suatu kejadian.
    • 114 Khaz Matematika SMA 2 IPS Contoh 1: Sebanyak 6 pelari (masing-masing pelari memiliki nomor punggung 1–6) ikut serta dalam lomba lari. Tentukan peluang pelari bernomor punggung 3, 2, dan 6 berturut-turut akan keluar sebagai juara I, II, dan III. Jawab: Misalkan A = kejadian pelari bernomor punggung 3, 2, dan 6 berturut-turut sebagai juara I, II, dan III. Banyak cara agar 3 pelari dari 6 pelari memenangkan lomba yang mementingkan urutan pemenang adalah sebagai berikut. 6! 6 5 4 3! P36 = = = 120. (6 3)! 3! Hanya ada satu kemungkinan (cara) pelari bernomor 3, 2, dan 6 berturut-turut sebagai juara I, II, dan III. Jadi, peluang yang 1 dimaksud pada soal adalah P( A) = . 120 Contoh 2: Sebanyak 6 pelari (masing-masing memiliki nomor punggung 1–6) ikut serta dalam lomba lari. Juara hanya diambil 3 kategori, yaitu juara I, II dan III. Tentukan peluang pelari bernomor punggung 3, 2, dan 6 akan menjadi juara. Jawab: Juara Misalkan A = kejadian pelari bernomor punggung 3, 2, I II III dan 6 akan menjadi juara (posisi bebas). Nomor punggung 3 2 6 3 6 2 2 3 6 Banyak cara 3 orang menem- 2 6 3 pati posisi juara ada 3! = 6. 6 2 3 Jadi, n(A) = 6. 6 3 2 Banyak cara 3 orang menjadi juara dari 6 orang peserta lomba tanpa memerhatikan urutan adalah C36. 6 6! 6 5 4 3! C3 = = = 20 n(S) (6 3)!3! 3! 3! n( A) 6 Jadi, P( A) = = . n( S ) 20 Hati-hati, perhatikan kunci perbedaan permasalahan dengan Contoh 1.
    • Peluang 115 Problem Dalam sebuah kantong terdapat 8 kelereng hijau, 4 kelereng Solving putih, dan 9 kelereng kuning. Akan diambil acak 3 kelereng sekaligus. Tentukan peluang terambil a. kelereng kuning semua; b. 1 kelereng hijau 2 kelereng kuning; c. ketiga warna kelereng berbeda. Jawab: Banyak kelereng 8 + 4 + 9 = 21. Banyak cara mengambil 3 kelereng dari 21 yang tersedia adalah C321. a. Terpilih 3 kelereng kuning (dari 9 kelereng kuning) 9 C3 84 6 P= 21 = = C3 1.330 95 b. Terpilih 1 kelereng hijau (dari 8 kelereng hijau) dan 2 kelereng kuning (dari 9 kelereng kuning) C18 × C2 8 × 36 9 288 144 P= 21 = = = C3 1.330 1.330 665 c. Terpilih ketiga warna kelereng berbeda (1 hijau, 1 putih, dan 1 kuning) C18 × C14 × C19 8 × 4 × 9 288 144 P= 21 = = = . C3 1.330 1.330 665 • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 8 1. Ada 9 pelari masing-masing bernomor 1–9. Mereka mengikuti lomba untuk memperebutkan juara I, II, dan III. Tentukan peluang yang menjadi juara I, II, dan III, berturut-turut adalah pelari bernomor punggung 7, 9, dan 2. 2. Sebuah bola diambil secara random dari sebuah kotak yang berisi 4 bola merah, 6 bola hijau, dan 5 bola putih. Tentukan peluang bahwa yang terambil adalah Tugas: Informasi Lanjut a. bola hijau; • Kerjakan di buku tugas b. bola bukan merah; c. bola putih.Untuk memperkaya wawasan 3. Sebuah kantong berisi 8 bola kuning, 3 bola merah, dankalian tentang peluang,carilah informasi tentang 5 bola putih. Jika 3 bola terambil secara acak, tentukanpeluang (tokoh maupun peluang terambilmateri perluasan) di internet, a. semuanya bola merah;perpustakaan, atau buku- b. semuanya bola kuning;buku referensi. c. 2 merah dan 1 putih; d. paling sedikit 1 merah.
    • 116 Khaz Matematika SMA 2 IPS 4. Sebuah kantong berisi 5 kelereng berwarna putih dan 3 kuning. Diambil secara acak 2 bola sekaligus. Tentukan peluang yang terambil 1 bola merah dan 1 bola putih. 5. Sebuah wadah berisi 4 bola putih, 5 bola biru, dan 6 bola merah. Dari dalam wadah itu, diambil secara acak 3 bola sekaligus. Tentukan peluang yang terambil a. ketiganya merah; b. ketiganya biru; c. 1 merah dan 2 putih; d. 1 merah, 1 putih, dan 1 biru; e. paling sedikit 1 merah. Rangkuman1. Jika terdapat n tempat dengan ketentuan 6. Peluang dari kejadian A dalam ruang banyak cara mengisi tempat pertama C1, sampel S dirumuskan dengan P(A) = banyak cara mengisi tempat kedua C2, n ( A) ..., banyak cara mengisi tempat ke-n Cn , untuk n(A) banyak anggota A dan n (S ) maka banyak cara untuk mengisi n buah tempat secara keseluruhan adalah n(S) banyak anggota ruang sampel S. C1 × C2 × C3 × ... × Cn. 7. Hubungan peluang kejadian A dan2. Faktorial dinyatakan dengan peluang komplemennya dirumuskan dengan P(Ac) = 1 – P(A). n! = n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 3 × 2 × 1. 8. Frekuensi harapan dirumuskan dengan Fh(A) = P(A) × n dengan P(A) peluang3. Permutasi k unsur dari n unsur yang kejadian A dan n banyak percobaan. tersedia dengan memerhatikan urutan susunannya dapat ditentukan dengan 9. Peluang gabungan kejadian A atau B dirumuskan dengan n! Pkn = . P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B). ( n k )! Jika P(A B) = 0 maka P(A B) =4. Permutasi siklis dirumuskan dengan P(A) + P(B). Psiklis = (n – 1)! 10. Aturan perkalian dalam peluang5. Kombinasi k unsur dari n unsur yang kejadian majemuk adalah P(A B) = tersedia dirumuskan dengan P(A) × P(B), syaratnya kejadian A tidak n! memengaruhi kejadian B. k Cn = . (n k )!k! RefleksiSeperti yang telah kalian ketahui bahwa peluang berhubungan dengan alat-alatilmu hitung peluang pada mulanya yang digunakan dalam permainan judi.berawal dari suatu permainan judi. Menurutmu, apakah hal ini dapat mem-Setujukah kalian bahwa mempelajari pengaruhi siswa untuk bermain judi?peluang berarti mendekati permainan judi? Kemukakan alasanmu.Alat-alat yang dipergunakan dalam hitung
    • Peluang 117 Tes Kemampuan Bab II • Kerjakan di buku tugas A. Pilihlah jawaban yang tepat dengan memberi tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d, atau e.1. Jika C5 + 2 = 2C4 +1 dan n > 5 maka nilai n n 5. Dari sekelompok remaja terdiri atas 10 n = .... pria dan 7 wanita, akan dipilih 2 pria dan a. 8 d. 11 3 wanita untuk mewakili perlombaan b. 9 e. 12 group vokal. Banyaknya cara pemilihan c. 10 tersebut adalah .... (UMPTN 2000) a. 1.580 d. 5.1752. Di kelas XI akan diadakan pemilihan b. 1.575 e. 6.188 pengurus kelas yang terdiri atas ketua, c. 1.595 wakil ketua, sekretaris, dan bendahara kelas. Jika hanya ada 7 siswa yang 6. Banyaknya cara penyusunan huruf yang kompeten, banyak cara pemilihan ter- dapat dibentuk dari huruf-huruf sebut adalah .... penyusun kata ”GOTONGROYONG” a. 840 adalah .... b. 420 a. 1.420.300 b. 1.542.730 c. 252 c. 1.524.730 d. 250 d. 1.663.200 e. 210 e. 1.662.3003. Disediakan angka-angka 3, 5, 6, 7, dan 7. Pada suatu kompetisi sepak bola diiikuti 9. Dari angka tersebut, akan disusun 5 klub (A, B, C, D, E), masing-masing bilangan ratusan yang berbeda. Bilang- klub membawa bendera untuk an-bilangan yang tersusun, dengan nilai dikibarkan pada 5 buah tiang berjajar. kurang dari 600 sebanyak .... Banyak cara yang dapat dilakukan untuk a. 8 menempatkan 5 bendera itu, dengan ben- b. 10 dera klub A terletak di tengah-tengah c. 12 adalah .... d. 18 a. 24 d. 96 e. 24 b. 48 e. 1204. Seorang siswa diminta mengerjakan 5 c. 72 dari 7 soal ulangan. Akan tetapi, ada 8. Suatu pertemuan dihadiri oleh 15 tamu ketentuan bahwa soal nomor 1 dan 2 undangan. Apabila semua orang yang harus dikerjakan. Banyaknya pilihan hadir tersebut melakukan jabat tangan, soal yang dapat diambil siswa tersebut banyaknya jabat tangan yang terjadi adalah .... pada pertemuan itu adalah .... a. 4 a. 15 b. 5 b. 30 c. 6 c. 105 d. 7 d. 157 e. 10 e. 210
    • 118 Khaz Matematika SMA 2 IPS9. Ali, Bety, Candra, dan Devi akan bekerja 13. Sebuah kartu diambil secara acak dari secara bergiliran. Banyaknya urutan satu set lengkap kartu bridge. Peluang kerja yang dapat disusun, dengan Ali terambil kartu merah atau kartu As selalu mendapat giliran ter-akhir adalah .... adalah .... 7 14 a. 3 a. d. 13 52 b. 6 c. 12 4 17 d. 18 b. e. 52 52 e. 24 1210. Suatu stadion mempuyai 5 pintu masuk. c. 52 Tiga orang hendak memasuki stadion tersebut. Banyak cara mereka dapat 14. Pada percobaan melemparkan dua buah memasuki stadion dengan pintu yang dadu sebanyak satu kali, peluang muncul berlainan adalah .... jumlah kedua mata dadu 6 atau 9 adalah a. 60 .... b. 50 5 c. 30 a. 36 d. 20 e. 10 6 b.11. Banyak bilangan genap mulai dari 10 36 sampai dengan 99 yang terdiri atas digit- 9 digit yang berbeda adalah .... c. 36 a. 35 b. 40 15 c. 41 d. 36 d. 50 18 e. 55 e. 3612. Sebuah kotak berisi 10 kelereng, 4 di antaranya berwarna biru dan 6 di 15. Sebuah kantong plastik berisi 5 kelereng antaranya berwarna merah. Dua merah dan 3 kelereng biru. Jika dari kelereng diambil dari dalam kotak itu dalam kantong itu diambil 2 kelereng sekaligus. Peluang terambil 1 kalereng sekaligus, peluang terambil kelereng biru dan 1 kelereng merah adalah .... merah dan biru adalah .... 1 5 7 15 a. d. a. d. 24 12 28 28 2 6 8 21 b. e. b. e. 9 15 28 28 8 10 c. c. 15 28
    • Peluang 11916. Terdapat 2 buah kotak A dan B yang 18. Seorang peneliti melakukan penelitian masing-masing berisi 12 buah lampu terhadap populasi belalang di suatu pijar. Setelah diperiksa, ternyata dalam padang rumput. Ia membatasi area kotak A terdapat 2 lampu rusak dan pada padang rumput itu dengan tambang. kotak B terdapat 1 lampu rusak. Dari Daerah itu berukuran 1 m × 1 m. masing-masing kotak diambil sebuah Kemudian, ia mulai menghitung lampu secara acak. Peluang terambilnya belalang di area yang dibatasi itu. Ia sebuah lampu pijar rusak adalah .... menyimpulkan, untuk memperoleh 2 belalang pada luasan itu 0,4. Jika luas a. padang rumput itu 100 m 2, banyak 144 3 belalang yang ada di padang rumput b. terbanyak .... 144 a. 4 18 c. b. 16 144 c. 40 34 d. 400 d. 144 e. 1.600 48 19. Pakar vulkanologi memperkirakan e. 144 bahwa besar peluang terjadi letusan17. Sekelompok siswa yang terdiri atas 62 gunung berapi dalam 8 tahun mendatang orang menyukai beberapa cabang adalah 2 × 10–2 di antara 800 gunung olahraga. berapi. Banyak gunung berapi yang 32 orang menyukai basket; diperkirakan akan meletus dalam jangka 27 orang menyukai renang; 8 tahun tersebut adalah .... 12 orang menyukai bola voli. a. 2 buah Jika salah satu siswa dipanggil, b. 8 buah kemungkinan yang terambil adalah c. 16 buah siswa yang menyukai basket dan renang d. 32 buah adalah .... e. 80 buah 3 20. Hasil suatu penelitian menyimpulkan a. bahwa peluang terdapat lampu yang 62 rusak (cacat) dari 100 lampu adalah 0,12. 9 b. Jika peneliti mengambil 1.000 sampel 62 lampu, harapan lampu dalam kondisi 12 baik ada .... c. 62 a. 12 27 b. 88 d. 62 c. 120 32 d. 708 e. e. 880 62
    • 120 Khaz Matematika SMA 2 IPS B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan benar.1. Perhatikan gambar jalur perjalanan dari b. putri harus duduk di ujung; suatu kota ke kota lain berikut. c. kursi yang paling ujung (kanan dan kiri) tidak boleh ditempati putri. 4. Konsep kombinasi dapat digunakan dalam teorema binomial untuk menen- tukan koefisien dari perpang-katan. Teorema tersebut adalah sebagai berikut. (a) (b) n ( x + y)n = Ckn x n k y k , a. Tentukan banyak cara untuk k =0 menempuh Kota C dari A melalui B dengan n adalah bilangan asli. pada gambar (a). Dengan menggunakan konsep b. Tentukan banyak cara untuk kombinasi, tentukan menempuh Kota D dari Kota A a. koefisien x3y2 dari penjabaran per- melalui B atau C pada gambar (b). pangkatan (x + y)5;2. Disediakan angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, b. koefisien x 2 y 5 dari penjabaran 6, 7, dan 8. Tentukan banyak cara perpangkatan (x + 2y)7; menyusun bilangan ribuan jika: c. koefisien x6y4 dari penjabaran per- a. angka-angka penyusunnya boleh pangkatan (x – y)10; berulang; 5. Tiga bola diambil secara acak dari sebuah b. angka-angka penyusunnya tidak kotak yang berisi 6 bola berwarna merah, boleh berulang; 8 bola berwarna hitam, dan 4 bola c. angka-angka penyusunnya tidak berwarna putih. Tentukan peluang bahwa boleh berulang dan ganjil. yang terambil adalah3. Terdapat 6 putra dan 2 putri yang akan a. ketiga-tiganya berwarna merah; menempati 8 kursi berjajar. Tentukan b. dua bola berwarna putih dan sebuah banyak cara duduk dengan urutan bola berwarna putih; berbeda jika c. ketiga-tiganya mempunyai warna a. mereka dapat duduk di sembarang yang berbeda. tempat; Kata Bijak Lakukanlah sesuatu sesuai kemampuan Anda, jangan menunda karena ada kemungkinan Anda tidak akan memperoleh apa- apa.
    • Latihan Ulangan Umum Semester 1 121 Latihan Ulangan Umum Semester 1 • Kerjakan di buku tugas A. Pilihlah jawaban yang tepat dengan memberi tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d, atau e.1. Diketahui sebuah data: 5. Diketahui data yang terdiri atas 2, 8, 4, a, b, 7, 3, 4, 4, 5, 5, 4, 5, 5, 5, 7, c, 6, 6 6, a, 2, 5, 8, 3, 7. Jika median dari data- Jika a, b, dan c ketiganya memiliki nilai data tersebut adalah 5,5 maka berikut ini tidak kurang dari 7, median data tersebut yang bukan merupa-kan kemungkinan- adalah .... kemungkinan nilai a adalah .... a. 6,5 d. 5,0 a. 6 b. 6,0 e. 4,5 b. 7 c. 5,5 c. 82. Mean ulangan Matematika dari 30 siswa d. 9 adalah 7,7. Jika nilai ulangan e. 10 Matematika dari 5 orang siswa lainnya 6. Dari 4 buah bilangan diketahui bahwa digabungkan, mean ulangan Matematika bilangan terkecil adalah 24 dan terbesar dari sekelompok siswa itu menjadi 8,0. adalah 36. Rata-rata keempat bilangan Nilai mean ulangan Matematika dari 5 tersebut tidak mungkin sama dengan .... siswa yang digabungkan itu adalah .... a. 26 a. 9,8 b. 27 b. 9,5 c. 28 c. 8,5 d. 29 d. 8,3 e. 30 e. 8,05 7. Nilai rata-rata ujian dari 39 orang siswa3. Sebuah data yang terdiri atas n datum adalah 45. Jika nilai seorang siswa lain memiliki mean a. Jika setiap datum dari digabungkan ke kelompok tersebut, rata- data itu ditambah dengan 2n + 1, nilai rata nilai ujian 40 orang siswa menjadi mean data yang baru adalah .... 46. Berarti, nilai ujian anak itu ada- a. a + 2n + 1 lah .... b. an + 2 a. 47 c. (a + 2)n + 1 b. 51 d. (a + 1)n + 1 c. 85 e. (a + 1)n + 2 d. 904. Diketahui 3 buah data pengamatan. e. 92 Rata-rata ketiga data tersebut adalah 15, 8. Jika r adalah rata-rata nilai dari data x1, median 15, dan jangkauannya 10. Data x2, x3, ..., x10 maka rata-rata nilai dari data pengamatan terbesar dari ketiga data x1 + 10, x2 + 9, x3 + 8, ..., x10 + 1 adalah .... tersebut adalah .... a. r + 2 d. r + 5 a. 18 d. 21 b. r + 10 e. r + 5,5 b. 19 e. 22 c. r + 1 c. 20
    • 122 Khaz Matematika SMA 2 IPS9. Suatu ujian Matematika diikuti oleh 40 12. Perhatikan gambar berikut. siswa. Rata-rata nilai dari semua siswa 10 adalah 32 dengan standar deviasi 25. 8 Karena nilainya terlalu rendah, Frekuensi 6 selanjutnya nilai setiap siswa dikalikan 2 lalu dikurangi 10. Pernyataan di bawah 4 ini yang benar adalah .... 2 a. nilai rata-rata menjadi 54 49,5 54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 Berat badan 3 b. nilai rata-rata menjadi 63 4 Berat badan siswa pada suatu kelas c. deviasi standar 25 disajikan dengan histogram seperti pada d. deviasi standar 40 gambar. Rataan berat badan tersebut e. deviasi standar 50 adalah ... kg. (UN 2006)10. Ada lima orang dalam ruangan yang a. 64,5 d. 66 belum saling mengenal. Apabila mereka b. 65 e. 66,5 ingin saling berkenalan dengan berjabat c. 65,5 tangan sekali kepada setiap orang maka 13. Nilai rataan dari data pada diagram jabat tangan yang terjadi sebanyak .... adalah .... (UN 2004) a. 5 kali 18 b. 10 kali c. 15 kali Frekuensi 12 d. 20 kali 9 e. 24 kali 6 511. Perhatikan tabel berikut: 10,5 15,5 20,5 25,5 35,5 Berat (kg) Frekuensi Data 31–36 4 a. 23 d. 28 37–42 6 b. 25 e. 30 43–48 9 c. 26 49–54 14 14. Rataan skor dari data pada tabel adalah .... 55–60 10 (UN 2005) 61–66 5 Skor Frekuensi 67–72 2 0–4 4 5–9 6 Modus pada tabel tersebut adalah ... kg. 10–14 9 (UN 2007) 15–19 14 a. 49,06 20–24 10 b. 50,20 25–29 5 c. 50,70 30–34 2 d. 51,33 a. 15,5 d. 16,5 e. 51,83 b. 15,8 e. 16,8 c. 16,3
    • Latihan Ulangan Umum Semester 1 12315. Median dari data umur pada tabel di 19. Banyaknya cara penyusunan menu nasi bawah adalah .... (UN 2004) goreng tiga kali dalam satu minggu untuk sarapan pagi adalah .... Skor Frekuensi a. 35 d. 125 4–7 6 b. 40 e. 250 8 – 11 10 c. 45 12 – 15 18 20. Banyak cara membagikan 8 buah buku 16 – 19 40 yang berbeda kepada tiga orang siswa 20 – 23 16 apabila siswa pertama mendapat 4 buku; 24 – 27 10 siswa kedua dan ketiga masing-masing mendapat 2 buku adalah .... a. 16,5 a. 240 d. 630 b. 17,1 b. 360 e. 480 c. 17,3 c. 420 d. 17,5 n 2n e. 18,3 21. Jika C4 = n2 – 2n maka Cn +3 = ....16. 10 orang finalis suatu lomba kecantikan a. 101 d. 1.011 akan dipilih secara acak 3 yang terbaik. b. 1.001 e. 1.100 Banyak cara pemilihan tersebut ada ... c. 1.010 cara. (UN 2005) 22. Dari 4 pasangan suami istri akan dipilih a. 70 2 orang pria dan 2 orang wanita untuk b. 80 menjadi pengurus kampung. Banyaknya c. 120 cara pemilihan pengurus tersebut dengan d. 360 syarat tidak boleh ada pengurus yang e. 720 merupakan pasangan suami istri adalah ....17. Rataan hitung upah 10 orang pekerja a. 4 d. 36 adalah Rp7.000,00 tiap hari, sedangkan b. 6 e. 40 rata-rata upah pekerja termasuk ketua c. 12 kelompoknya adalah Rp7.100,00 tiap 23. Banyaknya bilangan genap yang dapat hari. Upah ketua kelompok tiap hari dibentuk antara 400 s.d. 900 dari angka- adalah .... angka 3, 4, 5, dan 6 adalah .... a. Rp7.900,00 d. Rp8.100,00 a. 8 d. 24 b. Rp8.000,00 e. Rp8.300,00 b. 12 e. 48 c. Rp8.050,00 c. 1618. Kursi-kursi di dalam suatu gedung 24. Dua dadu dilempar dua kali. Peluang pertunjukan opera diberi nomor dengan munculnya 2 mata dadu yang berjumlah format huruf dan angka seperti A10, B29, 3 atau 10 adalah .... B32, demikian sete-rusnya. Angka yang 1 5 digunakan dalam penomor-an tersebut a. d. 36 36 merupakan bilangan bulat positif yang tidak lebih dari 60. Jumlah maksimum 2 6 b. e. kursi yang dapat dinomori adalah .... 36 36 a. 1.500 d. 1.600 3 b. 1.550 e. 1.650 c. 36 c. 1.560
    • 124 Khaz Matematika SMA 2 IPS25. Banyaknya bilangan antara 2.000 dan 29. Banyak garis yang dapat dibuat dari 8 6.000 yang dapat disusun dari angka 0, 1, titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan tidak ada angka yang titik yang segaris adalah .... (UAN 2000) sama adalah .... (UAN 2002) a. 336 d. 28 a. 1.680 d. 1.050 b. 168 e. 16 b. 1.470 e. 840 c. 56 c. 1.260 30. Dalam kantong I terdapat 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih, dalam26. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 kantong II terdapat 4 kelereng merah dan bus dan dari B ke C oleh 3 bus. 6 kelereng hitam. Dari setiap kantong Seseorang berangkat dari kota A ke kota diambil satu kelereng secara acak. Pe- C melalui B, kemudian kembali lagi ke luang terambilnya kelereng putih dari A juga melalui B. Jika saat kembali dari kantong I dan kelereng hitam dari C ke A, ia tidak mau menggunakan bus kantong II adalah .... (UN 2007) yang sama maka banyak cara perjalanan 39 9 orang ter-sebut adalah .... (UAN 2002) a. 40 d. 20 a. 12 d. 96 9 9 b. 36 e. 144 b. 13 e. 40 c. 72 1 c. 227. Di antara 99 bilangan asli pertama, peluang untuk memilih secara acak 31. A, B, C, dan D akan berfoto secara sebuah bilangan yang habis dibagi 2 atau berdam-pingan. Peluang A dan B selalu 5 adalah .... berdampingan adalah .... (UN 2006) 69 79 a. 1 d. 1 a. d. 2 2 99 99 b. 1 e. 2 60 59 b. e. 6 3 99 99 c. 1 70 3 c. 99 32. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola28. Dari 6 orang pria dan 4 wanita, dipilih 3 biru, dan 3 bola kuning. Dari dalam orang dari 2 orang pria dan 1 orang kotak diambil 3 bola sekaligus secara wanita. Peluang pemilihan tersebut acak, peluang terambil 2 bola merah dan adalah .... 1 bola biru adalah .... (UAN 2004) a. 1 d. 2 70 19 a. d. 10 11 120 120 b. 5 e. 4 60 10 b. e. 36 11 120 120 c. 1 36 c. 6 120
    • Latihan Ulangan Umum Semester 1 12533. Dalam suatu populasi keluarga dengan 37. Misalkan A dan B adalah suatu kejadian. tiga orang anak, peluang keluarga tersebut mem-punyai paling sedikit dua 3 2 Jika P(A B) = , P(Ac) = , dan anak laki-laki adalah .... (UAN 2004) 4 3 1 1 1 a. 8 d. 2 P(A B) = maka P(B) = .... 4 1 3 1 1 b. 3 e. 4 a. b. 5 3 3 1 4 c. 8 c e. 2 534. Dua buah dadu dilempar bersama-sama. 2 Peluang munculnya jumlah mata dadu d. 3 9 atau 10 adalah .... (UAN 2003) 5 9 38. Seorang penembak mempunyai akurasi a. 36 d. 36 menembak dengan tepat sebesar 90%. Jika hasil bidikan yang diulang bebas 7 11 dan kemampuan penembak itu tetap, b. 36 e. 36 peluang menembak 3 kali dengan hasil 8 untuk pertama kali meleset dan dua kali c. 36 berikutnya tepat adalah .... a. 0,81 d. 0,08135. Sebuah dompet berisi uang logam, 5 b. 0,18 e. 0,027 keping lima ratusan dan 2 keping ratusan c. 0,09 rupiah. Dompet yang lain berisi uang 39. Indah dan Ferdi mengikuti suatu ujian. logam 1 keping lima ratusan dan 3 Peluang Indah dan Ferdi untuk lulus keping ratusan rupiah. Jika sebuah uang dalam tes itu berturut-turut adalah 0,85 logam diambil secara acak dari salah satu dan 0,6. Peluang Indah lulus, tetapi Ferdi dompet, peluang untuk mendapatkan gagal adalah .... uang logam ratusan rupiah adalah .... a. 0,09 d. 0,34 (UAN 2003) 3 29 b. 0,24 e. 0,51 a. d. c. 0,25 56 56 40. Sekelompok remaja terdiri atas 10 pria 6 b. e. 30 dan 20 wanita. Setengah dari pria dan 28 56 setengah dari wanita berasal dari kota 8 Nusa. Peluang seorang yang dipilih dari c. 28 kelompok itu berasal dari kota Nusa atau seorang pria adalah .... (Ebtanas 1993)36. Peluang Desi tidak lulus Ujian Akhir Nasional (UAN) adalah 0,05 dan 16 18 a. d. peluang Heni tidak lulus UAN adalah 20 20 0,08. Peluang Desi lulus UAN, tetapi 14 7 Heni tidak lulus UAN adalah .... b. e. 20 20 a. 0,043 d. 0,928 b. 0,046 e. 0,958 12 c. c. 0,076 20
    • 126 Khaz Matematika SMA 2 IPS B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan benar.1. Diadakan test IQ (Intelligence Quotient) 4. Sebuah pesan yang berupa sandi morse pada 3 buah kelas dalam suatu sekolah. dapat dibentuk dari rangkaian 5 buah Jumlah siswa kelas A terdiri atas 40 garis putus-putus dan 3 buah titik. siswa, kelas B 30 siswa, dan kelas C 40 Berapa banyak pesan yang dapat siswa. Apabila rata-rata IQ semua siswa dibentuk? ketiga kelas tersebut adalah 120,5 dan rata-rata IQ siswa kelas B dan C adalah – – – – – 125,8, tentukan rata-rata IQ siswa kelas Contoh pesan sandi morse A. 5. Terdapat 6 pasang sepatu di dalam2. lemari. Jika 4 buah sepatu diambil secara 30 30 acak dari lemari tersebut, berapa peluang 25 25 25 terambilnya 2 buah sepatu sebelah kanan 20 20 dan 2 buah sepatu sebelah kiri, tetapi Frekuensi 15 tidak ada yang merupakan pasangan 10 10 kanan dan kiri? 5 5 6. Dua buah dadu (dadu I dan dadu II) 75 80 85 90 95 100 dilempar secara bersamaan sebanyak Nilai satu kali. Diketahui bahwa Perhatikan histogram berikut ini. A adalah kejadian muncul jumlah kedua Tentukan ra-taan hitung (mean), median, mata dadu 6; dan modusnya. B adalah kejadian muncul mata dadu 13. Diberikan data nilai ujian Matematika atau 2 dari dadu I; di suatu kelas sebagai berikut. C adalah kejadian muncul salah satu mata dadu 2. Nilai Frekuensi Tentukan peluang dari kejadian-kejadian 20–34 4 ber-syarat berikut. 35–49 6 a. P(A|B) 50–64 15 b. P(B|C) 65–79 7 c. P(A|C) 80–94 3 d. P(C|A) Tentukan e. P(B|A) a. modus; f. P(C|B) b. median; c. rata-rata nilai; d. Q1, Q2, Q3; e. varians; f. grafik ogif.
    • Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 127 Bab IIITujuan PembelajaranSetelah mempelajari babini, diharapkan kalian dapat1. menentukan aturan fungsi dari komposisi beberapa fungsi;2. menjelaskan nilai fung- si komposisi terhadap komponen pemben- tuknya;3. menyebutkan kom- ponen fungsi komposisi jika aturan komposisi- nya diketahui;4. menjelaskan kondisi agar suatu fungsi mem- punyai invers;5. menentukan aturan fungsi invers dari suatu Sumber: cd corel architectur4 fungsi;6. menggambarkan gra- fik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Motivasi Fungsi merupakan suatu relasi khusus yang memiliki suatu aturan tertentu. Dalam kehidupan sehari-hari, banyak masalah yang dapat diselesaikan dengan fungsi. Misalnya, fungsi dari pencampuran bahan-bahan untuk membangun gedung, jembatan, jalan, fungsi penawaran, fungsi permintaan, fungsi pemecah kode rahasia, dan masih banyak lagi.
    • 128 Khaz Matematika SMA 2 IPS Peta Konsep Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers mempelajari Komposisi Invers Fungsi Operasi Fungsi Fungsi membahas membahas membahas Sifat-Sifat Sifat-Sifat Penjumlahan Pengurangan Perkalian Invers Fungsi Pembagian Komposisi Fungsi Komposisi Fungsi Invers Kata Kunci• domain • fungsi invers • komposisi fungsi• fungsi • fungsi komposisi • korespondensi• fungsi bijektif • fungsi surjektif • peta• fungsi identitas • invers fungsi • prapeta• fungsi injektif • kodomain • range
    • Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 129 Tentu kalian telah mengenal fungsi, bukan? Bayangkan ketika kalianmembeli bensin di pompa bensin. Misalkan setiap satu liter bensin berharga Rp4.500,00. Kita dapat menaksirkan kira-kira berapa rupiah yang harus kalian bayar apabila kalian membeli bensin sebanyak 5,9 liter. Sebaliknya, apabila kalian membeli bensin seharga Rp155.000,00, berapa liter bensin yang kalian dapatkan? Itu merupakan salah satu masalah sederhana dalam kehidupan sehari-hari yang terkait dengan fungsi. Pengertian fungsi, domain, kodomain, dan range telah kalian pelajari di SMP. Pada pembahasan kali ini, akan dipelajari lebih lanjut tentang fungsi, yaitu fungsi komposisi dan fungsi invers. Sebelum kalian mempelajari lebih lanjut materi ini, coba jawab pertanyaan-pertanyaan berikut. Prasyarat 1. Apa yang dimaksud dengan fungsi? Berikan contohnya. Kerjakan di buku tugas 2. Apa yang dimaksud dengan domain, kodomain, dan range? 3. Misalkan diberikan fungsi f(x) = 2 + 3x. Tentukan a. domain dan range fungsi itu; b. f(0), f(–3), f(t), dan f(1 – t2). 4. Suatu fungsi linear bernilai 9 ketika x = 2 dan bernilai 1 ketika x = 0. Bagaimana rumus fungsi itu? Setelah menjawab dengan benar soal-soal di atas, mari kita pelajari selengkapnya materi ini.A. Fungsi dan Sifat-Sifatnya Di kelas X, kalian telah mempelajari tentang fungsi secara detail. Coba kalian ingat kembali. Kalian tentu juga masih ingat dengan domain, kodomain, dan range suatu fungsi.1. Definisi Fungsi Misalkan himpunan A = {–2, –1, 0, 1} dan B = {–3, 0, 3}. f menyatakan fungsi dari A ke B dengan aturan seperti diagram A B panah di samping. Daerah asal atau domain dari f adalah A = {–2, –1, 0, 1}. Daerah kawan atau kodomain dari f adalah B = {–3, 0, 3}. Daerah hasil atau range dari f adalah {0, 3}. Fungsi atau pemetaan merupakan relasi khusus. Tidak semua relasi merupakan fungsi. Definisi fungsi atau pemetaan diberikan Gambar 3.1 sebagai berikut.
    • 130 Khaz Matematika SMA 2 IPS Fungsi atau pemetaan dari A ke B adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B dalam hal ini setiap x A dipasangan dengan tepat satu y B. Suatu fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf kecil, seperti f, g, dan h. Suatu fungsi f dari A ke B ditulis dengan f : A B. Contoh: Tentukan domain (daerah asal) fungsi-fungsi berikut. 5 a. f(x) = x + 1 c. f(x) = 2 x 5x + 4 b. f(x) = x2 16 d. f(x) = |x – 3| Jawab: a. Untuk sembarang x bilangan real, f(x) = Y x + 1 akan bernilai real atau terdefinisi. Jadi, domainnya ada- lah x R atau Df = { x | x R}. f(x) = x + 1 Hal ini akan lebih 1 jelas jika divisual- isasikan dalam grafik. _ 1 O Dari grafik di atas, X tampak bahwa range- Gambar 3.2 nya juga semua x anggota himpunan bilangan real R. b. Fungsi f(x) = x 2 16 akan terdefinisi jika bilangan di dalam tanda akar tidak bernilai negatif. x2 – 16 0 (x + 4)(x – 4) 0 x –4 atau x 4 Dalam garis bilangan tampak seperti Gambar 3.3. –4 4 Dengan demikian, do- main dari f adalah Df = Gambar 3.3 {x | x –4 atau x 4}.
    • Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 131 c. Fungsi pecahan akan terdefinisi jika penye- butnya tidak sama 1 4 dengan nol. Oleh ka- Gambar 3.4 rena itu, x2 – 5x + 4 0 atau (x – 1)(x – 4) 0 Penyebab penyebut nol adalah x = 1 atau x = 4. Jadi, domainnya adalah Df = {x | x R, x 1 atau x 4}. Dapat juga ditulis {x | x < 1 atau 1 < x < 4 atau x > 4}. d. Fungsi f(x) = | x – 3 | sama artinya dengan x – 3; x 3 f(x) = { 3 – x; x < 3 (Coba diingat lagi tentang harga mutlak yang sudah Y kalian pelajari di kelas X). Jika divisualisasikan dalam 6 grafik, tampak seperti 5 gambar di samping. 4 f(x) = 3 _ x 3 Dari grafik di samping 2 tampak bahwa domain f f(x) = x _ 3 1 adalah semua x R. Namun, O 1 2 3 4 5 X 6 rangenya hanya y anggota himpunan bilangan real Gambar 3.5 positif.2. Jenis-Jenis Fungsi Berikut ini adalah beberapa jenis fungsi yang berhubungan dengan anggota-anggota domain dan anggota-anggota kodomain. a. Fungsi Surjektif a Suatu fungsi dengan daerah hasil sama kodomainnya disebut d b dengan fungsi surjektif atau fungsi onto. Dengan kata lain, fungsi e surjektif dapat didefinisikan sebagai berikut. c (a) Fungsi f : A B disebut fungsi surjektif jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf = B. Sebagai contoh, perhatikan gambar di samping. 1) Gambar 3.6 (a) merupakan fungsi surjektif karena setiap kodomain mempunyai pasangan atau Rf = B. (b) 2) Gambar 3.6 (b) bukan fungsi surjektif karena ada anggota Gambar 3.6 kodomain, yaitu 3 yang tidak mempunyai pasangan.
    • 132 Khaz Matematika SMA 2 IPS b. Fungsi Injektif A f B Sebuah fungsi dengan setiap anggota domain yang berbeda a 1 mempunyai peta yang berbeda disebut dengan fungsi injektif. b 2 Fungsi injektif disebut juga dengan fungsi satu satu. Secara c 3 matematis, fungsi injektif dapat didefinisikan sebagai berikut. 4 (a) Fungsi f : A B disebut fungsi injektif jika dan hanya jika A B untuk setiap a1, a2 A dan a1 a2 maka berlaku f(a1) f(a2). Perhatikan Gambar 3.7 (a). Gambar tersebut menunjukkan fungsi injektif karena setiap anggota domain fungsi berbeda (b) mempunyai peta yang berbeda pula. Namun, Gambar 3.7 (b) Gambar 3.7 bukan merupakan fungsi injektif karena ada dua anggota domain fungsi f, yaitu –1 dan 1 yang mempunyai peta yang sama, yaitu 1. c. Fungsi Bijektif Misalkan fungsi y = f(x), dengan A = {3, 4, 5} dan B = {a, b, c} dinyatakan dengan pasangan berurutan f = {(3, a), (4, b), (5, c)}. A B Fungsi f dapat ditunjukkan sebagai diagram panah seperti pada gambar di samping. Pada gambar tersebut tampak bahwa fungsi a f adalah fungsi surjektif karena range fungsi f sama dengan b kodomain fungsi f atau Rf = B. Di samping itu, fungsi f juga c fungsi injektif, karena untuk setiap anggota domain yang berbeda mempunyai peta yang berbeda. Fungsi yang surjektif sekaligus Gambar 3.8 injektif seperti ini disebut fungsi bijektif. Secara matematis, hal ini dapat dituliskan dalam definisi berikut. Fungsi f : A B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan injektif. Jika kita perhatikan kembali contoh di atas, setiap anggota domain dari fungsi f dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan kodomain, dan sebaliknya. Oleh karena itu, fungsi bijektif disebut juga dengan korespondensi satu-satu. Contoh: Tentukan jenis fungsi berikut ini. a. Fungsi f : R R (R adalah himpunan bilangan real) yang didefinisikan dengan f(x) = 2x. b. Fungsi f : N R (N adalah himpunan bilangan asli) yang didefinisikan dengan g(x) = x2. c. Fungsi f : Z N (Z adalah himpunan bilangan bulat) yang didefinisikan dengan f(x) = x2.
    • Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 133 Jawab: a. Untuk setiap bilangan real a, maka pasti akan mendapat satu pasangan bilangan real, yaitu 2a. Demikian pula untuk setiap anggota kodomain mendapat pasangan bilangan real dari domain. Artinya, setiap bilangan real 2a (dalam kodomain), pasti akan ditemukan Tugas: Investigasi bilangan real a (dalam domain). Oleh karena itu, fungsi • Kerjakan di buku tugas tersebut sekaligus injektif dan surjektif sehingga bisa disebut fungsi bijektif.Carilah contoh fungsi injek-tif, surjektif, bijektif, dan b. Setiap bilangan asli b anggota domain mempunyai petatidak injektif maupun sur- yang berbeda, yaitu bilangan real b2 sehingga fungsi fjektif masing-masing 2 merupakan fungsi injektif. Kemudian, kita dapat melihatfungsi. Diskusikan hasil bahwa kodomain fungsi f tidak sama dengan range fungsiyang kamu peroleh dengan f. Misalnya, bilangan real 3 (anggota kodomain fteman-temanmu. karena 3 bukan bilangan asli. Oleh karena itu, fungsi f tidak surjektif. c. Untuk setiap bilangan bulat c, pasti mendapat pasangan dalam kodomainnya, yaitu bilangan asli c2. Akan tetapi, bilangan bulat yang berbeda, yaitu c dan –c mendapat pasangan yang sama, yaitu c2 (tidak injektif). Selain itu, terdapat pula anggota kodomain yang tidak mendapat pasangan dari domain, misalnya bilangan 5 karena 5 bukan bilangan bulat (tidak surjektif). Berarti fungsi f tersebut tidak injektif sekaligus tidak surjektif. • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 1 1. Misalkan diketahui P = {–2, –1, 0, 1, 2,} dan Q = {0, 1, 2, 5, 7}. Di antara relasi-relasi dari P ke Q berikut, manakah yang merupakan fungsi? a. A = {(–2, 0), (–1, 0), (0, 0), (1, 0), (2, 0)} b. B = {(–2, 1), (–1, 2), (0, 5), (1, 7), (–2, 2)} c. C = {(–2, 0), (–1, 1), (0, 2), (1, 5), (2, 7)} 2. Tentukan domain dan range fungsi-fungsi berikut agar terdefinisi pada himpunan bilangan real. a. f(x) = 3x – 7 b. f(x) = x c. f(x) = 1 – x d. f(x) = |x – 1| e. f(x) = 1 – |x –1|
    • 134 Khaz Matematika SMA 2 IPS 3. Misalkan diberikan fungsi-fungsi berikut. a. f(x) = x 2 4 b. f(x) = x – |x| c. f(x) = 1 | x | Tentukan domain ketiga fungsi di atas agar terdefinisi pada himpunan bilangan real. 4. Di antara fungsi-fungsi berikut, manakah yang merupakan fungsi injektif? a. f(x) = 10 d. f(x) = x–1 b. f(x) = x e. f(x) = x c. f(x) = x2 f. f(x) = |x| 5. Tentukan sifat fungsi-fungsi berikut ini. a. Fungsi f : R R, didefinisikan dengan f(x) = 2x – 1. 1 b. Fungsi g : R R, didefinisikan dengan g(x) = . 1 x c. Fungsi h : Z Z, didefinisikan dengan h(x) = |x|. d. Fungsi f : R R, didefinisikan dengan f(x) = 0. 6. Anita membeli kain di sebuah toko untuk dijual kembali dengan mengecer. Kain yang dibeli Anita adalah sebagai berikut. a. 100 meter kain I dengan harga per meternya 5.000 rupiah. b. 100 meter kain II dengan harga per meternya 15.000 rupiah. c. 100 meter kain III dengan harga per meternya 17.500 rupiah. d. 100 meter kain IV dengan harga per meternya 20.000 rupiah. Setiap pembelian kain terkena pajak PPh sebesar 10%. a. Tentukan harga masing-masing kain tersebut setelah ditambah dengan PPh 10%. Berapa harga kain yang harus dibayar seluruhnya? b. Buatlah diagram panah yang menunjukkan fungsi: • Jenis kain harga kain • Jenis kain harga yang harus dibayar Anita c. Bersifat apakah fungsi yang diperoleh? Injektif, surjektif, atau bijektif? Selidikilah. 7. Persegi panjang mempunyai keliling 20 m. Nyatakan luas persegi panjang tersebut sebagai fungsi panjang salah satu sisinya.
    • Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 135 8. Persegi panjang mempunyai luas 16 m2. Nyatakan keliling persegi panjang tersebut sebagai fungsi panjang salah satu sisinya. 9. Sebuah jendela berbentuk persegi panjang yang di atasnya berupa setengah lingkaran. Perhatikan gambar di samping. Jika keliling jendela tersebut adalah 30 kaki, nyatakan luas jendela A sebagai fungsi lebar jendela x (dalam kaki). x 10. Di negara tertentu, pajak penghasilan dipungut sebagai berikut. Apabila penghasilan seseorang tidak melebihi $10.000 maka bebas pajak. Apabila penghasilan berkisar $10.000 sampai dengan $20.000, dikenai pajak 10%, sedangkan pajak sebesar 15% dikenakan kepada yang berpenghasilan melebihi $20.000. Berapa besar pajak yang dipungut kepada seorang yang berpenghasilan $14.000? Berapa besar pajak bagi orang yang berpenghasilan $26.000?B. Operasi Aljabar pada Fungsi Operasi aljabar yang sudah kita kenal dalam operasi bilangan real adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi aljabar tersebut dapat diterapkan dalam fungsi. Misalkan diberikan suatu fungsi f(x) dan g(x). Jika Df domain fungsi f dan Dg domain fungsi g, sedangkan Df Dg maka dapat dituliskan operasi aljabar untuk fungsi-fungsi tersebut sebagai berikut. 1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) 2. (f – g)(x) = f(x) – g(x) 3. (f × g)(x) = f(x) × g(x) f f ( x) 4. ( x) = , g(x) 0 g g( x ) Contoh 1: Diketahui f(x) = 3x + 4 dan g(x) = 2(x – 1). Tentukan a. (f + g)(x); c. (f × g)(x); f b. (f – g)(x); d. ( x) . g
    • 136 Khaz Matematika SMA 2 IPS Tantangan Jawab: Penalaran Diketahui bahwa f(x) = 3x + 4 dan g(x) = 2(x – 1) g(x) = • Kerjakan di buku tugas 2x – 2. a. (f + g)(x) = f(x) + g(x)Misalkan N adalah him- = (3x + 4) + (2x – 2)punan semua bilangan bulatpositif. f : N N adalah = 5x + 2suatu fungsi sehingga f(x + 1) b. (f – g)(x) = f(x) – g(x)= f(x) + x, untuk x N dan = (3x + 4) – (2x – 2)f(1) = 5. Tentukan f(2.005). = 3x + 4 – 2x + 2 Soal SEAMO III Penang) = x+6 c. (f × g)(x) = f(x) × g(x) = (3x + 4) × (2x – 2) = 3x(2x) + 3x(–2) + 4(2x)+ 4(–2) = 6x2 + 2x – 8 f f ( x) 3x + 4 d. (x) = = ,x 1 g g( x ) 2 x 2 Contoh 2: Diketahui f(x) = x2 + 3x – 1 dan (f + g)(x) = x2 + 5. Tentukan g(x). Jawab: (f + g)(x) = f(x) + g(x) x2 + 5 = (x2 + 3x – 1) + g(x) g(x) = (x2 + 5) – (x2 + 3x – 1) g(x) = x2 + 5 – x2 – 3x + 1 g(x) = –3x + 6 • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 2 1. Diketahui f(x) = 5x2 + 2x + 1 dan g(x) = 3(x + 2) + 1. Tentukan rumus fungsi berikut. f a. f+g d. g g b. f–g e. f c. f× g 2. Diketahui f : R R dan g : R R dengan f(x) = x2 + 3 dan g(x) = x – 5. Tentukan a. rumus f + g, f – g, f × g, f ; g
    • Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 137 Tantangan f b. nilai fungsi f + g, f – g, f × g, untuk x = 0, 1, 2, 3. Penalaran g • Kerjakan di buku tugas 3. Diketahui fungsi f dan g didefinisikan sebagai himpunan pasangan berurutan seperti berikut.Pada pukul 12.00 sebuahpesawat A terbang ke arah f = {(–2, 1), (0, 3), (2, 5), (4, 7)}barat dengan kecepatan 400 g = {(–2, –3), (0, –2), (2, –1), (4, 0)}mil/jam. Pada saat yang Tentukanbersamaan, pesawat Bterbang ke arah timur dengan a. f + g d. g – fkecepatan 300 mil/jam. fDengan mengabaikan ke- b. f–g e.lengkungan permukaan bumi gserta menganggap keting- ggian pesawat A dan B adalah c. f× g f.sama, carilah rumus D(t), fyaitu fungsi yang menya-takan jarak kedua pesawat 4. Jika (f + g)(x) = x2 + 3x dan g(x) = x2 – 5x + 2, tentukansetelah t jam. fungsi f(x).a. Analog dengan soal ter- sebut, akan tetapi pesa- 5. Tentukan rumus fungsi (f × g)(x) jika diketahui f(x) = wat B terbang 1 jam x + 2 dan g(x) = 4x – 3. Kemudian, tentukan setelah pesawat A be- h(x) = (f × g)(x) – (f + g)(x). rangkat.b. Berdasarkan soal terse- f but, tentukan jarak kedua 6. Carilah f + g, f – g, fg, dan serta tentukan domainnya pesawat sesaat pada g pukul 14.30. dari fungsi-fungsi berikut ini kemudian tentukan nilai fungsi-fungsi baru tersebut untuk x yang diberikan. 2 a. f(x) = x3 + 2 dan g(x) = , untuk x = 2 ( x 1) 2 b. f(x) = x 2 1 dan g(x) = , untuk x = –1 x x c. f(x) = dan g(x) = 1 + x 2 , untuk x = 1 ( x 1) 2x 7. Diketahui suatu fungsi f(x) = dan g(x) = x2 – 2x – 4. ( x + 1) Tentukan a. f2(x); d. f2(x) – g3(x); b. g3(x); e. f2(x) g3(x). c. f2(x) + g3(x); 8. Hitunglah f 2 (3, 46) + 4 f (3, 46) jika diketahui f(x) = 1 dengan menggunakan kalkulator. ( x + 1)
    • 138 Khaz Matematika SMA 2 IPS 3 9. Hitunglah 3 g ( ) g( ) jika diketahui g(x) = 6x – 11. 10. Jika f adalah suatu fungsi, berlakukah f(s + t) = f(s) + f(t)? Jika tidak, tunjukkan dengan beberapa contoh fungsi f yang tidak meme-nuhi persamaan tersebut. 11. Jika f adalah suatu fungsi, apakah berlaku f(3x) = 3f(x)? Jika tidak, tunjukkan beberapa contoh fungsi f yang tidak memenuhi persamaan tersebut. 12. Misalkan f(x) adalah suatu fungsi yang telah digambar grafiknya. Didefinisikan suatu fungsi konstan g(x) = 5. Bagaimana bentuk grafik f(x) + g(x) dibandingkan grafik f(x) mula-mula? Selidiki pula grafik fungsi f(x) – g(x).C. Fungsi Komposisi Perhatikan sebuah pabrik yang membuat kain. Kain terbuat dengan bahan dasar kapas, kemudian diolah menjadi benang oleh mesin pembuat benang. Dari benang diolah oleh mesin pembuat kain menjadi kain. Dengan pengolahan seperti ini, setidaknya ada dua fungsi yang bekerja. Fungsi pertama: mengerjakan instruksi pada mesin pertama. Fungsi kedua: mengerjakan instruksi mesin kedua. Pertanyaannya adalah bagaimana kerja mesin yang sekaligus dapat mengubah bahan dasar kapas langsung menjadi kain? Fungsi yang melaksanakan instruksi mesin ini (kita sebut saja mesin komposisi) dinamakan sebagai fungsi komposisi. Ilustrasinya adalah sebagai berikut Mesin I Mesin II Kapas Benang Kain Mesin Komposisi Gambar 3.9 Dengan ilustrasi di atas, mari kita terapkan dalam memahami komposisi fungsi.1. Pengertian Fungsi Komposisi Misalkan diberikan fungsi f: R R dan g: R R. Fungsi f dirumuskan dengan f(x) = x + 1 dan g dirumuskan dengan g(x) = x2. Dengan menggunakan rumus f(x) = x + 1, untuk x=1 f(1) = 1 + 1 x=2 f(2) = 2 + 1 x=t f(t) = t + 1
    • Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 139 Jika x diganti dengan fungsi g(x), diperoleh f(g(x)) = g(x) + 1 = x2 + 1 Misalkan fungsi h(x) = f(g(x)) = x2 + 1. Fungsi h(x) yang diperoleh dengan cara di atas, dinamakan komposisi fungsi g dan f. Fungsi ini dituliskan dengan f g, dibaca ”f bundaran g”. Dengan cara serupa, diperoleh g(f(x)) = (f(x))2 = (x + 1)2 Misalkan z(x) = g(f(x)) = (x + 1)2. Dengan demikian,(a) (b) diperoleh fungsi g f. Untuk memudahkan kalian dalam memahami komposisi fungsi,Gambar 3.10 perhatikan gambar di samping. Dari Gambar 3.10 (a), fungsi g menerima masukan x sehingga g bekerja pada x dan menghasilkan g(x) sebagai keluaran. Fungsi g(x) menjadi masukan fungsi f sehingga fungsi f bekerja pada g(x) dan menghasilkan keluaran f(g(x)). Dari Gambar 3.10 (b), fungsi f menerima x sebagai masukan dan menghasilkan f(x). Kemudian, f(x) menjadi masukan bagi fungsi g dan menghasilkan keluaran g(f(x)). Dari uraian di atas, dapat kita buat suatu definisi tentang fungsi komposisi dua buah fungsi sebagai berikut. Misalkan fungsi f : A B, dengan f(a) = b dan fungsi g : B C dengan g(b) = c. Komposisi fungsi f dan g, ditulis g f (dibaca: g bundaran f) adalah suatu fungsi yang ditentukan dengan aturan (g f)(a) = g(f(a)). Hal yang sama juga berlaku untuk komposisi fungsi f g. Misalkan g : B C, dengan g(b) = c dan f : C A, dengan f(c) = a maka komposisi fungsi f dan g, ditulis f g pengerjaannya dilakukan pada fungsi f terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan fungsi g. Hal ini dapat dituliskan (f g)(a) = f(g(a)). Ilustrasi komposisi fungsi dari fungsi f dan fungsi g adalah sebagai berikut. B C A B C A a b b c (a) (b) Gambar 3.11
    • 140 Khaz Matematika SMA 2 IPS Contoh 1: Diketahui fungsi f dan g yang dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut. f = {(6, –2), (8, –1), (10, 0), (12, 1)} g = {(–2, 8), (–1, 10), (0, 12), (1, 6)} Tentukan f g, g f, (f g)(1), (g f)(6), dan (g f)(10). Jawab: Untuk menjawabnya, akan lebih jelas jika kita gambarkan dalam diagram panah untuk kedua fungsi tersebut, seperti berikut. 6 Ð2 8 Ð2 8 Ð1 8 Ð1 10 Ð1 10 0 10 0 12 0 12 1 12 1 6 1 6 Ð2 (a) (b) Gambar 3.12 Dari kedua gambar di atas, dapat kita peroleh sebagai berikut. a. g f = {(6, 8), (8, 10), (10, 12), (12, 6)} b. f g = {(–2, –1), (–1, 0), (0, 1), (1, –2)} c. (f g)(1) = f(g(1)) = f(6) = –2 d. (g f)(6) = g(f(6) = g(–2) = 8 e. (g f)(10) = g(f(10)) = g(0) = 12 Contoh 2: Diketahui f(x) = 3x + 2 dan g(x) = x2. Tentukan a. (g f)(x); c. apakah g f = f g? b. (f g)(x); Jawab : a. (g f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2) = (3x + 2)2 = 9x2 + 12 + 4 b. (f g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = 3x2 + 2 c. Karena (g f)(x) = 9x2 + 12 + 4 dan (f g)(x) = 3x2 + 2 maka terlihat bahwa g f f g. Problem Diketahui f(x) = 3x + 5 dan g(x) = 2x – 7. Tentukan Solving a. (f g)(3); b. (g f)(–2). Jawab: Ada dua cara untuk menentukan nilai dari suatu fungsi kom- posisi.
    • Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 141 a. Cara 1: Dengan menentukan fungsi komposisinya terlebih dahulu (f g)(x)= f(g(x)) = f(2x – 7) = 3(2x – 7) + 5 = 6x – 21 + 5 = 6x – 16 Untuk memperoleh nilai (f g)(3), substitusikan nilai x = 3 ke (f g)(x). (f g)(3) = 6(3) – 16 = 2 Jadi, (f g)(3) = 2. Cara 2: Kalian tahu bahwa (f g)(3) = f(g(3)). Untuk itu, terlebih dahulu dicari g(3), yaitu g(3) = 2(3) – 7 = –1. Jadi, (f g)(3) = f(g(3)) = f(–1) = 3(–1) + 5 = 2. b. Cara 1: (g f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 5) = 2(3x + 5) – 7 = 6x + 10 – 7 = 6x + 3 Dengan demikian, (g f)(–2) = 6(–2) + 3 = –9. Cara 2: (g f)(x) = g(f(–2)) = g(3(–2) + 5) = g(–1) = 2(–1) – 7 = –9 Jadi, (g f)(–2) = –9. Mari Ingat kembali definisi dan komposisi fungsi. Apakah hasil dari Berdiskusi komposisi fungsi selalu dapat disebut sebagai fungsi? Berikan alasan kalian dengan menunjukkan contoh untuk memperkuat Inkuiri jawaban kalian. Presentasikan di depan kelas.2. Syarat agar Dua Fungsi Dapat Dikomposisikan Misalkan terdapat dua fungsi, yaitu f dan g. Apakah dua fungsi selalu dapat dikomposisikan? Dua fungsi belum tentu dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi. Untuk mengetahui syarat agar komposisi dua fungsi menjadi fungsi komposisi, perhatikan uraian berikut.
    • 142 Khaz Matematika SMA 2 IPS Misalkan diketahui fungsi f dan g dinyatakan dengan pasangan berurutan berikut. p 0 f = {(0, p), (1, q), (2, 5), (3, 5)} p s 1 g = {(p, 1), (s, 2), (t, 7), (u, 0)} q t 2 Mari kita selidiki fungsi komposisi f g dan r u 7 3 s g f. Dg Rg Df Rf a. Komposisi fungsi f g berarti pemetaan pertama fungsi g dilanjutkan pemetaan kedua fungsi f. Hal ini dapat (a) digambarkan dalam diagram panah seperti pada Gambar 3.13 (a). Berdasarkan diagram tersebut, dapat 0 p 0 diperoleh pasangan berurutan 1 q t 1 (f g) = {(p, q), (s, r), (u, p)} 2 s 2 Mengapa kita tidak dapat menentukan 3 r u 7 (f g)(t)? Df Rf Dg Rg b. Komposisi fungsi g º f berarti pemetaan pertama fungsi f dilanjutkan pemetaan (b) kedua fungsi g. Hal ini dapat Gambar 3.13 digambarkan dalam diagram panah seperti pada Gambar 3.13 (b). Berdasarkan diagram tersebut, dapat diperoleh pasangan ber- urutan (g f) = {(0, 1), (3, 2)}. Mengapa kita tidak dapat menentukan (g f)(1) dan (g f)(2)? Berdasarkan dua kegiatan di atas, dapat kita simpulkan sebagai berikut. Syarat agar fungsi f dan g dapat dikomposisikan (f g) adalah irisan antara daerah hasil fungsi g dan daerah asal fungsi f bukan himpunan kosong. Secara matematis, hal ini dapat ditulis Rg Df Lebih jauh lagi, syarat agar fungsi f dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi (f g) adalah apabila range fungsi g merupakan himpunan bagian dari domain f, atau Rg Df Demikian pula sebaliknya, syarat agar fungsi g dan fungsi f dapat dikomposisikan (g f) adalah irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan himpunan kosong. Dalam notasi matematika dapat ditulis Rf Dg
    • Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 143 Kemudian, komposisi g f merupakan sebuah fungsi apabila range fungsi f merupakan himpunan bagian dari domain g, atau Rf Dg Contoh: Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan berurutan berikut. f = {(0, 0), (1, 2), (2, 2)} g = {(1, 0), (2, 2)} a. Nyatakan komposisi fungsi berikut dalam pasangan berurutan. 1) f g 2) g f b. Tentukan 1) (g f)(1); 2) (g f)(2); 3) (f g)(1); 4) (f g)(2). Jawab: a. 1) (f g) = {(1, 0), (2, 2)} 2) (g f) = {(0, 0), (1, 2), (2, 2)} b. 1) (g f)(1) = g(f(1)) = g(2) = 2 2) (g f)(2) = g(f(2)) = g(2) = 2 3) (f g)(1) = f(g(1)) = f(0) = 0 4) (f g)(2) = f(g(2)) = f(2) = 23. Sifat-Sifat Fungsi Komposisi Dalam memahami sifat-sifat fungsi komposisi, kalian menemukannya dari definisi komposisi itu. Untuk itu lakukan Aktivitas berikut. Aktivitas Tujuan : Menyelidiki sifat-sifat komposisi fungsi. Permasalahan : Sifat-sifat apakah yang berlaku pada kom- posisi fungsi? Kegiatan : Misalkan diberikan fung si-fungsi dengan rumus berikut: f(x) = 3x2, g(x) = 2x + 1, h(x) = 2 – x, dan I(x) = x. 1. Selidiki, apakah (f g)(x) = (g f)(x)? Berlakukah sifat komutatif? a. Tentukan (f g)(x). b. Tentukan rumus fungsi (g f)(x). 2. Selidiki, apakah (f g)(x) = (g f)(x)? Berlakukah sifat asosiatif? a. Tentukan (f (g h))(x). b. Tentukan rumus fungsi ((f g) h)(x).
    • 144 Khaz Matematika SMA 2 IPS 3. Selidiki, apakah (f I)(x) = (I f)(x)? Apakah terdapat fungsi identitas? Fungsi manakah yang dinamakan fungsi identitas? a. Tentukan (f I)(x). b. Tentukan (f I)(x). Ulangi lagi kegiatan 1, 2, dan 3, tetapi ambillah sembarang fungsi lain. Kesimpulan : Apa yang dapat kalian simpulkan dari kegiatan di atas? Jika kalian melakukan Aktivitas di atas dengan benar, kalian akan dapat menyimpulkan sifat-sifat komposisi fungsi sebagai berikut. a. Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif, yaitu (f g)(x) (g f)(x). b. Komposisi fungsi bersifat asosiatif, yaitu ((f g) h)(x) = (f (g h))(x). c. Terdapat fungsi identitas I(x) = x sehingga (f I)(x) = (I f)(x) = f(x).4. Menentukan Fungsi yang Diketahui Fungsi Komposisinya Jika fungsi komposisi f g atau g f diketahui dan fungsi f diketahui, kita dapat menentukan fungsi g. Sebaliknya, jika fungsi komposisi f g atau g f diketahui dan fungsi g diketahui maka fungsi f dapat kita tentukan. Lebih lanjut, untuk memahami hal tersebut, perhatikan contoh-contoh berikut. Contoh 1: Diketahui fungsi (f g)(x) = –15x + 5 dan fungsi f(x) = 3x + 2. Tentukan fungsi g. Jawab: Karena (f g)(x) = f(g(x)), berarti f(g(x)) = –15x + 5 3(g(x)) + 2 = –15x + 5 15 x + 3 g(x) = 3 g(x) = –5x + 1 Jadi, g(x) = –5x + 1.
    • Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 145 Contoh 2: Diketahui fungsi f : R R dan g : R R. Jika g(x) = x2 – 9 2 dan (g f)(x) = 4x + 12x. Tentukan f(x). Jawab: Diketahui (g f) (x) = 4x2 + 12x dan g(f(x)) = 4x2 + 12x. Karena g(x) = x2 – 9 maka g(f(x)) = (f(x))2 – 9. Dengan demikian, (f(x))2 – 9 = 4x2 + 12x (f(x))2 = 4x2 + 12x + 9 (f(x))2 = (2x + 3)2 f(x) = 2x + 3 Jadi, f(x) = 2x + 3. Problem Diketahui fungsi f : R R dan g : R R. Jika g(x) = x + 2 Solving dan (f g)(x) = 5x + 7, tentukan f(x). Jawab: (f g)(x) = 5x + 7 f(g(x)) = 5x + 7 f(x + 2) = 5x + 7 Ada dua cara untuk menyelesaikan persamaan di atas. Cara 1: f(x + 2) = 5x + 7 Pada ruas kanan harus terbentuk faktor (x + 2) sehingga f(x + 2) = 5x + 7 = 5(x + 2) – 10 + 7 = 5(x + 2) – 3 Karena f(x + 2) = 5(x + 2) – 3 maka f(x) = 5x – 3. Jadi, diperoleh f(x) = 5x – 3. Kuis Cara 2: • Kerjakan di buku tugas Perhatikan f(x + 2) = 5x + 7.Jika g(x) = x2 – 1 dan fungsi Dari persamaan ini, variabel ruas kiri adalah (x + 2), sedangkanf memenuhi (f g)(x) = x4 variabel ruas kanan adalah x. Dengan demikian, (x + 2)maka f(4) = .... bersesuaian dengan x.a. 5b. 10 x+2 xc. 15 x x–2d. 20 Jadi, (x + 2) di ruas kiri diubah menjadi x, sedangkan variabele. 25 x di ruas kanan diubah menjadi x – 2. Dengan demikian, SPMB 2007 diperoleh f(x) = 5(x – 2) + 7 = 5x – 10 + 7 = 5x – 3 Jadi, diperoleh f(x) = 5x – 3.
    • 146 Khaz Matematika SMA 2 IPS • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 3 1. Diketahui fungsi f dan g yang dinyatakan dengan himpunan pasangan berurut seperti berikut. f = {(4, 1), (0, 3), (1, 4), (3, 6), (2, 10)} g = {(1, 0), (3, 1), (4, 2), (6, 3), (10, 4)} Tentukan f g, g f, (f g)(3), (f g)(6), (g f)(1), dan (g f)(0). 2. Tentukan (f g)(2) dan (g f)(–1) untuk fungsi-fungsi berikut. a. f(x) = 4x + 1 dan g(x) = 3x – 5 b. f(x) = 2x2 dan g(x) = x + 1 c. f(x) = x2 – 1 dan g(x) = x2 + 2 3. Carilah f g h dan domain fungsi komposisi tersebut dari fungsi-fungsi berikut ini. a. f(x) = x – 1, g(x) = x , h(x) = x – 1 1 b. f(x) = , g(x) = x3, h(x) = x2 + 2 x c. f(x) = x4 + 1, g(x) = x – 5, h(x) = x Kuis x • Kerjakan di buku tugas d. f(x) = x , g(x) = ( x 1) , h(x) = xJika f(x) = 2 – x, g(x) = x2 + 1, 4. Carilah fungsi f g, g f, f f, dan g g serta domaindan h(x) = 3x maka fungsi komposisi tersebut dari fungsi-fungsi berikut ini.(h g f)(3) = .... a. f(x) = 2x2 – x, g(x) = 3x + 2a. –80b. –6 b. f(x) = x 1 , g(x) = x2c. 6 1d. 80 c. f(x) = , g(x) = x3 + 2x xe. 81 1 x 1 UMPTN 2001 d. f(x) = , g(x) = x 1 x +1 e. f(x) = x 2 1 , g(x) = 1 x 5. Jika f(x) = x + 4 dan h(x) = 4x – 1, carilah fungsi g(x) sedemikian rupa sehingga g f = h. 1 6. Sajikan fungsi f(x) = sebagai komposisi dari x+ x tiga fungsi. 7. Fungsi f, g, dan h ditentukan dengan aturan f(x) = x – 4, g(x) = 3x + 2, dan h(x) = x2 – 1. Tentukan a. (f g h)(x); d. (g f h)(2); b. (f h g)(x); e. (g h f)(3); c. (h g f)(x); f. (h f g)(1).
    • Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 147 8. Diketahui fungsi f : R R dan g : R R. Jika f(x) = x 2 + 1 dan (f g)(x) = 1 x 2 + 2 x + 2 , tentukan x +1 g(x – 3). 9. Diketahui fungsi f: R R dan g: R R. Jika g(x) = x2 + 2 2x + 3 dan (f g)(x) = 3x + 6x + 5, tentukan f(x) dan f(x – 1). x 2 10. Diketahui f(x) = 2x + 3 dan g(x) = . Jika (f g)(a) = 0, x +3 tentukan nilai a.D. Fungsi Invers Untuk memahami invers suatu invers, perhatikan uraian berikut ini. Misalkan f = {(3, a), (5, b), (7, c), (9, d)}. Fungsi balikan dengan anggota-anggotanya {(a, 3), (b, 5), (c, 7), (d, 9)} disebut invers fungsi f. Fungsi ini biasanya dinotasikan dengan f–1. Dengan demikian, invers fungsi f di atas adalah f–1 = {(a, 3), (b, 5), (c, 7), (d, 9)}. Diagram panah untuk fungsi f dan f–1 tampak seperti Gambar 3.14 (b).1. Pengertian Invers Suatu Fungsi Balikan fungsi (invers) dari fungsi f: A B adalah f–1 : B A. a Fungsi f memetakan anggota himpunan A ke himpunan B yang b dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan {(x, y) | x A, c y B}, sedangkan fungsi f–1 memetakan anggota himpunan B d ke himpunan A yang dinyatakan dengan{(y, x) | y B, x A}. (a) Secara umum, definisi untuk invers suatu fungsi f adalah sebagai berikut. a Jika fungsi f : A B dinyatakan dengan himpunan pasangan b berurutan f = {(x, y) | x A, y B} maka invers dari fungsi f c adalah f–1 : B A yang dinyatakan dengan himpunan d pasangan berurutan f–1 = {(y, x) | y B, x A}. (b) Gambar 3.14 Contoh 1: Diketahui fungsi f : A B dengan A = {1, 3, 5}, dan B = {2, 4, 6, 8}, dan f dinyatakan dengan pasangan berurutan f = {(1, 2), (3, 6), (5, 8)}. Tentukan invers fungsi f dan selidikilah apakah invers fungsi f merupakan sebuah fungsi.
    • 148 Khaz Matematika SMA 2 IPS Jawab: Invers fungsi f adalah f–1 : B A , yaitu f–1 = {(1, 2), (3, 6), (5, 8)}. Dengan demikian, invers fungsi f adalah relasi biasa (bukan fungsi) karena ada sebuah anggota B yang tidak dipetakan ke A, yaitu 4. Contoh 2: Diketahui A = {1, 3, 5}, dan B = {0, 2, 4}. Fungsi g : A B ditentukan oleh g = {(1, 0), (3, 2), (5, 4)}. Carilah g–1 dan selidikilah apakah g–1 merupakan sebuah fungsi. Jawab: Invers g adalah g–1 : B A , dengan g–1 = {(0, 1), (2, 3), –1 (4, 5)}. Tampak bahwa g merupakan sebuah relasi yang merupakan fungsi. Dari kedua contoh di atas, syarat agar invers suatu fungsi merupakan fungsi (fungsi invers) adalah sebagai berikut. Suatu fungsi f : A B mempunyai fungsi invers f–1 : B A jika dan hanya jika f merupakan fungsi bijektif atau A dan B berkorespondensi satu-satu.2. Menentukan Invers Suatu Fungsi Kita telah memahami bahwa invers sebuah fungsi belum tentu berbentuk fungsi. Jika invers suatu fungsi berbentuk sebuah fungsi maka inversnya itu disebut fungsi invers. Syarat agar invers sebuah fungsi merupakan fungsi invers adalah fungsi tersebut merupakan fungsi bijektif. Hal ini telah kita pelajari dalam pembahasan di atas. Misalkan f adalah fungsi bijektif dan y adalah peta dari x oleh fungsi f sehingga pemetaan f dapat dinyatakan dengan persamaan y = f(x). Jika f–1 adalah invers f, maka x adalah peta dari y oleh fungsi f–1 sehingga fungsi f–1 dapat dinyatakan dengan persamaan x = f–1(y). Rumus x = f–1(y) dapat diperoleh dengan langkah-langkah berikut. a. Ubahlah bentuk y = f(x) menjadi x = g(y). Dalam hal ini, x sebagai fungsi y. b. Nyatakan x sebagai f–1(y) sehingga f–1(y) = g(y). c. Gantilah y pada f–1(y) dengan x sehingga diperoleh rumus fungsi invers f–1(x).
    • Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 149 Contoh: Tentukan rumus invers fungsi dari fungsi-fungsi berikut. a. f(x) = 5x + 2 3 4x b. f(x) = , x –3 x +3 c. f(x) = x2 + 4, x 0 Jawab: a. y = f(x) y = 5x + 2 5x = y – 2 y 2 x = 5 y 2 f–1(y) = 5 Kuis y 2 • Kerjakan di buku tugas Jadi, f–1(x) = . 5Diketahui fungsi f dan g b. y = f(x)dinyatakan f(x) = 2x + 4, 2x +5 3 4xg(x) = , dan h(x) = y = x 4 x +3(g f–1)(x) untuk f–1 adalah xy + 3y = 3 – 4xinvers fungsi f dan h–1 adalah (y + 4)x = 3 – 3yinvers fungsi h. Rumusfungsi h–1(x) = .... 3 3y x=a. 12 x + 2 y+4 x 2 3 3y 3 3xb. 6x +2 f–1(y) = f–1(x) = x 2 y+4 x+4c. 12 x 2 3 3x Jadi, f–1(x) = ,x –4 x 2 x+4 2 x +12d. c. y = f(x) 5 x +13 y = x2 + 4 2 x 12e. x2 = y – 4 5 x 13 Ebtanas 2001 x = ± y 4 f–1(y) = ± y 4 Jadi, f–1(x) = ± y 4 , x 4 Untuk x 0 maka f–1(x) = x 4 , x 4. Dengan cara serupa, untuk x < 0 diperoleh f–1(x) = – x 4 , x > 4.3. Komposisi Suatu Fungsi dengan Inversnya Untuk mengetahui tentang hubungan invers dengan komposisi fungsi perhatikan uraian berikut.
    • 150 Khaz Matematika SMA 2 IPS a. Misalkan ditentukan fungsi f(x) = x + 5. Dapat kita tentukan invers dari fungsi f, yaitu y = f(x) y=x+5 x=y–5 f–1(y) = y – 5 Jadi, f–1(x) = x – 5. Sekarang perhatikan komposisi fungsi f dan f–1 berikut. 1) (f f–1)(x) = f(f–1(x)) = f(x – 5) = (x – 5) + 5 = x 2) (f–1 f)(x) = f–1(f(x)) = f(x + 5) = (x + 5) – 5 = x Dengan demikian, diperoleh (f f–1)(x) = (f–1 f)(x) = x. b. Perhatikan sekali lagi untuk fungsi f(x) = x2 + 6, x 0. y = f(x) y = x2 + 6 x2 = y – 6 x=± y 6 f–1(y) = ± y 6 Jadi, f–1(x) = ± x 6 , x 6 –1 –1 1) (f f )(x)= f(f (x)) = f ( x 6 ) = ( x 6 )2 + 6 = (x – 6) + 6 = x 2) (f–1 f)(x)= f–1(f(x)) = f–1(x2 + 6) 2 2 = (x + 6) 6 = x = x Dengan demikian, diperoleh (f f–1)(x) = (f–1 f)(x) = x. Dari uraian di atas, dapat dilihat bahwa komposisi fungsi dengan inversnya (atau sebaliknya) akan menghasilkan fungsi identitas sehingga dapat dituliskan sebagai berikut. (f f–1)(x) = (f–1 f)(x) = x = I(x)4. Grafik Fungsi Invers Sebelum kalian menggambarkan grafik fungsi invers, terlebih dahulu kalian mempelajari cara menentukan domain dan kodomain dari fungsi invers. Agar kalian mudah dalam me- mahami pengertian-pengertian di atas, perhatikan contoh-contoh berikut. Contoh 1: Diketahui fungsi f(x) = 2x + 6. a. Carilah f–1(x). b. Tentukan domain dan kodomain fungsi f agar f(x) mempunyai fungsi invers.
    • Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 151 Jawab: a. f(x) = 2x + 6 Misalkan y = f(x). Dengan demikian, y = 2x + 6 2x = y – 6 x = 1y 3 2 1 f–1(y) = y 3 . Jadi, f–1(x) = 1 x 3. 2 2 b. Domain untuk f adalah semua himpunan bilangan real atau ditulis Df = {x | x R}. Karena domain dari f–1(x) merupakan kodomain fungsi f maka kodomain f agar mempunyai fungsi invers adalah semua bilangan anggota himpunan bilangan real. Jika digambarkan dalam bidang Cartesius, tampak seperti gambar berikut. Gambar 3.15Contoh 2: Diketahui fungsi f(x) = x2 + 2. Tentukan a. grafik f(x); b. domain fungsi f agar fungsi f(x) mempunyai fungsi invers; c. rumus f–1(x) dan domain f–1(x); d. grafik f(x) dan f–1(x) dalam satu sumbu koordinat. Jawab: a. f(x) = x2 + 2 Fungsi f(x) berbentuk fungsi kuadrat f(x) =ax2 + bx + c, dengan a = 1, b = 0, dan c = 2. Kita tentukan sumbu
    • 152 Khaz Matematika SMA 2 IPS b 0 simetrinya, yaitux = = = 0. Dengan 2a 2(1) menyubstitusikan x = 0 ke f(x) = x2 + 2, diperoleh y = 2 sehingga dihasilkan titik puncak (0, 2). Karena a = 1 > 0, parabola membuka ke atas. Untuk mempermudah, gunakan titik-titik bantu seperti berikut. x –3 –2 –1 0 1 2 3 y 11 6 3 2 3 6 11 (x, y) (–3, 11) (–2, 6) (–1, 3) (0, 2) (1, 3) (2, 6) (3, 11) Gambar 3.16 Grafik f(x) = x2 + 2 adalah seperti gambar di samping. b. Grafik f(x) = x2 + 2 berbentuk parabola. Fungsi f(x) = x2 + 2 bukan fungsi injektif sehingga fungsi ini tidak mempunyai fungsi invers. Fungsi f(x) dapat diubah menjadi fungsi yang mempunyai fungsi invers dengan cara membagi domain fungsi menjadi dua bagian. Karena sumbu simetrinya adalah x = 0, agar f(x) mempunyai fungsi invers maka domainnya adalah D f 1 = {x | x 0, x R} dan D f 2 = {x | x 0, x R}. Dengan demikian, fungsi f(x) = x2 + 2 menjadi dua fungsi, sesuai dengan domainnya, masing-masing fungsi merupakan fungsi bijektif. c. f(x) = x2 + 2 Misalkan f(x). y =x2 + 2 x2 = y – 2 x= y 2 f–1(y) = y 2 f–1(x) = 2 x 1) Untuk D f 1 = {x | x 0, x R} dipilih tanda negatif. Y Oleh karena itu, f –1(x) = f(x) = x2 + 2 – x 2. x²0 Jadi, untuk D f 1 = {x | x 0, x R}, fungsi invers dari f(x) adalah f –1 (x) = 2 x 2 . Domain fungsi O X invers adalah {x | x 2, Gambar 3.17 x R}.
    • Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 153 2) Untuk D f 2 = {x | x 0, x R}, dipilih tanda positif. Y Oleh karena itu, f –1(x) = f(x) = x2 + 2 x 2. x³0 Jadi, untuk D f 2 = {x | x 0} fungsi invers dari f(x) adalah f–1(x) = x 2 . 2 Domain fungsi invers adalah O X {x | x 2, x R}. Gambar 3.18d. Gambar grafik f(x) dan f–1(x) untuk masing-masing domain adalah sebagai berikut. (a) (b) Gambar 3.19
    • 154 Khaz Matematika SMA 2 IPS Dari contoh-contoh di atas, tampak bahwa grafik fungsi f–1(x) merupakan hasil pencerminan dari grafik f(x) terhadap garis y = x dan sebaliknya. Dengan demikian, mudah bagi kalian untuk menggambarkan grafik fungsi invers f–1(x). Mari Syarat apa yang harus dipenuhi agar suatu fungsi memiliki invers? Apakah invers dari suatu fungsi pasti juga merupakan Berdiskusi suatu fungsi? Jelaskan alasanmu. Bagaimana dengan invers Berpikir kritis fungsi kuadrat? Apa yang harus kalian lakukan agar invers fungsi kuadratis juga merupakan suatu fungsi? Contoh: Diberikan fungsi f(x) = 3x + 1, untuk 0 x 3. Gambarlah grafik fungsi f–1(x) dari grafik fungsi f. Jawab: Ð1 Gambar 3.20 Terlebih dahulu digambar grafik fungsi f. Grafik fungsi f(x) = 3x + 1 berupa garis lurus. Untuk titik x = 0 maka f(0) = 1, x = 1 maka f(1) = 4, dan seterusnya. Grafik fungsi f diperoleh dengan menghubungkan titik (0, 1), (1, 4), (2, 7), dan (3, 10). Selan- jutnya, dari titik-titik tersebut, digambar titik (1, 0), (4, 1), (7, 2) x 1 dan (10, 3) yang merupakan titik-titik dari fungsi f–1(x) = . 3 Kemudian, grafik fungsi f–1(x) diperoleh dengan menghu- bungkan titik-titik (1, 0), (4, 1), (7, 2), dan (10, 3).
    • Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 155 • Kerjakan di buku tugasSoal Kompetensi 4 1. Tentukan invers masing-masing fungsi di bawah ini, kemudian gambarkan diagram panahnya. a. f = {( 2 , 2), (– 2 , 3), (2, 4), (–2, 5)} b. g = {(a, b), (c, d), (e, f), (g, h)} 2. Tentukan fungsi invers dari fungsi-fungsi berikut dan gambarkan grafik fungsi dan inversnya pada satu sumbu koordinat. Kemudian, tentukan domain dan range fungsi- fungsi invers tersebut. a. f(x) = 1 x + 3 c. f(x) = x2 + 5x + 4 3 b. f(x) = (x + 2)2 d. f(x) = 2x2 – 3x + 1 3. Tentukan invers dari fungsi-fungsi berikut. 3x 2 a. f(x) = 4x – 3 d. f(x) = x 3 2 x 3 +1 b. f(x) = x – 4x + 3 e. f(x) = 3 x 2 1 4 c. f(x) = f. f(x) = (1 x 3 ) 3 – 3 x+7 2x 1 4. Diketahui f(x) = , untuk x –5. Jika f(a) = 0, x+5 tentukan nilai f–1(a). 5. Misalkan fungsi f adalah fungsi injektif dan fungsi g adalah fungsi yang tidak injektif. Berikan contoh fungsi f dan g, kemudian tentukan inversnya. a. Apakah g–1 suatu fungsi? Jika tidak, bagaimana caranya agar g–1 menjadi suatu fungsi? b. Di antara fungsi-fungsi berikut, tentukan mana yang merupakan fungsi injektif. 1) f–1 4) (f + g)–1 –1 2) g 5) f – g 3) f + g 6) (f – g)–1 6. Jika f(x – 1) = 2x2. Tentukan a. f(x); c. f(x + 1); b. f–1(x); d. f–1(x + 1); 1 7. Fungsi f: R R ditentukan oleh f(x) = . x2 2 a. Carilah rumus f–1(x). b. Apakah f–1(x) merupakan fungsi invers dari f(x)?
    • 156 Khaz Matematika SMA 2 IPS c. Jika f–1(x) bukan merupakan fungsi invers dari f(x) maka tentukan daerah asal untuk f(x) sedemikian rupa sehingga f–1(x) merupakan fungsi inversnya. 8. Misalkan A = {x| x R; x > 0}, f dan g adalah fungsi- fungsi pada A yang ditentukan oleh f(x) = 2x + 7 dan g(x) = 3x2 – 5. a. Carilah f–1(x) dan g–1(x). b. Hitung f–1(13) dan g–1(9). c. Jika f–1(a) = 15 dan g–1(b) = 10, carilah nilai a dan b. 5 9. Rumus C = (F – 32), dengan F –459,67 o F, 9 menyatakan suhu Celsius C sebagai fungsi dari suhu Fahrenheit F. a. Tentukan rumus untuk fungsi invers dan interpretasinya. b. Tentukan daerah asal dari fungsi inversnya. 10. Di suatu daerah, jumlah populasi suatu spesies X dipengaruhi oleh jumlah populasi spesies Y. Apabila jumlah populasi spesies X dinotasikan dengan x dan jumlah populasi spesies Y dinotasikan dengan y maka x2 + 5 + 3 hubungan keduanya adalah y = . Tentukan 4 jumlah populasi spesies X apabila diketahui jumlah populasi spesies Y adalah 20.E. Invers Fungsi Komposisi Misalkan f dan g merupakan fungsi-fungsi komposisi, dengan komposisi fungsi-fungsi sebagai berikut. gÐ1 o f Ð1 (f g)(x) = f(g(x)) dan (g f)(x) = g(f(x)). f g Invers dari komposisi didefinisikan sebagai berikut. a b gÐ1 c Jika u dan v merupakan komposisi dari fungsi f dan g, yaitu f Ð1 u = f g dan v = g f, invers dari fungsi u dan v merupakan fog invers dari fungsi komposisi f dan g yang ditulis u–1 = (f g)–1 (fog)Ð1 v–1 = (g f)–1 Gambar 3.21 Perhatikan diagram panah di samping. Dari diagram di samping tampak bahwa invers dari fungsi komposisi (f g), yaitu (f g)–1 diperoleh dengan memetakan c ke b oleh f–1, kemudian dilanjutkan dengan memetakan b ke a oleh g–1. Dengan demikian, dapat dituliskan sebagai berikut. (f g)–1(x) = (g–1 f –1)(x)
    • Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 157 Dengan cara yang sama dapat kita peroleh invers fungsi komposisi g f, yaitu (g f )–1(x) = (f –1 g–1)(x) Contoh: Diberikan fungsi f dan g, yaitu f (x) = 5x + 8 dan g(x) = x – 5. a. Tentukan (f g)–1(x). b. Tentukan (g f )–1(x). c. Apakah (g f )–1(0) = (f g)–1(0)? Jawab: Ada dua cara untuk menentukan invers fungsi komposisi ini. a. Cara 1: (f g)(x) = f(g(x)) = f(x – 5) = 5(x – 5) + 8 = 5x – 17 Kuis (f g)–1(x) dapat ditentukan sebagai berikut. • Kerjakan di buku tugas Misalkan (f g)(x) = y. 1 x y = (f g)(x)Diketahui f(x) = untuk y = 5x – 17 xsetiap bilangan real x 0. y + 17Jika g : R R adalah suatu x=fungsi sehingga (g f)(x) = 5g(f(x)) = 2x + 1 maka fungsi y + 17invers g–1(x) = .... (f g)–1(y)= 5 x 3 x 3a. d. x + 17 x +1 1 x (f g)–1(x)= x 3 x 1 5b. e. Jadi, fungsi invers dari (f g)(x) adalah (f g)–1(x) = x 1 3 x x +1 x + 17c. . x 3 5 SPMB 2007 Cara 2: Kita tentukan terlebih dahulu f–1(x) dan g–1(x). Misalkan y = f(x). y = f(x) y = 5x + 8 y 8 x= 5 y 8 f–1(y) = 5 x 8 f–1(x) = 5 Misalkan y = g(x). y = g(x) y=x–5
    • 158 Khaz Matematika SMA 2 IPS x=y+5 g–1(y) = y + 5 g–1(x) = x + 5 Dengan demikian, kita dapat menentukan invers dari f g sebagai berikut. (f g)–1(x) = (g–1 f–1)(x) = g–1 (f–1(x)) x 8 = g–1 ( ) 5 x 8 = +5 5 x + 17 = 5 Jadi, fungsi invers dari (f g)(x) adalah (f g)–1(x) = x + 17 . 5 b. Cara 1: Kuis (g f)(x) = g(f(x)) = g(5x + 8) = (5x + 8) – 5 = 5x + 3 (g f)–1(x) dapat kita peroleh dengan memisalkan y = • Kerjakan di buku tugas (g f)(x).Fungsi f : R R dan fungsi y =(g f)(x)g : R R dirumuskan y = 5x + 3 1dengan f(x) = x – 1 dan y 3 2 x= 5g(x) = 2x + 4 maka (g f)–1(10)= .... y 3 (g f)–1(y) =a. 4 d. 12 5b. 8 e. 16 x 3c. 9 (g f)–1(x) = 5 UMPTN 1995 Jadi, fungsi invers dari (g f)(x) adalah (g f)–1(x) = x 3 . 5 Cara 2: x 8 Dari jawaban a, diperoleh f–1(x) = dan g–1(x) = x + 5. 5 Dengan demikian, diperoleh (g f)–1(x) = (f-1 g–1)(x) = f-1(g–1(x)) = f-1(x + 5) ( x + 5) 8 x 3 = = 5 5 x 3 Jadi, fungsi invers dari (g f)(x) adalah (g f)–1(x) = . 5
    • Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 159 c. Dari jawaban di atas, diperoleh 0 3 3 (g f)–1(0) = = 5 5 0 + 17 17 (f g)–1(0) = = 5 5 Jadi, (g f)–1(0) (f g)–1(0). • Kerjakan di buku tugasSoal Kompetensi 5 1. Tentukan (f g)–1(x) dan (g f)–1(x) jika diketahui a. f(x) = 5x dan g(x) = 5 – 2x; 3 b. f(x) = dan g(x) = 6 – 2x; x 5 3 1 c. f(x) = dan g(x) = ; x +1 x 1 1 d. f(x) = dan g(x) = x + 4. 3 x 3 2. Diketahui f(x) = dan g(x) = x + 6. Tentukan nilai- x +1 nilai berikut. a. (f g)–1 (2) d. (g f)–1 (–2) b. (g f)–1 (2) e. (f g)–1 (0) 1 c. (f g)–1 (–2) f. (g f)–1 ( ) 2 3. Jika g(x) = x2 + 2 dan (g f) (x) = 9x2 + 6x + 3, tentukan f–1(x) dan f(x + 2). 4. Jika f(x) = 5x dan g(x) = x2 + 4, tentukanlah f–1(g(x2) – 4). 5. Jika f(x) = 10x dan h(x) = x2 + 3, tentukanlah f–1(h(x2) – 3). 6. Fungsi f: R R dan g : R R ditentukan oleh f(x) = 2x – 10 dan g(x) = x + n. Jika (f g)–1 (x) = (f–1 g)(x), berapakah n? 7. Fungsi f: R R dan g: R R ditentukan oleh f(x) = x + 6 dan g(x) = x3 + 1. Hitunglah a. (f g)–1(a + 1); b. (g–1 f–1)(a + 1); c. (f g)–1 (8z3 + 7); d. (f–1 g–1)(8z3 + 1);
    • 160 Khaz Matematika SMA 2 IPS Tugas: Informasi lebih lanjut 8. Diketahui A = {x|x R; x > 0}, f dan g adalah fungsi- • Kerjakan di buku tugas fungsi pada A yang ditentukan oleh suatu fungsi f(x) = 2 xUntuk menambah wawasankalian, coba carilah bebera- dan g(x) = x – 2. Tentukanpa contoh bentuk fungsi a. (f2(x))–1 c. f2(x) g2(x)yang inversnya tidak berupa b. (g2(x))–1 d. (f2(x) g2(x))–1fungsi. Kalian boleh men-cari dari berbagai sumber, 9. Diketahui suatu fungsi total harga suatu produk (dalamseperti di internet, di buku dolar) adalah C(x) = x2 + 2x, dengan x adalah jumlahreferensi yang lain, atau produk yang dihasilkan.kalian bisa membuatnyasendiri. a. Tentukan fungsi invers dari C(x). b. Kapan total harga produk tersebut mencapai $99? 10. Soal analog dengan nomor 9. Diketahui C(x) = x2 + 4x. a. Tentukan fungsi invers dari C(x). b. Kapan total harga produk tersebut mencapai $32? Rangkuman1. Fungsi atau pemetaan adalah suatu a. Pada umumnya tidak komutatif relasi (hubungan) dari himpunan A ke (f g)(x) (g f)(x) himpunan B dengan memasangkan b. Asosiatif setiap x A dengan tepat satu y B. ((f g) h (x) = (f (g h))(x)2. Fungsi mempunyai sifat surjektif c. Terdapat fungsi identitas I(x) = x (fungsi onto/pada), injektif (fungsi 6. Suatu fungsi f : A B dinyatakan satu-satu) dan atau bijektif (fungsi dengan himpunan pasangan berurutan satu-satu dan pada). f = {(x, y) | x A, y B}. Invers3. Operasi aljabar pada fungsi f(x) dan –1 g(x) adalah sebagai berikut. fungsi f adalah f : B A yang dinyatakan dengan a. (f + g)(x) = f(x) + g(x) f–1 = {(y, x) | y A, x B}. b. (f – g)(x) = f(x) – g(x) 7. Suatu fungsi f memiliki fungsi invers c. (f × g)(x) = f(x) × g(x) f–1 jika dan hanya jika f merupakan f f ( x) fungsi injektif (satu-satu). d. ( x) = , untuk g(x) 0 g g ( x) 8. Pada fungsi komposisi f dan g,4. Komposisi fungsi g f adalah suatu berlaku fungsi yang mengerjakan (ma- a. (f g)–1(x) = (g–1 f–1)(x); metakan) fungsi f terlebih dahulu, b. (g f)–1(x) = (f–1 g–1)(x). kemudian dilanjutkan fungsi g.5. Komposisi fungsi mempunyai sifat sebagai berikut.
    • Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 161 RefleksiFungsi sebenarnya telah kalian kenal di kelas fungsi invers yang langsung berhubunganX. Pada bab ini, tentu kalian lebih dengan kejadian sehari-hari? Berikanmemahami tentang fungsi. Dapatkah penjelasan, mengapa kejadian itu kaliankalian memberikan beberapa contoh anggap sebagai fungsi (fungsi komposisifungsi, terutama fungsi komposisi dan dan/atau fungsi invers)? Tes Kemampuan Bab III • Kerjakan di buku tugas A. Pilihlah jawaban yang tepat dengan memberi tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d, atau e. 4. Di antara grafik fungsi berikut yang1. Domain fungsi f(x) = x 2 8 x + 12 bukan merupakan fungsi jika diketahui adalah .... f:B A adalah .... a. {x | x R} b. {x | x < 2 atau x > 6} a. d. c. {x | x 2 atau x 6} d. {x | x –6 atau x –2} e. {x | –2 x < 6}2. Diketahui f(x) = x + 1 dan g(x) = x – 1 Nilai dari f(f(f(g(g(g(1)))))) = .... b. e. a. –2 b. –1 c. 0 d. 1 e. 2 c.3. Fungsi g: R R ditentukan oleh g(x) = 2 x – x + 3 dan fungsi f: R R sehingga (f g)(x) = 3x2 – 3x + 4. Rumus fungsi f(x – 2) = .... a. 2x – 11 b. 2x – 7 5. Fungsi f: R R dan g: R R dengan c. 3x + 1 2 f(x) = x – 1 dan g(x) = x + 1 maka d. 3x – 7 f{g(x)} = .... e. 3x – 11 a. –1 d. –x b. 1 e. x2 c. x
    • 162 Khaz Matematika SMA 2 IPS6. Diketahui fungsi f(x) = 6x – 3, g(x) = 5x + 4, 1 dan (f g)(a) = 3.747. Nilai a = .... c. x 1 a. –2 d. 1 1 b. –1 e. 2 d. c. 0 x 37. Jika f(x) = –x + 3 maka 1 e. f(x2) + {f(x)}2 – 2 f(x) = .... x +3 a. 2x2 – 6x + 4 d. 6x + 4 13. Diketahui f : R R dan g : R R. b. 2x2 + 4x + 6 e. –4x + 6 Jika f(x) = 3 – 3x dan g(x) = 2x, rumus c. 2x2 – 4x – 6 (g f)–1(x) = ....8. Fungsi f: R R dan g: R R dengan 1 1 f(x) = x – 3 dan g(x) = x2 + 5. a. 6 – 6x d. x 2 6 Jika (f g)(x) = (g f)(x) maka x = .... a. 1 d. 4 1 b. 3 – 6x e. 1– x b. 2 e. 5 3 c. 3 1 c. 1– x9. Diketahui f(x) = x2 – 9 dan (f g)(x) = 6 x(x – 6). Salah satu rumus fungsi g(x) = .... 14. Fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = a. x + 3 d. 3x + 1 2x +1 3x + 1 b. x – 3 e. x , x 3. Misalkan f–1(x) = , 2 x 3 x k c. 3 – x maka nilai k supaya f–1(x) merupakan10. Misalkan f(x) = x2, g(x) = 2x, dan h(x) = invers dari f(x) adalah .... 1 – x. Fungsi (f g h)(x) = .... a. –2 d. 1 a. 4x2 – 8x + 4 d. x2 – 2x + 1 2 b. –1 e. 2 b. 4x + 8x – 4 e. 4 – 2x + x2 2 c. 0 c. 2x – 4x + 1 15. Jika f(x) = x – 2, g(x) = x3, dan h(x) = 4x, 1 rumus fungsi untuk ((f g) h)–1(x) = ....11. Apabila f(x) = dan (f g)(x) = 2x 1 3 x+2 1 a. 64x3 – 2 d. 64 maka g(x) = .... 2x 2 x 2 1 2 b. 2 – 64x3 e. 3 a. x + d. 1 – 64 2 x 1 x+2 b. x – e. –1 c. 64 2 16. Jika f(x) = –3 + 2x dan g(x) = (3x + 1)–1 1 c. 2 – maka (g–1 f –1)(x) = .... x 3x + 1 3x 112. Apabila f(x) = x 2 + 1 dan (f g)(x) = a. d. 2x + 9 3x + 9 1 x2 4 x + 5 maka g(x – 3) = .... x 2 3x + 1 3x + 1 b. e. 1 2x + 9 3x 9 a. x 5 x +1 c. 1 3x + 9 b. x +1
    • Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 163 x +1 x 1 117. Diketahui f(x) = , x 0 dan f–1 22. Diketahui f ( x 1) = ,x dan f–1(x) x 2x 1 2 adalah invers dari f. Jika k adalah adalah invers dari f(x). banyaknya faktor prima dari 210 maka Rumus f –1(2x – 1) = .... (UAN 2002) f –1(k) = .... x 2 1 a. ,x 1 2 x +1 2 a. d. 3 5 2x +2 3 b. ,x 1 4x 3 4 b. e. 4 4 x 1 1 c. ,x 1 2 x +1 2 c. 3 2 x +1 3 d. ,x 2 x +1 4 x +3 418. Fungsi f ditentukan oleh f (x) = , x 3 x +1 x 3. Jika f –1 adalah invers dari f maka e. ,x 2 2x 4 f –1(l) = .... 23. Diketahui fungsi f(x) = 6x – 3, g(x) = 5x a. 4 d. –4 + 4, dan (f g)(a) = 81. Nilai a = .... b. 3 e. –5 (UAN 2001) c. –3 a. – 219. Diketahui (f g)(x) = 4 2 x +1 . Jika g(x) = b. – 1 2x – 1 maka f(x) = .... (UN 2005) c. 1 a. 4 x + 2 d. 2 b. 4 2 x + 3 e. 3 1 24. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan c. 2 4 x +1 + (f g)(x + 1) = –2x2 – 4x – 1. 2 Nilai g(–2 ) = .... (UAN 2000) 1 d. 2 2 x +1 + a. – 5 2 b. – 4 e. 2 2 x +1 + 1 c. – 120. Jika f ( x ) = x + 1 dan (f g)(x) = d. 1 2 x + 1 maka fungsi g adalah g(x) = .... e. 5 (UN 2004) 25. Fungsi-fungsi f dan g didefinisikan oleh a. 2x – 1 f : x ax + b, a R; a dan b konstan. b. 2x – 3 5 c. 4x – 5 g: x ; x 4 . Jika (f g)(6) = 6 dan x 4 d. 4x + 3 g–1(–1) = f(–1), nilai a + b = .... e. 5x – 4 a. –321. Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = b. –2 2x + p dan g(x) = 3x + 120 maka nilai p = c. –1 .... (UAN 2003) d. 1 a. 30 d. 120 e. 3 b. 60 e. 150 c. 90
    • 164 Khaz Matematika SMA 2 IPS B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan benar.1. Tentukan fungsi invers dan domain 6. Misalkan diketahui A = {x|x R}, B = invers dari fungsi-fungsi berikut. {0, 1}, dan C = A – B. Fungsi-fungsi f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, dan f 6 a. f(x) = 3 x 5 2x 1 terdefinisi pada C dan dirumuskan b. f(x) = log (x2 – 6x) sebagai berikut. c. f(x) = 102x – 1 f ( x) f1(x) = x f4(x) = 1 f3 ( x )2. Misalkan diketahui f(x) = 3x – 1, g(x) = 2x2, dan h(x) = 1 – x. Tentukan 1 1 f2(x) = f5(x) = a. (f g)(x); f1 ( x ) f3 ( x ) b. (f h g)(x); 1 f3(x) = 1– x f6(x) = c. (g f h)(x). f4 ( x )3. Diketahui f: R R. Di samping itu, Lengkapi tabel berikut. juga diketahui bahwa g: R R dengan rumus g(x) = 3x + 2. Jika (g f)(x) = f1 f2 f3 f4 f5 f6 3x2 – 18x + 8, tentukan f(x) dan f(–2). f1 f1 f6 24. Diketahui suatu fungsi f(t) = t – ct, t > 0 f2 f1 f3 dan c > 0. Tentukan f-1(t). Apakah f-1(t) merupakan fungsi? Jelaskan. f3 f1 f55. Misalkan diketahui fungsi-fungsi f(x) f4 f6 f1 = (x – 4)2, g(x) = 2(x – 4) + 1, dan h(x) f5 f4 f6 x +1 = . Tentukan x f6 f6 f5 a. (h–1 g–1 f–1)(1 – x); Dengan menggunakan tabel itu, tentukan b. (h g f)–1(x – 1); suatu fungsi yang mewakili komposisi c. (h–1 g–1 f–1)(0); berikut. d. nilai p sehingga (h–1 g–1 f–1)(p) a. f3 (f4 f5) c. (f6 f6 f6) =0 b. (f2 f5) f6 d. f1 (f2 f3) Kata Bijak Kalau Anda tidak berbuat sesuatu dengan kehidupan Anda, percuma saja Anda berusia lama.
    • Limit Fungsi 165 Bab IVTujuan PembelajaranSetelah mempelajari babini, diharapkan kalian dapat1. menjelaskan arti limit fungsi di satu titik;2. menghitung limit fungsi aljabar di satu titik;3. menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit;4. menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi;5. menghitung bentuk tak tentu dari limit fungsi aljabar;6. menghitung limit fungsi yang mengarah ke kon- sep turunan. Sumber: Dokumen Penerbit Limit Fungsi Motivasi Misalkan kalian ingin mengetahui kecepatan motor cross yang sedang melaju. Dapatkah kalian menentukan kecepatan tepat pada waktu ke-t? Tentu kesulitan, bukan? Mengapa demikian? Hal ini terjadi karena rentang waktu sangat kecil. Untuk memudahkan perhitungannya, dapat dilakukan dengan nilai pendekatan kecepatan rata-rata. Untuk menentukan kecepatan rata-rata dengan rentang waktu sangat kecil (mendekati nol), dapat digunakan konsep limit. Limit fungsi merupakan salah satu bahasan utama yang akan digunakan dalam kalkulus, terutama turunan dan integral. Dalam fisika, limit banyak digunakan dalam penentuan kecepatan, percepatan, kemiringan (gradien) suatu garis atau bidang, dan perubahan-perubahan sesaat lainnya. Dalam bidang ekonomi, limit fungsi digunakan untuk penurunan fungsi biaya marjinal, fungsi-fungsi elastisitas (permintaan, penawaran, produksi), dan lain-lain.
    • 166 Khaz Matematika SMA 2 IPS Peta Konsep Limit Fungsi membahas Fungsi Aljabar Limit Konsep Sifat-Sifat Limit Turunan terdiri atas x a x diselesaikan dengan diselesaikan dengan Substitusi, asalkan Memerhatikan 0 Koefisien Pangkat hasil tidak Tertinggi (untuk 0 Bentuk Pecahan) Pemfaktoran Dengan Rumus b– p Perkalian 2 a Sekawan Kata Kunci• bentuk tak tentu • limit kanan • sekawan• berhingga • limit kiri • substitusi• gradien • mendekati • tak berhingga• limit • pemfaktoran • teorema limit pusat
    • Limit Fungsi 167 Tentunya materi limit fungsi masih asing bagi kalian. Di SMP, kalian belum pernah mempelajarinya. Pada pembahasan kali ini, kalian diajak untuk mempelajari limit fungsi. Dalam menentukan nilai limit fungsi, kalian akan sering menggunakan substitusi dan pemfaktoran. Kedua cara ini telah kalian pelajari di kelas X. Sebelum kalian mempelajari bab ini lebih lanjut, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini. Prasyarat Kerjakan di buku 1. Misalkan diberikan fungsi f(x) = 3x2 – 2x + 1. Apakah tugas sama artinya f(3) dan f(2,999....)? 2 x 1; x 0 2. Diketahui fungsi f(x) = x2 – 4 dan g(x) = x; x > 0 a. Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = –1; –0,5; –0,05; –0,001; –0,0001. b. Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = 5; 1; 0,5; 0,05; 0,001; 0,0001. c. Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil a, menuju nilai berapakah f(x) dan g(x)? d. Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil b, menuju nilai berapakah f(x) dan g(x)? Setelah kalian mampu menjawab soal-soal di atas, mari kita lanjutkan mempelajari materi berikut.A. Definisi Limit Fungsi Aljabar Materi limit baru kalian pelajari pada kali ini. Sebelumnya, kalian belum pernah mempelajari tentang limit. Untuk itu, kalian harus memahami pengertian limit terlebih dahulu. Kata limit berasal dari bahasa Inggris, berarti mendekati. Sesuai dengan kata mendekati, jika dikatakan bahwa x mendekati 2, artinya nilai x itu hanya mendekati nilai 2, tetapi tidak pernah bernilai 2. Untuk mempermudah perhitungan, kata ”mendekati” dinyatakan dengan simbol ” ”. Pemahaman limit secara intuitif dapat kalian pahami melalui uraian berikut. Misalkan f(x) = 10x, dengan x bilangan-bilangan real. Untuk x 2, artinya nilai x 2, tetapi dapat diambil nilai-nilai di sekitar 2. Misalnya, 1,91; 1,95; 1,99; 2,01; 2,05; dan 2,09. Adapun Gambar 4.1 nilainya dapat ditampilkan pada tabel berikut.
    • 168 Khaz Matematika SMA 2 IPS x 1,91 1,95 1,99 2,01 2,05 2,09 f(x) 19,1 19,5 19,9 20,1 20,5 20,9 Dari tabel di atas tampak bahwa untuk x 2, nilai 10x 20. Secara geometris dapat ditampilkan seperti Gambar 4.1. Dengan demikian, secara intuitif, limit fungsi dapat diartikan sebagai berikut. Misalkan f suatu fungsi dalam variabel x dan L adalah bilangan real. lim f(x) = L x a diartikan untuk x mendekati a (ingat: x a), nilai f(x) mendekati L. Secara formal, limit fungsi didefinisikan sebagai berikut. lim f(x) = L diartikan untuk setiap bilangan > 0 seberapa x a pun kecilnya, terdapat sebuah bilangan > 0 sedemikian rupa sehingga jika 0 < |x – a| < , berlaku | f(x) – L | < . Definisi ini adalah definisi limit secara umum. Definisi limit secara umum akan kalian perdalam pada jenjang pendidikan yang lebih tinggi. Di SMA, kalian hanya diajak untuk mempelajari definisi limit secara intuitif. Suatu fungsi dikatakan mempunyai limit di titik a jika limit dari kiri dan limit dari kanan bernilai sama. Limit dari kiri maksudnya adalah nilai pendekatan f(x) untuk x bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang membesar (melalui nilai-nilai x < a). Limit dari kanan maksudnya adalah nilai pendekatan f(x) untuk x bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang mengecil (melalui nilai-nilai x > a). Untuk mempermudah penulisan, x yang mendekati a dari kiri ditulis x a– dan x mendekati a dari kanan, ditulis x a+. Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut. Jika lim f ( x ) = L dan lim+ f ( x ) = L maka x a x a lim f(x) = lim+ f(x) = lim f(x) = L. x a x a x a Artinya, nilai limit f(x) untuk x mendekati a ada, yaitu L.
    • Limit Fungsi 169 Contoh: Apakah nilai limit fungsi berikut ada? a. lim (2x + 3) x 2 lim f(x), untuk f(x) = x; x < 5 b. x 2 5 x; x 5 Jawab: a. Misalkan x 2– (nilai-nilai x < 2) x 1,90 1,95 1,96 1,99 1,995 1,999 f(x) 6,80 6,90 6,92 6,98 6,99 6,998 Tampak bahwa untuk x 2–, nilai f(x) makin mendekati 7. Artinya, lim (2x + 3) = 7. x 2 Misalkan x 2+ (nilai-nilai x > 2) x 2,10 2,09 2,05 2,01 2,001Gambar 4.2 f(x) 7,20 7,18 7,10 7,02 7,002 Tampak bahwa untuk x 2+, nilai f(x) makin mendekati 7. Artinya, lim+ (2x + 3) = 7. x 2 Karena lim (2x + 3) = lim+ (2x + 3) = 7 maka lim (2x + 3) x 2 x 2 x 2 = 7. b. Misalkan x 5–. Artinya, lim f(x) = lim x = 5. x 5 x 5 + Misalkan x 5. Artinya, lim+ (5 – x) = 5 – 5 = 0. x 5 Karena lim+ f(x) lim f(x) maka lim f(x) tidak ada. x 5 x 5 x 5Gambar 4.3 • Kerjakan di buku tugasSoal Kompetensi 1 Di antara fungsi-fungsi berikut, manakah yang mempunyai limit di titik yang diberikan? Jika ada, tentukan nilai limitnya. 1. f(x) = 3x ; x 2 2. f(x) = 5x – 1 ; x 3 2 3. f(x) = x – 1 ; x 1 4. f(x)) = 7 ; x 5
    • 170 Khaz Matematika SMA 2 IPS 5. f(x) = 1 – x2 – x3 ; x 0 1; x < 1 6. f(x) = ;x 1 5; x 1 2 x 1; x < 2 7. f(x) = ;x 2 3x 2 ; x 2 10 x 1; x < 1 8. f(x) = ;x 1 9 x; x 1 9. Tentukan limit fungsi di bawah ini untuk x mendekati nilai yang diberikan x2, x 0 g(x) = x, 0 < x < 1 ;x 1 2 1+ x , x 1 10. Tentukan limit fungsi di bawah ini untuk x mendekati nilai yang diberikan x2, x 0 g(x) = x 1, 1 < x < 2 ; x 1 2 5+ x , x 2B. Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar Kalian telah mengetahui bahwa nilai limit tidak harus sama dengan nilai fungsinya. Ada suatu fungsi yang mempunyai nilai limit di suatu titik, tetapi tidak mempunyai nilai fungsi di titik 2 2 x 1 f (x) = x2 1 1 x 1 itu. Perhatikan fungsi f(x) = . Fungsi ini tidak mempunyai x 1 nilai di x = 1 (mengapa?). Namun, meskipun fungsi ini tidak (a) mempunyai nilai di x = 1, kita tidak boleh menyatakan bahwa fungsi ini tidak memiliki nilai limit untuk x mendekati 1. Misalkan x2 1 x2 1 f(x) = dan g(x) = x + 1. Fungsi f(x) = , tidak x 1 x 1 2 terdefinisi di x = 1. Dengan demikian, kita tidak memerhatikan nilai x = 1. Sekarang, bandingkan nilai limit fungsi g(x) = x + 1. g(x) = x + 1 Keduanya dapat kalian perhatikan pada grafik-grafik di samping. x2 1 (b) Dari grafik f(x) = tampak bahwa faktor (x – 1) 0, x 1 Gambar 4.4 artinya x 1. Oleh karena itu,
    • Limit Fungsi 171 x2 1 ( x + 1)( x 1) lim lim = lim = x 1 x + 1 = 1 + 1 = 2. x 1 x 1 x 1 x 1 Faktor x – 1 dapat dieliminir (dihilangkan) karena x – 1 0. lim g(x) = lim (x + 1) x 1 x 1 =1+1 =2 Dengan demikian, lim f(x) = lim g(x). x 1 x 1 x2 1 Secara intuitif, kalian dapat menduga nilai lim . x 1 x 1 x2 1 Dengan menggunakan kalkulator, hitunglah nilai f(x) = x 1 untuk x seperti yang ada dalam tabel di bawah ini. x –1 0 0,5 0,9 0,99 1,05 1,15 1,5 2 f(x) ... ... ... ... ... ... ... ... ... Apabila nilai f(x) pada tabel di atas sudah dicari, kalian dapat melihat bahwa untuk x mendekati 1 (dari kanan maupun dari kiri) nilai f(x) mendekati 2. Hal yang sama juga dapat dilakukan untuk mencari nilai limit g(x) = x + 1 untuk x mendekati 1. Lakukan langkah di atas untuk nilai x yang sama (0,9; 0,99; ...; sampai mendekati 1). Hasil perhitungan menunjukkan bahwa makin dekat nilai x dengan 1 maka nilai g(x) makin mendekati 2. Jadi, kita dapat memahami bahwa meskipun kedua fungsi itu berbeda, namun memiliki nilai limit yang sama. Limit fungsi seperti ini lebih mudah diselesaikan dengan cara memfaktorkan. Untuk itu, mari kita pelajari beberapa cara menentukan nilai limit fungsi aljabar.1. Menentukan Nilai Limit Fungsi untuk x a Misalkan f(x) memiliki nilai limit untuk x a, nilai limitnya dapat ditentukan dengan cara a. substitusi; b. pemfaktoran; c. mengalikan dengan faktor sekawannya. Agar lebih jelas, perhatikan uraian berikut.
    • 172 Khaz Matematika SMA 2 IPS a. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Substitusi Misalkan fungsi f terdefinisi di setiap x bilangan real, nilai limit fungsinya sama dengan nilai fungsinya. Untuk memperoleh nilai limitnya, kalian dapat menyubstitusikan secara langsung ke dalam fungsi tersebut. Contoh 1: Tentukan nilai limit fungsi berikut. 3x 1 a. lim (2x – 7) b. lim x 2 x 1 x +1 Jawab: a. Fungsi f(x) = 2x – 7 terdefinisi di setiap nilai x. lim (2x – 7) = 2(2) – 7 = –3 x 2 3x 1 b. Fungsi f(x) = terdefinisi di setiap nilai x, kecuali x+2 di x = –2. 3 x 1 3(1) 1 2 lim = = x 1 x+2 1+ 2 3 Contoh 2: Tentukan nilai limit fungsi berikut. x a. lim 2 x 0 3x + 1 Tugas: Berpikir Kritis x2 + 1 b. lim • Kerjakan di buku tugas x 1 x 1 2Apakah makna lim sama x 6 x 0 x c. lim 2 x 0 xdengan f(x) = , untuk x = x Jawab:0?Jelaskan. x 0 0 a. lim 2 = 2 = =0 x 0 3x + 1 3(0) + 1 1 b. x 2 + 1 12 + 1 2 (bilangan positif yang lim = = = x 1 x 1 1 1 0 tak berhingga besarnya) x 6 0 6 6 c. lim = = = (negatif dari bilangan x 0 x 0 0 yang tak berhingga besarnya)
    • Limit Fungsi 173 Mari Coba jelaskan dengan bahasamu sendiri, apakah limit fungsiBerdiskusi itu? Misalkan tertulis lim (x2 – 4). Dapatkah dikatakan bahwa x 2 Inkuiri lim (x2 – 4) = f(2), untuk f(x) = x2 – 4? Jelaskan alasanmu. x 2 Bagaimana cara menentukan nilai limit suatu fungsi yang tidak dapat ditentukan dengan pemfaktoran maupun substitusi? Berikan contohnya. b. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Pemfaktoran Kalian telah mengerti cara menentukan nilai limit dengan 0 substitusi. Bagaimana jika hasil substitusi itu ? Jika limit suatu 0 0 fungsi dikerjakan dengan cara substitusi menghasilkan nilai , 0 berarti kita harus menggunakan cara lain, misalnya pemfaktoran. f (x ) Misalkan limit fungsi didekati x a menghasilkan g ( x) 0 sehingga fungsi g(x) dan f(x) pasti mempunyai faktor (x – a). 0 Oleh karena itu, kalian harus menghilangkan faktor-faktor yang sama dari f(x) dan g(x) terlebih dahulu. ( x a ) g( x ) Misalkan fungsi f(x) = . Dengan demikian, ( x a ) h( x ) ( x a ) g( x ) g( x ) g( a ) lim f(x) = lim = lim = . x a x a ( x a ) h( x ) x a h( x ) h( a ) g( a) 0 Jika ternyata = maka cari faktor-faktor g(x) dan h(x) h( a ) 0 sama. Kerjakan dengan cara serupa. Untuk mempermudah perhitungan dengan cara pemfaktoran, kalian ingat kembali bentuk faktorisasi aljabar berikut. 1) x2 – y2 = (x – y)(x + y) 2) x2 – 2xy + y2 = (x – y)2 3) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 4) x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) 5) x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
    • 174 Khaz Matematika SMA 2 IPS Perhatikan contoh berikut. Contoh: Tentukan nilai limit fungsi berikut. x 2 16 a. lim x 4 x 4 x2 7 x + 12 b. lim x 3 x2 4x + 3 x 3 27 c. lim x 3 x 3 Jawab: x 2 16 ( x 4)( x + 4) a. lim = lim x 4 x 4 x 4 x 4 = lim (x + 4) = 4 + 4 = 8 x 4 x 2 7 x + 12 ( x 4)( x 3) b. lim 2 = lim x 3 ( x 1)( x 3) , karena (x – 3) 0 x 3 x 4x + 3 maka kita dapat membagi dengan (x – 3) x 4 = lim x 3 x 1 3 4 1 = = 3 1 2 x 3 27 x3 33 c. lim = lim x 3 x x 3 x 3 3 ( x 3)( x 2 + 3 x + 9) = lim x 3 x 3 = lim (x2 + 3x + 9) x 3 = 32 + 3(3) + 9 = 27 c. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Mengalikan Faktor Sekawan Kalian tentu masih ingat dengan faktor sekawan. Materi faktor sekawan telah kalian pelajari di kelas X. Pada pembahasan limit fungsi, kita akan menggunakannya untuk menentukan nilai limit fungsi aljabar. Limit fungsi yang akan kita tentukan nilainya dengan mengalikan faktor sekawan, biasanya mengandung tanda
    • Limit Fungsi 175 akar. Oleh karena itu, pengalian dengan faktor sekawan di- maksudkan untuk menghilangkan tanda akar sehingga perhitungan lebih mudah dan sederhana. Beberapa bentuk faktor sekawan yang sering dipakai dalam menentukan limit fungsi di antaranya adalah sebagai berikut. 1) (x – a) faktor sekawan dari (x + a) dan sebaliknya. 2) x – a faktor sekawan dari x + a dan sebaliknya. 3) x y faktor sekawan dari x + y dan sebaliknya. 4) f ( x ) – a faktor sekawan dari f ( x ) + a dan sebaliknya. Selain akar pangkat dua atau akar kuadrat, ada pula bentuk 3 x +1 1 akar pangkat tiga dari suatu fungsi seperti dan x x 8 3 . Kalian tentu masih ingat bahwa (x – y)(x2 + xy + y2) = x 2 x3 – y3. Bentuk ini dapat kalian gunakan untuk menentukan nilai limit suatu fungsi yang mempunyai bentuk akar pangkat tiga. Contoh: Tentukan limit fungsi berikut. x 2x 1 a. lim x 1 x 1 x 27 b. lim x 27 3 x 3 Jawab: Kuis x 2x 1 x 2x 1 x + 2x 1 a. lim = lim × x 1 x 1 x 1 x 1 x + 2x 1 • Kerjakan di buku tugas ( x )2 ( 2 x 1 )2 2 x x = limlim = .... x 1 ( x 1)( x + 2 x 1)x 1 x2 x 1 x (2 x 1)a. –1 d. 1 = lim 2 x 1 (x 1)( x + 2 x 1) 1b. –1 e. 1 ( x 1) 2 = limc. 0 x 1 (x 1)( x + 2 x 1) SPMB 2007 1 = lim x 1 x + 2x 1 1 1 = = 1+1 2
    • 176 Khaz Matematika SMA 2 IPS x 27 x 27 (3 x )2 + 33 x + 9 b. lim = lim × x 27 3 x 3 x 27 3 x 3 (3 x )2 + 33 x + 9 ( x 27)((3 x )2 + 33 x + 9) = lim x 27 x 27 = lim ( 3 x 2 + 33 x + 9 ) x 27 = 3 272 + 33 27 + 9 = 9 + 3(3) + 9 = 27 • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 2 Tentukan nilai limit fungsi berikut. x2 3 x2 + x 3 1. lim (2x2 – 3x + 1) 9. lim x 2 x 3 x 2 2x 3 2 x2 + 1 2( x 2 4) x 2 2 x ) 2. lim 1 3 x2 10. lim + x 2x +1 x 2 x 2 2( x 2) x 2 16 3 5+ x 3. lim 11. lim x 4 x 2 x 12 x 41 5 x x2 4 (2 + h)2 4 4. lim 12. lim x 2 x2 5x + 6 h 0 h 2 2x x 3 x 2 5. lim 1 3 x2 + 8 x + 5 13. lim x x 2 x2 4 x 2 + 10 x 4 x2 6. lim 3 14. lim x 0 x + 2x x 2 3 x2 + 5 t 2 6t x 1 7. lim 15. lim t 2 0 t + 3t x 1 x2 + 4 2 t2 3t + 2 8. lim t 1 t 12. Menentukan Limit Fungsi di Titik Tak Berhingga (Pengayaan) Sebelum mempelajari limit fungsi di titik tak berhingga, perlu kalian ketahui bahwa lambang ” ” bukanlah notasi suatu bilangan. Namun, lambang itu hanya menyatakan suatu bilangan yang sangat besar.
    • Limit Fungsi 177 Sekarang perhatikan bilangan-bilangan berikut. 1 1 1 1 1 ... ... 10 100 1.000 100.000 1.000.000 0,1 0,01 0,001 … 0,00001 0,000001 0,00...1 1 Tampak bahwa makin besar pembaginya, nilai menjadi makin x Y 1 kecil mendekati nol. Hal ini ditulis untuk x , nilai 0. x 1 f(x) =1 ; x > 0 x Perhatikan gambar di samping. Kita dapat melihat bahwa makin O 1 X 1f(x) =x; x < 0 -1 1 besar nilai x, grafik makin mendekati sumbu X, yang berarti x makin mendekati nol. Gambar 4.5 Dengan demikian, mudah bagi kalian untuk mengatakan 1 lim = 0. x xn Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari bentuk limit yang apabila dikerjakan dengan substitusi, diperoleh , yaitu f ( x) nilai lim . x g ( x) 1 Seperti yang telah kalian ketahui bahwa lim = 0. Limit fungsi x xn f ( x) berbentuk lim , dengan f(x) dan g(x) fungsi pangkat x g ( x) 1 dikerjakan atas dasar lim = 0. Misalkan pangkat tertinggi xn x dari variabel adalah f(x) dan g(x) adalah m maka variabel berpangkat tertinggi adalah xm. Nilai limitnya dapat ditentukan sebagai berikut. 1 lim f ( x) = lim f ( x) × xm x g( x ) x g( x ) 1 xm
    • 178 Khaz Matematika SMA 2 IPS Contoh 1: Tentukan nilai limit fungsi berikut. 3x 3 2x 2 + 1 a. lim x 2x 3 + x 2x 3 x b. lim x 3 x2 + 1 2x 2 + x c. lim x 4 x3 + 1 Jawab: 1 2 2 3 2 3x 2x +1 lim 3x 2x + 1 x3 a. lim = x × Kuis x 2 2x + x 3 2x + x 1 • Kerjakan di buku tugas x3 x2 x2 2 1lim = .... 3 + x 2 x 1 2 x +1 x x3 = lim 1 x 1a. 2 d. 2+ 2 4 xb. 1 e. 0 1c. 2 1 2 3 + 3 0+0 3 UM-UGM 2006 = = = 1 2+0 2 2+ 1 2x3 x 2x3 x x3 b. lim = lim × x 3x 2 + 1 x 3x 2 + 1 1 x3 1 2 = lim x2 x 1 1 + x x3 1 2 = lim x 3 1 + 2 0 = = 0+0
    • Limit Fungsi 179 1 2 2 2x + x x3 c. lim = lim 2 x 3 + x × x 4x3 + 1 x 4x + 1 1 x3 2 1 + x x2 = lim x 1 4+ 3 x 2 1 + 0+0 = = =0 1 4+0 4+ f (x )Limit bentuk untuk x dapat dikerjakan dengan cepat. g ( x)Misalkan f(x) mempunyai pangkat tertinggi m dan g(x)mempunyai pangkat tertinggi n. Dalam pembahasan limit, tentukalian masih ingat nilai limit berikut. f ( x)1. Jika lim f(x) = 0 dan lim g(x) = a, a R maka lim = 0. x c x c x c g( x ) f ( x)2. Jika lim f(x) = a > 0 dan lim g(x) = 0 maka lim =+ . x c x c x c g( x ) f ( x)3. Jika lim f(x) = a < 0 dan lim g(x) = 0 maka lim =– . x c x c g( x ) x cDengan demikian, kita dapat menentukan nilai limit berikut.Untuk f(x) = axm + bxm–1 + … + a0 dan g(x) = pxn + qxn–1 + … + b0,berlaku f ( x) a lim = jika m = n x g( x ) p f ( x) lim =+ jika m > n dan a > 0 x g( x ) f ( x) lim = jika m > n dan a < 0 x g( x ) f ( x) lim = 0 jika m < n x g ( x)
    • 180 Khaz Matematika SMA 2 IPS Contoh 2: Tentukan limit fungsi berikut. x2 2x +1 5 x5 + 2 a. lim 2 c. lim x x +1 x x2 1 2x 3 7 6x2 7 b. lim d. lim x x2 + 1 x 3 x7 + 1 Jawab: a. Misalkan f(x) = x2 – 2x + 1 dan g(x) = x2 + 1. Tampak bahwa pangkat tertinggi kedua fungsi sama, yaitu 2. Oleh karena itu, x2 2x +1 1 lim 2 = =1 x x +1 1 x2 2 x +1 1 2+ 1 1 sebab lim = lim = = 1. x x2 + 1 x 1+ 1 1 Kuis b. Misalkan f(x) = 2x3 – 7 dan g(x) = x2 + 1. Pangkat tertinggi • Kerjakan di buku tugas f(x) adalah 3, pangkat tertinggi g(x) adalah 2, dan koefisien dari x3 adalah 2 > 0. (5 + 4 x )( x 5)(1 3 x )lim Oleh karena itu,x (3 2 x )( x 2 3 x + 7)= .... 2x 3 7a. 2 d. 8 lim =b. 4 e. 12 x x2 + 1c. 6 2x3 7 2 7 2 UM-UGM 2006 sebab lim 2 = lim 1 1 = = . x x +1 x + 0 c. Misalkan f(x) = –5x5 + 2 dan g(x) = x2 – 1. Pangkat tertinggi f(x) adalah 5, pangkat tertinggi g(x) adalah 2, dan koefisien x5 adalah –5 < 0. Oleh karena itu, 5x 5 + 2 lim = x x2 1 5x 5 + 2 5+ 2 5 lim sebab x 2 = lim 1 1 = = . x 1 x 0 d. Misalkan f(x) = 6x2 – 7 dan g(x) = 3x7 + 1. Pangkat tertinggi f(x) adalah 2, pangkat tertinggi g(x) adalah 7. Oleh karena itu, 6 7 6x2 7 0 lim 7 lim = 0 sebab x 1 = = 0. x 3x + 1 3+ 3
    • Limit Fungsi 1813. Limit Tak Berhingga dalam Bentuk Akar Perhatikan bentuk limit berikut. lim ax 2 + bx + c ax 2 + px + q x Dengan menggunakan perkalian sekawan, diperoleh ax 2 + bx + c + ax 2 + px + q lim ax 2 + bx + c ax 2 + px + q × x ax 2 + bx + c + ax 2 + px + q Tantangan ( ax 2 + bx + c) ( ax 2 + px + q ) Inovatif = lim • Kerjakan di buku tugas x ax 2 + bx + c + ax 2 + px + qKalian tentu dapat menyele- ( b p) x + ( c q )saikan limit bentuk = lim x b c p q limU ( x ) V ( x ) , dengan x a+ + 2 + a+ + 2x x x x xU ( x )= ax 2 + bx + c danV ( x )= ax 2 + px + q . c q ) b – p+(Bagaimana cara menentu- = lim xkan limit fungsi x b c p q U( x) V ( x) a+ + 2 + a+ + 2lim jika x x x x x x c b pU ( x )= ax 2 + bx + c dan = a+ aV ( x )= ax 2 + px + q ,dengan a r? b p = 2 a Dari uraian di atas, diperoleh rumus b p lim ax 2 + bx + c ax 2 + px + q = x 2 a Kalian harus ingat, koefisien x2 pada kedua tanda akar harus sama. Contoh: Tentukan lim 3 x 2 2 x + 3 3x 2 + x 5 . x Jawab: Dari soal diketahui a = 3, b = –2, dan p = 1. Dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh 2 1 lim 3 x 2 2 x + 3 3 x 2 + x 5 = x 2 3 3 3 1 = . = 3 2 3 3 3
    • 182 Khaz Matematika SMA 2 IPS Problem Tentukan lim ( x 2) x2 5x + 2 . Solving x Jawab: lim ( x 2) 3x 2 5x + 2 x 2 = lim ( x 2) x2 5x + 2 x 2 = lim x 4x + 4 x2 5x + 2 x Dari bentuk terakhir, diperoleh a = 1, b = –4, dan p = –5. Dengan menggunakan rumus, diperoleh 4 ( 5) 1 lim x 2 4 x + 4 x 2 5x + 2 = = . x 2 1 2 • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 3 Tentukan nilai limit fungsi berikut. 2 2x 2 7x + 1 2x + 5 1. lim 10. lim x 2x 2 + 7 x 1 x 3x 1 2 4 x3 2 x + 1 11. lim x 6 x + 5 x2 + x 1 x 2. lim x 3x 3 x 1 2 12. lim 2 x 4 x +1 2x2 +2x 1 x 7 x2 6x + 2 3. lim 2 13. lim x 2 x 2 3x + 5 x x x 2x 3 4x 2 14. lim x 2 x 2 + 5 x +1 4. lim x x 2x4 + 1 2 7 15. lim 8 x x +1 x 2x x x 5. lim x x8 + 2 x 2 16. lim 9 x 2 3 x 1 x ( x 3)(2 x + 4) 6. lim 17. lim (3 x 2) 9 x 2 2 x +1 x 3 x2 2 x x 2 + 25 18. lim ( 4 x 1) ( 4 x +1)2 +1 7. lim x x 3x 2 2 19. lim (1+ 3 x ) x 2 + (2 2 x +1)2 x 5x 1 8. lim x 5x + 1 20. lim (5 2 2 x) 2 x 2 + 8x 1 x 1 +x 9. lim x 1 x
    • Limit Fungsi 183C. Sifat-Sifat Limit dan Penggunaannya Kalian telah mempelajari bentuk limit fungsi aljabar. Jika kalian telah memahami limit-limit fungsi tersebut dengan baik, kalian dapat menarik kesimpulan bahwa dalam perhitungan limit berlaku aturan-aturan (sifat-sifat tertentu), baik penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan. Untuk memahami sifat-sifat itu, lakukan Aktivitas berikut. Aktivitas Tujuan : Menyelidiki sifat-sifat limit Permasalahan : Sifat-sifat apakah yang berlaku pada limit fungsi? Kegiatan : Kerjakan soal-soal berikut ini. 1. Berapakah nilai lim 6? Berapa pula x 2 nilai lim 9? x 2 2. Berapakah nilai lim ? x 2 3. Samakah nilai lim 4x dengan 4 lim x? x 1 x 1 2 4. Samakah nilai lim (2x +x ) dengan x 2 2 lim 2x + lim x ? x 2 x 2 5. Samakah nilai lim (x + 1)(x + 2) x 3 dengan lim (x + 1) . lim (x + 2)? x 3 x 3 2x + 3 6. Samakah nilai lim dengan x 2 x +1 lim (2 x + 3) x 2 ? lim ( x + 1) x 2 4 7. Samakah nilai lim x4 dengan lim x ? x 2 ( ) x 2 n 8. Samakah nilai lim (2x – 1) dengan x 2 n (lim(2 x 1)) ? Bagaimana jika n x 2 rasional? Kesimpulan : Berdasarkan jawaban dari kegiatan nomor 1–8, coba simpulkan sifat-sifat limit yang dapat kalian peroleh.
    • 184 Khaz Matematika SMA 2 IPS Dari Aktivitas di atas, kalian akan dapat menyimpulkan sifat- sifat berikut. Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta, berlaku sebagai berikut. 1. lim c = c x a 2. lim xn = an x a 3. lim c f(x) = c lim f(x) x a x a 4. lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) x a x a x a 5. lim f(x) × g(x) = lim f(x) × lim g(x) x a x a x a f ( x) lim f ( x ) 6. lim = x a x a g( x ) lim g( x ) x a 7. lim f(x)n = ( lim f(x))n x a x a lim n f ( x ) = n lim f ( x ) 8. x a x a Sifat-sifat di atas biasa disebut teorema limit pusat (Central limit theorem). Agar kalian lebih paham dalam penggunaannya, perhatikan contoh-contoh berikut. Contoh: Tentukan nilai-nilai limit fungsi berikut. a. lim (x2 – 6x + 7) x 1 b. lim (2x + 7) 5 3x 1 x 0 3 2x + 7 c. lim x 0 x +1 Jawab: a. lim (x2 – 6x + 7) = lim x2 – lim 6x + lim 7 x 1 x 1 x 1 x 1 = 12 – 6 lim x + 7= 1 – 6(1) + 7 = 2 x 1
    • Limit Fungsi 185 Kuis • Kerjakan di buku tugas b. lim (2x + 7) 5 3x x 0 1 = lim (2x + 7) x 0 . lim x 0 5 3x 1Jika U ( x ) = 2 x 2 + 5 x 7 = [ lim 2x + lim 7] lim x 0 x 0 . x 0 5 3x 1dan V ( x ) = 3 x 2 + 8 x 25 = [2(0) + 7] × ( 5 3( 0 ) 1) 5maka nilai lim U( x) V ( x) = 7 1 x 3 x 3 = –7= .... 3 3 7 2x + 7 2x + 7a. 26 c. lim = lim 52 x 0 x +1 x 0 x +1 8b. 26 52 3 lim (2 x + 7) 9 = x 0c. 26 52 lim ( x + 1) x 0 10d. 26 52 3 2(0 ) + 7e. 11 26 = 52 0 +1 UM-UGM 2005 3 7 = = 343 1 • Kerjakan di buku tugasSoal Kompetensi 4 Dengan menggunakan sifat-sifat limit, tentukan nilai limit fungsi berikut. x2 4 1. lim (3 – 2x + x2) 5. lim 2 x 1 x 2 x 3x + 2 sin x 2. lim (3x2 – 2x + 1) 6. lim x 2 x 0 x2 + x 2( x 1) 3. lim ( 2x 1 + 3) 7. lim x 2 x 1 x 1 x (1 x 2 ) 4. lim (x – 1)10 8. lim x 1 x 1 2x2 2 2x; x < 1 9. lim f(x), dengan f(x) = x 1 4 x 1; x 1 10. lim f ( x ) , dengan f(x) = 4 x + 1; x < 2 x 2 2 x + 5; x 2
    • 186 Khaz Matematika SMA 2 IPSD. Limit Fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan Limit merupakan konsep utama dalam kalkulus turunan (diferensial) maupun integral (invers turunan). Sebelum mempelajari turunan, kalian harus memahami bentuk limit yang mengarah pada materi-materi itu. Untuk dapat memahaminya, perhatikan gambar berikut. (a) (b) Gambar 4.6 Misalkan titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) digambarkan pada Gambar 4.6 (a). Garis g berpotongan dengan fungsi f(x) di titik P dan Q. Jika gradien garis g adalah m, nilai m adalah y2 y1 m= x2 x1 Pada Gambar 4.6 (a) tampak bahwa y2 = f(x2) dan y1 = f(x1). Oleh karena itu, f ( x2 ) f ( x1 ) m = x2 x1 Jika x = x2 – x1 dan y = y2 – y1 ( dibaca: delta), persamaan gradien menjadi f ( x2 ) f ( x1 ) m = x2 x1 f ( x1 + x ) f ( x1 ) = x Sekarang perhatikan Gambar 4.6 (b). Jika titik P sebagai titik tetap dan titik potong Q bergerak mendekati titik P maka x = x2 – x1 0 (dibaca: delta x mendekati nol). Artinya, garis g berubah menjadi garis singgung kurva y = f(x) di titik P sehingga nilai m menjadi berikut.
    • Limit Fungsi 187 f ( x1 + x ) f ( x1 ) m = lim x 0 x Bentuk limit semacam ini akan dikembangkan ke arah konsep turunan (diferensial). Materi ini akan kalian pelajari pada bab selanjutnya. Secara umum, gradien (kemiringan suatu garis) menyinggung kurva f(x) dapat ditentukan dengan limit berikut. f ( x + x) f (x ) m = lim x 0 x x biasanya juga dituliskan dengan h. Agar kalian lebih mahir dalam penggunaannya, perhatikan contoh berikut.Contoh: f ( x + h) f ( x) Tentukan limit fungsi lim jika h 0 h a. f(x) = 4x – 3; b. f(x) = 4x2. Jawab: f ( x + h) f ( x) (4( x + h ) 3) (4 x 3) a. lim = lim h 0 h h 0 h 4 x + 4h 3 4x + 3 = lim h 0 h 4h lim = h 0 h = lim 4 = 4 x 0 f ( x + h) f ( x) 4( x + h )2 4x 2 b. lim = lim h 0 h h 0 h 4 x 2 + 8 xh + 4 h 2 4 x2 = lim h 0 h = lim (8x + 4h) h 0 = 8x
    • 188 Khaz Matematika SMA 2 IPS Problem Tentukan gradien garis singgung kurva y = 1 – x2 di titik A(1, 0) Solving dan di titik B(–1, 0). Jawab: Untuk menentukan gradien garis singgung kurva y = 1 – x2 di titik A dan B, dapat kalian lakukan dengan menentukan nilai m. f ( x + h) f ( x) Nilai m ditentukan dengan m = lim , untuk h 0 h f(x) = 1 –x2. Dengan demikian, diperoleh sebagai berikut. f ( x + h) f ( x) (1 ( x + h ) 2 ) (1 x 2 ) lim = lim h 0 h h 0 h = lim (–2x – h) h 0 = –2x Jadi, m = –2x. Untuk A(1, 0) maka m = –2(1) = –2. Untuk B(–1, 0) maka m = –2 (–1) = 2. Secara geometris, hal ini dapat digambarkan seperti gambar di samping. Gambar 4.7 • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 5 f ( x + h) f ( x) 1. lim Tentukan fungsi m(x) jika m(x) = h 0 , h untuk fungsi-fungsi f berikut. a. f(x) = 5 e. f(x) = 2x2 – x + 1 b. f(x) = 1 – x f. f(x) = 3x2 – 2x – 1 c. f(x) = 10x2 – 1 g. f(x) = (x + 1)(2x – 1) d. f(x) = (5x – 1)2 h. f(x) = (x + 1)2(x – 1) 2. Tentukan nilai m di titik P(0, 2) f ( x + h) f ( x) lim jika m = h 0 , untuk fungsi-fungsi f h berikut. a. f(x) = 10 e. f(x) = (x + 2)(2x + 1) b. f(x) = 2x – 5 f. f(x) = 2x3 c. f(x) = 2x2 + 1 g. f(x) = (x – 1)3 2 d. f(x) = x – 7x + 12 h. f(x) = (x – 1)2(x + 1) 3. Misalkan m adalah gradien garis g yang menyinggung kurva y di titik A. Tentukan m jika diketahui kurva y dan
    • Limit Fungsi 189 titik A sebagai berikut. Kemudian, berikan gambaran geometrisnya. a. y = 1 – 9x2; A(0, 1) b. y = x2 – 9; A(–3, 1) c. y = (x – 1)(x + 2); A(1, 0) d. y = x3; A(0, 0) 4. Sebuah benda bergerak menurut persamaan s(t) = 3t2 – 2t + 1. Jika kecepatan benda dinyatakan sebagai perubahan jarak yang ditempuh setiap perubahan waktu, tentukan a. kecepatan benda pada saat t = 5 detik; b. kecepatan benda pada saat t = 10 detik. 5. Kawat suatu jembatan gantung diikatkan pada tiang penyangga yang terpisah pada jarak 8 m. Kawat menggantung dengan bentuk parabola dan titik terendah berada 16 m di bawah titik gantung, tentukan besar sudut antara kawat gantung dan tiang penyangga ( ). (IngatTiang Tiangpenyangga penyangga gradien suatu garis biasanya menyatakan nilai tangen Jalan Jembatan Jalan suatu sudut). Lihat ilustrasi di samping. Gambar 4.8 6. Sebuah kota dijangkiti oleh epidemi flu burung. Petugas menaksir bahwa setelah t hari mulainya epidemi, banyaknya orang yang sakit dinyatakan dengan p(t) = 120t2 – 2 t3, untuk 0 t 40. Tentukan laju penularan flu burung pada saat t = 10, 20, dan 40. 7. Sebuah kapal tanker pengangkut minyak mengalami Tugas: Informasi Lanjut kebocoran di laut lepas sehingga menyebabkan tumpahan • Kerjakan di buku tugas minyak berbentuk lingkaran. Jari-jari lingkaran tumpahanCarilah wawasan dari inter- minyak tersebut bertambah besar pada laju tetap, yaitu 2net atau buku referensi lain km/hari. Tentukan laju pertambahan luas daerahtentang contoh-contoh fung-si yang tidak memiliki limit tumpahan minyak setelah 3 hari.di titik tertentu, serta contoh 8. Berat suatu tumor membahayakan pada saat t (dalamlimit fungsi f(x) yang meme- minggu) adalah w(t) = 0,2t2 – 0,09t gram. Carilah lajunuhi lim f(x) = f(a), a suatu pertumbuhan tumor ketika t = 120 jam. x akonstanta. Untuk memper-kaya wawasanmu, carilah 9. Tentukan laju perubahan luas suatu lingkaran terhadapinformasi tentang kontinui- kelilingnya pada saat kelilingnya 6 cm.tas dan pelajarilah. Buat 10. Zat cair mengalir dengan debit 3.600 cm3/s ke dalamkesimpulannya. tangki silinder vertikal bejari-jari alas 2 m. Tentukan kecepatan naiknya permukaan zat cair itu.
    • 190 Khaz Matematika SMA 2 IPS Rangkuman1. Limit lim f(x) = L secara intuitif 4. Sifat-sifat limit x a a. lim c = c diartikan untuk x mendekati a, tetapi x a x a maka f(x) mendekati L. b. lim xn = an2. Misalkan f(x) memiliki nilai limit x a untuk x a, nilai limitnya dapat c. lim c f(x) = c lim f(x) ditentukan dengan cara susbtitusi, x a x a pemfaktoran, dan mengalikan faktor d. lim (f(x) ± g(x)) sekawan. x a3. Jika f(x) = axm + bxm–1 + … + a0 dan = lim f(x) ± lim g(x) g(x) = pxn + qxn–1 + … + b0, berlaku: x a x a f ( x) a e. lim f(x) g(x) = lim f(x) × lim g(x) a. lim = jika m = n x a x a x a x g( x ) p f ( x) f ( x ) lim f ( x ) x a b. lim =+ jika m > n dan a > 0 lim f. x a g( x ) = lim g( x ) x g( x ) x a f ( x) c. lim =– jika m > n dan a < 0 g. lim f(x)n = ( lim f(x))n x g( x ) x a x a n f ( x) h. lim f ( x ) = n lim f ( x ) d. lim = 0 jika m < n x a x a x g( x ) 5. Konsep dasar turunan dari fungsi f(x) ditentukan dengan f ( x + x) f ( x) lim . x 0 x RefleksiCoba review kembali konsep limit yang makna limit fungsi? Berikan sebuah kasusbaru saja kalian pelajari. Dari konsep itu, yang penyelesaiannya dapat diarahkan kemampukah kalian memberi gambaran bentuk limit fungsi.(dengan bahasamu sendiri) tentang
    • Limit Fungsi 191 Tes Kemampuan Bab IV • Kerjakan di buku tugas A. Pilihlah jawaban yang tepat dengan memberi tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d, atau e. x 2 3x x2 10 x + 211. lim 2 = .... 6. Nilai lim 2 = .... x 0 x + 2x x 3 x 9 3 2 4 2 a. d. a. d. 2 3 3 3 2 3 b. e. 2 4 3 2 b. e. 3 3 c. 0 c. 0 x2 3 x 182. lim 2 = .... x2 3x + a x 3 x 3x 7. Jika lim = 1 maka nilai a a. 0 d. 3 x 2 x 2 b. 1 e. adalah .... c. 2 a. –2 b. –1 4 x c. 03. lim = .... x 4 2 x d. 1 a. 0 d. 4 e. 2 b. 1 e. x x c. 2 8. lim = .... x 0 x+x 2 x 9 a. 04. Nilai lim = .... x 3 x 3 1 a. 0 b. 2 b. 3 c. 1 c. 6 d. 2 1 e. d. 6 ( x 1)( x 2 + x + 1) e. 9. lim = .... x 1 x3 1 1 x a. 05. Nilai lim = .... b. 1 x 11 x c. 2 a. –3 b. 1 1 d. c. 2 3 d. 3 e. e.
    • 192 Khaz Matematika SMA 2 IPS 3 x 2 1; x < 2 x 2 2 3 x +110. Nilai lim f(x) = adalah .... 15. Nilai lim adalah .... x 2 7 2 x; x 2 x 1 ( x 1)2 a. 2 a. 0 b. 3 1 b. c. 4 3 d. 7 1 e. tidak ada c. 5 x+2 2x 2 111. Nilai lim = .... d. x 2 x 2 7 1 1 a. – d. 1 e. 2 9 b. 0 e. 1+ t 1 16. Nilai lim 3 adalah .... 1 t 0 1+ t 1 c. 2 3 a. 0 d. 3x 212. Nilai lim = .... 1 x 0 9+x 9 x b. e. 2 a. 3 d. 12 3 b. 6 e. 15 2 c. 9 c. 3 x 2x2 +3 xn 113. Nilai dari lim adalah .... 17. Nilai lim adalah .... x 1 x 1 x 3 9 x2 a. n2 – 1 d. 1 1 2 a. – b. n –n e. 9 c. n 1 b. – 6 x5 7 x 2 + 1 8 18. lim = .... x 2x4 + x 1 1 c. a. 3 d. 0 3 b. 2 e. 1 c. 1 d. 2 x 2 + 3x + 4 2 19. lim = .... e. x 3x 2 + 2 x + 3 3 a. 014. Nilai lim x ( 4x +8 ) 2 x 3 adalah .... b. 1 3 a. 0 c. b. 2 d. 3 c. 5 d. 11 4 e. e. 3
    • Limit Fungsi 193 2 c. 3x – 620. Jika diketahui f ( x ) = 3 maka nilai d. 3x2 – 6 5 x e. –6x f ( x p) f ( x ) lim adalah .... f ( x + h) f ( x ) + hf ( x ) p 0 p 26. lim , untuk f(x) = h 0 h 2 2 3x – 1 adalah .... a. 5 d. 5 x 3 15 x 2 a. 3 b. 3x + 2 2 2 b. 3 e. c. –3x + 4 5 x 153 x d. –3x + 1 2 e. 3x – 2 c. 3 27. Diketahui f(x) = 3x2 – 2 dan (g f)(x) = 15 x 4 3x g(2 + h) g(2) 15x2 – 7. Nilai lim = ....21. lim 2 = .... h 0 h x 9x + x + 1 a. 0 d. 3 a. 5 d. 5x b. 10 e. 5x + 3 1 b. e. c. 13 3 28. Persamaan garis singgung kurva c. 1 1 9 x2 y= di titik (2, 1) adalah ....22. Nilai lim adalah .... 5 2x x 3 4 x2 + 7 a. y = x – 1 a. 8 d. 1 b. y = 5 – 2x b. 4 e. 0 c. y = 5 – x 9 d. y = x + 1 c. e. y = 1 – x 4 x 5 + 2 x + 3x 2 29. Gradien garis singgung kurva y =23. lim = .... (1 x ) x 6 2x di x = k adalah .... 3 5 a. d. k 2 6 a. d. l – k (1 k ) b. e. 0 1 1 1 c. b. e. 2 (1 k )2 (1 k ) ( x + h)2 x2 c. k224. lim = .... h 0 h (1 k ) a. 0 d. 2x + h 30. Gradien garis singgung parabola b. 2h e. y = 1 – 2x – 3x2 di titik (–2, –7) adalah c. 2x .... f ( x + h ) f ( x) a. 325. lim , untuk f(x) = 3x2 – b. 6 h 0 h 6x + 1 adalah .... c. 9 a. 6x d. 10 b. 6x – 6 e. 14
    • 194 Khaz Matematika SMA 2 IPS B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan benar.1. Tentukan nilai limit fungsi berikut. a. Misalkan biaya (dalam dolar US) suatu perusahaan untuk menghasil- a. lim x ( x+2 x +1 ) kan x pasang sepatu adalah 1+ t 1 t C(x) = 5 + 3x + x2. b lim Carilah fungsi biayanya. t t2 +1 b. Analog dengan soal a, lakukan hal 2x2 3x 4 yang sama untuk C(x) = 10 – 3x + c. lim x x2 + 1 x2 . 5. Ingat kembali pelajaran Ekonomi d. lim x ( x ( x + 2) x2 2 ) tentang biaya rata-rata dan biaya total. Misalnya biaya rata-rata yang dikeluar- x3 x; x <0 kan produsen untuk memproduksi Q unit e. lim f(x) untuk f(x) = x 0 2 x 2 x; x 0 barang dinyatakan dengan C (Q)2. Carilah kemiringan/gradien garis CR(Q) = Q singgung kurva y = 9 – 2x2 di titik (2, 1). Tentukan persamaan garis singgung CR(Q) = fungsi biaya rata-rata tersebut. C(Q) = fungsi biaya total3. Biaya total produksi (dalam dolar) x unit Q = unit barang komoditas tertentu adalah C(x) = 5.000 Jika diberikan fungsi biaya totalnya C(Q) + 0,05x2. Tentukan biaya marjinal karena = 10.000 + 8Q (dalam ratusan ribu peningkatan produksi sebesar 10 unit. rupiah), tunjukkan bahwa biaya rata-rata4. Apabila diberikan fungsi biaya total C(x) akan stabil (atau mendekati stabil) jika dengan x adalah jumlah barang yang produsen secara berlanjut (terus- diproduksi maka fungsi biaya marjinal- menerus) meningkatkan jumlah produk- nya adalah sinya. Bagaimana nilai batas dari biaya rata-rata ini? Tunjukkan dengan C( x + x ) C( x ) visualisasi grafik. (Petunjuk: Gunakan lim . x 0 x konsep limit mendekati tak berhingga). Kata Bijak Keberhasilan terbesar dalam hidup adalah dapat bangkit kembali dari kegagalan.
    • Turunan 195 Bab VTujuan PembelajaranSetelah mempelajari babini, diharapkan kalian dapat1. menjelaskan arti fisis dan geometris turunan di satu titik;2. menentukan laju per- ubahan nilai fungsi terhadap variabel be- basnya;3. menggunakan aturan turunan untuk meng- hitung turunan fungsi aljabar;4. menentukan persa- maan garis singgung pada suatu kurva;5. menentukan selang di mana suatu fungsi naik atau turun; Sumber: CD Corel Boat 36. menentukan titik sta- sioner fungsi dan jenis ekstremnya;7. menentukan titik belok suatu fungsi; Turunan8. menggambarkan gra- fik fungsi.9. memudahkan masalah Motivasi yang berkaitan dengan Kecepatan dan percepatan merupakan dua buah besaran turunan fungsi;10.menyelesaikan dan turunan yang sering dibicarakan dalam ilmu fisika. Konsep menafsirkan model kecepatan diperoleh dari perubahan jarak terhadap waktu, matematika yang ber- kaitan dengan turunan sedangkan percepatan diperoleh dari perubahan kecepatan fungsi. terhadap waktu. Contoh percepatan adalah dalam sebuah lomba balap speed boat. Pada saat berangkat dari start, speed boat mulai melaju, kemudian mempercepat kelajuannya. Dapatkah kecepatan sesaat pada waktu tertentu ditentukan? Kasus-kasus seperti ini akan mudah ditentukan dengan menggunakan ilmu hitung turunan.
    • 196 Khaz Matematika SMA 2 IPS Peta Konsep f (x + h) f (x ) Turunan lim h 0 h mempelajari Turunan Fungsi Fungsi Naik, Grafik Aplikasi Aljabar Fungsi Turun, Fungsi dan Nilai Stasioner diselesaikan dengan untuk menentukan Rumus Dasar Aturan Turunan Rantai Persamaan Kecepatan Penyelesaian Kasus Garis dan Limit Tak Maksimum Singgung Percepatan Tentu dan Minimum Kata Kunci• aturan rantai • garis singgung • nilai stasioner• dalil L’Hopital • gradien • percepatan• diferensiabel • kecepatan • titik kritis• fungsi naik • maksimum • turunan• fungsi turun • minimum
    • Turunan 197 Pada bab sebelumnya, kalian telah mempelajari tentang limit fungsi. Limit fungsi merupakan materi prasyarat untuk mempelajari turunan. Di akhir bab limit fungsi, kalian telah mempelajari limit fungsi yang mengarah pada konsep turunan. Pada bagian itu, kalian telah memperoleh bentuk limit yang menjadi dasar turunan. Di samping itu, ketika di SMP kalian pernah mempelajari kemiringan (gradien) suatu garis. Kemiringan ini akan membantu kita dalam mempelajari konsep turunan. Sebelum mempelajari bab ini, jawablah pertanyaan- pertanyaan berikut. Prasyarat 1. Tentukan gradien dari garis y = 2x + 2. Kerjakan di buku tugas 2. Diketahui f(x) = 2x + 2. Tentukan f ( x + h) f ( x ) lim = . h 0 h 3. Samakah hasil 1 dan 2? Apa sebenarnya hubungan antara soal 1 dan 2? Setelah kalian mampu menjawab soal-soal di atas, mari lanjutkan mempelajari materi berikut.A. Turunan dan Tinjauan Geometrinya1. Pengertian Turunan Pada pembahasan sebelumnya, kalian telah mempelajari limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan (diferensial). Perhatikan kembali bentuk limit fungsi berikut. f ( x + h) f ( x) Misalkan diberikan fungsi y = f(x). Jika lim h 0 h ada, fungsi y = f(x) dikatakan mempunyai turunan (diferensiabel) di titik x. dy Turunan fungsi f(x) dinotasikan dengan f(x) atau . dx Jadi, turunan suatu fungsi f(x) didefinisikan sebagai berikut. Lagrange (1736–1813) dy f ( x + h) f ( x) = f(x) = lim Sumber: www.cygo.com dx h 0 h Gambar 5.1 dy Notasi dibaca ”dy dx” artinya ”turunan dari y ke x”, dx
    • 198 Khaz Matematika SMA 2 IPS pertama kali diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), sedangkan f(x) diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange (1736–1813). Agar kalian ingat kembali materi tersebut, perhatikan contoh berikut. Contoh 1: Dengan menggunakan definisi dy f ( x + h ) f ( x) = f(x) = lim , dx h 0 h tentukan turunan pertama fungsi f(x) = x2 + 1. Jawab: f ( x + h) f ( x) ( x + h)2 + 1 ( x 2 + 1) lim = lim h 0 h h 0 h x 2 + 2 xh + h 2 + 1 x 2 1 = lim h 0 h 2 xh + h 2 = lim = lim 2x + h = 2x h 0 h h 0 Contoh 2: Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = 3 . x2 Jawab: 3 3 f ( x + h) f ( x) ( x + h) 2 x2 lim = lim h 0 h h 0 h 3 3 x 2 + 2 xh + h 2 x2 = lim h 0 h 3 x 2 3( x 2 + 2 xh + h 2 ) = lim h 0 h( x 2 + 2 xh + h 2 )x 2 6 xh 3h 2 = lim h 0 h( x 2 + 2 xh + h 2 ) x 2 6 x 3h 2 = lim 2 2 2 h 0 ( x + 2 xh + h ) x 6x 6 = 4 =– 3 x x
    • Turunan 199Jendela Informasi Gottfried Wilhelm Leibniz Informasi lebih lanjut Pada akhir abad XVII, ahli matematika mengenal penjungkirbalikan pendapat yang luar biasa. Bilangan kecil yang nilainya tidak berhingga kecilnya sangat mencolok dan mulai saat itu menggelitik para ahli. Tokoh Jerman, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646– 1716) menyumbangkan karyanya dalam membangun hitung diferensial (turunan) dan infinitesimal. Leibniz adalah pencipta notasi dy turunan . Dia juga pencipta notasi integral dx Leibniz (1646–1716) . Carilah informasi tentang tokoh ini dan Sumber: www.cygo.com karya-karyanya di perpustakaan atau internet. Sumber: www.noisefactory.co.uk • Kerjakan di buku tugasSoal Kompetensi 1 Dengan menggunakan definisi turunan suatu fungsi, tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut. 1. f(x) = 3x + 5 6. f(x) = x 2. 2 f(x) = 3x + 1 7. f(x) = x x 3. f(x) = x2 + 3x + 4 8. f(x) = (3x – 2)2 5 1 4. f(x) = 9. f(x) = 2x x+ 1 3 5. f(x) = 10. f(x) = (1 – x)3 x22. Turunan Ditinjau dari Sudut Pandang Geometri Seperti telah dibahas pada bab sebelumnya, limit yang mengarah pada konsep turunan dapat digambarkan sebagai kemiringan atau gradien suatu kurva di titik tertentu. Misalkan diberikan fungsi y = f(x), titik P(x, y), serta Q(x + x, y + y) seperti tampak pada gambar samping. Pada gambar di samping, sudut adalah besar sudut yang dibentuk antara garis g yang menyinggung fungsi f(x) di titik P dengan sumbu X, sedangkan sudut adalah Gambar 5.2 besar sudut yang dibentuk antara garis
    • 200 Khaz Matematika SMA 2 IPS penghubung titik P dan Q dengan sumbu X. Seperti yang kalian ketahui bahwa nilai tangen merupakan koefisien kemiringan suatu garis. Koefisien arah suatu garis sama dengan nilai tangen sudut garis terhadap sumbu mendatar. Oleh karena itu, dari gambar tersebut, diperoleh y f ( x + x) f ( x) tan = = . x x Nilai tan , yaitu gradien persamaan garis singgung g terhadap f(x) di titik P dapat ditentukan dengan cara pendekatan berikut ini. Misalkan titik Q bergerak sepanjang f(x) mendekati titik P. Akibatnya, x 0. Dengan demikian, besar sudut mendekati besar sudut . Dengan kata lain, y f (x + x ) f ( x) lim tan = lim0 = lim = tan . x 0 x x x 0 x Besar perubahan x yang dinyatakan dengan x biasanya juga dinyatakan dengan h. Dari bentuk limit terakhir, tampak bahwa kemiringan (gradien) suatu garis g merupakan nilai tangen sudut garis itu, yaitu tan . Dengan demikian, f(x) merupakan gradien garis singgung fungsi f(x) di titik (x, y). Selain diartikan sebagai gradien garis singgung, f(x) juga diartikan sebagai laju perubahan suatu fungsi. Misalkan diketahui fungsi y = f(x). Gradien garis singgung di titik P(a, b) yang terletak pada fungsi y = f(x) adalah sebagai berikut. f (a + h ) f (a ) m = f(a) = lim h 0 h Contoh: Tentukan gradien garis singgung kurva yang memiliki 4 persamaan f(x) = , untuk x 0 di x = 2. x Jawab: 4 4 f(x) = lim x + h x h 0 h 4 x 4 x 4h = lim h 0 xh( x + h )
    • Turunan 201 4 lim = h 0 x ( x + h) 4 = x2 Dengan demikian, gradien garis singgung kurva y = f(x) untuk 4 x = 2 adalah m = f(2) = = –1. x2 Dengan kata lain, laju perubahan fungsi f(x) di x = 2 adalah –1. • Kerjakan di buku tugasSoal Kompetensi 2 Untuk soal nomor 1 – 5, tentukan gradien garis singgung fungsi berikut di titik yang diberikan. 1. f(x) = 4x, di x = 2 2. f(x) = x2 – x, di x = 1 3. f(x) = 3x2 + 2x – 5, di x = 3 4. f(x) = 4x2 + 3x – 2, di x = 2 5. f(x) = 2x3 – 4x2 + x + 1, di x = 1 Untuk soal nomor 6–8, tentukan laju perubahan fungsi di titik yang diberikan. 3 6. f(x) = , untuk x 0 di x = 4 x 3 7. f(x) = , untuk x 0 di x = 2 2x 2 8. f(x) = 2 , di x = 1 x +1 9. Biaya total yang dikeluarkan oleh suatu perusahaan ditunjukkan oleh persamaan C = 8Q2 – 400Q + 10.000 (C dalam ratusan ribu rupiah Q jumlah unit barang). Fungsi biaya marginal (MC) dirumuskan sebagai MC = dC . Tentukan fungsi biaya marginalnya. dQ 10. Suatu fungsi permintaan suatu barang ditaksir dengan 1 rumus Q = 16 – P, dengan Q jumlah barang yang 4 diminta dan P harga per unit (P dalam ribuan rupiah). a. Bagaimana bentuk grafiknya? b. Apakah jumlah barang maksimum bergantung pada harga per unitnya? Mengapa jawaban kalian demikian? Jelaskan melalui konsep turunan.
    • 202 Khaz Matematika SMA 2 IPSB. Turunan Fungsi Aljabar Misalkan terdapat fungsi f(x) = c, f(x) = x, f(x) = x2, f(x) = x3, f(x) = x4, dan seterusnya hingga f(x) = xn. Dengan menggunakan dy f ( x + h ) f ( x) rumus = f(x) = lim , kalian akan dx h 0 h memperoleh turunan fungsi f(x) = c adalah f(x) = 0, turunan fungsi f(x) = x adalah f(x) = 1, turunan fungsi f(x) = x2 adalah f(x) = 2x, turunan fungsi f(x) = x3 adalah f(x) = 3x2, dan Perhatian seterusnya. Secara umum, fungsi f(x) = xn, dengan n bilangan bulat, Cnm adalah kombinasi n ( x + h) n xnunsur dari m unsur yang turunannya dapat ditentukan dengan f(x) = lim .tersedia yang dirumuskan h 0 h m! Menurut teorema binomial, untuk x dan y bilangan real dandengan Cnm = . n!( m n)! n bilangan asli, berlakuNotasi faktorial telah kalianpelajari di Bab II. (x + y)n = C0n xn + C1n xn–1y + C2n xn–2y2 + ... + Cnn yn Dengan teorema tersebut, diperoleh sebagai berikut. ( x + h) n xn f(x) = lim h 0 h C0n x n + C1n x n 1h + ... + Cnn h n xn = lim h 0 h x n + C1n x n 1h + ... + h n xn = lim h 0 h C1n x n 1h + ... + h n = lim h 0 h n n–1 = C1 x = nxn–1 Dengan demikian, apabila f(x) = xn dengan n bilangan asli maka telah terbukti f(x) = nxn–1. Dengan cara yang sama, jika f(x) = axn maka dapat dibuktikan bahwa turunan f(x) adalah f(x) = anxn–1. Rumus ini juga berlaku untuk n bilangan rasional (bukti tidak diberikan). Coba kalian tunjukkan dengan salah satu atau beberapa contoh bilangan rasional. Oleh karena itu, secara umum dapat dikatakan sebagai berikut. Jika n bilangan rasional, a dan c konstanta, sedangkan f(x) turunan dari f(x) maka berlaku rumus turunan sebagai berikut.
    • Turunan 203 Jika f(x) = c maka turunannya adalah f(x) = 0. Jika f(x) = xn maka turunannya adalah f(x) = nxn–1. Jika f(x) = axn maka turunannya adalah f(x) = anxn–1. Contoh 1: Tentukan turunan dari 1 a. f(x) = 6x4; b. f(x) = . x Jawab: a. Karena f(x) = 6x4 maka dalam hal ini a = 6 dan n = 4. Jadi, f(x) = 6(4x4–1) = 24x3. 1 b. f(x) = = x–1. Dalam hal ini, n = –1. x 1 Jadi, f(x)= –x–1–1= –x–2 atau f(x) = 2 . x Contoh 2: Tentukan turunan dari f(x) = x . Jawab: Dengan menggunakan definisi turunan, diperoleh x+h x f(x) = lim h 0 h x+h x x+h + x = lim × h 0 h x+h + x Tugas: Investigasi ( x + h )2 ( x )2 • Kerjakan di buku tugas lim = h 0 h( x + h + x )Buatlah fungsi dengan pang-kat variabelnya berupa x+h x lim = h 0bilangan pecahan, misalnya h( x + h + x ) 3 2 1 x 5 , x 7 , atau x 3 . Tentukan 1 1turunan fungsi-fungsi yang lim = h 0 = x+h + x 2 xtelah kamu buat denganmemakai definisi fungsi Jika kalian menggunakan rumus turunan fungsi untuk f(x) =turunan seperti di atas. Per- 1hatikan hasil yang diperoleh. xn di atas, dalam hal ini n = , kalian akan memperoleh hasilSamakah hasilnya jika 2dikerjakan memakai rumus 1 1 1 1 1 1turunan fungsi f(x) = axn di f(x) = x2 = x 2= .atas? 2 2 2 x
    • 204 Khaz Matematika SMA 2 IPS Apabila diketahui f(x) = k, dengan k sembarang konstanta, Mari bagaimanakah fungsi turunannya? Jelaskan dengan gambar Berdiskusi jika ditinjau dari sudut pandang geometris. Kreativitas • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 3 1. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut. 3 a. f(x) = x5 f. f(x) = 2 x 2 x b. f(x) = x2 g. f(x) = x 2 c. f(x) = –5x–3 h. f(x) = + 2x x x 5 d. f(x) = 1 – 2x + 3x2 i. f(x) = 1 2x4 x 5 3 e. f(x) = j. f(x) = x x5 2. Diketahui f(x) = 2x2 – 6mx + 2. Jika f(5) = 8, tentukan nilai m. 6 x 2 + 5x 1 3. Misalkan g(x) = ax + bx + c, dengan a = lim 2 x 1 x +1 f ( x + h) f ( x ) dan b = lim , untuk f(x) = 4x. x 0 h Jika g(1) = 0, tentukan nilai c dan rumus fungsi g(x).C. Sifat-Sifat Turunan Suatu Fungsi Misalkan n bilangan rasional, c konstanta, u(x) dan v(x) fungsi-fungsi diferensiabel dengan turunannya masing-masing u(x) dan v(x). Jika f(x) turunan dari f(x), berlaku sifat-sifat sebagai berikut. a. f(x) = c u(x), turunannya f(x) = c u(x). b. f(x) = u(x) ± v(x), turunannya f(x) = u(x) ± v(x). c. f(x) = u(x) v(x), turunannya f(x) = u(x)v(x) + u(x) v(x). u( x ) d. f(x) = ; v(x) 0, turunannya v( x ) u ( x )v ( x ) u( x ) v ( x ) f(x)) = . (v( x ))2 e. f(x) = u(x)n, turunannya f(x) = n(u(x))n–1u(x).
    • Turunan 205 Untuk membuktikan sifat a dan b, dapat kalian gunakan limit yang mengarah ke konsep turunan. Hal ini sangat mudah dilakukan. Coba kalian buktikan. Berikut ini akan kita buktikan sifat c dan d, sedangkan e dapat kalian buktikan setelah mempelajari aturan rantai. Jika f(x) = u(x)v(x), turunannya adalah f(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x). f ( x + h) f ( x ) f(x) = lim h 0 h u( x + h ) v ( x + h ) u( x ) v ( x ) = lim h 0 h Dengan menambahkan –u(x + h)v(x) + u(x + h)v(x) pada pembilang maka diperoleh u( x + h){v( x + h) v( x )} + v( x ){u( x + h) u( x )} f(x) = lim h 0 h v( x + h ) v( x ) u( x + h ) u ( x ) = u( x + h) lim + v( x ) lim h 0 h h 0 h = u(x)v(x) + v(x)u(x) ......................................... (terbukti) u( x ) Untuk membuktikan turunan f(x) = , terlebih dahulu v( x ) ubahlah persamaan itu menjadi u(x) = f(x)v(x). Dengan menggunakan sifat yang telah terbukti di atas, diperoleh u ( x) f ( x) v ( x) u(x) = f(x)v(x) + f(x) v(x) f(x) = v( x ) u( x ) Karena f(x) = maka kalian akan memperoleh v( x ) u ( x ) v( x ) u( x ) v ( x ) f(x) = .................................... (terbukti) v2 ( x) Coba perhatikan contoh berikut.Contoh: Tentukan f(x) jika diketahui a. f(x) = x3 + 2x; b. f(x)= 2x – x4 + 4. Jawab: a. Misalkan u(x) = x3 dan v(x) = 2x. Dengan demikian, u(x) = 3x2 dan v(x) = 2. Jadi, f(x) = 3x2 + 2. b. Misalkan u(x) = 2x, v(x) = x4, dan w(x) = 4. Dengan demikian, u(x) = 2, v(x) = 4x3, dan w(x) = 0. Jadi, f(x) = 2 – 4x3 + 0 = 2 – 4x3.
    • 206 Khaz Matematika SMA 2 IPS • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 4 Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini. 1. f(x) = (x2 + 2x) + (x2 – 5x) 5 2. f(x) = x4 + x2 + 2x + 6 6 2 2 3. f(x) = ( x3 + 2x2 – ) + (5x–3 – 2x2) 3 x2 3 4. f(x) = 2x2 + x 1 1 3 5. f(x) = ( x3 + x2 + x) – ( x4 – 2x2) 3 4 5 4 4 6. f(x) = x + x x 5 7. f(x) = (3x + 2)(x – 1) 8. f(x) = (x4 – 2x2 + 4x)(3x2 – 9x – 5) 2 9. f(x) = x2 3x 2x + 4 10. f(x) = 5x 3 + 3x 1D. Menentukan Turunan dengan Aturan Rantai (Pengayaan) Misalkan diketahui fungsi f(x) = (3x – 2)2. Tentu soal ini tidak terlalu sulit bagi kalian untuk menentukan turunannya, yaitu dengan menguraikannya terlebih dahulu, kemudian menurunkannya. Namun, bagaimana jika kalian dihadapkan pada persoalan f(x) = (3x – 2) 10 ? Apakah kalian juga akan menguraikannya terlebih dahulu, kemudian menurunkannya? Persoalan seperti ini akan lebih mudah jika dikerjakan dengan menggunakan aturan rantai. Prinsip menentukan turunan dengan menggunakan aturan rantai adalah mengubah fungsi yang akan diturunkan ke dalam fungsi bentuk dasar, seperti xn. Selanjutnya, fungsi dalam bentuk dasar itu diturunkan seperti halnya aturan yang telah dijelaskan sebelumnya. Misalkan terdapat fungsi y = f(u(x)). Turunan fungsi y dapat y y u ditentukan dengan lim = lim × x 0 x x 0 x u y u = lim × , u 0. x 0 u x Jadi, diperoleh dy = dy × du . dx du dx
    • Turunan 207 Dengan cara serupa, misalkan terdapat fungsi y = f(u(v(x))), turunan fungsinya dapat ditentukan dengan dy dy du dv . = × × dx du dv dx Untuk dapat memahami aturan rantai dengan baik, perhatikan contoh berikut. Contoh: Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. a. y = (3x – 2)2 b. y = ((1 – x2)6 – 1)3 Jawab: a. Misalkan u = 3x – 2. Dengan demikian, y = u2 u = 3x – 2 dy du = 3 = 2u du dx dy dy du Jadi, = × = 2u × 3 = 2(3x – 2)(3) =18x – 12. dx du dx b. Misalkan u = (1 – x2)6 – 1 dan v = 1 – x2. Dengan demikian, y = u3 u = v6 – 1 v = 1 – x2 dy du dv = 3u2 = 6v5 = –2x du dv dx Dengan demikian, dy = dy × du × dv dx du dv dx = 3u2(6v5)(–2x) = 3(v6 – 1)2(6v5)(–2x) = 3((1 – x2)6 – 1)2(6(1 – x2)5)(–2x) = –36x((1 – x2)6 – 1)2(1 – x2)5 Jadi, turunan y = ((1 – x ) – 1)3 adalah 2 6 y = –36x((1 – x2)6 – 1)2(1 – x2)5. • Kerjakan di buku tugasSoal Kompetensi 5 Tentukan turunan fungsi-fungsi y = f(x) berikut ini. 1. y = (2x + 3)3 2. y = (3 – 4x)–4 3. y = (x3 – 7x2 – x + 10)–2 1 4. y = (x4 + 12x3 – 2 x2)–5
    • 208 Khaz Matematika SMA 2 IPS 3 5. y= +5 x2 3x 1 6. y= 3 (7 x 2) 7. y = ((3 – x)5 – 2)3 8. y = (((2 – 3x2)4 – 1)2 – 1)2 2 9. y= +3 3 x 2 x 10. y = +1 (1 x ) x 2 1 +1 (3 x 2 + 4 ) 4 11. y = x 1 3 ( 12. y = 1 3 x 2 (2 x + 5) )E. Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Nilai Stasioner1. Pengertian Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Nilai Stasioner Untuk mengetahui ilustrasi suatu fungsi naik atau turun pada suatu interval, perhatikan Y gambar berikut. Pada gambar di samping, grafik fungsi f(x) naik pada interval a < x < b dan interval d < x < e, sedangkan pada interval b < x < c grafik fungsi tersebut turun, dan pada interval c < x < d grafik f(x) tidak naik dan tidak turun (stasioner). O a b c d e X Sekarang perhatikan cara menentukan Gambar 5.3 interval suatu fungsi naik atau turun. Misalkan diberikan fungsi y = f(x). a. Apabila suatu interval nilai x mengakibat- kan f(x) > 0 maka f(x) fungsi naik pada in- Gradien Gradien Gradien terval tersebut. Hal ini disebabkan gradien Y positif negatif positif f (x) > 0 f (x) < 0 f (x) > 0 persamaan garis singgung pada titik-titik tersebut adalah positif, yaitu garis-garis Gradien singgungnya condong ke kanan. Dalam hal nol ini, dikatakan bahwa fungsi f(x) naik. f (x) = 0 b. Apabila suatu interval nilai x mengakibat- kan f(x) < 0 maka f(x) fungsi turun pada O a b c d e X interval tersebut. Hal ini disebabkan gradien persamaan garis singgung pada titik-titik Gambar 5.4 tersebut adalah negatif (garis-garis sing-
    • Turunan 209 gungnya condong ke kiri). Dalam hal ini, dikatakan bahwa fungsi f(x) turun. c. Apabila suatu nilai x mengakibatkan f(x) = 0 maka f(x) stasioner (tidak naik atau turun) pada titik tersebut. Hal ini disebabkan gradien persamaan garis singgung pada titik- titik tersebut adalah nol (garis singgungnya mendatar). Contoh 1: Tentukan interval yang menyebabkan fungsi f(x) = x2 + 2x + 1 naik atau turun, kemudian tentukan pula nilai stasionernya. Jawab: Diketahui f(x) = x2 + 2x + 1 f(x) = 2x + 2 = 2(x + 1). –1 f (x) Fungsi naik jika f(x) > 0 2(x + 1) > 0 x > –1. (a) Fungsi turun jika f(x) < 0 2(x + 1) < 0 x < –1. Titik stasioner diperoleh jika f(x) = 0 2(x + 1) = 0 x= –1 sehingga nilai stasionernya f(–1) = 0. Jadi, titik stasionernya (–1, 0). Jadi, f(x) akan naik pada x > –1, turun pada x < –1, dan stasioner di x = –1 (lihat Gambar 5.5 (a)). Perhatikan grafik f(x) = x2 + 2x + 1. Dari gambar di samping, dapat dilihat bahwa f(x) naik pada interval x > –1, turun pada (b) interval x < –1, dan stasioner di x = –1.Gambar 5.5 Contoh 2: Tentukan interval yang menyebabkan fungsi f(x) = x5 + 2x3 + 3x naik, turun, atau stasioner. Jawab: 0 f (x) Diketahui f(x) = x5 + 2x3 + 3x sehingga diperoleh f(x) = 5x4 + 6x2 + 3. Untuk setiap x, nilai x4 0 dan nilai x2 0. Akibatnya, nilai (a) 5x4 + 6x2 + 3 > 0. Nilai f(x) tidak akan pernah bernilai nol karena tidak ada nilai x yang memenuhi 5x4 + 6x2 = –3. Dengan demikian, fungsi f(x) adalah fungsi yang naik untuk setiap x bilangan. Perhatikan grafik fungsi f(x) di samping. Gambar grafik fungsi di samping hanya diambil untuk domain –2 x 2. Dari gambar terlihat bahwa f(x) akan terus naik pada interval tersebut dan juga terus naik untuk x < –2 dan x > 2. (b) Gambar 5.6
    • 210 Khaz Matematika SMA 2 IPS Contoh 3: 1 Tentukan interval di mana fungsi f ( x )= x 3 x 2 3 x +1 naik. 3 Jawab: Fungsi naik jika f(x) > 0. f(x) = x2 – 2x – 3 + + 2 = x – 2x – 3 > 0 -1 3 = (x + 1)(x – 3) > 0 Gambar 5.7 1 3 2 Jadi, fungsi f ( x )= x x 3 x +1 akan naik untuk x < –1 atau 3 x > 3. • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 6 1. Tentukan pada interval manakah fungsi-fungsi berikut ini naik atau turun. Kemudian, tentukan nilai stasionernya. 1 a. f(x) = x2 – 4x d. f(x) = x3 – 4x2 + x – 2 5 b. f(x) = x2 – 8x + 10 e. f(x) = –5 – 7x2 – x3 c. f(x) = 1 – x – 2x3 2 1 2. Tunjukkan bahwa fungsi f(x)= ,x 0 adalah fungsi x x yang selalu naik untuk x > 0. 3. Tunjukkan bahwa fungsi f(x) = x3 adalah fungsi yang selalu turun untuk x > 0. 4. Tunjukkan bahwa fungsi f(x) = –x3 + 8x2 – 5x – 5 adalah fungsi yang selalu turun untuk setiap x. 5. Tunjukkan bahwa fungsi f(x) = x101 + x51 + x + 1 merupakan fungsi yang selalu turun pada x < 0. 6. Tunjukkan bahwa fungsi g( x ) = x 2 + 4 selalu naik untuk x > 0. 3 7. Turun atau naikkah fungsi f ( x ) = untuk x > 0? (1 + x 2 ) 8. Turun atau naikkah fungsi f ( x ) = x 2 x + 5 untuk x < 0? 9. Misalkan f(x) adalah suatu fungsi yang selalu naik untuk setiap x, sedangkan g(x) adalah fungsi konstan. Bagaimanakah bentuk fungsi f(x) + g(x)? Naik atau turunkah fungsi tersebut? Bagaimana dengan bentuk f ( x) fungsi f(x) – g(x), f(x) × g(x), dan ? g( x )
    • Turunan 211 10. Misalkan K(t) merupakan fungsi yang menunjukkan ukuran pengetahuan yang dicapai seorang manusia untuk belajar selama t jam ketika menghadapi ujian. Kira-kira bagaimana grafik fungsi K-nya? Cekung ke atas atau ke bawah? Mengapa?2. Jenis-Jenis Nilai Stasioner Kalian telah mengetahui titik stasioner dan nilai stasioner suatu fungsi. Terdapat 3 jenis nilai stasioner suatu fungsi, yaitu titik balik maksimum, titik balik minimum, dan titik belok. Adapun ilustrasinya dapat kalian perhatikan pada gambar berikut. turun turun naik naik (a) (b) naik turun naik turun (c) (d) Gambar 5.8 Misalkan x = a adalah absis titik stasioner. Perhatian a. Apabila nilai x yang lebih kecil dari a atau x < a menye-Titik balik maksimum, titik babkan f(x) turun dan nilai x yang lebih besar dari a atau x > abalik minimum, dan titik menyebabkan f(x) naik maka x = a adalah titik balik mini-belok sering juga disebut mum.titik-titik ekstrem. b. Apabila nilai x yang lebih kecil dari a atau x < a menye- babkan f(x) naik dan nilai x yang lebih besar dari a atau x > a menyebabkan f(x) turun maka x = a adalah titik balik maksimum. c. Apabila nilai x yang lebih kecil dari a atau x < a menye- babkan f(x) turun dan nilai x yang lebih besar dari a atau x > a menyebabkan f(x) juga turun maka x = a adalah titik belok. d. Apabila nilai x yang lebih kecil dari a atau x < a menye- babkan f(x) naik dan nilai x yang lebih besar dari a atau x > a menyebabkan f(x) juga naik maka x = a adalah titik belok.
    • 212 Khaz Matematika SMA 2 IPS Contoh 1: Tentukan nilai-nilai stasioner fungsi f(x) = x2 – 3x + 2 dan jenisnya. Jawab: Diketahui fungsi f(x) = x2 – 3x + 2 f(x) = 2x – 3. Dengan demikian, dapat kita tentukan sebagai berikut. Nilai stasioner 3 dicapai jika f(x) = 0, yaitu di titik x = . 2 3 Untuk x < maka f(x) < 0. Jadi, nilai-nilai x di sebelah kiri 2 3 3 titik x = , fungsinya turun. Untuk x > maka f(x) > 0. 2 2 3 3 f (x) Jadi, nilai-nilai x di sebelah kanan titik x = , fungsinya naik. 2 2 (a) Arah grafik dapat dilihat pada Gambar 5.9 (a). 3 3 1 Dengan demikian, nilai stasioner di x = , yaitu f( )= 2 2 4 3 1 adalah titik balik minimum, tepatnya titik ( , ). 2 4 3 1 Pada gambar di samping, terlihat bahwa titik ( , ) adalah 2 4 titik balik minimum. 3 1 ( , ) 2 4 (b) Gambar 5.9 Contoh 2: 1 Tentukan nilai-nilai stasioner fungsi f(x) = x4 – 2x3 + 4x2 dan 4 jenisnya. Jawab: 1 Diketahui f(x) = x4 – 2x3 + 4x2 f(x) = x3 – 6x2 + 8x 4 = x(x – 2)(x – 4). Nilai f(x) = 0 untuk x = 0, x = 2, dan x = 4. Oleh karena itu, nilai-nilai stasionernya adalah f(0), f(2), dan f(4). Selanjutnya, akan kita tentukan jenis ketiga nilai stasioner itu.
    • Turunan 213 1) Untuk x = 0 Jika x < 0 maka f(x) < 0. Akibatnya, untuk x < 0, fungsi f(x) turun. Jika 0 < x < 2 maka f(x) > 0. Akibatnya, untuk 0 < x < 2, fungsi f(x) naik. Dengan demikian, x = 0 adalah titik balik minimum, tepatnya adalah titik (0, f(0)) atau (0, 0). 2) Untuk x = 2 Jika 0 < x < 2 maka f(x) > 0. Akibatnya, untuk 0 < x < 2, fungsi f(x) naik. Jika 2 < x < 4 maka f(x) < 0 sehingga untuk 2 < x < 4, fungsi f(x) turun. 0 2 4 f (x) Dengan demikian, x = 2 adalah titik balik maksimum, (a) tepatnya adalah titik (2, f(2)) atau (2, 4). 3) Untuk x = 4 Jika 2 < x < 4 maka f(x) < 0. Akibatnya, untuk 2 < x < 4, fungsi f(x) turun. Jika x > 4 maka f(x) > 0. Akibatnya, untuk x > 4, fungsi f(x) naik. Dengan demikian, x = 4 adalah titik balik minimum, tepatnya titik (0, f(4)) atau (0, 0). Arah grafik dapat dilihat pada Gambar 5.10 (a). Perhatikan gambar di samping. Pada grafik fungsi di samping, tampak bahwa untuk x = 0 dan x = 4 merupakan titik balik minimum, sedangkan (b) untuk x = 2 merupakan titik balik maksimum. Gambar 5.10 • Kerjakan di buku tugasSoal Kompetensi 7 Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi-fungsi berikut ini (nomor 1–7). 1. f(x) = 2x2 – 4x + 5 2. f(x) = 9 – 4x – x2 3. f(x) = x3 – 27x 4. f(x) = 2x3 – 9x2 + 12 5. f(x) = 2 – 4x + 6x2 – 2x3 6. f(x) = –x6 – 4x5 7. f(x) = x(x – 2)2 8. Fungsi permintaan dari seorang pedagang baju di suatu pasar mengikuti pola Q = 21 – 2 P , dengan Q jumlah 3 unit barang yang diminta dan P harga barang dalam ribuan rupiah per unit.
    • 214 Khaz Matematika SMA 2 IPS a. Gambarlah grafiknya. b. Tentukan jumlah baju yang diminta seandainya baju itu diberikan secara gratis. (Petunjuk: Barang diberikan gratis, berarti harga sama dengan nol) c. Tentukan harga maksimum sedemikian rupa sehingga konsumen masih mampu membayarnya. 9. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan dengan Q = f(P) = 72 – 2P2, untuk Q barang yang diminta dan P harga per unit. Jika elastisitas permintaan pada tingkat harga dQ P tertentu (E) dinyatakan dengan E = × , tentukan dP Q elastisitas permintaan pada tingkat harga 3 (harga dalam ribuan rupiah). 10. Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh persamaan C = 4Q2 – 200Q + 2.500, dengan C biaya (dalam ribuan rupiah) dan Q unit barang. dC Jika biaya marjinal dinyatakan dengan MC = , dQ tentukan biaya total sedemikian rupa sehingga biaya marjinalnya maksimum.F. Menggambar Grafik Fungsi Setelah kalian mengenal bagaimana cara mencari titik-titik ekstrem dengan menggunakan turunan, selanjutnya kalian diajak untuk mempelajari cara menggambar sketsa grafik suatu fungsi. Dalam menggambar grafik suatu fungsi f(x), langkah- langkah yang perlu kalian perhatikan adalah sebagai berikut. 1. Menentukan titik potong fungsi f(x) dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu Y). 2. Menentukan titik-titik stasioner atau titik ekstrem dan jenisnya. 3. Menentukan titik-titik sembarang dalam fungsi untuk mem- perhalus grafik. Contoh: Sketsalah grafik fungsi f(x) = 2x3 – x4. Jawab: Langkah 1: Titik potong dengan sumbu X, syaratnya f(x) = 0. f(x) = 2x3 – x4 = x3(2 – x) = 0 sehingga diperoleh x = 0 atau x = 2. Dengan demikian, titik potong dengan sumbu X adalah (0, 0) dan (2, 0).
    • Turunan 215 Titik potong grafik dengan sumbu Y, syaratnya x = 0 sehingga f(0) = 0. Dengan demikian, titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 0). Langkah 2: Setelah menentukan titik-titik potong grafik dengan sumbu- sumbu koordinat, kita tentukan titik-titik ekstremnya. Diketahui f(x) = 2x3 – x4 f(x) = 6x2 – 4x3 = 2x2(3 – 2x) = 0 3 x = 0 atau x = . 2 a) Untuk x = 0 Untuk x < 0 maka f(x) > 0. Akibatnya, untuk x < 0, fungsi f(x) naik. 3 3 Untuk 0 < x < maka f(x) > 0. Akibatnya, untuk 0 < x < , 2 2 fungsi f(x) naik. Dengan demikian, x = 0 merupakan nilai di mana terdapat titik belok. 3 0 3 f (x) b) Untuk x = 2 2 (a) 3 3 Untuk 0 < x < maka f(x) > 0. Akibatnya, untuk 0 < x < , 2 2 fungsi f(x) naik. 3 3 Untuk x > , maka f(x) < 0. Akibatnya, untuk x > , 2 2 3 fungsi f(x) turun. 2 3 Dengan demikian, x = merupakan nilai x di mana 2 terdapat titik balik maksimum. Arah grafik tampak pada (b) Gambar 5.11 (a). Jadi, sketsa grafiknya seperti Gambar 5.11 (b). Gambar 5.11 • Kerjakan di buku tugasSoal Kompetensi 8 Buatlah sketsa grafik untuk fungsi-fungsi berikut ini. 1. f(x) = 2x2 – 8x + 3 6. f(x) = x(1 – x)2 2. f(x) = 9 – x2 7. f(x) = x4 – 4x3 3. f(x) = (3 – x)2 8. f(x) = 3x5 4. f(x) = x3 9. f(x) = x2(x3– 8) 5. f(x) = x4 10. f(x) = (x – 2)4
    • 216 Khaz Matematika SMA 2 IPSG. Aplikasi Turunan Ilmu hitung diferensial (turunan fungsi) sangat banyak digunakan dalam berbagai ilmu, seperti fisika, kimia, ekonomi, dan berbagai ilmu terapan. Berikut ini akan dibahas dan dicon- tohkan aplikasi ilmu hitung turunan, seperti penentuan persamaan garis singgung, penentuan limit tak tentu, dan penyelesaian kasus- kasus maksimum/minimum, termasuk di dalamnya kasus-kasus yang sering dijumpai dalam bidang ekonomi.1. Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva Seperti yang telah kalian pelajari sebelumnya, turunan pertama suatu fungsi merupakan gradien persamaan garis singgung pada suatu titik tertentu. Apabila suatu gradien persamaan garis singgung f(x) di titik (a, b) diketahui, kita dapat mencari persamaan garis singgungnya. Kalian tahu bahwa jika persamaan garis di titik (a, b) dan bergradien m adalah y – b = m(x – a). Karena gradien garis singgung f(x) di titik (a, b) adalah y = f(a), persamaannya dapat dirumuskan dengan y – b = f(a)(x – a) Contoh: Tentukan persamaan garis singgung fungsi f(x) = x2 di titik (2, 4). Jawab: Diketahui f(x) = x2 maka f(x) = 2x. Jadi, gradien garis singgungnya adalah f(2) = 2(2) = 4. Oleh karena itu, persamaan garis singgungnya adalah y – 4 = 4(x – 2) y = 4x – 4 • Kerjakan di buku tugas Soal Kompetensi 9 Untuk soal nomor 1– 6, tentukan persamaan garis singgung fungsi-fungsi berikut. 1. f(x) = 2x2 – 3x, di titik ( 3 , 0) 2 3 2 2. f(x) = x – x + 4x – 3, di titik (1, 4) 4 3. g(x) = 2 , di titik (3, –1) (x 10) 4. g(x) = x2(2 – x), di titik (2, 0)
    • Turunan 217 x 1 5. h(x) = , di titik (1, –1) x 3 6. f(x) = 3 , di titik (2, 3 ) ( x 4) 8 7. Tentukan persamaan garis singgung yang menyinggung grafik y = x2 – 4x – 5 dan sejajar garis y = 2x – 5. 8. Tentukan persamaan garis singgung grafik y = x2 – 2x – 3 dan tegak lurus dengan garis 2y + x – 6 = 0. 9. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 3x2 – 8x + 7 1 di titik (1, 2) yang gradiennya dari gradien garis y = 2 1 x + 9. 3 1 1 10. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 + x – 8 2 3 5 di titik (3, ) yang gradiennya berkebalikan dengan gradien 2 garis 4x + 2y + 5 = 0.2. Menentukan Limit Tak Tentu Kalian telah mempelajari berbagai macam bentuk limit tak tentu pada bab sebelumnya. Limit-limit yang mempunyai bentuk tak tentu, selain dapat dikerjakan dengan cara-cara yang sudah dibahas di bab sebelumnya, juga dapat dikerjakan dengan aturan L’Hopital, dibaca Loupital. Dalam pembahasan kali ini, bentuk- 0 bentuk tak tentu yang dimaksud adalah dan . 0 Apabila f(x) dan g(x) memiliki turunan di x = a dan f(a) = g(a) = 0, sedangkan f(a) dan g(a) tidak nol, berlaku f ( x) f ( x ) f ( a) lim = lim = x a g( x ) x a g ( x ) g ( a) Aturan inilah yang disebut dengan aturan L’Hopital. Apabila setelah kalian gunakan aturan L’Hopital dengan menentukan turunan pertama fungsi f(x) dan g(x) ternyata masih dijumpai 0 bentuk atau , lanjutkan aturan L’Hopital itu dengan 0 menentukan turunan kedua fungsi f(x) dan g(x). Apabila untuk
    • 218 Khaz Matematika SMA 2 IPS 0 turunan kedua masih dijumpai bentuk atau , lanjutkan 0 aturan L’Hopital dengan menentukan turunan ketiga fungsi f(x) dan g(x), demikian seterusnya sehingga tidak lagi dijumpai bentuk 0 atau . Agar lebih paham, perhatikan contoh berikut. 0 Contoh 1: x 2 Tentukan lim . x 2 x2 4 Jawab: Misalkan f(x) = x – 2 dan g(x) = x2 – 4. Dengan demikian, nilai f (2 ) 0 f(2) = 0 dan g(2) = 0. Akibatnya, = . Limit ini memiliki g (2 ) 0 0 bentuk tak tentu . 0 Dengan menggunakan aturan L’Hopital, kita tentukan f(x) dan g(x), yaitu f(x) = 1 dan g(x) = 2x. x 2 1 1 Jadi, lim 2 = lim = . x 2 x 4 x 2 2x 4 Contoh 2: x3 + 2x2 Tentukan lim . x 0 x4 4x3 Jawab: Misalkan f(x) = x3 + 2x2 dan g(x) = x4 – 4x3. Dengan demikian, f(0) = 0 dan g(0) = 0. Bentuk ini juga merupakan limit bentuk 0 . Karena f(x) = 3x2 + 4x dan g(x) = 4x3 – 12x2, nilai f(0) = 0 0 dan g(0) = 0. Ternyata masih dijumpai bentuk tak tentu. Oleh karena itu, f(x) dan g(x) kita turunkan lagi (turunan kedua dari f(x) dan g(x)) menjadi f(x) = 6x + 4 dan g(x) = 12x2 – 24x. Nilai f(0) = 4 dan g(0) = 0. Bentuk ini bukan bentuk tak tentu. x3 + 2 x 2 6x + 4 4 Jadi, lim = lim = = . x 0 x 4 4 x 3 x 0 12 x 2 24 x 0
    • Turunan 219Contoh 3: x +3 Tentukan lim 2 . x 0 x + 2x 3 Jawab: Misalkan f(x) = x + 3 dan g(x) = x2 + 2x – 3. Dengan demikian, f( ) f( )= dan g( )= . Jadi, = . g( ) Karena bentuk limit ini merupakan bentuk tak tentu, untuk menyelesaikannya, kita gunakan aturan L’Hopital. Karena f(x) = 1 dan g(x) = 2x + 2, diperoleh x+3 1 lim 2 = lim x x + 2x 3 x 2x + 2 1 = 2( ) + 2 1 = =0Contoh 4: 2x 3 + 3x 2 Tentukan lim . x x3 + 5 x 3 Jawab: Misalkan f(x) = 2x3 + 3x2 dan g(x) = x3 + 5x – 3. Dengan demikian, f( ) = dan g( ) = . Bentuk ini adalah bentuk limit tak tentu sehingga kita kerjakan dengan aturan L’Hopital. Karena f(x) = 6x2 + 6x dan g(x) = 3x2 + 5, akibatnya f( ) = dan g( ) = (masih dalam bentuk tak tentu). Selanjutnya, diteruskan dengan menentukan turunan kedua, yaitu f(x) = 12x + 6 dan g(x) = 6x. Nilai f( ) = dan g( ) = (masih dalam bentuk tak tentu). Kita lanjutkan lagi dengan menentukan turunan ketiga, yaitu f(x) = 12 dan g(x) = 6. Nilai f( ) = 12 dan g( ) = 6. 2 x 3 + 3x 2 6x2 + 6x Jadi, diperoleh lim = lim x x 3 + 5x 3 x 3x 2 + 5 12 x + 6 = lim x 6x 12 = lim = 2. x 6
    • 220 Khaz Matematika SMA 2 IPS • Kerjakan di buku tugasSoal Kompetensi 10 Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut dengan aturan L’Hopital. x2 3 x x2 + a 2 1. lim 6. lim x 3 x2 9 x x 3 + a3 3x x2 x 4 3x 2 + 2x 6 2. lim 7. lim x 0 x2 x 2x 4 7 x3 x2 x ( x 2 225)3 3. lim 8. lim x 0 x 2 + 3x x 15 (15 x )10 5 x3 2x5 4. lim 9. lim x 0 x3 x 1 (1 x ) 5 2 x2 5 x 2 2 x 3 (1 x 2 )5 5. lim 10. lim x 4 x 3 13x 2 + 4 x 3 x 0 x 10 13. Menyelesaikan Kasus Maksimum atau Minimum Selain dapat digunakan untuk menentukan kecepatan, percepatan, dan menentukan nilai limit bentuk tak tentu, turunan juga dapat digunakan untuk mencari titik-titik ekstrem (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi. Konsep mencari maksimum dan minimum ini secara umum dapat diterapkan pada kasus-kasus yang sering dijumpai dalam kehidupan sekitar kita, di antaranya kasus-kasus dalam ekonomi. Untuk dapat menyelesaikannya, ubahlah kasus-kasus tersebut ke dalam model matematika. Kemudian, selesaikan model itu. Agar kalian paham, pelajari contoh-contoh berikut. Contoh 1: Jumlah dua bilangan adalah 75. Tentukan kedua bilangan itu agar hasil perkaliannya maksimum dan hasil perkalian maksimum itu. Jawab: Misalkan kedua bilangan adalah x dan y dan hasil kalinya P. Dengan demikian, x + y = 75 x = 75 – y dan P = xy P = (75 – y)y P = 75y – y2. Kemudian, akan kita cari nilai ekstremnya dengan menyamakan turunan fungsi P dengan nol.
    • Turunan 221 dP = 75 – 2y = 0 2y = 75 y = 37,5 dy Jadi, diperoleh nilai x = 75 – y = 75 – 37,5 = 37,5. Dengan demikian, untuk x = 37,5 dan y = 37,5, diperoleh hasil perkalian yang maksimum, yaitu P = 37,5 × 37,5 = 1.406,25.Contoh 2: Diketahui suatu persegi panjang dengan keliling 200 cm. Tentukan berapa ukuran panjang dan lebarnya agar luasnya maksimum. Tentukan pula luas maksimum yang dimaksud. Jawab: Misalkan panjang persegi panjang adalah p cm dan lebarnya l cm. Kelilingnya adalah K = 2p + 2l 200 = 2p + 2l p = 100 – l Luasnya L = pl = (100 – l)l = 100l – l2 Selanjutnya, dicari nilai ekstrem. Agar diperoleh nilai ekstrem, turunan fungsi L harus bernilai nol. dL =100 – 2l = 0 l = 50 p = 100 – l = 100 – 50 = 50 dl Dengan demikian, dengan lebar l = 50 cm dan panjang p = 50 cm, persegi panjang tersebut memiliki luas maksimum. Luas maksimum yang dimaksud adalah L = 50 × 50 = 2.500. Jadi, luas maksimumnya 2.500 cm2.Contoh 3: Biaya total untuk memproduksi x unit kursi adalah 1 2 x + 35x 4 1 + 25 (dalam ribuan rupiah), sedangkan harga jualnya 50 – x 2 (dalam ribuan rupiah) per kursi. Berapakah produksi tiap hari yang seharusnya agar diperoleh keuntungan maksimum? Berapakah keuntungan maksimum itu? Jawab: 1 2 Diketahui biaya total untuk x unit kursi x + 35x + 25. 4 1 1 Harga jual x unit kursi adalah x(50 – x) = 50x – x2. 2 2
    • 222 Khaz Matematika SMA 2 IPS 1 2 1 3 Keuntungan adalah (50x – x ) – ( x2 + 35x + 25) = – x2 + 2 4 4 15x – 25 3 Misalkan fungsi keuntungan k(x) = – x2 + 15x – 25. 4 Agar diperoleh keuntungan maksimum maka k(x) = 0. 6 4 Oleh karena itu, k(x) = x + 15 = 0 x = 15 × = 10 4 6 kursi Jadi, agar diperoleh keuntungan maksimum, seharusnya produksi kursi per hari adalah 10 kursi. Keuntungan maksimum adalah 3 k(x) = – x2 + 15x – 25 4 3 k(10) = – (10)2 = 15(10) – 25 = 50 4 Dengan demikian, keuntungan maksimum per hari adalah 50 ribu rupiah. Problem Fungsi permintaan yang dihadapi oleh seorang produsen untuk Solving x unit barang ditunjukkan oleh p = 500 – x. Bagaimana fungsi penerimaan totalnya? Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum, dan besarnya penerimaan total maksimum tersebut. Jawab: Dari soal diketahui p = 500 – x. Oleh karena itu, fungsi penerimaan totalnya R = xp = x(500 – x) = 500x – x2. Untuk mencari penerimaan total (R) maksimum maka R = 0. Karena R = 500 x – x2 maka R = 500 – 2x. R = 0 500 – 2x = 0 2x = 500 x = 250 Biaya maksimum R = 500x – x2 = 500(250) – (250)2 = 62.500 rupiah. • Kerjakan di buku tugasSoal Kompetensi 11 1. Jumlah dua bilangan adalah 54. Tentukan kedua bilangan agar hasil kalinya maksimum. 2. Jika x dan y bilangan bulat positif sedemikian rupa sehingga jumlahnya 30, tentukan x dan y supaya xy2 bernilai maksimum.
    • Turunan 223 3. Gambar 5.12 adalah sebuah seng yang berbentuk persegi dengan panjang sisi 50 cm. Seng tersebut akan dibuat sebuah bak kecil terbuka dengan menggunting ujung- ujungnya yang berbentuk persegi kecil dengan ukuran x. Tentukan panjang x agar bak kecil tersebut mampu digunakan untuk menampung air sebanyak mungkin. 4. Luas permukaan sebuah kotak tanpa tutup dengan alas Gambar 5.12 berbentuk persegi adalah 108 cm2. Tentukan ukuran kotak tersebut agar volumenya maksimum. 5. Sebuah perusahaan minuman akan membuat kaleng yang berbentuk tabung tertutup dari bahan logam dengan vo- lume 300 cc. Tentukan ukuran kaleng yang akan dibuat sedemikian rupa sehingga bahan logam yang dibutuhkan luasnya seminimal mungkin. 6. Diketahui suatu kurva memiliki persamaan y = 2 x . Tentukan jarak terdekat titik A(2, 1) ke kurva tersebut. 7. Untuk memproduksi x unit barang per hari diperlukan biaya C(x) = (x3 – 2.000x2 + 3.000.000x) rupiah. Tentukan jumlah unit yang diproduksi per hari agar biaya produk- sinya minimum. 8. Biaya total untuk memproduksi x kotak obat setiap hari 1 1 ( x2 + 5x + 5) dan harga jual setiap kotak obat (20 – x) 5 2 (dalam ribuan rupiah). Berapa kotak obat harus diproduksi Tantangan setiap hari agar diperoleh keuntungan maksimum? Penalaran Tentukan pula keuntungan maksimum itu. • Kerjakan di buku tugas 9. Sebuah pabrik akan memproduksi kotak yang terbuat dariTentukan volume maksimum tripleks tanpa tutup atas dengan kapasitas 36.000 cm3.sebuah tabung yang terletak Jika ukuran panjang kotak dua kali lebarnya, tentukanlahdi dalam suatu bola berjari- ukuran kotak agar bahan yang dibutuhkan seminimumjari R jika sisi alas dan sisiatas tabung itu menying- mungkin.gung sisi bagian dalam bola. 10. Fungsi permintaan suatu barang dirumuskan dengan p = 100 – 0,5x. Tentukan a. persamaan penerimaan total; b. tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan to- tal maksimum; c. besar penerimaan total maksimum itu. 11. Misalkan C(t) adalah banyaknya uang tunai per penduduk yang beredar pada tahun ke-t. Berikut ini adalah data dari Departemen Keuangan di Amerika Serikat terkait hal tersebut. Tahun Ke-t ke-1 ke-2 ke-3 ke-4 C(t) $177 $265 $571 $1.063
    • 224 Khaz Matematika SMA 2 IPS Perkirakan laju peredaran uang tunai pada tahun ke-3. Petunjuk: Gunakan konsep turunan C C(t + t ) C(t ) = . t t 12. Jika p(x) adalah nilai total produksi pada waktu terdapat x pekerja di pabrik maka produktivitas rata-rata tenaga p( x ) kerja di pabrik tersebut dirumuskan dengan A(x) = . x a. Carilah A(x)? Apa maksud dari A(x)? b. Perlihatkan bahwa jika p(x) lebih besar daripada produktivitas rata-rata maka A(x) > 0. 13. Saat sebuah toko dibuka, jumlah pengunjung toko bertambah dari nol ke suatu bilangan maksimum, kemudian turun kembali ke nol pada waktu toko ditutup. Jika jumlah pengunjung (N) dalam toko tersebut dinyatakan sebagai fungsi waktu t oleh N(t) = –15t2 + 80t dengan t = 0 berhubungan dengan waktu ketika toko dibuka pada jam 10.00 pagi, pada pukul berapakah toko tersebut memiliki jumlah pengunjung maksimum? Berapakah jumlah maksimum pengunjung tersebut? Pada pukul berapakah toko tersebut ditutup? 14. Pada Gambar 5.13 tampak bahwa persegi ABCD mempunyai panjang sisi 30 cm. Apabila BE = 2x cm dan CF = x cm, tentukan luas maksimum segitiga AEF. 15. Misalkan x adalah jumlah yang dihabiskan oleh suatu perusahaan (dalam ratusan dolar) untuk biaya iklan dan p adalah keuntungan yang diperolehnya. Dalam hal ini p = Gambar 5.13 230 + 20x – 0,5x2. Berapa pengeluaran untuk iklan yang memberikan keuntungan maksimum? Berapa keuntungan maksimum itu? Rangkuman1. Diberikan fungsi y = f(x). Apabila 2. f(x) dapat diartikan sebagai gradien persamaan garis singgung f(x) di titik (x, y). f ( x + h ) f ( x) lim ada, fungsi y = f(x) 3. Apabila f(x) = xn maka f(x) = nxn–1. Nilai h 0 h n dapat berupa bilangan bulat (kecuali tersebut dikatakan mempunyai turunan nol) maupun bilangan rasional. pertama di titik x dan dinotasikan 4. Rumus turunan suatu fungsi dy df a. Jika f(x) = u(x) + v(x), dengan u(x) dengan f(x) atau atau y atau . dx dx dan v(x) ada, turunannya dirumus- kan dengan f(x) = u(x) + v(x).
    • Turunan 225 b. Jika f(x) = u(x) – v(x), dengan u(x) a. Apabila nilai x yang lebih kecil dari dan v(x) ada, turunannya dirumus- a (x < a) membuat f(x) turun dan nilai kan dengan f(x) = u(x) – v(x). x yang lebih besar dari a (x > a) c. Jika f(x) = u(x) v(x), dengan u(x) membuat f(x) naik maka x = a adalah dan v(x) ada, turunannya dirumus- titik balik minimum. kan f(x) = u(x) v(x) + u(x) v(x). b. Apabila nilai x yang lebih kecil dari u( x ) a (x < a) membuat f(x) naik dan nilai d. Jika f(x) = dengan u(x) dan x yang lebih besar dari a (x > a) v( x) membuat f(x) turun maka x = a v(x) ada, turunannya dirumuskan adalah titik balik maksimum. dengan c. Apabila nilai x yang lebih kecil dari u ( x )v ( x ) u( x )v ( x ) a (x < a) membuat f(x) turun dan nilai f(x) = . x yang lebih besar dari a (x > a) v2 ( x) membuat f(x) juga turun maka x = a5. Diberikan suatu fungsi f(x). adalah titik belok. a. Apabila suatu interval nilai x mem- d. Apabila nilai x yang lebih kecil dari a buat f(x) > 0 maka f(x) fungsi yang juga naik maka x = a adalah titik belok. naik pada interval tersebut. 7. Dalam menggambar grafik suatu fungsi b. Apabila suatu interval nilai x f(x), langkah-langkahnya adalah sebagai membuat f(x) < 0 maka f(x) fungsi berikut. yang turun pada interval tersebut. a. Menentukan titik potong fungsi f(x) c. Apabila suatu nilai x membuat f(x) dengan sumbu-sumbu koordinat = 0 maka f(x) fungsi yang stasioner (sumbu X dan sumbu Y). (tidak naik atau turun) pada titik b. Menentukan titik-titik stasioner atau tersebut. ekstrem dan jenisnya.6. Misalkan x = a adalah titik stasioner. Berikut c. Menentukan titik-titik sembarang ini adalah jenis-jenis titik stasioner. dalam fungsi untuk memperhalus grafik. RefleksiPerhatikan kembali materi limit fungsi. diferensial? Apakah materi ini cukupAdakah hubungan kedekatan antara membantu kalian dalam menyelesaikanmateri limit fungsi dan diferensial? kasus-kasus matematika?Menurutmu, apa yang menarik dari materi
    • 226 Khaz Matematika SMA 2 IPS Tes Kemampuan Bab V • Kerjakan di buku tugas A. Pilihlah jawaban yang tepat dengan memberi tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d, atau e.1. Turunan fungsi f(x) = 5x3 – 4x2 + 6x + 2 5. Misalkan suatu fungsi dituliskan dengan adalah .... f(x) = ax + b. a. 15x3 – 8x2 + 6x g(2 + h) g(2) b. 15x2 – 8x + 6 Jika a = lim , untuk g(x) c. 15x3 – 8x2 + 6 h 0 h d. 15x2 – 4x + 6 = x2 + 1 dan b = h(2), untuk h(x) = 4x2 – e. 15x2 – 4x + 2 4x + 4 maka rumus f(x) = .... a. 4x – 12 2x2 + 1 b. –4x + 122. Turunan fungsi f(x) = adalah 3x 2 x 2 c. –4x – 12 .... d. 4x + 12 e. 12x – 4 a. 6x2 + 4x 3 6. Grafik fungsi f(x) = x3 + 3x2 + 5 turun (3 x 2 x 2 ) 2 untuk nilai-nilai .... 6x2 4x 3 a. x < –2 atau x > 0 b. (3 x 2 x 2 ) 2 b. 0 < x < 2 c. –2 < x < 0 6x2 4x + 3 d. x < 0 c. (3 x 2 x 2 ) 2 e. tidak ada yang memenuhi 12 x 2 4 x + 6 7. Gradien garis singgung kurva y = px2 + d. q di titik (–1, 2) adalah 6. Nilai p dan q (3 x 2 x 2 ) 2 berturut-turut adalah .... 6x2 4x 3 a. 3 dan 1 e. (3 2 x 2 ) 2 b. –3 dan –1 c. –3 dan 53. Turunan dari y = ((2x2 – 5)3 + 5)5 – 2 d. 3 dan –5 adalah .... e. –1 dan 3 a. 60x(2x2 – 5)4(2x2 – 5)2 b. 60x((2x2 – 5) + 5)4(2x2 – 5)2 8. Persamaan garis singgung pada kurva c. 60x((2x2 – 5) + 5)4((2x2 – 5) – 5)2 y = x2 + 2 yang melalui titik (2, 6) akan d. 60((2x2 – 5) + 5)4(2x2 – 5)2 memotong sumbu X di titik .... e. 60(2x2 – 5)4(2x2 – 5)2 1 a. ( , 0)4. Diketahui fungsi f(x) = ax2 – 6x + 2. Jika 2 f(x) turunan dari f(x) dan nilai f(10) = b. (2, 0) 14 maka 20a2 + a + 1 = .... c. (3, 0) a. 1 d. 22 d. (1, 0) b. 14 e. 31 1 c. 20 e. (1 , 0) 2
    • Turunan 2279. Grafik fungsi f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x akan 14. Koordinat titik pada parabola y = x2 – 4x naik pada interval .... + 1 yang garis singgungnya sejajar a. 1 < x < 2 dengan sumbu X adalah .... b. x < –2 atau x > –1 a. (3, –2) c. –1 < x < 2 b. (2, –3) d. –2 < x < –1 c. (3, 2) e. x < 1 atau x > 2 d. (2, 3)10. Nilai stasioner fungsi f(x) = x3 – 3x2 – e. (–2, 3) 24x – 7 adalah ... 15. Sebuah benda berbentuk tabung tertutup a. –2 dan 4 mempunyai volume 128 m 3. Jika b. –35 tabung itu dibuat sedemikian rupa c. 1 sehingga luas seluruh permukaannya d. 21 dan –87 sekecil mungkin, panjang jari-jari e. 1, 21, dan –77 tabung adalah ....11. Koordinat titik pada parabola y = x2 – a. 6 m 4x + 1 yang garis singgungnya sejajar b. 7 m dengan sumbu X adalah .... c. 8 m a. (3, –2) d. 9 m b. (3, 2) e. 10 m c. (–2, 3) 16. Jika a + b = 6, nilai maksimum dari ab2 d. (2, 3) adalah .... e. (2, –3) a. 16 1 b. 3212. Fungsi f(x) = x3 – 3x2 + 5x – 1 akan 3 c. 48 stasioner di x = .... d. 60 a. 2 e. 64 b. 3 17. Diketahui fungsi f(x) = 2x3 – 2x2 – 2x – 3. c. 2 dan 3 Grafik fungsi ini akan mempunyai d. 1 dan 5 e. –3 1 1 1) ekstrem maksimum di , ;13. Selembar karton berbentuk persegi 3 27 panjang dengan lebar 5 cm dan panjang 2) ekstrem minimum di (1, –5); 8 cm, dipotong pada keempat sudutnya 3) titik potong dengan sumbu X di berbentuk persegi dengan sisi x cm. (–3, 0); Kemudian, dibentuk sebuah bangun 4) titik potong dengan sumbu Y di berbentuk kotak tanpa tutup. Volume (0, –3). maksimum kotak yang terbentuk Pernyataan yang benar adalah .... adalah .... a. 1, 2, 3, dan 4 a. 36 cm3 b. 1, 2, dan 3 b. 30 cm3 c. 1 dan 3 c. 28 cm3 d. 2 dan 4 d. 18 cm3 e. 4 e. 16 cm3
    • 228 Khaz Matematika SMA 2 IPS18. Nilai minimum dan maksimum fungsi 23. Pernyataan berikut yang benar untuk f(x) = 8 + 3x2 – 3x3 pada interval 1 x 4 grafik fungsi f(x) = x4 – 32x adalah .... berturut-turut adalah .... a. mempunyai titik tertinggi (0, 0) 4 b. mempunyai titik terendah (2, –40) a. 8 dan 8 c. mempunyai titik belok di x = 2 9 d. fungsi naik pada x < 2 b. –8 dan 20 e. fungsi turun pada x > 2 c. 10 dan 12 d. –8 dan 10 24. Suatu pabrik mampu memproduksi x unit e. –8 dan 12 barang dengan biaya total (80 + 2x +19. Persamaan garis singgung kurva y = x3 0,2x2) ribu rupiah. Semua produk terjual – x2 + 6 di titik dengan absis –2 adalah dengan harga Rp1.500,00 untuk setiap .... unitnya. Agar diperoleh keuntungan a. 16x – y + 26 = 0 maksimum, jumlah unit yang harus di- b. 16x + y + 26 = 0 produksi per harinya adalah .... c. 16x – y – 26 = 0 a. 3.745 d. 16x – y + 28 = 0 b. 3.848 e. 16x + y + 28 = 0 c. 3.920 d. 4.120 3 9 2 e. 4.98020. Misalkan fungsi f(x) = x x + 3. 2 Grafik fungsi f(x) turun pada interval .... 25. Di suatu titik pada kurva y = 2 2 x , a. x < 0 atau x > 3 garis singgungnya sejajar dengan garis b. 0 < x < 3 x = –y. Jika koordinat titik singgungnya c. –3 < x < 0 (p, q) maka nilai 2p + 2q + 1 = .... d. x < 0 a. –1 e. x > 3 b. 321. Panjang suatu persegi panjang adalah x c. 5 dan lebarnya y dengan hubungan x + 2y d. 7 = 2a. Luas persegi panjang itu akan e. 9 maksimum jika .... 26. Perusahaan home industry pembuat 1 mainan anak-anak mampu memproduksi a. x= y =a x unit barang dengan biaya total 60 + 4x 2 b. y = 2a + 0,5x2 (dalam ribuan rupiah). Jika semua c. x = 2a produk terjual dengan harga 85 (dalam ribuan rupiah) untuk setiap unitnya, 1 keuntungan maksimum yang diperoleh d. y= a 2 home industry itu adalah .... 1 a. Rp3.544.500,00 e. x = a 2 b. Rp3.546.800,0022. Nilai minimum fungsi f(x) = x3 – 6x2 pada c. Rp3.584.900,00 interval tertutup –1 x 5 adalah .... d. Rp3.622.500,00 a. f(–1) d. f(4) e. Rp3.870.600,00 b. f(0) e. f(5) c. (2)
    • Turunan 22927. Sebuah bak air tanpa tutup dibuat dengan 29. Kurva fungsi f(x) = x3 + 3x2 – 24x + 12 alas berbentuk persegi. Jumlah luas bersifat naik untuk nilai-nilai x yang keempat dinding dan alasnya 27 m2. berada pada interval .... Volume maksimum diperoleh jika luas a. –4 < x < 2 alasnya .... b. –2 < x < 4 a. 1 m2 c. x < –4 atau x > 2 b. 4 m2 d. x < –2 atau x > 4 c. 9 m2 e. x < –2 atau x > 2 d. 16 m2 30. Volume sebuah kotak yang alasnya e. 25 dm2 berbentuk persegi adalah 2 dm3. Biaya28. Fungsi f ditentukan oleh y = f(x) = x + pembuatan per satuan luas bidang alas p 2 x . Jika fungsi f mempunyai nilai dan atas kotak itu adalah dua kali biaya pembuatan bidang sisinya. Biaya maksimum 4 maka nilai p = .... pembuatan akan minimum jika luas a. 3 permukaan kotak itu adalah .... b. 5 c. 7 a. 4 dm2 d. 63 4 dm2 d. 9 b. 6 dm2 e. 83 4 dm2 2 e. 11 c. 8 dm B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan benar.1. Tentukan f(x) dari f(x) berikut ini. garis tegak lurus pada sumbu X dan a. f(x) = (6x – 3)(2x – 1) sumbu Y sehingga membentuk sebuah b. f(x) = (1 + (2 + (3 + x)2)2)2 persegi panjang. Tentukan ukuran perse-2. Diketahui kurva y = x3 + px2 + qx turun gi panjang tersebut agar luasnya maksimum. 1 Y pada interval < x < 1. Tentukan nilai 4 p dan q. x + 2y = 43. Tentukan titik pada kurva y = x3 + 5 (x, y) sehingga garis singgung kurva di titik itu O X a. sejajar dengan garis 12x – y = 7; b. tegak lurus dengan garis x + 3y = 2.4. Misalkan diketahui fungsi permintaan 6. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat P = 300 – 2Q. Tentukan kerangka seperti pada gambar. Tentukan a. persamaan fungsi penerimaan total; panjang kerangka (p) dan lebar (l) agar b. tingkat penjualan yang meng- luas penampang kerangka menjadi hasilkan penerimaan total maksimum; maksimum. c. tentukan besar penerimaan total maksimum. l5. Sebuah segitiga dibatasi oleh garis x + 2y = 4, sumbu X, dan sumbu Y. Dari l sebuah titik M pada garis itu dibuat garis- p
    • 230 Khaz Matematika SMA 2 IPS7. Suatu perusahaan menghasilkan produk b. Tentukan harga satuan barang untuk dalam x jam dengan biaya per jam memaksimumkan pendapatan tiap 120 minggu. 4x + – 800 (dalam ratusan ribu c. Tentukan pendapatan maksimum x rupiah). Tentukan waktu yang diper- tiap minggu. lukan untuk memproduksi agar biaya 9. Dari sehelai karton, akan dibuat sebuah produksi minimum. kotak tanpa tutup dengan alas berbentuk8. Misalkan x adalah jumlah barang yang persegi. Jika luas sisinya 432 cm 2, terjual tiap minggu pada suatu tentukan volume kotak maksimum yang perusahaan, h(x) adalah harga satuan mungkin dibuat. dari barang (dalam $), dan R(x) adalah 10. Seorang sales setiap hari mampu men- pendapatan tiap minggu (dalam $) maka jual x unit barang dagangannya dengan hubungan ketiganya adalah R(x) = xh(x). harga H(x) = 300 – 0,02x per unit. Beban Diketahui h(x) = 4 – 0,001x. biaya x unit barang dinyatakan dengan a. Tentukan R(x) dan kapan pen- B(x) = 60x + 300.000. Tentukan jumlah dapatan tiap minggu akan naik? barang yang harus terjual agar keun- Kapan akan turun? tungannya maksimum. Tentukan pula besar keuntungan maksimumnya. Kata Bijak Keunggulan adalah pengembangan dari suatu kelebihan, kegagalan adalah akumulasi dari segala kekurangan.
    • Latihan Ulangan Umum Semester 2 231 Latihan Ulangan Umum Semester 2 • Kerjakan di buku tugas A. Pilihlah jawaban yang tepat dengan memberi tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d, atau e.1. Jika g(x) = 2x + 1 dan f(x) = x2 maka 5. Diketahui fungsi f dengan rumus f(x) = (f g)(x) adalah .... 2x – 3 dan f–1 adalah fungsi invers dari f. a. 2x2 + 4x + 1 Nilai dari f–1(–1) adalah .... b. 2x2 – 4x + 2 a. –2 d. 2 c. 4x2 + 4x + 1 b. –1 e. 3 d. 4x2 – 4x + 1 c. 1 e. 4x2 – 4x – 1 6. Diketahui f : R R dan g: R R; dengan2. Diketahui fungsi g(x) = 2x – 5 dan g(x) = 3x + 7 dan (g f)(x) = 15x2 – 6x + (f g)(x) = 6x – 13 maka f(3) sama 19. Rumus untuk f(x) = .... (UAN 2003) dengan .... a. 5x2 – 6x + 12 a. –2 b. 5x2 – 6x + 4 b. –1 c. 5x2 – 3x + 4 c. 1 d. 5x2 – 2x + 4 d. 2 e. 5x2 – 2x + 3 e. 113. Diketahui fungsi f(x) = 6x – 3, g(x) = 5x x 2 + 3x + 2 7. Nilai dari lim adalah .... + 4, dan (f g)(a) = 81. Nilai a adalah .... x 1 x + 1 a. –2 d. 2 a. –2 b. –1 e. 3 b. –1 c. 1 c. 0 d. 14. Fungsi f : R R didefinisikan sebagai e. 2 2x 1 4 f(x) = ,x . x 2x + 3 3x + 4 3 8. Nilai lim adalah .... Invers dari fungsi f adalah f–1(x) = .... x 3 9 x2 4x 1 2 1 a. ,x a. 3x + 2 3 9 4 x +1 2 1 b. ,x b. 3x 2 3 8 4 x +1 2 1 c. ,x b. 2 3x 3 3 4x 1 2 1 d. ,x d. 3x 2 3 2 4x + 1 2 2 e. e. ,x 3 3x + 2 3
    • 232 Khaz Matematika SMA 2 IPS x2 x 6 2 x 19. Nilai lim adalah .... 15. Nilai lim adalah .... (UN x 2 x+ 2 x 2 x2 4 x 2 a. –6 d. –1 2004) b. –5 e. 1 1 1 c. 5 a. – d. 2 4 x 2 + 3x + 4 1 110. Nilai lim = .... b. – e. x 3x 2 + 2 x + 3 4 2 a. 1 d. c. 0 1 3x b. e. 3 16. Nilai dari lim adalah .... 3 x 0 9+ x 9 x 1 (UAN 2003) c. 3 a. 3 d. 12 b. 6 e. 1511. Nilai lim ( x 2 + x x2 x ) = .... c. 9 x a. 0 d. –1 17. Nilai lim x x +5 2 x 1 = .... (UAN 1 b. e. 2001) 2 a. –1 d. 2 c. 1 b. 0 e. x2 x 6 c. 112. Nilai lim = .... (UN 2007) x 34 5 x +1 x2 a. –8 d. 8 18. Nilai lim = .... (UAN 2000) b. –6 e. x 0 1 1+ x 2 c. 6 a. 2 d. –2 b. 0 e. –3 x c. –113. Nilai dari lim adalah x 0 1 2x 1+ 2 x .... (2 x 3)( x + 5)(6 x +1) 19. Nilai lim = .... (UN 2004) x 3 x 3 + x 2 + 6 x +1 a. –2 a. 1 d. 4 b. 0 b. 2 e. 5 c. 1 c. 3 d. 2 ( x 3)( x + 3 ) e. 4 20. Nilai lim = .... x 3 x 314. Nilai dari lim x ( x + 5) 2 x +1 = .... a. 0 d. 6 x b. 4 e. 12 9 c. 5 a. 0 d. 4 4 x2 21. Nilai lim = .... 1 x 2 3 x2 +5 b. e. 4 a. 3 d. 6 1 b. 4 e. 7 c. c. 5 2
    • Latihan Ulangan Umum Semester 2 233 4x 3 x (1+ x 3 )22. Nilai lim = .... d. x 0 1+ 2 x 1 2 x 2(1+ x 3 )2 a. 0 b. 1 3 x (1 x 3 ) e. c. 2 2(1+ x 3 )2 d. 4 26. Nilai minimum fungsi f(x) = 2x3 + 3x2 + e. 3 dalam interval –2 x 1 adalah .... 2 a. –623. Turunan pertama dari fungsi f(x) = b. –1 3x 2 adalah f–1(x) = .... c. 3 d. 6 2 a. e. 8 6x 27. Fungsi f yang dirumuskan dengan f(x) 4 = x3 – 3x2 – 9 + 5, turun pada interval .... b. 3x a. –1 < x < 3 2 b. –3 < x < 3 c. c. 1 < x < 3 x3 4 d. x < –1 atau x > 3 d. e, x < –3 atau x > 3 3x 3 6 28. Fungsi f(x) = 2x3 + 3x2 – 36x + 5 naik e. dalam interval .... 3x 3 a. –3 < x < 224. Fungsi f(x) = x3 + 3x2 – 9x mempunyai .... b. –2 < x < 3 a. nilai maksimum di x = –3 dan mi- c. 2 < x < 3 nimum di x = 0 d. x < –2 atau x > 2 b. nilai minimum di x = 1 dan maksi- e. x < –3 atau x > 2 mum di x = 0 c. nilai maksimum di x = 1 dan mi- 29. Sebuah tabung tanpa tutup terbuat dari nimum di x = 1 seng tipis dapat memuat zat cair d. nilai minimum di x = 3 dan sebanyak 64 cm 3 . Luas seluruh minimum di x = –3 permukaan tabung itu akan minimum e. nilai maksimum di x = –3 dan mi- jika jari-jari tabung sama dengan .... nimum di x = 1